Cinetica del solido pdf

CINETICA DEL SOLIDO SEPTIEMBRE DE 2014
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1.1 Introducción
1.2 Marco teórico
1.2.1 segunda ley de newton 3
1.2.2 cuerpos rígidos
1.2.3 centro de gravedad
1.3 Ecuaciones de movimiento
1.3.1 traslación
1.3.1.1traslación rectilínea (sistema cartesiano x e y)
1.3.1.2traslación curvilínea
1.3.2 rotación
1.3.2.1 rotación con respecto a un eje fijo
1.3.2.2 movimiento plano general
1.4 Cuadro comparativo entre cinética de la partícula y cinética del solido
1.5 Aplicaciones

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INTRODUCCION
La cinética del solido rígido estudia las relaciones existentes entre las fuerzas actuantes sobre un cuerpo supuesto rígido, la forma y la masa de este y el movimiento originado. Abordaremos este estudio considerando que un sólido rígido está compuesto de un gran número de partículas para lo cual emplearemos dos ecuaciones, Σ퐹=푚푎, que relaciona la resultante de las fuerzas externas con la aceleración del centro de masas G del sistema de partículas, y MG = ḢG, que relaciona el momento resultante de las fuerzas externas con el momento angular del sistema de partículas respecto a G. Además la derivada temporal del momento angular ḢG respecto al centro de masases igual al producto Ῑ훼 del momento de inercia másico centroidal Ῑ por la aceleración angular 훼 del cuerpo.
El principio de D‘Alembert se utiliza para demostrar que las fuerzas externas actuantes sobre un cuerpo rígido equivalente a un vector 푚푎 aplicado en el centro de masas y un par de momento Ῑ훼. Este principio complementa la definición de la segunda ley de Newton. El cual consiste en agregar al sistema dinámico una fuerza inercial, logrando con esta que el este sistema esté en equilibrio, donde este equilibrio se le conoce como Equilibrio Dinámico.
Según el Principio de equilibrio dinámico de D'Alambert, en todo sistema, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él, incluidas las inerciales, ha de ser igual a cero.
Características de las fuerzas de inercia.
 Fuerza inercial es una fuerza que existe en los cuerpos acelerados, y que es igual a la fuerza que los acelera, pero de sentido contrario.
 Si a un cuerpo, colocado en un sistema no inercial, se le aplica una fuerza igual a la fuerza de inercia, ese cuerpo estará en equilibrio dinámico respecto a dicho sistema.
 La fuerza centrífuga es un ejemplo importante de fuerza inercial.

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SEGUNDA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINÀMICA
La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera:
퐹=푚푎
Esta relación establece por completo la formulación de la segunda ley de Newton. Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un módulo, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como: 퐹=푚 푑푣 푑푡
Esta expresión de la Segunda ley de Newton es válida para cuerpos cuya masa sea constante.
Para dos objetos de la misma masa, cuanto mayor sea la fuerza que les comuniquemos mayor será la aceleración producida.
Del mismo modo, la aceleración será inversamente proporcional a la masa. Para una misma fuerza, un objeto pesado se acelerará menos que uno ligero.
Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, en este caso la relación 푭=풎풂 ya no es válida. Podemos generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa. Para generalizar primero vamos a definir una magnitud física nueva que corresponde a la cantidad de movimiento (p), que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir: 푃=푚푣

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La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg.m/s. En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera:
 La Fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir:
퐹= 푑푃 푑푡
 De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto tenemos:
퐹= 푑(푚.푣) 푑푡 = 푚푑푣 푑푡 + 푣푑푚 푑푡
Como la masa es constante 푚푑푣 푑푡 =0 y recordando la definición de aceleración, nos queda 퐹=푚 푑푣 푑푡
CUERPOS RÍGIDOS
Un cuerpo rígido se puede definir como aquel que no se deforma, se supone que la mayoría de los cuerpos considerados en la mecánica elemental son rígidos. Dentro de lo que son los cuerpos rígidos se estudia el efecto de las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo rígido y ver como reemplazar un sistema de fuerzas dado por un sistema equivalente más simple. Este análisis se basa en la suposición fundamental de que el efecto de una fuerza dada sobre un cuerpo rígido permanece inalterado si dicha fuerza se mueve a lo largo de su línea de acción. Por tanto, las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden representarse por vectores deslizante.

