2024数学建模培训-力学（2）闫明.pptx

### 2024数学建模培训-力学（2）闫明 #### 数学建模与力学基础 在数学建模领域中，力学是极为重要的一个分支，它不仅涉及基本的物理定律，还包含了数学工具的应用，特别是微积分、线性代数等高级数学方法。本次培训重点讲解的是运动方程的直角坐标法及其应用。 #### 运动方程的直角坐标法 **定义：** 在直角坐标系中，通过确定物体的位置矢量来描述其运动状态的方法称为直角坐标法。这种方法适用于解决大多数工程问题和物理问题。 **速度与加速度：** - **速度**：物体位置矢量对时间的一阶导数。 - **加速度**：物体速度对时间的一阶导数。 **矢径速度及加速度合成定理：** 在直角坐标系下，速度和加速度可以通过矢量分解进行计算。当物体在多个坐标系中运动时，可以采用相对运动分析法来求解速度和加速度。 #### 直角坐标下的速度与加速度合成定理 **定系与动系：** - **定系**：通常指的是不动的参考系，如地球表面。 - **动系**：相对于定系运动的参考系，如车辆内部。 **动点分析：** - **动点**：研究对象。 - **速度**：动点相对于动系的速度。 - **加速度**：动点相对于动系的加速度。 **定理推导：** 假设存在两个坐标系：定系\( Oxyz \)和动系\( O_1x_1y_1z_1 \)，动点\( M \)位于这两个坐标系中。动点的速度和加速度可以通过矢量运算得出。在这个过程中，会涉及到**科氏加速度**的概念，即由动系相对于定系的旋转产生的加速度。 **示例分析：** **1. 绝对运动：** - 绕\( O \)点的圆周运动。 - 分析：该运动属于纯转动，速度和加速度的方向始终垂直于半径。 **2. 相对运动：** - 沿\( O_1B \)的直线运动。 - 分析：该运动属于平移运动，速度和加速度的方向与直线方向相同。 **3. 牵连运动：** - 绕\( O_1 \)轴定轴转动。 - 分析：该运动结合了转动和平移的特点，需要综合考虑。 **具体解法：** - **动点**：滑块\( A \)。 - **动系**：摇杆。 - **加速度**：根据已知条件求解。 对于加速度的计算，可以利用坐标变换的方法。如果已知每套坐标系相对于下一套坐标系的位置和角度变化，则可以通过**旋转矩阵**来表达点\( M \)在第三套坐标系中的位置。其中： - \( i \)代表坐标维度，取值为1或2。 - 旋转矩阵用于描述两套坐标系之间的转换关系。 #### 坐标变换与旋转矩阵 **旋转矩阵公式：** 设两个坐标系之间的旋转角度为\( \theta \)，则旋转矩阵\( R \)可以表示为： \[ R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \] **应用实例：** - **作业题目**：在2022A题问题3中，使用固定在浮子上的动系和固定在中轴上的动系将振子的绝对坐标表达出来。 - **解题思路**： 1. 确定浮子上动系与中轴上动系的相对位置和角度变化。 2. 应用旋转矩阵计算振子在不同坐标系下的位置。 3. 结合运动学原理，求解振子的绝对坐标。 通过上述方法，我们可以有效地解决复杂力学问题，并为实际应用提供理论支持。数学建模不仅能够帮助我们理解自然现象，还能为工程技术问题提供解决方案。