FISICA TOMO 1.pdf

___l_ltlttll_____f____lt_f__t_,____?____u__t__?__?__?___t__?___________?_q___________qn_??___r__________nt____?__s___t__________n______tttx________0__________t?___?_?_?9__0__t_t___v_n5__c______c_e____>_?__________r____________t?________9_________J_?n_r______L_____t?___?_?__?_tt__n?__t__r??nq___tn_mnn_v____xt_?_r;_______x_vvv__s0____y_v?_v__tt__n__e__&__l_h_t______q?t__xu___vt__1___t_?____t_____t_t_c__________?_t__?n_t__cv___vt0t____n____/_v___?tv9________t_____40_nvt____>___nv___t
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CAPITUL0
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--- __ _m______'X ?___m__e0_____n _______,__?_,__0a _ _
,_ física como ciencia Fundamen_f permi_ d_cubrr l_ _ y _Mipios med_' te _ c_ _ _ __,
may_stompr___n det com_narme_ n_de la mat_na. Es_ 1eres y principio_ encuent_n ap1icaciones: ' _
Ftg, (_) En la medKi_ con la elabonci6n _ ___ de dqg' _i. fig. _) En _ _el____'_ '_'
Fig, (c,) E, ,n la expl_än del __ __'. , - , ,_ ,

____________?___?__?y__?t_?_______n_____?_y______x____________tt_v_Jt NlydaogtusN_t __ td _ __ g_ er _de la t __c _a_ t y F p_ _l e Jcasedcedom_
___n, _
Esc LA p_TAGo_ R_cA EL hlu_
,x
__ _,_. _c_,_trc_g_. __m,,emb_de____n_.coqueno,ec+o_ en _,co_detnt.
___ ! _ " _n
_,; , _ de SUS _ba_S Sefta_ ahO_ Cl_if_tadOS COmo de ln_e_ief_. e lCe 4Ue _ mI_mO hal_ 1U___SO la
^_ cons_ucci6n de un dique pan evi_ la inundaci6n de mileto. En Ia cer_a i_la de Sm_. el di_dor
,_ _X ,
____ ___ olicnt_. empado en me_orar la c_i_. c0n_to a un ingeniero pan _nF un Cúnet a __ de una
__, colina y 1imen como acueduc_o. C_n_do desde _bos excremo_, el túnel mo 900 _das de
x_' long_ud. Excavacione_ recient_ muestnn que Iw dos _onciones se__ lall_m _ coincidir en
M, ^ _^ el cen_ro por sólo casi dos pies. E5 eviden_ que en el si_o Vl a.n.e. ya exi_a un d_amf_ wgni__tivo
_ ,__,_ en eometr__a como n reaJ_-_ tan _mbr_ h_an-
______:_m
__qv____, OtroiÓnlcoquecontr_b_engnnpartean_ttO_Unt0deV_S_modernO Ue l___ris. f Or
_M___4v_? de 530 a.n.e.. c_ando la conquista pena de _oni amena2ó fa ciudad de Samos. Pi_goras se mudó
yh__ ?_5 a oTra pr_pen c_udad griega. come_ci_l, Crotona. en el sur de lta1ia. Altí tuvo battante intluen__ y
_,_^;_ _'_ esQb. Iec_ó un gru_o de pens_dores que dieron una contribución imporunte _ estudi_._ concem__nem
___ de l__ Na_unleu. El y su exuela creíar_ q_e 1a clave pan el entend;miento __l Univers_ c___icaba en los
_x ____v__, númy_s y tus relacione_ en_e si. Por ejemplo: Pi_o_ d_ía que la armonia que advenimo5 cuando
x X___ n d_s tonos mu_;calas suenan simuf_neamante depende de l_ langitud_ de _ cuerd_ que l_s producen
___m9_ (mantenien__ i_uu-_tcs la tensin y el dimetro). Una cuerda del duble _e lo___ud 9U_ 1a _tn Pfo_uce
M-_?_______ un tono una __ n m_ baja. El inteNalo tlamado quin_ _e prc_uce por dos cuerd_ c__ longi_ues
5__ __x e___ _ la reIaci_n 6:4. Esu con_ibUci_n a fa ac_stiu _eCe hatNer 5_do el rewl_dO de expenment0s.
^ ', _, __ ob_eNacjones _Ian_d_ y rgpet_d_ a vDtun_d_
b__ _ Ademas_ e s_ a lo lta ac u -m _t de lo_ n__meros de l_ m m_E__
_;_'_'_
. _'___v_ i_strumRnto pan entender eI mundo F__ico, vino_ en los trabaj_s de Io5 pi_óico_ Ios prinxros
_,_,_, .,_ rudimen_c5 _el en Foque ex_rimen__.
_ ___ Por o_ parte. adelan_on la cienci_ de la geometría dedu_Ma, _eg_ando Rn s_uenxa I_n
___;,'_ muchos de _s _eyem_ que un siglo d_p_ F_ incor_nd_ en la __Iirí_ de E_id_. _nclu_ndo
__,_~___, el famoso Te_rema tTamado despu_s como de Pit_gorat. ta regla p__a _r un _gufo recto _ medio
~__ ? de una cL!eFda o cordel se d_cubrió probablemente en Egipto. pero es t_' il que P__ goras o aIguno de
_, _ los miembros posteriores de su escuela ham dsdo la primen dem_st_ci6n deductm_ geMnf _e que
__ - el cuad_do de la hi_tenusa de un ti__to _' ngulo es igual a ta 5uma de t_ c__dndos de los otros
^_ ?__,
_ ___ _ seF;_ dem_iado suponer que lo_ griegos del sigl0 V1 a.n.e. _nNieran libr_ de incl_naciones_
,,,_ mit__. aunq_ los natunI_s_ _ón_cos seNaIa_m el c_mi_o hacia una comprens_n mateFJaJist_a de la
,.,___,V
w____m' Pi_goras. adems de haber sido un _li_co y un ma_emático cien_r_co. e_ una __ religi_
____?_ , _ . .
_, _ U fee_ l_ 0 V__CU _ as tOn ma em Ic__ ma em lC_ no eran tO _te _afa
_____ r r_-narta_luc__o_nalr m f n_t_ f,eFanum N nl srn N
__ '
,__ tambr_ contemplam Io misterioso y lo e_mo, to cual deF_nia su _sici6n me__si_
?_?0_
0,__, fUE_:__' f__- AlJTO_hl4geman_ EditoriallJTEHA.Pág.: I6

___ _ a _ _ r_ s |__a
_t_oducci__ _ - - , , ; -'__-;.,_ _ __ 'h
_ _ _: _ _
OBlm__OS
_ _, 1oti__ar el estudio de la Física como cjencia fun___cn(a! dentro de l___ cienci_ ne_ turales.
_ Conocer la rclaci6n que exisl_ cntrc la Físi_a y otras ciencx;as.
_ Eslablecer la í_mportancia de 1a física para el fortalecimient_ de una concepción ciantíFlca
delmundo.
_ Conocer la relación de la Físîca _on l__ te_c'nologia y su im__ancia en la produccîón y pro_eso
soL'iel.
_ _educir y r_jar at_unos conceptos bás' icos __2 iniciar el cstudio dc la Física,
_ Entender cómo se Ileva a c___ la !___e5Liga_i_n cientíF_ca a_ticzndo el método cientif_co.
TRODUCClON
La_- ciencias _stu_1ií_n las Ieycs dcl d_sarrulln d_!_ m__ndo m__t__ri_l. _c2r_ cada _na _e ellas abarca
___l_rminado cam__ de l_ rcalidad. Et prin_er cam_o lo c'on__titu_'e la _.__t_1re___z_, (ormada por los
_.__"_as inanimadu_- y lu.s ore_nismos vivos cu_.'as Ieyes )' fenun_cnos __n e_-tudiedu._ p_r las ciencias
c__rc_Iei_ c_m_ la Físi_a__ la Químiia. Ia _iolo._ic_, la Gcu1ueí_ v+ l_ Astronomía, ctc. _l_ ciencias so___
_enmentele__ y están relacionad___ c_n fa t___r__Ico_i_ y l__ pr_du_ción maten_l. contnbuy___do tanl_
?. rogreso como al desdrrollo del hom_re. _,f ____-un_o camµo d_ l_- rca1id_d lo c_nstitu__e__ l_s _bjeto?
_sremas de la sucic_dad humana, formado por _as per.sonas con tudos tos produc_tos dR su acti_/id__ _
_ral_ Ias leyes y fenórnenos quc en elt_ _s__ presentan s_n _st_di_dos p_r las cienciM sociales. quc
caracteri2a__ pur no s_ er experimental__s _' son hi,_lrican_c_nte muy importantes p3ra entc_nder la
ciedad en la _uc nos desenv_lvemos.
_r último_ las ciencias d_I pensamientu.. trat__ n de c_xplicar cómo la inteli4encia le permite al hombre
_ender e intemretar la rcalidad y a la vez plantcer alternativas para transrormar!a ; se caracten2an por
r teóncas y no e_'penmentales. Estos tres campos de la rea_idad están estrechamenle ligado5 enlre
__ en su conjunlo con__litu__e _a ciencia.
Denlro de las ciencias naturales conlemporáneas _se h__ lla la Física. Si bien e__ cierto que las ciencias
turales están muy relacionadas, también es cie_o que cada' ciencia tiene objetivos y características
eTentes; por ello es necesano dcr_nir el objeli_'_ de la física_ es decir, delimitar el círculo de problemas
e actualment_ estudia y aclarar en qué se distingue de las otras ciencias natur_es.

_____ ____________0__s__________?____ _______ _____________ys__________>____ _____g____________0_________ _ ____ _ p____o____ _________0________ __ __Jv_ ______ _____/_ ___ _____J_________ )______h_r_____0___o__0______________o_0______o___ ______ ________________)l _ __ ____ L___ )_ _
l_u m_rc ras EJ iture_- f ís i ca
_ucstro_ c'c_r_ocim_=_ntos c1__ I_ _)at_'_-_fe___ t1_n L_umcnt__ c_o prngreii__alT1ente 1o que _aralelan_i___te
ha dcsarrnlta_o __ier_as t'_cni_as cf__ _l'ucJu?ción a.sí c_Jm_ __u cunti!_uu pe_ fc;-cc_iun_r_);_cntc7 en tJicn d__l
JesarruIIo d_'_ Ja 5,o_ie___ __ a1li tc_r_en _c_s I_s _J-ct_íc_ulo._ d__ trac_spr>rt__, tc_i_ r_- d_r_'s' _u_Tnarino__, Ic__ dif__renf___-
arte(__ ctus eIc_trc7c-ton_éi_ticos., tn. .s tet__r_no_ celuIeres, _tc_. todoi estus _'an ____r_er_ndu _ _(a __'c2 nu___'_._
nec_esid_de___ _ermiten de___arrofIL_r nuevas t_cnicas _' _ _'u ve7- a___airir n__e__o_ con0ci__i!_nto__ ___ te
naturalczn, __!c> nna!_nc_ntc_ J_ern_ic__ __ c__oI___'i_n dc nuc__-tro per__-an____nto y criterio cicntír_cu.
_'_____, __''_.,_,_,-v. ___ ' a ' _ ''. :._o' __ _o',. _ '_oD __ __ _ o_._ __ '
D _ ' :, - _ _ _ _ ' i _ o i ' ' ' , ' ' ' ' -_,,_ ' _ _ _ - ' ; '_ t / . c;,,, , .._,, ._
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'0'____'Y'_':,,,,b.,,_._t''_'' ' '__.___,n_..,;0_'_'___^_'_'_ x '''_0^0'd ,tj,,,__0_,,, a_.P...0._,'_€,''l_,..-^_.^_' _._t' _'^'''' .;.._ ____;.'_V___' _.-''___.i_'_._'_'ii,__._,, ,, __á___,o,,,.,s.i''':'''_
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Et _re___/_7 conm _gcnte tran-_oFmodor. er_ Ios nf_res de Jo civr IrzocJn. _rmr_i0 que et hombre n_quIerd un con_rm_ento _recJen_M_o
__ _i!=_;__i-__ __m__r€'__i__ en form__ incipic_ntc (c_nu__irn. iento pre_'ien1iF1cu). i1__sdc e1 m___>ntc_7 _r_ r_uc
__1 t)o1'_tJ?_ cnàc,7('j___j _ sist__ m__ti_ar __(ts cn__r_ci_'lj_ntr_._ _it_'_n___l__.i. I:)jci___r;___'_T)t__ cstc_ i_ j_- l__r;)u(iz;)cjíjn
___tJ___ c'nrJ___!_'___'_a _!__ =-!_i)!___? _t_t__nic1os a tf-__'__ d__ t__- seiti_1c);i (_(_Tlsc_.c'i_;_e_'). l_an____o ''___Jno__in'lit_ntç
p_n)-Jfiricu'. _'_._!c_r_t__f _six,c.'rJ _ct t_)(1_i(1_)PI)fj_luu (s__jc____cJ __...cic__Ji_fej _.rdc =;3 _-_Jc_d h?._>dja (s_cj__(___ f__c1_' 1..
__r_r ___ta et__fJ;_ {1__! _'_ >___j_-ir;_ __i_ntc> )J ___ fa s_cir_rlad ge_-Inin__tc_n ale_lJnL_t __ienci!__ _s, t_les cun___:
laMa_emtîca
I_3-i lJr;'l_)__2_l_ r c_F_J_ c__-__"_as de m_tem_ ti_a a___- 1)i____J _' _f-___e__i_c___- _at_r_ dc1 ter_er rniIenicJ c_.n,__.7 en
_Jl}i-lunic__ )' r-;__..i_tii. ___ta ___'_cr) )__iti___ c.st__f_ d(__ltin_3__l _rjr f_ 3ritn_é_tic_' c_un {'i_rto intc7-__ _n Jnt__lic1__i
_,' c__-'l,!_o__ .__e_r_rJ_tr_(_c__ r__tcJ__inr_i)ctc__' __-(_n 1a ___51-ic___((_rcl y t_- _1_na____i__.
la Astranomía
ie, in iri_) __un f_ __c__ c'!! i Ju_ión d __J rnr>vimi_nto de 1_s e.s_ros _,_ Ja {'_n__tru_'__in de rn_- p_s __ tet__-cs _
c__lenclaricJ__. la astrnr___mi_ __oju c'i_7ncj ! _'Js _!-__tJlc_____ rJL__ ir___1ictü_ r__n __ t___ __rinJ__rc__' ci_'i1 iiar_ iuncs (_,€irJt_ ,
._77eso__utc_n_!_ i _ c___er_'c_ Je _c_ r____'?ii r_I_._d _c __tc_t7t_c_r cc)n _recisi_n J __s i_Roc'{_ _' _ccuadL_s m_r_ __-e_n___-ai,
_ usc__her_ ft_c_lj_ef 7a_s _rfc__Jracj_l)_s, esj __-__o af_- urjc,r_t_f__c e_n t,___ _,_ja'e___.
' -._ 'V_-;_ , i __- _.___,, _ ' it_y__''
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__._ v'_:. ; _ ' '-__ '__ ;__,>__ ' v' _ g_> ;..' '' _; o___;_,,; '_i_i - _. .___.,_'_';...,, __ ._ '', " _;'_'. .,_ x, _, _ __,i, ' 1 + '' ,,_. __'.,_ x, . ___ _' _,,,,_ _.._>_: ;... ._= _0?__; ___da_
q%__v__-__.'_:''___'j_'__'n__'_ :_.__0_.'_,.a_^_.____.'' _'P_D''_0_^__ _4 _' '>'v ?g '. _ ___'' _ __ __'_ ''__ " _'_'_i__.__"' d'g__0_o
e-'''_,____, '--__ i'_!'_,;'0_o; t,i'8_.,,._,d ''__''_n_^=__0_,i0 ^>', ,.,;_ '^_'- , _ __ _ _'.'__ .. __:,___'_,.._' c._ _ ___C;_-Y,____0D
t._.s_,-___;_;'__l_|__8i_. ,.,_i_i._.__i^!_'._i___,.__ } '___te-?_ "__ > _ _7 ;i h -i_i O_.. _'_?' ' ,_.____'o__..-'''__"_'_0_
'_____g_-'_ -_____ ___^ _o_'0_______'_ _'__'V - "_^ '_ _ , ? __ "O',. _ '___'%_'
'__'__'=__v_.- __i.,.,,i___,iji_ -____.o_.__O_ - n' _ P_ ,n_. , _'_ -4'_''? _ __' ' _'___-
' ' ' '_',.,'',__'_'__'___'___o__i___^,__e____,_,_,___0,,,_,0,__.___'' _.__ ';__ - - ., __ ;n' ' ^n_''A"' . =,._,__ _/__:. _ ' ; "_,_.:._,n'::"._':__
!_. ;_1'''7T''T'j""r'_';'T' ''__l _ _ __,vw '-'_ _v' __>_=_ ' ''____v'v'-''_'n'''_'_'__'_;____:,;,__'___'__ ___'_:.__.;'?//_
;' !, 1_ 1s __ 1; i_ _J 2 ' '' ' ' '-' .:''' :_'-___..'__..,_,.', , ''^''''
_sre _edd_o de rocd nos mue__ro Io Ob/ef__cJsados_ordstrJ1omo_i_nuner__od_asi.rJ0 deI
numerocJn se___Jd0 _or ios bc1br!_nJ_os. sJgIo IX d rJ. e
_,6

____ m __0______o ____________ _ __ _ ___ __ o0 ____o___0__ _ _ __g ___p _______ 0_D____o_____________0cost __
_PITUlO l . 1ntfod4ccjón _ la F;_sjc,_
_a_ecnica
_ctuaImen(e forma parte de la Fisic__. Na_e con la construcción de grandes estru_tur_s v_ can_lc_-
p_- a el re._adío (F,gi_to_ Mesopotamia). Asimismo _'e hi2o necesaria para la n__e_ea__iú_ n v_ l__ _c7ue_'r_.
_' probtema del movirniento v, a preoc>__p__ t_a a lo_' anliguos f_16sof_s de Grecia. _r ejemplo, e_ n_'_.__(o
__e_o nristtele.s pensaba que __na pie/dra cae por_ue su posiciún natural está cn _l sueIo:, __l S_l_ Ica
L_'na t. - las estrel7as descri_e,_ circunferencias aIre_edor d_ la Tierra, p_rque Ios cuemos c_lcstc_- s_e
m_e_'en p_r n_turale_e así. Arquímedes realiz_ es_ tudios dc hidro_stática y _escu_rió el _rincipio _e
_.o_acin de los cue os, ademá__ fue inventoF de numcrosos jn enios mecnj
' _,.
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a__, '_,__'__,_,.,____0,_._____4'__. _':_';:'_. ,__...__ Q,
''_'__i'^"_v'''''''---' Y^"--' __' '''''^O_
_s odeJontos en mecnico se ven re_e/odos _r eI _orn_ Ilo de _quimedes
(GrecioJ y el sisfemo de _Iea_ (__pto) en /os cuIturos ontiguo_
,a Biología
A__n_ue el trmino 8iol__gíu a_ar_r'iu a _nncipius de_l siglo X_X_ el estudic_ d_ lu._. se_1'____ __i_Jus e_' mu_'
L_terior. Cor__ienza con la _eicripción de _lanl__s y animale_s, y rudimentos dc _sioloe-;a humen_ _ut_ __e_
e__ont_ a I__ anlig_la (Jrecia. Sur_4i_ dc_ man_s de naturalistas como Hipócr_tes, _i__t_teles. __!eno __
__ofras to.
aGeogratía
ie inici con la descripción de la forma _e la supern_cie de Ia _erra. Fue un_- import,_nte fugnte de
_formación para los jeres militares y los administrador_s púb_icas d_l lm_erio gre__oron_ano.
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" _ i'_c__ .;___''.__'___ _._a &wd__ di _ T_na.
EI gr_co muestro el mttodo de _otó_terR_ (4ecioJ poro
_kuldr _ d_rmnsines de la Tjgrr0.
17

_____ _ _0an__/_ r_ ___a_____ ___________0____ ___l________tr_____t___________cl_t_ _t__v___________________t___ _ _ __ _ c_ _ )l _______ __ _r _ _
L umbrera_ Editor_ Fisica
__a_imlt_
Desde los pnmeros tiempos, )' más aun luego de descubrir el (ucgo, los seres humanos observaron
la traMformacin de tds iustancias: la carne cocinándose_ _a madera queInándose, la oblención de tos
metates a p_ir de ta fundición de minerales, la preparaci_n de tintes para tos distintos li_s de Ieji_os,
Ios alfareros aprendieron a preparar barnices y m_s Earde a fabricar vidrio. Siguiendo Ia _radicin
anstotI ica_ lo5 a_esanos pensaban que los metales de la iie-rra tendían a ser cada ve2 ms perfectos __
a con_'e_irse _radualmente en oro. esta id__a dominaba la n1ente de los rllósofos )_ l_ lrabajadores del
metal, _. ' se escribi un gr_n número de tratados sobre el arle de la lransmutaci6n _ue empezaba a
conocerse como alquimia (precursora de la química actua_ l). Aun_ue nadie consigui6 h_cer oru, __n 1_
húsquede _e la _e_ec'_ón de los met_!es se descubneron muchos procesos químicos.
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ß dibujo mue_tro _l grabo_ de un murol __-. en
donde si __t fundiendo me_ol_.
_.FíSICA '- __ , _^ - ' . ' ,_
L__ Físi_a es una_ dc las _iencias ms antiguas. Durante el largo proceso de su desarrullo su concepto
;_' o_jetivo _-e ha ido modincan_o en conc,ord_ncia can la _reciente inrormación que se o_tcní_ de la
n_tur__ 1eza, las relaciunes que se de.scubría entre uno y otro fenómeno y tas lécnicas de produL._in
alcan7_adas.
Los pr'am_ros físicDs fueron los f_lúsofos grie_os que vivieron centenares de aos anlcs de nue.str__
era. _t0s F_lsofos fueron los pri1_-_cros _uc inten_aron ex_licar los fenómeno_s de i__ na turale2a. nns tóte)es
(ue el que inlrodujo la pala_ra FísiL'a, con eI vocablo griega P_y._is, que si_ninca n_turale_a_ v. por ello la
Física se ent_ndía como todo el conjunto de info_aciones sobre Ia r'_aturaIeza; razíJn _or l_ _?ual tan _bién
se le llamaba riloso/ío de Ia nalur_le2a.
En esta época la (uente de informaci6n era bsicamente los scntidos d_l humbre, p_r ejemplo, la
visión, permitía obtener datos acerca del movimiento y de la Juz; la audición, ac_rca dcl sonido; y _l
tacto, sobre el calor. Así, ya a nnales del siglo V a.n.e.7 Pitágoras y su e.scuela poseían al_L1nas. nociones
sobre acústic_ (sonidoJ. Tolomeo resume en su _p(ico los fenómenos l__minosos _onocvidos de los
griegos v_ AFquímedes, en base a 1a obseNación, descubre varias pro_ie_ades de lus líquidos,
18

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n__ __
_PlTL!lO l Intr_ducc_in a la física
._ pa_tir del siglo XVl, se retom con ma?._ar au.__ )7 prafunc1;'___ et eslL_dio det movimiento, del
_,;-!_o. de ta luz y del calor, c_ tus cua3c_s _____tcrio_mente se anc__en t_s fen_nlen__s elctricos __ ma._nEic'oi
c_ __ bi,cr_ eran conocidos desd___ l4_ anti_üeda_, na hahíare siclcJ est_Jdi_clos_ cc_r_ _r_fundidad, _'a clu__ no
tc_ie la suF1ciente inrurn_a_iún c'urT_u tan__oc_o 1as her_-amient__s ?..J J_s t_-nicas nec__sari_- s, qu__ a
nir de esta _poca rccién empiezan a _r_d Lacirse. Mr ello, hast_' e1 _'ig1o ,_7,i se c0n_prendía 4_ le_ _isic_c
mo iaciencia_uc___-tuclia lo_- (enóI_enos fisicos. ya 4uc_ cn los (cn_n_cnos c_uc estu_i_b_, l_ __structur_
erna de la_s sus.taniias r_o era alter__ c__, a diferencia de lu__ fen1_e__os _uímic__s, c_ue se c_r__ c_leri_4_ 1_,
ecisamente, por _resentar __na alteración a este T_ivel. T__a la estrucl__re (Rurica at_'_nz_da _or la
,j__ nes(a ese ent_nces se c_orioce atiora como física clásica.
_.Q_'_OYPA _Af_5ItAt
la _'isica estudia lus fenn_enos mecnicos, acústicos, lérmicos, electrom__ __r_éticos, Iu___i1_o__us_ etc;.
_7esumen .a todos a_uellos _ue _iun con_ijderados fen_menoi fí_i,c__s, to_' cuales_ se llevan a c_bu en la
tw__, descubncndo las leyes _ue los _gen, a F_n dc utili2arl__ s en apiiceciones prác_ticas para 4uc
tas, luego satisfaean las necesidades del hombre y la sociedad. __es bien, __- iendu arn_tiu el _s-_ectro de
__ (enómenos físicos_ el c_ntenido lo podemos fraccionar y resum_r en tas si__uientes pa__e__+
ft__ita
_udi_ el muvimicnto mecnicu _e una partícula, de tos cuemos rígidas v_ de los n__i_o__ (s_b_-e
do }os _3quido_)_ incl__v_ c cI cstudio de las ondas mec_^_nic__ s, c_omo el sonido, rtue es una parte _e ia
'ú4ticayel análisis de fas condicione__ de equilihrin, etc.
Y__'__?__.._- ., .,:_..,_'_____-_. _'_'- '''_^_'d'___'__'__ii_i
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_1bj-_es___jtiacamcR' ncio__i__s l_N_m (I64I - J7l7J
f_lYIi_ _i_ _/r Iel (l5_ - I 64Z). A_ _t_ hambres de cJenia hrc(eron
__ en oU0s c_ _ e_- _b Io _Uc- d. _ uw fa_K' su __0 te_x_io.
eI _i_o _ re___m r eI __ _ __im.
!rmodtnám_ta
Estudia eI calor y las leyes que eobiernan los procesos de trans Formación de la encrgia de una
rmaaotfa.

__p _ fe_ts__e_sloys_s_dlfes /yoo_t__oc_r0_NemE__slco_om_________tt9___t __v_?t____ _c? ___ 0__?? _? _ __ ___J__ t__t_____o _? _c__ ___0____?__? _t?__?_____ n( lopl__b_p(_ nJ)udy _ldem)__(__nn_n__cd
lu_brera_ Ed itores Física
_ísitaMolec__ar
Estudia Ja__ propiedades de los cuerpos cons_ idcrando que esEán rormadus por un.a n,?,d;_ canlidad dc
moleculas e_n muvimiento e interacción.
_e_ n lta __ta_isttca
_pl icc_ _ Dc radice teó_camente l__n_ ___ opie_ades macr___c_picas y el comportamien to de un sistema
d_ mUCh_S C0m_OnenteS COm_ eS et Casr_ _e clta___'_3er sustancia_ cuando se le anati2_ a nivel m_leculaf,
_ra cl,t.n, vt_v _,__u; _n las car_cterjst.i,_i_s ya conoci_as de la form_ como int__ractúan sus componentes
mt__jUSCÓ_IC_S.
Electromag_eti_rno y ptlca
Estud__ y _escribe l___ fen6men_s ____ctricus __ magnticos, demos_trando que __nn fen_meno__ dc
una m;sma n_____r_;eZa a.sí Como tam__én _St___ia el comportamient_ de i__s _!_d_._ eIcCtrom_- gntica_.
u_ad__s actualn_n,_te en _!_ sinnúmero de apli_:aciones _'omo las teIeco__!__niiac_inncs. n__enlras qu_ I_
óptica _,st___i2 la _ro_aeación, el comp_rlamie__to y los fcn6menos 4ue _x__rirrienta la !___
_I mdJ_o escocs J__;eFt_ _/ t_rancs Sodl Cornot
_lo_k _'/7l8- !7g9) ron ___ _,cn___,__:__ ,______, (J 756 - j8J_J C__ S_
_ __ _ __u _cc,a,??,__ Jlbfç ReI7_x_ones so_re
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__J_Ja;_? to 4_K ,__ e,_ e_ _ _ _ n _ '' ___ e__ , ^?C es co__oble o! l_û_oJ0
mJcro_ ._ocromu__ _?? _ _. o _ ,__^ _ _ _ ' _ ?__,_'' de Ncwl__1 ___ Ia
, _ ,_ _0 .__;__,ß_c? _e ?__''_L ,0o_,,nc,_,, , Mec__rco
_'i__4 ,_, , ___,??_q0,___,__'__^___^_ '_n?___,__m____
_ __ ,_ ^ _ _ ____?___J?__?_n? __,_,-_-n___
' __ , í _ _ ___ __5__,,_ ' _ _,_ ''_'
Campot de ett4dio de Ia fíelta attua_
A tUda l_ teoría fisica estabIecida y contras ta__' con l_ pF__vtjca; h_sta _nt_s _e 1 goo e_s dpnom;
hO?' en _ia FísiCa Cl_SiCa. A nJnal_,s de,l siglo XIX, la Físjca _roc(_fabe reduc_F _,a__ __au_as __
fenómenos a _a__ le_,,es de la mecánic3 de K'e_ton; est_ __1'_. ica obt___o _n_ mavor,cept,_c_,ó
2O

________________p_0___0_0_______________00___0____0___0__0____o______0___________0___________________________________o_p____________________n_________________t____4_____________o__r___________n____rn_0__________0______________r___vx_________y___0r_m_________r___t__________________r________________o?_____>_r______________________x________t__0__M________________________________________________________________0_____o______________0_____________________________________0_______________________________________________________0o________m_0__0_______________________________________________0__,__________________0______________________________o____________0_____________h________________________v__9______________p_________n__________________________________r___________________________________0__0___________________________0_____0_______t______________l_____t______t______________________________t_______________
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_ 2_
CAPíTULO l lntrodu_cjón _ f4 fjsjca
con la integraciún de ta mecánica newtoniana y la term_inámica en la mecnica es_adística. y de la
electricidad y la óplica a través de l_s ondas electromagnéticas. _recía que solo quedaban por resoIver
unos _cos problemas, como la somrendente constancia de 'la velocidad de la lu2_ la _plicacin de los
espectros de emisin y absorción de las radiaciones trmicas en _os s6lidos y gases. Sin embargo, estos
fenmenos contenían las semillas de una gran revolución cien_nca_ cuyo estallido se vio acelerado por
una sene de a_mbrosos descubrimien_os realizados en la última decada del siglo XlX: en I 895, _lhelm
Conrad Roenteen descubri6 los rayos X; ese mismo ano. _0seph _ohn Thomson descubrió el electr6n;
en t896, Antoine Henri 8ecquerel descubri6 la radiacti_dad: entre l887y l899, Hein_ch He_z, Wilhelm
Hallwachs y _hillip lenard descubneron diversos ren6menos relacionados con el efecto fotoelectrico.
l_os datos ex_nment_es de la Física. unidos a los inquietanies resultados del _enmento de Michelson-
Morley sobre la velocidad de la tu2, y el descubrimien_o _ _os _yos ca__icos_ (chorros de eleclr_nes_
des__aban a todas las teorías dis_onibles, ya que na podian ser _licadas dentro del m_co de la
Fisicacl_sica.
Dos importantes avances producidos durante e1 pì_mer tercio d_l sig1o XX -la leoria cun_ca y la
teoría de Ia relativi_ad - explicaron estos hallaz_os, llevaron a nuev0s descubnmien_os y cambiaron el
modo de comprender la Fisica, asi como tambin de la realidad; obligaron a replantear muchas de las
concepciones dando Iugar al surgimiento de nuevas r_, agrupad_ usualmente bajo el nombre
genrico de Fís1c_ moderna. Estas ramas son:
Mec4nic8Cu_n_c_
Estudia el cDmportamiento de sistemas exlremadamente pequeos (molécuIas. lomos,
núcleos, etc.) y establece las propiedades que caract_enzan eI compo_amiento del micromundo.
•_i.i__.,_,_____p_9''i'____,g___'_i''0'_'i_,__i,,og_,_,_.'_,_____i__vS'_;__.'?'M'____;.v,___'__;;;_;_____; g_____"i'i_'__.'__.e_.;.___?,_ _,_-_=-.___'' ! _;?,__._., __._o_'____._0___', ,_____'a___'__i,'_q_o'_,i_.ii_,,._,__..._,I., ' _i. _ - i __ ,i..i.. _ _. ,_'''_'.:_._._'''''::':'___:'t_._'___S__v,___;_._).g,__;_..___.___ '': O'_____.__o,
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iii'___,_____.:__:.:;,_'___,:;'._'_;;-.',.:;;;'.;:._'_,,_,,_,_..._i-.,..,,,______i_.i_ii,__i_,_'_i,__,__e_ .. .,.,i.. _;- v.,x ' , _,,0,__i_ __,___ __.,,__, _d, i_ ___i 'P'_____.d___,_|''___ _' __.______'__,. ______, ?_,i_'___._? _ ___.9 _iii.. i_e __,,___i _ _' __. _ _',,9 i_'_i'
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m;,xh,_;_e, (_8g7. J9__)Fs;,o EI oI_mán Wfrn_r Hcin_enberg
tgrico ays tfioco. dg_affoll Jo (l_I ' lP7_) tl_Ó _U m__ifO
mg,0nJco ,yn_;co dndol_ ,n cuónt1co en bo_f o motric_s y
t_o__Rn_o ___io. _ l_Minant_.
FísicaA_ómica
F__tudia la estructura y l_' -_ propieda_es dcl átomo, _as caractensticas de tos electronesy otras pa_icul_
element_es _e que se compor_e el átomo. Asimism0 estabtete la disposición de los estados de energia
dc l át_mo_ ___ los procesos de transición etectrónica implicados en l_ r_diacin de la lu2 y de los rayos X.

___ _____ _
' Lumbreras Editores Física
Tradic iona tmente , 1a _ísica suele presen'_arse según las ramas de la Física clásicay moderna. Adem_
para un meior entendimiento y explicación esa misma subdivisi6n se esta_lece en la mayoa de los
t_tos de ensea. nza. __ o se trata de ramas independientes, por_ue todas e_las están relacionadas enlre
sí_ y _nas ._e t_m_J_ pre_stados_ de las otras conocirT_ientos, herramicntas y _asta obielos de estudio. Así
con 1as apticaciones de todas sus r_mas, la Ffsica nos permi_e adquirir una _.omprensión detaI1ada __ a
la ve2 unitaria d2 fa nal_ra1e2a, lo_c_ando adquinr como ciencia una estructura lgica y cong_ente.
Hay grup__ de Fenúmenus c__pieto-_ que n_ perlenecen toEalmente a ninguna de las ramas
tradicionaIes, aunque se sj_en de eilas_ por ejempIo, el comportamiento de los nuidos da luga_ r a un,
r_úmero sunaci2nte de fe__menos _ra _der engir__e en rama independiente de 1a _ísica:, sin embareo,
_r _c__ dependen_a directa de l2 mccánj_a_ se ir_comora corno sllbdinsión de ésta, aun cuando un
estudi_ p__?__ndo ue lus líquidos y de !o_ gases re_uiere la utili__ación de la Físic_ molecul__r_ la
Termodin_' mi_a y de ja acústica. ,
los f__- icos har_ _n__un. t_ad_ un enorme número _e fen6men_s qlle se puede_n sinteti2ar en leyes que
ri_en e1 c'um_ort__ie_tu de la nalwaleza- Con el desarroIlo de l_s dive_'sas ramas_ la Fisica ha adquindo
una est7-__c1ura _L__ jacilita _l estudio sistemático. No debe creer_Ne_ sin embargo, que _sta ___ '+uct_ITa se
manli_ne in__!-tc_r__a: _, _a lu2 de l_s nue_'os hechos expenmentales y _e los avances teóricos iurgen
nuevas r__.m_.s, _e f___r_den u__as c0n otras y cambian la relación entre et1as.
_ctua!n)en_,e ;--_ ___isi,ca _-__ se dedjca a esl__djar solamente tos fen_ !n_e 1)u_' _si__os clásicamente de_nidos_
s'_n_ cum_-_ u___a_M__s d_ __er en 1as dife2entes ramas c_n que se din;__e_ tambin estudia las propied_1des _. '
le?. -es fun_ari_enta___s _e5 _____;miento d__ ta_ panículas elcmentale.s9 de 1us átomos __' las molécula_, en ta
materi_- ire__ni._1_,ct_9 u las rn_nifestc__iones de las mencionadas leyes en 1os org0ismos nvos.
_M_oRi_Nc_A __ __ f' t_1'c' A y' su RE_ciN. _oN _i__s c__Nc__s
Los conocimie__t_s a_quiridos en el c__ m_o dc la Física son _an amplios ___e lu_ _risicos tIe_gan a
r-n(rar en contacto con t_-mas tan disímiles como: los organi5mos __j_'os _ _artes de ell_s ycon la estructura
del un!_JeIs_. Er_ este si_,!l_ v. a se av!2ora una cienci_ Fisica en c_J__tac_to con probl_mas pro_enienles de
;'c_ Q__;_n_ i____ !_ _ioto_ía, la* nstronomía, las ciencias de la salud, etc_ __or elio, la impo_ancia __ ta Fisica
___ ___' rT_i,_rende r_on resp_L_to a su relación con otras cienc'jas _- su ap_rte a la actjv-idad pr_"_ctica de:l
h_mbre. _J_J clesarrollo continuo le pro_orciona su base conL-eptual )_ su estructura teóriL_a ?,J
ex_eriment_i_ la _'í__ica e__t_ estrechamente rel_cionada c_n las dems ciencia__ __aturale__, y. en cierto
mo_o las engl_ha _ todas. Veamos:
CON _A__lMlt_
i_â Quírnica se ocupa denlro de muchos temes, de Ia !!nter__cinn de IcJ.s c'__nm0_N para former
maléculas; cstá mu_. ' relacionada con la Física )_ am_as se har_ desaT !-of 1c_do ?_ ' __r __sµ___cJ ;'_u mu tuan _ente:
por ejempl_.. son de interés comun para estas d_s cien.ci_s le' estrur._tur_ __tÓmi__ y molecul__ r; la
termodinámi_-a )J las propiedade.s de Ios ._ases_ liquj_0s )" sli_os. Act__GIrnente 1_ j_sicoq__im_c_a aharca
Eoda-s estas re1__'iones e_-tudiando las proµiedades _uin_ii_s de fr_s _' Eorr_os _' moIé___Jfas en funcin de
su estructura;. cstudia el enIace quí_ _ico, la cstructL1ra _e los crist_t__s, de l___' mct_les. et__.
24

_dFt__L___a__F_ _ ty_7_de(auto_trr_cd_gu_lalcou_lnF__etc__an_1ve__ll_d_e_____s__ __t00______c__nn_____y__r__t__0_________t_x__?_____t__0___t____x?a?_________t__??00_______/(__9t _t______________L__v_____0t______t_f____t_m0___t00___?_______t____v_0__?9?_ tv_____tt_t_?___onnn__?___4_t
CAPiTULO l lntroduccjón a la fisi_a
'- . ' _' ___^___,
'. ' _ =. -_._ ' _ g___'_0_0_0__ _0 _
_ ___''_ ^Q_ _
' _" __' _ ' g , __0__ _?
. _ _; - _--" , 0 g , 0_0__.,,-'''_0 _
. ' _ :-_______.~'"'_ , ' . 0 _ 0 0 _ 0 0_0^ ,_
_ . ' -^;-- ' ' _ ' _ . , :_.',_0Q0 ,_g 0 _ _...V
__t__mm_oe_____' _ d__cin d_ r_os X ho _rmitido un gron _onc-e en
_ r_ x _ el clw_ df _-o (__. i_oI__a. _ta r_ma _n O _ fitKd Y Id Qu/mio yrmiti_
e__ob I_r_r lo_ propiedode_ de diferente_ e_t__ctur0_
y_foIln_.
_O_ _A _l0_0GiA _ _A ME0lCINA
l_a _i_lo__ía motecular, que comprende la biof_sica - _n
y la bioquímica_ ha constiluido un gran ap__e a l_ ;;_ ,_ n
biología modema. La bionsica estudia los fenómenos ^ e_ _
_,, ___y_.. __ _1 n' __g_
lSlCUS _U_ llC_en lU_ar en lOs SeIeS _VUS_ LOS Sl5t_nlaS _,_e, v , , , '' ?, _
_ivo._ e.stán c_nslituidos por pa_cul4s Fund_ent_es __;;: ' _,?_' '; ! ____,,,? _
. __ _ _ _ , J. -' __?_
_(le .Sl_Uen e mISnlO tl_O e eyCS qUe aS _a_lCU _ __,_ u_ n. ,_ .,, __, ?,
m__ sencill_s estudiadai tradiL'ionalmente por Ios _- ?_,,_,0____, ^ _ _ ,C_i0_o_ c
(isi_os, tbr elt__ cada vez n_ás_ el estudiar la estructura -_ __^_m- ^ ^^ _
_e le._ r__ul_c_Jla_s en lcJs seres __ivos requere de _as __ _ M__ _ - _,,
_ /. , ,. . . / _,_ ____0__, _____ _ ' ' ?_
e_nlC__s ear__lil_lil_uComU__ lr___'C1O_)i Oflr___,o_ , C_de_ _i_v?. _,,'' v'
-_: _ur_cl__ a p__ _ir _e los _at_s obtenid_s se fo_ulo ___ ^ _-- _ - _ _c '_,?
r__u__lu de! _DN 4ue e__ el matenaJ que contLene fa _c , n _ , __ n ' _ ,v,?,';_,_,
t_crenciagenética.Elest__diodelasenzimas_loscidos _ __ _vm,_._'^_e_g?''_ . _ _____D,
,,,__lc;co, en ene,a_ el estud_,o F,_,,co de 1,, ;.,____ __- ___ _, _ _ x_;_ ' _ _._ _M, v
,_acromo_écuIas se re_izan mejor Lon Ias leyes y las __'_-__ '_ ,^'_' ____, _ ___ ___ ? 0 __
__ __;-; ___ ,__, _g _ ____ ,__0_, _, ,___.
tCir_tC_Sd_laFI/SlCaaCtUYl_An_Ve!_eIUlaftCOnIYayUda ____/__ __n '_ ___, '__, _ _ _ tt_..
,s_.casees_udl.,__mem_,,n_s losn_ecanl.smos __t __ K;;J_,,?_?_ ',_ J_.,,,n;,_,_n_,,__iO, , __ __;9
deo_tencindeener__ía, losinlercambiosenereéticos, _c_ ^ _,_? __.__, ___Cn_9_ _ ,?_"_'____J,.,__ , c ____ __'o_
Io, ,,c,,n;smos e ;' , ' _____''e_t __ _. t _' _ ._,t ,' _,_'
_ ' - ,_ __, ;__, ?_ -__,__,,? _ ,_ _,_, ,c1_ m _ n,,_;.
de Ia energia a través de la acEividad muscular y la _, m,.,,osc op,.o ,, p_,,c, ,,.,, ,, /o B,.o/o ,,,
EranSmlSlOn de lnfOrm_ClÓn en fOfma de lnlPUISOS en m_nero J_tuosd. Uno impo_ante _llcocin de Ios rayos Xa
las células ner__iosas medjante un_ _ceFt,_da X_ medicina es en Ids rodl_r_os q_ _rmittn diagnos1lcdr
_rob Iemas en Io_ rgynos inlernos como frocturaI _tos. lo
c'umblnaClOn de la elec(ro4uímlca_ la el_ctrónica d,(,_c,.o_,de, osx Je e,m;._,.,, a Josme,d,-,o,_,ent,,n-
rnodema V_ los modelos matemáticos. moIcula _I ADN (la doble he'IiceJ .

__
CAPITULO l lntroducciún _ l_ fi_ic'_
t0N _A MATEmA_lCA
F.f de_'ar_'ollo de l__ ___lcmc_tica y f_ física eslá__ _'nuv. vincul___._ entre si. Sin con_cer l__s_ n_atenitic_?_'
}_;_____ Iirnit_ciane__ p_a'a _ro Fundi2ar eI e__ tudio dc la Fisica, _l n_eno_ por_ue c__-i to__as la__ i___Je_ fíiiL_e- s __c
e__Jr_s__ n _c_r medio Je __'u_- cioncs. Con ____da de los n_edi_s Inaternticos puede__'_ cum_c_nde___
n_cjor l__' lcv. e__ _ue _e de__cu_ren en l_s fenómer_o_i físicus. rJaJ'_!eo Galilcix seal c_ur_ acicrto 3a
in_µurtencia dc I__ met__m_tica en ei estudio cle l_ Fi_iL'_':
I,u J_iIosorín c_rci esc_'ilu e?r2 e._c gr0ndioso /i_ro, sie_JpI_e 0l,_ierlo _nt_ r_IJeslros ujos (rne reriero uI
cIniL__-soJ, _c___ 4u_ e_+__ j/77posib Je c-omprer2cIers'i rJo a_?e___e?mo.s de _nter77_n_ su lerJguu .)' n_ corFoc_m_s
Je nn(en'7rI/'__ Ias Icl_-_J.s con que estú esc-rito. Su lengF_rJ es In _e- lus mnremÓtic_s )_ Ios IetF'ns sor_ t_'i0n_gu Im_'
)' urF-c_s' Ji__1IJrcl__ _eor_2ét_-icos, s_irJ lus cunl_s r1o se puede coJnpI-end_I- ni siq_Iieru _Jn0 poJ4bF-a cn é/,' sjn
__/Iu._' __'ul_ /7rJ_cm_._' r_lnd__' 0 _iew_r_s' por _r_ _scu__o /ubennto.
l_ n_ate _ntica es una herran_icnla Fun_am_ntal Je la Fisica. Otras ciencias tarn_in ta _tilizan en
n__noc __r_do. Sin eml_ar.__o la Física destaca notoriamente_ pues un T_laevo a_'ance en la _i___ica impli_a _c_
____ ic_iun ___ ___a_'_Jos __rut7lcm__s n__ten_áticos, _ue __n el mejor de 1o__ c__ sos ori._ina __ucv_í_s tcurí__5
m_ tcn_â t irí_.s'.
Mr __j_n__lu. 13 dc._cri_ciór_ __ alxunos n_u___imientc7s meic__r1ic_s inici___u _or Gc_li1___ r___ Inejnr
__t __rfic____ _µl i___r1do IL_ ._,__nm_tríe aneIitic_ creed_' _or _{en De__'____ _es, _in __nl'}ar_o q_cda_c_ cl t_ru_le_l_ _a
d__ _'r-__r un_ n__t_'___' tic'__ c_L1__ _crn_iti__r_ _e.__-L'rit_ir de Forn_c_ gL_n_ral L'ualquieF tipo de mo__im;ent_
,____c'i__ni_-o_ __stc_ r__-u_IcIn__ fue _c_'uc_l(o _ol l._'yac ._cn'tun _ leil_J__i2 _1 sisten_ati2_r c__da uno __r .___ t___-te
lo r____ic_r _e _-u __ntor__o v, _o_'_ en _l cálculo dir_rcnciaI e integral. Asi, hoy en _íc_ a_re__i_mos c___c_ liJ_.
n'___t__n__' ti____i 1 ___i_ _I___ trait__' .s __nL__1__ __t r_n __liceci_Jn c_n la E_ísica L'uI__u lo mues_ l_-_n t_s teorí__i_ mu_e_-na_.-
{-1L_ 1e ,_'__t L_ti_/id_d y J__ 1_e____ nica cu_nlica.
CON _A FIL0SOFIA
t ,a __dm ir_cin de los _om_rc__ __ _ tc l__ n _.___v__ _. ' l_ _esconoci___ tos lteva a b_lscar una c__l icacin __'
_ldnt___r_e interrog_nlcs i_L_ e.s e_-to?_, _par qu_ su_erJe esi_, _;_J'or _u ti_____ esa cc_r__c'leristiL'a?, i,_ol'
ct_ _ r)o cs dc __lr_ m_- __era? 1'_d_ _er_io_)__ ___!iere ind_ear u _onn_'cf sup_r_ci_- l cJ t_rafund_ment_. to_u l(7
___1c nc___ rc______: su_'i_d;_c1_ nc_t_lr_- !eic1 _,' _>_!__i__ rnier_to. _drti_ndo Jc e__ta realida_ a F_r_nal____' c____ tnc1_'
_J_ r_'o_-_a .s in e_ce__ inn _._l_n_c u r___ c_cti t.ud t-ltosóF1___, t___c__ r1lu_-otí_ trat_ndo de e__licar c____ello _ue lc! _s_
c_l_-__ ___. __IeI_t____I_Jo_e 4ii un_ i_ _rie _le i__l_r_-__ga__t_!_' c1ue Io moti_'an a _esc_L_t_rir )J ___'c__i.aF.
)_L_.i_ccto _- t _'1l___uln cl_tr__ l_- _í__ica _., li_ _IIosnt-i_ ___ ne_' _c._'e_'i_ re_urcla_- _L!c e.ita(__ ccJm_re_1c1i__
c_i_r_tr_7 J__ to __ue ic _tc_nii_ t'il__'r_f'ia _e la K!_t L_a_le,za. L___ _riI__c_J'oi nIúsofo_ F_ero__ h_m_res de c_i_n_-i_-
J_cIIifi____li_'o_ c_uL_ el_aiii__- l_yr_ In e.scnci_ de ln__ fc_nrj' 1nenoi_, _c'ao __> Icieico 4L1e d_ ac__crdo __ su pnc__
_-____c__-i_1__o las limil____ioncs_ dL_i_'ut}ren r_ue_Ju>' _c_ntc__'in_ientns ?.J I__,Jes q__? _nodinc_n de n_oda _'ddi_'_l
fc_._' c.'ur__i_' in_ i_ntc.___ anle _-i_res con_e.rni_ntes e Iu_' f____n_cnos de I__ ___turalez_ _,_' de la _-_ida soc_i_l, _7en___s
__(jn)(J en i_l _-j_1l_ __ t_' Fi_i_', det__t_ una dur_ l_lci_a _ntte la _llo_-__i_ id_aljsta _on __u n_ét_do meta Fi_j__t_
_c ____o_'cl,_r los fenómcnus _J la r_losona científica que se apo_. 'a y sustenta __n las ._ienci__s .

______l____y ____tl t t _ _ _ _____nter_n_e_;(_s____ _ t_ __f_n_te __n _ _( ___
lumbreras Ed itores f í s j
En eI sig1o __ Ic_ lucha _lusó_ca cun rcsp_cto dc la esencia del espacio y deI tie_n po gir ante todo,
entorn__latçofja_elaf_l__ti_1idad fofmulúda (_r_jnst_jr)_n l____5 teori_es ec_jal _en l91G teoría
5er_eralJ. E_' Jógico c_ue haya ocurrido así, pues e.sta teuria es una doctrina fi__ica n_o_er n a a c e F c _ d e)
espaci_ y. def tiempo_ de las leyes que rigen lo__ movimiento_s ___ !os cuer po_s, efectuados a _'el o c j d _ d e s
pr_ximes a la de _a lu__. La te_ría dc la relatividad dio un paso mu,?' j_;port4_ nte en l_ c0mprensj_n de las
_ev. e_s de Ia _ra_'ita_iór_ ?_ ' pr0purcionó una clescripción nue_'_ de t__ gravitacin_ m_s profunda _- exa cf
_lll_ ta de _en_on. f'llnt__n de un mo_o nue_'o varios _robl__)as capjtales de Ia (j._ice n)o_erf_e, .so_
todo en c_-aanto al esp__ cio y el tiempo, lo mL_e ti__ne ._ran import_ncia en l__ FiJrJsofja.
fISICA Y COIYCE_Cl_N DE_ _U_DO
Du___te e!! proces_ _a _e__olIo _e_ _n_n_c_imi__nto hwnanu. se ha podido a_reciar d iverso.s pl_te_jent
___u_' h__ _ __ner___ en'__-er1tamientos cn el __ rn_ito ideológico. _t_ 1ucha ho y en _ic_ h;_ ___eda__ _ _ _ _ _ r e d o s
__nc_e_ion_ _c_rca de )M ley. es del d__nil_ _e_! l J'niveno, .cu_es son__ _ cc)n_e pi_n rnel_sjca v la c_nce p c j ó __.
cicntíF_ca. i,_ q!_ sR fund__entan? esto.s fund____entos lo pc>demos re___n_ir __r_ e1 si gw__nte c_uadro:
Concepción
delmundo
Conce_ción Concc pcin
me c4(;s ica cie n ti F_ ra
i 1
+_
j! _rJ_o d__ e_n(oc_ ___dO d_- en(UCaf
! _-_s __;-_s- fa_ __ S _^ S'
! ' ' - -_'
7 _'__ ;,';,i_",^,V- ;' ;',,_,__;û,_,,_,;!__.,__,;^_ y
__ ' ! reI_cion __ d o_
_ _ç ,,,da,ng _,,a en , e, u n d e , n- ,_
J
rntera_cioncs
ex tefnaS lntefa ccior_es t -
, Interaccione__
( j eXt_r_aS
_,_nc_, ,_ (__mPIemen___ J
Visión
F,; PJante_mIentO_j
Ja conservacin
Un a late C_l cosmo_' s_ón
Pl a n t e a m i e n l n-
ml{:fO_SlO_ '
.etened_ , lran5fo__cin v_
n,u 1 t i _,t c ,_ _ eVol U cl_ n
28

_cd__r___f_c_tc_______t__c_s___f _thc__Jtnmt_r__d1_ol_n_llttllnntha1as_sto_elf_ct__me_ dtttelo4r)Foa__l_Luagd___lttnncttulurblf_u__rdd__)uth_lt ______d_gd_t_dr__ç__dn_cnu_Fel__l__s_____ __ln_cf__oJ_____c_tt_o___Jc_f___c_h___u____pto_lc__/_c__h__u_____0___t_____0ær_?________ æ___________c__v__________ 0_________tt_t t____________;__0__o_n____Jg_________w_0__
lumbrer_s Edi{ores f ís ic_a
t_n t_ histaria _e 1_ hun_an!_a_ el av__nce il1_esnnte _e
l_- _ien_ia ?_, t2_nulu_íe_ nc_ e_t_-_ _i_ila_r_ d__ l_' vid_ sociat. l,us
desc_IJrimientos. te_'nurientírlcu_- ejerce__ un efcctu dirc_ntu ,
_/____o_
_l_ t_ì._ __tO_-_eSO__' .__L'l_lCs_ a tf__ V_S d_ la' nIOdlFlC_ClUn d_ la 0___oo__n__ '''_,_e^,___ __
_ _________' '_
__T_ciencia _-oci_l_ _c' l4- ._ diver_'as (o_!_____' cfe enlend__r c_ 1a __;_,,, _ ,__ n_?,_' 5',__"___?_?____?_,__,?,__
. . , '_;_, ,_w._i__l _x___/_'_ "__^_,_^_ _"''___f6^O'_'_s___9__?__y_'t_9'_',____'__',?_
__1l-llfil _7-a ) __ __ S_C l_ __C.. ,, ;_ ,a._. v :' .__,8o _U_ _, a,, ,;./.,V- __m_-__,__. x,_v_._ _ 0o_',_,_____0,___J,o _,^i__c_'_ _n,__,_, ,
_ _.i__t__ic__n_ent_ l_ t_cnolo___ fue _nter_or n la c_enci_ '_._,_=,____'__'_'- ___: __ __'= _,_ _x__'' ___?,___;_./- :',_'N ''_.-_;_,__ '__"_'_,?_M_ __ ____, _,_,_v'_,0_ _ _, _
. + ____ '; + '__._ i_ __- ' _^ _5___ -___'.:5- _wt _ ____' __''___,_'_'_ __ __ ?_ _V,___c _ ,___'''_n_' _
_. _ rl__e __l!_- no FC_Uerianeces__ rlc_mentCdeUn _?UnU__lml_ntO ____m' ^ 'n_;c_,____'___ '_ ._ ,__'_- _,'_._.-.. X^_n_m,i',=__?n__?,^___0__v_?,__:
_ _. , , _' ' __ f _? ;; _____. _0_ _ _ _ q _ __ _ V ^ _ __ _ _ 0 O. __ D_ q _ ' __ ;,N_ _ _x f _' __, _ _ ' '_ _ ^
__lStClTl_ttCO C _S CVeSC__S__S C _S ___C_CnOSrI_tUl-_CS _xN.'-'__Y = i__?_ ___,____a_0_v,__ ___, __'e0___J___?
- _ ___ '?__ _;_'-O_ _9__,__ __'___ _' _,__ N_V
,_ __e _c)s _t FilJutui ultimus _e Ius r___te __i_les ln___nEaf un __-- ?=_-_- __,-___ 0,_, _, _^ ____ _d__ _ 'n__ ?. __D .o' __ ' _ _-. n
' ' ' ' ' ' ' __0_o____,,__-__n_-- _h. _c'9__ --_-___-_ _?___o__'h''-
,!J__ _____i__ clc' tr_n,ifc__n'_aiií_n u d_! _Jrud Llc_'i')n _s t_a_l_ ci__rto - _ _~_ ' _ _-j__ -'___=.-_ _x____ _ _Mn__'_>_' _ _;__-*__
. /. . _='._____K _-_?-_,,d,/__'--_'_4'__--'___
___J)((t _}___l) _^ SO r_ lS _cnSeS {^_Itef_fll_'nte en__lrlcaS, Stn - _ _ ? _m_ __ W--^D'-__e __m__ _'_t
_ .________0__?__,,__, __i_, _.', _,, . -
nr_c'c_.ii__!_cl d _- __elar al métod_ cienti Flco. Pt_ru el c_es_arrollu _ _=_____ '__na00___?_0__,_O__0_- ;; '' h-_ __' ''__ , -_:__'.
, .. , . . ' '''t ' _, __0C _ m_,0,_0___0',___'o__ '__^_ ,: __''__^';_
rlC l_ t__,_rl__1{J_t_ ___fml lO m__tO_'af a Ca_aCl _ _ OS ' __ -_ ___8_ -__,,_ ' ^,_ '_-' -_?
, . , S - - __ --- '= ''___--n--_''_' ^___,__dj'__ _''''_'
_ _)S trUn _Cn tUS de l__d IClUn V Ot )ieNaClOn _ OS C l__tl COS _-, - - - _í _ ' __0___ __ __'-_ -
- ' _ '- ___n--i_--;- ,_^_m_4___n__0__
-_ll_ ___a r__iti al mism_ tic_mpo_ _ LIe l_ ciencia fuera , ,i' _ ' :_^ 9- _ , ' ' ' '_v ' v____. '
.___J_.___,_dc_ ,_(_e_._s _e ,es encr_,les , ro7f_e,dade5 Nues_os0n___odos.Ios_ncos._sorroIIoror_cJe__o
- ' ' cénIca Dar0 _ cons_rlKc_r_. h ref7ejo lo gron cl_d_delo
___s_____-!Fic_i _1_ lus n1r_t_ri_lc,s _ue a_rieron nuevos cs_c_rios
__' _-I_5i_rrultu a l_ in_'entiva técnicd v, _ l_ a__x rición _.e .
___r'__nl_gic_.i rn____ e Flcientes.
_:n !__ é_cc'__ r_mana, la contri_uc'i_r_ cienti Flc_-técni_a f_le p_ca si__nincati_'c_. La il__'asin ___ i__-
t>__ r___ru_ sinniF1có un e_. tanca_!ento en el dcsarroIlu _e 1os c_1__cin_ient_s en o_ci__nt_. f_1 I_______d__
_'_lit_1ral ___ l__ _- nti_üeda_ eriega ___e des_la2i haci_ Oriente,
dc_ncll_ pl_r_urú el tra_a!_u de cunse_'acin. -- _- ---__, ,u __m____o ___
__ll_tilrl-_'1edia_la_oc!e___esclan_tafuesu__!anl__Japor t ' '' _ _0 ,__V-_ _ i_ _,_ __
t______i__cl__dreud____s_daenl_p_se__jóndcl_tie__ydelt__'_c_;o __ ?/'- , 1 _' __-__;_g0__gn__?_'-;'_v__ ___;- 9
_'c f__ ___n)_tin____ _J arles_os_ .__me_iJos __r el se_ur f____c1yl. '_' _ __, ,_ i _ _!, R'! ,o_
l.o_. cí_r__µ__in___ ?_J artes_ ano.s al jener _ue _ro__1cir par__ ellos v '__ 'i^', .r__'-_-_- -_- __._-_-_, _ __ !_
_._tr__ c; senor (eud_!,, cste__n jnt.ere__ac_os en et _____, _o_,__ _,'__,0'_ ' 'r_. r,_,_g____,g__,__'_o_,____o, _ _. '_
c_,(,,_.,._,,,,n_,,todct,osin,t_n_,n(o,q,mf,dosde t,,h,;o ' ^0n __ ' "__u__ _ _o'' ',_ !/ /__ - - __ ___e _ Y' _ ^ _' ^' ' _ '_ ' _
- - '___i i_ _,_"__ __', _ . ^', g __ '=_
__r_1,_14ric:___turayf_a_esaIúa, _Asíla_d__d.1__diafuc_una_µur=__ _ __i ,' ,__'_' ^_ __ __ F, ' " _,___D
i____ ;_v4_-i__,_st_n_c_s scin__entaronlo_n_1}nosdeagu,_ y _ n'' ,. __ ' ___ _ _ '' _ %'_ d__d_9 __. _i; _-__'
+ d -_ -1_ dh-_ t_d __''___ __'c _n ___ _?__'_'0_t __,0x _'_
_'_IC'I_t(_,_'1l laprU UCClOnteitl:e lOn_G C laI_ e t_af t_ ,. '__ _ ''9__,;,0_''_ _ __,__' 1w
+ _ ._ , - - ._ _ ,/ _ia,,i,__g__,,_ _ . _' _? . '
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n ^ ' ' 0 _ ,0_ _ _ ^ 0, _ __ ___0_: - , _ __- _i- '_ _d_ _
v_v'Jc_a_es_epIc_nt_s,yl_e___1__d__rí_con__nz_a____ri__t__n_i_'_-. . ! ' 'o __i_0_?' ! Jt __ _-___,
__, _mt,__,_, cste_,,n__ t_/__,,=c,nue_t_b,_e_np_,ef____o i_; n '____ '_ 8^_ 0___..__l _ ,__ _. _eo-=o0_
cc_r_ c_t rl_,s_' rr_ta_ _c n_____o_. c_n_cJmientos _cerc,_ dc lc_ ,__''' ___ , _l.__ ____,,--_. ,.-,-____ __ __r_' '_ __,_?_
n_tll1'al__za__c_t_ido_ia_r_n_?_._icin_ei_easµ_r__tedel_ ',_-i__' ' '- ' '__r, J_!_ ,,_:-_
,ti/)/_v , - ,, , _ _ //r ._i , __i_'_""'_ !
v _ _ ., Ul __,.i_. r'.,_--__-_'
_./ .s_ r__L_ontr_t_a en fas .__gr__da_s e__L'ntur__ (l__ Bi_lia). La_- ''_ /__8_
_{_f_On_S Cf_n D_F_Ceui_as _Or I_ l__ui.SlCii_j) Si manifestaban Lo_ moIIno_ _e oguo que se u_obon _ro _o _b;e_c_n
_r._(l__)c__tus dit-crentes a Jot- ir_r)_uesl_s __r__r I__ l_lesia. Se djo deI _o_eI. n_s mueslro cierlo grodo de lecno_'_io
_i__rtu _ct_,_rfollo en 1e tcnicna_ 1n__i no en 1e ciçn_i_. _flrodo _r eI hombIe en eI _di_o
3O

_ceclllaulsl__eedp_lnnoecEccellt_t_ab__dls_o__e_urs_sl_pnoc___o_ccfrtrtu1eod___nalellcconssldat__drToyefoa_ll__a_c0ssEadc__le)_le_v_neca7l_alml_l_n_d__t_l_ctalt_ht,atodapmlr_o_bsdf_te(l_cetl7_l__otgyn.e_vo_nl_aeor__g_ao_7s_
_____c0____0_______r_____t__________0t___?td__0_____e_____0____t_______u____________n____x_____________o_o___x_a____N_J__________________o_____t__o__0________0_0_______v___________________t__t____0_______t___________________________________t_________________t______t___t_______t_m____7t__n_____t_t9_q_t___________________0_______r____________________0______rttt_____________ fd____0______t__9_____________s__0___________o______________________e____g__________________________________t__________t___v_0___________t___________
CAPlTULO l lntroduccin a la física
hJ1ientras tantc__ los des_rito trans_urría cn F,u_'opa_ io__ rat_e_ __ uar_a__on y desarrotIaron el c__ udal
cienti F_co-nlosóF_co gri_go dc Oriente. que tra__ los connictos int_rn_._ del in__erio bi_a___ino pudo ha_el
quedado dc__nitiv__ n_el_te se___r__ da _cl uccidenle e__ir_peu. A partir deI sigIo _t, lo reir_troduj_ron en
Occi_ent_; a la _'__2 _ue hacían imp_, rlanl___ __ ___ tes en _l c_m_o d_ la ._1atem_tica y de Ia nlquimia. El
mundo musulm___ n_ se li_nitó a t__nsmitir conoc'imientos apren_id_s en otras cultua_ai, ya que los
propios n_usulm' _- nes inves(igaron )_ aµort__ ron noveda_es uriginciles en casi t0d_s 1as ciencias.
_ así. _ue a tJa_ir Jcl __iglo _XVI_ con l_i descu_rimientns __eogrr1cos_ eI cr_ci_niento demogrFlco
y las, inno__aci_nes tcnicas, se inició una re_'_lu_i_n cientí__ca que ab_rc tre_s siglos (__VI-XVlIl) denlro
del rnarco del rIr___reso d_ la bur_ucsía )/ el pasu a Ia soL_ied__ d ca_taIi_st__. _,stc_ re_'oluciún dio ori__en a
_na nueva c_oncepc_ión del mundo hc1iocí_ntrica y c{inámica (rente a la antigua inmovilist_- y eeocénlrica.
g_ racias soI_re todo a _opérnico_ Galileo_ Bral_e y Newlon_ _' a una nueva melodol_gía cientíFlta t_asada
en 1,_ observ_cin_ experimentacin_ induccin __ m_ten__ti2ación. En esta época se desarrolla la
Anc_t_n_ía. la Fisi_Iogía, ta 8i_logía, la Física_ la Astronomía_ etc., lo cual coincide con un periodo de
dive__si F_caci_n y especiali2acin de las cienc_ias.
En t___ s- ielos XVll l-Xl__ l_ rcvoluciún industrial . ..,. __ ... _ _. . ___._0_..,. ._,___.
(maq__inis_ mo, u_o clel vapor_ et_.7 _ impuls y transformo la __ .p _. :. _,. ... ._ _ -. :,- ,l.i_d,^___i,______i _.__
inter____s _e la sociedaJ. Este fenómeno _rodujo un _ . .- _ , - .-. , -__ ,0. ,_;. J q_
, 'l'l . l la yI_-_t_uc_rdiosr____ x_,-.__y_i__,_,'.i. '_(. ..._.,
y 1a h1alemátic_. En el si4_ lo .Xl_i. tamt7ié,n se des__ rrotlan la-s ,. - F _ ;^''' '__ ' ,, '''''..._-_
t + __ . _ . . .,.n.,....._.___..x_...'_.:_i_._._.;,w__ _'P' m.... ' ,,,_^.'__ '_''/.
_ntro_olo_i___ _i_otogía_ EconoInia_ Historia. _ _ _ ._ _ ''__'_' '" '__'_t'.n.;_.,.,__,_.__,._0 x_;.__,___ ' 0., '' _ _ .n._^.'_' , __
-,en,N,_a, ha cont,-nuado gn e_ ,_.,_ ,_o _0'_' ' ' ' ' ' __.,, _; g _, ' _,,,, i,, ,.=., ,..,; _.._ __,,, i:. _ _, _ _'' ' ''0_. ',._..._o_ _,, , ...- : '_ :..,....;_, ; ;_' ; ..... '
xx cradioyctivid_d teocia cuán_ica Fela_ividad teoF__a _'''_ __'_ ', _"_ '' ''' '_''' _'"'"0'"'__''"'W' " _ '_ __D'__' ''' _ ' _'_ Pd__, '! ,_,.,_____., !_'_ _'
. . _. ., , ' ' _ ,.__ ,;,0,.,i,___ _'i'P^___,_,_,_0___,o_,.,_.___,'___oii_.i __._ _'
atOn1lCa,CI efne lCa_eC_ COnSUen Fa aa_faneSCaa_n i''0 '. _ __.,___i0i''__'i_'''___i_0"__'i' ___'___'''_i;',.__.._____;i';_._8
_,du_,t,i_ y cun l, c,eació, de cen_,os de invesli_e_ cin _0_ _ i,_'.' __' ,_ ., ^_,! _ ''i _ '_ ' ___ ' __' :;'; _ ï' ';__ '
.,dopoF_asdos _ue,,a, n,,nd,.a_ s y su š /, .,, 0. _..,,,,,, _ '_ '__ :; ; ;,._; _ ;., " ' _, ' i _,., ". _. ,.;? _, _ ' = , ,,..,._
COnSe__U_nCtaS. ''__^'___''___.,,_ _,...,,_,,__0_,0, _,,,_^__,00_0_C'____i '. _i' x __''' _ _ ....;,__,_,_,,o_, -_:.____ ,'__:',
En cuanto a _a _siCa _a ap_icación de sus pFincipius a _ de__rol Io de Io e I_ctrnico. como co_ de l_ fisIco.
_ . h d d _ _ d. e e n _ e s f a m a s __ ve re _e ja do en Ia Me d ic ino con equipo_ muy
OS _rO emaS _raCtlCOS a a O U_af a aS l er
_o__ticod_.
de la Ing_r_ieria: elecIrnica_ mecánica_ civil_ nuclear, etc.
Una ve2 que se descubren y comprenden los aspecto__ (undam_ntales de un nuevo campo_ este pasa a
ser de inters para I_s ingenieros y otros cientíncos. _r ejemplo:
' los descubrimientos def sielo XIX en el_ctricidad y m_gnetismo forman hoy parte _el _erreno de
los ingenieros RIectrónicos y de comunicacion_s.
La_ _ropiedades de la maleria Jescubiertas a comienzos del siglo XX ha__ enconlrado aplicación
en superconductividad y supertluidez.
Los descubrimientos de la Fisica nuclear, muchos de ellos posteriores a l9SO. son la base de Ios
trabajos de los ingenieros nucleares y de la medicina nuclear.
La Fisica proporciona tambin técnicas que se utili2an en cualquier área de investigacin pura o
aplicada: astronomía, eeologia, oceanografía_ meteorología, sismología, medicina.

_m _ l _ _______ g __ t__ ____o_/_________0_0___00________/_r__t____o__r_____________a0_0______________t_________________o___________00_________o________________0_D0____________y_______0___ ____o______0__ __ _____ ___ _ _____ _____ _____/ _
lumbreFas Ed i i ores _í_ ica
A la inversa. exist__n des____l_o__ te__n_lá_i__rJ5 _on r___rc_1-si_T_es en 1_' _lsica, iom_ es _l caso dct
mejoramiento de 'i__ _um__s d_9' _'acio a µarti r __ _ _í5_ lu cu_l c1io 1uear a l_s tub_s de vaL_í_ para albergcir
d!S___SltIV0S en l_S CUa!_e5 Se mf_d_JerOn lOS µrlmCrO_s f_?._'O._ _ y rat'__ C_l__icr}s+ _e_ eSt_'io de e__tos
__ltimo_ _ur_i_ __! __s__!__t)nmienro _!c electr_n.
c_f desar___I_ tecn0f' gi__J a_nt_ai está l!g_do pn___ci_almente a Ia _roduc_i_n. ._ern_ite la reducción d_
(,.__.__ fos dt_. _rod_ccjón _ _v,t,___._a l_ f_c1ucti_,i_ad. Se _ifundt ue las_ em f_-_sas de_en __ ro_,__ct_a_ r __s rç_n_ursoi.
__Je otr___'_ Int_rJ_et> i__ _ecn_j__gí_ _e re_cs _- !_ __ ut_mati2ación de t_ p_'__L_cL_il_ utili_an__ rob_ts, _i__
__nniIJ_rgcJ, e_n _ste si__t_m_'_ e_'t_' suio benencia _ u__ detern_ina_d_ gru__ _e 7_ ___ciedad. La tecno___ía
t___n__>=_-n _c_c ._- er on__ntada ___ acuerd_ _1 medio en _uc ____ desen_'uet_'__ I_ _cuc'ie__d. _n nues t_O _aí_s , !a
_ _ìuiii__licidaU de cs_aci___ geo_ra_f_cos_ ecol!J-gicus y _iformaci__ _es __eot_. ica._. Ia e._ce__'i__na1 _'a_. ab'_J!idad
.__nn_tic3 ___imal, vegetaf y miî- r__i_l_e;_ca, la muItit_1_ _e 2onas c='li_nti_as, cunstitu)'er_ cntorn__ m, u_,'
__ ;'n___lla_cs_ µc_r_ la_- di__crsas c__ ,__unidades hum_na_ _L_e pu_,_laE_ r_ue._tr_ tc_r1itu_iu )' n__ hacen _-er __
nece.si_a_ __! _n _c-sarro1lo cientíF1co _- _ecnológi?o a__a_e con nuest_'o medio.
C0Y_EP_0S fUN _A_EN_A_ES
Antes de iniciar propiamente et estudio de la Fisica, e.s necesario precisar algL_nns conc_pto__
fu__ _ament_les que nos a)udarn a direrenciar la Física de otras ciencias_ el lugar que ocL_pa dentro de
1as cî_____''ias en ___nera1_ _-u _n_r_u J_ estudi_ actual.
l_M_ERlA
ScI_ n _e n_ateria la en_rme diversidad de cuer_os q_e - - o0 _ -_ _ _
d D _ _ _ _ d _ h _ d _-__q _' _'_ i ' '__ ' __ _ ' 0 -i _ : -,_'_ _ _
n___rU ea. eS e aSp_fttCU as e_OVO aSta aS_ I_n eS P_ --i0__-____^__o_i___., .. _ _ -
?-______d__o_ __ _''-____i __d,_-_. _, . / _ _.
m_ntaas. los planetas y la.s e_strellas. También tos cuemos ,,/^__ _ __o_.___!__8_____'g,_,,g,__,,,;_,...0 - - _i _*.
vivos desde los más simples h_sta los m_' s comple)os. n _;.-- í-i t; '' '-___'-'--:_',"0 _;_,, ? _' _ __
_.'_' ' ' __.O^'^'''__ '.__
unos l?s perCi_im_S a Sim_le ViSta; _ara p__rCl_ir OtrOS _' . _ _ :_ _-,_ ___a'- /. ' .'. '_,
F-_, '_ ,,.,__,__''____ _ _0'___e,.._
usa.mos apar_tos. e in.sEa_acio_cs compIicadísima__. __ !-. . '^'0____--'-___-.,- ^^'__' _ _F_"_
_v _ " -' _
,a ciencia ha demostrado que la Tierra e,xist i _,!_chos '_!0.. , _ _. =-,0_,._....,..,,. _ .,,, ,. . ,,,,. __, ' ' ' ,
__'_Il_n__s Je _nos ante_' de _uL_ lu__ primeros seres vi__os ;_,. __ _- 0i_^_'__i,9_!'_-_ _- _àN_' _i D__,' '' '',
__ '''_._.:_C_,_-__--=__ __ , i_ --l __-'i'o'_!_0,0_''0'jij _,-íi,_____'
e_j_'tieTa_. en ella, y pa_aron cientos de miles _e aus _Jara '_'__,,,n,__y ___,,;_...g-._.0,..i_,.,_i_.i..,____..í_i_..0_a_,=,__ ''_-__ _
_le, _esde !_o_s - rimef__ _ere_ _'jvos, a tra__és de une t_r a 'O'''__''i'_..'__0B=_0___'o_i_'.=.,.____.__00n',i0'_._._'_ :..... ''
evolución a_areciera el hom_re )_ con l la conL'ienci_-. A_si ...'__._.._':_',=.,. -
Ia conciencia sc adquje_'e, ___ desarrolla _roduclo del Iargo El cerebro humano.
-_nte,__ c___vo. e_,o_u___vo de la matef__a __to st_ n_,F_ca _ _otencio/mente Io maceria mejor orgonizd_o poro
' ref7ejor Io realidod Produc_o de uno lorgo tw IucIn. IIego
que la ma_eria Sien__re ha exislido y se_t_irá exist iendo aun o ser eI s_orte b_olg_co de la conciencio. Su desarro//o
- e_ hombre nunca hu__ese __s_i_o o de _ase de ex;s_;, y /a co_Iejidad que _Icanzo. d_nde direc_omen__ de
ld Ficd y voriodo Jn Formocin social que octydmente el
POf lO tantOt tOdO lO qU_ eXitte indeßendientemente indi_1duo incorporo desde el grupo humono oJ qug
de nuestr_ conciencta se ll8mg m8te Fia. _fteneCe.
32

_t _ _ _0_0____ _t _ _ _
' lumbrera_. _di_ores fíiica
L0 unid0d real _el munrio consiste en su materia Ii_d_. Esa unidad consiste tan_bién en _ue l_
conciencia pertenece at mism_ n_undo rnaleri__ l qu__ nos ro_ea; y no a nineún otro mun_o del ms allé_
repre_'entando una propicdacl dc la materia _rgar_iz_da de modo mu?. especial.
Finalmenle, a F_rmaremos que la maleria es única en _'uanto _- iu esencia, v. a _ue es L_niversnt y
absoluta ; y consti tuye la fuente _e todo_s Ios fenómenos y nuestros conocimic I_tu-s. mro al mis_ mo tiempo_
Ia materia es heteros_énea_ cuaIitativamente ina_otabc e in_nita. l,a investi.___ción de e._-l_- unidad dc
contrarios constituye eJ problema F_tosóF1co esenci_l de la F_sica y de otr_s cienci_.__. La materia hemos
de considerarla en unidad con todas sus propiedades y rormas de n_anifeslación.
Forma_ de manlt__t_c_n d_ la mat_rl_
la materi_ presen_a de manera inherenIe el n_ovimiento y su existencia es en et e___acio v, en el
tien_po. _r otro tado la Fo_a en que se maninest__ sobre nos_ otros cs c_ través de Ia _ustancie )' cl
rampo.
iQue e_ la su8t_ncia?
_ el conjunto o aeregado de divemas particulas (moIéculas, átomos, electrones_ _rotoncs_ 11eutrones _
e_c.). En la naturale2a se cncuen_ran diferentes tipo.s de _tomos, molculas v. sui com_in_ci_ne_'
pr__orcionan di__er5as sus_ancias.
fj_mplos
_ _l agua __s u. na su__tancia constituida por un cnnj L_nto de molcula_ s, las cua_es e- _u __'e2 es(n
conf0_adas por l_ unin de dos átomos d_ _i_rúeeno _- uno de oxigeno (H,..O).
l,a sal es otra sustancia c_nstituida _or l1n conjun_o d__ m_léculas con Formada por un __ ton__ _e
so_io )_ atro de clor_ (N__ Cl7.
Par 0tro 2a_o, en la prctca tra__jamos c_n cue_s_ _qué es un cuerpo risico?
E__ aquelIo que tiene vnlumer_ y (orma. Contiene cie_a(s) sustancia(s). EjempIos: gola_ ree1a_ __a_-o.
cuchara, lpi2, botelI_, s_ illa, etc.
_Jemplo l
a
_00_0'
?.._ cuerpof_sico;gota
Suslancia: mercurio (Hg)
:'';'_0'_.'..__' ;_:;'_,'_,'!;:_._',_:_t_;'_ ___?_. "''''_t !,_''''''''1_''''W'_!'"''''''_t '!''''''_t ''_''i'!_,t ..,.;J. .;_._!,';.__t_,;'__;'_'-;._ cuemo F;s;co_. ,eg_
' ''' ' ' '' '-s-'''_'''''
UStanCla:aCefO
_

____ _ _ t_t _ _ ______m//_____x__t______v____y____tt_ttt_____vt_tt____t_____v?æ____'__?q____x?__m__tt0_______ht_t______?____h_n______(ctmn___r_?_______n___?___?_____0tx?__?_?_yl____?_?__v___??__L_t___?o??no___?c?____?e_e__???___v___?___?_t?_?__?o_0___?__0____L_?_____o_0__?______m0?__q_c_ee_J__?_?___?e______?_a_0_______?_____0____0_9__?__??_?_?_____?__v_?0__?0v__0_?__________?___??0_?__???__???_?______?t_?J___ c__l_0__0__t_<__x_______sNc_f__tm?_____0__D?__?_________r____n__l?___l____?__0__T_00__?_____?_____?_______ __??__?__ __? 35
CAPlTUlO _ lntr0duccón a la fís__
iQuéesel campo?
_s n7ateria y __e diferencia _e la s_ _stancia, ya quc nosotr_s m_diante nucstros __entidos no lo µodemo5
_er_il_ir _ircct,_mcntc. En cl e___acio _l _ampo _se en_L1er_tra disp__'.s6du _e m___eFa _or_tirl__a, el _am_J_
_L__n_itc la inter__r_iú1_ entre los_ c__emos. Fbr ejemplo el cIm_u elctnc_ _ermitc __'la_Jecer ___ intera_c'ión
c_ntre Ios c_ucrpos_ eIectriz,_dos_ tamt_in et campo gravitatorio nos a_'uda a __scribir _a caída de los
_ucrpL_s que se d iferenc ia de la sustancia, ocupando la reein comprendida entre las partícu1as de una
____s_ tancia _v establece las interaccfones en(re dic_as. parliculas ?. ' el enloTno al cuerpo _sico. _ectiv_me_te_
Io_- c_i_mpo_, in_'l__sive ligan en aleunas _asos a di Fer_ntes cuemos f;sicos.
_Jemplo_
Si e_Ia la sut_er F_ci_ de una mesa _ay un clavo de ac_ro y a cic__ dis_anci_ u_icamos _ln irnán_ _u_
UCUff__
,, __
im_ , _____ ,_ __,_,_,,?,,,_0 jm _ _ _J _ j ___?,',_,L_ ,
'' iaIracciónt
,. fue_d c_avo ,;_,
__.'7:-c_av,0 t _v ''
La __ trí_cción ocwrc ha_icndo __a_- n _' qu_ el _l__ _'o __ea t_'_do _ur el imá_ Lcón_o __pljcaInos
e___o___ ap___l_ten_ente no vcI__s n__ en cont__cto cmre el _'l_vo v. el imm_ iin ern_areo es nec'esan'o 4ue _Kista
un a_cntc t _-ansmisor_ e._ cs el _ampo_ _ue en este casu se llema campo m_ntico. _tro ejen_plo ___ la l__z
_uc p_r_'i_in_os _el _Sol, esta ___j_ una eran rJistar__'ia h_sta llegar _ la Tierra y en la lnav, or parl_ _c su
rccorri_r__ entr_ eI Sol y ta Tierra_ __o h_- y _'u_'tancia, entonce_-_ Lpor qué medio se pro_ag__ l_ lu2?_ la r__puc._ta
_s= a tra_'és del campo electrDm__._nti_'o,' - _
_ ;_, _ ' __ ' ' _ :-; _, _. ; ;.- _,, '_ _ ' __ ,_ _h_,; ' _, ;_o _n_ m_ __e _, _, ,v,, c?c g __ _ ,_; 9,_? _ _ _ o __, L? ,? _? q ,, , _ _ _ ? ^ _ ' __ ,,c '_; ' '
' , 's ; '._,_,:_m_''__._u__c_ _??_ ^_ ___m_'_m,_,_c,__L,?__,___,_,,,____O___6? 9 u_, _,__? 0_,_?
' .: _?._;:_,_~n___ '__,n___,,0____,_, ,___,0,,, ',??____,_, _ 0_ ,
,_;.n_i,_t___________,_____? _ _ '_f_v5,,T,,_,,_? , _____' '?__
''ù_"_ ;___-_,_n,_,_____,___? ?___,,__ , ____n_____ _ .. ___,__n? .
__ , _?_ __'___ie__^_ .____,___'_ _n___^ 0 ,v__ ?
,_ _,'__ __ ? ?___1' _'_,???d_q ^_?>, __v R 9 G , __ _?, _ _' ' _ _;
__ , _ '. _ ' _ - v. ; _ n ' _, _,. ' _ v _nM - _,_ _ _ _ _, __ , v _ 5 _ _ _ _, _, _? , c, _
' ,__;___,____'_'_?__';'_'___.,___:'_______,9?,,_? _':_~V___ ^____'?,_n'__^__ , r ____fu' - S
- _ =. __ _ _ - W _: _ _ __ _, _ _ '. _, _ _ _ __c_ _, ^ _, _ _, __0 _ _ _ __ _ _ _ _ _ 0T _0 _ _ _ _,_ _ _ , 0 _ _ _ t' ' -
. ', ' ' ' _ ' _ _ S_ ? _ _: ' _ _n_ __ _ _ _v _, _ _,, qp,nA _ _ _ _ e _ _ ^ 0 _ _?
.__ __''_n,.?_'__'__v'xm_,__,_C__C__,,_æ,_ _ _,_n _ ,_?
EI coqo grNitotorio o_ocioda oJ SoI. Ie permi1_ o ésle m0nlener orbito_o o _s
n_y_ plone_os y _mo_ cyerpos en lwno de _/.

__ _ _ _ t __ t _ _ _ _
lumb re cas E d itores fis ica
Asi como eI campo _iga los cuemus que podemos obse_e_ r a nuestro aIrededor, tamhién lige la.s
partículas 4ue componen a una suslancia o a un cuerpo. entonce__ cualquier cuer_o est formado
por sustancia y campo, lo cual ref1eja la unidad material del m_ndo_. Así los p_oLone5 y neutror_es
ue forman parte del nucleo atómico estn ligados por los cam_o_- mesnicos_. _t nú_N1eu _tómico ?_' los
electranes del mismu át_mo están ligc_d_s por Rl campo elccIromagnlico. l__ste campo también fi_e_
1u_ átomos y moléculas dc un cuerpo e inclusi_'e tiga diferentes cuem___ como el cas_ d_l im_x r_ __ - el
cl___o. En el universo, los planetas y las eslrellas eslán ligados por el rampo _ravitatori0.
La ciencia descu_re cada ve2 nuevas part_culas que describen Ia ba_ estructuraI _e Ia materi3.
E_sto si_7nifica que nuesRras n0ciones so_re la estruclura Je_ la m__ teria c__ml_ian sin _esar, _,' nuc__trc
concept_ de matcri__ se amp_ia. Con ell_ eitamo_s antc unù le_.' dialécti__ ondc los_ n_e-v'os
descu_rim;-2nfo_ _,uper_n l0s viejos c_n_cjmiento_' que teníam_s ace___ dc_ la r___(eri_. ?un lo ant_-_r____.
_etJe.T____ i__ 3rcardi(erencjas cntr_-_ ____ ___J__î_n-_t_J _;c me- teriú, )' f__ rJrm__ s _.J,-_ _ 1 .__ r_i_;_ '_'í' tu_?i__:'___: __ t_: _ ____' -: ,_ __
que 1_a._ta ahora conocemos.
_ p_i_ _____.____ _ _____c __a_b_e_ nuc._tr____ _y__'_i!?____mj____t__ _Ii_ _____n__, _,' ii ___'__.__.e_ ___xim-__n___' ___ ___!_i__ i---- _
ljIn__e ha_' t%' c__o_l_e c0il_cíam_s a la mat_i'ax_.
__Vlm_E_i_
_. _andu h_-_larn_-__ nc mo__imie_tu- gen_r_lmente I_ relaci____dr___ r__n e_ c___tJ_!_ de _.J_,7__r _ u!-_
_,_0S_Cln de Un _l_-Jeì__. __l V_mO.S Un ?___cJ Rn Cl m1__ mo Iu- __r, __C1m_S_ qu__ nr_ ?_c m_e_'e. S_n C_n_ _l!_d' r_' __!.
en _ìu interior s4.s _n_l_c__lc_s. át_mos, etectroncs_, ctc. estn dotad_s clc m___-i_ni___lo.
Tamt_ién __,_te_'n__ment_,, una case. _ue ven_o_i inrnú_-'il. ___ln1entc no _'_ eslá. V. e_ que está r_ten_do ?.
_trandO COnJI.lntamente C_n la 1ï_rF_. alFCdCdcJf C_t_l .S0l, _. ' ;'llnt_ CUn __l _E u__ J jr_'d__d_f d_l (:entCO de Ia _'1_
láctea. Us(ed cuando lec esta._.- líneas, estd_ s_ntado, i__ m_vit, i_cro _e__tru de L_sicd ._L1 san__r__ nu_'__, e_ _it'e
_ue respira temt}jén; adem_- s uurre una serie de procesos cornplejos: cl jug_ gs.triL'u _i_-ue_ve l__
_iimentos _ue h_ di__eri_o, la__ células _e sll pie-I se r_generan constanlemente. Tudos estos cambius
s_>n consid_ira____ cu,_o mu_imiento.
__n _'i_ucl al ,mu_Jimiento. los objetos que están a nuestFo alrededor se dan _ cc_noce_r, ?. 'a que ehci tan
r_uestros senli_o_-. _,l Sol_ _or ejemplo, irradia incesantemente al esp_c_,o _ósmico inc_nm__ns_1rab_e
_antidad cte' __rtí_-cul__s en mo__imento. AJ llegar a Ia Tierra, esas pa_-tir.'_i_is e,iclcan nuc__trG;> rir{,Jano_
ser_sorlaIe_s y no_ aJ_'ierten _e la c__istencia del Sol _ Si no fuera _or e t mo_'___!-?: __LJ_ de I__s p__rL:_n_ !_ :___ s. ,i__
sos__Ncharíamos que el Sol existe, pues se encuentra a unos cicnt_ __;_nL____- t_ m ! '_':_._ r_e __ ;!___ i_;_ t! __>__ _!__
I_ i;-crrc_ ___l mism_J modo existen todos los demás cuerpos:, no 5e mc_nii-_e_tan :__c_-_ ___ ,__ ___' _! __ _r__ :______:(__
_! :o solo se mueven las pa_ículas elementaies en los tom_s. ___r__ t_- _.;,t.J:?___ I_s _(_n____ -__'_ ;3î
rTautéc__las y las moléculas en los cue_os. Se mueven 7os incontalJIes_ _'u___-µc!_- te_rr_st_cs _,' _'_sn_;'c'c__
suf_en camtJi_s _os organismos vivos y la vida s_ciat.
(2t I__clusive en _I n1ve! _uhatóm_co l2s _a__cu_as elementales pre%nlan sustanci_ v. c_.mpo v los I_m!te_- __Je se__ar2_L J e__;_s i_,, T.a
de e_'___tencia d_ Inateria es relattva
36

___
CAPíTUlO l l_t__dwccin a la fí_ica
Por lo janto, eitas expresiones objetivas de caJ_____, tran5formaci_n co_tin_a, evolución_
interacci_nes entre cuemo_- y _artícul_s (no _ast_ pa_ícula, ni cuemo ais1ado)i son modos incesantes
de c_mu univers6tmente la rnateria _c maninesta en la naturale2a. sociedad v_ el pensamien1o.
_ntonces_ iq_ es el movimienlo? es' el modo pnncip3l de existencia de la maleja, la materia
e_i_te e_ movimiento. Sus furmas de existencia es en el espacio y en el tiernpo. A la n_aleria le es
in_.erenle el monmi_nto, Ie es insepar_le este atribut__ se ve renejado en todo proce_o de la nat_rale2c__
l_ s0ciedad y el pen_'amiento. El mo__imiento trae com_ cunSeCUenCla inte Cac___ne_ lnterr_as y eXternas
o como se suele Jenominar contradicciones. Las contradiCCiOne5 existen en unidad. C0mO ejern_lOs
deetlo te_en_os:
_n nuestro cerebro hay pa_es que repo__an. pero que a su vez segreg_ hormonas_ neurotransmi__ores_
sangre, etc. _ta contradiccin de reposo a_rente y segregacin o monmiento relativ_ Fonna pa_te de la
unidad que es _l cerebro; e_ternamente también se maninesta L_sta unidad como conocimiento e
ignorancia. valor y temor, audacia y cautela. esta coexistencia detern_ina el movimjento; tam_ién en un_
operación ma_emáIica hay suma ?__ resta, multipticación y di_si_n_ derivaci6n e int_eración_ esta unidad
de conlrarios Forma parte de la unidad que es la Operación M__ _erntica.
Et desarrollo actual de la ciencia ha revelado que el movimiento tiene djferentes fo_as. cada
forma da movimiento tiene caracte_sticas cualitativamente diferen_es, por el__ p_emos p1antear:
M ov i m ie nto m_t_ n 1t_
_'iene a ser el cambio de l__gar de un cuemo respec_o de olro, e_' el más sjmp_e de Iodos. _o se
debe ligar el mo__imiento mecánico solo con el mo_'imiento de cucmos visible__. Este movimiento es
inh_renle a cualquier lipo _e ma_eria y a cualquier otra forma de mo_miento. _esde las partícuIas
elemcntales hasta los organismos _vos.
M ov Im i_ nto térm ìca
M la parte interna del cuemo Ia,_ molécul_s, tomos __ electrones cambian de posicin uno respeclo
J_ otro desordenadamente o c8tIcamente., dehido a sus múltiples interacciones, a ello se denomina
movi mi en to té rmico.
mov_ m_ento q_imico
_s l_ unión y desunión dc átomos. a_ causa de to cuat s_e forma o desinteg_an las molécul_s que
constituyen todas las combinaciones qujmicas. los procesos quimicos van acompaados del
movirniento de los electrones, que Fo_an la capa extenorde los _omos. Las lrans Formaciones químicas
e_stán muy extendiJas en la naturaIeza orgánica como inorgánica.
_ o_t m 1en_o b iolg ico
t!na de t__s formas ms complejas deI movimientn de I_ materia. Comprende toda la variedad de
pr_ceso__ que transcurren en los or_anísmos.

__ ) _____%y__,_mx___m t __ __g____________/t_______/________ __,___ y _ ?_) ) _ _c____,__>________________________ __ ______________ __ gg) _
lu m b rera s Ed i t ores f ís ica
. ____c;__v__ _i_'__,n _______. - -0o_'.'__'__ __0 y-. _-._w.. ____-__..__.___':m_-';-''____ -_n.__'!___'^_-'_^,_ "._'''.'' __ _._'_.
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_-__o____._n___._' ___,i;,._'_...___.;,.___.^U:_._:.ç-;_'___v_,.,._,.'-,4' _'.'________'c_!i.,':'___._^;,_____g_,-_-_,-____-.__._;.:.____'..:'''';__._5_' __ ,w;,yv1,,, q,n___ _ '_:?'_:.....:.: _...-_:__'''::_'3_;;;."'' ;;.;:5't.__. 5;_n._:;::_.'_i'___.!_..::,e__,,__''_';______o,mg_../'i_.__?''
___._,;.,;:,_:__,i_'..,..!_.;_.__::'____;____- -' _'''_'_;__';______w___?;__.__-m-,_____-;__ _''___' ' _X' ' ?_:_ _;J, _;._,.__.__,C,,:.,, ;_____ '_;: '''_':;_:_'.,'.,.:,;_,;.;__,q? _i__h,,_'''5,,__',___
(ly1Jhorase:loscromosom_seal_gan (3 y 4) Nle_ase: la m_br_ se _s_efve y 1os
y fos dos cen_0somas se _ejan. cromosomas _ sitiian en l_ polos opue_tos de _ _l_
.,,n.___ _____ i_ _ _o,, 5;M,_,,yx., __,'..;.. '-,-_/ '_ ;_ _ '._;_;4;. , ,. . , ,._;_._;' -_ ': !_ g.._._ w__,. m_- _ ,_s, m_?... '; _., .,.._
S) _____.__o,_______'__..:_,__,._t.;__._..-_'''v__._'_'''';_.';_', V-j^ __,_,s_. ,,,;._;_'.:!_.,_n_..,__._'_'_.''___-_,_- .;g__-._Sv____-'--- ;. :.i_ " .._6) T) ..,_,_:, v';_i_;_"_;.5P,_..._.__,;_.;_____v:. :__'_._:_'_':'',:.'_,^;:.''___.,, .:..._j:'i__..;/.,..).' '''''^':'' ___ .V' _, .., , ._;n .._,,..,; n _,
, =; _ ___ ___y_-4. :- : _'-- n _ __. _: '- _ _ :_ _;_'9, .!. ' _'i ' _'_ : : : ':. :' '''_ ; : _ : __ . _ _;__ _ ; _- _ _- ;_s-5 _ , , _ ,,_ .. ,' : ; .' _' _. _ _' .__' :;:. . _ _ _'. _ ! _ ' ' _._ __, _. _._ _' _ -_ ; _ :_,;-; _ _ _- :_ _ &_ _n- ; _'_,'. ''_,_,. . /_ '_.. : ; ' ; _' ' '_ _' __ __ _, ?; ;' ;;. , ,__: _ _ ---_ _x: '_'_ _x_ _''' ' '_ _ ' _, _ __ _;'_. ;: _!, '_ _ ;__', _ ; _''_ '__ __; _'_-: _ _- '' '? '' '_ '-:.; '' '''' _ -n_- __yF _, a'.,.. ,, ;_ ' g_ ;, _ ; _,_ :" _ _: :_ '','_ _' ; ' _' '_ ' ' ' ''' '_ _ ~ _ ' V _'_ '' ' __ _ _ _ ' _' ;. ^d _' _ '__ ;' ; '__' _' i , __ ___. ;. ..- _ _
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's_:_,'._:',_:,_:_-'':_n_ / -_i__. ,;'''''...,,':', .'-' ' ,v''_ _ _'___x''i'!';;._:' ':'_.,'_';__'_'_' 9_' '' ;' ';;:c__,.,i}. _.-._ _'__;w-__i ,_--. ,':_,. ' ' --._0___ _ _ V_,_ ,,_ _!i
___''x_ '/'_, ''i ; '_ ___ :i m ___qo_ ,_ __! _, ';__:. :_; S_ ' _ _'_' _ '' 'i.~_' m __ _; '_ _ _ _: _;_._ __. _'.'_ p;_ '_; ?_, _. __'': __ :'.':' _' 8_ _^ ' ' ''' '__ i ? __ _ ' _ _'_, ''_':: _ : V ::' _', ': '' ': __.__- - _ _ __c - _ - : _ -_' _--, in_.q 6 _ ' ' _ -_ vc_ __' _-_c;--._=__!_. ''_; .__ _. _; _ __.. ', m_.
_?.__..;,;__.__g______^t' j_,-._ _,:__.', _'_'_:-___'-_' ____,.r _.i.___'7_.v_.'__'__.._m. _C.x__s;;'_._:___'._:_..;,__ 'i'/_:,.i._.v;i'._.q___.__.....!:'.:_.@,__:__ __: _'__^' - --_j- __-__'-"---_:i--_....._._.. ..:_.'.:',_:_; _;. ;;__ '
(S y 6) m__e= io_ _mo_o_ e__ (7 y 8) TeIofase: cada croma_d_o de cada cromosoma
divi_dos en dos crmia_dios. emgra hacia un poIa y se produce la _erdadeca _nsi6n
de lacelula.
Lo r_roducci_n c_ IuIor _omo farmo _ _mient_ bioigico.
_ov_mtenio__cial
i__ f_y,___,_ de_ :_ I_'J-_ i?_;_i__nt_ _e l_ mal_eria n1á__ evolucion_ ada, l_ __i_a s__iâ1, 1a histuria dc la s__eda_
hum_r,,_.i.. __ e,I_rt_c_!__';i._-'__:__ má_ imço_ante es el proceio de la _roß____'_ón mate?ial_ __e detcrm!n_
torl_s l__.>_ otra_' ____F__t_s de Ia vida so_iJ1 y est relacionad_ dire_tamenie con la c_nciencia_ ;_a c!_a1
dete_ina lo5 cambi_í_ en 1os propi_5 in_ividu0s _ rel__ ciona_ie con Iu_ r_aturaleza _' 1a so_ieda__.
En con_ ici_____s __ _e_r_l Iadas una forma de movimiento s_'_ puede lransrormar en otra. -h__' e_n_ ir___ n__
caud_l_Jso_' don___ 5e _nc!__e_tren las centrale.s hidroeléctrica_-, e;_ mo_'i__ien!o ._e__n'_c_-_ de_ a___!_ __e-_
tr_nsf,orn)a en i_cr.fíente cl,ct_ric__ es decjr, en mu_1jmient_ orjentJdo c_g elec_tr_nes. ___ n_,o__jmjcnnt_
l_rmico. cumo el cale_.t2__je__to del ___ua _ebic__._ _l ____n,_ de unû cnrrieJ_Le _,lé,ctr;ca, _____duce 33
de_Comp_JSiCión de 1ai 1n_!_ruI_s en Ltn__rJ__ de _-ii,u!?_!i,_ Y nitróg____o, _,ue es _n ti__ Q_ m_}_ ;.__: _ :_tn_
q_imicn. Los m__'irr_ient_s. q__' ím i_=os, en d___. rm!nadas con_iciones_ c_ri?_'!inan !a v_ ida.
FE_OMENO
_.Jebido al rnovin1iento continu_ de _a materia, en ella __e mani F_estan c_mbios de diversas forn_as,
hsien___ úl._uno__' __e e l los p_rcept ibles a nues t_-os sentid__s y ot_'os escapan a 1 _uestra pcrc_pción jnmed i_ta.
Aquellos ca,mt__ios _1ue son µerce_tibles _irectamente p_r nue_stros ser_tidos, Ios denominamos
f_nómenos. _r ej_mplo, lan caída de una piedra, eI andar _e una pers_na y e vu_lu de un _vión son
fenómenos, por_ue en todos eli_.s pc' rci_imos cambios de lugar. lgualmente ocurre un fen_menG cuando
un blo_l1e de hielo __puestu al s__l se derrite_ y_' que _ercibimos su cambio de forma, asimism_ so_
fenómenos el cambio deI día en noche y el cambio de e5taciones _lim__ ticas. To_a la diversidad de
(enóm.enos conocidos pueden clasiF1carse según s!_ nat-uraleza canv_ncionafmcr_te en
Fenmenos físico_
Relacio-___dos con el movimiento mecánico y térmicu, __nde las sl_sj_nL'ias n_ __Ijeran s'J
composici6n molecular. El sonido, el congelamiento _e_t agua, eI en_eI_Jido de un fcJco_ un r__ ;_mpaeo
son fenómenos físicos.
38

_dh_1sft_rla___de____00_o_____o_n__t_______a_________o____0_______h___________u_____m___0a___n_0D0____________d___________________t__a_________dl__________0____0o____0__0o___0_70y____ )o____0bs_____a_____c_l_______D________n_____l__y__t____e____r__c_____l____m0_____v____let___tntt_____tos
___0_______p_____0___________________________tt__t_____________________0_0___________t______0J_t0_op___0________________0__0_o_g________0______________________e________________________o________0_________0__________________________t__00____0__0__________0___0_______________t________10______0______00___o______________p___t___0______r_________________________________ ___?________L_0__________________x_______o________o_0______ ______
CAPITULO l IntFoduccjn a la _ísic_
Fe nmenos q _ ím icos
Kelacionados con el mo_Jimiento químico, donde _c altera Ia composición rnolecular de las
su_tancias. tbr ejemplo, la o__idacin de un clavu, Ia con__us tión de i papel o Ia ma_era_ l_ disuluci__ n de
__ucar en e1 ag__a, la fermentacin v. descomposicián de los alimenlos.
0_,,,.._._ ,,,., ,..,_',,w_,_,,. ,;., ..,. ..,_; ._. , -_-_ :__-_. i.
li iii_i,_8_ ' i__,_ii_i__. ;? __,_ ___.!_.'____::v_~ _'''_'_i^0''_'_''i^_^___'' ' ' ''. '' '
_D_,o0_.....i_,.,0,.0,, ;- . .,,, __.i.'i,i.,-,_ j_ li. _ ____, ,; ''_.. . . ' '
_;i_,__..ii'_,_i_ _ s ___.. __'_,.o'',ii_i_____ _ ,i__0_o -- =_, _ - '' i___ i
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e_!______;..i..;.;_._;:'_:;'_?v'' __'_..!_,_ _"'_'' 0_, ' , ' __''__.'_':,,____',_'ii'_''_''__''''_''"'__"'__,"i i_''.__' _---='- ''
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_''''_,_..0,.,., ' .. p___. _ .:_.. ?,c,, '', '- ., ii' ' ':''..__i,a.i_.''ii _ f ' i_ .' V'
/ ,,_ _ '0 ,_.i__ --1 _'..j ,., _ . __ '_._ _ 'i_'_'_, ''.:_'___ ' ' '
, __'_'^ ''_|'!_' __lu .,;..__ i '' ' _, e,.._.__a_..eg,.e,._,._...,go_i.,, _, __ v ..
. ,'._. .,. ._ __., '''_____' ' .._.,g__.__...,..,,0o.;,_,_0__,_0___',.._=^__'_,_,_.__..9'' _ . .o-,, ...... __ . ._ '
_s gr_cos muis_ron d1versos eje_los _ fenmenos _cwnh_c__l_I,_un __' _oeje__fenmeno
_sIco_. quimico.
Fen meno_ _io lg lto _ ,
Relacionados c_n eI movimiento biológico, que implica todas la (ormas de vida _istentes. M
des_rrollo, crecimiento y reproducción de Ios animales y plantas, su adaptabilidad at medio en que se
_es_ arrollan, la circulación de la sangre, los la_idos del corazón_ la respiracjón y las en Fermedades son
ejemplos de fenómenos bioIógicos.
Fenmeno_ sac_alet . , .0- _ ....,.. . _. ,, ...,,..._.. .,_,,D_,o _ ,,,,...
'_'__!. _"_'"_ "'__0!__ _ "'_'_i__. , _, _='''___ ' _ '__' ''_' 'B_ _'.'____,_o_0_,',o__.__._,____w_'''_''_____''.0__P'''v _ _0___._ii'a___________0 ' _
_elacionados con el movimiento social_ la __'.' _____'__,'___, __i'_:' _.._'o____ ,. __'_i''; _',___^_'' ___,_____:_'___'_i._i'___,__o,__''__ii_''_"__'_'__''__,___,, . _' ''__'__''''_
__^__.;.. , _' _''ii0D'____n'_ !_i_,i,____,.'_'_i'--i___X_n., _'__'_i'_8'__i___'__''''i _,t__.__ _ _-___' ____ ___,_n___
- _ _ _ '.._;_ ._,'__:,_'.:_...:'__, _,.l.,_,.,.. ..,.._d.'.,._''. _''_',' _'__'_. '-__o_._,__D_,,,e___?''-^_._ ^' '''',.,,,,__ _. ___ ..._.._;0_.'_,_'_i'_____., '_''_g'''
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s_cjc_les_ _ue actualmente vj__jmos. Pbr natufaleza ie___,. _'_.v, _'___,=ss- -_-__' i,0_,,0_o_.'__.,,_,.__i-__;.__':_i:_;., i'.___i__.___',,__._;.,.;..,,_._,,; ,,, .,;,0.o. ._ _'_. , ,__,,.,_._i'__ ' e_-- _--. -. __n n_,g i
. '___ .___,o_l,_',_.i,__,''____'' ,;_.-'_-_' _' ',_._n_:''_,' '_._0'_'_i_•.'i0_ia.,___,'i_'_____l_,o' _'._'g.,.__i__i_i__' _. '_. _'_'__.iii_' i_" _i' _____'"^__0__.____.. ' __
PlhOl___ F_CSUnSCrSUCl_ yen aSea 0S_fOieSOS ' ___''0i0___'_",,____i',,__%__,, ,___,';__ ___._____;'___?_,___ _"_ __,__0_''0_ ____ î_',_n,,'''i__0_" 'i'_,. ' ___0 _tn__ '''
_'___0o,__',______,i__..i__,_i_,0,__,0o...B,_,_..___O.,. _,__-j_ i_i__,l.._ ,__''_.;_ i___'_i_,_..,_,_0__ii__ '<_î__'-'__y._.,, ;t __i___O__. ''0. -''a _' _...;;;''_0i,' _0_8,ji__'oi. n;'
soc_ial__- er_ lus cu_les participa, se desarrolla en __0_,_'i____,,_=_,0._0=,,__..__'_;._n'_'___.,,,_..,-0_.,':,_0__.:___._,D_-':;__ __.__;._.,,e_''_,,_i_i_,_'io__'i,i__i',__,.,,_i__._i_.,i,.__'d,'_i,i'''',i'0_!__?_,i,_"0'i___.__i._i,.__'i_,,__,,',.. '_n___:^_.,.;_,__0__,.__,i' , '"0'8____'';_ ' ^. ,, ''0'____.;_,':______,_,'_:_,____',_;:;.;S.,,-.,. ,,_._i__,,a__d_doi__.,,'_,___''_,__o,__ ,,,_.g.,o,...,0.d'_;
, î'_'_V^_^__'"'' Q_.i_'_'_i__i''_'_1 i '_'i___''_l i__ii_'"_'i'00__o____ii____0'_î_0_ __',i'iii'l__'0''_ii_' '"0_K '0''' 0i__'_'__i' _.__''_____'_:S'".t;^_i'0^0_____oi_i___,__"'___i0i_
_ _renteS aspectos, por e_emp o en adquirir ,. _, .__,__- '__ii0l_i___''ii_i.,_i_'_' ,__ ._e__,,._,li'i_ii'i'i.i,.'.ii 0__|'_8'....__','_.',,_!' .. ''''____=-_i'^____ii,_,6___a___.,_ _i_0,__,?,'_'_!
' _ '___'_'___ '___i_"'i_.i_.___..,,_ii.____''___.iiil_i_____0_.i_i_iii_,i.. _... ,. _:_.;':'' .__. l,_'' _i _'_P'',' ,__d_,_.____ ___--i_ _-_-:--'_,i._.;_;,q__.i__ , _^, i
_onocimienlos _bj__tivos con lo__ _uales logra W' . '-x___-' _.ii.._i...i''_._,___'_'_'_i_.^__i''i_'__.,,_'0.= l,_ S--'-_5_=-_-_v_v_:___' ,_.._.,....,,,_. .ii' ''. =__O_'__i___-_,_@V_:-_0__0_j;_'____D__:__0-,._;,____:_ ' "'_....
trans_ormar a la na_urale-_a en función a sus _,p,o_e,_o,dg_o,_,se_,,b,;,d,,,_,,,,,e;n,,,d;, _,,;
necesi_ades. _rotojuslo. expresa un f___no s_ioI.
39

_TcteT_ t J t _ r_t _ _ t t / ct _ / tt __0 _?__ _ o_?_?c____f7?_n?_o_______yn__0__v_nv_?__n__00_m0?n___c__c__c0_____??_0________y____s__o_p__0_?__q__w__?___t_0?_____?________0t___?_________vv_0____o___?0_________s?__c_?____o______e_____??__?nco__t _
Lumbreras Edit_res fís i Ca
mé_o_o es _l camino _ycio _(go. _n su sentido mc_s _oeneral es Ia nJanera de _lcan_ar un ohjetivu
cun determinadus _ruccdimienE_s __ra ur_cnar Ja activiJ__.
Sin i__licar un mé__do determin_d_ es im_osible re._olver nin._unc_ t_rec_ cienli F_ca o prá_'licc_. Por
eso l0s hom_res dedic_an tanta ater__'i_n a crear v. a rtominar los méto_us _e la l__or teórica y _r_cticc_.
l_a _ráctica a tr_vs_ de la hiitnria ha cor_Uucir1o _l dcsacrollu _e un rn__to_u adecuado para el
est_di_ de i__Js fc_nóm__nos. Las mélodos d_ inve__ti_a_ión los ?o_cn_os e_c'ontrar des__e é_oc_s mL_._'
r_mote__- ' en _i_'ersos )_'g,are_- China_ India, _abil_nia, _gipt_, Grccia. R_m_. _tc.; pc_Fo donde si-_ __'L_ cur_
m_)'nr _lari___ es sin dis_;u_-ión el_ la socie_ed _riega, cuna _e la c_ultura c1s;ca. _n esa __occ_ I___
cc_nur_!Tni__ntos c_Ican_ados no __san _e __er empírico.s, netamcnte rel_om_.n_lgico_ se utur__ _oca
imp_rtàr_cia a1 pen__rnient_ lgicu _ara com_rc_nder 1_ csenci_ _e los f_nmenus+ Los p__nsac1o_-es de
r__st_'' é__ucy c__1nn Arist_t_l_s, PlatóT_ y otrc!s uti_izaban cl m_todu indu__li_'_, en el cual_ a partir de
__l__en'__ _;un_s partic__Iarc5 Ilegat_an _ c'_nc_u_'i__n_s geneiales. Ten__7i_n _s_Jh_' n cI n1tc_do de_ucli_'o,
c__n___ a _a;tir _e -_t__Lln_i __ustuiado;ì ____nEr__lcs se 1lega a r__nclu_-iu-n__- ,narl;_r.__ r_are_'. Sin en_b2r_o est___
mtodos _e cu'__ocimiento no esla_an _-i_. tem_- ti2ados )+ fes concluii_ne__ c ! ;Jc.__..___II_______ _4_nerafes en Ia
mc_v. J_-í_ _L_ !_}__ __'__so__ se mezctaban con creencie__ s__re Fuerza_ s__I_rendtur_1es (cIiosc_._, m_l_ ;. !!v__'cI_d_s,).
_crri _ur_ r__ _o_1_7 elt_ ?_to__ mét_do__ ya a_urtan luce__ para l_ c1ue venJri_ rn__ _dcIante.
En !__ F,_1e_ _1____ic__ ___ siguen usando In-s rnis__o.s m_todos _ltifizadu._ an(_.__ Ian_e_nte_ D, _r io_- _.-ne_os.
__Iu en__arc__ __cJ nj_'__tro _e la__ creenci_,s e idcas anticienlíFlcas. l _. s arsul;_entu_ cle lo__ cualcs ?c_ _'a_ià__
e__ _l p__n._____ic_c_(u _ri_stJ_ té,lico. Ton_ás_ _c_ __uino fu_ ctuien rcalii.__ !i_ n____. ___ __r te de !a tra_u___-!u_ _e _í_
of__-c_ __ A_i__lút__!1__s d_l __riego al latirJ, _er_ las icle__5 de ,_!__Ela1e__ Gc
___s___é._n ___ l1 !___c1l_ccin no _c_ aju_ta__- n a )__ __>alidad (crJmu fu_ v,__,_,_,__>,_,__os,v,0,_c_,,_;,.v,__'_=,,?,,_
._US_f3r (J 17l_S _'rlorn)___ ej, D_I l) _il et a J_n _COl C c_ OS _rO_r)_SI OS _ ?__'_'_0', _0_,_?,,_,,,_,e,___6_ ,
__ r1lcJiufi_ d_ __- _1__ca Ii_ c___ c_nsidc_ra_a s___ i_t,___s at_s__Iutas e _'__?_i___?_'La'____n_0___0_n 0_ ____
- ' ' _''c__D,____,_0'_^'c'i?_' ___________'______^0_____ _,
inm__lL_bles, trm_J___o cr__n_ _onsec_e_ncia quc nadie pudia _lantear _,,___-_C-:_, ,;o.v''_? ^ ' ' ?,,,__ _?_?___q___g,e___
í_r.___n_entu_n en cul_tr__ sie._do aií _ la_ persnn2s __c ies pe_seg__ia_ o_, ,___',0_e_ '_'' _. _''- __ ,o _, _m^ _c_ __ ?_b?_ _v_____ _d,_?_,_____D _?,cv _,__e_c,
en__' l'c'__ta___ _' h___tc_ ._-_ les d____a m_!_rte __ediar__e cruele__ tortur__s. _^___0_ _n. ' ,,__;__0__'^_ 'C
udo e__to )' c_tFos _echos má_-, di_.L_uItahan inte__cio_a1l__ent__ _l _,;,_c. __'' ,''' 0,o;^_'__0__,_,
f7r___7eí_o p___'o __igni F_c_ti_'o avance reaIizado p_r muchos hombrcs _'',__?
dentru dc l_l_' _ie_cias nc_turale_-. ''_c_0P'_.,_
__n el m__c___ mcJ_erno se _supcra lc_ eta___ empírica, la ca_I.n u .__ _ -
pcrmile d_scubrir ____ Ii_s relacion_.s sensuriales, lo 4ue Io_- 'c;'_^ n ?,_, _ i;,_o,vvc' _
SCntIdOS l__ __rClbCn: Ia __SenCl_ ClC IOS (enOmCII_S. ESta eta_l_ El m;, ,, u e,7fe ,e,,;_,1 e_c,,co, ,,, J,s
liene su _unto de parlida en los erandes des_u_rimiento__ dc/s_3IoX_'(l. f_c___sB_con,e5c_,____o__e
eo4r_'_fic_u-,_ __ue llev,ro_,, tos _u__,_res _ c_ue vol_.ief c_n la _,ist__ un om_I,o nJn_er_ de md_eriot, Jr,c_'uJ__s Ic
ecrca _Io___LJ crencIo derE_no h__5_or__ t'
_Cla la _atUrateZa. _. 1_Ch05 ClentlnC0_ dC _S_ ta Cpl>_'_ realIZaron oJ,_J,o 6oco, _ue _ec,.s, ,o ,,,_ o..,,,. _
gr_nd_S a_'alli_5 Cn _l deSarrOl10 del cOnOCimlentO Ci_1ltínC_ aU_ crc _cI pens_m,g___ cre_!_r_o n__!r_ _no o!
c_on le _pos_cjón de l_ i__1esj_ crj__tj,_na. l,_ cueI tu_avja t(__nj_ ei_n Slt_emd_lz0r un __-occ_o d_ _t_o____?_'entì
. _ , . _,. . _, d o1Je Ilnm_dolndu_c_Gn L01n_uc__c'_es_'____es-_
itt'rtU __ L'r _.'COnUmlCO _ __ ItICO, e Im_C __ _U_ SC _S__,r
- . , _ - ' _or e_ cual I__ conc Iutrones _eer,ercies te
dt_ lfl_llP eI CUn_CtmtCnt_ Clentl f)C__ ex_r0en dt_ s._tuo_lo,_es _c.,_,cJ__o._cs
42

__ _ _
CAPl'iUl__ t 1ntr__urción a l_ __;_icc_
Así ei astr_n_lnc_ v. rnate.mático p__l_r__ _- _!icr_t_x_ ( -'{7_Jrn ;c_ ___- ' ;_r_ !rJ ,_; _ _ ) _n. _. _r___ ',e____e_- ). J n_a__m_ __t i__.__._
CJnlileo _alilei (I_6_-l_9__J __ J. Keplt_r (l.771-i__.(OJ, cur_ ___u__ trL;_f,;xi_;_r!!_' y te(J_-!as c'ien_ii__s, r._j_'_1___et;__ n,
gr__ cia._ a t_ in__'enció!_ _c la 'am_rent_. rur_.µie-1on. __;rl µru_onrs__l0. ___n m_lch_s d______!c_-5 i__puc_stoi_ _,J____r
l_ i_les!_. _n .sus _s'tudir_s _.Ja .s.e di__tinglle uni nì__t{id_-Jt_.__ía _e !_-_'e-_-t1gdci_n cier_tN;^_ _ca, _or_d__ se coI__jc____
mucha im_urtanci__ __ la cc_m__r___cion ex_ei'im_'nt_j, t_mo un __ritcrio _e verdad _e fas Ec__rias
pl_nt____as. E_'tos n_to_os jueron conso!id_d_i' con 3as te_rí_s _--_,i métod_1 ___erirr___nta1 e i_-_ic_z e!
despcg_Je de la L'_iK,niia c_mo _ampn. _utnom_ !iher__a de Ias tr__ _Ja_- pueste_ s, __._r e1 urden suciat qu__
i_np_ro du_ante muc_ho tiempo.
Con_o ye.__os. a tra_'és dc l_ t1isturia la for___' c'omo se estudia los f_I_ómenos se hc_ i_0
perf_cci_n_ndo y _c_tu;'_imente _se ccJnocen n_u_,hos _néto_os: cstos pueden ser dif_renEe_- de acuerdo
at ti_7u de fenón_eno que se- e_tudic_, sin embar_o, t_m_ién c___p_rten ras_ qos en comun. Hay _esos
esenciales )._ generales a todo Inéto_o. Estos pasos son p4' rte de un proceso al cual se deno_nina e1
método cientírico y cunsiste en lo si€uiente
la observac_ón
I-_n el método cicntir_co la o_se_'_Jaci6n coI_siste en el estudjo de un (_nmeno que se produL'_ __n sus
con_iciun___ naturatcs. l,a o_servacicin debe ser ___i___drJsa_ ahausli_'__ y exacta. n pa_ir de ta ol1se__cin
s___'gc_ el plante__mi__ntu _el _roblcma c_uc se __a a estu_li__r, lo q__e n__s Ile_'a al sigL_je-nle ___so.
_a hipótesi_
__s una suposicn ideada para cx_lic_r pruvi._iunalmente un determinado (enómeno o dar una
res_ue__t_ pro_'isione_ f a} pr_blema pf__ nteado y p_'edecir las con_-ccL1encias de I_a supusici__. Si_'el_ de
ejcm__l_._ d__ hipólcsis= las suposiciones acer___ c1eI origen de l_ vid_ er_ Ia iie_'ra, deI surgimiento deI
sisten__ sol_r_ eEc.
_a e_per i m_ nta c jó_
Para comprobar la hi_7óteiis se rcafi_an e,_perimentos. la exFe_rimentación consiste en el e_-tudiu
de un Fenmeno. reprod __cido eenerelmente en un laboratoriu, en condiciones c_ntrota_as, eliminando
o inlr__ucie__do aquetlos (actor___ quc puedan innuir en él. Todo c_µcrimenEo dc_be ser repruducible,
e__ dccir, _ebe e__Ear pla__teado y desc-ri_u de forn'_a qu_ pueda repetirlo cu_lquier experirnentaclor que
dis_on_a _e las misma,s condicione,s. _n esta ctapa es muy importante efect__ar me_iciones __ las
c_r__.terísticas obs_____s en el renómeno. Los resuttados de e._as medicianes pueden descri_irse
mcdiante tc_blas, __rncos y ecuaci_ncs, de manera que puedan ser analizad_s con facitidad y pe_itan
enconlrar relacion_s entre ellos que conF1rmen o nr_ las hìpótesis planteadas.
la con_l___ón o sínte_i_
lI___ hiptesis connnnada sc p L_e_e transf_rn_ar en una le1_ c,ientínca. -_sí l_ leY_ cientíFlca cs' un_
relación o regularidad constante_ compro_ada en 1a práctica. .

_______ _____ ______0__________________ __________ ___ _____ _ __ _ ___ __ _ _ _ _ ___ _ _____ ___ _1t__ _ _ __t_______ _ ____ __ _____ ____ _ __ ________ _ _ _ __ __ ____ _____ ___ ___________
lum b reras Ed itores Fís i ca
Por ejempla. li__ ac -_en_0n rctacion ta caídc_ _e tus cue_os con el rn__mient_ _e la Luna a_reded_a-
de )a iie_ra (observación).
Plante_ ___e ta caL1sa de e._tos do__ Fenó_enos es la fuerza de atraccir_ _ue la Ticrra ejerce a todo_
_os cucrpos _ue estn __ su __1rededor (hipótesis).
_'_steri__rmentc e__ta hipóle.sis f__e confirmad_ me_iante rnedidai deI m_vim!enta cle ta Luna )_
tL_Tnbi_r_ con rnc_Sicior,_,__ _uidad__as hechai en lahor_torio (experi_ento _e Cavendish).
Actua_mR_nl_ _= I__ c_nocemos cumo la lc,_' rJ_ l_ ___-aui(_ción c7niuen_l.
MMODOCIENTImCO
( Ej emplo _usDa_vo)
_BSERV_CION
l_s c__erpos metálicos en épocas de veT_no !ncrc___entar_ s_s '
_imensiones. '!q.
HlPÓT_lS
. lJna moneda es un c__emo _e_ico, si _a rrotamos con la pared
se __c_e calentar. EJ c_ent_mien'to del _uemo_ lo cua1 implica
- un increm_xnto de su teInperatura, es la ra2ón, de este fenómeno.
1
_,'
' _EN_ENTO
Calentamos la moneda ya sea por frotamiento o bien usando un mechero
para que el c_entmiento sea mav, or. Si comp_amos Ias dimensi_nes de
Ia moneda 0tes y después de1 praceso de calentamiento notaremos qu_
s__s din_ensiones se han incrementado iieeramente aJ aument_ la
ternp_ratura.
! CONCLUSlÓN (A NrnL _cROSCÓilcO)
El calentamiento de un cuerpo metálico es la causa de su dilet_c3ón.
44

_
CAPfTULO l Introducción a la física
Casos especii_Ies de le)_es son el principio y et postul_do. __n principio es un__ 7ey generaI_ no deducida
por razonamic_nt_. iino sc dcduce de la obsen/aci_n a de Ia e_perimentacin y si_'e de µunt_ d__
pa_ide p__ra explic_r to_a una seric dc (cn_menos l___adus enlre sí y de las cu_le_- se deducen otras
Ieyes 4ue ah,_rcan un camµo más reducido. U_ postul__do es una pra_osición cu_'_ __er_ad se a_tmite
sin ___eha_s y c;uc es necesa_ia por_ue sirve de base para _osteriores r_2onamicntos de Ios cuales ._e
_csprcnden l_y_s _emostrabtes en la pr___ctic_.
AJ esludiar un __unjunto de tcyes se _uede hal!ar alguna rclac'_ón entre eIla_ _l_e )Ieven a pIaI_Ee_r
rundacT_enlos generaIes co;_ los cuaIes se F,orma una teoría. __n conse_uenti_, la teorj3 c_s un_ estructura
_e conncim;ento._ ordena_1_s y sistematizados _ue tiene como base una serie _e 'Jeycs (incluyendo
_rinc_--_ic}s ?. J pustul__u._j _uc sin_en para e,___icar J_ maner_ má- s profucl_c_ _' a1r_plia el de___rrolIo de un
_' _i_ecto _ejc__rn_inado de 3__ m__ teria. _as teorí_s _ar__ _ue seaI_ cientí_cas deben ser comprobadas en la
prác tica-
__r ejemp1o, Ic1 mecnica clá.sica es una teorá_a quc e__'plic__ el m___!m iento rne__n__co dc los cuer_o_
e _'_locidadeS mUCho menores que la fuz !i- tiene com_ fun__c_m_nto _ la5 tey_S _e Nc__t0n y a la le)'' de
tc_ gravita__in uni_'ersal.
__ i__oria _e la r__lat_'__ic1__ _ e-_peci3l _gen__rû!_, FJu_l!!c__a e_n l9O_- )' l91G respecti__ament_.. cu)_-o aut_r
_' _ Al_ert F,in__tein se fun_a__e_nt__ en _I _rin_'ipic ct__ rclati_'idad_ en el principio de i_,vari___i)ic1___ _e la
_'e_toc!da_ _lc la lu_ )J ca_ el principi_ _e e_uiv_lcr,_ni_.
La Teoria _u_int_c____ __Je descr_l_e la__ _ropicdâdes din_rnic__- __ la__ __' rtic_1Ias su_atómica._ v. las
inre_racciones __ntr_. I_ rT_âtcna )- te_ r__ _iacií>n, se b_sa en t_s po_tula_os l_l___teados por el fisico aIen-_án
mcu _l__ nc'k en e_ __ 1 !J_O _' en e1 princi_io de incertidumbre, forn_uIado pur el físico alem_^n _-Vc_rner
_e_i_s_nher_ e__ I __7
_ tr_' _'_ uc _s_o_ pasus et cnétodo cie_ntirlco bt'inda una direcci_n corrccta al tra__jo dei cientín__o,
_i_ci_.Jiin_ en la mmrcha de l__.. ir!__estigación, le a)_d_ a _s_o_er el camina más corto par__ _a _btcncin
d_ autér_ticoi c__.oci,__ic__E__- __ __ l can__o _lue le prcocuµa.
_ nL_ces'_rio en___n_er _ue ei m__tG_o cientír_co no es esltico ni in_n_tabte, tampoco es __na s_1ma
mecánica de diversos __ocedirnientos de investigac'ión elegidos por los hombres a s__ antojo. sin, re_laci_n
a_gu__ con los pr_pios fenómenos investigados. __tc_ se desarrolla en el ,_is_o proces_ _c_ in_'__sti__ación_
_n et p_oce.so de e-5tudio, no e_s cr__aci_n d-el h_mbre. é{ lo descubre de acuer_u a las nece._idade_s _e su
ir_ves(igación. _r esu c3da _.ampo de la ciencia o de 1a pr_- ct'_ca eI__bore s_as métudu_' p_rti___!td- !es., so_re
todo el_ l_- _artc expcnmcr_ta1 ; _ur __jemplo, !__n _r_Jce_in__i__nt.os e,_perim___tafc_- dc Ia í''='_ic__, _e __i__-ting_en
d_ 1os _e la _uími__a y. est___ úttimu5 __e di?tinguen de los _c !__ a!!oio__ia. _ctua;_me__c. cor_ f7__s-2 j!__t_mente
en le_ s necesida_es q__e sc presenlan R__, 1a prc_Jfundización _e to_ F_nórr.-en_5 _olóe1c_J_ c_ia v___-- n_ás
cu__p1ejos. __e re_uiere cu- ordînar io.__ _r_ce_imiento_ __pe_j_J_entale_- de i__ Fí_iica, !_a r_!>_i_,;__ __' la _iui__i_- ,
F_l cntod_ ci_ntifico nos t_ace __-er que un coi__cin-_,'_e_-to ci_nlír_co e_ __r! _on_rIJ_ie_nto _ue_ __rtc_
de la realidad y se compru__a c_ l__ ani__ma re_' !!idJ- d, t i___e_ _;;!._. c__ use 4_e !G _i!_ !r_a )' lo má_ imprJ_ ;__ n te.
puede s_r s__perado p0r __n nu___o descu_rimient_. _4_i _-e e,_-_re_sa ef de5_crol!o LJel conoJ_n,imiento
c_ientíF_co, los nL_ev_s de_'cu_rirnientos y teorias no anulen los re_ulta____ d_-nleri_rc_s, no nieg_- n su
veracidad objetiva si__ que .se Ijm__ ,itan a pl1ntuali2ar lo_ l;-mit_s- ue su __ _Iicacin v. concret_r __ !ugar
en el sistema det sa_er cienti F_co.

______gg____xtF__6_tp________________4t_____________n____q______R_r__r_v_t_____n_____________/n____n____t___0_______t_0x__________________v_t_____0__t________________t_________v___tt0a___t______t___ q ___ hr _ _ p _ __ p p_r vdp_ _ __ l_ t (_ _ _ q __ _ t ______t___ttttr_________
__i.p__..___'''g_'_.__ , , , _i0?,
_i'__i____'_i'_''_0_0__'___',__0'_'_'___'_'i llm_TES DEL mETO_O CIE_TlFICO i,,
_0_0__'____' '___'_?______o,_00__'.g ??
;_a___?'_'_'___; _ - ___
''''_=,.__ _,.__,.,?.__'____'ai Al hombre Ie preoc_paban siempre los prob Iemds eternos: de Ia vida y ta muerte. del bien y del mal. ,i_
a'__._,v,__;__D__''0__'._____' del _ios y de la ecernidad, det objetivo _nal del ser y de n_cro lu_ en el Urimno_ La reli_ón no i',
_do'__., P''' '_._'_ su_ re_)ver _tos problem_. solo mi_gó _r cie_o _em_ et afn de resolvertos y pro_cion un _ii
! ' _.__^_ . .. . . ti'
_~_.__i_-__'- ug_cmsueo e_e O l O e _ cOm_el_ a es _m__ e aeXISte_C_a teffena. '_'_
_,. _V._' , , ^__
':o___,0,,_, ,__',____ Ld ciencia _m_oca __ ada__da a dar respuestas acer_ eI senEi o e a vida= _ene _ m_ ___'
_i_i'_%, , modestas. 00(uscados por los éxito_ de las cienci_ _a_, a menudo to olvidam_ y deimos de tener i_
X'.:.,;;_'v./'_:'__i__;,' encuef__Ias-fm le s;__fl_fdadde uenues_roracjonaJ__mo lafgenlacienc__ates _arece_afasiutu_ æ_
;__..:.'_.'::,'':-'',_;___,:;'m ;,'_ generaci_nes _n _o Uconvincent_ e incomprensi_1es como a nosocros los ri_os de _tos sacerdo_es _
__i_'''._,._.'___,,_''__ _'',_, egipcî_5: _lo el conocimien_o es il im itado, _ro no sus torm_ hiscóricas. ;_,_
__,'>!_,_' ;__, /;':;,_: _ _iencia es cqaz de conoce1- __ _'_!_ i (os (eni_men_s. cLJ_ pr0_iedades ____ pueden ev_f_ar _cr medi_ i;:
__''._ __..__;__'__ __.. -:''' de nu_ me,os Et ___y-o de un _;_,,,_..u-._c_u.Jo, _o se p,ede descr;__ :,f me_(,n__e f0fmuf_ ma_pm2_ic_ __ . _.
_?' ____' __
__ x,__ 0bs_nt_. _us resulca____ son indud_b e_c_ _ _epruducxb!es. os Iog?os _e t__t_ yr,_hi __i_;dues so_ u_ _ho !
_ ' ' ' _x , _ . r, 2 _ _ . i
f._._.;,..._.,i,.._;___i ___e__Mlei__i C0Cl_r0 a O fetten _ln__JnT_. tl_ e____f_O, eSt?.S e_Oi__i)_ìS nO __'__C.-_,n __O_Yenf__ ,_
n.. _.-;>=.'' en __,te-;____ c__ 1_ __jgnc:a exa_, _u__c_t_ _,!Je c__s i,mposj_l_ _esc_, ibirlos c_2_t_cm_i_m_-____ r___ _n,__ v _,____dio _g _ g,
:''; _ , ^ _u_ ?,_efc).;, y ____imJ ;__ _ id(Jat que tos fenmeny_s de _a i__t_3cia no se_r, _d_di_____ h3sta __e ,____ se i___. ,_rm_,n t_
:_ , , _' _2r e_x__?ri___r'_ ,': Js c;e,_tif1cos. _ucstra t_oca reconoce únicmente tales pr!Jebas; io m'_sm0 t__e en el __
;_.,;:'.:''_:=_.___'_ n.e_i_v_ t?.______ en cons_dencin s_lo las prueb_ con aJegacin a autoFidades. '_3
:'_'' _...n.__ __o _ehuemcs a'__agiFnos con es_e_ _,_oTivo: eflo signIf_ca sim_i__me'_Te que el mundo es ms r;ca v,' ''
_ 'v,v co_ r ,_tuJ4_, _?ue su iFn__6_en pr0porcio___a por fa cienc_a. u__ so_r_Sa ___v ____sc3 n.__-_3. m2S __ sue__e. _s _
_ _'''i__, _ . .
-_- n _ If__lI_Cf'_(J1 r_-_
? y i_s___,t__,_o?,u3r.l_,._jer,_ ;e a__s__a_cafseenta1 __;__nciaie_t.i_c3.A _e!.,!otnomb_._e_. __.ec___n=__v ,
'' __L_. ir__e_ni.__ , in_:___?yinarse __ n_undo _omo i_f!n,_t_ tat!;as de n_' !mer_s v/ n_gar. t__ -ea' _3_ _c rr__._c?os :i.
4.y ,; _____ fe___.__ _Je i__s _e )4_- n__ _ _ ; àiez_ basn_ose s_lo en e!- hecho _ que stos no se Fu'-c__er_ axJ, ';c2r __ me__;_s '_
=-_ - ' ' c;en_!__co._. .?:_ _:!_ere,; r__or_amEnte 0-_ i0s c_F_h_ __ie at vc?- ;- _Jna I0Corn__cu_n cerT'a____ 1o_ c1__.__ Fâ__'___a_ _..
., X _' ... y n1_!imu?'___;,iJ, i _?__! ' _'7a__ ., sacans t Se__ __ _ejan___s c!en ciflîos no ven __ i'__r_nc;'a encr_ una ___sond- g__ ; ;'_ '
_:_:__.. .. _.,.,_ y U__ _eSlfI_. __ _____- _S__ q__ _C _Uede d^_m__tfai C0n ri_UrO_idad Cien_t!FtC_ QU_ amb_S e5_can __ofmad05 t_. _
._0'___^c m_l__ ul_ibsJ!ui,amen_eidénTicas. ;_
;m:_ ---, ' sobre e_ (ondo _,., _es _onamiencos, _a m_nica cunti_. acgrca de _a c,af ahon _emos conocida t
Y!____;__/_ __'_ tanias cos_, _ebe par_er una ciencia muy simple. En ef_o. del átorno de hid_'geno sabemos __ Eo _'_
'^ __"';^_,_'' ue dernos Fed_irtodassus ro _edadesobsenn_fe_ muc_om__i_cit a_,n ue sib_eescatcufar i
__-___-_-_-j U-' -" " __ ' _'
;_y-__ _n- ias pro_ie- da_Rs de la mol_uta de hidrgeno. En cambio, p no podemos predecir I_ propiedades de
_____;^,_ '_:,.,j:_;_, l_ mo__c Lf__s _Je proceina. _ proceín_ no son muy __'ndante_. pe_ __ es_runuran a cada h_rr__re ;
:__;__:__,::_.;'______'s.;._;. en t0da su i_dividualidad. !_
:_n;_,n_:-: __'-_'g-- En una _labra, Ia ciencia p_ úTil e incluso indispensabte. m_ no se debe convenir ta nec_idad en _t
_,,,:_;_._a:;_______..__'_:__' 0_ virtud y subofdinarle todo, s_lo po Fque de momento no pademos prescindir de el1i ,,
i,...',__;ng__,' _n__
; _,. _, _ _,..,,;_,, _^', _ : :,,;9, _-_a___ ,,_ __'
=_,'_p_g_,_0'.__._______ _0'___'___;p_ ,
_'______o______,.___,__j,'_,.,_,_,^_'___,0.'_._ ' '
,. _ _.. _ _,.._ _ _, _, _. _.... 'o, _ _. d,, _ _,., _. _ i. _,. _......_ _, _ _,
._.__,____,'_.i._=_,______,_,_p'__,'. ,_'_
ii__'i__%,.no,_._g'_'_g_o.0,,__,',____._0_.__ ,_
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'i''_i_',._i__.,,,'__.,__,i___1___._.,g.__.._i______i_,_.0__^i'_..,__'_.,,,.._.._ f_EhlTE: _rededor del cuanto. AlJTO_ L Poromar1ov. P_.: 286

_t _lttt__x_lt_Jt_rt__ _r__l__1t|____r _
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_-_i_..._d._,:'8'_'''''^8a_,' _'i'''"'-'__m_'_''0'6_O'^''j'_i'_'___' __d'' 0''x _'_'ii __-.__'____ D_' '- __' _'"'i_-? ì _ ' ' '__"__ V ' P _ : ' ' '' _ _,,__: _xx _ :t '__ _ ' _ _ i __ _ _ _ a i ' i i _ r _ ' ' ' _ _ ? _ _ ___ _
| i __' ' _ ' __ _ _' _ a? ' _ __ _ __, _ | _' _ _ _ ' 9 ' _ _ _ __ ' ' _ _e ; _ P ' _ _, v e _ _ __ i i _ _ ' ' _ _ _ _ ' __ _ _ _' _ ' _ __ _ q ' _ _ _ _ ' _ __ o _ _ ' _ _ 0! ^' _ _. ' ' _' 0. _ 0o '. _' ; ' ' _ _ _ _ ' i ' ' ' _ __ _ _- - ' ' _ _ _R _ ' _ _: _ _ ' _ _ ' __ _ _ _0 _ ' _ ' __ ' _ _ ' ' 0 _ ' _ ' _ _ e _ a ' ^ ' _ ' _ ' _ 0 : : ' ' o : i ' _ , : ' i _ _ _? - ' ! . _ ; '' m '
_ ' ' _ _ a ' : _ _ ' ^ _ '.. _ _ _a ' i i '.. _, _ __i _ ' ' 9 ' _ _ ' ' ' i g_ i _ _D __o _ _ _ ~, ' ' _ _ ' ' ' ' ' _ _.o _ '_ _, _, _0 a_ __ _ _ _ _ '_ ____ '_ ' _ _ ' ' ' _ ' _ iD. ' _ _. _ _ d _ _ __ _ ' _d _ _ ' _ '_ _ ^ _. ' _ ^ _ ', __ R_ _. __ o _0 o__ __ __ _ __. - _ ' ' ? _ ^ _ s - _ _ v _ _ _.. _ - _ _ _ _ _ ' __ ' % ', ' ' i _ ^ _ ' _ _ i ' i _ - ' _ ' ' ! ,
__,_._,,,0,..,..__...'oo,,..._,._...__,8___'___.i'_g_i',_B,_.'_..e',__,i_.____'..,,e'e_.__=___,______a,,_'__,,'_.____?,___,.=____''___' __,.0,','i.,'_iii._0..o..________V'_____.:_''__..:. __c_''___-_?_m_.,_:_'ii:-9---___^___,a,___0_ 1 _ t4___ _, _. i,
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_ i. _'i____,.gi_l_'_i_.,_"_i_,g.o..,_o..,,_,'___,ii___i.____i'' iiv_i'_ ' '_'__,___oi.___i__o. '^'___,_0' _. i_ _''__ii_','__'._ai___._____0_._, ' _, _.
- f-_ a _ c)Nosmue_a__ade_camp_end_vnde _acinem__caen, cuenc_imp_____ti_0n_' _J;_
' __ ____ m__-_ ta t___c,-_ _a sincror_i__ IoS me_i__0__ en et t___e_ __ _'
ef dt_o de _endido de _eIes: ';

_____;___t_______r_h__v__t_______ _h_____c__n_vt_ _ EE _ _)_ dJ de bt ;_ _ d_dt f __d_(db _t __________od%D_?_m____0e__d0>____20_a_)0o_cc__h_oe_00 __r l __?_
g__n__'___'_____"___
_ _ '__ _ :q_ icuÁN_o Nos movEmos ms 0E _R_sA :
_, , ' t _
_-,,-_ q__ _ ' ,
_ -_'_ _
__,o__M__,_,t_,__ n Unaoc_lO_. OS_eflO lCOS _arttlnOS_U lC_OnU_anUM_OSegunelcual. _of25CnfimoS_ _o(recía ;__ ;
m ;_:__. da_ a conocer un p_Kedmjen_o de via)_. banco _ yn el menor unsanc_o. No (_ta_on crdufos que enviyon x_
,__'__/ sus 2S cntimos. _ada uno de e1los recibió _or correo una una en la que se decía: ___
__. __"_'',-_ Ci_' dodono, quédese usled en su cdso tronqui Iomence _ recuerde que Jo T!erro d0 vueI_0s. Encontrn_se en '_
_n , _ :X,_ e1 poroIe Io _e Porís, e_ decir. en e_! 49. usted recorre cad_ dío l5 OOO hm. SI gus1o d!sfrutor vistos pinto;escos. x_-
'_-_ ab_aI_svJ'siJ
i,_:_v_?v_v ft aut_r _el anuncio fue iJ_ _to or es_fa_ cuando te le eron !_a sentencia pa ó Ja muI_ t__
________,'___: c_rrespondiente. _icen que adopcó un_ _stun dramática y repici_ soI_mnemente ta c_ebre (nse de
_'T='___ Galil_a_ __
_; ___ - '
;_-_ _, -iEppur. si muove! (iY sin embargo, _e
__:s_ ; M_edl?dia
;_s_ mUeV_- t--_
c :_. . _ -__
__ _ _ Cle_O S_nCt O e aCUsa O _v3 _ ' _
_^;'-__tx , ' O '_,hi
._-;;,-_?.; r_0n,mqMe_ a)a l_nte eaC_ef_ , .
??_ - ;__,_2_ t___esc__, no sóto via;,a aa ei_ar és__ _a___,_____,_0_m. _____:
": ''';' at_e_edo_ _m_ s!_ eje_ si_o _mbin. Y _on __ __0___ ''--___0_D_o,____ __Da__' _ .
. '. _ay_rve__c_d_. -31 reali_rar ja Tiarra b.t ___ _i!'!_0__ , ' def2T_.e,,a _
.._' .. ., rla _0___"?O t
m''_,_ SUtTI_'_tll!Ie_T_ eEF_aCIOnafe C Of _ oo0 __ o___,_0__' ,_ ____ -t
_ ; _el _ot, N_es_r-o _t_ne_a, con todos 51Js '
;_ _ h_._ican_es r_Grre en e_ espacio 3o _m ' '/r
' ,' pcr _eg_r;__o_ a_em__- degi_r alrededor _-
de SUC__. /
,. A __op. sic_ _e esto se puede hacer
;- - - _In2 p_'e_g!Jnc_ !1-_ceresan_e: __Cundo nos
i ,,, m___mos ms de _r;_sa afrededo? de_
y, - sol de día o te ,oc_,et
,, - ' _ _ et hem_._,fer_o de Id Tlerr_ q__e c__nd_ es de ncc,_e __ ____:t? se _.:_v_?_e
? SC_ _Fe_Un_a PUede _a__ eCer
' ' _ ' mO_ de ___ 1SO 4U_ CUdn O _S de JlO. ,
_,. _ eXlMna,_UeS_OqUe.en_IO _nI__menCO.
' , _ mi__t_ en un l__o _e f__ __+_ ;errJ es de _ia. en el otro es de noche. _ntonce__. iqué sencido pJ___e _e__ e_ =
-_ _ dictv. _re2unta! al p3__ ecer. n_ngun_.
, ';, _in e_,b___. no es ts i. _ t quid es_ en qu_ '__ que se pregunu no e_- cJ_do fa Tterid en s!J cc_.t_!,n.!c
-_ _ se-_ Enst_4___ m_ e priu, sin0 c_ndo !_os c_ladam_s m__ _e prisa en_re la5 estrRtt_ n__- otros. as _e___
'_ ' _ __,, sus ha_ae-dnt___. m._ i f_v_ mu l___ no __e tr_u de una pregun_ sin 5en_io , por_ue _entro _e_ s1__ema s_'_ar
_; _ _. nos___ r_s tRnernos d_s m___mient_n_s; uno de craslacin alredNdor de l So_ y oEro. s_m____n.eo. _e ro__-__ ___ -
_;, ,_ alreded0r del ej-e de ia Tier_a. _ ___os dos movimientos se _umbinan, pcro cu_nda nos enc__t_mo_ c__ ;.
_v _ _;; el hemis(_ria en que es de dim. el resul_ado de __ combi__ci_n es di(__rc,n__e de1 q_' c _e obciene c'u_____ _
_',; ', :_xê- es_mos en e_ hem_sferio q4e esc _e noche y se co_?ren_e_ que a me_ _an_he j3 vef___ __ad _e rotac cn
___'_,_;'_ ;;_ 5e s_ma a _a de tnsl_cin de Ia Tier_. miencr_ q__ __ mediodia. al rev_5. se resca de e_!ta. E5 _e_'_r, a .
x, "' __s'?- med'_anoche nos movemos, en eI sistema sotar. má _e pris3 que a _ned_od i_. -
__.,;__v,____ como uien ue1_s unEossituadose,e1Ecu,dorreco,,ence,cade,nedio_iE_me_rc o,se un_c '
__';__ - '' ' a
_m_9_;m' -;_,_ ta diferencia entn 1_ velocidad_ corT_pondiences a la media_oc_e y _l mediodi5 en J_ zona ecuator_a_ _,--
__, _e'_ Ilega a ser de todo un hilómecro por _gundo. ;
y ___?
N _ /__-; _ __ :'
v /" i._ i
__ ç' ' fUENTE; isica Recreativa. A _: Y. Perefman, Pág._ 20 Tomo l ;
__ 0'__,? ^_

__p_ _og_G__6_ (_h __t_ r _t l_l_l_ll__ll__tl_l_t____l__l______l_____0__l_l0_00_,c_e00__0ll____0_0__l___0____o_ll_0____0___00?l______o__l0ol______0__0_t0?l_0_____c_t_l_lt__l_l___l_Jl__ll_ll_l_ltl__tl__t__l_l____l_/__l_Jl_ll__lll__l_Jtt_l__y___l__f_l__ll_rl_ll_r_l,_l_l_tl_l_l_l__t__l__l_r_ll__,lo___l_00_/l0_0lt_l,lt_l_l__l__tl__lt_rmrtl_ltl___lt___l___0?t________?tm__ _ _
lumb re ras Et itores fisica
Con la Cinemá_ca es po__i_le_ d__s__nbi,y, __atemálic_amente casi todos los m0vimientos mecánicos sin
recurnr a las causas que determjnan cada' tj_0 concreto de monmiento. M este sentido, proporciona una
constnJcciúr_ t_ónca simplemente desc'nptiva, por ello también se le denomina Geome_a deI Movm' into.
La Cinemática Clsica_ que es Io que vamos a d iscut ir_ se aplica en los casos donde l2 rap_'de2 de los
cu_os _s p_quea co_ respecto a la __ l3 l_2, quF_ es de_ ard_n d_-, 3O_ O_ '_'s y en e_ c__ de ve1_c_dades
n_á_' ceIcanas a i_a ra_ide2 L_e le luz_ ha_ _ua recurrir a 13 Cine_,ática Rel_tivista. En e__te tc_to nos
oc___2remo__ su_o de ia Cinem.á_ca Cl_ica. Como veremos, las mun__ientcJs mecnic_s son muy vnad__ ,
pueden ser simples _ com_1ejos. __n este capítulo comen2aTemos con el estudio _e a_gunas magnit'_des
que n_s _ermn _ _ta_ _e5cribi_ al _onm1e,nto mecánico de los cuemos. tales como _a posición. la velocida_
y Ia __celer_ci_n, _ue__ aplicaremos estos conceptos para e,_amin_r los movimientos más sjmpIes
c_rno el mo__miento rectiij_neo unifo_'me y _niformcmente _'ariada.
m_VI_l__T__eG_NtC_ _,_ , tU_ ___ME_t0_ ' , ' ' .'_
lJ
Ex_minR__o__ lo m__e 5e aprecia en el siguiente _ránco
I_ m_. _ __ l_ _m_ _ _, _ _1_m_ _ _ , _ _I___n__ , _ _I .m. _ _. _ _.
_ ,_ ,_ ,_ ,l' ,_lm
- Si queremos, est_Jdiar lo que acontece con ta peFson__ ser_ nece__ari_ _,ntunces de;^lnir s_ __!x__ación
en et cam_u. iCmo de F_nimo_ ta posición _e la persona? _odem_s estatJlec_r que su u__cacián _e_e_de
_e u_ __ r_(erencia, esí tambén _odem__ ar7rmar que _a pen_na está a S m de_ 4r_r_!- _ esta a _ m de
la nor. Cual_uiera de es_as _rop___ .__iones es j_lsta y c_n_cta.
_n el primer caso, la rererencia o lugar desde don_e se- indica l_ u_!cu' ci_n ___l h_m_r_. es ei
árbc__ y, en aL se_undo c__, la referencia e__ la nor.
l_a inf_rmacin anterior no e,s suF_ciente para derlnir la posicií_n _e _a pers_na. p_r_Ju_ '_a perso_.a
puede estar a S m a la derecha o a la i2quierda del árbol; as f como tambir_ pue_e e_- Ld- r a 3 m de __te
o de_rás de l_ flor. Por Io tanto, no b_ta conocer ta referencia v. c;'erta !ongitud, e_' necexM'o _arn_i_n
dennir una d1r__cción. _r_ esto se _e_uiere asociar al cue_ de re(eren_ia _n sislema _e coordana_as )l_
a pa_ir de este se podrá indicar la po_ición de c_alquier _bje_o en et espacio.
102

__ r _l_l_l_t_,_flt__*__l____l___l_l_______o______l_,__t__l__t_t_l________l__________t_l__lt__l___t__ll______l__lt__l_,____tlf_,_t___tl_l__l____l_7l___,_____0_o__l___l__t_lJ_l_,_ll_tl_l__lll_t_____ll________yt_
CAPíTU Lo l l l C inemática
_ociando _ árbol un sistema de coordenadas, _endam0s lo siguien_e
,,z
lmJ' ' __ _ _ ,_ _
,' ,,_ _,_ r_ _,; _,' .__,;__.__,,'
I m ,_ ,_ ,,' ,' ,,' .__0,_ ,,'
X_ ,' ,' l' ,' ,' ,'
la posic_n de la persona respecto al __ol queda defanida como
rp= (O_5;O)m=5jm
la posiclón de la nor respecto al _rbol queda de Fanida como
_p _ (3 ;s:o) m _ (3;- + 5_)m
Como se puede obseNar, la posición es una magnitud _sica vectonal que denne la ubicaci6n de un
objeto en un instante tualquiera_ sobre un sislema de coordenadas.
SlSrE__ DE REFERENCl_
Para def_nir la posición de un objeto en un ins_ante cuatquiera, es necesario de F_nir pren&mente un
sis tema de coordenadas y un medidor del tiempo (cronómetro o reloj)_ todo ello _ociado a un cuemo
de re Ferencia. A ese conjunto fo_do por el sistema de coordenadas_ reloj y cuemo de re Ferencia se
denomina 8istema de rererenc_a (S.R.)
Con respecto a un sistema de referencia se _uede afirmar o no, si un cuerpo experimenta
movimiento. Para ello examinaremos el siguiente grF_co
z
_- sistema ,_', ___^' _
de obs.____,_' , , , , , ,
_fefen_ ',__m ,' _m ,l'_m ,__m ,_ _m ,' _m,; y
l m ,,' ;; ,= ;___..__...4. ,' ,'' ,; ,_ ,_
_ fo ___' -;__;..;....5.__-_-__;..__..-_!_;v..;:.,.._.- __-______. ' ff ; ; ,l
l m ,,' ,l' __ V_-- !-:_.'i'_''__,___:_. _ ___ '-_ _ -____.__v 0_ ' t,=8:03a.m.
l' ,,' ,,A ,'' _ _ ,l'_
to='8:oo_m. ' '

__ __t ___t_ ____t( __________(_ ot)_ _ ___ _ _
lumb re ras Ed it o res fís ic,_
Para la persona, el batón rea_i2a un c_mbio e -_ long_Eud de _a t,,vgcton_
continuo de posición porque el b_ln, en el _
InSlante to = 8:OO a.m.. eStá en la pOSiiiÓn unjdad: metro (m7_, tambjén en cm o _m
ro_(3;2;o)_n_(3;'+2-)m )_ a medida que
transc_Jrreel tiempovaocup__ndootr_posiciones En e_ gr__F1co anter__or e_ b,16n re_ur,_-__
taI que en ef instante tF= 8:03 a-m. su posición lo,gitud Ag de _a tF__,ec Ea,;_ rec__i__n
eS fF=(3;G;O)m_ _tOSi_ni FlCaP_aeIObSerVadOr ar_rm_remos que e__B-_3m.
_ue el baln experimenta un movimiento
m' C "" i CO ' Desp_a_am_ento ' ^ -_
_ una m__nitud Fisicavectoja:! ric___ _elerrni__a
_Qué es el movimiento mecnico?
el CamblO _e _O.StCl_n qUe C_perlmCnt_ el __{i__ll.
Es aque7 fen_meno fís'ico que consiste en el Gráncamente io repr_senlamos me_iante un
cambio continuo _eposicón (enel espacio_'en se__mento de recta di_ieido d_sde l,_ _o_vicj_n
el tíempo) que __'perimenta u_1 cuemo respecto inicial a la posición r_nal.
a un sistema de refeTencia.
Para de_cribir el __ovimiento mecnico _d _ _f _f _
- -F-O!
utilizarem_s sus _r_µios elen_entos, lo cual nos ---
permilirá agilizar nuestro aná1isis del Mel gr_F_c_anterior: d=_n,,j=3/IT,.
mo_'imic. nto mc__c2nico realizado por un cuerpo, Tambin este resultado sc oblien_e a pi_rt i r _el
trián_ulo __e_lo:__.__.;'' ___mhrD_ado_ dond_
Móvil
viene a ser e_. cuerpo que experimenta ro + d _ r,,.
movimiento mec_nico respecto al sistema de -_ __?, _, 3.6.o) 3.__.
t'_-1'_ 11
rcrerencia. Por ejeniplo, el balón.
_ d_(O;q;O)m=4Jm
Ti_ycctoria
___ la línea que resulta de unir todos los puntos Djslancia (d)
pordondepasa_lmóvJl;enconsecuencia,puede Es eI módulo de_ desp!azamient_.
ser rec_ilínea , circun(erencial, elíptica. parabólica,
helicoida_, etc. _= l,^dl l
Por e,jemplo, el balr_ al maverse des_rLbe una
línea recta AB. Mtonces_ esIá realizando un _n el ejemplo anterior: _ = ._B = _ m
m ovi m iento re cti líneo.
ntervaIo de tiempo (w_
_etermina li_ duración _el c____io de
Recorndo(e) p . ., 1 d ., d ,.
OSIClOn O a llfaClOn e Un e_'entO 1i__tCO. Pafa
Es la medida de la longitud de ta trayecloria e_ e J_
descrita por el móvil. _ _ ( , _ 3 m_,
104

_sul EnEp__n__ell_apcl7f_l______1_____n____g__t_J___t/_______tl_t__h___t__N___r__t___t_l___vh___t_t_______t_____xtn________ ______t_l__t________r_______ttttl_____ ___ (__ ___ltlt____t__________7__t_____t__l_6t_2)_8_m_/__t(_____2_t_____)________ (2)
CnPíTU lo l _ _ C inem_t i_'a
4eyecIon_ _ _ v - - ^ - _ _
_ cj_cun(e_enci_ _ _ 5at_ltte _ _
,,_,Ji ____ ,' '_ __in_i_! /_,_,
___ ,___ __ _D _ _--__ ,/-', ______/_
_,_,___c ,t _ _ '____
_^_ ?_9_____o_^ ^?_' _ ! '_ '_ ,''
^ i^?' ' .^ _a_t_ '. r_ena _ '__.;_'i_a_C!?na
__inca _ ; ,t r_m i _nCa
__ __ __/ ,l'
'J '_ - 'N----_' _/
- _ '' '' =,;-:__-___ -_"'- ''''___ '- ' . _,c'_
_, - ' :, ,, _,.: ';__,._'';,,',,, __. re_cta ', . __ _ i ' -'' '
_,_ ._y _-__._-___ _w____ .__ -__ _ _-_M%m;j_vmv/_ m_=_,_,_______wwi__, __-_ _m__.m__ _M
Clas_cocin deI movimiento en (unc_n o /o _r_ectwi_. la gr_co muestro Io __clurlo _eI cent__
. y periferR _ un d_xo que ruedo tln _sl_2drse.
_emplo planteado __ué p_icu_an'dades __Re
_o_4__u4 dp mgdJa = _ = Jc _ = Tc
hemos p_dido notar?Al s_r la trayectona rectilínea_ c1nc_an_p__ncia
cl recorn__v_ l_- di__ tancia__on ieuatesenvafor,4m. _ e_ 2,_
Sin _m___ rgo j_l re_'urridu y l_' distancia _
-__m ,e od,a_, se, _1 u__es en v_lo,7 ' _ EI despla2amiento d es el seg_1enta
_,,c_m;ncm_s un c,s, donde _a trayecto,;_ es diri_idO aUe UnC l_ POSiCiÓn ini_ia_ (?) CO_ l_
n, ,_em_,c,_,cu,fe,.e,c_,, de 2 ,n de ,,d;o. pusiL'ión rlnal (B).
Según _a F_gura
Y _ayecton_a ___ 2 ,_ ;_ __ 2(2);- __q;' m
n=9.
/' _,'''_ _ La dis'tancia (_) es el mo_dulo de_'
,' //_'' '_ des_l_' zamiento.
_ _,' _ ' -
; _ '_!! d-_i?dl_2K=2(2) t d_4m
_; o 8 x
Por lo E__ nto, deducimos que en un
,g_,e se descr__b_, _a t,__,ecto,,,a det movimiento cur_ilíneo_ el recorrido y Ia
,nsec(o n,o_,__e,/ndo__e __ A _,ac,__ B _,-cu,,/nto e,s distancia tienen diferente va_or+
su recorricJo?, _cuál cs su desplazamienlo? y i_ué ._
dista___'i__ _v_nz? Ejen_plo J
Una hormi_a se mu__ve cn una re_4i_n c__adr_n__ular,
Se5ún la F_eura si__uiendo el trav_ ecto _ue se _nuestr_. D_termine
_ _,) r____rrid_ (_'} es Ia medi_a de In longitud cl rccorn_o, Ia di_stancia __' e1 despfa_amiento de ta
__ l__ _'elnici rcunferencia cle__crit_. hormiga al ir desde _ haste B.
105

_e__s_tc__o_eg_AAa_te_1_tmtt___t_J______t__to__v/s__tlt__rlect_m_l__p___t__u___'__t_n_____t__o____t__A___J___y___y_t___u_t_,b__r___lt_t_t_____t_______________t___________3__l_tt_0Mc__m__________t________N,____r h0_aArc__|______t_l_ean__8etd_epbopdmemosoBscl__J__anporFclocevor_e_cshuamro_/0a0d0t___uF_N1t_lgo__u_yf_s_ul
Lumbreras Ed itores f ís jca
;- ' - _ ;; - - - - -;---__;- - - - - -;_ _ __;__,_; - - - " -;___ _-m; -- - - - _ _ y B 3
__ ' _,' ,,!_ ;;. ,_' B,,'.''' ' ' _ _'. ': ',_ ,_ _, ,
,t'_'-'_-,,'---_' -;^-""''_;'_.-: ,-_-' N;J_i'=-+___,'-, _;.'_'-' -;_'_o''_' '---;_i'. ;_ ''-'''''' _'''___ ''-_-;
F '' - - -- -__ ^--' ---- - _; : - - - - ?'_ '= - N - -__ _- - -- -_,^ _- - - S- -._ _- -__ _ - - - - ? ! d_ ''' _
_ _;_ ,i' _____o'_'" __._ ; ; . . _ '_4Cm QCm
_'--'-J - _ , , J_ _ ,''-'-^Jt ! ''' _,
' ,' t ,'. ._''',.,' ,.'.__ ,' ,'_.__Jl?nl ; . , ,. __ ;_ ,. ,_ , _
--- --___ - ---- "M_ ; .'''''' ':''''' ',''
____'3_'''';_'''__., 3cm X
A ' ' __ ' -- - ->
Resol_ciÓn _ 6cm_M
Nus piden el e_, d_ y dAB. Pnmero debemos
_legjr rJu__st_o lugar de referenc!a. ior cornod idad ,
. c am o s n u es t, u s _. s t e m a Por et Teorema de Pi tágo_as
de co0rdena._das Ca_esjanas d n _2n _ _s_ _ s cm
' AR_ - ^
Para determinar el despla2amiento des_le _
_y
_ + - ' _ -_ - - - - - i ' - ' ' '_- - - _ - - ; - - - - -_ - - - - -_-_ '-_ - - -t_ - ' - '- - _
C__' ,/ ,' t' _,' ..,? ,' , ,J ,'
__---_-_....__.;-.--_.-.-_.'. '_ '' "....,_ dlfeCClOn.
_- ,/ ;,' _,' ,,!' _._'' ,_J' __ p ,
''__'I'',',';,'' _
,' '- _- =-/-_---_,'_--_x-,_'----_---,_'__---_:-_,'-.-,. -__,_;,h'-'-_ ____ --_- _'4_ estab_ecer e_ 5iguien_e g_á; _ '
__. ._ _.. ._.__ _______ ; '____ __ __ _ ___., _ :. ..: ' __ _.. __ . .N_--_ _ _ ' '
_ / ;'-' -_' _ ,t' ,''_'____'_'' _' x _
,,lt"___';_ ,.,' ' ,_ ._ _,t ,t.' .. ,,,' ._ t_;' _' ; Y ., N
__6'm -_ _ '_ _':-_.
! d_ :.-
iara determin_i el recoFfjdo de A hacja B, __ ; 4 cm 1.
d;,id;mos todo el tfa ecto en t,e, tfamos de _4 '_ ... ' ; l_
t,,,,_, ,__,. _hF hac;, y y ,v h,ci, B. En co,secuenc;a !_, ' ' _, t
!o0 ' __ __ X >
e__e_+e___+e_,_ -
'' ' 3cm
eAB"4Cm+9Cm+3Cm
__ _ 3 cm COnOCiendO d_ _- S Cm Y del trián_ulo _ctn__lo
notabIe 0 =53^, se obtendrá
Para determinar 1a distancia de A hacia B
' dAy=5Cmi_530
debemos unir estos puntos mediante un segmen_o -
,_ctilíneo as;se (o,ma,;el t,, ec;o AMN8 t,l Otra fOfma de eXPCeS_f tamb'le__ Rl V'eCtOr
como se muestfa en la _gu Fa. Si desde cl unto g, deSPl_mlentO eS Rn fUrll'lÓn d_ SUS COmß0nente5
trazamo.s un seemenro perpendJcular hacia el feCta__U1_es _' Jos _'ectures unita_os
lado AM_ formaremos un t__n_ulo rectán_ulo_ _,4, _ (3;+4_)cm
106

______0______0___0__00____o_0____o_____00___________0_0 _____ ___ _c________y__________ _________________________B_______0_____0______0_o____________o_o_o__c0_______o_______________________Ld_____t_ ___________h___0__t___ __g_t________>__1_____c___a______________________________________________________________________n_________________________0__________0________________0_________________________0__________t_____________________________________r_________________@_ r___Jecctt___nd_et_______m_____o________m__0_________D_nld_e___0__n____t______te___o_s(_e______o_a__ d__es_cn___be_____0_____________+__ _
CAP lTULO I l l Ci_emática
RE___vID__ EN E_ _ov__lE_T_' ''m_tANIC0 '' ___
__odos los elementas involucrados en el movi_iento m_cán_c_ depen_en del si__tema de referenci_
ele__ido. _ra comprender esto. consi_eremos el si,_uiente ejemp_o:
Supongamos que dos personas_ A y C, se encuentran en e1 jnten0r de un ómnibus, en don_e Ia
p_me_ sos_ene una e_-fera cun su manu mientras que o_ _rs0na _, en __so y ubicada _ fado dcl poste_
o_se_a que la esrera se mucve !!un(o c0n el jo_Jen y eI _m_bu__ t___c'_a la derec}_a, t_ com0 se mu_stra.
Ldyferana s_
_-j-_'a._ '''''__ 0
.. _-_-_,__-_e__/'__^'_ _.:..0_,._._..,:_,..:..,._. ___ _ _ _ ' _ i_.;^_,.._o..=.':_-_._e ''' _'_'
;s,e,a se mue;e __________ ___'8_ ___o __'_
_,,_'_,,io_,_._.0,,.,,. ___,__
De pr_nto, la persuna A suelta la esfera y la persona C observa que la esfera desciende ve_icafmente.
M can_bio, Ia persona _ absen7a que ta esrera desciende y avan2a hacia la _erecha describiendo
un_ trayectoria curva, tal como se muestra en la neura
._6n de_ _o_,m-ento ' un m ovm' i n t o re c ll _ i n ea
__ gi''.. A_ __ __,_.c '-0 ._.,_, _- g.'_=.__ A_0 ,' ' '
_ ' Jt _, ' _ _ _a 0o, a_._ _! - - - ' _ _ _ ___._ _ __ N_ ' ' _ '! _ C _, i _, i _ a ' _ ' -
_2_:_ ______i__'' _'''!'';.1 ''___'___0,,_i__ N^'"__,,_, - _'__,_a'_,i_''_; _
___0%,_ _0' ___:''___'_;5..:_. _ ,._..__!_!'''':__:._0. ___i 0!.___';. _a. '____.,.., _' _ 0 ___!! _'' ' S_' '.':;._,..... _. g&, _, _._ _-'i 0__..,._;_... _''_._.v._;. _. ^ _ _ _..a'_...o. '^^' _n._.., _. '
a La gsre_a sullada descnbg un 0 0 i ,_.. 0,
_ 0 _' - nlo _ab6l_co i' ___ _ __ _ _'_ ^ __ _ 0 _ _ 0_ __
,,,'___i'i__'_''_,.'B
El movimientu de la esfera es obseNado _r la _nona C y Ia penana B desde lugares diferente_ _b_
personas pueden considerarse como cuemos de referencia. Si a cada persona le asociamos un sistema de
coordenadas y un cronómctro, obtendremos dos sistemas de referencia tales que:
' Para el sistema de referencia asociado a la persona C, ta trayecloria de _a esfera es rectilínea y
para la persona B, la trayectoria de ta es(era es curvîlínea.

