Ecuaciones

Ejemplos:
Es aquella igualdad que relaciona
expresiones algebraicas, las cuales 1. Resolver la ecuación:
presentan letras (por lo general x, y) 5(x + 1) = 4x + 2(x - 13)
denominadas incógnitas
Solución:
Ejemplos:
1. 24 – 4(x+3) = 2(10x-6)
5(x + 1) = 4x + 2(x - 13)
x2 x4
2.  1 5x  5  4x  2x - 26
3 6 5x  5  6x - 26
3. x2 + 5x – 24 = 0
5  26  6x - 5x
4. 8x - 5 = 7y - 9
31  x
COMPONENTES x  31

En toda ecuación se considera: CS= {31}

a) Primer miembro. Todo lo escrito a
la izquierda de la igualdad.
2. Resolver la ecuación:
b) Segundo miembro. Todo lo escrito a x2 + 5x – 24 = 0
la derecha de la igualdad. Solución:
c) Variable o incógnita. Símbolo que x2 + 5x – 24 = 0
x +8
representa a un “número x -3
desconocido” (x + 8) (x – 3) = 0
x+8=0
x = -8
x -3=0
x=3
Las raíces o soluciones de una ecuación
son el conjunto de valores que al ser C.S. = {-8; 3}
reemplazados en la igualdad, la
verifican. A este conjunto de valores se
le denomina conjunto solución de la
ecuación: CS

De acuerdo a ciertas características que presentan las ecuaciones
se pueden clasificar en:
1. Según que sus incógnitas estén afectadas o no de radicales

Ecuaciones Racionales: Ecuaciones Irracionales:

Si las variables o incógnitas no Si las variables o incógnitas si
están afectadas por radicales. están afectadas por radicales.
Ejemplo: Ejemplo:

2. Según la cantidad de raíces o soluciones

Ecuaciones Ecuaciones Ecuaciones Ecuaciones
Compatibles: Compatibles Compatibles Incompatibles o
Determinadas: Indeterminadas: absurdas:
Son aquellas Son aquellas Son aquellas
ecuaciones que ecuaciones que ecuaciones que Es aquella
tiene solución. poseen un número poseen un número ecuación que no
limitado de ilimitado de tiene solución.
Ejemplo: soluciones. soluciones. Ejemplo:
Ejemplo: Ejemplo:
c. s.= {12}
c. s.= {-1; 0; 1} c. s.= 
c. s.= R - {-1; 1}

3. Según el tipo de coeficiente

Ecuaciones Numéricas Ecuaciones Literales

Son aquellas ecuaciones cuyos Son aquellas ecuaciones donde al
coeficientes son constantes: menos uno de los coeficientes es
Ejemplo: una variable.
1. x2 + 5x – 24 = 0 Ejemplo:
2. 8x - 5 = 7y - 9 1. 3ax -5 = 2x +3
2. ax2 – bx = ax +bx2

4. Según el grado

- Primer grado: si tiene una solución.
24 – 4(x+3) = 2(10x-6) ; x= 31
- Segundo grado: si tiene dos soluciones.
x2 + 5x – 24 = 0 ; x = -8  x = 3
- Tercer grado: si tiene tres soluciones.
x3 +6x2 +11x + 6= 0; x=-1 ; x=-2  x = -3

Si dos o más ecuaciones respecto Ejemplos:
1. 2x − 3 = 3x + 2 x = −5
a una misma variable presentan
2. x + 3 = −2 x = −5
las mismas raíces o soluciones,
tales ecuaciones se denominan Las dos ecuaciones presentan la
equivalentes. misma raíz o solución, estas son
ecuaciones equivalentes.

Criterios de Equivalencia de Ecuaciones

1. Si a los dos miembros de una 2. Si a los dos miembros de una
ecuación se les suma o se les resta ecuación se les multiplica o se les
una misma cantidad, la ecuación divide una misma cantidad, la
es equivalente a la dada. ecuación es equivalente a la dada.
x + 3 = −2 5x + 10 = 15
x + 3 − 3 = −2 − 3 (5x + 10) : 5 = 15 : 5
x = −5 x+2=3
x + 2 −2 = 3 −2
x=1

Toda ecuación de Primer Grado con una
incógnita, puede reducirse a la forma:
ax+b=0
Dónde: x : incógnita
a y b : coeficientes (a y b  R)
Despejando a incógnita "x" se tendrá:
a. x = -b 

Discusión de la raíz
El valor de "x" es decir, la solución o raíz de la ecuación, depende de
los valores de a y b, veamos:
1) Si: a  0 y b  0
Tendremos: (la ecuación es Compatible determinada)

2) Si: a  0 y b = 0
Tendremos: (la ecuación es Determinada y la raíz es nula)

3) Si: a = 0 y b  0
No hay solución (la ecuación es Incompatible o absurda)
4) Si: a = 0 y b = 0
Tendremos: (la ecuación es Compatible indeterminada)

Es toda ecuación la cual una vez simplificada, el mayor exponente
de la incógnita es 2.

En general:
a, b, c  R   a  0

ECUACIONES INCOMPLETAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE
SEGUNDO GRADO
 Si : b = 0
Son los valores de la incógnita que satisface
la ecuación.
 Si : c = 0  Toda ecuación de segundo grado tiene
dos raíces o soluciones.
MÉTODO DE SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN.
PROBLEMAS RESUELTOS

2) 7x2 – 14 = 0 1) Resuelve : 6x2 + 11 x – 10 = 0
Solución: Solución:
7(x2 – 2) = 0 6x2 + 11 x – 10 = 0
x2 – 2 = 0  x2 = 2 2x +5
x= 3x -2
(2x + 5) (3x – 2) = 0
2x + 5 = 0
x = -5/2
3x – 2 = 0
x = 2/3

C.S. =

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