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CENTRO DE GRAVEDAD El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas partículas que constituyen al cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. El 퐶.퐺. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el 퐶.퐺. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.

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TRASLACIÓN
Cuando un cuerpo rígido experimenta una traslación, todas sus partículas tienen la misma aceleración lineal 푎 además, α=0 en donde la ecuación de movimiento de rotación aplicada en el punto G se reduce a una forma simplificada, o sea, ΣMG= 0.
Traslación rectilínea (sistema cartesiano x e y)
Cuando un cuerpo se somete a traslación rectilínea, todas sus partículas viajan a lo largo de trayectorias de línea recta paralelas. El diagrama de cuerpo libre y los diagramas cinéticos se muestran en la figura como: 퐈퐆훂=ퟎ , solo m(푎퐺) se muestra en el diagrama cinético
Como: IGα=0 ,solo maG queda señalado Σ푭풙=풎(풂푮)풙 Σ푭풚=풎(풂푮)풚 Σ퐌퐆=ퟎ
Además se puede sumar momentos con respecto a otros puntos sobre y fuera del cuerpo, en cuyo caso el momento de maG debe de tomarse en cuenta.

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Ejemplo:
Si se elige el punto A, que se encuentra a una distancia d de la línea de acción de maG, es aplicable la siguiente ecuación de momento:
ΣMA= Σ(Mk) : ΣMA = (m푎퐺) d
Aquí la suma de, los momentos de las fuerzas externas y los momentos de par con respecto a A (ΣMA, diagrama de cuerpo libre) es igual al momento de m푎퐺 , con respecto a A (Σ(MK), diagrama cinético)

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Traslación curvilínea
Cuando un cuerpo rígido se somete a traslación curvilínea, todas sus partículas viajan a lo largo de trayectorias de curvas paralelas. En un análisis, con frecuencias es conveniente utilizar un sistema de coordenadas inercial con su origen que coincida con el centro de masa de cuerpo en el instante considerado y sus ejes orientados en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria del movimiento son:
Σ푭n= m (풂푮) n
Σ푭t=m (풂푮) t
Σ푴G=0
Diremos pues que (aG)t y (aG)n representan, respectivamente, las magnitudes de las componentes de la aceleración tangencial y normal del punto G.
Si se suman los momentos con respecto al punto arbitrario B, entonces es necesario tener en cuenta los momentos, Σ(MK) B de las dos componentes m (푎퐺)n Y m (푎퐺) t, con respecto a este punto, de acuerdo con el diagrama cinético, h y e representa las distancias perpendiculares (o “brazos de momento”) de B a las líneas de acción de los componentes. Por consiguiente, la ecuación de momentos requeridos es:
Σ푴B = Σ(푴K) B Σ푴B =풆[풎(풂푮)풕−풉[풎(풂푮)풏]]

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Los aspectos de rotación son provocados por un momento M, se determinara ahora los efectos causados por los momentos del sistema de fuerzas externas calculados con respecto al eje z que pasa por el punto P. (푴푃)푖=풓×푚푖풂푖
Expresamos en términos de la aceleración angular 휶 y la velocidad angular 흎. (푴푃)푖=푚푖[풓×풂푃+(훼×풓)−휔2(풓×풓)]
El último término es cero, ya que Expresando los vectores con componentes cartesianas y efectuando las operaciones de producto cruz obtenemos (MP)ik=mi{(xi+yj)×[(aP)xi+(aP)yj]+(xi+yj)×[αk×(xi+yj)]} (MP)ik=mi[−y(aP)x+x(aP)y+αx2+αy2]k ↺(MP)i=mi[−y(aP)x+x(aP)y+αx2+αy2]
Haciendo 푚푖⟶푑푚 e integrando con respecto a toda la masa 푚 del cuerpo, obtenemos la ecuación resultante de momento ↺ΣMP=−(∫y dm m)(aP)x+(∫x dm m)(aP)y+(∫r2 dm m)α
Las integrales en los términos primero y segundo del lado derecho se usan para localizar el centro de masa 퐺 del cuerpo con respecto a 푃, ya que 푦̅푚=∫푦 푑푚 y 푥̅푚=∫푥 푑푚. La última integral representa el momento de inercia del cuerpo calculado con respecto al eje 푧, esto es 퐼푃=∫푟2 푑푚. Así, ↺ΣMP=−y̅m(aP)x+x̅m(aP)y+IPα
si el punto푃 coincide con el centro de masa 퐺 para el cuerpo. Si este es el caso, entonces 푥̅=푦̅=0, y por tanto ΣMG=IGα
También puede ser rescrita en términos de las componentes 푥 y 푦 de 풂퐺 y el momento de inercia 퐼퐺 del cuerpo. Si el punto de los ejes paralelos, 퐼푝=퐼퐺+푚(푥̅2+푦̅2). Sustituyendo, obtenemos: ↺Σ푀푃=푦̅푚[−(푎푃)푥+푦̅훼]+푥̅푚[(푎푃)푦+푥̅훼]+퐼퐺훼