___ _p___ __ea_ t_tll_|_l__r_ __ __ ___ ______ __ _t ___ _ ________ t _ _ l_n_ _n__ _ts _B __r y_ t_______J_ _ J 9_t _ _y__h _ __ l_lltJ__lt_
l_umbreras Edito Fes f ísica
_ No solo la trayectoria es difcrente para los dos sistemas de referencia, es eviden_e que también los
demás clementos del movimiento mecánico, como el recorridoi el despIazamiento y la distancia.
son dife_rentes. _to significa que eI mo_miento mecánico es rela_v_ ya que 6te puede ser
diferente según el sistem8 de referenci& que eliJamos. Por et_o, c'_ando anaiicemos un
determinado movimiento mecánico es necesario indicar con reIación a qué sistema de referencia
se anaIi2a dicho movimiento.
En otro c__ pítuIo, discutiremos con mayor detalle sobre la relatividad de1 movimienlo mecánico.
Por el mo_nento, supondremos que tenemos un sisterna de referencia bien dennido que p_r lo generat
e5tará asociada con ta Tierra (sistema de rererencia en rep0soJ, sal__o qu_ se in_ique lo contrario.
_PI_E2 Y VE_CI___ ' ,- ,_., ' ; , ,, ___ , - ;.'.
Iniciemos este is_udio _aminando una competcncia atlética, la cerrera de 1os l 00 m con salid_
simultnea.
_ _tl_20S
__,. ,:_
=a r,
; ____A _
--__ ____0 _,;
;' _tj=25S ;
'! _,._,
_ -^__ _ ;
_'_; ^' _0 me_;
_lOOm_
Los at1etas salen en forma simultánea del punto de partida y recorren 7os I OO m_ pero ,_ demora
2_ s y. 8 demora 2_ s podemos anrmar que
_ E_ atleta A es más rápido que 8.
Si podernos advertir que, en la n__ turalc_-a. algunos cucrpos son _Jás rápidos __-1c otros, _qué es la
ra_iclez?
Es una magnitud cscalar que matemticamente se deF1ne como e,l rccor?ido real izado por el n__iI
durante un intervalo de Eiempo.
reco_ido eì> mkmcm
_ Fa_ldez__=- ; Untdad:N'_'-
intervalo'de tiempo. _ _ s ' h ' s
108

______y_________r_____ll_______t_t_________v__________________r__F______r_____r_______t___0_________A_____n_______ _hxtn_r______r_______________tlt_____tn_______4_s_v___4______y_________________J__t__________v v__ t/________ _____ 1_J___ de qQ __t_ s )__t _ _t___ my_qp _ qcod_aeun__cfvueeen7_pmot0s_
CAP_ULo _ l I C inemdt ica
A iiene una rapide2 deF1nida por En este caso. not3_los ___e ,4 y 8 recorren
.dodeA loom l__ n'_ ca_a _no emFle3ndo 20 s. Po1' lo tant_,
_ = _t_Jem o = _2o s *' S podemos a nrmar que
_ene oir, ra __dez denn,_d_, por , _, _ rec0rrido _ l OO m
tienipo 20s
recorridodeB l00m
tiempo 20 s Sl _ y _ _Xhl_Cn I_Uai faplde2, _tOS atlet_5
,. tienen igual movimiento mecánic_? iNo!
OClOt_tU UA>UB_ A eSm átfa_l OqUe
Podemos apreciar que el atleta A corre hacia
'_ ._;::..._:. _S_____.Y_____s_i__.::_'_:__;_.:.,.;;__':,ix,.,,y;,Y_. _,,_;,i_,'_,_'__',,___.;_._.',:;_''_,'__:__,,;__,,.;^;_"''''';,n;;.'.__,__'__,,_,i_m,.;_X;_w._ ',_,,___'__'4o,'____',_.;_,'__..'_.__ ,.__'0_',___"'i4__._4'_g_''__g'':_,4_ ja derecha, mientras que el atleta _ corre hacia
._ _'', _ i ' 's5-_ _ ' ' ' ' : '_' __._ _ _ _ ;: Y :.. _ _.v i '_ ' - '.. _. ,... _. !' ;_. _;_ x_ _ r ?_ _ ?' ; _ __, _,, _ ?: 'n _: np, _ ' _ _ ' _ '_ n?_,__ ' ' ___ _ ' :' ' ' _' '_ _ _ _' _ ' ' ' _ : ;,. __,',:_ 'q,' _' _ __ __ _ _ i_ _ ' _, _ _ __ ! _' _ _ _ __ _ _, 0,_,, ', _ _ '., _ ' ' ' _ o _. '0 _ _ ',; _ _ __ __ _ ^ ___ _ ' ____.,, _ _ _ _ __ _ _ _. _ ' v _, ' ' ' ' ' ' ' ' _, _., u ,. e, d, c o n, _ u., m o, u e_ o, m o ,. ,. m ,.
M' io'_..,,_,__,i__t'' v- - ''' ' '- '"' '' ''' ' ''''' ' '' ' ''' '''' '''''''''''' ''''''' ''' '''' ' '''''' '' '' ____
_, _,. _n.;. ,, lo, atleta5 e direTe,,vi4n r_, ic, ment_ of
_ ___ '' En un movimiento mecánico, sin _;
__'__, .d ' 5us direccioncs. -
_;_;_. _mpo___rlaformade I_tCaYectOna,Sll_fa_l ei gn
__, es constantg e_ ,eco,_,do se c,_cu1_ con ,_,_ Cu_do se ana1iza el mo_'imiento Inec'ánico.
'';_ t _ no solo será necesario precis_r la rapi_. e_t sino
_;_;.. u_/___--_N--_N_ ?,' también debemos iT_cticar Ia d;-rección y esto
_,.,. ';.._0_,/,0. _ __ _u ''',' implica usar _na ma_nitud v_cto_al que permit_
...:.. _i//_ A _'v'__i_ .L'_'''''.... _ _ , ' / '.' c_,cten.__ e_ ,no_.m.,ento me__ _-
('_-'-_'---'__: l_ cual haremos mediante la ve_oc1dad (_u ).
l __ = U t i. _, ue, es __ vetocJ.d_d a_.a ue/ no_ __.
vE_ot_D_D _ú
COnSideremos que loS a_letas_ A y B eStn _ una magnitud vectonal _ue nos expresa la
separ_d_s a igual _is_ancia ___e en eI caso rapidez _-onl_cu_tuncuemoc_n_biad_posición.
anteF1C}I Y en fOrma StmUltanea Cada Un0 COFre En función del intervalo e tiempo
hacia el punto de partida de1 otro. relativamente grande o pequeo, po_emos
esta_Iecer la velocidad media o ta velocidad
l_-- 205 _nstantánea respect_vamente ,..
__._P_., ' - _ - .
; ___._,0 , _.; Velotidad media _,u
__ ' '' ' '' '"' i'' ' _! K?os _rmite delermin_r el cambio de posicin
' t2 -_ 20 S _, dc un cuerFo en cie_o inteNato de _cmpo. llna
_ _ ! vc2 determinada es considerada una velocidad
!, __ '_, ;__-- ; constante ue se _e a_n_
! , oj_} _= , ! intervalo F_jado. Matem_licam_nte se def_ne por
' _ _ Um=- i Unidad:_S

__Rt_eem____(p_lla__cse_Dtt)mto_s__en (l) _l _t _l) _ _etad,___ l_ lt_t ll _l__du__tt_tNtlnt_ot_ ___o_np_ce__p(t_eomn__dtt_ee_/ldl__e"edstl)aa
Lumbreras Editores F ís ica
Ej-Rmplo _ Podcmos advertir que la velocidad media expresa
C0n5ideremo__ un mo_quito que vuela el desplazamiento det mOsquito dUran_e ef
describiec_do una trayectoria cur_-i_ínea inte NalO de tiemPO (_t)'
(helico_,de) corr_o jnd_c_ la F_ ufa. _QUe- d_feCClÓn _iene la VelOCidad medla7+
Matemáticamente la velocidad media
z depende de1 desplazam'_ento (?d) entonces, su
direcci6n debe coincidir con Ia del vector d. En
coMecuencia
__, ,' _ _ La velocidad media presenta la misma
ieloj0__ _ _/ . ., , _ _?
.*,,__, -;--" lfeCClOnqUee e S__amlentO. _
;. !?_,;,), îo d,_____ _ L, ve_oc_.d_d med._e es _.nde end,.
'_ -- -' _orma de la trayectoria.
't_ Y
_,, ____,a___ B ve_oc_dad _nstan_nea (?u)
X para d_r una r__c__u/
velocidad._ anaticemos _i m__nmiento de un balón
De A __a_ci_ _, el r__,o_-quitoemp_eaun jr,te_alo lan2adOen A yQUepaSa_OrlOS_UntOS B,_yD.
de tiempo _t y caTnbja de posición desde _ _
' B
ro a r, __Ferimentando un de5pla2amiento. _
_ ,____,-0D-__ _o_
ntUnC^_Sde Fll_lEn_SPafY_SteCaSO (_en?te ,l' ,//' ; B '__
^ _,/ __ 'o Uc
um=_ (l) __' ,__t8 __'__
_,J,_' _---_'-- C__
Del tr_ángulo vectorial tenemos U_ _ -_ _ '- ' dBc '_
' _,,_d___.-_ - - ' '.
_ -? A9J__----_ ._
fo+d=fF. , ----___ '.
_ d=_,-o__ d_ ''^-----.._ __ ?,
D
_ _d _,, En _a r_eura podemus apreciaF que: '
u _>__) E_ l, .
m _t _r i ' ba On em_1eZa a mO_'et'Se deSde _.
_ EI baIón destribe una t?ayectona cur___inea
Podemos pIantear que ro= (__6;8)m_ durante su mo__imiento.
?, g 8 o _ _ 2 s entonces __ ,eem p_a2_, _e _a rlgura p_demos e_t_- btecer que:
f-1I I _ ' . ..
, . . os _nteFVa OS e tlem_O eStan en a rel_' c_JOn
_ - _ _l_<_t,ci-_I
_ _ r,.-ro (8;8_0)-(4;6;8
Um =_=_=_ Resufta evidente que en ceda jnt_eNalo de
_iempo rererido, _xistan di_erentes
_ m = t2_2;4) _s despaazamientos.
11O

__ ap_G( pp)aFt__ __ _______)_______l __0____t0_____t_ _____ ________d_____ ________________ _t _temp_to__t(_d_d_tK _ __dd(tl_))_d)d(2l()__d(d3ll )___g__ __ )
CAPíTU LO I l l C i nem__t _ca
_ Para los inlervalos de tiempo menciO__dos U_
'vamente, se de F_nen las velocida_es _ __?__ -- - _ - - - - --- - __ __-_'_ -_
medias uB ;u,. Fuy_ que son veclores _ __ jt
. _'_-___ U4 ___
COnt_nl_US e_ feCtaS SeCantRS a _ tIayeC tOf_a _-__U_ _ _ - - - - - - - - - - - - - ____'_' ''i ___
curvilínea (deben coincidir con sus
desDla2amientOSJ. _, __ _
_ Cuand_ se __an considerando inte_alos de _/___',.,._., _- _ii''
tiempo cada vez más pequeos _ /' '
. . U_ _N ;_
a VelOCla mela _'''!----_
._ Uq
,n L_orresDondiente, C_d_ VeZ Se Va i////_
_proxirT_ando a' la recta tangente en A. _ra
un inteNalo muy peq__eo (_ _ O) medido
., de A ja ve_oc_.dad med__a es _emplo 3
,_c.t;c,mente t,,gente a la tr,ye.ctor_a. La posición de un aulo es_á de Finida por
n_ide______cio__entonces_cón_o x=(l+! 2r+3r')_m; dande r est_ en segurados
podemos conceptu_ la veIocidad instantánea? y x en metros. Dctermjne la velocidad en el
L_ vel_cidad instanlánea es una magnitud _nstante J-_ t s.
vectonal que nos expr_sa la rapide2 con Ia cual el
mónl tiendc a ca___biar dL_ posición en un instanle Resolyc__o'n
de _em__(inte__Odetiem_rnUy_eqUeîlO), iara d_tefmjnyf la velocidad jnstantánea
M_ ateméticamente, se plantea 4ue usaremos
_ _. _ _ _r dr __x _
Un lm Um= Im-=- u__ (l
_I_O _r_0Dl dt ' df
?,_dr sabemosque
dr
Es_a rórmula nos __presa que la velocidad X--. l+2t+3t i m _
l_?5t_nt_nea eS la deflYada de la POSlC1_n se debe derjyar la pos_c_6n x respec_o de_,
r: (x; y; z) respecto del tiempo. t,_
La veIocidad instantánea en un monmiento
CUMlíneO, Slem_fe eS tan_ente a la tfayeCtOfla Y ? _
continu_mente cambia de difección, t _ = _ + _ + _ l
- El ve Iocí-. _,_____.,'._,|',___._=_!i__'' ...0__ 0 0. _
mglro de un ;'_;, _, ! _ ___.___ __-_.i'__-O_;.0_'. _.,,.._ 0., i. i_i_i_.i _ _. ' 0 0 ' '__.... ',_. t
,utom;v;J m __,___0 ___ 9v'. '' ' ___i__ ._,!,.e.....i._._,_,i,_.aa_?,_i0_,.,i,i,,_ _.... _,_'.. _.,g,,_ g. ',_''_______0o__ _ '' !' '.. .,., ' _".. '_ i_ ''__.___. _..,.,,,,,.i, dx _ (o+2,. 3 ( 2) r ,_.
nOSlndICOlO __:_, ,_0_ii_'.i_o,,,,_.,,,_.. _ _'_i.,,oi',. '',.. '.,ii_.i'..'_ .,_''' _ d(
ropide_: _i_^_t0'__''__'__i^0!_i,i__..__i'_.?^'_.,e_ii.i.i,^.'_'__'__''! . __'i0i_'i_i,_ _ ___i!''
inston tnea. .i. li.0____'_,__'.,,,o,,..._,o.,.,,D_,0_,__.o0,.o,0_,8 _,... ,....,=;..i..,,_,.,_..._._o._..i,..i,__'.0.,____..__,,__,_,_,,,_0__..,_,_._..,,_a,o,_i__'_0'__o,....'_,i'_..i...,o...... _ ' i_'__i.__,i__,,,.,.li,,.,i,.i,_.i,,_i__ii_......i,._,,i,___.__,,iiii._' ' ' _0,. .. ..,,,,.. i,i .,.,,,..
_'==__,,,_d..,._',.,.......,,.,._....=='.....,,_.^,_= '=..i._il,'_.._i..,,...._i,'_ii,o__i..___,i.,_'_.,..__i__;_,____.6,___,a'''_lil_,.'__l__,i,.. ' ii,.i.,i,'_...___i__iiii.i .___' =. . t _dX __ (2 + 6 ( );_
i.,. __ t _ ,.i'i__.__i i i.._ _e__,_.'__,_e,_i,_'_,_'__i._a__o..'__,,___i__i_._ii,_i_,___,._,i_._,,__i. i,_.l. _.i'__.. ,ii__',__,_,i__,''i_, i,l_.iii_ilii,__.o^..i,i_ ... i''i , t _ i ,.i
__..__. _.o ''___i.0'___e__.i....__a_._. i,____i_,__,_i_.___,i_i_i...__a.__il_'_,____0.,..,,__,..'..._....,_. ',.. ii__..'__'i'i0'__.__,. 'i'i^'_'ii_"..'_. ' ____,_,i____o._0,_o____',.,_._i__.l._._ i,_^._._i, l _' il_i. ,,i,,.i_ l ,. .. __ii_. i'''i0

__ ___d _1__cr_x _ c __ __ _( JJ __ ________ __m___y__________ ___t r__ )u( n __n __ p_ _ _)xt__ t
lumb rera_ EditorÆ Fís i Ca
Evaluando esta expresión _ara t= l s_ se Grá_camenEe
obtiene _.._,.,,..,..;
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t ' 37_ _!
_ ----------_'____'u,___s
R__ern_la_ando en (IJ_ 1a __eIrJcida_ en el inst_nte ___/ _
F_ls_sef - - - - _ _ ;'
u=_i_s ; ;
_, '
tJemplo _ otJse,ve _ . ._, _
_j_ 1_ trâ?Cr:l_jl_ eS rCï'_I Ir_ea )'_ _UC _
__n mó__j!__. re,n__i__._ _n m_vj.mjcnc_} rr_ecánjco _e ta,!
SCF lc_ _'_!_OCl__d COn_t_1!lc_ !'-_' c1i!_c'c_ó,r_ _í_
__ncl__r1u_-__upc_sicin__r_eltieir___e__(dad_p_r mG , . . , _. ./ ,
_-lmle__t(;_, _t ___ ___ t_. ,j_;31 _ ___;- _ tfC?_ ClU_. t_1_ _c_
1_'ec_J___;-6-r_ r=!Jt___c;3t+G)m._e_e'rn!!___la _ ,d_ _
'_C__Cl _ _ _C'_}t_ S_j ( ___,--________t.i_.
_'eliJc;'d__ ei_ ( __- __ s. i._ ia velaijd_d r,__i ui__ _v_i_ _vl
- _',(',j_.___.-__ cc__..,___ _, _ta__,_,___-,v_.; ,__.t _____,;u_,;,_,.__,__ __,-_t,_____,,__.,
tnl__ri_'_x!Jr._ _j__c{lf.__ i. _ !..i _t___ __-lcJ t =- :j __
S_ __e_c_ i,_ti_-__
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PS_ (_IC_ _, 9 M_ l! n, =_ - - - - -= _M _
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l_ ___ _S'iC,)__!'_n CS __d__rn__ ._
r'_____(__,., ._. tt C)r,'n _J_U +/___ ,J S
l__nt_i_;__ .____ pue___ c._- _c __'__! c'on)_ l- = (_t _ __iJ _ i__' ' _),1
r _(4l _ '_ii;_ _ (3/ _ _j );- __ en l -_- O s_ _ _,- -- t'_i __ Gi Jm
__r_ de_e_-mnar '__, _'__fc_c_idad instant__ r___, ___ r=5s ; _?,-_(22;_ +2l;'jm
deri__amo5 l_ _oii_:i_r_ resp_cto del tiem_o R_em__,2a_,do en (_
_ d?, c/ _ h J _ (2_-;__'_l;_)-(2;'+6;-) __;'_I_;'
u _-_ _=M (_tt2)i i(3t+6)J l'm _-_-_=_
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_ d _ d _ _ ú, _(__;_3'),m/s
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_ r!_ d(qt) d(2) _ i_ _(3t) d _ !!,n ' ' '-_- '
U__-+_ l+_+- J ,' _
cJ( dl _t c1t ,,,-' ' L,F,solu_._o,,_e__.,em _o,_, cuncl,_.e ''
_ _ _ ___e, si ly _osi_i__ _e un _____emo _epe_, de _?t =-
U=(__' O)l +(3+_)J _; __
' ti_m_o en Forma line_l, enErI_ce_'_ s_ _'L'l__ _._c__ :,_-
u_ (_;+_;')m/s ,;; "''di' e inSl3nt'nea Sv'' i3U_fes _' e "û '_z
_ _ d d d d _ . __.:i'._ constante._. _ta concIusin, __. ten__r__c__tr_ ___ '''
l a VL O_1 __ nO e_Rn t' __ tlem_O, eStO ___s
., _ ,. n, c, _ u _ _ a v e _ o c ,, d e d c s c o n s t , n f e _ :_;._ compro b__r á con otras _agn itur i_s ( iv_ ;_cas_. ;;
112

______________?___t_0__ t_9 __ ___ 0_| r_?? ___ _ 0___ m__%___t ____ _ __q?_c ___t_ )| ? r
CA_ fTUlO l f I ____e___, i___
_ov_m_EN__ ____1_ENEo uN__oR_E __,R._._ _
_te monmiento generalmente lo reali2an alguno_n aut_mn_e_ en cie_as carra_era_ de e_an 1_n_; t_d.
donde avanzan uniformemente: también lo hacen las maleta_i s_bre f_Jas tr_n__o_ed_ras, al€_'n_s
a__iones, barcos, etc. iCómo se c_racteri2a lln M.R.U-?
Como _-u nombre lo ind ica. el móvil se des_laze en línea recta _ su __elocid_d se marltiene unjforme_
invanabfe o constante; es decir Ia r_pi_e2 y la direcci6n no vajan. Pbr ejem_io:
u =3 _s u =3 _s u --3 _s u =3 m/s
=- , _,___,___ =- ____,cD v -a- '^_ =-___ ___'__-
. =-'_____S'V___??e --------___ ___0___ ------_- ?_ ____' ------^_-__0 _ ___'_
El automóvil de la ngura en todo instante presenta una u = 3i _s y at ser su trayectoria rectil ínea,
implica cn la prclica que cada l s el autom_vil avanza 3 m hacia la derecha. Por consiguien;e,
cada 2 s recorrerá 6 m hacia la derecha; cada 3 s a___n2ará Y 1r_ siem_rc t_acia __ _erechm y a_í
sucesivamente.
Is Is Is Is
_r___
__u-3_s ;!_u ;_u-3_s _! u ;!_u-3mls__ _
_,,D ___, _ ', _,? _0 - - __ _ __ __ __,? ?_ _ -n_ - - - _ _ - a,_ ;_ _, _ _, _, __?,_ F. - - _ - - 0 _ _ /,,, _ __ _ n_ _,mF _ __ _ -. - - - n____ __ _ __D
_,A _,B _,C _.D _,_
; 3m ; 3rn ; 3m ; 3m :
__s posible deducir que hay una corresponc{encia entre el despla2amiento efectuado y el inteNalo
dc tiempo.
d,Bd d _
= __C = _M = ___ = c(e. = 3 rTUs (Representa la vetocidad del automvila t
_y _ t_c _ tA, a t
_ _ _v,,,_,9,c,,__
__ ,_-__5cv____u_, __,v
, n' -_c;_,___m'_''_^___'" _ __m____,v
n __._ ' _ _ x__"'v^^'' n ,_ _, _ _ ___q____ __,_v_
M_ ~ m . _. _ _ ' _ _ _, _ _ _ _ _ m _? _ _ __ _, q _ _ _ _ ' _, _J _ _ _ , _ _ q, _ '
_ v _n_ _- ,w;,v___, _ n?__,,____m,?c _,?_ ___,,_____?___,c __'____;___
V_ _ m ,__-"_^'^ /xJ_,n_' ' ,c_____?__~__'__,'_?__,___?_,,_s__C_',_____v_>__,
! __ '_ , __,__ýmn^''- _ _ __;_qc,; :______,_;____5>_,___?___,~_w,_,,_____x,_,___,_?_'____ ' '_v_' _
___x__nn" ,?v______,___,_'__^' ___S_V,,___ '__-'- n-V
t _,____'' ^ ' ???_9w__'_0_,_5______,^'___? _?^_,%__i_____ __?__v:?Y ''^'
_ __ ___ _ ' _ '^ _?_' 7,_? ' _ '_,___________~ ' _n___,n________
_ ,__ _ , __ ' _____v___n____,;:___,c_______,_
_,0 ' ' , , ,, ____^;;^__n''_____nV_'
_ ? _?mq??,,_, , ,_,c____,_C_,_ __,,_,,_,______ = ,
,_,_,_?, _,_?_ __,_,v_,___________^__ _ ^___'__,_'_m_________w__,_?_?__?___?__' _?_-^n"_ '
n ___?_,s_____ __ ^,v, _v_,m,?_,__ i____ _, _,,___?___%__^G,___,__?____ __? ^_ _,v _____,_?? ,__', __ ?__ _ ____ _?_%_q, ____ __, , ___?,,_4__;. n
C0rriI _ a1re que _mite hacer pFueb0s _ un mowmiento reNijn_ un_or_.
t13

d___e _l_cTE_____________t_______u3_A_______M___________mJ_m_m__R_0__u_____2__________y_ _ __s______ ____________x_____d_____g________r _3tr__________t_x___x__ ___((__))_c
lu m b r_r_s Ed itores F ís j
_r lo tanto., la ecuaci_n del M.R.U. qued_r _jemplo 5
de Fanida p_r Cuando examjnamos el mo_m iento de una pel_te
que expenmenta un M.R.l!., veriF;camos que en
' _ d fos cu__ tro pnrneros segund_s re_n_ffe 6 m m_ mue
U=_=COMtante '
_( _t en gl tercef segundo deI m__miento. Detp. rmjn__
(Ecua- ,n__n c,,acte,;s f;c,J ef vaIor de la valo_dad que presenta la pelota.
- Resolución
Si consideramos s_lamente módul_s
U_0n__mOS qUe Ia pel0ta se mueve so_re una
t= t_ ten_remos
psta ho_2ontal )_ ha_La Ia derecha; _demás, _F
__ d _ ,, _pe_mentar un m.R,u. sus desp_az_mien,tos son
d - ieuales en intervalos de ljemp_s iguales.
__=- ___ 2_
__ _S__ _S 45
t=Os t=Is t=2s t=3s __4s
(Re__,niones com_nes) .____ U _ __-- _ __-_- U __-_- ____ _ ____- u
_o_dc_asl_nidc__cs_uedenser A; g; ' c_ __,- _!,-
_ : _cn m, km !_. d_! __J d_d_!
l : e_ _?; h Nos p_den u v, 1a ____m_s cafcula_, e, eJ t,am_ ,_
_ U: Cn yS, _m_x_ al consider__r
_ d
_gT_c U=-=-=
___ __ l
S,i ___1 cue___ se mueve desar,ollando POF COndlCiÓ_ del _rO_lema
un M.R.U. ).-___?_,_en_os c_ue _s un rnovimjento d__ = d_D t 6
_Tl;clj,ecc_on,l e, _o,de eJ cue,po p,e,ent, -_dd+ 6
. . _d__,n_ fJ
SP _amlCnt_5 l3l__leS en lntefVafOS de __mpoS
iguale_ y por ú1timo ver!.n1ceren_os que la vefoci_ad Ree__PlazandO (l l) en C1J
me_i_ e instantánea son c_nst__tes e igu_es. u = 2 _s_
_ V'š _n_ _ ___ _ __; ^ _ _ _?_ _s __ __ __, _ _ _ _ __ , _ _' Y' _'__ _ _ M_^ _ __L m _C _ ___a_ _^ _ _ _____ _ m_ _ _- __ - __ ______ ?_ ?_ _ _ _____ ^_Ln_ _i^_ ____'_, _'__?m__.?_ _ _, _' _S___ __ _? ' -__' U
__ _mÇ_n __!___, ^' ___ ,'_,__,_m,,?,,___,,_ __ ___:__,_m_ ?___;___s__ ,,__,ne___,______?,?__ __â,_,___L___ _ 0_, v ___ s___y,._ ,,v__,___,_9_______
_x,_'5 ,,m,'_ _;_' _' '-W'n__,,x^__ __,, _____M___4____ _____c_v__L_^___e __ _''_ ___' __ __^>____"_^g__'_?__'_'____ ___%____ _ _ - ___, __;,_-___,,_-m_'___,?___--''___? 4_____-v _
___x_%',n,,s_,,,,,,_c _/ ,,_,_,,__,_. __,, __ _,_,_nm-,w_,_,.x. ___ __l m, _ ,n,M_ __j_,___
_m_ __ ,,__?_a~__00a_____o_^^,_,0_^__ __'____ n___4___ '___;___m __,__s_''__s0,,'' ?________
___,_n,n_,__! '__,?_ _ _%__ _v__'_ß '__i_ 'V"-__,_______-'____ _,"____-_'n ?_î__,.._-'-____,
' _n'_____ _,_,_s_n _>, __ __?___?D___?___?___,c__,_,__,__ç____________ __,'__'__T_ ;____'_e__'___,_-_v___n _ _y'_x_x.-__v__.'___;-_?-n_ %mm?_______-__.5_'x_.v-___x;, -,___ -__-n-?;x_=_'U__
''_ __m _________ _M_ _ _'__?v '__,___' _>' _? __ ____ ^^ mc ___,___?_____ ___ N_r ____ :___ _ _-_ _ __ _________'____ '- _ ____ ___ .__ _ ^ ^^__ __ - '__~-__= __- _v_
__4__ ^ ?___,__?_? %_ _ __ _ n_ C _ _ ' _ ?__? _____ i__, _ _? ? _ ' S_ _, C_? __ ____,, ___ __ _ ,, ____ _ _, i__ . __ _._ j ___- ___- _- _ ?_,___., _^__y
_,__,___, _ ,?__,__0_;,_?,_J,ia_?,_,_,, __??_?_o___, ____,?e?_,_9_,___,e_'m_^ ,,?_______ _,m_ _M___,h_ ,_' _____-_______
__-n _ __ ;__'_'_ ____, LY __c_,_ ,__ __ _^__ m ,__ __ ,__ ___q ___' _ _ __ ,^ _ ___ _ _ _ _ ,___ _ _ _ _ _ _CC _ _ _ , _ , , _ æ____?--'_m_ _ _ _-
___9?__?_,_____,_ ___ '^?__,_____,_n ___ ___,,_v?__^_ ___ __,__,F_____, _, 0'_?'__n_,mC _ _?_ ,v _______m ,J w;
_______^?_C __ _ c_____ _,_L___,__ _!_^ _,_?_? ____ß_ ?__,_, _c?_M__ __?__ _C_____ '_x m -__ M__v_ 0_^^
,______mtc_e_______,,,,_J,,_?,>_,___,____?,_J,,_,S_______?,,_q?,c,? ,,n_,,___5_m?_,?,,,_,,?v_ _c, ,_______,v_,, __ ,__ ___,u_ _?c _c?',, ___ _ 0_,__ ___ ,_ _
____ __ ^_,__________,_,_,_n_m___O,,__?FL_,_s_'_________c_____a,__v___?___%v? _''a____?____n_5'__,m_____?J,__,_____ _?5____cm___c___nc_,_,____R'___,__v,?_^_5__?_,__^_,____c,__,_____, _9 __ __, ____ ,M__C_, ,,,_____n__,____ ?, ? _
_,,,x __' __________,_,______,_ 0_,,_,___ ________',_' _ ,_,m____________',__'_____'____i0_____s_;_____?^n __,____m____,__?__'_^____,___5,__?_______c____g5___ _v_c__, __' _ ___,___,5_?, ____'_, ,_x0N _ __ ,_e__&_v_j_
__% ___ ^____''_____^__n ?___m'_V__S^o_______'___n_______M^_____?_v__'qd?___,_^_:_,_____' _C__cm_______^'__ __^'____, e_v____nn__, _v_,___________ _0_? ?__'_a_ ^ 5,_ _'V _' _ ___:_,
_ grq_cd mue_tro cI detIj_miento de yn dit_o con _J_Jd_ cyMcdncg
1t4

c_o__n___ly_ue___n_e__a__d__e_l gr_a0 ___ _____ _______________________________________________n______________ _l __ __ _ ___ (_) ______ ____________s______________el__t_________________o_b______s____d_____e____enr_______s_____________ar_______________A_______l___a___________y______d_______f________l____g_B___u___r_ra___e_____________p__c________oo__e____dr___m____r_e_e______p_mn_________o_________ds_________e___________a_____t____ne___ fn____m__c_____________tu________a___________e_fr_q_______tu_renu
C_P lTUlO _ f l C î__mát i_'a
_jRmplo 6 A partir c1_ 1__s p_ osici__ne_s mo-_tr_. __a_cg _-_n _iJ
___ 1 ___r_b Lls _e _ m de lO__itu_ __S_FrOll_ U_l int___a!.o d__ tienìpo t_rdarán _I-E _n_c_J_trarse_7
,__.R.l.!., despIazándose cor_ una r__pjde2 d_
72 h_ Si el ómni_us empje__ 2 s en atravesar _ Q_ __ 2 m,_s _
compl_tamente un ti_ne __ _qu_ longjtud _re_-enta _. ___'-__'_'_'.=_;___- _= ' , . M. '__,_;,'_.,;;__.,'________' .
et túnel7 _.-__ SQm__
ReS O IUCiÓn Res o l_c_Ó_
En princ ip i__ reali2aremos un gráFlco de acuerdo pa,a de term;,,, e; ;nte____o de tie,npo que fa_,c_
a tas condiciones del _ro_lema. _os mo,v___es e,_ encontrerse (t;
re), vamos a examinar el movimi_nto desde L_aia
_t--2s
vi__a su___rior.
, u=72
_____ - _ . ._..._..._.._.;__m.''.._.,'_.::_;._' ,.,.,;___;__..,.;_;'___i._':.:::_:_m:__ _ .._,-,_0_-_>: _, _-__ _,., __. _____ te
__ t _ --_- --_-_-____-_ -- __ 0 _ _:,_:'___. '__'_- ____,__ ,,_5__,______.''g,,_;-,0_,,_-_'_...,_g. __._,,_,,,,_.__, __'_0g__0 ^_0-_00í 0_ __ -'____ _ ,_. ,
___gm''__' _ _' __'' _ B '' '--'''' '' ''_. "_::. ,-.u_ :_. '' ''''>''''''''___:;____,. '.._.;,,__:,?::_. _.___:'''__:'''
'-';__ ::''._.'_.__ _____ _;_.. .:_ _i . _,_';. ; ;.__..'','' __ :.: :__ : :.. : _, _.; _,.:,..____-__,_ __i_i__',_;_;':-_o,__ _ '' ''._'''_''n__.:':.___i_:s'__;__'_'_;;.''' "__'_'' _,.- '_''_::'.5______ '''_:___:___ __:' ';,.':s' ,:__'_ ' -' '
Nospiden L -con lacondiciónde c_ueelámnlJus _ _,.._..';._.:'___ '_.___..._'_:;''._,.__''____''__-:. ___ _;'_ '_'__ i_._,, '' _'.';_dg,._._ .._,_,,. ;i: _ '' _ .
dese_ rrolte un M.R.U. cruzando co__pletamente el '' '' _ '':....î,''_,.;:.'''_;___'_:'''''i:':..____::_ .L.=;_,:__:__.,:,.. .'. ..:.:;';'._:.':._., __ . ._ __'"'''___''__''_''ì.:.:''__' ___.:____':::''_''_:_':_.;,::.:. :''__ -_ :_;,.;;:_... ''__;.;.;_.._._
túnel en 2 .s, par_ un anál_Jsis ms senc_llo ''.. ' ..:' ;'' '' '''''''' ' ' , ': -''',.. '__'''' _''''_'_'''''''_''. _.__.;_,_,'n_ _____.. '," :_' ' '__'_'_'''' _''-''''?S_''" : _ __'_ __'''''''''' _'''''''''
consideremos unapartedelómnibus. (laquem_^s ! ''' ' _ _ ' ' _' , ' '
_F_co)E t ! te ;_
' n eS e CaSO_ VamOS a t_ d__
tomar la parte posterior del ómnibu5.
ror tratarse de un M.R.U. de A haci_ B usamos p
Or trat_fSe de Un hA.R.U., a_ Cab0 de Un tlempo
dAB 8+L ( (losmo_v,-l
U=_=_ I - e_
_r 2
dA=u_te y dB=uBt_
Como c1 tiem_o se mide en seeundos, la rapidez Adema,
u de_e estar en metros por seeundo. Entonces d + d
_ B_
_ 72 __ _ 72_(l OO_ m) uA (e + u,fg __ d
3600 s _ t
e _ uA + uB )_
_ U __ 20 _S ' (ll) por _o tanto
Reemplazan_o (II) en (IJ_ se tendr
d.
20=__l_32m '" u_i''+ua__'''
_J,mp(o r (Tiem_Po de encuentro)
Dosmó_les, _ y B, sedesp__conM.R.u.sob_ Para _l problemadado, reempla2amos datos
pistas rectilíneas, muy cerc0as y p_alel_ con _Jo
' t =_ t te=IOs
rapldeZ de 3 m/s y 2 m/s_ respectivamente. ' __ +
1 15

_ampo1oc__tf_a_t_n_rl______c_E__ga_t_ftrtlse_)d Ben__un_ m___tR___tyu______ttJa____l_ctt_aa_tb__ot___d__te_n__t_unt _ttt_ar trl_os _____g____________ _________ _t t l t 0 l ______________mt__t___v___n_r_
lumbreras Editore fís i ca
_Jemplo 8 Por lo tanto
Dos móviles, A y B se despla2an en la misma
;_ecc;_n con m.R.u. s_b_e p;s_as _ec_;a;neas, m_ ra -_ _,
A- d
cercanas y p__el_, con rapide2 de 8 _s y S _s
(Taempo de aIcance)
_s_ctNamente. A par0i de l_ _iciones __
Lq_1é inteNal_ _e tiem_ t_dar4 el móvil A en Rara el problema dado
alcan_a_almóvil _?
30
ta=_ _ t_=lOs
8-5
_A 8mls __-,B 5_s
! 3o m_! ____e__cì_n _ ___4____n____,_M_M___m_n;
_ _ _. ,
. , _ Después d_ haber resuelto los ejemplos 7 y 5__
R''O'U''On , 8_ hemos deduc___ _os Fc_.___s _ue nos _
Fara determin_ e_ inteNal_ de tiemp0 que _arda _ permit;r_, c,tcu_e, ,! L;em_o _,, e,_,_,e,t,o '',__'
et mí_vil A en alc8n2,_, r al móvil B (tiempo de _ _ el ticn___ _e alcenc_ en el M._._. En lus ;v'
., . _ _ b_ -__l
- ta _ tamblen Vdm05 a eX_mlnaf e PrO Cm_S S'__lten eS' a' P an ear_mUS Cn _
-_._-ento des_e una __sta supenNo, ? la medi_ta _ue sean necesanas.
t_ t_ 4,e
_a 2 _ __
- __ __U1 ; '!a__ 4?,
-_, _ _u_ ____________=______;_'___--__ a, 0_ ; _,_ _
'' ' '' '' '; ' _' '' '> ' _ ' ' '' 'x : _ " !'__ J ' ' _e _-d__' _ ' ; _,-,
'. ''__g'dg_'^v'_-_-- _ _
_ _ ___-;_-----____ _'_
! _---,x,'___'--'__,_ r_d _v_
_ ^ " -u_+u2 _,
_ _t
d c? ;,
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mOVl eS A y reCO_ren _ , _
_ ', 00u _
d_=L!Ara y dg=ugra __ 0 _ ,_ t _
,0_ 0_',_ _ _
A_em_s, al observar la flgura podemos _Iant_ar _ _, ! ; _
QUe ,, _d_ _
dA=dg+d
d
-- _ U_>U__
A_- Ba _2-U,
t ta(UA'Ug )"'d _____
116

_cFpcFe_er_n__o_______0ls_0alod__r|_lgel_____an_n_0duent_l_a_ _e)_s__t_m_ov___ln_n_u__?a_c?__on?ont25on abraam_ e2 ___t____a0_p_ta__?5____a_t?____m_ y_____tt_____?s__tgt_____f_ da___
CAP lTUl_ 1 l _ Cinem___c_
Ac__ERAc__N_C) - M_ ___, '__, '
F_ lc_s p3__rat_s anlerior_s hemos _escrit_ __no de tc_s __, _vi_____n_os m-5 _sin, __.?les ______ _e o_se_'_- an
3a naturale_a, et __ovimien_o rectilíneu uni(0rme. E_te Ino_Ji En_'e_!)to !_ su_ten e,_perimen_a_ al___1os
__e_os en _a na;ural_za en un intervalo de tiempo a1__o pequer_ y Ilaego _rn_, ie_an a vw_ iar su veloc___d
en vator _-_"_ _irección. A c_nt'_nuacin se dan a1gunos ejem_Ios n_ue nJuc_st_'an l_ Uict_o_
Ca_o l ca_o lV
Pafa iniCiar el mO_mientO del aUtGmÓVil_ eI _,l _escender p_r la mont___ _sa. aumgnta
ChOrerPiSaelaCeICradOCOFl_inandOUn3UmentO _a ,a ;de2 de_ au_o,n__v;_ ;a d_l,e,,c__o_n _e la
en la rapide2 del automóvil, pero la _irecci6n de _,e_oc_.__ad camb_.
la velocidad no ca1_bia.
_^?0_, ,o u=l_D_ __s
0,__0_,,0 O- '__t
_0_?? __ _ x___0__o
, _ __v_-,___,,,_,, ---------_-__e_,,0______0_ -_-_>_,_ _ _.
_' --_ __ __-_-__- '_ _o , ,__ _''' ?_ .__
a_O ll __ _ '^^ _ __ ', qJ'n_
_-______ _ o 0___o__? ;'' ;___' _,,_
Para n_ caer aI _r_ci_icio a1 chofer pise los __ _ _ - ___n__ ,_j- > a _, _
, d J. . ., _ ._ _ _ ' _' _' b0'_-_.
' _00 ? _ o o _ O _-_
-_f cc__o_ v t c_-d dn _am __ 0^0____ 0_ _____ _ __,n,,,_0_,_
- D D _ D ' D 0_._, ____,?__n _,_.__,,
U_- l20_ uf=o _
-___a __ _ _, ^>a _o ante,; r, s m esT,_ q _a _ -
___________-^-------------- ^_C____, 0 O U Ue VCOC-l
'_ ' ' puede __ar'_ar en v_or y/o dirección. iCómo y con
qué _odemos ex_resar y predecir esto5 cambios
aSO
. CualitativoS y cuantitativos?
la rapi_e2 d_l automóvil se mantiene
COns!_n_e Pero al lle_ar a la cU_a la direCcin de _cE_ERAc_óN ME0 _A (_a,n )
la ve1ocidad cambja.
Ahora revisemos eI siguiente caso: 0os
__ ' V _OVeneS empl__2an a tr0tar la! como se m_estra
,.___ _ '
,____ __ 0 _5:;na___,,_n___,___ _ en la (igura y se observa que Ios jóvenes
__ __ , _ experîment_n e l mismo cambio de ve_ocidad sin
_ v, __ tomar en cuenta e_ tiempo. _ tom5r en cuenta el
_ ,_?_, ,,m___' ' tiemPo_ el joven B lo hace en menor tiem_o, es
_ ,> _' deClr feall2a un cambio de velocida_ máv_
' ,__._
___. .

_F_u_a________0______t___pl__e_ _er__l___e____rmp_____do_l_dnd_ea___dFtt_p_d_r_e____s__ c_____r________ u_ _u _u t_( tt(_)(_)) __g__t__ __l t_____________ _____a____t u_o___)os _ldtn_t_ ______d(l)d_)da
lumbreras Editores físi ca
_t_=2s 2_s ___m_l09
_ ,,_ _ un automón_ se trasta_a s_ce una pista hon2ontal
u = o _0,__ _ como _ mues_a. si luego de 4s _ene una fapidez
__0 =,_.___ _ . ., _
- - - - - - - - - - - - - - - - - ^ 0 e S_ e ermlne SU aCe efaClO_ me la.
''' ' '' ' ---' '''' ' i'' ''''''''''''''' '''''''' '''-''''''' ' 2_s
_tB'7 S __g__'_'__0,_;''_.,...
2_s = 8_''_ __' ''''__'_"i'______'
-_0_,_, ___'0
_, 0' _-,._,,___
B___,,._o_____'___ ,,
,- .. _ :....;_---'_'...'_____ ....,..: _t=4S
2_s lO_s
_bl_f cuant_.ta___vamente un _>a__'i__'_^ __Ca -, o_ '0_^''_
___;____-_,o00_._,_,_'_o___,. _g,, ---- -'--' '--'-' ' __-_,jj _,,,,,___..____,,;_.,;.;,,, ,__
suceso donde se controlen lus cam_ios de ' '_'_'- A '' ' ''''"' '' ' B ' '
v_locidad de un cuemo en el tiempo, u__aremos Te,emos q__c detc_,,_l_na, _a a,_ele,acl-o/n med_l
una magn itud f;_sica vectoria_ denominada d e _ a, t o m 0_ v. _ l e s d e c. _ r c _ c, m b._ o d ,____ _, e _ o c._
aceteración media om , que maternáticamente
_ en e l_t_rva O t. S_mOS l_ e nlCl On
se der_ne com_J e1 cam_i_ de velocidad _u por
unidad d_ tiempu9 es decir ?_ _u uF -u
'' _ ^'_t _l
? '_u_
_= l p _ll_ _
. : _t Of Sef PafaeaS a U_yaU,., _O em0S
,, reempla_ar sus valores en (I) v, las direcciones las
nldad;_S
especificarnos con un __igno (i ó _.
a aCelefaCi__ nOS detefmlna QUe tan
, ptdo un cueF o vaF_,a gu ve__c_.d_d A pa_ir del grrlco tenemos
_ _u(+lO)-(+2) 2
_ =_=_=+2_S
i''''''_-_"'''''__i_ m_r 4
'_'. O _t_lYat i _ i_, _0.o'_______.____''_________0_, __8,00_,_-:y_r_.__' __0_0_0_d_o0_______0_'_'___'__?
'_',__ ''' ' i'_ '^ '''__''''' '''''' ' ''' ''' '_ ' _^''^'' ' '' ' _ , El signo + _presa _uc la aceleración e_tá dingida
_5__. a. La accIeraci_n _p.resada por la relación (IJ _g0'__'0 hacia _a derech
_:__ sedenominaaceIe_ciunmedia (_0m), _a ___," pa_aelautomó_'_tenem
_ __
__- cual usarem__s _ dete_in_ el canlbio de _,_ u
_ - _ fl_ _ _ _
_' V_OCl a C UnCUe_Oen Cle Olne_aO _, __ ___'__i__ _
Kg_ de t;empo _ _--j____' _' -^__,,,,_,__,o.,,_,__---------_-;,,,;.,._:._,o;'_' ' ___,.
_- _ _
g,_ b. la varlaclón de la V_lOC_da_ DU se ____,_
_ ___'' d t . __ _ _ _'__do así podemos conctuir que
^___. - F_ O, _'__,
'L0"o' donde ú ve_ocidad F_nal '''_ _
_ r_ _'_
_ .... __
__0, Uo: Ve OCl a lnlCl ___ _ ,,_0_
. _ ',, c.Lavanac_óndelaveloc_dadesunacan_idad ___,0''_'0_, =o'D_' , _
__,___e_d_' vecto_al que tiene la misma dirección que ___',''_,,o_,r, ' - '
_ ___0_ laaceleración (medi_). .,__. en estos ,,,o, eJ _.,Jof de Ja ; _, ,ment
___.'__,,. ,p,_L,a_,,,,0 ,,,0,,__,x_m,,0,,_,__,,,/,_,_,,,,,,,,,o0_,,_0,,,,,,,u,4_,,,,,_,,,,,,, _, 0,,,,,,,,,,,,,,,,,_._.__,..n.._0,o,,, ,,,, 0,,,0,,,,,o,,. _ .__op__,!..,,,, (mov.,m,.en,o a,e_
118

_t_e__Ft__ ___ ___0t00__t________l___t__5t__mr__s____t_________ _____u__________5__ _0_)_0000_0__ _ _t_ ___0___o_d0_o_00_0____0___ ___________p____________________________________________0________________h_______t_____n______________n__g___ft_______________________6__d____________t____l__________t__________D__oo___o___o0__p0_________0_o0__0_q___________0__________________ __tto_ e __
CAP Il-U lO _ I 1 C inemát ica
:-,-. EIar/i _I Cas(_ en que Urt CUe_ Se InU_Vi_ _n __,.. '__? Cu_in_0 un __uemo se m'__ve e__ líI_e__ recta ?,_
::' line_rCClaenUn_SOl_di Ce_CIÓnyaUrn_nta ;,-._. :.___:_. ycn unesoladirc-ccióndisIninuyend_el _-"
__' e_ _'__l_r de __u velocida_, entunc__s su __ __''_ vatur Je _.,u velocidad, su eceler__cjón mcdje ?_
;s _ce__,ac._u,n (med._a) t-_ene _e m__sma _.___ _ '_.: ; t._ene d1.,ecc_.o,ncontren.a asu ve_oc._dad _,, __,
';_,_.: d irecc ión 4ue su ve loc_'dad. _m-:... __-_.-___, _m_,_';____:_m___ _D,_-_-,_.____y;..., ______-_0_,__o -_o_,_ ..____0____,__ -,o0____D_, _____o ,_, _;__v___._,__ __
__emplo Il
_i_lO lO Un automósril lle_a a una esquina y da la vuelta_
U_a mO_Cda reSbala SObFe Una SUPe_ICIe ta_ tal corno se _,uestra en la _gura. Si la rapide2 del
como se muestra. Si lue_o de 5 s se de_ene, autom__l permanece c_nstante e i_ual a _ _s,
deteJminc la aceleración media que _erimentó. Lcuál e__ el módulo de la aceleración mcdia que
ex__e_menta el automóvil? (La vuelta dura 2 5).
__ _-a___'0' __,_0 ''':-'- ....''_'._'...__,p.-o
' ' P '' ' _:_?. ;_ _- ,'----'. '''.. _ :._.' _'_i' _____.__v_' _-__.____
R_0lur_ón __,,_0',_,, -: _:;,,':____'_:_':;..: ,._,_,_,;;''_ ,;; , _'__,',,n:___ '''';__;:-... .-_:,,,..x__._,;.,,,_;,,,,,;q''?, _.__ :.,:.;,,_;,.__,;_,,.'...;..4_,:__
Según lo planteado por et enuncia_o_ _emOs ____'_,a'''d _,_-'''''._;..;:;_''''''., ' ;_'_=''''___:_._'_::'__ ''_-' .=_-' __i_5'4;__,._'_,.,0__ ,.
, N____ -y_-_:-'-_' ,. _ _'__-- ' __---'_''"''':_''' ' '__-_-Yv_-_;__::-_- __-_''':'''__',. _;_ t = S s r _
,_ _ _d , _. - - _ " -.; _;. _ -., ' ' ' ' ' ' n _; _ - _ _ ' _ ' " _
_"_,_t''_,_'':.'__....,,,__,',. _,:.
uo=l5mJs u,-_o __'_ '''_ ____ _ '__n,_i
_-P '-' ''-i'''''''-M-
Dete_jnaren_os la 0m de la moneda u.sando la Resolución
den_nici_n El automóvil al dar la vuelta en ta esquina
_ - _ ( experimenta camhios en la direcci6n del
_0_U __-Uo Uo +I5
" - = _ -- -_ = -- mOVimientO, Cn COnSeCUenCia hay Cambt05 en ta
_ ' velocidd (de direcci6n) y para cuanIi_car los
t an, = '3 _S c,m_,_o, em _e,mos 1a acele,,c,_6n med__,. p
_l signo menos nos indica que la ace1eración está por der_,__cN_o_ n
_ ifi8 ida ha_a la i2qUiefda. _ -u, __, uf - u
m Om-____ ' e m U 0 0m
PYa la mo_eda te_emOs ___0_00,00.0, donde
u,=41Ns (_)
_am_ién podemos plantear que _
_ _0_, _t=O,S s
_' . no podemos reempla2ar directamente los valores
_ __-a _uc Ias v_locidades no son paraIetas. Para
En eStOS _aSOS el _'alOr de l_ U d'_Sm_nU__'e detefmj_)ef u. _u damos un tralamjento
mOV_mlentO deSaCeler_dO)_ eométrjco tal como se muestra .en la F_ ufa.

____+v_ y__ __1__v____ ___r___rl__ ____m__ __ _ v__;n_ _ ___t5_3_mr.uts__x______t_s___ __N__t_t _lt2lt0_0_ea_J_t l_e_t e_e3s
Lumb reras E_ itores física
_ (_ _ )u,-(4;-s_)
''_' t -l+Q/=
_4_' ',_J', ._,,, l_uF-_af=4_2_s 2
'' ' _' '' _ _ u,_(2;+3;)_s
0,>_s_' '_'.ro Uy U,
uF=4 _s COmO __S piden el m_dUlO de UF, entOnCeS
pIanteamos
Sededuce4ue
1+u2 22+32
t'- x y-
t__u, -uo !_4__s
'' t--
? ? Para es_e prublema podemos proponer el
Uf-Uo Q mI_
t _m _ _ _ Sl_Ulente _rá_CO.
_t 2s
_ 0 _2_m/s2 _ _
'' m- _4?s _--
_h ; ; '__4_s '
-_ '- ___ , __c%a nM_ /_,____,, -__,_',_/,_._'__,,c_____v __g_J_g_c_ _?_____ __??__%_?____ __,__ _,_ ________- ' __ _;
;_ _S__ _ __,,__^_t____í_/_'^' __'_:_J_,_,__,____?______,'_______%~',_V'____,__'_ ___,^_ _!'_ l_S
-t__ ,_ _ _ _____/_0v_, ,t/'__n____-___'___'_Co____ i_'_^_9''_____Li_ ____X _ ____! __ Uf
_-__,__----' y U0__ ---__
__e ,_ Para e C_SO _n qUe Se ten__ qUe ; -___ 3_5 /,_ !,
determin_r la aceleracj6n media y !.as 5,, --'_N____.__ "
_ __el_ci_adesinicial (?u,,) yr_nal (_u,) nosean _y_. o. > '_ 2_s
__d tt_t;
_ :_ara_e!aS S' '_'"__m"'" a "' Un ra am_en O __
v geo_nétrjc_. _ ApaNfdR!J elemD, lO 0lCn_rpademOSVer en 4Ué_
_ J, __xm , _ ,, ,,v,p ___m_ ,_,,_, q,_,q,.,, _cl_ca l_ -_po_0c_a de padec _onoce_ b _!e_ci_
de w_ _, _n eWa _enxx p_' q_é _-el_idad
__e___plo l_ po_,a_ teneF ur .
_ iUt___ en CUa qUter tnS ___
Una pa_(cula se ___e_,e s_bre et plano _; Si en dec__r de_e_,__ su _,e__,+dad _ns_t _
un jnst_nte delermjna0o ticne -_n_ velocida_ dada _ __nterg t _ _-
_S_l_ e CUnOCel OS Cam lOS a_Je _
por _o-- (4;-5_)_s y su aceleIaciór_ media en pu,_e__ p,,_,c;, s,e;, el __u, de lan 3,,_,,,,_;ó,n,
__ s posteFore_5 _s _m_ (-;- +q _ )_s'_ ____é _,___ e_,_pen'm_nta__ncue_. po_e_e_.p1_J.pademos
rapide__ tendrê-_ !!c- parl_c- ula _'_ego _e _icho m__ a_c!_J_ar _ue en un sea _a_1man_. sJmc(i_o _
2nt_fY2l_? aC_I_I_Clo,____ ß_ql leJ-____ (L'U__,dO Un_ ___',__ _',_ :____/!,
_,o _e reeistran carnbir}s a_rc_r.i__tes en ï_ __s
ReS0l_C_Ón a___ti,ndades b:_o_Ó__c_s r,____ _c_ (,:,f_n_!.a__.n. _e f,
CUmO en el enUn___i__c_0 nO î_ irldiCad6nde eStál_ san3re y !,a conlr_,c__j_r. __? l_s m_jsc_l__. _'_
___íCUla_ _l iniC_U _ _1 r_n2t_ _0__mOS abStr__Cn_S n_ J_t___t_v, c__nJ_ un ___ r _,(,_m3_..u_ e______::Jn,_en_a
del _r_Flc_ por 3h_ra _' pcr mientras calculamos la gr__des aceteracion. es (ur_ ___!_idu:a -__ __?_, __ncJhate
velGci_ad de la pa_ícula (__,.) pasado tos 2 s. cuando em_ie_ _- e!c__e_ r__J),, _,_= re_J!_?__c___ ?_:_l _t_ia_
Conside__s la defjnj_ón de la aceleracjón medja. en los cas_s nue he _nos c_i tun ____i __ h3sta anc;!_!__r_ se
__ un iJ1cremento e_ el peso de las _e r_onas. io_ _
_y __ _U U respecto a e.st_,_ __7tjmo se _js_utjf er, d,ca,lte e__ e_
_t ca /_tulodeD_,nd_,mN_
12O

_l________0___E________________________l ____ ___ _________g__4____r___0__t________________ _____________J_______d__t__0_____l_______ _d____________d_________d__(__et__ d__ ) __________a0__0_____0_____0__________o___a_____________0________
_nP íTULo l l l Cinemt ica
'_ __s_A_r__EA Ur_ ,
____Q0. - - - - - _
F 0 .... , ,. _f_o,'/_,...,_'-
''. ,' _t_'_ U__^u-____
iQu aceleraci6n , _ ' _'' ,,,,0.,,_... _ _ ,' - f- O
_e,e en este _ ____. ._0__,__,__ _,_g,_.a___,__o__,,,_H____.,,.., ___ __ . ' ,_
inslante el autom_i? ' _--- 0__-_. _^^__' '^' _ '_ - ua _ _. a
_:-'__--- -'___---,=;:'...'. ____'''_''_a_ , UF'_
,___,. , '' ::'' - _- ' ' !__'I
_ ' _
,i_____,_e.__0,_i_._i,_._____,_,__.. En un _wmienlo _Miílm _to
i.'l ii _ci_ Ia ron_ c_ncev0 _ /0 _o_c_oria_O _
._.__,'. ._. e,..JY. ac i _n. = _ _ =... __ _ _ ,, ., ____ y_,.v.,_.__,__q________o__,___________ __y______ __ ____a_0_ B____'B'__a____ g,
' C_mo hemos podido desarroll_, a partir de x?_: ,__
X _ Para el caso _ue ta vetocidad de un _0
a aceferaci6n medja podemos determinar los _'_' ___,_
__'_,, cuerpO se3 (unc_6n (depe_da del i,,,
cambios de velocida_ de un cuemo en cie_u ,_ _ ?() '_i,
- _ _,_,_, lfem_O. eS dRClf U = U t, Y Se deSee _'ioi
intervalo de tiempo. También es im_Oftante _'^' d . _ _ . , _. _"
ete_lnaf a aCe efaClOn en e tMt4nte ''.
precisar la aceleración d.e un cuerpo en un _n4_ , , seprocedeaden_va,a_,_,e_o____ad ___
__ - l_
inteNalo de tiempo pequeo o un instante de respecto de_ t;empo y _uee0 a _o '_i
tlem_O, eS deClf CUand. O _t tlenda a CerO __0_,_,,_, obtenido evaluailo paF_ (_(). _,_,___,
(_(_O), P_ra ellO, dennimOS la aCeler_Cin ____0_e b sabemo_que _,ve,oc_,d,d (_f,st,,t,_,,,) ___,_,_,_,,,
instantánea _), como e_ cambjo de velocidad _n _ __
__- _ _r _
que _perimenta un cuerpo en un inteNaIo dC _-; Se dete_mlna _Or u=_, e_lOnCes a ___
_g dl ___'___
tiempo que Eiende a cero. Matem_tjcarnente :_y ?_:
_, partir de Ia de F_nici_n de aceleracin __,,____.
- _' _
- . _U _g_ __nstanta_nea tendr__ mos ?
a= Im_ g _
_I_ Dl _,_0 Êee-
', _ _2? P_
_ _du d_r dr
_ _=_=__ =_,_ &
donde lim _U v_ene, ser _a denn_c_ón de __v: t t dl dt _g-,
_r__l _8_,_ _,
. ,, _d2tr _
derivada de la velocidad con respecto al _-_mpo. _?i _ a_- -_ ___?
_ t- _'_''_
ntonces podemos plantear g_ ,,',,,
__^ lo cuaI se lee como la segunda de_vada __'_'_
__ __/? _ _
;_,.. e a _OSICIOn f , feS_eCtO e tlem_O. _,.
_ _u 2 ,_:__ En caso de con_a_ con _e po_ic_n de un _00o0
_= unlda:mrs __n __'
dt j __'' cueFpoen_uncindeltiempopodemos _''''
__ -g9-- b _- _d _','o,
Ce1efaC1Ón _nStantáI_ea __. n _'_
_, fofma suces___,a dos veces _a s__cl_6n g _0'___,
' __.
_qu; teng, pfesente que _a ace_e,ac;o/n .;__.;. respecto deI tiempo+ _-_,
_, c Recorda, ue _a _s_ci _ _e _'
lnStantanea eS el Iímlte de la aCelefaClón medla _0g ' ' _,,,
_nteNal t_-em _ ceF _g- eX_re Sad_ _Of f: x _ _ o _. ___8_e
__ ,'__i_0_0__ '_/',__xv__n,__;5_______',_a___ 0__'_,__;'____ ___.m__,'_ ____, __a_,_ -m_%. _:___æ____ ,____0_,_o_,,__ _ _',o,
121

AEs___oh_b_f(e__2_l_dtr__2_2y__)_c____f(( __M_t_)_p)l2t ________ _tg _ (_d_t___t c(_)__ /( _r|__ l)_ J ______
Lumbreras Ed itores f ís i c a
t tt __ _ _2 '
Una par2ícule se m_eve sobre e1 ejeXy su posici_- n Ia aceleración ins tantánea deI proyectil.
queda determinada por x_ (2(' + 2r)rn_ d_n_e
t es el tjem o e, cue undo,. Dete,m;n,n la tP
velocidad de _a partícula para r = 2 s y la . ;.. _
a-ccieraci_n de l_ partícula para r = l s. ''__
_,
u
__OUClOn I_
_a pa_ícul_ __1 maverse __abre el eje _ desarral_a j ; ''_
_n movimi___ta r_cti_lírieu, determinándose su !_ '_
p0sici_i_ _ara cu_lquier instante a n, artir de ! _ __
? 3 0;
X_ t+t.m. i,
_oreje-rnplo
_ _ Re_o(ución
t_n_ ;_-__0
_ l_ _o.5iciór_ r _ ____'' - S0 - _J m tc_m_i_n se _nuede
t_-Is; x__t___ '
e,_presa, c_mo
t---2s_ xn,_-+___,
,__,,,__ te,d,/,,mos r = 5(r + (___ - 5r' )'
Primero de_erminamos la vc!_ocida4 ins(_ntánea
_G __ t: __ !_ 5 t2 _2 S d__rjv_ndo 1a posjción respecto de l tj._-_mp_.
!g _, a_, ,! Y2
=._o ___ 'u_ _ dr d5: g_ _?_,
_ _;i_ __-_ ,_ -- __'-_ CI ---=_ tl + - tF' J
.-9'_.. _ -_'___ . __--'__ ___-> dt _t
i_=0 X1_4M X2=20m
c_ _ d(s(); drgn52__:
ora determin,gm0_ __ u , p4ra t_ = l s serj__ _ =_ l +- _ _a- ( J
t di
_d__ d_2_2' 6_
U=_---N t + t = t_+_ _ 5__ to__
df di U--,I- JmS
t g A_,_ora determina___s la a__eteracin __n_t_r_tánea
va_uandopa__ t_= ls _ U_=+ m ' -
_ a1 derivar la _Je_ocidad _. espccto det tier__po
Calculem0s f_ a para t2 = a __ deri__emo_ la
?d_' d_ _
V__0Cldad reSpeCtO deI ttemp0. 0 -- - _ - _l - 1 __'_ /!
dtdr '
_d_ d6_
___=- t+2=-
t dt __-!,_;_'m,_v__
2 '
2- -
serve __e ia a_-__ e_'_r_can _rìst_ntnea es
_jemplo l_ constante _ dir=_gida en la __ire__ ci_n negat!va del
Un proyecti__ es ianzado honzontalmente desde eje Y (_Jer!icaI haci_ abaioj, _.sto como vera_ mos
1aazotead_ unedin_cioylaposic_'óndetpioyectil más adefan__e corresµond_e_ a un, m_vim'_ento
a partir deI instante de 1an2amient_ viene dada parabólico de caída libre.
122

p Et_nt____e___st_e_c____dd_p__bb_t __ _____lt__d_ (_t_ _ t ___ _ mr t___ _ _ _ ()
Lu m b reras __ i tores f ís i ca
_:_'Pio''i__'i__i'__,_,'d Vl_. l__,____=,_0t C__ 4____eæ,_,_,, __'____;&,i__, _. ___09__'__'_,_i_,, __i_,,.;'___'_'__M,i_ii Si__TE ' ''' ':'
Cu_ndo _n cuer__ carnhie __ p_v__cjón con M0VlmIENT_ R_m_' __E_'_01' __il''_i__fOR_EMEN_
u,_c._, __ce_,e,_nc_.n const_, ,te p,e,d___ Je__,__,;__,. V_RIA_0 ___R_ i__, ,'_ _V__
Revisemos eI si€ujente ejemplo_ un
rrayect__ia r_.ctllínea _, utom6__1 se dpsp_a2a ho,_-
r_r_ este cas_ _ebe veri Ficarse que la velocidad de 2i n_/s y repentinamentc adquiere
velDc;d_d __ _cele,,c_;n d_eben sei afa_elas o un, ace_er_ción constante_ u,_ a 4;_ s2.
C_lineaIeS, ei. tO aS__Ura qUe la 1f4yeCtOrla Sea _'e_mos que se Eiene _bre ja tra)_ectona.
re_til!nean Por ejempto
Io--. O t=,ls t=,2s t--,3 s
_ !y-q_s2_ _
__ ; _ ; :
_ U --_00_ ___00_ =___0'_ j__00_
____' __.o__ >__|i'i,__ __________._-___ _.-i'9'._ ___ 0__,_-_.__0_______; --- ___ ____-____e____ ------'__'0 0___
-_-_'_ ''' P __,yect_. -''' ,.,.,-' __0_, ,'_ ' -_^_,; ._. _:__ --0_____..''_ _. '. ____?,0__,.v,
Debi_o a que la 0 y ta u del autom6_l son
Tenef preS_nte qU_ Si Un CUe_ _m_le2a a paFalela._ y tje__gn Ia misn_a difeccin, esto
mOVefSe _o _ O C_n a C_n_5tante, deSCrl_e deteimjna que el _utomóvjl se mueva en linea
tamb__n U__a líilea reC_a en ia difetCiÓn de 5U Fectaau.mentandoe!,_.alorde suvelocidad iC_no
aC_leraCi6n. aumenta el valor de l_ __elocidad7. A esEa pfegunta
podemos dar respuesla al inlemretar el valor de
tf_y_tt_fla tUfV_ _í _ea la _ce_eFa_jón.
_Flca,sR ue lavelocl_dad Se liene
-a50eeVen _ _ DU 4_s
./ , , . a=_ _ ta=_=_ _J
yla__Ce1efaClUn e enl_rn_arUnan_UO lCfen_ ( Is
de OO y l800_ ello _e__-ra u_a t_.ayectona cu_a.
De (lJ _lanteamos q__e el automó1nl varía e_
Ore_em_lO _
val_r de su velu_idad en 4 mJs (aumenta) en l s,
y est0 lo va re__etir a medida que. tra,_scurr_ el
P , __a__c_ona ___aJ l_emp_ Ahoca so_r__ la trayectoria tenemos
____.__.._,.e_,_%_._;o;_e _-------___ ' '
a
to_-O l--,IS t--,2S t--,3S
_. _ , , ,
_:;,_.' ; ;a_4nUs2;_ _
' 2__ 6_s lO_ l_mFs
__ObFe lOS CaSOS menClO_a_OS _rlmefO n0S ___0_ ___00_ -___0_ _g_0
___.., 0__.__ -____ 0__, --- ____ ___ -----____ 0__q.
ocu__enios de _os c2sos con _a_ yectona rectiIínea_ 0_ _ _ _-
más conocjdos como movjmiento reclj_íneo _dr_-djtd3_
unifurmemente v_iado (M.R.U._).
124

_() _(_______ur______du)(_ _(_)__+_)20_Ft_d _ ____(2)) ( ) c__J_em__2op__nlo_ta_l_n_spto(__nt__e_m_Nc__t____ ______ ____(__ ( _J_ _p_____e_
Lumbreras Ed ilores física
l_a otra I6Imula la deducimos r_ordenan_o r ^ / _.?_',P_ ___:___.''_ __^':ii_:_''~_ _''_'_' ^_'__' _ _''_, _ ^m_;'_.,.;_,;;,_''________'''_':':s,'_''___':____-_n_'v___'_._._n.',_. ;.____'__v;__,__.:_____i'__'_!'_'__ _'____,_'_::__'-__:_,,_,__,.:d'_,__,___ _+'"____._.______0'dg'__, _;'_^'''-_ __________'':___'___'__'_^-,:__?'',_,_'!.D:___.__:_'___,.-^_'__.._. :'____!_':_.:_^__''_'_:'_:_'__s:-_n__;_;''':.._
_ _ _ ; ' '' _' _e'_w', .,, ;_. _,_. .......:''_'m__,_:___n. ._____. .____=_,____ ____. __;__' _'_' ':'''_:'_'.'_''__'___'___,.;;::______0__.,;_,Y0__K__'_''_i____Y',_'__.__,_..,._._.._______-_Do___' ';_''',,'_:'_'_'__'_';__:_:::._:.^_:::_.-_n'-_M______S__>'______-__
t-'i_ _.,_-~---v''_'_''_î'v'------_=' :__-- __' '_''' __''v'-'=_'' ---_-_--
_d m_,'_,0, Cu_ndo un cuerpo experimenta un ;_;''
Uf-Uo=Ol y _f-+Uo__ ;'_,i ' _'_g:
I __ M.___!.V. unjd_rec__jonal lo _uede hacer sobre i_4',
Al multiplicar miembro a miembro estas dos ___' _P
_" Una 1ne_ OrliOnl_l_ VertlCa O InC Ir__ a. n -_:-;
re__ciones_ se tiene g _____
'_ CUalqUlef_ dR estOS C_SOS 1as eCUaCluneS Son ___
2d __ ,_.d ''__:_
Uf-_Uo UftUo "(at)_ o Val_' :__,_
2 _ J_
r- o=
2 _.2t2_d N __
t'- c,
_slascu_tr_gcu_cioneslashemosded__ci_o COnSlderem_S _ Un CUer_O qUe emp)eZa a
_upo_icndo que el cuerpo que de.s.c,._?ibe el moverse (inic__a .su mo_''_miento,! cun _1n_
h_.R._i.V. va al__nentando el módulo _e su aceleracjór_ c_nsi_ntc_ _). Descr_,__ su
velo_ida_, pero nosn,tr_s 7as _odemos __s_nn_ir movimienE
__ara el ca,co _ue_ ___rn_r_te o disminuya el módulo
dc I_ ve_arid__d _1_ e Ia __ig__iente forma: Reso(u,,-o_i
_Jr-_s i dere;__!_s a -____ __ue_o que e_p_f i__en ta s-, e _ c,, e, u s e m u e v e, o b, e u n 2 s u e r F-_ c-,
__.N.U.___ p__r__ un _e'___r_inado tramo h_n_
( a= Cte. .
-__-___ t--O l=1S __jS i_3S
/u _f !! _ _ _ _
'-_->_---.----_-.-.----.---0_ ! _ ! ! !
--'____ - ua0 __Ul _U_ ;U3
_-- _ d_, _0.. _ _ _-____ Q. 0 _ _ _.. _ ___- _. _ _ _ _ _ _ _ _ _.. _-__?_
u,=uo_al (_) _d__ ; ;
4__ __'_d_ __ _
-_ _--d3_-----__
2 u2
f- D- .
OnSldefan__ l_ f_rmUl_ Ij Se tlen_ UF =Yt
' ' c_y_ rapidez es prop_rci_nal al tiempo. t'are
1
d _- uo ,i +_ (3) Cada tramO Senal_dO Se tlene
2
' ' ' u, =0 ; _ =2u; uJ =-3_ ; .-. ; elc.
También al consid_rar Ia fórmula (3) se t;_ene
Uo+U
= 2 ( (4 aJ2
d_
2
De eslas ev_uaciones, en I_ lres pnmer_ se __,_de se ded_ce que _,_ c_e_o que em_;
us_ e_l _-igno + _ -, si en el cue_o aumenta o mo_,e,se con ace_e,ac;__
_isminuye el m6dulo de la velocidad , mienlras que _es p_,a_m.,gn,,s ,o or c ,. _n _, J.
la cua_a ecuación se utili2a_ aumente o disminuya
tlem_O tfanSCUrrtdO. Paf_ C_da (rdn_O tenemO__
el ValOf dC _-d VelOCtdad. ASímlSmO laS CUatFO
ecuaciones son vá_idas para un M R UV. d _ d 4 a! _ g(a)
.. . l--_ 1- - _ 3- __ !'_.___C-
Unl lfeCCl On .
_126

__0___ u_( ___o)_ _+___ (___0_______)dtd______e_______ _ _( _/_____s____)t____ ___ _ l ___r________t_t____t_ _______, _____ __ _tt1 ___ __ _ _t__ _ _(___ _ ee0rs_lp_s__eng_g_______
_APlT_!LO l l l C ;- n_m__ t i,í-a
_ s s__re la if,_ 7cct__rja ude __,Jut_ _,c, i _ ,
__ iC___i_a-_ ?-- _
)ant_ar en rorma pr_'tica. '
t___ f_ IS t_25 t_35 _ ' St'__Un _ t _ _ __ _ !,.
_lers_2do_r _rs _
__' .; _' de drIn_e __e veri_ca
uo__ U__--a U22U U3__3_ __ J,,, d3 d_
--- --___0.,_ ':._ ----- .______,. :-_;- -- -- _ - - -__-___0_, _ - __ - 5 _ 7 ^ -'
_. _,8__'_. -_-?_-a__=_?;v._.''- '___:i!_'_v______0_'-,?'___--_____._::._7___ _.;'__;' ,C;-_______oo_o _._@; .^;;,M_:''_'___?' ___;___.,c,__.;-_m_ _. _ '__ ?__:;,':'__;:__n-__=4_s_-_9-__
, 0 - t^ _ +- a , _' ,, , ___ , ___c__ _-. __- '__,;_'_'.__,_._.,T:_eo__-:_:' _'_-8_n_____ '__;_. ____;.,___:: _,_;__.__._' _:'_,0:__.y__o____oo__.a__'___i'M': _::'_____,___,,:_. _.; _.?._.___-__d_'00__'_',,,_;'_;,:__::.;._,'_.;:;.-___; '_.____?.;_:_;,-=_m5__ - _ ___
_ 4(u_) __ ; _,_, __s,.__o__, ,,,._;;_'''___-_-':--_=:-'__'i--_'' =_'=_':_'''_'''':__X-----_'__-__%:''''_~'__'_:_:__'_S'vv_'i_______-'-_'_______ _:i' :__' ''"-_':^''''_''___ v___ì- --' ^ 'V':-V"'''_'i'^'' ':''M'_:_---_y _Vx-_=_-_.,_
t___(aJ2)_-_ ;. __. ._.,'__"'_ ' _a relación c1e las _istancias _ue se g_,_
__' es_lecccu__uncue_em_iezaamuve_ _g-
A p3_ir del eránco podemos csta_le_er para I_ __x_ co,_ ac_e_e,_c,,a/n coMt___ (u, _exub,,e_o p_, ~__,
pr ác t icaque 'g;... G,_,_,_e_ G_, __,_e_, de a_/_ q__e a _us nu,_ne,os _ ; _.;_
a_ EI CUef_O al ln1Cl_r SU rnOVlmlentO en e @-g- _, 3._. 7. se_es___enu_mer_de_tt____
pr imer segun do cu bre una d is lanc i__ îgua a __ :- ____, ,,v,,,,,,,,,',_,,__,.,_.,,__m, .x..,,_m,._0,L,o ,,_,,_,D.,0 ..,,___,,,,,,,,D ,,,,,,_,..,,_- ...,,_0,,D.,,,,,,,,,.,..,,m_._.x,,xs_ _..,
l_ mitad del valor de su aceleración.
d. De ta obseNac_=ôn antenor, se deduce una _e_v
I s de fo,mac,_o_ n para _,, d__stanc__,s _,h_,
t ,-, el primer, segundo_ tercer, -... _ ené__i_no
O= _-C _ _
__ '_.__, _ _ _ _ _ _ - _ _. n - - - - - - - -. ___a_;:' '''_ segundo Jel monmiento; que _iene da___ p__
! a !_
d,_(_,_-l)-2 !._, (_)
O
2 ;'_ _o_._e
n : representa el _nesimo segun_o de1
b. _a diferenCia de diStanciaS __fe se_ltnda_ n_ov_m_entu.
COnS__UtlVOS n0S __ el V_0r _e la _C_ iefaCi_n_ dn ; f_presenta la distancja cubierta en dicho
__ cte. _egundo
1 s _ 1 s La Fófm,_, (_) es vá_id, cu,nd, _n cuemo
err_pieza a lr_overse con ac___eración
__ - 0_ _. '_.: - - - - - - ---_ _''_'_-._ - - - - -. - - -__ - _' 0 _ constance pero cu,ndo u, c,emo se ,.
_d_ +-d2_ con una velocidad (_uo) y _epentinamenle
ad_uiere una aL_eleracjón constante _ )
d_ -dj t 0 p_alela a _ûo __ la djstani_ que fecone en el
c, Et cuemo, al jnjc_iei 5u movjrnjento, para cada enéSimO Se_UndO Wene dada _Of
Se_UndO qUe tranSCUfre reCOfre dtStanClaS _p_n_el _
ue están en la relación d_ los númefot_ fne_- (n)__ I s
impares- _r ello planteamos a -- t_e-
0 __ -_ _' , :-___ - - - - - - - - - - - - - - - --_ -9 __ _ _ - :'__ - - _'- - - - _-_ _' ____ :'_
segundo _ dj=l _ .._' . _ _ ,__'_,e_'' _, '''',,_' ''' __.::'__'=_,_._:_'' "' _,,,_,, '___ '
tdn_

4m_?t00_ll__o_addene_pu____r__t___t_m_n_(st___en)__________,_;__)__;ndt _(___?__r/__d__M_ _ce; Rul __p_n_lt__n5_bu_____(s__mr____bs)__n;2_6__os_y ___lctt_
l_m_ __ _ns __ i _oret _ jSjc_
' n) r__
_uo_ 2n-__ _ j-íl) _
- ' ' _^ ,t ' ; q _ ; _ s ; d__u___+______
J _ -__-_ _. ,r_-_n _ ael ___vSrntc-r_;_
d_r___m __-^_ W t s
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fl ____µ_ft'___J_t__ e_ _j;___!____' S___l_n 0 e '_ ;__n-_ ?_ / _
.,c_,;,_c;,_,?,__f,, '. _', __ 6 - __ _, ',--- _ -_ __ __ -- _ _,c _ _- _. _: _ ____a.
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____R_rnl__af 9,o _U _!___r fe_Ufrlf 3 l
l_I! a_tOmÓ__ít eSt_ SQhf_ lln3 jl_S_a hOfIZOnial
e_p_es_;__n _r__il) ____ _or
e____Fl__C__c_____ U__ _.__ ___C_____ COI_St__?_
/J___ De__c+_.___e fa ;_f_,nci, ue cu_fe e_ et _
__' c ' ' ^ d,.=JnJ_(2n_1J_
dc;n__,_ c_e__ndo _e s_ _ n_,____m_?_co, sj el a_,_tomó__ ' 2
,.. .. _e___ . __Z
a. !_____Cl_ SU m. 0V_ml___ __ _ v - ! o = _ _ G _/___
b. iJ_jc'_c--!meni__ tenía !_,_3 ra__e_- de 8 ,_-K/5. ( _5
_ __,_=_+,_____-I_
Kes___c___ _ _J,, = m8m
a. ?'ac2 Rs_e caso e.i _____u_'Jil a_ inic;ar s_
f__v_jm_en__ con u___ a_et.gf_ción _e Q _ E_pm lo l7
.2 v _m _ _ __ _toy de su _, ,_oci_ad _ _
_ _ ' _ _i _ ' t _a _e_Ijena _ a eS a a_.a_)nada _Obfe _n
2n_ _ _n!S _n C___ __,__!r_dJ_ tal CC___lO l_ _lan_ i,nc__i,.na_o __ desciende aume__t_ndo s_
!_.__t__m{!S_ SObfR ta tf____Cj_wri_. r_pjde2 uni_orr_,_,em_nte. si en e_ _, rjmer seg_n___
a_4mIs2 de su n___rnie_ntn_ r_ecorfe l_?',_ ___ ,;._'_é fapi_ez
t_O -_ _--
! m, te_dr _a __1a lue___ _e _ s de haber _!!__ __o;'tada_7
_ _ s _ l; _ ___n^ _S^_'I d?C!
: ; __; ___W1___lm__' _n_O
t, _ s ,
_ u__..y_ Lfi4__ e__ __, On
_-'o? .,
_00 .._-_._,_0__,q _ _______, _. _.____o _,,_ __--___00_,_q __I _l enUr__a_i ___ _t__l_tea QUe _!_ b0!._ eS
' ' ' '"__N, _ 4 __ ahan_ona_a _-o_re u_. _!an_ inct___a_o) _'ù'
d__ d .. ._t _ .
a_mn_nta_ O S_! f__JUe2. _-_0_ ef _ a ___!L_r_d _O,_
_C_CW__ rl__iSi__)Ci_en_*l d?iimO S__Ul_dO _?_,pia,____ a _no_Iprc_,p j__:., -_ n_,:t c?.._ ___n3 e__e)er__c!_ón
M_ _eIno5 ___;i_!_r Ia ___u_a (ì_,!_ __ cL___ _l_ntea c,,,,__s_a,,t_.,_ e_, dc,; _. _,_,._.,_n,,,._,nE,, ,J-,, .__,.nn __;.__.
_ /_n, _ 0 sr_h__ r_p I; tr;)Jec__. rj_. t__rtem0s
2 -
,_ _ _ t ,. __._.?_nv,_Is_
' ' -''t __ _-__' _' U0-M-lJ__
____
_ ,J -(__!;_)N_'J_4 A__ _
'' ' 2 _ì___'_,.__
-_- __ _n,=3_r__ _ m,________
_ _a
__, est, c,snu 2_ ,,n_-_,c_., ,e _,.,?n, ,, ,,__ _,, y_,,,,,_,-,,_ ? _ '_ _ _ ' _ _ _ ___
_J, = 8 nUs y v, c ___.. el autor_Ó____ au2_enta el ' '
_ _ 'Vt_;.__
U_
segundo, ___ t!_ne sobre 1a 2___y'ec__ria 1o C'
_i_uiente
128

_s_d__r(_______c_v_______nce__qd___o___n__rd___+e___b__0__q___t __t__t______n____,______d_______ ___ ____ ________dy__ d__ _______0_0________________lt_____ _cpsd____t____0__?________r__B__e_____la0_d_____a__c_e___e____r__a___c_______l______o___2_cn___________J_____qd__t__________c_N_h_____oom____utc___r__au__r__m_a___t___uo_ _t_ep__2nlyaen__mt_h_e__o____t__Ds_m_____qot_ust__ce____0____0_____0__0___t_____o0____
CAPíTu lo l i 1 C j nemát _ _a
fjpterminando _,, para el trari_o d_- A hacia C, sc_ ___ijerle, en Y s (duran_e e'ste ti_rr__'_o
us__m0s e__er;'_ne_.t__J M.R.U._) ta_- con_o s_ _nuestra.
u, __-ç +_t w,,_
8s ___o_men_o
_ u,-=_(6) (l) r__
. _ _ ., _Ah .g ' ! / 0_ _. t e. r-
C CeqUlCC_ a aCe efaCl_n a C0rn_ e aC__ it ' / _ u _O
y S_ se tlenC el F_COfndO _n 2 _rlmer Se_Un O e _ ___ .. ____ _, i
moyimienlo_ en_onces se debc veri_car que A - ' ' -'' ''^ '' B ' ? '
- _O,5m_
a
_a=2= 1_
afculem_s u si _ara el lram_o de A h_c'ta
__ 3 s2. odemo,_._ consider__, ue
FinaImenteen (I7 uF-- l8_s. u,_uo__t
_ _-__.-._;-____._______,,y___.,.__ ._d/.._.,;%.,-__._.,__..,_,_;____,__...__..__,-,.,__,__.,___._o_,,0_0,___- -__m.,_,,_;..;v_. ,._,,___,__,___..,... _...._....._.._ _ O _ U - 0(8) t_ U _ _a (l)
_. ,, ,_,;.. ' _- --- ___-__' _'^i_-;_., _',_,.:,,,'?,__.;'_;_'_._4_'_:,'.'_';:___ _5__,__.__.__:._.__.___'_'__,m_,__t'_g____.'t__._M- __--_-_a___- __q__,__6_-_ne_n__, _y-_-'_________- ____--___5__ ::,_';___._'^.''''_'_'_:^_' ' __m._'.'i!_,_'__;'_,_'____'M_4_ . .
, q_'_._..'_!_=-t_:___-__,_____-_0______5is,i'._'S'_^'___":'^_/_'''!i'____._t___'_'':''.::_'____;'__.';!i'.:;_'__-0____c-_'___-.-v_m_-_____S'-__-______C'"y__':_'__i_'______:!'.__'_'_^'.:;__!_'_;__._'_:!_''___''_.'__'''__'__%___.,.... e ieqUlere 0) en _ tfamO _ aCl_
__- ' ^0'' _ trar_scurre l s_ con ello podern_s plantear _ue
_,_____Y------- __,
i. _^ Un _lano inclinado viene a ser Una __: la rapid___, en este tramo disminuye en el v_1_r
__ su_erf_cit_ pIana i,_clineda cjerlo áneulo con __ _,
,,;.,, respectoalehon'2o__t_l._s(etipodesu__cie g , _, ,,.n,1men, ;e _ d ^,.
';_ Fue u tilizad_ por GaIiIeo pera d__ucir las ley____ _o_,i,
': _el m_y__m;gnfo un__ro Fmemen_e variado _ _ _ ' ' UB + U
i, ' _' d-c=_2 t_
_ quc dc __sla (orma hace el movimiento _e _,__0'_
_ c3ída ms lento y más FáL'il d_ an__li2ar. ___- _ + o
:___- _ 0 ;:__-_- _O,5=_l_0=lmrs
v_ 0' ' _ ____
_ ,_ __-_ Por lo tant0, en (l) tenemos u = 8( l) _ 8 mis.
..... _ ,;._ / _e, _ _-.' : '_ '_'_.:?.: _ ' ,__- =_--__-__,__y_n_,,_-;; _c?,._______/__-_ ..;.._;;;_x,.....,:,:,.;;.;.;, :/.;_..,;_m._. ;..,.;. ?!,..r,_;,_,,;,___, ,,;,_. ._._gg.._-,-;_o_0__,_;____d_0__o_,_D_0______._pi,___o_o--___0_ ..__8___,._..v;__._.
:_'_. / a hon_n_ t_' ' ..._ , _' '_ ' ___ ..__e Q___'y______--_- _--.____-_- _,___-0_______:_.__' ____:____?_.'__^_' ,_'__'__:,;_:._m____-:M;s'_:.__'_'_?_ __..'a___'_,____',',____-----_-'o_o0: _m__ ____-'-_'_O_''0_'_o; __'_'_^'^, _._ .__;_'?
;_; ' ' , ' _, . .t. .';.;,__rvi__:_i,' -_ ___-_m-________- ___-_-- ^____^ i m4_'_i__'' _:'i_M__ 1'j-:__,:m_ __''____-__'',0^_ ^- 'o__ __0 ___-__iA'a__ .__-'__
',i''_,,...., ..., ,.n, n_,,.,,n._, .m_v.%m,_,,,,.%..y,m,,n.. ..,n.n.,_,,,n___..,y._,.n,.._,,,,....n.y,,,x,, ,.,.,,_, q,__..., m,..,._._..._..._.,..__.,,,_. .sv.,n.__x _. __ '_ _ _-
_i. _?."' _;
;__'M ' -' Despus cle _alJer resuelto este ú_tim_ __a_,
iemPlO l8 _ eJ,emp_, pud,m,s co,c_u.,, que e, _,, m _ u v __,__
Un pequeno bloque es lanzado sobre una __,, des_ce_e,_ado un segundo antes de F,enarse __;_, _,0,0
SU_er FlCle hOrl20rlt_ C_n Una fa_ide_ U. S_ S_ Sabe _,,, el cuer_o recone una loneitud jguel a l_ mitad __,0,,_'o,,,
que estuvo en mo__miento du_nte 8syen el úlEimo __0_''__, del valor de la aceleraci6n; es decir g__'_
segundn recorfjó O,5 m; iqué valof toma u7. __t,__, l S '?.
_:_'_ _ _'
On5ldere QUe el bIOßUe __enmenta M-R.U.V.) X _. u _ o ,_''0_.
_, - ,.:,.,:';,i - ------ --- _,....'__!'_ -- -- - --- __,-._o,.-_-._i., a,id',
Resolucin - _ _d_ _._.,,,,,
Del enunciado se des_rende que una vez aue e_ _ .. _d_.., ,._i,_.e..
el _'alor de la velocidad uniformemente hasta que _'._, _ _ _._,..i,,.a.

_aasleE__yt____t_c}_l__?__tna_____at___l__3rm____bf__n_e___nc__av)a_9n)d_2___F_n___d______m____c______(_____d__0___u___t?_rlo__t__________F___n___c_tsf ____f_pt__________)_____ _____________g________ ______ eo_om__ ___ _(__)____
i.. _i,._.e.,., _i_;, '' ''''0' _,__e_F '_,ii0i- _i_i'_0_ __'''e_1__','___..___;.. 0!___. ,. ..i,a____i=,,_,,._.. _ig',___,__.,_,__,.==__d,_i__,__i_.___.___;;.,__,__,.,=,_.,,.,_;_,._',_p_,,, _'__,i,___..,_i.__.,a,..___==. ___iii.__.__.i,,,.__..__e,_,,,0.'.,,.a,,;,iq,._.=.___=,,,,,.=.... _o_,,,,,_,,,,,,,,, ,,,,,,,o,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,_,_,,,,,,, ,,,,,,,,,_,,,,,,,_, ,,,_,,,_,,_,,,,,,,,,,,,,,,,,_,,,0,,,,0,,,,o,,,_,,d,,,,,,,,,,,,,,,_,,,,,,,,,D,,,,,p,,,,, ,,,,_,,,o,_,,,,,__,,,0,,_,,,_,,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,_,,,_,_D,,,,,,w,,,,,_,, ,,,,,,,,,_,,, ,,,,,,,,,,,, ,,, ,, _,,,,,,,,,,,_,,,,,,,_,,,,,,,_,,,,,,,,, ,,,,,,, ,,,_,,_, o,0,.,, __. _,,_, ,,,,,p,,,_,,d,,,,_,,P
_'__; '_o_, _ ___ _''_,',8 __'_0_;_,._'__ '_,___a__i, _'__' __m___Iu______
C'_____O .S_ a___x;')Za Ri _?'i__'___Mle___i'_ de Un 3'i(_m0_l CrJi_s_,_ef__mos _ p__r___) A c_m_ la uhi__('=;u,n. di_j
______- __x__r!n_e_rit_ _n :___,__l!. n-!Je_mo._ __xe en l___ mup___e v _i _,_ _{.,a,_,._ x,,s e:,F.5 __,,,_ _._;nai__c g_
_v__c___r_ __m_____ __.€___n___S rf__?_i__e _ _ T_á_ _ii_ _ -_ t 1 2n_ __ ,
-'a e 2___ln2J i _'___i__v __v - - ___ t _;_____n_C_-
en c_j íi________ 5-'_5__c_ce_,_. J_t_i_'n;_iI''j__ _a,rap___-_j __i'_l _ , . _ _
, _____UI_-_. _)t.__.__ __'_'______ __f_ C_l _Ur vi_U m ____St_
___ _______Vt l.
l__e___ a _. Ef seg_,ent_7 i1-_e p__rte _c _ ?.' iií__._,â
_____uijn e_ _ eg e;e __iy__,_-___m_jent_ d
' ''t__' A_-
C-.J____ì_c__ndo i_ p___i__!_._ _'_.._ autG e__ ca_c_ _t;__n__
__i__iMi_ lOS C_i_{r_ pr?_.t__.___L0S S~_ ____U_i_D5. . ' . /,_J
_'.',.. , /'
.';... '__'_' cl,_-__200______8_
_S _ _S __S__ ___ _ _- _m___':;_::._o,_ , 1,_, , ,, ,__ __,.g____'_' _'_' , ,
,_/ _/ ___ _ /- 4 __ ''_j_'i'__.. ' _ ' .._ __y___''-,___'_.__.:. /
___,_. _-__?_ha ___rr_;_-, -_-;iJ_ __-_ _. ' _
'^_i_'-'__i_ii__.'.. -____=____=__î_ :___i'_'. _____m___'_'__ =_''__._'_'__,='.' .__________0'_,'_'n __0nn - _____ ,_ Y'' .
s__, '' -_'' _ _' 1 ; U2N_Ui'_ _' ,''_
_ , ' '_.__d_is__a__ado
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_ , q _ B.._,,,,,...., ' '-'''
Si _:?i_ ei _ll____.i S_3(jn_ d0 CrJì;__i_'___?aii:____ q_iC e1 _ui_
. . CC_i'i_-_ ,_(__ __-Cien -_' ii m^___!i'- _C J__ v__OCtdad J____ :__
___f_ri___ r ___t___n1_i_ g e________5_ ____i_ti_ t_, _1 ___i.J _._;'____ C ,t _
_ _ _ t - U ' x ___-___nCe5 ___-__!!C_._US
m-'ii_v.t ___iiii _ t_J '_'
_ _l
e__i__a___. u _ __A__
R___idan_;_) ue e_ et _, 5._._f, ìfn móvt,-I _v_n__,,_a t
rJ_ _ '_ et m___l(J r_e_ c_a__-_I_i_mj_nt_ _ _j_t_ancj3
igU___eS _i_ta_Cias er, Cada sie_LindU _0d_m0_- ' V M - "^ ' - ' '
_.,;cgfene_,,,r__i-_c0__uee__0___n,__s_p__nd0_, d___ 1;_cia _. _e Ie_ __eur_,e_.e_ ____^'_ _sL_nc __
_,. _ _ g !, Teoren_e de _; __&_ ora5 se tien
Con es___ obtei,_e_mos __. s.iguien_e relación ,_ j_d_. _2
_,d_ t__i
_d_d_ _wa
. y 8_mpIazand_ i__ _'__ lo__e_-
_ a=
_ d_3__ d j_'('__-0o_t___oo)__ __-
__"_ /' _
result__ d_ __ 1a grái_ca nos in_j_e quR e_ au_-n
_x _ _ tie_p_ e__np!___o p__ ra if _i_ A hacja _^
ä.ì_Z_ _ m en Ca _ i-eeUr_0ci, en _nC_t_ a - " 'Y- - '
ra_ide_d_I_i_;___ es 3_is. . t_5m_nu_o__ __(_6oj5 _ r_-_3oos
_ro_l_e'_==_i_'_8i__ _ Reempla2ando _n (_)
Un v, at_ pa_e _e un m_eIle e_ dir_a__ción oc_te, i go_
Iue_g_a _e haber avan2n_o _2r__o cn ca_bia de i'm =_'30__ m, _ u_ = 5m_
djcecc__n hacia al su_, _0gr_' n_0a a__anza_ en e.sta
d_pe,___;ón a_n_,_ m_ ,c; gi ___i€ se man;,,,o en iQUé_i_n_ i_lC__S'C__e_te'StefRS_l_a'tO'-SiS__i-FlCa
m0y_m;ent_ _'ur3nte 5 m_nutos, dete,,n_n_ ei ßUe Si _,1 Yate s_ mO_ie___ en fa di F_CCin del
m_____lo de I_ ve.!_cj_a_ mgdi__ _e3de _ue pa_ió de5_l__mlent_ COn ra_1de2 C_n_f__te 0e J m/57
hasta que se deiuvo, llegáa a B cubDner_du l_s i 500 m en í minutos,
1 __

_c _g _T___________0______u__y_?___n__mn_________0__t___c__________________mn_0v_________nn_r___v___l___m_t____0_t__0_h_______c___rl_t___t_tn__________________0____l_____t0_____l_t______o____0___________2_________ ________ ___0__ _________ __ v__> __t__ ____tt___ t_m_t___t___ _ _p____t _______ v/__ m_te_____r____t____mp__________tt_t_u___t_r____r__c_____n_a_____t______0o____e_?_v______r_t____n______l____u________?_e____u____________?e0______et?_0__2_v___0_____t_v____0_____0n______n_____>___g________o_____n____e_ s__l_t____nto_____7_ ____ _ _
Peo_!e__9
p_f_ atr_ve_af un ____e_fe de _4J m _c j_f___jt_,!_, _,___ _uto__óvi!; r____ se ___ve __;J _e ____ ;'_ _m__ ' ______. ___ t_ __-
_,_____ I_ _s em, _lg_a _5 s. _4_é !ç___;cu_ __e_a el a_''___m__' ! !
Res_luciún
see_n e; er_uncia_o, ___;_. 5utom__jl _e m_e__'e _ v_!oc_-d__ c______m__te_ __'__G _'5), eS d_ci_r __'__l!!_a (__a
tn _g+_r. -, )_ a_ em__ee_ ! S __. e_ __ l____e_s-_r eI pu_nte , _._ i3;_i Fl_-_a 4____ i_; _!____ _e la__e_ ra av___a !_ 5 ____ _. i___Jn _ _;
l_ j_neiJtud de_ p_e_te es l_? m y e1 aut_m___t tiene una 1()r__it!-ld __ _ e;'__4xni'e_ __SUe __ ;_^;____C__U _,l_'
e) au(_mó_j_ e___pj__za _ jngces_T __ _u__t,e hasta que __r__jn_n dc _ruz6rl_, 5u par_e _e I__l_e_a __ __ _
a___nza__ d _ (I _r t _) In __ _s__ debe_ 5er _ 5_ m.
!.__-_---__---______________ ;
____ ,___ . _,,,J' U.__ßMr_ _;,_o,__m__,gc,%,_,,,o_'_, ..,_, -_'' __t,'___ ,
. _ IQJm_9 e_,'_"
__,_-'__,___-?-_,.____,-_m_,, ,,_,:_________ , 0 ,_4 _T _m_' __ _--=_v __- _ ^-' 0__- ,__' ?
______v_- - _-__-'__ '0'___'_'
Si l47+_=l50m,
seoblieneque _=3m
por lo lanto, la longitud del automó_-il es 3 m.
_r0_l__8_ _
Un tren se djree en l__nea r_cta y con ra_ide__ constante de I _ _s, a un puente reclo de longitud. Si _os
va__ones son _e igual longitud (_) y _e sabe que un vagón cruza completarn_nte el puente en l l s y do_
--__, ___,_^ __8',_,_,__=,0__0_

_______d____o____________d__
___t________0___________________________p_____________________________________________________________t____________0____________________________________________0_________________________________________________________________________________e______0___________0_____________________o___________________________0_____________o_____0_______________o_0______________________0____________0___0___________0_______0o____________________0_________o_______________________________________________________________________________________________________________o_____0___________________p__________________ __ ________________________________________d________
__________(___0______________f___________)________________________________________00_______________________________________________L________________________________________________________________________________________________o__________________________________0______________0_____________0_______________________0________0_________________0____________________20____________0___________________0____________0o______________0_______0_______0____00______o____________o____e________________________________________________________________________________________________________tttft__|_____________l___t__f__J_l_l_lt_t_t____________r______l_tltl_l__2__txt__lv_____(__________________________________0o_____3_m_____ _______ ______ttt__lll_tltlt__t _tl _____00_
l_J mbrer&s _d jt_res fís ica
ResoIución
Rcpresentemos gráF_camente ei j.ist_nte en que el pnmer vagu- n empieza _ cru_ar ef _uente y e l inst,_nte
en _ue el primer, se_uri_o _?_ _0_'er_o vagón term!nan _e cruza_' e_ puente.r
3= ?
'' t_= l2s ; !
' t_-- l l s ;! !,
____ ''^"_.__0^''_ '^i^___ .^__ ._''_i'-a_. _-__f^o!,!,__!,_,_i,_,_o!,_101,_!,_t,,_n_t,_,__u_ ^_ ____ _ tU ;
''''_ l 'i'" ' _ ;
!, __; ; !,
__-__,_, !_8!.__a!__t;__.___t;_ =______,_0.0........,..,,.o,y.. o _ ;,
!_4 e_ ;
'!;;,;!_! __, u
_-__,,' __,,_._' _ _ __ ' _' ___,_0o........,.....,_........._
' i'_''''''' L _'i''''''_' ! ! '
_ _,_;e, 7Q
DeferáF__onotamos L+e L+2p L+ge _
. pa,a c,,2ar el uente uri _,a _n ,eco,,e una t _ -_ _ _ _ __ lo
' ^ II I2 r
l5tanCf_de _
d__L+_ (_
en un, tiem_ r_ = 7 1 s. (I_)
_ _ara c_2ar dos vagones, deben recorrer DR (_ J fenemos L _, Q __
d2=Lt2_
ye +=m
en un tiempo t2 = l 2 s.
Resol__endo
_ Luego para los nueve va_ones deben reconer
L+g4 _=lOm _' L=IU0m
9_
en un tiemmo (3 =? En (lll)
Como la r_pidez en ios tres cùsos es la misma es l oo + go
=IO_ t3=I9s_ 0 n _ t 0 t e
t3
d_ d2 d3 Luego los nue_'e va_ones cruzarán e1 puente en
_=-=-=- l0mrS
t_ t2 t3 l9s.
' 132

_____t _ll'tl_l_________________ ___________l_____________l__o__________________t__A_______________________________ __ ________l_tl___________________0,_______
________t___to_______________________s____________________________________l____________l___________0____0__0___________l_o________________p_______t____t_____________________________t_____________f_______________________________(__________)____________y_____(____________________)_______________________________________________0__0___l(_______t_______t_0_0_x_____l___________l____0______t_)_________________r_____t___________________________________________________/________v____r__e__________________________n______________e_B________________________s_________________________
CAP lTUl0 f 1 l _'_,_, _nemi' ,_ ' _mt_ca
_F_b1em__
Frente a un poste A pasan dos aut_mó_-i_e_ sim___t__ n_amente 1_aiia u_ __sle _ c0n rapj_e_ __ons_n__.e
de 5 _s v, 20 __-, res_ectivamente_ s___re iina pista rR. ctjlánRa. __; en ese jn_tante desdc_ c_, ____R__, _ __ _12
_tro au lom6n l co__ rapidez constan (e de 30 _s hncia _I pO_tR, M' y _e _ru_a con tos auto__-v!Ie,s an te_ores
_on un interva_o de l minuto, iqu distanc_ia hay entr_ l_s p_stes _ y _?
Resolución
Veamos lo c_ue sucede.
i_, _ o_ ''__,
_ ___
_ _____
2 __,,
-' _, _5'_' ' ' _'' . '_ ' '''_u...;,'::._ '_'' ''_':_':''''_;:___,_'_ ,..__"_'.' ':_'____'''__'' _'''_,,__.;:-_''''_____'' '''___:'___'''''''''','''_::'''_;'_=:_''
.....:; .__,__w00___,_,. . n. _^__,0,0,00'___,_.,, _. '._a_O_.a,,o___,,,,,.__..__2 '':....-____.':,...;..; :'';._n. .._e!:_'_' _'_c. uentru....:;.;',.. ..._....:.. ..._.........._,.._;':'_____....;..s._,_.__.._.:__..:........::,_,;;.::n;;_.;:.'...',.:.;_;_....;:'';.:_,..;..'
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; .. '>'_.' _3_::;'0_,_0o.____;'_.. ' -' ._ .'_':':....._' ''_'__3. _...,_,0__._._,_. ;':.;....'::. : ___;., _.0..__0o0.,_,' ... _
_. _.._-...... ,''..;''_ _,. .. -. __ 2doe=cuentfa '' '' .;._ ' _-':_._... ,_ ', . , .. - .;,
J' ,' d ' ,
Advierta__!e u_> u_ y d es IadistanciaenEre los Seeún_a Flgura,Observe que r2>r_. Porlotantu,
_OSteS A y _; _Uf lO tantO, el automúVil (l) se (t2 - t_) es el intervaio de tiemp0 qUC transcurr__
encuentra primero con eI autornó_-il (3) af cabo de un encuentro a atro.
de U_ lnlefVaI_ de tlen_DO (_ (tiemm0 de
encuentr_). P0F d_tO d_f PrOblema
d d t_-tl = _ min = 60s (lIJ)
t____=__ l
U_ + _3 t Reem lazando _ f_ en Ill se ti
También, __egú__ Ia Fi_oura el automvl (2J_ se d d
_-_=60
_entra COn e _Ut0mO__f a ßartlr del lnStante 35 50
inicial, luego de un intervalo de
Onde
tlem_O (_ (tambIén tlempO d_ enCUCntrO)_
d_ 7000
d d
2-_, +, -_35 m=jkm
2 3
133

__ ___ 4g______ _____
J_r________________________n__________________t_____________________________________________________________________________________t________n__t____________?____t______________________n_______t______________v__________________t___tr'_t_________t______t________________________________t_____________________?____th_________t_________________J_______r_________n________r__________t__________________________________y_ly______________l_________________________________________y_yl________t___lJ_____ly_____________________________________________________
_____________t_____l_____________A______________d________e_______n_________________J____________n_______J__x______________________________n___________________________________________________________________________________________rt___v____y____l____________________________________________________________l_____t(_________n____r_______________________________l____________________________________________n___t__t____l____________________t____________r___n_____t___________7_ ____________ ________t________________________________________,_________l _l____ l_______l_t_lt_____ _ _m_
lumb reras Ed itores f j_ rca
Pr_0_m8_ - _ _,
Un icIisEa que se despla2a sot__r0_ Una pi__ta rectilíEie_ _asa fre_te a ur; _o__te _or_ una Tami_ei' constant_
de 5_s. Lue_ode l_s j___a_e urlautomóin_e0nunavel_idadc_-_nslä_l_te_e 2_riVs y_n lamjsn__
d '_recc ;_Ó!__ ue termir_e luego _e c__n tos se_gundos _e haber pasado el au tun'_ú__ l frenTe a;_ __-t_' _ _l c!__iista
_t' c_1c_n2a__J por el _ut_mÓv;'l.
Rei_oluc__n
Se_ún el enunciad0, el ciclista se mueve en línea r_cta y _or_ u__ia rapidez constante (uc =S m/sJ.,
__uai_ se _!,_ _vsta.s c_cf__ ctestjc_ d' e su _no_j__jgn(_, e_ cic!,ist_ rr_1j_i,3 _u_,__ ,_._ .U. _r_ otFo 1__do e_ autom__;_,
.5_' rT__evR_ cun vcI_c__a_ c_n_i__te (ua_20 m/sJ., I0 que s!___ if_ca q__e e1 _utomónI real_--z___a tam_;_-én
_n h_.R.U. C0nsjderemos que c__ando el ciciist__ se _ncuentr_ '_rent_ al i.__r_sta' en ese ins_ante e_ automú__il
sc. ____c_,____tra cietr_s _'_n una __ __sición N; l0 s despué,,s, el _'ic1sta se encu__ntra e-n ur__ posición 8 _
p_r caridición del _r__lema el automóvil esEá frente al p_ste, Como ua > _c el autc__n6vi1 lue__n
_e t segu_.da os de pe_ .s_r fr_i_ __e al pos te 3lc_n2ará al cic I is_a.
'__o
_..,....,,...,..___-.-.--; .--c-.-..,......, ..., ,.__. - 1____
__.,'; ' ' ~ _ i : ~__,_ _''__ __,M _ _s_n_- _ - ',; ': ___ ' ' '' ' _;',:;: __ ? _ ' _'. __ _ m' _'0o_o _ ___ '_ _x i ' _' _' '' ' ' ;h _'?,' _'___ _ ;.___: '' ''s :_ ' '_;:-_ _:. : ' ;_.: i:: __,_ ' !__: :_ _ :_. _ ' '' f_- _, ' ' "'í';''''_!_ ' :'; _t-:_- ------ -' '- ' -'_ ;. ' - - _> ' '''_ _ - -, '
__.,:''.i-':-_.:_,_'_;.__'::.,;'::';_:.,_::.',___i.;';_.:;.,;',,__v__'__,:.._,_,_,_' ,' ,__:,_;'.''_........:...,.:..;' ;.:_.'..__..___-.. ;a__, __' _, ' ,_,___y--_n-_-.-___-,n___ v- ': 0, ' - o_0.
:_,___s-:';;_.:_._''_-_-''"''_'_:_:''-';_..;_''''''__:;____'-:_,/..'"__'n____:,'C''_,__ ,_:;?'_''O';;,;___''''''''__':'__:_:_';.'''''''''_''_-_ _'_ 0__' 'r'i''_c'----:_n--;.- -''-''_ ";'''_-- ___ '__ Uc - '' .__ '_0,^ _c
,.'.'___.'_.;___.../:....___ __.___q, _,'?__,;'''x!''i: ',' '_.:.. _.___.t _i_i _,, '_y__--,--=-__-'-_,---- e_'' _ '--__c _ '
' .''_-_'i__:____;':''__:__!!''_':__.'':;:'.__;;ii_ ''!_'..,,,.;';,. .'_:;:.''i'_' '''... ''' ,t'.'."'''S,f,..__3, _'-=-=.c_;:-_-_.==--__--;,__s.._-,._,;__.,__,l.. '_B ''''_- _ _. __._ , i
'r__o-- -_.__' _''......!O_s __...--. __. ___ :____ '_..... __.._.,:____;.'',_,.::;' _-_____.,.,_t.__._._'___ _, .._ ' .
' __, _'___, __' _U_,,, ''''''''_:_ _ .____^_,_,____,_- _'i- '_U'' ._ :'_.; .'-_.-;-__ _-;;--__ ._.''j'-__ '''.... . -'--- _-;,___9__,_..'__,0D._ U
i_ _____,___,__... _;? .._._;'.-';' '''i'_:, _.___''__ _..,_j'__ ._ _;';_.,,'_'_'_'_ :_?___-_v;,=. ,_ ,__-- ''''''. '_'':' ...;-' '_' _ '_ __'__',_'_._0_____.0_, ...
_ ' ,_
A__ra com0 n_s '___den _nalcu1ar (, _o r.ual 5 m/s_ lo q,e s_gn;F,ca q,.e en ca,_a segundo el
re_ Fesenta un tiempG de alcance d2l 2utorn_l c;_;st3,_,_á_ sn, yen _os av__ d-___
so_re el cic1ist__ p__e__os pla_tea_
d d_
,__,c-2o_s-_J l__ _ f___'_ __
P_ _o d es _a dîstancia _ue a_an2a el cicfis_a de A po, _o Ea,to e_ autmóvi_ a_canza a_ c_cl;,ta _
ha__ia 8 en l _ s con una ra_ideL conscante de
1

___r _________ _____ e9_ __ _____ __ _________________t2__J___u0_______ _ __0_____tll___.tlll. __0_____0______ r_______D____________0po___0_0_____o_____ ___l. _ _ _ _ _____ L_ t__ __ 0_______ _ _ _____ ____,lxl_ _ _ _ __________|>_____t__u_____ _t_2__ _ _ __ _____ _0__ ____u______o___ ____________ _,_ll__r _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ____.__l_.___f _____
CAPlTUL0 IlI í' i__mátîca
Pr_al_m8_
A _e_ rtir del instante rno5trado, _i_tecmin_ cunt0 rc_c+_rre la paloma y e1 tren hasta el i_.__tal)t.e qu__ I_
palon_a se encu___lra por encima de !a parie posteFi_r d__ _ tr_n. C_n_' __uere qu_ !_a __loma en el j_stantc
en que se encuentra so_re la parte delantera de_ tren se _a _clta _ara dirigirse cn direcc=_ón c_r_traeía
y con la misn__ rapidez. (Consi_e_re que la paloma y el tren _e_''arc_l_a._ lln h_.R.(.l. _ tambié_ desp__c'îe. e_
intenraIu de tie__po en el cual 1a p_orna cambia su _elocida_)v
, U i?r:-_
__0_.,'___0_,,.00,_'. .g'_'-g 2u
_L_ 9l _
Resolución
_ el siguiente diagrama mostramos et instante inicial_ el instante en qu_ la paloma _se _ncuentr_ __n la
parte delantera del tren (po__ ición BJ y el instante en que la parte ____enor da alcance a la paloma
(_osici6n_.
! _; r2 ; ; ; ;_'
! ;' _!2 ; ; ;
! ; _ _ t1 _ _
'; _ t_ ' ;! !, '.: ;
' 2, -_ _ ! - - - _ ' _. _u/ __
___;o;;_a;;_o_;_t;_a;í.à- 'o__ ;, __-^i__o;;_D;;_0t;_;;___j,à- _'..__ __-___...___^_''_''___ ____'0=...,.._..'___._0,.o_o,,, _ 2u _ .
: -N; F; B; _ _ _,A'
_ __. g__
Del dla_rama d_bemOS detefmlnaf el FeC0rnd_ Del dla_rama_ nÓtCSe qUe t) eS el tiemp_ de
dCt _ren de N haCia C (e,__) y el IeCOCndO de la CnCU_ntf_ (te) l'ntre la _a_e delantefa del tfen y
palUma de A hacia _ (e_e-J. Con_o el tren y la la _a1oma deSde eJ mOmen_o en que la parte
paloma se mueven con ra_idez constan_e, para detantera se encuentra en N y la pal_ma se
e1 tren planteamos encuentra en A. Mtunces
e.,_'_U_n _tNc dA,v
e-_' _.__.,,,__e_'
e Nc ' (2U)(t1 t t1 ) (l) _bm' _^
ara la pal_ma, análogamente t_ =e
A_.= upa_,nd. tA
eA_- = U)(t_+t2) (llJ l u

__p _ _2_ _(______ d___(f__t)l___r_t_____+_______________l(______l_J_0_0____________t________(_________l0___)0_________________________(__t___t_____________________n____t_____/__________________tt)_t____________p______________________________________tttt___t___t__w_pt_r____Jt a5)t ____
lumbreras _d _tores fás _ca
A__emás t1 es et tie_.po d__ sfc2!tce (-__ } _e l_ ___i L )
^ '_e'="'_'-t__
_ _0Sten_f e tfen a a __. 0nl___ de_ _ e _ /
m___ento en q__e la _arte poster_a_i __e cn__ _u_r_E_'a
_? 10 (_r_t_, eJ! tf_'I_ _-- 1__ __I_m_ reCOlr_n ___ )' _._
en _ ;__ la _2lOj F_a Se _!__tlenlfa ei_ _, _i_OnCCS ' '
?; e__ pec'tiv___ente. __c__ _l in_t__te en _uex la p_t_Jma
_ h
t_ _ _' _ SC enCURn F3 5a. Fe 3 _ar _ __StRrl0r, R tren.
et_,,,_,,. -_- _1 _
' i _ i? __d __ _' 0 _ _ ___i_ _a_.''_ _ ,__ _,___' c _ _ _,io_ '_. ' _ ^_ _ '_; 0. _' _ __ __,_N,, _ _____. _____,__._ q _ 4vy_h %n _,_._ _' s_'___ __ v.. ___ '_ '
l _ _ di^i''_'_____i___,80o_. .,_i__, .i_.__._,_,_'.ie_,__,ii__i__o__,_6,g',_-_ _,_'__e,'_,g__, ___0 _,'0,a__,___'0m_''_.____..,_. __a__,_'___^_____i' 0' ;.'_
t____ _ l2__ ___'' ':
U___! iJ ___ S_- _-'_giere desarrollar el problema ,_;v,
. _ , _, X- _T___p-al)_o ro rc_ones ,_ 1os fecorn_ot.
_i_J___me_il_ __.J V, __' e_. y 3% V U ' U ' "'-'
__g ya c-_u,n _asa el mi_-'_o t_e_,p_ pa,a _mb_s __,
__-_L _4,,__,_,.i _. .d __ _;
eNc "2U? "_+_ '_8L -___' m_Y"eSV_ ll'_t"fl ra_l eZ_OnSa_ e' ;;
_. U _! J __. _. _F_' __v__v__-,-__._','_;%!.___c__s_., _;=-,__--________%_x._-__;_-__-__? -!..y_._.__.'=.____._._,__?__n_ -_,_, ,_. ;_.____
_io_l__8
D_s auto_ó___te_s pa_an _imult_.iieamente __r las e_tacjones A __ B como se, _muest_-a. Si cuando se
cruzan, l_n mú_il hab_'_ i____orridu- _6 hm m_.__ que el otro, y â _artir de e__e jnsta1_le el pri1_ero tar_a l
tiora en _legar a R. y el ______l:nd_ _ horas en _ic__ar a _ _ __termi_J _ ia dist_nï- ja en t1_ las e5 tac jones __i _on
unid_s por un,_ pist2 rc_tjlj_____?. ?___-_nsjdeig m_e I_s a__t_múvj_es reali2_n h_.R_E,!. sobfe _jas araleI
__ 2 _._______,____,._
_-_-_- _'0' _,_^__,,__'' _0 . . '_. " ' _ V____=___:_ '".__o=0_-___-_
A _
Res___3u_i6n
.Se__n_a eI e_nl_r__- =_2do, __s _ut_n_.vile_ re_li2Ö_ n h, -_.R.U. __c.____ _l il______r,te _ll_ !___ automó_;_1es p___r;
s__(1l___;-! t_,__, __' me__,____ fren__ _ l___ s f_stac;_o;-__T___ tr___cc_!_(rie _t i__c_- __. _.a.s!__ n___!.e __ç_ r_rv___ v r_Jr. r_i;n,_ ,_ici__,. _-_,_
__rOi_i_'-_A___ __flU __ _,__ _-xii_.)S _ì2_i___ _'__-_i?__i,_tf _-uC k_J_-_ I_______. c ;_ji_ i___ _t____;__ ___te _!_t__ __í_'_J _Cr ___ __- _1t___ ___-: > '- __Lt_._-____'-_t !
__.,r x1.eiu?__c_;__,,s__nc_-,__.._1,'-_t_r__!.._ ,.___._J,n___i!.; ta_r_;__i;_K; J__t_ _:r_Ê,.-,_l , t__ ,.;;L_,-, c_;_..;___-_r_;,. __,_ __u,_,.j :_,_,_ er?,__'_,:___._.
d:__-_;__ ;-r__lP __- .i_,!i2____/_u,;!, _2 n,___-''_C___I___ __;__-t__Jf t_?_._'__jc-_.__. _i____?-_ _- /__:-__ _:;__ '.=_!' ___ __J,____- ___. __!_- __.'_ , . __/
ava__ ,_- a, _' hr1_ ?;_5_ s_t__ _' v__. c___ _é L__ c__ ;_!_J_nl__, e;__ a_J-___ J ._ _,'i;-_ ;-! _'-_._2ai_ _ _._-___, _ _. ; ? ';__
F_ _,_
!' __' -^-^- ''-''--''_"----' '
_ __m_,,___ ': _ . ___._;_,,,__;.. . _ x_.- -___-
"_' _____-__- _?_ -- _-'_im____.'_ _- _ ^- '____i,,_a_,_,,_,,'__ag,___,.,?,.,,^,,o_'
, _ _'jc _ _ _T - r
ii ; .__ .m. _n__., .. ,_ _,._ ___,v__ ._.__.. _ ?_'' ^^^_"__ '_--_M-_- ' -'-_''-'_-'MM''__'' -_ ' ;. ;, __3
_ _ ____ __ - __'
_ ._, _ _._ ''_ ..; ..,_ _ .,_ . ' _ ____. _ _vM_ :-____ _ _ ._. _ ___, ____
: ,0__0__._,_,_,..,.____'________ _____ - _._ -'-'i -"- ' - ' - - ' __-__.mi____K__ __ _" u _ _ ' n v' ',_ v - n - n _ __t.,.;__j_!.,,__?v__
--__,, _' ' -- -:''' '_ _ _ _- ,'' -_;--', ' , ' ,_, '' ''' ,,____.-_, ,, _!
q_' _ (x + t_ 6) tm _?-___- -_ km ___
___--d__-
136

_pl og _____0_o__o _t_ _________t_t_____u___ t ___1 _ __ ____ _________________t___t______e______ m_ _ ___s___q_ __u_______v_________ ________ ________ _______t________t1_ _ _f_ _ _al p%o_ef
CA_ ITU lO e I l C i___mt _ía
___e_l _i_gr__m,a debcmos _naj__ular _, donde _e-saluc_oi_
d = (.x + 36) _ x __Di__SeN,_tA'_ rT"05 3rafiC______M'-C_ ef _'__ S_i_j-ar____it'i(
i de la hi_r__'__i_'a ?' de_ __iiycI li_re J__ __ _x.Ju__. i_olit'__me
t _X_ '_ '
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por lo tanto_ la distancia entre Ias est__ ciones es . _,_ u < ,' _a hoFm;ga se,_ __c4- nzed
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C1nl_'eI_ea__Ua.
pf0D_emg g En!onces _e_ucin__i- qLie J__ me1__r ra' i_idez q!_c
Al recip;er__e jn_fe__L_ an_ue a Fe2án const_nte dc det_Cfí_ pfCS_ntaI __ hOrmi__, Sin qUe __URd_ S_f
6_u__ c,__',,/___. _con qu n___n___ f.3p_de2 _onst_n, te at_C_n_____ __f _l ni_'el _el _L_ua q_e Se _teVa, _.e
__be ,_ ,_ _,f t,, ,__r,_;_a po, Ie su_ef_c;e _nci;n,__. d_rá si
a p_rLir cte! ini_ t_nte mostrado, _a_a no seF u_, _ u_.sua (l;_-
alcan2_c1a pur el agua? Ahora dete_minemos la rap_de_ con ;e que g_
_ ele_'a el niv_t del agua.
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137

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lu m breras Ed it ores f í_ica
Por condición de!_ pra_lemL_ _n el rec'_piente I_ualando (l1) y (llIJ
-n Fesa or cada se und0 G__ c___J
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v_fu-cida_ __nstan!e (IJ,g,,); entonces en un
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Cm_J__m
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Además en l et volumen _el a_ua habrá , __ __,_ c._,.
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inc_emenladu cn _V_ donde pero _e ,_a _cscom ns,,c_-o, n de _a ve_oc__
_V=Ad h0r_nj_oa
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_cgundo (lll) d _ _ h.
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elaguaes 2,ScmJs.
Pro_l_m8t0
Doi moscas, A y _ expenmenEan M.R.U. tal cumo se muestra. Determine l_ rapidez dc la mosca B' si
consideramus _ue sus s_ ombr_s _royectadas sobre t_ par_d en todo in__ta__Ee tienen la misma rapide2.
_. _,__,_!__;';_;:_i__
''_:'' ''''_'_ 3m/s
!!E,f,lt_ ,.........,..
0___ _ __ _ - - -,_i,_--.-=_=,__--__,,,.- _' - - - --- -_ - --_ -_=.____., =--__-___-_'''''_''___''_'''' .'_' '___'_''_-'__., .
; '' '' ' ' _ ll___-c_"j__x_'_____n_____'_..___,_.;c_,,___d_0___o_'_0_____.____0,,__,__'___0,__.,,_.__.:____._-;;_._.;,';_____;.___.__;_:,;'_,_____. _.ue_.._,.__;_'__,'0,____....;L__.____,o_o_.;,,...?_;;x__0,_ %,.__,, __,.__;_.___,_';,
, mo ;,caA ,U_
t--_2m+ 2m_+-lm
Resolucin
las so_bras de l__s mosca.s en la parcd se repr_sentan en __ porción de super F_cie que se ve oscura en la
pared_ __hido a que las moscas evitan el _aso de la luz hacja la p_ed. Como las moscas reali2an M.R.U._
laS mOSCaS A y B Se mUCV_n COn VCfOCl_ad COn__tante de n_ÓdUlOt UA = 3 _S Y _B, reSDRCtlVamente- Sl
desd__ el ins_anle que las moscas están _ineadas cun la linteFna transcurren t segundos, fa mosca _ de_e
avan2ar d,=3I _'lamosca B _ebeavan2ar dg=ugt. laproyecciónde lasombrade cadamoscaha_rá
avan_,_do cie___ distancia, 1as cuales deberán de s'er __guafes 3 d ._'a _ue _or condi_in las somb__as s-e
de___Ia2an con la misma rapide2. Representemos gráF_cd_mente lo deducido hasta el momento+
138

_l_d_e 2_6m__ca_da___s_______tv_______________ _te_qut__t______ __e_ _____ r_________m_____________e____zh __ _d__ls_t__f____t__c________________d__r_______e___0______s_____e__ __p_________y____e__0________ e_____ __t_ te____n__o_el_____w_ _ o_ll___________ l_____t ___
C_P íTUlO f l l C_n_m_t ic__
so__nhra_e_ CT_
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ResOl_endo_ Ug _ 6 _s y pof ende_ Ia mos_ B S_ deSpt3ala COn Una r3_i___ de 6 _S.
_ _ ' ''''_
_ _rF_co _s mues_a un autom6v_ que desanoll__ hil .K,_!. __o_re una pista h_riaontal- A cie_a distaT__ia
de_apis_ _ encuen_ unaper_onaque _ todD __te obse_a _! aut__il iCu_ ser3 la rapidu- _e1
automnI si a pa__r del instante mostrado la lín_ vi_. uaI de la persona al auto__óvil barre __n áre_
2 _ _ ron5__der la nor _ _ _ ,f n;__ n F _tnm_v_
'__ _) ___ lw yaper5O_d
_une Iuego de 8 s a _Ttir del in_ante mos_ado. (.No c_n_idere _as djmensione_ del au tom6vi _J.
'' .,_ -_- ' '' ' --' U _ ,'___ ,.,_.__.--
' _ _ .' ,. _._- ' ' . '', o __'_i0P__::_:,_,,=_^__0"'"'=
_i0 ' _ -',___ .+_ -
. -._= _, ____= ,. -r. '_n_, ,,. n ,:N - __ _._ .,_ .n_ ;_. ., -',. .__ _, -__. :: , - _...,,,...n.,,__,_..
_ - - '. _ _ ' - N,__M_'- _ _ í _ :_ _ __ __ ' _-- lmi _- - - e _- __ -N. - :-_ ' '., ;- _ j _ _ - ---=,_ ' : _:'. _. ^ _;__.__ '' __.;... _ _'_.. _';'_
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9

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Lumbrer_t Editor_ f ís i ca
Re_o_ucI_n
Representemos eráf1camente el despl_amiento del automóvil.
_' d_4K_'
_' , .,...,. _'_,___;'_;_;v._''_:'v -_ =__n-__-_-__i-_.;_''_.,,;.__...___. ;..;_ .....v__.,.;;._:_' _,'?_'____qw'_;;_'__.:'_'&x,,.,''':,. .'_.._-..;__;_ .,. ,' ' _,_:...,._''. ''
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'__ _.. ' _ '__ _____, a _.i_ _ _, _'_ _0 _o.•__... __' _ _ _' _- _di _ ' ' _, ___id _ _o_0_.___0_o_ _''___ __ _. _ 'n- _M' ' :._? __-_i?-_ i =_ _ ___ _. ____ ' __ ?_ _;_:_.. ...,._ _ _ __ _..___0_ j_ ' '__; _. _......__. _....,. _ ' '__.:,_n_ _,__ _ :4:_ ' _
_ el di_fama Se mUe5tfa qUe la me_f d_St_Ci_ _ _i__.'- _' _''___'_'___,_0__,__ _, _0d_'_'___,____,'____''___,_09!.'_'''__'____'_"0__.__,__''_^___'_L_,_i',,,,_;_0_00_______0,o,_8___,,_0oo_.v__0___!'.,_._.-____.__'.__=___'_o___',0'____i__'__o_=00___o_,____,0_._____________ ___d__0'_0__o_0___'___o__'o__,, !:'_'__:,_0_'__'__,_' _________.__'__8i0o,__'__ ___^i__,'_,_,___.i_'0'__'____'__a_"__,'0_______
_.__ - ,,.. _. __ _ _9 0 _ _ _ __' _ ai' _' __ _ _ __0g_ _____, _ _d_ _. _', _i __.,, _'R_ _0_0i,__.d_ i_'' _ __'_ m__ _,0_ _ __' _i _ i _.. i _'n ' _ __ '_ __ _ '' _| _ _.___ _ __ 0 _ !_ P, _ '_ 0 _ :. __':.; _ ' _____ ,o_.. _, _ ' '_g__?_ __ __ _ '__ _ __0 _.__ ____,____ _ ' _' _d, _,___i eg__. __0 __ _ i ' ' __ _ _ _ _ '_ i' _ _'
que exis_e entre el auIom6vil y e1 obsefVador es _._, __ ___'___,__' _'__'_''____''_N_'_^''-'_''''_N__ 0__-B_'^'_0_:'d''_'_0_' __0'0_d'___,,'-'-'_'_'__' 'W_,___'h' '_'''__''_'_0d_-''0__''_''_'i0'_'"'_____' _^_;,.
b. en tal tentido. el _utomvil para ir ____. ._- ;'_ observg que e_ segmen_o que u,e a_ '_
de P _cia C hampleado 8s._ora,co_el ,__''''' aytom6_lt_losojosdel__n_adorb_e__ _ ___',
tom_v__ desar_otla un m.R.u. tenemos '_,,o,, ue_np Fo_rcjon_es__em___xumdo. ._._
dePhaiCN i'____f', I8c_6s_3 g_,__,
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CAPíTU_O l l l Cinem.á_ jc'a
_rDalem812
_ borde de una pista rectil;-nea sc e_cuentTan dos co!_gios, A y a _;i_ th_.ciarl_s _ _9 _ 1. __ ___cT_d'_c_or ___
_n aut_mówl, que -__e desD. laz_ con rapidez constan_e en_re la._ c_!_______, _s__chm _;l _oT_i_o _a _ô __3m?_n_
de un_ de elIos cuand_ se encuentra a 34 m de este, y l__c___ _e _),__ _s escucha _l _on_!t_ ___ !__ v___'y'
campana. Si _bas cam___as emitieron e_ sonido s_,rT_ultáne__ne,nte ; _ale_ii_ la rapi_e_ _e_ e__tcm_j__l.
(us=340mrs)
Resoluci6n
5_g_ín e_ enunc!a_o, el auCom6n! desarrolla un m.R.U. C_Jnsiderem_s que está C_rCa al c_le_io _ __ Se
dinee al colegio _. Cuar_d_ han transc_rrido l_ segundos dc ha_er_e t_cado si_n_lt__eamenCe tas
campanas_ el conduc_or _el automónl escucha primero el s_ni__ _r_ducjdo p_r una de l__ c___r;_anas
que sería la del colegi_ A y estaría a 3_ m de él. _sto d5t__rmîr_3_Jia _ue e_ colc_i_ Y s_ _nc___enfr Dv a
una distância de Ií4 m- 2Q m = l20 m respecto del _' u__mónl. '_uego _e t2 =- U_25 s e__cu__h__ rja el
sonido de la campana del colegio B_ mi_ntras que el sonido del cole3io A lo a_elanta.
_ _ _ N _ t1 _, _ t_ __: ___
!___'__e;;; _l!s ;_Us _U_!, ( _Us _ ____0_ ;_,t
___ __/_ ! ! __0 __'
lMtantcenqu__ _ ;
cmcha__yd_ ; _
__o__ ; !
cam_A_ !, !,
00_^0_m0_ _ ua _ ____>0
__,A ____,0__ : 000
' '_''v ___v_i ___,_i, '''"'' ^_ !_ " '
34m_' o25.o2s_ !
! t2=_5 _t_=_S: ;
!_oproduydopo___8_ ! ! _
_ __ ',i ;! ;
t,_34m_! d-t_ xt
_! I54m_' -_
Como los sonidos p_oducidos 5e prupaean en el s__,ido que viene del c0tegio B a partir de M.
aire con I.a mi__ma rapid_z, entonces los sonidos iara este c_so el tiem_o de encuentro ser!a
deben propagarse la misma dis_ancia. En tal (e = t,, eneonces pIanteamos
sentido del diaerama
x_ 34myadem4s d_86m r_=_ _ O_25=
Ahora, para calcular la rapidez deI automóvil
._derar _a Fo/_ula de! t_.em o de Seobtiene
encuentro e_tfe el au_omóvi_ a partir de p con el U_ = _ INS

_camp___a_t_0tn_ta_____r_|_,l.___,___8tt______0l_)____c_onv)_n____dt__a_ s_ _ __) _)___)__ _,_|,_,______ __xn_______ t_ _ ___ _ _t _ t_Jry_t __,_ttt_f_____( t_ _ v(___ _ ; __ r ___ ?9 _n_lt___yt_ ?___y(t_tt_ _J__t /__t0____llllt_tf____t t___l __ _
Lurnb rera5 __ itores fisic_
La respuesta antenor 1__ hemu_ __tenido a- 1 supuner 4ue e_ can__ctor escuch_ __m_ro el son;_o
producido p_r la campa_a de! __J;_____iu A; ah0ra resolvamos el pro___ma consi_e___d_ __e, __) au t_m___ ;_
v3 det c__c_!_ A __ I co__,___ _, ?ero e_ conducto_ va a escuch_ _nmero el sonid_ que pro__e_,e del
__ole_4j__.
_e !orm_ s__n!lar, al ca___ 6n___;_r, el c_nd_cto_ _el a___tomó_l escuchaa pnm_ro el soni_r/ producdo
p_r !2 caInpan,_ _ v. !_a;a._o d_ __, _ O,2_ s de haber e_cuchado e_ _cnido _?od!_ci__ _a_ Ia camm_mm
Y escuiháa et sonidu _r_u_ido por la c_pana A.
, _f ,, , t_ ,
,' ,'; ___ _', __ : Us _J5 ; / Us r , ',_; _ ^_'_ '_
__'_000__ _ _ J : ' _ _ _ __ _ _ __!/' _
''__' '! ! 't__'
? 0_n_J_0 ! _ 00000 0 0 e__?,o
_??_0__0 ! _ 0000000__
00__? _ ; 0000000___a
_,_ 0___n0_ ; ,! ua 0_____0____
___0_ A ; ___,___,,,' _0__,__9_
_q? _- _,, _4,,,. ',-_ _ , x_, _-. _ _. _ ',,_.,.,_ _ _n. =__n- -,_. ' _,,,,,v,,. _ ' y, _, n_ ___;Jv v ,, _
_. j, t1=O,25s! - _
; _ _' )))j,s ;!
;! ; _ _r--025s ;-' :!,
__ ; - ! Ua
_ _ _--_,_ ,,_,_,, _,no__,?
_! y_d __-34m_;
_ l54m _
_' '
Se observa en el di_grama que cuan_o el _eernplazando
conductor escucha el sonido pr_uci_o por la o 25 d
.nof, p,0ducN_d, po, l, ' "-_34o_,_ (l)
campana A esta d metros _e_á_ _el conductor Se requiere d. A _a_ir del gr_F_co tenemos que
luego de t_ seeundos esta alcan2a al en e1 __j5mO inte_at0 de tiem_0 l_ lOS SOnid05
_ nd _, _ __.em po de a_c_ce pro_ucidos por la_ campanas deben prupag_se
_ 2
n a igual dis_ancia e__tonces tenemos mue y = 34 m
UeVen lCa
conlocuald=86m.
d En (I)seob_ene
l_=
U_-u_ ua_4_s
142

__________ ____N______ _____l___
0J_____l_______o___%t__nt____vh_____7________________(____y_______r_n_____________tr_v_________0_______________________________________ox________0__t___0____________@0__t_______0_______y____n_t_______________s____t__*__r______v_____l__________D____________________________t_o_______r_________________rt________w_______________r________________________t_____t________t____________________t_______td__00____________________0a__0__________________0____________0______0____________l___________________w__________N_(___o____0x______t6q____(__t_t___tu___t____u___r_________o___g________m0l____________c____________a___0______t____0/_____n__(o_r______tx_0________________________0___________0l___________________)____(____t_N________0l_______(0_____(0__(__0_____0___l___0_v____r_l______________J_x__o_l________m_n/64__________l_t____________l________0r)_____lol__/_tm0____p___t___lll__ _ (t__)
C_A_íTULo _ _ _ C inema ' t ic_,,
Proal_m_1J
En e_ gráF_co se muestra un autornvi1 que exp__'iment_ un M.R.U. _r_ un det_rminadn ins___te e_ J_ s_ n_
roduce una explosjón y l s de__pué_' otra ocurre en R. Si ias exptosi__nes s_n es_.lichadas
sjmultáneamente _r el conductor del automnl, La qué dit' tancia _e P __5ta_a e.l a_itom_1r _ l c'l_e_ n d_ s_ e
(u,--320mrs)
/-- :._',.;.---___2_0 - ''' '''__, . ,., _
_.___00,_,,,_;.,,.._0'_____,.,._.._.__..._..., __ __.. __.' .y_'''' ' '' 0
''^ :;,.'_^-_..._, ,,._,_._._O___,. _...;_ _;:n; .;'=_;_.-;-_;.- .;_':;;,... .;...-;_.-__-_ .;._. _ '-;_ ;-_,.:,_,m__..,;;.___..,.;.,;_.;,;D;.._,,.;..,_;;'!......
Resolución
Según el enunciado_ consider_mos que cuanJo el automnl se enc'uentra en Q, en _V _e produce la
pnmera _pl_sión y luego de un segundo se praduce la seeunda explosión en __ l_s cu_es sun e5cuchad_
simuttáneamente por el conductor del autom_'it en M. Si e! autoEnú__il emplea t _negw_do.s e,_ ir e
Q hacia M, entonces el soni_o origjnado debi_o a la explusián en N tard_ría en propa__eTse hacia __
t segx_ndos y eJ _onido o_ginado debido a Ia explosión en P tardaría en propaearse ((-i) segundos.
_ -_' _._.,.._.. ^_ . U_ ''__,._'-.._.,__ '_;
_____,._..._.__.....,..,_,,__,_,_._,__,,__..,oY'_... 20 mr_S ''''. '''' ___p_,_'_.,n...g__,0_.'___D_.._._o,_______.____________;_t __ _- '_. _- ' _
ote que_ r '_,_- - - - N _ _ _,J '
72k_ equiv_e 2O_s ,_ ;x_-_._:';;'__
Del diagrama debemos enconlrar la dis_ancia (1l) en (I)
entre Q y P o sea d, donde d _ 2ot + 32o f
d=QM+M_ (lJ
Ahora se requiere t_ 1o cual podremos calcular
Como el automónl realiza M.R.U. y el sonido se a a__., de_ _pN s_. se e _._
propaga a rapidez constante, se obtiene p. ,Q Y
'"Ua t" 2 Ot __ _2 _2
(__) NM --MP +lVP (_V)
=us (l- l)=320(t -

_p(______) ( _(p/__tt______lt_)_)t______y_0 __; ___ ;_n _)_)mr__tf____f___t__y_)_p) _/__)_)))_tl,,_)_ )n__s_!_e) ad. an_te_ ,4s_
lum breras Ed itores f js ica
De (Il) MP _ 320 (r - IJ Resolvien_o se obtiene
ade,n;s _M __ ,, f __ 32of (_ (__ _5
2
Del diagrarna NP = 640 m F__a1mente feem p_a2amo? en (___ J
(VJen (lVJ
2_ 3,__ 2+ 2 d=20 _ +320 _"l
__ ((_ 1)2+4 _=530m
_Foa_e___
Un a_u,ller_t-e_es l___c_n_navelocjdadconstantede 1g s dD_ rontoac__,asu ;f n u,. 1
_n 3a misma _;5t_ 5c _esp!_a un m_tocicl;sta con una r_pide__ const_te de _ 2 __Js en _irecció_, opuesta
_t pafrutI_ro. __ur_te _u_nt_ _______ e_ _c_ociciista escuchó e_ 5on_c_ _a ja s_____í: (u,_n,do = 3__ __s/!
a_s__ución
Represent_m__ _____arn_n(e __ _curri_o _e _cuer_o 2t enuncjed_.
tems__m l ,_S
_%t_iMtante _ ,'-i-_ _
_asi__na ; ,' ,' J _ '. ', !,
_nlf___ _ _ _ __0 ! ! U_ !
emt_ soni__ ___ ___0_,00 _ ;
_ s.,,_ ,, ,, dc ,o_ ; tc_-s-,_n n _, q _ ' Us
yxm(___w_n_!_ J _
d_ o__ so_o_ de i __ qe_ L) !
lo_ _d _ _ _ _?__nB0_, __ _ _
_, d__! L _!
d__' . ;_! ;!
H__ a_ 1im_us en et gr5nco, _ _
quc el son_d? _mitido tlen_ ' ; u,
_em __1__ (_), __tc so_do - - - - - - - - Mt
de)_ _e_agad_ _x pat_u1lero _
_ l_ego _con_e con cl _ e , t c _, M ( 0 t c e _ _ ;
muto___s_ t, _+ la . ! !
mO O_ _' CmP!e_; Um ' __--
a escuchar el _onido _ _ a?_0__^_ _ _
_'^''''"' ' '_,te F_"?_
_ ;); _!s
Instantc e_ que el; ! J _ _
mot_1cl_st_ t_ryna! um 0 __
de%cuchaIelsonido.; _ ,_9?___;
_d2+' d__
L
144

_2d__d_0000+0_t 0_(_d __7t) 34_0t t t 6s _ __ _ ___ _ ____ ____ _ _0____ o ___0_o ____________ __ __ ___ __________y__t______________?t___n________t__________________t_______tm__m_________x___t___________0__o________ _______p0o___ _____ __ _________ 0__
Lumb re ra_ Ed itoree física
Veamos el siguiente gránlco
U_ ._..
0_06_ ; _' _ _._,_,i _0__.__;_'_. _0,0._ _,_0__ _,d.'xv
00000_i,. t ! __. ... . .,..s..y. .._,_;...;.._..:..__.. _...:_. :_, _?'_'_m!_'.__. '' i!Ç____,___ :__:y'__'_.!0_,B ::__'U.'_.. _'.,_______.o',''_'_i._B._0.,___,_0 _0^_'___ _,,i_!,.,_,, ,. 0_,.,, ..
000__ r '_____0_' ''''__i'"__________"-'___':_;___,_0__:._._!'' '_ ' ''_"_' '_':_X__'._:_''_,. '_?___. __ _
00__ _ ___i_,__8,o_'_____n_;-_.__m:__!_/___m'_''.__.->i ' ''' '' _ i__''_'' '' '
0000_''' _ _-_----___ l7rds _- ___'____=.^___. _;,'_':';:_'_"''''__ _'__i_''''_'____'_'''_''______'''_:'-' __'
00_ _Kt / '_ ' _ ;__ _ __ __ ' _,. _., _. ' _ _ _ _! ' _ '_ _ 0 ' _ i_ _ 0_ ^ _._ _ i.... _vo.._i__.0o_,o ' _ P _ ' '' __''' ! _ '' '' h
00 . _-----_---_----- _'' ''__0'_' __'"
'-_'_--_--,-_-_j_í-'-' -'''"''''':v'-'''''''''''__''^''':'i'''"v' ''"_ '__':''_0'_''_'':'__'-- 'q__-_- i-_'---__--_----_---_^--'^ _'''''''''''''''"_''''i"'n'' ''v' '_ ,B''_' '_-_-'_'v' '_ ' 'v ''
;' !, l7 _ t_ __
tdl__696m_ d__
Del diagrama, el rec_rrido del sonid_ que va hacia el muro es
e_=PJM+MC
_ usi__d_+(_,+_PC) _ 340l,_2d,+J7_,
_ 390r__2(646)+l7l_ _ r__4s
Lueg__ si consideramo5 _ue el sonido que se reneja en eI cerro, se escuch 2 s después; entonces el
liempo q_e tarda en escucI__se dicho sonido ser l2 = l_ + 2 = 6 s. Con este dato deEe_inamos d?_.
0g0'0'0, ' , ,_,_,___ _''_0__;'__'._
0 00 00 _ , _ . _ .,. n_ ___ ;_i. _. i i _', ,._._0 ;,., ,,_; -_
00000_ ; 2- ., ,;_;;..'' i_ "~___.'_.,_..;''_'..... .___:.;_':__.__g________•_g,,,____- _-'--n_-._;_,-,- _
000 ' '_!.'0_! ''::'_:'t'___';::'.'_'..i. _r__X_.."'___.:_._ :.::_t'_'t,. '''' ''___'":'''_ t_ '','^' _?'=; "''' ''^'''___
00000_ _--__"'^, -'_N. l7mls _-____g_,. '''_'''_i_''''''"_v_'''''''''_,''_'',_''''''
0000_ _-___ '__ _;_ _ _.'_,____ _. _ _ _. -0_'i___'__,.i_',^___O.___ii'''_'__ __i o__'i.__
_____' i_'___;;_'m_,.*.''___v;;.n_.. .,_______ _ .._:.__:'_.:.'.___'' ''''p__'_'______ ..'_.:_.v_''', ;;'__'J'_.,;','___, ,_,,,,,,,s_,an_s h';_ ' 9_ _c:_--=__-.-__ _-- '---.-,c_--,---.-_ -c-__n---_-__,:.. '' ._.g'_._._ ''':'_'' .':__....__':?'__.__'''' -___.-' _s- '-c
! : l7_tj _
_dlt, d1 _ .
De1 gr_nco, lenemos que el recorndo deI sonido solución es correcta, por lo tanto reemptacemos
I-_acia el cerro es valores en la ecuaci6n (l)_
e2=u,.t2 d_d_+d_
p_ + _gc _ 3qod d = 646 + l 059
^ 2
d= l 705m
1 1-2-- i
F'___- ___ -_'_'_-''i00_'_'_-0''___æ_''^'___'__'- _o__o0_'^___-i0_'0'_o;_0__;0__,.___a'______a! _''',___.::_._'___'__m____!e____0_____;. __,._''_,_ :,__,_._ ___ __Y'_0______'_._'___-__O,__'__'_;;-_____._i_'' ^O_-O',__:'______o----'_-:_"___' -0_O"_-'__-_-_._'-_''_"e___'___!i_
,_ = 357t2 __ _'0 ',' i_.^!__':_>_0_0a.,,_-. ,,_,,_,_0__-__'___. ____.',_, .'_ .:,'â,____ _,!__'__'- . ,_%_.___._____i_'____''_._a_,__;___-__=,__,_0,._o______;__-,o - =,0..__i'_'D'_._;
?. __,______0.,, ,._.._'_0 n__' _''___- __ - '' ' n--_- ' '_i_'ii ,
2d_ = 3S7(6) __m_,......>__'' '_'_ Si CO_5ldefamOS qUe _1 SOnidO qUe Se ___
_i'__ reneja en el ceno es escuch_do 2 s antes que ''_'
dj" l 059m (II) __'_''''' et ot,o ,endfen,os u_ d < d _ _ i'''
_,___,' __ 2 _r0CUa__
Se tomprue'ua que d, > d_, lo cual concuerda _',' contradice e_ enuncia__. po, i,_ mot_v_, __o.,._
con los datos del problema. Entonces esta ___ des_a_emos tal posj'bjljda_. __.
_'4 __0___0____ ____m%'____' _v___'___,__o ______i________,____D_______0_'___,______, _ __8_ _,___ ' __,_D_vdi__i___ __o__a__,0_0____m.., "
146

_Rc_ e5olu_t_Tt_____aop_yectodna_h_____ _________t_________r____nd______p________ ___ _ t_t_____ _'dtx_J_____________x______llr_/_/_/ € ______t__ev2____o__0_0_____00___00a0____0o__0_r________0dD0_______________t__ Fuo_(__d_c)et_aed____d_____0___e__0_d_gn_____ea__n_____020__qD_e___u_r__y_e_lmp_a)_es_0_n_a0qva_t__o_e__py_9__t_______a__ot_c_r__Ns_0____nou______a___x0_________a___0_____ol0_______a__o__og___ca00___D0___d__a__D_0__a__no_0_____a__s_l__e___m_u_q)otl_____e____l__n_2a_0_ttop_ar__a_ ___ _______________________v___0____D___0_0______ _
CAP íTU l0 l _ l C i_em3i __C_-
Pr0_l_m816 Al avan2_r _! _loc_._e ava1__a __n i_.elocidad
_ _r_co nos muestra un bloque que se _e___la2a con_s tanie., lo_' _csplaz__ ni!_cnto5 _ori2unt__ _, __e?_i___
con una fapi_e2 constante de 2 nUs. _etermi__ e v, r_ct_ _e _a e5fera será. tamb_én con __+e;__0_i_t_- d
la ra_idez de ta pequ_a esfer_ uni_a a 1aa Cuerda _Ô_MlaJ_l_.
jn_tensible_ Por 1o tal_tu, _a_a determin&r la ra_i_e2 dc l_
e sfera __o ns ide ram_s
._ ue__f' (l
.,_._
>,. Se re_uiere de_ del eráF_co se deduce que
si d es el despi_amiento del bloque, entonces
_n d=Ub Nt
Conforme e l bloque se desPlaza hacia la iz4uierda, ... d_ _._ (,b., _
el tramo ho_zontal t_iM _ d) de la cuerda pasa
de la posición honzontaI a la ve_ic_. eso hace que
el lramo vertical de ta misma se încremente. ue __ ,b_ __ (2)_
Acontinuación
.'. ue=2_2_s
_ __ _ j _ _. _. ^ ' _ __ _; ' ' ' d. ' ^ ' ^ _ ' ,__ _ _ ^ g ' _,. ' ' _ _ - _ _ _ __ __'. ' ' _, _. 0, _ _,_ _ i __ _ _ :_.. _ _ _ _ _ _ ' ' ' ^ ' _ _ 0, _ _ ' ' _ _ _,. _, ^ _. _.. __,, _ 0... _ _' _ ' _ _ 'o ' _ _ _. _ _ _ _ _ : _ _ _ ' _' : _ _,0D _, g _ _, g _ _ _, _. _, ' _ _, _. _ _,, ' _ 0 ' __ _, __ _, _ o i _ _,, _ _.. _,, _ _ _ _ _, _._ __ o, _ _ _ _ ;.. _ _ ' ' _ _ 0 _., _ _ _ O ? _0 _ _ _ _ _ _ _'o _ _ _ _ _ _ _ _ _,. _. gg' V B _ _ ;, _ ' v _ _ : _. _ _ V ~ _ _ _ :; _ _ _ _n ' _ ' _
___.. . __ ___ ,__M _ _i _,0 _e__ _c'_;_?_'. ,y__ _,, _' " _æ _ _ ''!_'' _?_,, ____.; '_ _':__.__ _ _0 ''0_ _ _!_., ____ '___ ____i,___ __.__.__..'__ __,__0____',0_ _a __,d.__0___, _.., _,_,___ ___ __, '_ '__i_0 '_' __ _ ___ _, ___'_,___o_9 '_ _0 __,_. ___ __,_ _, = _'_,,_0,g0_.0... _ _,g_:_,__0.._ _0_ ____ _____ _o___ V_ _! ^ 0_a'_____? '_ _ _';_ __-,'
,____ : ,_ i_ .___..'_'__' 0_-_-_''_''''__iNWO'' "''^_ ^'P'' ''_O'i_''0'__ 0_"'_'^''''__' _'O _ _'''0'' _0 ^_''' ^''~ __ _P'__ ''_,._.
..., _' _.__.; ;____ _..,_,..... o-ii __ne po_ee simp_e está F_,,,,de_,u,e _, ____.
_ _ _,,,, f,_nsmit_, movimien_u med;ante una cue,da e
0-''-------;.___ _, ' g
_d_ ___''_ __o__ _'__'"__
,,' f __"_ '__'.q__ _o,' _,
._g__l.._''__ =,_,,V '___, ,_a_,., __i,
_r_tS(e_ ,' ' _ __',D_,_,_,, '_ _,m ,__o,__iai_i__'0;_,_,___._i.l_,i__..g,_,,,....,..,,.,..,. , __ __ _ ,,_,,,,0
'' _'__,,,00,,_,,_,, __m'''._,,,__ ___.;_.___ ' _i,'__- 00Ô'î____,__,,_,0oi,i,ii.,.i.,,. ,,oao_. ' D''',__,,
experimenta un despla2amiento horizontal y ___,go''' _,'_._ _ __,'__
a la vez un desplazamiento vertical. Lo iD0___,.D _?,_,_,
prime_-o es debido al desptazamiento det 'g___.. . ,_ _ _g,,a,d
bloque y lo segundo debjdo al jncremento del ____g _l_ _ u_grú_ _s___'
. _ d _ d _0 _'o''__ ,,,_0,o,i,o,__,0___,_,_o',___, s____m__,____a_ ,____,__,__,D_,D'-8___,_,__0,,_,__,_,0,__. ___, _a_a__0__D0,00___,_,_,_____ ____ __,,_,_____,_0,;,,____,__0_,,_,,,,_,,___,,__,_,,_,_,_,0,__,D __0 ___ _____ __0 _'_.a,
famO VeftIC_ e a CUer a.

