清华大学微积分高等数学无穷小量续PPT学习教案.pptx

在微积分和高等数学的学习中，无穷小量和连续函数是基础且重要的概念。这份清华大学的微积分高等数学续篇PPT深入讲解了这两个主题，包括无穷小量的定义、性质、比较以及如何利用无穷小量来求解极限。下面我们将详细探讨这些知识点。 我们来看"三个重要关系"，这指的是无穷小与无穷大、极限与无穷小之间的关联。无穷小量通常用来描述当变量接近某一值时，函数值趋于零的情况。而无穷大量则相反，表示函数值无限增大。极限的概念则连接了这两者，它描述了随着自变量的变化，函数值趋向于一个确定的值（或无穷大）的过程。 接着，无穷小量的比较是理解其性质的关键。如果两个无穷小量ε1和ε2满足ε1/ε2趋近于常数，那么我们说ε1是比ε2高阶的无穷小，或者ε2是比ε1低阶的无穷小。例如，当x趋近于0时，sin(x)/x是一个等价无穷小，因为它们的比值趋于1。 在等价无穷小量的性质中，有两点尤为关键：一是性质1，即等价无穷小量可以相互替换而不改变表达式的极限；二是性质2，即在计算极限时，等价无穷小量可以被它们的等价常数替代。例如，当x趋近于0时，1-cos(x)等价于x^2/2，因此在求解包含这种结构的极限问题时，可以直接用x^2/2替换1-cos(x)。 在实际求解极限问题时，例如[例1]到[例7]，我们会遇到各种各样的函数形式。这些例子展示了如何应用无穷小量的性质来简化问题，例如通过洛必达法则、泰勒级数展开或代数操作来找到极限值。值得注意的是，并非所有无穷小的代数和都能直接等价替换，比如x^3在x趋近于0时是一个3阶无穷小，而x^2 + 2x^3是2阶和3阶无穷小的和，它们的整体行为并不等价于任何单个无穷小的阶数。 连续函数的定义是如果函数f在某点c的极限存在，并且等于f(c)，那么我们称f在c点连续。连续性是微积分中的核心概念，它保证了函数在某些操作下（如求导、积分）的合理性。 总结来说，这份PPT涵盖了微积分中关于无穷小量和连续函数的基础知识，通过实例和习题帮助学生巩固理解，并为后续的微积分学习打下了坚实的基础。对于希望深入理解和掌握这些概念的学生，这个教程提供了丰富的学习资源。