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풂푃 Puede ser expresada en términos de 풂퐺 como aG=aP+α×r̅−ω2r̅
Efectuando los productos cruz e igualando las respectivas componentes i y 풋 resultan las dos ecuaciones escalares (aG)x=(aP)x−y̅α−x̅ω2 (aG)y=(aP)y−x̅α−y̅ω2
A partir de estas ecuaciones, [−(aP)x+y̅α]=[−(aG)x−x̅ω2] y [−(aP)y+x̅α]=[(aG)y+ y̅ω2].
Simplificando obtenemos: ↺ΣMP=−y̅m(aG)x+x̅m(aG)y+IGα
Este importante resultado indica que cuando los momentos de las fuerzas externas mostradas en el diagrama de cuerpo libre son sumados con respecto al punto 푃 , resultan ser equivalentes a la suma de los “momento cinético” de 퐼퐺휶, en otras palabras, cuando son calculados los “momentos cinéticos”, Σ(ℳ푘)푃, los vectores 푚(풂퐺)푥 푚(풂퐺)푦 , son tratados como vectores deslizables; esto es, pueden actuar en cualquier punto a lo largo de su línea de acción. Entonces podemos escribir la ecuación en una forma más general como: ΣMP=Σ(ℳk)P
Para resumir este análisis pueden escribirse tres ecuaciones escalares independientes para describir el movimiento plano general de un cuerpo rígido simétrico. ΣFx=m(aG)x ΣFy=m(aG)y
ΣMG=IGα O ΣMP=Σ(ℳk)P

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Rotación con respecto a un eje fijo
Considere el cuerpo rígido mostrado en la figura, el cual esta constreñido a girar en el plano vertical con respecto a un eje fijo perpendicular a la página y que atraviesa el pasador ubicado en O. La velocidad angular y la aceleración angular son causadas por el sistema fuerza externa y momento de par que actúan sobre el cuerpo. Como centro de masa G del cuerpo se mueve en una trayectoria circular, aceleración de este punto está a mediante sus componentes tangencial normal. La componente tangencial de aceleración tiene magnitud de (푎퐺)푡=훼푟퐺 debe actuar en una dirección que sea constante con la aceleración angular 훼 del cuerpo. La magnitud de la componente normal de aceleración es Esta componente es (푎퐺)푛=휔2푟퐺. Esta componente está dirigida siempre desde el punto G hasta el punto 0, independientemente de la dirección de 휔.
Los diagramas de cuerpo libre y cinético para el cuerpo se muestran la figura. El peso del cuerpo, W,= mg, y en el pasador están incluidos en el diagrama de cuerpo libre ya que representan las fuerzas externas actuando sobre el cuerpo. Las dos componentes 푚(푎퐺)푡 y 푚(푎퐺)푛 mostradas en el diagrama cinético, están asociadas con las componentes tangencial y normal de aceleración del centro de masa del cuerpo. Estos vectores actúan en la misma dirección que las componentes de aceleración y tienen magnitudes de 푚(푎퐺)푡 y 푚(푎퐺)푛 respectivamente. El vector 퐼퐺훼 actua en la misma dirección que 훼 y tiene la magnitud de 퐼퐺훼 , donde 퐼퐺 es el momento de masa del cuerpo calculado con respecto a un eje perpendicular a la página y que pasa por G. A a partir de la derivación, las ecuaciones de movimiento que se aplican al cuerpo pueden ser escritas en 1a forma