_a__5_nu_tts_l_t_h_ _a_stta_ tqt u_ _e_ _el__l_|_ d t1e _ e eno__tl2M_ st,t _ __ _to_ ___c_ __s dl_r_ __ ua__5 mfdes_2 _ a _ a Il e 2__un__ m___R_u_ y
cAp _Tu_O i _ _ Ci_emá^_ iî_
U52n_o l_ Ie)' de senos_ e_i eI triár_eui_ so,__re__ __ E_ _ll)
_c. !3 :(_ _ n 0
2= q '__ =-
SenU Sen0n, SenU Sen02 _ 2_
=_ t _=_
PC' AC 4i_ i6t_ Con_o _2 es_n__ufoo_tu_o 0_ > -JOO_ent_nces
_ sen02 = 4_ena (llJ deducimo__ que _, _ I_3^
De_ _p Pa_. a e_ o_Jeti___ del pro_1ema la pRrsona detie
correr con d'_cecciones t2les que 0_ _ _ S _2 -
S_nU=__- o<< o
400m20 __ --
Proale_818
un ómnihus se mueve con una velocidad conslante (u= l O _s). Si el conduct_r obse_a qu__ la tu_ del
semáForo pasa a rojo, este reacciona luego de O,2 s apIicando !os frenos y hac!endo que el ómni_us
expe_mente una aceleración constante (o=S mrs). _Qué distancia logró avan2ar el ómnibus desde que
eI conductor obseN6 e1 semáforo hasta detenerse?
ResoIuci8n
Como e I ómnibus se mueve a velocidad constante (u= l O _s)t este realiza un M.R.U- Ahora sup_ngamos
que cuando empieza a pasar por una posic___n P el cunductor obseNa _ue la lu2 det semáforo pase a
rajo y transcumdo O,2 s empie2a a pasar poT una posición N, don_e el conduct_r recién aplic'a lus
frenos con el propósto de detenRr el úmnibus, onginándole una aceleración constante de módulo
_ s e_n .enneeIo/mn_hsdes phcl_ Nr_l_
desde N hacia __ realiza un M.R.U._
-_; 'N_J! u=lOmJs __,! _-_J. u--IO_s __' ^__0_00__0__ _,, u=O t
=-__ _ ,-_. _ _- --- _!! - - - - -- - - - -_-_--_-_--____-_' ------------__'___ __, _____________:____0,__ !t
''' -'''' '''' '"'''''''''m' ' '' ' _'' ''''' '' '' ' ''^' ' '' ''' ' ' v' N- - ' ' '%^ '-- '' ' ''' _' ---'' ''' _-'----'--v''"----~^ - ' -'''' ' _
Si de i h_cia N realiza un M.R.U, con lO mrs, entOnCeS
entonces en cada segundo el ómnibus dNM=IOm
avan2ará l O m, y como de P a N emplea O ,2 s Por }o tanto, la dis_ancia d que log_ avanzar el
debe avan2ar dp,, = 2 m. Lueeot a partir de N mnibus de5de que el conductor observa que la
hasta M realiza un h_.R._'._ donde lu2 deI sem_oro pa_sa a rojo h_sta que se detiene
2 _2 d e1ómnibuses
M-N- NM
_=dpy+d
' - ._M d__J_+Jotd__

_expef _u ____t__ ___ ____ _5 mr__ _ s__ ___ _ ____ _ _ ___ _ _ __ __ _ _
lumbreras Editores fis i ca
Pro_l_m819
El dia_rama mostrado correspon_e a un velocímetro de un automóvil. Si desde el instan_e que el
automóvjt inicia su movimiento la aguja _el veloc(metro b_re un _neulo de 90^ en 5 s, Lqué distancia
avan2a el au_om6vil en los cuatro pnineros segundos de su movimiento? Considere que el autom6nl
des_rolla un M.R.L7.V.
90
60 120
30 l50
O 180
Resolución
Debemos saber que la _uja del velocimetro nos indica la rapidez que a_quiere el automóvil en cu_quier
instar_ee de t'_empO; y CU_' r_dO el autOmónl _arte del re_ Oso (uo = O), Ia aguJa debe indicar Cero. Pbr
condicií_n _el problema_ luego de S s de iniciado el monmiento del automnl, ta aguja barre un ángulo
de 900, y est_ría indicando en este instante 90 k_- _r cansi3uienle la rapide2 del automónI _
_anscurrir 5 s de i_ciado su movimiento será u = 90 _ = 25 _s. Dado que e_ au tomóviI desarrolla
un _.R.U._ s_ rû_idez debe aumentar uni Formemente de cero a 25 mrs en _ s_ esto signi F_ca que en
ca_a seeundo su rapidez debe aumentar en S _s. Finalmente el valor de la aceleración que
imenta el a tomo_K_l sera_ _ __ 2
A continua_ió_ su_unga__s 4ue el autom_vi _ p__ rte de una posicin Jt' y aI transcumr 4 s se encuentra
enunaposicinM.
.. t--4s _,
. ,__s_s2 ,
0;, uo--O 0;_
''_xn--_0_,0,_B_,_00.,. __.,...,_,o.;,._0, _,e_,_..,en__,_,,_,,__,_,_. . __.____ ____ _____.____.. ____.___,_.__,.. e_. _.,,.....,p.,_.,,,.,_,,,,__,,,_,o,. ,o,.,
_'0a'_' _ __'__' = __ _ic9'_'__^'_ _ '''' - - - - - - - - - - - - - _- __'_O ' __ _' __a''___ ___"0_'________0_!___!__0_''__ __'
- - N!;'V---''- '' _' ' '' ''''''''''''':' '------ _"'_'---^--''_--'_^''''' ''''i'' v9_ ' '"'''' ' "'':''''v'''''''''''_"'''_ _!,JtF' ''''''"'
' d
Del diagrama expuesto debemos determinar la Reempla2ando datos
dist,n,;a en los cuatfo p,;me,os segundo, de ,_o(q)+ l (s)(4)z
2
_nlCladO el movlmIentO del aUtOmÓv_l_ luego a_ __
podemosusar p
Or lO tanto, eI autom6vil en 1os cuatro primeros
l 2 se undos de su _,_-m_Nento avan_a __ t c,_
=Uo't+-0l _ _na lSa_
de 40m.
15O

_un_t rap__t_de2_l__dJl____tm_r_ru_l4__ _t ?3_?___0___ J____ __ __rt_ __ _ ___xr_(t _) _ _ _t__l__ll_t__t ____t_t_r__tt t _ ___ _ __c __ _ mJf_t_ s__2t _ lev__ IrJ_c____l_ue____a_ l__tl___s____e_____ _ntlrertc a_t__
CnPíTUlO l _ l C __em__ i_a
Pro_tem82a
Un _utom_vil que se n_ueve _n una pista re__t'__í_ea µa52 fren__ d_ url _O5t_ CC_,_ U_a Ta_ld_i d_ 3 -_S )'
_e ace_eracjón _e 4 mrs2; la cual se ma__tje_e c0n_t__ nte _uraf__e ;_ _ -l_e_._,_ em_ie/2a _ _rena? c_Jn un__>
aL_lerac=n cons_ante de mduIo S n_'s__ h,ast_ deter,erse. iQ_é disl__cia logr_- avan2ar el 3_t_,__mI
_esde et instante que pasa fre__te al p_ste hasta que se de_ie__e?
Resolucin
Se€ún el enunciado, el automvíl se mue__e sobra una pisE3 rectilíne_ y __sa ?___nte e un pos__ C'un
_= 5_ YCOnUnaaCe era_lOnCOn5 _n el_Lla a 0I
durante t_ _ 3 s, l_ que signinca _ue durante t_ segundos el automóvil realiza (ln m.R.U._.. Seg_.__ esto,
ta rapjdez del automónl est_ía aumentando en 4 _s en cad_ _egundo_ y luego _e 3 segun___ _e
h__ ber pa_do rrente al poste con un2 ra_idez uA, el automóvil se e___cuentra en una _osici_n 8 c_n
_na rapidez de uB = I _ _s.
Cuando pasa por la _osición d; por con_ición de pro_lema, el a__tom61nl _mp:e2a _ frenar con un_
acelerac;6n c_nst_te _e mó_ulo a,., = 5 nUs_, cs _ecir el autom6_l reati2aría otc_ M.R._.V. div_mir_l1endo
su ra_idez en 5 mJs en cada _egundo. Por lo tanto_ si et __lomvil pasa po_ l_ pu5ici_;_ D c_n 45 _s
transcwn-á r, = 3s __ el aut_móvil se detendr.
'U, tr-35 lj_3s
__,_.._._,_ ,_3_g __--4__s2_^__..d__ , __5_s _5_s',,,a__ci-O_ _
N t,t -_ _t _ _ M t - - ' - - - - - - - - - - ;_ _ cr _ _ _, -N __ _ _ t_ __ _ - - ' ' _ - - - ' ' _ - - _ 0 V _ _ _ _ _ 0
_ _A_' ,.;' _ ' _,,'B _ _ _,j__
_J dAB_, -dgc_
dAc-_'
Del diagrama debemos encontrar fa di_tancia operando
en(re A y C, donde dAc = d_ + d,c
dAc=49 Jm
como d,,__ (__U + U )(,+ _J- _.g + Uc (, purcof_sigu_ente, desde et _nstynte que e_
aut_mó__il pasa rrente al poste hasta 4ue se
_ _3+I5 3+ _I5+O 3 detier)erecorfe4g.jm.
_C

_DEfel du_____ _g__d _ __ _ ____ _ ___ (_ _dt_____mf_ t(___ _))__mr__________lt_l__l_llt l___ _0 _ _ _ ________________________t____________________________r__________>______________&________t____x___(___ ______ev_)_____________________0_/_______________________________________t_______|__f_________t_______________t_______v_______________t_____________tc__o__(t______________)_____ _____t____00__00nt_______0____s__________________t_____________t__t_______N_____0___v____tt_00______________0____________0+___0__________J___2____M(___ l___t_____an)t__>_ ___(t__g_l______e______+n qs_u_e4__ ___J_g_/ t___tr_gn__ __ 0 __ ______t _r___ a _l7_____l _t __gt_
Lumb reFa_ Ed itares fisica
Pro_lem821
Un tren de 54 m de loneitud experimenta un M.R.U.V. y se dirige a un túnel. la parle delantera ingresa
con una rapide2 de 6 _s y la pos_enor con l 2 _s, Si la parte posterior del tren sale del túnel con una
rapidez de 27 rrUs_ determine la longitud del túnel.
Reso1ución
Según lo planteado por el enunciado_ _a situación física sería
u_-- 6_mls , ,, ... ._...... _ - __-vn__ __-n,.....,..,...,.... ,,.. .,... .. ...___- _.
___ _,_0,__ 0 0 a __o. !_'i._,' , ;_c_;_ _;'c;;:...;_.__._ _,'_..t___,;n'i;_.._.____._ __..:.,._.î_'_;,.;._'_?:_'__;_:::'.;___-____-X__,.,,0;,__.,,0__,,__0,__',____,_'C___'_''__-_:__j''_d0_0_,:__--__i',o;;_''00___. iy_asu-_esoalmel
_.. ' _ , , ... , _i_.,-_,'_,o___, _ _ _ ''__? _,_'__':___'_'c'__:_/_m_' ___._. '',o_,_'__'_'4,,,_ __''v__:_''o'_i_'._'_.'_'_V_.__O'i,V__'__'_'______d______0__'O____?_^_i0o__,_i'_,___'______i,__'____0'_i'__i_,,,__8''_B_0_a
iMtanteenqueelhn?n_a , j; u _-_2 mfs '__
c__Ie6mer_le_M_l. __-_____,_. ___' _..,.___'__'__a,,_. .,a... _ :
j - - - - - - - - - - -- - - - - -i - - - - -- -- - - _ -. u_=27 m/s
IM_tee_4ueR,I_R,nWe ; _'_ ; -' _
ro_n_letamcn_ede1m'el. .: _ _ ___ ___..__'__j0______
,A '.8 ;C ;D
5_m_ _. s4m_!
_i____ _ _
_t_, rama _ebemos _e_efminar _a _on _,___d E_ _. __Z __ _2
det l_._e_ L; don __e analiza _ndo el despl 'aza ' miento Efec 'tuan _d 'o l U= 2Y2,5 m
de la _arE_ del_nter3 del tren desde A hacia D. Entonces Ia ton_itud deJ túneI es 292.í m.
2 u2 +Ja_ _ _n4,_,y,,.,_,,,__,_ _ v,.,.,,. _,-___., .,, , -n
D- _ _ UAll __ ' __'!__05_;.:.'m__-----__:-_-'_-'j:,_;.___.-_'__;___,;.__;,_;:-,.__-__i____.__h,-c_s?s,''_.,..__.:._._;.: '_______-_--_-:__=m-_::_;v,,, , /,, ,v ^'_.';í_';,,_
' _ _' i 'i_._ c___;v__.,..,', _-_' '.. v'______._ v. n'';^'' :.._;_ ____,''', _ ;__;^^_: '- -___. _'. _ '" '' ''' _ . '_ ' ,,
_,7I _ 62 + _!_ J_ + _ I _ "'__, a,,!_'_!' -_ ---''- __-__ - -- -_"- _ ^ --' _ _- '- - - - '_-'-_.
____, Los (reneS de e! te Ve l_c ic1a_ son C__Dd- Ce ._
_e tâ rel_ci_7__ anteiior necesitamos conocer et _:?__e d,spfe2_,se ,on v.eµ-_dpz supe_ ,,
_'_i_Jf de ùCelefaC_Ón a __T_ _Ct_rm_IIaI l; _,_, 200 kmih, p_F_ _o c_al __sp_nen dp _;as
entonces determinemos a, i,-ara ello por :__.''_'_. _,_,peciajesysistemas d__c_ntru_adecuu_o5 _ ;
convenjencjaexam_,n_mos eldev_p__amient_de '___ (!Ste llDO __ lf_nRS __l_!'neCerl IOS tfRneí _.t.
__a g donde ?;;_ magn é t icos c_yo runc inn__m ien _o se _asa e__ __
_-_' la suspensión magntica par_ Facilrt__ r et -_'
_, 2 + i,',:
N = A AB __s._, deS_la2dmlentO de S___ ClL_me__t_S a lU lar;O de __._
2 2 __8_,. le vía y gracies _ lo cuN se foera elim_n__ eI -^
t J2 _6 +205_ _/_ ;"
. rO_ento _ue Surren los trcnes convenL_ionJes.2
_ _;,.,.,,,. ,.,,.%K..,,.,. n_., .___,. ._ v_,_,,,m,. ,,,, ,...._....n,,,......,,,...v.,.,.æm4_,.,/ ,n..,_.
15Z

_Rconst_n___t__e__d_e__l.1_____ _m______o(________)____ __0__ _(_ __)_ t _ _ t t t _ ___ _ __ _ _ t_____0_ 0__ _o____dx_0____ __o_____000__ _ _ _______ _ _ _ _ __J_ _ _ ___ _______ 0_L______o0______.o__tlr___________0___________0o__o0_______ 00 0 ad_ t__
CAP iT_ L0 l _ _ C j n t_n__t i ca
ProQlem822
_'n autumó__ii inica su _nm_-in_ient_ __r_ tíne_ _e__ta co_ ace_er__ii_n c.___it__ nte (a = 4 _i_ì,, iueq_ _.e
cierto tie rn_o su rapi_e2 emp!e2,e a d isn_inuir a ra2_n _e 8 rT4/s _:'r_ ca_i_ ie__un_L? haita detene_se. _i
__ e(_t_n_o_t _e m_ntjene gn mo_'icni,ento durc_nte 30 s, Lcu_i_ es_ l__ 1ni-irna r_pi_e2 qile acl__ier_' _-!
a_to__u_'i_?_. i.c._u distanci_ la_4r__ _i___ n_iar' ha__t__ detener_e?
Resolucin
E1 aul_m_- __l _=nicia su mu__mie__to (uo = O) logrando maverse en !ine_ rect_ con un_ nceleFci_n _'onst_r_tc
(_ _. = _ m/___)_ p_r lo cuaI, ta ra_ide2 de este rá aument_ind_ en Q n'Us cada '_ se.__ind_. En tal __'__ntid_Jq 1a
rapiJe____1__ uton_vi_Iueeode tl segunJosdeiniCiadosUmo_im'Je__t_SeF U_-__l_; U_ _SCr_ta__0_ _ma
rapidez que ad_uiera_ porque, según condici_n del prob_ema, l_._e__ de t segun_os c1e ini_'i_do su
movimie_'_to, ta ra_ide2 Jisminuye _ ra2_n de 8 m_s hasta detener_e. Es decir, frena con e- c'eleracin
_ dulo o2 = 8 _s'; lL_ ra__dea, va a disn_inuir en _' _/s en __ e_un_o y __e de!i_enc _e- _-
_-egundDs.
Ahora_ como ef módulo de la accleración (__) en e7 movimier_to aceleradO es la mtad del __6dulo _e
la acelcreci- n (_._,) del movimiento desaceterado. en_nces se del_u_stra que e l tien_p_J L_ue emplea e}
í_L_tomóvil en _t muvimienlo acelera_o es el doble de lo que em_le__'-ía para frenar.
En tal sentdo por lo t_nto
t_= 2t__ (l7 t2= 20s
POr cundici_n_ el aUt_múvil se n_antienC en seg,_neste re.su_tado,e__ut_mó,.;_se,ncon_r,r___
mo_'in_iRnl_ durante __ s_ entonces
aceIR_rar__o _urante _O .s y frenando du__nt__ 10 s;
l_+t?= 30s (tI)
- _ siendo la n_áxima rapide2 que adquiere
eem_laZ_t_OS l en
u1 = 4t = Q(20) = 80 n_s.
21,+r2=30 s
_ t1=20S _ t2=JOS ,
' _--o _a ,' _a _
, .. __,.____ _____ , ,_._D_. u_--80_s .._o_, H ,_0 ._. . . ?. =
_!. _.B !C
}-_dAg_, dgc_
! _ dAc _,. i
D_l d i_grama, 1a d istencia _ue logra a__anzar e l d _ uo _ u, _, + L_, i _'?_
aUtOmO'MleS ladlStanCiaentre A y C (d_c);dOnde __
Reem_la2ando
d___"_,_+dBc
O+80(2o 80+lO
_efjnjen_o d_ v _Bc me_iante un_ ecuacin dAc = _2 + -2
det _1,R,___ _fectu_ndu _,,. _- _ 2o_ n_.

t _l_ ______ ____ Bl_______0c_tolt_0__ _ _ _ _ __ _t_____0=__0?_0___ ____ _
Lumbreras Ed itores f ís ica
Pro_lem82a
Un automóvil A pasa frente a un posle con una rapide2 de 2 _s y avan_a __n una aceleración cons_ante
de módulc u en linea recta. Después de l O s pasa otro automónl d _r el mismo _ste con una rapide2 de
I_ _s en 1a misma direccin y con ieual aceleraci6n. __ra qu valore_ de a e_ automvil B deberá
alcan2ar al automvil A?
ResoIuc_ó_
_ autor__6_;t A reaIi2a un M.R.U.V. con una ace_eración _, ent_nces Iuego de l O s _e haber pasado
frente al poste c_n una rapidez de 2 m/s, ,_e cn_uenlra en una posición P con una rapide2
de (2+ 10aJ__S _'aQUela fa_ide2enCada Se_UndOaUmentaen _. En_iChOinS(antCC_aUtOmÓVll B S_
enc_entra pa_'an__ frente al poste.
I_s
_ . ' _ _ _ _,__0,__A u__(2+1_)_s
_' __ ' - ,;_^ __ -
í'B uB-nl2_s _,
_^c ^v,_?__a_
Si los a'u_omó_,ife__ e__'perimentan la mis__a Por Io tant__ eI a_tomóvil B _aria alcan__> al
acel_r_- ción n e'_ ca_a segundo, Ja rapidez de automó_'it __ si el _n_ulo de aceI__ación 0 se
cadaautomónIaumentarde o en _, entur_ces _nc_cntracom__enJid_ene_siguiententervalo.
paraqueelautom_vi! _ al_ancealautomóvil ,4_ _<a< __s_
la rapidez det aulomnl B debe ser mayor quc
iAl cabo de cuántos seeundo_- desde q___ el
a del aUtOm6Vll A e_ CUalQUle1 lnStante.
automóvil _ p_sa frenle al poste se _uede dar el
ntalsentido u_>u
alcance?
l2>2+l0_ _a<IITJs_
_c_
t_(t+ lO)S
_ __ 2_, ___-_ u__.2v_O_ _ ! A
_ ^ _ _ ___ ' _ j_ _ - 'r_ -F _ ___ _
=____,___ - _' _ - - - - - - '_" - _- -ì_____-?i,r ' "__ - -- - n - - - - -- ' -'_ _ nc0__^m 0,
,' ;A ,'
_,_ t8=l ___ ._íy
- ? e_n_ UB=l2_S _ _ __
-_ ,_ __vs. '-_ o_d0 _---------_-------------_--_-----____-------- __ _ , _- ,_ _ __
F 8 ' , _ ,,8
d
154

_pl_p(_e)ro_t >_t(ro_2t)t<s_e2_<_t l __ ( _ 2 ct _ ((_l J_) ) ____ _ N _u___ __tM__l2l+lr__(_t _)t_2(_9l(3)__ )dta2m3o__s lclcoyn_ocelrp_uev__st____
CAPíT U lO l 1 l C _ i__ _ná_ __-__
l}el da€rama, _ panir del posle hasla el alcanc__ 5u ace_Ir___c__'_;_ e5 el tr__ _e __ la 4___ t__nía e__ __ f
_,,_,,_,,s_ , --_ _a,_0me,_ _ tra__o __ -. ___ _eî-- ir _a, l_ c'uc_j se puede ___r si c!
_nomo ambos feal;zan un m._._r.__. se _.iene tr_i_'_,__ Y_ eS _T___ Iis_ _ u n_e_;___Js _s_et_r_i _1ue __t
_,em_ M _c_bre __ mfmefo _;f_m0s que e_
J r2 ( l t_ - _
Uo(A)t_ +_0 _ = _0(y) _ +-a _ _i_que e_ el (raT_o ßC __elei_ em_tgacl__ _
l^ _ _'
see_nrJ_senJ_,_pl_arse__ B -_acia C yaJ__s_
Reempla_ando
p_r a S_ Fa__Ue2 eS de lac _ l 8 __S.
.( ) l ( )a 2 l t2
+lO+-yt+lO =I tt-a
2
Resolviendo U_-O
_' ''_ t_
0=_ '_., _ 0__
(+5 lA ,!
_' ?___.i
9m __ _ Ua .
(-2 '8 a_*
e_ lI 0<__<l , . 2
t+J ___, _Uc=I8_S
24m ''';:__ ;,
rOblem__ _.
Sobre el plano inclinado que se n_uestra a
continuaci6n_ un bloque es solta_o en A. iLuego A partir _et _iagra__a _e_2mo.s. cnc_ntrar el
de CUántOS Se_UndOS de SeC SOìtadO paSa _UI la _iempo que err,plea ef __oque en if _e A hacj_ B.
POSICIOn C_ S_ e_ el tram0 AB _XPe_men_a _lna _ = r, _ r, (_)
aceleracLón constante que e,s la terc_era p__ _e de pa,a c,ncontrc.._, r, y r, neces;t
a a_eleración constante que __penmenta en e l p__n,_,n_r e_ __ R u v en e_ t__o __ -yc
tramo BC y ta rapidc2 que presenta aI _asar por b
- - qUe e_1 am _S tTam0S e bt0q!_e _X_enmenta UIla
apo._aclón C es l8_S? _B_9m ;aC=2_m
aCeleraciÓn c0nstante_ se tie_e lo siguiente
uo--0 _ En el tramo _ usamos
u;- __+2ud,,
1
Y --
B ,,z __ _g, (__)
_ F_ el tram_ BC empleamos
2 _
, _ U_= U_ t _ Bc
eSOlUCiOn
_ 2
luego de soItar el bloque sobre el plano incIinado _" B
(u_ _ O) en l_ posici6n mostfada A, este Reemplaz_nd_rll) en(lil)
_ende .sobFe el lano incl._nado con una __2 __
ac_7_racln 0, )' en t1 Se_U_dOS _aSa POr Ia 5e obtíene
posición d ylueeoalingresarsobreeltramo BC ,-_ 2__?2
155

_d224qA__ g___28___2lr%2__l_l_l_____________*___ __ __________t_t__h______________t_l_t2__l__t__l____l0c________tt____t__r___t_____________s___ttv_____f________c______t______t_t__________n_____t_____(_l_)____*t_t_4____t___l__t_l_lt_ltlt l_ ___
L um b re ra _ Ed itoFes F ís i ca
Ahora determinemos L_g es la rapidez nnal del b. loque _n el tramo _
t_ y r2 y en este tramo e l bloque exper iment_ una
e1 tramo AB usamos la si_uiente F6rmU_a
confo_e el bloque va de5cend__endo su rapide2
_ - _ l - l l aumenta en 2 mts en cada seeundo, en t_ sentjdo
_ (2)_, como A panedel reposoyemplea 3 spara lIee_
r_ = 3 s (IV) Reempl_ando en (V)
F_n el tfamO BC 24 _ 6t_ + 3t1
l 2 d l (3 )r_ Resolviendo
_ UB t2 +- 0_ lj t _B= Ug t2 +_ a
r3_ 2 s (VIJ!
(3 2),2
=U_l1+ X 2 (IV) y (Vl) en
_u t +3_2 N) (_3+2 _ t=5s
ProDlem_J5
_Se muestra el instante en _ue dos atletas se encuentran en el ultimo tramo recta de una c0mpetencia
de re1evos. Debid_ al cansancio, el atleta A recorre en cada segundo O,2 m menos de lo que recorn
e l se._undo _terior; miqntras que et atleta _ rnantiene su rapide2 constante. De_ermine x, _e tal m_era
que eI atteta B gane la competencia.
- ''''^' ' _A _____' 8_MJ '- '' '':- ;__ ' n ,'_ ' _'
- _ l0_s __ _ n ,_ ' _._ _ -' s , ___ =, . ___'__.._ ___=_,,' '
-,o__ _ _ - _ _ ,_'n-_- ,,__ - ' _' ' ^ = . _ .__
_' U _x_,' 70m__
Resolucin
Según el enunciado el atleta _ se mueve con una r_pidez constante y al hacarlo en linea re_cta rea_iza
_n h1.R.U.; A su vez el atleta A recorre O,2 m menos en cada segund_, con una aceleración constan_e
de m_dufo a = O,2 mrs_ (por lo explicado en teoría) y como se mueve en linea recta reaIi2a _or lo que
se a F_rma que un M.R.U.V. Si para que el atleta _ tlegue pnm_ro a la meta, el tiempo t_ _ebe ser
menOr qUe e_ tiem_O tA qUe em_lea el atleta A, entOnCe5 IB < tA_
156

_E(c
_t_7_t_glol_l_________0tl_ltlM___ollt____y__s0________o__2_o_____t__s__ln___4__l___tllxl____l__l__lAtJt___lt_t___________(_(___)_t)____________________y_____n_____æ_________>__0_____0____t____t______t_____t_____0____t________n___________t_______l_______________t_____Nt______________l___t_______v_m___n____r_______d_____t________l____l______,___o__ot___yl___l____________tt_________l___ol______________________l________t____m_________l0___________________t__t_v________________t_________v__v__v__E____t___D_oo______t__0n____t______________y____ty__y_________0_________lt_______________________s_____l___t_t______n___c_€_________ny______________v___t________
cA_ jTul0 _ l _ C jnem, í t !_ca
tonces pnf_ e1Io cuando _l attet_ ß ilee_e _ la nl___a, e1 _tl_!t_ _ to_a__ja no ha _ebi_o ) 1_gar 3 1a
met_ y c_a__o el at_eta A l1g_,_ a _a rneta el _' tleta _ h_-_rd pûic___t_ ;a m_ta. _!_ c_a I se r. eprcsenta e'n __
siguiente F_gura.
A
B
_ 7 00,_-O___s _ __. _0,__0.
__o,2mrs2 _,0__ 8m/s _,__/_, . , _, _- _); ' ' ,
8 ''' . ',.' 0__ -_-----_;_-_-:',;'-___--_.-._0._ -,-__''_--__-..-_-__ __, _, N '_ _.
_h _ __ . . . ,, . _. t8 ' . ' ' _ - r_____ ,, ' __.. _ ___ i ' '
,' --..__ -__. ,!- . !_- __'___..._,_ __... _-___
_x_,' d_=70m_--_, '
(_, dg _ __
A contjnuacjón _eterminemos tA y t8 Por 1o tanto, para _ue e l a t le Ea B gane 1a
De la fi__ura, de P hacia N. para et _tleta A competencia x de_e ser menor dR, 3 0 m; s i
4. _.K.U_V.) usamos x=30 m ambos at1etas pasanan sjmu It neamente
_ , _or !a met_'. _' si x > 30 m eI atIeta A Ileg3ría _ '_a_
A 'o(A) 'A -2~ 'A met_ __ ntes que e_ atleta 8.R
CCm_ la2an dO _ ?,;,,_._._.;_,..,9,,.;_, ;v_.__. __.. ..,.,h._. _,,,4...,, _,,_...__,n__,..,,._.. ._,,m4._,,.,,,,x_,.,...;....;.,.,_,__.0,;,,.,,.;_.,__._..,.__..,,._.,._,___,_,a,,,, _c...__._.,.._.._,...,,_'_,o,,,,,,;,,_,,,,,0,,,,_,_;__..nt......y._,v__,;tv:,_x,,.,,..._.,_.,.,_,. v..,_.4v_,v.,,,__ ' .l ( o 2 ) _
2 ;, _..'_ '_ ' _, ,, ''' ' ' _ - --- _; __-____ _ _ _ -,,_ '_ :',__; '' ' _ ' ' _ ' ' _ ' '__ - _,_; _'_' _ _ :- _' ' ' 9 ' ' _ _ ; _ _ _ __! '_ ; : ' ' ' ' ' :e, : ' _ _ '' _ _ _' _ : -q - :_ ?;. : : ' ''; ' _ '_ _ ' " '' _ ''c __ _ - ' _ __ __ ; __._ ' ' _ : '_ ' ' ' _ _ ' : i __ _ '__ _ _, : _ _ _ __ :_ _ _ _ _ _ ' - ' ' ' ' : ' _ ' ' : ': ' _ _ __ _ V -. : : ' - n ' " - -- __ _; _ ' ' ' '- ^ ' ' _ X -;
entO_CeS _'___''' O'S a e aS e a a COmPe enCla_ POf O ;=_'
_,'__?. generaI, recorren los lOO m en un t ieln_o quc - ;c_ '_
4_ oscila entre l_s _,79 s y los I O,3 O__. _' :_
De la n__ura, dcMhaci_Q_ para eI at1etaB (M.R.ll.) _,?_ _;,
uB ' _'' -' _' ' _. 5m. ''.,._
Reem_lazandO _,,,,, O __.__.'.0___.___' ,_ ';v_..''
__X+70 _ ^____:; _..,,_0.,.._.-_.__i_--_-'-- ^V'''''__.-.... ____:_.
OmO tB < t_ _lanteamOt g__o.. __ j_.;.
x+7__ < __o,''__, ^ _
x<30m

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lumbreras Editores . ' física
Pro_l_m826
Una roca, que se encuenEra en una carretera. impide el paso de los vchículos, como resulta pesado
retirarl_, se decide (ra_mentarta utilizando dinamita. Para elto., una persona ubica debajo de la roca
un par de c_uchos _ ext_ende la _echa, cuya longie_d es de 320 m. Si la persona enciende la mecha
y _,rnpieza a correr en direccjón contraria aI c,onsumo de la mecha, cun una _celefaci6n constante de
_la2 2
= S Y ___f__SCUC af __pOSl n CSf_UeS _ S e a RfenCendldOlameCha_determl__e
Ia rapidez con5tante ___ consl_mo de la mecha. (Considere que la rapide'z del sonido es 34t_ _s).
'u_ ' ' '^?,
6_ ', ' ?>_
____0_ __ ,,
' -A
Resolución
Seeun el enun_i4_ do, _,_a __e2 que se enciende la me_ha e_n la p_s!c__5n __, _a mech_ se c_nsume con
una rami_e2 ccns !__nte (um) y ta persona inicia un M-R.U.V. con una aceler__c Jión c0nst,_nte 0 = 2 _s2 en
dir_,_ción _J_!__-_st,_ __ ru_su,_a de la mecha. Suponiendo que transcurn;do l_ se_u___os s_ f_roduce la
ex__n_icin y t_ T.___l î- ___ ____ s? _'n_'uentra en una posicin B a partir d_ ese instante, el so_)ido (prou_r_to de
Ia e,__Io?i_1'1) e__,_,___e__ a m__p_garse y sl_ponemos que será esc__nado ;__r la perso!_a en una pos__inn
más adcIc1nte _'e__ _?), J___'_g_ de (5-r) s___-undos de iniciada la _r__D. __ __ación del sanido, )_a _ue se_ún
condjci5n trans___rr_ __ s _esde que se enc_ndió la mecha hast_- __ue se _.scucha la g_plosin.
__tr ei1qUe se
ennen__e la mrc,_a _ __ 2 n_s2
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158

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_^Ap í TU l0 t f 1 C inemát ica
__n el cu,_sumo _e f_ m__cha de _ _ac'i3 _, Comoelsoniaoseprup__ccJnra_ide2cc_nstante
como __,n es cu__stante se ded_ce _ue y l3 perSOn_ __" aliZa un __.R.U_V; Se tienC
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l /_)(s)_
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_ u,n=_ (lt
enfonce_ f_4s ?_
A_or_ detenninemos t_ del dla_fama (_l) en (i)
_ -d +_2o um--__m/s
_ _
Pro_l_maM
M el _ráF1co se muestra a un policía mot_rizado en persecuc:i6n _e_ un autom6vil; ma5 de_ido _ llna
falla n_ec_njca la motocicleta se detiene asI t_m_'___n el automóvil 5e detiene a 56_ m. Al percatane dc
e_'ta situar__ón _l _on_uctor dcl a__tomó_'iI escapa, e_l automóvil in!ci__ u__ M.R.U_V. I s despues el policía
de _r_nsito toca ta sirena de la rnoto durante 2 s. Si e1 cor_ductor del automó'_il e_scucha la __irena cuando
eI policía deja dc tocarla, icuáI es e_l módulo _e I__ acelerac,ión con la 4ue el auto__óvil re_uda su
movimiento?
(Considere que la rapide2 del sonido es us = 3Q0 _s_).
Resolución
Co__iderem_s q__e la moto .se detiene en una posicjn __ entonce__ a 80 m m_s __elante __e _!eticne en
una posici6n N eI auEomóvil, a1_ora cuar_do ha trans_'urrido l s _e iniciado su M.R.U.V. cNon una
aceleración a. el automóvil se encuentra en '_na p_sjci_n M. En ese in_tanle el po1icía de tránsito toca
Ia hocina estando en rcposo y el sonido de la sirena empie_a _ pro__agarse_ transcurrien_o 2 s de esto_
eI automó_I se encuentra en la posición Q donde su conduct_r empieza a escuchar el sonido de la
sirena, !a _ual ha dejado de sonar. Entonces como de___e el instante que se toca ta sirena has__ et
instante que el con_uctor eEnpie2a a escuch_ la sirena transcurre 2 s y como el sonido se propaga c_n
una rapide2 constante de 340 mJs, en 2 s se ha_r pr_pagado 680 m.

_____x__?h__________________t__ d___c___________ __v_0___d__ll_|_____________ ______)____________)_________r)____ _)____8_______o__)tl__/_n___)__n_________)t_J____d_m__)_4_____________l___J_)___/_________t__)h(______d_____l_____()___ _d__)__t_____)_ )___)__v_v_n__)______t L__)__dn__(__________________)__(____(_)____c____t_)______)___)__)____y___)_t_______)______t_____l_____)_____________)_________d)__ )l __)____________t________________________f___t__t___n__ ____n_ v_c___v_______r_____________
Lumbreras Ed itores F ís i ca
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_0_____ _, __8__,__d__,0,__,._ Sg deja de tKar la sirena y el condu_t_ del auto empicw _ cm_w cl sanido. - '^__ __a _.__,8_ _''' '____8 _0 ^____i
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De l d iag rama _,va _ u and o
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_efini_r_i_o lc_ di__t_n__',e para el J__.K.L!.V. del _Of tO tan_O_ el aUtOmÓVil _PtnlCla SU
_u_omó_Jj_ se tier_p mu_'imiCntO L'OT_ un__ _L'eleraCin _c m__uIo
/ l? _4/'7
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_ '_ F,i'''.. '';_' '_ __''!'': '-. ''::'=_ M____."_:'__';:,,__i::___;_;:,___:_ _:!mJ__S_j';______7_.:__'_i__'_:_____'!__.;,;'_x_'_ _.' _?_'?_'_.:;'_'_'_':__'_',;,i ^_-__:=^- ._v_' ' _'__-_,__--_-__--___--_s_;_..,_'_ _ -c___-_-v-'_-_-_..;''.:'_'_:';';,''_:_''__'__'.'_;.;:__!!_.__-_-_____M '__- -'___'_;'__,_._.';_.:,'=.---_-_,_v_ --_'''._.:._.:'_'"'"'.__''-S'' '__
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_t __'_ Uan _5RPn_1 C_____l _ __S eU_a Uene lJmO_'lmlen O Uf_n_rl_ _lll e____ _ lemN__ SOEll{O _
__., emici___i tendrá cic_a lon__i __Id q_le ser_- _i(erenlc e la que se tcnda si l__ ruenEe estu_iera en rcpos_. A_emé '_
_;,_ la 10ngitu_ _el sonido cmirid_ d__pcndc_á _e la dirección de le partc de so_Jo que se utili2a. par ejempto: ;;.,_,
.,, U, U_ ___
_-?_ ((_)) , _erN!e_3 :
___ q .,____ gm'___o_do ;_
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CA P íT U lO l I l Cinemát_c
Pw_lem828
_na aUeta se_ m_e_-e con velccidad c'onst&nte _. elamente a l_ __1__ _e un _er_._ cuandO _Se _ncu_,._t_ _ ___ m
m.is__a d!rección del a_ieta L_on qué rapide_ mínima dcb_ despl_____e e_ atleta para d_ _cance a1 lren?
Re.solución
Se_ua_ el enunciado el atfeta se mueve a i7ci_cidad _or___'tante, c_ _ecir reali2a un M.R.U., l__ientr_ _,ue
que., e_l tFen reali2ará un M.R.U.V. Ahora, si _l atleta de_e dar ajc'ar_ce al tren con la menor r__jJe__ posibIe
deb_mos tener presente lo sieuiente:
_ Mientras la rapi_ez del atleta es ma__or que la rapidei d__ ir_in (ua> u_), _. t atleta s__ _ncerc__ a _a
parte posterior del tren, lo alcanzará y lo pasar_.
_ Una ve2 que el atleLa _asa a la parte postenor del t1'en y ua = u_, ia cu_l ocumr5 ya que ei _en
acelera; el __t;!eta dejerá de alejarse de la pa_e postenor det tren y la parte posterior empzará a dar
alcance al at___ta, lo alcan2ar_ y pasará.
Entonces _ara que c l atleta alcance a la p_te _stenor Jet _en _ debe cumplir que uaue, > u_, lueg_ Ia
rapide2 deI _tleta será miniana si al dar al_ance a la parte posterior el atIeta prcse,nta la misma rc_pidez
del tfe_n (U_11c,l4 '' Ul,en) lO CUa1 __l__nl'Fl_arl_a _Ue Una VeZ _Ue eI YtIRta de/ aICanCe a la parte pOSten'ar del
_ren, est_ __ _ alejaría_ supon__amos _ue esto oc__ne __.lego de t se __undo_.
_ uo__o , , U_=
__00__________0' ' ___,_ _j_, 00 ,_______0nn..____
_,. ,._ ___,_0 __,0,., _,'0, ,,,_,w_,0_0 =____^_' ____,. i__,__^_ ___'_,e0_^_n__!'
- __" ua ,' ø,0'Ua=U
- __ _l _, -- - - - N - - -_ '- - - - - _-_- ---- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ _ - - ____ ?_ _ - - - - - - - - - - - - - _ -
_/ 36m_,' d__,'
CO~O 'l a_leta _e'l'Za Un M-R-__ Se tiene 2 m//s __a â' ue su ace1erac in es 0 _ 2 In/s2,
_ da _, (_) entonces luego de r segundos de iniciado su
t movimjentof su fa ide2 u será u __ 2(. En lal
;nando la parte posten_or del tren en cada sentido
se.gundo su rapide2 ir_ aumentando de 2 _s en , -__U

_d_ $ mra s_t m__q _ __ t t ___ _ _ ___,, _________ _ _ ____________t__t((r _m)_ 0_0 _ __ __ ___ _ _ __ _J__ 0_ ____ __ tfl __ ___ ___ _ _ ) _ cu__ toNd)ebe
lumbre ra s Ed i tores F ísica
De la F1gura (Il) en (I_
2
*36+
_endo d para la parte posteF_,or del tren de ' 2
I
__o,n de_ m R u v se t-_ene Reempl_amos (ll) y (V) en (l
2
l 2 I(2)_ r2 36+-
= +_al__t=
_-U
lI
Reempl_mos en (lll) 2
d __36+r2 Resolv1'endo u___2_s
.-. ua=l2m/s
_ro_l_m_29
Se muestran dos vehículos A y B sobre una _ista rectilíne_, A realiza un h1.R-U. con una rapidez
_en_as ue g iniciaunm_uv conuna ace_erai_óndemo__u_o0__ 3mrs2 _
ser la distancia d para que los vehiculos se crucen una sola vez?
a
A B
___i _____>, Y_ 0_______
- '__ __ '__'i'_, _ _0_i_"0__ i_B'_0_^__i_
Re8oluci6n
Según el enunciadu del problema_ el autom6nl A re_iza un M.R.U. (U_ = t8 mrs), m'e_queel_tamo'vil
_ inicia su movimiento (Uy = O) re_izando M.R.U._! en Ia miSm_ direCctón que se mueve A. Si IoS
automóviles deben encontrarse juntos una sola vcz, el automónl A debe alcanzar al automó_jl Bf
pafa ellO la fa_ideZ del aUtOmÓ_it A debe Sef may0î qUe la fa_ideZ del aUtOmÓVil B (U_ > UB), Una ve7_
que el aulom6_t A aIcanza aI automóvil 8 no lo puede pasar, _rque si lo pasa. el aulom_nJ B que
aceIera en un deterrninado instante tendr_ Ia misma rapide2 que el autom6nl A. en ese instante A deja
de alejarse de 8 y luego de esto la npidez de B supera a la de A y en consecuencia e_ automóviI
B alcan2_á al automón1 A encontrándose juntos por segunda ve2; en ta1 sentido para que no ocurra
esto, cuando el autom6nl A __,an2a al automó_!_ B, el autom6nl A debe _ener la misma rapide2 que
el aUtOm6_l B (UA = U8J, SUpOniendO qUe eStO OCUfFe lUe_O de t Se__ndOS ahOfa _Od_mOS FealiZ_ el
sigu i ente d iag rama:
r' ' _ ' _ '
_ ; ' ''_,_ i __ U_ .>s ._ _ .;.:.. =_ _ __ ; 'h ;-_ .. .- = _ - _ , ''v.'., _ - -_'' s , _ . _
_,,_,-'._. _'__- "''__ __-' _'!':.____n,_'_'___y'_ '' '- - -' N__' , ''_;''_ ,___^_^'___ Ul
__'___'_________,..,_,^ii' ..:;'_ ...=._.,.__:'y..._.o;.___''''. ...yv,.; _ ._;- '.. :__ ,_...._ _',. ___ ....;.-. __o_,_,__,___"_,'_0''',___e'_'
_ ,_,:.:A_' '__,_''':_:'_::__t__.:?' _,_ _'_' ;_:;__..'_'':__-?'__'_+_::;',':_r;:"'''4'__;'':'__-''?''';_._'''___ ?''_;!' __ __/_ 'n ="'__s_''___3'_- __'''1_._.;.._.. ,._., _..__._-;':__,'_''v''_.v_ .?. '-_=-_ __
v'-____,'_,? _'__=__i:?-__^-_''_''_;'''__,_-_-__---_'__,_',_'__:'';',__i___-i_ ;_-_ i ___ _ ___ '---;:;: _ ,_,__. _ ' ,,_!''_;'_'''__x'__''__:'- _' _ _' _,__;'_'._._ _, '__ ' ;' ' '''''
;.-,._..._,;,.?,._,;_._,l.;_,,__,_,_;-,.._.:_2^^-_.'::__,.!_-i_'_:--_._''',_,;m._,'':;'.,0.,,,o ' 8..,'__',";> :__'-:',. _ -'',_''_^!_i---' ' ' '_'..' _y- '''' -'''' /^ _ ___l-._''' U
_'__-_. :''_? ;'l___:_;.:"'' _ _'"'_''''.;'-:__-.. _' -.-'___,g_'_'_i___i_o0_____'_..__._. _'___.,_._=___..___'''__.:i;_, 'i_?__ i''_'__0_i__'___io'_____ _
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td_dg_
_ d__
162

_pc__on__lcFt8a__nt__2e_A ___t_ _ ___ltt _ t_ _y__e_A(nc__2__)_A82+e_8c_2/__/_/|_t__t__ t ,__ / _,t_ _|l rlc_t
CAPí-rU lO l _l C j_emtjc_
Hemos deducido que cuando el automóvil A _e__oluc&_n
atCan2_ a5 _UtO__Vil _, la ra__de2 dC l_-S _S_gúi'3 e_ enunciado de;- problema. Ie_ _eftjcul_
automónle__ son igu_es; e__tonces e_n el dj_r_2 _ -_r,-,____ su_ ,Juv__m_Nento (,, __ _) h___c___ _, _ere_t.,
UA=U_--I8_5 _. . _, _.
etermin_n_os _!g medi_nte Ia siguiente
.o, n de_ m R u _ módu1o 0 _ 4 mJ5 2, mientrK_s que la p__ Ft íc_' _a
2 _e muev_ i_un ve_ocidad conslanEe l__a = 5 mr5).
J__Uoi_gl
Com_ am_as parUiulas reali2an un m__-Jmiento
_O+3t_ t=6s
fgc_ilíne0_ elIas chocará en la inte_ecci_n d_ sus
Lue_oo_ del grân_co d = d,-dA _a ec Eo,:_as se u,n se muest,a en _a ,a,
De Iini_mos dA con Ia ecuación del M.R.U. '
. / d _ h _ R u _ ,Supongam__s _Lle desde Ia posici6n A has, ta la
y dB COn Una eCUaClQn e _. _
p_sición _e cho_ue P han transcurridO r
d -- gdr-2 _gt ' - uA t se_und_s _ K!ote que r e_ _I tie_npo _ue nos mic_en
Reempl,z_do daiog determinar- Podemos plantear enlor_tes de_
(3)(6)2 _g(6) m a n _, r a. _ r _ n c, a
se tiened=30m.
PrOalem830 _d_-_2_
M el diaerama se muestra el instente en qu_ la Uo--O 3 ,!
_c,_a 1 ;,_c;, ,,_, mon_m;en_o con una ace_e,ac;6n - ______'_,.,,___ - - _- - -,- -,- -m- - - - - - - - Bj- - - -- - - - - - - -_ - - _ ?'c _
_de mo/ du_o 4 _sa hac,-, _, de,e,ha _, _a A _ _ _ " _ /, / ^ _ r ''.
posición de una parlícuIa 2 que se mueve con _ !, ,_'
una velocidad con.stante. Si Ias parlíc'ulas cho_an_ 2_21 _ ; /,_
detefmine lUe_O de CUátOS Se_Und05. dC lniCiadO _ ; //, d2_5t
el n_ovimiento de la p_rtícuta l, ocurre esto y u_5 _s
3de_,ás de_efmine la dirección de la _,elocidad ;_,.;...., :.,._cwa_ / t
e Ia particula 2. (Considere aue las partículas se C _
mueven en un p1ano hori2ontal)
uo =O 3 Ahuran del _BC. del Teorema de Pitágoras se
,__e,;.;o.,...., _ -_. - - -_- -,-. - - m_ - -. _ _ ob_.,
2_2l ' J.
. ;u_5nUs
_t! _c_5_m
_,_,'...._;._cWa2

__ _ ( ) __ / _r_ _
Lumb re ras Ed i{ oree física
Podemot calcu1ar t en __l _PDC, _sando el Y
Teorema de _itágoras , 5m
. _' ' ' 8_'
_1 _2 -_ '' '_ ,_
= + _. __ ,_
2 ( _)2 2 _ _3m ' ., ;_' ': '' ''''. _ '
_(__t)=5 +2l-3 ' ,_
'., ,_'5r--IO
_ t=2s u ,_
,n el resu_tado _ , 1 h , _ ,_ g X
_ _S P''_CU 'S C OC'r_n Ue_O _/___i__
de 2 s desDués qu_ _a paitjcula l inicja su ///1 C
movirniento, A c_ntinu_- ciun _eterminen_os la Aprovec}_an_u el _P_C_ por _' n_uIos _lternas_ el
_._=reccjrjn 0 d__ la velocidad d_, la pa_!ca_Ia 2. _ ___gulo BP__ _ Y. C_mo et ca__etcI t3_ es la m_(ad
direcc_n es la orientacin del vector _'e_Iocjdad de la hipot-__nusa c.Iel ___fr _e deduce que este
ri_s_e,Cto _c_ ___ _.. ta1 COmo Se mU_itrc_ _n el Eriángulo c_n_1_L_;_ __- :)_(J''___ _- _''' _i__r_d_ __G0'}.
_iguiente di___Jr___. '
_roDlema31
___c_ _.e_u_ rc_ eslc_ _ ____ _'_.- _tc I_n le_pard__ _i l__ 1à- oh_-erv_. Cu__rJ I_ ' ___v_r_= _?n i c___, s_ s__ __a __ u__n ta __ e __'
_,e__ 5_ni___ ___ J, '*e_f_._f__ e.__ca___ c'on _n_ ___ _,lci._cjn con__ta_te de_ _l __ c_ -, r__. _ r_;_v-c j1__L,3nt.c ___i ____u_d___ tje_nc
_,!____ r,__i_c7 ___ __ir______ _R_ _ m's _ara c_' _!u?a_ _ la ce_run. æc,'-_- rMr__ _'_ le___ar_0 a la _chr__ ? v_ _-i nu !___ _;'a_an
a e_ !?a_._c_r.. i__1w' c_- !_ __i_. _=n_ __istan_nia a !__ _'u_ se ___ro_imc_ el leop__ rdo:
ResoIució__
Po_e_nos re_saltaF 4ue:
_ E1 leopardo corre con ram!dez constante de 8 m/s.
_ _ cebra pa_e_ det ccpnso (u = OJ, per_ ace!cra con 2 rTU_'. Mt_ i'i__ ninc'a q_e c__da _ s su ?at_i_e2
aumen(a en 2mJ-s_ por en_e, lueg_ _c 2 s su rapide2 será 4 ____ i__ego de 3s s_ r__, i_ez _erá
5 nU5 y _c;pués dc 4s su ra_idez _-er 8 mJs, así sucesivamente.
_ _je__ un intervalo durante e1 cual
u,e,,,,_, > _x_.,_,,m,. _ich_ inte_'aIo se da _urante los _ _nmeros s.eg_indos e-n los ___'a!es el ;eopar_
_uedc, alcanzar a la ce_r_.
_ t{av, ot;o inteNa_o t > _ _ e_'_ c_ cual
u_e,pd,d, < u_p_,, Si el te,opardo aún no ha afcanzado a !a cebra. e_.1o;___e_- s. _ :,_'- :__ .o__rá a!!c__nzar.
Si el lcopardo dispone de _ s para aIcanzar a _a cebr_._. _;__tonces _' 1a podr d__ic__: _.._,7.! '
Veam.os l0 que s_ce_e, dado que en 4 s el leopaido se acerca recorr;_ e_do __ l _- _ i__'_ _ _Ja _, _ )_ '__ ceh_a
en dicho ntervalo se aleja
l 2 d o(4) I(2;(4)2
= Uot+-_l _ _ +_ m
2 2
164

___1 _____ _/ _____ /____ __ __ll __ _ __ ____
CA_iT, ___ j1_ Cira___u_ _,_._-__
N haber una se_aración prev_a de __ m_ en_onces
_-__
, u u____=___s __
/_____ U__ _-_-_ ,_,_
_n..__o __ U _ S 0 ß_ ___. __-_..- _ ____ _
__0,___ ____.^t__.__t_'t_'_t_._ _ __ ,_0_0 ___,,00,__ __'____.ii:;__t_h_' ____ __ _ ___??
__-_,___0 _ ^___,, __ ________^,_ _ ___0_, __
_ : recomdo _e l& ce_ra: I_ m !
__20mt _.
_ _'_ d___
! _recomdo deI leo0_do: 32 m ! :
deducimos que el leopardo no logra atcanzar a la ce_ra_ pues al cabo de 4 s !a mínima distar_cia de
SepafaCiÓn eS dm(n=36-32=4m y IUe_O la Uc_,b,,>U_e_do (yanUha_alC_Ce).
.'. d,_,,,=4m
_r___em832
Un anón se dinge honzontalmente hacia el norte. Sì el pitolo cambi_ su rumb_ 600 hacia el este en dic2
se_4undos y logra mantener en _eIo al an6n con una ra_ide2 constante de 300 nUs_ dete_ine el
módulo de !a aceleración media durante _icha maniobra.
Resolución
El avión durante Ia maniobra se desplaza con una rapide2 constante de 300 _s, lc que signi F_ca que el
móduto de ta velocidad no cambia. _to nos lievaria a _ensar que el avión no experimenta aceteraci_n
al_uI_a, mas la velocidad no solo queda dennida por su módulo_ sino tambin por su dirección y corno
el avión cambia de direccin_ norte 600 Este_ la velocidad también cambiar_ de direc_ción. Par
cons ieuiente, el a_ón _penmentará una aceleración debido al cambio de d irecc ión de l_ velacidad _ lo
cual se expresa en el siguiente grnco.
N i
__ ,!600
_'_' UF_30O_S
/_/__ _ ?_
__s,___''/ _
Uo=300mrs /'
o __ _
///j
S'
165

_o__o ____ ___ __ _4_ __ t _a ___ _3o m_ls+| ___
lu mbrera s Ed itores f iS i c a
Si matemátic_rraente la aceferaci6n me_ia _,n ) El ngulo de 600 enlre las velocidades es dato
se def_ne _sí puest_ que los v_ctores velocidad tienen igual
?,__u,-u_ móduIo, entonces eI triángulo formado es
_ t equilátefo
entOnC_S a_l=_'}'-Uo (l) _ __r_3oo (l) -
Re_re_en_0do vecton_ mente _eomé_camente)
peropordato
a _eXDreSlU_
__ _t=l Os (lf)
_
_,_f (l7 en (lI)
Uo=3__S _(lO)_300
2
,N _' _
Por l_ tanto, en f_ rr__nio_ia el anón __erimenjh
., _ t una acetecación media cuyo módut_ es de
! _o UF_30O_s 3o m/s2.
s ' _--_--_-----------+------ (_
Pro_l_m833
Un automóviI inicia su _ovimiento ?__ se mueve en linea recta con una _/ c_leracin constant_ de m__
r_i i_ en d_5 segundos co__secu tiv___ recorre 7 rn y 9 m, respectivamente. Detem_ine cNuánto es el m_du Io
_e la a_elera_i_n y ___ _ué segund_o de su movimiento rec_orre 5 m.
Res_lución
Como el automóvil se mueve en linea recta y cun accleración c_nst3nte. el automóvil rea!i2a __n
M.R,U.V. Si en todo M.R__.V. los recorridos en d_s seeundos cor__'ecutivo_ se dif_rencian en un _'al_r
i___al al mduto de acele_aci6n a_ y cumo eT automó_l recorre en do__ segundos consecuiivos / m )_ 9 m,
_e tieneque_
_____7__2 s2
A_em_^ 5e sabe q_ 1_. todo cue_ que p_e del reposo p_ re_izar un M.R._!.V- en el _nmer segundo _e ._'u
m___mie,_t_ _yi_corre Ia mitad del v_or de ta aceleraciún y en los se3L_ndo___ c_nse__u__'os su reL-__-m!d_ _'a
aumentando en un valor igual a! v_o_ de ta acele_ción, cJya representaciÓri 5e _a en e1 sieuiente vE?áj_co.
! Is ! I_ ! Is _ Is ! Js _
!__ 1er '! _do ! 3e_ _ - 4__ ! s_o _
.,_,,.,, u-_O ,,,d,,. u ,. ..,i,,., 2u .,.,d.,., 3u _,_0.,, 4u _,,,d,. 5u
_'^_0 '_g,, -___i._''0^__ 'e_0. -_--__,__^_00 '___,, __-___,___',_''^_0___. , _ --__ -___';'' _'_' '_0.,., __-___^,_0 '.^6_0,
d__-_-_m ! _-3_-3m! _-5o-_m J _M7a-7m ' d -5a__gm
2 _ 2 , 2 , 2 ,'2
Dej diagrama se puede deducir que eI autom6nl Iogra recorrer í m en el tercer s__gunJo.
166

_2 3u_l s___Ded _e_rm_ _ lt_h 2o d_l_b _ A)__T,25xs __|___ B)omlst_s c)0t_oJ_vt_52___!_s
_
f__l____ ____0 ______ __, _ , , __ ,, _ n ,,,__ _ _n
Iv Do5 mó_les _ y __ se_adms çor íO m, se _. M ,!_3 _g_ wa m_s__a e_ _i_0 y la ___t_i4 Se
mue_en en la misma directjó__ ___n rapjdez mue__e_n _'__, s_eto_i_ad cons_te a p__j__ d_-!
const_nte de 40 y I5 _s- , respectivamente, inst_te mos_6do. I,__iU.'_e lL!e__' de cu_' _r_.5
Sena_e al cabo de cu_nto tiempo sagun__s _a taranX _a em_2__ an sR_r cubie_m
mjnjmo_ A estar lOmdelante de B. _rlasomb_de!!_- tuya_tureesde l,__m.
A)6s B)8_ C)_0s -- ---__
D)2s E)I2s j ;i _
2/
_odeun 2__ _m,___
- _rOe O'See^'Ue^ 'a' m e '! 'f ___
a COn y a O Se_ar O Uye reCtl lne_mente _ _
hacia un agujero_ qu_ se encuentra a l5 m ,_ .' ,,_,,
delantedeéltconunarapide2constantede '_ __ _ -' _ - __ ' - '_ ,_ '
__ne _, r,p__dez med__a de_ ha_co_ n_ _! 5,2 m -_
si e_te c_a al roedor just_ cuando ingre5ab_
al a_UiefU_ D; _ s _J _ 5 s
A) 3 _s B) 4 _s C) 5 _s S, Dos m_jles_ A y _, pasan sî__ult_neamente
D) 6 _s E) 8 _s por un mismo lu__ar experimenlar_do un
J_ .R.U, ,en Ia mi5ma dirección con rapidez dc
3. E_ attavoz situado entr_ dos montaas emite 10 __s y S _s res_ectivamente__-L_uego de
un sonido hacia _a dere_ha. _ eco de dicho cuánto tiempo lus mónles equ;dis_a__ de _an
sonido IIega a _6 monta_a de la iz4uierd_ en pun_u que se enc_en_a a 3_O m de_anlc _e_
4 s luego de ser emitido. Determine ta !!Jgar _o_ el cual pasar_n simutt__eamer!ee_
dislanci_ entre las m_ntaas. (u, = 3_O mrs)
A)30s B)40s C)35s
D)2_5 s _) SO s
6. Un tren, que se desplaza con velocidad
con_t_te, cru2a L!,n túnet de l 20 m en 8 s. Si
una pers_ ona sentada al lad0 de una de las
! ! ven_anas del tren nota que pe_anece 4 s
_20m
entro de_f túnel, determine la longitud del tren.
A)670m B)6SOm CJ690m A)l20m B)180m C)2UOm
D) 1 360m _) l 3_ m D) _ lOm E) 240m

_d____pA 2_ ____mv_t___m_ t __ ________| _tt_ ___t2____ __)_____ t_______ t______l_
lumbreras _d jtofes F iS i ca
T. la gr_nca n_uestra eI lanzamiento simult_neo lO. Un automónl se va alejando en línea recta y
dedosesfer_ A y Bs_reunpi__o.Delermine perpendicular a un muro con rapide2 _e
cuánto recorre A hasta eI instante que se 20 m/s. Si a cierta distancia de este et
cruza con 8. Considere que la esfera D con_uctor toca la bocina, y escucha el eco
_e__ta instantáneamente con la misrna después de _ s, La qué distancia del muro se
ra__de_ que, ambas _penmentan M.K.U. encontr_rá el conductor cu_ndo escucha et
_ eco? Cunsiderc uso,,,o = 3_0 _s
_,__,0 __'__?_co____,0____,,_
'_-_-n_L _j 640 m B) 320 m C) 72_ m
- U __-_
_ n _"-- '----------'-- .__c- D) 600m E) í20m
_'__'_''
-'''_- Il. l,oscontad_rm__ _ y _, _J,_.!_,regis_elins_____
___
__- _ U_ _ _ __. _. _. _ ______. ._. _ _ _, _e Ia _le_î.__ __ _, l__ ___..)J_ .5ama, __ eT_ru_ntr_n
-_ 3_m ;_,'~__ d _, __
_;'_'J S'P__" '' ~ m+ "'"C' "_i!'' _U_' '__"'
_ __Slnte_rac_o_ _e l_na palt;cu!_ ú'_batún____
co__c!__ __mo me_son nO Rn dos fotonei Y.
._)_On_ Rjtç_!r_ C)30m
LM q_lé Iugar s!_cediá la de__inleeración, si el
i)2_m EJ35m . , _g
COnt_d__r, _4 fe__I__tfO UnO de lOS 10tOneS l 5
y. _)n, ,fs_n, a_ enc_,,t,3r,e _ o,;__,, d,_ m,, m___ l_r_e __e _I ___t_dOJ' B? (COnS!_ef_ _Ue
se t,Fc,t, __,, c_,, ,,,f ad,nt,c, se ,,o_uJ_o l_ raPidez de fos foton_s es de 3. IO' IT__s)
una exp!o52ón v, re_onoc_ _ue Ia ctiferencia y nO y . _ _
' ._.__
de tu5 Ei_m___s de lleg_-da de lus soni__s --- ----_0_---___ ;__--_-_0 --
A . nr , B
_Or el al Ie y _Or _l a_U_ eS de l l S. _ qUe
__ '
istancia de la persona _'e pr_ujo la _tusión. _ ;
Si ta 1epide2 _el s_ni__o cn el aire y el agua es
dc 3qo n_s ) 144o m/__ _'e,spect_'amente? A) O_7_ m _J O,85 m C) l ,09í m
- _) l,l5m E) l_25m
_)39_ím B)3824m CJ4920m
D) 5 I00 m _), 4 896 m l_. Frente a una estación A Dasan _o_ m___jles
_ue se __sµIazM en !___ea recta c_n __- _i_e_
9. l!_n (rn--n _e 60 m de lungitu_ __r- ___pl_a en
C_nSt_niC CIt' _ Iri '' 2_ _?_S, pafa __irI_2_l_e
linea recta con una rat_ide_ conc,tant_! _e _10 m'/s _ -
__Cla _trd C_Ct_Cl_:_ _ t-.i _Se _nStante __f ta
y demora en cru2_r _n puente t segun_os Si
e5taClOn _ tJ___t_ _lr__ m0__l! _.UP S_ Jl_lee
h__biese duplicado su _pi_ez_ habna em_leaJo h
_Cla A COJ_ 30 míS_ V 5__ CrUZ_ C_n IOS
_us segundos menos en cruzarl_. Determine -
antenoru, COn _n _n(e_NJ0 d_ bempo de 1 m_Ut0.
Ia tongitud deI puenle (en km).
_ UedISlí__'nClah_)7e,__eJas_staClUne5 A __
AJ0_2 BJO,JS C)0_l_ A)5_m y)___n c_;6_5_,_m
D) 0_ 7 E) 0 ,08 _) 7 _m E) 7,_ hm
168

_l4_ _(_Jon_ms_ ___t___y_|/ (ue b,/a_lrl_r'__d_ 0_z_e__/_n/t'ts smf__/ lndlq Bue cuanxL_o cc) __l_ p _ aa e dayd_e pf_n2oo_ _J cr hoter
CAPlTU lO l i l C jnemt ic_
l3. Dus __ _Jtomóv__te._, ,4 _' _, realiz_.n M.R._. l_. S_ hab _!un __ter_n_'nado que ly ra_i_'az
con ?_ m/_ v, 5rNs, rc_specti__amenle.Apartir c_n__tan_e de un móviJ e_ irav. e_{uri__
_cI instar_tem_strado__etermin_ c_! _ntervalo rR_lilin_a el'a de l n,_/s. pero d_sµl_és __
de tiempo que de_e transcurrir p__ ra qu_ con__r__!iú-_ 4uea t._ _nedd_de lonv_itudusa__3
dic}_os automónles equidisten del orig. en _e le (at__bc_ un c1ei_ímetro _e metro y _ue i__J!
coor_enadas. cr_nóm_tro ut!liz_do se adelantaba en _/2_
_y 5 , de 5e€undo Por cada se__ndo. __,E_rminc ia
_ 00_0 _-____ - _e Fd__d_f_ Fa_ldeZ del mÓ_ll en rr_S_
O ,_' _ ------
,,' n) 6/1 _J 2o/215 O
m,,' ' D) _g/2_ EJ _/,_
,' l6. Una camioneta se desplazaba con ve_oci_ad
7_m_ 310/ o,stMte orun v _.
__ escucha un ruido caracleristico (cuando l_
A _' _v_ '''
._-;_, -:-_ rue_as _a_san de un pavimento a 0tro) él c___I
'' es cscuchado cada O,2 s. _etermine la longil_d
A) 3 S BJ 5 _ C) G S de _n p__jmenEo, __ _a camionet_ pe__anece
D) 8 S E) 2 S c,mp_etamente du,_t, 6 s en e1. co,,;_e,,
_n,ecfo ,e,__-2a un m.R.u. y se des p_a2a a que 1os centros de la llanta delanter_ y
_o lar_o de _a ,ecta L. s; el área A_ es de _ostenur cstán separados 3 m.
_ _ ._- /
es el área A,, dadu _ue se barnó e- n 8 s, y A) _O rn B) 9 l m
adems con qué rapidei vuela e_ insecto. C) Y3 m
DJ95m EJ97m
IT. Unestudian_ese encuentraa 3m delcentro
de una ventana de l m de an__ha y un bus.
,',: _m__;À- - -- Y que experiment_- h_.R.U., se mueve por una
,_'. ,' 0 pistc_ para_e_a a _a ventana con una dist2nc-ia
,, ,,.. _ - de 87 _J. ,Si el bus de IO m de long_tud fue
_bservado por el es_udiante durant_ 8 s, _q-_é
x vaior tiene Ia _'el,cidad del _us (en 1mm)?
2 2 gs6 _
' 5 m' S A)IO B)l5
C)64m_ ;4ms
_.2 E60mZ.
D) 18 E) 2o

_AD)_____ t _)__ g _s))t q__l g __t eldstant_,d__o_ad_3_l_mF deun_ a_de__as__edQe_sl_aEerael_ue_lsa_
lumbreras Ed itores Fís ica
l8. Un automóvi_ desa_olla un M.R.U. 5obre una
pista hori2ontal con una rapide2 de 30 _s y ;! . _. ___'
1ogra acercarse perpendicularmente hacia P , ' '
una_aredsidep_ontotocalabocina_ucante /J ;!! ' ___''', '
cie_o tiempo, _en qué relación se encuentra _ _ _ '' ''_____; '' vv_':_'_
ï-__i_i'__ -,___ ,_- _
el (iem_o durante el cual .se toc_ó la bocina y ,,__ _ 0_ ____ __' , ^ _ ___ ,,_'____ .___
el t;emp_ durante el cual el conductor __.i.? _v'. :-:~'',_.__,,/N,_
eSC_Cha _l eCO (UsDn;do = 33O_S7? _
_J_ B)J,2 C)l,33 A)40s BJ4Ss C)Q8s
D) l ,S E) l ,__ DJ 50 s E) 5Q s
_y. _, _,s ve_,;;c,s de un t,;a_n ulo e u;t,_te,o de 2l_ Una _lilla ln_reS_ __IMdO _OC la Ve_t0a de
_ado L s, enc,,nt,an t,es ho,m_, as E__as Un aUla Y Un eStUdl_le _Ota 4!' l_ diStan_ia
. . _ / que se_ra a ta _tiJ ta del techo c_ia a razón
em_l_Z_n a !nOV_)'__ StMU tane_m_nte CCß
de O S m por segundo enDe la _l__ y 1a _
Una f_ßIde2 IJ COnStante. ! a _flme,a
Iater_ _ambia a n2ón d _ me_os por se _ _
h_rmiga m_' ntiene in_'anablemente 5u curso '
en_e e_e mi__m. , a _ _a p_ed del f_ndo a _ón
hacia Ie __gunda, ta seeunda hacia la tercera
e d2 me_OS pof Se_U__dO. DeS _U5 de 3 5 qUe
y __ tercer5 hacie la p?imera; ial cabo de qué
a ßolIfta _n_resó_ esta choca _on. una de l_s
inteN-z1_ dc tjemmo las horrnigas logran
_qWn_ e OndO. Deter_ne q_e ValOf _ene
_?tar _n u_ r___sm_ !u_a_,/ _
a Ve _dad _ _ polW4 Sl I_ _l On_ dC1
aWa_n 3mde_ 4,5m deancho y 6m de
L 2L l la,_o,, adem;s, fa po_ilfa ;ngfesó e_
u _u u
__ E _L
u 3 _U 5_ 3_ _~?__
AJ_n__ _)__s C)_mJ_-
2 2 _
20. U_ __ca__baj_ se encuen_ra m_viéndose con D) A o B E) _ o C
_a_ i__z _onstante de 2 c___,/s _n el interior de
22. _jn esquiad_r inici_ s_J mo__miento reatiz__do
una caja cíi_ic_ lal c_m_ se __uestra Si el
__.R.U.V. Si feco,_e ,!d sr_ ,J_n_a _,ita_ de s u
__scarabajo va de5de al vértice P al (,, ecfopm _,e_d_ 1 ,,,_ _cnte_.ne
___rtice Q m_viéndose por las paredes emple,_,oen_,2pn,_cre_s,,___,_esu,eco
;nternas de la caja pasando por su base, qué
rní_imu l!em_o dem_rará el escarab_jo en A) 1o c_ B) _o('_ _JC2/!
dichu r___r_r__o? c/_ !, o (,_7 - 1 ,)_
(Co,_sidere MN_ l O_ cm ) D) 5 s ___ ,_ _ í _ _ _ _ ;_
17O

Adadrcc_eue))))ctt8_6_lool__oomr_r_mJr_lo ss _ _ _ _ t, _F_)) __ 6 t_mrT4___ _g AcD_)))_4a>t v222aeltmJ_Jl_omrmsereuss dametbe0netent(edn_oe_ _vlr t_2pRgJ_)u)_)_c_3cmrruenslaq_2m5nount_se_cmr_d_sae_tes_at___
_A_ lTUL0 _ l _ _- i_ei_á_ ica
23_ _/!!____f_e_t;_ ini_nieu_n-J_avi.__ieriloiecti____e__-__ __. _o____'x.M_;_c-_l_ _ v_ Q s__u__9'c__r__ci__Jiee_._le____
acel__r3ci!_ ___r_5t_' nte, la cua_ le _erm_te x _0_ vef_cid___es c_ns_ant_es _D_ + 30 en,_i
aument_ su raµjdez a r_ól _ ci. __ í n_i'í_' cada _-_ s. '_ - ì 2 ___/-_. reS_RCt_'_'_ente. _/li___ __o _ich__
_etprmjne et _en_r ti_mµ_ que em_lea pe_ __í_ui_s paia_ _or !,___ p_Sicior_e___
e1 atl__ta p_ra recorrer 1us prirnero_i 6_ _, xp_'_I___ y x_=+I8_ n_ , la _a_tí___i__ _
, ,. - _ l __ _id 3J_
Sl _m___m_ fa_l e2q_e _lte e _ CanZar _ qU!,ereUnaaCeCraC_OnC_i_Sl_n_ e_ __i.
es!! 5 m/s. _Qué _jst_ncia separ_r la_5 maitj_ulas c-_an_?J
te._g_n 1n misma veloc.idad_
AJ l2s B) Il s
A)3m D_ 6m
S
C)Y_
D) l3 s E) IQs
DJ Ilm E) l__m
2q. Un cictista se despla_a con una rapide2 de 2_. un 4_utomo_v___ se mu_ve sobFe una p__
l 5 _s. Si antes de llegar a un bache eira 32^ hon_2on__ _en_
el tlmO' n dR 1a b lC lC le ta (manlObra qUe r_aI l__ _ se dj_ e a un camión en re o_o cuando e_
Sin Cambiar Ia f_Pide2 Y dUfante 0,l5 S); a,tomvil esta gomdel cam_ón,este ;n;c_a
determineeln_dulodetaaceleraciónmedia su mov-_ml_ento en _a m__sma d-frecc__o/
que _penmenta e1 ciclista en dicho intervaIo aut_mo__,_-_ con una aceleF,c__o_ n ,_on_,t
de ti__mpo. _Que_
auto_ó__l nunca aIcancR_ al camión?
2 B 64 Js2
2 > 2 > ,J_
__ 2 > / 2
S _ S _
_ s2 E _>3 /s2
25. _n aut0mvi1 inici_ su movimicnto con
__ ce_efac;;n cons(an(c de 2 5 _,Is_ s_ 1ue u 28_ Una PaftiCUl_ UbiCada en e1 PUntU_(O_,75! Cm
inicia su movimiento con una acaleración
_ Cl_ItO tlem_O eIn_leZa a dlSmlnU_r _5u
_al __I_^_ ^_ r_ _
rapidez a _azón de 5 m/s_ hasla que se CO_S a_ e _ - ' - '
_ene y e_ t_,em po to_,a_ em p_e,do del m__ima rapide_ que puede alcanzar la
,vl-1 (ue de u, m,,nuto dete,m_.ne su pa_ículaesde l5c_s__quédi_-tanciasep__ ra
_do y e_ tl-em po durante e_ cua_ estuvo a la pa_ícuIa del ojgen de coordenadas 8 s
,de2 de__pués de iniciado su movimientD?
_,__ocm g) l5_rm_o
m;40 s B) 3O0O,m;20s
c) _ o0om;0os C) ,J_cm
DJ _ ooom;2o s E) 3_n_;4os D) lO_cm E) l7,5v_lOcm
171

3___de___))c_fotcrmr_l__5_o/ n_ c_nJ_stt_n;e _etmd_))dudttlo_sl ltm_/slt 3q_ nDuJ)nttfenrnJde6_m__ Jde1o_ npog__t_dse_)_)n_5c__nu__ee_nnsattpt7oertea2cfor1et_ee_n
Lumbreras Ed itores fjs ica
29. _na partícula se mueve s_br_ el plana X_ 32. En una pista rectilíne_ se _es_la2an dos
_nm_ntand___-R.U.Y.y en_liI___tei_ci_ aut___')__'jfe__s __ pasan _or una _stacjón cu_.
1a_a_í_'Ul_preSent_laposición P(-l2;9)m y jgual ra_jdc_,_ u_ _0m/s_ y_no,n un intervelo
un__ ve1oc3de_ ù_ (3; +4;')_s. s las áreas _e t!,_m__ _c 4 .s. E__ e_ ;n,_ t_nt_ nue pa,a e7
__e barre e1 vcctor posicjón cada 2 s se,€_n_o _uto,nóv_) f,ente e _a estació
_jsm) _, 1r i ' _ . ,, ;'
- ' e__l_2___ _ ___ RraI C__ n)/S y m/_.
de ,_a acelerac;ón (en mrs_)
- f_S_CCtlVam_nte. Deter_n_ne_ Iuego de
A o 2J_ n _ 5 c o J CUantOS Se_Ur)dOS_ deSdC _Ue aCelera, eSte
_ _ E _ 5 t O_ra alC_nZaf a_ PrlrnefO.
3o. Das móv;les A y g expR,;men_,n A) __ B) 2_s C) 2_ s
_u__m;entos rect;N__neos uno hacja el otro con D) 4_ s EJ 8_ s
_ap;de2 constante de lO m/s y 20 m/-s_
respgcti_-_en_e. Sj en eI jnstante que están 33. Um CUndU_tOf Se deS_l_2a _Of U'J a_ _UtU_iSta
se_ar___s 27ì m_ _ _n__ie2a a fren_r con una recta Con una rap!!_ez conslante de 25 _s Y
_ __ _ / 2 uncen_ir) _aI_ ara_de_entaFlo l Ojm. _Cuál
determi,ne c_ 4ué _istancia se encontrarán es la acel___ación mjnima _oMt_te q_Je puede
separ_d_s cuan__ tcng_ an igual rapidcz. asegurar la pa_eda del _'ehícuIu par_ no chocar
c_n et cami_n' s1 consideramo__ que el
A)20m _),25m C)_.Om cun_uct_rtien__u'__em _efcacióndeo_/tJ_.
D)'l5 rn EJ 35m '
2í__ g25 2 c5
5^ -_S - mrS-
, l__ c'_Ltt_rn_nl ___ .3 m __ Ion_ltud y un ómn__us 4 2 _
s_ despla2an cn la m___;__c_ _i?_cción por as 2,_
2 _ 2
__teIas y- rec'_ fineas cun _na rapid_2 _oMt_te y S -
de 5 __- _. 10 _s, r__spectî_Tamente. Si e_ el
J'____ar_t__ mo___rc_dn el a__tomónl acelera a razn
2c0 _,,-nte,?_,__
'_ _ ' n C a e an ar a reposo a cic_a distancie e un túnel rect_ifíneo
__n_nibus_ delermine la Iongitu_ dei ómnibus d e _ _ _ m d e ;_, 4 o _ ,+ n-_ c ,- e s u m o _ _- m__
dado que el au__mó_'it _Oera s_ _bje_vo Iuego una ece1e,ac,_,_n c on,, st a_. t g J_ ,-
_e 3 s a p_i _ef insl_te mostr4_ do. dç;_nte,a del t,c_n -1ngre,, con una rep_-
____! _ __ _ - 6 _/__ y ja _osterior c_r_ 1 _ __i, iqué re___e2
' __ _?_' _______i, _ _-_ _____ _ _____________n8____0
"-^ tendra _l__hO tf__n e_ __l ;n__t_,_te en _ ,u_ a
7 m _. mitad de esEe está ?_atJ_n_o deI túnel_J
AJ1_m BJ2o,n cJ2Jrn AlllnUS __l2n_S CJl_m/s
DJ _4m E) lOm D)__j _j I_Tr_j_
172

x)________4t +_6tt ___m _ t e)n segurn_os _ _ )_ 4___ +_ __ _ ____ _ccva_c____A______d_____e_t__t____dan_____n__ulle_J___u__co_flsç__yl_a_1__
C__ _T___) _! _ _._i A__n;__j ___n_c_
_,_. De_t__,e__use___anc_i._n?__A __.v_e __'_de___ 14_ __; __,_n _Jt__t_l.__:,___;_de!,__ €J_ ,!, __d_____l______,___Jrc_n_
inici_. _ .su _, _t_,v;n,;en;o _',_;;_ e__!,___.,J,_-_,1es _nc_ ,,_- ,r_,___,n u_ ,. _s__f_ un_ _, _,o_,;:;,_-_J___ h__,2,_,-,_,_,____ _,_,,
_ ce__,_.__ c_ó_ cun_c__te _e mç__u;,_ _ _ Js_ 1___,,,_v*mv __r,_... g___n_e;er_T_r___,_ ______,_t__c,rJJ_i_n,c
_ rn//s' _c_s _ct!_r_mcnte. Sj _c_ 9____s de 4s la__.,rrt___,''r___n___._._l__,_____jxv_ntoe,t___OG,_!ctei.Tc__;_€;
part_ __ _a c_taciún _ __.- lcr__er c_u t__m, _'i_, a ___ __ e-5c_ ;_-n-stante _l _cmpu _____ '________'__;_e
_ete_mir,e ef m_d_lo __ ___ eccte_3_j_n __e-1 na_tc_ 4__i_ la d__s____cv;_ _''_t___ _'lIs e__.__;-___n_,_ ___'____
tcrcer autom_vit, de ta! m_Jner_ __e l_s trcs __ _!n;-;_____ ;,' c____J v___. c1jch__ _jst__?_!__.
_uto_)ú_ilgs _se_ _r__ce_) _'i Jnu1t_nc_am_r_te.
C_ni_:_e_ra_ 4ue i_s tr_s aut__m__'ile? s_' _ ;_J~_ _ _ _ _ L
+ _ _ f __J ____ _) -' _-J2 C/ _-_;___2
mU_VCn _n Can_ _ __fa _ ____ (,1 _ - 2u _ u 2
A) 3 ___ B) ._,,__ _ns_ _,j _. n_4/_s_ ?' _ _ _ _-
__,S_-__j _, _:-
DJ 4.S rnrs_ E!_ S,í __J__' _' _ i! _
36. lTn a_tomó_l sc m_R__'c _on una ve_or_da_ 3__ __n _,___,,,_o__,;_, ,_ m_,eve en _t_,_.__ ,,_,ct,_._
con__t,_nte de mí_d__u __ n_Js Si en un ins!__te ;Jn__. _._ _u_ c _;dm,_ _ cun_ ;a_ Ee _;
_adu _ _ mc__r_s. _eI_nta de ét _a_e _t_o d;,___nc;a ,J __,_Fa 1,eg_ adq_,_-,,_.r __,_-
a_lt0n_ó__'ii __'o_ ___a acel{_r_cin c_n__ tante de ace!e,a_,_,__ n c,,nst3__te _c m__
2,5 ___ v, se mueve cn _a misrna d!rección, d;sn_;nu._endo s_ _,el_c_,J3d _,,_t
determ ine _ n, _a que A )'B se c_cen __n una _e_L;,c_ç nete,..,_-_ne e_ ;__pm _o t__ n,0v1-__;-_,,_;,,,
sofa __Gnuni_ad. de) aut0_,0_v____ ___ _ne _aIJe q__e ,c_ _n___
_)I__m BJ160m C)70m
D) _o In _) 8o m A) /_ B) l _ cJ _2_
_0 _ _ _
37. Una _a_ícula se mueve sobre el eje x donde ?
J_ ' _
su p_sjción queda d_finida p_r D 2 - _) -
_ __
_ _3 j
2
3 ' ' go En la ngura se __-ene _na can__
Con resper_ a las si__u;entes _r___siciones, otre _ de ma_era niveladas en feposo. sj
i_dique verdadero (V) o falso (FJ, segun soltan_os _, A recoffe _ur_r_te _l tercer
CO__S_Onda. segu_d_ de su rnovjmiento 5 m. __ cunto
_ Durante el inte_alo t_ lO;4I la partjcul_ se des_ivelan A y B at cabo de 3 s de
se mueve hacia la derecha. abandOnafA?
_ A pa_ir _c t > 4 !n pa__ícuIa se mueve hacia ! _
la i2quierda aumentando su rapidez. A) 9 m ;',
_ _urante e_ jn;eNalo l_ _O;4J el fecomdo B) I2 m _ !,
c)_5 S _
de la pa_icul_ es 64/3 m. m ___
D) 2_m
A)vvv B)Mr c)fvF _) 27m .___
A B
173

_______t______________'_v___v_______>______v_________s_____n_____________________T_______________t___>4_______________________________t____________t_______rf___________________________/q___t_________t___________t_t______________________________t_________________________/_________________>_________________________rs___4_____t____4__________________________________________________t___0_______t______________________t__0tt___0oo__o__0_4f__0_____0______0____0____ooo_o__ooo___o__o______o_______o_0__________p_0___0_0____r_____________00______0o____________________________________o0___0______0__9__0_o_o_o_0___00______________0_______0__________000___0__o______________________________________0_0______________o_0______________________________9___________________0______________________0______________0__________________________________0________p________________________M________________46750_0___v________________t_
______________________2__11_1_1_1_______o48267_53__v___s________2___ t___f__>_t_____J___?____________tr_9_1______m_c___n______________Tvn__t__s__m______________________t___+_n___r______________________________________r__>____r______________c_D__D__________0___________r__________,___9__________n_____J_9____t____________t_______v___t__________t____________tn______n_____v__r___
___vm___________m__223_22222______g_J__6235___________________________+_____________v__________t_________>______________________t_____________BBge__A_0_e00__________t+________t_______h_____r_________t___________________________________>____________N________t________m_33t_3?_3_m___6__98_237r__n_______l____r____________________________hv______________>________r_______n_____________t___________t______n__________t_0Ec_D_D_g____0_______nh___________t_rM><_____t___________v_________n__xv_______________n__________>__
___________________0__o____________________0__________________0___________D______________________0____________________D_o___0_________________________________________________0_00D_________00___p___0_0___p__D_o________oD_____0_______0____o___0__D____________________o_____0_______________0________t_______________t_____v___________0______________c___________________________________t__t_s___________t_________________t_______t______________
__' '_/_'_ .__9,___'.m,_____V^__;__'_/i_._.______'.___,_tr_._'____N_,.___._._,____'_/x__;____;___,__: __n___.,__,_'.?'____i_'_',.,__';_;,'_'>i_?'.,:t_ J.i ^ _ , ,';_'v__ ,"9_î_..,,___,n_._. _._. e_ ..'_;_'vv'n'.__ ' ,,., __._,v_'"_ _'
. '. ' ''_ ,_'_'__t.'_ '__^: ____.__;_;M'_''___t __..n. '_r__;'_;_9_.' .;_'___' '' '_.._ ''''',.._._:''' _,ni._,?_ '7'____'';__'__x_:'',_._''''_ _ t_,f __ .. 'i ''' _ _ ____ __'^. ' ,.. '' _'i/_' '__:'..%.,_.,_'_ .d__,____0_,j:___iY.t__.__ì_,__i_^.,,__,.i__;._tj_,,_.g_i,;,,_.i_:_q_ ._._. _r _, __ _.
_.._ _'____h_;,,..,,i_ .,t____._;_:vn;ii,'_,'_'_ ___',:' y VNt__.r_,__?:_; .q/.... _4_, _____ '___._. "__ ____,__ t _ _ _._,4, ' ..,__;: _;.: ' .. _. '; .r,.'_ _._9._;._,j_i_''__ ' '_ ' ' _' _i i _ _ii ' ' '' '''' l '_ ' _' '' '' ' '_,_;_ _' t: '..: _ _
_ _ _ _ = : _ f _ , x '_ _ _ _ ' _ _ _e __ ', ' ' _ -, ___d æ_8,_ _j, _ _ ' _i _. -_ s i ', _ _ ? i ___ , ' ' _ _ _ : ' _ L. _ ' _ __ ; x __ __ ' _ _. , ': : ; _ _ _ _ _ _ _ _ _, x _ n _: ; _ ' ' _ _ _ _ _ _ _ _ ,, _m _ _ ' ' ' y _ ' ' _ _. : M _ :_ ' _ _ : _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ ' _ y _ _ _ ' _ _ _ ; ,? _. _ , = _ ' - ' ' _ _; __ i _ > _ ;. _ _ _ q _ > v _ _, v h - _ _ _ i _ ' _ _. ' ; _ , ' _ n ' _: _ ; ' ' _. ' _ _ _ _ ' _ ' _ _ _ _ _ _ _ _ ' ' _ i _ , _ 0 ; ; ' _ _. _ , -. _ ' ' ' ' ' _ _
';_; ' î_^' 'i__.'_'_9__'__^'t_______.__-_.'____'__'^__' t__''_Y,'':''_.__,4.._ i"'__'_j''_,,,__;:9_'''.:.''___.'__t',i'____'_______.i'__i7_,____n!_'-'.:__i_.'''i';-_^vi_. :__-_: _:_' _ __ :: :'_;.;:i', :'-_______d_____ ''i ii,i_ ' ' ' '' '._..
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';_.__-n'_..;;, ._ ,__V:_r_',___.;,_x;__'___,___'-:'_,_,__,._,d'- . .. _. -r, ,_.,.;_g;_,'_;_..;:=;. ;___', ,:,.. 'ii..:,__,_.;'_;..' _ . _, ' ... '' .. ;____.,x_.,_ . '.,,n.__j__._-,s,_.._.___'_,,,_. .__. :_L_,_, __.o._. i'' . _._ _';.. _. ,___c__.....
,,._rr-_,.__t_:.;/_'_.. _'i._:,._. ___,___..._; ._m'.,_ ,,_: i,., ' '____'___,_,:.v4t_.v__:__;___,_,_ l,_______'_,_'
ii____''___..;'_y?.__,_'_'; D/:,.;_a_''... i?_O.i';_ .. _'..__ ..__' __.._:'' _ _:..___^i;__V.:;..t.,;,:__,'____ ,l_w't.. __ . _ ''.
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.,';t.._'','__ _,'':''.''____ ;,_'_ v,, _i;.,_.K_,____'''_t :_._._.r_._;_;o._ __';____._''v',.__'_!^;'._''_', .''_,.'..,,_'_,__.;._n :' ___..._' , _^_:,. ''.:!_';:'_' '' __ '_n...'.t, '''__
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.;. __' _ sv_ ' , i';_' __''O'_'__i'q___''_9''___' '_i_'_e__ii__'_' 0;i_____.__^d '''___n'___ _'i'i8i?__''0_.'__'ie__''_. __0''..,_'_'0'_i''00_'q!_''____ O_._i.di, __.__9'__.__._'_____ '''__8_i ''ßii i__D ' '__ '_ '' '' '_i. '_ __i'e'O_ 'q0i '__^ '_'____, __ _i__ '___'_ '_0'_ '__ ._____'' _' _ '_i__ _____ti' 'i'e_ 'g_'0_i_0 ___i_ ?'__. __ ' ' __ _ __ __ __ _ !_ '___ _ '_' __'_ ''' ' ____. _ _' '_,^ '0' 0_ __ '_ _i0 '__ _i '__ __iii_ l_i._% '_ ' '_i _. i. _ 'i'___0_i '0 __ _.i __ __; ___'__ ' '_'g ' i'^ __'0_i___ 0 __ ___.i 'i, ''. ___'i_i '''_ 8''_p _l,,_00.P _ _ ''_ '_,l__i_ '__'g _ _0 i__ a,_ _ii '_ioii_0___ ___i __,._, _'a,_ _9_ ___ ig___ _ie _i i'i_,0o,_,_i_ i i. _i,_ _._' i _ ___d .__._o__'i ___ '_i _'. i.__._ _ '.
v _'i ''_ t/_'?', __r_ t_.:_!'._._.'_.,';;;.,__ '_._'_: ,._''':_:_,;..__J;__n._' _nu'__t_X __^.';'._..?._,^__';_;;..;''''_''_'''., _ ' ::'_.. '':i' _'',.'' "'''_j_.' __';:j' _._'_' .._r;_,.;.''''__!',r^"'_.:_.._ __ ''t_ _'_''''_'' '___.rd''':j_ '. _

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___^'__=____C_i_ 8_'00___ _i' i' _,'D____ ____'_ii_i__i_, _i_ __0_,',_i____i__R__' '__, __'
i_i_o __ : i_ i._ _g___, _ _8r ,,___i,__æ_0i_i,_._,a__0___0.,__0i__0_.Oa_B._'_;_oi_._ ' i
0, 0_ _ g i _ _ '. :__ _ ' ' __,_0__ ' _^ __ _ ' ' D_ _ _ _d _,i, 0_ __ _ '_ ' _ ' __ '_, _, ! _ ____0 a __ ' _ _0 ' _' __, ' _ i _.
_i__ _j_ ____,_____.___^____o__,__.iQ_o_____'___.8____R_______i
__..___ .v._-r=%__N_'____8 D__i_.0______
i.i_i._,,i_.._,li,..i,,.,_i.,.,w,__. '__' i__',_g,_,_o.__i,__,o_..i_,__.__..ii_i_,0..,_,.g,__,,i. '~_._.v ___i.'_..,i,,.,i,'__g,,i..,_i,.i.__l_.i,.,'._,'
___,,,___i,__0__'_,ili, i_il8_,___,_i___i_____niii____,'___0__,,,l,'_'_
,_i_g_ii,___a_,i l_____,_io___,,,,__ '' i,_i__i_0,_W,__,_i,_
i__i0_,i__,i ii,___,,'_,,,_i,_, ,ii,,__,e__0_,il,_
__ii_i___,.__ l_i_'_8__.i_'.___.l,i._1 _i_____i_D___._ii'
i______oii_,_,__'i_ i,,__,lil,i,,,,'_i'i_,_,iii_,'
,__!__a__ii___i_ ___,'_'__i__,,_iii_''i_____' i_i, li__i_,i__e _i__i_li__ i__ii__
i,__,ii__,,|p_,,_,._i_, i'____d_^__i__iie,__ii___0,,'_,iil i_i__'__.__.i'' __i'_._i', . _ . ' ,. ;_. ''. ... _.,. , _ ___0'ii._
iii_i_____'i_il___ _ i___,____i,,i,,_,i__i_l i_ii 'l__,, ,i_,_ ___,, __"_ i' ,iil, i0ii'' _, _, _ ,, ii_ i,,, _l_ iil_,__,,_, __ __,i ili
iiiiii__'l'__'__,i_ii !, ii'ii_iii_, i'_ _ _ _i__i,_,_,_, _,i, i_,i'__ ' , _l_l _,, '_ ,,, _g___i i _, ''- , , , _'i , ____, ,_ ,i , , ,, ii _ ,, ,i,i0 ,_, _i,_i'i ,_
i i _ _ii'i._'''''
_'il ii '.e,._, i.,. _._,_.i'ii., i,._i. .,i.ii ,_ 'lli _ii_ i_,.i,_, i_,g_ai__ _ll''iii_. _'_.. _, ,__ .ii_ ii _B_i.
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Para la caida de tos cuerpos. durance mucho ciempo se planle q__e t_s rr_as' pes3dos caen_ n_s _p__o.
fig. (a) _n ausenc_a de aire mues1ra lo concnrio. fig. (b) A1go s_.m_1a; acurri0 con et mo_imienTo
parablico. c_m0 et q_e sigue el chorro de a_ua-

__x_?t__t_____________v_____E___________________t____q___________s__d_t___N____p__gg_____t______/_________________________t_______t__ _ _ p____mt_td__Lat_ t1_ bl _tBhase8_c_adys _ndt _pyr___h__ _1p _ __ t 0A_. _ __p_d_nd ___t__J _ r ____________g_€g________t_____
_,__,_..__.'_0 '''- '''''' '_-"'' ''''_'___'___''_'''_Mh_'''' '' __'''''''_''_'o'"'''8''"_'"' ' '''' '______'' _'_'W^^"__''"_''' ''_ _ ' '''''"_' _''_''' '' ' ' '-_''" ' '..
__ _,'_'__'___'_'_ _
__.,..,,_ _ /;,e.. G. eALliEl Y LA _RUEBA DE_ mOVlmIENTO UMIFORmEmEMTE VARIA00 i.
_...-,., ._._._',>_ _
i_-''_-_ __,_~'_: i_',
:: _ _. N_._:'-_ _;_ _1_ aI emdir detentdmenEe t3 rodun de peqLRnas eFens 5obfe '_
0i;.7'_; ,'^'__ __n __m i__c1inado. es_bleci que la veIocidad r _ d__I__en_os m A ''
___'^ ''_-'__ _ aumen_ en pro_ri_n ymple c0n res_no al m_ Es_ _
__,,,,,__,.,, i_ _ _ ,_ac__ n la _emos encmc,, esc_ en su abn 0;__o sobre dos _ _-
'_':.,;R_;__:.''_ n__- ' (l638)._i__enualq__0ducim_aconcinu_acin. H D _,
?.__ '' ' =_,;-^__ con_- _ mi_ _ de Gdilei-
_;_;. ,_,_.-_^': En el movimiento _elendo, el auncnco (de nl_idad), sie_o E ,
_,___,_'____ c,,t;,ua usted p._,ede Jiy;di, lot g,ados de veloc;dad (,,J,fes de
8i___.___'' I -
'J;'m_ ''__O'_ yet0ci_d en el m_emo Ienguaie). que aume_ conti_en_e en
_i;._v"'_
_,,;..,_.;__n?'aJ_. u__ cantid_d _e_ermi__d4 a ca_ de que imb_' do a Cada _menlO K f ?
S.,,:_.,;.,.,'___,__.__:___.., _ inF_n)tos. _
__'-;__''_'_'__,.,. P__tO.___S_mPlmYm__n_t_0Pf_' ltat_dO l '_
__?_?' '';/M_,,__'_ un _' ulo A8C (ver _gun) + Tammos en e1 iada AC a10s _ iguaIes _ _ _
_''_;_v',_,_._ì tom0 nos l_ca RD DE u f_ _c _cemos los unt0s D _ f ,
i__i__, _
i_ ,,e'_,_ f_neas^____1_ a a ase . Upo%_)01_ OnqUe __eS
._._"',:_'...,;;__.,m, ___enlafin_ACrepr___entanhe' m_siguatesyq_1__ralef_ 8 _-__-- C ?e
;_'_ :_' _' _' __, t__w _ 1o_ _IrK0s D, E. f y _ re__ pan nosotros tas g_doS ?_
' .._';___: __!_ocidad_cgIeF_aq_aumen_ __r_" 4_l______l_ _;-
N_;_'_^-''n l_im_ce-_Jm__' _rq_el__oAseaeI_de _U_mC_tO_,f_n_____di__JO _"
_;i,_, '9 cu_;e__ J,eJcuRf esJ_m,cadde___t,0_cJ_ x-
_:,, __.__ O C__ et__ qUt O._el__O._e___ ' - _ J - ' !_
_' v p_ _e, JDef_da_vet__dad0t_,enel _do_ su drKTmque_ _e.!_a_U_Yd___rf_S_C_ t_
, ' Y _;_ a____ _ _l_,__ de DH a 4 y __mi_ _ __ _' _ si_ieMes. e/ __ Cm /_ m_!_ __ ;';
_ _ _ _Jcr_ cm ei _men_o de las tineas fK _L, __ _ a u_ de qie _
'_ __,., ._ __. dt __
;_-_ __le__ _ Cm_nUa __nt_ a ___ !? nc- _f lOS e Ur_ Cter_ _ e Tiem_ a o_, r__reX_ _ :
' _;_ ,__ _' ct _n_ A c 1 n'_ne__o de menor ve__idad. en_ _. e1 _do de _p_. y _ e1 m_ _n_e de c_em_ _' __. _ ?x
_''~' ' ''' - ''-^' m_ence q_e_ ant_ dc _dq_J_rir et _do de nloc__3_ __it _r_ el ye' m_ AD. c!_ cue_ _ebe _ _ _ g_ __ ___ !'_'
'",' , t
_.. .,., fnatpeq___ !.J1_d_"t CntosInf_n_os_neQnt_quet_y, enetC_e__t_ ,CO__pm _ oafos_f_nnotNn_dela!in% ?..
- ;-_ ___- ' ;! aA. P_ _a, _n __tarms l0s inflnicos gnd_ _ nI__dad que p__n al _d0 DH a n__ __i_ 1_n_ _,
__, v - wc_' e rn0' co_ qu2 _ s_ _' _das _r los in_n_tos _nTos de _ linea __ y _elas a DH- _
__ .v. ,_ _ tí_ inf_n__ repre_ _ noso_ _ wperf_c_e de_l _m- ' gul_ AHD. Asi, Dod. emos i_iMr E_ d_' ,
_o_ _ el c_e_. cm e_ monmi4no qúe c_' e__ el re__ y x__u unir__. '_r ___ y he4% _ __
:' de in_n_os _ de nlocidad que aumen_ can Fonm a _ inf_n__ l'm_, qJ_ c_laa' __e el _n_o A _ w_. nen i_q
_ p__ce a la linea HD y a l_ ___J__ Kf y t_, c__0n_ _ mm'ri__o _ &de se q__ __
__ -__ Cmp_et_atanel_e__AMBC _,__os_e1fadoDm.rasoJo_ elash_-_____,,net t,
,_',: n1aq+' _h_. sia _b'Rn _ual_ o_ _lel_. _ m_o inf1n_o. a,_!e im____o4 __ dexk todos ios p'_inc_ de_ t
' "' ' __ la_ __: y _ ôC'. o.ue M la nJa___ _e _ ;_nF___ __t3s det _nan' _'f_, _p'e_n_ __ _-__ el ___ __a? _e __
_ ' ____ -_ _hcr_d _!_ _ e_ rmv_t __? ; mmm_o ac_do v l3 su__ _n_ de dcta __' __Nia en La _ y l3 w_ de __?
__'_,, :'_,'_ ^__. i'__ _1 c ' t
:.'.. j a____CmIa______:__r_A recOm0Ct_O_a_t0,__iel_. el____UW_Y__u_____ _t
_. '___,___-_^'_; '_ un nu__ ___J _ _dos de vet_id_d, _o _ uno ';it al _yor _. _ __ de ve___ sen' el _oYe 6 _ n __ ì_
_-._,5___;,_ ,__-_ de _ vei__i_ c__enccs en el Tnan_ __. comc dcho pan!e1ogirno e5 __ble de_ a1an' __w_t0 y, _r _to. _ e_ _ que a,__.
___. :_, :^- ___ d _J_ en_t_ !m gndos ac__ i_0 a as _ vetoc_dad ___n__ernes ai tnang+ ' !Wo ABC ha rec_ri_c_ _ dncanc'_ en _ tJem_. _
_'__' "__-'_;,_ _ m_ __ y __le que. _p_ l3t _e9_ 0 -_0_ 0 _ un__ c_ao' ' a 0 _ imt_ _! _. __e__ con i
:;_..;,;. ;.''.__;-_ un nanm-@io g4aJ en el rM'_ cc' mpo una d1_i d__ q_ la r_o_ _r el _m_en, _ aceiendo. _t
____5__''?_ i:."',_;' Debemos _ener en cuen_ que este conFuso len_oua1e Fue u_ad_ _r GJ1ltei _an en!o5_rv _r pnmaa v_ 1_ _
_,x__',-___;__;_._,',____:__'___,;_,:____,,'; l9es de la caida libre venical de los cuer_s.
___x.,_-.-_;__s_''_e ../ _. + _. _
__n_,?__ _0_ .

dc__dl___ee__usmt_s_m0_s __l__ d _l___ _ t ____d _______?__________________t_______0w______?____e_____t__?et lt_____r_ _____0_v___;F;_____<barcode type="unknown" /><barcode type="unknown" />
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OBlMVOS
_ Comprender p_r qué _ monmiento se le ca_i F_ca c_mo ca_da _ibre, _
_ Deducir la trayectona de l_s obje_os a partir de la direcci_n de _ veI_id_d inici_ )_ la _!rección
de ta aceleraci6n de _a gravedad.
_ _tablecer las caractes__s del mowmjento vc_r_cal _,_ el a_onmiento _ara_óliL__ _e caída
_ibre de los obietos.
INTRODUCCION
Se saheporexperic_nciapropiaque,al sersoltada. l_n__iedra _"q_ :__ __^____, __q,,,, ___,_' !'__''
escicn__ _asta tucar la su_er Flcie _e la ti_rra, cste heL'ho es - ' _ .,_,, _!_ _ ,,_;,_:.y_,, x_
con_cido po_ el homb_e d__sde su apa_ción sobce el plane_ta. En y_' - ' __ c_-' _ ', __-. _ a,. J'-_ _,__?__ _c_ __;_ _v_ ___ ; __
__anti€üedadyasc_ __s__culaha c6n__debía___tarr__f__ ci_nado el _ ' ,^ -__._5_n ' ?, _''' '' __v__, ,'_-__
__-'_-'_-__,0 __._ 0l __,_4 '_X
ticn_p_ _e caíd_ de l0s cuemo._ cun cl pes_ _ _e f_s n_iimus. __,_. ,__,____ __ ;__ _?. ' __.. l);î '; __
Entr_ f___ _i_7__r.soi _lant___n_ient_Js 4L_e __! _ier___ destaca el -__,-;_ _, _t._ _! '_ ' _ t_ ,_;_'___:
_l FllusGr__ _ri____nAr_._t_t,_,.s, __ie,_ e,n s,,, o_ra_ s_ob.ypl_,,,'_Ju.s w_-___=__ ___ __ _/ __._ J_ '. , _ " ^'_,_
s_e_-_.__a;_a_d__de__eca__adc l_so__etoespropoFc__,_a___ _pe.so ^^'_ ^-'__ ^v_'__ _-_:mcg_ 0 _ ç; ?
__i ____,"''-T'!,' M v _ _ _
- ; _ _; ; _' ' ; _ _ _ ' ' ' ' v, ' '. _ __,N__ _
D_? t__ t _I__nteamie__to _4ristteI_> _edujo c____ un obj__to al __.i__ _ _ í'_-_ajY l H _ ' '
,f f,,,(J,_,,, _tnad_s_enc_,__n c_et_f__;_,____t;pm_x_v(Jnoh___to ___ _ _,__ x_f,_t __..' ,_ __o, _- _eu9
, -_ '_ _ . . . _. ;,_-_?h^_-___ _(' !';__, -.,_0 '_''-'f _ ,
"'aS _'''" ^ CU'"C ' ^"5'na l' an"3 en 'n'n'f '__m_t e M?_t!, __ct, ___, .., '_t._ __'t'_ '^_?n6,L_0_0_C_,,___ _??__,_0?_,_
d_nde c_-_cl__im__- qua el tierr_po de caída de f0_ cu___os c_ __":_?:_c,3::_ ;, ^ _ :_- "__ ! _ ' _ ___e_ n ^=, _. '_ _CC
V,g0_ _ __u__ ' _ __v_ ' ' i_8 _,0, o,0, __n0_,c,,g0 _=,,,,,_ a __,,,e _oe
ln_e_fSam_nte _rO_OrClOnal al _CsO. Por efcm_lo, Sl un c__er_o µt_s_
, , . . LohJs_órlcoTorredeAso(I_alioJ.endon__e_n
_I dU_le _lIC OtfO, tard_fa t_ ml ta e tlemFO en CaPF a n)tSma sg comenco _o,_,Jeo _ol,Je; h,to olg,nos de sus
__lur_. _fUeb__ _afO _efI_C0f tUt hI_tetiS.
t I j _w- Es a5; como _ enom_naha a t_ 4_c h_ en d_0- _ danc5m, 1na ma_a. El c0nve_(o _c __o _ detaJlar en el _pír_ta so___
_sttIca

_u___ _ t _ ______ __t ___ _ l____ _ _ __p__o________tt_N__t_tt__, __1 1 m_
lu mb reras Ed itores Fís ica
Hoy en día baslaría poner en prác_ica (. i_
un método sim_le de medi_a del tiem_o . f'__ ''
, _ ',_ . ^___
para demustrar experimentaImente que un , ,_ - _ o ,g. , 0. '''
W. _____'__ _''_. 00o _, ,0___ _ ___ ___''. _
cuemodepesodobfe que otro, empleaet _- ' ''_x: _ _ !_^0i___ _ii''___,i'_'_______' __0__,_, i..._, _
__ r__'' ^ __8'___,__0''_
m_SmO tlem_0 e_ Ca_r. Sln em_af_O_ estO .8 ' ,. ,._ i .'_ '__^_
O__,__. __ 0 _i 'D_ ____
_ra Un _fOblema, D_r _em_lO_ p_fa 10S _ __0.,','0 _ .__0_i_i_..i_> ___ t,, ___g_ _ S,
. . . _0,._'__ ..o__,i , , ' , _
S_blOS e _f__Clm_en O_ eOnar U a _o '- __ ___ __t___ ___ __ t_ tF__t_
Vinci, uno cle el_os, 11e__ a plantear .sobre la _,,,,___,._. _,ueo_,o,_,,,,,dg,qu,,_,,.z
Calda de l_S CUR_OS _Ue l_ ra_fde2 _e Caí_a _ mu__ot mgcanism0s y dispot__vos J_ fotogr_o muescr0 eJ esquemo _g
es dir__Ct_mente _r_porcional al tiempo. unpro_o_mo- deun ou_omvi!queFJncionaboc_nresor_es
l
Se trató de d__mostrar ésta y otras teorías en
_a práctica mismû_ pero surgían aIgunos inconvenienles, cam_ por ejcmplo 1e ac_ntuad__ rapidcz _on
_ue se producia la caída de los cue_os.
El _roblema de la caída de ios cuemos fue resuelto en cie_a rorm_' por el s__hi_ Florentino C___ 1iIeo
Calilei haL_ien__ rod_ bo_a;__ _e bronce pulido sobre un canal pr_cti_ad_ e__ llna tabl_, t_,_ ?_ta ru_-_ma
G_- lileo hací_ q____ t,i c_1ída de Ios cue_os lranscurnera m_s l_nta y a1 rel__ iu___r los _esp_!aza__'_ient_s _e
IM _olas co__ e! €i_,r__ __, _I__do _eterminar las velocidadei en di Fcre_,te_ ;!n__tantcs. Tambin _- partir dc
.__!s e,iperj_ne_tn_i ___hr_ -_- l monm,icntu _endu_ar. Galileo puso en _eIa _te j-u_;_io Ic__ t_sis según l_ cu_l ei
tiern_7n_ _e c_í_n de___ndía del pe.so dc los cuerpus. En sus expcrin_ent_s veri_._cu que e! liempo de
uscil__ci_n del cue_o que está suspe-ndi_d_ _e __n hil0, n0 depend_ _cl p__s0 del cuer_o, por e_;'_ C___ lileo
s___-_al__a que A_istótcles _staba e4_ui_-ucado, mas s_ le present6 una di F_cuItad_ Si e1 pes_ dc __n c ue r__.__
rJo in_uv, e _,n e1 t!e,_po de caí_a, por qu una piedra y una pluma al ser s_ltadas de 2_a mism_ _' lt_ra n_
caen al rnism_ ti__p_? _ta situación la superó há_ilme_.tc Gafilco __l plante__ r que cn ausencia del aire
la pìedra y la pluma _escienden en líne_- recta )_ par_ i,_uyles desplaz_mient_s se emplean _gL_aln_s
intcrvaIos de tie_npo.

. æ
. ___piedn _
_ . , pIuma '__
t ,---'-
__o _!_1; __ - - - - ' '_
,,.. __Wo tl ''' j' _'___._--_'' l2>tl
r, - _'__ ' ,_ _
!_ '__t : ___..___._ __
- _-__------ =__- __ _ _'. :; __.-- )_. i /_ ( _N_ .___
GoIileo in___itó como _Vo __ ' -_
ol dexens0 del cuer_ r el
_i_ (_t no _ndío _ lo EnPre__ncI___e/alr_, l0Plumode_crib_u___oie__u
moso (mJ. compticodo r demoro ms en _1egar _ _!0 _memc__
Atjos n__-__ tarde, el fí__ic_-4uímico fr_ncs Robert _c_'!a rea1iz un e__'perjmentu de ca_,da !_i_re __n uf_
tubo de __acio de ire y demo5lr6 la valide2 de ta tesis de G_lileo.
178

_cr_Aee_pslt_t_eT2rau__o
Lmron___ev_dvnl_mt____vee___l_e_a___lnu1_l_____t___l__0_0______on_______d__0_______________gt_________________o_____t______________po______0__r_______o_________s______o_0___e_D____o__o____pt__r__0_tt________|tI____t__n___o______t_____0______s_______________0r_______________o0r______a______0__0_____l4____r____b___l_____________s_______vr_____n___ar_o___/__o___0_l________0___/____)______K0________l_0/____n_0______ac___pp__________g____c___1_______t___o_______0g__l_________0____o______________y____________v_u__t__________o0________________________p___________l__________d0____//__t_0____t_o/___r__v___o__t_____o0__t_0__t___?_e___bv___n___l__________n______a_p________o_______0_o_t_____c____o__________0___oel_l___0_______oa_n__________0_____0_________________s________l___t_________________0__dtf_0_____0_n_y____0____________e_o_______0_______u_______2l________o____/__çg__or____q_____o_________a________oo________0___________l0_
_
_AC_lDA_l8R_
E_ __echo de deja_ de l__o los pfc_(os de3 aire (s__re to du' la res istenc ia que o frece J cu a n d o u n
cua1 se ar__a que el yerpo e6tá gn cyída libre. Son movimien1os de c_ í da l i bre, seg ún su trayec tor '_a.
el mo_miento vertical_ parabótico_ circular y elíptico.
M ausencia de los efec_os del aire se _iene, segun la Flgura
1 _,..l. __
n 0 a.''_'' _ _e a_d _ :bce ,._-._í
.. -.. ,... - . ' ____ .,,. ,,.,. ,//__,'___,,,,,,, _ ._ :_ .., , _
F,l objeto primero realiza mo_'imiento verticaI de caida libre, Iuego de l c hoque re bo ta y
amba, pero ya no es de c_ída libre iPor qué? Porque no sólo actua la fuerza de graveda d, s ino t_m b i én
un3 acción de parte deI agua. Finalmente la pequea esfera sale del aeua y rea t iza nuevamcn te
movimien(o parabóIico _e caida libre.
=_._. _..__'____ ..,.,._.,,,.._i.,! ;t ___ ,,, _ -_----' ---.. ----_ __ - - ___i_e
' _ ''"'_ i___ ' . . '"__'__' ___cunrelencta 0 _ o
_depor_esoIco Iorgoeno_sencio_efectos_Idire_ríounejen4 Io S i cons i deromot que Io unIco que d (ec _0 d I s o t é I i l e
de mov_mIenco _rabólico de coidd Iibre. o__ _c io / et lo o uocc i ón _trres lre en lo n c g t d e s _r r o I I o y n

e_4 Es_ te____ t_________ Jl_lll_l__r1ut y___q_______lt___ll,___IJl_ gr _ _ __N _ __a_mlrstmpaluamltouyrla0ptel__tt_dr_0nc__0_amtf_,___netrnot__ll__ll_eo_l_al_tampo_tp__tsoant__sque
_n_-;::n,-__- MOMMlENTO YEQTlGtl DE _iD_ lIBQE ., '''-_,_
Si soltamos una piedra desde cierta altura, Se dice que Galileo subi a la torre inclinada
obsenraimosquedescnbeunalrav_ectonavenical de Pisa para hacer una demostracin
mientrasdesciendeconunarapi_e2aumentativa, experimenlal; dej6 caer varias esreras de
esdecir, sumovimientohaciaa_ajoesacelerado. diferentes pesos que llegaron juntas el suefo
Mas, si _a lanzamos ve_icalmente hacia arriba, causando de esta mar,era reacci0nes entre los
a_reci_emos que su r_pidez disminuye c0nforme presentes quiene_ creían hasta ese entonce.5 que
asciemde hasla que se hace ceru, es decir, su un cuemo pesad0 caía más rápidamente que ur_o
monmiento hacia amba es desacelerado. linano.
_ _ 0______
_
__O __'U_-O _
:_ _!" '':' ":!!!
__J U3<L'_ ; !
_ _'_ ,11,_ la
' u l_ f_
l _ '''
mon-__to _ _ ___nlo
ac e terad o ; _ wce _ _da
_,l _ U_U_ 0______
_' ' __ ' '
i _ _ _n t_h do_ 1t to _oí_ il oiri, l_
2>Ul
!_il_ u_ Aunque puede decirse q_e este hccho es
_ _''_ con_radictorio con la reâ;'ida__ puesto que si
l j _
U3>U1 ,, _ soltamos una esf_ra de acer_ )' una pl_J_ma _esde
i,___
. d_.ado fa plumâ, esto se puede eh'pticar p_r la _cc in del
nJO_JmlentO en partlCUlar fUC eStU
aire el cuál ofrecc resistencia _;_ mo__i_ient_ de
e0e_mentalmente _Or __leO G3Itlel haClendO uso '
de_mgt_onu_oene__ dg_,_c;enc;_.Fue lOS CUe_-POS- _efOt_ __t __-^v aI_U__a nl____r_ Se
__ w-e,des_bn6___e _ uen ,_ne_mot_m,:ento elImlnafa e! alr_!> an_t_J_i C'__er_OS Caeriarl
de _os cue _s de los ro ectj_e, en c__da _;bre. Simuttár__an_ent_. E__t_ s_ _Omr_rohó
_,,__F.__i._te sus obse_aciones, G_jleo había llegado e___erIMentafmente __S_i_éS dC! eXp_rl_l_nl_ de
a la conclusjón de que todos los cue_s que se GalileO CUaßdO Se inVCntÓ l_ bOmb_ de V_Cí__
dejan caef desde la misma al_ura llegafían EXDO_Fim.C_ntOS CUid__aSOS f_alizadOS _Or
simult_e_icnte _ pi__o indepeJ_dien-temente de Ca_ile_, dernostrarO__ __e __u_ndo un cue_o es
que sean pesados o linanos. soItado desde c+ierta aIt_!ra _ecorre c1istancia._ _ue
t8O

_ll3__ sal oce_l_leT_a_n_|__tlt___l_t t g______l_l_____ ____ /l _b _ ( _g__N ____Fmr________1__t__t________________t___u_d_N___F__B__t_t ___l___s,_J_____ _______t____tg_____________col___c_o5mnm_o
lumbreras Ed itores físi ca
_ra flnes prácticos se acostumbra redonde_ las ecuaciones se utili2ar_n con el signo (+J
_dulode _ a to_s_ Esto ul_eredec N_f ue cuando e_ cue, o desc-_ende mov_.m._
CUandO Un CUe_0 aSCiende VertiCalmente SU acelerado) y el sjgno (-) cuando asciende
fa_ide2 disminuirá en cada se_Undo lO m/s. (mo_mient_desacelerado).
Asimismo, cuando el cuerpo desciende, su si un cue,po asc_iende y _uego desc_end
rapide2 en cada se€un_o aumentará en l O __, ,eco,nienda anat_2,, e_ mo__miento _, _
como puede apreciarse en la siguiente _gura: de__r_ pnme,o se __;2,,a_ en e_ ascenso y _
u = O u = O en el descenso. Otra Forma de analizar es_e_
_' ,___;_'_0' ___'';O_',-o.:__o' mo_miento es con las ecuaciones vectonales, esto
_ s !, _o_s _ s serádet_ladOm_adelante.Parahoravem0sen
_ l_ detalle un e_emplo que nos pe__ta entender el
/__,'','':_'o_'_ _,':. ._:.a'_
_o_s Ilf!_1 Sl_nl lCa O 1SlCO aUe t_ene el mOdUl0 de
_ ___o s1 _Eot;enedobtes_l n__ncado_s__
1 s ; _ l s pasaremos a explicar con el siguiente caso
_ 2o _s ilust__vo donde se ha lan2ado ve_c__ J__ente hacía
_ _!; am.ba un, es Fefa con _,n, ,apl_de2 _.ru_c__,_ de 2o mrs.
._ __00o,'. -____''__ '
2o _s _i. l l Vé_e Se_UnU0 a Se_U_dO lO 9Ue SUCede_
!_ _ g=lO__
S ' _ IS
; ,! u=O
,_'__ 3O_S ,,_ ' _'a-'-o__ N _ _ - -- ' ' ' -V
.--_ '__ _v';_.__'_ l s jo_s ''_ 1, J1 _ O+tO ___m
3o_s _ll_ ! l- 2
l_!'!
lll
CARACTERltrIC&6 0Ei M_V_C_L_ !, 1O_s
_lo acE_a _a a_,acc;_n de _, T;e,,a ,o_,e e_ _ s _ ; _ s h2_- _!O_20
cuemo Cse desprecia la resi_stencia d_l aire). ' 2o_s ;
,. . O" !
. __ atracclOn teneStre le Ofl_lna a O leto u_a fj_
-lo_f) _,onstente __ lo m s2__cte en _.. ______._ _ _ !,..
!_t
as inme_,iaci_ries de la supe_.cie terre__tre). __ 0_
_'_;___0 _ 20rNs
. El mO__fm.lentO Ve_aCal de_ Cal_í_ tlbfe eS UJ1 ' ,
h_.__U.V. y por lo Ianto usaremG__ sus mismas : _
f6fm(_l_s o ecuacj_nes de modo que se : 1 s i_ 20+30 f 25
_ 3- 2 "
cambia d--h y a=_. ;!
U+U +l _ _
= =Uo __ '
fI
__J,...-''_,:. ----- __
'' _r ,'2 u?
f- O- f-- O
182

_dvrol_legbesmseslsoaNultseraqnamcpudt_lso_oeu_vbrsec___orlgr0em_/_ss2+tsve_c)+osnc__lu2y_emqu_ een cada _t __2 ____(__2__o22_t J___o__t___s_)__f___xl_f_l___t__________t_____ 2_smn______u__o_+2ut_ ________t D)
cApjTulo fv Muvmenf0s __';___ _a_a t___i_
OhseNamo_ que Veam_s B 0
' La raPldeZ de l_ eS(er_ a ca_a l S V__a e_ I O _S- __ ' . 1D _ C O f n a a m _ e _ C a a _ V _ n a e n _ - - - - - _ _ 0
E rus i
IOm. i _i__,_l ..
_ Se alcan2a el punto más a1tu (YJ _'uando la h _'
t . 3 ,_ '
_cuánto recorri_ durante el tercer segunda -- _ - 0 ' ' t 2o_ ,
__m_lento7 E,ta p,egunta __mpl__ca ' D _''j'__ S B
considerar el tiempo _rdenado. Vemas según I_ ;_
I_fa que recorre s m durante el tercer segundo. __ ; I s
iCuánto recorrió la _sfera durante los !, t _
3 pnmecos 5egundos de su mo_miento? nquj ya . - - .. _s ____ :___- _ 3o mr s J
es ne_esano contabiliz_ los 3 pnmeros segundo_-_ C J _f'_t
_de2 (uJ ve,_a en _o m/s y tambié,, _a J7_ t '.! 1s
allura (_) va_a en lO m. _
_n la práctica considere Ias siguientes _
_ones. A -. _0_s.
_ _l tiempo de subida se puede calcular con
__ _U_ _ Los recorndos en cada segundo del ascenso ios
_ A un ml_smo nivel POdemOs Ca1CUlar COn h --
U_+ ub -- U_j En e_ _rimef Se_UndO _e mOVimientO reCOFre h_
Is4t, = Ib,, (de A hacia C)_ dOnde
u _u _ (_Ot30) l
_Ub bal t=__X=35m
_ No conf_ndir tercer segundo (orden) con tres
_lmSmO dWante el Se_undO S_UndO (de C ha_a
Se_undos (la dufaC_ón.
(30+20)
A continuación examinemos oIros ejemplos 2
+_usf,,t_-vos _ recomdodurante el tercersegundo (deD hacia_
_____ xI_lSm
_Jemp(o l
Un_ pjedra es lan2ada ve_icalmente hacia arnba F_ reCOfndO dU_te el CU_O Se_O (de__ciaBJ
c_n 40 m/s_ desde la superficie terrestre. _ _ (lO+O)x __
nalicemos el movimiento de la piedra durante
e_ ascenso y e_ descenso. (DespFec_e _a res_ste,c_a Cu_do la pied_ ha alc0_do la _sición m_ _ta
del aife y use g_ Io _s2) (u=O)sL__iu_a__ ma__m____t_m__ma
tambjén se _uede calcular usando la misma
ReSO(UCiÓ_ (_ula an_erjor en el tramoAB de m0era directa.
Cuando _a piedra asciende, su rapidez disminuye (4o + o)
en lOmrsencada l s.

_ttuo___q04s_hT21sox2_o_xl_____ax _c_A _ 1 t1tt_tt_l_lt__ J_llltt_1 b t01t_______ll____tl2_ooA_mrt _ sJt_tst_____3_5____Tmm_
lum breras Editor_ _í_ica
Ahora_ si no hubiera anaIi2ado el movimiento Comparando e_ movimiento de ascenso y eI de
segundo a segundo la altura m_ima también se deSCenSO tendreInOS lO Si_Uiente_
podacatcularasí
U
B
---__u_o _-0_---- ---------
; g_lOmrs2 IS lOrNs ! ls 5m
_! , _ !!
l ;' jj f1
msx ! t--4s
! Is _ ; S _s 15
; 2o_s ,l)l,
' T4o_s D _--0_-0'- ---------
l _ _
_ tf h
usendo_efo/,mu_,de_m.R_u.v. lS !;, _ IS 25m
2 _u2 2 _ 3o_s _
f' O_ ll
C ' _- __-f?-
2_ , t
; 3O_s
IGO_ ; ;
_. _m__ =_=_Om !_ ,_
ls _ ;!
También podemos not_r que el intervalo de !, ;
tiempa empleado en el asc_nso es 4 s. 4o _! _
' ,t1t,
sub-
_to puede _emostrarse al a_licar en el lramo de !_, - - - - - -
úscen__o la siguiente ecuacin: 4O_5
U_
,_b=_""Z'm De eSte UltImO _ráflCO _OdemOs verit_car
_
nUeVamente aS O Sef_'aClOnCS re_ _eCto del
40 mycL
_ tsub=- ' ' ' '
_ M un tramo, el tiempo e_.___eado en su_ir es
( _ 4 s l_Ual al qUe ell_ plea en ba J_r
b-
paf_ e_ movim;ento de descenso ya se ha (sub ~_ t_)
demostra_o anteriorrnente cuáles son sus _or ejemp__
características. En el pnmer segundo de descenso
t Jg=t4. =4s
reCOrfe' _ n_ _v Cn cada s__undo _ue transcu_e '
recorre l_m más que el segundo antenor. r M_ f , , _ 2v_
184

__s_auemeeatoombaatnata_ellgano_ _____alhbs_l_l_ll_|_ll___os__Frrtt_e_or__al_ll_lsll___tl a_ozas2t__d2Eospta__s dge__Fllmc_uol_tamdeles_ns__oe Dete_ft mmln__e___ssu raaJpl eldsellf___t___l|tlpc_2 _0________tl______u_____u_ e_ _g_o_____d_he 5 g de su
C,__íTUL0 iV _'__ 'O''i__v;'m___en_0_ _____.e' c_a__a- ai__w_
' A un mis__,o n!i_-__, ta __pi__2 _eI _ue_'µ_ _ei_FTi_i!'!___i__'' s, 5e._i _n la f___c__., ;-'_' _ ft_'ra _2 , !_
c__and_ ascicn_e y descien_!e e_' l4_ mism__ _s Ferd_' '1u__.__ _c. 7 s del ianz_- m_ent_
u_ub = ub,- ,, _? __,, J + l _,__
_rejemplo
_A __ ,A. v_ 4o _s ?h _ (+4o_(J)+ l __ _o)(7)2 _+3,_
Uc_Uc_=3O_S . ,. . J f F_.
UD_UD_=20 mrS s_ s _,
Se ha podido notar que cuando un cuemo sube y _ _ _
es, pn!mero, en el ascenso y luego en el des__enso. -4o _- _Qo+ (-lO)t_.
_gunas veces cuando procedemos _í las cos_ . , _
PUeden reSOl_er Sl abfe_amOS COn Un anállSlS veamos ut,o e-en, io de, l;cac,_o_ n de ias
vecton_ deI mo_miento, es decir, utili2ando las ec,ac-_ones vecto_.
ecuaciones vectonales del M.V.C.L., las cu_es son
_, __, +_gt Ejempl__
. _!na persona lanza una pied_a, __e__icalmen_e
? _ __, hacia arriba, con una rapidez de 90 m/s.
_ uot_-gl . .
Ianzamiento, asimismo a qué altura respecto de
_h _ Uo + UF t punto de lan23mien_o se encuentra. (Des_recie
la resistencia _el aire y use g n l O _s _J
en donde si __ maenitu_es están orientadas hacia
_b, se reemp_a2an con s;gno pos;t;yo y s; esta_ n , __ g _ l O mrs '
oFientadas hacia abajot con signo nega_ivo. _ ;
____s_s vecton_,_ de1 m _rc _ t_c_ 5S _ _ __
' ' ' ' _ _,__.. ,
: _ t,_._7S ;
_ _ Q0mrs _
; !1t c_ ;
; '_ ___ : P__'_d' ------' --- '__ '__ __ ' ' i- = 0 =__'A------ -
:, , ljf
: _ Reso(urló_
; _ Por ser el lan_amiento, ve_ical y hacia arjba_ con
O u_ _ QO _s empleará 4 5 en el ascenso_ asj al
.,,_,_0_. transcurnr 5 s desdeque 5e la_ó la piedra, ésta
'''' l'q ' ' - ' _''''' _' ' se encon_ar_ descendiendo.

