### 机器学习中常用的距离计算
#### 概述
在机器学习领域，特别是在进行分类任务时，估计不同样本之间的相似性是一项基本且重要的工作。为了量化这种相似性，研究人员经常采用计算样本间“距离”的方法。不同的距离计算方法可能会显著影响最终的分类效果。本文将详细介绍几种常用的相似性度量方法。
#### 1. 欧氏距离 (Euclidean Distance)
欧氏距离是最直观的一种距离计算方式，它源于欧几里得几何中两点之间的距离公式。在不同的维度空间中，其计算公式如下：
- **二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离**:
\[d(a,b) = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}\]
- **三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离**:
\[d(a,b) = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2}\]
- **两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离**:
\[d(a,b) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{2i} - x_{1i})^2}\]
此外，欧氏距离也可以通过向量运算来表达：
\[d(a,b) = \sqrt{(a-b)^T(a-b)}\]
在MATLAB中，可以通过`pdist`函数来计算欧氏距离。例如，计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)之间的欧氏距离，代码如下：
```matlab
X = [0 0; 1 0; 0 2];
D = pdist(X, 'euclidean');
```
结果将会得到一个距离矩阵，展示这三个点之间的欧氏距离。
#### 2. 曼哈顿距离 (Manhattan Distance)
曼哈顿距离来源于城市交通的实际场景，指的是从一个位置到另一个位置在街道网格上的最短路径长度。在数学上，它是各坐标值绝对差值的总和。计算公式如下：
- **二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈顿距离**:
\[d(a,b) = |x2 - x1| + |y2 - y1|\]
- **两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的曼哈顿距离**:
\[d(a,b) = \sum_{i=1}^{n}|x_{2i} - x_{1i}|\]
同样地，在MATLAB中可以通过`pdist`函数来计算曼哈顿距离：
```matlab
X = [0 0; 1 0; 0 2];
D = pdist(X, 'cityblock');
```
#### 3. 切比雪夫距离 (Chebyshev Distance)
切比雪夫距离是一种衡量两点之间最大坐标的差异的方法。其定义如下：
- **二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离**:
\[d(a,b) = max(|x2 - x1|, |y2 - y1|)\]
- **两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的切比雪夫距离**:
\[d(a,b) = max(|x_{2i} - x_{1i}|)\]
在MATLAB中，计算切比雪夫距离的方法为：
```matlab
X = [0 0; 1 0; 0 2];
D = pdist(X, 'chebychev');
```
#### 4. 闵可夫斯基距离 (Minkowski Distance)
闵可夫斯基距离是一个更加泛化的距离概念，它包含了上述提到的几种距离作为特例。具体来说：
- **闵可夫斯基距离的定义**:
\[d(a,b) = \left(\sum_{i=1}^{n}|x_{2i} - x_{1i}|^p\right)^{\frac{1}{p}}\]
其中，\(p\) 是一个正实数参数。
- **闵可夫斯基距离的特例**:
- 当 \(p = 1\) 时，为曼哈顿距离。
- 当 \(p = 2\) 时，为欧氏距离。
- 当 \(p \rightarrow \infty\) 时，为切比雪夫距离。
尽管闵可夫斯基距离具有一定的通用性，但它存在一些明显的局限性。例如，在处理具有不同尺度特征的数据时，闵可夫斯基距离不能有效地反映特征之间的实际差异。因此，需要谨慎选择 \(p\) 的值。
在MATLAB中，可以通过`pdist`函数指定 `'minkowski'` 参数并设置 `p` 的值来计算闵可夫斯基距离：
```matlab
X = [0 0; 1 0; 0 2];
D = pdist(X, 'minkowski', 2); % 使用欧氏距离作为示例
```
#### 结论
以上介绍了几种常用的相似性度量方法，每种方法都有其适用场景和局限性。在实际应用中，选择合适的距离计算方法对于提高分类或聚类算法的效果至关重要。理解这些距离计算的基本原理有助于更好地应用于具体的机器学习问题中。
