在微积分II中，不定积分是微积分的基本概念之一，它是导数的逆运算。第六章的第二部分，我们关注的是积分基本公式，这些公式帮助我们简化积分计算，避免复杂的求解过程。以下是一些主要的积分基本公式：
1. 常数的积分：如果函数是常数C，那么其不定积分是C乘以变量x，即`∫ C dx = Cx + C`。
2. 幂函数的积分：对于函数`f(x) = x^α`，当α不等于-1时，其不定积分是`∫ x^α dx = (x^(α+1))/(α+1) + C`。特别地，`∫ x^(-1) dx = ln|x| + C`。
3. 自然对数函数的积分：`∫ (1/x) dx = ln|x| + C`。
4. 幂次函数的负指数积分：`∫ x^(-α) dx = -1/(α-1) * x^(-α+1) + C`，其中α不等于1。
5. 对数函数的积分：`∫ ln(x) dx = x * ln(x) - x + C`。
6. 指数函数的积分：`∫ e^x dx = e^x + C`。
7. 正弦函数的积分：`∫ sin(x) dx = -cos(x) + C`。
8. 余弦函数的积分：`∫ cos(x) dx = sin(x) + C`。
9. 正割函数的平方的积分：`∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C`。
10. 余割函数的平方的积分：`∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C`。
11. 正割函数乘以余切函数的积分：`∫ sec(x) * tan(x) dx = sec(x) + C`。
12. 1/(1+x^2)的积分：`∫ 1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C`。
13. 1/(1+x^2)的另一种表示：`∫ csc(x) * cot(x) dx = -csc(x) + C`。
通过这些基本公式，我们可以直接计算某些特定形式的积分，而无需采用更复杂的方法。例如，如果需要计算`∫ (x^2 - 5x^2)/x dx`，可以将这个表达式拆分为`∫ x^2 dx - ∫ 5x^2 dx`，然后分别应用积分基本公式，得到`x^3/3 - 5x^3/3 + C = (1/3 - 5/3)x^3 + C = -4/3*x^3 + C`。
对于更复杂的积分，如`∫ tan^2(x) dx`，可以通过恒等转换来简化，如`tan^2(x) = sec^2(x) - 1`，然后分别积分`∫ sec^2(x) dx`和`∫ dx`，得到`tan(x) - x + C`。
在使用积分基本公式进行直接积分时，通常需要注意以下技巧：
- 将被积函数分解为可直接积分的部分。
- 使用代换法或分部积分法（虽然这里主要讨论基本公式）。
- 注意积分符号前的常数，它可以在积分过程中提出。
- 识别并利用常见的积分公式，如上面列出的13个基本公式。
通过熟悉和熟练运用这些积分基本公式，可以有效地解决许多不定积分问题，为后续的微积分学习打下坚实的基础。在实际应用中，结合适当的积分策略，可以处理更广泛的积分问题。