_?_g_________________t_0_____l0o______________0__ __________2s_0 __2__4t____0_______o_0_____0 _00 ______ _ __ ___ _ ____________ ene_qu_e_ ___AB_____o_ 2___ _JB______f__ll_..._|_lf__l__f_f_____0 _3_sm ___llg
_y mbreras Ed itoiee f isica
Como el objetivo de_ ejercicio es ver _a Forma __emplo _
vectonaI del _.V.C_l. analîcemos eI trayectoABC. Una piedra es lan2ada ve_icalmen_e hacia arnba
' Clculo de ja ve_ocidad _nal. Us_mos la y con 30 _s _esde el borde de un ac__iIado.
eCUaCi6n Despreciando la resistencia del aire y usando
?, _?, +_gl g = lO _s__ ial cabo de qué tiempo la piedra
_ . es_ará 35 m debajo de1 punlo de lanzamiento?
u,= t+40)t (-lO)5
?,,. __ 4o _ so Resolucln
_ El enunciado lo podemos bosquejar de la
,_ Uf=-lO_i s_gu_e,te mane,a..
ia velocida_ F_nal na_ _ndica que al cabo de
S segundos la piedra desciende verticalmente , _ _ _
con una rapidez de l O _s. ; ', ' _
Nole que el _empo empleado t _ 5 s es durante !, _
el mo_miento de ascenso y de_censo, y no _. _
piense que es el tiempo sólo de ascenso o de 3o _s _
descenso. A B__' ;.;_:____ - - j - -
' 0lCUlO dC _tUfa _ _ USa_dO la eCUaCiÓn qi-_ _ !_
?____,o,+_ !?g,_ 0__d ; _
__ __ (+qo)_ +_l (__o)s2 ___ _!
h_200- l2S
:_ Jt=t75m ''D'''g
E5te feSUltadO n05 i_diCa 4Ue la PiCdfa Se Ap__ca,do_asecuac_onesvectona_esde_m.v.c._.,
encuenlra a 7j m amba o sobre el punto de se t__
I_ntan_iento.
.,, . _,g, , % . ,, _d ?,, + !?g(2
r _. ___!_'':i^_____'-____M_o_,_'___8_____;_:'_'__..__,__:____:,-___,._.__'__. ii'_'____,__,_,.';'_n:_,___ _''___,__::; __,__^.:_.^_____i_,_____'00_'_''_'_._o,_, _9i0_'0__i__0______'_i,'g_?___O__,___,__ __,___ ___o_..a__o_' _^'_' __, __'o__.,_.____!_t__' __ _^___.__ -" O _ - _B
: . _,_,•__.._..;.__.,. ,._.. ,,,...o,..,.,;o,0..,. .,._,_, D __e_,,;.,,.;o____'.,_-?.__;_m___s__;,'.__._;. .:_._. _';__.'_,,^. ,__0o,00'',:_x__?.,;;,.d..___;,0._'_,,o____._;.,0_o;,_j_,.'_,_. ._;_ _?__,._,,,,0..,_a0__._g_o_,.,_.______0._,_t_ ,,_._!....__,,,._,__0____,,_;,__,::_.;,__0__'___,_._;,__' ;,.!_.q, ;._ _'_,___;._a_...._.,o.,
_':'_''',0' _____'__'__' _' 'u__-n''_' o-'-s ë- -'_' ,-'_- b^ ;_ _ ê- _ ' 'o -_ j 'o _ - '; ' ' - ë - ' _ - i, _ - c; j _ m ' ' ê ' _ -, _ ' ' ' - n ' _ - - _ -:g_,o,,. ( 3_) (_+3o), +! ( _o)(2
__,__ ._D'''- _- " - AB 2^ _Y
:',,__;,, __'_' es necesario utili2ar continuamen_e el vector __
' UnilanO i,dea4Uíenadel_t_USdf_mOSUna _e _35__ 3of _jt2
___ re_la de signos al utilizar los vectores, Los mn,____D_
_;'_,_'''_' vectores que apuntan hacia arriba se _'''v_ ' ordenando_ tenemos
_?__ consideran positivos y los que apuntan hacia __B,_?_
_;,,,'0_ aba_o se cons ideran negativos. _or ejemplo _ __,o;, 'L,. (t_8 - 7) (t_ + l) = O
';__'_ U U=Ui _I_1_ U---UJ ___, f_=Js o i__-_s_
e__',_'_ ___drera _ _ pondremos - '''_ _8_,
_g_e''' _D_;,i_, _, +y u O _y _ , ___'; Como el interva1o de tiernpo no puede ser
_0,,_;,0o, ' _ ^ ' ' _'____,p __, negativo cons__eramo?_ (,, __ 7 s.
186

__ En_e__ttH_tF_aHm3so___3d___e+A_sh(2ac _ _1_l_ (_J H___ _____f5__(n33_+_ _)yfn_ d0sse_c_ rq(_bu_e_r utaangrdfm_____a_____t_m_0v_ o_act2__Ls__ eta__l cpo2m_?a0r
,ii,i...,..i,.,.i_.g.,,i.i ' '' ' ' __..i___.__. _ii_,.e,_,_. '',__. _ii,,' __._,,,i..r_.i.;. _;,i.,i,,_, __'.. ''',...i, _!.;,__..,' ._i_i,. __,.'_.,=,,;=,,_=.'. _g,'_._______. _'.i' _,__,._9,_i,.,e0=__D _i____.', __i,_. ,..,... g, ,.0. _ .___,__,, _i..._.i _, __c__'',a, _g;__,..._.;,,=. , _,,, ,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,, ,,,,,,,_,,,, ,,,,,,,,, , ,,,,,,,,,, ,,,,,_,,,,,,_,,, ,, , , ,,,,,,, ,,,,,_,_,,,,,,__,,,,_,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,.,, ,,,,,,, ,,,0,, , ,_, ,, ,,_, p,,,,,, ,, , , ,,,,,,_,,,_ ,,,,,,,,,,0,,,,, ,, ,,,,_,,,,, ,,,,,0, ,,, , ,,,0,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,p,,, ,g,,,,,,q, , ,,,,,,,,,,,, ,o,,,,,,,,,,,,, ,,,,,_,,p,,,,,,, ,,,, ,,_,,,_,,,,, ,,,,_,,, ,, ,,,,,,,_,,,, _,,
_ioDlem8 1 Aho,a _,,_,,,,_,_,, _,, ec.u,c,.
Una moneda se suel ta desd_ cierta al tura respect_
a le superr_c7e terrestfe. si observ_os que en el 35+ _(' _ 5(t'^ + l)
úItimo seeundo de su caída recorre 3_ m_ idesde 3s, x? _
/ a_tura (ue soliada la moneda_ __ lo s1 '
30_ __(
Resolución
Supongamos que la moneda fue soltada de una
posición A, que está a una altura H respect0 del En (1I)
suelo_ entonces al ser soltada_ su rapide2 inicia1 _ 2
eS CefO (UA = O) y FealiZa Un M.V.C_l. tal COmO Se __,_
rnuestra a continuación. _ H =_ _O m
----------A ,_0_,,- UA= O
_ Pra___m82
: Se deja caer una piedra desde la a2_tea de un
_ r _ ed__nc_-o-obsefva_
; por una ventana de 2,2 m de a_tura. LQué longitud
Y , f l, existe entie la a2otea del edi(i_i0 y _a parte
_+ - - - - - - B o0_.. ' super__or de la veneana__ _ _ o mrs2)
h=3Sm __ ls Re,o_uc__o_
1 i _, Una ve2 que la piedra es soltada (uo = O) desde la
.. ,. .. __ 0_ _, ., a2otea comt_en2a a de __ 1_
Uc se mues_fa en eI si_uiente di
' En el tramo de A hacia _ podemos usar
l _ . , _ .. ;' A __,_, _' __ lb_ O
____u., ,, +-gr;, _ _
! _
l(_o)(2 H _ _
2 _ ;
lII
. __ _ 2 ____+________nt____ B__.D._._,...0,..
iac tambie_nusamos U
' h=2,2m ; o,2s
I Jz
Ac_ +- _Ac
--------------- c--_,___,'.___
l ( ) ( )2 '
=-lO t+l __'
J
_ H=_(t_l)2 (lI)
187

_dcEpenes(tdlet22)c,ol2an_svue_pent2_rn_gc ( )( ) t __d_al__ __l_ 2 tA_c_eld__ra_d__es___tacye1er,a_ enetondnco_eses
Lumbrer_s Editores F is i ta
Del diagrama se puede observar que luego de R_oIucto_n
_bef SidO Soltada la piedra_ d_ciende H me_ros Cra__cando to que acontete.
y se encuentra frente a la parte superior de la
ventana con una rapidez u, asimismo se puede u,_o
notar que al pasar rrente de la ventana de ,___o _.
h = 2,2 m demora O,2 s. _ B __
_ , _-__o_s_
a _ en e tramO e C_ em_ eam0S ; ;
_ siguiente ecuaci6n: ; !
_ _!_
u;__+2sH _ __ --------
! C
Reempla2ando _
, 5s _ y,_2o_s
U =(2)(l0)H _,
en_onCes _
1 _
H__2U o (_) ;_
según esta ,elac;-ón, necesi_amos u pa,a U_=5O_s
determinar H; entonces en el tramo de 8 hacia
_en_e usac la s;gu;en_e ecu_c;6n_ _ ,. A _i0_ _ '
l r2
=Ut+-
Como la aceleraci6n de la gravedad es s = _ O mis
ReemptaMndo y en su a_censo la p_.
_ o 2) +_1 _o o 2 _ en c_da segundo de su ascenso la rapjde2 de la
2 ' p-_edrad-_sm_1nuyeen tomrs Entonce_ h_.l
Resol_endo lanzado la piedra con una rapide2 de u _ 50 _s
u = _ o _s _anscurnrá 5 s_ la piedra h__ _canzado su altura
m_ima y 2 segundos m_ tarde en C su rapidez
serde20mrs.
H=5m N
05 _l en y COmO e mOMmlenlO eS de SUblda
y de bajada resulta conveniente usar la ecuación
ro_ltm_3
VeCt Orl
Una piedra es laMada ve_icalmente hacia _riba
iede_at__en_talcomosemuest,a H _ I_f_
_ = UA t_c +- _
con una rapide2 de 50 _s. iA que altura se
_edr, _uego de 7 ,7 _ __ _o _s_) Reempla_ndo
I (_ _ o) (J )2
____,ii___i.l_i,___,...,',.._.i_._0_0,i. '_i 2
_^__,___._,._..,_;'.o,.-... Efectuando
'^-' - ''' ' '''' ' - --'_- H_ lO_m
188

_L__geela_tgt Fslegguurtan_,dp)_oaas_r_(la_d_tl1ela2hpalbers__tl_e_qs0_lt_atd_o_tat_p( ( )) y _2g_3__n___ 2h___n_?22?L?ooa______t_et(d_ra2l)(a___no52a?)(_t?d_as)e_ el_evafa_conu2__(cte)t __;____hv_n_
C__iTU_O _V h_xuv_,_je.___t__- __ _zí___ !,_h_:d_
__O_aem_ & 1e__aian_u !ì'/ c_n (l)
D_vs_e una __ttu_ de l DO m sn deja caer __na _ied_ ,_, _ 2 __,,,, _- _ ?_.
y aI mismo _em_ _esde la supe__c!e de la tierra
1,,2,,d, ot,, ;e_,,. s; l,, don_ ;ed,,s t;e,,en l, t __2 ~" 2_ (Y ' !') __ 2 (l O )(l O_
misma rapide2 cu_do se cruzan_ _a qué dist_cia _ u.__ __. 2__ m/s (l___
de la supe_1cie, las dos pjedras se c_aan? Nos pjden __ __a la pjedfa _ue su_e
1
ReSOlUC1Ón _l' _ __
a _ledra (l) 4Ue eS SOl_ada_ IntCla U_ = O Un
M_C.V.L. _ mien__ que la piedra (2) que es lan2ada HallemOS t
ve_icalmente hacia am_ba en (o Fma simuIt_nea, _ Para l_ _iad_a 4ue baja
comien2a a describir un M.V.C.l. con una u -_ W+gt
rapidez u2. Por condici_n det problem' a, lueg_
_,ed,a (_) u= l_ (I_J
_en2ado _a piedr, (2) e__,_, se c,u2an ,con igua_ _ _ra la piedra que sube
rapide2, tal como se mues_ra en el sigu_ente U = U2-_t
diagrama. Reem_laZan__ (l7t) y (IVJ _n eSta Últ_ma rel__in
_.__'_ ^ ,_-_o 1or_2o_-10r
A__ _ t-- _s
=lo_s2 !, En (_)
r '! Y h^
! _ _=75m
U _C
- - - __! - - - H_ 1 oom _, __ __e_ac _ _n , _m__nx___v_9_N ___mq _
ljl , _ _
__ _, ____ _iste otro _rucedimiRnto p__a re_'olvcr el ,,_
'_ ! pr_blema antenor. pare eltc pcdiamos ha_._r _
; h _ una abslracci6n, por ejemplo consideramo_ __
U2 _= __ c
_ quc s _ O. iQué implica es__? Impli_na que __
g t! __ l. L__jedrasoltadanocaeFáyul=O.
___ y realizará M.K.U. _
_ed,a uedesc,.endeusamos _ 3+ Entor_cesuJrec_rretre_t_egundos. ? _ __
__ H _Yw
u'=_+2_y :_ _ 'z--_ _/_,
t ,2_v2sy (_) . ,__H_l_O_ x__V
u2 20 _ _
P_ra la piedra que asciend_ también _ _ _
"_ AI consi_erar g =Ò para las pied_as_ es ,v
2 _ 2 _ como consideraf ue la Tjer Fa no los at Fae.
-2

_tuA y l_ _t r_aeprafpels_e____K__n_2_t__al_nl_e_c________a_____x_ut____ed_____me______poos_cuefponcsuent o ____t _0 t _ dg_l tlg_____A_00 _____mr___s_T____ a
l_mbrer_e Editor_ f is ica
Con respeclo al prablema anterior, para la i__l__8i_d, _ 5
pr_t_Ca te feCOmienda US_ Al __f un c_-o que se encuen_ a gr_ _lu_
_! __, respe_ode_p_l
- - - __0^
_ua Con una fa_ldeZ de l _S. lUe_O de O_S S de
U_ .
!, Cerf_ e CanO, e C OfrO em_leza a _asar por Una
__ tE ventana. demorándose _ __ s en pasarla comple_
,_ tamente. _etermine la altura de la ventana.
' lo e2
H ! =
j, R_luc1ón
j, t_ Lo que en cie_a medida hace sencjllo el aáljsis
_ y descripción del proble_a_ es que cuando se
_ _ _ ,_.__.v.. cierra el cao_ el chorro aún no p_a frente a la
__l_ veniana,. eso pefmite que pnme,o analicemos l
Se demuest_ que el tiem_ de encuentro (r,) es ro_ción de ta colu_a de _ua (c_o_o) y luego
_, _' su paso Frente a la ventana.
. t_ ,., ' _
" ..__, __'t,,,U,_-/;,.__..;, (_J (2)
donde 0^_ 0_'0 InUs
. ' de e , 0 __ _'_'' ' ^'_'t' '___. tt._t_tt______ ____'_ 0'_' 'i' __ ''''____'O'''__D_. _ ,tt.__t
entre los objetos. Uo = l _S __ _
Is __no._
_ : SepcUaCiÓ_ Ve_Cal iniCi_. _ns_(e en q4e
- _ - _ _ K_r_elc_o
l 2' = ' yempie_a_
tlchonode_ _t
nálogamente s_ puede demOSlrar pa Fa
_an,0ientos en i u,l d_,ecc_6n _ c_no. _,__g __ _
&_d_i_
l !___ _il_.
_ i V_:1_
P_emos noj_ q_e _I cerr_ el c__o, el chorTo
H _. presentaunadete_ir_adalongitud e (queincluso
_ se puede calcWarJ que e_ la separaci_n en_- e la
_ mh parte de_antera y posEer_or del chorfo s_n
,, _ r embargo ' '
LqUeOCUrre Ue_O_
_ _ los gotas que selen de-l cao, una __e Ln _ue lo
: t, hacen, expenmentan 1uego caída libIe y _r eIlo,
!; conforme se cierra el cano la repidez de la
: primera gota es mayor que la rapid_z de la
_________--_. utt;m,_. _e ah_ e,, adeg_f,te t_das t,s g,t,
Siendo u_ > u, se demuestra que el Iiempo de constituyen ef chor_o re__ lizan liI_ EnuvimieI_t_ de
alcance ((,) es . caida libre, _ero con _i Ferente rapid_z- Por ello
i,_ _ H_ ta longjtud del choffo de agu_ _umenta
:. ' U1 ___ , 0 conforme él de_ciende.
19O

qH_ulaæ__ecmrl_een_d____o(__t___u_s_o____d1le_s_d_________0 A__+00u____tll___________6t_)5e__sdefTluestra__ ( __) _kt_t____tt_______Nt_ttt_h________r tl_l______/_g_________h______t_____ _
CAPíT_i_0 lY __0v___i'eni_s _g r.__g__ €_s_?_€._a
_ i __ ___'_' _g__ __'_ _ gc_ ____'___ n _' '___,_ M-o - ______0, _-___;__,__, __,__,,_,D ,_,___, ;_,_,,_,___,__,_,a____8,,__,__ _ _,_ 0 ,_ :.' ^_v__ 4 I _ s_,_'
. _. _ _,.,_,, _._ '.,.. ',.....,. i,,,_, _,...,, _.,..,.,.,. _, _.,.',,.,. _ ,..e _o.,.,_.,,, _.. i, =. _,.,, _..,. _ _,,d, i,,,.. .,..,,.,.... _., _,. _., _..,, g _,0 '.o,..._,. _,,,o _,,,p __.. _,.,,,, _ _ _. _ ' ' _ _ _ _ _ _ _. = _. _ __ _. __
_o _ _ W' /i
'' __ el p_oblemi_ se est,_ __ un___de?and_ _.u_ el __e,_
__/ chr____ _-ea_u_esunc_njuntodegolM_las '_'0- _ ,_.,__,_ --1_Jç,;
a a_ (o _ __e e dl_en_, s_.n 8_ ' _
_g___,,, CU e5 CaCrt e__ r_la l_ n _ M'
intluc___c_ar unas e__ olras. Como saberno__. e, __ h M __ _fJ5 __
__ este m_elo no se aj_sla a 10 re_l_ pero e__ __'D_,_'_
__ __ecesaric_ para 1os F_nes _'el pr_btem_. _,,',_0__ ____gm_ _
_____.,.,.,,.,,.,..,oDD..,.o.,....,. .,.....,A.0d,,e,,..,, ...,,_0,0oo0,,,,,,,,,,o0,0,,0,,,..,,,,M._,,,,,,_,,0,a,,,,, .._4_.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,_,,0,,,,,8,,,,,,_,_,,,,,,,,,,__,._,_e',, __ _ . _ , b.
_!_-__C_C____ anzaVertti'__Jm__,te _i__a aJOC0'-i_
_ur_, cum_ _n_ica el prohlema, luego de 0,S s d_ w_ ._p_dez de __;o _ 5 __s1 _n __cho -___te _ _c ue_-_
Cer_el_,el__COm'e_a__tea_ un tubo, t__ como se _dica. sj c_and_ __n c,_nj,na
ven_ana y p_ Frente a ella du_te l , I s. Ve__Os __ndo_ el tu_ pfesent_ una F_p_de2 de _ 5 _s,
_ _s B ^' , ^,a= ^ q__é lo_-_______ _e_ el _t_? (C__e_ _ _ I O n_ __ n
___:-vD''_0_dO_'_____
_---------- _ _11_
_s __! e _ o5s ._'_'''__''
_ O ; ' 6_
___ g,tl_, ';"''_'
A l_s U_
S ' U_)--6 S -;.._
g_ L __;''',
: ' ' ' D
c.. 4 i:''' _'_,.
,, tr-l_IS _.:'____ i__
- h!. _ Resoluc{ón
_- _ Al lan2ar Ia esfera hacia abajo y sot_ar al tubo
!_ (Uo = OJ Se deduce que la esrera desciende más
D u __7_s i__id0 qUe el tUbO_ r_Ón ß0f la CU_l en _l_Un
inslante saldrá por el olro ex_emo.
Repre5ei_temos en un gr_f_co lo ac_ntecida.
_llI_,
__
U__) u0(u__O_,.: _
, .^_ Uot
_ __Uo F _ _ _
2 !,:_ !_ .
6 m y ç l _ m __ven_(_/quelo_ _ '!- _ __ t! !a_
O- _- ' _ _, _!------a---
Para que todo el chorro cruce la ventana es _,;.... ; __re_
necesano que su parte postenor (BJ en l , l s llegue "''- - _' _
a la pa_e in Fenor de Ia ventana con una rapidez _ L
de UF(y__ l7 _5. AhOfa _ara CalCUlaF h _aFa la
pa_e _steriur (_J aplicamos -_-
'_
Ua(g)+Uf(g) '___'_'. --
__t_ '''_
2
_Ien
191

_hhdDoetubo5nF_dra Le____ _e0st_;usqu__edlE_s__c)5l_e_mndde_l5a_tes_bo_fe_rhahatstaqule L__l|___2_dn_tl_l__ltM__2_lxt_tx___?__t___t_l_Kl______tt__ttr__9____t_22nu__(eto)nl__dl_r_N_?_elt__|__Th______ 2,
lumbreras Edjtofet fts ica
iQué _em_ ha transcurndo para _a es Fera hasta __IPn8 7
que sale del tubo? _ sistema mos_ado se encuen_ en reposo y al
Como su u0 = 5 mrs y su u, = l 5 _s entonces ser _ltada la pequena esfera desciende con una
_ rem l su esoI r t aceleraci6ndel s2 eroaltranscurn_f2selh__
l= l s.Estemismo inleN_ode_empotranscurre se rom_. Determine h sabiendo _ue la es Fera
para el t L_bo. _r otro lado podemos notar del logra impactar con el vé_ice inferior de la cuna.
gr__co que la longitud del tubo es _ = l O _sJ
l __ hesfe_a _ htubo (I) F_ ?,_, 0 _u
__'_ ? '
__'_i_____(____('v _
_s____ ____c , ; _. ;'___ _', ,'__'_'u__ ,
_____tv___,_'?t'___4_ _,_. _
abandona el tubo. __._!,_n__._,/____,__,_;___;. ;,;_,_!,;. ,!_v;,, _,
_ _'___m_'__?'___ _____ ,
:CSlOQUed_S_feneeU aSaqUea , _, ,_, ,,, ,
t8m_
eSFera lO abandOna.
Resolucin
ete_inem0s cada una de estas distanCias.
a eSfefa aCCIefa U__ifO_mCmente C0Il _ = l mJS
_ _Fa la esfer_ plantemos esto s;gn;F_ca _,e s, rap;de, a pa_Nr de_ ,e_so
aumenta en l _s; entonces luego de 2 s su
_e,,,,,_ _UO +2 U}' r_ _+2 (l) ,ap,_de,_, 2_,ydesc-_
2-
uo+u2 O+.2_
t _f__e,,_ lOm d= _ t= _ 2 _2m
_ _aellubo_luegodel sdeser_ltado_co_e En dicho intervalo, la cua tcnmbién h_br
_ 2 rccorndo 2 m hacia la d_recha porque est_ unida_
ubo _- _U__t ' j_ l , l, es Fe,, medi_te _, m;,m, cue,da (_en,, _gu,l
_ , aceleración en m_ulo),
t _ubo_2(lOJ(l
s lnstanteenque_
t _pelacuct_
t h_uho '' 5 m u _ o '_''_ ^;t2_, ___
o- !,__ !,_ U__ S__
Reemplazando en (I) ;! _. ! '_
;, '__ ; '_.. Uo"
; '__ ' .- 2s _ M.R.u.v.d
0tro cr_rerio par_ reso(_er _ '.;_ , - JW,
Razonemos:lacanicai_crement6surapide2de _ !;_ _ -4/_,'
5 _s __ _5 _s, esto po_ proF_edad de_ h_.v,c._ _ _'. __ ' _ h
_ ;' v=' _2_5 t
sucede en ( = l s. _ntonces, ahora si !, ! 'l '' __ t !
;', __. !_ _._C.L.2
cunsi_eram_s g_O el tubo _ sottarIo no cae y ;! ; '. __ , ;
la esfera lanzada con S m/s conservar su = = 'l :_' ' , _ G ,_1tl_,
velocida_ y fealiz_á m.R.u. durante l s. ! _ ' _ ''' ' _
_ 5 m q,e es _ ____!._ _m._.u_A
.t,dde_ cubo td_d__
am
192

__Nunor_smorphtrav__od_ce_anu L__holcl+,dlalleeg_ _tgtlfrea_rra_chol_te estabdlece que _ ___ 0_0_______ _______________o______________s_______ y ________A__H___ _9____0_ _n___t_J____ ___t___tlll_,__5mrc_g_ss t _
_APíT_!_O _V ____i____eni!__t4a__ ____.,'__ c'a__a _î__JA'__
_C_2___l_ le F_td _'eco_r__r ,__n u_ l_ _ü'j'___ _ar__ _!_C ,_,_._. _____ -_q_..,.._
choqu_ 5!_ vé__ice con Ia esfera que c___? LR f_ta _ __ !_ '!__'___.__c,,,_;;_ ______'___,,_,___,,_,__o_,9?.,_,__ .'__e_.__0._ ,!
recoiTef 2 m y lo recufre cor, velocjd_d const_t__ __ _. .'_ '_M___M;_'._:,__. '__ ,..'_,____''_'
e __ = 2 m/s, ya _ue al romper:_e la cuerda ya no i_i____',___,'i__,,=,=,_.',,__i__,;.='.__
velocidad_ la cuna reco_e los 2 m que le raltan _,_
dur_te l s. _r lo tanto_ el v__ice A de la L_una ; .
co_;,;on, con _a esfe,a luego de 3 s. : B, , _ -_ o '_'
_2om.R.u.v.d,,__e2s,y ; 0_ S-' ,_ / ' ' ' '_ . '_
ent= l sde_e recorrerh,yllegaralve_iceAcon ,___"_i _''_,_9.i' 'ii : !
s__ ''i-_-'-ii ,=_.' ' : _ O,5s
Un _ _ - - aCUemOS 2US_ O .,._'5_.__.,n__'_C_,0.. S s :
-P_o a0___,;_ __ _'_'___0','_,'_i_'_''__9•.,Di___,_'_''"' : _ _ l O _S t
1 a__'_'_|!i0
2= A 2 _' ' !. t.
_ _,=2+-2tlO)(l) ' _,
_ _2=7m ;,
_" 2+h2 :
:. h=9m D_D!4
p@__gmgg 45_s
Un elobo aerosttico asciende vertic_mente L_on
__de2 constante de s _s y a c__e_a _tu,a H M el grfaco, cuando la piedra se_ encuentra en fa
sob,e _, supe_,c;e de la T;g,a, un t;pt,___e deJa posición a alc_2ó su altura m_ima, mjentras
cae, una pied,a_ _a cu,_ __ega, la supe,f_c_e que en A ha presentado una rapidez dc'i _^ _. s.
después de 5 s. Dete__ne H. _ _ _ o _s1) Por lo tanto_ elIa ha debido de emplear _,í s p_r__
llegar a B ; el tiempo de subida es iguai ai ciem__c_
Resolucio_n _ebajada, _e B haciaCtambiénempfe__;__ _,_C __
Comoelgloboaerost_coasciende__e_calmente y como el_ un mismo nivel la r_pjde2 de sl_bid_
con una rapidez coM_ante de u -- 5 _s_ en tal es i__ual a l_ rapide2 de bajada, en C la re_ pid__
sentido lodo cuemo que se encuen_ en él se de la piedra es 5 nUs. No obstante le F,alta 4 s
eleva con la misma ra_ide2 _el glob_+ Ahura para caer al piso. Si cada l s incrementa su
cUa_dO el _lObo se encuentra a una altura H y la rapidez en l O _s, entonces jmpacta en el piso
piedra e5 SOltada, conservará la VelOCldad qUe con uD __- 4j _s.
tenía anteS de qUR la SUelten _ _f e1lO_ Se_UtFá Fjnalmente, la altura H será caltulad_ con
elevándose e iniciará un M.V.C.L. Esto ocumrá a
_artlf de Una _OSlC1Ón A y eI _l ObO COntlnUará H _ __ t__ _
eleván_ose con rapidez constante t_ como _e
mUeStfa en el Sl_U1Rnte dia_fama. ._. _ -_ loo m

______æ________ _t_l___| __ _( 4 ___ _x_ __t___>_2__g_ ___((t _ __ _)_ __) _ _ _ __l___t_t D___ _ _ _ _ ____ ;_)
lun_b reras Ed itores física
Pro___9
Una nave es_cial _ _leear 3 _ _taneta desconocido se manLiene cn re_oso a ci__a _eura respecto de
su s__er__cie. Un t_pul6rxte _es__ medir la _c_leración de ta eravedad d_ dicho planela para lo cual
deja caer un_ _bjeto y 1u___ _e 4,_ s el tn_ula_te presinna el timbre, emi_e un soni_o y _canza al o_jet_
luego _e _cc__er 60 _. _i la _a_j_ez del sonido _n el planela es 300 _s. iqué módulo tiene la aceleración
_e la eravedad del plmeta? (Despre,cje la re__ten__ de la am_s Fera _l __onme_to _el _bje_to).
Resolu_ón
Pur c_ndici_n del pro_lema, e! _bjeto se suelta y la na__e se _antiene en reposo (uM_ = _J, lo cu_ nos
_ermitirj_ d_dUCir qUe eI O_!et_ iniCia SU deSCR__5_ (U_,_,_, = O) V__iCal (ba__ la aCCión de la atraCción
de plane_aJ. _n tal sentîdo e_ objeto reaIim un M.V.C.l. t_x l como __ _ues_a en eI sguiente diagrama:
_ _oa_ U_n_ O _ o_ _a, uMn_ O
__^_ _ _ a
___,_sm__e_ti,;q____ _ ___ ,0
,____ ____ _ _ __ __a,_:N_,_v__,_,_,_J_ ,,_____ _0 _ ___',__ _0_ _.
: ^' Y '^ ' '' ''f''' '_ _ _;_ 'X '^-
__ _ gs _',
! l--_
!_ __ ;_i
t _ _ t1
_ !.___.._.____ __._____._______d_6om._______ ___0! B
8 t
2 _
,_c
_
_n _l di_rama se mue__tra que lueg_ de t = 4,8 s Reempl_ando
d_v h_befse 5oltado e_ objeto en A_ este se 6o l t +r 2
--_l _
e_cuen_a en _. En ese iMtante el tnpulanle toca
l 4g 2 .
el __bre y la _n__ s_nora que se gene_a log_ 6a = -2 __ , + t2
_C_ al objeto Cn C al pfU__arse 60 m (por Se_Un eSta eX_feSlÓn neCeSltamOS t2 _ aSí
c_n_jcjón del pr0b_g_naJ _ra lo cual vamos a dele_ln_f _,_ _ara lO CU_ COMid_ramOS qUe eI
sonj_o se propaga con rapide2 constante de A
1 '
.eto de A ha_.a c este haCe h2_ia C y recorri una distancia
dsonldo_Uson_dot2
_V____l_Y CCcOrre_a
e_mplazandOdatOS
1 f2 6o_3oor tl_
=__,+-_x _ 2 2-_
. __4gs2
194

_RdgeesDAo_l_u__cl _0_g_ _ __ _ _ _s __og_R____ _ _te0tR__ t_ __c _ ____tR tB_p2__2__(2g__2__g___K__l )pcp_t
CAPíTUl0 lV' Nl_v_m_____-s __ _ _,a_da _i__e
____i_'__l___ i0 _ _a el aiilI_ scIt__ d_ _n A e__' _e Ic_____e
Des_e lL_ pen(ena del _o en j_rma simult_-ne_ , _ _
i1los l;sos enA _ c _cu__ l de el,_.os __ "- U, _j_ __ U__ t _p
llega pnmero _ punto _, (Considerc que BP es
.,,m,t,o ye_,.c,,j (_ob Jem, d, c,J,.J,,. J0gJ 2,c,so___! (gcosg)(A 1
B . ,_____
,0_ _ Para el anillo solta_o en B esle _escieI_de
A _
_p"UBta_+2aB_t8 2_
_ .
a.._. O
___I (g)(,2
P Finalmente, el anitl_ sollado en C recone
_o_n d,p ___p/+_l,cp(,a
L_s 3 anillos lisos resbaIan _e modo que de B
haci_ P el anillo resbala con g, pero 1os o_os 2_cosa_ 1 cosa r1
resbalan con una componente de la ace1eración
de Ia gravedad. (_t_ se _emos_ará en eI capítulo R
-na_m_ca) dedonde tcp=2 _
A pa_ir de los resultadus obtenid_s, a F_rm_emos
__' ' que los _es anillos Ileean simultáneamente a P,
,_ '_ con recorndos di Ferenles.
__ ' __!! !!1 _
_' '_ g Proal_m8M
_ Se muestr& a una canica luego de 3 s de haber
_ _ sido lanzad_ ve_icalmenle Si a partjr de dicho
__ o _
se 0 ' 0 '__ instanle, desciende l5 m m_ hasta que lleea al
'_ . g à c luear de l_zamiento_ determine el _em_ que
_. ' O S R ,// estuvo en asceMo g *_ _ o _s2)
g _C0 0 aD _l

_d __ _d___ ____ _____t_o____y|__ __ B _r_ _En___(t___e_t)e_____e_____2____s_nt_________l,l__5+mr2_t n t_>_____s___v___ __ ___________ _ t
lum b rera_ E_ jt_res F ís _ca
Re8olucl_n n_cesitamos conocer la rapidez de la_mento
Consideremos que Ia cani,ca rue lanzada de uo_en t_ sentido comodeAhaciaB se conoce__ el
_a posjción A y Iuego de 3 s' se encuentra en tiempo (t _ _ _), la aceleraci6n de la giave_a_ _)
una posición B. Ahnr3 según condicin del y Iacanicaestádesubidaybaj_daemp1eamosla
p?_oblema cuando de_cien___ l5 m a p___rijr de _, siguien_e ecuaciónve_tona1:
c_t_rna al lug_ de lan_miento_ entonces para ?? l? r2
h=Un t___
_ue suceda lo _escnlo ia canica ha debid0 de ser L _'
len2ada __e_jc_cT_gnie hacja amba, de un njvel Ree_l___ at05
infen_rdelnivelquecon_enea a;t_c0ose +_s ? (3) I ( _ o) ( 3 )z
-0 --
m !Jes_a.
DatO_ t_ _ 3 S Uo _ +20 _5
U -_ O Seg_n este resuftado _a canica es lan2ada
_'_C
, '' __'_'__ VerttCalmente haCla afnba _Or el Sl3nO +) COn
_ _ Una raßideZ de U_ _ 20 _S_
, !, _
U !
l_._
,o,D. _ _ - - - _. a _ - - - _ - - - - t i u _
l_t. I_l
. _ U _ __,
h--l5m_. ___ A y B sel_sj__ entelat
_
A ' cOmo æ muestra; determine la ra_lde_ de la
_'_ de _o' _ _ _ _ _ esfera g en el jns_ante en que es_ lo más cefca
o _ .__t_ n" i__ n '_' _"_ ' ' '''_
_sibledeA.__ lO_s
U_Iizan__o la _ropieda_ de c_da libre que plantea
5
que c_d_ i s 10 0llur0 que r_corr_ uaÍí_ en lO m,
--__'_'_,'_'A
edUClm0S qUe lOS UltlmOS l5 m lOS reCOrfe en It___I
l s v_, que la _tura anlenor (de C ha_a B) es _ m_ ;
lo que de_0ra en dicho _amo es I s. gm _
Pbr _tr0 lado como cada l s la ra_ide2 va_a en !, IO _s
lO n_s deduc_mos que la canica h1e lanzada con ;
uo = 20 _s y ug = IO _s; en_onces demora en !! B _. _,,
_cender t! 3m
l_=2s R_o_ucto,
__0 _t_O (Y__dO FÓMUl_ 0_CtO_a!l u_vezquelases Fe__nl__estas re__'
COm0 nUestrO ObjetiVO en el _fOblema e5 simuttáneamen_e m.v.c.L. Ahora nos p_den
detefmin_ et _em_ de SUbida_ dOnde dete_ la _p_de2 de _a _Fe_ g en el iM_te
_ _U_ _ _U qUe est lO máS CerCa _Sible de A, eStO OCUm_
sub
c_do B se encuen_e en el mismo nivel que A.
196

___ (_g__u__h_+_)_g____B_._l__tl__tt______1_|_ __________00l____0_ ____ll __ro_t_gmg_3__ ( _ndo
CAi_TU_O _V ,____!_je_!0s _e ____!__ _i_;__
_a e__amos e! hecho _,e _r_cjsa_ si las esf__as rara Ja _>_ _'e_ra _
__e e___uentran en aSCe_S_ O deSCenSO, _(___J_)_(+_Jf-__2 (_1)
su__neamus 4_e cuando la.s e__feras se __, _a _sf,,, g
encuentran en __n mism_ nivel, ellas est_n +__(t,lo)r 5t2
descendiendo, lo cual transcurnr_ lue3o de t xest_do ___ ___v
seeund0s de hate_las lanzado sirnultM_ eamente;
. . t_l,__S
al COm_ Se mUeStfa _ COntlnUaCl n_
(N) en il)
U_ --O u.__ +_o-(_o)(1,6)
'; ' _. u=-6_s
; _ g_ lu_s2 Segun e__le resuttado_ cuando la es_era Y se
_ ;' _nLu_,ntr2 en ef mismo r._ive_- _ue A, ella _e
; : t encuent_a descendiendo y con una _ap;d__ _e
u__5 _s ' : 6 _s, lo cu__ l se corrobora con lo su__!est_.
: u=O_ - - - _ - - " - - - _
4a___ _, ;. __ _ _ _ ___
!. ; ; _os esferas A y 8 se lanzan vertical y
! ; ; simultan_ e_mente hacia arnba, desde e_ mis__
_11ll__ _Wmt_; ; nive_; ___ego de t segundos sus velocid_des __n
8m ^ j_ -U y+4U, reSpeCtiVamente.SlA SelaMC0nW,
U !, t dete_ine la relacjún de rapidez en e_ iMtante
h _! de laMamie_to de tas esfe__ as A y B. (Des_recje l_
! resis_encia del _re)
Ug-- lOmrs
- - - - - - - - - - - - - - -- - - - -- - -- - - - - -q0a_6__g_, Re_o_ucin
Una v_2 que _as esfe_ son IanMd_ vertic_mente,
Del dia_rama, cuando la es F_ra B se encuentra e_as re_izan un .M.V.C.l. y se__ el enunciado __
al n_ismo nivel que A, presenla una rapidez u. esfera A e__ lanMda con una rapidez de __. Sin
Ahura para determjn_ u examinand_ el h_.V.C.l e_baqo, no se p_cisa con _ué _pide2 _e laMada
de la esfera 8 _'onvenie_temer_te em_Jeamos l_ la es Fe_'_ B, entonces consideraremos que la esfe_
síguiente ecuación veCt_nal: _ _e J_da con una _pide7,UB. Asimismo se sabe
_, ? ?r quR tueg_ _e r segundo_ de h_e_e lan2ado las
F- o
es Feras, las esfe_s A y B presentan una velo_da
Reernpl_ndo tenemos de _, y +_ ,es_c___ente, en donde e_ s__
u _ +I O - I o_ (t) neea_v_ no5 indica que la veloc;dad es_ dingi_a
scgun esta relac_,ón neces_tamos ( paf_ hacia abajo, mientr_ que ei signo posiEivo nos
detefmin_r u, paFa lo cual emplgamos _a lndlCa QUe la _elOCid_d eStá dl__ida h_Cia afnbY.
s_gu_enle ecuac_ón vec_onal; En t_ _entido, la es Fera A debe encon__se e_
_ _ _ _, desceMo men_ que ta _Fera B en ascenso. _
- UO 2_ como se mues_a en el sigwente di_a.

__nErlgcceRsst_e_tcuaso_ _u_co_u_lm____w____l_ _do __a__l______ ___sF_era__A _sut,_,ll__bemy ba_ _u__l__l u__w___l_ll_l __t0 _ l__tlt___l111_ttl_f_ tlo
lu mbreras Editores física
Ahora __m_1Mamus (II) en (Ell)
4u
____ __'_
It _l- /.
fU tl
; R_Y8
: Orrom_todo
,' _, i Como se lrata de un h_-R-l!._/. p_a un mismo
_, ; _. inteNa3o de tj_mpo ocurren los mi_cmos cambios
__ ;t g l -_. t deu_ entoncesg Fan_camentep_anteamos
,,p;g ; _ __
_"'____ _: ;, ,_,_,_g_. 0.,____
! i_ _ ', to _, to
Ui-3U 'Yg ; W
. _!_,1
__ d, _.,. _. _... '''_ _,,,o_.a _ ' ' '_o _ " ' ' ' ' ' _' _. _ '^ _ _ ..._,, g_,0_o.,
_mlo '''' ' ' ' _''_'_ '' '_ '' ''' ''_.'' _' ''''''"'- 'l._l _'___f_
' _ _ tD
__ COmO _lden e_efnun_ !, to
__U___3U ' V (_J iw ___
B B
_,t,m,s, y, p,,, e__, exa ,_n,mo, '___o_ ' :! ro
_, t 1 f Ju
î__epcndientemente el M.V.C._. de cad_ esfera. :
.aes ; ___0_
conveniente empIeâr la si€uiente ecuación ! _ _
VeCt_nal: _- l'B=t_
; u_gr _____ _____0_0'_
f_ G _._, v..'_. .,,...,,, '_,v,,;._v'_. .,.._,_... .;.,.____._;,_'.,w,_: ..._,_. _.;.._._,,,' _,, .....,,_.... _..v_.._v,;,
Reemplazando
_, __ +_ _ _of Gbsérvese que
i R_a ambas es Feras transcurre ieu_ intey_o
_'_5_t (_ll) detiempo.
_uego para ia esfera _ emple_os la siguiente . _ Cada to segundos la u varía en u m/s,
ecuacjn: entonces se deduce en forma regresiva p_a
_ _ ? dQUeUg_8U
uJ.uo+_t
05_lden '
Reemplazandodatos
_ =UB- 10l (llIJ ' uB _ 8u - 8
198

_una ve_2__q_u_e _a m0_n_re_s___5nd_?__??tat____?____e___?_?___s__?_9_?_1__9_____s____|______l__cot?_?l___t?_ay_dtb___a000d0_el gl0bo_ _ Reem___d___p__ml_aza___t_u_nA__dm_to_+6__d___2___a___g_t_Tl_tot__2s_________l_ll__||_0_?________030n0_0?_l0?0_000n0o0_l__00_0|__00tll,00_c_c__0m0l0e1l0BB______o_tJ_t s_
píTu_o av __o__imiRnfo_ de _a : da _ _ _re
Pr____m___ r
Lo5 _l____ aer_it_tjc_5 asciende_____ic_Ine_t__ /
o,, v,tn, __._d_ con,tante. ___, en et ;_,_,_ta___te J _ __ t = 6 s
fn(__trad_ _escje e_ gt___A sc_ 5uelca l_n_a moneda , ' __
y ___pgo de 6 5 la persona u_jcada en __ gl__h_ _ _ !_ i g
a_c_pal_mo__e_a,dete_ine_a__Nßide2C_._l_Ql__ ;! U_. !_ _!
_t__ '_, _; eg _
_ _ A 9__n ; ;!
____________. _ _, _ __ _ d _ _ ,_6,U
_ Ul __ ,u_0_00___
90m
_ q Del di_gram_ se p__ede not_T que
l_rmJrs __, )__ '__ ___
,, ;/? , _ j _ _ d _o _ _ g G 6 __
__v _ _?_ _ _,,,0c___ _ B m -_ -_
_, ------------ _ ' _ __, _____?0000000_000_D0_,_ _ dm_3om
!! :, _ __ _ como nuest_o p_op_s__o en el p_o b lema es uA_
_ _ tl entonces durante e_ monmiento de Ia monedal
de A hacia C 5u de5pfa2minto es ca Icu 1_' _ le c_n
Resoluclón
adquiere la ve!ocidad de dicho globo y _r ello
se sigue elevando pero _ectada de la aCelefaC1n
de ta _favedad, en tal SentidO Una _e2 QUe la _3o__u (6)_s(6)_
moneda se suel_a re_iz_á un M.V.C.L. con una
__ideZ iniCial __. AhOra COmO el _lObO B Se eleVa u __ +25 _s
_ velocidad conslante se tiene que en 6 S Se . .
eIevará dg = uB l _ I O x 6 = 60 m; esto signif_cáa _ . .
que l_- persona ubicada en el globo B desde el . .
instanle que suella ta moneda hasta que la atrapa ' .
se eleva 60 m_ tal como se muestra en el siguiente
dia€rama.

_!T__ _____ _lo/p_/ r_ __ _ __l_ n_ _ _ _ o a _____?________J___ t______ ______ ________y_0_ __ q______?__ _______f_ vcM5m____________)t_?_t_t_____g______??_______ulJ_______30__tte_
'v __y_______ _A__&_l_C_ _C ___A _____
___temovimien€o_ue__m_saan_li_ar.c_mo la _nió_ _e __s ri____imie_(o._ ___e se r_a1j__n
t__os j_s ;__vimient_s _e _aí_a li_Ie, es !_na indepen_iente_,'sirnu;_!,_ned-m__n_e, _egún_aji___c
a_T___'J__ci__dac_35__-r__â- _es___on__op_re)emmlu; eJ mo__imiento de1 _roy-Rct_t _ to _,_rg_ _e _4_
ef fmn2amjcnt_ de __ä__a_i_na, e_ salto Iar_o, eI hor!2ontat es u__f_rme, es _e__jr_ _H__ cte.
_a'___T_ii_t_ _e u_a p_Iota de béis_ol_ _l _!!s_aro mjentfas _uc _ l_ f_rg_ _e la yert_cal es
de u__ _ro)__?!if _____c un ca_n, ctc. Comu un!F,orme.m_nte varj___ de_id_ _ ___g consideró
_r__em_s ver, son inn_me_a__es !_s situaciones conslant_ la acele F_cjón de l_ _Favedad.
___{_ _'_ __ __me)_ _ un rno_im-iento can tr__ __ec toria
_ar_' _,__ _ica. m_ O_' tent_ __oque
_; _. h / n ?_a___ico de G_i_eo
___U l_ de ùiIStlC_, __leCe Q_e C_ el
_R,_J__ _;mient_. _m__!!sÓ e) a__j_si5 de_ m___mie__t_ __- _u
d_ _--__s _r_?_cc_i_es; so_r_ _o__ _ara o__e_ner l__ u _ '___ u
Y_ "
maYr__v,es _lc_nce_ h0fi2_nt__ !_s. i,_s eruditos d_ - i 0H_
_ _!e__m __ _c_ cons_,_(_,r,n_an ,e l_ t,a ect ri _v '' __
;pa,___e!ic,; _ue se,_,_,,, _os D,, yect;_es e,, e_ _ _ , L _ ___=g_cte.
;__suilad0 ___ connicto en!re la atracci_n de la
. _ , U
le__y_ In)__JCt_ e Cllerpo__efaCOmU_Otel_la_.
_______mientc _a __ inercia, n_ _odían expJicar
_at'_s'_acto_;am?nte el mo_'imientn parabtic_-, s , v e ,__ _ _ _? ' ^ ' ' ' _ _ > _
, " _? 0 _ __? _ _, '9 _ _ __ _0 __? _c, _ _, _,_ _,J_, m :e 0_ ?, _ _ _ _,?, :_ _v,
c __'e9 __, ,____s,,c_,?_,_,?,,e_,_m_____J',__c_m,__,_??,,,,____?_
_' _,_,_ _ _,_'__ _v _?__?__'J__'''?___ > __^__,___,_?, ___
,' _ _ __ ^ ^ _c?_ _?____ , ,_',_,C_>__J __ ,?
' _ ____?_j_____ '" _,_v^,____m____???__,
' . c1 _ __? _____9_V ,^ w_ _n_^_^_' ' ___'nc"__? '__t_ __ _'9?^_
_ -__---__kaYPC1Ur_d_e ,v__^?v,_?_ ,Lvv n^v ^ __?,___ "___ ':L?_ __ ____
/',_- , ,__, ??__ _,_,____'_ ??,, _ _ ,_ _, _ _,____ ,_ _ _L_ _'_ v _ ,__ ,?____? , _ ,, , , _ _??n
_ '_' __ ___^___ n_'_V__ ,J,_,_ V _ ___'^_,_ ? ' ___,__6 __>__,cv__5,,c_C_'__u???b__c
,' ' _'_ __ __,,_________,c__0?____?_ _^__00____d'^ _9c_, q _____?L__m___0_
,' - - - ---_-_ ___ _ ____,_'__ __n _ ?___m_ _ _ _ ?_c_____-- _^ vc?_?
,' ,_' _ _ _ _ _,n, ___ _ _-n_ -___?__>___ _ t _______' __^__??u___
,r _' _ _,__,_aa ____'___ _ ^___ _., ,_ :_: ,____ _ __ '_
___'' _a,T,,,,,,e_-_ '^____,_g'_,?,_____ v'_,;_-9_,_0 ?' -- ,;_,___ _ _
__n_?, _ __ _ ,, , _ ,? ____ ___ __ t
___ ____c ______u_ _^ec_____,__c_^__?___ ,._ _-___q_ _
_ _ __, _ _ _____ __ ,?_ c?v _ _ ,_? _ ,_ ?_ _aL_ , ___ , ____
__ ____ ,___ _J___,___' __,0___ _, _>i____,_?g,?_ , __ _,,, ,u,7 _ _
_3 _,fu,_,, _,) m,_,_.n_.e,__o _, 7,,_, ,,o_.ec(,+,e, _0 _____'_,_c'___ ____ _0 ____en ___,___ -_ _____'_e8_, _______'_^_ ___ ' __ __ __,__>_?,
l_ foto mues_ro _os orcos _orobIJ_os que sJ_uen los
o r__- _-_i'v'x__ _a rna_c__ _s t_t_ _a_i !eo riùli le i, ya que _ ,
- IfUIUS tnCOn CSCen CeS qUe Se _rl_Ina_ d O Or_ e
cun_i_____b_ 4ue dic_o m__'jmi_?_to res_ltaba _e so Jd
(_) Ine_ia __0_i_da_ _i_nad_ a fodrJs I__ Nem, os p_r la cu_ ttenden a c_n_Ner su moylm_enta (se am__iaf en e_ ca___J_ _e
__n_micn l.
200

___D_______ ts___t___ 0___t___l_0____ ______ ___ _ _ _ __t tt__t __t_ _ __t________ _ t_tt____ _ ____v_s__ar______ct_ton_a _ l_ ga_m____e_4n5temt__ug_tc__md__p1s_o_e_e_l_eenm_rnt_t(_e___e___rt_
CAPíTULO _V M_v_mient_s de caí_a _b0 Fe
_escripción del m__iinjent_ patab0li_o .'. i_T cJ__-_ S, _i 1_ _ie_ra __._v_,_ia 30 _ en icha
_ _ o, G__l__eo _7I_C____J__i_. lUe__ _n 3 5= d0tf _ __f_ _Tt.
.SmeI__S a !
. . . , _ . _ Tr'ini____I _l ai_C_nC__ _lOfi20n___ (_-j_ r_.___i2_cU
__rn_n_I Oe 5i___!en_C_S0=nJ_n____-i__ r__e_i ii__ _'
_ 3_ _ _ d , _ d un s_ p__r_de ___31__!iar âs_J
__._0nt_ mR_te COn _. .S CS D_ __ a t_ _
__._e,Jii_,d., p,, _,n _o,,e, (co,,;_dg_,_e € - _e _____) _ _ _ u ( _ !;
-J'^'' '_' _' i_"_!!
_i__ _ l7_" 3_ ___ t _ , s _ t _ - t_ .___
. p_-_-_i_,i_ _ _____ __ RS __; l__ì '_iV'__tO ae Ii___ta_ _iiJi
_. _____'_____
,,.,_.,___' UyM . ___^;_7C___arU;'C'!__ __1C___ _CC_
.,,._.._0_._.... .__c_..''' '__. q. _a_rav_ l__
' i_,'_' _'e__ì'_x'____ent.e
-_ ''___ ,. _d;i_ e_t.___ _'_iec-c;____. t__a.v I_ jr_M_e_î'_ _e j__
e_ ir_.._i__i('J;-f. _e _a _erTa. __i_? se ief,1,.__=_ pn €?1.
He an,uí Ias' sjguicnLes _on._iderd_ ci_Jn_s: ,_ (__,to ,_,_ e;_e,ce s_;re _a __m,_.;_,c;c_,_, d-e ;,,,,
l. Des_reci_m_5 efectus _e1 aiie p_ra que __ _,c__,_._,__;,d,,,_,_ __,_,c.e_,_,_a__io_n _g _u?_____n,.r_3 F._r !,_
pjedra est___ en raíd3 l',bre, s__u bai0 e_ ePect00 __ g,_c,__;,, te,,___tre) _e mc,do q_1_ cada _, _s _. .__
_e _-aatracción lel_restre. xJe_,oc_id,,i,.a_ ve,t;c_) (,v_, _umg_ta en _o ,,.__, _,
__. CO_)a el 1__mient0 CS h_n_Ont__. _ l_ D_e_ra t_u _eccent_o aument_a tambj_n en i 0 n) _,_a_,,_
se 1e comun_ca velocida_ soto cn Uiiha u3, se_und_- Efect;vamen,,_g _u,,nte e_ pr__
d lieCCl_n U_ = 30 m_ Y U__ = 0, C0mO el alrP __egu_d_ _e_c jende 5 m, _uego i j m. 9 des_ p__s
no ofrece resisten_ja ésta no c__mbiará. 2.__ ,_ a,___ suce_;,.
3. Ye_ic_Jmenie ta piedra inic_ia si_ movimient_ _,e,t,_cal e_t,_ s,J_et_ a _,s _eyes de_ mov__m,_
uv = 0 y por acci_n de la ace_crac_ió_ de _a ve,t;cgl de c,_._da _;b,e ),_ _sgu_-_an
era-_edadencada l ssu rapi_dezv_aen lO_s. apa,t,d_ ante,l_0, de ehl_
.'. Con l_s consideraciones _' 1anteadas ei desp_ag_;ent_ve,t;calen3s_,e,__
movjmiento de la piedra_ será así d _ (5 + _ 5 + 2_,) _
A uH--3O_s y para cualquier instante de tiempo se pued_
g_______- ---------------------__--------_
- _ -th___ _=3O_s 5m calcular así
__.e_ Uv_ __ __ ----------------------
_i:_:, ; __ d u _+ _2
a;_ .. S __ls __m v---oV ä'
'7 = _____. uH_3o_s
!, '' __--- - - - ----- Debemos tener en cuenta que la vetocidad
l _.dv=h 2o_s __ dg la piedra en cualquier jnstante es tangente a
_ '_Is 25m latfayectofjaparabó1ica.
_ '_ __recta tangente
! d B ___=3O_s ''_
_ __ H _K..,__'_'_ _ . -_ - -__ _
', a1cancc r __.,.,. H
_ _'_nla1 3o_s._ '''___,,_. r
-. Uv ':_:
._m1.ento de _a pl.edra es un.,(orme de donde, en función de tos componentes
' de F_nimos __ectonalmente
entOnCeS U_ = 30 mJS Cte. y en e5ta dlreCClOn _ _ _
_fenen cafacter/fstl_cas del m R u Up = UH + U

dnlt__uoel_sctc_e____o__planxy____ ___,_______tts_tl___ ____lmt,_t?___a_ __ t__ _t l t_ ___v___ _ spor__tnlt__a_n__ot____(H_____ ___y____t_0(___)o0_o_)___ ___HD__%e0Q0____(____ 0 0_0_(_)__)____t_g____0
Lumbrgras Editor_ FíSi Ca
_ módu_o _ Horl2ontalmente se vcn F_ca un M.R,U.
_ _;') x__t
.,Up _ ..ll_'t,Uv .
._,, . _'i _
amJlen eS lnll.iO__ante teI__r en CU__ta qU2 .'. t
. . _ U
en l_dO lnSi_Mtc a aCe er_Cln de 0 _Ct_ eS g V.
en af_______s ce_so.5 r_0dem0s _escorr__0n_r_a ' V__iC_m_nt_(__"_-V_i_l_-)_usamosla_Cu3C_'ß_
-_ ec (angu_a,rfnen_e por e_em__,_ ve__ton_t
' _ _ _. "__ _re_'tano_a} ? _ I? 2
' ' _ _ ___ __ t' = _r,i_' t t 2
'', __, ,' Re_mpta7_ndo
S___!__o'_i
'__n_ _ _
r _ _' X
_, : ' Y_ _+_2_N
, ,'C___ Uy U
, '_ ; _ _'__c'__langente . .
,_' ì__,' __'..t Im_ lflCandO
_ '_ __
'- _,,-(._-_, x__
_ _ ''_ 2l1
= i/N +. 0. :
_ ' dond_
_._ = 'Cel_faCi6n nO'mal (Cambia S0lO l_ __, _K ; K- _ constan_,
djrección de la ve1ocidad). 2UH
___ : acej_ra__ión taneencial (c_anlbia súl0 el
mdu!o de la veIocida_J.
2
_ora pa__mo_ a demo_tiar que la tr_yectona
es _'ealmente _a parábota
e_ la ecuaclun de una pa_ábola con vértice en el
OmO el mOVlmlen_0 OC'_rfe en el _IanO
on_en de coordenadas y com_ K < O_ es cnCava
Cart_vS_anO ; Sefa r__C_ S_flO h_ aF Una fe aClOn
o _bierta hacia abajo.
en_,re dl_.haS CO_fdenadaS. Em_e2amOS lfa2andO
. . . ,d n _or io tanto, la _i__dra reali2a un movimient_
i7 C_eS!anO C_a _n_eI) COl_Cl e CO
,, d _ . , parabó1ico de caída libre (M.RC.L.).
a __5lilU_ e anZaml_ntO _Sfm_ Y
?x '- _:? _' ':_: '''' '" 'o ' _' " ' ' 'o '" 'i^ _' _i'' _' '' _ _ '_ _ _' ' __ '' __'_ _'' _ _ '__ __ ' _ _' ' '' _ _': _ ' _ ì ' ' /' _'___ ' _ '' _'- ^ _ ' _'_ '' _ ' __V '' _ __' ' N 4'_ gg__ Mc,_ , _; _ : ____ _ _; _,__, :' !_ :_>: : _''__' _ m "_ _'''__ _'_' ' ___ _ ''v _' __ __0_. __o,'__ _' __ _ '',,_; __v _ _.__ _ ____-m' __ __': :_ ' __,o _ __. _,,_ ___o._,D_. __ ' _' __ _ '____'_,,.__ ____., __'v ';' __ _ '_ _. ' _''_ _ 5-__.; :_;' C_'' _ ____,'_g _ _ _:d'___ _'_ i'' 0_0 0O_, '_ '_0_ _ __! _ _',s
t_ ' _-__v __ _ _i _ _ -_0 v,._:.:.._ _ -;_-_- -. _'_,__,'_'__S' _.:_ _.._'_' ___''e, ___ ____L0____ __,.0 _D_'_oi'__O.,_,_._,._ ._; _ _.,i. _, _',,_oo._:..__,g.. _. __g' ,;_'V,__._..._____.__._i_ _0,0' .__ _ _._'' __.,.p' .;t___Ki:'__
_ t0 UH Atl.R.U. !. -- _,i ' -__^"_- _g'
- - N -%___ __'; ' __ _' ' '__''' E__ lo su__esjvo a! ena_i_ar un movim;_ento J_
'__ _ X ,; - _
Uy_O '_t : _ _aCa__llCO de C_ida ll_fe (hA_P_C.L.) lO _,,,,_
''_. ; __'_''____ descFibiremos como dos movjm_enEos _"''_'_'
h_ __ f ;_ g_4. simult_neos e independientes que se __
Y _ V _. : __ desanallan en _irecciones perpendiculares. _0,0
C __ ;, _ _ Hon-2ont_n_ente suJeto a l_ c_,cten_s__cas _,_,_,
i '__ , e' _ 'o'',,
_. ;_ ___' delm.R.lJ. uH_cte. _,.
' __ uH __''___' _ _'e_icalmente hac_endo uso de las c_acte- __,,_
- _C. _. _ _ _. _. _ _ _ _. _. _ _ _ _ _ _ _ _ _ ____''i_,_ -8-
__,0, rísticasdelacaídalibreve_ical g_cte, __
_,,__, ,, d____ ,0, , , ,. gni_ .___, . _
_ ^ "'_ "' ' -' ''' ''_^'_'_'_'_"'^ '^'' ^ '' ""'^_''A'_'''^_00_'_ "0'"''_''__'''i'''_'''__''_^''O"'"'^'"0^^_''_"__^'''''_''_''i''0''_'8'''^""'_''''"0000i'"O_'"''"'i_'''
20_

_cudcd Aeneopabcm_ Autoaa_cnnsoetnotcsosneo_g_cuend__aovse__d_l/eoc___||ll__l_ t_ladna_2d__a,_dtm_te_____lttlltelannto____a________5_mu____o_l__tF_e_a_nptl_t_2_o_d__t_se_y_/0__n____2__________/e_tv___h___le_s____0l_________s_s____a_t7__nm__4____g___o_l_u_n_t__t__v_o_m____0___d_______al__ll__e7__t_t____lQ_ro_u_//t/_/_pe__t____a_a__tf_l____l_attu__ar_3natua_Hm__t____2__|_|___7_rmrl__lmo_asc_oa_m_c_t_o_n__2_eta__7h_a_ l_nd_ltc_l_a_od_sot__
'Tu_0 tv- __ovimientos de caída libce
;n..,__':_,;. ;,.; _; _;,: _ _ '..,_0i _' _ _n ^_i,0_'a _ _' i_' ___ _ _,_ 8, a, __, _ '__..L,, _c9, ' '0 '_ _ __ ii..,,_,,.,e._,.0_0 -_; ' __ _'____o _, __ __, _ _ ? _ -, i., _ '_ _ _ ' _ _, ;; _ _- _' ' w ' _=: _ _ _ ' ' =, _ '_ ' _ = 0 ;,,_ - - - _ ; _ ' _ ' _ _ ' _ ' ' ' <,; ' ' ' '- - _ ' _ '? ' ' _ _. N ' __ ' ' V _ ' - _ _ ' : _ ^ ' _ ' _ _ _ _ ': ' ' m _ /. ':. '.: _' ' _ _ _ _
..- ' ' ' ' ,,a8 _ _, _,__ _ _' : ' _.00 _ : _ _ _ _o _ _,. j_,0o_ _ _ __, _ _d g ',-; ' _. _ ?, '_ _ e9 _,_ __ i ',_ __ _ _ _ ___ _ i v __ - _.. _; _ ' _ ', ' _ _ _ - ' _ _ ' t_ - ' ' - _. _. , ,, i.. ' _ _ i_ t ' ' ' ' ' ? _ ^. _ ' ' i _ f - . ' ' '..
' : ' _ _ 0 __. __ ' ', '_,,_, _ ___ __ _ _ __ ' _i., _0 __, __0__ _'_.. _ ___ _ _ __. '_ _ __0,. i', _a., _ __,_,_.._,_ ____ _ _ i?.,__i_ _,. __.i __ _ _ a_ l__ _ _ __,0d.,,,0, ^ _,_,,a __., _,g, _ _ _, ; ' ;,,, ' _- ' ' ' ' ' _N 0 , ' ' ' _, i _ __,__,,, , _. _' _ _ ' ___ _ _, ' ,' _
__ _,g"æ_,_,._ _o8 __ _,,,,_, __ =_'_, _;.,;;,,.; _0 _^_____ ' =.___', _ _ _. =. _'.,,. _ _ _',0.,0, _, __ ',.. __ __ _ ____'_ _ ^,_oe_ _'' _ _g ' i_,, __..,__0 _',__.,_a_,... ' '_, '''' ' i ' ''__ ,_ i'' ___ e, ' ___r_
..___'.._,,_______...__'__i__.i.___'i_'i'_,____,_,_._'__.._,:.9., _'__',_='W'___:'___i__',._._=__..__.!___'_''"''___0_'0P'___i____,,_.,__,_._.__,_'___'_,.__.___.___o?._i.i',_,._____.i_i. _i._. r _?._ r __ ,_
inuac_ón con este c_te_o, poaemo_ anaIi2ar )_ resolv_vr _os s igu ien tes e jemp l O s i !_ u 5 t c a
_jen_plo_
;ca es _,n2ada desde el piso, ta_ como se muestf__. _ Qu é rap i dez ten d__/ lueg o _ _ _ __ 5 s ?_ i L u e _ ( + i
Re_olucin
emos necesaFiamente descomponer rectanguI_mente a la ve loc i da d.
;--------; U=2 _ mrS , __24_, ^--'----;_
_ _qo ; - _-'' _
Sobre la trayectoria tenemo's Q _
s q d3
9_s ,5s _,. _-_-- S- __ - _' ___=== _;
I4_s _ __ _-'- t/__ 7 mrS :
_ ____0_r' _ '_ ' _ '_' ' j ' ' 7_s _ _ d,
,-t//_7_s ; ;
ls,,_' _. ! _.
,' : ; ; 'd_
Z_s,_' ; _ _.
.,' 7 s _, ; __, !___ __ __ _______ __
_! 7m?!, 7m_!2,8m? _

_de laH_t_tt_ra_yyHe__cmd_t_aK_ou__f___2v9_d8+y_2___/8pu/2m_d___________/__t __,_ __t______0______0__o0________t__t_______t_________w_______0___________lb t__o_ _///__/____e_0t3t_tdn_ge_ng___e___ll__,_/,____/'r________1,l __*4o__umrs
lumbreras Editores f tsita
Nótese Risolu_ión
_ Hon_ontalmente u,=7rriis ___adalsenesta Como el balón sale horizontalmente, en la
dìrecci6n recone 7 m. direcció,i ve_ic_ su vetocidad es nula (uov = O)-
_ VerticaImente uov=24_s, cada l s _a Ahorabosquej__oselM.P.C.L.cons'_der_doque
rapide2 disminuye en l O _s. Entonces cada _ Horizontalmente uH = 40 _s.
IJF2st_- rapide2dis_ninuye en5_s. _ Ve_ic__nente uv aumeniaen 1O_icadal s,
.. Es rác__ adve_;, q,e _uego de i __ 5 l_ ,ap_dez t_ como se indica a conlinuación.
jnstant_nea seF_ __ __. qo mrs
-__.._+-,U o__,____ii__i_____ _ò'_ _s
_= S /,__ _,', V- _._
,,/';x--; _- -- ____0,_'._,J, '' ___. ,0 40?s
,__!., , '__ ; __'!__i^'' to_st '"__ _,
_/__ UH=7IT4fS _n_.:..:'. '__
B__: __ 40mJs
donde _ee,.__ _ _'_'
___ ttu1 i__i_'''_"_''___0 20nUs _
__'.3,. '_'ls
_ u_ _7'+9'- __ _-o _'g.' _!''_'_'_ ' ' ,,,,6_ _._.
.-. u=Il,Q_s ___-__'__0'______ s d d 3o_ 00'_;
_i eeUCeqUe S--_
Ahora calculc_mos la menor r_pide2. A p_irde la _,!! 0 -- 53
F_gura deducimos que se o_tuvo el punto m_ alto
. a ,,a e __o t,,ns cu,,_.o_ Luego de 3 s ta _pide2 es 50 mrs y en dicho inslanle
Ia aceleraci6n es la g. _a de_nir las aceleraciones
t _ l + l + 0_4 t __t4 S norma_ y ta__genc_al debemo__ necesarjamente
Tambin 5u altura m_irna vendria dada Por _escomponer rect_gularmente a g, _i
_i _ + 2 + 3 ''____'_ , __c1ano_
pero Ia _emos calcu_ar usan_o direclamente '____ ,,'
P___._. , ,
H__,' _OV FV Iwb _'__ei___''t'0 _U^_5O_S
N _,53o_0
24 + O 2 4 m ,,,____ ; ,,".'
_ La aceleracin tangenci_ será
Y_mPl_5 3 ,
Un baJón saIe h0n_ontalmente con 40 _s de . dr _ _COS _30_ lO - = 6 _S
la parte al_a de una torre, _'Qu aceleFaci6n _ L . , . /
tangencial y normal tendrá aI cabo de 3 s
co_sjdereg__lomJs_) _ o__ _4_ 1
204

R_Ap_p_A____a____r___9_1...___. u ____t_ ___c__(___t___t_s__)yt__v_g_t___t__t_m_______________K______3_otl___ lt_umnpaa_dpc Htealo_sloba__fd?meela_b_se_ulspbe__or_lncd_l_ees_p_ue__s(ldoemrhta2b)ef s_do
CA_íTUl0 IV _ovimientos de __;NL__ _jhr_
_Jemplo d La compJner_te huri2ontal _e la ve!_cd__ _ _a
Se muestra cómo _na pe_uea e5fera a_an__na podemos o_tener al desL__mponer _ect_ng_lar-
Un aCantil_dO. lU__O im__C___ Rn _Orm_ men_e l_ ve1,____idad de jm Dacto u. nì sobF__
perpendicuIa_ en 1a _upe_ficje ;nclinada con _, su ernc_,e ' ' _ -
S0 mrs. Determ!ne el _Icance h_ri2o_ta_ de !a
___ ..3_ __, .;__m___-_
-- 0 _0'' ,, _____
' '?'''' __,,__?_,,__, _,,ß,__'' '_ '
__^ _______,_'?_,_., '_ !
_,__:_.C;___,_' ' , _ _ _ _ __?
_ .__ ' U____=5O_S uv=4O_s
m,_ _. ?__X : Por último_ el tiempo (tJ que empl_a ta esfera de
my_______ _'_- - A haci_ 8 lo podremos calcul__ r tomando en
cuenta eI cambio que su Fre la compone_t_
vertical (_u_,) de lavelocidad.
_SOlUCiÓl1
., de_ e,a,f_.cu dado se deduce que _a DeAhaciaB sobre tave_icalpl_te_os
equea es Fera 4bandona honzontalmente el UF_Uo+St
acantilado. _ra el ins_ante dado en la dirección _ 40 _ O + l Ot _ f _ 4 s
V'_'C^l "O tie^' f"P'd'2 (Uov _- OJ_ t"l 'OmO, lO Luego. el alcance ho_zontal ser_
mostram_s en la F_gura siguiente.
--uHt= l20m
_templo7
- H ,. _ ,
'^~ _' !,uov_O '___ r qe_ __c_ golpeadaconelbates_eimpulsadatNcomose
- _! t__ ____I__ muestra.Determineel_empoquepe_aneceen
; '__ _elot Ia altura máxima y el alcance hasta que'
d ___B ,_' ^0__-_:_:,,,o_
- . -------------H-------_--------' _0_ _' _,,
;,.u_;_,, 0,--5O__ _
__" __ 35_s
H Pel04Uea ___';,,, 530 _
dete_inada por d_ = u,l, ya que _a componente __, m .m,_,, _J_0, ?w, _;,;,,,,;. ,; -;;n,;_;,,.
hon2ont_ de la velocidad no cambia.

m(l_(__Ded__)ll__l _lel_pnue2__do8te2c__a__(l__c___ulAhar (de_p_uha__ucbld_nu_ p ___;_;_________________ dl _l __ /r ___(__ tr.____ (t )_g__;__;__
Lumbrer_s Ed itor_ f isi_a
_esolurlón _O_____c___ _ ___h_Kn____M_____ _ _
_!na vez q__e la pelota deia de t__L-er contacto con _' L, pe_o;e a; sal.,, y ;_e e_r y _a _u p_rr_c_,_ f .,e_e _
el hate, el_a em___e_a _ descnbir una _ar_bola 5 en valo, la m;,_,, compone,,te _,e_;ca; d, _
(c_m_Iela) h_sta _i inst_nte en que impacta en , veloc_d_d, con 1_ c_ual I_ rapidez _e _
la .__perncie T6l c___o se muestra en la n_eura. _on lan2amiento y de impacto son iguales ta_
cuan_o la esrere Mc!e__e la componen_e __e_;caI _ COmO S' mUeSt Ca a tO_tin_aCiÓn_ _
_, ,e su ,e_,,,,_,d c,m,,enza a ,,,,m,,nu,_, hasta _o _uH _,_,
__ lcan2__ c su punt_ __s alto (uv _ o_J y en su _, r,,' ' ' ' 'v_. O - "_r _
desccnso va en aumento, mienlras que la U ,_' _H _ '_
c_7,mponenle hon2ontal de la veIocidad p_a todo , _ag ;_ c_ _
;,st_,te ,o camb_a (uH _ c_e.). _, 0 - - - - , ' 8= __
_ U
1
g = l0_s2 -____!n_M_______-_n Mw%___M____n___X
Proptedades del H.P,___.
0 u_2lmrs
r __--___-__ l. Aunrnismonivel
SUb_t U_1_ _l
,, ! ''_a_ _ l -p
' ; __ _U_ _J
Uvn_8.NS _H_ "_ _ __u
l. ; __ sub _j
p,__;',H_2__s ; _ D____ uH _ enmódu_G+ !l_u,u,tl?ub,,.1
_! v'' d ''- - 2. _demás un cuerpo alcan_,a su Hm,,x en el
H _
2g s 1nSta_te QUe la COm__nente _'e_lCal u_. de
v-
la velocidad s_a nuIa.
_ __m__ que _a esfera perm_nece en _elo (t_,,_,J
_. ,______,__ ;_ ,, __'"3'-_ ._______._v _____c _ v_,,,__,___,_M?_s___'_v___.____,c,,_9_n_,__r__n__?___n_?___
Mene d_terminadO_Of t__e_o _ 2tsu_O t_uelu " 2t_a;_ r __a _m__ca_-'_; ,,,;_'"' __v,, _ '^^n___ _______, _____-__ _,_.;_%%v,,''___,___i:__m_V':_'';_;v_v/__n;_,_
_ . . , _ A______-M, x,_,;,,___________' 5-_m ___m___,,____,___-___''___',______,5n____v;v_
ya_U_S_Ve_ lCa syb_ ___ _raSO re a lleCCl0_ __ __ ^"" ^_'_______-^____;-
__enjcal de p hacia c determin_mos t, con ;._, _ _eS_UéS de habeC dJSCUtidU _l _iemPlO __,_
_ _ '" anten_r. se le pL_ede pro_ner al le_, tor que si el ___
Uv _ e ? _
l,ub =-=-=_,8S '__ an_Uo e an2amient0 _eseetcom_lemento ,
_ __S de_ neulo de 53o ver;F,case que e_ a_cance __
_ t_,,, _ 2 (2_ g) _ 5, 6 s ;_- honzonlal coincide, pero 1a alt_ra mxima y el _
_ t_em de _elo re,u_tan dire,entes ?
T__mbjn ha__ _ue determin2r la Hm__ ___ ' _
N_ c) o, __,----X. --'___ r1>r_ _
_-_d-e x; ,,', ':!N_' '.. _y_
_ U ,,' tl _______-_____. ''_. _ y
u +u _ _ U___''' ;; N"_. '. 5
___0ft _,_ 30 ___ '._ _
_- - 2 'ub y_ __,,- _J-7-O ; !; '''.__ ;
2g+o _ _dH_
_ Hm,x _ _ 2,8 _ Hm_, = 39,2 m
Or O lantO, C _nza. mlentO e Un
, 1 h . _ la misma rapide2 baio áneulos
Inaim_nt_ __tefmlnam05 e alCanCe OrIZOnta
complementanos dete_ina el mismo alcance
..) _onsld_randO de P haCla
On20ntal SObfe una supeMcie h_n2onta_
dy _ UHt_.,eb = 2 l(5,G) t dH _ l l7t6 m _4_____/___%___,_'
206

_______?__lt__) _?__ _ 0v___ _mo_vmtcddo_L___sue2ett_ste_ne_le_2qmu0edu_eomdberol ad_ecsupalad2raadm(o((m_lt_lel(_)p)notor
_
r0b__m__ __&_eft_S
______m__ Según el enunciad_ del pro_lema debemos
___ _r_cosemue_traaun esquiadorq_edeja _eterminar el a1c4_nce d sobre la pendiente_
h__zontalme_te u__ pen_iente con una ra_de2 d_nde el dia_rama
_e w_3 m/__. Q;,,ule s_ a1c_nce sob,e dich_ d -_ __ (_)
_ nfe _o s2
_ = a emaS Se dedUCe qUe
_ __ _ dv=K_ _
,? __^ dH_K__
_ 9 c , _ ,
a_ ' V
_ ^ '' ' _ ''' ' vertic_l _ ve_icalmente el es_uiador realiza un
6_ß_
/ !'_ d _, r+ !gf2
I V - OV
Como _)oy = _ entonces
_e6_lución
_'n, _.e2 q,, et e,_u;,do, de;, la pendiente , ! s Jz
V-_
___izontalmente, en la dire_cin vertical tiene
vc_ucidad nula (uov = _) __ em_ie2a a describi_ un _r OtrO IadO, _h eS el mÓdulO del desplazarnlintO
M.P.__.L. Lue_o de t segu_dos de haber hori2ontaly_orizontalmenteefesquiadorreali2_
aban__na_o la pendien_e_ impect_ en e_la, avan2a _n M.n .U, Ent0nces
h__i2ontalmen_e dH metros y desciende dH_uH(
ve_ic_m_n_e dvmetros, t_ como se muestra en E_evan_o miembro a mi
el siguiente diagrama: conygn_enc_a)
2 zr2
H-H
_,__, _-- Dividiendo (ll_J entfe (lvJ
uH=5 __s _ __?, __-
__-- _ v ', l _2
,,'- _,_=O dv j_
,_ 0 __ _''_j j (V)
,' _ t H UH
t_' ,,," ;
' _,_ V ! Reemplazando (lIJ en (VJ
' d_2K _ ;
_' ,_'_" !dv_K
' ,_ ' ! -(lo)
/// ,_!,' ! _K - 2
__ ,,'m' '_ (K_)" (5_)'
__n , !_
__,0, '
____n=____________________________ _. t K--5
> dH_K_
M (IJ
d= 2(5_= lOm
208

d_4__g _mrul)vA__0___2_____omr_ J__
_0l_s______r_t__lls__/_______r________________________/_________________x___n___________y_n________t__0_t0__n______tn_________________________0_________________t____________t<____________<____________n_____________n_________________________v________vy________H_________t___n___________t____________________>__________________________h_________r_____________________o___nv____0_________v_______o________v_t____t_____y_____________q______________________________________w______________y________t____________________________________________________________t______________r_________________________________t______________________________________________________?____________________________________D_____9_t__y_____o______0_______________________________r_______t___M_______________________________________s__o____n____tn________t____x_______x_____________t_t________________________________x_____t__________t_____________
Bd___v_ a_gfa_m____a_d_on_de ))
CAPíTUl_ lV Movi_,a__,e_ios de cada i__re
Pro_lem_2
_ un pa_ido de Fútbol, un jugador re_iza un saque dc_ meta y le camunica a la pelota una ve1ocid&d
u_-(l5;30)_s. A que distancia del lugar de lanzamienta _ne encue_.tra la pe1uta _uego de
7 N*lo s Z
_
'__--_-----'0
'_.:__<:_,___.;.__ _'m_-_- _______''' _' n ^ ' _ i i =-_;0;-___0_ ___';_,,._;,. ;__ _ _ _' _ ' '__ ' ' '' '' _ ;:_ ___:_. :!__'m:._ :'_ :'''n' :'M_;_.:; : /_ __ _ _ ''_ _ _: :__;_'___ 0: _;''._:.'-;__;_-__;_ __o ''______!', _ ' ,._;x;_m__5'"__,__,;___ _!_' .;;
Reso_uci6n
Una ve2 que la _lota es impulsada esta reali__ un M.RC.l. l_ como se muesti
. _.,,_.,...UH=l5_s
YN-- l0_s I _,- - --_-'''__i__,_ - -'__ c
. _,_- . UN_O IS '_ ,,, _=l5_s
_'^' _ _____:v?_ ''
__/_'0''OO UH= l5_S ,.K,.,_.,...,._;..__.!__;_._.;..;;'.__'',____'___',___';, u, _ 1o_s
,/l s m _n_,._'c!,_'.,;<___-._-,.;,,!_'_;___:-;_;_'^_,___.___'_t;,'_^,__ _
' ,..._.. ;___. ,:;._,_':__; :.__. _'__:_ ,:_i'M_:x_c__:_-_'c__i__.^__'_:_',';_'_.._ _;_:m;,,';_,v,._n__".._' ._.... f_ __
' , _y__=_ -;__- -_-_;,_--__- ''''''__;': _. :_,':_:!.____ ',__'_,V;: __'':_'.._,_M_. '___. _;_'':: :'_._.; ._v_'?;;_',:::._:____- - ___-_ ---:-__:-:__-__' -___'v--_____--_--;--_-____ _.?'_____'____'__' _: '_'___ '_,:';'_,':__;_. '!
- , ' ,_. _,,____--.__g-__-_-_--_-_-___ __-__:' _;'_:,;-':_'':'(''___' ',____,:;'__.::'_;''_.:_'__0________'___-=v-__'___, '_,_._'___._;:3,'',_::_;'_; _
'' _,, _ K_^'-__.:_-; '__ m___g_'_'_'x',4 _x;__.'___: _ ___;^-C: ::;_;_'_i_,_.;,:;._..;__K._:,;__.!'=.__:_.:_,__ ,_, i_,;, _'_;__'_,i___,__v-____ :_:;:____'__;_a
',. _'0 _ -- l S mrS ,...,. ....,c_.;_.;.____ :_.-___.-__-_9- ______:-_;;_-v;________ ._?_.____,_0__.'_,_____ ,,,._:;v;.,._;_.;__:: :;'_5_. ;.:;. ;__.:.__._',___;. s_,.._..;_;_;';__;_.._"..;__.';:__,. _'_0,,o_____x:'_,,_.,_g_' .__:____>_,:'_,:_:__,._.__::,.__n_S_n_;_._.:__. __
,' _ s _,,,, .m;,. .?.. __./.___' ''_;.'__'__;_''_'_'__''__'. '_._:'.' __:_,:;.'_._m-_.,_-_:._;-,-.y.;..-_,_;___-_;:-._;.___-,___. -__0_.___ .:, _.____ _;. _,_':,__^__',_';:_,_:S,.'5?;_ .. :.:;___-._:_._;:_,__.;_;__:;'_;_.:..;,_;-;'.;s~;_ ;._. ;;_ :''_._i_.__v,'' ;__''. _'_:'__. i'.____,,_.,__.. .,.;;, ,.___'__^'x'__ .:.;._'_:___,n_'__. __,:_ '_: _,;.":':___.;._:_._-.__..;-,'_ :_ _.
' _ _?_..;:,, :_..'_'_:''=_;_'__' __,;___' _ _''' x._,','_''___ '__,_''_:_;_____v_?:'_:'__;':5_'' _'_.___; _;'>,_'';'_._i; ';'_V::,?:__:_M_!'_;(.. ;t,_' .:_:__.;._:.. V_;.__,:.;_'.:'_:--_'_^_ _--__-_-i__-s_;_-^__ ____;:. ::___..._._v__:'_;.,_'':,:;:!.,__::_._. ;?.s___,_''_-_' ___-_--___?-_ _
uov _ 30 mrs - ?t U K,__..?._-_'._''_,'______. '_____':s'';._ %'_',____ _ , ____;,___'_____:i___.:_..__::_._=.,;i_''__:?_____?_'_;_..___:__'_,_'!!:__''_._'__::_;_';____?-_-_;-___=--__.-._c-_g__s;____;;!_;__''','';:.'';_:'V''_''::__ '__m__:'_''_^__-_-_^_-- .
; , ____, __!_'_.''::.:i_, _i'' _'_.;_____-_ :=,___'; ._.. '__x ,_^__ ._iv_ :'.i___:';__.;''_::____.__i'__'_'_.":_;'-'''__h:_i____'__!,__,_'_:_.iv_: :'__-_- =-n-_____-_-. m_-_-__-___;;;.__.__j__,_': _.:;__:__ '_: :-,. '__ -_=-__- -_-:_ _
__ _../. ,__,'":,;';._!________s____'__i''':_x-i''-;_' i_':'.___'___,.: _''_ ;,_., !_;_i ';-i_____;''_____,__i___-_:_-_i'';=_'_'!';_' ___'''_'V'_'__q':':__=_-____.. '--:_-;_;_.:v-__~___,__;__,'_'__.;;''':'' '_'' _''_: _V ''_'i'_'.i'i__._:_:'_._, _
'! _ _ _'_, _:''' .; _'__:'; '' ' '''' _i; :'_'_ '" '; _ __- i __--_- ____, :- __ __ _-_= :__:; i' :. ;_:..;. _;i_';_ ' ''' ': _'_ = _'.:; ;-_ =--___--_ _-_'- ': __,' _, V _ _'i___'__', :__ '__'_''__ ''; :;_,'_ :'_'_ 'i'_i r7;_:__ _'_;_ ?'_':___; '_:_ '_._;";_;__x _, , ,_'?,^,7:__:_:__' :_?'_ ___ _
_0,_, ._^ _ - __ '. '__"!'_"____' ,-_,in-m__. _;_-'__-___-_n-;:.:_...::_:....,!.!.;.._..;' '...^.:,;. ._...____;;_. ?._-__-=x,_:-;' _!_.___ ,_-__--:---___-::-y-_-_._,_..n__;__' _.,,t_ _,'tm,,,________' ;,.;._....;._._.'_m'__Y: '___;.:_:."..;_,_=.;;_:.____.;y:^?__.__'_n_ _ .,q6'X_'__. 0_:'et,i,:: .;__.:_....:;; ., t
___=::-.__--._;_,'_'_i_':__ P_' ' __ '- --__.._-?. ___:':_.'__''__:__i'';___;___ ::i__.'_n- ._-i-_5-;__:_i' ._"___'B'i';'_Vi__';____"_''_'x__:m.. ___-._; _.;'S--_ =? -___ :._5i.___'_'">a.. ___?_____ ________'____5n______0..__,__.. ..__";.'._'y_____s_:'__ _ __-___c-_';_-_ _'''J__ 0'__. _x._.'c:'..._ ..__._äs'_'<''__'_e''__;_'____'m' ' _.._';;_..___y_.._J ß_.
'
Comolavel_idadconlaqueseimpulsalapelota en su posición más alta. Segu/n esto, po_emos
es u = ( l 5; 30), entonces en dicho instante l_ garanti2ar que tr_scurndos los 4 s la pelo_a se
componentes horizontaI y vertical de es_a encuentra descendiendo por _a posici6n c _a_
_elocidad ser_n u_= l5 m/s y uov _ 30 m/s, como semues_aene_di
respectivamente, En el __ ABc, d es _a h__poten_sa.
Si nuestro propósito es de_erminar a qué
-1st_c_,a d d 1_ d _ d= dHZ+dv_ (I
e U__ e _lentO Se enCUen_a
la pelota lue_o de 4 s, entonces debemos ACOn6n_CiÓnenCOn_emOSdHYdvi__i__
de_e_i_ _ _Vsicjón en ta que _ __en_ _a el M,RC_ l- de la _IOta de A haCia C
ello_ recordemos que ve_ic_me_e en el _e_ ' HOnZOntalmente (M,R_U _)
Ia rapide2 va disminuyendo en lO _s en cada dy=UHt_
segundo, entonces como la componente ve_ical _ dy = IS(4)
inici_ es uov = 30 _s, en 3s la pelo_ se encuentra dH _ 6o m (__
2_0 0

_(De_ll)tedfm_l_J_e6_M_3u_7_)__tt _,_, ____ J_ _t____________ __________0oo_____ __ u_____AB2Jt2_ d22u Bg(_cltJoo_t_)_ ab_ete_sue _ (_n)afh
lumbreras Ed itores f ísica
_ Ve_icalmente (M.V.C.L.) En el diagrama que se muestr_, al _c_scomponer
Como la pelota está de subi_a y ba!!ada lavelocidadde laMami_entosobre lahorizontaly
eInpteamos Ia siguiente ec__ación vectonal: vertical, tenemo_
_d? r+I r2 uH= l6_s y uv= i2_s
^_O_ - '
Ahora_ como la componente horizuntal uH en
_ (_ _o)(4)2 todo m.p.c.l. se TT)entiene constante, est
V- -
signincaría que la c_mponente honzontaf de la
dv_40m (lll) VelOCidad U0 COn Ia qUe im_aCtalaeSfefaenel
muro ser_a __y _ l 6 mrs y como el módulo de la
t'(Ill en(l
, vel_cidad con la que impacta la es Iera en el muro
_+4oZ
- eS Uc = 8 m/S; entOnCeS _l mOdUlO de la
_ -_ ao_ m COmpOnente Ve_lCal Uv en C Será
1 u2 + u2
C-V i_
Pro_t_m_3
En la pos;ción A se l_nza la es Fera con una (8 _) ""Uv'+(l_) '
rapidez uo -- O nUs y se obseNa que impacta uv = g n_s
sobre el m__ro, con una rapide2 de _ _s. Nuest,o p,op6,,_to e, el p,oblem, e, de Ee_,_
-n_ _Io s2
- - _ y según lo deducido e__2miI_amos el _nonmiento
/ / ' ' - --'.. en Ia dirección vertica_ de A hacia __ empleando
,/ la siguienIe ecuación:
/ ui u2
/ V- OV-
' _
/ ' Reem_laza_dO
Yo , _
Uv= -
_' - _ - - ''
_a__.,.___'.i,' ' __ _ ' '' ' '_ _ '_ ' ' pero en M la uy = 8 __ ya que en un mismo ível
la velocidad vertical de subida y bajada tienen
Rcsoluc_n e_ m;smo mo_
Según la dir_cción de la_íanlo de la esfe_. _ (_J, h = 4 m
podemos g__- que Ia esIera reali_ un M. RC.L.
B O_ rriterio p_r_ ca(cular _
__-_'_,o,. - _ ror Ios cambios que sufre la componente vertical
__ uv___
v ,,_ . de la __elOCldad Se eSt
/' C'''i__ UH f __( +r -___2s+o_g
_,..,. '_------- ' ' ;
_a_,__ ' _'__!, it_c=2s
,_ - - - _- Wego ap_camos ecuación vec_on_ (deA hacia _
,' uc=81t_nUs
u,--__ýs ' h _h uov+uv _ (+l2)+(_)
'__ -_ _C'_'
,'_ _6_ _=+4rn
._, __ S '
'__'__ '__= ''___. _,'_ _, , - '------ - _ _ '-/ c _ - - '-_ --- '--- '' '' .. , ,__ , ,, E_ signo (+ ) indica desptazamiento hacia arriba.
21O

__x_____ y __o t uv _ .t_uHl1__ _ v__6___xl_ov6+_6t22sd_ 2 t (_nJ
CAPíT_lO lV tViovim_,_nto__ _e c_ída Iib__
PFO_lem_ _ Mora, c_r_n__ nuestro pro_ósi_o es _etern'_i_- _- ;_!e
Desde !_n_ azotea se l_r_za huri2antalmente rapidez u delapelolacuand_x=6_n.. ent____-_c_
una pelote , la cual descnbe una tra_ectona def__ida el di__ama
por ia ecuaciôn _ + IOy = l09. Determine la u 2 2
- H-V
rapidez de la pelota cuando pase po_ x = 6 _T_.
__ SC_Ún eSta f_IaCl6n neCe5!t__0S C0nOCer UH y L'__n
= IOnUS- ' i
__ra lo c_i__ I examjna!nos el m0vimiento de la
8eso_u,;ó, pe1ota _onzontal y ve_ica!mente.
De la n_cuacjón de ly traye_toria se deduce que HO_Z0nlatmenle (M_R-l!-)
2
y = l O,8 - -l o , que es la ecuación de una p__bota. u, = _ = - (ll)
Si la petota descnbe un M_RC_LN y x-- O, e __tOnCeS Debemo5 enconlrar t para determina_' uH y para
y=+10_8 m. Ahora como la pelota se lan_6 e_loes c0nveniente examjnarelmo_imiento _n
honzontalmente se tiene _a direcci_n ve_ical.
Y Hacem_ osu_ode
A u _
__=.?__7_' H d_ul+_gt
-_:' "u__o____ 2
t _ t Como u_ = O ya que la pelota se laIua hon_onI_-
dv '__ mente, al reemplaiar datos se _ene
__ g 36_o,+_ !(_o),2
Y_lO_8m __ ' -
. - ----_- --- --. - - -. - -.___'''' '__,_
__6m __._ ;
..t _ _ r___ os (___)
l _ __ ._
_ _ X (lIl)en(lt)
O '' ' _''"' '
UH_5 m/S
Luego de t segundos del l8nzamiento, por dato A . . , .
tOntlnUaClO_ determlnemOS Uv, pafa ell0 eri Ia
x _ 6 m y si reempl__ el va_or de x, __bién d
lreCCl n VertICal em_leamOS la Sl__Ulete
y por y_ en la ecuacin de _a _rayecto_a ecuac_.6n _
2
_ y1=l0,8-- ,2
V-'_V V
. 6_ ReempIa_ndo
_ y_=lO,8-n u2
Resotviendo
.-. yl=+7_2m
u=6_m!s m
e esle resultado deducimos que la pelota, al
transcuff_r _ segundos, todav_a se encuentfa a (l_ Y (_ en (l) Se Obtiene
7,2 m del piso, habiendo descendido dy=3,6 m. u = _ m/s
21 t

____ __________ul__ ____ __ _ l._ll__ _ _p____e__gg___ l, _ _ )bcua_memJfnte)con una
lum b re ras Ed i tores f ís i c a
h0_I_m85 Se_ún esta relacin. necesitamos uv para
Un an6n está en picada y Forman_o !_n ángulo de dete_in_ u; entonces usamos
depresi6n de 370. Cuando se encuentn a 425 m
_t_,co __e, al sue_,o d=uvt+-gt
despu_s de S s. _Qué r_pidez tenía el anón en
- 2
aquelinstante?_= lC_s2) - t 42___v _ +2
uv=60nvrs
e_OIUciÓn
Ra_ c_cu1a_ 13 _'_pîde2 del an6n v_os a an_izar Por lo t_Io_ _ reempl22ar en (lJ se tiene
S610 al neUmátiCO. u = _ oo _s
Una ve2 quc el neumtico se dcsprende del ann_
present_rá __ misma v__l_cidad q_'e el an6n_ yl
uego e fectuar un M. _. _. _._ as _ tenemos un ob J_eto es _,n2ado ob___
_ _ rapideZ de lOO m/S; detefmine el tiem_O qUe
__ _
__ _ traMcurre desde el instan_e aue es lan2ado hasta
O
'_.... el instante qu_ adquiere una velocidad de m_ulo
_... , _ nUs_ el ___al forma un ángulo de 980 con la_ '
'_... _ .d dd l . t _o 2
0 _ _'._... Ve OCl a e anZamlen O. = S
. _ __ 0 UH
_3c70 _, _ Rgso_ución
___: Consideramos que eI objato es lanzado desde la
V ------_- u
'__ posici6n A y luego de _ segundos de haberlo
'_ Ianzado se encuentra en la posici6n B en donde
d__425m _ll_5s _a veloc_d,d (ofma un ángulo de ggo con la
_. direccin de _anzamiento, tat como se muestra _
__ conlinuación _
_' _ ,_
_ ,'
''_' __''-' "'_'x'_'"''''''_"v"_x'-nv ' _-'-s' ' _S98o
Para caIcutar u_ sóto vamos a trabajar en la ,_o,_ ._ _
dirección ve_ica_, entonces tenemos , ,_ '_
_ t _
o _I __' ' - -'__
V- _; __ 't
,' ,_' _uF=20 __s_ '
cB ) _
V-
5 (A)_uo-_lOO_s ''
_ u_uv - (I) /?,_ ,, ,, n_,,,v__, _. , ,n n _ _.,_, ____. _,
212

u_Jlt(ogott)_J2ot_(o6luo08)_+4_(0o2__o____)2lh2(___oot)(2o_)( sen8) Ruo___v___________c__(___u_mma__v____________y_0_____y_____sy__p_2_(____ag__________x0______l_hf___)__ra_)______e_____e__l_n__t____v__t2orle_(uml_(___s_______a__)_________()___mn5o0_____mo______ys_____)________________ ____ __n_0t_________________________________________ ___g
_APíTU_0 IV _ovimiento_ de ca_da fi_re
Hasta ahora hemo5 trabaJado por componentes r
un M._C.L., pero algunas vece_ es conveniente
, . . _ _________0_____ _Uv_O
f_tarO_e_metftCam__e. rat0 0m O_mlenO '"_'' ' _'_',_,_.___i0 , _____d____ __- _'
con aceleración constante (m,R.u.v_, m.v.c.L_ o ;_ U_= 7S_S ,___ '' i''__
M.RC.L.) se puede usar i ,,_
_ t,/ _
u,=uo+gt _, ,/
como las magnjtudes en esta Fórmula no sOn !, ,' __ -- 500 m
par_elas podernos proceder a fo_ar un triág_ to ! __
_uoseng -;___o
8!
._=_ _^nUoCOS0
' ;._._' 0_,_''0.0 ; ._,'' d "'' ;^'''_ '''V
980 _ :_;_'_:__B,,._'___0..._; ,..._''''_' ;
_. De la ngura, an_jamos al p_oyectit en _a dicecc_ón
Ur ve,t i
M el t_iáneulo formado, aplicamos ley de cosenos
=u6_v -2g_
2+u2 2_Ju c_9go
- O f- OF
2
OV 1M_
2__ 2 _ _ o
e-empazandO
2 "t , seng 2
= +- _, o =
52
uo_0= l_ (l)
Z
-- _ora en la dirección hon2ontal plante_os
._. r_2_s d_u,r
d_uoc_0r (Il)
ProDl_m8 7
_FO del M.R.U. del a1nón se p1antea
n anón se desplaza h0nzontalmente _ una altura
de 5oo m y con une ,apide2 de 75 mrs. cuando d = UA l
pasa sobre un caón antiaéreo, en dicho instante, _ d _ J5f (___)
_cu_ debe ser el ángulo de disp_o det caón para D____d__
que el proyectil. cuando alcance su altura
,. , .,, 2 UoCOS__75 (YJ
max1ma, e lmpaCte a aVlOn. = _S
_ora dindimos (l) en_e (NJ y se obtiene
Re5olución __4
Nos piden el áng,lo de lan,am;ento p,,a que el 3
_1_ _e __m ,cte ,_ a_.o, n t_ como se muest,a De esta relación se deduce que 0 tenda que
valer530.
en ta Sl_Ulente _Ufa_
213

_h___ v //__t/t _/ t//_ _ ___ _ __'__N _L _ __ (_) eutn2c_(_o(_tlt0__Jgt __au__Jtau_ngge _ ((((vvJN__1f))J
l_mbr_ra_ Edit_res fís ice
P__al__8 8 __mb__n pa_a ;_ c_ni,__ 2 t
Des_e ciect_ altur_ res_cct__ _e 1_ su?, er__cie se
2_ z
l__an simultáneame_t_ __sde un mismo _ugar
. . w : L_ CalCU1_da _a?_a X_ y __ __ j?vem_fa_arnO_ _n (fj
O_ C_nI___ C__ _e _Cl a _S U_ _ U_ l 5 y
i?_, -_ -__2 i _/s. _4_j_ __'_l_cja 5. R_E_raa las _íutas _ = U_t + U2t = (_'_ + _2 )t (ll)
c_______ve'__cjdn_es_onpe_endicu1_es? s_+, vc, ,ondat ,_,es 3t 3_ en(unc1_,_
l, _ _v U ai
v como t es u_3 v_neble intr__ucida neccsiEamos
Resoluc1n
_ie_do la vejocidad de 1anzamiento u_-_ u_ i _s
? _ ? _a ta Can_ca l , en l3 _trección _'erti_al pfante___
_ U2 = -_2 l t_ 5 _ __ _'eCtOr Un_t__nO d nDS tndICa
4_a las cancms s_n lan2adas a lo larg_ del eje X, uv _ = uov t _t
eS __Cir hOriZ_ntaln__nEe y el _i___ _ t) no5 in_ica u; fan 6 _ o + g(
q_Je ta pnme_a c_ic_ _s lanzada hacia la derech_
' u, t__=g_
ml_,ntr_S 4Ue e! Sl_n_ (-) nOS lndlC_ 4ue la
_egun_a pa_ícula e.5 __za__ hacia ;_ iz4uier_a; r__a la can'Ca 2_ l_mbién consideramos lo _i_mo
_ueg_ ambas re3l i_c_n um M._.C.l. u,, = uoy + gt
_h0ra_ c_mo I_s _ani__s so_ lan2ada5
U2 t_a__t
_ri2ont__.mente _n el mismo instante_ en la
direcc;ón vertica1 ambas e_pie_n a dascender P__a_ S_
(u__ = _)_ en tal senlid_, en t_do instante se g+4_ goo
encontr__n _n el mismo nivef , pero con di Feren_e
=C_t
inclinaci_n com_ indica la __gu?a.
Reempta2ando en (IV)
,0__ t u.,cotg_gf
_' ''__ Ahora_ notamos que la relacin (IlI) = (V)_
u2 _ _ u_ '__
_t_- - "_^"- '_'__-_ --__'
/_'/l H (''___ u2 2
__ _ -=tan
? /_a Xj X_ o __ U_ U_
a^_0^d -------+--''--- ------------^- '_^
;_,_ _ _ _0_ !_
--- U_=lJ2tana Uv_=Ultan0 ---u_ :. ta0= -1
U,
En ei diagrama se __ede obseNar que luego de
r seeundo_ de haberse lanzado las canicas_ ta
_istancja d ue les se ara cuando sus _ _U_ _U2 _ U1U__
velocjdades son pemendjculere_ es _ Ul S
d = X_ _ Xj (lJ Fina1mente en (ll t)
Para la can!ca I en la h_riznntal planteamos
Uf+U2 U_U_
X_'U_t d
_
21_

_ttpR__aemo___m_b_e__l__en/nd_o,lp__ re,sen_t_a_tm_o_____tm_ _lt__e_Nn___to__clt_d_e____a___0t_cen________t_o____ytlu5e3gJ_o prgl_app6e___ot__a__7___0o_)_l___l______ol____l____0t__l__l_ql__o_____mr__q+_c______s__l_t)d____g____p_______m______tttv_t______)_t_a_____c__t___r_ag____2s__e0_____a______n0u____________n__y_e_______________l___nm______________p_____pl_ac__n__r_____xl__ft
CAPi'rULO _V Movim_entos de caída ___0 re
_to_lemg g Reempl__.ando los vaIores correspondiente_
_En la i_gura se muestra una pequena esfera que es _ uu co.5 53_ = _ l_asen530 - l O (.7)
_3nzada can cie_a rapidez uo y luego de 7 s ingresa 3 - 4 '
-uo - =+uo - -IO(j
lim_iamente al agu_efO. _te_lne Uo, _ -- l O _S 5 J 5
Resolviendo
' _'-''''''' Uo_50_S
8 _'____ ..,,,
_ ;___ '-.
,_ _-- ' ':i'__;_.__..__ la ngura muestra el tan20_entO de u_a _equ_na
,.,_;,....,.Q..;;_s3o 4so pelota _n dirección perpendicular al plan_
_''_'- _i-___,''___C___i._:;'_''___:______-'_''=c''' ''' ' ' ''' ---- -^ inclinadnyconuna_pidez uo= I0_s.DeterrTùne
el _cance d a fo larga del ptano en el cual impacta
e_OlUCiÓn '
Según ladireccióndel lanzamiento (0=530) de ,/'- ''__ , A.,.,J,;'_ ''''''
laesfera ellareatizaráunMRC.L Comolaes Fera _ _:_:',''_ _--''~_'
' _ ___ '_'_'s
O_fa ln_reSaf COn pfeCISlOn _ a_U)efO_ en OnCeS ,, , _' ''_,'' X_,. ' __',_
en dicho instanle su velocidad u será _ . .'_''''X'- "_':n''_ _'-'' ''._?...
.cu_aralasu e_c_,e_,ncl_.nada talcomo J0... ;_ ---__-_'- ' ' _-___. ,.._..;_;,:_ '.____
se mucstra en el si_uiente diagrama- .n .., _'
_ __--'
B
_____'..,='.,, _H Re8o_uc16n
,/' _=0 __ ..n U_ Según el djagrama que acompaa _ enuncido
, / _ _' ___.. ..._. __- ':' _ !uocos53o se uede ded,_,_, ue la elot, reel,_
_v=Uo_én530 . _ _ ^ 'i cons__deFemos ue lue o de f se undos de s_.
__u _'9_.0'_ _ _
'. ' _ '- ' ''_;.. =__, la pelota del agu_-ero .,
_; _'UoCOS53^' '
_,.__,,,_.__!__uocos530 4_u u_ inCfina_o; a_an2a horizont_mente d_ metros _'
._/.:...._.._;__,'; _' ',____:-.__ :,_,. ,__,.',.__.,._: "^------- ' desciendeverti,_mente d metros_,_comose
_ t_o momento _a componen_e hon2on_ no mUeStra en el dia_fama.
Vaa (UoCOS530 _ tte_)_ En C dadO qUe el in_feSO ___-- -_ _ ._ _ ___ U_=8_S
eSCOn450, laCOmp Onen{eVertlC_ Uv=UoCOS O. ,/ '_, ___ .,.
Como de A hacia C la es(era demora 7 s y así g ,_ _6_s!53''_.,,0_... A ...._...!,,_'_''__''
descenso_ entonces es conveniente usar la ,_ .,s,.,;,_;;;_'_';.y_,.::,.;n-;;:____._,g_'_,'__,, _'__.,,,,
siguiente ecuaci6n vectonal: ,_ d _.. _0-.,.-,:',!;_._.;.':_'';;_,_.__,_.';_''_,;_._n',!'__=__:,0-^__,-_-'_-=_-____-__'_'''__;_q ___-n_- h'^'_;:.;.,;;_.n.
_ _ _ ; ,,,,v_,_;!'_,___,____'_D_____'_ ___'-;'_-n..__=''''':,:__,__''______V.:):__'_'._____'_o____ __. _.._,.._.gJ.. __'_,._,,-S_:__i..,_, dv X--'--%-'-_./. ....,.; "''''''-''''''
Uv ' Uov +_l J! _ . .y. .._.,;.;...,_vt'_':____;,,___;___.,, __0,0,,,__.,.'o?_._^?_.,_^;:'.._:_''__:':=:_:::.__"'__0_____._0_,___,__,0'_,__'_0,00;.____.__-,_.____'_'_'''=-'__'''_.,__0_ '?_____'
& _0a ... _'''.'' ._.'._.__!_. ^^^x_:__.____'0;.0n,_,,.;._'tS_;^;.._M._._;'':___..._.__. _..'.__._._,.__00'___00__'______,__ ._.g.____'v'V_'_._. _.._d
Según la direccián de los vectores tenemos . '^P_. ' - ' '_--'' _;'-"__ ^"'
- uv _ + uN + (- _) r __._ _ S _ =

_En_ (dm__4)o__43__mJ___dm__6__t_l2(2)__G__t_5tt5o()2d_et2!euK_t.l___a24y_s_mus_egoba__ada)_ _De__l(ty___d)A8d?c_v_l3__v__uloolv_0t__Jl,_+x___t__2t__t___t__3_g__l____t____t_,____tt_tt____n___h__t___tt_m_mt Nt_;_n__tv__J_f9__x_t_t_____t_?t_____________x___x___?__v>__tt_y_t__r_J__tt_Bdv
___tJ- re_a_ _____ores _3__ca
_e_ diagr_a debe___ _e_er._'__4_r d, ____de d__ ___l__ce___
_ ____bKea__ se e_ene Lu__4_ da t _5______s __ ha__;_e _2________J_ a_
d _ 5 K í_J p___ec__, l_g_ _____' ___ _l _l6__c ;_cli_M__-J _uyo
__ v ,; ___ des_la_jnto_o__zon_-e5 _H _trOsy_'e_c_l-
H__ v KJ- .
!,ne_os e_ fn__m_ent_ _____c_. mente 5e e eV_ v me____i fea IZ_d0 U_ _N_.C.__
_ __ _a d-;,e_c___, ve___c_ (_ _c.L.J emp_eamos t__ l c_mo se _u__t_a e_ _j siguîe,_t_ diagrama.
la si_u'___nte _cua_ión vectonal (pues hay ,_-'-- ---'___
?, ,___g,2 _ _ C
V- OV '- ,_ ,,x_,_6__,_
Ree_Fla__o _2_3_s ,' , _ -_'",_,;., _;,__,_n__;_____ _
' - _.__ 4 O _. __,;.... ' "; ;.-_..: ;, _ _ _'-_,__;_ ' _ :'', ; '_ _ _ _ __ ;_ _T _;_
dv = + __ + -2 (-I ß)t' ,_; ,,, n,,y__ _;_ '_:,_,:_.__;,_'";'"!___;'_:;__,_,, ;_, ,, ^Si_''_h,''____':___,_;_,;_;:_-_'',;_,,__v,;_
3_ gf s,2 (_1) _ _ 3_. ,__, ,, ,>_d_',-_'___;___; _'_'_ _,__,5,;,_____s;___._;____:___._.__5___x^__
- -_ " A ,,.____2_-__ _'---'_'_
_ En Ia direcci_n h_n_c!_n__ _m, .R.U.J , ''v_
dH_U_t 4K'6t (lIl)
_ En la direcci6n __ertical (M.V.C.l. hacemo_-
M''" h'C'mO' (__) '' (_Il) uso de 1a siguiente ecuacin veclonal.
En (lIl) Re e mpla2an_o
__ __ _I 5 +d __ (+2_,G3 )( _ s(2 (_)
_ Honzontalmenl_ (_.R_U.)
' 15 dy"U_
d ='_ _4 = l_t75 m Reempl,_,do
dH=20 t (IlJ
P__lBm8 _ D-m_d_mos (_) en_e (__)
Un proyectil es lan2ado t_l COmO Se mUeStfa. d r
Dete__e luego de cuátos segundos de haber d, -- -4 (tll)
sido la_2ado impacta sob__ el plano inclinado,
m,. _V =cot6OO_
40_s ,.,.,.i______'' _ f
,,_,_,,_,,;v__-_x_-_'' _ -- -4
__ _,__
216

d_pc _( _ ____)lv_ t__l___d_tl___________t__ t________________l _ /t__ll_l_,____A_p _ __H_________ _t_ __ __ ___ t_v_ _ p__te__ro___(m__Rtl_u__l___gJ1__.__
CAPíTULO lV M0vm_ent__ de caída I____,_. ,__
P_alem8t2
Un helicóptero asciende verticalmenle con una rapide2 consean2e _e lO _5. Cuando _e encuentra a
40 m del suelo, un tnpulante Ianza __orizonta1mente una piedra c__ _na rapidez de l 5 __ (respec_o al
h_licóptero). LQ__ dista_cia separa a1 lripulante de ta piedra en el instante _ue é.st_ im_actà' _n _;_
7___ 2
Resolución
Et helicóptero asc iende verticalmente con rapidez constante: uv _ l _ _s y cu_do la piedra aún no e_
lari_ada t_ene la mjsma velocidad que el heiicóptero uv = I O _s (t_acia amba). M_ Cuando el tnpulante
lanza la piedra, ésta adquiere una velocidad adicional u_ = l 5 n_s (hacia Ia derecha). Si com__ 0nemus
dichas velocidades, la piedra empieza a descnbr un M.RC .L., ta1 como se muestra en el siguiente diag_ama:
F
._ ,X__-___
__-- - _-_-______ __. - _N _'_0_ ___
- --------_'l 'f'1'T'f'1---; .. g ____5_s
; _ __-_i_,,0.,_;,.;.. - - -. _
: __''' uv=O '__
t d , __lo_s U_'__lO_____S,_ ___
B_'___ ' ._ ! _
o.;;._,...._,_,.._,.,,0.,_._,_,___;_!__;_,___. _...0.'_i__,. ' ; __ r
_________ _^.,____",, u__l5_s d_ __
tltlI1ll _, 'l
d! v=40m !_ '.
_ ' '?_
! _i___,;_:;o._ cC
' '''' '' '_' _'~:''' __"' -' _' _'__'''_" '' ' ''' ''' ' _'>'_''i ' '''''__"''___'_'_._'___:x'_:__'__:_S_'_'--__'':5':'"_''''- ;_.__''i'_'_' ''__i''___:n:''_:____''' '_ :' _ ''i_ ''','_i_'''',;:_::_''__ ,.''_'__-5'?_,:i___:____-_,;_'_ _::,"''__,-_i_'-_'"'_,: :_''__'_'_'_,j-'__'___,__'-'__',:__'_'''j''n_ '_S'_'_'___-.:'' _.".._:_.:-_'':.__''.'_'_____:_.-'_.__i_.'''' '__ ''.__'__._ .__ _,_:'':'i;'y''-V__j:i_';_-n__ '''''',_,.':-;'_.
_ _
_ fa neura. luego de t segundos la piedra impacta M la dirección hon2onlal (M.R.U.) la piedra
en C y presenta un alcance hori2ontal dH. Si el se despla_
tnpulante _ c_o de t seeundos está enP, entonces dH __ ,H r -_ _ 5(4)
la distancia que lo separa de la piedra será
__ dH=60m (ll)
2 2
= d + 40 + H (l) _ _ra el helico/
' _ralaPiedfa_enladifeCCiÓnVe_C_(M._C.L.) d__u (__ lo(4)
empleamos la siguiente ecuación vectonal: __
d=40m (IIl)
?r I_l2
v = U_ +-S (ll) y (lll) en (I
1 ( _a),2 d=_(4o+40j' +6o2 _- loo
t -QO=+lOt+--
2
Resolviendo i = 4 s - d_ = I OO m
217

_h__t_t _HT_____D__________t,______0_______________tl__yt_____Hgft_____t____________t)_ t ____ _ _t______tt ___/__ __ ________ _____________ _ ___t___g_________________o__mr______t__t_____2___. 0 0_0_/__
lum_reFas Ed itores F ís ica
_oal__1J
Dos proyectiles son lan2ados simu1táneamente de A y d. Se m.uestran sus trayect0_ y e1 lugar dunde
_ ___nni
u,,_ ' 'U- - ' - - N ' ". ' _.
A 53o ''
,0.,_.a._.._____' - - ----- - __ _ _- - - - - _ _ _
_ ry.!,_ __ /i '
, ;!'''''' ; ,J'__;p ''"_.
', _mr '.
! ';,. ;_ '
', ____ ;,_ _ 4Q__s',
i' _ ''._ ; '__i__,8_ ' '
; _ _ _ _ _ = __ __0_0 __D,
__--------; --- -----------=-. .. _ __! ..., ,... . ..-_.-. .. ._ ..,.... ,...,, _.,_,._ ,,, . . _.......,.,..,. ... ... __,_ '_e_0,,_
__90m _' 240m_,
_e_olucin
___ pr_y_ctiles r__xali2__n M.RC.L,, y de_de el instante que son lan2ados sìmultáneamente hasta que
choca_ trans__urren t se_eundoi,
Uyf ---_. ;.___ '_._
A ,,__.0,_____'_-'''_'' ' 530 : _ _----.. 't
? ___"_____.i,^i_, U___) _ __-'-- -''__._ -
i ;,.-.---- _ _. // _
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' __ ,/' '__t
l ! ;_-.- J_Lp '_
! _ - - " - "- - - - - - - - - _ - - - - -> -<- - - --- - - - - - - - - N '_
_ _ 'm!r ''
H ! ! _
' ; _ ' ; _ ''_
: - ; ;' 4O__s ----
;. ; , _,_'_,_,,. 4O_s
_ . _, 1 _.__S' ^'__a0____
_ '''''' ; i u4.(g)=4O_s__,g B
_dHr-90m_ dHr-240m __
218

l_anzadop_desd(eB_ 5_3_o22)(((6)))_y _ (( J) ll_____ _l_ _q_l,l__ _ _l l , ( )_g2a__cut__noml_/_p_c_L__ _g_______ l_________________e
CnPíTUl0 _v Movimientos de caída f_bre
ca_lculo de M _r0_l____
De la ffgura se observa que l!na bolita se lanza con u_ _ 50 _s y ch_ca
H-_h, +h2 (_) el__.tiCamente COn la _ared _ea1i_andO e_
A,a_i2,,dove__c,tme_ieelmovimientodecada m0Vimiel1tO paFab_ilCO ant_5 Y d__ßUéS del
,o ect_ l lanteamos la ecuacjón vectonal. ChOQUe_ CaliUle e l _' n_U10 de tl'fO 0 _ (DeSP__Cle
A la duracjón del cho_ue).
_ Para ef pf OyeCtl an2adO eS e
___fl_(2 ,'', '''__ '''''__'
__U_v +__ ,_ V :._
/ _-->iii_,;o,,__;a.__,'0_'i
I 2 _ _ , _ _/ _____:-'
-t7_=+UvF+- -S t ,,' ,,_ .._;.
_ Para el proyectil lan2ado desde B ,_ _ l' ,:_:i':
__ __ _/__, o '
h, _ uo, _ + - 2 g r2 i___'__!___._'_____a __:,=:___ _ _ - - - - - _;_"
;.;.._.;.....v__ _...' '.,....;,.,;...v,;q.......J_.;...:..__.._ .;,.... :_;.. '. . >_ ' '_,:..',,' ' _0_ , _ ' __.:.''.''_,...... ' . ..;::.:.'' _. ' ' __;..,.
l 2 __l _l20mt60m_
+h2=+QOt+- -_ l !, !, ;
Restando (lll) con (lt) Re8oluc_ón
Según condición del pro_iema antes y después
__ + _ = (40 - uv )r dej cho ue l, bol_.ta real.,
H _- (40-usen530)r (IV)
UH_UoCOS
Ahora afa determinar u t analj2a_nos et __ _iO'i_ N "NN.
' ,,'_= '__i_
movimiento horizontal (M.R.U.) del proyectiI /_ (d__e,____iB
_ __a_) ,^_ i_'_''''O'''
' l' _ . _
' ,_ .___
dH2 = u,(B) t = 40t ,' ,' j__)
' u_=uosen0--_ '
_ 240 = 40 t u, =lbcos ___ g _, ''
.____0._._. ___uocos
_ = 6 s m _ ! D''' '''''_- '____' ___ -"''''' _' '''' '_ __v_ '_-_'_'__'"8'' __ ''''''"'':'''_':'''__-'_____'_____'_:3'_'__ '_''''''' '-'''' s' _ _'! '-
uN=uo5en_ l20m +_m_
También para el proyectil lanzado desde A _ _
_ l80m_
dH_ UH(B) x(
Como el choque es elás_co perm1ie que la bolita
t 90=UCOS
e_Ue COn Uo COS0 _ y febOte COn la miSma
Reso1viendo rap_dez u, cosg (_). La com_nente ve__c_ d
u _ 25 _s (_) la velocidad uv > 0 (f) _ s_e con _o cos 0 (_)
_ce que la bolita descn'ba un _ RC l de B hacia D
Y (VIJe_ (IV) s '
l la COmDOnente hOnZOnt_ de la veloci_ad se
4 6 mant__ene constante y ta durac__o/S
desprecl.a entonces de A hac,.
dedunde
m
' H__l2om H-_' 0 -
AD _
219

_b_sttac_b_e_pcltpno_n____tl pafd_lab6ll_l___ADtc2_ t___ p_le_ta o___l_nsl_eran/__/ldo__ue___ t_ll _ _____ ___0_g______r______02/___0__g____ ___ _J4o3__J2_o5_ _t_n____o_o_0_o___t__ ____0____D__0___0______)o______oo0o_ 00____D_o___0__o______0_________d_______t_v_e_l_n0t__o_____g_n______c_____e/__t_g______________
Lum breras Ed itores fjsica
Ve__caimente la bolita de___arro_;_a un M.V.C.L.; y Reempla2amos (Il) e_. (l)
como de A hacia D la bolita e_t_ _e subida y u? sengcosg 24o(,_
_ -
__ la_a, emp_eatemoS la Si_U3ente ecuación
vg,_,o.,__._ (50)'sen0c0__ -__ l 200
___ _ úw >gl 2 sen g co, g __ _2_
_5
_ _,4
-Uf__ _ +U_v + (_ jOJt__ Sen20 _
-Uo_en_"+Ua5en0"lOt_ se ;nesta ,elacin ___ debese,74o
uo sen0m_t
u_0 sen0
__=__"- (ll) t __
_
0tra_éPDdy
_a_imos e_ t_ ayecto de hacia 8_ el lràmo de 8 hacia _ ', la trayectoria de la bo1ita antes de impac tar a
la _ared __- l3 tr_-Yectona re_nejada de la b_lita después del choque tal c_mo se muestra a c_ntinu__cin.
- - - __' _ ' ' = '_',__',_-- ==N-- - - - - - --- - - - - - - - -;----_=_ __?'.____v _ _, _^o ''__ N -. _
,,'' C ''__ JU -,'' C' ''_
//,' __.._.,.,0c _ .
,_ ,__m ,pne;,__ C_O __,
_ ieal /_' _
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l u,' - es_ja_ia '_
_ Or -' ___80. __
_/__ 0 _ __,
D _.i'_'__'_d,/ _ __,.,,,.,.., ____ N__ _._i''0i_'_lD'
.,,__D ' ' _ ' ' .. ._'.. .._.'' ' __ ,q___,,_. ___;_;__.,___ . ,;_,'_---^---^--------------- -- - -- ---- ^ - -^-- ; --
; t 60mt_l80m_t
_! _ l80m_'
En t"l S___ti_'_ '-3 ''"Y'C'O''a _RC'D' Ser'" Uß_ r, __:_'______.b_''_''''c,:_y_-'___''_-0"__:m',' ___^'^__'''0_'_'_'0__''___i'_____'_'___'''___''__=,0___._.___%__''_0____,_________,,___'''_,,;_.,_''__''_,____,______'_''_A__"__'_,_^0o_'_____________,__'__'__'_______'__'i,0__.__._,'_,a_'__'__'_____00___0_'''____'__0_'_''__,__0o,__,'''___'_'_____'__0''''__'''_'_,_,_____"'_,,_'___o,_____0,'_vD_0_''_' _____0'_0_'_'_'0__æ______,^_',____'_____"^':_00_.æM,____:_,_____'''_____,____,_D
. _, _ _ _- _ _ _ i ' i _'_'ii0_ '',_ _ __ ^-'/s,'mS.__'__,:_ '0/_ _ ^' 0__! _ _o,0 _i __ __ _ __, _ L,_ _,0 __ _ ___i... _ _ __'_^ _ ___'_,0_ _8_,_ _ _0____,, __ _0_ __0'_ ' __o_. _g____ _ _ __0 _ 0e_ _ _ _ _0' e0o _ _o'9 __o__0.0o,,,,O _. ! _.o_,_,__D_, _0 _ _ O'D __ __ _ ___,._,__-_a _'0___ __ ;' _i _'
_ l _ l __ N- ,__.___'____.,,i,_,,__._--- -' '- --'--"'_'M"'''-'_---'_'___-'-'-_ +'___-_-_-_'_--v-_'_-' _-_' 4.
_,__t,,ea___22unmpc -i po,esta_,ayector._, e_ _'iyD,..__,_';'_ '' _l lanzamiento oblicuo de un proyectil _0__o_
. _ d , d __- '_'so_re un pla__u horizon_al da un_ alcance ;'_'
aICanCe hOn20n_a __ Sera __, feSa O _Of _ . _____,
_ OnZOn taa O_Of _B
2 sen_a _ __,_
d_ -_ _UO _V r__ve, eJempio g) , _ _ ^,_,,,
_ ____ _ _'- - ' - - - ' - - __ u1sen2g ' a__ _
2ge__6 __'',- __' H=_____
6o+_8o____ ì,_ ,' ' a__,
_0 __o,a,, _j0 _ ___0'_
_ _ _-? _O~--- __ ___
._,__ __'___,i
_' _ _
sen20=_ _ 2__7Q t 0_Y70 -_ _H _,_
22O

_mpmlKv_a__lufte_T_enlsy/t/tr__r(ta__Tam______s___e)ens_ tea/_f_/__a__gsFcalven_d___e__t_s____0___ut_ _r_a_pl_d_e_2J(u__t____)______d__lsmx__lno2uye y ___ty__ ___xua_____xld2_o__m_//_s_2________________l_______H___00_t__ __ _o __l0___0 _ _
CAPíTUlo IV Nlov__ien_oiv de caída ií_r_
PrO_l_m81_ don_e
En el _ránco se muestra el lanzamie_to de i_na __ : rapide'z de lan2am!ento,
pa_ícula y al despreciar la resistencia def aire la 0 : án_uj0 de fan2amiento.
ecuación de la _fayectorja que de5c_be nene g : ace1er__ ción de la gravedad.
dada por y = x --X . De_e_ne la menor rapidez COmparando,!a eCUaCiÓn de la traY
ue adquiere la pa_ícula. _ -- lO_s Y -- X -_
Y(m) g Con la relaci6n (_l), se deduce que
_0_l _ 0=45
___- '''__ _p_on s _ l _ l0 _ l
_ '. 2u2 co51 0 lO 2L72 cos2Q5
u ' __
.. g _X(m)
_/_''''___j,__0'_0'_0 Reempla2ando en (I) se ob_ene
/
__m_,n=5 _S
Res oI u c ión 0__ fofm a
Una vez que se da el lanzamientO de la pa_ícula De la ecuacjón de la t Fayectorj_ _e _a p_'_cula
y cuando alcan2a su punto ms alto (Hm_) la l O
,cu_a p,esenta su meno, rap__dgz tal como se deducimos que la _rayecto_a es una par_bolat por
,F,co consiguiente 1a pa_ícu1a realizar_ un M_P.C.L_
Y(mJ __B,,0_.,....,..._ gU
H y _ X'_ ,, ' ; '
_! t ,-_' '_-'__''' _ò'__ ,_' ! _O _
_0_ _ '___...,,'__ ,' ; '.
/_///U_ :' "'__ u_--U-' _ __
u/' ;H_ _!! _ ,._! _ '_- - _ _ ; '
. A ' _ ! _ _ c
; _ _ _i,__,_,;,_.;-i" ; _ __i_'_|__a'i.i,'._
_...0_ ! _ ///_'_r _ _ ''''_x^(m)
//_'_''_'O _ x(m) _
_ádole la siguiente forma a ia ecuación de la
M el punto más alto t,ayecEo__
U_ = Uh = UC_0 (l) y = a(x-dJ' + Y (I)
Se CeqUlere U y O. donde (d ; m es el punto del ve, _ce de la p_la_
Pafa el lanZamientO de una partícula desde siendo
el Ori_en ba_O CieftO án_UlO COmbinandO y : la altura en que se encuen_a la p_íula
_,c_g( y y_,seng,__!gr2 se establece respectodetejeX.
2 _ :número(cte.J.
que la ecuac i ón de su trayector ia _ene da da _r x . e_ m o, du_ o d el d e s _ a zam _. e n t o h o n.
__ t_____ x_ (__J d : _m_Wodeldespl_jntohoMontalhas_a

____ t t2638___65_2m__ _d ___l__ __________________ ____0__tl_____________________lll/_/ ____t____l__ll______ _,_t___N_______ __0__________________
CAPíTUL_ IV __ovim_entos _e caída libr__'_.''_
Piden la altura del mono respecto del piso en eI
_ ,0 ol
lnSta_tC en qUe eS fm FaCtadO _Of _t _rOyeCtIl. e
g_ r_r_co vjene a ser ,,/ D
H=h + I (l) /,'___--- ,_/_-
Se requiere _. __0,__,, /,/ ''
con__ _ pa_a el pro)_ectil representa su //_/;-_---'--__i_ -"____ '_
despJaz_iento vertical en I s, entances _demos , _ /__ _
_/ _4 00. _ _
utili2a? fa ecuación vecto_ai. - ,. _ __!_', .- __.;. - ..__. .._....'__.__ ,.. ._..,.._._ ._. ,. , n... ..;._ .. ..
__ _ ( l_f2 _
=Uv +-S
0so il
80' ( ) l ( _ o ) ( _ )2
t +t1M_ l_--
3 2 ,_,d---''
' ' ;;___''0''
3 _ ,' , /
UO ' _aii' '' Uo
En(l) D _/ _
__---- - _-
Y=_m _ _
__oalemg_ _o III
_os pro_'ectiIes son lanzados sîmultáeamente y ,_'- N__
con i__u__l rapide2. tat como se muestra, Determine ,_ _.
la menor separ_ción entre ellos. ,/ _
' _o' : ,,,'-'_uo
Uo_ g Lb ______ ; /' _ _' ,.,
/ '-'_'''''''''''_ _!' ''''"'''" _ ,' ' _ '''__,'
,._-..''___ __.,. ' .,0.0_., ;' '
'__._._-'__,___-- _^'--__ _'__;;;__a' _ ,_0' ;
_i/'__ '' ' '"_!_ ''_ '' _._, '
__-____ D _
Resolución
Una vez que s_ lanzan los proyectiles_ estos _O N
reaJi2arán un M.R.C.L. Ahora, comu deseamos
dete_inar la menor _stancia _ de acercamiento ' __
entre ellos, esto puede ocurrir cuando los _'' __
Droyectitesestánelevándoseodescendiendotal _ ____-----__ ___ D ,; ''_.
como se muestr_ a contjnuac_ón en _os s_eu_entes , á - ' ' ' _,._ ' _ ____,_
_g_ - - - - v''_''
CaSOS: :
223

_DHHdy ___(;___(_( _)__2?l_g_(d2 __J)()d__(dd )) ( _d__)_) _d) _ Ntt) t _
l_ mbreras _ditor_ fís i ca
Ahora_ los casos l, I _, ll f y M puede_ _a Fse, pues eslu _ep_nderá de u_ y a , Pa_a determnar D p0dern__
considerar cua_quier c_so. C_nsideremos el caso I.
- _ - - + - - - - - - - - - - - - - - - - -. - - - - - - - ___'' _ _
,___/__ ___
,' ! '__D
"H_-H2_t _ __
t__ ,_ _', ' '_
t,/ ' , h
,/' ------' _-==--_--_---_N----- ___-_-- ---------------------- -
' _ l 1 ?, _'
_ose__ _' _ _ _'__ M2
--_ _ ! ''. Uu5_nß
; ; ; Ua , - ^ - -
C_),_'2 a', cos, _ _ , c,,p! _ _ (2)
_ _ _ ! _ _
v -. _ , ,, _ __ _
_-_d;_. ?__j-_!
-d_!
_e_ t_já_g____ rect__ e_tr_ s__n__emdo_ _l_nt_amos _ue la separaci_n _n_r_ l__ _royectiles es
2 2
= H;-H2 t - 1^_ 2 (_
Como __s _?_yecEjle_s en la honzonta1 es como _n!! e_perime_tasen u_ h__.R._T.7 se plantea directamente
__-- (__oC_Sa!t
_ _. +d2 _u_l(cosa_cosß) (_l)
2= UoCOv_ _! (
además, e_ 1a direcci5n v__ica_ l_s pr0_e_tiles como _ue reali7_an un h_.V.C.l., e_nt_nces para sus
desp Ia2am ientos _'ert; c5les _3anta6mos_ (
2
!=UeS_nat-"
t H! "H2 _Uot(Sen_'S_n_) (Ill)
l
_=__Sen Dt"__t
Reemplazando (lI) y (tt_J em (I) se tiene
2 2
^- _'fJt Sena-Senß + -Uot COSa+COS (N)
Desarrol Iando, reduciendo y _rdenando se obtiene
__ _' + _or(2u_ t + 2 uutc__ (a+_)) - d(cosa-cos 8)
(_)
Seeú__st_exp_esi_n,e_va___de D de__n_esof_de t yaq_e uo,_ y ß sonv_oresnjos.Mtalsentido
e_,L_ntrare__s r __a el caso que D _ea mírim_; pu_s D será n_ín__mo p_a e_ c_o quR ('J sea cero. Así
2Uo t+2Uo tCOS(_+ß)-___Osa-COS_j--_
_ 2_or(l+ c_(_+8)) _ _(c_sa_c_ß)
22_

___DDD _____cr _(__(_22_(d((_2D2(_)(__)_2_22()_J)___(2)( (_J)2_J___))2cdd___cdl (; 2((_J(2)pp)_J)()J) ( 22_8)) __ J (_J
CA_íT_i__ __ JVt_v;'_;n__nt__ _e c_j__ lb_
Aqui, debe _cord_ a rensar alg_nas tr__ nsjon_acju_es _r;g_n__mét_ica,_, n_ulo __i;a_ y _as_ de
diferencia a producto de cosenos, luego se tiene
_a+ ß d_ cos_a- ß
t2Uut COS_ = COS
/
e donde despejando el tiempo tendremOt
a-ß
COS
t_
at
U0COS
Reempla2ando en (IV)
1 2
a-ß a_
COS dC_S
D_ Uo (Sena_SenD) + __Uo (Se_a+Se__) ,
a+ _+
UoCOS 2UoCOS
Por t_gonometna sabemo5 que
a-& aiß
Sena-S_nß_ 2Sen _ COS
a+ß a-D
Se_ a + Sen ß = 2COS _ COt
2 2
_ _ree_2ar en (V7 _ __ucir se obtiene
2 1
a-D a-_ 2a-
= dCOS Se_ _ + - COS
2
2 2a-D _a-_ _ _a-
=dCOS_Sen--+ -COS_
2 2 2
2 2a- ß _a- ß 1a- ß
= d Sen COS +Sen
ldeMdadnle l
a-ß
:. D=dSen
A partir de esla _presi6n pademos deducir _ue para que tos proyactiIes impacten se debe curnplir D = O;
ypara ello a = D, Esto pe_ite concluir q_e dos prov, ectiles !aniad_s simul__neamente de una supe__cie
hon_ont_I c_ocarán si sus com__n_ntes ve_ica!es _e sus veIoci_a_es de lan_miento son igu_es.
r _, _- __ ,__? _ _ ^ __? _ _ 'o __ _ 0' _ ___ _ '_ _; _,' _ _ ___ _ _; cL g_ _ _? _d0_ '?? __ _ ?_L_ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __,_ _? 9 ' __ ' _;n _ 'v'__ _e _? _ _ ___ >_ ___ __ _ _'_; _ _,_ ;'___ __ _m7? _ _ ___ _ _ _?? _ __ _ __,, _ _? "_ __ _ _ _,,_ _,_a __;, _0_ _ 'v_0__ _ _ __ __ __ _ _ _a_ __,e,_ _ _: _ _ ___n_ ___' m _,_ _, __ __ _ _æ_Lo_c __ " _o _ _ _ , __ _ _ __n_ _ ;,9? _ ;? n , ,; ?,_0v , _,, _ o _ _ ___ _ _ __ _ _ __,' _ ;
;, ,______,_,, _,c,____,m___,;__v___',_',,_, V L____5_5___?__,___0_n,:Cc,?_?'__,__ _9'___,__?^__,_______,V__,,o_,_?__ _,_?q, ;'__?__ _ ______,v__n_______??_ __,'__,,_?____c__,___,___'___o,e___,_o,?_____ ____,^___r___V__,_,,c __'_,? __,___g?,____ ,____Jo_,_,_,_,__ ^___9_^^_'?n,__ , __ ^ _ __ '_ _ __, ____,
' , _ __ ' _ roTTna de Te_e_ es_e p_ab_ema _ u_' _32and_ __ nGcioms _e mon' m_
. _. de esto, com_arando _a resolución que h_emos de este problema en el ca_ítu_o de movimiento _tativo.
225

_ARl_J m_c___ll _____lll,_l_t_____l_ __t_/__/____ __f_ d_____ _ d__d___d_____ _ ____m______l_ll/cos 2_g___r__2 cotu __(__l__|) en
l__mbreras Ed itores f is ica
PrO_ltm_18 Como nuestro pr0_lema es calcutar __l tiem_o r
_n p3to vuela horizontalmentc _0n veIoci_ad D_ odemos consider_r c_ualquiera _e los cas_. _s.
c_nstante y un c__2ador inexJe_to ie? lanza una Consideremos el segundo cas_.
i___dra. __ e I insta_e__ _e l_.____mie,_t_, l_ d ir_cc_n _m, - _t __ __N -
di_ ta _'eIoc!dad de l_ piedra c5t ojent_- da hacia , ,,. ,0o __J ,, ' ' _'_,,. __
ine Iueeo de - - - _-- ,0_ ___ ''_-_ // "- - _ - -ûì - - - - - -"^_' Oi__0^"'_
c__ánt_s _egun__s _e haberse lan2ado la piedra, ,',,/ ;
ei pato es impa_t__o. ,/' l' _ ;
'_ --___,.__.-.,- ,__,' ;
_//i Lbt_=_LbS_n_, ;, ;
,_ !fu _
_' 0._ L, P _
__' ___,a i _
0 ----- 0 d -_-------- ---------N----------r--
___ 4_ l-p a; __
_,,_____ ' thCOta?-d_Lu_
'^_'''_''_.' _ d_ied_a __
... ' '__,__,:_'''._-. ...__. _ _e la figura podemos plante__r para los
desp Ia2amie ntos hori2onta1 e s
_S_lUCi_il
__ _d_ =hcota
n_ veZ _ue_ la pledra cs lan7_ada, _sta reatl2ará P' '^ _a O
Como el pato y la pi_dra hori2o_talmente tienen
Un ... ,.,mIe_.trasqUC__I__l0Ieall2aUnh1.R.U._
' velocidad conStante se tendrá
j_Ora, Como la pledra Io_'!r_1 im_ctar en el pato.
, . _. - _'H t-_ t= _CU ta
a tfayeCtCifl_ eSCflta ß0f i __e fa _Ue e SeF
(-up cos_)r_ur- = _cota (i)
' lmpactar en el ascens_ Dado que a _- ,_ son d,tos 11_te Fa_es ( sa_0.,a_
U
,, - - - - - - - ' - - - - - - - - - _-_-_0_ __' _ -' función de es '_os datos, mas no en funci6n de H y
_ r __ _/ ' / up, pueitoqu_ est_s van'able_ 14_ hem_s in_o_ucido
,' ,," para obtener la relación (l). En ta1 sentido
,' ,_ ', enconlremos up y _, p_a Io c___ __aminamos e!
lUp _'
_ , _ h_.P.C.L. de !a piedra en la direccin __ertj_al_
__ ___ a__. empleand_ la siguiente ecuacjón vectonal:
, . __ f lt(2
' ImpaCt_fCUandOV,aeSta _SCen IC_ _ t InUov +-
_--------_-i-_ se__-ene __, sena( _r2
t,/' ..._ u -_ _.
,_ - -- ;__' - -^- '- - - - - - N ---- 0'_ ' _ultiplicando miembro a miernb;o por cota
_ ,_ _cota , cosaf___(2
, ,' -P
_' ,' Ahora_ se nota que (IJ = (II) entonces lenemos
' '_U
l up cos a t - ut = up cos at --t2 cot a
?__
2
Cabe sealar que cada uno de l_s casos t "Ut=_-2 COta
senalados se puede _3r _ependie__do de Ja
,_pide, co_,xque ,e _a,ce _ap_edra, , y a Resolnend_ t=_l_a
P' ' _
226

_(Dtesprecl7Lt5___ ___g____l____|_r_______t,l,,_______t _q_ _ Aldg)__3N_lruodlmrl___ssltl___ltlnu d B_l) 4__ t__tmr_s _Jd_c___J_ 5(o __oml N)
'0
. F___gm_s '_,__i0__ii_...0_.' .0 ues_-'i',,___._0i.ii_,___ ,., , ..... ........._...__ , .. ,,. . . ,._...,
l. _Qué rapidez presenta el ani1lo en el instante 3. Un m_ab_i_a hace una dem_str_ci6n en un
mostrado, si luego de 3 s empieza a c_zar a salón __ lan2a pelotitas a l ,_ m _el pis__
la esfera lanzada? (Desprecie ta resi.stencia ve_icalmente hacia _N_ c_n in{e___s de
__re. __ _o s2 s s__ el ,_ax_ __mo nu_mgro de e_otl_t
l_l_l_l_ _UedRn ___taf en el al_re eS 3_ detefmir_e _a
----- _'_ m_n_m_ a1tuF3 de_. salón para dicha
-/n __ 2_
u emOSraC-I -
_ A)2,lm B)2,O_rn CJ2,3Sm
' _ D)2,6_jm EJ3,15m
m ',
_ _. Un ob)elo se lanza vert;c_mente hacia amba
' 2o _s desde el borde de un edinlcio de 2QO m de
alEura. Si luego de 5 s su rapidez se cuadruplic_
_.,_. :;;,_, ion __é rapide2 impacla en la ba5e _el mif_io?
----^-J t.l' __,
AJ&nUs _)5mfs C)2mJs
S OmJS mJS
D) lO_s E) 4_s Dj6o_ Ej 7o
S m_
2. En el instante en que se abandona una canica 5 _ _
_ Se a_Zan aS eSferaS SlmUltanCamenEe COm_
__ e lanza otra tal como se rnuestra en la
' mUeStra a _Ura, LlUe_O de CUantO t_em_O a
gráfica. Si cuando están separadas L/2
pa1tll del 1nStante Sen_adO 1aS eS(eraS eS tarán
verticalmente por seeunda ve2 presenlan la
Se_afa aS m pOf Se_Unda VeZ? _eS_reCle
mlSma fapldeZ_ dete_lne el reCOmdO de )a . . . . 2
a feSlStentla e alre; COnSl efe_ -- S
canica que se solt hasta ese instante.
.e la ,esl.stenc_.a ,e oF,ece e_ a_.Fe) _, 3m
,,,. ;! ,_t_l._,g
_- - - - - - - - ''__''' Uo"-O - - - - - - ;! - - - - - - - - - ' - - - ^ ' ' - -_?'__''_:___0___
; ; 8nUs
? g ! _
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U !
2_s
__,'___''_,
------' jl' -----.''
lll ' '
A)3/8L 8)2/5L C)3/4l A)O_2s B)O_4s C)O,6s
_ D) 7/2L E) IJ2L D)O,8s 5 E) l s
227

__AA_); 2___ _ l mB_))_3d__ _r _ cd))4_ t d. vu_ 0Jelve/aveDr fapt tt__ mrJ_s )r_
Lumb reras _d itores _ís i ca
6n _n la F_gura, el tren a _art_ del instente 9. _na esfe__ fue s_Xtada desde _i__rte alt_ura _
m_strado!nicia sumon_mient_ re_liza_doun _n el 7mO se€un_o de s_ caíd_ rec0rre l/l3
M.R._._ c_n 4_''. _i desde la p_e __lante_ de su recorn__ total. 5qu_ ra_ide2 pr_senta
_arlz_mG_ vertica__ente hacia a__iba una e_ el instante q_e _o__ea el pi_o?
_,Gta c;,e_e_i_e Ia ra ide2 má7jma con ue __ _ o sZ
p_d_a ser ___a __a _ue c_ga subre el tren.
2 n
= _ S S _ l3O_S
D)ISO_s E7 I60rNi
_
_'_J_0 00 ,_ 10. _!n c___te desp_ga desde la superfcie'
- ' _'. _' _ __ 0,_v__ _0 ,_ _ terrestre co;'f __na aceleF_cjón constante _e
' J __o _ __ ,
S_ .__^__,, m __ eS_U_S de !_ S Se __Cta e1
_ com_usti_le y e_ c_t___e _e 5i__;e R_ev_nd_ en
ca!!__ l ibre x Det_Jmine el _em_o que _an5c_urre
?,o_s g _5,_,4/_ c 25m/s de.S_eqlle Se_Cab_elCGmb_Stibleh___QUe
_) 4_ _s E) 4_ _, imPmCta en __ SUPemCie _ _ _ l O _5_!
7. _el b,,d, _e un po2o d,, _ _; m d, ,,o Fund;dad _) l 2 ,4 s B) l O s i) J 6 '2 s
/ D 2os E_24Js
Un n1_0 S_e ta _l_ ra5 3 r_Z_n e U_a _te ra '
p__- 5e_undo. M e! instan__ en que suelt_ la
__mera _;_dr_, un_ pe Fs_na u_ic,_a en e_ lI. Un;_ piedra fue lanzada ve_icafmente hacia
_€o,___ de_ _o2,. _an2a ve,t_c__mente hac;2 mba, luego de cie_o tiempo pasa frente a
_nba un obJeto c_,, una ,,pidez de so _s. una _7ent_a de 2 m de _ tura qua se encuent_a
_e;_ine el numpro de pjedr_ que solt el a 4 m de !a trayCCtOrla de la pledfa. Si Una
nj_ hast_ el jnstante que el objeto se c_ze _erSOna _ Otf0 la_O en ef Cen_O de la Ventana
con fa segunda piedfa. _? _ l O m/s2j (a J m d_ d3Sl_C ia) vC a la piedra durante I s_
_qué tiempo traMcune h_ta que la persona
_edra_ _lo 2
_)s E) 6
A)O__s B)ls Cjl,_s
8c Una copa de vid_iD e_ soltada _esde cie_a D)2s E) 3s
al_ura respectc del pism _ t_e_u da _,2S s se
escuc_a e1 san_do del impact_. _Con qué l2. M un planeta se lan2a ve_icalmente hacia
rapi_ez se debe lan___? ve_ica_mente hacia a_iba una piedra, de tal manera que en el
abaju a la c_pa para mue el tiem?a en que se tercer y cua_o segun_o_ recone 2 l m y I 5 m_
e_cucha ef _s_nid_ sea 2 se_undos menos? respectivarnente. _Con qué rapide2 ?ue
_defe __ l_ _s2. u _ 32o /s t nzado7
_ SanidO '
. AJJO__ B)J8_s C)2Jn_/sn _JI2_Js aJ18_s C)2O_s
_) 24 _s E) _O _s D) 28 _s _) 36 _s
226

_A__J___6_omr__l_l)_ ___0_______________n__)___________________t_____0___00______ ____t___t______0 _ _l 16 l__ta _pole_sa)es 1an a a p tc melunet goqcduleea
Cn_íTULo _v Mavimie_ato_ de cajda iibre
I3. Se tiene un tubo en posición vertica1, quc va a lS. _n g_ lo_o aerost_tico asciende ve_ic_mente
sersottadodesdecie_a_turayenesemiS_ cof_ r__. idg2 con_tante de 10 m/s. Si e_
instante u_ _que_ esfe_ es l_da _ COm0 tnpuI_le del glu_ l__ v_icalmente h_cia
Se mUestra. Si tue_o de O,6 S del l_2_ient_, a_ba _n2 pie_ra y luego de 2 s l_ ____ p__ar
este l__ alravesar completamente el tubo; f,ente a ;__ _cu_nio reco,e _a p_gd,,_ ha.sta
determine la long!tud del tubo. La esfera ese instcnn, te7. _ __ _o _s2)
__ce den_o del tubo dwante O, l s.
1
_ S _)20m B)l5m C)lOm
___ ';__ DJ5m EJ2ím
i_e-_ ____ u=O
_::__.a_ . _n _ df zd v_ial teha_
_'_ _, . mba con una rapide2 de 60 _s d_e Ia _otea_ _
.F.. d so s_.
_ deUned__C_O e m_'
_ 3 s desde la b_e del edin_cio y sobre _ msma
ve_c_ _e la pnmera se tanza ve__mente una
IO_s segunda pl_edr_ _on 30 mJs ___
'__o,;__:'_;a' dist_cia __ a las _Fef_, cu3ndo _a pr_me_
pîedra ha alcan2a_o su aItura máxima?
2
m BO_4m CJO,5m -
D)0_8m E) lm
AJ l20m B) l35m C) l32m
l_. A dos canicas se les abandona simultánea- D) l8Sm EJ l92m
mente sobre las boquil_as de dos tubos _isos,
tal como se muestra en el grnco. _M qué l7. Unfutbolista, lue_odedriblearalarquero_ se
felaCi6n eStán lOS tem_OS qUe emplean l_S encuentra a 6 m Frente _ efco de 2,5 m de
canicas en reco_er la longiIud de los tubos? a_fura. s_ en ese _nst,nfe _anz, e_ ba_6n con
(A___ diám_tF0J una _apjdez de _o _s y ba)u M _ngulo de
A 539 respecto a la horizontal, anotar_ el eol?
a-mnt__ ___ -._,^__'^_' ''_ g lo_s2)
_,,/_,,...,.__'' _'-_, __ __g _
'oi'O _aa0
'_' _' ',., _. A) No, la pelota choca en el parante supenor.
__ _ _ ; BJ __o, la pelota pasa por encima del parante
'__ _? _'__'0,._ ,_
__ __ ; __ ___ C) Sí, 1a pelota cae dentro del arco.
B _) S!_, la pelo_a impacla en el pi5o antes de
ingresar al _co y luego de rebotar ingresa.
- D) 2 E) F_t, a E) NO Se PUede PfeCiSaC_
229

__e_l__p___lnavtn__t_o_____n_3_c___ll_nggtam_dn__Mo4t__(_2_J__ _ _t_t__m(_s)_l) _ _A_)f_0_ ___00____ 0___0)q__ll_ m____dc 0_c)_pqm _ n
Lumbrera_ E_. _toF_ física
l 8. _ _ar el fuego er_ ej __ntu B, s_ lanM 20. Se r_ues_ra _na 17lataf_r__a que ex_enmen_a
_nc_.;nad_ __ fes ecto m R !J __ _on __n2 m/_c-2 _ra t,_ _
dR la hon__ont_. S'_ cl ch_c__ l_ega en __ s _ su InosLra_o. S; âe la _l__f0_m_-- _e un pr0_'ec_f
o__;__;!!_'J. __ !_uál es In di__t__ nc;_ entre A __ __ en la direcc'__n qu_ se in_aca y con ur,a
(4_= __n_Js2) rapidez __e u=_m/_- (_respeclo de 1a
___tafo_a), i qué _jstanci_ de P impacta
. el pr_1'e_'E;l_ _= lO _s_)
^' _- U
,' _, ,____ 53o/2 ___-20?s
,?_'_____,,-_- ' _v,_ _ ___ - _ - - - - - _
_ ??_c , _ _? __;_4 ;, ;, _;vtn_ __ __ w _' ___ ^ '__ t_O_ _U_ _____ __ _
o __ct,_ _ ''-^ ^4'''"_'':''^_______,;____ _____
! ' S'_v._, _-6m_!
=__ _ ' '"_,_
_ ,,, '_ D) ;m E) 3m
_0____^_^
i __. _0
!, 2l. Calcule la relación entr_ las máximas alturas_
, _ alcan2adas __or un proyectil 4ue en un _rimer
t____ 3om __ raso es la_. 2adu' _ajo un ánguIo _ )' en un
se__ undo ca_o bajo un áng___o _ue es _1
c'on'i?7e__ento de u. _n am_o_' cc_soi se _e
_) 40m B-J Iß_3m C! GOm _ _ _ - _
an2a COn a ml5ma rd_1 e2.
IJ) __oJtm , __J 3o_m _
,4jtan_c_ B)sen_u C)(l+cosu),-
l9. 1,a esfera desciendc __o_re el plan_ inclinado D_J cos_ u _) sen_'a
( l!, lue__ _ impact_- p__endiL'ulaTmcnte e_ el
plano initinndo (2_, con una ra. pide2 de 22, __ _rF_CO muestra un a_'in !' un tei_aue Qu_
3O45 n_s. _cterm,__e a que distancia _el luear desarrollan un _1-R._. con r_pidc2 de 12 _L/s
c7ue __ ban__;__ aI plano (l) logra impactar en _' 27 _S rcspe____'_ente. Det_r_T_in__ a _u
_ _ __ ,/ 2 distancja del tan ue el a__!n de}Je soltar un_
bomba para poder destruir el tanque.
-._ _o_ 1_m/s')
(l) _^-____
o_ _?_=_______0 _
!
l _
i
80m
u_
?. _5_O_. _ _. -t - - - - - - - - - - - - - - _ - - - - - -__
A)I4,2m _J'29,_Jm CJ3G_7írn _)60m BJ70__ CJ90m
D) 4_, 18 m E) 53.15 m 0) lOO m E_ l20 m
23O

__Aen)__l_re2_e_l__30s d0u__t__ ___5t_3____( __2__________a__w_t____vt ) t _)_cm__a__x___)J_mrtu_s__gt_____ _____h_
CAPITU__ _V h_ov;mie_tos de c_id_ lihr_
23. _raelin_tc__teq__esemue_stra_desde_1avi__r_ 2_. _es___ __ o_-_'gen de u__ _!stR_r__- _!c
_e _uelta uT_ proyectil cor_ la in!e_r_jun d__ cn__ r__e__d_ _-- }' Se _a_ u^__ ___-rJ?_ e_t___t c"__
hun_ir la l__nha _o.___dera_ __ue _pent__enE_ _=_et _r_ n__J'__1c _e_ el_va_i__! pa;_ ___? er_ u1_
_1.R._. conun-_ra_ideJ__e 1'__m;_cte_i__e _'_!__'_)ì0 ___C_-_d_ ____ !__ _O_S_i _Or_ (J_ i 4'J IT_!-
_, s_ e1 a_'_n logr_- __u _b_et_v_. _ct__i___ la ra_'_r_e_ ln_'___im_ L___;_ l_ __'u_ s_-
_ _ _ o _s2) d___e __2er ei Prcv, _c_ t ___ra 1___,____ su __JJ_ct___'_;_.
_ ___ 1O_,'s")
'_ ___
0 ^__ . _ A! QJ5 m/s B) 2J_ n_/5 C,) ____ _O m;J__
g _'_-_ _.JJ __m/_s _,; _m,__
__. _ __ su_e__c__e _e _i_;__J pIaneta, 1a ____leracnir_ ;_
l_m de la __F__/edad _5, g_ _ -4;'_a; J_'_>_.
_e___rmin_ i3 vel0ci_ac!. de luN peq_R__a e_(e___
U___ _m_ nz__ __ en A !,_e o de 5 ._ __'e _-u lal_,__jencr,J.
0__e__=__0 0 ___ 25n_is
''!_''-'____ , ,_,,x' '
_lOOm_ ;'___mg,, Y_,
A) __n_"s B) 5__s_ c) GomJs _ __3__^_c_, ' _ .__
DJ 7on_/s _) 80mJs _A '
__4. De_._dc un_ n_jsma po__ icj_n _n un ____)_ A) T2J _S _) +5J- nl/_
inclin_d? _^ r__._fJecto de _i{ _ori__ntat, _e_ _) rj _._2,__ _ ____J
1_n__ ur_a __r(_cula en f_rma pe_en_ic__j_r _ _ _
__l _lano _r_clinado )_. otf_ partícula _e su__ft,_ _) -_i _ _J_ n_S C__ ) -_i _i_'5
en furm_ sim __ltL_n__. Si las _artícul_s 7ogran
;n,p,c_ar dete,3,,;nu_ _a n,eyo, s_,pa,ac;ón _7. _n _r_t,'ec.lil sc 12n__a desde el origei _e __n
__Ee 5_J mo_,__,n;enEo s5te_na _e co__denadas __- Y con uJ__
(___nsideFe g: ace_1_rac_ún _e la gcave____) V''oc'"'' I^_' J_' ' 'e'ec'"''" '' 'cua_--'n
d_ la rerta de m_1_or pendiente _oiiti___ _ue
c_Jrt_ ta trayect_ria del pr_yectiI en do__
U B) _U _untus_ __i uno de eIlos es la pu__ición _e _tura
2_ 2gse__4 m__ __
z
c)_U A) y=__x-+l B) y=2x+l
g lga,
u u
D) _2 _4)
_COSa S SenatCOS_' _) y=-X+l _)y--x

________;___ 2___7___mrr/_ __t___y__)___ ___2__ _______ y_c_)|g___9___ _ r_J______dtt t_z_,_a_l _!tegc_)r _l fptun_;___nJa_s_al;o _et su
_umbreras editor_ fsj ca
28. Se muestra el instanEe en que un proyec__il e5 3_. __s proyectiles son lan2ado_ c_n 1_ m_sma
la_adodesde laposicjón _. Sisedesea4_e ra _i_gz de _ __ m;s pe_o c o n u n c _ e r ; _
pase ruz_do por _a pare_ i,_clinada e_ el jnterv_lo de tje_po ___, el ;;nme F_ se len2ó
p__to _, icu_ de_e __r la rapide2 __eces__:a? ba)o un ánguto de e_o ;_ el segundo ba)(
g--lOn_s ' ) _n _ulode 53'. Halte _(a p?o_im a d a m e n E e
con la con_ición _e que los pr_ye__tiles

__B
_
u ; A l,_S _ 3_2S (_)6,IS
_ D) 2,m_ _) 4,8s
i____ ; '
_/_____,_' ; 450
_; ''' ''' '' ' ; ' 3In U_.a_rnna__!anzadaver_calmentecongran
_, 10m_'
' _ / __VeCEO_la eX_lOla ert 4 fra_m_nt_S, lo_ CUaJ_S
,___ 5 , 5 ,mS '
_) g,s4 mr, n_) g,1G _5 'e ''PC'S_" SO_f_ ' mlS'_O Pl_nO V_rtlCal
con iguaI ra_ide__ pero en _irecciones
29__ se mue,t,c, e_ e_ ,_n,ca __ !,_ ec(on,, de,_,;ta O_UeSt__ _ MU_Uam_nte PemendlCUlafeS DOf
or __n 0b'e _o lan___ en l3 os ;cjón i. s j los PareJa de (ra_m_nt05 _ L_Uet rl_Ura Se fOFmara/
!tmpactos con la_ paFe__es en ,v y _' son en CUalQUlef ln5ta_te POS(erlOf al eStaltidO al
el_stjcos-, determine __ medida del _ngulo a. _nlf tO_OS _US If__In_nt05?
(N_ to_e e_ c_en(a el ;ie_npo durante Ias
cul;siones y consi_ere g= ! o __s'). m) Lln CU_drildterO CUalquiera_
B) Un pa_alelogramo,
_ C)Un trapecio.
_ _ __ _ _ _ D) Un cuadrado.
_" '__ - E)Um rombo.
M=-_._ _ __
__ '_ y 32. Un nio de l ,5 m de estatura está parado a
4o_ '' _ U ,'/ I5 m fCente a Una CefCa de 5 m de altUfa_
,v ,' ' S i laMa una canica baj_ un áneulo de 4SO con
a 0_
- - - - p _'_ la honzonta_, icon qué mínima rapide2 debe
' ' _ lar_zar la canica para que esta pase por
_80rn_-40m_' encima de la cerca?
A) 3oo B) 4_o c) 37_ 4) l7,5 _s B) l4_í m/s C) l3,8 m/s
_) s_o E) 6oo _J l I ,4 _s EJ 9,6 _s
232

__Acb_____Jl)_an_(p__((blb2c_l+bol_ll/72_+l_n//u__a)____)_net_o2)_____2o_h_l_l_oo0__o____ __mr__mr_t _ __t_ss2_) /__n_______J _/t_t_// t_ ____________________B__ _J __((b2_ b+_ _____a_)__n__2______JM/_tg2J / A) __luu?__ggtlvgt_212_____u__o2o___t__22agg__ Jth_ )_ __ u_2 ___r_______1__ __ e_ _u__r_2_) IltJt_g22 _
CAp_TuL_ _V Movimíent_o5 de c_ída lihre
33. En Ia F_eura se ,_L_estr__- el trayecto que sigue 3__ De_'€erm'_ne el m_i__ v__ j_r de __ de tal ror___Ti_
Una pelota de gol'_ que ha ii_o lan2ada _ue !_ esfera _aT_2ada de A, l_gre
desde P. Si dicha pelo_a ___a rozanda la parte, expRrirT_cntar su máxji_o 2lc_ce t_0n2_nl__ ' ;
ma/ s _I ta _el bande I'jn de aI tur_ tl para lueg_ cJ_-sidc_re que la __um__neIltR _er€icm_ d_ la
jmpactar en M_ _etermine _a altura máxima veioci_1ad cuando la esfera se cncuentr_ __
q__e _can2a 1a pelota (desprec?je resistencia m_^s _erí_ a po5ibte c1e la _a_e_ inclinada es
el alre 50bfe l_ pCIOta. _e ______ ___i_ _. (g = _ß _____,J
,"' ___'____''' '
,_i____ ' _'__, '_ ._.._ _
___/ _'. .'___
b _ _ ' ' _. _ , '__ .. .. ,, _. __ 0._ ......,. ,,, , .. ..., /.. _ _ i _ _ _ _ _ ' ' ' _ _ _' ' : ' _, _.,_ ,. ' '. =: ; ;
2_b 4ub A)- B__ C_g
_ab DJ_J_4 - _)-;
D)_2 _ _)__ h
nt_ 2_b 3_, la _lU_0a de _l_ _Sp Oteta de _r_a_ grar_add d__
fraemc_ntación se reajiza en el c_e_ltro dci
3q_ En Ct inStante m_St F__O_ dRSde el a_Ón Se fondo de _1r, poz_ cjlín_fjc_ de _r_(undjded
SUel ta Un ObletO COCl el prO__5ltO _e lm_aCtaf _. Sj los fiagmgnt__s mue _e for___n dufante I_
en Un blanCO SObre el _lanO i_CIinadO. _Si ?_ expt_siót_ y cuyas veloci__des no sobrepas_n
lO._fa _i_hO ObJeti_O, _ _Ué diStanC1c_ del tU__ __o __o __t_en caer cn 1_ supe_1-_cje de la tjerr_.
qUe Se SUelta la bOmba Se enCOntraba el i;u_l de_e ser e1 mínjmu r__jo del poz_?_ _
,B_ _, ' . D )_u o ,__t
//// ,
m -_ O

__;__/?__2;__&qom___?___m____hNlnr7_?t__t__x______x_r_h_t___?mt____g_t_____rr_qt_/_ _u_ _tt_mopent_ tqe p tq _p___ po ecp_Kyo__ _ ep5 o_e_psp_ apcJ m__o e_ __s_ mo0oqueace_ap_nt t_a _etecde la etca(eraqptecTeesetr_epm__ ueM_ta ________
n__ ___ amm%^____^n'
_9__ _c
__,_' EL ENlGmA DE LA RUEDA DEL CA__O
,,__,_e,__'0'
__y___? Peguemos a la ljan_ de ta ruea de un carro (o de una bicicle_) u!_ _a__ de color y _j_monos en ___
.. _ cua_do se mu_ et ca___ (o ta bicic_Rca)- No_a_emos un renmeno extn__: _l g_nF la _ue_ e€ _Fe_
,____ se ve b_tan_e __cn mier_t_ se encuentra en la pane in(erior _e 1a mism_ parc s_ __o por Ia _eX
_- _ 5uperior _s _an (ug2z que no da tiempo _, distinguir1o
?_R_'_ ' '
_m__m- ,_x., Da fa sensaci_n de qUe la pane _upe_;or _e Ia rueda se mue_e m_ de prisa que fa inferior. Es_m_
_ ' _: mismo _enómen_ se _ue4e ohernr comparando entre sí to_ n_iot su_eri_res e in(e_-_ores de Ias ___
__
9_q_a_ _,,_ de cL!alquier car_ye. Se noQ_ que los radios superiores se cOrren Y Con(un_en, C0mo si F_rmann un0
___;,?_x/___M, solo y c0n_nL_o_ mientns que los inferiores se 4istinguen aisla__en_c+ En este c__ _t__n p__e
__,,,_,' _q?" que la _ane sumerjor _e f_ rueda 5e mueve má de prisa que la infgrj_r.
? :_',_ _ En qué c0nsiste et secreto de este le__mena _n extr_o? m_ 5enci___; e_ que 1a parTe sJ_rior de
;'';,_/,__ _, r_ed, se __,eve efect___ente m_s _e _r;s, que _, _nfe,_o,. esn,e _e__, __ece inyer_s;m;_ a p,t
_M_ ;_5 vist_ _r_b_s4,_tunsjm _eFa2onamtento anconvenceFnosdesureaIidad Eselcaso ueQda -unt_
_;?'n _' ' '
_v __ de ix__ rued_ re__;J_Ö' simLJ!_' neamentR do_ movimientos: uno de ro_ción, alrededor de su eJe. y otro de_
,v _ _ _ av_nce _4nTocu_e__em__smoe_e _r-lenetu f ues lomt,
4C _n' _' '_ comb_na,;;n d, ,Jos movjmjentos _ro eI ,esu___o de __ cornbinat_i6n _ difer_te _ __ ,_es ?s
_'___0, ' ' ' '
,_- ,-n,x_, infer'i_r y supert_r L!e la rucda. En l3 _a_e su_erior_ et movimienco de rotaci6n d_ la rueda se s!_!ma
__,__';_ a! de avaMe. _ _ue escos dos mo__ientos van en el mismo sen_id_. _n la _ane in Ferio_. al revs.
_ __?;__ e_ movimiento de ro_ción tiene dir_cin contnria al de avance Y, par con_iguiente, se res_a de este
'>_, ;_c_
Xi_,_a,V_:___?_, _ea uí or u__ _esu er_orelaruedasem_evem_de risa. conreIaci_na__no_se_dor _
_-,^?'_,__,____ tìjo, que la pane inferi_r de fa misma.
"' _J ,___?__ Pan demo_tnr que esto efe_inmente _ así, puede hacene un senciflo ex_rimen_o. Hinquemos
__________4__ un p_lu _unto a la rueda de _ _ro pando, de mane_ que quede (ren_e a1 eje de aquélla. En _a parte
, '!e___ ms at_ y m_ _aja de 1a ?ued2, ha__os con ti2a unas sea__ de _fereMia. Estas __!es se enconTnnn't
____ _ _ b._F dl_H_tdf f _Nld__ _,
_._,,_,___ t n fen e e _ _ e S caff _ q__ Je e_
'_/' -_-____,' rueda se aleje del _lo unos 20 30 cen_ímetros. y obs_Nem__ cmo _e han esp(__dc I_ _en_es de
____?____ , ,e Fe,enc;, Est; ,1,,o que & _ttal ,,pen_o, A h, ex,n_me,_do u, a_nce m,c_o m3y_, que e1 de i, :
_c i_ _,_ _.f : g_ _ _. __ d d_ , _
__ _____S 5e lnYIOr t tUa __ aR O e _a'O' '
T 'v _ S
____ ____;
___- _s ___
;_,_^_ n __ :-_-?,__.
____ _X,s _ ' __
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____ __n- . l_ 0'
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_' ? '-_mk '_ . _ __ _ __
_ - ,h, ^ ., _ _,? _
_,X_____ _ 0_'__ ^ '_"
4___x_
_x__
,;__ ae_troc_n de que lo pon_ _qerior de _o rue_ _ mueve mÓ_ de
,_, ___ pnw que /o Infer_or. Coqrese lo dist_Mi_ entre los oun_as A r & de
.m; ed_ mo/yJ_J J_b f h con r t o J Jo _
_ ;_
n_ __, ,
' ,_'___
___-__ fUENTE; F_tica Recre. atin Tomo f. AUT0R; Y. Perelman, Pág.; 22 Tomo l
_'__,_- _

_t __b_ttt__/____ul;_c___ _l_ _t ___t_ ct__rc____ll__ _ ______
____g__?__n_____________?_____?_n_0______c__w___t?__or____n__n_________?________c____c________?_____u_______?_c_?_?______e__s__?___u_______n__?_______c_0__c?__0__0___t_n__J_c_?_____?0_0n_____0____n_c_____0___?o_________0_cn0?c___0__?_____v??_n______?____v_9____?0c____0___e_e_____ce___?______o__________?_____??______?________o_0_9___9_xnn_______0___t___F______nD___cn___q_____________t______0___?_0______c___0__??___coc____??c__v___________?0___N?__c_________o____?_2___n?0m__?0____J_3____?________c_____?_n__0____?7n______________
g_i______ ^ ' ; v_,__'_'' -_ __,,v;'__,;_>,_ ,_, -
i s , '_ v'n _''_',_'-n '_'? , V_'- n''.>-;? ;_ _ _
'' ' ., ,_._.;"'> x'__i:_'"____'
O_lmVOS
_ Descn_Jir el monmien_to circunf_rencial.
_ _tablecer los conce_t_s de ve1ocidd_ d angul___ )_ Yce__r_lciÓrl __ l__!;__r.
_ C_nocer las caracten--sticas de un M_C.U. y un h'l,C.i!._;
_ _tablecer los conce_tos de acelerncin lan_enc_i,_. ;__neterac;__ cc_ntríp_t_ vv _ce_eracî_n
lolal.
Descnbir _n mo__mient_ cur_ilíneo en un __lar_0.
_N_OD_CClÓM
En !a n__,turate2a, __e o_s_ cnr_n movi_nier_t__' cuy. __N trat_ect_ri__s _,?_, _ , _0 ne__ _'__0 _,c,_ n,_ ,, >,,_,_, ^ _____
nu son líneas rc_cl__s, sina cur____s; s_;mejanles n_u_'ir__i____tu_' _ ' ?n___'_u _ _ ,____oo_? ,___=__0" __,_ ., ._ __ _ __'_'____L__ , _____R^
/, _ _ O__ __0____?^____,__N__ ^__^_'_c_
r_Clbt_nef nOm_CC JC'mO_imient_S CUr_llnCOS. C!5 .___r___'t___ ?.' _c',_i,_,_0' ,_________9,,___,,L_,?__,_,,,_c_? __00___J, o ,, ,c___,_;__
tcJi s_t!'_t_.i __ e m!_even en _l esf_aci__ _e:__c-_'it7i_nd_J l?___e_'l__ri__ i _,,, ___,__0,,,__ ,___, _'__n _"_ ___o_, _9 e _, _ ?,_' __,_a___ _
6 __' _?____?___''5_______c_v__'___? ''___j ' _ ___>"'_'___n__
C_;r?'llllì__.S ;_ICntr_- ,_ _Ut_ '__C __ C _Se { _ ____ dic_S_ __ t?___ìSf_____ t_J. _ ec ^ _n?_ , _ ' _ _c__ ___ _o_oD __?,_0__D,_q,_ _0 _ , ,, ?, __ _
, . . , f .._ ?'___ ___o__:'v__________'_,__,___,___;i?'_'__,_^w,_0'_c, __________' '?,c __ n ______
___tC_nl_r_ "t'''_i_ _e aS n__4t_lf__"S )'' mCi_t_l3S_ll'_5 ___ _Cf'{''"_' _ '''S_tl'1 '(_'n __ c,_ ___,_,____,_0 l____L___v?9_,c____,?^_'_L___'9M________'.v__. _%_ ___''_,__n,___.
_IT_ I_r_ t__,___'e(_tU!-l_t.i C_f_'i_.. __G _ _ ?_r,?___ _'__v____ _v,'' _,____,' ? ?,,, ,_ 0_r _ ._ _,_,__J_,__0,'
.,,, _, d,., _o, ,,,f,_,u. __,_,,._,),_ ,. _,_,,_ __; ,,,)(,, -f_,_;e,,,,,, ,_,,n,-_l,_,eo _ __? ,____on _ ? æ_,_,_,_'0_n,, _ _ __n _ _ __ '_ _,_ ',c__ ,_ _ _;_,__ __ n mn ' _ _ _o _ _ __n ^c _, _'_, _ _0
_r_' _e__fa ?_,3_,'ur__' .s __ fiL__!t___c_.__ _-___ c_c_n_ _;-/i____c_ ;-- __!ì con 1os 0 _ _0 _9__ _ _ e_ e'_n _,0 ^c___, _ __, __ _,ni_? _n '_ ^ _, _g__
_ _____'i_nicn_Ji_ r_c'lj:í_ ___o_- _chi___J a ___/ c_? _n___l;ii_ del fncJ__'im_;t___o '__'__ _0 _ ,, __ ,_'___,__ _,'_?nm____ _' æ_____?_u _ ___o_,?__,_ __g__^____, __e'_;_,
no se t _ace e,_ uI_â li__ea rec_a, sino __n u! _ p_ano (_ c__rn _-___ ______ ri_ un v?_9_?'' _,W, ____,,__'_,__ _ _ ____un ,cg_nV_______^ _',_;__civ,v__,_g_,__g_€?a______??_o____,0___,___
e1movmit_nto_arabó__code c__í_a li_re. c)_eyn t___m__? ___t__ia__) _____, __,__ _c_g___c?_ __, ,0 ' o_,a,___,?0,g,;a,__,_c_____ i,,e_?_D,___v_,,? __,?F_,,__ _,__ __,, __,
yen__eneral elanáli_isse ___aceen el esµc_cio J_r___e- __arian fe , _,_,'_ ',_ 'c , _'n,0' '___?_,n'^_
POS_Cl OtT_t ta VClOcldm_ (en mrJdU'IU _ _lf_CClO'r_J Y la aCel_r_Cl0n N,e,,.,o,,t,.J;,e,,,,,ls,_ ,, ,o,,m,d,m,,ce
(tam_ién en mó_ulo y dirc_cción) _ qlleJar rtaro ha__ ta qu __r___ uno c!;c_nferer_c__ u/rededo_ de )o Tierr_.
el __uvimicnlo cur_'itíneo es más compIicado que e_ mo_jmiento
rectilíne0.

