Proposisiones por Edison Iza
- 1. Proposición simple Es toda oración o enunciado al que se le puede asignar un cierto valor (v o f). Si no puede concluir que es verdadero o falso no es proposición. Es cualquier agrupación de palabras o símbolos que tengan sentido y de laque en un momento determinado se pueda asegurar si es verdadera o falsa. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor lógico o valor de verdad. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas. Ejemplo p! q! r! a! b.
- 2. PROPOSICIÓN COMPUESTA • Proposición molecular • Letras mayúsculas • Preposiciones simples • Conectivos lógicos • Tabla de valores de verdad • Número de posibilidades
- 3. p q V F Con una proposición Con dos proposiciones p q r V V V F F V F F
- 4. CONECTIVOS LÓGICOS Negación Conjunción Conjunción negativa Disyunción inclusiva Disyunción exclusiva Condicional Bicondicional
- 5. Negación Conjunción Disyunción inclusiva
- 6. Condicional Bicondicional Conjunción negativa Disyunción exclusiva
- 7. EJEMPLO P: 2 es múltiplo de 3 y 4 es mayor que 1 p: 2 es múltiplo de 3 (F) q: 4 es mayor que 1 (v) P= p q (F)
- 8. Los cuantificadores son símbolos que se emplean para poder señalar cuantos o los tipos de elementos que integran un conjunto dado. CUANTIFICADORES
- 9. El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. CUANTIFICADOR UNIVERSAL
- 10. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL En el lenguaje de predicados en lógica matemática, se usa el símbolo: ∃, llamado cuantificador existencial, antepuesto a una variable para decir que "existe" al menos un elemento del conjunto al que hace referencia la variable, que cumple la proposición escrita a continuación Normalmente, en lógica, el conjunto al que se hace referencia es el universo o dominio de referencia, que está formado por todas las constantes.
- 11. EJEMPLO:
- 15. Cuantificación existencial única El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto. A que cumple una determinada propiedad. Se escribe: ∃! x ∈ A: P (x) Se lee: Existe una única x elementos de A, que cumple P(x).
- 16. Noción de conjuntos, relación de pertenencia e inclusión, relaciones entre conjuntos.
- 17. Noción de conjuntos Un conjunto es una colección de elementos, estos elementos pueden relacionarse unos a otros, o simplemente ser un conjunto con TODOS los elementos dentro de este.
- 18. Notación de conjuntos Determinación de un conjunto por extensión Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos. Ejemplo Los números menores que 5: A=(1,2,3,4,5) Determinación por compresión Un conjunto está determinado por compresión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos. Ejemplo El conjunto de vocales del abecedario: A=(x/x es una vocal)
- 19. Inclusión y pertenencia Relación de pertenencia Solo se da entre los elementos de un conjunto y éste. Es decir es perfectamente correcto decir que uno o más elementos pertenecen a un conjunto. En este caso, nunca debe usarse la palabra inclusión, por tanto no es correcto decir que un elemento está incluido en un conjunto. La relación de pertenencia tiene un símbolo específico para el conector “pertenece” y para el conector “no pertenece”. Veamos un ejemplo sencillo: si consideramos a V, conjunto de las letras vocales, éste definido por extensión sería así: V = { a, e, i, o, u } Así las cosas es correcto decir cualquiera de las siguientes afirmaciones, que escribiré también en lenguaje de símbolos matemáticos. El elemento a pertenece a V ==> a ∈ V El elemento f no pertenece a V ==> f ∉ V
- 20. Relación de inclusión Se da entre conjuntos y sub conjuntos. Es correcto decir que un subconjunto está incluido en un conjunto mayor, pero no es correcto decir que un subconjunto pertenece a un conjunto mayor. La relación de inclusión tiene un símbolo específico para el conector “está incluido” y para el conector “no está incluido”. Veamos un ejemplo sencillo en la misma línea del anterior: consideramos al conjunto L como el conjunto de las letras del abecedario. L = { a, b, c, d, e…………. x, y, z } Así las cosas es correcto decir cualquiera de las siguientes afirmaciones, que escribiré también en lenguaje de símbolos matemáticos. El subconjunto V (de las vocales) está incluido en L : V ⊂ L El subconjunto G (letras griegas) no está incluido en L : G ⊄ L También es usual en estos casos otro concepto: “incluye a”. Ejemplo: El conjunto L incluye al conjunto V ==> L ⊃ V
- 21. Operaciones de conjuntos En los conjuntos se pueden realizar algunas operaciones básicas, que parten de algunos conjuntos dados y se obtienen nuevos conjuntos. Sean dos conjuntos, A y B del conjunto universal U.
- 22. Unión de conjuntos La unión de dos conjuntos A y B, que se escribe A U B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes y no comunes a ambos conjuntos. Las uniones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma; a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la unión se representa de la siguiente forma b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común la unión, el resultado son ambos conjuntos completos c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B el resultado es B
- 23. Propiedades de la unión de conjuntos 1° (A U A) = A 2° (A U B) = B U A 3° A U (B U C) = (A U B) U C 4° A U ᴓ = A 5° A U U = U
- 24. Intersección de conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B, que se escribe A ∩ B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes de A y B pero. Las intersecciones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma; a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la intersección se representa de la siguiente forma; b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la intersección es igual a conjunto vacío (ᴓ) c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión es igual a A.
- 25. Propiedades de la intersección de conjuntos 1° (A ∩ A) = A Idempotencia 2° (A ∩ B) = (B ∩ A) Conmutativa 3° (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Asociativa 4° A ∩ ᴓ = ᴓ Identidad 5° A ∩ U = A Identidad
- 26. Diferencia de conjuntos La diferencia de dos conjuntos A y B, que se escribe A - B, se define como el conjunto formado por los elementos A que no pertenecen a B. La diferencia de conjuntos las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia son los elementos del primero, menos los del segundo. b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia es igual al conjunto A c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la diferencia es igual a conjunto Vacío (ᴓ)
- 27. Propiedades de diferencia de conjuntos 1° (A - B) ≠ B - A 2° A - B = A ∩ B’ 3° A - ᴓ = A 4° A - U = ᴓ 5° ᴓ - A = ᴓ 6° A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C)
- 28. Conjunto complementario Dado el conjunto A ϵ U, se define el conjunto complementario de A, que se escribe Ac, el cual está formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero que no pertenecen a A. El conjunto complemento de A lo podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma; Es decir, también podemos interpretarlo como;
- 29. Propiedades de conjunto complementario 1° A U AC = U 2° A ∩ AC = ᴓ 3° UC = ᴓ 4° ᴓC = U 5° (AC)C = A
- 30. Diferencia simétrica de conjuntos La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, que se escribe A Δ B, se define como la diferencia de A U B y A ∩ B. La diferencia simétrica de conjuntos las podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma; a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia simétrica son los elementos no comunes, es decir todos los elementos que son parte de los dos conjuntos, excepto los que comparten entre ellos b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia simétrica es igual al conjunto A U B; c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B, la diferencia simétrica es igual B - A;
- 31. Propiedades de diferencia simétrica de conjuntos 1° AΔ B = B ΔA 2° (AΔ B) Δ C = AΔ (B Δ C) 3° AΔA = ᴓ 4° AΔ ᴓ = A 5° AΔ U = U - A