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Σ퐹푛= 푚(푎퐺)푛=푚휔2푟퐺 Σ퐹푇= 푚(푎퐺)푇=푚훼푟퐺 Σ푀퐺=퐼퐺훼
La ecuación de momentos también puede ser reemplazada por una suma de momentos con respecto al pasador O, el cual resulta una interesante relación:
Σ푀O = Σ(푀푘)= Ῑ훼 + (mr̄훼) r̄ = (Ῑ + mr̄ 2) 훼
āt = r̄ ān = r̄ ω2
Pero según el teorema de Steiner, es 퐼̅+푚푟̅2=퐼표 donde 퐼표 representa el momento de inercia del cuerpo respecto al eje fijo. Por lo tanto, podemos escribir:
Σ푀O = 퐼표훼

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El cuerpo rígido mostrado en la figura está sometido a un movimiento plano general causado por la fuerza (movimiento de traslación) y el momento de par aplicados externamente (movimiento de rotación). Los diagramas de cuerpo libre y cinético para el cuerpo se muestran en la figura. Al elegir, como se muestra, un sistema coordenado inercial x, y, las tres ecuaciones de movimiento pueden ser escritas como Σ퐹푥= 푚(푎퐺)푥 Σ퐹푦= 푚(푎퐺)푦 Σ푀퐺=퐼퐺훼
En algunos problemas puede ser conveniente sumar momentos con respecto a algún punto P diferente de G. Esto se hace usualmente para eliminar fuerzas desconocidas a partir de la suma de momentos.
Cuando se usan en este sentido más general, las tres ecuaciones del movimiento son Σ퐹푥= 푚(푎퐺)푥 Σ퐹푦= 푚(푎퐺)푦 Σ푀푃=Σ(푀퐾)푃
Aquí Σ(푀퐾)푃 representa la suma de momentos de 퐼퐺훼 y 푚푎퐺 (o sus componentes) con respecto a P según son determinados por los datos que aparecen en el diagrama cinético.

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CUADRO COMPARATIVO ENTRE CINÉTICA DE LA PARTÍCULA Y CINÉTICA DEL SOLIDO
Cinética Del Solido Cinética De La Partícula Estudia las relaciones existentes entre las fuerzas, la forma y la masa y el movimiento que se produce. El planteamiento esta considerar a los cuerpos rígidos conformados por una número de partículas. En un cuerpo rígido se toma en cuenta el efecto de rotación ocasionada por una fuerza alrededor de un punto o eje. El momento de inercia es aquel que mide la resistencia de un cuerpo a la aceleración angular, al igual que la masa resiste a una aceleración. Σ푀=퐼∝ La forma del cuerpo, así como la ubicación exacta de los puntos de aplicación de las fuerzas no se toman en cuenta. El cuerpo puede considerarse como una partícula, esto es, que su masa podría concentrarse en un punto. En un cuerpo real, incluimos cuerpos tan grandes como un automóvil, un cohete o un aeroplano se ignoran el efecto de una rotación del cuerpo. Σ퐹=푚푎

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APLICACIONES
1. El avión de propulsión a chorro tiene una masa de 22 Mg y un centro de masa en G. Si se sujeta un cable de remolque en la parte superior de la rueda de nariz y ejerce una fuerza de T=400N como se muestra, determinar la aceleración del avión y la reacción normal en la rueda de nariz y en cada una de las ruedas de alas localizadas en B. Ignore la fuerza ascensional de las alas t la masa de las ruedas.
200N cos30° = 22x103
= 0.01575m/s2
NA + 2NB – 400Nsen30° =0
NA + 2NB = 200N……..( 1)
G = -400Ncos30° (0.4m)- NA (6m)+ 400N sen30°+ 2NB (3m) = 0
NA - NB = 142.26 N ……..(2)
De (1) y (2)
NA = 72.1KN
NB = 71.96KN