__pased_ q_re_El2l _______0_______00___o_______o___0_________________________e________________0l__0___________0_t__t__ra___________o0___________ __ _ __ ____ ________ __ _ __ _ ______t_____________________w_______________o0_________________n_____________o___________________________________0_0______________________________________________o___________0________________________________0_________________0_________________________ ___ __ _ ___ ____t_ __ __ ____ _ _____ __ ___ __ ____ _t__t___f t________r __ ______ __ ___ __ _t _ ________________ _ _t __ _
lu mb reras Ed i tores fisica
El caso má5 simple de un movimiento curvilíne_o es el movim_ento circunferenci_l_ el cual se
conoce y u_i!iia desde la antigüedad. _r ejempl__ Arist6teles anr_aba que eI Sol, la luna y los ptanetas
giraban en lorno a la __erra con mo_mienlo circunferencial uniforme y que este era eterno, perfecto e
inmutable. Posteriormente Ptolomeo planle que los planetas, el Sol y fa Luna giraban en pequenas
circunferenci_- cuyos cen_ros giraben a _-u ve2 alrededor de circunferencias mucho m__s grandcs que
tenian _u centro en la Tierra. De esta manera vemos cómo el movimiento circun Ferencial Fue de gran
utilid__ d cuando e! hombre intentaba dar una expficación al funcionamiento del Universo.
El movimiento circunferenciat Fo_a parte de_ mo_'imiento má5 amplio: el mo_mi_nto ro_aciunal,
_u_ e___ _or n_turaIe2a, e_ movimiento más adecua_o _ra diversos mecanis_nos 4ue el hombre c_nstr___'e
c0mo lo__ engrar_ajes par_ los relojes, motores __ diversas m_qu inas + Empezarcmos e l capítulo hac i_ _ _d_
una di__tinción entre el movimiento circunfer_ncial y el movimicntu rotacional_ para luego pasc_r al
estu_iu _e do.s tipos simples de movimiento __unferenciat: eI movimien, to circunferenci__ l uniforme y
_;- moi_imiento circunferencial uni Formen_ente variado_ con e._to se tendrán el_mentos básico_ para
_ud_r lueeo analiaar, con mayor facili__v d, el movimiento cur__ilineo en _n _l_no, c_aalquiera se3 su
trayectoria.
_OVf_lENT____i_ ____,>''_'_';_"___;;'' l_'YAi._..... 'mO_.V. .._M__.. lEY.._.. O ..!?.. IR. !;.CUM_ERE_C___ . ' ''.._:,..,-..._ ' -'_.-==_ __ ''- ,---- --- .,
_n nu___tra _'idd_ cotidic_,_a podemos obse_ar la5 únicas pc__^!.icu1ai q_e permanecen en dicho eje
m_vimienEos que tienen __arac_erísticas en no descri_en tra)7_ct0rias circunferen_iales.
r_omún, tates_ como el movimiento de los _Iabes POr e_em_lO_ a COntlnUaClÓn SC mUeStfa a U__
de un ventil__of o el m_vimiento de las dlSCO qU_ eX_enment_ mO_'lmlentO fOtaCl_n_!_
fata(_fm_- s e,_ los juegos mecánicos, tambi_n el reSpCCtO del _)e ind1CadO_ de tal m_nefa qlIe IaS
movimien_o de un trompo _ e,t movim_enfo _ug _ertículaS P_ Q _. S _Rrt__eCi_nt_eS al _iSC0
-e,e un_ po_ea acop_,da a_ e;e de un moto,. des_ criben circunfercncias Tespecto del eje_ el cual
permanece fija. Ent_nces, decimos que las
particulas P, Q )' S e,__enmentân, cada una_ un
__ de _ tJe dc __ mo_m ._ento circunferenciat.
mac_ . ,__,,_ .,,0 .,.,,i,._,_,e_,_.,_._ __! _,.
_____._'_'_____n,___,____""''';._____0-___.___.._,' 0 _'___o. ,,o. .___,._'___0_,;o__,00_0,_,m,_0__'_,_;;.,c'_'__: i_i .0,.0_._,o,,,,,,_,,0_,_,_,,_,,,,__,0_,_;x,._o,'_ rie de _o'_ci_n :,
_...,...,.,,___.,_,i___, i i____ __, _gi_'.,_i__.._.0_,__,_,.=_g__,,__0_o,,,__.___,__o_,a___,__.'e_i,_ _,_____i,_, '_i,_li,_'._. .,_io,,_._, __l_,_''_ '
___' _..,i_i___0'o,_;:_/_'__'_ /_.,___.g_'__i_. _
'' '__ '' ' ' ' . __ ycunI_.ren_'
_ '__,.. _ ''''..,,. ''''''_'_^''_'__'_'''n:'-n_''''''''''_'' _-- _-''_- -- -
'' _.:;i" ___t__-_ ''
mavimiento de tos cuerpas v_ a indicados . '_ __. ,,.,,,.0' _ i.. _ '_ Q ,'_!
za en _o_no a un e _e_ cu_ do 0Cucce es_o, ' _ ' ' __ _ '' __'__'_,_,__,,o,D,o.,,,_,o.,,,,,..., ' " ' _ - ' - -_ __,_.,m_-- -;-__ -. =_,' _._._::, ^__?_::_. __,_-, __ ___ _ ';,, '_ ' ' ' _ ' ' '' x' '' '_: '., ; ; i,,...,9_____'__' '' i ' ' _ _ '
_ _ ' ' ' _i'_ '' ''_^"_''' '^i' "^_'0'i'_ "'_^'_ ''___ i_9'_8.o.8_0'o_m, _6^6___.__ i_'0'' _'P o___ _''0_0_'__^_ __^' _'i^' ' ' _ ' S
n_o__miento rot8c_on8l. En este Inonmiento_ las ,.i _._.._
partícuIas de cada cuemo reali2an trayectonas i .g_
circunferenc_ai_s cuyos ceJ_tr_s están ubicados a .,_. ., ,i__'- _', __0 ..0
Io.lar_o ___j e)e de rotaci6n_ Tcne;- _resente _ue _,,i.,,,._.___9_..00,._,o,;;_____;;.-. _' i_..._.__..;_,._._,,..;.._____,._0,,0___,,_,,ao,.,,._.
238

___ua_lEns __t_t____u2 _ fyg_____l _ _o_l _d g7 (p_l __ _ _?___n_____0___??__0____o__?po_____0_?___p0?_q______?_________o___gcn_en_?u?_____?c_0_c_?__on_?n__0_____n_____c__q____o?v_0____0___??0o0?_n_o___e_m_0n_?__0n___________0??___n_?_9_?v___?_________?____ 0___ce___r_0____v?_____c____0__n9__n?0?n?____t_____0____?___?_00____t___c_oh __ue
Lum b reras Ed itores fis ica
E___ENtO_ _f_MOYlMlE___ _lRt_NfERENtl__','" - ' '' ' '"' :' :
Consi_eremos el an_l isis del movimiento Apa_e de los elementos geométncos propios
circunferencial de una _artícula del disCO de del movjmjento circunferencja_ es necesafjo
nUeStfU e_em_lO antenOr. recurdaf otfus elementos que sjrven pafa
_ie; caracteri2ar cualquier tipo de movimiento
u) _ - - - _' - - - _ mecnico t_l com0 la veloc_dad (_u), la c__a_ se0 - ; ' ^ ' _
N
,__,: _. -'__R _ ''__ representa con un v-ector tangente a la trav, ectarja;
_ - ' ' ' ''v__ _' __ en el caso del movimiento circunferencial será
_ '' Da
_. _ ' _' _,_ _ ,j tangente a la circun Ferencia descrita por la
'_ ___' t' pa_ícula, así como se ha indicado en el grá_Jco
_0R __" . _ d _ ..,
^ ___________.___-'- anterlOf. e aCUer O COn a Vaflc_ClOn
experimenta I_ veloci_ad clasificamo_s a !us
A1_UnOS de l0S elementOS _eOmetflCOS diverso__ mov_mi_ntos, e1 movim_ento
aSOCi_dUS COn Cl mO_mlentO de eSta _a_iCUla SOn cj Fcunferencjal no ei 1a cxcepcjn. __jn g_m_aF_o_
dado que cn este m_vimient0 es imptíc;to _,ue
RADl0 _E GlR_ __) los cambjns de ve_Gc__ad siempre se efe,ntúen a
_s _._ _____f__ent(7 _e _ecta traz_do de.5dc e!, lO lar_O de _l-__ CiFCUrIferenCia_ la ClaSi FlCaCin Se
centrc_/ de _a cjr__(___ft_c__r_ci_;_ haste la partícu).a; __ _aS_ en l_ V_riaC_ÚlJ dCI n)_dUl_ d_ la Ve(rJCI__d.
me_ i__ es !___u_a a_ ra_i_ _e l_ trayectaria es decir- en le variac!'_n de la raDi_e_ (uJ_
c i rc __nfc_ L_nc'__ ! c_n l_ c_'_ ferenc_ i __ C7 _ae cs te _ _c__,,__c_;__ n n__g_,;___ ,o__ , ^ ;_n ,_, _?,?_?_,__n___'?__?__,c, 0_,__D,;_,'_v_ '9,_,,?__q_e
____._me___cu cs 1_Jc;_. ii_ ;'a qu__ _ir_ __ m_,dida _u_, l_ , _,_ _?, ___o _ __ 0_ _ 0, __'__9u__?_c,? ?__ _? _,_0 ____ e__e_ ,__ _'; _eo_ a_,'9 ______ _v __'
p;_ri;cul__ _-e m!ie_'_ __r L_1io recihe el non_bre de _"_ _e,c__,,,v?__e,___;__Jn _ n __',,,?___J,,_o___cvu?n,_,_'?__'_' , _ ?_____,L__,c,,,,,_,m?,___v0,_,?_,_,n
CadiO de _if_ )' 5U Unld_d eS _I m_tfO m)_ _,____?'^,___?_,_____o, '_v_,^, _^_ Cfa_, _'_^?__ ' , V' ____,V_e,_,o____,m_'_??__'_9 _
' ____ ___0?__v__ _? ?_ _e __ , c ____ _, _,_ ^_?ec _ ' , e__' ,?__?_____"___
, __n_, ,?_0, ,_??, €__o0__n^^,,_ __ _ __.___a__,_'?____ , _ e> _ '_Vn,___?,0,?,,v___
AMG__0 _E _t__ _ O _ ____,_,__,_____cm___n__'___,_______ _?-,,____, g ?^'__^_ __' _co9_,'_o_i_c_>_
_s c_I an_ul_ _ue _c__rc el radio da giro de la _9_ _c'0,^D _u,__ __'__?______ _ æ' _' _ _S__j__c_a_^ _ ' __ _,'q0_______ _______8_,
_,n(.___ ,_F c__o se fe denon,,__, ,a a_n uto de ,__r0 _ _' __,e _,a_'__ _, ___,nu ? ___;__,_ _ ___ ______0,_c_,a_v___n,_;_sv____? __ _
_ _? __nc, _8 _ _ O _ _u __ 0 _ __ ___d _ ' ? _ _0 , i _ ___ _ ' i_ _, _ _ _ec__ m ?
-:_-______s_= _u_ tc_r__L?j_n cs e_ 3n_ulo centr2!! d-__ _a _______0___,_0___n _v 0'0_q n,,, _c___eu_^______,__
__!_cuT;_-______._in, ._!;_;;dn. su __nidad el ra_'ián (ra_). ___^_,_'_n_A____,___ __,'__''__,,,,,___ ._ou_^_^____ _^___________%____,g,___-,
u _,_n__0,___,_,c_? ^_ _,m___,__?,0_0_ _, __,__?c? ___0__c____ ^8 _ , _n ^ '_K___.-_,?_,
LO__I7W_ _e __tO _s_ ,_____,__e_^____a_ n,_6_, ^_?___B,__c_^?,___uV,___''__^,P _____m_,__,,_'_ ___'.___-_;
_ _M_ _?_ ?^ _n,_ ' M' æ_ _ _D ___ _ _,_0_ __,___W___, ? ____ __ ___ = __ ___ ____9 ?,' _v 4o - :_?
__- s _a 7on_i_u_ _e1 arc_ _e Ia ci'cun Ierencia, ___,_?_ _ ,?v___ __,___?_e,__c___5,__K____, _ _0__,_,___0 _0_,5 ,
_ _ _ _ _ , _d, ' ,,__,cu7a ___,_c_,____________L___'_0_,__,_ _____n_a_^H_. _._,___i_,,,____'^_-_?_'
' ' - ' ' ___c, _D_______,_q,__, _ _? __? __o __g_______d_______v0 _
_^_ unid__ cs el metro (rn). ^_____'''i' ___'__^ 0 _00_ _s _0 _0 ____ _M?^ '___"'
_ tema__;ca e_i5te una _,elac;o_n en_Fe o No sIo I_s _l_ne?_s. s0clIt_s, cuoIq_ier
: , ' .. , _. ' mec_nismo o ra_edJ_ de Crar_tD_rta sJ€uen
_ V, Sf _a CUal t6m_len Se Utl )Za en Cl_ematlCa_ cr__c_ios cuNilín_s, si_, _o._bJn l_ l_ gn
_u ___oció si_e los cdminos mdi conos o
S = OR lo_ __uolet se Igt denom_nc __odesic_s, comos o R
se mus_tro en /a _gura __e e_ _n resu !r_ m de
nldad; l er_ Iad Y en m lo ce_ft_o _nero/ de (a re/ofN, __4d 5t__, / cJ.
_ sen m _rA. _nstei_en l9_6.
24O

__p __tlD_l_rl_telll__lre/u_m_/t/_/ _s_tt__e_t_n_t__teu_r___n_p__ltf_due__gatn_s____ldet____s_l_nt___r_____t.e_N lt_lqsl_tlu_l_u_____e___,____a___l_/_tltl_lt_ll t __ ____t_______cs______________________t___J_t________t___r_tt_ntt___to__t___________s___________r_______s_s__n___t______x________t___nc___t_t__t____y__tt1___________t_ _t___t___________________v_r_t___t_____tt__t_t__t_______t____tv_______,_M_____________t__t_t________tt____t________g_vt____n_____t______y_____7__ _______0__,_r__t_____s_________n?_________y__ t_lt__
____n____k____t___v__v___t________t2_____t_____n___vn_v__t___________________tt___n_____h_tN__tt______t_______Jr___t___h__*__t_t____tnttt___ttt_____tt_n_v_tt___ttr__tt___t?_________n__________________s_n__________r___24_
cnPiTu L_ V M_v irr, en_0 c jrc__fe_enc __ 1
M_V___E___ t___U_ NM_e.__C__ UN______ l_,_,___ '''--'-s__X'__-''_,5___ _ ''x'';'__'/:v ''''_'' '_ ' - ';'',_ -
El m0_miento cjrcunfe Fencia_ m_s sjmple e_ En et ._,C.U., la ra_idez (u) in_ica Ia l_n_itu_
el movimie_.to circun(erencja1 uni_orme (M.C._._/_ __ e __ rco _ue _w__ _a__cu____ ?_- _;t_____- ___ po_ __a_a !_ni___
al jgual que en el movim;ento rec_ilineo uniro_e dc tiempO_
(_.R.u.J donde una pa_ícula feali_a recorndos Si la p__jc_la rec__e ig__e.s l_ng_t_ides _- e
igua_es en inte_alos de tjemp_s iguales. __ el arc.o en ieu_les inte__Val0_ __ t_ef___,
m.c.ll. un_ pa_j_ula realjza recomdo__ iguales (s) simult_, eamente__l t'adio de giro b_re __ ulos
en jnt___al_s de liempo jguales (r), pero ahora_ a igu_es en i(_t_rV_los de tiempo i_u_es, c_mU 5_
_o I__eo de una iircunferencia, tal c0mo se muestra en la neura anten_r. Mto__c_s. hay u_
m__estra. rapide' z cons tante _on la _ual e_ radio _e gic_ b_ce
ánguIos. Es_a se denomin__ r_pide_ _ng_l_r ( u_ )
__ y se determina _- sí:
_/___ '''---__
,' s '_t ,,' s__ Unldad= faWS
g '_ ,/ g '_ _rejemplo,sienunM.C._'.larapidez_ngular
_- - - - - - - - - - - - - - _';- - - _ !_ es _ = 2 ra_s _ s igninca que e t rad io __ eifo barre
u '_. ; _ ''---__; un _ngulode 2 rad en cadasegun_o.
't '. _/_ En el M_C_U -, la fa_lde2 a__Ular (W) tndiCa _l
__ R __ s ,_' ángu1o que el radio de gir_ barre por cada unidad
__ '_ ,,/' detiempo.
.guat que en _ ___o_, -'___' __.-__;_=; :__,__'_,_' __' ,_ n_ _' '___'n'x_-;v-;_.;._._,____._'___.-='_,v-__;i'_''__'
e_ __.R.u , en e1 m.c.u. _a rap_dez (u) es constan_e, _ 0o8__, , __ _ ,v_ - ,,_, n ;_; ; _ _'_
talque: __ - _ '''...s_;__;.'
En eSt_ CaSO en Ve2 de la di StanCia (d), Se _ _;_'''v_'n''_h',;y':'";,x'XX:_'';,' = ', ___,__ 7___, ;_vx_'",?_n?,;_,-
considera la longi Cud de arCo (sJ q_e recone la _-_-_-_ ___S-__---______i:.,__.-'____,_i'; ;__/ '.-_. _, :_-: -;.::._s._-.=- ., '__v__'__e__i,,'_;_?__-___v
/c,_a _F e_-emplo s_- _a f,p._de, es ,*_o 5 _s ; _; ;';,? _- _ ;, __ _,. : __ _ ', _ _'_ J, ;, ;;,,_, : _ _,_'; '5_,n. :_n. _, ;n_, .; ?_?.;__ __,_ ;- '_y. _,yv ;__._ _ ' ;n/;_.'_', ;_v_, _ ' '; '_ n,_'_, _ __n ___,_n _n _, _ ' _ _ m ; ;_ ',_
S__nlfICa qU_ l_ _artíCUla reCOfre _Or la _s_e Fit__c_I_q__i_____Io__o
circunferencia u_ arco d_ O,5 m de longitud en "OliZOn mO_imien_OS CirCUnfer_nCiot_ uni_rmes
__oxim_menteJ.
Cada Se_Undo.

_d___t_vtt____n___rr__tt___(t_x_____)rn_ _v_ttt__t____n_s__d__________s________________*___t_t___tt_v_t_t____t_J______tt___x_ ttc n_____rfyt_v__l___ ___ __ __ ____ _mc_u_ _especEol___d1 dJch(0otp)lone_o___ __ ) _ nv___a;
lumbreras Editores Fis ìca
Así como la rapidez (u) e_' e_ módulo de la ,,,, v ,??,,?,,__c , , _ v_ ,__n,_ ,, __,_,,,,,?
ve_ocida_ (^u) , 4ue es una m- a__nitu_ vecto_ial, ?e :___:_,__c,_,?_?_ ______''__' ' '' __'' "L' '__s _. _ '_:_m_'_'__'_?____, ___?_'??___m_0_______'__'___'____?
tam_in la rapide'_ an_u!ar es el m6___Io _e otr_ ,,__' _g _,,,D___ __'_o _,, _ ,d ___,, 0
ma__n, __tl__ veclori__ ! dRn_n-_inada velocidad _ __, n'V''' _ _____~m_?5__ '', __e__,____9?_
_ . _ , ?__0__ __,,q _ _,?_J,?,e_%0__c__
a__gul_r __: a l_ecc-_on c _sta ve 0cidad se ? _9_?_' ,' '' - _, '__v___ , _____ _'__n?_'_
_c__ern_jI_a de_ _.n _noc_o especia;. ____ _na tínea ,' ___v ,,_L__,___ '___ '_ n m,, , n_, ,e __ ____,_c_ ,cv,'_^'_ _;_,__v__,_D'_
rc__a, una )_a_;-c_!a s_J- 1_ment_ p__ede m__,'er.se en
__ ___toculdre_ uniJ1os de Sot_rno e_tá conforma_s
OS dl_eCClOneS_ de m_dU _l_e SU VelOCldad S_!O
_r fOCOt COn_e d 05 q4C _fOXl men_e St_uen Un
p__ede ten_r d_s _usjbles di_'ecci_ncs. En un
ptano_ la partícula_ sj bien puede mo_'erse en
__arj_5 d!rec_ci_ne_ soIo pue_e girar en do._ lare_ Ia_c Iam_n_dC_chaconsisteencoger
posibles senti__s: horario o antihorario. En elej_d_ _iro _e talmane_ra _ueal _ir__r__s__û_s
c_ns_cuer_cia_ _a ve1ocid_d angul_r so_o pued_ de_aman_der_chaenel senti_ode_m_vjTnic_tu
tener _u_ __._N it_7es di7e_cioncs q__e _orrc_npond_n de l_ panícuìa_ el de_o p_lgar indica la dir_cci_n
alosdossentidosdeeiropo_ih_1esrlela_-a_ícuta_ de ta ve_ocida_ angu_ar. _sta difeccjón es
es__a _ire_ci_n se detc_mil_a ____ la regta de la perpendicular al _la,__ de la cjrcun Ferencj__
mano defeCha_ t_l CO__o Se i_diCa en e_ _rY' FlC_. de.sc_ita pof la par_jcula.
_entido__hor_o
_, vE_oc_D__ ANGu_AR _)
: Es una me__nitud física vectoriat que indica l_
, , ;__ , rapide2 __ cI scnti_o de g!r_ con _a cuat eJ r__ dio
,'._ _ ,_-_''^_' ;; -_--____ . ', _arre ánguI_s ce_trales.
' _'' ' ' - _ '' ' '' ''__ _ Para _ifer_nciar la _Jelocidad angular _w) _e
:, _ _ _,_ ' ; .. _ 0! ' , - ' _, - _a ve_oc._d_d (__) a es_a u,__._ma se den_m.,
_ P _ ___''', - ' g _- ___ _ 9_ veIocidad Iinca I v_ Ja su módulo (c_J. rapide_ lineal.
._ ;____ n, ._ ,,, ^_ _ ' Fin__lmcnte_ di!erenciando estos conceptos, se
_ c . _;;; _ -_,'__._,_._,;__n.-_=-_._=_'- ' ' ' __vc ,_ ltega a _a sig__iente conclusión:
Un _o_1miento circunferenciaI uni_orme
(M.C.U,)_ es 8que_ mov_miento donde la
veloc1dad angular y la rapide2 I_neal son
e__dOhOM_
!_ ;_____n?_n__h,_ , __ _ , _ , , , _ cons tan tes.
- ,__^ ' ' _ __ _' _._n_ ___ '___-='._' - _ -' '''_i-' r _, ,n ___ _ _-0 ^ _V h "n '___ __ j'F _/ 5_ _,_ ___ __-; ___ _'_ ,_-_?__ _ __''_ 5,'" ,"__ ,_q _ __ _, _' _y_''-_'_ ;' _ _s __ ,_ ,_ ___ _ ___'_V^_'_ _ '
_ ' ' ' '' _; ''_ _ _ ___'_ ' '' ___ ' ____ _.. '__v;_. _- _ M_ _n _ ____>_ _'v'_x__ ____ __^_,__ __''__'_ _=__ _'' _-!',_;_
'l'_ '' " _-__ _ ' t, _' . ._,_ _n
_',.,:'__ ;'__';v,,__4__-_ !''_ ': ; ?t_ _ AlaVRIOCidad u,,tambiénS_lCsu_le g,
.___,'__'__.'_x___'^_^;-___-g _ 'M--____ ' ' denomina_vel_cidadtaneencia) (w, pocseF _;
, _0 / "_ - ' ',_ ' '-_ _ ' ' ' __ _lE _- __+__ _
_ ',.'.''__ , _!_',';_,__ _* ',,__ g an_enea a raYeCOnaenCUaqUleflnS ne'
' ' ''' _ - ____-_J-____'_' _U -__ . ' _
0, _ ,_" N''_ , _
'R'__ /,_/b ' ,_,
_ __/
O
242

_u(_ n s _ 0R _ _____ ( () J _() _g__ ___________t__t_____________________c___t_4___________0_0___00_oo_t0_____eo_______s___e________e_Kn2_cg3__otu__0_ e_ntraqen__teftenpeposu y
CAPiTU LO V Movimiento circun_erencial
RE_Atl6N ENrRE _A R_PlDE_ _lNEA_ Y _r ejemplo, si consideramos un disco en
U _PIDE_ AN_U_R rotaci6nt sabemos que las partEcuIas deI disco
desarrollan u_. movimiento circun Ferencial.
a faplde2 lIneal U en e mOVlmlentO
C_rCUn FefenClal UnlfOnne M_ _ _ Se dete_lCla ,...n.._.?;_.;___::..:___.__>._..._..;.:..:m.,_m.___._:_..._,_'0_0,0_,,,_,_,__o__0_.,,__,__0,_,_0,9._i_.,,,a..i_,..._,g,.._i_l,___,i8,0,_,,o,_,.'__,_i_,__,oo_,_0,o,,,__,,_o,,_,
mediante la relaci6n _?..._,0_ __,_L_,,____',_0'___;.,;_-_,___ '_'_'--____v:___:_-_v_'____; _:_-;! __- ___.'___"____o__',_______0_i__'________________ _._ ____'0,______,___'' ''' '.
,_o _0__=''__i__'_'___',__,__'______e___,.____'_____i_0__'0__0;,___;0__o___o^._ 0; _-_nxo- ______0L_'i___n _,;_ __';__' _..i'_ ~:______ _ '' ' _ ' _
s i _0 __ 0 - ^ _o __ _ _d W o __ _ ' ' __ _ __ _ ' _ _ _ 0 _ __o_ ' 0__oo i__ 0 ' _ ^ i _ ' _ ' _ _ _ _ _'_ _0 ' ' ' _ '0_ _o ' _ ' ',i, 0 _, _ __ i _ _ _' _ _ _ _ '0_ _ j : - - ' __ - _ _8 '_a _ ' __ ' ' 0_ __D _,_ _ _ ' i_ _ _ : __ _ :: ' _ _: : ' ' ' '_ .. ..
U = - .__:__;_.-.___-_'____0___,_0'^__o'___0__o_i',_i'_0.____eo__ii...i__,'__P,-,_-_9_i.__'''' ' ,__ ...,... ;..:..,..,_; '_._:'..:_.':.__:
' --__': O=_,.__. ;_-_--_V-_-^._ "- --' -_:'_: _-" __'__,', _,_,,_,_0_'_,V___'_',j..__. ?__,.____ ___5_. ._. _:;;. :'. _'.. .._._..._:_'. ': ''''. ':;_.%'..._..___.. .... ''
_ ' ' : _.... _c __._ _.a _ _ ' ^ '_0, _, O,Di.'_,,d __,g_,.o ' i', __,_ _ _ _.. '.._., ^N '. __,_. _. ' '..: _ _0_ _ __. ' i _ ' _' ' ' ' ' i,, i _ __ ' ' _ V ' ' NNt_
re_com'da por la p_icula est_ de_njda poF ......._;:.__.._.,; ____'; _,;- _, ' __4 _' _'__ 0' _d_ ^ __, O_, _;_',,,_,,' _ _0_ __ _ _'0 'o._ :_,,__ _,_,, _oo,_;0 ?,,;_,,.,'_" i_'_' :. _ _ '''_'x_'_0_,; __,0___o _'_,0. __, ' ' _ 4
'_'"''_,':'__:, .'_S;'_'__ __ _j;'_____ 0^___ _' ____' _^_, '_',_'_,___,__x,i_
- ''-_'^_ -_'_''0^__. ''_'__,______0'___0__ _^____
Reemplazando en la expresión anterior se
t_ene Durante el mismo inteNalo de tiempo, los
_R radios de giro de todas l_ pa_iculas del disco
U=_ /
l barren án_ulos i_uales, p_r ello _perlmentan
donde el cocjente o/r es la rapjdez angular ig_ ual ra_idez angular, pero aquellas m_ aIejadas
_ J_ entonces conc_uimos que del centro de eiro por corresponderles ma_'or
. radio experimentan mayor rapidez lineal.
u _ _R... :' consl._e,ando _as pa_,/c,_,s _ 2 y 3 se t__
idades ' '''_U___z_' U.: '3
w : en radianeS (rad) donde
R : en metros (m) u_ _ cur ; u2 _ _ (2r) y u3 _ _ (3r)
u :2nn_Js '
EiemploJ
Lo im_rtante de esta rela_i___- __s que no solo Dete_ine la rapidez angutar y lineal de un satéli te
es válida en el M.C.U, sino que se cumple en todo _i_cial ge_stacionno _u__ órbita alrededor de la
movimiento circunrercncial para cualquier Tie_a __ _na altura de 3 6OO _ respecto de la
i_St0te de _empO, Si _ nO _S C_nSt0te, tampOCO su_r F_cie te_estfe, sjen_o el ra_o de la Tie_.Ta:
lo ser u (R, es constante por tratarse de una 6 _ _.
c_rcunferenciaJ y esta relación tambien la ._{,.
podemos aplicar al monmiento rotacionaI para Rgs,_,,,._- n
Cada l_Mtante_ El iérmjno eoe__tacjona_o si i___jca ue res ecto
_ A _i de esta impo__te relacin _demos de _a T_.e,,a __ sate __.
arlrm_QUeamaYOfradiOde_irO(R)tmaYOf5er_ s_,em ,e ub;c, e, u,mj,m, 1, __
_a rapidez lineal (u) ya que en el h_.C._. _ A d e m ,, s u n s, t e, _ ,.t e eoestac._ona,._o _.
constante se tiene entonce5 que la ra_idez lineal . .
e_ dicectamente proporciona1 _ radio de giro. '
que dem_la _j_ d_r una vuelta es l_Ual a Un día
uD..R, .R, en la t!erra.

_El _ __(86 40t o tl t_lJ _(_ ____J /_ ___ __________0_________________________0_o____0__________N_________________0______p___o______0___00____0_________l___________________________________________po_______0__________________________________________________________________________________________p0____o________________0__0_________o_________0________o________________0__________0_____o______________________o____________________________o_________________cu_(gl_tea_)tt __ s_erra__/ r__6 sl__t t _ _ za ___ __eltas
Lumbreras Ed itores Física
Dado que por lo general ese tiempo es constante, t_MRi_lCA5 _Dltl0MAW _E_ _.GU.
entonces_ la rapide2 line_ y angular lambién son
._r e_ sate/_.,t_ ex er_,menta Otr_dosmagnitudesimpo__tesqueseusan
ap,ox;madamente un m.c.u.., en co,,_secuenc_a, Frecuentemente para describir el movimien_o
ta rapjde2 an_u_ar se determjna según la Felacio, n CirCunferencial son el pe_odo y la frecuen__.
0
LU= -
l
En una _elt_ O = 2n rad y t = 24 hor_ el cual En e_ m.c.__., se denom_na _n_o _ _nte,yalo
D_ uede conve_irse en segundos, recordan_o que de t-_em po _ue em p_ea una p__,_cu_a en ,eet_-
Ihora=3600s. _ _ , _ s.
Una VUe Ea_ Una reVO UClOn O Un ClC O. t
_ t ' 24 h_faS = 24(3 600 S) '' 864_0 S _ cono,,mo, el ,;me,o de _e_t,, (,J ,, el t;e,npo
LUe_O_ reem_la_ndO en (l) emp_e,do, e_ pe,;nd, s,. de_e,,n;,, a,;
2n
_=_ '
tiempo empleadu en de_aJToll_ n vue_tas
númer_devuelta_
cu=73xIO'6 rad/s _--
la r_pjdez linea_ del sâEé1jte se relacjona con la El _CFiOdO StC_ m_fe Sera eXßfeSadO en
ra_idez angular se_oún _a expresión segundos. Con Ftnc__- de__c'ri_tivos. alg __nas _7eces
u--u_R el periodo tarn_ién se da en segundos por
_ , ___73xlo_R (_1) revo7ución (s/rev) o en segun_os Dor ciclos() _
(s/ciclo).
rad10 de _lrO del SatP,lltC R. Se mld_ deSde e
centro de la Tiena. considerndola a esta corno
unaesfera. _Jem_l05
__, _ Si una pa_ícula pe_férica de una polea_ que rota
T--------^-----______ ____--- _ -d _ l t f ,eal_t
h_36__ ," : ' COnVe OC_ a __U arCOnS _ e'
- _ - _ - - - - ;,_= - - _ - - - -, !.. ... _t en un minuto; determin_ su periodo.
_ ,..,.____' _'_____.._,.__. i t .,_iii',_._,_'_i,i,_i_..'.._._d.__._._i...,di_i.._.........,,. :
Rî6400_ _ •i'''_''' i' '_i ___i____i,__'_'i'__i'_'__"__e'a__.'_iii___'___o,''__'_'____'_'__'__ _ R J . ,
_ i ,.,. __.,i__l_''________i__l'._o_'___,_o,i8.i.,i_0,__.=_,__.e,_80a_,_,_.___o,_______..._iii _ eSO UClO_
- - - - _ -_- - - - _ -- --- - ''','______,•_'.=___,.._e___i_ ._,'"___di'__'_,____i______'_,________i__,_.i,'!,, ! Se sabe que un minut_ equjvale d_ _G se_unos_ v.
__ t 'o_i__,_i0_i__!_ii'ii'_i'__.ii'i__iii_iiii_l_''!^_?_'_.ii'_'' _
_ ,. __.i.__.,..,,ii,__ii__,,i.__',_,_,''_,.i'___.__..__,_.'_,,.._.__,,.0'___'i,,''_i__,_i_,,.__,i,._,_,_,_i_.__..__,_,,._,__'_._,i,.i__,i_.,_,.li,_..ii.,..=,__.=.?i_,,__ ; en ese tiempo ta pa_íc_;'_a ha rea_izado l 0 __eIta__.
._ ,' _'''__'''i''_''^'''_'_"i___,'__'i,i_i____.'_•?i___,,,______i_i,,_,_,_,,,ao__t,_,_oa_^_,,,___..o__;_='_..e'__.,__'0'' ,J _ to implica quc en 6 se_ !_ndos Ia part_cuia _ _abrá
,'_ ' ' ' ,/ r___izad_ una _'ue_ta. Lue___ su penodo de r_taci_n
''?_..._ ____,"
R-_R,+h _tra fOTma, e_ _aCien, d0 US_ de la fÓrmUla
_ R _ 6__+36oO _ indiCada _ara eJ _enO__.
7
tiem_en_pl_adoe_nnJeitas Imin 60s
ReemPla_do e_ (lI) --_u/n,e,o de vuettas ^"_0 --_o
-6 _o7
... r_-6s
.-._ u=73O_s
244

_ _)ufttevn_EL0t_ros cas_os_ e_nfre____r_ __ _ _ _ veloc_tda_lldl2/_oc6_ouo_nlessl_dt_aseK_re__m0_ase_ttl_/an__a__l__l_Qs4l_us__f_delslgulente
CAPíTULO V Movimiento circunferenc, ial
Fr_ _ e n c i a _tl Resolu__n
La Ire_encia es l2O R RM esto es equiv_ente a
S Una ma_nltUd flSlCa eSCa af qUe nOS
decir que las llant_ dan I 20 revoluciones (vueltas)
expresa el nÚmerO de vUeltaS_ feVOlUClOneS O . .
ciclos que reali2a una partícula, por cada unidad . . .
de _empo aI desanoll_ un M.CU.
_ consecue_ia númefo de _eltas
.. _empo empleado en n _eltas
, n_mero de _eltas (n
_em_ e_pleado en dar n _elt_
'' ' J__---2Hz
S COmÚn daT la fTeCUenCla en ClClOS _Or
, se_undu (cps) u ,e,-o_.uc;oncs po, segundo (R.p.s.) _to s i_,_i_ca _ _eltas por cada seg__nda,
.oluc_,ones por m_Jnut, a_emás _J=_nr
(R.R_, __). Ef nume Fo _e _e_las_ revolucion__s )_ los Por consi_uiente, Obtenemos _= 2_2)
cicIos son l_rminos descriptivos que en .'. _=4_raJ//s
c_nsecuencia no tienen unidad, por ello la unidad
de ff,cuen,;,, e__ 1/s o s-I y se le denomin_ _ert_ AtElER_ClON tEN7R íPE_A
{H2)_ En un M.c.U. Ia velocjdad en mo/dulo se
l_ freCU_nCia y e l _enOdO eStán ie laCi OnadOS. m_tier_e cons_ante_ sin emb_go_ contjn__amente
, Dadas las relaci OnCS para detefmin_flas Y taS cambia de dirección, por eUo decimos que la
unjdades que se m_neja para cada una_ se velocuidad es vanabIe y debido a esta va_ación
deduce que son magnitude5 in_ersas_ tal que concluimos que el móvil experimenta
. aceleraci6n.
LCómo se dete_ina la aceleración durante
un M.C.U.? Sabemos que Ia aceleración se debe
a fretuencla e_S la i_vefs_ del perlOdO y
al cambio que experimenta 1_ dirección de la_ C e V e f S a
. N , __. . .
_ periodn y Ia frccuencia tambi_n se pueden caso.
relacionar con la rapidez aneular. M una _elta
eI radio de giro ba_e un ángulo O = 2n rad y el _U ' _
UF=U ._ _ Uo
_po que emplea en una vuella es justamente n__ .__'_'__i_____,,_____-_- - - - -, _ _0 - -- - -
el periodo, entonces ,_' !, ;_
0 -2_ 2/ _ ! ,' '_
--_--_-- __. ,' ;! ,_ ' Uo_U
_ O R '_'_(
Si _as _lantas de un automóvil tienen una '_ ,,'
frccuencia de l20 R.P._41._ determine la rapidez '__ ,,''
'angular de dichas I1ant_s. '____ ____

__dtnstl__al_Qttnll_ttlel___t(_det)tt__le__m___p_ot_____________l_______t__x____tt____t______t__________________,____l_______________________________l_____c______l_l_____l____6_(_n_____tt____v_d)_ __b___l__ll__est_ t___ )____0 _____s _d___ l d ece
lumb re ras Ed itores Fisica
Usando eI c_culo vecton__ se obseNa que _u
.s_e un camb._o en la ve_ocl.dad __u enIonces X _ ,
h_yunaacelecación _) _quecomo sabemos t__ene a _' ____ ''''' '' _'.- ::'''''': :='_--'--'h- ' u,_,'_'''_''';- 'O--'
igual direcci6n que dicho cambio de velocidad. R ' n-
_o_Conside_oses_osc_biosenuninten__o E1 mo/du_o de __ ace_e,ac_.o,n cenir,,
detiempomen_r_ talcomosernuestra uede deduc__r de los pe ue,-,s tF.,a,
sombreados de la ngura antenor (para _l _ O la
: _ longitud de arco (s) que se aproxima a un
UF= U ! . , .
-'- __ ; __ ' Se_mentO TeCtO _ StOS OS tflan_UtOS tOn
__'- 'i___i_-_ _ ==_- ___'_'_'. ''' _. , _ ,
,-_,__ , ...: .__t_''_t_---, _:_-__':_'''_..., ''''.;, 5emel_teS,_UeSCa aUnOtlene OS a 051_U_eS
,/ j"' - ___ i_ _ UF que deF,ne_ eI án_u_o o entonces se _stab_
_ ;__-__0,,'''_!, ' ' '
,' ,!5'_.'-_:__..:'___ _ ,._'i''_'_'n, ,,' _ '':;_:_.._;'_ la siguiente relación:
_ j_' ___:_j :''_j,'v''' _''_,_:': Uo=U .
!. oi'_ _:_ _ _' ''_'___ == --:!,_,'' ,,: _-u
i _!
l_ ,,' _ R
'__ /_ Si a lo largo de la circunferencia la rapidez
t N - _ _ _ _ _ _ - - ' ' (u) es constanle, en_onces
, s=u__
Ue la aCeleraCl_n St_Ue a_Untan O _ CentrO
Reemplazando en la pnmera re Iación
e _lrO O, para Un lnterValO de tlem_O rnUy
pequeo, cercano a cer_, es decir, para un __u _ ,_r ! __,.!_ u2
_ _ _ am _, _=_ t ----
,aaCeera _en u N ar _
d'ri_'d"h''"''C'"t'^d'_'rO_''' COmO'ei"d''" _ero el coc_ente l_ul,/_r viene a se_ et
__ múdulo de la aceleración centrípeta_por Io tanto
/__' -_UF--U ''_ _ _!__' , u2
,' ,'__'_i:''':_i t.....' iP-R
,' ,_á'.;.'. --;'__?__' __'_'_ ' ':__ Uo _1n;dades_ _
= __- '--__- _', t.._ UF '
: ,_;__.+-':i___-_.___.-_--._;;_9-V-;=_._.__._;__,___1 _ u : en _s
_ o_'-m_-=---_-_-- ,_i '_ _ _ R : en m
__ ' ' _'t _ .en sZ
_ 't ' CP '
_
" ,,' Si u = wR_ entonces Iambin tendremos
' _ _ _ _ - _ ' ;_'-'- -'N_-'^'í_
'-----' !0c pM_R _! '
Esta _celeracjón viene a ser la aceleración un;dades n.__i
instantánea para el M C.U. y como está dirigida _ = en raWs
hacia el centro se den0mina 8celeractn R : en m
, 1 _ a .en 2
C_n___ d,p _ cp '
(2) _abra compuesta por las p_a_ras CEJVTRI. que signitic8 cen_n y ta p_ab_ laana P_E. que i_n_f__ ir o d__gir: enxonces.
CEYTRiPET_ _ re Fiere a algo que a_ae, d_ige o impele hacia el cenba _
246

____n _ e_r__al_____c___(____tot__u__ c__Re__ _n__N_/__/_tr_tr_____________c__|.tJt______________tm__ c/_d____ ___n_l f_ t__o
_____m_____________q__________________o_<__o____0___________0_____________o____0_n___t_______0__________0___________________________0__________0___________0____________0________0_________0______o________L_______________________________0__D_____0_t___________________0__________________________0____________________________________________________________o____v__0_0J_______o_______________o00__0_________0_____________________________________________0____________________________0___0_0__________________0_______0_____o_______0___________w0_______po___________________________________000________e____________0__r____________________________________________________0___________o________________J______________________0________________o__o___________00______o______________________0______________________________________________________________0_____e________0___________0______________________0______________
_
CAPlTULO V Movimiento circunfeFta_
iQué es la aceler8_n centnpet8? Entonces 1a es Fera d_scnbe un M.C.U. do_el
Es aquella aceleración 4ue _pe_menta un tie_mpoqueemµlcaend_una_el_aesc_n.te
cuerp_ cn muvimiento circun(erEnCiaI y cstá es el pen_o (7J.
uirieida t'_c_cia el centro de la circ_'nferencia; nos _ un M.C._. tomo __a se demostró
___resa fa rap;_ez con que _ienden a producia'se 2
l_s ___m_io_ dt_ veloc_id;_d los cu_les están T_-_ _
' lU
orientad0__ h_ria el c-___tru _e ta circunferencia.
- - - -. la r_pidez angular se _ue_e _eterminar Ia
0'- ''_
, 0 0_-p '__ relación (lJ _'a que so_ datu_ n,,, = 30 m/__
,J' _ _. ra_io se pued_ _bt__ner _el _4rnc_
_ ' 'u _
''_.. __ _ _ _Ci_Il_70 _ (J,_ _
0cp. _ .t
'. __- , .--.; ß+-='it,_3Tn
t. _,./,/_ ,
'_, , _ /' Ii____m_!_2_and_ ?T_ (!!!
i_ . _7 ( _
_- f___
;_'_;;; _!r _. _ _'.___, gi n__i_(!l_ _?. l_-_ J_t_ft_;_ri_,n
, -- ,____l__f_tt;î
_ _'__tr;)__tt__ C_ _'__lI__t_.!_tc__,) "l _J _ '__._i ___i:_=_' ::_'__'__ __'i;; t
____;__lt!n _l_tiJl__';'It_' j'm"!!_;i_''il __' ____?;t_ li_'_'_!r _J.ti__' fCI K_______µl__andoen (t_)
_J _1l7__' flìir,_ !i-_ i x i'' ttx/ __._n _t_ ___tt c'_-mj,_,i_ I__ ?_
-' ' ' r__^
;-;-f_t_(iv.(J___ t1t" ci_r_ !_C_ _J_J
'. T=O.__s
_.ir'm_JrJ _ -
l L_ __t_?u _r___i_._, __c__. d_- a lf__ t_!!n de O,5 m ii,...ii,i'._îl',_,_.i..ii_._.__,.___i_=_,,,__a.____.i___'____,_i''_''_i..i, __'!'=_,__..___'._..i,_'__,_'____0;'_a_^'i__0,i.i__.i,,__ii.__i,i_l,_,.i____,__?,i__,"____,_'^0i._i^,____,d=_;_;g__,.ge_?;._,__o__,____i,..ii___oi_0__,.0
_c,__r_ _it ,i'' ., __ _J'!;_-c!_ i_, _)ic_n(_ r._!r__'(lnfer__nci_1 cn I_n ^''i.',__i__ll'.i. = ii ..___,g__,._. iil''.i_.,i.i_;_','''_,.li,.,i,i_,,...i,._..ii_iii 'ii'i_. ,. ,_,',,, __.i_i__._.,_i__._''___i__.i_i_._.i.,._',g._ '.
f__1c,_____J __7 i_._Jc_1_i;_ l!__tc__._! __ t_1 _cli_du _e s_ ' _ ' i?__ __i_''0 '_'..'i_i' i _'_'^_'__i_^_i__;_l.i__i'''''_'e_'_' i___'__'_'____i_'____',_.:
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J s.s_- ,---_._ _e en_rdn_/es oc_lo_ o __na
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1

_l_m_J__n_o_vd_L__t_a__ad____l__de_ln_retto_tctc_c__ot Fnc_u__d___ne__r_g____f_e___en_____sct_lt_l_8e_l___3dle(as___al_ta)ac_/_e/d_t___eF__eor_ac__cdloo_n de_d_aoand0errJee___fl____l_c_u_o__to_c__t_1 u(_nfg_la_r e_s ( _ r_ R_d / t_dusll__5nd__enc__a_l
CAPíTU LO V Mov im i ento c ircunferenc ia l
En consecuencia, debido a _a variación K1ote que la dirección de a es opuesta a la
uniforme de la velocidad angu_ar en el M.C.U._ dirección de Lu.
hay una aceleración que nos penmitir_ predecir L_ aceleraci6n angular es una magnitud
como son dichos cambios- Dicha ace1__racin Ia vectorial que expresa Ia rapidez cDn que varja Ia
denominamos ace_eraci_n angu1ar _ ), dennida veloc_dad _ngular.
POr como en un m.C.U.V. Ia vetocidad an ul_
____ ,M, __-. _aría uniformemente_ entonces la acelerac_ón
' -- rt '^ _ f ' , ' angular es constante_ tanto en módulo como
endire_ción.
_ . _ s2
'- ' r_ _or e,i_emplo, si en un ,__.C.U.V._ e_ módulo _e
La aceleración angular a tiene igual Ce - ' a U a-_ra t '
_re_. _.__o-n_ue fayan_ac__o_nde _ave_oc__dadangu_ar que la rapi___ angular __aría en 2 ra_s por cada
.se3__nc1o ?_ d_rante cud__quier segundo d_lí
._F__.), e-5 decir __. _ora, segun aumenle o mo_,rn,;e,to. En c_nc_u,__o/n..
_isi_,inu_,Je 1a rapidez angular, podernos tener
R__AC_0Y EN_RE _A AtE_E__ClN
h1o__-jmjento ircunfere__ci4l acelerado TANGENCl__ Y _ _tE_ERAtlON ___U_R
?_ ?, Sesabeque
F _
_ -'''-- ? -- - -- __ adeIn_s la r_pide2 tangencial es
__' _o ''__
_ _ Uf__fK_ Uo__oR_ '
- _. 'J, Reemp_e2and, en l, ,e_,c.,o,n .,,.,c,.
___. ___'"" N''N'_._ _
_____'9'".:_ 'N_ii.,_=';'_'___u_ o tendremos
_ :;-+----_---------' // ,, , _tc__,R-_oR!t_lc__,--_l
_,
_en_e _! _F _ ~_n f es el m6
acelera_niÓn angu'_ar (a!, en consecucncia
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_ _ __ 0r __n_S
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__._,,'''_'00 ----- _-_. ,q < _ D_ esta últ;!ma relaci_n, si l_ aceleración
' '___-_ _ ___ _ _ __-_____i'_ .:o_' UF

d____/l__x________________________t__________0___o________________________________o___0_f________________________0____0__t_______________/t_f______t___r__0_________________0___________________n__________________________________c______s__________0__0____sg_0____tt__________t__0_Ll__)___________0y________r_____t0______________________)________tt_o_________0___o__0__________________0_____t________n__D____0___9_p_________r_____v__t0d______0_________________0________l________.__t_____ _______ _l__c__ur__g________r_t_____cl_________f___xrl(_/________e______u_s_______________nv____l____Jr__
t_________f__1_______________v_________4_(__l_____________r_________t_0_____2_____________l_m______t__________J__2t___tle_l___1_______________t__c_____(______t_A_tu___12__t__t__uvv______t__)_t_____2____l_n_t__l|______?q_______
___n_rer_.s _' ___tore_ ____c_ _
_ m00p'0r f_d_'_ _r._ gr;'__, IrlS ___i_ytdfUI__ 'i___,_ ____JSe_U_____--_- _;'_____jii____n_-____ü''r___S_'__Je_ii__
ex_etm_n;0n moyor _îefef_c;.j_n f0n__pnc!_J. M _St_s _CUaCf._ne5 SOM _n__ lO_a_ a ;'__ _Clla___n.eS
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Ur_ntJ' _l m!__n)!_ !ntef_'_ _ _ tl_rn'___ lOS
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____^'__id_j d_'I _._'_fltiO d_ _,i_O _'_i'__-t!_entan n__aV__ f -__.- _ _5x
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a__?_ !_erac_u;i tai,_en_niì-'j. _ _ ,_
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CcJ_.si___ra_ld_ lc__ __.____uI_s _1 _ _ y 3 i_ tien_ ;v_c_ _e c;,_-____,,(_ ,.,,,c__, ;_-_,.
' it _ _?,: ' _ _7__ _____n'mw__J_'-h____%____,,_,,__'__%%_____.__q,%c__._,___.___qY__'%_________-_.__'_,_,__,___0_.___._0___ _
UO_0e
{_n= _.r_ u_, _a(_) y 0n=_(_)_ _jemplo5
_!na ___ea qU_ rOta alred_d Or de Un ej_e qU_ paSa
ECU__l0M__ ClNEM_TltAt _E_ M_t_U_V_ en forma pemendic_tar pof _u centro_ aumenta
s ecu,c;,,ne_, de_ _ .c.u._/. sc_ puede, di__d;, s__ rapidez angutar de _ ra_/s a 3n rad/s en l s. Si
_, _,p_s. _as _,cuu_c__unes ___nea_e,n. __u acelerac.ión angular es con,_tante, determine
_,_ d,, s e, (unción _-e _a r_pi_e2 ta,genc;__ y _l inteNalo de tiempo durante el cual la polea da
cuac_n,,es _n_ula,es, _p,esad_ en func_o_n una _elta, des_e el instante en que s!_ rapidez
' de _, ,ap;de2 _eulw. es n rad/s.
25O

____ (_g2__
_t____nub____________0_g_____p___op__________0_20_ot_______0_________________________________n+_____0__L__________________________D____0___o0_____o_o_______0____0___r_t___________2_______s_____y___x__go_x__________o_________l_______pt_______at(________m_o_/___0_________tJ____________________0000__D__0_______L_______t______tJ______y____________x__v_o___?__00__t___n0____o0______0o0______D__________0__________________o_________y0__0___q___0____tr___r___r___t_____________w_____t_________M___________0_____r_____________0__________0___ov__D________a_______0___o__________t0________r__o_____0____0____0______________________________0___oo0__________0____t_____0___________________s_t__4____________________t__________y__y_______________________________r_______J__tl________________v__n____t____t_v_c_______?______________________o__________v_______0_______________________o_________0_____o__________________________0__
c/ulpm_ _tp,lte__c,_t___q__/o_t_u__n_q_/e_ql_____/___t___/__g_/t___t_________________/_N_____/___________(_/t_t_________t_)_dt_t_p_______t_____q_______t__t_______t___t_t__t ___tp______g_/ ___J_______x_/c/o_t___J/l /c/(e_s) 2d5__1
CAP lT UlO V Mov im iento circunfeFenc al
Res o (u rió n EJemp lo d
En el probleTna debemos determinar el tiem_O l La hélice _e un ventjlador rota a ra2ón de _
que tarda la p01Ca en d_r Una _elta deS_e el revoluciones pof segundo. Sj al desconec,tar_a Se
inst_te en que la r____Pidez an€U1aF eS _ = _ fa d /S N de__ene luego de _ 2 s ; determ_ne el número de
La _Olea COta _Orl u_' elefaCiÓn a__UIar tO_SIante _elt,s ,._ ue han dado la, ,letas hasta detene,se.
Un _tnto de elIa (el PUntO PJ deSaff0_la Un co,s-__,,e ,e _,, he_t-,ces ex _,r,_me,,t,, ,,,
M .C.U.V. ,ce_e,ac._u,
La aceleración angu!ar de dicho punto se puede
__a,_cul_ consider0do q_Je en l -s .__- rapidez 0_l_ Reso(,,,.D,
(_!_J aum_nta .su mód_ _lo de __ r___s a 3n ra_s: E_ nu. m ,o de _e_t,s n ue d_ _as he_ _J.
ve__tila_or _e_end_ det _ngulo (_) que barr_ el
__ _1__W (3n - n) ,,__o _e ,_,, de uno de s,, punto5 p,, e,_,mplo,
_r l e_ unto p ue se muest,a en et ,,,,,_
0,0
.,,o__,_s_?,.._.;;.'_.. "';._g__._.__;,;,._'_,_.___'':_,.. _0_','____'_____i,_.,g__;.,_,..,,,,, _;'''_:_,,.___,:'_'.___,_0_, ,_.._ ' ,_.__" ' '_
__.;_..,,0,c _ ___ _'. _' '__'_ _-__.v_. -.': ';:'.?. _ ''-. ____ ___;_ 7_ _';_-'__ ?_,_. _ :_, :_ __.____ _. _, __', __;,__ _.,_ _',?e_;._.. __.i _'_'O_,' ____i. _,_0_9_'.., _. __' M,__' ' v_ _ _ _'_'0__ ' _____,i_ _8_._o_o_...,,_ , ' /_ ' / ' ' ' '/ ,__''- ' - ^ _
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__._____^_'___0i0_, ; ''"' _ '__.'''''':::_-___:'_.__.. ' '''_ '''''i_'l_.____._,,'_._w______''''___.._,,,_'._,, _ 3. . ! !__ 6 ' ' ' -:
_,,- ;. _ ,i _,,.,,_,. e,o. _o, _,_, _ _ _,_,. _ _,9.. _ ' _.. g,,_,,,,. . ..._, _,., _.x.v..,: ;..., _ m../,.. _..-., ;a v _.,,.,,, _ _,_,,. _ _op " __., ;.. ' : _._, .,, ' .__.,.,. _ _ _. g,.. _,,_ _. _p _,. _9, _, ' ' _ _ _.. _ __,. _ _ __,o q 0 _. _ __ _, i _ __o _ _. , _,/ __ ' _ , 'R /
Cuando la polea ___ _;;__ vuelta el punlo P presenta
Si en cada vuelta el ángulo ba_-rid_ e__ , rad_ se
Un d_S_lazamJe_ltC: __ i_l_Ulaf de 0 = 2n rad , IUe_O
consideramos
_ , n
2 2n
ReemPla2andO datOS _n este caso el ángulo barndo (0) corresponde
l 2 desde et instanle en que su frecuenc ia es
_=_l+- 2n t .
o_ feV/S a StaqUe Se et_e_e(_t-',O),1O_U_l
Resol_endo se _ene que ocu_e según dato luego de l 2 s.
l=Is

____( __t _d__ ___t1t_yl____cq8_ __J___a__l__n _l____a_l__t__t_N__t __ d __ _(____e _ _l ___td__g_0____________r_____________________0_______J_________o___________t_____n___________J0_0__e___r_t___9__t_____ __up_______e_9_e__0___at0__a__da___to_sR__1_u____m_t_____0e__t___d______1____0____a_x_________e________x____g__p____f__e_0__s____
lwmb_er__ ;_____iar___ e__ g_-,_
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r_, _ c o, . _,? , , __' __a_'_"._.:__'._. _____V__?__?_______,,___';_-_ '__-_æ__'''_______'_____,__',0'_'____ ____'___'__,..___e__,__a.o____.D ,æa__,_'___.___ _''_____,_'__'i__0._______^____''_,_i_._i%_''________._,___
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' ^9'_,_0__,_,d__,_,.._..___'O __,____dmi__,o,__,_,,I____e_8,____o_,i__,__.___6S_,_. ___ __ '_,___ ,.____'' _V _._ 0'. ' ___________'__'_,_o_'_B_ __'' _,,_i^__0iæS__aiii'__?_,a0d____,,,__,___', .___..,
,_.r_.(,! V C_n Ios _t_t_,i '___ _?__ r_r__c_3__ __ __,_ _1_ __0,_______''__''_. ____i_B.___i_._,,i____,__.._,i'i'_.i'_i_,,_,,_.,D_0_.__.,_ __.,,i__,_i___'__ '' i_ _ _i __' _''_.;_;'_' _'__._=. ,0.,_.o,_o_,,,. _,__,=_g__e0_...__.__0',____O_aD-_ ,_
' ' ' '' _ ' '' 'V S ' ''t ''' '- __0_i____'_'____B___'___i__'O' ____a__6a_'''_,__i^'__'i'l_'_____''_'''^___.,__________e_,, t 1 _,t ___ _i.-o_'_0i_'______.^_'__,___!__'___e9_'_______ ___''_i,i_,ii0 _
__'_,l.i,_,,.____..O _'.__. ___m .i'_,____,i_0,a"_,,l'i_ .._ ,. '_____' i__. '_ .. ;_, n .;,._. _i__,__,____i_'___,0__0___ - _-.o._ _,_____o_o,,_'_i,i_i__ __
_t_f__ _ S_' l'!_ iC_ Y,m_,J_ij C____, t;._ ___.3__1_._ _..,. __'_,''__0 ,,_. _Q, ',_ ,._ __, ,,_ .i. ._, ., ,._, ,' __ , __'. _'o__g .i__'_, .__. v. ..', _'V 0_ , _ __ _'_ ,._ ., _, .î , ,_ .. .:_ " t :_ _. _ ,, _ .D ,o ,i ,. __. _ ._ ,___. ,d .__ ge' ___ !_ '_ ;_ .__ ., ._. ,__ _ . ''_.O, _i. 0,_. d?! ,X.b _- _ __..
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_ii'e_9__^O._ie_i0_____0___0____,______ _____o___,__',___i_'. _, _ ____ ____0 -__V 1'_' i0_i,_eO'C0'i____i,__D_i__0'__,__'8_i_ _6'_i_,,__
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l1Jn _ iftt_ _ ____.,_._9_._'0__,___'_,_e__0o___, e__a_.i,i__i__'l_,___.i,.__f___ '_______._!_R_a^_æ '___'d'_ _. _ _d9'''^O_8 't;_ _t __v ' ' __i''o09_''__''' ' _i___.__' _=o_'a''_;-
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__ _ _._.__. ,__ ,.,__,,_____, 0'09i____i'_ ,._.,,,=_.,., i^' _ ,._ ,, '_____. __.__'_,__'._,_'_0_'_'0ii__o_i,_. ,0,,__._____o __i..i.__,i_.i __,i___... __._ ,i.i'_.'.,.B_,,_ ,_, _._'___i. .i,.. ,._,., ,.._ _.. i,_,. ,__.'_ ,.__l ,._'_ ,__',_0 ,_,. _ ,._ _,0_o_.__,___,_ ,. .',__e_0, _ i ____.i,i_.,.''0,_ '' _ '____ g,._,_,.__ __ __'0 _,_ ._ di, ,___ o__,___ 00_ 0d_,__ ._ ,_o_ ,_ _.____= __,__,,__ ._. ,0, ,, ,_' _,_i
r_ _n n._t __i ,_i_^_ ___ig_,. __.d..,,.__ i___ .__"' i^'_P _i____.__i_, i. _i___'___ __, __0_l _'___'..lD ,_',___o, __l'____.___'.i,____i0.d8__,__t_l'i_., .,._ __i___ ____ _i' ,_ _,, _,___i _i_' ''_ ___l _0g_ _' ,ii _l.___0 0. , ,. ,,_,.., ,. ;, ,_ o __ ___'___'_'^0__ ,, o. ,_ , _,D,. _ ..' ''__'_R ______ _. _?.
2_ li'_._,_,_,_.,g_i,.e___.__i_i,i___,__,.a__...____,_.,_,,__.,d.,,0_ ,0, i.,_.,,g_,_,___,__0,i_i_..._..o._., _,_._t_,i__ i_., _ j? i _i_,' .' iiii_._,, _ .e',e., __a_ , .____, .i,__,__',_8., ,_..,.._____.i_ i___ ,_= ,,V ,, d, . , ____0,. _, __ p, ,_0 ,. ._,__ ,__. 0,__ ,_.,_ .o _ _,._^ , ,, __ ,, ,p _o, ,; , .,_B,n._.. ,__9 ._,_. .,____ ,_ o0_ __,,'__o. .R.__, , ____ ! ,i o ._,o__ ,______ .n,_ , _,_0 ,e, ,__ __
?qu! Jo 0_-cin d_I aire (vlento) sotfe lcc, _a_e_as dc _
.'. _ _ 24 vut__!aS i_Jcto h_ceque lus c_r_m_de/los__or) u___mq,J_o
_Jrcunfer_rx i_'_
&__t_E__Cf0_E_ e_ E_ _0VlMtg__y _.,. __. '_,,_,_,,____fE_€_c__
_n €ene_a1, c(_ando un_ tJartícula _esari_. ,_,, _ _ce1____in __nenc__. _____ _,__gd_d___. _ _, .,
__i mc__yimic_ __to circunferencial, 14' _'elucidad __ _, , _ __._,i.JR,_ ?.__..,_, ,_, q__,v _.,n_a pf m_u__,o dg ,a/__ ._
Ic_ partíciala puede variar en m_dulo _'' , _ _ f- _ F_ _x _
_ l__t; lil_It __ l e_. __l U_O__e5_,_' !t_ '..'f,__N_l't__.1:
__'?_nlt3V_mCnt_ Sic_mpfe Varía en difeCrión a i__ __ _- _. _, d .
., , r_' 'i_ -'__ _ .S^_ __efmlna e aSl4U__ '_ _
_C_ QU_ ___N_l_ien V_fta a VetOCida _n_Ul_f. ft_
__10 en tal m_vimie_nto se tjcncn las sV'_eujente_ E_
_celer__ja_ees _- .Uf"__ l j
'' _?__- _ =a_^
t' t '_
_d" N''_ _;nida_-m__
_' ''_ ar
_ _..m0cp ;' _acp:ace_e Fac_n ce_____
'__ ^c_o U l_ rapide2 con ___ ___e varía l_ djrccc_,_n de la
__. _ _/
w_ - - - - - _ veIocjdad, El móduto de esta acel__racj6n 0,_f_ el
a: aceIeració' n angular. Su valor exDresa !a M.C.U. y el M,C.U._; se determin2 de i__ si__ '_i'ente
rapide2 con la cuat cambia l_ vetocidad ian_ular, forma:
su mdulo en cl M.C.U.V. se determina así: V
2
___! __ __
' __M 0 _
'_1n__a_ 2 7. __
U UU-Fa S ,_I a :m/S
__

__f_ap__rolDx _F__ l __y__ _ _c_ _ _ l E__d _t_ ___) t_d___( _ )l_ 6t t_ (_ )
Lumbreras Edit0res fisi_ a
AtE_ER_tlON EN E_ MOVIMIEN_0
_ f____lt __ rtclano_
_leFmo__m_'ento ' //---- ' __./P
,_ ''_ 0T
a lo l_ o de una tra ectona cum_ínea como un / '_ /_ U
' _ 0N _ , ''_
movimiento compuesto por arcos de _' , _ : ,, ''
c;fcunfe,encia con dist;ntos r,d;os. ; o,. ' '_'0
En la n_gura que se da a continuación se _. _ ,'
muestra una complicada trayecto_a curvilínea '_ p,_ ,/'
descnta _r un cuemo en monmiento sobre un ''_ " _' '
' N _ _ _. _ - ' _yecfo _
plano.
D
:,; ,-__ Enton_es, cuando el cue_o se encL_entre
'-' B A pa__ando _o_ p, su acele,ac;ún Ô _res,ntafá
,x---__ componentes re_taneulare5: 1a aceleración
' ' , '. ce_tpela _0,p), din_id_ hacia e_ centro _e la
_r3 ,' _ jfcunferencia, _a __u21 determjna el __, _1Jja en l_
_t._-_ y n_ _
. _ ,, __ _l.. direccin _e Ia veloc_idad __ u,_a ace1eración
;' ,_ _ taneencia! ___,), _uc cambia el m___ulo _e la
_Ff2,_
-- VeOCl a_ ia COmO OCUfre C_ Un r,_.'0__1_jientO
Vem__ QuR lOs Se_i_t0feS aiSl_dOS de Ia cjicunferer_;_,nIW+
trat'ectorja curv3_jnea suJ_, a_ro__ima_amente, _ d. . F .
nRStCCaSO,e fa tOdetaClr_CU_ __r_n__I_ __
arc0s de las cir_una'e_-e_n_'i_-s representadas con
Se de_O_na radiO e C_F_'_tUr__ e, CUa_! RS dlS___,_____u
lí,__ea__ punteadas. i'or c_je_nplo_ los sectores -_ y
en __a_a instante y la aceleración centpeta se
son arc_s de_ ClrcUnferenClaS de _eqUenOS
_os e_ sect_r _F es e_ a,Co de una denominalambiénaceJeraciór_norm_ ,)_r
c,_rcun(e Fenc-la de ma or r,d-lo. _ enCOntfafSe S_bfe 1a reCt_ nofm__; SU mÓdUlO seal
. dete_inaa,_í
e manefa qUe el mO_mlent0 ßOf CU qUlef
trayectona _M_nea puede ser represen_do, con _ _. -_ ''_
3maci__n, comu ea mo_-m__en_o _oc _cos de ' _ ^_=-p
diversas circunferencias y asf el problema
relac_on,do con la dete,minacin de la d Onde
,_cetefacl_o_ n, en e_ c_o de_ mo__ml_ento cum__íneo, U : eS el m_UlO de la VeIOCidad inSt0_nea
se reduce a _a deteFminacjón de esta magnitud (en _S)_
ara el mo_mien_o _r una cjfcunferencia. _. _ D _ radlO de CU_atUr_ (en r__)_
En ese c_o_ p_a dete_in_ la aceleracin _ _
ser la aCeleraCión del m_l a la res-_ltante
en un determinado punto de una _ayectoria _
de la aCeIefaClOn Cen_pe_ _,p y Ia _CejeraCl6n
CUr VilInea Se le aSOCia Una CifCUn ef_nCla ' '
tangencial __ , y éstas pem__ndicut_es entr_ si,
lma_lnana tan_ente 4 la tfayeClOna en dlCllO
entOnCeS SU m_UlO Se 0b_ene:
punto, Sien_o eStá la Cirtunferencia de mayor
radio de todas las circun(erencias tangenfes que _-.s _x _dr
sepuede tr_r. -
254

_2 scEsFsEce_tlu__r_ct_ca_t_unq_t__au__tlt(___l_le__trtF_e__n_______ct__u_l_at___________u__l___0__o0_________on_____tl___(_o__rut_m___,(/_et/_m/__t_e__n_l___)t_e_t____at__r___l1ado l_mag__ln___l__a_(tt/__/__nttg__e_____tep___tl__Jv?___e_____t__r_f_t______as___y/_leltpc___ou__nl1____n__o3Fm_oy_ms
Cn_tTu lo v Mov imienta circunferencial
Respecto al radio de cuNatura (p) , se _enen Determjne el radjo de _a cu_atura para djc_o
l05 sl_Ulent_S C_OS'_ iMtanle. _ = l O _s_J
I. Si p es constante, entonces el mo_miento
PS ClrCUnfe_enCl_l. - - ' _ _ __,
u a_ T ' o. 3O_s
____;,...._.,o,.,.,. -...-_._, a _ ,! ''
_ a, /,/ __ : '__
; ,_'O ;J Resoluc_ón
__ /_' ,,' Como sa!Jemos p_a anali2ar el mov1'miento en
_ ,_ P ,/ djcho jnst_nte se as_uci_ una cjrcunferencja
îi _,= 0, entonces eI movimieI_fo es
_c'__en_e
_'lrCU_fe FenClal UnlrO_C M,C.U. _ __
Si 0,_ constante_ e,_tonces eI m_nmientoes ''-_: ,_
_ _ _ .. _ __'tN't'"___... .;' _,t /
(h1,c.u .v.). ,' a '^ '' _3_ ,
. Si µ tiende a ser i_nito, de acuerdo t On la J !, _ t
2 d, _ _ ,/_ ! ___'__r
fel_Cl_n 0h _ _, Se ien fa qUe Onr ' _ _ O{_ _ '_ __ _ '
_ _ _ '_t/,' '_ '_
O Sl_nl lCa _Ue la trY_'eCtO_a eS reCtl ln_a. __ __ o-_ ,, _ _.
O_, ''----- - _'
En el monmiento de cida libre la aceleraci6n
instantánea viene _ ser la aceleració_ de_ la
i _,= O, en_onces el mavimiento es _
._j_,neo un._fo_e ,__ R u) gravedad g). Desco_nponiendo e Ua ace Ie_i6n
_ 0 cons_t e_mo__m__ento_,ect____1neo en una componente normal y otra langencial,
r" e1
unifofmemente vanado (Yl .R. U .v.). tendfemOS
/_,_s__s de un mov;m,_ento cu,v;__,_ _y_g sen37__(_o) _3
Ne,a q,e se desa_olle en u, plano _no s _ ,, __ 6 mrs_ 5
_efml_e eStableCef IOS m_VlmlenlOS E_ radio de cu_a_ura está relacjona_o con la
anteriormente estudiado_' simplemente _c,ele,ac.lo,n se u/n _a e ,es_.o,
como casos particulares de este a_lis_s ,_ e n e f al
N __ = _
E_emp Fo 1 Reempla_ndo v_ores
En _a f_gura se mues_a el mo_miento de c_d2 (3o)2 go_

_R_a0ceursaoef_dudeoct_ec__nn____t_tn__)_____s__r_d______t___tto_n_____s__u,t_tp_____t_r_r_tptt__l0ltt_nt_4_____m______rtot____t____cr_n__c_____n?u__mrp__tn_r______t_Atsy_n_ur)_______ ___ 3ocm_ _/st _pe_pn(am__u___n___ta_6lrrla_2d_f,____/Nrrt_sla___fu_l___l___n____e__fal__t_3//__fll____r_/tmtd_to____ltal___/vt___sl_N_______,_t_,___p0Fl2_l '__s_/el_'g_1_nd_ a ve2n1_
roQlemas _gs _glt0s
PrO_l_m8 1 Despejan_ a R, se tiene
los punto5 pefifefiCOs de Un dISCO qUe f0ta R _-g cn_
uniformemente, se muevan a 40 c_s. Si l_s ... D _- 16 cm
p__ntos que se encuen_an a 2 cm de la penfena
ir_ e 30 crrUs, _qu djám_tfo tjene el diSco?
.o,n Cada una de las parliculas que se muestran
_na, el d;a/,_etfo (DJ de_ disco, es present_ M.C.J. A p_ir deI instante mostrado_
ncce_no dt?te_in_ su rydjo R, ya que D =2R, de _u _em_ de_ __cu mf_ _e _ e__en be
,,, _e' _-___ v, "_ ' '_- ' _'' _'_'n -' _j_ !! 1 c _! /_' ' - - ' - ' '_
__?_ e ?yn:_ '., ' ,,' ' __
_ __!,_,?_mx--__-VJ--_- ,_' /_"-----_ '_t
_ _ __R,,/ ,;- _' " m___v _ ;_- _'_' _, _,_ ?_,_5 ; ; ,, ' '_t __
l ' ' _, ___h;v - _'____' ' '' _ ' '_ ' ! !_. '__ ,/ 0 _ ,_ _ ,, '
Kecorden_os c1uc_ en et rnovim_ento de rotaci_n __ _ ' ,,,
__ un cuemu nu_ i__c} _ tat __rno el _ isco_ l_s radiOs _j - _ - -
_e __niro d__ c_,_t___i_ra de iuss n. a_ículas prcsent_n
_._____i ra_idcz an3uIar (_ c__ ). _dRm_s como la Re_olución
rr__lacin e_ l_nlf__Ct CSt_ Fa___eZ _SC m- anlI^cne Las p__jcuIas giran en sent. i dos o,Du_-5t__, )' __c_
___nS__t__ enccntrarán en une mi_ma lí,_,ea __a_.____ __e?__ 0..s 1_;._
__i l_ r3pic;e_ ta;_g_ncjal (_') _ la fap ide2 an_U lar r.mDfa _Tez ocu,,e de _,_ _., _,._e,te f,F,,,.
( c1_) s_ e !elc_,cio__n _ne_._un u _ _R _ entunces para
l_- __a_cul__ _ ,__'' N''_
cJA=_(K-2) (l) ,_ ' ,__._ 't
_ara _a _a_ícula P ._ ,,/ _. ___
__p=(uR (_l) .! . _ _ _, :
-,__d-,ena_o (_) y (_l) ,e t_,en, _. _' , _ '__ ' ; ' _ _ y 6n _ _ u _
uA R-2 '_ ,, ''_0-F_ - ' , _
up R ____ ; ; _,/
- pos_c_on ___'_ - __-0í'
256

___n_to_lG_c2_etbls_ ____ ____ _t______t t __,_, ______t t _ _______ _____l a_ _ _ /3 _ _d____ _
cApjTu lo v Movim jent_o c ircynfeienc ia l
la segunda ve2 ocu_e ta1 como se mues_a O_a f0fma
De acue_do con los datos se deduce que _ = 2m.
,, ' - ' _ _ _da _ Mto sig_nca que en e_ m'smo intervaIo de _em_,
/ '_ _ _ _ _ _
,' ,_X _ __.. , '_''0i 2eSeld ObledelqUeberret__,3_CUlal.
, ,' i, i_ _
! ,' o ,, _ '_ _ Al inicio las partícuIas esta_an s_paradas urì
! ', _. __ g; águl__e9__'semuevena_e_.cuen_oentonces,
__ '_ ' _ '__'' ;__ _J pa,_, que se encu,n_e, por ,r;
' ,' ,_ ' '_y_m_ _, ad__ _ e_ fad__o d __
_ _PNNm____, ,' de(1) ' t
'__ _' ,_ bNrer __^ y el de la esfera 1 _ebe _arre_ ^,__0_. _-
''_ _ _. _ _ _ _ _ ' _a_' __ de _S. te i._st__it? hasta ìa se_unda ve7_, to_
_S1tliiJ -"_
_ l1) __-_s'_ __s __' _^uen _a_i_i n_ula_ c4_e s__,mado_ deb__
?__? i;_u_:' __ __G_'^; _0r t_nt0_ __ 1 raU' t_ _e !a es_'_r_ __^_-'
_t_ C__te _r_1CU, SC ObSe_'a _U_ la medlQ_ de lO_- t,p._,?F_ _'qi_.,__ __ g. g'_,_? iu--- _.si__Jve_ i v_____-__ ___ ;_'F___.___ v_ nt_e ____
_n_t.l_0S barfi_a-S __f l_S _adi05 de _lrU _e la_ __4__ç_..u1___ ;_, ._ __, _ __/_s ___s_;,_ en __ r2;--__ ,;_çn__ _t..c. 2 â '_
l!_aitíC' UlaS_ a _aFtlC del jnSEante in_?_ lal_ SP __ h _ _ 5 _ e _ _ _ - _ _
' . ._i _ CCij______j_i_, __îu__-_ e+_ _rt__æT)_ _î i__.!_'_-;.__ ____
__ -ic_T_iJn_n de t'_ Sl____nt_ "na_'__f_' i_ _,_g_,- ,.,!_ _____., __ _yad700 de ___,_ e_ d_ eg__...r_ _
/ n _ bafre un ,_ngu1o d_ 600 + 2Q0_ = __ß_l)U. Con_0 _sla
02__ +e__-v2n _
î , eS_ef_ Feall2_ M.C.U. SU Fa_3deZ aIl_!_ti__i e5
constante e igual a _/3 ca_s, _o que _!_,_'___ca _! ;e
_j_ . . U .
_ _n t.. ___, _- =___ (l) en S, SU fa &0 e __rO afie _ iai , e_ e__i?''
' _ 6_. por lanto, p._ra que _arra 30Oo tran_cc__rnrá _ln
_i-ado _uC l__s _ar_cUf__i ___enmentan M .C .U - ., la _nte?_,alo _e _empo f _ S s.
r__id__ ____,n__)ar _c ca__ una es constante y se
re__;_'a_!-:__ a c'__n _os ángul__ s barridos según ia P_r_ retI_xlor__r
e,i_7re__ _u__ _' _ _(. iEl intcN_o de tie_,po 4ue tran_curr_ Q__' _e _:-_'_
encu__ntr() a otr_ es c_nst_nLc_?, _c_ut es s__ _''_- i__Jr?
i'las pOsiciones en_ ;'a.5 0{le s_ cnc__e-ntrari _' n unn-e
1 --' i-)E i =_t ' mjsma Ij_. ga _did_, __. e_r_, __iA_mhvt_.:m__ ___s fn_sm_t_7,
_
In_it2mo_ d__ ì_cIo_, e_-_ _ì!u_'_c_-_?;; u_- _u_;. i_r_-_i_iis ms
_, _et_11a_ ._ _ar _g __, _ ., n c ,g f
=Mf=__ i li __, _ S _vf, __'i_._n_i__ _._'______l_P_.
-" 3
__Ild_ 1 RS e_ lrlt_,^__U d_ t_ je_m_?_ _i _i_,itr__ t7__rJSC_!r_ j_- ' _, __,e,,,i,_i____,,i_i,._i,_ig_,__0 ___'; :__
'__'PSd? eì lnSt-a_t_ _n. tC1__ ___J__ _l _e__U_nCi__ VR__ C__i _t__ _-,_. (-,i;-j__d,_o n,uec-___, _;J,_ ._c ___ _.-.xt, 7_.,_n_,__ ::,._,_ ___t__..,_ f__,l_._r._.n_ __ _,_',
___ _4!-_____ent-ra _"_-'_ i '-_na l_'_-5__-ü li!l_-_ _'a_t__ " _'_, C_' ___;n___R_ d____li____ _!Jr___''___. _e _>__' __'_ _ r__ _ _s_ J _u?' _f
m?S7T__ Jj al_ ftJi __S F_4__1_ll_-__i_t_ __"n _i_ _S_____''_ âg_'iefo__ i___.________.___!x'_,.3ba;___, ___nc. _.___.__5,v't___c-__?____J_____
S__ _'___Utt_n_OS. ?_S cn0nst%__e e j_.___u__ ____ -3_j_'_' i __'____/._ v _s_e pr_i_ _Iq _
ee_?,g _._aza,_ _,_ en ( _ _J m, _s_,c n_2____;._+?,,,_-__, __- ;_...,________.,-_-,.,,_3,-._. .. -,_, ,,_ _-,._ _,vr..g ,r_n,L,__,_,z
_ ,_ _iIì4. '_4l_!_r (__ ;J_.F__c _. _ja cac!uic_'__;__^:
_t+-t ___v
__ fj __' _._,''9 ,___e___ n__ '-___=,.__o0.__-'_ _
___^___o'_B'__'_.__,_,__d__!________i_,0?iii_._,_o_ ____0'____,___0i._'__,. _0_'i' p_ r_ __
_^i' ' ' _ '' '''''____,'_,__"_'^ __0_^''i____i____________0oi,M'__ __ m
d_a''''_es_eja_d0 t, se_jene ;_.,,,... - ___,,___,'__,,!,.--;g-- _____,_;a,,,-__'__._,o_.,,._,..,.__,,_,..,_.'o0..o__,,,_0_.,,,,,g,'',i, h;.,..'_._ V''
_ S __,.__0_., _'_'_dg__, '_,_i.'i' .o,.l__,,_.-.__:__'_,,i,.e__.__i_0__.__,.,0... _.______,._ ' eft_e_

bm_lln__l___mn____ge__erd_at_pmt_t____set_tR2____o___a_____n_l_ng____u_t_gl_d_t_e_De________ceo_rr_____pes__n__dMte_Jcr__eal p___al__le_t___m___o__D__g(_____n___)___l(___)l_ar__00 _c__________ltlgr_____________t_____n__0______c___atRc4ul_un__a(____e_cl__a1_s r
_'__'_' __,__reras _____i_ __' _t-_____
__0lucjón _Jel grá_ic_a __e_edure,q__ e M-- l20C'__- ____',3 r__
0h._eNemo__ _ ci_n__co c'i_n ___'j_t_ de 5u secci_n D_trantc_ ei âi___, __'__f__ ___ tie_n___ t+ __ __a.i3 a_'ar_i__ _a
r__ct_,_onde_sepidré- ohsenr_rs__ b_e_ crc___la_. _istanci_a ___=Ri_ v_ __c__n_ t1er__ ve_uc_icJ___
C_nStante_ e nto_c'i____
?------ -------' '
_ ' '' '' '' ,_ _,,c, _ Ri_ (_qJ~__ )i3 _ _
R__q_'3m ._. -- .n.:. ''-- ' ' _, - v... l_, 3__ 360 3_
'_ ' ,.:_, , . _ _ Rcem_l_an_o _ y l en (I)
'_''' ''''__O'''' ''n __:_',;'''___ '
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00 .__' __0__-_,;___.. i_._. ___ _.___'_ _,'__r__ ..0_ _ s
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_ _ '''' ,: '';'''''' '_ f_' _ -_..''' _
__2Jtm! _ '-': - '''_'' '' ,_ ''''n__''_ '. ._. _=2O_ry_/s_
_-, ; .' _?'''"'''J:_''_
' _ ' Si esta re5ulta ser Ja rnen_r rapidÆ2 an__ulaT p_a l__
_d_=R _m
CU Se CUm_t e _ COndIClÓn _lante___4_ ent_E_CeS:
íe€__n _i e__-_ncjad_ ta vei__Jcj__d dc la baIa
. -, _ ' __Fa e1 !eCt0_, __ara qUR O'__S Vc_ I_f_S de l__ __l f.__ _ 1 i '_
es uB _m36_i _m_'s y_ e_s c;_ns_ante, tucual signiF_c_
an_U__aF u_o. f__ ba!_a __uede SWlC ,D__r ct 1 r______c_
_ue i_ e mU__ve recti_lr_e_._Me FitC Cr+. la dlfeCCl0n
. , x h _ ___ujero? __e entjendg (_-__ d_,_en s_r otrrJ._ __ i( _fe._
n_4_ JtiV6 _ _)e . COmO _?_ _' SeN_ _n C _r lCO. - f__ '
. t _ _ m . t_,,_ de ,_ m o (_r) _ may_re_ ;-_ _Oi-
'- ' S
ba__ atiav_ese-' ;al cilindr__ __ __gujcro A de_e _irar y
u_icane en c_1 extrem_ _p_i__sto, para _ue así la
S_ l-aenen d_s poleM y uI_a ra_a _uL_ 1c__. u__r- Si
_c1 FUe_a __lf _f e_ ml5mU a_!ll1_r0.
ur_a p_rtícula _'u____iera de 1a (aJa prcsL_r_t__ una
E1 ángulo q_e de_e _arrer e! _adio de giro cJe_ r_,_ ___de,, dc 1 _ _T_ _,,s. determJ-,,_ __ mux
a_u;-er_ A, p-__a la co_-___ción -_tantea__, es __, t_l _,_,_,Jcl__,_ __ n3.,__
com_ S__ m_ie__a en ___ _rnlcL_. Su'_ emb__r_v_, si el ___n_,, (__ x,J _m ,, _ 2_ c_m) __,
c!lindro ro__ c___r_ urla g__ _pidez angW_ e__ aei_jer_ -
A EJc__ gi__ má _e una vu_lta antes _e que ta . _ _ ' '. ' ' , ,.
balü_ salsa _r t, e__ este ceso eI __u!0 bar_do _n^'''_'_^'_'n_%oo__, _ ' __v
/ _' _ _''_B_ ',. , S''
_tltPi1etom__ __Svalofe_^ ___t_^;'1_+G;.._....... _-_____ ___'' __' _
._'f_ _1 _--- '=
_ evid_r,te q_ue a ma-x-_'_i Fapide_ angul_r, mayor R,. _- ' ____ ' _.0_._',., (2 ) J
será el ngw_u harn_o_ Por c_nsiguiente. para l_ ^'_'____'_00,, , ,,,. _'_0_'___.,
__ , _ _ '_'___o_____0_.
n_enor quia que se pueda _arrer y en este c_o Rego_uc_ó
eS _. co_sidefando que la Fa)a ,o ,es__
Como et c'_liJ__ro rota u_(armemente, entonces, _3s pa,ticu_,, de ___ (a)_ en cont_cto con t
eI _ujero A e_nmen-ta M.C.U ,. Luega_ p_a Ia pe_/culas pen-f_n__as de _,s po_e2, se m__even. u_
__lde_ __Ul_ mínima ( _ J te lle_e i_a_J_ format es decjr, fecofren jgua1 longitud de
_ _0 _ _co c0n et mimo ;-nle__o de _empo, por l0 cual
t pr_senIan igu_ rapidez tangenci_ (uJ.
258

_Re_em______2tl_0_________l__a_0______0__n__(0_d_o___o______e9_______n0____________0_____0___c________(ll) _ _trJ___t__t4__o0__000_____0______t ______/____0___0________________0___0__0____________0__l_____) 0 no________
_pp_mg_____________5_______________t______t____v_______________________r___ct_________t_t_____x____________________J__________________=______v________________0___________________t_____0________t______o___?____00t__0_________t_______________0______c____t_0______0________0_____________________________ao____as_______p__0_________0________________t_____________t_____p___o___________________________0___________0____0_____________t____v________n_____________________n___t______v_n__e__________________________t________________o_______________o_oo_______0J___0_t_________/_______o_______________________c_____________________m______________yp20_c_ _m__d_cJe_cw
CA PíT U lO V Mov i m _ ento c ircu nferenc ial
u . . , 3- _a po_eas conc_n_cas soldaa=_s
''''';.',:::_,._;.__'_;__.''''-''_'''-:':'_'_'_''':-s''''';' ^'"O^'''_'"''__'_'' , ,..,,_,_._._'.:_,%'___,-:-_'' ._...'_^-'_'"-_:'' ''_'''' _ _i'!'''^•_•i__.. D. u ' ,__'''''--____,s:!:'____'_-__>;''.v__'_,_;. _,,mm__;,,._u_,...' ' _
,.. ' __n__ i - i i ___,'_ '_ -'. ': '' ' ' ' _ _ _ _, 0 _____, f., _ ' _0 ' idD _ ___ ' ___a ' ''. ._._ _ ' ' ' __o_.:: _ ;. _ _ ; __ _' ;..
U _0d_,.__ f__i_/'V '' ..._ __,_vj_ ' __ '., _''' -'' ,_ _'___ _. _.-_ ' ' ' ' : _' ..,,,_,.,,,i,_i,__._.,,...,,,., _ _'' _,__0
''_BD__,' __ ''':'_,. ___,,v _1 : _'__;,__' .._. '' _,. .,,..0o0,__i_,,8,_,__._,'0_o,_,_.'0,__.',0__,_R___ __'.__0a_. _,_g___,?o___,_0_O______'_0____,D0_o0_8__. _ _!.i,_i_^,___ej.0__e0_ i _'',_ _',:;;;:,__,'n-:_i__ ' ' _'
' ' '' i_B_._.,,..,'._.,.,L., ... '_;J , ...., J ' ' ' '' _'_ ____,_...,,,.,,, . .,..... :; :, __ ,..._ _,.;_ ^ - ' -- _-- - _,_. y_,.__n.D _0 __.' __ _o _x _ _ _ ' _ _ _. ' _ ', _,,,, g_ __.. _,... i._ _ _; i i _, _ _.0 _ _o ' _ _ _D _ 8 ' '_ _.; _.. _'__;.;q :. _, _,_. _ _. _- _,- _ ' ' ' _ ' __ ____ _ '_, .,,., A _ __v _n. _, - __-_
_- _ '...;' _ "_^-;''.___/ ,_.;..,_.,_;..._,... '.,O_;.'Ug
_e _cuerda con el er.uncjado u _ 1 ,2 _s. ''::,_:x.;cv- O'______'___,__,____.,._,6.g__..,_,,.,,_._,,.,,.;,_o;._..;,.-,;D_..:-,,,,'..0_.;,,_,.__;,_,..,Di__,,,_l_'_._'_,i0___..__,,,_io_.__i__0',,,'__^_'_.,,.__,0.,ii,.____,_,_,___i.•_ '___'O-,. - -_,,_,._,;,'.m;_ -..
_,n la poIea pequea L_ = _ r (I) ''_''_''__:__.,:'__;;_;;.._,.v.. . ''_'"'''''_"'' ' '''' .,..._..:.i''''.,y:_;:v'v_::_ :S" ''
c_omor--__cm -- O,2m '''n'i'_i,,_''__~'__.,'._._,:n_,:;_;..,;-,__,,v;,;,,,, .......... ...
Reemplazando en (I) ' ''''''M-'' /-- '''''''
l,2_m (0_2) .
__ m'6rad/S ' ug_u,_,, y '_A__w'__'
_n la _olea grande u _ m R (II) ' ' ' i '
en este caso R -_ 30 cm = O,3 cm
Aquí a1 r_t_ las _leas soldadM_ lo_ punt__
_ y B pre_entan despiaimientos angu__-es
= U_
:. _,._ ___ _ ,_d/s_ igua_es en tiempos iguales, _o_ ello se
eS_bleCe qUe _A _ (JB _
Pr0piedade5 p_n.
l. Apa_irdel_____'_emaantenorsetiene s o_eas con e,ntn.
. --_i _' _ ' f4dla, fOtan c0n fapide2 _l_uiar cun5_an__'i
_ _. _.,__ __ P' ' ' . ' ' ,,.. __ _ '. ';; _ ' ;. ^ '_ : :_ '.' ' 'v _ " _ ' " ' _ ' '_ ' ________0g,,,..,..,,,, s_. a a_._r dp_ _.nstante mosty__,,_ _os ec_u_,n_
'' - ''_. ._.u._ _'_, ;, . ;,__.._,?, _2 '___',____0.., bloques t_dan 4 s en __bic_e a lo largo _e ur_-_-
..____;,,,, '' ? '^_,___,,,_,o _':.___''_' 0 mismalíneah_nznnta'___'con_uéra'_pi_eza,_gu1e_
_' '_'^': '' '''__'_'_0,,__,o.;,..,L0D,.o,,,o,,_..,,...,_._... .. - '_' rotan l_s _o Ie__ _?
8 _,_, __.,.,...U
A ' Ui ' ' Y_ _ __ ' _,_, _i_0o'_i _ _ _. _ '_,.__._i_0,,i._ _,,_ _, __,_ gi_i____''_,.. - ' ' ' '_,,___., _
2. Pare_ pofe3s en coniact0 (tangenc__!e5) _ ,, -' ;._.. _ ,_o,.o_.,,o.,.,,,,,., ,,...;./.,;__,;,.'.;,_,,_,,_,,;,__,_,__,_.._,___,,_,,. _,_:;,,,_.._"'!.
' o_,_.o.___'' '_ '' ''''_;: ''-;_,_:. .__,, .''__,_0_,.,0_"D OO' _' ' '" ' ' ',, '; .._ - _,,. i_..._= t!.
' ''"ß'''''___^'_8'^_i'__ ' l20,_
U_-=UB_Uc y mt_ 'llt_ll'

rga___ ___ ___(__t)_____g;__p_R____n _c t _y_ttxt__h_ qtt___t_ _g _ p _g_stfe _p u_g_2uo)u _ _) _J e_m_ _p(__o) de_2?__
lum._reras E_it_res F í_- ic;
_es_I_ci_n _artic_uta__ _e _a ___r_1a uni_a a__ i_l_m_e !1J _'e
_o_ _ _)__ s pc_ìe.,_s conce ;)ttjc_v_ __t,__N;_T,___L_?_ lt,_mad_s mue_Jen con l__ Fa_=_r.; ____. __, ;_, ,r___u!jjç _i _l__( ue ( t, j
_c!____ s salida_ias) están so!______ ___s _cn otras, si__u3ción si_,il_r oc L_rTR_ pacù ja c-uer_-a L_nicta ___
t_I c,__? ___ _____0s _e _?_îro __ _____!_a_i_r p_rt_'__U1a _loqug ('_). !al que ,?__f__ __;_ _.___,___,__ __ í J te._emc_s
de __ p0te_s _rren ,:e_at _ng_l_ ( 6 ;x en eI mi_' _no ,_ __
_ -
intR__'alo _e _ie En_o (.?)_ ,
pe_ae___oq_e (2
A _g -__f (ll)
J'_i, , , ,, , _ _ _"__;,,_, Como c_ enunciado plani__a 4ue la rapide2 angu1_
__ _9,,__c,,,, ?,L,,n; _ _ es cons E__te. e,____,_ce_- !_ rap_,_ez __,__- !_s bI__,_e__
''? ___ __'_''' '''' '^' __'n J,; _ tacnb_én es _onst_ntnc. po_ lo _,ue ?_ada uno
';,?,____,_' _
_'? , _m__^'____",_ deS"rO!l^ M'R_ _
sn _ --'B_'____ -__'.M__,, ___ v _ _O? 4 S qUe __rc1_rl 10_ _J__qUe__ __ra _hlCa_SC t_ri
A ___;'_ ",_ ^ _'___ y un_ m__srna I/_nea hor,_z,Jn;_!, es el t_l
^' '_'_ eracue_tr_ (t,), que pa_a eI M._.U+ se determina
así
___ s:€_-i_ca __e las pc_le35 c_ncéntricas tienen do
_, u,_ ,, ;_eJ _n u_,, sN_,_ _n__u_, o _a r, ,_de, (, ''_ (lIIJ
X - _ JA +
ta_,______ia! _L'! de 1as' F___ rtíc__I_._' _e_ende de ___
;.0 __ _.,c / Reempla_and_ (I) _J (l!j en (IIl
D_ acue_'do c__n esta ob5e_a_ci_n gra F_quemos el r _ _J_
_nr)vi,_i.entc_ de tas ot_e2s los blo __es. WR + _t_-
Reempla2an__ datos y tenien_o en cuenta 4__e
R_2ocm U_ - 1a distanci_- __ sep_raci6n inicial de !os blaques
f_l0__ 0__ _,?______,e?_?0 _,_,,. _ es d = I_Ocm
'''__
' -_-___"??'' ' Q=__
'_ '__'' 9 _(2_) +lu(lO
'. __lra_s
(2) '-_ " -- - - - _ _?? ____'_?__________'_'_'_,__'___________,___?c^ ^,__n_ ________:-:______,____,___,_
u ?____ _ ___ _?na______o_ i___ ,_____ ^J _' ^_"___,_m____________'__'__
i _9
t_n _
__ 0 ________ >.__.. ! _aU__rO__lOn_P_de UnCUe_n_ldO,
___'P l20c__ _ sus puntos tienen _na rapidc2 que es _
_ pro_rcion_ a _a distancia aJ cen_ro de r_tacin.
U_
; _. _ A
U __'
Como Ias cuerdas eslán enrolladas a las poleas_ U ,' ^ DP
Ias part(culas de cada cuerd__ que estn en ,' o B
contact0 con las paFticulas perj(rjc_s de su ,' A __ __"___C
_ _dC O
' respecfiva p_lea e_ consecuencia tiene_ iguaI n
' _
rapidez tan_enci_l. Por ejemplo, tadas las , _'_ _.
26O

R________ ___________ _3_>___________________________________0___y__0t_______________________0y__________c___K_________ t_t __ ____________e______________0__o_0__________________ll p0rgMlp_u____ltod_o___rdrf(e_la(ct_r)ctunFtfefe Jnc__a__ttu_(l_le_)s etl
CAPíTU lO V Mo_'im iento circunferenc i_. l
_fO_l_m_ 6 Del ____co __emos no__ _ue lc_s potea,_ _ y lIi
_sjstemade_l___est_enre_so?__laspe_ueas est__i u,_i__s pof una Faja de fn_do 4ue las_
esferas A y a est__ 5obre la mis_a hon2ont_ , Sj _a_cu_a_ My ,4 de la faje uen__n le _jm.a ra_juL__
_a polea Itl empieza a rolar con una rapidez t0gencial. por cunsiguiente
angular constante de O,5 ra_s en sentido 1_orario;
_M=_/__UN
ai cabo de _ué _empo A y B se _itú__ n en una V
, o + , Um _ l!s _ m_I (2f)_ (0__)(2f
I_ea qUe O_a COn a 0n20nt .
:_ U,w=lJs=f (Ii
Il '' '_ ''___ __-;_v.__---_, -..
.. ' __,..,_. '__ ,__, _"---__'______ .. _ L__ego, _ara el tnágu1o rectágul_ s____reado
,. !'',',,..g,,,,_,,.,_.i...._,__,,,.i.i,,...,,..,,0,__._-,, _':_'';_;:';_._,, -,_-_-__,--_;_____._.,._,_'_____.,_'''''''_'_'_,,.,.
_._,.__^"''_'',''___i'_''i_'_"''_'_i_'Mi_ '''_'_'__ ' '-''''';''.._;. _'_;_'y_. _._.;:'' '''''-''''''''_' ''''' '_ 2__f_ _'''0_.,. '' _an s3o_ UTl + U;t _ (Ur + Us J
. '^ __. ,.__;n'_ __' "'''' _'_'::.. p -''''',_ - 4_ -_r ' (l')
_.. ' "' __ _ __,B9,...,..? ;. _.. , __,,d,_,, _.0i__,_.___.,_,, ___._,_,__0_ _ .:. __'_. . ' _O'p o_. _ .. _ , .__,.
_'- __.. ,. _3f'_ ' '' ?__ _.;_,-_ ' . _'_i'^'_'•__e___ ''__ _V' ' ''' _'ambién para l_ poleas _ y Il que es tá sol_adas,
'' ''''''__'':''__'' '' _ - la rapi_e_ angular es la misma
U _ U
_--__--
A B
i__ __._ t Ur '3Um _ 3 r "- 3l'
Reefnp_a2_d_ (I) y (IlIj en (I1), tenem_s
eSOlUCiÓn
A __r de la condici6n de que la polea IIl rota 4 _ (3 r + r)
L_on rapidez angular constante, se concluye que 3 4 r
l_ pequenas es Feras desa_ollan M.R._!. .'. t -- l ,33 s
Pro_l_m_l
. ' ' _' N UN _!na pequea esfera puede mover.se por cie__a
_4H'"!''_ . __,_0o_.0,;a'__,,e.e. . f . _ d. R . d
Ur l ,.,,,.,.,,,,__,o,....,__,.,,,, ,;:;;'__ ' ''?;^N_;-_n__:_"---'''"', ClrCUnefenC_a era 10 _m_UJa a_fUna_UJa
_' -_-_:0__-___'_0'_____"_0'''_'"'''' ''__ _ ''' - _'v'' _'':_-'--- --- 2r__0_,
_ __'- _- S ''' ':_.= '__ __,T'''''''' qUe fOta e manera Unl Ofme CO_ f_ _1deZ
-?t,__5'. ''i_ 6
;. ... _ "_oD'_o_'___,B_,__o____;_,B___,_0D"_'' u _,._,..,,.,.. . ''' angular cu. Si e_ eje de rotacin de la agu ja pasa
! '''_'______ _'''::''"''_' D__ ^'_'_'_'_0_'_o'9_''___'_do__'-_
-__ -_- _ '
A_ __ mÓduIo _e la acelei__ ción de esta esrera?
( __'__t
___'. _
__._''v_ B_ _
A!, ' ' '_ _
''.,_'-:.:_,..'__ S __ _
Ust _._ ;._.:.._'_-_;.;;-___'__:'=-_____'_.;;__;_._', _ t .,, ,_0..!
_. .'''''':---___--,_--__.-_.___-;;_:y'i__;_;;:_--_';-_-P_::_--.-'_-;_c;.,,.._ ; O _0_____________ ' '
_.b' __._-'-;;,_.x,_ _--'-... ___.'-___
4r B
261

(_dc_(u0a)nnd0de_oyal_adlus_gu_laRdla_Retnnu_er_m;) __ d_ _ __ _ _f _g_ 5em_guoe_Jss_ttraanc_t_e_stJ___e___vc____o__m_p.l_fe__t__ft__utn_a___vu_lul_5___o_ednl_etda?n__ot(gae_leqeccuom_em_fpreo0ea0al
Lumbreras Editor_ Físi ca
Res0tuct6n .
5a 0
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R___ ' A_
c-_-íg--- v,a_ __ ,,.,:.-'. , ;_ ,____;_ __,_
_ , _ ' __'_:,'^.t4''t'''t__:t.t, '''c ' ^ttnt'___'^___'__,t_;__
^ __n,,_,,-___/__'_'___i'_____,_v__ , ,__; x_ ____'m_'____y__?,______
_ _ _ m,,j___5'_m'_,_,J,_m__ _ _ ____'m ' t /_n_ ,? __i_,__J>?,_,_' ___m_' ,
_ R __''C____,, J^___ ',x ,__ __,__,_ _s__,__,___?,_S_?,,,^
^ _ _ _ :__ ^ ___ __ '_,,_ _J4 m_: ' ^'_ _ mL _'' __' _g_?__^ _,______ ggv___,,
,o_ _/ ; ___' _Jm,_i__,_____, jf__Jm___ ' _i___ ___,, _,_ ' ' t__4___ _dv_
O ^____ _ __ ___-_s_;/'___' .;' ' __;c/_:;_:___,;__c_,_,__-__ ''^
_ n. a-
Re60_ucióm
e __ller O COn _e_metn_ e a ClfCUn erenCla,
-a ,ata un a, u_o g el ,,d_.o de ._,o Si lan_M_s la esfera, ve_icalmente hac_ia abajo,
. _ f _ , J __ cada vez _non m__yor rapjdez, enEonc_s empleará
.4 _C _ eS erY ___ Un ___U O .
menas _empo cn lleg_ al disco por consiguienle,
S;. la _g__ja ro_ con r__idez __ul_ _on5t_te (cu) , __ r_ p_.dez _n_,x._ma ce da _a,a p_ menor _.nte,.
_nt__nces la es fera t_m b i én g_ ira con rap _ dez _ e ; ,., n , _ o o s _. h _ e E n d._ c _ o_ n t e, v_ 3 o d e t _.
_Il_Ul_f CUnStante PerO d_ _Oble mÓdUlO (2_) __ a ,_e,, _,be ,,c,,fe, el a,c_o, anfes d
ya que er_ e ! m ;smo inte_a 1_ __ _emmo su radio c 0 m _ _ e t _ u _ d d _ d _
__a _e ta a an o m_S e llna vuelt
barre e_ __J_le del _n__1_ que la a__ja. Esto hasteque _,esfe_pesepo,e,_ Esp_.
significa qu_ _a ra__de2 ?_ e la es_e_a (u7 es ,ne,,or N_nte__a d e t _, e, n p o s_, _,
c_nstante; por 1o tant_, la esfera cxpenmenta g!an,c_
m.C.U. Recordemos que en es_e monmiento la
a_elera_ión está dingj__a hacia el centr_ de giro y
seden,mi,,cele,a,;ó,centpeta _ , _ ^?n_
CPJ '
lueeo el módulo de _a aceleración de la es Fera !, uo
se_ !,
2
r_- es_cra ,.
,,a_o_ue , ;h=50m
_ _; ;
_e,c,,=2_ ,, ;
2 ;A ;UA_8_S
.'. 0,p=4_ !
___n__5_ ?
,_/,_ _ ?_?c_?mm___,__, __;-,4 , '' _;
_ro_lgmg_ _,____;;.'_','_',,__T5____. __5__5,_,,e____;;;;__, _--_ _
E_ d,Nsco ,ote un,.Formemente _; ra ,_de, de_ _'-'''-' .'' _v_______^-____'___n__:_0_ ;_ _ _ llt
- 'n .J' ' _?_-_-_-- _, --__- B
_unto A es de 8 _s. Determne la ra_tdez __ ma ' ' ,,,_V ,"x ,_ _ _ _ _,_.! _; _
. _ _ _ _m,__?___Nxv_"_4__ i _?_' ?
COn la qUe Se debe aruaf_ Ve_lCa mente aCla __ _,î _,?_?v__________?,_;,,_,,__i_ i,_
aba;o, a l, es Fe,a pa,a que p_e po, e_ agu)e,o. _, '' '__n,_,_'_,_, __??,__________, U__ __?_c_, -'
' s _ 16_n. _ s2 -_ ,0__ v_
_- I^ '
262

_dEct_mts_o__e_t e(n_)nc2l )() _lu____dut_3_g2_8__n__n_2_2_1c_uRtqg 2__ _n_enta la fleannt_eam((tl_)le)_te
CAP íTU lO V ' Movimiento circunferenc _al
Sea t _l inteN_o de ticm_ _ínim_, entonces,
e acuerdo con los da_os para el m.V.C.L. de la _vu _ _ a
esfera_ se puede usmr ,/_- '_. ,,_' m_. - '__
,1s,2 _ ! _ u__ e_ u_.____,_
-O- _ _ t_ _ ;
'_. ;,R=O,m'._ _! ,,' _.
mÖ'ma de lanzamiento. ' '' ': '' -'^' '' ' ' ' ' __ ' ' _ _''''W ' ' ' ', -
inteNaIo de tiempo r se p_e_e dete_inar en
el mom__ient_ de r_tacin del disco; se obse_a _ta cond-__J_o_n se ,_mple __ndepend__
que eI punto A del disco recone el __o A8 en el de_ mo_.m__g,to ue ex en_
mismo inteNalo de tiempo (r) que el agujero s '
e_Ún ei enUnCl_dO del _r0blema, el Caml6_ Se
reC_rreelafCO S.
_ado __nd__ca que e_ d__sco r_ta mue__ecanunaveloci_adconst_te.,_orello, I2s
___fom_emente_elpuntoAexpe_enta_m.c.u. Ilanta5 ta_bién se trasladan Co_ velo_idad
y de acuerdo con los datos _a el movimiento constente _ en cuns_cuencia, e! inleNalo de
de esEe punto, se _icne temF_ _ue emplea _n_ llanta en dar una _elta
SAB es Constante para una vuelta
UA
OndeS_t l6m_ UA" 8_S_reem_Ia2andO t t
t = 2 S Si lM llant3s se muevgn c_on velocjda_ c_rfst6nte
Reempl_ando en (I) _)_ en Lonces p_a una _elta
1(lo 22
__o 2 +_ t___
_t U__)= lS_S El enuncjado indca que _or c_da 32n_ _e
recomdo que realiza eI c_ión __scu_e 4 s_ _r
Pro_l_m_9 lo __to
Un camión _e mueve s_bre una pista rectil_nea
cunveto__dadconstante, si_rcada 32_me_fos u=-4 =8n _s
de recomdo trMscurren 4 s; determine la rapide2
angul_ con la cu_ rotan ;as ll_ta5, deu;_, _ue Reemml_d0 en (lI)
tienen un radio de O,_ m y no resbalan, 2_o 5) _
l=_' =-s
Resolucin
._ u,a __a rota r u_ su e__c_.e s._n ,es_,__, ReemplazMdo en
tal como las lIantas de1 cami_n, entonces un 2n
punto P de la circunferen_ia, que limita a una de
las Ilantas, da una vuelta cuando el cen_o de la 8
llanta reco_e una longi_ud igu_ al _nmelro de
la c_rCunFerenc_a (2nR), ta_ como se mues_a .'. _ = l6 -s

_____ _______!_t_t________ _ _ ___ R((te JgeJemn_qppt(wlla2n))6_anntfcd_)pauo(ntoN_mgtoucusn5d_t_aJdr___ef_s4_ho2tc_anruob+rane_e4__sdr_taasd(3n_)trdte__tea_2/n5tcou0nyncueesu(_t___naIJn_s
lumbr_ra5 Ed i_ore_ f ís ica
Pi____10 _e t-- 0 a t=5 s __ _apJdez ___gul_ aumenta _n
_na v_1__ de l O cm de lungjtud cuta en u_ pf_u 20 n ra__5 ____ to si3ni F_L_ que en I_ s la rapid_2.
h0n2ont_ _lrededor de un e_)e V__cal qUe __ an___lar au_nen Ea en 4 i_dJs, _oT la tan__ le
_uf UnO d€ S1_S CXtfem0St aCeleiandO _celer_-cjónang_JJ_rconlacu_eiraisera'
uniformemente d_ 20 revJs (en t = 0J a 30 rev/s _ 4 a_ 2
P _ '
_n l-_Ss). Dete_ine la ra_idez _genci_ de su Aho,a e,c0nt,emo5 _f _, __ emp_e_ _, s_guieni
punto medo p__ el inseante t =3 s. ecuac__o,
_F=UJb+a
Re_oIu_6n
La _an_la rota, re_pecto de uno de 5-us __emos _
F-
__on 6na ace_r_ción uniF0_e_ es decir, un punto .__
P de __ vanila, re_i_rá un M.C.U.Y. lal como se
. U_ (_2_
muestr& a con_nuaci6n
-. U___ 7lmJs
! _F_D_____
;Mf
,i - la rued__ de u_a b;-ciclet_ c_adruplica su npide2
__ ' - __ _ _ _ _ _ _ __o_m 3__ __laF des ue,e _
_ 0 ,.d,_ ' i !_ ,_ - ' _ _' ' - '
_î''_'__^m'__..__ V' _u __ . .
_. ',/" ._. i ,. feS_CO_SUele Wane S,_CU_taS__et
= _____O. __m _ '_o0_ __ ' má,_ d_á en ____ 5j_u_entes 4 s7 ;_ la ruede _,,_i'a _on
---- _ ___' ' ' '
r_3 __ _in_2 ac_le_mci_____ angutar con.stant_).
__m_ nos pjden deee_in_r la rapidei u de1 Re_1u_n
pi.into me______d__ de _a v_rill_ en t 3 s, cunsidc_ __ n el prob_cm_ debemos delermin_ e! numer_
r_re_r,_s _ue ea punlo _ es ____ punto n_c'djo de _ (r_) de _ett_s 4ue d_ edjcjona_mente la _edg
v_N _Ia; p0r io _ue tran_c_urndo ( % 4 s, desde el moment0 que l,n
u= uifn Tued_ _o_ra cuadrup_,icar su fapidez angul__.z
_onde R _S el radiO d_ _tf0 _e P y _F 1a ra_id_Z _ __
angu_ar _._ t-_ 3 _ ece_eryc_,o,
___l _i_ram_ R_ _,05 m; el_ tal sentido '
_UntO pen el1CO de Ia _eda real_ U_ M-_.U ._.
u_wf (Ot05) (IJ
_ eSta fe_aC_Ó Si 9Ueiera U mCeSItamOS _F .. _i _ _ ' , ,/
__ar_- lo cual _provechmos la condici_n que en ' ' _0_ ,,, ,,_ ..,, i_ ; ' ,,
r_ O la frecaencia as r-o _ 20 revJs_ _s__ Ia _pa'dez ._i,_i '" '''_, "_0 .,_' _ _,í,_'_
___'il_ ?_' '--__>0^____,_,-- _-'--.
&n_Ul_ eTi t-_O Se_ ! ' - - -- -- 0'"'__ '__ __- - 0 't
, _, ,,.,. ,.0 ., .,,. , , ...,,, ._i 0. ! _, ..,,;-- __?'. ,,_,._._,_' _ -
_"2_o__2_(_O)=40nra_S __,'.'/; J','' _.'; R
As_m_smo en l_5 s la rcecuen__a es / _3o cev/s; ._..,_,_;m:___C?,.__;__;,'_',_'_;:.;'..___..: .,.._:'';';;,, ,'."_ ... _, '____,__'_ ,._;'''_'___ J _0;_.,,_:''''__'_''' ''. _' _:,._,;v_ ;:..:.;:' _._'_''';'':_,'_..;_..'_:..'_;_',,, ''''
' __uya rapide2 angul_ en dich_ i_nstante será __"-'-:_-'_'i_':::'::'.__'':=___-,___'-i^_---' _0 '_- '_^'vv ''' '_ __v_:.-. --' ,. ' '-_",_,___-_'_,'' ' :''''_,_':'''''''''''''"'--'.___- _-_---_'-^s__,_----i_-''''''
_-_--i- _.,._,=_'';___: in, __'_'_'- s '_-'i ':':!'. ''_,_' =_- _.'_-!_-h-_=- _-.-;-'_.'_ :__''i'_;..'."'v''_ mi'__n. __-_ __--i-n __-__=_-_,':_.:'_._!___:''v,__?',,;'__-, ___-_n__?-'
__2_=2_30)=6On ra_s __:''___ ' '' __'''''_i_'_'__', _''__ ': _ d'j_'_"_'_' '_' __.'':.'_' '_' '"_'.',"_ _'_'':.:,_'i''__'_:':__..,;''X; ''_''''_; ''''
264

__ ___3_(2_oo(_)_)(__)_2 ( ) se J _t(_ta97___x_s d_t____t __ tl_n_g_ _ t__9e___ytesun
CAPíTULO V Movim iento _ ì rcu_ferenc ia _
Si en t segundos e_ ndio de ro de P ba_e _ PfD_l___','_,._,_ i2
ng.uIo 0 ; se tRndTá que Una p_í_uIa ini_a su movun1' into circunF_enci_
g _ con aceteración aneul_ const_te, Despu_s de
n_-
_ Un _em___ t Se ObS_Na QUe SU radlO bafnÓ Un
&o _e_s u_ án_UlO de __ Cad Y lUe_O de 5 S _arre _ __W0
de _ _d_ Si 7 0_ =9 02 _' SU aCel_faCiÓn 4n_Ular
_+af2 . , 2 _
j i - _eneUnm0 U0 e Ca S, eefrrltMe 01+
l q2
t 0--4_ 4+-a
R_oIució_
_ _=l6_+_ (ItJ seg,,n e_ enu,c.,ado Ja pa,t,,cu_a ._n_.c_.
A continuación enCO__lemOS _ y _ - POr m_vimiento circun Fer_ncja_(_o_oJ c_n una
condici6ndelproblemaen 10s larapidez_gular ace_erac;ón angu__ cons,_ante (a_*_r_s2)
secuad_pliu(aum_de _ a__)_dando250 t_ sen__do i_ pe_,c,_a Fga___2_a_un mcuv. t___
vueltas la rueda. Si en este inteN_o de tiemFo como se mues_a a con_.nuac_,o_
consider_os que el radio de giro de P barre un
áeu_o __ ;entonces _!_
, __ _ _ ---- - ' _ - - _ N . N
l- z t t__t__._..'___.__/_ _ _--4Ca S'_.
_+__ _' _-__-__ _ ;_
_(2_)-- _2 lO __ ,J' __Nv.. ,_
'_ _ ,,' '_R '--____'_;__,,__,_..___
25o(2,J__ _5 _o __i'___0--.._ ____.--"'lo--O;__O
2 2--t+ _,
_ _____s (llI) '
Debemos d__ te_inar
Asi mismo para calcular la aceleracin _-__,+82
aneular (a) p_te_os co_ por cond,-c-,o,n de1 p,oblema 7e
t- _
{_f-U}o
a= t
t 01'_ 01
4_-_ _ _'o_ esto se tendf_ _0 ___ ,e
t a__ t a=N '-
F t
Ree__plazando _s val0r_s de _ y t _ __ _i 6 _ (_)
9
1T
a=
gu__ta re n ebemOS de_e_lnar 0_ __
a __ 6n rad/s2 (m _ncon__ E; donde 0_ es el á_ulo bamdo por el
_d'adegirodela_íulade to a t_, por__to
l __
0_ l6(20n)+8(6n) 0t -- o +_a
0_368n rad M I
t 0_=-
F_n_mente (VJ en (l)
n_l84_eltas _ _ z_2
l--
265

_DEe (l___)_ll)_y___((l_91(J)5e_)0bt p___l___(____t_)__t__tt__tt__r_______v__s___ __t ttts _
! t __
Si 8t + 02 eS el ár__U10 b_f_ id_ ?_j el ?_di_ d_ _ifO ;
de to a t_; e__tonce_ _a__c_g_ _
_,+8,_ _'+ _ ______ ',_ ' _ _ '_ fa_c_e. ' __ _ '?- _qc _
_ c_! , '_, ,'
_." __=O _'S____'____
7o l(4), 5)2 ', ,,' '_
t Ot+_ __- f_(_ _ _. ' _,_'i ._,_ _
___ ,, , ___'
I60 2( __)2 (___) '' '' '
_ = t+
or cOndición de_ prOb1ema Se Sabe _U__ Cuan_O eI
._ene autom6_I da una _el_ _anscu_en
t=l_min_6OO ._
_6 ,+5 2 dande et radio _e auiro R barre _ln án__lc
g - _f 0 _ 2n rad; entonCeS el mÓdUtO de la a__!eraci5n
0gular a se puede calcular con
Resot_endo
___5s _,_ _+-2 lar '
En (llJ
c_ t 2n_ _6oo1
__21S _ -2
_ 0_=4_O_d
4n, d/2
_(i t a=_2f2 S
(6oo)
___6 qso Ahofa nuesEro propsito en e_, problema es
9 _e_e,m_-nar el E__em_ (r) _ue __da el autom6__l
._. _ _ _OO rad en d_ l_ l_rce_ _elta, _e0 l, y t3 eI _empo que
_anscu_ ded_ el insta_te que el aL!tomóvil inicia
_e__;e__ _3 su mo_miento has_a que ter-mina la se_unda y
__ _; ;,__0 sale a µrob__ su auEornóvil en una piSta terCera _elta feS_eCt___Vamentei Se dedUCe QUe
circu_farenc!a l y se ob_eNa qu_, la pnmer_ vuel ta t, = s_ - i_7 (IJ
la re_iza _n l O m in. Si continÚa con ace_eraci6n Como cuando transcu_re t2 el rad iO de _iro R
_nguEarco_stante, determjne el tiempo que t_da barre __n ángulo _2 = _ (2n)=4nrad, entonces
en recorrer 1a _ercera vuelta. _,
82=__ +__t22
Resolucin
. . 4 t2
e_Ún el en_Cl_ 0 e aUtOm _ _a_e e fe_OSO _ _ = 2a 2
(_o _O) traSIad_n_OSe SObfe Una _iSta
Circun_erencid1 con una aceleraciÓn an_Ul2r De5pejando r2
cons_ante (_a) esto signinaca que el autom6vil
rea1j2_ un M.C.U.V,, Eal como se mugstra a __
l- -_,
continuacin
266

_AsD lmtlsxm__o_6o_coau__(an__6d4o2_o_o2_haJtsrantcumd _o t3 elra_ode _s_egwl_l_el_lenun _ad_ole___pl_ll _lt_ __t___t__t___t__e____r____s______a___l|__L___lT_r__ren_e
cAi íTu l0 v Movimiento cjrcunferenc ial
8n _ _;_-_____--__
t t2 -- 4, R-_l____, __:_;
2 _,-_____ 0
_ r,_6Oo_s (I_) ,,'
giro barre un ángulo de 03 =3(2n)=6nrad, de ,_
estamane_a
_ 2 Resoluc_ón
93 = 0 3 +_at3 _ ___ __ _tode nc__
elhiby__p_un M-C.U.Y.(a-- l ra_s__
_ 6n = 2 a t es_o equivalda a u_ __cula qug p_'endo d_l
. d rep_so (_____) inici_ un m.C._!.V. con un radio de
eSPeI_ O t3
giro R ig__al al Iadi_ _el cilindro, tal c'omo se
_2, mue5tra.
'3=
Cuando que_an O,_ m por enr__l_ tenecnos
l2_t t
3=
_ r3 _ 6_o_s (l_l) ,' 0 ; ;
0.6m 2,_ :,'
Finalmen_e reemp_azamos (lI) y (_1l) en (l) T,, ___";
r, _ lo(_-_)mn _ 3,2 mn ;
Hacien_o u_a vista supenor
ProDltm8_ ,
El hilo de longitud l = 3 m se comienza a enrolla_ !,
en el cilindro de tal manera que et punto de __-_--- -'-- -__ -----'_-__
ia r presenta un m c u v con una ,,'' _F ; a--IFa_s2 '___
aCele CaCiÓn an_Ular COnStante de mÓdUlO ,_ _ ''.'_'_ ^'
ine la rapide2 angut_ del punto _ R __ i ---- - - ----- - - --_ _ _7.
__a cuando _uedan 6o cm de h__lo po, " ___--"' - ,,, 8 to-- Oi _, _ 0
enrollar. En la erF_ca se mues_ra la sección '____ ,,' ,__'

lr_ep0tes_a_o2fR_(lu_mJR___d_ ____o2dl6 _ompd __ En/d_(g___t J_?x_t__t2_(5t___n(2)(_____t)ot____n)13Eonnll__nt__afalvu_dtte_lEa__a__ q__ __n__tta_ttvuelt_e4z
__,.,...,..__._,,,_,g,,.db_r_i_5 __,,,,_i,''jfores ' R_,_'' .n
&hora en el problema nos pi,cten deter__inar 1a Como 0rm- _ ._-
r_pidez angu1ar _F del puntu de tanxe_c_ia T; enEoncei
cuando q'_edan 60 cm de hilo _oc enro_la_'_ _ '
___g_mc_____e_ _, u_ __ 2__in=a _N
'''' a C SeeneqUe _ JW
, = €4_ + __ _ u _ 5_ rgd /_s2
t ___=2(l}0 Esto signjfica _ue la peFE;_culg gifa con una
2 _ (_) aceleraci6n a_gular constante de m6dulo
f-_
a = 51c Fad/S'. Ahora como nues_o propósito es
s;_ (_ cs el _gul0 barndo por el ra_io de giro R; de_e,_n;n,, ;e ,,p;dez _gu_e, c, y __a rap;d
t-_ t o n c e s
_an enc_.a_ u a_ f_ al-2ar _ u__
f _
S l_O_6 _-
=_=__-_ _2fa ten femOS
._eempl_ndoen (I) _'
_f =2ra_s _ _. n---__ _ - - - _ _
_-' - - a__F --_._
______,e15 _ R ___. - ',_,_
Una Da_í__ula inicia su movimiento por una '__ __--'-- =_N-.. uF
_ _ _ ' '__ _ /_'____
CtrCUn efenCla R r_ la _ Cm CO_ Una -'---.___________---N--////
acele,ración tan_er_ci__ de ___dulo constante e ,/
_ ual _ s2 Determinesura ide2t encl_31 //
__ _ ,,2angen_e
y angul_ al f_n_i2ar la quinta ii5_lta.
_ con__eniente __sar
ResoIuc_n
segun condic__3_, det pfo)_ler_a_ l& pa_9cuia reali_ __' -- _ ' 2aA (l)
u__ movimiento circunferencial _artiendo del _
o) con una ace_e,ac_.o,n _Sea 0 el_gulo_mdoporeIradiode3__rodesde
r= _O- _
QUe lniC_0 la _a_lCU_a SU mO_mle?. tO hasla Q'__
t_g_nci_ de m_ulo _r =2__n_2 teF____ _e d_, _a qu__
S
Se_ún !as características del movimiento_ la _ _ _ _-
p_- rtícula de_e realizar un hil.C.U.V.. como se
muestra a contin-uación
1
_, f-
!, resoMendo
--'--i--- a T! ----_---- _f=IOnr_S
,__ ' ; R_0,5 m _ _ _ -i__
_ _!__----'- '_ lue_o Uf=_fR__ _
_, __- ' ' ' - ' ' ' ' "N__ .. __. , _
___ ___ ____"j' u,=IO_-
:_-- ----- - ------- - - -- to--O ;w_O
_t______'__ .-. Uf=5n_S
26_

__es0__uc_ou _____ ___ ___q_______ttn_t____________________tq___.__|_____t___pt__t___t__g_(/tl) m ___ ___l__ll_/_mr______t_t___tt_____ __l_l___ ____t_t_tl_t__t_tetf_e____una
CAPiTU _O V Movim iento circunferenc i__ i
___fimg 16 Reempl__do en (t)
Se muestra una e ue_ esfera ue es_ adhenda .2
I6_ ,_J
a Un arO metáliCO R = I m_ Sì en Cl_ItO IMEanle
_ _d 2o s1
.'. u=Q_s
forma un águto de 530 con su velocidad, iqué
rapidez presenEar la esfe_ en dicho instante?
Una partícula inicia su movimiento con una
-_n an u_ar constante de 3 ra s2
._ traves de una trayectoria circunferencial de
I m de radio. lndique _ranscumdo qué _em_
presentará una ace1eración instant_nea de
,n _u_o 5 s2
__ando la esfe_ adhenda _ aro, ella re_i2a un
mOvimientO CirCUnfe CenCia_, tal COmO Se mUeS_a __olu_n
Si la partjcula inicia su mon_'ento c=_rcunferen_i_
_ ( _ a = O) COn 4na aCeIe C_CiÓn __UI_ COnSlanle
__-----__. -----__ a_3 ra_s, por lo lanto se concluye que la
_ _ ' ' ! ' panícula reali2ar un M.C.U._ _ como se muest_.
_ ' '
; _ R=lm __
__._ N ''' l _
_ec_n ____!i.'_'''0'_ . ,' !
'''' _ -'-_ ___' , ' o_2o_____ t _____ --;__- _ .____ lo___ ;_-_0
U _;''_ __ ,__ a__8re_s2 _ _-j'_.
____ ___' 0N _--'_ ^N'___ R_1m ;
_,___ ' -_t__ ,_
Según e_ enunciado debemos determinar eI _ N __. 't ''?'
móduto de lavel0cidad u ue ex enmentala _._ ''___a_5mrs2 t-_
esferaeneIjnstante ue u Fonnaunán ulode ar _ _''^---'''
530 con su aceIeración _ _ donde eI m_L!lo de '
laco_ponenteendi_eccíánnorm_ (__,) ci_ _, _.__
es igu_a
2 Ahora consîderemos que _uego de r seeundos de
_N = -R -_n'_c__ado su m___m__ento _a pa___cula adqui
__o_n ?, de mo,du_o a __sn4rs2
Ahora sabemos que senu.
R"lm y ay"_Sen53
0= 0_tar
Alreempl_ro,_20 -
2 t s_ a?+a1
t a_= l6_S - N T (_)
269

d___cod_eme_n_o__r_t0_a_m_an0tendfR___t_tt____tn__u__2na__a_l_l_l_l__tc___D_e0__o0___e______0___0________________00e_m___e0_,___o__0o_F___0c(_(_a__________0____0__2_____0__0_2___0___c____________0____/)0_____lR___)____t_o_____________n___l_te_________p______t________t0t____________t_l_,____|__e_t_____________n___0______0_c_______________l______p____________a_(__dAem6d_u3locoenns)leMte _a_f__ 6mrs __(vrJlo
lumbrera5 _ditores f ís i ca
0__ _ara el ln5tarl_e S_n_l_dO S_ et_rmina COm0 _ y, __ __ ( _)
1 __ cu1
N=_>' -- F l Ree_nplazando
_e F_iMf^- o_0tat
_ w.__3t .t 0r"_ lrl/S
(_F,i) en (1_) (m Y (_ _'n (l)
aN=9_ (N) 5_,_(9_) +_
adem_ __mos que R e s o _ __ e n d o s e o b t __
0r_aX tm-_ s
Pro_I_mai_
L_5 __leas que se muestran son co_icéntnc_ y solidnas, en cie_u iMtante el punto A de la (a ja tiene
una _pidcz de l .S m/s y __na acele_ci_n constante de _nódul0 6 mis2. En ese instante d_termjne el
vat0r de la ace_eración en eI pL_nto 8 (r= O,5 m).
B
. _4_Vg__oi__i_0___ _"__;'i _ __'_,
0_,____'0___,^_.'o,__,____,__'______^0 _'_'g^0 _ _ _ _'__o'O'______,
_,,0._._0., ,_i_'_0___jo_D0_''__0,____'_,'_i__,_.__.,,__,.__',%,,__, _ '_ ^'_i'__D_d^_._e_...,. ,
_ _'__ ___ ' _' _o' ^_' '' ' ''' ' ' __ _ _ _ _ _' _'_'_'0 _V _, _ ?._. _ ' _ _,_ ___'0 : _-K-- '--0. _i'_'' i_ii
-___,__io_i.'_ 0?_'____o_0_____00_,____,,_'__B__0./. ______,';___-__,_0._.0 I_.___.,i_i
''__0_8__o__ ''''__-_'_;._s"-__o_"0'0i'_^_
_'%-_, f -__-__, _;__, ;_,._'____
Rgsoluclón
Como l_s puntas de la raJa se despl_an con una aceleraci_n constant_, los puntos de Ia D. enfena del
i _ / __ ' / __ i
tar_tu las poleas conc__n_cas rotan con una â'ceIeraciún an_ular a constante, _al coInu se muestra.
l _!
"_t_ , _ _ a .;: _ ' U_N_ltS_S
. _ .. P !, _ ; _... '';;,..:_.:'.;...,. .._.S_,__;__'';..,........__.; __..;.:.,.._;;...: :n.;_ _._;n;... _.i_',.. _:;;_ _;;..:;,..,._v..,..
.,. ___ _ , ....=_,..;;;.;,__i.;._.;_____.__'.;_._''::^;_;'i'___'__'_.;_-'__:;_'____''''___'._ ' '''''''''''_'_'._'_^_/_'__'''_''_'''V_.:.''' ' A 0 ,
__: _ ''... a J __;i_a_'"i'0_' ''_-'_-i.:,,._'- ' _ _. '
',, _,.,. . _. ';;_.... .:'':_. __.,..'. _; ,...,, l x''';'d_ ___ ,_____..; ,:i__:;:.,:;..,._,.,..__
''''_';'''_.';''=::.-_''':_,_:_'_'____''vs'__n''-_-'':'___'''_,__:!!,_....,_._m''m'________ n'_'^'''''__- O _ 'R R
''__'i_,.':;jn__'_---~__-=_,'-___--i_---m--_-,a___-_--'m-'_'__,;:___''_:.. '_ '_ a ! ..._'
'____,,;:,_;K_;;_._:;___;:g-_g_=-_-.-Ç=n_-___=-5_-_,__..__.__M._,-._;:--___y__:____.__^'''_:;.''___ ''__ ___= __, , ,,, _. _'___--- U R
' 'i ^_i'_'_-'_' ____a_V,, •,:.._.:.-_-=,..,=.;;;.-,,._,,.-,. ' a8 -___- = = _ _-. ,,. _ - - - ....... i, 0.e•___, _ '_' _ _
----- _i
-- -- - Ug
270

_t _____(2_)l_t_t_|_l(a()(l__)) l t_ t _ ((J) _ob_ene_m_____xol_5snun(s2___2)2 |_lJ____ __c _ 2
CAPíTU lO V Movimiento circun_erenc i__
AhoFa se__Ún el e__nciado, debemos determan_ poder deterlninar _g; lo Cual eXaminan0_ el
eImóduIode JaaceIeración 0g detpunto B_en h_.C.U.V.del Funto P, e1cu_present_ála_ima
el instante que el punto A presenta una rapidez rapi_ez _e __d_ los puntos de la faja, ent0nces
UA_l_5_S_ dOr-l_e , _.. _, _ _5_,.
A-UP- R_ _
1 +_2
_- aN(8) T(B) _jmjsmo_A_aT __R_6_si,
pero oT(g) = a (2R) (ll) lUe_O
_ a _ 22R _l_ u 15 2
N(B) - cu__ t ____t t _ _3r__s
(ll)y (ltt)en _-I) -2
2 1
0, = (_2 (2R)) + a 2R adems
aT(p,_aR
_ aB=2R _4+a2
1 _
t _B_2 _ _ G_a - t a=l2r_MS
Reempl_za_ido estos re_ultado5 en (lV)
t _y= (IV)
Según esta r_tación debemos encon__ la rapidez
N, __ _B=3+
an_Ular _) y el m_UlO de a aCe eiaClOn an5U
a COn a qU_ rOtan _S_ P0 _aS COnCen _CaS Para a_
Proai8m819
Un cicli.sta inicia un M.R-U._ y para ello pedalea. Si luego de .3 _' dR iniciado el mo_imento el ej_ de
cataIina ridquiere ur_a frec_encia an_ular de 5_ R.RM._ determine la acet_ración angular que presenta
eteJ_edelpl_n_O'n_ (COnSl'dere Rc____)n_'_tOCm _ rp_n__8Cm)_
Resolucin _
Una vez que la catalina y el pión iruc_an su mo_m'er_to ( w o = O! _o__ p_nto5 A y _ penf_nc0s re_izaián
un M,C.U.V., t_ como se muestra.
_ P :
_ !. 0,0._,,,,,,,.0,,,00_0_0_000_. 0.00000000..0_ _0,.0__'___,=,i.0=0_0__=!_^' _ _...',:_,;,;'0,o_____,._;,,.;,........,.....,.,_ __
_ A , _ .___;.__3.c,_ ' '''_'^'^'0_f'_;_,: ' , ,_'' . --'_,m___:__'_''''-'______;'__. .'''''-:_''__--:-:R'_' , ',,,,v--_--__. 0
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_ _t53 _(( __(5_233__6_)o__r_a__d__8so_______t ___tu5__ ( _ co_ns_tan___00_(___e____r_t00___o______d_________________________t_e_______t_m0o_ 26dnngrua___o__saB__oo t2____________t_______v__r____v___n_______________s__________________________0____d____0___0_______00__________/_o_________n______t__s_ta0c_no_tm_cooqBen_
lumb_eras _ditores _= ís_ c,__
En el _roblema deb____n_-J__ __eterininá_ _ por _f______ 2___
pro_iedadsabein_squec0__o jt r0djjl_ 4 _n_-c;_a ___ m_ovimie__t_ c__n una
i___ ar_ __af ___ mo__uto _ __ Z
_- -_Q_ _Ce_ !e_aC,___ _,a,;,m,._e s.,_Un;o,_.,U,__.eneo a
_ apr=___,R d.1_ g d-
fO f O me lante __a COrTe_ COmO Se mUe?_a
en ia ngura. G_te_ine __scurnc_o _u_ _em_i i
d .. _ , . .
_ ap=aci_- _3nlCl_ 04_n5_ _'_mentO_e i llO _ _feSen_a
_fJ .
ReRmpl___d_ _os radi_5 de _a ca_Iina y el pinon
B
_ _ _____0_______0_,,o_i__m'..
A K _m _a'__,_i___,_.i_,'_'i___,_,,,______''i -__' _
_ a_=ac - _,.,.,, _-___v_:____'_'._i______'_',i'_____'ii__0_9_,.____.,0___________=''=-''_....
,,':.!.,_:.!__i_,o_,.__,__._. |_._,,__',_.._.._..._-_-_ _''' :;_..'_'_,t!!._,__._0_,._.__,i'__0__, _____-;-_ _
5 ' ' ''n___O___'__'____'___' '__. ' 0, _ , ,_ _4____'__n'__^,_a'________0___'____' _D'' __t_: __,
_ _p =_c - I) ^_i"'_' _ _'_'_,__,___,0,i_i_.a___8.i_i__iiii._,,'_____ii_i_i_,_,_,__,,oj',_.,... ,_._;... '
4 _'_'_' ''_- ___'^'______'_,_''_,_,'_0__.__gi____a,_'_"e____a,__.___,,'______,____'o____!__ia_.,,_,._'_,o_o__- _ ''' '
Se___ún esta re_acjn dehem0s encontrar ac y asi ReSOlUCtn
dete Fmjr,a_ _ _, par_ eijo examjnarernos e_ SC_Ún el en_nCiad0_ el fOdillO _4 iniCia SU
r__ç_,n,m_ento d_l pu1_ to _ _g,_r_nco de l_ cat_ina, mO_mientO ( _ o =O ) COn U_ aCe_R_CiÓn __W_
2
C_r_cd_ IUC_G __^ __. _ ___q_iCie Una freCUenCl_ _ - , n 5 '
_v,_,__F,r,_ (u_,,.) r_i!lo d está unido _ rodillo A medj_le una
_s faja, nec_sariamente el rodi1lo B inici3 st_
Wf M-_ '__Q__m_-__-_ mo___niento ( _) _o_ e_ ese m_,m, i
n__ 1 O- _ -
con _o c_a!, t__r,dfe_,os U__ _C_lefaC__n aI___lar COnSi__t_ _B _ tal C_mO
_emuestra. '
Lu,_î___ =2n- -
S, 6 _'_ _
r r__ _, !_
-___' ; J ag
f_ _ a _ ,,_._>__._..
/ ! _-- _ _ -__-__-_,__=--__,_.:_a0_o_'_,;.t,,.;''i _
',t : __-_--_=_-._g__,e'_;:__''''
Lu__' go es conveniente usar ! --_-_n_:'_' ' ,
. .,,._o_;' 'D__;_ , _. ,__;,:__.__.;
_, _ _, + ac t ' '' ' _'__ '' '____,. ,_&' _',_,__ .?'',_' _ _ ,_'''
' _ ,_,_i,d__;_ ., _o_,.....0;'_'_ _;'.______.m!i___':_,_'_'_,_,O'____,__'?_''_c,,_','__t_C__' ':n' ;,.,_
R_emp_aza_._o da__s se tiene _ __'''' ' _ "_^''' P^^'0'^_^^ ,_'
_____ __ __ ,'
_ '_. ?''
=^c
/ 5 Los r_illos _ est_ unidos _r una co_ea, se
n n,
t ac= _ f_ S venf__que
d___
eem_lazandOen
_ a_ 0 --ag4 '
ap_ _ '_
_=4a
. 25 2 . a ___ Fa_s2
'' p-__ '' 8-
272

__g__ tt___r_t2_!_t__o2_to_ th____x_t__ o 6o_y___? gr____ _ A__ _s ___r____BRt__ _ _ __t t___0u___t__vcvs?___ s6rlnnn
CAP IT_! _O V ,_ovjmiento cjrcunfer_nc _a _
Según est0 el r_dillo B rota con una ace1eración _ __o 2 '7T
2 '
angular constante _e módulo a_ = _2 o ra_s, _, , _ _' _ _ s m faJ
Mora deEerrninemos el tiempo l que Eranscune ; , __A
desde que los radios _mpie_an a moverse hasta ;! !, _,_a, _B (! ' i As' n
que el rodillo B adquiere una Frecuencia ; ! ___
ang,la, d, _ 2o R.Rm. que eq,i,,le a una _p;de, _, !, 0 ,, _
angularde ! B'v _ a c _
'!'' ?_ _*?_lm
_eltas _2o(2nrad) 4 rad i _ '___d',_^ 08 ;
lUt'" _. _ "n_ ^_ _^
m_nuto s s , a_
(2) :
Ahora empleamos la siguiente fórmula _
a _
___,=_+a,r _ __
a _v;''_4 _nD
4n=-t '- _.
.-. r=8Os
' Debemos dete_inar ef mó_ulo _e la aceleraci_n
PwDl_m8 _ aI,gular _r,. como e_ m_d_,_o d, l_ a,ele,ac;
_n sisteTna de _olea_' est_ conectado medi_te tar_gen_i_1 de todos __s p_ntu_v _e la (a)a (2J
faj_, t_c_m__s_emues_a en langura; IaspoleM B i €u__ _es. entonces __ m_du_o de __ _ce__r_c_ó
y C son _on_'éntnc_s y s_li_en_. Detern _inc cI Eengenc_-at de _a polea D y c spra_n _-
InJ_uIo de l_ acelerac_i_n an___lar de la polea D
_ 0D=U
sa_iendo que la poIee A tiene una aceIeración _
tan encial de m_d_l_ constante e i ual a 4 2. entOnCCS
(c'on__idere _,Ñ _ocm ;_,= l_cm;_,= locm). aDRD=acRc
U_ íU, 1) -- ac (O, l 5) (l!
_si__n_o _as __leas C y _ concéntricas; l_s pu_ea__
g _ _, rotan con i___al aceleración aneu_ar
c ' _ __n _ ___ ac--_, r_ll)
''_ n', x_ _0 como
^_mV-'_'_' ^_
_ , D t 0B=a_(O_2) (lll)
-n _ ,y ademas el m6dUlO de la aCelefaCin ta_enCial
,'____?__ _ S'' de todo los puntos de la raja (l ) es igu__ en t_
sentido eI mdulo de la aceleración tangencial
e_OlUC_n
,n e_ enunc_.ado _a o_ ea A r o t a c o n u n a de_spoleas_ ByA es igual
' ' o _, .ycomopofdatoa 4mrs2
aceleracin tangencial constante de módulo 0_ B - A ' _-
t 0_4 s2
= 4 _s__ entonces las poleas 8, C y D rotan B -
,etesa,,Namente con un, ace_e,ac__o_n an u_a, ReemPla_ndO en (llI) tendrem05
2
const_anle tal como se mues_a. aB - r
273

