微积分笔记v3.141_by零蛋大.pdf

这份微积分笔记是由唐绍东（Tang Shaodong）编写的，版本为3.141，更新日期为2021年1月1日。笔记内容丰富，不仅涵盖了数学分析、竞赛、考研以及网友自编的题目，还包含了国内外期刊上的题目。笔记中的解答大多并非作者原创，有些解答经过作者改编，以更易于理解的形式呈现。作者坦诚自己的水平有限，因此笔记中可能存在错误，但目前并未收到太多反馈指出错误。 在笔记的序言中，作者提到了自己编写笔记的初衷是为了练习LaTeX排版，同时记录一些有趣的题目，并提供给需要帮助的群友参考。值得一提的是，作者还提醒读者，数学分析教材中关于凹凸性的定义与同济版高数的定义不同，这一点对学习数学分析和高数的同学来说非常重要。 笔记内容涵盖了多个微积分的重要概念和定理，其中分为不同的章节，包括引论、极限论、导数与微分、不定积分、定积分、微分方程、差分方程、向量代数与空间解析几何、多元函数微分法及其应用、重积分等。以下是一些详细的微积分知识点： 1. 引论：介绍了一些常用的公式，以及映射与函数的基本概念。 2. 极限论：涉及实数系的建立、数列的极限、函数的极限、极限的运算法则、极限存在准则、两个重要极限、 Toeplitz定理和Stolz定理、无穷小的比较、函数的连续性与间断点、一致连续性等。 3. 导数与微分：讨论了Darboux定理、高阶导数、隐函数及参数方程所确定的函数的导数、相关变化率、函数的微分、微分中值定理及导数的应用，包括洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性与曲线的凹凸性、函数的极值与最大值最小值、Lagrange差值公式、函数的凹凸性、渐近线、曲率、方程的近似解。 4. 不定积分：包括不定积分的概念与性质、换元积分法、分部积分法、有理分式、特定技巧、非初等表达式。 5. 定积分：涵盖定积分的概念与性质、微积分基本公式、定积分的换元法和分部积分法、定积分的应用、反常积分的审敛法。 6. 微分方程：介绍了微分方程的基本概念、可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、恰当方程与积分因子、可降阶的高阶微分方程、高阶线性微分方程、常系数齐次线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程、欧拉方程、微分方程的应用、二阶线性偏微分方程。 7. 差分方程：概述了差分方程、一阶常系数线性差分方程、二阶常系数线性差分方程、非线性差分方程、差分方程应用举例。 8. 向量代数与空间解析几何：讲述了向量及其线性运算、数量积、向量积、混合积、平面及其方程、空间直线及其方程、曲面及其方程、空间曲线及其方程。 9. 多元函数微分法及其应用：包含了多元函数的极限与连续、偏导数、全微分、隐函数的求导公式、多元函数微分学的几何应用、方向导数与梯度、多元函数的极值及其求法、二元函数的泰勒公式。 10. 重积分：涉及二重积分的概念与性质。 作者还特别提到了数学分析教材与同济版高等数学在定义上的不同之处，强调了一些常见但重要的数学分析概念。作者提供了联系方式、捐赠方式，以及社交平台账号，方便读者交流和反馈。 这份微积分笔记不仅是一个学习资料，也体现了作者对数学的热爱和对读者的负责态度。通过这本书，读者可以系统地学习和复习微积分的各个重要知识点，为数学建模、竞赛、考研等提供一个有益的参考。