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2. El camión montacargas pesa 2250 lb y se usa para levantar una caja de peso
W= 2500 lb. Si se sabe que el camión está en reposo, determine.
a) La aceleración de la caja hacia arriba para la cual las reacciones en las ruedas traseras B son cero.
b) L a reacción correspondiente en cada una de las ruedas delanteras A.
a) Calculamos la aceleración de la caja
Σ푀퐴 =(ΣMK )A
2500lb(3ft) - 2250lb(4ft) = - maG (3ft)
7500lb.ft-9000lb.ft =- 2500 lb aG
32.2lb/s2
aG = 6.44 ft/s2
b) Hallamos la reaccion en A
Σ퐹푌 = maG
2NA- 2500lb- 2250lb = maG
2NA – 4750lb = 500 lb
2NA = 5250lb ; NA = 2625 lb

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3. La masa del disco es de 20 Kg y en el principio gira en el extremo del puntal a una velocidad angular de w= 60 rad/s. Si luego se coloca contra la pared donde el coeficiente de fricción cinética es uk = 0.3, determinar el tiempo requerido para que se detenga el movimiento ¿Cuál es la fuerza en el puntal BC durante ese tiempo?
D.C.L
ΣFX = m(aG)x ; FCB sen30° - NA = 0
0.5 FCB = NA ……(1)
ΣFY = m(aG)Y ; FCBcos30° + Ff – 20(9.81)N=0
Ff = 0.3NA
FCBcos30°+ 0.3 NA = 196.2 N ……(2)

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ΣMB = IB
0.3NA (0.15m)= 12[20kg(0.15m)2 ]
0.045NAm =0.225kgm2
NA = 5kgm ……..(4)
REEMPLAZANDO EN (1) SE TIENE
FCB = 10kgm ……. (3)
REEMPLAZANDO (1) Y (4) EN (2)
(10kgm + 0.3* 5kgm) =196.2N
= 19.3rad/s2 ; NA = 96.6N ; FCB =193N

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4. La rueda de 150kg tiene un radio de giro con respecto a su centro de masa O de Ko = 250 mm.Si gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a una velocidad angular de w= 1200 rev/min en el instante en que se aplican las fuerzas de tensión TA= 2000N y TB= 1000N a la banda de frenado en A y B determine el tiempo requerido para detener la rueda.
D.C.L
El momento de inercia Io = m (KO)2 sobre su centro de mas a es
IO = 150(0.25)2kgm2
IO = 9.375kgm2

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ΣMo = IO
1000N(0.3m)-2000N(0.3m) = 9.375kgm2
= 32 rad /s2
por cinemática tenemos
= 125.66rad/s
0 = 125.66 rad/s + (-32rad/s2)t
t= 3.93 s
5. En la Fig. el gancho de frenaje del avión de 14000lb ejerce la fuerza F y ocasiona
que el avión desacelere a 6g.Las fuerzas horizontales ejercidas por las ruedas de
aterrizaje son insignificantes. Determine Fy las fuerzas normales ejercidas sobre las
ruedas.

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SOLUCIÓN:
DCL

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6 . El buque pesa 4(106) lb y su centro de gravedad está en G .Se utilizan dos remolcadores cuyo peso se ignora para hacerlo virar .Si cada remolcador lo empuja con una fuerza T = 2000 lb determine la aceleración angular de centro de gravedad G y su aceleración angular .Su radio de giro con respecto a su centro de gravedad es KG = 125 pies .Ignore la resistencia del agua.
DCL

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El momento de inercia de la nave sobre su masa será
7. El volante de 50kg tiene un radio de giro con respecto a su centro de masa KO = 250 mm.Gira a una velocidad angular constante de 1200rev/min antes de aplicar el freno .Si el coeficiente de fricción cinética entre la balata B y el borde de la rueda es uk = 0.5 y se aplica una fuerza P= 300N a la manivela del mecanismo de frenado, determine el tiempo requerido para detener la rueda.

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DCL
El momento de inercia del volante alrededor de su centro es
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