________t_ _ t t__l_ _ _ h __l __t_l o _ o J a
i u mbreras Ed jtores f j_ i ca
Luego reemplazand_ en (___, u
tF__- O
ac=20 ra_ì' _ '
,i ,'^'' _N- -_.. '__ _.l_ISeCwnPlP
Fin_ment_en(lJ _ _u ---=V-_-t_ '_--U_
2 __ U. _-U YC0rn0U, _Uç
_=-30fa_S ___ _IIO _y___
Pr0_l_ma22 '_ -
Un automóvil _ue va _ desarrotIar un M.ß.U._,
jr_jc_jn su mo_mjenio con una a_eleración cuyo _Ofa, CO_ f_S_eClO d_l Centr_ de la r_eda Uo eS
m_ulo e.s __ n_s2. _ cl. jnstante que _sa frente a la fa_ideZ iar)_en_iaI de _ir_ d_ tOdOS 1O__ _UntOS
un__nfo __n_desw_ed_,cu)_os radios son30cm. dC la _enfCna Cn PSe inStant_, _Of lO tantO
_ene una ra_jde2 angular de l 0 ra_s. Detern_ine Uo = (_ R
la rapidei del aut____nI, 1uego de 2 s de pasar _ uo = lO (O_3)
por el g_fo. _ L_o -- 3 _s
_inalmenlc reemplazamo._ en (l)
_esoluc1ón u,_ 7_s
Como el autorr,__iI se tfaslad_ reali2ando un
h1.R.U.V._ el centro de rueda (O) se traslada p_o__emg 23
fC_lì_d0Unm_R-U,V.i__ _mreSent_i_UalVelOCida_ Sobre un pf__o inclJn__do se lM_a una ppc1ue_
de traslaCión que et auton__l en todo insta_.te, esfefa con un_ rapidez __u. D_t_n_jne e) fa_j_ de
ta_! cn_mo se muestra. cunratura al pasar por su posición ms a1ta. El
plano inclina_o (orrna un ._o_u'_o de 37'' con la
lMtanieenque - , /;- /
_e,te__nro a=2_s2 On20n_a. = mS )' __= mS
' 2s
;'' - "_ '''__ __ lo_a_s - _ "_
__' ; uo __ ;_u,, )
'_ D________..___.-----------_i
-'__R_O,3m ,_ - O
_ q__ ,/' _ 47 3_
' '__-' __ ' B _-_O D
En Rl pr0b_'Cma nOS _}iden _F; QUe e5 l__ l___'de2
del automó_jl lucgo de 2 s de h__ ber pasado Irent_ _eso_uc;ón
al _rifo- __j__ndo el M.R.U.V. del ceI__o de la
rue_ase tiene Y' ,
uF_uo +ar t , x_ U_ _
u =__osen37^u _-_'' '____ ' :,
t UF=Uo+22 t) _ ---- O _''_ '
.,' Uoy_ _ g_n3__ '_ _
Recuerdequesilarue_asetrasladasin_esliza_-_ .._i ; / ,_ _p---_o ;) __
todos los untos de la erjferje se trasladan o3_ l C_C_____
.e/n g,.,an y _, ve_oc.,,,, que p,,senta, pa,, ; D
u,=uocos370 '
_bos movimientos tiene igual mdulo.
274

_noE_oJtJlms__nalle(_Ju_ueeennese_tlns_ant_etJ__ oo_____ne__o etn__ redmo_ls __F__ t______ _ _____ ________ __ fl_1ttzu_a___________e____u___n____t_____o__n_c_e___ens__Flete_lnpsa_o_rn1uetns_
' '_ ', ___
Se h_ in_;cado que la aceleracîón de un ci_e__o _r_____e___ __,_____''0'_'i
l_n2ado s_bre un ptan_ jncljng ad_ liso e_s jguaJ e la St Se mU_itr_ Un _i5CO q_e fU___ _ti'3 __Sa_i__I.
com ,nentg _e 1a ace_gfac;ón de la ,aved_d _e_tei_lr_e la raDId_Zdel_UntOA Y_1 S___r__mf_C2
. _ , o de tf_S__C_U_ _ dC l dJSc' 0 e__ U-
_r_l_l_ al _fanD, el_ eSt_ Ca_0 S n_ =
tal como s_ muestra. _./ __,
plano _
incfinado '' ;
__.. Wa ' J
_i' _ _ O_i,-------d
0 senS_70 =_, _ gcos370 . ; . _'
'__,/_' _ __,_' ' '_ _' _'
Resuiu_ión
. _ - __= - - - _ _ - - - - _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - - - _ _,_ ,n,,_m;,nE, _el d;,c0 ,e,ul_a de cn0mb;
tr_sl_ciÓn y rota_i_n resp_cio __ _.
Sid__F_nimos__j1sten_decoordenad__ X e Y tal u u
como se muestra, entonces la aceJeracióng sen_70 -. ' , ;
es paraJela al eje _. Además es const__ nte, por 1o _ u , ; _
-u Ou __R OO__
cual l_ trayectona __erá parab_lica en el plano. ' ' _> _ - - - _ - " ?- - - - - - -.
- ; UR
pFOblCr__a nus Dl_e el rad_o rte Curvatura Cn la _ __. ; ., '
mn._ici_n m___ __ Ita del mo_mientu. ____ociamos en _ _ _,. !
_ u UR
ese instante un__ circunferencia ima_inaria
AJ COmßanC'r lOS dOS mOV3m_en_ tU_, 3_S ___t_S
tan€cnte a dicho _unto de la tra_'ecEona taI corno
V pen enCOS del lSCO tl_nRn d0S VeiOCid_d_S
se muestr_- en e_ _rimcr gráF_c__ del problema.
R
W" R _Un O a '_C_ er_C_On _ _ A x0 _ '_'_ . _
e._Tera e-_ g--_ sen__?_ ^ es per___ndicular c_ la _ .._..;.;'::.:.:;.,....,
v_locid4_ d p_r la cuaI viene a s__r la aceleración ; _ ,'_,_______g''__
_0 _ te-tEc l1_ d __-'' >-_-_-____ __U
_ - .' ; '
2 ''-,:::,'',....' _ '----'
a,_,=- '_'______ J '
__ .0 _:_ 'T _
entonces - . ''^'''_
U- Comc_ ef djsco n0 _esli
D--- ' U O
0N penféfico T, respecto del pjso está
decir tier_e velocidad nula. Se cumple por
Como aN=gsen370 y u=ux=uocos37^. consiguientequR-
ReempIazando , 4 2 uR_u
2 ( I O) - 5 Con esto conclujlnos que la rapidez de los puni0s
0
-_sen37__-- 3 AYBSea_
IO -
5 UA=U+UR y UB-- UZ+U_
32
.'. _=-m . u -2
'- A- R-
275

_ ) __ _ ___ ____ _t_________ _t ______________________t____ x______t__________ __________t____ ___tt__|___0_________________t____v_______r____________)___________o____n________________t______________t_____ ) ____ ___o_a___p_____to0______>_0__0___________nt___________t__t_____________________n_______________v____ot_____0___0____4___tt______________________oom_________________t____ t ____ l_ ____x______0_______t_t_ K________ __ _ _
__'.0=,__ '''__,._,,;,o,
'O_'_'_,,____. _ ' _'_'i.i_ '__.i___''_ ____o._0_.., m,- __•i 'i...... 'i, _.. ,_i_.' _%_ _.___,.__'___ii,.,__i..__ _ _i,..__i_,_.,.. ' _' ;,_a .;..,d._ _i'_.... ;_0_.,_,_ _,__,._.__..;....._0 __'___'_p_,_ __i0___,_.,_,_,...,.. ,..... ,.. ,, ,,., _. _._.. .. ..,..,, ,0.,......, , , ., ,,.. ... .. _...__.,._,..__, ._..0_ , .,.,_ ,, ,,._, ,,_, ,_,,,,,,,,, ,, , ,,,,,,, d,,., , ,, ,,, ,, ,, ,,, ,,,,,,_,,,,,,,,,0,,_, ,_, _, , , ,, _,_,, ,,,,
_. _Qi_é se pu__e mfi;'_ar _ tus p__ntos A y Y 4. ___s mú_'jtes A _v _ des_?îbc__. l___ h1.C._. _
_ej cof_o, sj snon ___nt_s _uµerflci_l___? seguir la misma t_''a_ect_na_ circun_ere_c'ial y
:, _ _ilfandO eI) e_! mlSmO Sentld_. __termlne el
A) _A > u)g tiei_po ____e t_rda e_ mó_il más vel_i en _a_
_) uA < ug _; _ a1canc__ _ o_o a partir del insEanc-e en que _
C_) _i,4 _ Uy _ ; ,_'._. se enCUentra adel_ntado en un _co de _ _ m.
D) _)_ _ _, . t_ .8,..../,. cor_si_ere u, __g_ m/s ; L;y __6n _s
E) __ < L'}a ' ! '_';,''_,''_'_'_0_' .;.
____''''' i,___5_C__.______'','____. A)O,5s B)ls C)I_5s
_____! ____.__
-'_--':'..;c,'_..:_'__-'^,'_.__ D _S _!/2,_S
_' _ 5. Un citindro hueco de 3 m de lareo gira
; alr_dedor _e su eje con rapi_ez angular
2. _ disco d_ la F___u_a _ola cu__ rapidez an._ular __nst_nte a r__n de I _ R._.M. y una bala
constanEe, con respeclo _ su ce__tro. Si el diSp_fad__ _aralelamente al e)e de f_taCiÓn
n_dulo _e las ve1ocjd_des lineates de los _erfOfa l_ __eS _n dOS _UntOS CUyOS radl05
___nios A y B son _,__ cm/s y 4o cm/s fU_ma_ UI! án_UtO de 80. DetemlinC la fa_ide2
respeci_v_rnente, _cte_jl_e cl radju de dic__o d_ Ia bata_
_i_co. (__ _ RC _ I O cm)
n) 2_5 m/i B) 400 _s CJ 225 _Js
DJ_9O_Js E) 40__s
..''__'', _ ._'' 'g c 6. En el eráf_co mostrado, las ruedas dent_das
_. .''__ __--_ A.___'_ desarrollan un m.c.l). De€efmjne x. sj 7a
''''. ', _ _ ' ':_, - ,....,.. relación del nilmero de __eltas por s__gundo
. __' .s'v_.:':.' ' _. ' __s_s_ :: _''' '' ' que da cada disco es l
'' .' - '-'._.__'' ':'''''_ '''' 3
n) 3o cm B) 3_ __ c) 4o c_ .,.,_,_.,__,;_'_,.._;_.,.g__,, H_ _. '' '', __,-;--- .--
IJ q5cm E 5ocm __''_,.',__..,_._,,,,,,_'_,._,_____o_,o00_,.,.,,..0___,_,.';_.... ,! ' o0,_,., ' ..,
..^ ___;..____,_.___.___._._,_.__0__._e___.e8__'__,.___g._.._._'__.'_.,,__,;:__;'' 0'_ ^ _ ^' __.______.__._ -D
3. En un hipotético planeta de 28 800 _ de --:__:,.';::':_v''':'''''' . ,.... .
r-adi_, el día dura 32 h. _etennine la rapidez '_. ',,.
tangencial de un punto ubicado sobre _l ' ''' :'_ '' '
paralelo de 7atitud 600 al no_e del Ecuador.
A)250n_s BJ5OO__s c)2so___s AJO,2cm BJO,8cm CJlcm
_J l 25_ n _s E) soo__ _s DJ l _6 c_n E) 2 cm
276

__A_D))t2____t_rnr5___r_____xm_mJt____t/_n_v_h'____f_?_________n?0_y_%_____vxt_r__lr__t_v__t_1__v__t____m______n___r_____2_____t_0o____tt______r____m_c_v_0__A_txt_r_n_4_____2r_?__t_r_ 0___00_?m_?____ _ __ rpacle_oq_r_n_ldte__e?_t_r__2__a___________?____nsy__/eg?_u4mlafutge_mcnJq___xv_p__ot_____e_n_t_y_sc__?___t_0a____nT___q_c?1t?e__/t3yQ_?__e1l___N?_llc__rcy__?____n?_?________?__?___s__?l_?p__t____?0_?_n__?u__l_______tx__ttn_d____?_tr__nt_t_t_t_t_e___o____?n_m?t_dq_esnes_l_a
cApjTu _o v _0v i m i e_ to c irc_n _ere_c ia _
7. El __nt_ A de la polea pr_senta u_a r__pi_e2 - _ _'
li_e_t de 2 _s. _con qu r_pjdez s_e mueve _.6f _'!X' _
et bloque? _' ' ''' ___-_
tI0cmt , _;,.__y_
n__?_________ g?cm ' !
GM , I4cm
0__ _ _ !I)
C Jm_ _ ,_ b) l_K__n_ B) ___ cm C_! 2 _cm,
_;' ___ ^''__ _ D/)__cfT7 _) 3 O_m
IO M la f__ura mos_ada la poIe_ A _iene Una
s B)lmJS C)1____ .
S E)O_25_S .,. ,, __
_!ir,erenc_a de courdenad__s en el eje Z de __.s
8. Dets_stemade_ole_que sein_ica, _conqué __ ,,_ u_-_ p _de _ _ _t_.
r_P_d_2 Se mUeV_ e_ blOQUe_ Sl ta eSfeCa b_I_ el ;;)t,,_, de _,_m , e ___, h_ta ,e __
cOn una raPide2 conStante d_ O_2 m/S? b__ue p _ te _ __ __s_,_ c_,d,,,__ zv
(_OnSidere R__Ry_R)
_N^__ ,nt_v,_ _____ A
v___Y J , _4__?___0 _ ,,_, _ _' '_' _ ' ~ __, __, ,,,;___., _ Y ' ;_ _ > _ =, ! _ ^__' _ _ ' _ _ _ __
..,,x ' _ __ ,, C, ,,,, ^ ' _ _ _ ' __? _ _ _ _ _ _ _ d _ n _, N _ g,, _; __, ,_ , , _ y
,, ___ x _ .._,__;,, __,__,__J'______
tl !),
_ _t_0_
i
AJ0,lmJs B)0,2mJs C)0,3_s
DJO.SlNs E)O_6rNs
. D_l Sistema de poIeas se sabe 4ue _a p_lea ! l1
P_eSe_ta Una ra_lde2 a__U1af de 3 fa_S. En A) 2 s B) 3 s cJ 4 s
S, GCUántO reCOCre la eSf_Fa? (f--24 Cm) 0J 5 s EJ 6 s

__2 A)) l_ __? __ )__mh)____ t_t ____h___! _ ))) ( ) lq_ s Jc_m_(_ll___str_!___;un_a_t__a__t_ft_____2_l_cu_l_a_J_t___J u__sem__ueR_lesunb_ Fe
l_mbrera5 Ed _t_re5 Fi s i c _
l_. Las es_eras _ue 5e jr___;__a_. se _!ueve_ co_ _3c __amu____au_;û___c_ en p__-iii___ _'e__c_ _ _ e
7apid_z c_nv__nte. ___; a p_j _e dicha __sici_n _?sarr__ __ u_ m, -C._!. __n e_ i!_5 ìa!; t_ m_ s tY _ d _,
tran_c_rren 2 _ _,7_r_ _,_e se enc__eneren la _af_íCUt_ A _r_5_nt_ Urla _CetRr_C1Ón
_ . 7
se__e__s ur__ _;_t_dn___2 _e 5_ cm, _c__ q_é N_ ^ _ V_ _ _CU a S_' de''
__A_,_ __s__,e_.,_ 13 _ea?. ,__ ;ocrn CU_Un___P_deZU_DC___l__L7SaL_l_n_OQ_e
dich_ pa_íc__a se des plaza l ,2 m p a _ 6 _ o v e r a r
_______'___ ___,?,u_0 r___ _I _;_c_.
___n_M_ _,__'___ _
___:''S,___X5__ '
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' i!íj" A) __2mJs 5! 2__s C) 2,___s
D) J___/s E J 4 _ mr s
f__S _ 2J3 f__S C 3J4 ra_S
_) 5/4 ra4Jrs EJ 7__ ra_s
una circun Fere._cia de radio R Si su v e c t o r
. Se mUe_Str_ Una __r?_a _? _//_^; m d_ i_n_'_t_d
pns,ción ro_a unijormemente con unâ _a p i d e z
un_do a c____as q_e est_n er;rollada_ a la__ _
n _l1_ar _ _ ,. ___t__m_n__ Rl m _ d u I _ d R I _
__tea? __ _ B d_ 7ad__;__ _ c In y 4 _rn ______e, e c_-, , n _ g n t _, p e t_ d e d 1- c h a p a rt _, c u J a
?_speCliv__mente. _i _Jas poie_5 rotan coT_ una
_apidez 2n_uf_c co_stante _;e _,2 _a_/s a p__i_ "
_el ins__d_ce __stf_do, _c_;_l e_ _l ___t___a1_
dc _em_ que _rnn_curre __s_a q_e la _a_a ! ,,_ _
5e coloca en p__i_;ór_ honzontal? 0 ' __ ', x
__ __ ''__ -- _ - -- _'
_ B 2R 2R
A_2 BJ(_JoR C)_4
! D)4 2R E J 2 2
,.370 Wo
_ l5. Una pa_ícula se desplaza a lo lar go de la
rec(a e. Un observador ubica d o e n O
determin_ que su ra pidez an gular con s t a n t e
A _ o s B _ ,_o, c no eS t_UaI a W -' l ra_'S_ Determine la FaPide2
D) 3 o o, E 2 s o s (U) de la PaftíCUla en el inStan t e e n q u e
, 0_4_O.
278

) _Al )t__2_________l_______l__ ___ )_h__ _t__ ;__q)J mrr___4 ;_____)t_l_!t_l_l4_l ____;___n JJ_ _____t4___
_&_ ____? ? _____;e___ cj_c___4' ___c;-__ _
___, j_,____,5___ ____ _ ____w_ _e __,? e__;___j5___5 s___
5
C_rf________ __
;. _n ;_.,_ M.c_u_ l_ _a__dez _s c0n_t__!e _ __u
_. __,!,_/,_;_,_ es ___ n__;_.
I__ __ __ k___._,V_ _a ye___i____ ___ _ôv_'_ y su
; _cex__' ra_i_n _c__ m_tun_e_t_ ___en-
2_; _____a_es.
!, Il;. ._'J e_ grát_1c_ nos rn_estc_ __ __viI __e
!, __ u d____be u_ M._._!._: enton_es el Tm_rt___
' _ v _ ., _ _
=_ ,v _____ SX,J aCe Cf_Ct0n ___U _ _5 _ = - r_ S.
I? _h__
S B_ 2 _S C 2 n5J_ , _ _' _ ___. -- _
_) 4 __ E! 4_2 ITv_ ,___ _ - ' _ __ _
___/_ _. ,! __
l6. U_a p_rtícu_a e Fectúa _n rnoyi__anto '._ ;_ '__
ci_cun?eren_i_l, se__e e_ _ué caso estén mal ' _ ____
. . t . , _'r___' ___d __
fe__eSe_ a aS _S_ Sl_Ulen CS n___nl U RS. _ __ _ _ -_ -' _
_, ace;e,,c,,,, n _angen,_,,_ _ _,,,. _c,_,,,,,_,n _; -_ - - - - _ _ _ - _
r'
centr;peta; _: ace_eración anguta_c _
SC__ __ _ _ _ ll C_) S___ l_._
J_), to___ _____lf_
AJ B) _
_ _ ' ' - - - - - _ _ _ _ _. Si e_ d;sco mostr_do a _0_!i__acj__ e_pie_
_" _/ __ -- - a rut__ ccn u_a ace_e____ci_n a___!__
U _---_-'' ,_-- --'-
_ _ _ c_nstente, en don_e e_ radi_ _e gir_ 4__
__ ' ''-_+_n____ = _ U _nt, _ ba _ d .
rre en OS Se_ OS COnseCl____,
3 5
_n_a_ y -nre_ , _ete?__ne 1_ fa__dC? ____C)
_ pFeser_tará gste punt_ cuan__ _a tr_cur___
6 s de iniciad_ su monmiento.
__ '-- - - - - - - -' n_ !_;e
_ _0cp_'_r , ;
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C t __,x_t
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'--___ _____ ^0 ''___________, j ' _ 4
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_ S nmJS
_

__JJ)___t_sm_r ___m_nv__vr__v____rv_s_____t__xt__r _t_tJml_ltt_ L_,ftfl_ t_v______tm_______t___t__tE___)___l____2m_5_ m_t f ____0_____x?t_t_b__ ? ot_____________ ____nn__n__tevN_____nt3__vr_g__R_lr__aneapndtraass_
L__b rera__ E_ jt_r_s f ís ic_
__. l1na partículJ re_!,i2 _n _ovlmiento
ci_cu_fe_encial. Si s_ ra_i_e__ l!neal de_en_e __ _
'em_u __e3un t_ Dwx_resiún u__o,u_(, / _c0_', ___,_b?
_'cJr__e __ __c_ ___xpr_a en __Js )T ( er_se_un, d_s; M' , _00 ,_;,_
__v____n__?_e _2 _ce_____c;{__n (_ngencJal de ra _ -__?_' _;_ _%___c '_ __,
?art_í___ __ c !_a_d_ he f_er_- do dar una vuel ta. .
J_'_ ,) o 3 _s'_ c) o Q n_sa
' 'lT4''- ' ' _U0=
/s_' _)ot6__s2 --_-
, 1m
20. __ _j !ns__r; t_v_ m__s__J ad_ l_ _a_!cuIa es lanzada
cu_ __ne_ vc___cida_ !/ y Ia _tsfer_ hueca injcia
__ __O_ imieT_tO 4_ fOt_CiÓn COn U_a A) 0,5 _/s2 B) o,_ cn/s_ __! _,s _s_
__-el__ac!_n an_Ui_r CoT_st_nte de _,ó_u_a D) _ _s_ _) _ ?_ _s'l
1 G n rac(/ì', Determin__ I_ m__ima __ 1tur_ _ que
_Juee _ ican2ar __ _.;c_rt jcu Ja_ s i est_ I_gra 22 _as_e_as (_)y.c2) sonconce_,,t,,-ca_m,_
im_e_ ?tar __ c! m_nor ti__n_o y e_ el mismo que __s ,ue_a_c (_) _, (3) e___,_
mllnjO __l CUcli _U__ 1an2____ _ _" lO __S') sj el eje de las Fue_ds concéntrjcas cm iç2a
- _ __ a r_tar con una aceler__ci_n angular
!, const3nte_ determ, _ne en qu_ relac',n se
!, encontrará ;!_ __ceIer_- _n_ión 1ineal de un p__nto
_ _ - - - - _ -. - _ _ perifénco dc t3 rueda (2J y (3).
U /_ !_ __
_?__ ;____:_v__-'___;___Cv;_ _'__=_:;_;_;_';-,,'___;_:__' ;^__:_J:':?"; ___ ___ _'_' ';:T;'_;_n-__ __ c ,, , _3' -,__m
l __^N_____?ir' '''._,_^_,__':_.______''''''____;'____.__:__-_;_ __'''__';^_'_ ,l _ m. M' '
-4'"_=v_'-_'''_____i^_-- . ._,_i1) __ m ___
u_ x:m'_',;_
''____ _____
A) O,25 m BJ ()tS m' C) O_75 m
n) _/2 B) 2/3 c)3/2
D)2 E) 8/_
2l. _ueg_ de abandonar e- l blo_ue, las poleas
concér_tficas em_!e2an a ro(ar con una 23. Se presenta un si.stema de poleas _ue
aceler_cjón constante. Determine la empie2a a rotar. Si en cada se__Und0, e_
acejefacjn tan€encjal _ue ___erime_tarja punto A recorre n metros más: determine el
u_ punto peri.férico de la polea de mayor mduIO de la acelerzción centrípet_ del
dimen_sin en el instan;e que eI '_tomue _unto B de !a poI_a al c_inar J2 _rimera
impacta en el piso con una rapidez de I _s. vuelta.
28O

___AdD___)eJs4l_p/n21_aanz?ta_m__l___g)____| _o t E))__2/_l__rtq__ 26 0DJ)__2g_m ___ll_l_s__ ___t_______ ____EE____l))_ _42__l_mt mrs _
CA_ _TU _O V __0_;-mRnto _ j r__níere_c _J I
2_. U_3 ; _cma rofa cnn una acele,raci_n 3ng_lar
?n ?___ __C_ ,__ , inic!3do su monm'ent_ un pu:_to n.u_ __uidi_'t__
_____'_'_ _ _^ ' ___ . , _ .( ,
___ ,_____ 4 '_. J, c _,m ' del eje de fOtaClOn y a _en e_a de ja flled_
_ _o __ ___v____ __" pfe,_nf, una _ce_e,ac__o_n _e _m/,_
_ ?_ , ___ _ ,__,__,_, s,,,,,_ __, de_crmine e_ d_'_rn, e;ro _e l__ rued_.
raJa ___V__'_ß___?_
v_3
2 g2_2 c_2
. l_na partícula desarrolla un ,__.C.U.V. c_n un
radio de _iro de 4 m, donde la rapj_ez de la
partícuIa varia con el tiempo seg__
24. Enla__eura,elhiloqueseencuentraenrotlado u = (3 + 2 tJm/s d_nde t se expre5a en
en el c_jljndro de madera es jalado tal cD,_c Se_UndOS. Determine el mÓdulO d_ la
se muesfr_ de ta_ Fo,ma que e_ aceleraci6n de la partícula en el inslante
-ento del unto p depende del t _O,5 s.
_iempo. Si d _; donde d se expresa en
A) 2 TNs' 8) 4 rnJs' C) 2Jt mrs2
metfOS y t en Se_UndOS, detefmlne la 2 2
__ celeración de un punto _e ta periferia deI
Cilind_o cuandO l = l s (R = 20cm)- 27. semuestraunapequenaesfe_aquedescFih_
un M.C .U .V. sobre un__ circunferencia de radi_
_ 2 m. Si pwa el instante mostra_o tiene una
__! acelef,c__o/n _, de mo_du_o 2 _ m/s'__
!, de_ermine el módulo de su aceleración
_ d normalluegode 2s. (a_37o)
Va _o__0 : ,__ ''_..
_R00^^ p; ,_ , _,_
'' ___ _. O'_ _
____ _. _,__///
IOl _s'_ g) __s1 cJ _2_ ,_/s2 ,
2 4 5 A)7s_sz BJg5_s1 c)62s_s_
_) 3_ ms'' E) 2_ _s' D) 1 _,__s' EJ _2,5_s2

nncE/))___m_L_ _/3__x_________________r___md__n___t_n_dtB)b____Q________n_________t______________J_________o_t___t__________r____p_____________tvc__r_____)__5_ _o_dt m Epc))_)))ng____o______o2_t___Js_es _t__J_ ____t_t__t____?__s__t______0_________p__00__0_____ ______f_ rFaa_dJds//tss___aa
__h_m _ceras E _ i___re_ _ ís jce
28. Una bata de un r_F_c c_- i__n _'_ 4(J _iene una
. _h. d _d __o / _ jL _.'__
Y_10Clda _n20ntal _^ __ll a d_ /_ m5, ,
Lc_ál es el ra_io de _uNat_ra de ta 'Ja-_â, un B _' 3 s _, '''
__l_Si_l_t__ dC, S_Ué5 _U_ a__' I___na Ci ftn_?; l0 _ oo . _..,
t7_.__g.g __ì_-j-__ _U _. ..^__,,__-''Y ' )_
U___ 750rTiJS u _
ii,'__i''___.._.i..__.,,.___'_,_e.ii'___i'_._,__;...,__==:=0.,___,._.,.;____,___,_,____,_,_,i___i__,___,;_,.,__a,__..i0'=.. ==' ' '0 i-__^ 2 -- i ' '
J_,__nj- nx____ x4
; _ '625, _ !oqm ' - EJ _ '12sx _ __
' '_ ' ' 3t. F,n una bii_ic1et_ e_'tacionaria_ _can qué
29. _1 _jt_c_ __!.,__ se muestFa _eda sjn _esli2afse_ ra_lJe_ a_Jn_lt1ar Se n_U_Ve _a Catall_a?_ ta
jndjque l_ _)r_p0_jc.n jnc0frecta. rue,da _sten.o, se ,_,_,eve con __ ,_ra_ v ._
_ %_ _ __;_,_-_v_ relaci_n de radios entre la catalina y el
_..' ''-' _:;X_'.__6'^''4
., ,;m'__,y_,,_,_:_'' _. ,
_.v-_, o _:,__._,________-.____m.,=:
' ___-=___9-,_:c_?_-___v-,;-_:-;_--;-m-in-~'i__' "_' '' ^ '''_ __', _''__ _"'''''':_',_'"'.;''" _'' '_ A_ n _adJ's _J _cadIIs cJ _
-" ,_.-_---- '-- ''_. u D)_rad/s EJ__-
n_y-__,_:__,';.;___.._ _'_,:_ . , 6 8
/ 32. _et_ern_in___ J_ fapj__2 dej bloqt_e, si _a fu_c1_
_J _ PUnt0 _ S_lO fXPCftm_nta t_astaCiO/n_ de radjo 3/2 R da vueltas con una Fa ;_cz
_) Ef p_1n ta J del disco_ res_ecE_ _e la _n __a, L ,
W. __S TU_daS 50n COnCentflC_S _'
supe_t-_cie ti_nc velucidad nula
consiJere_ que no h__ desti2amiento.
J _0dOs !,_S pUnl_S _erlferlCOS del dlSCO
respe_to dc O tjenen iguat rapide__. 3 _,_0
D)T_o__ _o_spun_osdeldi5coexpermen_an A) 3cuR / '_.-2R _='_ '_.
un m,__'i__iento compuc.sto respecto de Ia 4 '. - ,_
s'uper_cie. ,' -
_ B _R _
a Ve_0Cl a de _UntO feSpeCtO e a _ _. m,........,.,,,..,.,,_.,.0.,...0,..__od,._oo_,,,._.,0.,D.
superr_cie forma 45^ can la i_onzontal. ''.. .:_
c_N ,, ,.__
30. M et diagrama se muestra una rueda trasera _
d_ un cami6n que rueda sin desli2ar. Si en el .
;,st,,t, n,ost,,d, se d,spfende un, p,_;c,l, D) -3 LuR '
ubicada en P, determine ef t iempo que tarda
para e_contrarte en e1 mismo niveI. EJ -_R
(o=3ooyg_ _o_s2)
282

3g_ EnJ eu_t__+ a t __q ____D______________0__ _DJp_ p_ t J _w_t __ __ __l_ _rr__t_0_t_____0_______ttm______________________t_______h__2_______Ho_p_0_0_a____0nt____sx_________o__________________0______o________oo0____0_______0____0___________p_____o__00______________________l_________o_______________m_____________D___0__00t_0____________g__t___0________?____r_________oc____o___0________________o0__________o______0_____o___y__)___o___t_uu__h___________t__________
3__. _nd p!ataf__i'___à cir_ul__ r se r__nc_entra __'a_ i_'____i;,;_st_te_--_____t_-___0,e.6ja_i__n__eer_i___nt__
inic___ mente _n rl_poSU, _t_yO fadi_ es __ l_ e____,;;;x_?.,3__d_ ,__r_-_2_Ji_____?_g_, l__ r_!_, __nd
___ _ !_a _j_ta fUrm_ emml__a _ fUtaf COn Unr_ ____-i!___'_; u à_ __ ___ !10 ___q_ce_____-), D__eermj;_e_ ta
aCe _eraCZ Ó_ a__U ia r a = 2 Ca _ /t " - caop_ ;_c_ ;- a__5uiar q__e e_'pe_;',T_ent_i _i _af__ cn_i
TfanSCUr_dOS 2 S Uf_ P_QUenO _bIRtO qUe S_' ;_í,h0_ ____s_a_,__. __C,_ns;'_'ece ___ __m
encuentra a 6 m _el ejc de rotación se
desprende _e la plata(or.ma y comien2a _ ,.
des_izaF sobre ella. _etc_mine la rapi_e2 ..,.., __;c'' '_ '' _! ' ' '
_n_______ r _e Ia plata(orma cL_ando el objeto la ,.,0__.i_,'__/,___
a_and0na. (_espfeCie todO f02amient0) __-- _ _ __ _ _-- - ,____'_g,'__._.____. '__.__
H _"'_"'' ,_-_
A) 14/3ra_s B) l4/5ra_s _=--=?,_,-' _ ., o..__.,_,_
C) 7!3 fa_S _ _,'''_='_/ _;__''__^ !';_.
D) 2/3 ra_s E) 7/4 ra_s
__ _
__nst_nte ue e_ e_e em 1_e2a a rotaI con A) uHcosß B) _t_D C -CSC
una aceleraci6n angular constante a el u 2 _
disposit_vo p empje2a a m_verse h_c_a e1 D) _Sen _ G7 _COS '_
extremo deI fubo con una rapide2
COnStante U, IeS__CtO del ele_ Determi_e 1a 36. M el sjguiente dj_i_a, se mues_fa a ui_a
ra___RZ d_l diS_OSit1V0 tranSCUffidO t pe_Fs_na emp_ljando un cil_,ndr_, de tal
Se_UdOS de l_Ciada la r0taC_6n de! ele. m_ne_a que la bafr_ Ijsa ar_.ic_!aea se e_ev_
i e;e con una rapide2 angular _. Para el in_tante
|.' most_ado, determine la rapidez angular c__.
?. ' la que rota el cilindro (El cilindr_a no _esii2a
_ por la supe_acie hori2ontal)
_,.__ .=__,__i,___,__._,,,___^____,o__.,0o, ,,'_,__.ii
'-='__''s c_-------- ' ' _|'____"'__'__'_''____''o'_o_0__'__0'' - ''. ,.x,_;'____,_'_'''_.,_, _ '_.
rr _ .._L _' _ '' _ _ ' ' _' _a '0, _,,0,,_. __ __ _.,.._.,_ _'_,___ __ _ _|_ ''_,L_., '_ _ O '
A _ 22 B
c) u__+a2r4 n) u,_0& B) wsec2-D c) ^
2 2sen_

?m______<___?_t___t______t__v____t__o__t__9_________t_ry____r_______r______7___________9_t______t__tv___0_____9______y___t_t__tv___t________n__t>____________t_______l?t______nc_____________________n_______t___________________r____________c___________y____o_____________________________xo_____t________0_0_o_____________o0_t______0____0_______0__o___0o_______p_______0___0_o________________0___0__________f__ t___g______g__19g__6J?o21_____g___q&_J__________m_______x______________s_____r___________A______co_00____t_o/___st_______Jnh___________ng_t__e__________ ________22222111t__423o_s89_1___ _______t_____________q__t______________________9_d_>v______D__________00____*___q__r_______t__________r____xtv_____tr________ t___p_______333_3_33_J_3__4653e_20__r_
____w_____t_t____________________<v_____________l__________0__Dc___>____________tg__________ ______________________________________6____________0_________s_o______0________0h______0___________________________0t_____________t____________rt__t_tm______p_)____n___h__t_t_ot_____o____x_______n________t______x____________t___
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_ t_ n : _ _ ._y ____' _n t__ '._j2_x__r_P___'_ . .___ __ ' '.__?_'i ' x.ii '_.__._'''_'' .^'j_,_t'''''S_ _; _ _._ ,0a_' i_ __
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_i . ' ' i ;_ ' _ _ _ _ ' _i ' '._, t.. ' '' 't'_.__ ' ' ' __ ' ____J, ? J_V__ _ ; _o. oi0_ i,_ _. .. _
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X__'t,.., '''?ii_,._'_'.'____ p_ ' i_-,_?t_t ',r_. 'r __ / i,j_ ,,_____.p___ :ci' _,i_ ,____; ,
_t''_., ;__ S__,'.;' _ _____4t''__t._'' ';._ ' ,_, , i__t__'_r v, ;n.:.''_j,_o_O, _,,_,__ . .n
_ ._.rnt____/r'..;_;''' ___''_'__Y ,x___-___t__i _ __- ' ._i __,0m__,_n_'''x__,,._ ___i i.,0 , _ _
_-_ __. __'._/'__.____'_=-__;?_____' i__;--_,__ ' ____- _ _ i__'m- _ '- n. 't_n_,_P_ g (,,?;''_'____''_,.,.__ai ''0i,_0_ "
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_-_i 'in____:_:, . __:_, _ ._ ,. ' '__ -j _ _ '=_._ ;-__ _ ' __a_i,__0.?_ ,g_._'' _i_P.:'' _ 'n__&
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, __,_O_ _ ' , _ ___ d'_, ___0 ____ ____'_i____i'__i_ _,l_,_9_i_o i_O_ i_, _,,_,o _i ',,_ _ _ _ ' _O _ _ l _ ' _, _ _,,i'__ __, , ''i _,_ __ _i__ i__,_,_ i _ __ ii O_ l _'' __ _i;
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E1 mowmiento m_'nico de c__ai.quier iue_o o partícuta _ne ca4_er reia__o. el10 fo vemos _tlej__ e_
ui_ sin núm_ra de _os que se p__tan ante noso_os. _ig. (aJ Un bote con ve!a ad_u___e cie_ vel_idad .,
r_pe__ _ a_-_a debido al nento.. _ra ta corriente de ag_ t_ que pa_ un obse_dor' er_ __sa ubicad_
en la tierTa, et bote presente otn veIocidad. fig. (b) En Ja am_1idad los aviones de _ se __eecen ' _;''
de combusT_t!e sìn n_ai_d _e ater___ _ u_ vi_ d_e la tiern los avion_ se _1_d2n con i__ ' -
nfocid8d, pero pan el piloto del anón de caza_ eL avin que .lo,a. b_ece de combw_ble _ 5e mueve. ' ., _;:.,
i_ ': _' ^'i' - X^ ' _'^'':_h___ri __i?i_r__, ,__X._' i&_ __i1_''_' _.y'_!';:^ - ___'h '_i__'-__'_, :v _Mhr_'__x.__i.t;._uS_ y_%' _'_,;_ s_'__ ,_y'' __ i'_. _? r;.. v___ çr_ __ ._v;vi__m..._:__.:_,_,i,'j__!

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__c_'_,;.__;,v, Si se empie_a a a_a1iz_ al punto P desde el siscema X Y Z dicho punto es_ en reposo. miencr_ ':x
??n n'__.__x_!.,x q_e _csp_to del tiste__ X' Y Z ' enar en movimiento y por _nto sus coordenad_ nria_ a mc_dida __
;;,'' '_-;-_ que tn__scurre el tiempo. 0el gráF_co no_mos que l_ coor_en2da? del punto P respe_To del _ _stem_+ '
%__i___, _ , , _-_
;_vn v___ _:- X Y _ y ' so_ (x_ y: z y ( x': y; zJ res___ivmente, as cua es 6uardar_an la s__uien_e retacion:
?i _'::,' _
__? _m_ x'=x-vt _'
__'_'- ! . _
m_m,_,______ y'= y _
N'__?_'_' Exp?e_n l_ cnr_sro_ad_ _ir_ de Galilei _
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m.N '';.;? Fj _rt_c';_!__ __-'e _el-__it___c __ad de _c!________ _._e es vf_t_ p_' n ius ___x!_cr.os m_c__c_s_ af!rm_. q_e I_J
v m!___ ;_ _s ___-_e=--. ,_- i_ me____ic-a. s_n __!____n ____n_ t__s l_s s!!,_e_____ c_ _ i___}_ __J o __ __e _c_ tns!!__ia__, cc,n veIcc_u'2__'
_,;', ,_,i__, cc;'__ ur_ce _;_ __ru bi___, - ___2!!__n; _ este p_in_- !___ r__;__ f__1___-_en_s _v m?_=__ :_a-_ccs. ___c_ai.____te __r_ a_, !_:;_u_ _
m. ;,, ;__m,_n __-__; i_-î _uate_ __-_ _r.__a_ _. ;:'_______s eEctri____-.. m__g__ticos u __px_ico_-! _
_, __,'sx5,., _. j__u_ l__' _ro_________ ;_-__iacivo5 a _sc_ c__s_!u_ _-_ nos !fe___ dR ._,m_ e-di;__. _ _i punt_ inic___l que __c!ti'__ ;_- :-___
_a_x__ ;_; pR?__ _itj ei des__r_lfo t-_ }a teoria _Je la _e_3iN:dad e5_e_al o re?cr_n__'_da_ es_b1ec_da __r A. E_nste_r e__ _
___,'_;.,j_,_. ,. x_
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___ _ _ ____av__ ____ __ _t______ t___t_(cT0ern_&g__ ______o0_n_m____t________r0l_____(______l_____)__00_________t____v___________'___ __*___gl__tl______tq____0__q______rl___J______________Jt__h0______hnm___v______0________9_____t_______
___l_J__t__lv___l_ttl__rl_l___t____0___s__t________t_____t________n_____0____________x____ttr__q__ml0___4_____n__v_t_l______yl_l__ttl___dJt_v_________t_____t________p____0____________________xf_____Tt_______________l________cc_4__m0___a4__tt__t__fn_______m_____rc_______x_tr____r___/_______n__________________dJ______x____x_________n____r__l____t_____________t____0________t_______t__K___,__J__________st__ _____v____________t_________________t________r___t_t____t_r__t______t_r___t________t/r_____t____t___t_t__________t_____________v_______t________t_n_________________,______________t_____r_______t___t_______t_
__'_.e, .. a _æ_g. _00 !i _ _ ,,p_q , __' ; ' _ _,,.,_ _ _ _ _ _' -_, __,_ :-___x_ '_ _, _,_ __'_ _ o ' __ '5_._ _; __; __, ;; : ; '_ _; __, _. :_ :, ;._ _;,., _, _, _....i,,' _ __,v _, _.o __ __, ' O __ _ _ i !_ ? ' :_ _ __ __ ^? _ _ __ _; _ '', _._ _'
'_____ i _', _,_ _ ___'. _.. __,_ _'_0_,i.,,....' _'ii. __l_'._''_ ' __^_,,i ,,_l i_,.,ii.l_', d___ __.,.0o,_.i,,...... =. '_^_ _a _ __ _,i_.., _ _._,.,___o.;'.. ' ' _ O __ __ _,.. _a_,.i_.,._.., __ _ _i i _ ____ _g___.._ - ' ____ _.__. _,_ _ ' ___ _ _ __,p,___a,.a'.. _, _,v __,_____'__ __,_,nn _' ___ __. __i__ __,0.,.. _Mv _._,.__, __.., __ M._00. '_v,.._.., _, _;0' _ __, _,, _ _..; __ _ '_ _ _;w'_,__ _ __ : _ ___h _,_, _ ' _' ', _ 5.,. __: _; ' _;,,'., ; _,,_.,.__ _ ^ __... ___, ' ' i ' ' _ _ ',_ _,, _,,b... _;_.,_, _.,,_,,_,. ?o _. _0p_.,..,e, _;,., _; _.,.o_,,.,.d. _..;0..., _,,., ;,,.., __.o',ep __ _,. _p _''_
__, ___ ' 0 i D_ _. _ i' '' '' ' _ ' __- ^ _a ' t _, _ =_ _ ^ __._. _' _ _, _. _ ' '_ _ __ ^ _' _ _. ' i R _--_ _! - __._ _,_ m-__' __ _ ' _ _v'_ '_ :' _-_ '';', .; _' __ _'_; _.,_ _'' i__ _. _ ' '_. _ ___. _ _ _ _- i_. '' ' ,...,,, ., __- _ 8,
___,.i,,__.._.0,,,,_,,,_j,;____'.... __,',__,0..e..D_,0,0g,..,8c..,,____,_o'_'_,_0_',._..,.___e,,_.__.o,_. __.,,..,,:.,. _._o ''_,_R _,_,.. _,.,'',',9..,.,______,,._..,,.?,_ ? _j':_;_ __'-,_._ _-: :_ __ '__,. ' _.___ ____ _.,,.ie' ' _: '_' i_'___._____,.. ;_' ,,._._,,.,.....,_..,..i_; .,..,,.,,.__ ___,,,. _ _ldi ' i..,e _ _, ...,.D_o0_ i'._,.,_,0,o,.,, _ d,,,.. _.,,,_, i_'__ ,._i _i', _,_._.___0,, ,_._ d._,,,_,,,ip_ __,__ ,. .
_0_'_0,i'___'>w__i_'_P _"__' '_''''_._ ,. _ ' _, __,_,_ .q, . c,' ',,,,_ ',_ _ ' _, _,s_s-_--_0_n _;_,_.-- '-' ,. .. . ..-_,,_,_'__
_ _0 'ie_ren_er a an_tiza' _ r e1 monrnien(o _m_'' n__o d_ __ G__a?__ rR__-g0_0 _ ' _ d_ _f__ en ____ì!T_ie-tlt__ e_ _
d..ecir de5de _, n sistema de refecen_a m, _vit_ __,__ ; , ' _ -_ ,,, - _. _ __ _ ..
m_ ___'..ie_re_.___',,i'er _ _Rtefm_ , 'n_! e_ _nteipretæ _a _os '_c- _E _n.. ve __ ;- da _ ,q_ â _ e ìe_ac ì _ __- _ _. _ _, _ _'_- i i i __ e. ' _ a- _ _ __ v_ _
__0. pa_ lueoo hac_ ___ dg___'ncj_n ade,c_4d_ deJ_ m-___, -_. ;mient_ 56__ ___g,ra re- saer_eo _.j.ei_ !
se_,,,'__,._do,. O V'''''''' ' i' _'_- ' ' , ' -^-'- --O'---_' i_;-'- -. :''''_'''''''__
_ Co'__ _eF ung r_,_eva forma_e _ foc, ar el an__ lisiu __-d_ e. __ _. mo__ _- _ ' ì-nto - , Q_u_ e ___ if_e- 5 j4mp I i f_ i _ '.;'.,_'' - '
si l_ com, _r_os ion I ar_Iis'_' _ conven_o__ que 5e- _ce, c_._ù_- do __- !_ _a,,m- 5- ___ ób__eN._0 î' .._=. :
,'_ enT.ierTa." _, , , _,v _,';_,__ 'P ',, -_ __._ ,n--;-x:___-.-'_ ___-',_:,,;'-___.'_'_. _.'''.;-:: .'_.;_...._.;..,_.
_ _pr__der a ver d'ë qué _manera est_n relacionadas las 0_5erv' c. i One_ p_i' dif4._re,_teS
'_ o_se,_. a'dr_. _'., ,,', _ny;,.:',,_ ,:'_,, _'_., _ {__::_'-____.-,.___'_;__-:___'___,_ .c,_;_'___._,__-';____. -'^-_'...,''..:, ,._;_-':-..:...
IN_ODUCCl_
En nuestro estudi_ del mo_miento mecánico hemos cunsiderada el monmiento de un2 pa_íc__la,
o d_- un cuemo_ con respecto a olro cuem0_ considerado F_jo y por lo general ubicad_ en _a __erFa_
pero por ex_enencia propia sabemos que todo movimiento no necesariamente es anali2a__ de_de la
T_erra. Por ejemplo, cu_do obse_amos desde un __ utom6nl en marcha ei monmento de una peisa__c_
que corre sobre la pisla. Asimisma_ cu0do observamos el munmiento de las gotas de lluvia de_de __-
ventana de un ómnibus en _novimiento_
y _ r ,_r _, r _= ' _ ' ' _ o _
__- _ ( __) _,, _D _ _J ' m ( _) _ _, _ ' _> ( _)
2) __o,___.i._,__,. ____"""' '_'_'.0_._...,,__._,._.====..,..,'__, ''''_'____ _t':_____
_ gr_co m___ra Io_ punto_ de _sto de un abse_odor _jo (l) y otro an nwimien_o ( l), _l on_Iisis
_I ndddor res_to _l obs_Nod0r ( IJ y (l) rel7ejo lo relotNid_ del movimiento nxc_nico.

__p__o___s_|t_ __lo_o_____ ____m____t_____x_(B __ _____ ___ 0_ t_t_t x____ s__tte___u_ n los v_a_lore_s__yr __st_lxgn+_o_s_xd_eA_l_a_s_ve_oc____(dla) de_esst
lumbrer_s Editores f i's ica
_ monmiento de un c__emu an_ti2_' do _esde u_. si.stema de referencia m__t se den0Dmina movimient__
relaEivo o _ambién. movimient_ de un cuemu A con r_s_ecto a otro B, tem_ié_n cn m_vimientu.
En el pasado, e1 hoinbr_ _us_ó !a mar_era de dennir e_ mnvimiento n-_ecnico absiolL;t_,, e__ d_cir,
_e___. ect__ __ L_i sist__ma. ur_iro _. n re_osu (F_jo), se esc__i_ __rimcro __ 1_s estretIa_n ___e_ e_ esos tiemp____ se
co__-si_era_3n inm_v!fcs. luego se planteó que el espacio c_nta'_a 1Ieno d__ una _ui. fe_ r___=ie es_eci__ l Ildn__dc_
é- te_ ___n pr__pied__ d___' n_uy coi__tran_icturias y se der_niÓ aI n_o_7imientn absol_tu _"o'E_0 ___ m___miento de_
un _uem__ r__'-__c__to _Je1 ter. Msta' rior_lente se hic'i__a-un e.x_e_irn__ntr__- ___rä_ pro_e_> l_ _,_istenci_ c'1e t_t
si_-terna abs_lut_. Io c____l sie/ __µre rcsuttó rl_gativo, _e_ ahi m__c ._e_ ________'__ó _it_ ide_ __' sc concluy_ que
nG e___ste _.__ mov__miento m__c_ár-_ico _b___o_uto, el m0_-imicnEc> meîánic_ cs re_at!____ l_ atJsolut_ _s l_
m__ t_r_ _.i su __nstante movir___ento y tr_nsforma_ión.
_i,oi',_._i____,,,_V__i0_,,__ ___i,, :_,__''.' _TO ___Á_lt0 RE___IVO
ia Fei_t9_vidad del movimi_nto me_cánico __ ,4 partír de estos gr_t-_cos ten_mos quc_:
h,_6_-13ntea____-'nteriormentey_uan_lisis sereaIizó x4 : posicián d_ A respecto d_l siste__a de
respecto de _3 Tierr_ (s_ i__j_m.a r_jcJ. en re_oso). En roord_nadas _ - _
esta oca__i__n eI n_u_'iIr__e'_nto mecánico de los x, : posición de B respe_to del i_i_'ten_a de
c_i?r_Gs o _artí_ulas scr__ analizado desde coordenada_-X-_.
s!stemes de refe_encia múvil__s. X____ _ _os_ci_n de B respccto de A (respecto
_'ean__s ___s magnit___es _!nemáticas que no5 deJ nue_'o __iuctema de _oorden___s (X-_^).
_e1mit_rán _.-_i.tudiar y descrjDir el movimi_nto _e ac_u_rd_ n ta er_Flcamostrada
me_ánico retí_t__L__ _egún _-u_s caracterísiicas x
_-.4 _4
_
_ R_iAT_vA _ ? ?_ i.
_ X_/A J Xa/A= XB- x
Consideremus dos persona5 A _' B que
corFen a Io largo del ejeX. 5__s posjcjones estarán _Jem_lO l
denotadas pof x. DOS aUtOmÓVileS A y _ Via_an en viaS _ ß_ralelaS
honon__ con veIocidades coMtantes de + t O mJs y
Y A g, - 5 mJs respectivamente. Dete_ine la posición del
'! _ autom6vil A respecto de 8 Iuego de _ se_undos-
-. _ i_o '_0ai_d_i ____, __'_ _ '_ cont_do, desde el _.,stante del cn,ce de au_omo,_._
_-_3 __ - _ ,
_j_ t,.,i t
_'' ' -_'_' Resoluc(ón
__0 ;
!, ;, ; planteamosque
Y !, _ El automóviI A viaja a ra2ón de l O mrs hacia
''_'_, X' _i B la d-e Fecha en_onces durante _ s habrá
-, _ _ ' ' _, _ 0_ _ _ _i '_- -_ _ _ ' .d q o _ b.,h .
,'!__c;í' ''_t x re CeC'
_-^e_ !! ___' ' _ ElautomóvilBviajaarazónde5m/shacialaO
,! h_ ' ' ; ___qu1_e Fda en_onces d__ranEe _ s hab,a,
_ X_/_ ; . . ..
reCOffl O m _Cl_ a IZ4Ulefda.
28&

_d_D_y______e____0_0_________d_____0tt_n____d__t____e_,_mr_d_____t___s__e2t_0ry_____a____mt__r__m_o____s____ln__yed__e_a(_dpu_)oc_s__m_c_ oo___sn__q_d B_ee__a_||_t_(_e_ta)____g__________ _____ ______ __p__ l__t_d__ ______0____A_____|_0___________(_______)_________6____y_m____ar_________00________________g__________gJ_t________________________0______________________________________o_____________f_p____0___|_________|______________________
___ _T_,?____,__0 _,,j39 __?___.,,"'_.c_.g.q___6. ,,_;____,5.;___ _%__23___y 5_ _,
E1'_-_cJ__ce_ c0n es__, _n2o__arn_ent_ _u___i__e.i'n__ _J__Si~___'___'__J__ __i ____'€__ _i__''e_n.___P_i____'_'__'_;__Ci_'9r___ __ n __
re_resenE_r _____camente l0 _ue s__ceN__i_. __i_C_diC____?I _____^j_I __ _____ _5__C__C_n__ __dá_______''i__'_i___
_s _n !_i_ g___C_ i0 QU_ _C_fi__ ',
!-t '' ''' _ 3__l___:_
_ i 0 mrs 2_ g ,
' __--_ ____''_0_t _ - - - - - - - - - _-_-_ __^a__'i_._0___'__,______,'i._'___,'_',_i',__ _ _ g5 __i ' ''_' S
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_s _d__40m_ _____,_ ' ___:.__'';__,,
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. _,,og9__,_,0,_'',___._.i, 'o e_ _ _, __0, __ i__','_g,_._0_,__,g_-,_ __ P '^^ - >;__-n-_._____________; =..o - '__ _' _ i 0_,_...
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e la Fl_Ura_ iCu_ __fla a_OSlCl On e feS_eCt0 !, ; M.' _,-. a__.,_'=_
daA? M este caso _a re Ferer_cia e_nA, desde a_lí _ !, _- , _.!' A _-_,_j,o _e,_0;
h 2 cj a B te ne m__ q u _v '__:_, ::__;_:'___'''___;_._:_i__'__'_;___' _:___-' __m': '?_i::_:_:'_'_::i___ . ____'n_:._''_' ____)i____i _i'_._'_' _'.___:-:^_'____'_ _!'_v. __:-'_'' _ '_,_ __' :_:_-_.'"_.'' _''_i__'_.'^'s__ _. ___-'._____'_'w_ ____mn''Mm''_'__'_' t,______;
xB/A=_60m ;! !, !, ;!
,...,,........,.,.,..,,,_. ' d___-_l2m ;
i___,_e,,..____yaci_n i''_'''_,i_ _.,___.______ ,__,i_,___,_,.__,__,,__,,_,_,0_,_,_i___0__,__,_,,_,_ ,_ _____.,,_,,_._ !_, , , ,, ,, ,, ,, , ,.;
_'_i'_'_i'"'''_''^• i_''_''''_'''^i''_-_''''' '''i''''''i__'' '_^' ''-''''"_''' ''_' _'''''''''''^''"_''''"'__' '-' __it_ dB-_ i _ m
_'v_ Despu_5 de ve?_ este pnmer ejemp_o ve_os ii0
d_ ' -___i, POr I_ tant0 t_ie_U de 6_, aOS a_etes' _,0d__ y_ _lte__n
_ qUe _a _oslClOn de U__ _rlmer Cue_O A ii___ ,
_' _i_i Se_a Fa OS; Se_Un lail_U_eS (IO+ I8J- l__ i6___
__ reS_CtO de wi seeUndO B nO eS l_Uai _' la ii
____ i'_ _tOnCe5 _dem0S _l lC_; SI tOm___S ie e__Ctà
''0' _oslc_ón del se_undo (B) res_cto del pnmero 0_
__i, _ _ ___ en B y __amOS el Vector haci_ _. Así te_R,mos
'__'_', (AJ;esdecir __t xB/_ perosivenf_c_que __li
_ ''___ _ _ i'i_, (_e,a_0d_
___'., _____-XB/_. __ni_ A _i_n_)_
__,._'',_,...,.,,.,,......,.,.,..,.......,..... .., ,..,,..,.,,.......,_,,,,..,.,.o.,,,.,,,. ..,....,... ... ., ood ..,_'i_i ,_'_'_ d ei__'
' ' ' ''' i''' _ _ ' ' ' ' '' '0'i''''' P^''' '_'_'i_' i _ _i __ _" _ "'' _ Y __''.,_,. _ _'_._,.D.=.,_. ,0_o_
_Jempl0_ X _ ' ' _ '_ .
Dos atleEas, A y _x est__ sepafado5 l_ m ' y_:'_',_s_'____-'__-__:'______'_____n:'!___''_:c__'/__M_?,'__M__,___n-___'____,_--''m,_c,__-'____'______'___"o__,,''0''___M____'___,_'__:'4m0.:'oii,'.___.-0;
_n__c__a_mente _e m_do que g esta, de__te _g A _ l 6 m _
despla2an_ dose hoMont_mente con uB_ +_i_s !_' _ '' ' _ ' ' _
_u+2sDete_ ___ _ X
A- _ ll _
respecto de _ luego d_ 6 s. _ nx
__- -
R_solucJ_n
De acuefdo al va_o, v, _;gno dg les veioc_dades VEiOCi__D _e_i_"'ii_rlV_ u_A
' elattetaAavn2acon2_shacja laderecha, _ __gual _ue _a _,__c__o_n fe_a___va es posN_
entonces durante 6 s recorrer4 l 2 m hacia la obte,e, _a ve_oc__
derecha. a un s__stema de refe,enc__a en mo__m_I
' elatletaBav__con3_s hacialaderecha_ yelocidad es __amada veloc_d,d ,elat;
Iuegoen 6s recorrerá l8m_mbienhacia la cue_o ,especto a_ si,tema en mov_m_
de re cha. simpiemen te vel oc_dad re lati
289

__t____0__00________________________u____b_a_____tc_t_ _0_____________dt_d__ ___m_ d _f_t ll __b__, (__l)_______ ___l_1_ t_____t ___t_____d____tx_____________ _t0oo___________________r______0______________p___t_ot____2___0___________00_________________n__a_______e_A0_____l_
_u mb re ras _d i fa_es f _s ica
En el si_uiente grc'__^___'n s__ __a c_n_'___t_r_>_J _j (,Con____n_,e_re_._F__ fjgjc_!n_ntc __e,_= (._J, __ íJ_. !7
monmento rec_-líneo unif_r!___= _'__ }_s a_e'_ _ v_ _. _a eru__ciÓn _e l;_x _Je1__idacl rçl_tiva _._ _ 2'e____e__to
A A. _e A irl_plic_ _,____ e.s le _,eloci_ad m, __i___ de 8
-___,'__.6ii:_ _' ___'_i__d _tUA _ d ) _ . _ 1 .c_. .
_,-/_ '_'-w_'_/'_ _i _C p_f_tC)C_- i_í-____ et._ UlnG5__C0'_S1 ef
_- --__-i/-__
' __ _ , __plM___cntodra a _7. C_tan, do se a__ali2_ e) ,__yjmiento de un
___,res_ctodeA !
_J _._,A ,, , ,,d, __, _! cuemo res_ _ec-t_ de _tru cn m_'- __''i__i___to_ _ t c___
B __ - _g/_ d_, u de fefefe_,___d _-uf3nie e_ a__lj__is __e ;'g cuns,=dera
- _ _ _d ' _. ' _
'''^i _. _. n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.. _. _ _ _ , ,. _i_'''i, _ju (_n reposG) _ _ntonces podemos estabIecer la
_____ , , , ,__ . __ __iguiente c___i_-alencia físic_.
! ___ __
gj _omam_s c0m_ reFeie_cia al atleta_. el _ UA _2_S B UB=5m_
de_s__a2an)_ento _e B respF_to de .A ser_ (l) __. _,_.,__,___=,_d___, ^_,.'"'__/m ^ _T,?',.__
_ __ Cyento ___'i'''_'-- -___.
__/A= __- __. Si di_;_dimos ia relación ar_€erior A_ico_w+ _-____ ___r-__' 'i'
entre el _er__p_ trans_9_rrido (r) _ue para am_os - _ - '_
es el mismo, tendremus (_nio_ _
_ (__), _ ,,,. ,__ B , U__=+3mJ_-
rJB,_ d, dA __nl0 Mico , .i___,__.. - ___
_=_--_ _qwv_en_e. i. __i_i^_i_ ', '- _.%
r r l <_ i,,Pi' _,'',:0
_.;! '.,_;_.U
B_= UB- UA
__o9 n de _, ve_oc__dad relat__ya de g iPDr _u é son equi_-alentes f_s situacioncs -
ret_pecto de ,4. f!_sic__s? Por_tl_ desde terr_ notam_s que
d0n_e Simultáneament_
u,/, = _s l_ velocidad rel_lj_'a del atleta B _ B se aleja de A 5 m en l s.
f_S_CClOd_latletaA; _ A _e _ceF__a 8 2m en 1 s.
uA y ug: son lasvel_cidades de los aElel_A y8 po, __ _,,to descub,_..mos que ,edom_.
re_specEo de ticn_ ro sea respectu de
a e}aM!entO C Y feS_eCtO de A _n - = 3 m en
_n __iervador F1_o en _ena).
S. Mt_nteS a Flfm_emos que B Se _ela de
_i__'____' __e__i___ii_i___'_'________i_________'__0'd_______ ' _ , con 3 _s. lo q__e es equivalente a grancar el
i_ __'0i__6e___ .,,_'_t1 _ ''_'i_ _____ ____,_______._,_0__0____0o_,0____oo00________,_ ___ ___ ______
i__i______,,__ii,_i___,,e'___i,_.,e_,,,_..,•8i__,a__,_,0__ii.,i_i,. , . _i '_ i__ esquema anterior donde con_ideramos a A njo y
__,_oo_ r, /J '_' _
_,,x a0 t_nC_ n C a O___( tam ten Se ii. 8Se__laCO_l_VelOCidadrelatlvaU_/_=+3_S.
_,i'_ p_do haber hecho a panir de la ecuación (I): _'_
,, i_ _ _ ' _ _n,_n _,_,_', ' ,i.,._,_.,_ __.._._._.,_8_o___, ___,_,_c_x' i,,d,0.,0___,__,_4m_;,.__'.__;':________.,.,i,_,..__,.,,,_i,_,___0_,,,___,_..,,,_,_,oi._,,___,____,,_0____0',00,,,,_.e'___,_.__,_,,,
?_' lB,_ = XB X_. _x-__ _ v__ .V _ ___ _ _ _' _ _ ' _ J0' ' _ 0_ _ _' '' _, _ ',_ q__ _ _ _o,_ _ _ ___''_y_ _ __',__ _ _' __0 ._;__ m_ __ __ '. __n'.__' _ _'. _ __-___;''_'_ _.'_ :_ __ _ '' _,_'. 'i__0_ _, _.___:, ' _ ,'_0_;__a _a_ _'_8__._e _:_', ^ '_0 '_ _'_, '__'_ _, __ __8' ___ _,_.___, ____'__;,'
'li__ , _ / , , j_. - _ _ g._,_,_.,_c_,_,____ÿ+_jd,___________o_j!__;_____''__,_'___/_8_;,!'___'___t __0_9ii___i__i_,0'_O__'0i_'i__,_8',___'_i0___''iii,_00__''___'_.____i______0 :_
,__ rae _ seten r_aque er1varcadate_lno _ ___, ' m-'_--_'-'_'_ ___n_-n__-'-_^ _- '__'-m'-n-___-___'_ _.x
_B' res_cto del tiempo, es dec_r _'_' '-'_ cuando se den_na y co o2ca _a ve_____a_ _n_
?_?',, _ __ ____ - _^'
___,, _i/A _ Xg __ __, ' _'__ relat_Na de un cuerpo p respecto de olro cuerpo _'
_g__'_, dr dr dr _0,,,,, __ __emoscons__de,_n__oa_(en,e__)yque __;n
, ' _, '_ _ _D ? _ ? _ P'' _ d _ 0 ' ' p avaJua cespecto de Q con la ve_oc_dad u _ _-' ' ''0'00__.
ai_, 8/__8MA __g g, ' _e-'
_,. ,,,,,,_,,_,,,,,,0,,,,,,,,,, ,,,,,,,opo_,,,.,.,, ._._,, , , ,,, ,,,, .._,,,,,,,,,,,,o,_,, ,_ , ,,,,,,, ,, ,,,, ,,,. _,_,, , _' ''_"^' ' 'O'_'^''"'"''' ''_""'_'' ''' ' '' "_'"'M9X__'"_"iX-^_M' _''___'''"_''0'"__'__^'"''_''^0_'''_d''^ _''_''_~'_'^''
29O

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__ d'___,.ll'_,i' i _L,__ ii____''''"'__ . .. ,,.,,o..,.... ._.,.o_._i...,_.e,i__._____i9•,ii'____e__.___0,=__.____?ii' alltrj__-___''__il A, __;' __1tc.;__i_vi_ _Q_ __,__ _e_,___l%'__c'l a_ ;'__
._. , /h ,,.,_.|,,..,.,,.,,0_._,_..,,|,._.__..,_,._,,..,_''_.ii'.'.....,,,.,, .,, ..__,.,,,..,.--;.,_,,.._.'._,...,,',,..i..i. ____D___,o_____,.i0______,_,,,, __0_,. _,,__i,_,i..'ig,,, __',.,_,,,',, ___'_,._,_i__0__i'_..__,___ _.,.._i,_,i?._,'__',_,,.,,__,,_.,,e_o,_o0_,,_____,,.___,,___.i_,0__,i., '___,,___.,,_i,_,,_ j__i_u_e;__ja (F_r e1 s_;-__-_u ne___àtiv__- _- c___ __i__
'a______i'_- ' ___ ___i_________'o__0_i'_'''_'''0'"'''''"''"'__0_i'i''_|_'___i__ ' ' |"'__'i'^"'___i''_0'^'__"^'""'i_'" '' _ "^'_-''_i'^____'____ '_'"'__''"___O'''___''''i''_"i'_^_''__î'_''''8_i_i"''''_'"'_''i''' raFi_e__ ____5_ant___ _e Y m'_''.
En los poíie_ euro4ee_ h_ _ene_ que se de__/_0n . . _ , _.
_o0rg un colchón n_0gnt_ico qug Jg_ perm_f2e ' _ a 0r__ ana f_a e í__l (_C!_iti _ _S_ __("'Y''_
_/Can20r _0StO 4_ Xmih Ul1 _54/eFO qU_ Ya _, al au_,_mó_iA, el c_em_ de re,ferer,_ci,,_ cs
sentd_ e__ dicho -_en oI 0bseNdr 0 !J._d persona
_ Ion_i. _ Ide_t_-_. _e_I_íoq__thope_d ahora _1 autom_vil _.
se Ie _ro__mo con _ k_/h.
_J_m_lOJ U___g' UA" Ua
En 1a F1gura mostrada_ los autnmó_les _ y B se _,
dec_plaz.an horizontalmente con velocidades -'''
constant__sde+Smr-s y -3_s respectivamente. _ u_,=+8_s
Determi_e la vel_ci_ad relativa de un automó_+il
respecto del otro y la dist_ia que avanza un
. , DautamhiJBn
aUtOmOv1 re_S_eC O O FO en Un ln 2_ U e _ ace____
se€undos. (nm) . D
u_ u_ _-,, ,,o00_0- .0. _ ._. ,i______,0i___'0 --__--_
__..-__o0 ___ 0 __..__,..,_.,.._._______._ ' _''_'' A S'''_'' -' '' ' '-i''-' ^ '''"_'-'' ''' B
_' l00mt Esto s;gn;f,ca que pa,a e_ conductor dei
autum6vil B, el autom_n1 A se _esplaza a la
Re_olución dp,pcha ( of el s,_ no os.l_l.
M este caso cualquiera de los conducto__, _'o_r_
r___ eZ CUnSt_nte e _S.
SeC CO_S1derad0 el CUe_O mOVll d_ refe Ceí_Cl_.
. v . .v 7 N_tetee_estO_dosCas_squelasvelocldad_S
_de,a, la ve_oc-,dad de g relativas, deA respectode Byde_ respecto
,especto de A, es dec_f e_ automó,-_ A es el de A sor_ d_ igu_ módulo y de direcciones
cuemo de refefenc;a. _tonces se tiene que_ COntranaS.U
_/A= UB - U_ _ _ _ ._ .
luego reemp__amos U__ ._ U__ n __g_ _ '.,,U__
u,/,= (-3)-(+S)
_ _ Sl_nO -) nOS lndlca que sOn de dlrec_onet
_ UB/_= _8 __/S con_ran
291

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____pI_____ c__ _ mJs _R___e_t_ _e R d___a_te 1us _tr_ lrer_ ?___2 _e_lante _e é_.
_ s t___i__ ha_r_ _ec_rrj_c _ m ace_-c__c_se
_ 6 su__Rs__xm_n_a f_j__ _,,c;,ci5_
C___ _r;mRI c_so c__sideremos oue el
_e__C _ _ ' _ ____ __ ___ ?9 __
_ ____ __ __ c?n___ctor _e_ lre_ ___s Iar__ (_) ana1iza al otro
' t__n l_6), eS _CC!r _I_'_ A _S l_ re?_fenCIa y en tal
O_malmCnte ___em_5 _na_f2ô O e_
___qj_,_e_to _e u_ ______ respect_ _g _ _ClR_i__ lO ___Sid_ramOS fi7a; _Or tO E_nt0
_t__ en Ye_c__?, Fer? si _e anìiiza a^ _ _o_em_s _f_nte_r el siguiente sjstema f_5;__
c__e__ _n _epc_o res?e_t_ e1 qu_ se _ e u_..,a_en,
_ m_eve, e5te ú7_timo n_tar5 que n0 hay , ' '
cum_mo _n re_so, es decir e! cue_ mue
re?_ecto de Tlerra está en re__. P_a - y_
e1 _;es_nta movimicnt_ mecánico.
i _np) u
_u A _ _' _ B
L , _ _ _ _^ ^ 0 0 _ ^ ^ > 0 _^ 0 0 ^ ^ 0 0 0 0 _ _ _0 _ ^ _ ^ 0 _ _^ _ _ ^ __ _
_=nJ__ g= , '_ _ _,
_ -_ _iOO_ _YO_
.4. es el __e_ de _Feren_a '
_ _ _U _ , Ahor_ debemos det_erminar _a velocjdad de 6
_ __ _ _U_O
_ = _ _ feS_eCtO _e A, _Uf lO qUe _fante_OS
--____A 8___
s;B, __e!cu _ _ _ _fg_ ' ên __ _ uA,_A= ug - u_= (-lO )- (+l5)
_ temUeveCOn_.
_ _ c __0_, _ _ __,__ _8r__-25_S
2cv__,

r___e_clp0_p_ff__rt_d__q__do nd _______p____B__b_______?___9_p_p_____2_______f_l_ _lg g_0_ p000n0p0d000_ p0pt p
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.emp_J ,,e ,,., _;,g __v__-___'_--;__''',a____._::'_._,_.'_''':',_,.,,,.,''_-J'____d'''__,'_'=__.._'.,'_'=_..==._.-,'=.=_:____..''==i=,=_:__'=___..='''',0_=-'_='.=..==.^::_.'=':..=,'=:_,._'._q____.,'_o !__M_____'' ___ _'''__,'__0___' _^''______,_' ,_ ;_,
de_s_e _e _a ___ de_anteia de _ _sa de3__i_e i,. ' r. _'_i'_ '__.__. T. ^_ _...__,..,_..__________,_,..o..,.,0.,,0,.,_.;_,,_.._,_gt._...-.i___.,,o_,_Bn.,__o_n0,,_0_,,._.,,___,..,._..,__,,_,0?do__,,0__,____,_d__,..._0__R__0__.,._0.__,_,__..,.,..i0___,,_o''__._' _:_ =_ _' '__
de él ha_ta que l_ hace Ia _aree pustez'ior. '''___,_.__'___',a'' ;A
Ana_;cemo5 g,áF,camente gl m_v;_;en_o _e,9 tren ^_- _ ____^_;_!'_"______.^'=P_''i_i':'_,...=,..:'_.=."i'___.=...=='='_'='''':_-_.===__=_'''_'.=__',_,''l_"==_,.=..=.=;,=:=:=:_'___.._'_'iB_'' _
B _es_, ecto de A vîs lo desde afriba _ _i,0l.. .._ _ : ___ i. i_'!^0___.___0o__0_______._.___,0,.,_...i___,_^._0_'_'_v__o'.-____'_.,_______._____,,__._i_e.,.___._'___0__0..__..'o,00____o_i __. ^ , _':'_''.' '' '_l,
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__0 ^_ _ __ _'__,__o_e _,_,_0,,___ _o, ,_,,,,,,__,,. __ __ _0_'. __e _ _00_,a._, _0_0Di,, ,__g0 __,g.o0__.0, ^_,0_o _ _o ' ___,. _, ____..,,i_ __'a.._0,__.8.. _,,,0__,i_._o,_,g_,,_ t_,.,. _-_ ' _ ' ,
_'^'_' '__0^0P'_O000"'_"O^___'''_''^___'__0''___^_'_O"'"i_''__^"'_'____'_,0_ i:' ^ ' '' P ' ' ' _elante _e éi. Pur __on,sguje_nt_..
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' e i U a _ S an -'a C m (t___ a SU on5t U ii'i_ ,._ __ .l_ ... ,_i____ __._0d _i _.ii _i, ._, ,i_i. _',, .i ,. _i__ ,,_ ___ .i',i _. l'' = ,. ... ,. , '' _ _i_ __ _i'_' ?,i'_i i^.i,_. ,ii _i, __,','._,__0 , __.i __i,. ._ _ ,'_.li io__ g , ,_ _,,_'_. ,. , l,ii p', __i, 0_.. ,,.. .,, ,_,, ,,_ ., _ _ 0!g_.__ .i'' _'__ .-: ,____.. .;. _; _.. ._' _ .i'i__^,'i_' l i .' , ,' _i' ,_ , ._ .i ,i.i, , _ _ l__, __ ,,. i g l l_. _._._ _ _ _,_ __ 0i'd. .____' i ,9' ._ ,a ____i __'9. _. _i, ,... i_ _'o_ ,, , _ , __ ___i .i_. _a. _ ___ _ _. ._ g
fespecto de_J i,e, A, ,,, 1o f,, a,%,, toi,1ment, l_._..._.__,___,i___,O'____g__'_i..ii'_l_i,'",.ii__l_ii_i_i,._'_,_i'__'_,,lai___'_'_i_'___,__i__,i_i_i._,..,i. '_'_'_j,_.;'a-:_':_:',_'_''=l_i.__',__'.___..__.,___'_,__'',____'____._.__'.__.___.i_,,,'i___i'_i.__''_,•..__'_..__'_i_._,.__,__._.ì_,__.'d__.i_..l_i_,.e_,.._6',_'_^___'_._'o_,,_.i.'iaoliiii_l.'ii_i__"_i._i'''i'.''_,___,i'_i.i.i','_i____l_•_.,_,___,,___._'_ii'__il,ai,_'_.'__'___9.___,9'e_i__i_'.'i,i''',i
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_e CJCJ a e am aS t_YeneS res peCtO e tle_fa _S li,__i_,__ii___ ,______,__i,_ g___.','__'_'''0'________i_._i,''_i'_0ee_'_io. ,___i_ __a'_ _0'_.'__'_i__ogi ,__i__._'_ ,"ei0'_,_,_,e,_,i |i___o,_'_,i0 _,00i_,_ 9ei_ieo____,_'_,'__ i__ _,_i__' _i__ 0i',_ _^_, ___ai... ,i_i 0__,', _0_i ,i. ____.__ ___ g_0 ,.i g_. ,._,'' __i'_ _ ,,__ _'_ ,i __i i_ __ i_ !' _'_i_''i''l__^._0 ,i __0O_' _'_ _ ga_'_ ,' ,_ .''0 _,__._
''_i_|ii_'_, ____i_• i. '_''___ _"____., ,_'_,_____i, _. _______'_i___'i___0___'_ _'__' _ '_ _' l0'Oi. ii_ _'__' =' __ _.i__0o__', ,_i, ._ _',_,____8. __a_e__ ____._ __'__, ,''__ai ,_i__i_ __ i__i_ i____' g?, ____i__,9 .'_o __ i __ __ 0_'_a, _'_ __ ,i ___'d i___'i __. _i_. ___, ,i _ i ___ ,____ _' _ i_,''_ ii_''_''_^ l•__iq'. , i'__. l,'' l_.. _ ,_'ii, i.i'_ _ __ _ , i_iî l .__ iii _''_ l_' __ __ __ .'__ .0 __ _i _ i.
co n s t an t e, e n t 0 n c e s f a v e l o c i d ad re l a t i va d e d i_..i'_'._,_,_.._i',i______i,_.._g,,o__._____.,_.d__i_g,_,.i._!_,'''___-,_.'i__. __.,_,,ii,g,i.i,___i,i_,_i__,__..,,,,__.e'...,___,.i,___,.____,_..__.ii_i.__,.l_...__'_.,ii,,i___.i_,,,,i,_,________.,_,,_____i,.._.i,.__'i,i_..,_,,,g._,,i'__i'__,._. _i_,.'._i___,,._,_,.i ,____.._____i__..0,.___.i__',_.__,__,__i_'._'',_,a.'_..''_.,=.j_.'_,,i,i.__,,_,,,i.il_,.._i_,ii..__i,__..,.____,..?.__'_i____.___..i.__,_,ag,,'____i.,'.,.__i_,__...i.'',i_._i_ii,_.___.__,_._.___;.!.;_._i_.._'gio______._..!_,0._e.___.?_ ..i._.__,ii_._.i, __,i___,i,._ ___i_,^_ ,'_i..a__ _,.il_'.,i.?..'__,i_,____,..i_,._,._,
respecto de A también lo será. _r lo tant_ B Los cicii__os ie _rdsJod0n con ;guaJ vg__;ddd,
,es ecto de A desa,,o__a _,n m R u as_l e,a _bido __ eIJo eI cicIislo (bJ aI obseNar Io I/anca
' ' ' ' _slerior deI oUo cic/is1o so Io Id notoJía rotor, ya
determinar t_ podemo_ pl_nteaf _ue ._ra I, (_J m ie _o_I__d.
_C_i____i_Y R_iA_lVA _
d,/A 80m
l_ = - = _ = 3 _2 S Pbr lo plante_do en los capítulos anteriore5
U_A 5_S '
par_ una descnpción cinemtica adecuada de_
mo_miento mecánico de un cuemo se necesita
Análogamentea_oante_or,p_ernosdeterminar a d e m a/ s d e f a o s _. ,
ClOn y a VelOCldad _a
el tiempo que con trola e7 conductor d cuando A a c e t e, a c 1_ o/
pasa delante de él, Tener en cuenta que el
Or e O en eStaS COndlClO_eS _ara e
movimiento de A respecto de B también es un ,nov;m;ento ,elatl_vo tambl_e_n es necesafl_
M.R.U. Calculemos la u_B. _a ace_eración fefat_

_u_m__l___N____(______/__t_)___t_____(__t)_t__00_____d__(____ _)__m__0____t___g__ _ ______0____g____x0p____o______0____w0____o____o________D___________ _____du_t8_/Ata____m_upB______ptudAt__t_se__dt_ e_pyg__ A___tenan_su___g____________0p0_____0__0_D________0_0_D00_____
Ll_ m b rer_s Ed itore_ f ísica
la aceleración de un cuer_o en mo_mjent0 _ _ _, 2 _ _
._ d d b d t b.e d=--at _ -d=a
medl O eS e Un O S_ ef_'_, Or am l n en 2 _2
m_vjmjento se le _enomin_ ar_t_ Fa_jón retativa
_ _ ' PoF jo ianto_ comparaI_do con 1_ expresjoán
aCl U__O. At_0ra _ara _2teIilti_af la eCUaClOn
(e)seobtieneque
ßafc_ Sli C_)_UIO __J___OS CUn5ld_i_f el Sl_Ul__nte
cas0: m' _ _
'c_ ___'_unt__ __g,n__mos que 1,os _;/_= _g _ __.
_ut0m_n^le_ A v, _ ir_i_!_n s_ _i moqi_jent_ can una
a_elef_3Cl0n t;On5tante, feSm__tO de tlefr_ Y en entci-,_c_s _,/A es l_ ace;e Fac_,_ r.elativa deI
f_Y_ma 5_ 'l_t_tft___r_e__ __U2 t'Od_mOS n_tar7_ mÓvjl _ res gceo de _,. -u __ ; 5on ;_a
aceìerac_'_n de R y A respeclo de _n observador
_y
t. Y' ubica_o en _ierra respectivamente__ _ '
x_ .,..,,., _ ,,,_,.d, .,,. e,. ,_,,,, ,.,_. ,... ..i _
. __o,. _ _ t: -_- _' - __-' __o _. ___. , ' o - _ '' .'-' _;, ' '' _-- i __ei 1_'0,.. O _ _ _,0= _=0_' Y a C i _ _ ..__ '_'_ _'_________0'_'__'"'_____0_____ d__'' 8 '___.____'________' _0w_A_____'o ____o_'______d____'_________'__'_0_0__,,_
A i_ _A !. M '_i'__i '__m _'_'_'__''_'''i'' ''__'''' _'_'__O_^i'^"'''^^^^^^'^"Oi''.'_^_'P''_'_ _'''' ' '''''_" __"'^ -'_"' '' ''i'''''__i' o__' ___?_;,
w, _ __m La fórmula de la ace_eraci_'n rel_ti__-a ,__æ__! _
_ , ! _ __ __ o ( _ )_b.- d h _
__O_,D,--___-------_-q---_-_---_____.__o__,,_,:.?;_,j i_'__ __- _/4-,_ len U e O e r g
B _ d_ _ .- _ '_,,-_,:v,; direc_jamente ___nvand_ re._pec'tn _'el tiemp_ _'_______
' ' _ ' _ _-___' la ecuaciú-n _e la veIocidad relativa; es decir 0___,'_a,_,
Al _ran_currir un intervalo de tiem_ t, los _0__,,'_,?,_,,_,, de,,.yando ,es ectu del t_.em o todos _os :_;'
autam6viles han experimentado_ respecto de _ te_rm._no, __,',___,_,,
t!erra los _espla_amientos d_ y dg. Si __ _ _ _''"_'0
_camos un ,__stema de ,e Fe,enc__3 en e_ __',_'0,,"' d; (, _. d UB _ U_ ____'''_'_,
autom6vi1 A, determinaremoS que e1 ._-: _,'_,,-,
dcspl__iento de B respecto de A es _____; á,A -__B '-' a, _''80
dBJ_= dB - d_ ____0'_,0_D,o,,o,,,D,o,,,,,o,,,,,,,, ,,0,c_. ,,00,,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, , .,,_, ,,0,,,,,,,d,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,,,._.,,o,,,,,,,,,d,,,,,,,,0,,_,,_,,,,, ,..__,0,,,, ,,,,_,,,,.,,,,,,,,,,, ,,, 0' _ 0D' ''o
Como las autom__les se trasIadan en línea _J,mp(o s
recta y con aceleraci_ón constante_ desarr0llan La, automo/v_._es mostrad_s A g _.n.,c._
M.R.U._ Entonce_s planteamos
movmienlo hacia la derecha en la posici6n
_d l?2l?2
=- ag t -- aA t mostrada con aceIefaciones constantes de
2 2 '
mu_tip_i,__,ndo ambos m_embfos po, g_ factoF +4 _s ' y + I _s ' respectivmente. Respecto del
2 conductor del vehiculo B_ determjne la
2 _ 2 _ - , 2 i _ , aceleracin del vehículo A y la distancia que este
- d_/A= - x- _gt - - x- _,t
l2 t_ 2 (2 2 avanza en los 4 primeros segundos.
=a,_a, (l)
,'_,__ __ ,0_
inicia su movimiento el despta2amiento que -- '_ _ ,- '' _ --- ..,. _--_.- _._
e_perimenta es __oo m_'
294

___At_u0____t_0_ __0_____________________ l_t___________________0_(_J__0_________________________c )g__o_____00_____________________________________________v_____ gh__ a_ q__ ugeNe__mq__6_6__l__8_______obmspefye__l___g99____ q Bueg0__e______gm_____o_po__Arq__u__e
. _ t ' ,_ _ v ' =_ _ i = J ' ' _ __, _ Y ' _ Fn _ _ _8, ' _, __ _ _ _ __ _, _ g i g ^ g _ _ __,_, ',,
_r_'__;_x,',, _'e'____,__ ''"____-_ c=_
_ _c_hde laac_er____nrela_va,_''i_' 1' -, ia_ flg_rr_' _Gsirad__ __--__-_ e5reî_ _ _?_ d s_n
__enac__ion_cmsign_(_--+)___ca ___nzadas __-xN_aulC_nea_e__nte con ra_ide_ _e
__g em__ a m_m _cí_- _i.,__,, _e_3a. ; = __ _N S ' ?_ _ _' _V?S fPS_C _' _ame_ t_ __'_^_f_ 'n_ _ __'_
,.r i,_tervalo & _e'__ que ___m_ a p_i d_
si__tan_2 de __0 ,. ,0_ ' _ient_ h_t3 cu0__ l_ e_f___
_ g ___ se_,__,,,_______,s_
A _._
0,_i0_'00__'O'''_'__0,_.'' i____o'_'_' _
co_ en este _o e1 i_ema de _e_ni_ t1'__
_ et n_cwo 8, la ac_e_ci_n r__ de _ A ' _,_i - - - -?
respecto de 8 se__ i. u ,, i _
___= __- ag _ ___ +_ , i __
a__+3mrs2 ; ;_ H__$0m
_a _
' _cul0 de la _tanc_a re1a_-_a g ' __
_a el condu__or del ve_c_lo 6, el vehfcu_'o _ __,_,_'__'__.i____ ;_._i' !!
A se encuenDa ini___te en re__o y lue____ - , ..,....,d, .,.,, i._,a..,..,.,.,o.09,.,a,0,,,.,.,.,__w,,.,.,___i,___, _,,,_,,_, ,,,.'.,e,.D.
desanolIa un ha R U V _r_i__ s_ __e_Rrac_i____
r_ ' '- - _,_'' 0___8_'__",___',___ __';_i__; _ ___i-
re_- -_ i0_/ es c__'EeYs__aYe__ ____e,_,___,._esieeNe_, __0 __mos,ecw,.,a
eS reC_ _'_e8_ __s noc__ne_? ante5 __stas _e__ m_y.c.L. e,o _,
__'__O'___, _' y ;_ee_.,,c_,e,,. e._ es?__e cg _,__,_0 ,vs __Nn_..n?,_,,,, g_,
_s l m__irr_ieni_ relat__vo y par__ ello v8mos a
o ' _ ' U_ _} x_ coMider_ _ an_isi5 de A respe_to de 8 (F_jo).
O-- ,,.._, '_ , __ .
'0''_"___'_"'_______o__0__0o___i_"'''__a_____'_'' __a__________" _______0_'__ ____0_____ __t_'___ '•_'_ ''0'_^______ _'___ ' ___ __''__'_______^_'_^_'___ ____:0_0^_____'___'____ -__0___'_0_' __•__ ímovimientu re latjv_)_ A debe recorrer los
_' d_ " Y _ l 40 m con velocidad y ace_e_ci_n rela_va
res_cto de el. _ el m__l B _et m_M A sw
_ =Ua +-2a_e _ aCeefaC10_et feSPeC_O a __a_n __
_ _ , ambos real_' c_da libre. Lueg_. la _e_era__n
d__ =O+_2 (+3)(4) _e _ re__ctode B se_
t d_8 = +24m a_,= a, - g _ (-_)_(-_)
EsIo signiflca que para el conductor del ______
vehiculo B despues de _ __ el _Mculo _to ,._ ___ ue e_ m.
A _ _P_ 24 m a _ d__ (_ le _efC6). __e at____,.t e_o _m ___ 'e _, ____d_
de A respecto de B u__ no va_a_ es decir
,. 0n__Nendo _a a,e_e_4,_n ,e__ _,.en __nm__ M.R.U.; 0or_ _ el' iM_le
,_ _ v_d __-_ inic_l se pue 0._e d _ - e_in_ la _l_dad de A
.__ respectodeB u_ yes_8er_lams_entodo

p_tu_t_f _0__tan_t_tct___________________t__)_____________o_____________0_r_______t_______to_o__________t_______v___________0________________r___0____0_______t__________________________________00______v____y_________________________t__t___t______xu_______________
___________0_________trN_________________________________0__00_0__________________________________________________________________0___________at_______________t______h____t_____n_______r____________________0___o___)___m_____4__v___________d__t____________t__y___t________0________t_h_________________n__________o_d_n_____t_________________p_______________________________________________________________________0__0________________________0_______________________________________0_______or_________o____
___ pj1 __ _ __r-_ __,&g______g__, , ___?,,.v_i_ pg.__;__ ê__i.__,
r'__,n_iu--__7FmrJ__x i__ __ c4_emo __'le (-e__?,e____ria ____,_____,.A____
e5 _, evc ____-_iielm__'-._j'1 .4 ' iRr_ iana 'ljz__ 'rJ F._._,.: .,,,J m_J,,,._,,.., " e_:___ic_'!__q__.,.__' _r'g___' 9__i,r___n_ v_-q res._-e__.;tri_', ,.M_
d00nd_ _p_ enrup_t F_. a..._ sjcvi._vr_,_ __ rp,fe Fe__n__-___ __? __ __,, _ __,._.;_1__ i_;_;__._..,,_____ _. ____.; _?_J_ _.m_1_lj;___5 _ _,I _'
j' ;-__i. _ s_i5_em_ _c'' r_i-eren__!_- mZ es_& u_ii' _dO ______C.?___ 3 ____5_ ________V (__;__ __N
en __n ;ug__ ___j_, ligdd_ a tierra. Fespe_ct_o _- cu__ s___ i__ _g(i__: '_r______ a ___-w__ei_C'__0n f_l__' i-a d_- _4
tia__ada ei __îsIeT'__a X' V' _, los _es' _ect__fes F__,_,__i__ _,, u,._ i,,?__ _ g___,g___g0__;,__Rr___,_,,_
r,, ,_g y r_ se pueden relac;_onar del t__n_ul_ _ '_ _
_,ecfo___ _Je han fofmado ob_e__end__e _ i_ ie_ta7_____ ___ JA _ J_, r______CtO _ tiem_O_
obtenie_do5e
,.,__ _
'o_, __.0____ _,____,,,__ ., gi___
. __ ' _ '. n i _ _ : t _ ' O ' _0, o _, _. 0 _ _. _ ' ? _ _ _, _ _ _, t O 0 _ ; ; , _. ., ,. _ ; _ - c - _K i., -
,._,__,_oa__;__ __"'ê__,_..,__ __'___''_0i_'_ __g__'._____a.'_a'_'_,_i_'' ,N ' _,___-x-_,___--_ _ _
_A ,__ _'__8_ ' ____ '''_ _'0'._D '_ '_ '_,___ ___,__'' _ie,i_, __ ______ _____ e', __'_'_'______a ' ' g-4M;! _ _ _ _ _K_- _' ___ a& _- _ __ __
_i _._. __t _ 0_..a. _ _0__,. _.. _Da __i__ _ _ ' _ ..__M.-..,. __-;-__x_.n __ __- __n
._.., __ __ __,__,!_ __,, æ ' __i.., ,.a,,,,_ ' _ ^_ _ _''_. _ _ _ ^_ '_ ' '' C' _8 -_'__= _ _ ' __ _ ' '_i_' i_ : _ __ _ _ ___d -;o,_n _> _ _v __
'0'._._,.__._i0_'___.,____..,_._,0_...i.__.___',0'_'_m'___V^_ fg _ ' i'__' :_-_.X___v__-_ ___._0___,6_ -_- a..
f_= fg + fyg d_'y_ d_a_ __ __
,, ,,,,v' _ ,. .. _flolant_o
__-.^_'4_' _F_a,'
__ cu,c_,o_ n de _a po3_-c,,,, n ,e_at___,a _' _ _ _. ' g__ _,__ ' __ _ : _'. _ _. _ ' _ ' _'_ ': _ _ _,, _ ' ' ' ' '..
- __ __ ve!,___ida_ rela_jva __n_ _ fps_ccio _e B ___(:j__n _e la _g_e_ef__ i'__n re_ai_v_
u4,_ J se pued_ __e__ er de___do a i;-a rela__á__ La,. c,, ,ac i_ ,_?st__c,s c__ne__n__ ,__,?_ ,n c. de_,
r,,.,g= r,-- rB, re5pe___lo_6e_npo. m,v__m1_entu. r_,__i___s,0, _o,__c,____,__ vg__,,-?,,;_,__ _.,,
_cR,ler_' ci__r_ _ue pue_en obtene_ c_n i_a __,'___i_,__J e:;___
.,.,,..,.o. , , __- ,, =5 -_ tn_n__UlOS _'eCtOn__,S, C0mO Se _Tt_e__r2 en c__ i__-__
____ __..,_.0.o_,..-._,,0,_...,,.,;_,,.__g.___._,_;_.,...in__6_;d.;.._,,,_.,.;,,,._,_'_.,,.___,. ,.. c_o (c_mo _& dîFe_enci_ _e ve__tores)_ ,
,., _ _ _ _ _ D __o_ _ i.g __.. ' a. _ _ ? o _ _ _ __ _ _ - ' _ ...y .., 0 ,.. ,...... ,..,,,... 0,. ,._, ,,.,,..,,..... ,.,.., ..,...._0L, ,,,..,_,0......_ _.,,,...e _.,.. , ,,.,,......,.,........ ..,.....,,,....,....,.,,..., _...,..,, ,.,0 _... _ ,,..,....,...,,.p..,,.
, _. _- _ -: - ' ^ _o, ., _..__. _._'__''__=',_a__a__'_i'_0__,_.i.__.__. g.,___i,i,, i _ ,__o. ' ,__,e.. ._',=..__. i. _',ii._.,i_i_ii __i_ii'i_, _ii._li___. '"i ,______.. i_,_i,..__.g.____,,__.__'__ il.. a,___e_, _,_i_ 9__. i___d0i _ ' i' i. ''il' _. î_. 'i_ ''_._.,_._'_____, _'__._.,___0i____.i_i____.ii._ _,_.__._._. i_______0..i. __,'_i'____.__?,,_____'_, __''_,__.. _,___,'._' ___0__.___'^,,__8__.,__.______,_,i_,i,____,,.'a__,,__0_.___e.a,.__
'' i_.,.d_______,0'__i_ ' i_'
e ' .. Para i__N __r_es_ que. se _rsig__e en e_ t__t_, .i_..
_f _f _f , se cubnr_ b___i?- _'_cnte. salvo excepciones ei |,'_
.__ _ B __,
__( =_dt -_df l m____mle,__o reI_iivu de traslaci_n ya que a._,,.
t_bien se d_ situaciones donde el análisi_ ,_
r _O tantO i '__
. . del monnuenlo de un tue_ se _ce _e___e i
_,û'_' ''''_' ___u__''' ._ ___'___ _ un sistema m re(eren_a _tante. _te ti_, o de ^_,_'
'___._^. ' _- ' ___. _..M;_ _ _ a n___ _ s_ _ s s e _ a c e e 1_ ot r u s n__v e_ e s ..
_cuación de i_ velocidad re_ativa , _ " ... , ... . ' . , .,, ..,l_.._
297

_l_ ___Ftooerrlm__/_sgt_a_Fu__n__/_ptv)___l/d__v__n____d_Jtel__t_c_tl__/tn_ _olg_u_ttt__o__l_lJ1_e6tt Bcmrtt_ons__e__lapart___r__p_ de mtuuo_//ydtl__uAt_lv/_oyx__82__6+mJF__2_(s2_y_t_)lDt_eu(__lo_ll_e___d_F__8me______c____n___u____e)sf_tv__lata___t_uv__Fea____l_ lodce__l_4doaod_m__y
_umbreras tditores fís ica
_Jemplo 1 2- Con los vectores unitanos
Dos a_t_móviles A y Y Vi_)all COn f__ide2 Se utj_iza _os vectores unitafjos en e_ pl__ n_
C0nStan_e de !O_S Y lG C_'_ reS_CCl1Vam_nte Y donde se hará I_ de_compo__icin de la__'
_._obrc ví__n q_e se _rui_n e_r_ _a f_r__c_ mostra da. v_toc-_dades
_ctermin__ i2 rap'_de_ relatv_ del 3utom_vjl 8
_v___ _ Uy= 6 mrS UA_
'- ., o370 / ;' !._ _' _ 3__ ' _ ; '
uB_l6_s ?, _g__6 i
U_?
^__o_,?. _'titj2a_do 1_ __nni_ión de velocidad re___iv_
RJA= u_ U.g"- lGl - 8l -t6J = !_(l6--8)l -6J J
___olución_ ,
_,_ s__.__,__,n..n __ esfe e)€,m__o l_ haremos _un __s ú,,A_ 8 ; _6 ; _ 8 (_ ; )+ 6 (- i')
mi"_t__G5_ Ltt'"!!'2anc_'J UrE tri___U__ V___t0ri_l (f_r'T'a Aho_'_, representem0__ eráficamente la
__t0métrii__! __ COn _'_CjUf_S Un1t_rlOS _n el _lanO ___!.ocidad fela(i__a ,_ obtcn _mos su m_dut0
(f_rma _n_litica7. u,_ -_ g _s
UD/A= Ug- UA O l Jg_- _A + _y/A ... u __lon_s ; ;
La ld_3 eS FOfmaf Un trlán_UlO COn l0S u-_6_s UB_A
vectu_es 4_e re_rcscntan _ la velocida_l de
los aut_nlóviles reS_eC__ a 1lerr_ y _C l_ _J'emplo 8
veluci_ad retativa. _o__ av!unet'- g la rnj_____a a_tuFa se t___ s_adan como
m__estra al gráF_co. _l avión A __eIa en línea recta,
UA-- lO_S
m__en_ras que e t a_ón B __e1a en trayectoria îunra
,_,_' ___ - '" _ U_n (c,,rc,n(efe,___a) con rad_t
o _ ' ' ' y disminuye iu rapide2 con ace__rac ión tangen_ial
_ f_co no_amos 4ue _as v;,, (o,m,n un aceleracin _e 8 para e1 pilolo deI a_ón A,
án_Ul0 de 370_ entOnCeS Uy y UA también _ _
;_Nt_o a_n_u_o __ti_jz_ndo t_ _ey de t,0 __2on_,_sa , i
cosen___ det_r__inaremos _I Inóduiode uA,,_. t_uA_2oo_st.'ug-_ _2o_s
A i^ d,
u,,A = u_2 +_'g2 -2uAuBcos370 i__ _ __-----__^_- _ ___ ----------------- O
4 M _,
_B/_ = lO' 'lG'-2(10)(IG) 5 "_. p_4oom
.'. u,/_ _ l__s ' _
298

__TR__)_ac1___Fu_n____f__bet_u__t_e_s_da_ce_u3dtn__o__mLl__0__tq__tlte_slt(__o_tm)__atF(_l0lem)___ot__com_o_oo__Fle_v/f_e_F__ent__c7____n p_____asa)_g0_e___o_s__ (ppt_)0)____n<barcode type="UPC" chars="3" code="021" crc="3" error="0.332" /><barcode type="UPC" chars="3" code="021" crc="3" error="0.332" />
(a3l_(cue)t_<barcode type="UPC" chars="3" code="011" crc="6" error="0.373" />
__m__(_o__s)_e_pmouvt)nl_m_to(ecn(0ton(d_e00(el_l(rtt0fr/lee0_nn_
_
_^, ________ ________5 , __ _ _
Pf0D_em8 1 Del _1.R,U.. tene_,os
,-!_y.. b, __ _3/_2oo
__U _'m__''_'S _ Vl_J__niO F__aSPaCaCa_ (=_-__s
en _na isr_a ;,__ctifjl,ea c_on r_ jdez cons_ante de _B,J
3_ m_-s y _ù nvt __ en direcciones contrari__ s. Sj
_nic_mentc _s_m 5c,u_ados _Om, _etermine fueeo un _ren de _on .,tu_ L se d_.,.__e en _l_nea ,ecta hac__
__ qué lie_np_ a sc encontrará a I60 m de A. Ia e,tac___/n con una ra p_,de2 __n_,ta,te d_ _om/
y en la esEaci_n se h__e sonar un2 si__na durant_
___!,UC____ ,
u_ tlempo de 9 s. _D_I__nt_ cuant0 tlemDO
_f__lQ!_em0S fa SltU_ClÓn l_'_Cl__I. escuc__fa/n e_ son_do los _e__a-er_s de_ trenJ
(u o,,= 340mJs).
_m__J__ì _20m/S g "'
-5_-. ______0___,0,_,,_!/_ ___, __??_ ____0____:;,____ 0_ _,_0__-_-- Re5olucin
, ! Saben_os quc al emitir un sonido dura_te cierto
_40m_ it__t_e -_ te __
n_ ___ 0 _ l m,DO Se __l_tn_ Un r n SO_)r rO _
_ r ue _os _u,_,mo_ _,___es se _,ercan v un tren _e onda__j el cual tend r _na determinada
.,--st__,_,,_ _e_e _ac.__,n_._sm._nu._n_e.ma; ion_itud que Itamaremo5 Q. __ inter_'el_ e
'_ tiem_o de _eccpción d_t sonido _or los pas__ J'eros
UFtC?}_ _ _1!,_ __ C'rU_7an, _ 1St_nC_a e_l__' e O.S
- ' _era-- desde _ue eIlos perciben la _rimer__ sea_
i_lIment__ ra. Pbf COnSl_UIente, _ Se enCGntrafa a
h___ta QU_ _erClben l__ U1tlm_ Sena1 del tfe_ de
n_ _e A de.SßUeS_ dej _fUCC _e lOS aUt_mU_'I1CS.
O_d_S. Ar__llCemOS _ IanCamenle.
_fa nO 3n_ l Z_F e m0VlmlCntO SlmU t_n_O d_
^-N_'
V uson--34O_s
_ Un_ C_e eltOS_ __T ele_l_lO Y1 aUEOm0_,II A. _ _000
! __000000
_CL_t es la velocidad de B respecto de A? __0000___00
U_eÌj_QO_S . 0_0____
__,_= U_- U_ = (-20}- (30) -_0 _5 _-___. e_ ___ _ __ ____0_
_Cu! es ta aceler_ción de B respecto de A7 ' es_ci_n
la tongitud _ del tren de ondas sonoras es
ejl_endO en CUenta QUe lOS aUtOmOVlles
=_ Xt= 4Dx9_3060m
pr__-e_nlan velocidad constante 'On
_ ? ? _ Pafa determlnaC e_ tlem_O de IeCe_ClOn,O
H,_= Oi_ __= O- = 0 . .
' _ _ t0memOS COmO fe eCenCla a CU_ qUl_ra de Ot
o_nu t_ _y,,A = O .se conc IUye que: ., , . . ,.
et aL_tomó__il B Tealiz_ un m.R.U. respecto de A sono,o ,es ecto de e/_
con 50 m/s )_' hacia la izquierda; vemosto como el pasa __e,o se t,as_,da J_
gr á nl_amen te ,es pec__ de t__er,, ^ ?,
1 pT
_ _Us_
Y' u=O =_S
Empie2oa _---
_B escuchaFelOOO_ _
__ ,_'', ___e _. --------- -- ____^,__ ------ 0, ' ___c_, s.an_do p 'a_ ;
. . , _' X' :
_ 16_m_QOm_ _' -
dB
30O

__p_mRmp_qtoae_oosr_vaot__t_l_m_du_ce__l____e____tatne_3nft__mlc_no3anor6ud_naseag_cu_enle__re_acc(l_o0/nn__0d__o_dl___e__o_2nmq)/use__epe__o0t0l____t____oh__e____ot_______n__g__qom____m__________________ve_0___0___8e_______g__________n____a____n_______t_____d_a________J__________t__o_t_m(_t2r_/______R____________t____u____+_pt______v_____________________b_(___ddv_B___e__/___lst__)l__a___d__e____t_x6___er_ra___m_l_q____re_________raa_t__d__sd_______o__n_______o______)_________>___vn_p__________d_______t__e__________to_ty__t___ef_____ra____s__o__a_________t_p_______af________________t_5_a___________________st____re______ual
CA_jTU_00 Vl mo_-c__,i;iento relativo
El tje_mpo _e r_ce_cjn pof parte de_ pasajefo, Esto sienFlc_ que ur_ obser_'___i_ colocado en eI
,___Fá i u_l al tien_po que emplee el tren sonofo CUer_O _ Vefá al CUef_a D rn0VefSe COn Una
/1 es dec;, en aceleFac_-o'nconstantede 2_/s'hac'_
_ tud _. _ y ur,a velocidad jnjcial de 8 mJs hacia la izquierda
la veI_cidad del sonido re__pecto del pasajero es
_ __ _'i'.._....,,_,...._.^ 0,_____s2
U_p_ U%,_ Up _- (-340)_(_40)=-3_O_S '___.,,0.o._,____a' -_
Además como las ve_ocidades son constante__ .. l_ A _0_____,_i_P0'' d ,, ,__ g _, g
a__eteraciones son nulas y en taI santido la . i'^__^_..__=...__;_. _-,-_,_--_-_.?._. ;-N-N-_.-.-- /-.-- o,,.,.. ___''_.'d__0_:'_0_i.._--._-.
aceleración relativa es nula. Al trat__ rse de un '' '''' V'S-hC'' '' '- '' '-'^- '-- ' - ' '' '- _ ' ' ''' ' ''' '''' ' ''''''
.R.U., entOnCeS
C/OmO Ia tfayeCtOfla eS feCta Y __A_ COMt_te_
l____=8,0_ s. entonces para el observador ubicado en A, B
U__ 380 _
que se dé la condición del probler.__a de que A y B
se encuentren uno frente at otro una sota vez, para
nlClalnie0nte dOS CUe_OS A y B Se enCU__t Ca_ _serv f B de e ,
separa_os __ne d;stancia d. El móvil A avan2a deten__e/ndose po, un _lnst_nte _uego _,,_,c__
haCia lun ____vect_a con 8 m/s Y B inicia su movim;ento hac_a _a derecha a_e)ándose, tal
' C0mOSetndlCa,
también hacia la derecha. _etermine d, si et
/v;l A atcan2a a B una s_t, ve2. _s. o _0 ,,.
_.,_,, ____2_s2
,___ u,(,/_J = O uorg/JJ _ 8 _s
Segur, l_s datos del enunc iado podemo_ graf_car. _i__o___ì, - - - - - - -. - - - - - - - -.... - -. _,, 0o0_._
oA=O ag=2_s2 ^__9 d
UA_8_S u _
_ _(B7-
A--__,__,.,.;.. ___ __ _. _. _ _ _______ _ __..;'..___, g AhOfa _Iantea__OS la sl_ule_te ecuacl6n det
'' __ -. ------_.. __.-> ' _;... _ __ . .,. -_-='v- ' .. . '''. _.., , M.R.U.V.
t-_ d _
U j-cB/'A,_ = U o_B/A _ - 2^_
plan_ean. _odemas proceder con el anlisis del
monmienfo de un cuem_ respeclo del otro. Por
ejemp_!a el movjmiento del cuemo B respeL_to al sg muest Fan dos ___,cu_as. ue ex eF._
cuerpo A_ _ara elIo se requiere determinar la m i u v A paT t.,, d e _ _. n s t a n t e m o s t,, d m _ _. _, a; e
aceleraciónyvelocidadretativa aB/_ y uy/_. l_nte,va_o _e t__
POr de FlnlCiÓn SabemOS ellas se ten a la. _ _eno, se _rac ,_o_ n7
___-- 0g- _A = aB = +2 _s 2
S2_S 4_S6_s2
También ___ _ __,
U_/_ -" U,(B)-U_= '(t8 _S)_'8_5 ^ ' t'_ Y_ lOOm_'

___uoe_go_____d_____o_t__o____e_A5_s___y__l_u_e(_+_g42o_)em(A_+6p__)_____mras0_(_____o_c____oo_nBs_ta_nte)__ acele__pracloT___u__t__<barcode type="unknown" />
|t____enltaen_ndas_ocltseeModert Bd_________b_____________0_ toa______l__slc0om__ots)l0_
lumbreras Editores fís_ ica
ReSOlUC_Ón U_(_ _i) + Uf_(A/B)
_,__=_2 _ (
S_e _roblema cs habituat resolverlo si se
con_idera el movimiento _-imultneo de los 20+O)
cue__os (i_.R.u.vJ y se_nala que la menor A'y -- _2 J
separacin se tendrá cuando ambas partículas d_,,_íO _n
tRr)___n i4_ uat VelUcida__ __r_ Ia intenciÓn es Este fL_sultado sjgnifica que A respecto de 8
resol_-erlo con las nociones del movimiento _vanza (ycerc_ándose _- gJ s_ m hasf, __,e s
relativo. Com_ ya se ha esEc1_leCido qU_ es detiene por jnstante y luego emp_e2a _ mo__erse
i,_di_stinto_ e1 análisis de A respec'to _e B o de B h,c;_ _, ;2qu;erda a1e;_
res_eclo _e A, se consider_- r_ el _no_imiento de ;nd;c_mos _ continuac;ox
_ rcsFecto de B (cuemo de refc_rencia-n_jo)
, _ _ rab_.
Ca_CUlen__S entO_CeS U__B Y O_'B i Se_Ún _a lb_g) u___o _ :,!_
deF_nició, si te,emos n _ _,i___ xt
__ _'A----------_,A ____'_oB
l_A,_ = uA - ug= (+24)- (+4) _ +20 _s td_g=_o mt dm___'
también _ _oom_
2
_'B-_-__ ^ _
Ahara para un ohservador colocado en_ lenemos Del gráF1co, se deduc-e qu_
dm,,,=SOm
.m.n_,,u Pro_lem_5
_ _P_l en 4__ _!na er__on_ se encuentfa dentro de un asc_nsoF
encada iegundo
que se e_e__a con aceler_ci_n conslantc. A l ,í m
_(__r- 20 _S y, __Ob'- del piso deI _L'ensor le person_ suelta una moneda
_ 2 , _'_ . . . ,
a_,_= S _"__' ' xr _io y eSta lm__C a _n e _lSO U__O C _ 5. _ UC
;..o, .,__,;.o._. __n nm 7 __ _
Aqufpan__Ivador._
_nm- en_ un _.R._'+_ _ewcnIe_ado Resolución
Granquemos lo que acontece.
Con fa información _ue se ticne pl_nteamos que,
par_ el observador_ A se deticne por un instante _, ,, __:__'____._'
_e2a a m,_.e,se hacia la ! t __-,-___' _0 _ ! '
n = i5o_
i2_uierda, pero caIculemos cunto ava_za A(d_9,,aJ '', ..;._;:__
enesosSs. ' :_0.' ,. _-_-__
'_ ! _'^_.'_,___,_
_.g___a,,, -:_,_.
uo_g--72O_s _!_,=O l,5m _,__i__.__.e_;o__-___o'___'o'_0__ __. _,.,.v-'_o
A ...,A tD_,'_____._''=''___.'0_ .._N+____. ="_._._
d__
302

___eo_scnd_____u1 _(_atl(___l_t_l_|s_)_l+_)2__2_4__(______?)___|t_flr(_ (t tw)___ _) Ill_t__l(t )___d_ t_____ l_J|_t__f_J _mo_ )____t__|_l|__( f_ (___o_))____(+Jo)_______?______________m____
cAitTulo vl Movimiento relativo
_or deto sabemos que el hombre suetta la _ Si nos ubicamos dentro del ascensor_ el
Jmoneda; _con que rapidez sale la rnoneda de las _ hombre estará en reposo respecto det
manos del h_mbre? L_ respuesta depende desde ascensor y por lo tanto también la moneda.
donde obse_amos el fenómeno (sistema de _Entonces aJ soltar la mor_e_a! vefemos quer e f e r e n c i a)
_ es ta en ese ins t _ t e p r e s e n _ ar _ uo(obs., = O y
' Si nOS UbiCamOS fUera del aSCenSOf en tlerra su trayectona ser rec_iljnea.
f_rme_ notaremos que el _scensor; la moneda
y et hombre suben junlos. Si el hombre suel_a y,e_,
la mOneda CUandO _TeSenta ra_1de2 UI eSta _? _, 0 ^?___c?
en ese instante tendr_ la misma F_pide2 y ^_ :----? ^ ,
_b;r__latfayectof;as;gu;ente _ !_ Uq__. >- O _ ^_
; ,/_-_._ __,! _ 5m , ; ;, , , 5,v,__%,
d_n! ; ; ~ ^ '--____. e __,0__ __ ______,?__ _?c_ __~ ____
; U !, _.
; ; Res_ecto de tiena ya hemos visto q_e la
, l,_m ; !, moneda realiza caida libre veftical, pof lo
' _ U;
! _ _ !__ _ tantO reS_eCtO de tlena la dCeteraClÓn de la
__ y_o <barcode type="unknown" /><barcode type="unknown" />
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moneda será g_ l0 _s2 (_ )+ El obseNador
_-em ubicado dentro deI ascensor respecto de
Comolamon_daasciendeydesciende,nos tierra tiene la misma aceleraci6n de_
conviene usar la ecuación vectorial de caida ascensor. _ _ a m/s2 (fJ.
li_re. _j
_dmon ___,, +_! _g,1 _omo,o,, __ _,mo, _ _,obs __
l _to o 5 a t o__. _-_lO+_J
Enm6dulo será
d =u (O,5)-- (l) ___. = lO+a
Además g_ piso del ascenso, se e_eva Ahora la moneda respecto del observador
fgcorr_enda (l,5 + dJ con ace1erac_6n debe reco_er It5mparalleg_alpiso.
co_tan(e (M.R.U .V.), entonces p_emos us_ LUe_o, _lanteamOS
!a,_ (_lJ d_, ,+ I
ReempIazando (l) en (Il) Reempl_ando valores
5 oslo52 _ ,
_ + U Ot -q _U , +2_ , l,5=-(IO+a)(O,5
.. a__2__1 . ___2_s2

_tRDLtle_oenqaeuc__teuaaemc_Fdo__utl0sonmt_ect0ac0_etnr0_ae_tmr(epn__lltr___d___<barcode type="unknown" /><barcode type="unknown" />
oe_e__e_)_n_/_am___2_u((_n_oo__bol0)c__tl____)___1t_s__l(c__l_ot__o_l_e__(o_a)st_22sJ(csoa_o)obnesmt_aonst_e_q)ue _____t____t_____%__ueltl(p _______u__B_ A_ltl __ll___J___tu___mt___cond__l_____d_tlel t2u_(l)
Lumbreras Ed itores f ís i ca
PF0al_m8 6 e accrc_r con una _ceteracj_n con__tante de
Se SUClt_ Una PeQUena CSfera d_5_C Un_ altUr_ l O __2 y presenta un_ ra_i_e2 inicial de I O m/s.
de S m feSpeCtO de Una _l_tafoIma qUe aSCiend_ lue_o_ tendremo.s
vertica1mente con rapidez co,_stante de lO m/__.
. _. . _ d _!ll_ At!_lf_
etefmlne e lnte_alo de tlemDo entre _S OS i.,._.0___! !,_,i..;- -,!
primeras colisiones, entre la esfera y Ia u_,p--, IO_s F=
' OnSI ere qUe reSPeC O e _ _ _ a gm=lO_s2 ;
_l_t_fOrma anteS y deS_UéS del lm_aCtO l_ e Sfefa _ ! _ , s m
_o_i'_a__' _ '_'o_'o_'',t_t, 1
., _ _ __ ; X ' _ i_ i _ _'L '-- ' ' '!
eSOlUClOn - - _____'_ ,: __, __ > - - - - - - - - - - - - - 0' '
-ado del pfob_em, se B (l) (2J B
establece el siguiente gráF_co:
u=0
|0'____;__U_-O __''_
; :''", __p'lO_S
0e=gl;! ;' _
t ; 5m .._g_,._ t ; _ f co_g,
! !_ pr_leqU
p_ S _ _ 0 ! ce5_cfode_
_ i - 8___,o_ u _ i1 pteQfo_, _,
''' '''''_' '' '''''' _ . ._ ! _! es(en rebota
l i0' '_'_'___o,_____-__.0__ conlamima
3)'- :''''_ rqide2(_)
lO _emOS __i_ deSd_ _effa O de_e la mISma para el o_se_ador en la pletaforn_a_ el tjempo que
pIat_orma y que se trab_jar_ __i_ndo desde la t,,nscur,e de,de e_ p,;me,o ha__ta e_ se4und_
plataforma. _ra ello es conveniente calcutar la choque,eselqueemp_e,_,esfe,aen,ub;,yba;a,.
vetocidad y la acete_ción rela__ en el iMt_te i_ci_. poF lo tanto, ( ,.do _- _
_ La velocidad de la esfera respecto de la
plat__ forma ser_ PeFO t -- _a , = _o
e/_--UeU_- - + --- n S Se requiereu
' La aCeleraC_On de la CS(era_ reSPeClO de la CIculo de u en e_ _rayecto A hacia B (Fig. 2)_ es
_latafO_a eS conveniente usar .
e__e _ - u2.__u2
de la plata(orma descrj_e un m.R.u.v. y u_= lO_+2(lOJ(5) _ u= IO _ __'
aumenta el módu_o de _ i,_ _'elocidad en l 0 _s Reempla2ando en _a ecuación (lJ. tenemos
cada se_undo. t=_ s
'p_,, ,, pe,,on, que es_,_ _n _, pfan _afo,vm,, e,,,os .'. Jpp_,.,.,, _ 2_ s -
result3das signi Flcan que la esfera se te empie2a
3__

____JJ_lt_ttt__l_l____l_______l Jt_tlJ__t_lg_/___l__t_lt_tt/_1_Jl__tt___n_r_t____________yy___1___t_y____J__l___t____l___tJ/___t__l________ttt__t___ltt__??ttlt___r_____ll __ _
p____to____r__________________________________t___________s______t____________v___tt________g____________________________________r________g__________g__________________y___________________________________________________________>_____________________________________________s_______________3___>_________________t_________________y____7_________vt_______h______t__7________n_0_x_________,_________r_________________________s_s_________________________t_y_______________mr____________t______________t_______s________________t______________________t_______________r__________________r___________t___yN_______________________r_________6___?_________________________t___/__________/______t_____tn_________________________________________________Q____________________________t__tn____________n________________5__________________________r_________v______n_t______________________v_t_______t_______________t________________2____
CAPíTUlO VI Movímiento reIativo
Pi0_l__8J Del triángulo de veiocidades con
_na persona ___orre con una rap_'_ez constante de u_,(l) y up(_) , deducimos que ve caer las
4,__ssobreunapistahori_ontalmientras llueve gotas con 1a veIocidad relatjv__ u_g(_). cuyo
y la_ g0tas de agua caen ve_ica_rnente con una mód_lo lo deternun_nos mediante
rapide2de6_s.iConquérapide2vecaerlal1u_a . , , , .,.
dichapers_na?_Quéágulorespectodelave_icaI Ut_-- .UII +U_ -- + _
deber_ inclinar su paraguas para mojarse 1o
menos_sible?
Respecto al _ngulo (0) que debe inclinar el
Resolución par_uas p_a Inojarse lo menos posible debe
para una persona pafada (flja en tie_a) l_ _otas inclinarlo en la direcci6n de la vel_idad relativa
de llu_a iaen vertic_mente a r_ón de 6nUs y u__p. Del _i_CO te_emOS qUe
por conSieuiente ubiCa su p__uas ve_icalmente up 4.s 3
_ara nO mOlafSe. u__ 6 4
x ,'t,tJ_J't ;'.,'. :l._J'_i_.J:l,4_ :,'1 J',1 'x J'_1
: t.: t)_nJ: ''_ ', !___ _ 'i_l )_J: t_: : l_:
.it? i _:_!J !.i,_iV+ _j_,i. i .- _._!J il_ it /l_ i .
__ _." ..1'._ ,.;,,_t,__;_J:_ ..1'.__ -.__.__ '.__
:l i_1_ _i:f'i,_.!':_';i:'l_:.' ' +i=f iX =l i:l Dos ,utomo/,_les se desp_a2an en t,ayec_ori,s
=.l__ :.I:I_ ._J= J .i ._ :_:'_;".;'.;l_:l: tJ:,l__ _.__.I; '_ , Uu=6_S
-; ; l: _ :_. J_,_,. -,.1 '. _ _' J. ,l: _, ;_ ,; :; ;: ; rectilíneas y en dj Teccjones pemendicul_es entre
'?. i'? ;_l ' :'i';' _; ''"i_-'_^ '_•o_'_____'''_ ;_ '_ ' :'i'?'! iJ '_' '?J i, '? s_ rumbo hacia una esquina de 'n_ cual en cierto
Ij;t',l_j;_! '_j;lj;lil il .d. 5o s .
:ï _: _; _, J':l,: '. _, J;f _: ;_ J_: InStanteeqUI IStan m_ itraS___anCOrlraPI
{: !_t_ J'! (_ _i'_' _ :)'J: J=J'_ J= constantede 4mJs y 3nUs; _cuál __erála _nenor
i_ ;It )r::1j__ ... _':.)_ .)_tt :t_
J;l j/_J ;'t J '.'i/:' ____ii_o _, ;'i,_-l j__t/_-I i';l - separación entre los automóvites?
' I-J:'!'_ ,;_ _ :', ' _'_'__., _;_ _ :'t't:'!' '!'1 :'.1-
. __l'. _ _ i-: ' _ ,..'__ _ =f-. __t', ___ 1_t:, _'
'':'_-___,.:=-.'_____ _:_._''___-'_.c_;;_,____ -_'''-___ '- ''___' _ ' v-'__.;''', _''__v ''_''__'_' _._>-_"-' ,- Resoluclón - '
Representemos grán_camente io _ue acontece
_ro_ cuando la persona corre hacia la derecha
ve caei las __otag de tluvja en otra djfeccjón. la
cu_ _ete_inaremos del siguiente modo __' _';..._._.':_.:_''_'.':':._..':::__'_:;__::_::;._._..:_.';,_-:.::''.'''
/ . / /. _. / , ./, _ i _ . . ;;' '":''_'''''_0,_._______' _^_'_______:_._'.... __'.:.......,:....q.. . _,^'':;_;_;:_i'__.;,_!_.':;.:_.__.-_X,''_:_':____.._':.;;__'i~':'__';'i:'_;._::___.__:'___:;'':_-_v.:v_.',_;x:';_,_;___;__-.,_;_.;m:S,_:___j'5!;v_>_,.''vmn'_:_-_.,:____:_-_ç_;__'Ç.;_:
./-//____/__- ' /=;;-'_; _ ' _ i_'- _' _. '-;___=-_:- '-_'. ____', ___OO'__ __;;_,__:_..'; .j_,-_'_'_'_____^_>__;i'___;,',:-;__.,,_;:'_;__'___,:__'?'__, _- '__ ___,,i?:'__;'.;;'..-_0_,_:'___?_,__5c__:,_:'_:_4_:_.;.__'''^_n:;_-_;'_'_:_'__n-'-_'-__:-;_____"_-v'__:'_''.
' _/__- /. ./, =/. _- _' ', i/ ' y _, ;_ = /_ ? _ i- j _u v.._,_:; '_ ',_ _ _,' ; '_ _c,__.__ :- ;; _ __::__: :_v' ' _-_;.: _ _',:,: :,.'_ __.. '- _ : - __ _'_: ' __:_ :_ ',',_ '.:: _ ' _ _ _'_.__,;____ _ _:_ '., ' =_,.;._ ___'_._ ' _ ': _. =,: ' ___ _ ' ; _ ____:_ _: :', ' ; _: ',: ; 's,v; -,,__:__..._.,.-.-:,._..__ _._ ;,'._' ' '_ _ _'_ :_ _: _ ;; :_ _ ' _ '_ ___ s_ _',.;: _, _, ' _-_. ', ^'_ __ : '. g _' '' :; ^ ',__ _ _ ____ _ _ _'' _: ;N _ :_ ___ _:' _, :._, ~_.,_ :u, '_ _: :__. _ :-,_:
,_j / i /_ '. _. __ _ _ ' ;_;' , :_' ''' P _..;'___': '_':__':___;::._-_'_:_:.:_:_;:-__::_'Vt:'_=_:V_'_._v___-':;:____=''__^''';''._.'_____''__'__'_'_C_;'_:_;c_.c_'_____'__;'m.; _i:'____'_-_''^''_'__'_._!'';'^'^_c__'_..__^.':''__:_:_:'_' _;__._..:_______m?_:__C.._s_._._;.^__:;:____5_..;_'':____.___'___C:_
- _/t_-'i,,_ _ /=__=_ = ; - ; -_".':-,_ ,j",_.=-.,_ 0 ' ' ' _.'i___':__-_;_,___.,__._'_',. í''_;._;__'.;__;_:!______;__"__;_.':'_:'_.
''_;/;__-/ _,j_ =;.-i___ '?j-,___ -__ -_./_'_j ?ì_': _ ._=;,'''-'_';'___:,:,';'_:'.';_n_:_;;_s__''_V''=_:_;,_;;__.=._._''_,'-;
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___-j' _' _ _/ ;_-_'-_j- /__/__ _ij _ ''___:_;.___:____'___.__':X.'_:__'__i_'__'_5s_,_m!:':_'__'!__
_ -. _;i .i_ __-/_/ ^''i____^_'''. _,_ - _ '_ '/=_/__';l, , 0 ";:;:;:._;"_y_:-;___._,___'___t_,'__i:_.:?'__';_:_._;_:_'';___?:
" __ ^./ '_ / :_? _- ' ' ! __ ' ' '_' ' _' _''_d ': _,_- : _-;_ _i_ _ /, ' ='_ _ !_,' __, :?'__: __'_ ''__. -- _ :'__ _ :'; _ :._'_: ''_ ' '' :_; ' ' _ _ ' ' : '' ' ' ' _' ' ' ' : __ '_! ' _ '_
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___ _- _" . ;: = _-_-/_ -/. n'. -_____-_. __,_.,:_.:.__.;. _'=_-__,,;_,,.;,__._,'?:..;,_^_._:,n;:;__;.__,;.:':_
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rá_ido qUe B, por lo tanto 1le_ar_ _nmero _l cruL'e. hallar d _e_er__os conocer t_ paf__ _o cu_l dehemo__
_ro antes de elfo el aulon __'il A ?_ cl auton_óvil _ enlp!,e_, _a c_,dic;__,
seestánacercando-Comoc_nelproblemase _los ç, t,, ma_s __u,,na _e Eodas _as d;,t,,,c;_s _c_
pide determinar !a menor scparación, e__to ,.e _,_c_.o,n Entoncesacomodamos_e e_ res,.u,
signl F_ca det_rminar la dist__ncia _e separ__cin
COnl_let_fld_ _lladfad0S ?- d_ndO la fOfm_ de Un
más pequena o minim_ ml_e logr_n tc_s -
trinomiu c'u__dradu ßerfecto.
autOmuv_I_S en Su nl_Vl__le_tO.
2 __7o-_ t'_ _
u_on__mOS que eStO O__Urfe al CabO dC t =_- _ _ + +
. del inst_n_e senaf_d_ or e_ robIen_a j(7_
a, d uelosautomóviteslleuenatc,uc_e . _ 1__7o_J_,_+_o
aunque esto es s_lo una supusición la cual s,bemos q__e _ua__u-_er n_,_
conr_rmaremos a refutaremos l_ego de conoccr d d . _ .
CUa fa O e5 nM)'0f O l_U a CerO y COm0 n05 Dl
t. Mtonce_s tendremos: '
el mínimo vaIr}r dc d.
- t (,o 5,)2
_50m- _
ReempI_zandu en ll obtenemo_-
_,,..q__ _50_dA)' '
5__-___;,;!._ _ -_ - vv ____- 00_0_0_x_,,_-____?__;_,_,_n,_ _nD, = lOm
A h"^__'c_5M' __.___', ' '_''', ;_
x '_,___;_,xc__4s_.___;;_;,_.. _q _!ote qu_ d,,,,.,_ se da p____ cu__ndo l= l4 s ._' cun c!lc_
_ Sc?__'_,=.(_,, _) _ _,=,s6 __ v. _,=42 ,m. eslo signirica _ue e1
,; - _::. au tornó_'il _ _,'a pas __ I cruce , mi__ntr_s _ue _ aun
_ 0 !50m no ento_lc__ nuestra suposición inici_l no rue del
_m_ t '
_ B i tO_O C0fCeCta, ßerO e_lO nO Cambla Cl r_SUltadO
dg J ob tenido.
( j
___ o_ome/
. ;-_-, -,_;-,. Criteno de rrJu_'imienlo re IariL_o. Para este caso
mt_ u_jc_mos nusEro sis tema dp Fefefenc ia sobre A.
' (nljo).
el sombreadO
Como los aut_móviles experimentan M.R,U.
-- (_O-d_)" t (S_B)2 íl)
Además como los automó_lesA y 3 ex erjmcn(_n a_ '" OB -_ O, entUnCeS ag _ -_ U_ ' a_ _' O _
un h1.R.lJ. _te CeSU_lad Si_ninC_ qUC B R._perimenta M.R-U.
( 4 f respecto de A. Para trazar la travectoria de R
A= UA- , _ -
respeclo de A. calculemos u
=Ugt=
Ree mp_,z,,do en _ u,,A _ _'y_ ù, _ uy + (- _JA). (_to s_gn__nca que
d__ (s__4r)i+ (5o_3_,__
_ __ s ooo _ 7oo, + 2,,_ debemos suma_ u, con el opue_ to de ú,).
306 '

___lgt___t__o_ tob_ts__ t_/t_t t _t_ ______ ___uA _t_tc___vgt_nt_t____c_rt__r_____y_F?___00t________lt_,____0_v__?__v_t__x?____sts___t____n______ ___t__r_____t_l____mhc__n_cs_______/____r____?_ru__tA____/_________t____y_?qmrs _00__ _____s t___ __m___?_,_r__ _____t__t__ 9_n?_v vr_tc_t___/___c___Axn _xtx___;___B___x__tr,_c_ ______nt _ _ __v__ 5_ 30o_
CAPíTUlo Vl Movimiento celativo
C_n esto gra F_camos PrD_lml_ 9
_'_. _, ' ^ El sistema mostrado es soltado cuando el resorte
y ' __ _ _ _. .,_. está compnmido+ Determine la medida del ángulo
; _ (_) x_ , _om __ _c_''; _=c__.;_t_; que forma ta velocidad deI bloque A con la
__, 0_?___ _M----_"_,;-''_' -^-_q ,'_c_'; ' ,_ n , '_ honzontal, si cuando ab0dona el bIoque B se
'' ''" _n !, ' ^ c_lmp teu_= xJy,
,"_mn _Sm'_ >
_0_ , _ n''''_
_ye_o_de_ '__. _ , j c __. 4_O
teSptctodcA. ''_ __ __vX,,'__n_'_:_ _
u8/_=5_s: __m_v____'-__' ' ;:__, ug-_3_s ,?_ _ ' ' ,_ _ '
El automóvil B res_cto de A se mueve con una
rapidez ug/A = 5 m/s. Además la menor P__soluc16n
sepafacjón entre el automóvil A y el au Eomó_1 8 Según el enunciado entendemos que at solt_ el
es aquella que parte de A y Ilega en (orma bloque, el reso_e en su intento de recuperar su
pcmendicular at trayecto relativo de 6. Iongitud natural (sin de(ormar) impulsa al bloque
__ra p_a _ete_jnar la menor seP_aC ión (d_N) hacia _nba sobre la superr_cie de la cua y a la
haCemOS algUn0S t Ca205 aUXlllafeS Y O_tenem0S vez imputsa a la cua hacia le izqujerda, tal como
la Sl'_Ulente Fl8Ura_ mostfamos a con_nuación.
50m
'_. d_ 0 _3_- ___.-','_'_'' ^ __ :'____,"''n ^,?s v_:''-'' _- -''_'nn;_
_ 'i__S'' ' '_'n __,'___':''_;',_''_,____'
_ '__ _, _, ._30_,_mn._oy_,,
_ _ _ ^ __ ^m _n_ mc ?__: _4,_ ___ nn _ _ _ _ _ _ Q, J
'_i _ ,___x%_,,,s^_____:_,_,_,, __-_nt_el ,'
"__ 'a,______,;__h ,,9,__,''__ s0m __o_i__l ,', __5u
__O__B 10m _________m.___'o___S____ bl_uc__que _ _
__odcA nt _m,,___,, ____.___,_'_ _do___ ,'
___,'___i_,,___m_,__?___,____,_?__ _,,_,T_,,',J, ' a=? __' _ _ ' ^ _
_ _, ' _;v _m4 __ '_ _ _ _ ;_ _ __ __ _, _v : _ _ ' _ __ U ! ---- ,s ao lbr_J --
_cS,_____,_.._, O ,' ',' !_ --_^ _
_B __c /,, _ __ _ 0 _ ;__ --___
A_aftifdeeSte_r_COSe0btieneqUedm_n=l0m _ '7c''_ 's__ ' _'_h_c'c n ?' _''_'_' ______'____''''

__En__t _u_o&t ______ooot_ ____ ________t_________t_t_____________t________2_____r________t______________t___________r____________ _ _ _tcomol y_a(B_s)e6_h(_d_) stobanE_ear_sorfom_ r_menatse__seno_es_s_(m__t_e)ca_seos
lumb re ras Ed itores f isi ca
Al colocar un observador en la cua, para él_ el En el d som_reado
bloquse mueve a lo largo de la super F_cie de Ia n
U
cuna ta_ como se indica. _2 _
tanß=_= -
1u ._
,g' 2
_a_g'_p___ ;' ,'/ _- _=80
tl_mcto_gwdo ;x U
_tjbl_ut__ En (lIJ
_d__c_. 45o
.D__ _ _ _ _ _ ____m_ a _ 53a
_/__''
.._' ', - " _ _ ? ^-_ Pr__Iem8 10
,_',_' ;; _,, , __, Se muestran dos partículas que experimentan
.._.,_0. , _' _ ' _ n_,._,;_, ', ^',''.'__ _, M.R.U. iA qué distancia de P se encuentra A,
'_;..,_,,0,,B,_..' -_ _'-_=-' .- ' ,::''':-_,=__'_ cuando los cuerpos presentan su menor
-,,-.,. - ;-- - ___ _ _ __. _,.. _, :.. _... _, _ _.. _, ' _._.. _,., ;__h x-. -_ ;. __ ;.,.. :.; > ;,.. _. ;, ;,,. :,, _ _,__.., _ ;. _. :.. :v, __. _,,,.q-_ _ ; ;-,- ' __ s _- -_ - - _- -_ __ _ __.. .. ; .. s e p _ a c i ó n ?
2_mrs
? ___ 4O0m ,
el _r_flCO U eS la V_lOCidad del blOqUe CUandO p '_ J53ò - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - i'_ '_
abandona l, cua ,e,pecto del obse,vado, que _o _ __ A
S _
_lá ubicado en la cuna. En otras palabFas.
_;b_ _;-; u Resoluctón
o_u_cUB - _loqUe cUna -
Para _etcrminar la distancia que separa a la
._. ù_ucu,.,--ub__,g (I) pa_ícula A del punto P_ cuando entre A y Y la
separación es mínima se requiere eI tiempo
a dete_n_ l_ medlda del __UIO _ podemoS
faMCUfrldO t haSta dlCh0 lnStante; pafa ellO Se
proceder en forma geomélnca, >_l construir un p,ede p,ocede, de va,__
_i__UtO COn l_S VelOCidadeS qUe a_afeCen en (lJ_ procederemos hatiendo uso del movjmjento
Segúnestopodemosplantear: relativo; anali_aremos_ el movimiento de la
partícula A respecto de B (de referencia - _jo).U _
__ U a v __ N _ _ _ o, __
_ 45o_
. . _'_ u d es_roI lan _. R. U -
Uy =5U ___ . d t_
__ ,_ n _ a aCe efaCl n e am OS feS_eCtO e tefCa eS nUla
./. '_i___ -- ''O
_ ';_.'?- - _.= -' ' y también lo es Ia aCClerac_ón felatlVa de un
res_ecto del otro. Esto_
g5o _- sign_r_ca que A respecto de B reali2_ un __ R u
_ntaJ _ _ - - '
'''-'-^^'^^_,' '_' -_ 7u r ___ Ahoradetefminerr,osla u eraesteblecerel
_ 'x_ _ eneld _B'
, ' _omb_. trayeclo de A res_cto de 8. Como las _relocjdades
de A y B no son paralelas_ procederem_s en rorma
gcométrica.
,,___+___,o (__) u,/y _u, -_!, ___A +(-_!,)(Sumade Ia_elocidad
nho,a se ;equ;e,e co,oce, ._ de A con el opuesto de la velocidad de B).
308

_g _t(______gl_ll______,___ s3_8t_____ _ _lt_ t ____ __(__) ppo______ n____nt a> _n t __ t (_____)___t__e__s0___dt_e__(03a_)_mp_ __mdet
cApjTu Lo vl ' Movimiento re_ativa.
En el grF_co tc_emos finalMente SObre el _ráFlCO dadO _Or el enUnCIadO
u__ _ anali2ar desde tierra a la pa1tic __laA y controlarle
__, _., 2Sssetendr_
_ _v'^-UB 25s
'_'; '__^',',;_,_'
_..', __mrs _2rNs
_'_ _ 8 p x
_! _ _ (A) _'-----------4----------A ----
n)o - - _ - - - _ - - - - - - " - -- - N -- - - '?A- - '(
(_j d__
AqWlau_gdelVla_- cmndc A
mNme- ' nto de A Fespeclo d_ B, eUo
_ _xend__ en t_a __te. _ do _ 400 m _
_Ue_O _Iantear_0_S iof lo tanto_ _=350 m)
t_ (A)
__t_' de___ PWal_m8_
res_ctideB ,' '' ._. r r una cal_e c_-rcu_an automo_v___
,'_ ì ' _ __ ancho, espaciados 4 m en_re sí y con una _pidez
_s., ,' _t u constantede lo_s Determinel_menorfa jde2
._,, __ _ '
_!!! _' do_- Qoo rn g__ _ (A) con la que un peatón puede cru2ar la calle sin
nja ----_----_---N---_---------- - _,
_,l_fO.
L (BJ AqWd_p__enlalame_
_para_nentIeAy_ n ,
' ' ' n''1Q?s - - vs;'^;_-, _ ; ', .._ _:. ' t0__'_ _
Paradeterminarrplanteamos '___00_a__' ;v ;-__m__4m_ ____0_
___ U 0_0 _ '---__-;__''-__!.__--=-_ 0?
l_4cos0 ' 2 _ ''_' _
IJA,__ _A _g __' ' o __??_ ' ' V
_ll___
_h0r__ __ra COn0_eI 0 y U_/g _Odem0S pr_Ceder
eomtricamente_ de la sj€_jente manera ReSOlUCiÓn
Como nos _i_en caIc_I_ar la mínima rapi_e2 del
U__=
- - - - - - - -_ __c_t_n _afa qUe CrUCe l__ _l Sta Sln aCCldentafSe,
_, '_t qué aspectos debemos tener _n consideración.
g ; IO d'. _ 0eb__empe2aracruzarlapjs;ajustocuando
;! '_ termina de _ru2ar frer_te a él, el primer
! _ autom_vil. _Hacia qué lado? Hacia la
- - - - dn - -= - - - ^ _ _' de,,ch, _,a q,e 3f se, ,u r,_,_de, m,_n,_
_ 2 '
6 debe emplear el n_a1_or tiempo posible en
_P!! _fárlCO 5? __. _f_ d_JUClf qUe c_2er v, pof et!.o debe estar lo más alejado
u -_ g__2 _,-,_s y _ue u __ qso posible del __)tomó_l (2J.
A__re e_ (l) ten__m_____ ___^^XV_"-''X_~__^___^^___,
Up ' __to_s
(_) _ n0_0_ 4_lD_s %__00
i_0!_( _- 0n _ ___n00
'_/ _ 2 _t___
-----__-*_- __
_J '_ _ _ _
309

_(__o_te___w__s_________e______w____wpx_q_________0__________u____qt____0____e_0___t___v_____0_0n__(v_p____o0_____c0__a______y__r____7__aun_q__q_mu_r__2__sanpevext_u____m_n_l_x__a_______ct__t__t__vx_f____e___________yl______ov_t__/______c_______my____l__d_m__t___e________n_c1_______K__9d_md__________t__tye_wa_l__l__p_ymtmp_____9_t__er___tra_________m_t__0o_________x__0_0__n______________n_______r_____n_t________________l__t_t_______t________ AEf ____ ___(A__1t_ __u__(_g_Jl(_t)e_ds)d_Aefp_udn_ad__de___a__et1d_tsn0teo___s____fe)_rte2as_r_
lumb re ras Ed itores Fís ica
' Tam_in, nótese _ue eJ extre_mo A d_l considere _ue _as supernc_ies _son ti
automóvil (2) no debe chocar con el pe__ tón .
__ p respecto a t3c,,a. i,_-. ,,__'_:_
_ la menof rapjde2 dej _eaE_n se dar_ cuaf_d_ __,_,_!!. ' A B'^
, _og,e c,uz,, cN on l,, ,.u,_,,,. e,_o ,,.gn.,F,c, q,e ' _ _____'=_;;=._,_.. - - - - - - _ -1 oa m- - - - - - - __,i_____'' ' _
pasará rasantc por_.
' V,sto porunob.seNadoren el autamá__il (2)_ ' ^ l_
el pealón se acerce al e_tremo A, e_-to t
fisicamente lo enfocamos así'
u2_-u_, , --- ?? =
2 _. 0,,,,...._.A _.._'''''' '' _'__,'_ . _
''''' '''' '_____ _ ., __ ___'''_._;_'____' '__._,:_____ Resolución
__'_._ '_:__'__m __0 '' ' _'
''' ' ^ _ / '''. _ _,; ;__.;;__ _:; mOVlml_n Ci rt' _S eS eraS s_ pUe C an _ l
__ii____'_•___________i_'_i______'___ _____ _ S ' _ .:' _'_'__a__0__'_00___'0__o_'__''_''______i_______i_=_=_:_,_____ desde _i__rc
___- '_ -2'__&t_ _f ': , _ ,
_,.;_. '_ ' ' E '' '' ' _ na tCemO_ _ _t_S e , a O qUR eStaf_ e_
.'' ' '' ..._' 4rn.,__ , ..... ' U.._-1..Q_S ,e_osoy.s_r,._f_JJ ___p__,im,,ntamov3m;
La d;fecc_o,n de la veloc_,dad ,elati,_a del peato_, ' _'_t0_i__l_' IJ____iaJdeY resPectodeA U0t,,,A,_
respecto del observador siluado en (2) es 370 -_ _ _
. . ' ,. ''__ _,_t _-- _u(_)-Uo(A)"
Se ded L_Ce CO_ 1aS dImen_neS e aU OmO__ Y ' _ _
t _ O
suseparac_n ). ,.n,n__n,e_ ecfodeA _a
_ _ t t ''' _ a''_
_
sea mínima será necesario Que sêa perpendicular ;_ , __, (l
a u p,A. Ahora det _ de _'-elocidad_s.
Up,_ '' '=Cei_t_m0S determf_aF
u p m _, ' 1_'_)
E_:n ___-_ sllperrlcie Jisa
37o .a
_ _____ . ' ' '--- ' - - ' - _
_ __,8_' _a= gsen0
_u ___t 37__o3 '_---w
p(mtn J l ^ t_ A l - 5 esfa rela__n se _en_os_ar
en el capltulo de Uin__ ica
.'. jupn,,,,,j=6_s
_
t ___S_ -
Proal_m812
+ a,=8r__
s pe_ueas csfer_ son so1t_- _a_s __ imu_tneamente ^
dcsde las posici0ne_- que se muestran en la F1g__ra A__á_o.__am___te (si 0 -_ JO^)
y e,_perimentan M.R.U,V. _etermine luego de _ 7 o _ s__
,. , , _ _-
CuantO tICJ__' O eSt_rn S___ Ia c_S m __.tS _
u__ l_e5ue_, c_t _J_ice p. _ _ 1 o m/Js__, Luego u, _ ___, +? __à J
31O

_ADlddeep__Aemq_rea_s ntu__l,(a_y__la__a)ce_e Facr_l__r________l_l__3__B_7__________ _t (_ nt_( ) ________h_t_______ ______p___)___0____e_0_____________d_______0__0___o_or_o_y_r_______a__________________r0__e____sgpect0>xdelglobo_ _
CAPíTUlO Vl Movimiento relativo
Grár_ came nte _r0_lgmg 1 3
t___ Desde un globo aerostática, que asciende
'_t_ _ _ , verticalmente con velocidad constante de
20j _s, se Ianza una pied_ra con una velocidad
(1tjo) _ _ _
_ ------------._---.---- ._ u_ 30j +40j mrs respecto del globo.
i_ 8mfs2
,. 3 O _ 0etermine luego de cu_nto tîempo y a qué
6_s2-....._...._ ,_ __ d.,stanct.adef un_odel,n2am,_entola _,
,' a __ o_s_ globo_encon__á_lamismalineahon2onl_.
O __ lOmI_2).S _
Reso_uc_.o,
_nco se _ogra deduc_r que Como exjste movimiento si_utt_neo de das
cuemos respecto de tie_a, ubiquémonos en uno
_a/_ -- 6 _s' (_) de ellos_ por ejemplo en el globo aerostático.
_, i_ _, Ds pemend__culaF a _a supe_c__e Entonces analicemus eI movimiento de la piedra
_ a/A _
_nc_l_nada _ue,, _a ve_oc__dad ____c___ de g ,es_c to respecto del globai el eloba estará rljo y la piedra
_o_ n de g ,especto de A ser á Ia ún ica que ex_ nmenta mo_ _m iento.
.es cons_ante; D respecto de A comenzacá a
describir un M.R.U.V. en forma pemendicular a la ;
__ uper_cie incl inada. .....,____.---'_=,. ,.. .,.,o._,0,...,,p,_
A _ oo m __' '' _' ___-0__;-;- '_' ' __ _ _'''_ ''' _' ''_ _ _' _'_''' ' ' _ ' '__ '' _ '_ ' '_ __ 'ij - ' ' ^ ' ' ' '' ' ' '' _ _
! _ _ c -,J. -o -, - - - - - - - - - - - - - - - - - -o _ u,B/,, v O _.,, _ _,_ i '.._.
' r , _6_s2 _a_ __ ' _ 0 _ _ 0u
,/ B/A- u_=20mrs 0_'___,___
'gom _g0., ________
._____' 'B - l'lli'
Determinemos las magnitudes que caracteri2an
530 p e_ mov._m._en_o de la _.
_ Acetera_ón de la piedra respecto del gIobo
Del er_F___o notamos que la dislancia entre A y 8 .
eS 6U m, CUa_d_ la eSfera B reCO'fre 80 m feS_eCtO a_ = 0piedra - a_t_
de A. Llleeo _IanteamOS g ò!
0 ,2
__- __/Aj 2_'n . _ _
l(G f2
2 _ La _'elocidad inicial de 1a piedra respecto del
_ elobo es según dato _e1 pr_blema
l_- s ? ?4?
Uprg= l+ J _S

________l/_o____r_mr______mr_s_a) ____6o_ 35mr_s__ l2_o_m __ (F)__o_)______________g_______n_o _ _?J (7__)__am__el_o__n__lepor__ _
lumbreras Ed itores fís ica
A partir de estos resulEadas, se conc_uye q__e _, ? _ ,
, tlA-Y't_ I '
a _le fY f_S_eCtO d_l _lobO CSafrOllafa un
M .R+C.L. ,'
l_'gt=35_S B,._o
ue_O anall2_ndO desde ef _lObO tendremos ____
_' 0 ^_
,-_lo_st ,,' ,,// _
.._'' _'!_,"0'','___m_.n'^'_''''''''"'''_ ' _''
__ ... , __,_:_c___4_'_ qu(,lapiedrayetglobo ; _'
_j_'::__'_.,,,, '' ' ,o,_,0, ,o.._ _ esl__n lamisma ,' ,_'
Q ^'"O'i'"0__'^'''__ '' '_ hONZO__J UBrA _, ' t t
,____,:' .. 3o_s ------------- -_-
____D _t_--i____.
_00_Do_am's _' ''__ (
c,,.o_ __.' ---__! '__ _ Como ambas esferas re_li_an un _m.P.C.L.__ __ '
__________---_._._ > t ,N e n e,. g u, J a c e _, a c. /, _
;_0;, '_.;'' P 3O_s _ l F _O S ' P_f 0 t_ntO a
_d aceleración de B respecto de A es nula.
De1__1.P,C.L.,enlavertical,podemosdeducirque _ _ _ _
ay,_--Oy-a_=
( = 4 s, luego el tiempo transcurrido entre P y Q v v
es rpQ=8s.
También en la horizontal_ tenemos que De lo anterior podemos concluir que 1a esfera _
d = U__ .lp0 _ d = (30)(8) = 240 m feali Zaf Un m_R__!. rCS_eCtO de A_ Adem_S, __Ia
que las es(eras choquen_ la tra}_'eclaria de 8
Pro_l_m8 _ ,e,pecco de A de_e, p,,.e, ,e,e,,,.,
Dos pe_uea__ esferas son lan2adas ( )
Fl)O _eamOSlO _r__ C_mente.
simultáneamentc según s. e muestra _n el _rn1cu. '
Determine la medida _e_ ángulo _ con la 35 _s __ B
condición _e que las esferas impacten. J 37^/ a_di''=_
2 ' _/
Traye_tona de a U8/_ _/ /
--B _espectode_. /--------
,',_i'_---_ //' _S
_'i_'î //, l20m
_ g _Y' ,,//200m
75 , . ..,._OX' .
A_
A .....__,. o tl60m_
nnalizando el dia_r__mc_ d_ _'e]oci_ades
m '
Resolución
Analicen_os el movimienxO de '_e_ esferL_ B respec tu a_
deA. uB
Como sabemos es necesario determinar las 75m/s
m_._n it___-ei ___e c_arc_cteri_an et m__7i.miento de B 3Jo 9
r__spectode ,_. 35_
312

y_cmpDGoro__nsJy____epg_________u_cf__o_dyectp7tl___ _______g__ ________ __t _ u___u_________ y t _a___ __0______0___+_gx_ _d l _ __ ________
CAPlTUL0 V1 Movimiento retativo
__te que g = a + 3Ja (_) respeclo del atro; por ejempl_ de B respecto de
5 J.5 A. (Puede hacerse al contr__i_, se obtendr_ el
seT_a s_en370 mismo r_sulta_o)+ Cum_ en los prob1e Tnas
3í 7 anteri_res _eterminemos 1__ a _ v, u
sena=-x sen370--- l''
75 25 Como los proyectiles tiee_,en ta aceIeración de
_ _= l60 caida libre _g).
Fineimcnte reem_I_uzamos en (l) y obtenemos _ _ __
A = aB _ g
__530 _ _
B/_= a,= _A= O
P_alem_1_
.les sun ___dos s_.mutt_e_ente Con esto se cancluv, e que B respecto de A
. u_ _ J.dez t_ co_ se mues_, _ter_,ne la desarroll3_í un __1.R.U. _ en don_e la dirección del
_st_c__adesep_ac__o_,en_e_0sp,oyect__les movimiento lo determina la velocidad relativa_ n G _
b _ de q,e_ t_,empo oc,,,,e ello (a > _j , (_u,/,A ),u
,/, = ú, - uA _ _ J, + (- _A)
(Adición de la velocidad de _ con el opuesto de
_,'p.___ _ ß _____
^'"__'_'_ _'_'_____'_, l_ _-R10CJdad de A).
_ ___d_ _... Entonces el sistema físico equivalente es:
.:... _
__=U
t8,_, , B
Resolución _.. __'_,, X' /_ _ _. 0__00__.,__/
una vez !_n2&dos tos proyectiles, respectu de --__'''' _- ------ -"------------- - ___-- _8 ___'O _' --
tierr_ empie__ an a describir un M._.C.L. _,' '
U6 _A _
r_f'Jcando las trayectoria,s seguidas por Ios ' '___
_t;_es ienemos _' _A=u
____. . De la composîción de veIocid___es se tiene_
__'i___B_' ^ - - _ _
/__i _d ''__
t ;/ ' '- - -
,' '-+----------_____,__,=__::;__0o.ao^__ _ ___-_
_ _'' '__ t 2
,' g __ Gfaricanda la trayectoria _e _ respectu de A
u ,' _
_nCm0S
A,.. a p .,,.._.._...,_B ,,y_
_//'__^'' ' , ,_'__'i_^'__
t __d _
' ,. ' ' _//__
(_io7 i ---------_--_---_-_--r--_ __,r-
A '_; '' '_ __ ' - _ _ _____ '_'_'
iomo ya hemos _'i__ia, este prabl_ma se ha __ '' _/__ ___
'o,meni, pe,o con c;erta __d_ - d. BJ_ __-/'
complejidad matemática (Ve_r problemas de '_ _;__'' r
_vCFlo 1anteando _; ' _._.._., __/
l___ nn_r_jn_nes _g m_v. jmjen;___ fe1at_j__o. _er_ et1_ __' B
__' _a__onadeB
anaIicemos e1 movimiento de un proyectîl ,_'' _s_c_odeA_
313

_ve _tl(3_ _____ ___t(_t_(__Jt_t7____t/_t1__l__ t_?t_f_____________tl _ _ __ _ _ _o_t_r__to 1c_tp_1_r___t_________l___ _e__ lp__st_l_ct__ dteqtJ ea_rt_e_lnnn__doe_sl
l 4mbre ra _ _L_ il ores f ís ica
Det tr_án_LItU t-CCt__n_(ttO. _bl__l_n_r}S _UC tr__sl___ c__) (.)r-__ r;_tJii1__; c_c)nst__1)te _c_ fj (_rT_ii_.
J- u_ i_) __ c{et__rrnin_ ì_ _-a_;'J_,i, c!el _,_ll __m_ _, cL1_n_c_
d,,, = _J_c_n() = J_eI_
-''7 _ / _3__1'',
1,
_' r_ __t_' l-_lllll_f Cl t__'l____ (t) __ante_jnaS Ct _
1!i!'_ A
_1.N._- JC _ r__S_e__t_) t_ .1 _,' __a__mUS
rJ,,_ rJ_r__-U J;
t=___ (f') ;1
UJ,,_. l__._ !
1
S__ re_uier__ c__lc_lar uy,,,: _e la cumposición cle "
_,u____d__i__s te,__ _J,_s un _.un,tiu v e,, e__ tf;,/ _,gulu _., ' e. B
i___i_)es _''_n_tJie____ _. e c__trmin_ __u_
/ , Re_olu_ión
//' , _, L_- l___ra al ___o_'__lse __u___acta _-_n lai s L____rt__ci_i
,_' 0 o._ e_merimenta __r_ m_- __imicnto ___ tr_- Sl_ci_in _-
u,,._ , _ ß+_0 rotaci_n combin_Jo+ _}_or_ e,_i_t__n v_ri_._-
_ _._. U r1_x,_todos _r__r__o7_,_fesfe rot__pm__ _ ul_
u N ' - _ - -. _ _ re_. _l_-er uti li_c_ndo el mé tJ__ clel n_o_-in _iento
rel_ti_rJ- _arr_ ei7_'_/ __'_ anc_riic_rn e1 rnuvimient_ _c_,l
u,,, ---2ucos(f)+ (l)
e,_'trcr___ m res_er_t_ _e_ e,_tremo D_ _' o_- _o _u_
_CfC) C Om_ _____c_mo_ nuestr_ s_-,_ tem_ d_ F__ref__)__-l
cx - 1_
--- _ __,_trecnoY.
. .7_.c_us'_!J-+1_! C.___O rfl__'i_nt_ ___ nlO_'i_liL_ntO _Cl Li_tfCm_A. SU
_J-_/
v _i__rJ,_cjn a __ es __n todo in__tant_? li_ mi__m__ (l).
t_,n (t) lc,r_en)c)t-
, enlonces A respe__t_ _. F _ ctes_rrolla_á un
U- f) _
CUS, _. l n_o__jmient(J ___n tra__ectorja cjrc(_nfere___i__ _; _r
-_'_, __,'
2_'c___ _ '; -
2 J! initantc es tan_,_ntL_ __ l__ __ircunFL_ft_n__ia )_- p_r
_no__sislli__ntc ____r___r_cl)r=tlt.,_r _ l__ h__r. .r_.
l_c____(___s de __er t_sla re.soluci_jn _"c_nos cún)_ _.Ir _
. _ -Ua _ -
_r_}__{!rTlL__ qU__ tilIn }lerl ue _e_Sl'C_ tU er_ _, l. .C L-_ ._ D__/_,_
sc_ hace n_ii_' sim_t_ _on la c_pIi____L'iun ___l _ //;'_, ., ' ,
'___it,r_to r__lati__(J ; /_ ' i
_ ' .-! ,' _
Ua,J,_.;_--^-- __,
Praal__na 16 ,; . ''
_'I_;3 )J_r_š_ 1ii;J;_JL_ clc_ ton_,it_1_ l _-__itJ__l_ _µu)/erl__ __._,n_c_on_, up '
. . ' se____) el obs__a_uf ,_,_t _bse_x__or
__n {lUS S_1_JC_r!1 t_'IC_^ D _n_S tt C'()m_ ___ Mll__ttr__ __._ ; f . ' ____
' ' _ '5 i!n' ''r'__' '"'""^ U !,
__l __'Liii__. ii __l c_trerno et_u_,'__n en !_J ___r_._ _c ' d' ''_'U !' - - - - - _ ' ' - _-__
3t4

_scc____cAu_B_a_nnF_d_ootaoLc_4on_ llt_n_a F_gap_l_d_t_7e__t_2 a_n Leu_a_r_co_nstante _oo?c?___?n_c?_____?____?_?_?______?______?_?_5(____?3____?_n_o_1__?_0n?_c__n__)_?0_0_?_g9_?_st_c_?_?t____?e?_cn__?________??r__0_v0_?rl__2?_h_9____t_t_lJmf___tr_v__f___54&s_y____8c_3s____??_c___?_o_tl?__?xel?es
Cn_íTULo Vl Movimiento relativo
Del diagrama de velocidades tenemos _ Para un observador njo en C, el punto B
u, _ t__ _ u _, ta,e también describe una circunferencia
_ feS_eCt_deel.
Reempla2ando los datos Por lo que ta velocidad relativa de _ con
_ 6x_3 _ 4 5 c_s respecto a A G,/, _ también es tangente a la
c i rc unfere nc i a (2).
Pfo_lema 17 Con_'t_imos un lrineuIo con las velocidades a
Se tienen dos v_1las idénticas de 2 m de longitud. panir det punto 8 y podemos notar que:
Lu _ O, l rad/5 , determine la rapidez del extremo
_37. U8/c _B
_
-Uc
_ ' t-u,1 _ 2l_u,lcoss3o (_)
donde
_ 8 uc L (o_)(_) ___/
0 __ UB = _ = 1 = _'-
A _ '' C '
__empla2ando en (I) tenemos
Resoluc_ón , _ (2J o 2 _3 _
omo eI pro_lema antenor_ hay v0os métodos
pare la resolución, pero escogeremos Ia del , _
mo_imiento relati__o- Se anaIi2ará el monmiento ^ ' _e?Fu0__ _______?__ ^,
d_t extremo d _e_npecto deI extremo C (dc __, _ _ _ ,_,_'_'?,
re F__rencia)._n_estotendremose_5iguiente_r__co: ,,n __?_,_?c? ., _ q_0___,__? ,
-c ''_B_'' _,?_,d _ ^_ ? ___ _= '-_ ' _, _
__ , _ o_ U S J_ _, __ % 0 L? _ _ _, _ ^_ : _? 9 _ __ 0, j _ _a,,__v_ _ _
;,_J-_--='_ _r c?_ _^' ^ , , _,,_ __' __/_ r 0_
_,Jc '_ _ !d to _s, ,_ _ , _ _ _ ' o' ? _o, _ _,_v
A_, .3_-^ _. . . _ ._ .?_j_^'_ ' X ' ? __ __'_i_ n _?__ __:_ _ J_ _?? __n, _,'?_^_L_ ^_
_,_/, ; __) C _ __d9n _ __ __
tn__'__WlYde la__v._-ct0llide ___ ??_ _'' _ _ ; ,, _ __ _t, _ _ n_5
8re_,__!___d__ _rE_.'Xc__, ____ C_,__v_,,,__?,_,_"__0____Jc_u,, _,__v ,_cJ_ ____ J ,_a _c'
_en_o 4 ___;_ __ _o c_ .. .n_o g det.cf7_be_ un _ EJ morcillo _esDl!és de ser lonzo_o. su cen_ro de'
_ grwedod d_ribe un_ yr_o Id si un abseNodor se
c ircu._ _ere_,c i_. res_ectu __ _ ! y __x_ __s ,,d,.e,e coJo,o, en _,,_o ,,_, sol, ob,e_,,,,a
tYngente __ 1__ circunferenc!a (l J. roca__'o'npura.

_c(E_En_e)__roc___a_d_ e_ la_ supern_c__t _ vd0gl h ) g____ __ __t me_nt_dotun _h_ 1__R _u__ e_l _ ____o0 sne)
0 '
?_ ObiemaS _f_ 0 _eSt__ n
l. _!n cochL_ e,iperime_nta un M.R._'. con una 3. la gr_in_ca adjunla muestr_' la trav_ ectoria )'
rapjde2 de 20 m//s. Un javen sentado en el ' _-e_ocjdad de un ave respecto del conduct_T.
coche lIe_'a una e.s Tera en sus manoS. _etern_ine la vetocjdad y ly Fypjdez del ave
De Lermine la _rcl_cidad dc la esfera para 1as iespectode t_erfa. cons_dere que _aveloc_dad
siguientes casos: de_ e,_om__f ,es pecto dc t;e,,e es 4;_
I. Cuando 1a es Fera se lanza
h_ri2_ntalmente hacia la derecha con __ !O_s
10mrs.
l_. c_lan_o se l_nza hori2ont_mente hac_a . _
__ _
- la i2quierda con 20 nvrs. '_
lll. Cuando se lanza __erticalmente hacia .
2o Y u
arrlbaC0n _S. __
_-_'- 37o. X
OS tfeS CaSOS reS_eCtO e COC e _ 0 0
__ ___';;__-_._ _ A) (-3;+4;-)_s _ 5_s
0ao B) (3;'+4;)_s ; 5_s
-- c) (-8;+6;')_s; lo_s
_- _u--2o _s D) (6;+8;)_s ; 1o_s
E) (m;'+6;')_s ; 2__s
g_,, ___g
4. En et instante mostTado el globo aerosttico
A) lO _S (t); O_ 20 _S (450) asiendeve_caJmenteconuna re__d_constante
D) 5 _s (t) i 20 _S (_) i l0 _S (_) de ,__6 mJ, m;ent,,, que un automo_,_f
C)30mJs (_); lO_s (_); 2O_s (l) encuen_a e xpen-
D) 30 _s (_); O; 2O_ _s_ _4so J d
e _l ObO. _LUe_O de CU_ntOS Se_Und_S Se
; 20 nUs (f) _ lO _s _Q50J
encontrarán separad_s la mínima distancia?
2. En una región _onde _Iueve y no hay vicnlo_
.e __, otasdeaua 6_s
descienden verticaImen'_.e con rapiJez __0____,,__o,__;_,_,__,,
constante. Cuando hay partic=jpación _el _ento __'_, - _!, ' _J'_;
lasgotascaencon lO_s formando37^con g_ 'o !_'
. ,. f. _ U- S '!/
aV__lC_l._ aqU__a_l e2dC _entO ___Ot_S ' _'-
descien_en forman_o f_O_ con Ia _rertice I? - --- __ 0__0 ^ !_! '
n)6_r_/s BJ_____s CJlO___ A)2s B)3s C)__s
_)G_s _) 8__s _)7s E)gs
316

__D_)6_(_32_)_n___9s0t_t____v0t __t ______ t (h______)_9E_a) 5__a_7_e_____ 5__ __ t AD)_)_4_Tmrmr_0?r_/5s__n_?t__p?__9 oet___c||_____g_)__r2?_?_mr?__nv__s___ _l c_))||l_ 3_5qrmrs_ gu Be
CA_tTULo Vl Movimiento relativo
_. En el gr_f_co adjunto, la ra_idez del joven diagonal de dicha platafor_a. Dete_ine la
fes_cto del tfen_ que _pe_men_a M.R.U., rap;dez constante de la patoma si la
3 _s. s_ _a ve_oc_dad de1 tren respecto de_ plat_orma lo hace con 3 _s. Considere que
_on es +_8o___ _q,e rap;dez tie,e e_ los_y0ssol_esincidenpe_endicul_menle
.oven ,especto dg_ a_.ón7. a la plataforma.
U_ __ , o__ -- ,_ ------_---_*-;; --------N
_,__ Ur_72_ ___b _ d_
_ __0 _0 _?__0_ _^ _00_ _ _08
=_,___,,, _c0c____ ,__,,_,c _, O 6m
A_J5lnUs B)53mJs C)47_s --- _ c_ __
__'M__0__ ^_'__
6. La t__' rre_ _e lo__jtud _J2 se _ncue_1tr5
a;ticu_c__-!a_c _os cenlrosdelascuent_ (l)y __n ___'v___ __ _' ''" '
(2J __e s__ J___eve_. con rapide2 cGns t_te u _
través _el riel en Iorma de circunferencia. _
etermine la rapidez con la q!_e se mueve la
cuen_a ( '_ J respecto de ( 2 ). 8 _u_, em _ea _o s e, ._, d_ A_ h,,_.a g s., s_.
una trayectoria rectilínea y al re_i2ar dicho
_0_ _ re_orn_o, Juan debe cruzar __na _latafo_a.
Determne ei -__3ior de su veln, cidad respecto
a la p_at_orma cuando p__ ___re ella_ si para
,,J,_5 _na persona en tierra, Juan mantiene su
_ veloci_ad cunst_nte de valor s m/s.
(Desprecie el _iempo de salto a la ptaEaFo_aJ
Q R _
_ _ _._ 16Om_.
__ __
AJ 2u B) _u C)4u _ ;_/ __,n,_ _?s r;
u) _- _-- _ ____ ----- _^---------
U E) - _ " _
7. Una pa1__ma viaja hori_on_al_en_e en una :
Ijnea rect__ pemendjcular a j_as _as del EFen_ A _
Cuan_o la p_oTna pasa _ob_e _a plytaforma A) 2 _s _) 3 _s c) _ _s
mostrad__ 1a s_mbra d_ la p_oma recorre la _) 4 _s _) 2 ,g _5

_ _rrnet_s_p__e_c___tt_o___ a E_/_e__rt______l__ll_ltl_s__l ca_d_ u_no_se____ atl____a__3_J __tm _A)5_(__________A___ t_)___l_______)__7_00___%t8unc__o_n_c___a)d6oo_o_r__(c)__o c0_n
l umbreras Editores F ís ic_
__ _Tna columna de attetaS reaJiZa ht.R.(f., C_da l2. L__ figura m_le._tra Jos autom_J-ile_s _ue
uno de lu.s _u_fes avan2a con _ m/s_ rc__;z,n _,1 R (J _,s y/_a,, forman un e_
s_. µararlos en 2 rn. Un joven qu_ __e cncuen(ra , _ d 2 .
. 60 .Sl lle_O e SSetlenelamenUfdlSt_nC1_
e l__ d___ea _'rUzar ___ C_lUrlln__, _efO i1n C OCaf
,__ _J ;n at_eta. s_ e_ _o,,en corfe con m.R._. entre ell05 Y de _0 m, deteFmlne 1_ fa_l_ei
_ r_2ór_ de 3 mIJs, detefmjn_ la distanci_ d d_l aUtOmOVll A. COnSIdefe _Ue la r__i_CJ, Je
ne_'e___ri__- que de_e rec'orrer. _ es l0 _s.
_ 2m _ 2m ! 2m! '
____ _ _-_ __ -_-,_! '
_ ' _ ' _ ' __ ' _ _ _ - ' -? _4om_ '
,=--___i __-_'_.____---'_ _'_!
____- ' _ 0_.0__,_U____
_ ____'0^_' __
u ,_
__ _'
'_:!_,',d
P
AJ2,,_n4's B)l_5mJ_ C)3_5_s
5 rTUS l_S
_í_is E) 6,O_S
' . _. DJ3O_s E)40nUs
lO. Un _ortaa_'iones avanza haci__ el sur con una
r_pidpz constante d__ SO m/v_ re._pecto de l3_ Se mU_Slra Una C_n_a __n5_O_ad Ofa qU__ S_
tierr__ _ en J_termin__d_ instante sale_n de su _asladaConu_rapidez__v. ademáse_nuestra
CUble_a dOS aYlOneS de feCOnOClmIentO_ UnO _ dj.s_si_jvo autom__co (_) q_1e deja n es_ef_s
hacia el no_e y et otro hacia el sur, ambo_ _, u__d,_ de _em_ _,
con _lna rapide2 constante de 2íO mi's con
, . . . UI_a _tOCC U a. qUe fe__S_ l_ eSreras QUe _S0
,.,pecto a_ poftav__ones y re€resan _ é_, _en de__ja dc ét- Si le_ rapide2 del _it_po__iti__-0
__Jé reI__ cin se encuentran los tiempos _utomtiCO _' del conta_cr es const_nte.
e_n__Jeados por los aviones? además es menor que u_ ,c_lántas es(eras en
ta unidad de tiernpo registrar e1 contador?
n) 1 B) _,5 __)O,8
___ 2,O . E) 3,l u u
,_ _ ___ C
I l. Sobre una pista reclilín_a un ómni_ui se -- 0 = _
_es_la2_ con rapidez __onstante de _4 _m/m y _._-. __
un m_____acho que esta a cierta distancia de ''' . '''''
l_ pist__ se diri._e en todo ir_stante hacia ef
mc_i_us_ con un__ raDide2 constante. En un A)' ,, __+U_ _ . B) n _!'- !J_ )
n_r_mentu dado el muchacho nota 4ue el U-Ur J U-U4 J
__n_I_ibl1s _asa frente a él en forma
perpcnu icu la _- con un_ ra)_ idez de 1 2 n_s_. c) ,_ u - (uA + ___) _ '
_Qu rc__idez tiene el mL_chacho_ u ,,
_) 6 m,'s B) _ mí_s C) 9 rn/_ _! _ U4 L'
n _ JJ
D) lOnUs E) J2nIs _ . U'ic J U_+ltc_ ,,_
318

_A_pd_J6_m2__ g_ 2____ ___ 0__t __________Hco2tgg _ bJ)_/__tl0_ t__t_ts____)_____ ____5___l ll___ ____p0t________________t_t_bt___o_v__e_________________n_____ls_uettsam_aa
CAPíTlllO Vl Movn'_iento re_ativo
1_. ßos __c__tasA yB se encuen__ en repo5o I7. las esferas expcrime__ta_i _1.Y.C.L_ luego de
sobre el p_ano_ XY en Jas posiciones cuántos segund_s __-e encuc-___tran separados
,M(.- l8 ; -247m y N(32 ; -24)m re.s_cEivamente, en 50 m por pnmera vez.
Si inicjan su mo_miento c0n una aceleración _
const2nte de A) 1 _ , _!J!!,
_,_ (2,4;' +3,2;)_s' B) 2 s - - -_- -- - -'''"_'_''_'_
ûB_ (_o,6;' -o_g')_s2 C) l ,5 s I t2 _ _g
detefmine la mínirna separ_ción er,tfe las _) __5 S _.
artjcu_as. E) 3 S _Om ;_
A)l2m B)30m C_,l6m ;
D)2__,.n E) 24m _ 3O_s
- - -" -;_o-m- - - " - -- - -__'i'
_
l5. En el instante moslrado el sistema es
abandonad__ de tal manera que la esfera _g, _!_ ca_a asciende ve,tica_mente con una -
desci?ride._elenninelamínimadistanciade rap._dez const_nte _,_ slN e_, __
se__- ra___iJn entre el bloqu_ y !_a es(era. . es(era _-_ue_o de cua_ntos _egundos pasa,a_
_0 ..,p,.,,.._, p_f la parte infenor _e la caja7.
'a _ ' _ 2
_.,...,. - _ u
. - x t,.___ ,
' _=;----.-----, .--+ - AJO,ls ' _ _ __'_'
---- ---- ____0,_0___i0'0'_0____0o_,_,,0__._'.__'"____'_i_ _lttl
/-. - _ - - B at2 S .____'D_____0,__,_,_,_.__;_'''''m'_!_n__,___,_a,'
C)O,3s o_gm ,':'__:_:'''_-'___:
_sec_ B) Xcos_ c)Hsen(950-0) D)o4s ___;.;;'' _ --_-=-.--_---
_ _ M ' B____?__'_i' _s'____ '_'_'_ -_-__' '
Sen E o 6 s _ _ _. _ _ _ _ __,o___.__0__,___,0,_,____?__i_i_'_i._.,a___'_,_._.__,_''_,,____0___0_____?e_,'._o_a_._,
__1 _ t t ___
_J Htan20 _) (l+sen9) l9. En el instanteque se r0mpe elhilo, se lanza
vertica1mente hacia ab3jo otra esfera. Si
l6. D0s e__fer_ son ____as simutt_e_ente t_ 3mbas _ en.mentan _ R u v con _a m.,
como muestra el grán1co adjunto. Si el choque
aCe-e CaClO_ Yert_C_ _ aCla a _lO, _ Ue_O de
entre amhos se da luego de S s del l_into
CUant05 SegU_d_S Se Cn__-__ laS esferas?
etern_ine l_- dist_nc_1 d de sep_ación ini____. ,
(DeS_r_Cle la f__SiStenCla del _rC_! _J .;_i;_ _
_ __ 0
_ 2O_S I '^,^_'__'_i' ,_'i''_
,,._,.;, _ ____ S_:___'_a'_.,_
YJ_Om ___'j__i . _m ' _''_^__
_ i _ _mv,.
m .,; ! __-' _i
D}l20m d !, --_---- _i0,....-_._-----_-__i___'!_,0,_..._,g.,
E)!,j_m t i ___' ____^_ .
!!_ 40mrS
4 ____,, A} 0,_ s Y_ 0,4 s C__ 0_6 s
llt,1' D)o,7 s E) o_g s
319

_____rg)l_))Jsc__l_cnln0p_ebt__llJcoaottt_datsefee_g_l3_rom_n__ca_llt_tcntr_ ___ _ _p___ 0 _ _ _ )_____o_ _) ___)
Lu mb re ras Ed itores Fj__ ic_
20_ _!fl!!o_'_.___!!e_'____nt_diitl_c___. l___n)c_n____,'tu____u- )t__µ__r.t__ rJ__j _7j__cJ J__I c__?Cr_scJr. _,_=ur) c_u__
ll ilt_'1t_. Incti_(!__ ____ _l-()_Jusic_i__ _____ __pi(J__- nljll!!I__;__t fcstJ__c(o _1_t __.__en___)r c1_iJ_
1_/_'l_jlJ_'r__ (_'J ?_ í_Is_s (__/. (___l__s!__l__re u_; leni__ft{'___c__',_(_(__ tc}(__7__ptte__t)cJc1ej;___c__f____(7r:
_T._._'.'. _,___r_ r_l cu>mi_n.;' _4= IJ r_/_J (_____re__i_ I_- r___I_tcr_c,ia _e_ air__) (__= i_m, _'J
_ ___5_sJ A 2n_/_. n u __r_,_s __ ?, 2.,)_,___
!t _ - - - - ''' -"___0_ovon,,_j,0 - l)) _ IT_ii _) J {! _J)/ __
f _,8m ____ ,____.,o
__= _( p _ _ u 23. l''n Ju____r _te __'_t_u! ._ lc_n_ _2__ una p_lu!a c_Jn
_ i__ _0,,,, _'_oo_,, _'_. 'a:_ _J u1___ _'c_r___i___t L- __'i___ ;_)rn'_. iuan__ 1a
! _ _ ! , _elc!__ afcan__c su punt_ rns __lto _e'n q_'é
; lO,6m _ O,_n_ _ re__-ci_n_'__c_n__ue1_tran_os_adiosdccut'_'_- E___-c_
_ _ _x _->'
' ' ' de l_ lr_- )'_clor__ c1_ l_ _}clot_, res_eclo d{_ lu__
1. _,l t__,_ri)to c_e en _l punto _ de _a tU€_d0reS A !' R7- _ (C(}n_iid_Ie _Ue en e_C
instante el ju._adur 8 tiene í _s y desprecie
ll. Et l_dfi_l_ cae so_r__ e_ unto M de __ 1_ reSiSEenCia del aife)_
_la Eafor_n_a , u_
Ill. _llc_rliitlo___fueradela_latarorma. A , ,/_'- B
l_; Kes___c __ a _ 7u_-en e t tad _'il to desc_i_e una _'_ _-_'" _ ' _-"__?
trcnycctori_ pa____!ica. / / _; _ _o _
a' '' -_-
n) F1__F__ 8) _vfF __J __NF
_J) _vFv c.;) _v__f__ A) l0/I7 B) I6?J' I C) 3_i_J
_)_5_.3_ __) l.5/lY
2 l. _n __to_o aer__}st_tiro e_)_e_ rimer_t__ lan __1._ ._J .,
, _ _ c_ m _e c,__tu_.c_, desde 2Q. De, __n_ e_-an altu__ .__e_ s_ __clta _ _n_ __irc__ ,4 _. '
_ t_ d _ s!mult_nean_cnt__ _ie l__nze _tre ___fe_r_ D,
e _ _ U S_ Sllt^ ta Un O J__U __an U _ tlerfa
. DeteF___-,e l, r,___d_zcle_e_obo im_actando ?on _ _ue__o de O_î s. dcl
_cto_,uandoe_,te_,m_ac(aene_ ler_zemientu. l_etcrmine Ia _-__ p!!dez _e
-_s_ lan__an_iento de B __' ta meclida de1 nn€ulu ß.
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_ n_S ,_ , _ i_ __:
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_J2. t!n __lSlNen S_r _e i nl dc i_Itur_ _sub_ __cftI__at-
n_RntC ___CIcf_ndU COn O,_ m/iV. Un l_i__ _) lO m/s; 37{' B) __ _T_s ; jj:__
__ I_ tru _c_l __'c_n_'or i__n2a un_ rnoneda (__j 1 iJ rT)/.s; j_'J
V_fEi___tn_cnte ___L_ia _rl-ibn desdc_ _._6 n) lJ) l_^ m/__ ; 5___ _) '_O m,_s ; :3J_
32O

_D_))_2_ _4o______________________________________________________________ ___B_t_______)________J______t_____t____t___________t______________________ cJ __ ____0_____ _____ ____ ____ _D _____________________0__o____t_____0_________ _________y_______________/_________ _____________>_______ g___ )
CAPíTUlO Vl Movimiento relativo
/culas, A y _, son lanzad_ _al como ___..,.,,....,_.,0!..0, UA
se muestia. Si después de t seeundos se A) 5 m - ::
encuen__ sep_adas una djst__ja de l 2o m. Y) 7 m ;!
c) 12m ! 8
a CU e de5pUeS e qUe tlem_O a O e __
1a,z,m_,ento cho,,,a_n (De,p,e,,Ne _4 D) ISm l5m _
EJ 20m !_
feSlStenCla del alre
; Ua
- u 2U - _a
-=-- _ '__v,=__ ''__ _i'_ _ ' '_ 'o'____' _-- - - -/ _ __i_,'__'0_'_'_'- i'' '''_:. - - - -
'''^- V ' ''''' _''' '^'' .._...... ___' _'::;-'...._...:^V''' -'^'''- '/''' ^'''' /_/_i_
_l50m_ 28. Se lanzan l_ esferas como se mues_a en la
_ráF_ca. Determine 1a mínima distan. cia de
A) 2r B) 3r c) _ separaci6n entre dichas esfe_as.
D)_ E)6F
-.,..,,_0,.0_..,00, U
26. Dos esfei_s son lanzadas simultáeamente __';_.
t_ coma se muestra. Dete_ine la distancia '''-:-
vertical que los separa luego de lO s del 2o_-v?_
l_iento. De__precie la _esistencia del aire. -' .._ u
(u= 2Smrs) '' _ _ii____'_.,_ _D_;.;_.:,_.,_.:_0_
3-O-0-,,_,,,
U
. u _ A)lOm BJ20m C)30m
7600'0_'_;_,._;._:.,_ ___,,;,.;=,_.,__o D)40m E) 50m
_._;v_,,'.; ..;;; ' ' 2_. Se muestra el lan2amiento simultan/ eo de los
..;:.:_;',_'' '_,_'';.,,,_ proyectiles con la misma rapide2
'_'"''_ ''''__' (u___s). Determine el intervalo de
. A _ 0 tiempo que transcurre hasta que Ios dos
m Om 80m
proyec_les presentan _u menor separaci6n.
m E) 250m
esprecie la resistencia del jre. _ = l O _s2
27. Dos pe___uenas esferas son lanzadas _
simult,_ ne,,nenie tal como ,e muestra en la U
grán,ca ad;_unta. S_ i uA = l 6 _s y ug = 39 _s, _..,,.,,,.,, ,_,. j2o 68O ,,,_,0.._..,...
determine la disEancia que separa dicha.s B '_ !''-_____M____'' -__'_'-___ ''__'''_-'' '-'_, __':__'___ -_'___' _ _____-_, __'v'____-:_'-_ _'__ _-,___;_n.'___.__._._t__.,._,______ ''^0_-'__::__
_ 7_ 2m_
eSfefaS l_e_O de i S _e1 !Jan2amlento.
Desprecie _a resistencia del aire..
_ _. 2
_-t _ -- D)2s E)ls
321

t ____vt_______rr__t_ttc?___>_t_?_w______vMr___v___________8_____2J___E________t____+__t_tt___Mv_r_x________________t__n_______t t_____________M____t____________________________t_____r_t__r__t______t________t______________h____t4_______________+________n___t__________vt____Jt_t_fr_n___________n_v__ _ ____t__t_
'_ __ _ _ - ,?_"
t _ f ,,_
-d _'-- D __ _ _ - 1_ -^ B
E __ G 2_ E
- E __' c - 21-' C
_ 1_ B _2 C
_ 5 _ _, B 2,_ C
' _ E 1,, E _m ' C
:', 7 a ;_ C 2J_ D ^
C __/ A 2_ 8
8 , _g 0 _-/ E __
?, 2g A 2_ 0

_cascJ 2 +_uuuo_1_t_r__ __tl___ _tt ___et____Jc__cL__l___do(t_l t __ t _ _ __t4o_1ltf___(___t_____ _______t_ ___ J_ r_ __8_t_t__vl__ll __ ___ _____J__t>(s) t .__
_umbreras e_ itores F ii i ___
Seg. un la ut___en'_ci_n entcncJr pudem_s tc r_rr Caso 3
' Ios ._jx_li_nt___. c__s__s: Si tJ=_'' _ _r_t(_rlc'_i cl-_ tc___'''__ lJ: _'_t() _ i__r_t _1ci_
__tt_ _cl e_i___.'ic.t__i_ rJ_J _ _1!__}_tcl. ___ c 1(,_' i_ ._.l = O. _'!_
ca.so l _J_- i _s. _'_ri_{ t__r:'_tl_'il _1l'i _1 ._ l '. ( ( _- _ f__ /.
Siel árl._ulo () _'_. __g L_d_. sc c>t_tic_n_ ci_+l___nfi'; , __J (___/_
e_t_ sj_nj(j__d c_ue l_ __ri____i_n de l_ _'etr_L?icl__ri(
_ ___,) t__ _n_ién __.i p___iti_'3 (+ )+ en rorn_a prart iJ_i_ + U_7
_ __J (_/s) ' ! ;
;_- - -- - _ - -_-- _ - ___>! (__
i _ce!,_,_ ;! -o-__! --'-^'-'_r
_ --- ----tl----_ _ u=t_n(!__1_
t>(S ) l,_ __elu__id;__ c'__ __,+__)_t;Jn___
_ Ejemplo 7
_ u_+lMU
_ __-_ _f_F_C_1 fItrJ._tf__{1L_ ____{_l___ I_l _'_'tC7_'t__fc_Cl (1t' U;)
_o__ol_ u yl_ ri tienele- rT_i_'mc_dITe___irJn cu_,r u _J{, _._. __,_ __ _,_ _.,_ __,___ ,-,_t_ ,___.t___x__,
cl n__vimi_nt(_I _S _C_l_f_d__ l_ _'___J_I__l_1 s__ _,r) t,_ -_ntt_r_tt_ f ___ () e_,, ,,____r J_J _t, _.,__.,_t__)tf{_ _,,,
aUrl )R_tt_ _lt _'al_)r_ ;, / __ +_u ,__. cl,,tc.,mjnt, s(_ ,__j__,(jn u_ _. ., ( __) _ __.
,__(n_s_')
Sj e_I __ !__Julu es _tJEu__c7, cnt_-_n_ne__ u=tc__ (J= (-t lc_T) _): + tCI;_ _ - - - - - -, .
_ur lu tan_c_ t,1____ ri_ciónd__ la_.clo_'id_cl (__v_J) cJel l ; ;
_utu___-iI __' _e_._!;_tivn. en f_r2T__ pr__ctic'a: I ; _
_û(mJs) , ; ;
+'l. : :
Resolución
0 r (s) F,n lc_ grcn F___- _'__ ____ __r_'_' __u_-> ___ f =- _ _ l _ 1 _. lL_
Ct t_ ; r__ _icle_ _el c!_1__r__(_ _u rT___nt_ __ _' _-_' !____(' __ I_____L{ l._
.,,ele,a : der_cha í_ur e t _t_n_ + _e _' )t _'s,tr_ ;_lqr_ '_ n(-Ll f_ul'
-u! - - _ - - - - - - _ - -' - - ' - " - _ e,, e,(e int,,_.,.,_,(, ;, _ ;J _:,,_,),,,, ;__,,_; (f,,t,c.,,n,,.
_e_ l = 4 __ _ t = _ _' ty r__>____ cl__ _____,r____ l____
t cJ -- t_t)---_t_n_ _'_n_tar_t__. _e._''µiaziir_c___-e_ _ !i_ d_r___hi_, _stí_
Enestecaso_e __ _-_fe u s___de_irc___i_I)e_i sie__inca_uc' LJ--_-___)a1in___)t_',_l't-- _ie_=l2t,
__nxrL_ri_s.c)n)oJin_icrltnc__dr_s___cI__r___cJ___ t_ r__ic_t__ c1__l _l_crµl> rli_î__)inu__ __ _c' it_.1l1_
/_ U _ t= l,__e_ro _____ir ____ />r.. _'_r__uiiJ _c_ 1__u_ i_r_ _u_ i__ u_'r__c nL_ íp_rc J s.f._Jnc7 t __' c_ i _-_'__
_ire_ción ___t n___'imiento ?. ' e_> _ceIe_-c_ctn. __ste intL_rv_!_u _ ' _ u ti_r_cn c_!r__c'__i__J_____ o___{'_ti_i
338

_sqdo_u___l_e__l_a____ p___o2dds_tz__________________n_2____2__________|____ v(__)_____ __ ______tt_ _ ____ ____lll___ t____ tn _dd______(+A4AJ_+__22+_____q_t_Am_)fetn_2+_____c4_+__tn8(____________+4__At__w4__l_3oo_l)o__+___((+4222)8oft_(_______________l_)__________________o_ )_____y____+__+__2_r40__o+2m2mqmt(t)
CA__u Lo vl_ Análisis de gr_ficas del movimiento mecánico
Además_ __e puede obtener de la gráfica los O_ método
si,3uiente_ vafores: en r _ O_ u0=+2_s; Si consideramos queel_reaes n__c_enle
enl=4_ u=+lO_s yen t= l2, u,=.O,locu_ iguala1desplazamientodelcue_oxap_irdela
lo representamos sobre la trayectoria en la gráF_ca u-t se tiene
sieuientengura:
_4s __gs ___2s _ ( mrs)
;, 4s _, 4s ;, 4s _, tlO -------.
_ 2_s !l0nUt !IO_s _u,=O .. .:'_'___.:_'_q, _ __._';'__;,_;..'
_-_,_ _ _ _,! ' -- .._' ' __ _ --'=-____-'_.--__-''';_:':-'__ A2 _!___-'__'___-,_-:--'s-
---__'''''"-''' . _-.-.-0_'.'_ ___''--'.,. _ _ n x ._x___;'_;__. -_--_'_-:___';_''a_ _'::-___^,-'_;___:,_ '__:'e',:_'
'_xo= _om_, ,_ ,2 , +2 _,-_,.v^:,.,.:.;;;__,;__._,._,__,.,.,_4,;'?_._._:_._-;n::-:-:_:__;,;;_'';_.:-_'-.;-_''-_--_.__'__.,'___,.;:_, ;';,__.;:;;-_=.-__.___..;_,.__,___.'.,.;._;..,;.
' _F--7_ ' t -
_ _ t=0at_4s
e_Ún datO_ e_ t = O, X = + l O m _ eStO S__nl Ca ,
_ción inicialdel cuemo esde loma la _a _ _2+IO (4)_
l__cio
derecha rcs_ecto al oneen de coordenadas. Pa_ra
detefmin_las_jst_ciasqueavanzaelcuemo se ' t=45 a t=8S
puedeuEilizar dvu.t, en etM.R.U.,de t=4 s a A _ __ e,
l = 8 s mien_as que en los otros interv_os se u_liza
u+u _ t=8sat=l2s
_ _O F .l. ya que se tiene m.R.U.V.
_ea _(lO)(4)
_ t=O a t_ 4 s.Seobtiene
2+1o () Luego eldespl_amiento (?d) enel inteNalode
=_ 4=24m
l=O a (_l2s es
_ (=4s a t=8s_Seobtiene d_ _ (IO)(4)_40m _d
_ t= 8 s a t= l2 s. Seu_tiene _
lO+O
=_ 4=20m _
Enesle caso, comosepide lapos;ci6n (_x,) del Este resultadu implic.a que el cuerpo en el
cuemo en F _ l 2 s_ de _a ngura se obtiene lo inte_alo sea_ado se ha despl_ado 84 m hacia
siguienle: la derecha de su posici6n iniciaI.
_ Fi n_me n _e plan te3mos
x, = IO+d+dl +d2= IO+24+40+20=_m
_ d=__=_,-xo
.'. XF=+94m ''
Esto signinca que en t = I_ s_ el cuerpo se t t8_=x,_-(+lO)
encuentra a 94 m a la derecha del ongen. _
__ X}'_+94m

____t__t______________________t___________________________t_t______________________________t_l| _ _flt_t________________________________r_____4______o______ _(_m__tRuv) t g____________________g_________________ )000 __t_______tl,_o Jt(s)
lumbreras Ed itores f ís i ca
El ejemplo anterior lo hemos resueIto _J'emplo 8
analítica y gráncamen te. _ora, en 1os problemas un au tomó_'l se desp_a_ sobre una pJs_a hon'zonta_
con (recuencia suelen pedir que se construya la y su ve_oc;ded van_a segu_n _a g,a_nc, most,e-
gr_ca _-( teniendo Iagrá_ca u-t. s,_ enr__ o su pos,_c__o_n es ?x____om determ__
Podemos obtener la gráfica n- t en el _, d-_stanc1_a y reco,n_do en e_ _-nfe_,lo de ( __
M.R.U.V., lo cual se logra determinando la (__ _os adema_sdeterm__nesu pos,_c__o_nen(__
aceleración del cuerpo en cada intervalo de _
_ U (mr5
tiempo, utilizando _ _ tan a.
_ De t= O a t=4s
? 8 2_ 2
0_=tana_=+-=+ S
4 ' ' ' ' IO l(S
8 !
' De tN- 4S a t= 8 S _
a_ = t_ a2 -- O (M _R _U) _g - - - - - - - - - - - -
' Det=8sa(=l2s
Resolución
a_ = t_a3 = -tan0 = '- En la gráF_ca u_ l_ tenemos
_3_-2.,s_s2 (m.R.u.v) , '(_s)
O
Luego se tendrá
u (rrUs) , ,__':_, ''
O ''' ''
+lO --------x ' ' ' ''''-:.__ g 2
';:,;:lJ _ ,__''. ... 0
:,'_;___:_:__.'__ g !,_-,:_,;__., 8 . :':
. ;...:...,,;.' .__:_:'''!, lo __;:: ..v__._:'.: . ____'' _! 8
+2 >__i'''_'-_'_;_;_::_;''__:__._ _'_......;"_'''";',.::._:':,.;... -8 ----------------
_ ;_ ''-' _'''''''' _'___a3 t(s)
4 8 __2
i ; ; U_
an =-=_- _ Uo =32m/S
;! _! _. 8_
_ Ó- (_s2); _ _ Se entiende que la grá___ca corresponde a un
; ; ; M.R.U.V. _ra el instanLe inicial Ia velocidad es
_ ; ; +32 _s y durante los primeros ocno segundos el
+2 0 ; ; automo_v__l se despIaza hec-_
; !, !, r (s) d
eSaCelefandO; en el lnStante t = 8 s s_ velOClda
_ 4 8: 12. es nu_a y a p,__-r dg d;cho __ns_an_ç Fe__n_,c1_
!, _, monmiento hacia la izquierda acelerando ya que
_ ,! para t > 8 s 1a veJocida_ toma vaIores negativos y
sumóduloaumenta.
340

c___omddd__ot_2s_e____pu2e__2__eJ__nnmf__taf_o___0, e0n_o_e_____l 2 _______ ____ (__) __mv_2___2_2_________(______________y___8____a_____) r__9__y___0___________t_______t__dt____ _ derandoneaes__
CAPíTULO Vl l Análisis de gráficas del movimiento mecánico
_tos comentarios 1o podemos ver renejado sobre Otro método
_a trayectona ta1 como se muestra a continuación. Consideranda la _r__ n_ca u - t, c_lculamos las
t--8 s áreas para determinar eI recorrido (e) y la
=_5 _
r_0 ' ! dlStanCIa (_ de t = O a t = l 0 S.
__u-32_s _ ___U=O _
__-g_.0'.0_'''__'____g____ O _____----------..- ___' '___,_,_ X U ITUS
A _'-' 'x_O ''' '' '' iB +32
;__=-lOm ; ;
!_dt_ ' _.:'_''''__..
; ; ; 32 ';_._-'_L,__'';:'___-;..,
; !, t-_Sf_2s; .,_.,.....,..,;.Y';_-:..:....:.
; uigsa ;u_O ..:';-''_;::,,_l._''''=:;;...._.
; __,.,,.,_,.,g00_,________.,o._,,,.00.,o.._._0,, g :,,.;::=:.;'_;_:.;;'.,,.;_._;'.___..;.:_:'_'_:_'__._..:;;..;;._::.n:,:,_;;..;_',_..,.....g_ 2 lo t(s)
i^ ' Ot C; ''' ' __ _'__'>_'____:____^.:__ ':_.____ym__'_^_''_____'___
; ;x_d ! _.____!,_..___,_,_.__?_
_ _f, 2 _''',___;_;___,_______ æ'
; _ ! acet_''''_'_,5__P_'_____,:>_,_8
! d ! ___/_____o-_'_'0_-_
_ __
_nterva1ode r_ oa -8 -----------_-------
t = l O s, eI r__orrido del au tomóvi l viene dado por g x 32
A_--+_=+l28m
e=d_+
Consjderando 2X8
= -_= -8m
Ua+U
= _2 F t F_l recorrjdo e viene dado por
p_aet tfamo deA hac_ag e=fA_ l+ fA2 _=l36m
32 + 0 )g _ 2g m Y la distancia d se calcula con
l- _' _ -
dA_ tA2 = I28 + (-8) = 120 m
Para el tramo de B hacia C por e__o ta d_stanc;a cub;erta por e_ automó___
O+8 12o
= _ 28m '
2
_ (_)_ e = _36 m _RÁF___ _osic_ó0 N - i_E__o (?x - r)
Como fa distancia es el módulo del iara podeF obten,r la _ra_f,_ca pos__c,_o_
desplazamie_to, dc la F_gura se deduce t,-em po (_x_ () c,nt__nuemos cons_,
J = d1 - _2 = i 20 m __ tomv3 I c__ a- +_ _s2 u _ ,_ __ _s y ahofe
- I_^
Fînalmente determinamos la posición de7 la_sición_n_c_e1_xo-_.+_m-,e_m___im,;entosob,
au to,mó'Ji l en r _ l O s. - _a (,avector_a sen_
C_nsi_eremus
___ 'Y ro--O (,_r
d=x,--xo _, _ t ;
t t 120 _ x, _ (_10) Uo_2_S__ U!
___0o.,,_,,,_o,,0.:,,,_, _ _ QmJs2 _=__a,_.__._
_ x_.=+llOm _! .--'^_'_0_'_''''_' ___ __ _0_^''__^_'__'_^'^_
_s_e ,esu_tada ;mpl;ca que ;v,l au;om_v;a en e1 ; _x _'__ __ _' ! ; ' '
iMt3nte t = l O s está a I l 0 m a la derecha del a_gen. _! _ X !
341

_g _0_(_Es__ _0__ (_t______t_ _)_g(ll )2 _|_l___._l|__ ______ _00___la _ t_u______ ___ lJJ IlmIJ )t t_lllt__| d__ttt___xt t(s)
Lumbreras Editores . físjca
El desplazamiento de un móvil durante un Lagrnca x -t nosser_ráparalOsiguiente:
M_R_U_V_ eStá dennido por l. Paraprecis_cómovaa laposiciónconfofiT)e
_d __u (+ I_(2 transcurre el tiempo, es decir precisar la
O . ., ..
treCClon _ nlOnmlCntO d__l automó_t.
?_ _ I?_ _l. K!ospermjtecalcu1_itadjstancja(d)cu_jerta
X-Xo =Uot+-_l
por eI autamvit durante un inter_'alo de
RntOnCeS
t'_empo (t), por e)emplo, en fa ngura
_?? I?2
X_Xo+Uot+-at _x?(
X -_----_---A
l _n del movimiento de un M.R.U._ ;
Reemplazando vatores en la ecuación o ley ;
deI m.R._!.V abtendremos d ;
_ 5(2i l(4)_t _
X++t+-+t ' _
2 _ ;
s;mp_;r,c_,do ' . _xo-- +5_ :
_ , v- : t(s)
_ x=í+2t+2t m _vr
ta ecuaci_n d_ una cuNa llamada parbolaJ
Dándo_e __a_ores a ( obtendremos _a tab1_ El auton)óvil avanZa _ = (x- 5) m hacia fa
siguiente; derecha durante los primeros t seeundos.
_. Nos permite caIcular Ia velocidad instantánea
en A. Para ello tra2amos en A una recta
tang_ ente a ta parábola, así
COn 10S ValOfeS de ta tabla COnStrUlmOS la x(mJ .J
rár_ca x vs. t, la cual aproxjmadamente es x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _A _
rec_ tangente
Xm !_ a_p__la
x ----------,. ,, ;
l7------ : ,_ _,
_. ; -_ xo--+í!___/__a__________.
'__ 9--, ; ; ''--v-''/'_ ' __ ;
___K_-+5_ __l._ ;, _!W
ve,.cede _-v - ; ; _ t ( s) _^
, _ 2 ;
Recuerde que si ta gráfica x-t es una r___..___
af_bota_ entonc_s se t_F_ta dc_ un m.R.U.V, i i(J _
_a curva obtenid__ a __rtir de Ia ccuación __
cuadrátca x_(í+2r+2l')m es una parábola Esto e,_presa que fa pendiente de la recta
abieit_ hacia arriba, su vértiCe (_ se abfienr' tanger'_te __ J'__ __r__o1e nos dett_Fmina In
ßTOIOneando 1a Curva hacia el cuaclrante adjunto+ velocj_ad ins(antán_a.
342

c1G___ / _l__ v_(_ () ) o ________v__r________________t4__s________________________________t__D____>______t__l_np__o_______m____ta0_t__vr_____>ma_t_l_n___(___m2y_po_)_rh(__ya_vp0___c1_rd__)0r_a__________t_t____ltya_@______d__t__e____reoo__c____oh________e________e_tnd_0_____0g__e_to_____sy0_e__c(__D_et_)______y____æ_____0__x_4___e___________J4___00__________ _
CAPíTUlO Vl I Análisis de gráficas det movimiento mecánico
_r lo tanto, se,_ún sea et va_ 7or del ángulo a Caso 3 _
Xm
a _'etocld2d 1nstantánea puede ser (+J O (-J
V
_', en conSeCU_n_ l_, __demOS _reClSaf haCla - - - - _ - _ - - - - _ - _ente
IEnnues_,_caso _ ;
OndC __e dtn_e e a(tt_m Ct_'l
' /
_ es _ng__lo agudo. ,/ !
/ !,
.-.UA-__+t__ ,I J, ((s)
Entonces e7 aulomóvi1 .sc _1iri_e hacia Ia O tl
derecha.
Para eI instante t = t_ .se tiene el vértice de Ia
Ahore en el instante corresp_ndjente al vértjce pc_Fáh_l_, entOnCeS e_ t = ll la U = O.
de 1a paIáhoa_, la vetucidad es nuta (?u =_).
r,qu,n,os _, tot,_ _;d,_ _e _, pa,;bo_, p,,, un, r _.__ , _'_'''_-=__s:__v_' __'__'i'''_'___'_:____n~_^X__'__'''/_'_'_''_-'__v_'.:__:_:''_''';_____.'s.____':_'__''______-_n__''a___'_____'_'v''_'n_.__'_m'_____'_':_0__--__,_'_^'___<___;!_^;_______:_':''______'____!,__m__':_'___'_''.-";'__'___M__',_-_;__:_ _____'__ _'-s__5._.__i:m___'_'__-'___-.g:''_'.____^.__,________^0o_'^
' _ i ___ __?il '_i__'_ _v ,.; 0_..,.,, ._. ___'_6' ,___x_)__;_..g,_m_,o, __0, __e__;;_;__;_,____S__,, _i4'_::_ ___.':4_:vD__,0__. g'0,_4__'-_i_____;'_. __,_.R,;_, _ __ ;___0 _y _,;;__';___' v_=,_.____r__,
sefje de casus. _-. i____0a' ,_"_'_'__--___.__
_ __ .,0,,,_,= ' En Rl __értlCe de la paráboIa la vetocidad ,_,
; _. siem re ser nula además nos jndjca un __
Caso l -__ __
' __4 pOSlble _amb_0 de d_reCClón qUe expenmenta _'
? __;_' l, veloc;ded del mó,_l E, le siguie,te ,,_r,c,. _0o
' Xm :__ ' - O__
_ _n.._, ? ,, , __
_ _'m_ _ _ t _
_ _,i_;. , _.
_ _., !, _,,,0,
_---_------------_nte __ 0 ! :_,__
v', XO- ; :__ ,_.
___^g ;! ; __,_,__
_' ' !, ;, _,_
((s) ___:- t_8_te; _ _ a tS ^__',' .~
_ _'' ;_''___'
o __-';- 'O t1 t2 _g
__.y.,_ _e_te g
_,_1;,st,nte;n;c;_(, _oJ__;eneel,e_,_,ce :_ E _, , t , o _ t o g _,
' _- ___ ' _e tnSane _= _ Uo_ an i COmO a___
_ ? ._ , __ -_
ela_arabOla_entOnCRSent()^-Ola_o= . :?,_,' eS an_U_ c1_UO l/ç> . COmO a _
;,_"_. velocidad inicial e_ positiva entonces el æn
caso 2 _ ___.:, mó__l se de._pla2a hecia _e derec_a. _'__'_'__
_ _ _ En el instantçf_t u_ enß_te O a
_m _'_,;_, _ l' - -
_;:v'!'_ -'. u=O __'__8_'
_ j___,:. EntOrlCeS en el inLervalO de t = O a t = t) el _ A_
_ v___ _ ,_ / - P'
:,5__. '
'___ ler_ndo :__
m._ ' t _'
-_ 5_-_' _ En el insEante t = t2, _' = tan a: pero a es &?_
- - - - - ._v- - - _ - - t_CntC '=_ á1__ulo obtuso. enlonces _! < O. Como la __g_
!! , (,) _'elocidad es. ne__tiva el mvil se desplaza __;'_,
0 _! h_cie f_ izquiefde po, _o tanto en el _g_
O r, ' ' _
1l)te_-afo ( (; e ( _ (_ el m__il ayen2a __
? , - . _ / . haCt_ lc_ fZ_llfPfr_a, pRro SU r__ide2 Se __
! _1T_ f'_ ;____? ï_Tl _ _ 1 Se l_!l_ __ _-eT(IC_ _ e _ __, ' _; -
- -_ _ ' incrementa_ enton_es _1 m_vi1 ac__Iere _
;.i__;> c.i,t_i)tci. __;_ tt_!_ !_'___ _T_ ( = (' t t__ _ _ O. _._ _g/~,
343

_a_ RE_sesc_po_EEen0c_s__ttoa_ nateleyveelnfoctodo_ot ___ ___,_t __ ( _ h)_ ___ t__ _ _l /n_(_))_ ___b _ __ _
lumb reras Editores f js i ca
A manera de prctica podemos proponer la _
_ Xm
Sl_Uien(e _ránCa posicin - tiempo x - t.
r(s)
x(m) O 2
1
', _ ____bola
ve_cede _
lapar_la '__
-lO
,_ _a_ t(S)
___0 Resolución
O r_ r, s (_
len O a_ra C_ X-t Ulìa__fa Ol___OSlndlC_
que et automó_'il cxperiment_ un M.R.U.V. a lo
Apreciamos y poclemos establecer que lar_o del eie _-
-,dad _a_izando dedu_imos _ue en el instante __nicial
_ pafa t___ a (_(_; u__t_g<o (to--O)laPOSiCi0neS Xn_ =-lOm _elaUtOn'ÓVil
tiene velocidad nul_ (recordar lo del _-értice de
_tO_CeS e mOVlmlentO eS aCla _
la parábola); para el in_'tante t = _ s la _osici_n
lZqUterda. _ _
_ ,?_ es x = O , si_nia'i_a _ue el automóvil en dicho
' Parat_(_:U_tan = . '
lnStante paSa __r Rl or,_en, adRm_S_ debemOS
ntonces en este instante cambia la '
' entender que et automóvif va ecelerandu en
direccjón del movimiento
_ diL'hO inter_'aIo. _hora so_re la tra)'cctoria
_ _ra t> t_: u= tana>O
enemOS
Entunces el movimiento es ahora _acia
la derecha. b_ O r _ 2 s t = 2 s
!, r _
b. Res_ecto a la aceleración _ a _
_,sta,_e esta_ d-,,-,e,_da ,., in, uo--o ..,0i_ U
__,_______i___''_:_^•_'0__ __- _0_'_, o____'_'=_i___ X
hacia la derecha. 0 ' ^'
i jo=-lOm xo_-O
Por Jo tanto se vej_ca que '_'
; _ _
' En t = O a t = It_ la fa_I'_e2 d1SmlnU_-e.
_ En r > (_ la rapide2 aun_enEa. de donde apreciamos 4ue el autamóvil re_orre
IOm en 2 s.
_jemplo9 _ l n
_= t_ t+-ut^
a _ranCa adlUnta lndlL'a l05 __amhlOS de DOSIClOn
d un automóvil sobre una pista hori_ontc_I. _o _ I, (2 )2
Dete_rmjne el v_tof de Ja ace_pración _e_ au t_múv;_1 2
y Ia ecu_- cin de su movimiento. ._. a -_ s m,/s2
3_4

_____ur_0____0tp____n0___c_ue____r_p_a t__t_ _ _________t__ ___ ___ _ _ ________ _____ _ _0_____0____t d__t_ _(_t___(___o6_t)(tt_2_o_4tJ+__84o__o )os _b l____0 0 _ x_
CAPiTUlO _lI Análisis de gráficas del movimiento mecánico
la ecuaci6n del M.R.U.V. a lo targo det ejeX nene se deduce que
da_apor ?x g4m. _, __+2o_s y ?,___2_s2
'0- tO
1 _ _. d d.
O CUa lnte_retan O, tenemOS qUe l
-O O
en el instante inicial (l = O) est_ 89 m a la
Reemp1a2ando los datos izq_erda del origen (-x _â), moviéndose hacia
?x lo _ __o ___+5m/sa lad_r_chacon20rTUsydisminuyendoelmódulo
O- 10
e su vetocidad en 2 _s en cada se_Undo (ya
entonces tenernos ? _
qUe a y U SOn OßUeStOS. O fe a trayeCtOrla
x _ (-lO+ 2_5t') m tenemos
__a ecuación da 1a parábola en la g_ár_ca t-x - r) _ y
_xrvador
__
_- ,..,___o0,_,DL_,._,_...._!od_g'_._, __i__0__,0,,0?_,0'_j,,_.o.,0,,_0_.._..,__ov,___.,L__,,_0,_,a'.i__,_,__,_._,.i___D_____,d_._..,_l.,i_,,_,_,i_,,_,0__. _,._'._,,_,_,_,,,0m_ ;___'_j_.0._,;,,;_.____.._io_,io'_;_0_,,.___'_i_0o_D,.;._,g,.,_,__.o,_..;:6.-.._._c:.__,,'._a_'i_.^__ _,_____i,,_.._,e,_.__.,,__a_.00,9___._,_,___.__g.._.,,,,_,_"_i_.,_g___,o_?,,.0._.o._.__,o...8,_,'.l_.__i',,0_..._D,,g _,,., o ' _ _o. .. __
_,,, _,,___ ', .,_, ___D_' ,___.___''_'__D__.,___'o___-_'',_;__,_00'___,!?____,,_,_0_..___;__'0'',''_.___0_,o,_a_____.'i_-W_'__'___',0____._,_____,__'_____0__,,___,_____,_____?___.,__'_-__;'',.,'',,_o ___'_ii___''_"''-____,_____,_,_0__'.,a'_o___'0.___''_,1__,_,___D___,- '_''_0_____0__,_,_,'___'__''_'____^O'0_>_____'__0,___',':__'_,:,__0_80,o_, ;nD___'_0, 2o _ __,_'__' ' ' y_ _
__ ' .. t _'d ' o' _0_'?"-d''''''''_'^_'__0'_D''_'_'_''N_~_'' -_ ''''^_i'_^O'i''i'i'"^_-''_i_'_''_'!'^___'''_0'i""_ 0''_'_' '''''i'__''''^_00''_' 'O'_%i'i' 0_O"'__'___0' '_'''i_Y' ii_' ''i_i'_^''^_i_-_0'_0'^''___i"'^''___ 'i''__'"__P 'O'^'_^_'O''__' U_ S ^''___,,_'_,_ _f_en_
_'''__._ _o'''; _ __2_s2__,_____,___,_,'_
?_' '' ' ._'_ Un M.V,C.L_ ti_ne las mismas leyes del __.,__ _=.__....=_._ _ ,v.__,._.'
__8__,, ' M,R,U._.; en consecuencia podemos usar la _'ooo_ - '- _ i' ' ' -'----'''' ' ' 'v '"" ''-_'-'''' '__:' _-_ '' '' "-
_ _ _- _ ' m,.sma ecuac1-o,n pe,o camb-,a,do _x por ?y _ _ ' _, '_. _ _x ___g4m x-_ ; O: _ ' :
o ' ' _,o _emb,,,,n pue,e ,ene,se u, m R,u.y en t a O_ _ -_, _ '_, _ '_ ' _ 0
_. direccián ve_ical y planlearse _o mismo. ____o
_9_',_._o....D,.,__n._,L,0,,__.,__,.__,,,g,,,,,,,,,,,,,,,,o,,,,,,, ,D,,,_,,,,,,,,,,,,,,,,0_,,,,,,,,,,o_,_._,,,,,,,, ,o,0,,,,_,,,_,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.o...,.,.o....,....,._,_.o,,_'_g, Par3 determinar cuántas veces _1 cuemo pasa
frente at obsenrador_ es decir p0r el origen de
EJ_gmp(o lo coordenadas, podemos hacer que su ecuación
__ene po, _a _ey del moy_Nm_,ento. demovimientoseieuateacero,yaqueendichas
_,__(_g4+2o(__2)m donde t en segundos instantes taposicindelcuemoes x=0.
ndiq _ue,a qué mov7 l_miento corTesponde y_uántas t x__ _ 8q+ 2o( _f_ __
veces pasa frente al observador.
2
Resoluc1ón
Primero recordemos _ué _ey det movimiento es
eqUIV_lente a Ia RCUaCiÓn _et mOVimi_ntO Y Si la t t _ 6 s n t _ I Q s
pDsicin x queda expresada en runción del
COmO Se pUede nOtar _afa lOS lnStan_eS l = 6 S y
tiempo al cuadrado () se trata de un M.R.U.V.;
t _ l 4 s la posición se hace nuIa. el1o signinca que
C_mO tenCmOS
en dos oportunidades el cuemo pasa frente al
_K = (- 8__ + 20 l - t') m obse,v,do, o e, _odo caso por el ,f;ge,, y, qu
entonces tal cuerpo desarroIIa un h_.R.U.V. a lo durante su monmi_nto pTimero desace_era hasta
lar_odelejeX.Si conlparamostaI_presióncon detenerse en x_+l6m , esto en e_ jnstante
la eCU_CiÓn (__eneral) det M _R_U -V_ t _ l o s de injcjado e1 aná_isjs de movimjento, p_a
_ _ _ l _, luego iniciar el TetoTno acelerando ahora en
x=_-Dt_'ott-0F m
direccióncontrria.
_5

_p_Ef_ os7t_ _ __+l_o _ __ _ ___slet__odttlettnte u___l _tr_a__t> p_____| o _ _ _2 _ __tl_ npare__ _t____Jtl?__tt___ calcu__t__agmos
Lumbreras _d ilores Fís ica
EJemplo Il . F,n e_'ta grán1ca (amlJin _o_emo__ notar que en
Lagr5F1caadjuntamuestraluscmbiO. sde_sicin l_s 3 _riln_ru_ segun__s (rlc t = _ a t =- 3 s) e_
de un n_vil respecto al ticn__o. _etermine la mu_'il_'__r_z_ I8n_haci_ldd__le_he. _od__ducido
vetocidad ,__ f_- posicin dcl m_vil en el in-stante l_ _c_d__l____- re_rc_-cntar sn_rL_ la Erdv_ cct_ria, asi
t_5 s. (-o (
_xcm_ 0,r 3-_ -
___ _ _-
+28 _----- , _'o_o _'
!, X_
: __ ___-_om t- dI8m_
_ ; t=Ss 2s t--3s
' __la _ u u;-0
' _ _ _
! __-_- ------_-__ x
! C !B
! X?, O 7 t_dl_
; t(S) _! Xr _ '
O 3
ara determinar la velocidad Yv p_s_ ición _n t = S s_
Resolución debemos determiner eI val_r dc lcJ cJcelera_ión.
_!ÓteSe_UC__rato_OlaßOSlClÓn_S _o _+lO _n, Se nOta QUe COnVle_e fealIJ_r t_l __lClllO Cntfe
est_sienincaqueen rO el rn__7iles(áa IOm a t -- O y t _ 3 s, pero calcutan_o prc_Jian__nte la
Ia clerecha det origen. _ trazar l_ tangente a la rapiJcz inici_ (uo), _alizando et _am_ ___ ,_ ha_ia _
___.r_bola enelpuntodonde intersecLaal ejede , +, u +()
.c_.ones en r __ o b. t t o d __' / _ 18_ __. (3)
1 __ I
entonces e! muvil se desplaza hacia la derech__. _ , _2 m,,s
O -
n t = 3 s u = O (v__rtice dc fa p__r_ol__ )_ entonces
! Además_entre t__ y t=3___, lara_idezdelmvil
a ra_ldC2 _urante lOS _flmCrOS 3 s dlSnllnUy_, el
Ji_'minuve en IZ nUs, tr_tnd_se de un h1._.U._
IllO_'tlr_lentD eS _S_Ce t_fa O. -
se deduc;e que a = 4 m7s'.
fa l > 3 S trazandO a feCta tan_ente a a ___ la,
_ _ntonces e1_tre t = 3 s y l = 5 s se util iia 0 = _ _s__
U=lanO<O, en(_nCeS_ _l mÓMl a_'anZa haCla la
que ahora indica _e la rapidez aumcnta en 4 _s
12_lllCfda _J aCCl_fa _UeS la ra_lde2 aUmenta.
en cada se_undo ___ como se reinicia eI
x(m) movimiento en ( = _ _, en r _ 5 s la raµide2 es
8 _s- Fbr Io tanlo la velocidad es u -- -8 mJs.
+28 _ _ _ _en" F._nafmente _, posl.c._o,
_ __ntc a _cJrtlF dC l_ ecUc1Cin deI mO_'_n)1entO M.R.U._.
_ __? l?_
m _, -X= __-_) +l/_ l+-Ut
; ; com__ _+_oln._ _t. _2 /s ,0_ 4 s2
r _ -J- 'U- ' - '
+lo ;! J! ß_t reempla2amos
0 ; _ x_(1o+1__-2_'')m
- -_ - - ; : t s _ve1uando ar _ -
_ente _ , ' n_qUe
O 3 ( x_+20m
346

_t_2___t_(______J_______ __ ____ _ _ A A ( ) tra___)_e_poc_t_o_trnA_aostaeenn_tteoln,ds&mrarebctoo_rremnu2tulanrng_ eelln_n___tet seengulnsdxoses
iii''0_i,i
'._i_,.'i,_.,i, _,,i ___i'i.0_,,, _emaS QeSUeß05 , ,, , ,, , , , ,, , , , ,, ,
_FO_I_m_1 que tanto A como _ realiz__n M.R.U,, sus
Ln gráfica _ - r nos muestra el cambio de velocidadesestándef_nidas_orlaspendientesde
posjción de dos mviles- A y __ conforme cada rect_.t
ransc!__e e l t iempa; _e te_ ine e f jns tan te en que _, _ t , _ 4 5o _
A
o._ mó_-iles se enc_entran sep_r_dos 8 m por
seg_ unda vez_ u, = t_ I350 = -l m/s
_ Los móv_les se desptaMn en direccion_ con_js.
'Xm
Ademá de la _r_lCa para el instante iniCi_ (to = O)
xo(,)=-6m y xo(,,=+10m
Sobre la trayectona
r_O l=O
; _lmrs _I_s _
1 _______ _ _,
_ _ t(s) ---_'''''^'D__ __''_i'_-
, ! ___ -6_n O +lOmJs
O ,__6 IO _6m
B A en I s seacerca I ma8y_ en l s' seacerca l m
Q50 a ._
acercan2m.
_Qué debe suceder para que ambos mó_les estén
Resoluc_ón separados 8 m _or segunda vez? Necesan'amente,
Ha_endo e_ análisis geométjco correspondiente primero se acercan I 6 m, luego se cruzan y luego
se deduce se atejan a separan 8 m por segunda vez; para
_x (m) que esto suceda ambos deben recorrer
I6m+ 8m= 2Qm
Xa%r- + lO Entonces sl.
recorrerán 24m.
.'. t--l2s
_asado l 2 s los móvi les A y B a_ vanzan cada uno
2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ - -. _ - - 1 2 m, en conjunto sería 24 rn. Ahora sobre la
_..,;_2_135o (s , , _
_ . .,a____o'' '_____'!_ 45U0'_
o,__ ',,_'_0,_ 8 10'
.,.._.;.-_.._...,..:. ; t--1.2s t=l25
_..,.;;...,._' ; g 1__s_ _1__s
.;..:,._''"''__ !, _g_,i-____-_-_-_-,__, A _X
__6_4_S=________ -2mO +6m
0_)-
separa_ónde8m
_r_gundavez
_7

_l ___+_2o _______t__________ __l ___ ______ _x __a_x___l _l_omm_/2ste0dllted5d((e2l_mt _Rlll_l_o_u_v_J (l_________l) a)
lumb re ras Ed it o res fís i ca
Otr método Res olución
En este caso hacemos uso de ta propia gr_F_ca. Si Debemos resaItar que _a cur_'a es una parábola y
los móviles para el in__tante I están scparados 8 m podemo_ notar _ue _I __értice de l_ parábola se
podemos pl_ntear encuentra en ( = O, por elIo la rapide2 inicial es
?(m) !, nulau0=O.
;, A Ah,,a _e l, 3,fo,m,c;ó, q,e nos b,i,de le e,áF,ca
xA _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ! se tiene sobre la tra)'ectoria
450 ;
: _''__ t=,Ot=,2St=3S t=4S
X _ ! i', _ ;_; ;
_ . ;U0=O; ; !_Uq_7_
! g _,, - - - -___ -.- - - -___oo - - - - - - - -_^___,;,._.
_45o 45a_ ;r t(s) -' x?_ 4 8 C, _
x,_(o 45o;' ;x_ow! ! d' !
X__- +----------+----- , ; ; !,
-6 B _, ? +lo ! !,
; 2- _
Se Ve,l FlCe_ ;! X3=+20m ' ;
xA+lxgl=8m (5eparación) (l) ' _4_7. '
Además por _ isósceles _
Para determinar ta posición x_ (en ( = 4 s
t= lxB t+lOm=xA +6m . (ll)
pOdCmOS USaf la lCV. del mOVamlentO del M.R.U.V.
t X__igl=_m (llI) _2
Re,o_v;endo (l) y (__l) ' __ _ xo + +_2 ( _x > o y u. > o)
xA =6m En l=4s
t_,l=2m (x_B=-2rn) _x +_a(4)'-
q- O
En(II): r= l2s
t x4_xo+8_ (l)
Pr0al_m_ 2 _a acele,ac;ón _a p_emos c_cu7e, en el ;nte_,to
La siguiente gráflca nos muestra cómo cambia la de ( -_ _ s a _ -_ 3 s. Lo que se despfa_ _, paFt_cu_,
posición de una p_í__ula que reaIiza un M.R.U.V equ;,,,le a c;,co vec,s t_ m;fad de_ valo, de l
conformc lranscurre e1 tiempo. Determine su ecelerac;o_n (p,op;
posición y velocidad en el instante de tiempo r = 4 s.
- _ 0
x(m) t = rnt -=
2
_, _ cnIcular la _sición JniciaI (xo) ___ta con caIcular
+ l O - - - - - - - - - _ -, !, 1o que se desplaza la partícula de A hacia B, es decir
! ! en los dos pnmeros segundos de su mo_rniento
'___ ! _
-c_--- ; _ at;_,(_)(2)'
_ ! _Ay=U,_+_=__=m
! :( (_s) ' 2 2
O 2 3 con ello xo = 2 m (lll)
348

_Apapohrsoal_crttatlt6nla_(d2eec2uuna)cml_6o_Kn___0ldt equlea spea_dr0_ebspol_a2a aq4Kuene_dl_lanrel_aa ___p_______afl|__l__l_____________at_____tc____vBal__c___c____c_8u______ml___a______r______x__2__c_2_pd____o____,___t__d(___B(0__e3_c___m_)_ __o0xt____s____c__0_u_____0_s___er_________________0_______|____________ __t_______________________________Q_____t____________|______________________________r_
CAPíTUlO Vll Análisis de gráficas del movimiento mec_nico
Reemplazando (llJ y (lll) en (l) obtenemos Resolución
? _ m Se especi F_ca que el mo_miento es rectilíneo y
Xq=+
con aceleración constante, entonces se trata de
Finalmente calculamos u4. Como ta aceleración un m i u _ la cu_a es una a,a/
de la p_ícula es de 4 _s2 (_e .) en 9 s su rapide2 A_ ._nte_,e ta, la era, F_ca entre ( _ o s r _
5erál6_s-_rlotanto_ent_4s mo,v._f se des faza _ac.l, la _,_qu_,
u4= l6m/s d__smin_yendo su rapide2; de ahí en adelante se
emprende el retorno, resultando el movimiento
O_ me_rodo hacia la derecha y aumentando la rapide2.
Haciendo uso de la ecuacj6n de la parábola. _ra Como el vé_ce de la p___la está en el inst_te
Ia posición de dicha cunra su ecuación se puede t = 4 s, en diiho instante u = 0.
esc_bir por Representando lo que acontece sobre la
_ 2 .. a trayec _o _a
X=Xo+Kt _ Cte._OSltlV
Evaluando p_a los instantes dados t _ 4 s 4 s t _ O
_ Ug=O u a u,
= 2S _ X m _ =Xo+ (_) i,_i___..=,,..._-----------_- ,,_,=.-d;;'._i.a,-_--_ -----------_- ,,_.___-_-
(_3s _ x_20m _ 20_xo+9K B_,- '----'-' -^-S-0M_-^__'--'-'____'--_;-''"'i'-'_-'i'----'''''''''m''i''''"-'''"^''9'_'_,'''
ReSOlMendO (') Se Obtiene Xo=2m Y K-- 2 ; ,_-__gm =_x_o__+24m;
der_nidapor ; ;!
t , t_,4S 3s; t7S
_' +t m- ; ac_o,
-_ 4 s la _sición de la p__cufa es ! ug=O __ ;! _,0o _ Uc
xq _ +3Q m B _ ' ' ' ' ' ''' ''' ' ^_ ^ '_, i''''"'"'" '' ' '' ''''''''", C''''
______s
La _r_F_ca nos muestra el compo__niento de la _
recta con aceleración constante. Determine la d _ Ug + Uc
_sici6n y rapidez del mónl _ e_ iMt_te t-- 7 s.
_(m) g+x O+u
__ Xc"_Uc'8 (I)
Ahora para calcular uc, también en dicha
4 t(s) tr_ous_os
Uc=_ (llJ

__R l ___6t_J____A__y_t/_(m)_ __t__,,t _e_n__t_o_ nces4ee__t____va_(_______ou__f2_d+y2(eu_y(1a_,)a(_c)ye_lteourcta5_cernl_ne___>____ eu2______ot_B_ ll_ll_ _x_
lumb reras Ed itoree fís ica
Se requiere ta __ celcración (o) Siendo cx la jnclinación de le recta tangente a Ia
_ En e_ tramoAB canviene plantear grFacû, en e1 instar_te tO
ug t uo--t_)cx=+4m/s
dAa=_' t_ ,. ,
l = I s. entonces _n d icho instante Ia _'elocidad es
32 __ _U_ + O (4) nu ta (u = O ).
como se deduce que en un inteFvalo de tiempo
__ _6 m/s de l s eI món1 disminuy s__ rapide2 de 4 _s a O,
_o,nesa__qmrs2
Comoen e_ tramoAB elmó_l disminuye su entoncese, (_o5s __, _,_+2_s
rapidez en I 6 _st en 4 s su acele_cin debe _r Ahora sobfe _a t,, ecto,_.a se t_.
0 = 4 m's2 __O (=o_5s r=, l s
; O,5s _ O,_s _
_ (ll)_ _c=I2_S ; ! _
_ _Uo=_S !u=2_s _ !U=O
6n (I): xc =+ IOm __-,__,.,._-.',,,'_ - - --- - ----- -----__ -_ _D,.:_;;.,,,.,, - ------- ---- - -- _,
xo A: B _! X
Pr_a_m__ _' e__
Una p_ícula se mueve sobre et e_e X cambiando t = l ,2 s _
su posicin en función del _empo según la eráFlca !, O ,2 s ;
q. ue se muestra. Calcule su reCorndo entfe t -- O,5 S a ' _,
y t= I_2 s.(tanu=_) __,..:;;._,_i__,--- ---- _.o'.;_;i_|_'
---- --, _emosnat_que_lrecorndo (e) entrel*O,5s
! y r= l_2ses
; e'e_+e_ (I)_ ;
____ Aho,a so/ _o debemos dete___n,, e_ y e2
? ; _ Entre t= O_j s y t= l 5usamos
tan8ente _ _,
: _(s)
o _ _ e_(,2+O ns_
_ Mtre t=ls v_ t=l.2susamos
De aCUefdO a Ia _f_riCa de mOVlmlei_tO, l_ / I _
, _ . mRuv _ _ d _ e2=_a tBc+20 tyc
artlCU a CX_erlmenta Un .. .. a O aI_O e
ejeX,ademásdeducin)os___v_enDet=Osyt=ls t e _ l q o2 _
el movimi_nto es h_cia la derecha desacelerad0 y
a pa,t;F dp r >_ _, el movim;ento cs hac__ la t e2 _ D,08 m
l2_llie Cda aCel_fadO. , Reempla2ando en (I): e _ O,58 m
35O

s___ppenldl__FR____0uvd d___ltl_ __l_qsdx _l_ l R __ __t_g((an___d/so2)_)(llJ 2mJ _ s_ (_J_
C__PíTUL0 _'ll &_'_,._á5-i_ _î__ ___ 'i_e_ _. r_riLa_ ___ _n_n. vim=9_e_t_ m_c__r_ic___-
Pi__l__,,,l___'''',_&t___. 5 .?otp _.__,_r,_ _.r, elo ir__. i__ J_,_p_ t c__1 n___u___..f _J _y_._a _,r. C_
Un c'ue__ se _t_s_l__ sobfe _i e_:1e __ _ _u puS iCi_r_ co__ _ __ _ _ ; _,'u_ __r >i .se,__,,_n_a __e2. _?_ di ;__fm !n;-.;f
v__ r___ ?Cgun s_ InUeStr_ _n Ja _iá_ _lc_ Determiije e_ _n,c__.__n.v _e___v-_ t_,__ rp. 4u_er__, __._ v,__,_f (_rv, 1,
nn ___ ;nstante t _icho cl_crp_ p?esenta !_n__ d_,ve_.e,ac__;nypa,_ gl1ous_mo__ _c_ ;,.-___,;e,
rapi_e2 _e_ 4 mJs _or s___un_a vez-
U_ _'' _____dABx
(m) l? _ LJ_' -_y (1 6 ,}
__+I6 _'''___ _2;
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; 'mar_i_X O :
' (_!A +U_)
; _.6 ^_' A_
; r(s)
U_+
Ol 4 16=_2(4
Resoluci_n
/ , _-
__un _ _fa ICa _^ c_, SC C UCC qU__ e CUR_O
, . _ a _
re__l_a un _.. . SO r_ _ _IC ; _n_ _C_moS pOf eG_mP 2 n _ Cn _ _ = S _
inte___tos. Finaln_ente, para_ que el cuerp0 _e B hacia ?
_ Desde t=O a t=_s __ umentc .su rapjd_2 _e O a 4 m/_ co__ una
_ CU__ Se din_e ha_a la _efeCha y en l = 4 aceler_cjón de 2 mJ/si debe_n pasar 2 s, entor_c___ si
s se puede _educir _ue se detienei entances en B, ( _ 4 s, en c e_ instante es _ = 6
durante los pnmeros 4 s el cuemo desacelcra.
_ Desde t = 4 5 hasta ef instante t
se obs,,va m,nc e_ cu,_o emp;ez,,,, m,ve,,e PFDbl_m8 6
h_c_i_ la jzqujerda t_ por el increme__lo de __ !_n_ _artlCUl__ SC mUeVe SObfe el _le X_ Can_b_-a SU
_,nfe de _e ,ecta t,,_ge,te a _a cu,v, posicjón x) en runción de su capidez (u); se___- ___
_abóljca. se puede a__ar que la velocjdad la _f_n_a _dJUnta_ _en qUe inStante de ti_l__C SU
aumenta; entonces ocurfe un mo_mi.ento fa_ideZ eS l _S?
ace lerado.
sobre la tfe__ectona se tjene X (m)
f__o r__4s ___la
!' 0 '!
! uo 4__S u!_
-___.._,..;_. __________=__9____________ _,,..;-_0 X l6 -----------
_=O '' A! ----- ---C; B_ ' _
!_o! 4_sl! _a _ __ ;
, ,_a__-- - - - - - - --__: X '___ _ u (?s)
_. '--''-'''---'-_'C_' :sB__ a'
_o+ l6 '
351

__2___(22______ t(_ t x___b 0l() ) __ t_tt___ __vt1_,>_(op_ J__) ( _ _ _ (_ __
l_mbrera__ Editores Fjs i ca
Resoluc_n _e la grfi__a dada x -u , cuand_ u 4 m/s_
En Ios proble_as enterîores de M.K._!,_s hemos x= l6m.
examinado I_ _rF_c__ x'-t _u_ se _htu__o de la En ta RCUaCIÓn
., ? _ ? l_2, ,b_J . ^ l,2
eCJ_ClOn _=x_j_'__lt-Ot __ura 0__, __fO Sl _=
2 _ 2u
_-'__ ,DaráboJ_'_ tiene su K__'tice en el origen ,x o = O
_ttJ3 ,,,f__ t, _, _t,,_o _o i6"__('_)'
_ - 0- " '
Reen_pIa2andu tena,mos _ y _. _ ,- m /- s_
_ I_2 E .
_X=-Yt C!_â_!On_P l_ _ara Oa NOS_ldenhalIarlC_a-ndOU= I _/S.Como X- u=
_ero ____ es la únjca ?cu_ció_. cuadfá_ica que nos y _'n _ O l_ _CUaCl_' n _eI m_Vim1RntO S_ ßUe_e
pe_mi te cu- rls tiuir una, ?, arábota. P_e- L__u_r_e c_ue en _presar por
c1 ____.i_.U.V. _L_m_ién se cumple
_x.__a(_ ,_ or^x___u'
_7 =_J+2__ -- _ ' _2_
_'-_0_'_2_(_-x___!_ Ig_iatandoobtenemos __t'_u2 _ nt=u
__ et _fjgen __o = _, __es_ej_ndo Ree_, p__2ando ( o, 5 '_ f2 __ ( 1 )_
_ ( I _ ,E .6 d _ ,_ _ dedonde l=_s.
_= _ U i CUaCl n e a__r_D0a
0 - '
Er_ consecue_ncia, en el M_R,U,_ podernos construir Otro míf_do
las 4vrá_câs Cun a)_da de fa inf_rmacián gr__r_ca y el át ge_ra
M.R.u.V. x (m) de fU1lCt0neS veremOS a qué mOvimiento
coccesponde la gfár_ca (_x-u).
.. _ _ l i Según la gráf__a, cuando la pa_ícul_ está
'_ 2
__ en x=O es u= D y
__ en x=+lGm, u=4rrUs (l )
ì_t r (s) Además co,mo la par_bOla tiene su vertice en el
o On_e_ V_ _lene SUS ramaS abiertaS haCia afriba_
debe obedecer a la siguiente reIación;
o cambién como es nuestro caso x__ bu2
M.R.U._ x(m) evalu3ndo seeún (l
' _6 (4)a
l 2 = t --
_a
t x=u2 (Il)
_ 6 _ _ _. _ _ Ahora a la e_resi6n (lI) la _emos transform_r a
; u (_s) y2 _ (o)1 + 2(+_l ?x
o 4 . 2
352

q_t__e__c_o_J|m(_p)a_rt_)__6en lam?t l _a_t _v_( _ _) _e ____tt______a!(______6________c_____;44tm)Bmll_t_;(ct_e__)_4G_/_n/_t _t_ t _ _ ;t) _asF_C_____
_ __? V__ __,__j ;_i ; _____ _,___?v__? __ e_ _3 ; J? _ __ _;, __ n _ _ _ ,_ _' ; _ _ v __? , j_ c _;
_a_;en__ mem_?;___ __ e l__' ,Fófmu!_s ___ _1___._._ __ t__;__?;___n;__n ._jn__._ _ y _, ____ ,_!_ _;_ _;nx____ c !_J
recGrdam___ 1a sieuj_nte ;-____J ____ _'___'_ ___'
Z _ _ _2
t'_ O , __?'_?,n
Compar_d_la c_n (_!;) pa_em_5 __ncl_ir 4u_ ?' _
m__mie_to de I_ _e___l;la c_n___ponde al _e _n ___
__.R._!._, ___m_? se de_uce r__e ;__ _artícm_3 f_;c;a
SU m__,mlen__ (_o=O) C_n ___ _Cele_aC=0_ _e
2 _;_ _F_,_
d,recht, 1 e _ _
' _ ,r _ __5J
_0re s__re !a t_a_Rct__a t_nemos ú _ _
-05__2
r_O !__ __'-
uo:-__ : 1__s __4_s
_ _ _ _ _ _ _ _ _-___,_ _ + _ _ _ _ _. _ _ _ _ _ + _-___ _ x U_ = ___t _ _ - _____ = __
x=O x= l6m -_ -u
- _- /
Fi_aImenle c_mu __s _iden eI i_stan_e d_ ticm_o
(r) pa_a e_ cual la _a__cu_a tiene _na _a_idez _e Y- '" t"J_ X_c_!=l6m
l nIs con e; val_r de _a aceIerec'_ox n _ _ _,5 _s' _a _cuac jón de mo_m5ento _e a __ene dada p__
_ededuce_ueesenr=2s _ _ ?
XB=Xo (_ )__
_F__lem8J _ _x,
Dos pa_ícutas A y B se mueven sobre ef eje X la Ah h b /
' Ofa a rla qUe V_f en qUe Il_S an _ l
posición de _ queda determinada por pa_t_/cu_as t__er,en _-gu__ _ pus__c__
x,= (6l- r') rn y la _e _ por la gr_lca adjunta. _ _
XA=X
etermine la veloci_ad _e A para el instante _n B
. s m a p o s l. c _. o, n ReampIa_a_do fa ex_resión para ambos
6r-__ 16-4I
__m) .., r2__lof+16__o
ded_nd_ tN 2 syr8 s.
_tu signi F_ca que hay _n5 instantes en que tas
pa_ícutas compa_en la misma posición, pues en
dichos instante_ n_5 piden evalu_ l_ v_locid a d
t(_) _CA_
o 4 . Se Sabe qUe 1a eCUaciÓn de mo_miento de A es
_x 6( f2
_-
Reso_uc_o,n Y Ia eCUaClÓn del moMmiento de un M._.U._ cn
.. , t _ _enef_ Mene dada pof
a a a _OSlCl0n e _Of XA= t-t nl y a
_r2
gr_F_ca x-t para_. x_x o+u or+N
2
353

T___J_ p_+_Jt2__ _______t___ ____N__ _fl_l_ __ ___ y _ __g _lJt_A__ __q__l( (__t_ _e_ _ _ __;A___|_t _x__
l__mbreras __itores _s9î_ a
L_ e_'uacin de A l_ tra_,__(c_n__1mos a Inle__et_nd_ la _J_'arica de J4, se _eJuc__ ___a ___
_x ?_ ; _)t I! _)r2 t=D es__-aiai2__i_erd__de__n_en_'t_eneposición
_=++ t2--_
l_e_at_V_,_ )' P_ 1_d_ tnStant_ S_ d_II_e haCia _a
Urn_ D_ra_d_ i__n l_ eC_aCIOn det _-_+R.it._ _e
er_ch_ po_ )__ _endien_e _e l_' gr_fica
o7_ti _cne
COrfeS_0_de a Un an_U _ a_U_O :. el m__'_m__ntO
2 dB ,
o(A;= i Uo(_)=+ m S Y 4A =^ _S e Ser2
Fin_lmen_e ;a _tuac_iOn 4e I_ ve_oci__d _e _n
t--O _-- tl t_ t_
.K.U.Y.e_
B_ ug _ u
u_u_T___t =_- __ ---------___-------------___
i_ __O_ _M
_r_ A S_j_3, C_em_IYZd_dO V_lOf_S _. -_r : :
;____ _,=_l6m ;
__A= (G -2r)m,_'.s _' -_'
_Y_lU_li_t_ ___f_ l_S iTj+_____eS d____îd_S _c ;_a _f__c_ se __ e_;_ce que F_n e1 instanl_ f, el
_ __ r____,_,_, __+_____,_s(n_ov__I_;ent_hac__a_) nlÓ'___i 8 __5__Or_a_OSlC_Ón x=_l6,m.
"'- _
__ ilen____rnns _Se i __c_ia _V
_ F_(--_s:_'__-__T___/__(..m.onmient__aci__) _ , _9,
'!'^ --'O
-I j
__l_m_
.-_c-__,n, _e __s n_,--v-__es A d uc, se _ __ ---ugf_-I_ (_J
d__l_ Jj_Uc_n S_hIe L!n_ Int__m,_ _Ineâ _c eCt2 Vali_ COn _J_t_emc_. s r_;un_cer __ ___ide_ (u_) y el jns (anle t _.
_. i t_'__^r_I__O __l CO_i_o __ i_diC_ _r) j_ _fdf1__ a__-Unta. .Por _afo _,_-bemu_ que para d_c_o _nst_nte !,o_
Deh___rmine J!_ pG/_ici_n ir_;ci3i c_e B, si en el mo/v___es A ), g ___encn _a m__sma Fap_-den, es_-
ins__- _,te l_ M__0smón!espresentan igu_ ra_ide2. s, 1_e,e ,e en,,__;,cemos a_ m6_N_
_ (m) Al i_temretar la _rF_ca de A podemos establecer
_ue en t = O_ su posicin es x _ 0 (-pasa por el
!, 8 orige__) y_n t= 5s s__posicjón es x_+2sm y
; su velocidad es nula (por la tangente a fa par_b_la
tl6 ----- ------_------
; ', __ en _t VertlCe_/ pOr lo cu__ l sobre la trayector_a
; ; tenemos
_ _ r_o 5s
! 'A
! '_ u _,=cte.
_ _ t(5) __-?0_0, _O -------------------.- V__, u=O X
O 5 t1 X_-O: ' ;
x--25m
-_o de_ _ Uo+UF
O -
Resoluci6n (_uo+o
t 25=
egún la g_'árica de1 movimiento_ el móvil A 2
expenmenEa M.R.U._. y el mó_l B experimenta
t Uo=lO_S
.R._'., ambos sobr_ el e)e _-
354

c(__n__J__e/)l _J __ _2t 5_)t___l_( _ ) _ _ t _t____tx_____ __q_tmt__lfg__/__s__tcte_ ______g __t __________?_0?0?_35d 5
_,___1___t___ ì___!- ___.;,,_:__';-__;_-'J ____'__' :-_a_ .f^:'_?_;_ J_;- eK9__ _____?____ _.__'___i_____
T,,___,__,._,_-__2;. ,_. .__Jr_,_z..,_ ,.__, )_ .__ _t_.,___,_. ,__.)_!2._.,;-,? __ af_e;-f________-i_,_._. i_,._) _,__J;_h_x ____,;____.,, - ' _
___m_J _i m!_?';! _ disr(_i?_.l1)_r ___ i _;__,i_e_ _ie _ !J_J __JJ__ _-_' _!_ c_:.i_i __ ___' '_T___",'C S___F_ ___i__ ___3_Jr_ ,'!. _!m_
a__)___,r_,_Js ;____-;-_;;-_,^____i' !!.;_,__ 2_=?-1ì3__{lO_e _fI f_'7_1lla
n ?_ c_;-'____n_ _!;'_. J J_J.? t _i___ 1-___ _F__-. ji ___ c!_J __t_-_!_'_____3?1:___
_c4___Jrn'_i' __ ) r _ _. ,
_:__ - _U Y___l__ r:l_ .7_ _/ _ll _inJ__FJnl _ ttt_l_'.____t (!,) _í_
,St_€ún _a_r___f_,ca t-_?_1 ,____j,! _. Fst_ç_5e_etjenc pc_f !?!__'__CC _.'_'_ t_l _f_f_C_ ___)___;_-__.x. __te_rf_JI_1r _''
_,,st_a_te (en ( __ sj __ i_.m___li_- _,d_ _,r_,_.__,_.___ !_._J;.ci._ ;___u? y _ _it ( i__ !__x Cc__. iC_ ;_' ___ _, r_C> -___:__ i_._ _f_??_rC_(J- _ _ _,__
su mov;_ient,. h__Jc_J,_ 1_ ;-____ie3___, y t_c_ e_l n,___,_ hi__-t_' c___nst_te, t=-_s.
j1____; ,__!_ t,, ;,'-c,x___ (_ __t__'cl1_tc._t_ !_ p_r j;_ pn_ s!_i_,_ _ __j r,__,./s)
x ( :_ _ l_-)m '_3_ __(._____) ?_'- a_ )x_;__;_!!J',q ' _
+-_-- '-_t
5 __ ;
_--' --'-_----- - -^- ---"^'--'-^_'_- __ f ;
,' r_ _____!-_ __ ;_ _ f;..,)_
_; ^ - - - (__- /r__ - _ __ ' _ ' __?! - ____._,_N _ ___._ 'r__ _
-_ uo-_____,Js , '' uc_O i'!_!_ , =
___:'A;-_ ____n____--'- ''",0 n_ _?_;_.. _._. ..__m__!._._._
__--O _ D_. ' ;C _!
_ ____=l6m_' d=9m _ _
'------ - . ; Res__uci_n
! __M_x__ 2_5m _____,_! __ !a ng____ , en el intervalo _ r = _ a t m 4 __ ,
___ i_ tra_yt'rt_ri_, e_r) _l r__t_rr)n !__sai____S _a caf)i,c-4- cJ__ a l __ fe_o_e _ m hac_J_ le der___ _.__.
n er,tuncas e_l ( -- _ _ re_currefn_ IG- cn.
rlti_fr
c_cJ = ( '_ t___ t-- _ ._t_ ú_J_ r_1ca, enej _v i, u jentg jnt_eNa!,__g(___sa
t = 8 s Ia _-aiocid___ es u -.- -2 m/s _. _te., ah_rc_ l;_
_ _ J _ 2 canjc_ c___ l s fec0rfc 2 m h_cja )__ jiq_!j_,___
tr= i!,._J_t-Jllt_-_}
c re_re_-31_rlo_ taJ c_rrlo ie des_ri_e cn _a s!!__;___te
rlg_ra. c_l_é __urre en l = 4 ._.'? _c_?,' un b._5__ c___io
J =- M, _ j _) (1_, '_ :_J )^ _e !a vc_ì_i___d tanto en mdWo c0rrao en _i_ccjn..
esto _e _ebc a l_ c_;- js!-_n de la c2nica con la p_re_.
_e_rJn_er__- _s
t=45
. CJ __ __mO__ _c_lCU _f _4, USam_S f _-, , 000
uA _. ,L,_V. +a,(l__j) _ ___9s M _ ___,
j U_--_m_ !___
_ _._ _- (2) t._! _ __ m,/__ _-____., - - - _ - - - - - - -... v - - _ _- -.. -__=-____D, __00,? _ue
Fin_ln_e_,te, c_um__ l__ mi_'i_e___ er) t , --- _ _ t!er_e_n !_ p_-_ __ m _
IamlSm_ f__ict__ (__'_ _'_'?._ _GrIV__)_ !.
___e__m_)_e___ ___r; an (:'J (_-gs ; 0
; 4s !00
,x, --- (i(. X,) - '_ _ _ :3_ ___ ; !, 0_0_^0
__ . ._ 2_ ! 2_s;_00_
, it if't_'_i_____'__Ctl__rl_.mC!l__ _ __ __..__.__ __ ____00_
X,,---.__m ! e2-_8m _

_puFo__e__m___8_________0_lt____)__________________________ ___o___t___________ _l__ t x ( ) _p__l ( J__l__ _ p__2s t(p___t__ __J_ q t__f6dpal__l|_pc_e)uF_loa
_ umbreras _ditu' res _ i?ic_a
_I recorrici_ (e) de la îi__ic_' ___;____,ante 1_J_ 8 s evs KcsoIu_'in
eme_i_.,= 24 n_ _ara _e'___minaT' ;__J- q_'e s_iic_;-t_ __i _r_J_i___T__,
Y ta pos_,ci_n de ta _anic3 re_. _e__-n d Fv ;'_ p_!__ en_- _rin-_ _cTO lr_t_'m, __ li___ _n__s Ic_ _r_^_!c'__.
._,t_, ,;__ .,stan_c_ r _m. g _n ,_,._ _ _ r) _, _..,_ cu_1 j_djc_ c ue __f_, el jnE_.r____f_ _ = _ __ t _ s ,t,._ ,r__;cx.rtj__ut_ ;.._, _e_x!_j__ un
gs_..3 _!, __ a ;_ i_.q_i_r____, __ !__ _a_,n_J. Mt ._.tj. CC)n _'_ -' - -_ n__'S _ ite. (_mUV)mIPn_-t_ h_C1__
Ia i2a4uier__J.
_,-_,_me_fu.._?E_, i__N1 _arli__li;'_ _J4_ j > f___ ___ríe _ n_ hLn_c-',_ la
. , , _ i_____;er_cn. ___.____r.e__ cn _ s reco__re_ _G ____ i__cia
.l f__r_ffld_ ___ Je_ __ CanICa en e_ lntRrva_IO t = a
Iai_n,__icrd_.
i- = _ 5 __ __U_mU5 U_t_nCC _r_ !_ __f___Ca (J " t _r, eJ j_ l_.__,__lo _. M_ 4 s __ t __ s _ Jt,_ __, t._c_J____ ,__,- 1 j2a
e_i_ f__r1_a _irecta ser___end_J un h_.R._}.V. n_ 0n __n_ _cç__r_c_j_n Q_d_ p_T
A n _ m / _ _ - / __ '
iJ (_s) _ = t_rl (3 = _ = i _ ___ 1 S
S
4 0 _te rcsulta_o nos i1_Jic'a _L_i i_ partíc_a!a sigue'
_ _ __=_ S_x _- _-_ __ _,;;_ ' ' _'_: __ ___ : _' _ '' _ :__m'';' _. __ _--_-- _- - ' des __z_ndose hac_t, la __2 ,___ _
, _,_._ _ , ^ - _ _!, v5_ __. _ ' _;, ' _ '' _._ __ ^' ; __ _ -_ __ j
____:-__'m:'5_,m____,_,; ..,_ _;_, _0,__. _''__ __0_,____;',___,'__5,, _
'._,.__'_0,:,:-_'_'_':_;:_;;_:'___''_';:,_:,____,.___,._,._,..._...,.;.:,,(...,_;..,_5:,___4_._n:;_;__! 4 g t(S) _eSaCe er_ndD dC mOd_ 9Ue en t -- S'- U -- O'
o ' __>o.__,,_,;-5;____'___;m'?;c__:___' ._0_;,o ____'______, (Vef _r_5n C_)
__'_ii,i_00_'i,. _%i'___, ' ' ,, ' ___'____i_e______0_'_^___0_
-o-----_-----d_^'___"_''_'''_''___/_''__'_ ---_ MlOnCeS,ent= S _SanteSdedetener5e a
vclo_ida_ es
que el recorrid_ se ehpresa por e_-'_;A_l+lA_j, _ ù_-2m(s
CUmO SC VenflC_ Ah_ra sohre la trayect_ona tenemos
Af++lGm y A_=-8n_ t_5s t=4s to-_O
t e-_16m+gm : ; 2_s2 :
.__e=24m 2__,_: 4__S_ 4?S;
.,.,,d, _ , '. _ -- - - - - - - _,,,.., , _; --_.; - - _ - - - - - _ _ - _,_.... ì -_ ---
x_O4_? X_4n_ xo_20m
! :wd=l6m ;
na _a_lCU a Se- mUeV_ SObre e eJe t On Una _,
vc locid_d _ue _'aa L_on el tíen__o como se indica x__
en !e 5rF_r_. Deter__ine para el ins_ante t _ 5 s su como vem_s ,,a __ ,. _ _s Eante ( __ __ s _, anl,
_'____cidad_ a_et-era__i_n y _o__ició_1_ si inicialmente _resen t4,
se encon_r_ha en x = + 20 rn.
_'=-_n_is ;.__ u--+2m/s_
U(_s) _ara c_nocer la _osici_n _. -,_, se requiere _,, 1o
ci_al catc!_iamos c_n
:_>r__'_, ..____.
_ 6ou t(s) d_=!!_2 ' t(___=l_ l=3m
- _ ,l __
O _ '
!, entonces se concluv_ e _ue
_4 ! _x
t' -
356

M tA_____________________t___________________t2_______________________________A______________%_____t__________0____m_t________________0_______________t_2_______________gt__f9_____ __ tr_ ___ _) c_on_u__n___a___c_e_l_era_c_6___lt_cons/t__an__te_____d_t____e__nltdap0__ r _
C_____TU____ Vit . &,,_'g x,i,,___i_gì_. ___A_g _,__fjc._g?___, ____ _,g,'__ ,avim,,-,_'g,______ __.___-_,___.__
_i_i_ n__t_do __ii', __8''_i_ __ __'_,' __e,_,8,_?__'___''___' -_' _ __
'_i_ J!_ __f_'___ _-t _u_en__S detRC_n_n_t _iz__a,____x'____- .SR__9Ue__e_____._e,(____J'__.,_, i_'_____iu_____a
_;_r_c't_niente e_ n_,_pla__c_m!e__i0 (._d) e_,i e_- ________;_r____i_;___ n_ue ___e____?;_e _e__ _,;,._vn___,___v_ s_ e__?;__;,,?; _
_n____'__ _e te i__ 0 ; ___ , ). s _,_, ;;nc-e_ _c_;-_,__-_t__4+ iht.er___, _g _c,__ _q_,c ;,;-_;;6_, _,_m-;r; _? _ (;,gk,
_j _?i __ = t _. 5u __-sici_n e__ i = _m ___'0, _-
_u (mts)
_1.R.u._ _ ?__ (__gJ
t ..., _
,, _5 ' f(s) _ 1 _'g_i0 . _
_'r' _-''-----;
O ___';-'_._:'_!:,_- __. '__-'''-'''.__;qv;_ _'_'_:'.;;''._':^_:'_____!_._..?,___ _6 ; ;
;,:'?,,'_:_._'_;._.. 9:_, .:_ __.,:_. _' ... ''''__'; _ ___'_'__ i' ' '' :__ '
__ ':i_?:_'-_,___': _ _ _-_;_.__'- _,'^' _-_= ' , ! ' r__
n-._w!:_'_'__:'__ _.___''_ ;__'___'__'_'_-_i_'_.__''__._-,t :-_ ' ! ' ; _ _
0, _'__C_____,_;_____-'_':^-n_-_^'__-__-_'___'-í-:___._:_:_--'''_''~__:_v__:'_,n,'_''__'i__ _;',''' ' ' ; '' " _____ '_'_L'
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? _es_lucj_n
_SS, l_ U=-2m/S. De __ra_CatRnemOS
? 1n_e__ e t__do la 3r_ca se d__u__e que la p_ícul__
que J = -_, e1 áred 1o calcu___ mos de _
_ara t=00 tlD_n_lln_ U=+3_S ,ela_tlm_1lCa__Ue'__:;'
_, ?u (_s) S__ m,!iCPe t_aCia la dRrecha Y I0 h_ce ___!_ant_ lc_s
1 pnme_os 4 _ _pen_e_itc_nd_ _.__8i'.lf. _ra r _ m
4 s . s la parLícula v_a _u rapidez unj'J_;x__nem_nte y
_?_:'__.___,..____;_.___,.___S__' 9,-;;' _;'__,__.._'n,C_.___''_-_','d__,__' ,_'-''_-__.__,__''____'______. ___' -__i_ '_i,æ'=_'',__._,___ ' r(_ se sjgue n)oviend0 h_cia la deiecha en este c_vc._
r_.._:'_,',_.0_0_0.__,'_ __^'_ _'.'.?'_''__ptm_.;______'n'__ ^___._4___,_.__,__-_'.;_.__ ' '
_^_' _ .,__,._._.__-?? .__ __,.i, ,_ ,.__ ._,._,.__ , ?. _,__ .,_m..,_m,. _,_..____ ____. ' _ ,
_2 _''__.___n,.___0_?__9___' __, _' _.:.____',__' __,._____&' ...:!' ___
__ '_ _ ''' '' ._ __ âa_tan37o_+o75m s2
i_:__''._''__'_''' ,;_.'' 2 ._ ,_;;,.__ :','''
-4 '''^'''"- ' '''' ' - _ es decir para t > Q s la pa_Fcula a_imenta _____
rapide_ en O_75 _5 en cada segundo.
A_ _ 2x 5 _ lO m 9ihora sobre la trayecto_a se tiene
4+52 g f_-o 4s f_9s r-_6s
1-_- ; MRu - ; ;
! _t--ls 3 ! t__2_ !
!S' S !_ !
-t A_A(+A2_IJm ! ' _ _ M.iU._ _
3_s_3_s 3_s0 ?_X,
? _íi_,.,,. - - - -''_____,_,_.._ - - -. - _ - _ - - - - _^_i'___.,... - - - - - - - - - c- .0_= a_
d = - l9 m _.,!_::_.___!_y._,___;-_'_;_.;__=_:,',)..__. _;-t______'-_-.-..___.__'.;.nu__ '___ __,_, :;v______,_,,____,___'_'__ _,7,_.','_-0,,__, ,_,,.__,..g__=u__.;,__ '_p_;_ '__
r' _'_' __' _,0
!_3m 1X1---4m! 5m ! !,
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7

_( _3__t_(;) _2_)(( )_(__t_____r_x_______________r_______ _ (_(___p__lto.( o)2t( ______ ) e __l__l enozaxs_2a
Lum brer_5 _d itores f isi ca
_ Pr__lema1a
IJ_ Ia l_Ura nOS _ld_n X;,.
Una __rtícu_a se mu_ve s__re _!_ ei_, ,__ con
Po__mo_- __s_r_'_r y FIantca_- _ .d d , _. ç se _,,d._
Ve_UC_ a C_UCVaT13C_n_ tlemnt_CUnt
_,_,. _ __ _ d_ (IJ en la eráfica. Dct_rmine su ve_oci_dad y
p_,c____1__.__.._'._.de_thyci__ aCeler_ClOn en __ lnSt_nt_ t=8S )' SU
dcsplaz__ mi_nt_ durante __s µrimeros 8 s.
_
l-__Y - _a ?u
l __,(2)2
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.'. d__7x__m g,
1
En';Ij t :
_, J_,,5m =_ g ! ís)
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0I_-_mét0___
___ ___0 p__en ;3 x __ _ '_,- 6 s _- 5_ c_T'__e !,__ x p_a Resu_uci_
_ _ . '_d _ _ ,
_!_ SP___n_OSd__e__i_j_F_ d^_S__amlent_ J _ _a__;r Je _a gr_F__'a ! _J_ l u____ _uede deducir
_e !!_ _a_í_';_1:'_ _n __ iJ)_t____-!c _c t= I _ 3 t=6s ____ la p_FE,_c_l,_ de r = o _ r _ 2 s t_ene una
. _ /_) _
J _. _rttf _ _ _1'Y _C_ ( U - t I. ve l_c_idad i_ns t,_nt_ de u _ + _ _s, Io cual no.5
_ _e,_a!3 _ue ,!_ _e_/acui__ ic mue__e h__ja la clerech
u ímf5
_ avan2an___ 8 m en c,ad__ s__gur_c_o_ tal c_rno ;-_
4_s - - -. - - - - - - - - - _ _ _ - N - - - m.oStfam0_.
_ t=2S
!! '_ l5 l
t ,__,n_',_' 2s !
1 _ _, ,_!_;'__y_r',-'. t 0 _.R.u. .
! _,n>_,-V__^__-;:'x"''-;___, _ 8mls _- 8nUs
3 ;_ A_ _w________ ____.__ X= _-_ , _- - - - - ^- --^-_ _
; ' " ;'_'___!",_''h__,' '. A'. d.
! _, __, _,__nm____J__Ç_,;_i t s_/ ! _ ; t
0 ! ' ' ' '"__' ' __,_' _d __6m_!
l 3 _j0 _, x?
2 _
El d__s_!a2amientn de la _a_ícu1a estaría der_nido _ueeo a pa,t__r de F __ 2 s _e, pa___cu__a com__
P_r ex e,;mentaf _n ._1.R.r__._;. c_ont;nua_.d
_d !3)_ i 3 _ _, 5 , _ mo_'imiento hacia l__ derecha ?' disminu?'endo e_
=_t_= +_l2l - -
_ mdulo _e su _'e!oc_dad. _ast_- detene_se por un
t dn_ r. _6,sm in_tar_te, en t=_ 6s.
pef, t_.2S 4s l_.6S
_ _mRu_ !
d_Xf"__ 8_s u__o
_ 0=cte
_ _4 ___ _-_----- ---- _ X
1 - f
.-. x,. =+l2_5m _d _6m_!
2-
358

_______________/t______ ____(_____________________t_________o_o______8________to_0___0______s___________________________________n___t_____________0__0_______0_o__________________________c__ ____ r _____ _____ _r d2_n_6__ l___/________t__ _gd_ 1_l
C___T__i__ 1k,.f_l _' __,__sj..g_ _e_ _g. i_f_____ __,_._iag_ ____j_0 .__'___gg_e_ _,,_'__ec____c_4_.__
__ri __s__ t_a__.__ cG_J _ 1a partjcu_a d___.;'nu___ su ___. _''__m___0d,a,i__
vej__c__d__ _;_ _ ,r'r_s Fn (_ q .s, se _(ec1__ce q___ e,l N_s_otic_i._. t_;_T,_jé_,, __t___n_ci_ obtcy,er ___ _j;,__,o_c,
__3___ da la __ce_erc___iÓn es _J _nJs'' _ con_de_ar_d__ res__!_ta_5 a _a_3? _e !3 _.is_n_ __án__c;_ (~ù_ f_.
'_;+u ig+0_
______ f____(_) __('m_n_
, _ 1 2 ' _'J-'___''
/ ' i.
i
_ dn=l6m __
' 8_'__''__'',.__';.,
_jnatmente. a _a1-tir Je t = 6 s la pa_;_cuia ;_nicia -f '' _'_',. _''^: '_ _,,,.,.
c. + . - ï...;_.'''^''_'_^:_'_'_:_:__:_;-__'','_''.''__'_____
5_i3 _t__'_m_C____L0 _3Cla _ tZqUte_' a &Umen _n _ 5U _, ' ''' ' i'' . ''_' ' .;: . ', '_-'_'_ .; ,_ _c _i____Ji__
- _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ _- ____ _''_ _ _ i'_' _ ' ___^_ __. __ __'___''____.,_, ., ,, _,.,. .. ___,_,,8
'_ ___lC ai_ i_J_ l_ n lISma __e e?_iCI__ __ n S _ m_e _ i r_ __ ____, _0i__-_,i_:__,_._i'_-_A i _
U i _'''_' ''_i'__'__'i0'_'__'i __i_
en el tram_ _ntenor, e5to se _e_uce _e- 1_ _r_ilca _.ut - _ - _ _ - - - - _ - _ - - - .. - - - _ _ _ - _ - - - - _- _'___'V_-"_.
(_u _ i _ _'0 ___e 1_ ve!__cjdad __ _a2tir __ t _ 6 s eu?__4- __
___l_rgs ne_ati__o_,. __ _.C. _ _Cr. _____ _Ó_ l_ _eteCt__ i_i____5 __ O_
2_ r _ _s _ = t__ i._v = _t__ _ --_ ,___
Ad_m.2? _a __e1,ocjd_â en t _ _ c_, _a _x__uc__mos a_
' a_2_s__-o V "- ' -
/-_,___ ,U .._,..,.___ _ ..,.,.,.._.._._ x _a_i?Jde
' _ _',''_''V'_ C!, __-_J_ _
_ _ t__ ___-n_- _4-_ _=--_mJS
; ; ;_ _i
____3_4m_, ! _;r;._!_m_ni_ g_ _e_________ rT,jncnt_ de ( _ _ g_ p _ _ _c _r,
_et_r_, inNnus calcu1F_n__- e_ _e__ __ l__ regi__ a_e
,n __ s t_ tra_,_J ., ia pa_ícu ___ a_m__ _ la su rapidez _n _ -
l-_r__ __ _'r__iC_ CC.)n _t e_L^ de t1____O, _S_
m'S Rn _^a_a ___Und0; entOnCeS tue_0 de 2 s V ' _
_ 2_6'_ 2X_
_ _ __syusando d=__-A2 = __- a- __
u+u r_44
__:___ Fr__-(2) _
_ 2 d=+2_m
d3_ _m
Por lo tanto en eI inteNaIo de _ _ O ar -- Y s tenemos _i0Dl__8 i3
sobre Ia tra_'ectaria Un p__ racaidista se mueve ver_calmente y s__x
6 S vgIocjda_ varje con el tjpm_o de acue Fdo a j-_
t=0 t=6s g/f ue_d-_,
__,..,. _ 32 m ,..,..0,_, ,o ra lCa q Se _n lCa' l eSaCe era 0 eS _ e_ai
___''Od'_" (_gs '|'_'_"''__^' _ ai _iso _ razón de _ _s_' y Ilega con vel0cidad
; : 2 s ; nu_a; _a qué altura _e cncontraba inicialmente el
;' 4 y_s 'm' u _ __ pa_acajdista respec_o al piso?
; _ __';_.ì-_ 4fTl ..,D__D0_'
! _"'''0'_'_- - - ''_'_iD'0' _û(_s)
_ _ ; !
_ d=+28m_!
' tl 7 t(s)
e donde se deduce que
.'. u_-q_s _,
2 ;x
_ -20
d=+28m
359

_?___ __t____t__Jt____ _ll__(__t____)_ut __________0___f___t_t____t_)____f_____0___o___/g______t_____ _2o_____t_t_____(t___(c_tl__lr___)(____/__7__t_____(__) _____ 1 7 t ____() e_
lumbreras ed îtore_ fá_ _c2
_esoluci_n _rfamo nr r__* _ R __,! i_ ,,
,s_ndo _g fa_f_,ce ;-_u ( , _ef _, r,c_a__dl.
. , . J ''_t_,_iJ_4. i__}_T!G;__ _
_Sde _!J l__St_nte en __C S__ _ PI____l_2a a _n_i t Zaf Z_ , _n !_i _;r _ _ '- -'_ )_ = t_ !__
i_ -' '
'_ '-' '' " ' a_'€'' ''ic"'' _'__'__ a d ~CUmei' r!c'e __ _ '
'__'e__?_ _,_ i9__:'___ __;-nci __JaI0?__' c_ neg__ ti'__'___. _t_ ____c1ica _u__
ej p3r,___'__ j__ i.4,tc_ __5t_ _'1e___ce,__di_n.d_. H = CJß __
_d____.3_- se ___ucc _.__e _e ( _ 0 a t _ t,, e_ para_
,,__i_;st,_ u_e_,_ _;__,_ ,_e _n,n _,eiu__.,___ co,_stenfe (_e _tf0 me/t__00
.?_J , _ _ f / , 7 1_ , , Q, l,e,a1turar_mJ Jei_______de5e1e em_ieza___.a:!,!____)
i n'?i____J_ )'_ = 1. _-C_ S__'_i_xl__)'eai_Z_)f'_a_
,.__ , 4/_ en c____3 ce_,u_ ?o+ d__,_d ., _ __,e _ _ _,_s__ _l _arYC_id1___ f_ P_U___:______ C_ __ii__!llr t__, __!n _
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ru_,_p_J )J_,_n,t_, ( (,e _, __et;__,_f,e ,..,,,,__,,, n_,0st,_r_)os c__ _r __r_lI d_ j_ _i_i_i_ ( l_ - t ,.
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t_',_l51 __ ,._,,_0._ _ _'t
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Se requiere t,.
__) _'I tr_m(.! BC (_'v1.R._!.V.J Uiam.CJ5 Como fa acele c__ _ j_n deJ t_ar_c_ idis ta de
l=t_ att_ RS_ni'_'.
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De la gr- n___
CJ___O__ (_(
u= tan__
. _l,=2s
J_
A _artir de ta n5ura ia altur__ pedi_a H es _ _ (_
H___+/_., (_) _ (_=__s
Tramo _B (,_.R._!.) En (l7
H= 90m
t^ l- X-
360

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__Pi_'U__'__ __x'''__ _______. -';._;_-_ __c9 e'_r__:__' _î'f_a,_,_.__ _eì r____vjmè_n_'__;_ __''_,' g_______,;___?_;__P
i_i_' ' _'''_>,i__, fe_&____0,0'_ _'_',_,,_0'__',_ ___v!m_ !>_ __-: ;__ii___ _'_ l_,'_c_ ej__€_____enr__ c_inti__ ai T______
E,_ la g__J_4c_.. _F_ .__ es_,_Tjb_ e fn __e___c_iad_ad de c__!c1__ ._i_nq,_j,_3c_ x__ __?__ _e___a can Ia __i?_;,i__ ___-;_,t_ c__, _o_
!,_b_?. dae u___ _e!,n_,_ __e ,_0g,r_ f_whot_.r i_D_c_t___?,
Clá5tlC_R___t__ S_bfe t_l___iS_hU__ZUn9_, _et__l'^?__~_ ,_ai,,?_,__,r,_- _?__.______??,__,_T__. ip-J,_0. __ _,_ __,3___c_ ___,_ __ g_ _
desdae q'_é altura _e_s_ecto del _js_., se ;!_nzó lan
_eI_t__ ___ l0mJs2! __.,, ?_,-? _:-___?_)
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f,____r_,-l,2 y fcD_4,4_(_
_S0lUCi0n
De j_ r_ca ,_0ia__o_ ue en e _ 0 _a u < a _ __I_O t3c _ rc_
_-'t 0 _
esto imp!ica que el lan2a_jento de la pefat& es _ J_-l___ -__q,4_ r_ __ p_ _-- __,_ _n
verticai hacîa aba)o.
__ t Bc=lcD=__6S
_ra CalCUlaf la aftUfa ti desde d_nde se j_n2ó _!a
e_,ot_, es neces,r;o c_noce, _a rapidez de LUe_O, a___li2an_O _I asC_nSu jnmCiata___- nt_
l__mjento uo. Ahora sobre le trayectona tenernos deSPUéS _el Ch0qUe (_e _ haCia CJ
(C) Uc= _'B-_tBcU
c = O ,.._..,0L_,0__,.
/_ ,/i'''_' ''___ i O--u-(l0)(l,6)
:. ; _ u=I6rr4Js
, __ o ,t!!,, (A !! ; _ora, cn el tramo AB usamos
!,,,,o_i,0...l ; !,
__'o Bv t_c_ _ ; t_=__c ef _ _1 +
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36t

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lu m b re ras Ed itores. fisi ca
PrOalem8 t5 ___eg__ en eI tram_ siguier_t_ de r _ F_ a r = (_
Un automóviI_ ___t_r__ !in_ t_i_st;_ rcctifírleci. inicîc_ _esacefera c_in
_' u m_v_maenl_ c_n _na 3__c!,__r_cin _,unst___te _
m'- 'l
_c_ J n_/_-= _ lue€_ _e _i-_rtu t!r?mµu emmicz__ a
, 3 _-- __=-ta_U
_Iit_l__1itt s!-.l r______: _ F__Z_J__ _ C Tl_,/S Cn C'_d_
s_J_. __n___ __-i ___- a_i1c_J"J_'ii cJ'____r___' iu m_vi_'__ie__cu _ 3 _ ___''n___ , (1__)
a-___!. !__,n j _'(__- 1__, d__te1r_ain__ _l_ _na_i___c_ r_- pide_ !_ -- ' J
__ __I ti__m_c_ _u__ e_itu__o en mo-_'im!eIlt_. R______-îen_u (IJ, (_l_j y (IIIJ sin_1__t_nearn_nte ._e
__tiene
æesolucjn (___N_os ; _,__8os
S_____;n _l eI;unc;'__ __, el autom_il pa_e _el repGso_
_ t U_,i_=1S_m/S
Cn Una DCimCF_ e __a_ C = a = rl,
. _.. n s _ I _ , , Ct_l _uf_om_vil s__ _nue____ dur_n_ 8_ _.
t = l_ _ t _ l_ c)tf_ h1.K. _/! ._! (d_Sac''elefa__).
_' omo sabemos _ue I_ veiu_'i_ad dcl __ utomóq'il P_0bl_m8 16
varia finealmcnte en cada tramo, podemos lJna p__rticul_ ;'nici_ su movi Iniento con _ina
pro__ _ner la si._uient__ g;cjr_ca (_uNl ). aL'el_ración L_onstante __ +O,75 _- ___s2 vv su
vclocidad va__ía en el ticmpo_ see1ún la grnca
_?(_) d_ t __espueJsd_que_t__empode__n__c-t
l_ r S atUna'_'
i _-f - _t ,
u_l - _ - - rnoVl___Cn _ emPIC2a e re OrnU_ S_ lUC_O de _"
!_ p_s_ µ_r ej punt_ dc_ partida?_
!. ù(rnJs)
: _
_ 3 ------------
a_ _' 6._.,n2 t(s)
o,' r_ ì,
l2'tj '
_n_n_e el __4_ scJ!n__cc_a _e l2 Fegión t_i_ngular, ___ __t_()
;___ fe_f'e__enc_ O
,4 =' rcr__ri_'lu ___ t =- 0 _ t = l ,
-e__ce r uç ^ ._e.5oluclún
{
_r_t____Jrel_n_o i_ _l'_' n_ca.
1n !(i'
_- ''^'' - M ;' 2t!__! _.__ l=().. __ ir_ici__ el movimient_ (_io = O). _dem__s
l___ pen_ientc d_ l_ r__ita __ !a a__e-!er_ci_n
I_'l __ß'u! - _ _
:. _n,.,_=_ _) u__t,_n_,_____75rn/s2 _ut';._nte!,os rimef_s
t,_, - 4' '
.T _ _' __. F_l_ cl punto _!e co___ (inslantc_ _') i3 velo_idad
_n)_J__n Ct _U!_CJnl_i'l e ( = _ t = t_ _Ce Cra C_n
es nuia _' !_uego la _artí__ula c__m_ia la direcci_n
0_= ta_l__ -
_e __ mo_'imiento (em_ieea el returnoJ par_
li,__,x el i__st_nte r _ 2o _ le c,orres ond_ un_ ve_a__i
t =_- _ - C!
(, __
362

__(_l) e_t3n__(_t_)(2(_ ____(2to___4(__l2_)o__2_3l)_ _ _ _ ( EsNt __t__ao___l_n0_f_o__fm_Datc2_t___s_n2no_s l__nd_____c_/a_que yl _ta_llg___p_n___|_JmerJo y
CAPíTUL_ Vll ____jc_;'_ _e _r_?__ds d_l m__ímen___ m_?_cá__:_.__'
Ah_ca sobce la grár_ca t?u - t! tenem__s _' __; _?m?,J
U (_5 J i
_,_,j''_ _ / ;'
______,'__aa r(_J '_ _
o _ t?_?y';,_2o 1 ; , ?(5_- _
, _; _., 2 _
__s____i__
Según da_os del prunbiema la p_íula l__e_o _e __ _r:_emre__- 3- __ gr__1ca 5e ____uc_ __-___
20spasa_Orejpunt_dep__d__lOi__liCaqU_ _ : e,___r;n, _enta ___t.R._!. __n u_, _ va__ci_3_x
fe__ feSÓ a SU _OSlClÓn lnlClal y _Of ende SU t____. .t ___ m4_s_ '_(J cu_l jrl_jca _,__e ,__ m__J_v_vm
_eS_la2aml__-__e__ CefO_ r,__ __;_ ._2 __e_'c______ c_.n,._3___an_n_ f, ,_.___ ____v__,
t d=O se__--x_!r_W__.
P_rO_ Se8Ún la _r_r;C_ _tant__)OS _q : ,__ se __. __e_,e _c__ __! ir;___v_j'r_ _e _J- _ _J u_
_ = A _ + _ 2 ;_ = _ s., _-__ _ut_ ._!.J v_,ioclu_- _ e.s _, ,__a ;= V __ x __ __'_ :", ;
__A_+A., _. _ro__ __a_tir_e (>25 empie2_amoq_e;se
__) (2_ _ _ _)!_c,_J __ s_ vetoî' da_ v___ i_ __n. îf__rn__in__v___e_ cor, '_o
G____+ M c__;. A ___s_frol_.__ _,_. __,_,._,_._':._ _x__?_j__ ___
de_ech_ __a 4uc _-__ vel_cida_ a5 __5!e;__Ja;
t U2__-t)=i( I) '
_ como s_ ra_;de_ ___r:a e_ 6 n_,!._ en eI
también P_emOS Plante_ _,nterv,1_ de t __ 2, _ ; __ 4 s en,,_c_e5 ,_,
3 u acelefaci6n tje__ módujo jgual _0 Y -
-__ 4- -
_DU_6_S _3_,,2 _ __ _p__n/s2
_ u=3_ (lI)
l s despues safe A de la misma posici6n.
f' /_2_ _ l 2o _, __, c_mo g se mueve solo con __eloc_dad constante
t_4 y como A acelera en su mi5ma direccj _nt
de d_nde t _ l l _l S entunces 1,__ podfá daF aì__ance al cabo de l_
POF lO t_tO_ el FeIOrnO del m_l OCUrr_ lUe__ de segun_os. Sobre la trayect_na tenemos
II_ls. f ,
PlO_l___ __ 6_s ___ 6_s __ _ 6_5
En la _fáfiCa ad_Unta Se mUestra el --- !, l2m -- dB ' _,
comportamiento de Ias ve1ocidades de dos ; ;
_ex.siene_ ;', 3'__, ;,
deter_ine 1a rap_de2 del m_vi_ A cuando d_ ' _ j- O _-- ' _U_)
a_cance al m6vi_ 8. d_

_)__( _5011 __ (J ) A ) p __tllt__t _ y,__ _8____t s_el__ nade1ndr_tgreta(2ssFae)m_4_u0_es5dtlooa_
L_mbreras Ed itores fís ica
De la F___ura, planteam___ E_ m___i1 B se, de__p!_d za a to 1ar_o _e! n_ismo
d, _- _2 + dg eje ___c _4 (dato) varja__da su vei__!d_- d. _ero
', ) nr_ de maner__ un_,Forrn_, er,tonres el
'__(4) /-(_) t
_,__ I - B I m__il Y n___p?__menj_h,1.R.U._;:p_r!ot____. to
, t3ac__e_ación__ _ es vari_bt_ (_u,,,__t_.).
t(A! '__
= l2+6t;, (_) _hora de I_ gráF__a pod_n'_o__' pfû'nt_ar qua
si B __e m_e__e so_i_ !a norizonla!, c___ !__
__r_.._araA
_rim__ros 5 s _e mue_+e hecia la derech_
U}'c__ =t'__ ''_'_ =3'_ (ft) (___A>o) c_isminuven_u el mó_u_o de su
__!_ (_l) _,ef___c_-,Jc,,_ ,_r, ( __ J_
_3 t_? -_ _ 2 _ 6t_ en _epo_o ( __', __).
2
_. o__ pider_ _etermin_r el instante e,_ __e los
_c; 'NI2t1__J__ mo,_..,les _ _, g (._enen ta m+_sma _,ef_c_.d,d e_,,
? 4( g o lop d -p ec _,,,,co,a,d,d _,g _
l-- l- - O emO__ f ? C ra_C ''
d_- do_de r_ _ 2(_ + 1j __ SUC_de en e! PUn_O _e ''nterSeCCiÓn de _aS _r_nCaS
_ _' seria __ra ei inst__, ie t,, t_ i n, = l_, -- 3 m,/s +
l_n (lfJ: UJ_(_) _ G qJ3 t l mJS
_u(._s)
piaa_emg_g _
Dos cuerpo__ se mueven a fo lareo de un mismo ;_,
e_e, s,s velocidades s_ rump_rtan en el (;em o i
' ! _ A
se__,í_n J_- _rfic__ adjunta. L_n _ue instente de 3_ ,// ,_
tiempo t icn_n la misma _-elo_idad y qué. ! 5 ,/.'/ _ 1
ace!_-_r_ciónt;cne elcue_o B endichoinsta_te? /,' _ 3
__, (_s) /,/// ;.
l. g o_ rxs
! nrcun_erencia De! triángUlo rectán__ulo se deduce _ue Ix 4 s.
Cá1culo de 0B en el instante tx
3 Ahora en el pun_o de N_n_e,secc,_o,
recta tangente a ta circ__n(erenc_a_ así
u (m/s)
t(s
5 B ci1c_F_rcncia
Kes_lucin __
Al interpretar la _ráfica _e cada mvil, s3_0_ _
3
C_nCfet_m_nte _Od_mOS _tanteaf qUe: ,/'_
_ E1 móviI A_ e_perimenta h_1.R.U. con una _/_/ __ __
velocjd__d u _+3mis _ ._i ___g se mue__e ,/' r _t__e_te
su__e_ un e)c horizont_l, en todu in_tante se , _1o -- i l(s)
_jri,__e t__cj_ la derecha. O ;, f,_-4
364t

y_gRq(_ruepta_es__0____pafa(_(to),_0_5_____pso_)__ap___________0__tcw__a_s_eptld__e_ s_t0p__l_______________hac_l_a _la _u_____o____(t___t__tt__Jtl____5p______5(___dJ(1 _)__ _aF_______l__a___Ja__c______el_e_ ratcl6_n(el)nlae)_
,_0,,, _ ; _ _;x/ _ vimi 'njc_
ia á, p_a un ins_an_e es_á e_sy___Z _____ >o___yc_u_' _doe_ve'__e-_!,ce_e i8__a__o_a
de__da por la pendjen_e _e la recta ta_,._ente a l_ _5e trasl__5 i_ sobre el e__e _, _(_ _C_aCi_n Seij-_
_r_1Ca Ug ' t e_ el lnSt_te t_ Se ttCne Y M" X _ __''_ __
t a __t_0__tanl2?,O iY _
__ 4_s2 _ l
" _--- _ ' / __
_, t'__ !'' ,0 ( J,
_ _- - 'i_
____i_,_'___1_ y__'_ i . x ' _
unap____u__asemueve s0bre el eje X c_nuna __;'-..,_ _ _.-_, ' '-g_' _
ve_o__dad que depen_e det e-iempo __eg'un !!a
_f_ca a_ J_unta_ detef,___ne _, ace__,_,ac_6an _q,n ij__i_._-_dn1aar_dJ_giûco__1a_5___3_an__eii__
_a ar,tjcula aFa el inst4,_t,e f_ 10t_. r-aS_
_í_s) __'__''û_Cm/st
i__ _ _ '__ _ ì
5'. ' 5,
r(s) j'. ' r(s)
i 5 _,
iuc_6n Se tiene que la ecuación que re!_c_ciona _ _a
_niemre_do _a g,&nca p_a ta p__c,la se deduce velot;dad y el tiempo es
dereC_ COn 5 _s, de l = O a l = 5 S SU Qpide2 H_l_em_s _ con l0s daios de la p_5bota_
disminuye has_ cero se de_ene por un inslante _
' . Ent=0,U_+_m/s
e_ f = 5 S _ lnmedlat_ente felnl_a _U m O_-
_'ento y cona'núa d_pl_d_e __a la der__ ReemPl__dO en (I)
_a t > 5 s la parttíula __i_ un movimento t + _ _ g o 5)1 t g _ I
acelerado. Sobre la _mctona tenemos R 5
eem_ _and0 en a e__aCl n
_i_0"__ ____ Ml 2
0 Q _u_-l_5mJ5 a_dela
r=O ! 2 .
_-__i,__g=._i,=0_ _5_S ___.0.__Do..,.,U=O _-_____.___;_;',_U_ x como _ s . gn ha_l .
'._i_.____'_._. ;.:'_ _i_.','_i_'_0____'____a00__o'',___0a__._0________i____i,'0__i.____ ______,_,___o___,__.__a,__i', __._. ,n,,-,_, . _ ____,_. ,,i__',_0i_._._____^___,_..,_ ,0o_i___0___o_. ,_a'0___o___'_____i__v ' ___'._' .._ !_?._ ___i___
_ iMtante l _ l O 5 es con_inle de__ _ velocidad
De la grn_ca _u-r) como es una pa__bola _a _specto _ i'_empo_ as_
vel_id_ v_a en Fo_a cuad___ _ ___ y su d?
.6 / Ah ?_ U (( 5)1 rf 5)_s2
aCe efacl n nO eS COnStante VaCIa. Ofa __= - - '- -
obtengamos la ecua_6n de la parábol_ con ayuda
,un_ s_ __ que _a ec,4c_.6n Ev_u_do p_a t = 10 s en (IIJ obtenemos

c_ _ _____ ___o___t__t_____/___ ______ ( _ ___ _l_ __ __t_ t t r_) ___ __ _( tt) _t tt _t__t__JJ __ _l _ ntto____ __n __ __t (l_)_ _ ___ + _ )_ ___
i._n_brerd_ _ _,io:__ iures _is_F'_
Pr__iema____ii d__
_ _.,I ter_'nino _ ___s reDre__enx t_ ej mdl_l_ _e _J_
J_ I_ _rai_Ca_ Se mUCStr_ C_m___ V__I_ _a _l
v,_.,.uc__;d,__ _,_ un muv;,! ___ ,, ._u,,,c.;,_ ,, ,_u _c,_;,,.;_.n,, vel_ci___- _; _____ _'_ _LnsTanle ___e __e u___-er_'a c_ la
_. _f_ ter1y, _ i,1e p_ l ______ ul0 de Ia _' c:c_l_r_c_i__r) ___ ,: _ t___jl f_fi__ (_ ?_. _ +_ E_ ., ,
_--_,_-,.__u_ p_sa µor _/ = + 2 _n. _' l m__J;,.__. _1__s__'ri-_e
. ,_, _ 1.x _1_
_l _f__y__t__Jfl_ reCtl,If)__ 50 __ _ _J__ ,. _=l__T_s
_r
_ _ ;(mf5)
!) ' _ ' _eern_i_' __,__nd_ (_l:) __J (_IIl) en (f
recQ .,
}'_ f _ _ _. _ _. _. _ _ _ _ _en_e rl _- I U mJs'
s, _'"'_ ":
g !' __-:!_. ! Pro_l_m_2__
l _
!... . _r_a __?, ricLa1e se n;_l_eve _- ln 1__r_'_,_ i__! cii_. __, ,_i
!_' _n l _ __' Sll ,_Us_lCl Of_ __ _ ç=' - __ l_. __!_ _ ('__'_C!__iJ
?' -_
_ ; UJ_=_!- 3-n,J._ )' ?U _{_C__F_C_l__ _. _ CU___O_í
!t, ;_, _X(m) s____,_ 1;__ __r_iF,i__ __dju_-_t_. dc_terl__i,n__ s_.!
--?'-, 2 _,t_,l____i,___.__ ;_ p()._. ;_t)n en el f__staJ_,t_ ( _ ____ ._,.
Kea'ulucj_n _, ù (_s2)
___ )._ _?r_j?!!c_;_ p__erno__ _____1c'j_ m__e _on(orm_ e1 t,
.___.( __',_j. ____ _tras!aJ__ _),-___,_, l,n __r__,nt_.a, s___ __elucjclad _! _?, _t(S7
____r__çE_t__ Defn cad_ __e2 ___.;menta c-__) fnF_nur O _, :
rce_J__'l_/,. l_.stc_ signifiLa c1___ 1a LJcele_'ac!Ju_! _'__ -2 'i-_!
_iiminu_.'endu s__ ,_ú_L_lo. _st0 _-__ _ed___e ___r el
he_ 1_c-_ de c,_Lle la recta tange_te a t__ c__._'c_ c__ da Res__uc_N,_
_'L___ tiene menur in_nlinación. Se _ide c1e-tcrmin_r __ - E . _ , _ (_ ) _ d _
' ln (=tl)f__3-_- ''' :î' f_ '-_ __- _ 'S_ _ __t' __Ll_ __
el mOaUtO de la a__elefaC10n ___fa la _C___ClOn , . . .
v __!tlCUl__ itC i = _ ( = S rea I26 n, '1._.l;._/. )'i __'_
__-_i_m _uf l_ t_nto __ar_ el t_st,_nte _ _ -
' - u = -_ m7.s V (_'',c.) y a p__ir _e t = _ s e_ _- dc_t_- r___'
In_n_lC}_I_JO la a__^I-_'raClOn eSta d^_ tnld_ _0C
e___jJ_f_:_j_nt_ __J._.U. _)OiqUe SU _C_!_'raCiOrl _S n_:__--_
_J (? __
U-_-_ _a= _
fJ/ _
A_Ora _Un las cUndicaOnes iniciates xç= -5 n_
u_,__-_i'_ nU l'On0ic._)OS ta de_el__CnC__ de 1a _ _ ,,
u_=-t1O__ y ta c_ceIer_ciún u__2_s-,
_'Pl_^__lda_ COn el _lem_O feallzam_S el Sl_Ulente
sobre Ia lra_.,-ectoria poden)os tener
art3ii__)O: InUItl_IlCamOS y dlVldlmOS t_ C__rC_SlOn
_iJF Ci _t ft_r_1lCl_l d_ .X. (__), aS! l_?n_nlOS l_--_ O l--5 s
; _S ;
_' CFX r ' _
Y=-'- re3a C aCa Cna _ _._=lOn_,_'_ a-?_s_ _
x dt __-, -^ ,_.UF=
du p xo_ ''^A '
Pffnl__ _ _S a _Cn lent_^ R a feCta f_n3entC ! - ' _
X __ _L __ _
, !X_=- m' -X_ !
Ue Se nlUCStra en la _ra lCa, _0r O an O W, . ;
cl__ t o lO-8 _ _ _ _ ;
=an +_='- S (I_) t._____!
X' _ _
36_

_ah6_mr0_rfs_adh_____Na(___c____l__x2___________ t_____ __t_ tt__tt______ ____ __________ _______________ __ __ p_________tvvr________(e____c____v____________t______r___a(8l))) p_?) _ +__t ____(r)
UP_TUlO v__ Anáijsis ___ g__ficas dea mov_mien___ __eo'._i_____6c_
Aquí d 3e puede ca3cular con Ui,,a_'_0 m___>____l'O
_ ___c_____:d3_ (___ ì _e 1a___í_____-ae_el __c!__ntev
_o+uF .i1O___ _
_;-,._''_.t_q __ r.J_ __ ____im f_ I_C slo_,__.dc_T_00S d2_eirri___._Fi.?cN_n _''__U__
J i-_ ,_ ' _e ;,-un _F3_F,cd_ (. _,__ f _'_
_o_n____T si __ _a_ícu__,. di5min__ e.
su rapidei en 2 nUs cada se__ und_ nast__ _ue se i.- __ c_sa,i
e21ene _!f _ _, O Clla OCU__ e_ _? _ _ vig e_
gr3flco anterior se deduce que __ = _ 20 m- _,_-__ _
__cu__ se det__e_e e_ x _2_ m por un t _ 15 ?(vr_.
_i'_ l'-' ,_._,__.__,,,_,__, .,... ._. __,,,,,,,,,,,
ins;___--r.'t.eeinmedja(__nterei,___ ias!i___v'_- __en. tc_ ._ '-', nn _'_-_:;''.; '' ' _.;.
_a 1, ;2mu;e___ au_nentan__ su ,_,_?. _cJe__ -- _s_ ;'.;_-_--;'. ';':.;' _._y _=1 ' ;_. : :,.';_._,.._',;._.;',::;_..;.__:
en 2 mFs en câda segund_ _- _,a5t__ et iMtante _ 2 i ' _ ' 'D
_ _ _ ___ _e (j_c_ne ___,, _-- 6 ,_it'i y ____t_re __ tr_av, e___c_-,__ ;_.
_.___i!_t_n___ ____^ __! ci;-e,_ _____ !_ T_í,'_i____-
t--as .. _,_ .:
-', 3 s C_m__Rrla_ 0 __f t3 __fa_lt__ j' e ___ t__lTI__
6_5 _!r___2___ ,__0 d-es_e (_-O _-a5.t_ tN- Iî_ n__-_s__!!__'_na_;'_r.J__
v_ ________ ._.___,_,.,...__..;_,_-....-,___-- ___ ._______ g.._,,..=.,.,.g _e l__. __,__c_d__ _' _,__u j _.,._,, _',r__iu_ _n____-,_, _._ic,_._
_-Ma_' ___''_''__n_'__''^ ' '' '' __'_'''_'' ' ' ' ' _';' '''''''' ~^''''''S''d' '^ -_''' '''-'' ''''4''''; A-'M'''' X entonces de Ia grF_ca se ___ne
__-7 '''_2 '
_ l_ _tJJ_,_,_+,n._- +vs
r_ -___ _W _' '
' ____+20m ' _ _
_ U_-lb--'-i6_(?
Enel tramoAB,usamos
,+_7) t u,_(+'__)_--16
d2__"-2 d__
_ uF__6_s
rO+6 (3) gm _io sjo_nca que _a p_icu_a en f -_ _ __,_ _c_
2^ __ - ~
_ _ rr_ueve hacia la izquierda con 6 mrs.
COneI_Oe_!_a fl_UradedUClm_S qUe Xî_+1 Im_ _ Fl rob_,mat,mbiense udohabeFfesue__,
Fi__mente, c_mO Ia _í_^Ula a p_ir de t = 8 s c_n a___a _e __3 ecua_o, n _e__ mo._m__.,,t_ _.,.
e_x_erimenta M.R.U., _ntOnCeS Su velOCidad _a ec,,,___n de _a velocid,_ de _, p_;cut,.
U =-_ _S se m_itiene COnstante y se t_ndr_a como en el inte____ de _ __ _, r __ g s _,
P_a el lnSt_te l ^ l_ S l0 Si_U_ente paF__;cula _penmeniacn un m.R.u.v._ entonce_.
r_ _ss . 7S t_gg_ _a ecuacj6n de s__ movjmjento y de v_u
, 6_s ve!,ocidad so_x re_'pectivamente
._._,___i_-_------------v------- ,_.,,._,.g,_.,i^-_- X
'm'''''P'''''''~''':'_''t'''__i_"-''-"''''_'_^'''m'__^'_~'__''''''__X'_i_''_'''m'''''-''''''''^'"""''_A'_'0__"_''i''_'_' ''''_''' ? m ^ 0 __ _ _?
__!__2_+llm: X=_+_ +M2 Y U_"-Uo
' _s _' ; ?
__' n e lnS_ante _nlC_a Se tle_e _o--- m
' d3_ 42m ' uo__ +lo _s y Ò__ _2 _.t2, _ ,eemp_az,, se
De la Flgura deducimos que x3 = -3l m. tiene
Se concluye que en el instan_e l = t5 S_ la _x_ _+_ot f2
velocidad v, ta posici6n _e Ia _articula son .
u___s y __-3lm respec_vamente. u=(lO-2l)_s

_e_mspl____el_e__e__o_m___nu____0t__F_m2_g___2_2_ _ __l _ ___1lll _ _ p ______ 2_t3wn ns_t_a__t_e_(____lls__s__7__ _)
__;--_brer__ Editores ir ís _ ca
Para et instante t -_ _ .s_ .se de_uc_ __e Co__o u ., = _ n/___ la _-'clocj_ad e_ Imenta en __ mJ_i
x +1 l m _' u = -_ r_'s _n ca_a segund_, entonc;es e__ _ _- fa _-el_ci_ad
Como e__ e_ i__t_nte t = _ s termina el __,K .(J,V, aumenta _n _ n_!s,
_ cn di_!'_o ins_æn;-c_ c__ni_r;_a el __,R.l_. con r_o!_o _o _ +_1 nus -_ _;, _ _y m/s
u = - _. m/_ , enl_nccs c'__a l s r_crJrrc 6 m __egún la gr_Fjca _e ( _ 2 _ a t _ 4 s ei_ mó__i l
tt_Ci_ fa _'2_ui2__a; entunces 7 s más tafde exp___,iment_ un M. .R._'._. con _,=-3 _T_/s2.
av__n_ará 42 __ _1_cia l_ i2_u_crd_ y, por l_ c__ movim_n_,,,__o es c_mo se,
(anto, en ( = I_J s la prJ_-ición finæl de l_
_arti_-;uIa .5erá _,, _3 ,_,_
? t__2s _ t--4s
._-F =?- _Im___nl=--3lm U_ _&m/5 _ U2
_=,_...,.. - -_- - _'i- - _ _ - _ - - - - - - - - -__.,__,=,._,.,. - _ - _ -
.'. .x,._______i v (J_n_rn,/s-
' ' __n es1.e tr_m.(._ 12 _e_r___- !_da_' d'_.___f);'_;_1___cn_ e_._ 3 !.T4'_
,,,,., ,,, _, .,,,_, ca_a segun_it__ e!__-_r,_eS en _ __ _is_n'_n_ _'_)_e e__ 6 m's.
/ ,. __0n)0 u__-t8m_s_ _ u _+2m//_
2_ara fCa_ü_ J_rlt_n_i i^___eSt C_e COm_O__a__len(_ _
_,a a_,e,_e,_c,_o_ _,, _, un c.ue,_o ____ _e mue_.e __'utc__. _ue ia ve Ioc_d__, es _i_sitiv2. ent___.ce__ e-_
e__, __,ca ,_cta. s:, en _ -_ _ _.u ve_oc;a_,d es mvi1 3ún se_ mu__.ve ha_ia la derec_,a.
___ __ +_ mr,s_ dete2'minr_ su veIcJcidad en ( = 4 s.
____'_a'_Q__m8
a(_s_) Un_ partícu_a que d_scribe unû tra)_ectori_
rectiline_ tiene una ace_leraci,_ que varím con e_
: tiempu se_4un ia €rá^J_ca ad;__nta. Sj L_n ct in_tântc;-
_ t(S) ( __ 2 s l, _.eloc;d,_ de l, p,n)cu _a e,_, _ _ o mJ,, _qu
2; ;4 veloc___ed _-_e,e en el -_
_ _ _0(m'sJ
-3 _ _- _- N - - - -___ __ d' '
Resoluciôn
! 37o_ t(t
Según el enunciado_ el m_;_ se mueve en línea o0
recta; _ c_nsideramos que s_ mueve hon-_ontaf-
+ _ _ .d d... _ _ __ Resolución
e_ _l__ a SU Ve OCl a InICla Uo = + S
/_._-_E ten_ra/ _ue move,se _ __ derech_ _o,_ Aprovechando el áI_gulo de _J^ que es notable,
_ n _a e,a/nc, observamos que en e_ __nteFva_o completamas la gránca. asi
Ue t = O a r = 2 s et m6vil experi,menta un M.R.U.V. _ (_s')
con _ _+2mJs2 entonces el movjmiento 6
l- t
ocurre de fa si__uiente fonna: _
2, 6 6 ; . .._
2 ; ''--_
!-2_' r--2s 0 ' = 3T0
l-1o__4_S U_ 1
=-ii__-_ _ - - - - - - - - - - --_ - - - - - - -____''!. - - - --
_ - '''_^ -' ' , ,'._,.. -_ __ _ -_.;__,__'- -_ .. .,__. de donde se dcduce que t_ _ 7 s.
368

__s__ _3o__t__lt __f___t_u____Al+_A_2rt_tt_vl___2___t_______rt__ __4_ __ _t se_____a_4______aF_e_____)2c__t_tc__am____4_+_(e__42_n_ga_t Je_+____s_2_et_o_(___p4_su_)_(e__2_d_4_>e__s)de_t__e_rm____t_t__lf_n_____1______plqv1_e2__
_APíTlJ__ _'Il A__álisis d_ e__áficas del mov_mi_nto me_áni_0
__n COn__CU__Cla 9__ (m/52)
_ , _n e1 !nte_alo de t = O a l = r _, j_ __aníc____ ;'
_i2a_1.___J,_. co_ _,_- _Gm. J's _. q i_ ,___
__-. Mclinte_c ai_det=7saI---lís,_apa__=._c__-_2 _ ; ; _
d_sm. ;,_u_,_e el Jnó0__to ne su ac__lefac__n hast__ __ !, :' ; X (_t;_ _
__ue __ n r = l J s ___! ac_t,pr_cjón 5e h_c_ r_ule _ _ _ _4
(_0__? - _e,o_u,_.,_
_,n(o_,_____ , ____ mu nus _i_c_n lc_ ve1_cid_._- c_ t = '_ i s __ _;n__e_/_ mue __ì' a_,_s _5 __-___us cu_n__ ____
_ ___n i_J_;_Jc_ !_ v_-, i_c i_a_! an t = _ 5 D__cm_ _ c_,__ _' ___cc_ __ _? __- _ 1 -__ 1:'_i__ ' _clc_,!_' _ _oF '_-u t__ n'__ _ __ l _ _ _nv_' _ r___ 1i-û-
u?ad_ t_ _r_ _ca a v.s. tycalcul_r_;_u._. ______.__n.s ____R,___!
_g,;g__s_s.. S__n_n ir_s _S_to__. s__r__ la tra!?_e_tor ia p__ _e,_!c__.'7
__ _ p!e___te__r
!t __ n_l_' ,_
i !/_~____-__ __!___
S! _ ,__ __-_ ''_-n-u
! _ _ _ _, _ _ _ = _-_ _ _. _, :_,,__ :_ ___,_,5,;__+ _ xo _ ^_ _'_,.n= 2 _ M
_ At ___?___-,_- ,,,:^-'_ ________ _ ___?
' ! r/' ;' '' - .:''''___' . , r(__)
' v ' " ' '' '" _,l __lc;u_o cl__ u I_ ___a_0_s ,_m-_'er u_an_c_
2 J Il Ij ,___,_
don_e las á_ reas ex_resan 1_s veriacione_ _e _eemp_,_anndo __
velocidad (_,, n,_(u)2
_ r6_3 u=2_s
_u=(6x5)+ _ x
_ _ Ohamtodo
up-_ =+Q8m/s
i bien e__ cje_o, se tiene una eráF_ca acelera_j_?_
_ : velocidad en el inst_te r -- 2 s posici_n (?a -x), lo cual no se prese_;6 c__
_u . veloc,_d_d ped-de pa Fe el _-nst,nte r _ _ s mu_ ha frecuenc ia, pero es de gran _ t i l i _a d, _e
P' ' .., . _
_ ù_ - (- lO) = + _ ieru pci___eFc demost_en_os lu sguiente:
._. up_+38r__
Signinca aue la partícula 5e mueve hacia la _ _ ., _;-. __',n'_ ____'. ='_ .. _'_ -_'_ ___
_ derecha. - ?_;.__._./, v;_;.,..,:,-___:_,_v.,.A_ _,,;.';. '_-_;,:. ,_._,;.= !, ,
ir0_lem_2_ O: _: _XF
Un m6vil se despIa2a sobre el eje X, taI que ; _ _ ' :_
cuando pasa por el origen tiene una rapide2 u - ;, __! _ _ ! _
y cuando pasa por x- = 2_ In tiene una rapidez 7u- ! ,_ ., ,__, -v, _.n n_._ n +,c., ,.,_x , ,,,, _m_, ,_ ,_ s, ,,nv ,, ,,,n, ,, _m,,
. _ _a __c _a__x d____._ deEe__ne, X O _ d ' ' XF

_R _4_tt __2ll____(l2_____4(m7____A/)s__)__(tJ_) 2__ t_ () _h__________r_0_______J_____t_________s_x________r_______________J____________+_______8_t_op___tt_____*_4__t_____v________q____)___rn______tt)r___b__+_____xyn________x_t___t_t____t____________________m______________y___lyv___t_____________0w____2______t________5_____t___F__v___________/______n__/________________r____________________v_________K__((M_____vo____o_Jn_________y_______________ _______________?/_________
Lum b re ra s _d itores f is ica
Et área de la regjón s_mbreada es _ _0 ( mFs2
j.
=0Xf- o
C_mo el cuerpo expcrimenta __ _.R.lI.V. usamo5
'_. _)";_X
1u?2od !'___':,''.,._ x_m_
t-J 0 _.:'''':_;,..--._;'''''___5'''''
_ _o _
Ut 2_ _i'_ _ _2U(X_r - X2)
donde
2 u_ __-__--
F_., a_a_x,+-xo) c_iJ !_
' 1.__rea=_F O '_
__m__aran_n (__, .t_ (I!)_ concluimo__ que .s;er__o '-_'m
___j '- _'-,, uo : raFidci en fa pnsición x
_', : ra_idez en la p__sición x
_ar__ nuestro c'a_u __r___-_'tr__n__J_ _1u_
__ (__ 2) _ ' _,_: '''_-______-Y- _______--- -s: '-_____,__;___ -n; ;_-_--_v.:':' '___.::/_:__:_'_' '_'::=:;__';'',;._::_.V_''m:._.___:'__'e::',:',__i.___:_!_?_'.'__';__:.'::-__,'.__!:__sW_--_-_-v._;_' __--_'__m_--_.=__e_- _;__:;_^---__- __=___--'-_'' '_''''
_'___ ' 1 _''''__ J. _ ____ _;.._ ''_-.'_____".h.__ _-____-,.n'_;.___':,i___ç: _._.'.__''._,_.._,,'____._..__..._.:__,__._'_.._;;'.:_'__.;'i.._._.:.______-xs-,i,0-,,____-?_.__o.___=,_-_;Y_;_h: '-._ __. -__--. ,....'
_.__.___.ij'- -- '''-''---'^='----=-'
' _'_, M t,, '.,. _O_ Des ués._e__berse_echul__ demostrac__n '
_r. !i' _
A _ ''__ara la €F__F_ca __celerac'in v_rs__s Fosir_in- '
'; __(m) _,,,0, (_n-x),u____dap_ne Fseapensc__q_es_bcc_ ;'
_ __ ' j4__' ___,0_,_, lo._ _jes co_rde_._dos se _ue_e c_loc_ cu_quier
' ,_ magnitu_ r___i__a _. ' e___r_c 4!_c el _e_ deb_j_ de
_V-_;- la _rén_a I_us _ _'um_ rcsu_t3_u afo_o _lil; ___'_ro
U_ -Uu ;r_e_ nu e_ _si se Fel__._onan ma__-tud__ qup _ut,€o ;-_,
2 _-_- de c,_,ular el m,ee _ un;d,de, de ,n, m4,;t,Jd _'
_ ;---
_onde ;.q9= nS_Ca C_n Oi Ida. _...__.:
U_ = _ : rapld_2 en Xo = O
u, = 7u : r__ pide_z en x, = 2Q m PrOa_em_ 25
U_ rnvil que sc des_laza sobre e! eje X pres__nta
C_l__ßta2anU_ O datOS _ ?
unar_ptd_2 2U alpasarpor xo=0 Y 3ualpasar
2 _ _ .
U ' U pOf Xt_- m - _ _fmlne U_ Sl la_ F_ FlC__dlUnta
X 4=
. 2 muesfra cl co_nportamiento de s Ll aceler__ción
l92 = q_ui reS_eCtO de la _05lCln.
^a (_sa
En general de la gr_F_ca a-x se tiene que el 6
área de la reeión comprendi_a entre xo y __, nos
expresa la semidiferencia de lo5 cu_drados de las
dl ,._ 1 _370 ,
e O_IdadeS e mOVl, CUa__Ulera _U_ SCa a ! '__ ;
forme de variaci6n d_ s __ aceleración (cunfírme.se ' ' _ _ ;_ _?
con las unidades). __ _
370

_s___e_x___3 u_0________w__l__2___(t_2_t__tyt_t_____6t__2_f3__3_ott____t(_____F__J___d ___ ul w d _0lslta_dna_tde2s__deeh__+ta3c4_t_oemrnus_cayea(nuqdu__e_ue_yoe;_ng_A2cdaseb0amv_adsne2sat_|4t_e6snodssmouet
_APíTUlO VlI Anlisis de gráficas del movimiento mecánico
Reso_u c_n P10Ql_m_ a6
AJ anali2ar la gráFjCa se deduce que el mó_l, en Una peque_a es Fera es lanzada des_e el piso en
un primer tfamo_ varía su aceleracin Una _OSlCi'Ón dOnde _reCi5anl_nte _e ha
un_formemente y luego es constante (M.R.U._). estableCi_o u_ sistema de C_rdena__ X-_N laS
Almargende ello,paracalcularupodemoshacer gránlca,s _an info_aci6n _el monmiento de la
uso de la conclusión del pfoblema _te_or. pa_ícula a l_ largo de los eJes X e Y. Deter_in_
_a s2 la faPidCZ de lan ZamientO de la __iCUla y SU
_r__ n e_ insta_ __ 2 _ _o 2
A_: _ea de un _apecio
6 A _eadeunrec_,
2' __UO _(ml _, (_s)
__o ----_----- +u
_' _
_'_ _t'__ _, ; F(SJ
'__ ;'__A__x_! 6_---- _ o q
n __nm?___6_'J x(m) ; ; _
0''^ ' ^" _ ; _t(S) ;
___? _- ___8m ' q _________-
O-
Se _educe _ue x_ = 4 __ y además calculamos el
Resoluci6_
are_ t0t_ Semldl eFenCl_ CUa fatl_^_ de
velo__dades) POf Ia inf_rm_CiÓn qUe tenemoS, l_ es Fera SC
q,_ _ __ + A, mue_'e en el P lano XY y su movi In iento lo
2 2 deSCnblmOS e_ baSe a ßCOyeCClOne__
Uf-Uo +
t _= _ 4+4 3) De lag_ca x-t not__osque en ladifección
del eje X (hori2ont_) la esfera tiene veIocjd_d
(3uJ'- (2_')'
t _= COn
hacia la_erecha.
_W2=60
u,_30m/s
.-.u=2 m/s
De la grán_ca U -t deducimos que en el ins_ante
obre la trayectoria_ de acuerdo a los datos. . Y
t ,em,s ' _'m''n O (t _^ O) ''a P'l0t' e^ l' d'treCt_t6^
del e_'e Y (ve_ical) liene veJocidad hacia arnba,
aceIc Fa_n_It accle___n_M_tt __ esfe__ entonces _ _N
_=3_s2 vel0c_-
_ __ x Y' '
0- _f^ la acelepac_n d_ la _favedad de lo m/s2
f_Q '_ .' '_ _ _ v_ , ,v eStableCe4UeU__40mJ5.
; _1 =4 m ; ; Según lo establecido por el enuncjado y con
_
; ' !_ a_da de las grán_cas. se deduce que la esfera
_F _8 m ' C_atlM Un M.P.C.L. y estaa demofa_do 4 s en
_canzar su Hm_, tal romo lo mostramos en la
en donde u - 2_ m/s njgura s_gu_ente.
371

_ _l_ltu__t_l______0_J___3____o___,__nJ___t(t_ft)t(___)______)_______l_/______t__x__ ______t_ (_ _) _tu _ _o_t__t_t__ ______)p_ _(__(_s)___
L umbreras Editores f is ic__
Y u'o __de
i __o u ,__
_-- X _J._,_i(_.r_;_:
! 4c _-_'--^-- - '_-_ t_s ' - '
I _' _ '_ J_
_UJ,' ; ' .-.!/,= t_n__/i
_--^-4O_S--__ ;__ '__ ^
.i. !u,_30__s ;' ,____X pF00_gmg_
____ !
m=. _____.w' lJn CUermU C___ l L_n_cldO en Ci _lûno X). ,il Ia__
_= l20m ' com ,n_,,___,_ __, _u ve_,,c.,,de.t de _e,_,rE_,,
____ ___c_n__?' deducim_!_ c_Lae le ran, ide2 d__ ve,__an p_?.,. p_ t;e,n__ sceu_n 13____ __r_v,_.,,,,_ ,. _,._d;..,.,.,..,_.,.
1__i_rTllt_ni_ _S dete_ing su _ceiefac_ L__ _._ t__ __ en_iei _. ___ r -_d_
_,a t,_ _ _._3nJ_ + ,_un _e c_,_nt_1r_ _n c__ jns_,ante t = _ .__.
ß_ x Oy-
.'. u_-_J_n_/s _ - __
Ux=_S _U_=(_S
_n to_o instante, _€u?i2onta1rTiertte s__ t!ene _ '
___ =30m/'sy____jcajm_,nte u vanaen l_n_sen , _ t(.j)
' - ' ? 24_ - ---!,_, ---__
cada segun_o_ ent_nces t L_eg_ de 2 s _ei ' ' ;
_a___amientu _a posici_c __ la esf__ra cs r_'c) _o _i _ _ - - -!
Y_ _ j
_ 20 _nJs_ 1 '
;, l.., r,B) _ _ _.
! _ - ~__''''' 30 _'s Re_OIUCiÓn
; rS _-' '
; ,,_' S __ .___ _t l_r_tR_n q__ _ lln C__r_tJ l_ lûn_an t__ _) t'_'
; _ :' ' '' '_''' ;o> ,, _ 4o+2o) p3ano _7 )' 1_ __e___nta 4ue n_s h__ ciamos es i.qu__
:, ,_ / ; Yt _2 / (2J (,-,_,ecto,;, dp_,-c,;be el cuemo7. , e,t, ;n(,,F,_,,Ee
! / __ s ; V _, po_en)_s res____t,f si cun, ,Oc_,_os l3v___u___dad
4O_s! ,_ ; 60m (_) , ,, e,e,,c.,o,, (_4j ,,1 cue,, c,_ e,
...___t,,0'30r__ _! _ ) aC
=__ ' - - - -- -- - - - ^ - - - - - '! - - - -? instante i_,icia)
//l _
/ ' _ C_mo se t_en__ de lnf_rmac_Ón las er_ncas
;_ x__/3o2___60m:.
._ ' " _!_ = (I_S) _ _y = (_S)
Del'grár1co se deduce ,1ue
___ , _ 24 -
r,=x+y=6Oj+60jm ' ;
La rapide2 lue_o de 2 s es t(s) -O_6 - - _ - ' a
_y _ 1_ - ' --'
u,=20rNs u,
_--_-- _ __-_, ' _ DelapnmerL_g_rá_lcasepuedcest___€c_cerque
C8_)_''___, 3o_, __''__'__" /____, ---' 1acom_onen_ed___aveioci_a__1o__r_odel
2s,/, ~ ' ,,' e__e x es _, _ _2 _ nv,s __- (cte) e___ _,mp___
_' que s_b_c_ esta d;'rec____n la accn_!eración es
_,-. X _ _
'_,'_i ' ___ _ _ nU_a, _S _CClr' __=O.
_2

_u_(n____0_a______tr____aqyetctor___a_p1 a____00___r__________a___b6__ 1__20l_c2mta__4mrd___e_(Bm_)_od_ao_ta_ttu___e__ su (_ _f__(___ _l(t__o5tu8___J)___,_t,_t_t_0_______g__________t_____ ______,__T___t,,___t_____ ___0s________ mos
C_PíTUlO Vi_ Anáisis de g_á_jcas del movimienio mecn_c_
_ De .ia segund_' __ránca, la iomponente de Entun__- e___ e._ la _sjci_n _ deScomp_ne____- a !_
ta velocidad de_ cuerpo a lo largo del acelera_i6n i_stant_n___ _obre l_' s rect_ __orm_
eje Y varja uniformemente desde u_y = O_ y lanv_encjai_ asi
en eSta d_reCCiÓrl la aceleraClOfi eS _,__,,._,_ _t ,_
__-tana---tan0---'/_5 Cle' ''-_:__, ,_
Según la infor,_ación deducida1 se tr_ta de un q_i_..-,,._.,_.;6_' ,m__,
a_amiento hon2on_a1 y lueeo el c_e_ pr_nta _o ?t - _ __,
_, _x 'i5'_'0,a
un mOvimlRnto _ar__óllc0. _ _/ __ ._...;.,.q_._,..; _. __
Por to tant0_ el cuerpo en el plano _ des__ be ,,_ '',__' ì_ ' -_t' ge v g i ; _ i i
, _ _ _4 7 x e
ve!ocida_ hon2onta_ es c___stante y su vel_c?idad "' =
-_e,t__at _,afj,_ en a 6 ,_s e,n, cada se3undo aT -"_ 4tC9__7___^
Ah__-a en e__ planoXY, bosqugj_m__ e1 mo1nmjento Yy __ _),Se_53
pc_ablico dei cUemo h_a el nst__te t -n 3 S_ '_Jitorac=_s e_ va_or d_e la aac__ler__ __ ___ t__e_c.j_' _ __s_
i3_ n
._..,,,.,,. _7. â, (O,_) - i., __ O,3G _/s'
__,, ._.,,0, _ Jx___,_ _s _;nc.,_ás _,, a__o__,;,c;Ó, ,,o___ e,
0'_6_'''''''' --'_n._1 S 2
A)u_..ß '__..__.._, _y_ __ , _- _ 5
'_'' '._ _ s __na1_cntc__ calc_ì&mo___iad0decuN_tura (_mj'
_,6 _S ' _ para esa ._,isme f70gj_6h _ g1_,o fecord__os
'_._______'__,;'', 2,4 _s q_e el cuerpu de_ncnbe una tTayectaria p_' rabóiica,
i _ - _
S ____ente perO _ara e tnS anle 52naladO _OdC_
_ l s' imaginarnos _ue descFibe una circu_ferencie
0"__'0_6_S '_ 2 q _s . . . , ,. .
,__,....,.. ' ClFCUn efent_ lma__nan3J qUe !lene SU C_ntrO
!, en un punto sobre ia iecta normal y que es
I _8 _S U _, tangente en g a _a trayectona feal.
_ _yectma- '_ ^_','
_cunf_'ia-_-' --',,
dedonde u= I,8'+2.4'--3m/s eslaran,;'de2 __' ',_-_' (gJi_'_',.___._,_'_.o_,0!_o,,,dd u_3 _,
instantánea en t _ 3 s. _' n,. __
Para de_erminar gl va_or de la aceteracio_n ,_ _, ' Ur
tan_encial del cuemo en t = 3 s será necesario ,/_ ,; '__
descomponer a la aceleratión _y, perrJ _ar_ __11o ,_ .! ' ____y__i
es necesario conocer el á_ngulo a que nace 0, '
La aCeleraC_On n_fmal __tá de Flnld_ _Or O_I = _ ,
veloCidades en t = 3 s se puede plantear 2 ' P
Setiene O,48_
_anu ___X ___t___. t u__j3_ _
uy I,8 Y . _

__l68___0_____ ______ ______________tl___________/_lt__ l_ttt____________ llt__ __ _ _ ) ___ __ _/_ d__ _____t t______yo_ /__ _ _|_ _/ _____
_ _ _ _', __,, _ __ _, _ _ ',.__9 _ '_ :,_;, ^ ' ' _ '_' _ _ _i _ _ ' '_, _ ', i, i _ e _,_aa i,._ ' i _, i i_ _' ;_ ' ' ' ' _,_ _, _, -,,; _'_= -_ _ '=_ _i _i g__ _ _ _ _ i.,, _ '_. ' _ _ ' ^ __ __ __ __,; _ _ _,. _ = = _ __ _ B_ a.., _. _,_=__ ,,_ _.,.,_. _ ' _____.. ____. __a e. __0 ',, , _ _ _e_,9i.., _i _' i_,_ - _ =_. _ ___, _: _ _= _ ___ ;. _ii. ' ., __,_ _e_. _.. ,, i,_, __ _ '=_,, ;_._., ,_.,,,,,a_,,,,,,,, ,,,,,,,,,,, ,,, ,., , ,,,,,,,,,,,,,,8,,__,,,,_,,,,,,,,,0,,,,,,,,,__,a,,,,,,,,,,_=,,,,,,,,,_,_,=,,,,_,,,,,,_ ,, ,,o,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,0, ,,,, ,.,,,.,e0,,, ,,,.,,,,,,,,,,,.,, ,,,,,,,,=_,o,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,, ,,,,,o_,_,__,,,,__,,,,,,, ._,,,,,,,,0,,,,, ,d_,,,_,,,,,,,o,,,,,,,,,,_- ,_,,0,,_,,,,,,, ,o__,,,,,
1, l'___' U_'m__i_dC_.S)Jl____iCr_'t_'j!neam__nt_ SObr_ 3. Sen)uestr__!_ ,rJ,r___^;Jc__, .x-, de_os__j__Jl_ __
tJf__ _Ußef____ IJi_t1_ _'Vafla sU ß0SlClOn _C5Un __ H_ det-p_,_és _2 _____e l__ ___c_rtjc_3i,_ B pe__ _of
!!__ s'_rilccn_ __d_!unt__. De_(ern__;ne su r__corrido el0ri_en,, _,,_,d_,,___ss_3t.,n,_o_ t,d,,.,c_,_,. r__v,__ara
i.__r__ j _ _ß ;GJ s Y_ _u v__l_ci_a__ n'_e'c1ia p_I_ 4u, sc, _,nc(,er,(,, cor. !J,- ot,,n p,_:,cul,7.
tf_ tm;__l,_.
___(__)
,_(m_ '!,
t ' .
___O -----------_ ,
!, ._' _ ____.. '' ..
_____!____, .. _ _7_,ro ,_3íO r(s)
_ !,;; r(s O '5 I5..
'--____ _ _ A
O_ ___ _ 5 ' _
__, 24_my_60i_/s
_) _20m y-_Or_s
C) 300 m Y - 60 i __s A) 2 s B) 7__2 s c) 2,_ s
_) _O_ m ?.' _ l20i _s D) _,,cJ s E) _t_,_
EJ l80m_-l20irNt
4+ ___ _a gráiica x-t se muestra cómo la
2. _a eránca del rnovimiento dc una p_íc_ila
_051ClOn e Un_ Dart1_UIa Va_a en fUnClOn del
_ene ex__'esada en la gr_i r_ca ad)unta, iQué
tiempo. iQué v__ocida_ tenía la partjcula,
VC OCld_d V _OStC_0n e COfre S_0nde __fa ei
.t ,,,tant_ ( _ _ 4 s, cuendo pas frente al obser__aduF por _ri__era
ve2?
.K(m)
x(mJ
_l
1 ' !_4
i_
5 _o o45ot(s) "
o 3; !, 32----_-----------
o ; '' r(s)
A)+O,5__ y+2m ,
B) +l_sy+2m ,'
' _
C)-lmJsvv -2m
?)+l_sy-8n_ AJ+q_s BJ+_2_s cJ__2_s
EJ -O_5 _S Y -l nJ DJ +6 _s E) 6/S _s
374

__yc_g))))+++__01__mr_mr_myrt__J__ ,_ +_ll__ll_ ,2l l / ____ t __ () __u__u_n_e(gcl(o___gd_2lueo_5l_o_sclg__eree)hal_el_tvbetqla__cflsloeldnpoo_las___l_a_l____s0lnld___ddl__ea,ec_c1oau___ac__6cnwddeaey7_
cA_íTUlo vf_ An_lis_s de grfica_ deI mavimiento mecnico
_. Se mues_a la gr_F_ca del mowmiento de una 1. Dos cuemo_ A y B se mue_,en sobre el eje
particula; determine su aceleraci6n y su X_dondelaecuaci6ndelmo_mientodeetlos
recor_jdo en el inteNalo (E _Q;GJs. queda de Finida por x_=(ll6-5t)m y
, x,_(-2o+20r-r')m. Determine la
, _(m) ,_ velocidad del cuemo B en el instante er_ que
- ,,' comparten l_ misma posici_n.
'. A)+5_s ó +t5_mJrs
__ _)+4mrs _ _l4r_/s
'_ _; C)+7rNs 6 _l__s
___ '_' _0d _ ,; : f s D) +6mls _l__/s
o 2 ,_ _ E)+_m__J_2J_S
_' !6
,__d __. una ___,_c___a q__e ___nmenia un ._.Rc.L, __n
e_ __t_no _p _i_e lanz_da desde l2 _si_ni0__
,2 s2. _2m .) _
T _- m ; ,mC_n Unara__ eZ e _0 __
2.42qn_ _ -_ - _
_ _ . . .
J S i __ 5U moVlmlentO a o ar_O e _le X eS
2. +_c__ _ _ _ _ _-_
_ X= - + __
n_+3 s2._2qm -
6n Una pie_ra es lan2x_da v_c_calmente hacia A) (30 i O) m B) (20 i OJ m CJ (25 i O) m
arri__ ____e 60 _n de altura y su posición D) (30 ; 5) m E) ?_25_ _iJ m
_es___c L_ d_'_ _s_ váí_ seg_--___ la g___ca (_y - r)
_d)unta. rJgte__f_e s, ,,, ___a_, de ___ento 9. Se muestra la gr_rlca del mo_mient_ de una
s_ pos;c_0,n p,_ _i__._7 s. _ ..-_ _c _s1) p_ícula. _ete__e su posición y vetocidad
en el instante l _ l2 s (a partir de t = 2 _ se
Y (_tJ tjene la para'bola.)_
...-- , -_(m) '''''' ..._,t'
+80 !, ,., _,_ _3o -------_-------.
_ i_ A ,__ !_:__de
_ 2l-=_-__.__',_' ;! ___
; r(s) _'_ !
_ ,/ ; ; t(S)
O 8 0_ ! !
O 2 5
A) 2o _s _, +4o m A) + 12 l m_ 2O_s
B) 3o _s ., +m_ m B) + I3_m; 2 I _s
c)3o_s __ +3sm C) + l2_m; 2O_s
D) 20 __s; +4_ m DJ + l2l m; 24 _s
!,_à _,_5_s _, +3s __ E) +l26m; 3O_S
375

_/// _____t_ _ ___ _ _ _ 3__ _ __|_t_t_ _ de2_
lumbreras Ed itores f ís i ca
l 0. Se muestra la gr_nca _et movir_ ien.to de dos l 2- Una partícula se mueve a lo largo del eje X, fa
cuemos A y d. Si en el i__stante inicial lâ lev_ de su movimiento queda determinada por
rapide2 de B es _ _s; delermine la ve focidad _ 2
x= -t -4t2+8m
eAen t--5s.
Con res_ecto a las siguientes proposiciones,
_ indi_ue verdadero (V) o falso (F).
Xm
l. La pwtícWa se mueve en una sola irección.
3g ll. Para el instante l_3 s ta pa_ícuta se mue__-e
B hac___ __ ,,2qu__erda d__sm_,nuyendo su r_p__
' Ill. La máxima rapidez de la particula en el
__n_e __ intervalo de l=O a l=Q s es 6 m/s.
i _
'__ IV. Para e_ instante l=__ s_ el módul_ de su
_ velocidad y ac_leración son ieuales
. _ V. En el inteNalo l__O;6Js, surccorridoes
4 __c- _ _28
'_ ; ; A -m.
'__ ; l(s)
0 __._._
O l,_'__ _
__ A) mN___v n) vF_v C) _wFF
DJ FvF_'v e) Fmvw
A7-2_46_s _)-4_6__s C)-G_38_S l3. unautomóvilque semucvesobre una_i.st_
D)-5_7_n_'s _)-3F8__s horizontal tiene una _.elocidad que _se
comporta en e1 tiempo según la gFáfi_?a
l l. Se mUeS tra la _C_nCa de l m_VimientO de dOS adjunta. _e Eermjne su desp_a2_mjen (o _n
CUe_OS A Y d_ P_ra el inStante _n QUe t_ene l _ _O; 4J s y suvelocidad media en ( _ EO ; í _ s.
fa misma rapidez_ cqué distancia los separa?
u (nvrs)
x(m) go ---..----, .
260 4o ;_
_' !, par_bola ;
_ ; r(s)
; O 2
4 - - - -_ -- - - - - - - -- _ _
; ;' t(s) A +260l m y +68l mJS
0
O 8 32 B) +300i m __ +56_mis
C) +260im y +64i_s
A) >_4m B) 32m C)36m _) n2407m )_ +G__im/s
D) l64m EJ I08m E) +32_;m y. +54;- __s
376

_c __ ct_n___ uy_ _ _0 sA ( )_ _mrs y It_nst___3__t_et_t__76os__ __ t _ _0l____tA_ ____tla_(sJ ,
l_ m _ rera s _d it orc_.' F ís i_na
l8, _os _articulc_s _ ?._ _ s_- _e.sp_azar_ _'u_f_ _!_ __'-. D_os _L__cuJ3s __ v, _ sc_ dRs_, ia_n _-_7hre eI __ j_
eje_; en el instanL_ iniciai ius _osi__on__s son X. S_ u__ _?_ j_ci__dc___ ram-_aan ___J eI t_em p_
-80m _' +IOOm_ res_ec'tiv_mente. _i I_s _'e€ún 1a q3?_f___â _i_,junt3. De' ___rmi__e e_
_ci_cjJ_' _e.s u'e di_has panic_1las _e_e__den des_la7_ami__,t_i i1e Ia p3_iculd A. dev_de (_-0
det tien_m_seeúr_ a__ grár___' (?un r) __ostr__da, hasta el 7n_(ante en c1_Je aa acele_a_ón _e _
_ete_n_rie ia posi_ión c1e _ en el instante er_ sea n!_la.
__u_ I__ E7articu__s prc_se-ntan su mcnor _ ;.;(_s_J
sepal__Cln. J
_(__s) , // g
I, _ !_
oa_
!, '2 _ ------ _
f IS 1 . '
t
ß _ i' _
t-------_' -''/
! _ __ ' _' '
_20
j _)Ym _)i2m C )2lm
2 D)_7m _)§4m
__Slde_re sCn_,=_
2I_ _'n m__0 sedespl_a a __ 1aqo del eje X
AJ +_ n_ _) + 1 l n_ __J + _ _ rn con una ve1_cidad que vaa __egún la erá_ca
DJ + l __ m Ej _ l 7 m _c_juntd-, Si L_n t =U __ u posici__ es _ _ m n_
deterlnine su _sicjón y aceleracJón para el
I_. Un aut_móviI inici_ s_ m_vimiento __on una
acelera in c o n_ _duIo e o__ O 7_ l
su veIocidad varía según l_ gr_ca mo_'tr_da, û(mfs)
Determi_,e despus d__ c_Jánto tiempo
(_ partir de t=O) el automóvil ini_'ia su ;_.
retum__ si se sabe _ue después de 20 s se ;_
ubica nuevamenle _n la posición de pa_ida. ; _.
u(_sJ o4jo _ __I2 t(SJ
lO
3 ------
; r(,) AJ -_i_' Y -6im
o __ B) -__i_n/s2 __ +__i
' C) _3irnJs_ __ _8im
_ _'m/2 1 ^_
S 8 ___ S C) lO,_ s ' -
_' 2_ '
378

____ v_Ldl___eae_!_;Leyoge_sa_crm_t_r;__dqu__lll_llc_c__oad_m_m___eu_e_usp_pafntf__a._llt_flc__ue_;etc_l___|_lomc po__o_J_n_tre_s(_.tllltep__;neEc0to_ede;a_J_ _A_cDJ);e_7_mfnuc2u_4mss___1_2_____d_ttfo67(55l_6s_m__|_tm) __ uga__t_|celsl_lt_era__J0_dg6_l__f_n_____(en5ll.____c5_al_J
CAi_TU_O Vl_ An__isis _e gr_fica_ de_ mo_'imia___ mecånic_
__. Do_p_ícul_æ_uevenenlíneaITctas__re __. En "_r_ c1eterminado _l_eta, resmect__ de s_
__ __elas y su5 nlocidaes se co_po_an s__erf1__a, s_ ____ ve__m__te _vaci_ __ __a
en funci_n del t_emp_ se3_n 1a gr__ij_a uri_jet_ys___eInci_ad____,__-g_,_!a4____^____a
adjunta, S_ i_ìcialm_nte e5t_ 5.eparad_ _. Im a_!!u_t2. Determjne et ___u___ _e Ia
(_ _etr5s de A)_ detern_ine _a 4ue ïnst___e ace_er__i_n _a !a %iave_a_ e_ djchu p_8ne t_5
_e liempoB __'tar_ l6 _ _elmte _e A. y eJ recorndo dej objelo hast5 I s an€__ d_-
(_sJ im_a_t&i co_ ja _'m_e_cie.
_
qu(_s)
_ _
__ ! _, _ _,
o 3 __ , _
Consideretana_3 ! 00 _
A)4s B)4,l2s C)6s -2_ ---_-----"------
D!S.!a s E) 8 5
i n_s2 ; _5 _ __ _ _Ns' _ _,__ _n-
tiempo Si la _rayectoria es recti_ínea _
.ne ' _T. La g__ca u-t mostra_a iones_nde
,do _, t_ o.g s _o__entode_nautom6_1qu__'_despl_
.st_c_,a a ,_ o.g s s0b_wap__ho__ n_._ientospnm_8s
l_l. La _.5iCi6n en t _ 8 s, Si en to _ O la _siCi6n
_ g y_0 ___000 (al_s)_'__'__t_-ID__
X_- m_
u (mIs) u(_s)
_. ;_ r(s) _ !,
O I! 3 5 8 '. _
! _ ; t(s)
! O 5 8 ll
-8
A) -lOi y +20i
AJ_m ; l2m ; +6m B) +_s_ s_
l y+l i
8)42m;l6m;+8m _ _
. _2 m. +6 m C) -ISi y -lOi
DJ 4g m _, l6 m ,. x__ +gm _) '9i Y t20i
E) go m ., 16 m ., +_ m E) -IOi y+ l Oi

__D_))_o___ ___t0t __ __ _B_)_ ____lll___ _ _0 _ _ ____t _ _____o2 __ __t2(m2/s2_)_2_l_l_f _ _ _ __ _ 4 A_ g_
CAPtTu Lo Vll An_lisis d_ gr__icas del movimiento m__nico
22. Un haic6n se mueve en línea recta con una 2_. _s parUcu_ A y B se despl_ sobre el
velocidad que va_a en el tiempo según Ia eje X, su_ velocidades vÓ_ en funy6n del
gr__ca adjunta. Si en el insiante t--5 s, su _empo según la gr_lca adjunta. Si en t--O
_ __ SW_siCiOnes50n X_-O Y X_+l8 m i_en
aCeleraCi6n eS - S_ _Ué M_UlO tiene que _sici6n est_ _untos7.
su aceler_ci6n en el jns_ante t--8 s?
u (mJ5)
u (_s)
. _ t(s)
. t(_) o_ _
ol
l_,2 cJ3_sa
Y 9 A)+20m B)+22m C)+_4m
D)+30m EJ+Q8m
-_5i E)J_s2
3
2_. Una pa_ícula se desplaza sobre el e__ X_
a3. _r_ _6'___ _e5cribe un ty_ayecto rectilíneo, de m_era que el cuadrado de s_ rap:'dez
variande su ve1ocidad ?agún la grfica vaa en _uncj_n de la posici_n e ac___r_,_
mastrada. Si d_h_r_te? l0 __e_,.1_.ur___,os recorre a la grá_1ca adjunta. Determine su rapidez
I 6 __ deevermJ_e __, si t_ g _ 4 y el m6_l se en l_M l ,5 _'. (Conside_e que Ia _siciôn i_ci_
deliene lueg0 _e transcurrido un m(nimo gs ___)
tiempo t.
u(nU_)
U ''' '
'' ; 80 r (s! ' ?_(m)
O to tl o ' ' _2
A)2mIs B)4mJs C)8mrs A)6_s Bi,_mJs C)4,v_rNs
D) IOmIs EJ I2mJrs D)3mrs E) l__mr_

_27_ _edelee__6_l__(2__ __t_1__))______ cuatto _ _2 l_l__(mf0 t ) _ 0__1_
_ __ mb re ra_ E_ itores Fís ica
26. Una partícula se d_sp1__/_ ___ '_jnea recla con A +_2,^_
una velocidad que var_-_ con el tie__o como
indica Ia gr_r__a. Si en el in_.5tante l=t,(t_<2 s)_ B) +I2i _S y _1_ m
su _cele.Facií_n tjene un v__or i_ual al tiempo _
C) +.l4im/s v_ Qlm
tf_nSCUfCidU ha5ta _'Se InSt_nte, detefm1ne SU
reCor_iQo hasta _iCho inSt_ntC. D) +16i m,/s }_ 52 m
u (_s) E) +l_1 _Js y 52m
de 2_. Una _artícu_a 5e desptaza en linca recta N_ su
Ci_U__e__ aceieracin depende det tie__po segu_ la
gTáF_ca m_strada. Si en r-- l s, su _-elocidad es
. t(sJ +S nUs_ qué vetocidad ten0rá en t* 16 s?
0_ _ _
_ (_s2)
A) 3 4 "2^ m 5 ________. ______.__
BJ -6(4_-3n) _
_o : t(s)
cJ __(9_-2n O ! l4
D) -(9_-4_)m
A)-lmrs B)_2mIs C)-3_s
D)_4_s E)-5mfs
E) _3 l _2Jt- _, _m __
29. Una partícuIa se desplaza a lo largo dcl eje X_
_na pa_1_cula quc se desp_a2a sob,e e_ e_e x en e l instante inicial tiene una velocidad de
s obseNad, __n;c;a__nentc coE, un, ve_oc;dad +4 _s y su aceleracin varía con e l tjem_o
+4;_ _s s_ _ce_e,_c;o/n se con,porta en según la eráfica m_strada. Determine su
-_empo segu/ n la g___nca ad;unt_. De_e__,e recorrido en el intervalo de t = O a t = 6 s.
1_ _'_tOCi_ad de lY _artiCUla _ara t=9 S Y SU _ _ 2
recorrido en los primeros 8 s.
2 - - - - - n - - - - - " ___ '' _1 _(s)
; Oi
_ l (s ) _)_g6m g)1,62m cJ_72m
0 5 DJ2oom E) I46m
3__

_Aal)cv_aen_l__2_rv_amtsu_g_m__xt0l_tm_(mra,_s2v_)elo_ tttdad_ sl_ su ___8o_____f x_g_______ ___ t _cvJ(___m______m)_s
CAPíTUlO Vli Aná1isi_ de gráficas del movimiento mecánico
30_ Un cuemo se despla2a a lo I_go de1 eje X si 32. (Jn aut_m_nl se despi_a en línea rect_ _ob_'c
en ( _0 tiene una ve locidad j_u_ a + 5 _s y una s__er_lcie h_rizontal y su _'- ce_era_j6n
su ace.,1eraci_n _.aría con e1 tie__po, tal com_ depende de la _osición se_v_in la gr_' rlca
indica la gr_fica. De las siguient_s adj_nt__. Si cuando pasa p_r la posiciún
proposiciones_ indique con (V7 si es iv___m, su rapîdez es 2_5_,ig, _4ué
verda_era o con (f) si es ralsa_ rap____ tendr_ en la _cJsici6n __ +8 m ?
a (_S_ __(m_'s2)
o tís) :'
_4s0 _,_ y-------_' _
! _i_,^45_ __, _, _
_i
l. El cuem_ experiment_ __1.R._!-_; j
iI, _e_ins_te r--_lO s,et__i____ _, _',_ue_t__ene. n)_ ,__/.s _)a_,.
_j_,A p_rtii de t_' _ _s, el cuern,o _:_'._enta _
_ _) 4_!_í _s F,_, __, m_'s
m0Mmient_ unid tfeCC._Un_i.
iV. M el instante (=í s el cuemo ti__ne una
., d a d _.__, _ a _?, 5 mr s 33. _'na pe- rtícuta desarr__11c_ u_'_ h__,P._.l. en et
_faio ,___ la gráF_ca _e su movjI'i_je_tu a lo
n) ___ B) ___ c/) ,_ _.___,cn,,n lar_o d_l eje X wene ex_re_ado u. or l__ _r__ca
Djv_F Ej __J_JF G_-r) adjunta v. su ley de __ovimienEo a lo
largo del e)e Y viene expresado _0r
3l. Una partícula se desplaza a lo largo del eje y_ ( lO + 20r - 5r2) m. _ ea i_tante r_- 3,5s,
X. Si en t_-O está en la posici_n xr,_--_ m _qué posicin le corres_nde _. cu_ es su
y tiene una velocîdad de úo_+l_m/5, radiode cu_atura?d
eterm ine su pos ic i ón en e _ ins tan te en que M
aceleracìón depende del tiem__o segun la Con5jdefe
_r_F1ca adiunta. sec g___
o_;0
256 ,
8J '_3 ^ ;_ t(s) .
c) -64 _n O 4 5 B) (6o,5; 22,25) m y 4o_ m
_J _g4 m C) (52,5; l8,75) m y 40 m
D) (62,S; 20,2S) m y 45 m
E} "24 m ' l 6 E) (6ot5., _8,Js) m g5_m

_________t_&t__0________________0________________p_____________D____________L___0___________r__p_______0__m_____p_____________________m0_____________0____tx_____0__t_________________>___________y_________0_____________g__0000______00______________o________g_e_0_____0______________0________0______0_c_o______D__0_00____n__x__________0______o______________0_0_________g______0_ _ teldd lca peds__a_m0__s_0_e__m_______0g__>___0______a__________00_______0____l______0______s___________tn________a_____l__a_______0_q__ue____F___ob_______lgatt___a______c__o_mq_bF _ _cu_a_q_u_c_u__e_d__a_0_c____p0_d____Lad0a_tp_o sta _sc_ma ____g_________l______.+_t__t__r_
?_.a:_'-_00_.____a._ ' ' ' __"''''''''''"_8 __^' ' M_' ''' d_' ' ''' ' ' ' ' '''"0'_'' ^M__'^4Mh^__'"'_^''''''_^_''''''''"___"'''''' '''m~"__m'i_"''' n""''''''X-''m_-'^i '" "i -;,i
a__,.,.._0=.._ _,._._,,___=_'_ __ iocHE AT_cADo _.
____''. _____: _
__Di_,_,_,i.i_,.,,;..._,_. _____._,.____._ 9_
__o_,__a_.';.__.__'''_''._, Para saur un vehicuto de un bache se obn de la siguiente manen: un cabo de una soga targa y
____'_'v i;_.__O_'_0.,. resis_ente se sujeta at vehículo y e1 ocro. at _ronco de un á_ot o un __e situado _ barde del _mino. i
_ii''_'"^'di___'__ d d f _f _ ,b_A _ __ _d b_ _
,a_,i._,,,D__, __-____ e mO O 9Ue a SO_' eSCC O m_ _e_Sa POS_ en COn_n_Cl On. _ _'n e eS_ am U_ __U10 de 9_ '
__''''_-:-';'__., r__cco a ta misma, sau__do eI automóvil del bache. iEn qu prîncipio es_ basado este método? ___
__0____,.;. _'_.:_,,__i A menudo b_ca el es Fue_o de una sola persona para re_ca_r un vehículo _ado, vafindose de _
i____i___,____._.-,__'_'' es_e mcodo eleInenul_ d_crito al plant_r e1 probtem_ U__a cuerd_ cuatquien que sea el grado de _
i_P._.i,,___.,a___'i___'__. __ t N_ d _ _ _+ _ i - t_ n _ i 'a
i___,B__i'g_____'___æ_''_'_'____ SU nSlO_, Ce e a a aCClOn e Una Ue_ aU_qUe Sea m_e_ua, __tUua uatO Ie O an_U_O a tU __
__,_0__i_ O_' ?
_,._i _ ___!_'_'',___ di rect ión. 2,_ _
e ___ _._ _.. - - ane _ ief. r en i F e m_ j
___00, _o_.__:,___o,?_,_ USa l. , _ j
æ__,_'i'0__d__!_.'_;_:'a=___i...____''___,_ r_o,_n es ._m os__b_e co_ ar una hmaca de mane_ ue sus cuerdas este_n en osl.c,_o_r est,_ctam_n_e !-_
'' _i,?.,, ' d _._9_ _._. __,_,, _;, ' ' 2_
i_'_. _''.__,,'__.____'.__..__... hori_onQ_. -_;_;.
_'_ _._.'____:,'_ W rue_ que se c_en en _te _o se representan en la fi_uiA. La de _raccin Cf de te persona __
__o,i_______i_i___,æ'__' se d_compone en dos, CQ y CP_ dirigid_ a to largo de cada parte de ta cuerda_ ld componente CQ _
i_i_____'._i,___.=_.__'- . _ . - p )
i'__.__,_'._;'_,__;;9__^9.___: TlFa e trO_CO Y, St eS_e eS O SU CIenteme_te Se_UFO, Se anU _ _Or SU reSIS'_e_Ct_. C0__'i;+_____.C_ , xc
_,__. _._;___;''__.:,____ en cambio, j_3 et vehículo y. como s_ much_ veces a lo que se mani_es_a como resistencia. pue_e :_
t::,-___''_,_0_0--__i sacar eI vehiculo deI bache. _ __cia de _(ueno _er _nto mayor cuanto mayor s_ el ngu lo PCQ. __
,, t i -' 'n __y_ _d ?
_,,,_'_,, .,,,..,._.___'_'',_ es decir. cu__n_o m_ tensa esté la soga. ;__n_
___,:_-;_,_:;',,~_:_ ,g_'_'_ ;
,___'_x i,__ ,
_''_i'_-,._ , __i ' : _ : __ _ _ _
, _D _ _ _,,.. _,_ _. _ _ e, ' ' _,0 ,. ' , _ _, i. _ i
__'' __:___ "___'d__ __i'__,0 '_^__ __ _._a'_ ,__''_iii__
N - m > _ _ ' ' _ v % _. _ _ _ , i _ _ e _ _ _ _ _ _ _.,,d j _ ' ' _ _.,.
''__,.-___,,_0'd_,-,' __.__,,_0 ____0,0,___ 0..'_
__=__-_,.,;___a_______,_g_@, _0,___e_____,,,gi_ ^___,_ _ . ,., _
''___''____;;__'__;',.____'_,_,,," .,_ 0,_'_-_,,,_.__, ., ,;,/'/, '--- _,_ ^ 0
_ L_ ^_' _O_ __' __09 ' __ _o i _' i. - ^ ' |e __' - - - i _ '_. ' !.
__^,,a.,____,.__0o_ 0.l_. __.. __
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___i__'_____0 ,,___._.g._____0,,_,0._;._.,_,.. ..,._'o..__,_'.'__;,0.'_ii,,__, ?,,i
_.i._'d_ _ __ _ 0 _, _, ,,., __ _ i
'__i'__0_''B__a _______^0 ' fUENTE: __ _ed fisici7 AUTOR: Y, Perelman. Editorial mfR, P_g.: im ?i
i ___9. _ i_ __, _. _,.. i __ __ _ i. ^. _ _ __ _,d.,,,_.. i
tc

___g?____ a_ ?t__0____cJ_____?e__g_ ____g___?9 ______e_____ct_0_n_J__?v _______ t __q___t _? _0__t____ t?0_ _ _t?_ 3_8_5___
, __ ___, __ ', _,; ___ _, _. ' _ ' _4,,_ _, _ m _ _ J _. _ _ _ ' V,_x ,_ ;__ __ __c _ _ _ ' _ ?. _ ; _? _ _
08_mV0S
_ Entender adecuad_mente los conceptos _e interacción_ fuerza y momento d_ una
fue_za.
_ D_ a conocer las di__er__as inle_cciones que se d3n en la r_atur_e2a _ al_un_ de _as fuenas
m___ i_T_po_antes, sobre to_o, a4uellas que se presenta en _a mec_nic_
_ Dcducir lo que es el _stado de equilib_o mec_ico.
_ E__tablccer las condicion___ q_e se deben cumplir p_ra _ue un cue_o o un __nju_t0 de
cuemos (si5tema) s_ encL_entre en estad_ de equiIibno mecáico. '
_ Conocer lo que nene a ser Centra de gravedad (C.G-) )_ su a_licacin para res0lver problemas
concretos de cquilibrio mec_nico.
lNTR00UCCIÓN
En la pr_ctica concreta, el conocimiento de Ia _tá_ca es de suma impo_ancia_ esto sc hace nolorio
en _- l€unos ejemplos: en ta conslrucción dc casas, cdi F_cios, _uentes, etc, Asimismo en el diseno de
ciertos c_paratos como p_lancas, balen-__s, din__ mnJ_tros, elc_.
_un_ue empírico _l inicio, ef conocimientu de la _ttic_ l_ ha permitido al scr humano desd_
hace ya mucho liempu atrs, Iograr un des_rollo impo_c_nte en lo _ue a c_ns trucciones y edincaci_nes
sc re F_ere. El legado que antigu__ s ci_li2acioncs nos n_uestra como los egipcios _c sus pirámides, los
incas y sus fo_alezas son la mcior prueba _e que la Estátic__ ha sido ?,_ segui_'á siendo de _ran ulilidad
e importancia para el hombrc.'
,? ,c ?, L _ _ _ , ,,,m?,, _ _ _ __ _ o_ _ _ _ _ ;? v _ s _, _ _ ' _ _ _ _ _,, ,,, _o _, _s _0 __,,,_ -, ? _ _ _ ; _ _ _ _ __ _;; _, m _ _
,, ___ ^ ' _ _ _ __ _- _ __ _y _ __ __ ,_ _L_ _,_,__,_,__ _ __ 0 __ __,___ _ _c __ __ ;,__ __ _ ^ gg_? _ _ __ ' _c _ __ _ __ ___ _ _ _ _ _o__ _, _ _' _? _,c_ _ __ ^ g?_ _
' _e _b?e______?, __,_ _0? 0, _ __ __ __9_^_a______,______?,c ,__?_%J___,____, _0?__''__, _^_'_______?___?__c _q?,________n_
c_ n_ ug_?_ =c_0g_0__o _c,V' _? _ ^^08 ____,__o,G_???_,,?,_____?_c___ ___' __ ___^,? _ _ _,,_9__, _, , _, C '_ _o__,___
__,_Jg__ _c__9__ _n ___ ___ _ _e __ ' _0" __m _ve_ _ _ _n'e9 ___ _,_, _3 _ _ _ _ _', __m__ __? _ '_ _ _c?n _c _m_m _ __ __a _? __ _ _ _ _ _ __ _ _g_' ___ m_' __ __ __c _.N
?_?_,_,0___ ,__,___Jr ? ?,?e______ _ ?___e^__??___?____m0____ s__ _u_?___ -'_,_ n__,_^_ _ ,__-,?
V _ _u, _ _ __9___??__n,? _ , ___c,_mJ, __ _ ?^ __,_ __ __ __ _^?_ C_ _, _ ___ _'X_, V_;_ _ ____, V_v,, __ _'J_o,c _ _% _ J _? _ _ _ _
, __ _ _ __ _ _ _ __, _ __ _ _ _ _ _ _ _ ' 0 _' _ , 0 _ _ _ - _ = __ _, _, _ _ _ e _ _ _ _ _ _ t _ _ _; ?,, _ __ _ d, _ _v_ _ __ __ _ _ _ e, ' ?, _ _,, ? _ _ % ?, _ ? _,o V,?? _ _ ? e?? _? , _ _, _, _ c _ q _ _ _ _ _ ?0 ,
,_'_______;c_?____''__?,?_?__v'__ _9e__ _G0_' ' u __,__q_______?_^_'c_0 _ __?___an__ __0____ _e_c _?o_?'____9?__?___
_ _,_- ;__,__=. __,,__'^ _ 'n_ _ _ __' = _'__ __ _ _? ' _ V _, _-___ ' __o __0 _9 _ ___ _ _ __ 0a __ __ __ _ 'e_ ^ _c i__ __ _ _ ' _ _ __ a e __ _ e
Eslas grondes cslrucluros rel7ejon que nue_tro_ onteposodos tenion conKImiento_ e_irico_
_obr_ eI equilibrio r e__i_d de Io_ cu_rpos.

___d o _ (l lb_J _ _________ _ ____a__s _____0_______0__0______0____w___________0______o____0oD__________________0__________________________m_____0__________o__________K__t_____.__t_tt_____to____tu_______?_____t__rv___g______t____tv__r_________n__0_t_n_h__0v__________0____e__0_o_____0__u__nm_0_____os_______n________r_______o_o_0_0e__0___o____se______s___tD___
Lu m b reras Ed i i ores f ísi c a
>ara comprender a _)_nit_l_ cl__il es e_t Ah_ra, si repcntinaIr__ent_'_ cu_an___ !__ __u_?_-d_,
_Jbj_ti_'o de e.ste cc__ítu)o, rec'cirdern___ l-Jlle í_n l____ __ _t_it_-m_Js __1 l__e_ !-a_u _curre c'_n ;'o._ }__t_ciu__.:
ca_iit__Ios ante_riore___ (C. incm_s__i_'a} , _c _entr e l C_mo ;'a __.i__rieI___ia lu _en__1___t_-3_ ef t_j_cJu_'
,'-rtr__-ié__- er_ _! __,__i5i_n __' it___cr;__n_.'_'___ __ d_j mo_'jn_ien__ muc_ cgt_J;__c_ siJ_-__T_,__,__ _____rcn _cp____,_r. )JcJ e_)
me____niî__ _,_ _!o_ c_e_,cJos, _erci ?. re_untm_n_s ie_ í__ Ii_r_ _' diren_c__- q__-__ )7_ n_ c_st_ _n equiJit__'7o
___/___--__i_sx=__?___-us____1_? ii__S f__dCan,_S_-C,_Cuer!tr__n n_ientr3S a,-_tc_ t_!_ rJtru_ sn C_ t__, e, 3 .su c_____' (1n
_^X__'r_mel_t_n_ i_'t_- ' rT___7l J_ f)lt_n____ m___nlCU. __ __Cfr (tL_SC'_ndCra _;(_'_ _! !i_r_i.and_ SU _'eJ_í' !U__ _' taß)_r UC'_
sR __r,í_laritFc_?_ R,___ eri1_enllridn_ c__ mbi_s d__' estará en e_ui!ic>F___. er_t_n_?!._+_ ___-n ____- est____
pr_sici_n?, hù'_ta Inrar nue_L?__ ent__no ?. _ na_' estarn_i _n e_. te c___o i_ r1ic'c __ _____ ei. ti_ n en
d-áremo__' ci_c?n_-a q_e a.ií _o__o _ay _t_jetos _ue movi__ierit_ con c'iert_ ace_leraìi_n _-e 4ue su
e-xp_rim_nt__ n movimient_ me_ánico, ha)_ _tros __elocídad _7_ v;ariando ide_'equilit_rio me_L^_ni___'
q_e se encueI_tran siempre en una misma (___vi_ento a_'elerado).
posición y se suete decir acerca de eslos úllimos,
que se encuenlran en reposo, o en tétminos más _
_omunes se encuen_ran en e_-tado _e equili_rio. u_Q
Ante esta situación surge de iI_mediato la _ ;; _
sieuiente pr__eunta: __or qué algunos cue_os /__ _' .
_/_
experimenlan movimient_ y otr0s sc mantie1_en __i
. _ . .. . I__I
_n re_OS07:_ lQU_- e__fm1na e e_Ul l ffO _ U_ ,_,....__,_:___ ;0
cuerpo_? Para responder a estc_s interro__ant_s
anaJicemos los siguientes ce' sos: _tonc_s, se pucde ;ntu;, que __ equ__f-_b_
Los bloqucs que se muestra se e_.cuentran un cue_ ,_e _sta__ece baJo c;e__ c_rcunst,, nc;,s _,,
en reposo, pues no se mueven, están sin sedebensatisface,cie_osrequ;s;tosoco,d__c;
acelecación (?_ _-o): efque está suspe,nd;_odel p,,c;,_mente, e,_o ___;
ter__ me_iante una cuerda )' el que está fijo p,_anteado ace,c, de _,s cond;c;one., pa,a el
dehid_ al tope, por e_to_ aflrm_remos _ue se e4u;_ibrio es e_ o_;eti_,o p_nc;p,_ y ,_2,'
encucntra en eq_ilibr__. cuat e,t,diamo,w- ;, E__tát;c,.
'_
i.^i_.__,._.,.. ___,.__,d.'...i,. i_,'__.i_,i_,__.,_,i,i_0o,_.ioi_..,..,;_5_, __:-:;- -__;__.-. '' :_'_; .o_,, ,,_. ., ,_. v _..,,.;.__._,;,,.,_:,__' iC',,_0__?,,__;,:_'';0..,,_,___;.c_D,_,;,_._
g, D,__i___ _ ..___. _ ^__i,_i_e__ _,i,_____ _0_ii_,_o_'_____ii_ _'i_____^_,i i____''i _ _@_l_' 'oii__ _i'_.____ __i_, _,R0_o,_D __o,,O_9_ _ ____'_,,0._o_,_______ __ _i__
V' ____0 ,, ' _i_'. __i_ ''_'_ i'_'________,_6i,ii_'_ii__i_i0____i'i,___'_-,__i'.,_ i |' io __?_i'_i____'__0o0_D__0____^__0____0__'_D_8_o0'000i____'i '_
; _ ,. _ . ,_.,_0 ,_00.,._,_o0'_____e_,., ,__. __._,_,__g,_,. ii ,i_ .. __,_i__'__'_'_'__,__iii,li0_.i___..,_._o'___0__..i.__,g___i.,,_,_.0_,0_, ,_,o__._____g_.',i'_'_,__,___,__.,0,,,__i_,_o_0_._._i',lii_ ._,._.,._._i .,. ,_.'.,i..__._,._,'__,,,__',__o,_0o_80_o___,______00_a_0,,',__9,________po__,,__,_0__g,,,,0,'_._',,0,..
i_'__i_.o''o ;_- __, ?--.;_--,_. '';''''' ,_ _ _.,.,,!'r_ ' _ ,_'__' .,_!'''''_0ig,__'_ _','____d0____!,l,__,i'_____,_ii,,.l_,.'i'_i'_l_i_,_i.___i_,__'__'i^.0'____._____'.__'_____i___iie__,,,__,,_.__i_iii_
j_h-___-___ _ ___e,'_'_ '__.'_''', __' _ C ' _'j_ ' ' N'.,_i _,____,..i,_..,, _d..__. _'___'ii' __'__'i _'_ai_ii^....i_. __ '_ _iii _' __,i_.__,oi_'_i__ _!','_i_..i.i _i _, _ii'ii_. ___' ____ _i_ii,__,
._ii__,ii_'__0'_'_i'_....__ _i ,.._..._-_,__._0!' i.,__'''__ __ __ _ __ 'ii0_ ,,___ o_o _,, l'_i_'i__,,ii_ii__i_''i_______i__i____'i'__,____'i__ __
UM _S0 .._..,,_..i..___,'__,8i_,=.ii_!'__'___,0_i._ __,'.^__'__''^___'_ii_ii_..,.i,p_i-.__i_ .f. l ,.,__., 0.0,. ^ ._li'li,llii__'ii..ll_,_il_iii,iii.'_._ii___l.ii_.,.i'_i,_iil._i.
'''' ' ___ '^ =' _''__'_ _|i'' 0'' __'' '_--'__ ''di''i_' , __ ' 00'__ __' i__,___''__i'iii'iii _'i'^_ii__'
_o_ =_!_ _ Nues_ro_ onte__sJdos not deJoron eI mochu_lcchu. r_nente
complejo Inco que a _esor de Id_ inclem_ncJds _e/ tJem__ o srgue
_c _i_. __o rel7ej_ Inv.s _!Co-_ c_n_c___en,tnvs e._.,hJrlcos de __s _._c_s
sobre Io_ctlcn.
386

do_ctn_qgneseaocn_lehs_c_mel)ttbcle_a_r_nrcerc_ytl T_pF)e_e_c__oT_ls_s_co_cbo_uJneq_ma_oa_ sc___rve__ _______ _ m t _ __ ____ _ t
''. __TEQ_CClON, fUEQ_ Y PQ_MEQ_ '_'_''',_-_
cONDIClN D___ El EQUllIB_lO x::_.;-.-_-
_ERtERA _EY _E NEMtON _na persona que practica boxeo, se
_e,, a c,,,_qu__er c,emo de encuentra eolpeando un saco con arena. At
.t,o entoFno I_e s,,emos a la co,_c1__s;Jo_n de golpearel saco, elpunodelapersonaeierceuna
, ,omet;_o __ _, __nnue,c__, de ,t,o u ot,os acci6n sobre este; pero también el sacu ejerce
A _ . rue,c__a r_,s,,c_ e,terna de un una ac_ión sobre el pu_o, íe_to último lo
C__rpOS. _lnl
_r po sohre otro _e _e denom__naAcc_.o_n p_demoscomprobarporeldolorqueenmayor
_o_,e,n podemos dec_,,- _ue sob,e un cue _ se o menor medida sentimos al golpear el saco o,
_F_psfa un e Fecto _sto es p,oduc__ dR _na en todo cc_so, _or el rrenado del puo por parte
;o,n. El e ui1i_,;o _e ,n cue o tiene mucho __l SaCO)_ íntOnCeS pOdemOS Pla_tear 9Ue_
-_o_n _u_, __e,_,menta de pc_rte i,_ tu_da acc_ún /e corresponde una acción de
-em_to s_ste,gamos _.,n r__,irecci_n rontr__-i_, a /_ cu_I, romúnmer7te, se Ie
,pto en nues_,a mano _ce,ca de e/ l d_N,e_n_s que _enomjn_ re4cción!
/ e_, ,e_oso _h_,a p,eeun_e_monos __po, ,__,e_ Según to __puesto entre el s__co y cl puo
7 _a ,espuesta es senc____a po,que _o e_xiste una 8cción mutu__ a la cual en f_sica
,,s s__ste,,,,endo y la acc__o/ n de nuest,_ n_ano ll_amos lnteracc1ón.
-_to h,ce _s,_b_e _ue este se enc,entre Por Io tanto, en el ejemplo que estamos
anal_zand0, F_nalmente_ diremos: i_ls0coyeIpuo
1.e F__;sn_a foFma __demos entendeF intcract __n !
;p_, c_u nu c_e_ _,_a _ámp_ra co1e_da de_ techo7_ A continuaCión, la pre_unta que surge es la
o _rJf qu nu cae un I_,bro col_c__o encjma de Si_UiCnEe: _C6mO Sabef Si el 80l_e del _Un_ SObfe
un,-3. n__sa7. el saco Fue débil o muy inlenso?t es decir, cómo
_ impo_ante t_____,_bjn seaj_ aue l3 ac_j6n medimos la acción _e lln cuemo _obre otro?
de u_) cuemu sr_bre _tro, nene acompaada de Rara ello_ hacemos uso de una magnitud
la acción de ese otr_ cue__ sobre el Drimero. vectorial a la cual llamaremos _uena (?F )_ _a
Para comprender de mejor manera _sto último_, cual_ ___ene por unidades: el _emon (símbo_o N);
analicemos el sieuiente ejemplo: por ahora ser_ suf_ciente con saber que esto se
'__ _!'s' ___' _c _-_-__ _ _ __?_ estableció en honor al cientín_co ingles Isaac
i,_''_ Newton (l643-I 727J, que apo_6 en el campo de
__'' _ la 0n_mica y la Gravitacin.
._, En la práctica_ para determinar,
_ _ _. _;_'_ experimentalmen_e, el valor de una fuer2a
- -_ 0,,,. i,,.. i...,. __,_, _i,0._.,_o,.,_ i__i_,,.,,_,..,. _,_,____ _,,;.,_,,.,;,., ' - c : _'' ' v_'' ' ' ' - '_ _ : ;_ _.... __., _ usamo, __n,_,ume,,o, como e, d,_namo_me_,o y _,' ' i ' '
^ '0 _''o 0^' '_ ''' ' ' ___, r ;'_. ::''; w'':' __/_ _q_o,; _ a ba_an_. cuyos mec_imos de (uncion_iento
/-_':i'- detaltaremos m_s adelante.

_t_F__0__0_L____0(a___s_ _c_0_adraclter_l ___t ______0 _______________ _ _ ____________t___0_t___________lp________________________________ _______________________|r____0____v0________A__________n_y___________Q_______v_____________t_______t__________________y____y_______ _____ _ _
Lu m b reras Ed itores f ís ica
Mtonces. según lo que hemos planteado_ una Así, para el e_empIo que estamos anali2anda
fuerza cuyo módulo e_- 40 __ corresponde a una se cumpfe que
acción más intensa que la corr_spondien(e a una F_ = -F,,
fuer_a de mdulo 20 N. El signo menos indica o expresa _ue estas
Conocido el concepto de fuerza, podemos Fuerzas son de direcciones confrarias.
retomar nuestro ejemplo y representar Un_ vez conocida esta ley_ podemu_
gráF_camente mediante vectores las fuerzas que comprender de mejor manera algunos
sur_en al interectuar el puo y el saco, para ello fen6menos bastantes interesantes que de seguro
es necesano un_' sEparación jmaginaria de Ios conocemos e incluso algunos de ellos hemos
cuemos en contac to. experimentado aleuna ve2, por ejemplo: _Por qu
al disparar con una carabina, este junto con
, nueslra__ manos experimentan un retroc_so? __or
Se_a_n m_i_i ' qué los cohe tes pueden e )evar5e o e._perimentan
dufanteclgatpe 0D
_ __ propulsión al expu_sar e3ses7. o __nF _ué sería
in_posible _ue podamos _levamos y despeigarnos
., del piso, Iirando de nue5tros cabe_llos hacia arn_a
0 ,- _0_, t _ _--o con nuestr_s manos?
:_ 0__0,._.,... i!_-__,__ f2 F_ ;o-:=-.__
_ - ___ j_i_--------- -____
'. .__-_-. __'' (_eacci6nJ (_c __) __.:__m;
D.., o
..,_, __c'___. _
re__e__^e__an _'ì__è;'____ s__n ___es_ ::.. _'__,____.i,'_ .''
::'n'_''__''___''___, _';: _'_'0_._0''_
_ '' Uef2a e PUnO SO fe e SaCO- ' ,'n0 .,.. ''' _..,;._^0
_ __ ..'''''._;:_Y_ ,-_(_c_m)
: fuerz_ del saco sobre el puo. __ei ... '':.'-.._;;,____._''_.-_n. _____-_'_;_'__:.. _. __
_,t,_cas de estas fuefzas ' ' '^ - ,, _'__..,.;.,_.;.iK_)
conocidas como fuenas de accin __ reacci6n._se ....,.,. __-___.:_,;_,::.,_._.:__,_____'
e_presan en lo que se conoce como la Tercera __,,_!_,'__-',.'__:,__'''''' '
Ley de Ne__on o también conocida como Ley
de Acctón y de Reaccio_ n. La ValideZ de la TerCera Le_' de _e__ton nO s_
1,a Ter_er_ Ley de _1E_ton establece lo restrin_e solo a los cuer_os o sistemas en
siguiente_. En un_ in(ef0cci_n sufgen un pof de equitibrio, por el contrariu es vátida en toda
_ue F__s conocid_s como _uef_as de 0cción y 1nteraCClÓn eSté O nO el Sl5tema en e_Ullfbfl0_
feacrión, l0s cua Jes son de igu_l módulo, 4c(ú_n Ad_má5 SU apllC_Ctn nO Se enmarCa SÓ10 _ la
sobfe un_ mism_ linea fect_ (sobre un_ mismo Me_niCa, COmO _'erernOS máS adelante tam_lén
J_/neo de ucciónj __ pfesenr_n _irpcciones hacenlUs llio de esEa Je_' en 1a EleCtrosttica por
con(r0fias. poner aIgún cjemplo.
388

___d__J_na__d______0_o___________________q________%_u)___e_ ___ ea_c___f0l_t_nr_e______mag___________________r___y__/n_aan_o__a_q____u________________0__e______0__________o_____lo______s____ _____e____r_eanc_leo_ _ue _ __b_____ /___n_s___v__y__________?__________r_________0______c_____oq5_n__t__________________p______________J____________ ______t0__________tr________t _ ________________ ________v_________t___/_t______________________t__________ e____/__________________e______9______mt____s_n__n____r______________________a__ __ >__ _ f
Lumbreras Ed tores fis ica
3. La igualdad de móduIos de las fue_2as de un balón de fut_ot, al apoyarnos so_re el _iso.
acción y reacción de la cuel trata la Tercera e_c. Y con respecto a to s_gundo tenemos la
Ley. de Ne_4'ton_ no debe c_nfundirse con la interacción cntre la iierra y la Luna, entre ia
i_l___ ldad de sus efcctos. _r ejemplo a1 chocar Tierra v, el Sol. entre imanes, etc,
un tren con I_n automó__'il, el módulo de fas
fuer2as dc u o sobre el otro serén i uales__ . C_l6n
peru sus efecto__ so_re cada uno i_,i__^'___,____!_,_'__0,,,'0o__,o_,g_0__..__.,,._o.,__' . ^_ i_ve:. _ ____'ii__,.
individuaImente serán diferentes. Es obvio _='__0__'___o_'__'_' __ __'__ >_ __=0_- _ __i____
'''''UiU_ _'_';0_____'_
_ue en este caso el automóvil sale más ^ _
Inte_cci6npor
_ t,c_o 'nter''_' _' t^^LaCtO
ori __,in__ una fuerza al act_ar s_bre un cue_u
de__nde de una serie de factores, la_es como j. El cont_cto fealmente no e_isEe; la rc__liún
son Ja masa del cuerpo, sus DfOpieda_es anjvelmolecu!_ies tansr_r)dequelojn__ide.
e1ásticas, su _ct_isEencia mecánica, elc. __n(onces nos_ tros entend __fem_s po
contacto, cuando __na .supcrr_cie se accrce
-_ mucho sobre _tra, tanto que la separación
.__ - _ _G _ __ ', ' _' ' _ ' _ T ' ' ' '' _ __. _. __ ' _tes enL,e _fla, ,-e, in,p,,cept;bl
_! t _...._.,_.;...._,.;,,_..0.,.-=__.''_'=...___--_ de '
-_,,,__,_. _, ,_. _______''_0j___''__'_'__'__._0'_^i'_"'i'i'''^__''_____'"_'_''''- ch_ar
_.
t _ _ _ L_P_'W^S ^!eC_'_d^S
, _ _ . in_erachian eslando sc_ad_.
D' ; ' _, ' _, _! _.F
,_._:__.;___v__....;__.. F ! F 0_,_,,_,,0_,,.,d,,._ el ., _'_y" o'j:^i'_
''_____0_d'''_'__,'_'_ ;!____R__''__,,;;.,_i.__>_ ch_ue ''^'Y ^ " +9 '"''^
'' '':' ' ' u=O u=O
' ._,_,ç'__.';... __g_ng;_n: _so
_______ ____'_''__ _':'__''_D'=''^''_- __'n''___''''''-'a_ /___,,__ , .. _;_u,s - ___a'''_..__;_...
.______,_ _.____g__., _____;_,_____0.V_, __g__V_ _ ___. _'e___0i '____'_'''_ _'''0___.0_ ' '0_'''_ ''__'' _'i_ _ue
los imanes _ repetcn mutwamente
4. Desde un enfoqu_ did_tico l_1s inEeracciones es__doa_e_a___' _
entrc los cuemos, se pueden plantear de dos c. _ _ _ - -- - - - - _
,n formas: Interacción por contacto e ,/'/ _ " ___
' Interacción a distancia (fa cual se da sin ; _ ;_
necesidad de un contacto, es decir, que los _ _ _'
_ _ d ''__- -__x _
' Trayect.
se aradot_. Un _em lo de fo rimefo es ta elEP_Ca
Qu mantiene a nucs_o pl_eta o_itando cn (on!o _
interc_Cc iÓn aue oCurre al dar1e un puntapi a s01? f__a se da medi__c una in_eracci6n Brar;_cion_.
39O

__A5ddcehecxaouenepbbantoelltncoam_nrdclcoe_eoss_ceolas_ml5gootltfotd_,___uncntc_el_t_gsco_xcpt_oa___ Igt d m_ _bl _q _66t _ ___ __ t _v_______n________0_____t__, __ _ ____ ____ _ __F__________0oo_____ __ t__
CA_íTu Lo vlll __ Estática y Cent_ de grav_ad
_.'__, __;.._v__._.._ _x_ -'_-.'n--?- -_--__,__-_ '' _ ?.__'_-_____.::__ .;. ';.?. _' ._,S'_.?.._.!'__.... _._____.-__----__M_ _;_--_ ___n_ _ _--_v'_' _ -: __'':__ ''_:i_ _ _'__' :_'__:''__'__ 'i;-__-_____-_-. -'__ '_'- _- _-5_=__---__- ___. _%__ _&,m___4,_æ,_,:.'__,_ _:__c_._:_'___:;_:. i__,_;___;.. _;__,_i__:_:-:__";__;'''_n ';,!__X'___X._'_n,__,___'--._:.:__:___. :;_;;C: '-'_':;.__..;'__' ' _.:'___ t__'___4____v___!____ ____J'_ ,_'m__'_''x'' __,____:_;:__.'___!_'!'_____:'_ __ '':__'_
'_n,..;:..:'ì_ u' _ .E__- _' __U' __U:. ''_._'_';! :''__j_' '-_8._____n-_' _.__,__._'._-_._."-,__ _ __:.._'_._;H,.. _.. f.._ ..__ ..:'.''i .';m, _____,_,,__.___ -'__-.___.___"'- __i;J_n' ;'__._._, _,,.__;,;;.,,_.,_,,._d,._, _,___n_,0V_._,___0;_;;.;_n:,-..'..,._....;,_,_.',.:'_,___..:..S;'_::;-:'._.:''_.:_:.'';.._.:':_.;,._..;__.._;?::'._';._'_,;,__,0..___,.,.;d4'_!''__n___,,'',_____;/__',_,,,..n._, ,.__.:...,_.:;:_;__,:_;_._...:v__.:;_..,.__.._..,...._,5_i_'___,_,;_.._;.;__,..._:__._..-...5._?..,!_..,._..,:.:__,n..j,_.....__.4'_'__æ___4___.__,_,;_d'' ___, _'_t;__,._!,;._..____.;'_.,;.;.;'::..;._:v_'_':_;_..;.':_,.v_:_;:,;__.:.:'_
En la naturale2at nos encontramos con ._,//__/
muchos tipos de fuenas, las m_s comunes son .,._ '''_''' m1
e_las que se e_ercen por contacto, ,,'' F_
empUl'amOS1 _feS_OnamOS1 COm_rlmlmOS O M_ ..;...;-.::.____._.'''___6_''''''th_ ___''a ,_/
t_f_os un ob_e_o, y _r supuetto como m lo _ .,._;___.;'.''_.;;-__;___,;_';_'_:;... .':_;y_0., ' ,___'_
.e,n ha o_,,, f,e_, ,e ':'' _ '' ''__æ,...,..:__.-.;_:__._,____..:___':__.'::__:_.__,_:__;;.__-_'" R _ _'!:__.,._
"':_'_'_--_''_e __'-:_______':-_ F
see_ercenadi8tanCt_. '_, =-. _00,,-- _------- __0, ___,.,. _-_-
En este capjtul_, estudiaremos_ con la .._., :;i_._'_:.. mi
_jnalid_d de conocer de manera m_ detalfada, _;;;.., __' .,.._'_._,'_~_'_ _
a!gunas de eslas Fuerzas_ dando especial _.;" .. '__
importancia a aquellas que tOn de uSO m_S l___ra_'m '
. . , ,. _Ia_tiynil_ _ B
treCUente en OS 1VefSOS Ca_ltU OS e eC_lCa- _ 0 m3
i, en Ofden de lmPO_anCla Eenem05 __
FuER__ _E _i_vE_AD __ _ Como podemos obse__ en el gr_F_co, la
S
Tierra tira de los cue_os hacia su centro, no
_ando en et capitulo de Cinemtica,
lmPO_a dOnd_ eSte UblCadO, Se mUeVa O n0. l,a
estud_amos la c__a l_bre se hablÓ de la &__ttiÓn _
' F se representa mediante un vector diri_ido
te__tre, pCro _qué si_nl_Ca eStO? lsaaC K!ewtOn _
hacia e1 centro de la TIem. Eslo último que hem_s
en SU teUfí_' _e GfaVtaCiOn Unl_e_4I eSta eCl
p_anteado no es del todo cie_o, pero p_a '_os F_nes
qu_ rOdu__ I0s C_'PmOS en eI UnIUeßO Se 0tf0en _
q'_e perSe8ulmo_ es una buena aproximaci_n/_o
e_lte Sl_ _p_r qU2._ e_ eS_ entOnCeS Se _ an_e
que ocwre es que est_nos considerando l_ _ie__
_Ue efa debldO a la maSa de lO_ C_m_OS, pof eSte
como una esfer_ perfecla y adem_ homogénea
mOllVO tOdOS lOS C__erpOS er_ el UnlVefSO
. , , A . d . accl.o,n (de densidad uniforme) lo cual L_omo sabemos
lnteraCtUan entr__ _l. eSte tl_O e l_ter
d _ a de los c,e os a_ora se _e no es del todo preciso. .4dem_ nótese que los
l Oa _maS
, n r_v_.t8c_ong_ cue_os también atraen a la Tierra c_n _g ; per_
.o,n te,restrg de _, cual corno la Tierra tiene una masa muy grande
.c,la, de es_e _,_po comparada con Ia masa de los cuemos que est_n
-nteracc__o_n esta ser/la la at Facc-_o,n ue en su cercanía rMT>>mJ deSpreci_o_, en 1a
_me,tan _os cuemos po, p_rte de _a TjNena práctica, Ios efec_tos de atracció' n de los cue_os
Nlnte,actu,an con ella Aho,a como sobrelaTie_a.
;ada a __, _.nte,acc;6n _ _ene una T_biént de_mos tener presente que el gran
fueF2a, por _o que _a f__eF,, de gFa_gdgd es tamao que presenta la Tienat en comparación
aquell, que mide la ac,_ón de __ _e_a sobre _os con nosotrus hace que no pod_os percibir su
cue_os que se encuentr0 en sus inmediaciones CUf VatUra y en tal SentidO tefminamOS _Or
(et cuemo puede encontrarse en _a superrjc_e COnSIdef_r Sl.l SUPerfiCie COmO Si Fuese Una
terrestre, por encjma de e1la _ incluso por debajo), SU__Cie _l_a,

pp_ee J_eeuua__n____alJcca,_ls_l_ndrtdFre0dt___o_ _ ( )__F___ t__ _ ___ g _ en__(_r_s(_2( )) ( )_)__ mgt_)t(R+__) _ p (c_tt_)
Lumb reras Ed it_re5 fís_ca
Hacjendo tal consideracj6n la f GMT.m
_f __ C-_R+_ 2
UefZae_raV_a Se 0o
_ t,_c _ y d,_ _g_d, ,11 l,_,
'CSen!_'a VeF a '!! _ _ G_MT
aCta a__lO. COm_rObar eStO nO eS C - x JJ 2
ningún problema, basta con soltar Fg
un objeto y notarem_5 que cae _ En _St_ CaSO t_ rUef2a 8fa_taCiOn_l Fc
vertjcalmente poF _cciór) de la _, _ feCibe cl nombre partitul_r de ruer__ de
e_'te crecto nos estaría indicando _
su direcci6n. _r8Ved8d Fs y el FaCtOr _2 reC_be
Ahora, _cómo detenninar el m_dulo de la
F__e,2a de _,,vedad7. nombre de mdulo de la aceleración de la
P"a _llO_ eS ^'CCeS_iO 'del'ntam_' U" PO'O gravedad (?g). ior lo _anto
a lo q L___ __eremos con más detalle en el capítulo
de Gf_VitaCiÓn. __a_C Ne_On eSt8bleCiÓ q_e el F _ nJ
m_dI_lo de l_ iue__u con que se 0(raen __s
0f(jcu(_s es dife_;umpnle pfopofcional __ -UnidadeS
__ducto cJe _us r_,6____s e inuef5_nmen(e m : en kilO_ FamO
__U_ OfCl OnYI _ I_ dl_l0r_C_ _a 4Ue Se_af0 MS CentrDS _ _
t_ :enN__î7tanl_!
Con._'iUcramus a _os cuemos cuales_uiera
Como p_demos nulaF. el m_d_lo _e !3 f,m
_ _, ç _2
r, --- --------_ . depende de la masa del __erpo _- _c_ la
aceIRración de la _ra_'edad cn el Iugar dond_ e5t
_' - d __' ubicado el cuemo.
.n.n_-n..-__-._ _ Esto t_ pode_m__ comprohar c_1anda
_ _ Cm1_m_ t )ntent___ete__un_,e o ,debemosa l_
' ,_--_d2 t_
_-. .-- -- -_._...m___' un__ fuu_ en conlra _e _u fuer2_ de, grav___cnd_
C : canst__nte de ._1ra_'it__cin uni_'crsa_. Su valor sebemos que cu_do ms m__sjvo es el c__er_o,
es ___7xl0-''' _.m' /_2 mayor debexre_vaI_r_e la ruenaquc_ebemus_
__nter,cc-_o_ n de Ja T__eF,a con _pticar p_ra levantarlo, ya _ue debemos __'enL_er
_ n ut,_, cuer_u _ue _e encuent,e en sus una mav_ or atracciór_ terrestre.
_n_,__ed,'- ,_ciones ten_n_os Así mismo, p_demos n_tar que g disn_inuv, e
_,!, con la a1 tL_ra, _r lo tyn to. ie F4 también J is__in L_)_e_
c "_ _g _ __ con 1a al lura. aunque pafa la s _nmediac_o__e5_ de la
. , ,,_ _ suµcrf_iieterr_strc_(h<<X). _4 espr_cticament?
MT ', ' __ constantc_' 5u n_ó___lo a._Laaf a
+__ '
_ Fc -__
_'_ _ donde
' J__ T _-__x___tn_,
392

_fR F___________________m_Ar______c__________gmr______t Gt(____t_t0__(__5___o______________g_)(l)loml__s2_)t_________F___B__v___(_5Jh_____o__ of_tN_ _cbon___p___a_____f___rq0__z___l____p__e__oe0__0o__y__opa(J__dtg_5o_o)__s0bef_ea_u_n_m_ax_ pb__a___r____a__a__d_____n______0s___t__F____a___g___p_a_____ l_a_____(ue_a
CAiiTuLO v_ll Estática y Centro de gravedad
__i,_.,.o,,_. i_.0_.__ __ '_''e.,_, ___ i___,,,_._oi,__,__._. _,__.,0i____g___0 '_,__'' _i__,___0___d___ _'a__.________0_.9,..i_,___ii,_o__a,iii__'__'_,.,. ._,,. _ii,8,g'D,,,___,,,i_,_,_0o,?'____.,._i_..__._i_a___.a__ _, _,__ __i.,_,__ _,,i,8,,_._,g___i_,__,.g;_'__,,o_,, Si_ __. __,,g__,e0__ _; __ ,._ __.g_._.,__'0__._,' _____' ________.... , ,___ _,_. __o ____, __oi.'__ _____0__,g_o,.__,
' _.g _'_._.__, a ' _0_i__ __., ' _... ^0 '_ 8'5 0 ., _. ' _. ._ _, 0,__ _0.0_ ..l,0. , _..,, _ _., _,0, __a._ iD_~_^__0 _'_,..i0o,_,___.,.. __ _ ''., ' _'_. _,' __ _' ^' '_. _, _ ', ' ',, ___, _ ''__ ' _____i___.. _,' il_,__0, '_,_._,.. _ __._0 _,_,._._.0... __ _. _,, _ _ ', _,.,o,00 _ 0o.._o __ ' _ _._. ' _0.._,i_,.__,',o.__._, _,,_,_..____o__., ',_. 0L _'_ ' '__ _;æ' ''' ' ''' _ia___'' _'o, _,..,,._0_o ', _. _,_,,0=,,,00_..__, _.. _, '__. _.0,, _. _ ' '_,, '_
(6,67xao-" )(6x _o1') g g _ 1 _e__.-'___:::__s':_v_'_::___'__''____ ''_- ---'M' -"''M' '_'___"_m-"_^-_'___-^^__' __'__.
3 _ ' :: _/r'' Decir rue_ de gravedad no es igual a _,'''_.,_
. ,d ",_! decir peso. Recibe el nombre de peso de un '__e''__
OmO SabemOS __a flneS _f CtlCOS COMI eramOS __, _
CUerpo a Ue_ _emen CU af COn a qUe e _?",_
_ i__ , _'e_
_ S _, cue_ actua sobre l_ s__perncie def Cue_ e_ _00_0'
Pbr ejemplo, si una persona tìcne una m_sa 'i''_ _ue se encuentra apayado o tambien _,0
de 50 !_g y se encuentra en fas jnmediaciones de ,,. s_spendido,acau_de_atr_ccinde laTler_- o_,__,'
la supe_cie Terrestre, su F, tiene un móduto de '__d____0o____o__ _____'__''_'____''___d _ '_____ o'____"_"_ __'0__ _D__'____'______o __ _____'0___'0''___'______'___'___ __'0__0 _____ _''_0o__'__'''____''_____''0 ''__'_ _0_______0_0_'___ _o____
_ _r ejemplo_ en _a F_gura se muestra un saco
Al actuar sobre un cuerpo Ia Fg tiene un
punto de aplicación, que puede estar dentro o
uera _e él _' al cual denominamos Centro de
Grave_ad (C.G_). _. , ,
_un4ue este pu__to se ampliar y det__ llará , _ - .
más ä- detante, es necesario por ahora conocer la i'__o__0_______0_____'_'''''' p
ubicaci6n del C.G. de algunos cuerpos ^___..,.,.,_,.,0. _ ;,._,D ___ _ ________-__
homogeneos de fo__ regular. _____i__, _ l__'' p __
_ ,.. ''_'!_''___''''o_i_"i' '''. _ .. .. _, ,, ,,,,0___,_,__,d.,,e_l _co7
BwTa recta Ptaca _angul_ ,_,^__' ^'__,.0d,
homog_nea homogenea _,___,_,.,...,.,,.,...,, ,. _..,_,,,__i. _
Y_G.c___c_
elpuntome_o _
___ . _' _-___ ;___,-_.._....;.,. ' L_ fuerza P con la que el seco empuj4_
. "' C., _,. _ i hacja ab_o a la balanM yiene a ser el eso _e l
.,_ ' ' .". y cG _d_ saco, el módut_ de esta (uerza es lo que marca la
_'_ j cm_l___0____
..' _ ' d__o, a an2a. _r e O, eS COffeCtO CClf qU__ una
balanza mide el peso de los cuemos.
Pla_ fett0_W_ _fera Asj t4mbin pare ef caso de una l_,parah
omo g _nea homo g nea s u s e n d._ d a e f è d _ t e ,,
_ . B con la ue esta __l_ de _a cue Fu_
. _;__..-.__,_;._'____.__.. "__ _?:,i?, ,_G_
D_G.__ DC.Gro__ cuifdan _ _
__d__. d_d__Are_ __a 8_
_,_0_ ___c_i___'-' __0
OO_JlO CilidrO ,,v.,''i
homogneo homogneo _ n,_'_' O ,.,_,.,,,.. _i e___
f,, ...? K _ -/4__ _p
_-,_ C_G. -.'' 0__^'''_;'___ _''_"'_''__''''':-'''"'------ _ .
_''_,_,e,,, " ^'__^'_''' -/-__
_ C _. c_ncide cm y CG. cdncide c_
_ cenmD der _o. cl cenhn _ n___. _

_eFd_en_m ___o__ _ (__ ______a___c________F____n______t__________0_(______ ____ ___________ _ _p l _ _p ql t t_ d t _ tpp _ __An c0ot nlast_apa_mf_ tt_essaA_dye8y_
Lumbreras Ed itore_ f ísica
Nótese en los ejemplos anteriores que la Fg
_e un cuemo actua _ubre el mismo cuem_, en _F
cambio su _eso (__) actúa sobce el cuemo en el
ie,e ___.
' __
__i en mbos casos e_ cuerpo se _o_ra '__
_
mantener en r_poSO, !_s mÓduI_S de la fUer2a __
gra__edad y el pe__o coinciden (esto ie podrá _
3CCi
_emostT3r cuando se plantee _a primera '.__O .,_.-o----- ----N,-
_ _CCl
condicián d_ equilibrio); por esta ra2ón se Ies
s_1ele conf__ndir y se habla de pcso y de fuena de
, , __
raVCdad COmU Sl UeS_n Uer ZaS l_Ua eS; __fO COn _
_a0
_jslir_tos nom_res_ lo cual es jncorrecto. __
0_
FueR_A DE _ENs_óy ( ^r ) j
En el ejemplo ariterior, en el cual la lámpara
se enL'onlra_a s__spen_id_ _el techo mediante _ hace, et corte ;,m,_,_n,rl-
una cuerda. se _ue_e ___ucir que dehid_ a Ia
de a CUer a lnCremRnt_n SU SepafaCl_n, _efO
uer2a que la lampara e_e __ce sObre Ia Cuerda en
/ ésEas interactúan atr_?'éndose.
UnO _e SU_S R__tf_m0S l0 _Ue h_bt_mOS -
-_nado peso) y a __ Fue,2a qu_ e_ techo Cada pane de la cuerda atrae a la otra cOn
ejer_e sn_re Ia n_ism_- cuefda; pero en el otro FUef_laSqU_SOndel_Ualm_UlOpef0dlreCCiOneS
e,_'tremo, ila cuef___ se n_antjene tcnsa! COnt FarlaS, CafaCterl2_ndOS_ _Of aCtUaf a 10 laf_O
' de ta cL1erda y estar dirigid_s hacia el corte
,,6n ima._inario. A esta__ fuer2_s las denuminam0s
0,_ l_ln_a _ Fuer___ de tens{ón.
' F= fu_depaIte
_6_ _ d___echa. _s_tas fuer2as est_n presentes _n cual_uier
i_i_ _.___d._i,_.__,_,_o,,,.. _0
___. _ '_'''''''' 0, __e _UntOallnteT10fdetaCUe FdYymantlenenU_ldaS_
_ ,______- - ,' '0 a todas las parles de etla. si _a cuerda es
_t.- _
_/ t Se_a_n '' __ C!U__de consjderada de mas_ desprecie__e o mu
_- _n_a _edela
___a_ e uen- a en com _rac;a_
_.__ . cuerpo que sostiene, s_ demuestra que en
__ cual__ier punto a _o largo d_ 1a cuer_a la tensión
//
_rescnta igual valor.
El _feCtO _e _StaS f_ef2aS a'l aCtUaf e_ la A ni__eI molpcular, _sta_ fuer_,as son una
cu_rda_ es la tendencia a set}arar sus partes; pero ma,,;festac;nn _e _,__ etra_c :,ó,_ entre t_S mo_cu _
si e__to no l_gTa ocurrir, es decir, si _a cuerda no se de t, cue,da clue sp o p_,nen el _.
rompe es puque en su interior se mani Fleslan
separa_ión d__id_ 3J est,xra,_iento e 1c__ que est
Ue MaS ql__ SR O_Onen a tal efeCtO, _Sl C0mO Se
. . / F .sumetid_ ta cuerda.
I_ en e Sl_Ulente _ra lCO.
394

_d_ee_()orm3fst e_d_le_ltJv_t_ an_ t h_ t __ _t _p_g __n_ _0 _ _a_ltuq_(tdetlmn, apl__odpeepllcc)raasem0so0odftseeuun_n_ya_fgFFaus_oeunftr2vn__ecaa F__
cniiTu Lo vlII Esta'tica y Centro de gravedad
En la F_eura se muestra un rnodelo mecánico D_____^ __
de la oposición de las molecu_as de la cuerda al __^ __ _ 0^ 0
serseparadas.
_ __o __________n__?,_0_0 ' 0___ _ ?? ?
,0_ _ _L _ _ _ _
,%_,_,, _ __ _
_. _ 0 K'osoEros estudiar_mus únicamente la_
t_X_a_ _ ^
lm___ ^_.c7_- deform_Ciones por estiramiento _' COn__reSi6n.m ^ ' cu ' ^
_, __ _ , _ _, ' cuando un cue_o esta_ derocmado> en su intenoc
,,, __t__,,m_,_c_'; ___ sg ,ese,tan f,er,,s ue se o on_n a las Fue_as
' _ 'n der_ormadas. tal como __a lo hem_s planteado er_
el caso ante__r cuan_o se trat de la fuena de
la suma _ resultante de todas esI_ pequenas tens._o,
r_e_zas que sur_en a _ivel moIecular es !a que Tomem_scomoe_-
__n_min_mOS FUerlaS de tCn5iÓn_ de __sy de_prec_ablg, colga_o del tpcho, _al,
como muestra la F_gura_ en esta sil_aci_n se
__ER__ _____%_ ( _,) e,cuent,a con s, long;t,d natu,al_ (LoJ.
Un cuer___ el_5_ico es aquel que tiene la _ _ s _ ;_
capacj_ad de rccupc_ar su f0Tm_ y tamanu _
n,__u_al cuand_ d__;'an d__ ac1u3r las ruerza_ que lo Lo _0 ,,a =
dc(ormc_n. F_co rJcurr_ por ejernpl_ con una pelota = a
_t,,e unaes_,_n__a ,n, __,-__ un ,esone ett X=O --- -- + o _?____'__=_ ____
a Ff__I
M _ener__ tOdOS lOS C____S _Ueden S_ x a
Jef_rmados_ es decir _ued_n seT z__ara_os en tu O 0
forma por la acciú_ _e fuer2as y pueden --- --
'_ m_eF_. muchas de __ F d_ro__ _
se pueden n_tar a simple n_a; en 0tros casos 5_n s._ en su ext,emo __.b Fe e ___
tan peque__ que no pueden s_ adv_ ' das 5 in v e r t._ c, _ h a c _._ a b a. o e _ T e s o, t e s e e s t. _
inst_men_os especiales- _on _.tud , a la cual vam_s, denom._
L__ s deformaciones más comunes s_n por defo_4c_-o_n _ong._
estira__;ento y _ompresión:, un cuerpo e5tá AI est-_,a, el resn_e __nternamente a n-_
estirado cuando 5U 1on_i_tu_ et mayor que su mo_ec,___e_at_decaus,,unam,_orsep_ac_;__n
lOn_'tUd n'tUral (lU__'tUd CU_ndO eSt_ _"n desusmoléculas,sur_iendoasípeque__sfuen_
de(Orm'rJ Y eSt_ COl_Prim'_O C__dO SU lOn_'lUd que se opo__ en a tal efecto y dando como result6d_
eS n_enOr qUe 5U IO__ltUd natUf_. _iSt_n OtrOS la m_ifest__cj6n de fue_as que se 0ponen e ld
tipo_de_eforma_:ón com_ l_torsj_nola _exión, separación de as partes de1 resorte _ l_ cual
__1 c_mo se muestra a continuatiÓn. denominamos Fu_rza e __' ti__a ( F,) .

__t__t Gc__tl_utc_oaf_t___m_(c____tthrcrfol_snt_tl_c____)___n/___t__rt____M_____t__t_ct___)_c_ res_0drtte ____rtdr emeyn4_ue f_to_3 __x_______x_x______t_ _0l_,___t______Ft_t_lrr__l_____x____|__ _ tt r
Lu m b re ras E_ itores f is ica
Al igl_al _ue la fuer2a Jc tensión la (uer_a
elástica cslá prescnte en cualquier punto al _
interior del re__urte y se oµone a las f_erzas _
___rormadoFas (_) tal como to muestca el _ O----_
gránc_, tr_t_' r_do de q__e el rcsorle recupere su 0 ,_oN. _l
Ian€i tud nntural (Ln). __s (ácil notar qlle _ medi__
_ue _un_entamo__ 1a fuer2a de(_rm__ dora mayur __
ser ta deformaci_n x _el re_orte y, en
consecuencia__ rE_a)'__ st_r_ el _nódulo _e la Fue r2a F_- 5o __
el_^ s lica. Es. le c_mpurlam iento fue e.studiado por
el lne f"- _Ot_ert HU- '____ ( l 6S3- l 703) qUl__ llC30 a La _,a,_a__ _n de Fuer,a con _a _er.ormac ;n de_
__st_tglacer ____ e1 m__ulo de la fucrza elástica ,eso_e se p,edc rc, p,esen,__,, c_n u,_ 4,__-t_,c_ t__x.
es directan_e_te _roPOfCionaI a fa d_fUfm_Ci_. _e _c,e,du co_ _, __e,,, de _uon_ e. 13 grá__c, d__e
ES _eCif __er una 1íne__ fect_.
1i_nilede
_ _ n a ru__-uIa
_;._Kx f _F(_,) P1_'"'' i
F__ _- - -. - - -_ - _-_ -- - -. -
Est_ f_laC'cn C_i rOn_Cida caE_O l_ LRy _e i _m__ede
_ e_a__'_cIdad
00ke_ dr.)_)_C F _ _ . _.. _ _ _ _ _ _ _ _ _
Ft- : mU_(l!__ dl' l_ fUP?2a eláStiCa (_n _, C_'VtOn). ; :
x : dcíuTn_ariiJn _i_I resorte (en met_os _ t2 - -- "- - '-- !, ;
___-__tln__tr_J_ ). _ ;
K : const_nte d_' _r____Jrconalidad cono_'i__ 1 ; ; ! ;
.t,,te _, ,,_€,_d_, su _,__ _,,, cs o _, ; ; _ x' (m)
, _e_ cf,__,e__,,_,c_,_e, _, c__,_ n,et_r__,___ _el ue _e la __rn1__ se lil'__L_ q_e a n___ _.,'or Fuerza
._c,du su ._,s__,_ es e_ (_/n,) en aplicad_, _f resc_rte _____rimenti_ m_-?__-or
F _erorrnaci_n: v_ p__e__0s u;_c_r __ _r_Flca
_ __llE_0S C_iUS _Se _lle e RXDf_S__
{!Jl (,_,/Cnì). tcnn (_ _ _! _ -i' _ -__ _ __!'_ - _ _'
;,___ e e_tc,_ _R_. s_, _.._ ,Jns; ue __n mto_o L___.€_._ _ = t_-1! !ít
F_-',_;1 _ç ,ned;r f___ (_._e,z,_s. c,_,,_,_.cchando _,_ S____i_l t_ ___r_!ic_ l_s c'u__rµ__ __ cr}n____'_'3n __-ui
.upu,,;u,,__;_d_,._ __., _as fu_rza_. _p_;ca_as e- un _rrJ___da L_____ ___t_i_ti_ ___ _lc_iic1 u___ _lL__to _'__ iur
d r . _ t _ s lf__r)cJn_.in;____ _í__j_e __ fl__s__cir__'_ _. r__.__ el7__ u_t
rCSOft_' C(__ 5ll _ Orm_Cl_n_ SC C(_nS IU_-__ ll
l-u_l l__ f(l__r_e__ )__ ____ _-r_-_ ____J_ur_';_naI___ a l__ s
ln___UmCtfU5 4U_ _aStCarnerlt_ SOn
de Tc_l-lnaciu__es _' _i Ic_s _-_J__?,_-__!us ___1crJi___ una
JS__SltIVUS qUe7 tt_n_n un feSOfte fl)O en Un
_.__:'fuFI_l_CIUn _L'_tC!_t_I _n __!_ _li_- ___, C__t_ f,_,S_ CS
_>_lrer_1o y _ _!u lar5u de l exiS'le una escala c.n_,_o_..___ ,un,c, eta _ c_e 14_t_c_.d,_ s.,
_f_JU__ d_ e_ _t '___'tC)n, eti____r_rl_ C_. m_ Pn lIll_ __ ul_f.Elu__ _.__,,n____E__c_u ,_,,_ (__efn,c_ cl,er_u. f,n._
f__l_, t__! CUnj_ Se nlUeStríl. cu_-. u u__e _le _f a ,c,n_ çrs_e.
396

___x_?___?____ _ __n_n__t__ _____K__ ___x______ __ __t_.__lf.____ll______l__t_.__.___?;___ pclp_gourla___1ea_sl1_;g__a_s_l__L_co__rpnoes5teay_mue_tcst_0ra_anpe_on_gdeeeldmgge22qtLFo2aKKtusne_d_ccl_noea_2tc_u(tdur_gea_flt
CA_tTulo vl__ Est_tica y Centro de gravedad
_ ___ ''__ ?,,_,n________^_,o,c__ _,_,_,__,___,____o_______'__,__,_,___,? __,_g,___,__?__,__,____,,,_0,,___c,o______,__v?____^>_,_,,_____ Relatlón gntre Ig congtantg _e Fl I_e_
_ _ _ ?__ ,n ,_ v?, __,,__ _,___,__,?__, ?_' ,,_?___ ,m ,_, ___i_ _, 9_w__ V__ _,__s_V"c_, '_ _ , _d,________c___c,,?v ____, J
.' _ r_- __ Y la lO_9lt_d nat_fal d_ _n feSOfte l__l
- _ _no _' El valo, de _, cons_,nte de n,g_.de, nos _
_ _presa el mo_du1o de 1, Fue,,a que debemos Habíamos indicado que ta conslante de
o apt'ac__ reso_epan_ogr_deIo__loenuna ' ngide2 (K) depende_ entre otrus factore_, de las
unidad de longitud. e_ dimensiones del resorle, especír_camenle nos
Por ejemplo interpretemos el valor dc la , ,efe_mos a su longjtud nat_Fa_. La Felación que
? conslante de _sidez K = l OO NJcm, de un ex__ste ent,e ambos e, _,nversamente p,opur_,
reso_e.
_le v_or nas indica que por cada I cm que - '
._Je desee defoFmaF al reso_e, ya sea pafa , LPOf qUe Se _lantRa eSta an_aCi Ón? P_fqUe
estirarlo G compnmir__ se requiere aplicar una _ c__ m_s fácil estirar un reso_e l__ rgu en la prc tica
fUe_ de m_uIO l_ N_ e_, que estirar un resorte cort0 de iguaI ma_e_ia!;
__ O ~;J _' ue_e com Fobaflo se recomjenda ue lo _4 a
, ._. K=IO0Ntm _. _ _ , ,e__, .__n on .
'_ _!-'m-_ __ que a menor longitud natural, mayor ser_ la
_ ' _- '; _ F___ooN _ constan;e de n'_gi_e2,
; ; _ Por ejemplo, si lenemos un resorte de
, __2. ____ _. _ _ _ con,tante de ;g;de2 K y 1ong;tud n,tu,al L_, _qué
! ' F_ 2oo N __ ocurre si cortamos el res_rte en dos partes
;_ "'"0_'"' __
'g Ptor ello, a_ comparar las constantes de rigidez _
_ de dos resorles l y 2 se determina que si _
K1 >_,_ entor_ces para de Fo_ar el reso_e l se K _ Lo
_ rcq__iere __ay_r fuer2a que uara de Fo_ar en , , , , , , , , , , , 2
Ia misma lo__gitud _ reso_e 2,
0 _=O O _ , _ _ n _ -
! _ _r
, . '', '',,,'; _-O_
, _ _, !, M Pbdem_s deducir a partir de _a re!ación ante_
,'__ _ _ _ ' ' _ ? ' ' _. , mencionada, que la constan_e _e gidez _e cada
'' , K_>K_ ' ' , arte ser_e_do_lede _aconst t __ _
Tambien Se _Uede _la Ilteaf qUe Si a a_bOS _ reso_e injcj___ esto porque la ton j_tud natuf_ de
re_rtes se les ejercen fuer_s de igu_ valor, cad, p,_e es a_ora _a m__ _ad de le lon ,_t
e1 de mayor ri_ide2 se defo_a mcnos.
, _ , del reSO_e IniCial.
l J l_ F En _eneral, Sl d1VldlmU5 el feSOFt_
' ' ' ' ' ' ;' ' ' ' U :' en n _artes i_uales_ Ea constan_e de n___'
_ - cada parte __erá nK.
_ ,,,,'!,--X-2-_!!, _0
_ ___,,_ ,;__, ' u 0 0 _ 0 0 0 0 0 0 0
;, ' _o _ ___Lo

_ssspdl eetn_e_ms_p_ul0sc___ee_crlm_dlnc___5fr_o___st{__ynd_te_d__e_srlK_ldg_ J_ _ t ________ __________ _______________________________p___ ___ y__________ ______________n___ t__c____t_nd_ o__ e______l___s_____u____e_ l0e_
l_l__breras __ _itores __sjca
_jemplo J ,,,.,,,____,,,..,v,,,_.,_,;.,.., o,.,,.,..o.o.o ,,0,,,,.,.,,,,.,,,, ,,,,.,..0.00,.,,.,,.0 ,0 .,, _,,0,o__.._,_,,,o,,,_, -__, 0,,
. _ . ____00'^'_ _' .!__._g''___''_,-;_-__ '_-_ _'_' ..__' '^ ':v.v,.____0_''i_0',...,__o_9. _jo'__j__d_O' ^_0',''__e___e__.__', '0e0a____0__0_____,___j__B'__' ._,'___^__',__0',__ _'__-'_ m'_'_'_,___''.,__,;._'___Xt_"'M'_'5_'_''' ;' _;':.i _?._n__'_ ;t. ' '___-' ____.. ':____ __.___
_ t_l_Ile Un fR_Of e e Cm _ J0rt_J U n_ Ura. t___-_'_:',_'!t__. _-"^^e'0__' _._'._.!_,__,_'_0____8_D___0_d0 :,i:_i,_!_/;__'--^-_'_0_'_-____.' '' _%__,,''__'D'0__-,__-'_'_'n_?';_--_;;_--__' u;''_:_.______:'=__---__- _^__-'.____
. .. _/ . ,. . ___'_''_''__i__:X___,_m-___:=__..;;i"_;.'_.;'_,''__,_i______:'____-___.__,.._-:;/_- '_?';_.. ';___:_i__-.;___-- __ __ '_;._.__..__'_''__i_,::'',:_;___,i,:'_,__-_,_.n__:_'- ;___',._;_';''_'=;,.?.;.e.;_.,:..X_.,d____,_,
_'_J ConS _n e e f___i Cl _t _ m- l l_-! l__O_ ;___:''''_= ?':_' ?___'!:_____'''___0'n__t_c___ '__:'_/^_-:i:,_.__x______ì;:_=:__;h;'__h?_i_,__:"'-i?__''_!'''_-'_'__',y_''"._____,-î''..^' ' ?'.___._;_':__:::____'____''''_'_:
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t' it'?_rte t'n l 0_ _}3ft_,S Cl___-d.S Ol__ltU CS SUn __,',,_;___..:_':___.^,.;_ =-_-..s__._=_.___---.;.-_;.__i'_:;_:'_..,;_,;''_;____-_:'_____:':;_::_:;'_;'._--_o_,___,__0__,_0 _ .; - '''_'..'_;'-,;;.__,__._,n__';.__.'___.;'.'_.. _____-:._____,_:__.
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_u(uc____f_ ___,_,___,oi,eo0,,__.__,i___,_.g_.,,__,__0,,0_,,o__,_a_e___,_ .___,___,_''!'^'______L_'8_____'___eo._,_____;',,,,,,,,,,,,,,,,,, ,_,,0 ' '__ :__0 _ ____x, . ' _.'J, __x._..;.':'.:__-:, ,
. a _ _ __ '. '' _ æ_ _ _i. _,' _ _= __ _. i _ __ ' __ _ ' _ __0 _ __o _,.a ,.. _._, , _.. ? _, __ e ' 9.. '_ _ _. __ ' _ ' _ O ' ^ i _ _ _ _ '' ' _ 0 ' i__ _ __ i ! _, _ , 0 0_ __ j_, ___o. ,_, ,.e,_ & _._ ,, = , _ ' , _ ___ ' _ _ _ _ 4 ' ___ ? q _ _ __ , ' ; _e _ ' ' ' ___ j _ ' ' _ _'_ i, _ ' '_ ''_
R?i3Jre__?nt___m__J__ _'rc_F;?____ler1_e 7o _ue el enunciado __i___,'i,,____,___'',0.,,a,'__,_'________'_''__'_,____',._,'_'_'_.g_,,..._.-_',e_,,_,___..d_.,i,,i,_.,..,_,, ,, .._,'__'..__Pi_,_m _,__. _i ._,.. . _m.
d,_ t ç;__,m,n1_ p__nte_,_. ____,,0,_g__,a,l__ l,,_,__.___,.'_'____,. :__ ;___^''' ___,=_====..,_o__,===,_,_=_' _ -'''___ __=_''_ _==' ,._,__,_,,o,.,.,,,==_o0, 8___ _=_o=.,__,_,,,=0 _ ^_!.__ ._,_''__.___ , _. _',i____,_,.___,._,_i
_i_0___''_'__n.'""___'"__''_____'_-,__V '' ''"'''.' _'_''' _ " _'P:_______i'_ O^_''' ., ,,,___i,o___=o,_'_^_ _____'e_O ''___"0__0,_
K_
A nNei de IngenRna. l0 Es_cico en_encra __onon_e
_____'___
_licoc_on en eI d1seo y construccin de edr_cIos
K_6O__t /m _LJ_20Cm__
' 0' ' ' ' ' 0 ' ' ' ' ' !-_ __''_'.0___?'__ii_e__,_0d0_ DiA_RAmA De cuERio i_BRe 40.___
____O cm_ 2
__ ' _ _ _ ' ' 0 _ _ _ ' Cu_ndo anali2amos a1gun cu_rpo que se
__--30cm_ e_c Llent_-_i a nuestro alrededor, not__mos y
_d d t , K K ' Ile____remos a la cun_usión de que l inl_ra_u_
' l 2'
_ __de2 es 5imul__e__te,_n_?aiios_e_s.___oc._1al
-n_.cr__mente, pfoporcl-ona,_ a 1_ _one__tud nat_1fa_ sobTe l ten_remos_ _ctua__ __rias fucrzas_. _r
,r lo t__ nt,J, s_g___n 1 _,s_ mateT__;t;c_s, e_ pTo_u_io ejemplo_ s'_ n_s encontramos sentados _obrc u_
de es(_s d_s ____s_njtude__ d_t)c v_er con__t_nte_ S11la >. __O_'a_US en Un_ m_S__, __ Ubf_ _Ultitr_)
cue_a actú__ n l_1 fuer7,_ de parte de Ia sil1a_ la
Con_slante d_ Lo1leitu_ ,t_ Fue,__ so_re los __es u_, e5ta,
ngi_ez natural--
E_' mhi_n tc,T_clr_m_Js ur__fuer__epaft_dc lam_a
r__r e It ___ entre __I resorte inici_ )' sus partes tenemos _,_ p_rí__s Co__t__, u_r.
K/. l_ _ _-_. L ., _ K._. l,,,. _n la resoluci_n dc prohlem_s dc es tát i_a es
r_G_o)(__ n) __ K__ (2o) __ K_(__) sumamente importan te saber €rar_car la_ (uenas
_ue actúan sobrc un cuerpo_ v_ _ que de el1o
C _10nde _bter__mU- __ _lle
depen_e el correcto anlisis ? posterior resulución
__.= l _7_O__/m '
_ dCl _fU_l_m__. A _ste _roCe{11mlentO _aI _l CU_l
__ = l 0_0 _Jm se r,p,escnt, _,áF,n,,mentc l,s fu,,-,a,- aptic_J,s
_ ___ir de es_us res_lIE_dos p_de_nos notar ___e e u, cue,po, to denum;n_mos DiagFama d
c_d_ una de l___ partc._- _ct r__scJl_c _rcsenta mc__'or c,e,pu _b,g (D.c._). _,, e_ _ e_ _,ue_,u en ,-_n_, _;,;,-
c,ons_ante _e rieide2 _ue el resorte orig_ i_.a1 )r. a su p_. _, _,s_,_d_ de _o_, _,e __, con los _u__e,s __,_teF__ cf_-,.
ve7-, cntre estas dos partes es l_ más pe_uenL_ 1a , se eranc_, _as (uer2_,, ue estos cup os e__
In__- ri_id_. so_re e_ cue,po an__ _J.z_do t_n._endo cuJ.
C_nocieI_du la Fuc_r___ _e _r__ _Je__- d, _c tensión !
_O Cam )laf a _lr___ClOn )7 ßUntO de a_lICaClOn cle
_' l__ fuerza ef___stica pu_emu._ a cuntinuacin ir
Ir aS ltRT2_S, qU_ d_ _hOf_ en _de ant_
µlante_ndo _I d!as_ rc_ma dc fuer__s ___o_re __n
_ llamaren_u_ Fuer_as exte_as al cuerpo.
CU_.lV0. -
398

fd_t ____________ _ ___ _ _ _(_) 0>____________ _____ c____r__s_t______________t____________nt______________________________________________v__________________________________r_n0__t__________________________________y___t_______v__________r_0___t__t_________________________________r_______________r_____________v____/_______a_____9mn__________________ _s__________
CAPíTUlO Vlll Estática y Centro de gravedad
A manera de ejemplo hagamos el D.C.L. de Veamos otro ejempla:
la esfera mostrada. Construy. amos el D.C.l. para cada una de las
__'__' esferas En el ejemplo anterior se consideró la
eCUerde QUe en Un D. .l. Se __: '
:;_:_' pared lisa ahora consideramos las esferas lisas'
FepfeSentan laS fUeF_as qUe eIefCen ''____ '
_::_:_.' icaInbia en algo la Forma de representar la fuerza
OS CUer_OS RXteFnOS SObre el __;'
',- '_ '''''/^'____'__-___ de reacción de la pared7
CUe_O qUe Se anatl2a. C0mO nOS ':'___; ;,..'.. ____-._,_.::!_?,';;,,,;_o0
interesa el D.C.L. de la esfera, .,.,.... ''_';. _____;.'_n?_,_.D,_,;.o;....,_:_:.,;:/:''p._,_,,_.:-,,,._._e,__0__..;0,_,,o.,_0___ 0
entonces los cuemos externos a 1a ,__:'__'__ _ :_.:__;;;::
e_Fefa son la Tjerra, la pared y la :;.__;;_' ,__,_._.;o':/:;',,.. A '__.. _e_'den__Y_&
cuerda ; esto signin1ca que cada uno . . &__,o:'5''_'':_:>''__:___,_;._,_', _:,__,_.,' :_''_:'___;_,_;"' ?,,_c_, '_- -''''"
' ' _-:_,'i___- '_;_',_'^',-___'' .__';''__ _____-?:_'''__i ' ,__:;
e eStoS CUerpOS aCtUa _0brC la _' '-_'^'_-i'' __0___'__;;_;_:_,_:. ''_,., __':;..
_ _____=;;:'_.;' _. 0 ,_,_=_/'- _'''e s f e r a
_ p o r c o n s i g u i e n t e, a c t ú a n ___D _, _ : _ ____,; ;. _; g..o_ .; ,_ _. 0 _. ,: ;__, ;___ ;; ,. ,_.. n.._ .,. , _n ;.'; '' ;.
tres fuerzas sobfe ella, '__,._.__,:__;_.:__.'_!._.n..':q,,._-,_,,,;_._'.;_':_;_
Si se considera a la cuerda de masa
_e_pre_ciable_ entonces en __ualquier punEo la No, si ambos (pared _' esfera) Son lisos o sol0
Egn__ jn tjene igual vc_lor y se repregeni_ por un un_ de _ l10s, la _e_a de re_cción de l_ p_re_ es
vect_f dirj_ido a ,!_ lareo de la cuerda y sjempre DemR_diCUFar a l_S SU_efriCieS e_ COnt0CtO. De
al punto _e c_rte im3ginario (?T). _ fuerza de i_ual manera también Io sern tas fuenas entrc
eravedad F _ r_os rnide ta _ccjón de fa Tie_a laS eSferaS, pOF Ser eStaS llSaS.
S
sobre la esfera _' siempre se representa dirigido
al centro de la Tierra, que en nuestros ejercicio5 ;,._:' Fg
como ya lo hem_s explicado, será venical y hacia '' , ,,_ _.___' '
'': '' ! ________j._._'_::_ - '__'_
aba_to. l_- _Jared implde qUe __a esfera se desplace R_ 0!,.__._::.._...;'_:;._..;_.____,
hacia la izquierda, por ca._si_uiente, ejerce una :__;____;:._,:_-;',:.__,. ..'_ ':.,__
'_ ! _ __'__'_'__:''i:___::__';'' __,;_,___i_:_
UerZa qUe llamaFemOS reaCClÓrl _c _ pared R . ' 'o___0" ,,,.___:___'';i____.7__ '
como ia p,,ed es l ;,,. _s ;mport,nte cono,e, que ' '' _ ' ' R2
la Fuerza de la pared sobre la esfera_ debe ser R. Fg ''
2 ' :
pe_endicular a las supec_cies en contacto. _to o __,_- _ 0.0- '-'''
__j___,_' _i.;_ __;__, ___ _%_i___ _ .'::
Se demostrará cuanda tratemos acerca de la ' ."__'._:___n,m._;:_'..,.._,:. !'_'_'':.>4.:,.:;_..-__.____0______,e0_ R3 ;_':
fuerza de fozamjento. .' ' , ' ;_...._..____ic;...._:-__. m,,_.__ 0 ' _ ' ':
Luego el D.C.L. de la esfera ser así '''.. '_:.;;._.:':__:::-_.____-_'"' _ ''
--- 0 -- _;_+:__.:
R_ _ '___
.'__ 7 L '',
''';: ' R _ __.:___-,':'-___ K__,'::._- _ '''' __ _ora. en alguno.s casos_ como veremos más
i_;>;_ 0 ___,___?_:__i. ' __.,_:j___
._i''''_,_ _'-.___;._._:_,_;_',__.:.___._ _ _.._. _.___. .:___,_.__ a elante, eS COnVenlente anaJl2ar af C0nlUr_tO de
..:-__ ; '_'''_''_.j_'._.i-''-,__._m:' i,_'_:-_;_'_--___v_.:____i _ _
:_;:.:,:. 08____:_'__'' :.';:5'_0._'__,.;,,_-.'_?__ UeSen UnO SO O_ a O CUa Se e
;'. Fg suele 1_amar _i_lema, el_o con la F_nalidad d2
simpli Flcar el an_isis del problema,
399

___pFtalp_____ _____ ____J ___ __p____ ___J_t______.l_ _ __y_1_l g __ t 1_ _s___loeds_tu__los__s(ud_e_e_r2laasst_eu_sc_t_n___y___0___0_D________p__nrao__o_sean_lausn_cauma____es___sm_r_____aeellrmnpp>___d_e
Lumbreras _d tore_ Fís ica
_ntonccs_ ha€a_us ef_D._' ,j. _ara eI siiten_e _ote que es u_,__ suma de __ectores. cuya
cont_tituido __r las __sfeFas ,_ y. _, Recuerde __!__ _per_c'iiir_ c_st_ _e__ cr:'_ la e__ '_ e1 c_- pitut_ de nná'_isis
e__ todo _.C:.l_. se _.__nsjdgf_t!.__ so__ _as fuer2â_ __ _'_it_Fi_l.
ehI_rr_c1i y __1 (_! s__!__tj__; ia_i f_Li___, __s dc ac_cii___ _' ___ !;__rtic_i<_r, _i_r_ _j c'_irJ de_ ù_-_i __ !_'_'r__s
r___cciú- n ei'_t___ i___ es'í_ i,__ rk_.c___ttan __er (u__7_.as _O_L'mOS. _^_jl__F e-I _1 li-' I!J__!_ __i.'!_ __Ial_iO____mO.
ir_L__r___' _ 1__ ___ ;_ __f .s_;_____!r!_ v, r__ _e fcs c_nsic1_ra _ __ __
c___- __d() t;__(__,__- e_;' ___+C._. (_f_vl v_jst_t_n)_,. __oI_ '-__ ' - _ '-_
__0 _"__'_
__ F _ DDO ___!' 0 _
__ Sl __t'_)rl_'Jt ,!.___fj____ '_:i'__f_r3_ _i___ _ îtSt_m_, _ ,/ __ ' -_
t t2_l' __ ''__
1. Aqul í' (resu;(_,_Le) re__ _t_
j F _2F --'v ''
"-_ _(_ S _ l_ 'ue_ __, v_ F2.
_! t! '_ El rndulo d_ F' se deterrnir_nfie c_n
!___ !__+_ _ i(
-_--'__ !---_ l ,,. - ._.. ---..,. , ....- n_..._.-..+.__ ---._
. ___-_c- _-' _ - ----_--' _, F F_' F2 2FF co_N
__---_'. _'_R R_-_+2+i2
.,s_,,__ / ---__ __ .-' 3 _ ,
'^ ''_ ;----~-"-,'-_ --
- _ - _ - - - ' __ cci_n1 el cálculo resulta rnucho m_s fácil.
__ _ Cuandu Ias Fuer2as tienen igu_l dirección_ tal
_ como semu_stra
Ff_2N F2_3N
_a fuer_-a cle __ravedad subre el si5tema 'i_j-;o.,,,0- ' _
F y _,,,_ J se _c_ te,rmin__ rom_ la surna _e las F, q__,_
de c_a__ u__./.__ de lo___ ciLerpos (_ue cunstituyg ël ,.,. _' FR=5_l
s;__tema. '-
,,,,.. _ 2 A _ E s u _ T _ _ T E la Fuer_aresu l(ante est á d i_ _g ! da en esa m isma
d_ireccián _.- su módu_o es la suma de l_s
i_n ,i_s _f__m _u__' _,_(enofes _n eneral en _ _ _
cl___tq__ier _a_ _o, las fuerzas a_licadas a un cuemo F, -_ F, + __, -_ 7_ K_ + 3 __ __ 5 N
n, _e!____- ser F_c1nplaz_das p_; un_ s_la fuerza _ue
)__r, __;J,_cc,i_,__,,ese4__iv___n(e_l__ccjn_etu____s ' CUand_ IaS f__fZaS tienen difeCCiUhCS
y, µ__ t_,_ntc,, _et_p. c__-ut-ar pt _._;_:r_,_ efect_ 4ue O__CSt_S
_,__J___-v_ 2f_uv, ,,.,__.t___a____,_ __jn_)(tl_,.,_i.._e;_ment__ /_____.t,id,J
_ J ) _ t _'_=j- _ _7"5_ __"3_
Xc_ _U_l2__ C'___ _njl_'_ y _(_jl(^___e_ie_C,,. _S a _, - __. __'- o_
t-______Ia ___ lc _____!___!:;_ _'u_c_a _cs__ltanie ( - _,. .t. _, _' ___ : ' _; ?_ i i_ ''''_' _ï - c
- __ ( 0 r, _ _ _ _ e _ _ e r._ _ t. J _ f.. _ iL_: i a _ ' _ _ s u i t _, __ t __ c _ e
_ y. o_r _ ,= _n ,. __ _ _ _ ,tce F.,__rze rgs__,!,1,e_,_t_e !_i.____r,,.e jc_ _,Ji.re__cir_ c;__ ld
( _''.: _?, _ ... ; _?-,) _';e_-n_ _ s__J' _a _-u_na ve_- cl_ria1 ('''''2'" d"- ^'")'O' m__UjO )' SU mÓdUl_ e' t'
de ___,n,__2s e,,__,, (_,e,2,. vc. _s 0_e_,_. __2rcnc_;_ d_ i_s _nJn!_los de i_- _ ruet'zen_' __ la__
____._._;_______..._.. c_!_-_f_s reem?.. Iaza.
f J'K = Ff+ _'2+ ...+ Fn _R _ _',,-t', _ _ ._'- __ _, _ 3 ,_
4O_

e(l_____t__l_____ ______ ________0_ ________p(_____ _________t_pt_)___t_t___________ ___/ _________ __ _______ __ q_l_e__c__u__ef_cgo_?s_deytn_t_n_aftt_epcut_f0g_a_ cue__ ____Jn _o_____o_____e_________0F0r__
_- ______J_CJ _'1ll _st_tjca y _en1 tr_ _e grave___?_-_._
_'__,_,__'___8i,_,i,___ _a____, _,_,_,=_i____i,,r''_0___,a_,e _' _,__' _i,__i_____i. _i ____,_'____,a_i'_9.ii____,__,____,_0.' _, ...''.... .__,:. __ '_;_,:__.,_'___'_._:=_:. ___..,., _ ' _
_C_x_rnjnemc)s __) __J_._e-f_ti___ ccxtjdi_nu ite i
' ' i __ui_i__no d_ i_&s!_ac___n ?'_
e_ _recan_os_ a c1;!nri_n ___ __1 EJ_3r__ x_il'?_ d_ i'_mnâ_us, '' ___ _ ____ _ __,,_,__ _ _ __ ___ __ ____'
- _--'' o i i'_J__1e''_,
1 _?_ _ ,'__ri_
!_ ' _9_ , i __- i__ ,. : ~ ,
!. '' -''',_. _ _,'''
! _'. .,. _ ., .,0......'
_ -- - ____-__ _-- Re__so m._.U.
!_ '__ _^ ' ' ' _
o.,.,_..,.,.,, 1 _ = 3_!_'___J _t _____ ?5 Equj_!!_r_o EquiIibrio
!_ "_ __ ,____ 0''__'_ __ _ .,,. ___'__0__ está_co cit_é_co
!, i, - __ ,___.,__ %,., _. _"'__9____. ___._''_a^_____', _ i__i___, ___,_____'_'=_. - - ' _ - __= ___•i__0.. ____ ,. .'.'^i_' ___a__._' __'_=_ d'_,__' '_'6'_0___,___C _
' ' ' - M ainbos casos, se _ebe cumptir
que ta aceleraci6n es nula ( _ = ò)
Para e l peat___ __erc_clo. __ c__e fenómeno f(s i_o _N_nr__ q_Je ya sa_emo5 cuand_ un cue_o estcj
e_x_7e_rln_enta el _uton_v_t_ ' e__ eqlli!__brio de traSlaci6n, será necesario
_ed_ __za un moyim_enfu recEitjnec_ unjrorme in_'e.Sti_a_, _'_Of qUé CaUSa nSiCa la aCeleiaCiÓn dem
_ _,) pu,,s ,_, _,e,oc,.d,, es con,t,nLe un cue_o es ce_a ( _0 _ ó) ?
_ _ rara esto_ ex_minemus el caso sjgu_ente
u= 3i _s _',porconsiguientR Iaaceleraci_ndel
_ _ d_nde Una eSfera hOm0_enea SUICta a Un_ CU_Fda
automów! es cero u _ () . Continuemos, _cómo
eStá el p Oste respecto _et t_eatÓn?, _ara el _eatn M ;a _ewa, la esfe_ Fe___ pues .. ,_... ......_.,,...,.
_ pus_, e_ta_ en Fe osu u_,. su v__ucidad es nu1a su vet0cidad acete,aci_n s_n nula _
(^u =_ y,por con__i_uie._tc, no_celera (__ _ô). ysu _ =O estáe_eq_ilib_oestático_ g i.
T,,nto e__ postc ___,,mo _,t _, uto,_,__v__f _oseen _ro_ L_rqué su a =O ?,g_quemos ,0_,,
,? ?_J _as ruer2as mue actúan s_bre _a esfera _=0 '^_''_'_j___;d_____
_CC _faC_0n nUl_ '_li -_ Ci , T__nt___nC_S_ _C_mO
' realizando su D.C._.
de Flnimos a dichos __st__ ____ rísico_- _e __s _bjetos7 ? ? _
Actúan _os fuerza,s F Y'r pues
se le _enomi,na __uilibn_ _R trwlación, es dccr_ _ v" ? ,_ _ _ _
a Tlerr_ _tr_e a Ia eSfefâ CGn _g _, .,,.ii_____i0'';,.,
el posce er_ repu5_ y _- _ a_it___í_vii c_}n ,__-R.__ , ____ t_jn _ t -d f _ i''''"_i~_'
f''____rW_'?_ _ raCO U_ _
,nr____e.nt_ndn diit__ este_ __ _ec'______-i_ ___í__,_;_, '_' _
_ buenn.. n_tar _u_ e_ e_t_m___iii sc rn_e__e
- _Zr__ __e la e_Ste Fa reß0Se seiá necesano que
e_ p___te no se muevex _' _s_a diíerenci3 r__lativa Ia _,b,, Fue,,_s ie__ ,n ,. ual n_o,a_u..
_ij_renciamos a F_m_ando __ue
_ __Fg
_ _ _oste cstá era cqui1J_r!o estátic_. con c_,nto _e fue_e _,es,_t,n2e sobre __ es;
' F,í _ut_mó__l a__t e___ equilibr;o ciné__'_co. _ebe ser n_ula, es decir
Mtonces podemos rRsumir an __ _ )_
_=
401

_l__ ___ J_v___x_n_____r____v___7_____l__________Ab__tr__ ____ __?_fEq(__l_Ee_n__d_tF_t2_tr____u_atlr_s__l_el__hpb_as__y_unctl_l___(_______ndr___e_y__ ___0______________y______r ______________c__R__r_t____t_trt__o__r_ t___r___ __n_ ______y_____r________________cfc_e___o__0______e___vtl___t___n_u_ro____o__o_pp____F__c_0J_J____otn___e_p__mT____o__ot_>_o0_____1t0__tod_s__o_rtl____t_t_o_xo__s________f___,t0__net____F_ll__rct__r_n9___rt_n__Jh__l_t_x_p_ac___u0c0e___o______0_t______0_rT_0___ont___________o0n__b_0___0__0______Du___eoq_lls1u_sFpe____lso_ordcr__(c___me_sb(t____ F ___ll_t_F__fTfg _
'r de l0 an_j2ado, c__ ta_Iece__os q_e tg _celer2ción de un objeto ei n__la c__ cl_ ta fuen_a res_u l lan te
__túes_bre l (_m_jn es nul_. _r co_sje_ ujente. _oclem___ ._inteti_ar _xl ec_lliIi____ _e tras1Jci_n _lst:
.t_:_n_o _F(_), __F(,_). fTF(_),__F(_)
__ ->t=0 F__O _ _ ' O _
!C_SlaC_Ón . _F(__)_- ___(_) _TF(_)_ >_F(_)
__'__'_0''^ ^0_i__'"'_"_"''^ '_''^'''''i__''9''''''_ ''' ''^'____'0i_:'' __''' ^''''_'__''''__00i''i_9o____. Rgs_ lu_' i _n
_'__., ''_,,i',._''_0____,i_ _,.,0'i_t _'''_' __ ' - --- -''''''''_ -_-''''_''_'''' '''_- ,.
'_^____o__ai_i_______';_.=_,.__'_____'__i,___''____'______0___;oq___'___'_'______o____i,____>i __ _'__'______ _. __' ': _ jnj_iar l__ resu!,>u_' ión cle u_ _c_>tJ __ema ( 1(_ e_tc __t iî__,
_e r__corn__en__ re_-li_ar pt'imero c_I D,C.L. _e l
., _. El ec_ui'_i_ric_ _-3__ tresl_ci_n de llll Cl____O ,, . _, .1-. ,
,,, _ s_stema que_!__ est_!Jieci_o si y suI_ si '
S. O_f_ _t la fU_j_,_ feSUlt___tf__ __S nUl__ eS :' En ct D.C.L.. __orf_j_erc_mos t_1s fu_r2_s
''y''',c deC_f __it__rna5 su_rc el t_loque: la __ cciun _e la" '
, :_'.: Tie_F__ _ _ j , ___ __ c __e_ da ( _' r) ___ de _
" , , Ahora,_-egún, l__tantea dorespecto al d inL__o 'me tro,
_. El e___i_i_n_ fT,_cnic_ __ una ___articuIa __ s__ _ec1ura (D) es eI n_ udu io de !a (ue_2x_ d_ te___ s, i n
,_.. (_U_r_O L'__'_S _ln_t'nSlOneS __t^ (_/que ___pone l_ cL'_fda, e,_t_nies _r = i
de___r_cia) s_' e_it__blec_l' sl SU_r_' _!la la -- C_m_ _i bIoc__e __e n__ntiene en repr_so.
_.?__e e_s nut_. _,.: __F ( ,!) _ T_f (' _.
_J_mply_ J'_(-l_ ,__ a _ (_!__ l__)
._a'__i__n__ que et rcso_e c_st_ comprimida _ cm .' T_ --- -)fJ _
y c__,_ __i __r._n1_fc 0_ _7 h_4, se e__c_;entr_ en re____G: Entr__c)___ ___; _'__;!.;_,iIT!i__rr)__ tTm rrx_StT__ _'(xnlc7 ____rll)r__
_;__!____ri_i,ne ;-!c_ lcct_J__ _tel din-_n,___n___tr_ ;_L___I, D =? ) '_
(('__ns;cjcr__ _ = _O ___'____) __ =- l? ____-t. ,_i__''_'__=_o_,___ii'___g-_'_0_"_P'a_';'e''_''__i._'__=_'.0'__;___'__'"__ _'_.0a,,,,.o,, _
" _er_._i iI_ ___ c l_ ___ tc___I _r__sc?n te e I _________ t__ -
-, nc_(_r;___t1!r__ _{_f_c___onad_ c'__n t__ f_r imer__
_ _ t1 D _u__c1;___i_;_n _t_ ____ rjti_,__ G _ecir, .__ la ___ __ (t, ,
__l__(J_')c'__s, i_- s__n_L_ _ectur ic_ l __ l__ s (u_r____.__
- _ e._ten_es pnnilirá _blcncr un _ _go1 __ _-'c_l_ n_ I ,_...
- _.. cerr_' d_, eI_ la cu_- I todas Ias ru__rias est__r n ::;'.s
' _.__ 5'_;_' dispL_e_'ta__ cn furma conse_uti_'a, camo __ e

_(meuuxltnel_d_s_F3t2be3u___e_nna_maFe__ytet__omd_qoo Ka__4__ _m+ dt_sp_c_o_n__l__epn_c_l__o_n_Tt__tl_ p___a1 Ahtt_ 0_gF_ar_______r_oste(5_e2_oam____r)tp_tJ_mal__a2_l_palma(ncoates_l)aemtno(3_so) N_gr_ r_(_p)og_u_
CAPíT_l0 vlJi Estátìca v, Centro de gFa_-e4a_
__'emplo 3 ier_, _qué _uer2a o fuera_s _ebemos
L_ pec1u_a esre_a de _ k?4_ está e__ re_Oso. _JQu descompo_er? _ql_el1a5 que no estén ei_ l__
_..a)___ t-_e__e __ ruef2a __ . Ja (uerz_ de te_s;_n h0n20nta6 0 ve_iCal; en nUeStfO Cas_ de_emOS
__ _ _ _s _) descum_on_r a T.
. . _?_ï---- TcosO
! _ __ g O_3_
?! 7 _ __:
F rs_ 0 _i_ __,e, _o,.,o,__'
' _ _ _0 _,_______' _F,_m___oN
m
Resolurtón _ ,e n com_ o _a esfera se e_,cuen__,4_
Primero pasemos ha__er _l D.C.l. de la esfera_ en t_ ho,,N
a_tu__ n so_re ella tr_s Fuerzas. _
_,= _ _
, , f_Tsen0
__, r - , _ r 3ì,
' _ 5
u_O F _...... ... Tamb_,en en la ye___
_''=_',''.'a ' '''_'_" F____''''v'_''''''_:''_'____;'':':_.:_'::'.____
' _'' -::_'- - _F'(_)__F(l)' ^ - ' ' ' ' ' ' ' '
F ' ' '
_ - =40N _ T=jO_
_omo la e5(era está en reposo con 1as tres fuerzas
po_emos formar un po1ie0no-_ct0r_ ce_ado_
, ., F=_0(3/t) t F--
qUe en eSte CaSO Ser_ Un {_a__U O.
F_l tTingula de (ueT___' (_rmado, es un t__ngulo Camo vemos por constT__cciór_ de _olígon0
rectáneulo c_noci_o de donde podemos vectorial (meto_o ge_ométrico) o po_
establecer que desc_mposjci6n de ruer2as (método analític_
F=30 N v, i=50 N obtenemos igual resulta_o.
C_mo se puede notar __ccliante el polí_on_ de
d. _ . ' , .c_s, - _e_pl_ =f
S y m_ 1__te fC __lU_eS _COm Ctt_t
-,n,os ,csa_v_r ,,_.te e ).e'm _o _te me, todo e_ Del si__uiente gránco, deter_ine el m6du1o de _a_, t
._ v a d e s o _ u c,_ o, n e, o _ a n, b _. c,, ten_ i Ón _ue sop_ rta ia cuer da que sos t iene e i
!uc_ue _e 8 _._ en _e__so. b _ _o_s'J
ab_rdar este tip_ de si luación: el ll_mad_ mF __do _.
analít'_co, este méto_u consiste en tener e_ las .,
fuer_' a_ so_re direc_i_n__s _er_endiculares y . ;_--
plaiJteaF el equilit_rio _c t_s (uerzas pur cada _so
direccjón pur scparado_ para ello debemos h_cer 30o
una des_omposlctón re,ctangular de fuer_n&.
403

___t_ _(t___________)__MJ_R______ _( __)________ __ r3__/ l__ __
______0_______________________________?n_________l_________4_ah_m____c_t________t___t_____________________7__a________________ct____n__________n_____________d__________________x______________t_____________________0_0______________________0____________t___________0____________o______o_____0___0_0_v0_t____0___o___________________________)_____________r_____________4______m__n_____________tll_t_ttdtJx__y9t__w_______J____q_______1__lc__(____________v________l______l___n____m___m____%_)ct___r___1___trr_e9le__y__4es___n__q__s________t_uo__(oc(__e_____e_0_nn)v_m__s_)o_______d_t____0__oy____e_rs__
lu mbreras _d_tores f ísica
Resoluc_ón
p,_me,o deb,m,_ h,,e, el _.c._. de_ bluque. _ ''' r
como po_,m,, n,t,, sob,e el _ act,_,n t,e, f,e,z_ __C_L_
_. ' a _i_F,er_;nc'i_' de! ej__!__o anten_r, en este caso ',., _ ,
_s ___nvenie_-____-. crJ_nar' c___m_ r_rerenci_ e_ ___1an_ _,,_,_,.__,_.,,_.,,, '__ ,_'_
inL'?_na_o v. _a _j_e__ción perp_n_i_u1ar a é1_ pare_ __ -'-
__n__._-_rn__r_pr- a l_ fuerz_ de ef__aRd__ d_ tal con_o '''i ' ' ' __,
fo i_dicam___N á c_ontin_a__ó__.
Co._o _od__moi n_tar s___re l_ ptaca_ _
_&_lY __ _ t_ 1 _ m, J
' __ _ SUS __rl l _ _C I_____ il _ Y . _ S _ U i
_'- _'__ g SO__ _ dt_,ecc_-ones _ on t r e, ,_ _, s . s _ n
_3aO _ _,'
? c_S300 _. _ _ rea mente eS Un __lO_l__ de la eStr3tiCa y _dem_
__' _i _ '' por e_t_f e7 cuemo en fe__os_ se rumm_
j-__,_..J..,...,o.,o__/ ' '
/__ .K _F(_)___F(wlj
l____,__ o_ ''300
_------_----- r^-__
_t_hen s_r det mis___o v_lur.
!__e_u_o, con_u e,! ,__,tuque __.e_ ma_tjene en reposo y
_c_5c_n!o.s __ter!nir___-' el módul_ de r, __'_,g_l.._.,. ,_| _,!. , O_ggyac___.i_i__,i ___,_. __e_ ._ .i. ,_., g,9 ,_,9
Fi_nte_m_î _,.,, ' ' _-
t_ ' / ., _ _ / _-t_ Sl Un CUe_O P_Sta_ en C4Ul!_lbn'O _e "raSf_Cl'_n ,
_ _ _'. _ c _'
_ _ _ fC C v_ O t_i UCfZ_Sr _S _S, ,_
í l , _ nec_e___rjame1_t_ de!,-en s_f c_o_ i n e a I e s ll e _^
T = tpsen30^ = (80). - _ __, . , ' - ' _
2 j :.';: lr_CC_O_ C__l_tr__f_a ._' dR t_7U_l V_lC_f. ::?' .'
_. T-_-_1__ N ? , J ,
El ,_étod_ __ad_ será el mtodo analí_ico, ahora., _Jemp(o 5
_--___r_ mtc)d_ d_ soluciÓn sería en f_rma __etern_i__e _l n_ódulo de lJ tensin en l_ cuerda,
geí_métl'ica. Sa_emGs a,ue con las tres (uer2as, que__ost3cnea_e __acetn+en eu_,- r_,omo _én e, c u y y
___elno.s form3r un tná_._Ju1_, de1 cu_ 5e deduce. de,_s;dad ,u_e,nc_al es ,__o _t_/n__a _ __ _ o _s_
' _ r__mssen__uo _
_'
Fg__o_' -- r-(8o)!-!
.;.. o _ _ _!!
' ' r . T__oN j_
''Qo '^ - _ t ,'
' _.
_5 lm__rtantR COnOC_f q_e d_ntrO _e lOS o 53O ' J
djvers__ s casos que se pueden presentar. hay dos ; '
ca_o_- en pû_tic__ar que se _resentan con __20Cm_
fr_vcuencj_, _of t(_ ue es necesarjo conocef__s ReSOlYCiO_n
_?___ def_lle. Se pUedC dedUCif 4Ue S_bre la p!_C_ aClú_n dos
fuc_s: la fuerza de gravedad F, y la fuer2a de
P___er caso: Cuan__ Sobl-_ e_ cue__ _ __js____'_;'_ pe_e de la c__erda a _a cua_ ___mamos ten_,__o,n _?
en repos_ actúan so!o dos fuenas. 4ue e,. µrec;s_ente lo quc nos p__den determ__nar
40_

__qhu_er_smusa1__esenandp_soorla_unnp_u_l_d_capad_/_cdheoeb_ma___F_egae_,neesad__,_epcl___rnKgrte_ __mmy_2o)s __ __egd__e0ta__tl_e9c_ __(an__do)(s_eg_a)_ b_ 0rd_e e__l tema de__c_e_ntr____ __
C_PiTU_O Vlfl _stá__1c_ _' Cen_r0 de grev_d__
_! ? _ pa__'_r _e elt__ también _e _bt;ene que
h_0,_n_
F_3a___n____ _?em_;_Mndo e_tos _a5ultados en (_IJ
.%_,;v_____'- m_=.',,v_ __nemrJs __'_
, '____nf__,,__,_g, ____ '_.'_'^ m'_:' b
_r__,__ T=_írJ
_'' _ T_'___U_-J,
., _M _ ' _ ! _ _ _
_O*_.x_ _
, . ' - ____ ____;__ ,_,___,__c______',_?,____'__,,v,_n_,_____,_e___n_;______ __^_o__D,____,_9_,_,,__,,__M?_,',n>,_,_,,,,__,_,_o__o?,_, __ ?o,_??_?_,,,_'e__,,__v__'__?___,J__
, Cm _ ' _ __n___ _,0,,__,n,_,_? e_,, _,_ _,__ __,,_ _6___,__ _ _ _,?__n ^ ^__ _c _c_ __,_ _e___ _ __ _ _ __' _?L ___ __i _' __?? ^ _;,__,_, ,_,? P' V,_? _ _?eo? __ _' _? __,
_0 _-_ _g~__
_ ^ iJna _o_a muv er_ci_nte _e delermi_.ar
5___emos _ue _al actuar _ol_ __s fuer____ -_ sobre la v ef c.G. _e __a,_3s h,m.ogéne,s o n,
ç!c_í_ _a y m_l_tenerS__ __l_ _n fepOSO, e5t_S fUe_aS homo_neas, de FoFma Fegulaf ç i,7_gul_r, es X-
_eben ser _e i_UaI módulo_ colinealt_S y de susD, en_!iéndolas de un h!to tal como _l
direcciones contrarias (por la 0bservación ? cjemploquehemos_lanteado__quecuando
anterior). la pIaca al_0_ el repaso, sabemos que el hito _
Dc __nde se _educe que de_e pasar necesa_amente por el C.G. Este.
T _- F -_ mg (_) 0 mélodo lo veremos con mayor am_litud y
S
._dad su erF_c_.al es constanfe se , de gravedad_
de F_ne como
Se_ndo c88o: Cuando sob_e el cuem_ o sistema
__ ___ _-mA en rc_oso actúan solo tres fuerzas,
_te c_o a 5u vez _uede presenta_se de d_s
_ : Densidad su_erf_cial da masa (_Presa Ia forma,
_,uego tenem_s que m _- ,._ _ Las Eres fuer_as son para1elas.
Reemp1_ando en (l) . sx,; , , ,,v.
r = (_.A)_ (50)' _a _ (lO)
:. r=2_50(a.b) _-;_)
Corno p_dem_s r,otar, para de terminar et mód__ fu
de l6 tensi6n, ha_e ja_te ___nocer !as dim_nsi_nes
de_ _aplac_.
___ ra una plac_ tnang_lar h_mogér_ed_, sa_emos ' _ _'~'-'
ßue el _.G_ S_ u_jc_ en et bar;!_entro, con l3 cuat Podemos deducif nue sobre ia barra en
Se _edUC_' _Of Seme_anZ_ __ t_án_Ul_S q__ rep_so 4ue se muestra actúan t_s fuer_s:
O _ _20 la Fuer2a de gravedad _g , la fuerza de pa_e
3x 2x dD_ ta cuerda (_T ) y _3 fuc_a _e reaccin, de
.N. __3ocm_o,3m pa_e delpiso ( _R ).

___s___ _ _ _ ____t __ __ F_ _ t__ __ _ t (_fe_s ruer___s yp_o_ysu_nrpgea__fc_c(__l_(_o_otl_n__s) eenlr_to_snoce(_s_J0)s_tfes__
L_mbrera5 Ed itores F _i i c a
_r__car la _ y r __ _Encit_o ya _ug tas dos Las tres (uer_as _esullan ser _L_r__ ;'e!as.
_ ' "
son ve_ic_es (una ve_ir,al _c__ia ab_jo y _a
_tra vertical hacia amba) )' __mG P0_en__s _________?__ ___yxm_,-,__,
otar so__ a?at_e!as __ '_''_ _ ' _ L _'_'P__
- ' ' _ -, _2 A _actir _e lo p!___teado tan__ie.,n __ __Ju_de
t^rO_ _CC_m__0 _v_a€lCaC R :'. __U3_ Sef_ SU ,, . . g
+ t t _,_ t _ * __ f _C''f _ Sl S0 Ce Ur' __e_O en Fe_O?_O __
1 l- - __' 'J_ _J_Ij_ _ _ , . _
aClUann U__fzaS_ elaSC_YeS (_-JJ SD_ ,_.
m__ _ten_7__ e e_!_ e__uilibn_ e5 ____ ce___o que
. - _arYle!__S, _a enéStma __ ef2_ debeI_ __ef __,
aS tfCS Ue_225 J___l Una r_S_'_''__f_?___ nU a _ Sl >_
' _ parat{t__ a laS _tenOreS neCC5ar_an-_enie. __,
_S __ ellW_ s_n Ve_C__5, entOnC_S fa _efCera __ _, _h,
f_lena _ebe taInbin se_ ve_ica1_ es decir, iSi
,os de e((_,n s,,_ ,Fa_e(as. Jo fg,,e,_ _ebe,_, _ _as tres Fucr2n__ scn con____rent_s.
se,rp_r_je Iu _ l_ _os _n_'en_res!
_
i la terce__v F,_;erza no f_l_se _'ertica_, tendfía
_?u,_pL_r.___nte _,o____nt_, Ic_ _ua1 no te-_dn_a c_r_
muiê_ eq_;lj____'___ ya que _as d_s _-___meras
(uerz_s _ur se_ _erticales nr_ Cienen n,6-
cnmponen, _-e_ _r_ l_ __Jri2_r_t__. _ ,, __ ,,
l}e e.ste _'_do l_ c!3rra _____ p1_ede estar e_. _ _0_
equili}_r;_o _n a!ai condicj_n,cs 4ue se _ '
_-____ec,trc_n. i_a_o _e p;_ed_ n_Jtar ___ l__ F1gura
?R n_ sg e_,_,_-l_re __n n__n _r,_ _t,, t-u_r,a Er_ este caso e_ (áci__ darse cu_nta de qLle
s_,b;e 1c_ h_rra e_ re_oso actu_I_ tres Fuer2___:
_f tantU_ ___ __ J. _ t_ t_Star. ' - '
la fuer_3 de _rave_ad F , l_ reacció_ de _a
T_ paf_d(_)l ., _df. _
=/ 1
_
_, Teorem_ de _as tres fuer_as
, ' ^ Cu_nJo sobre un rueIpo en reposo 0cIú_n
i_opu_ ,
es_ _ ' '
_. _;___ ' rue_as deben sernecesarj_mente concu_entes.
,, -- ' las lineas de acción de las tres fuerzas se
; R deben intRr_ept_ en un solo _unto tlamado punto
i N - - - Y de concurfencta. _ra nuest Fo caso se tend;a el
Pbr fo tan(o, el corrRcto D_C_.l. para la barra, sieuienle D.C.L- de la bana.
es comu a continuacin _e muestra.
p_d_ _, __
T C0_Cb_I'__ _ 0
_! R1
_! ,'Fg "
_. _0
R
1
406

_cR___leov?K_smoo_l___u(lctaAodbeaf4_mr_a4ecmsoIMhoJ_ldtm_e___oreg?eg_45_n __gy____l_|_onus) _ po_xq__f____lR_ot_tt_a____mnt_2__t_ott__vp__Nv2_rn__cqn___m9_?__2__(_24_R?__?)n_(_____?____o_?D_h)_v______F _ ft _or_s
CnPiT__0 Vl_ _ E_t4ti_a y _en_r_ _e er_ve_a,_
Es_a cond;ción de _a co_curre__ia de tres 6h_r_ _ar_ _etermima_ el mó_u_?l J_ _! _ x
fu_rzas, n0 se pu__e j_s_;ncar c_J_ _a _rjm_ra p_d_mo_ pr_ceder _e manera ____étrica
c_ndjcjón _e __uj_jbn_, ya q_e _:ene __e yeF _on j_rI___U U __ trIán,__lU C0n _aS fU_CZ_ 4U_ _CtU_r,
e_ hec_u _e que gl c_e__ _,o f_ta _ en ;_1 se___i_o S__r_ !d ___ rc a, _l CUa_t 5efía
se _equ;ere de !__ s___nda c__diciún de eq_ilibrio.
Ahora, si lo hemos pl__ead_ con antic;pación e5 a
orque se hace necesari_ para los D.C.l. _a
__3_ a
____ _ i _ Jt , ___ __ _Lc ?9?
_-_
Igualmente, como _t caso antenor, a pacti_ 1
de lo expue5to po_emos concluir que sj
__ sobreuncue _actu,ann(uer2as (n _)_e _ _elt__n___}Ddef_e__sobtene___s ,
etlas resutten ser concurrentes, _a _nésima _ R_ _
anU=__
debe tambin c_ncumr con las antenores. mg
cn __ _ _ . _ _ __ _c _ 9 Adem5s, del gr_Flco se _educ_ que
_ _
_Jemplo6 t_a=----
_
Si en el caso anterior, consideramos ta barra
hDmogénea de 4 _; dete_ine fos m6dWos de R,
_ _ _ o _ 2 1-
2 ' 1ue _ a ___can_o teore_a de __t__
_n ^calculamosR2. U
/neasu cG coinc_de _ _2+_2
' ' "2- "1 _g
con su punto medio, con esto el D.C.L. de la bana
/ R,= 202+40
serla:
- ._. Rz=2oJtN
:_' _ R
--r---------? _ _ _
_ ,___v __ _,^v ,__
_' F, n _ _ ?_nh ^ ____W_X ' _;_ ? "?___ __ ___
_ , 5____,;,_?qw___''_,_ /n'___ ,j____
_ - 20 _ ___'?'__'____:'__" ' __?w ' _ y ____,,_q_,,?, _ ?___,_?,,??' ' _ _
, _ m _? _ _ _ _ _ _, _ ^ V _ _. x j __ : _, _ , _ _ _,? _ _ _ ' _ _ _ > _ _ n,, ?? _ ?, _v ?, __ _ _ _ _7 _, _ ? _ _ _ ?
_ ^; C G ! _?,M,,___,___ ' 5____ __ ___ ^ ?m_ _ __ _?, 5 __,_ ___?_, _, ,_,__"____________ _ ,_______,_ _
,' __ _ ' ' _?__^___q_J_n___,___,_,_c ___ ___,__ ___._^ _ ?__ ' __? __ __,?___m_____"_^,____,_, '____??_____
, ; _ _ __, _ _,? ^ _, _?,, _ _v _?K ____ee_ ^,_?_,,q n,_, _, ___nv, ~_n ,, ',_ , t. _? __ ___? _J ?v __g_ ? _,_, _,, '_,_ Ç,__ __ ' __ _, _"J __v_ __ _ %___n_?_ __ ,
! j __ _' __ _ ,_n_'a _' _ _ _''___ _ _? __,_ __ ____m__,___ ___ __' __ _L _ _ _ __,,_?C_, __^ _' _c_ _?____ G __ _ i__ _, ?___M__ _ _ _^_ _n
, ' _,,___?__ __,_ _ ^ ??__v, _? _?? _,_ __,__ __ _ __?_? _ _____ _,_ '?v> __ __ _?_?_____ v L __e __ _ i?? _ ^___ _,
__v__,,?___?____?c_,_ _ ,_'q,_,,____,__,_,__ç_?_ __ _,____i__?_ ?_ _?___?__??_c_, ?_,'c_n_,_ __,_^___,__,,, _____
' '_ w _ _ _t' _ ______o_c?^______me__^ __,_?__ j? n___^___??,,____ ,_____, _,__ ?,, _ ?^n__,__,__?,__ m_?_?? __??n _n_ _ ^
Rn !_m_ ' _ ____ '^____a ______ m__ ' __ _^ ' _ C' _ _ _e__, _L '_ V_ _^_ __ __ _' ? _u
__ 2_-_ mantener Q yn puent_ c_/gante en _q_il_bf_o e_ una
mJ:cdciÓn __ la_ condJcIune_ de equilibrio.
_

_________qFe_ucy(_tt_nep_E_rn_Rno__d2s_______1_r_____7t0)__l__et______(_______0t_(2AJ0____./__t_M)tcf_(_E__ll_t__f_t)t______lt_t(_(t Jlrrr_ )_f_____n_)___v_________r__o__a_n_
E___D____________________0___0__0_____0o____0_____0__0_o_____t__o_0______o_o__________o(____________o_0_0__o___0_____0o______0___________________0___0___o0____00___00_____0__0o_00_0____________0_______________o______e____0____________0D_________o____0_____00_____0_o____t_____0_____o______0_________o______o_____n____0____u__________o___00e________________0__0_e_______00__________0_t_0o0_c____0______0____________o___00___o__0__0_____oo0c_o____0___t,__o____o___o___0__________________0o__________0o0_0________o_____o00__0____o___________0___0__________D__o_________0_0o_______aoo__p__l_______________0p_o________________o_xo________0____0_0R_n_/____0_?__a____0_______t__0___0________w_________________t__0_________o_r__o__4___t___0o0______________l__0_0____________________o0_0o___________o____0____________>___l_0_____D__o0_______t__0______________0__0______0__________________0___0_____o______0__________0___
lumbrera_ Editores f ís ica
.,_, ? . .
cuandu se hizo __x1, D.c.L. de l_ esfera_ apoy_da i_r 4_é aV_n2a ef h_mhrC _l C_r_i_c^_IJ:
,.e una __re_ vert__ce_ _r._e_ e_ernµfo en g_. j- l l1_mbre _r_siona cr_n su 2apato
. _ ) ,_rs_,_er__,,__mos q._e ta) _a,ed e Fa ___s_ in_çul,_ándose e_ e_ pi_-o ásper_ )' n_tese _lle su
' d ) ' za_a_a n0 rc__a___ _quin l__ impide?_ _s l_ fuerz__
eS _eClr, _(> _?_ _5ent_/ !__ ru_Oìlda J5__1e_aS. pOr '
_ F ' ,_ dero_'amient__ue_-_oponeas_resbd__iam_'en_o.
_ _'_iC 1a fUef__ _'__ _.l_rCl_ _r_ fe l__'_ CS CCa _
rer__.'e_r) re__ li_-__ rlo Ct_ISle su__rf1Cl_ =///(...,.,_.,.
__rF__ct_am_r_t___ Il_n, _or l_ t_n___, ______O -___,_,__'_.__,_8,,,__
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__ _ _ _ _! z a n_ i ( _ y_ ;e 4 _. __ l rr_7 ___ , _; i __ n _ r. _ __ c_ _,_ !J. d _, l ) __ __ n i ___ i__ _1 _ " _ __ ___ __,0_,' _, __._,0,_ ___,_,__, _0__0 __i ^ __ __ ___,_ __ ^_0__ V _ ' _0_ __,_ _ __ ___ _ __ _0 _0' __ 0 _' _ '_. __,?_, _ _' _' ___0o._0 _ _8 ___ _' ___0 'x'_ __ __ ___0_g_ '_ 0__ _ _ 0_ ' ' ',' _ ___ _. _ ' ''_ -. .i _,i_ _,0_ ^'_' ''. _. = _ _' _ ' '. _' '._ _'_ __ _ __ _ __ _, ' _' _w, ^ _ "_ _ '.
. _ . .. . _ . , l i _. _,,_, 00, _,__, _, _, _, _0,,,_,__ __,0 __ _ Oq __00 __, _.,_, ^ 0 _ ' _ '_, _., __ _.,a_._, _ __.. _,,8_ _. _._.. __,,._, __.,_. _ __ __, __,o _.0,, ' _,, ^ P _ _, _ _o._o,0,__,, _ _ _ _ _,. _0,_,, _n _, __o0 _, _,0 _ _o,,_ ___0 _ _ _ _,, _.gi,,a. _0. __i___,_ __ _ _n _ _ ' ;._ ' ' _ __!.. _._ _- _ '_ _ _ ; '0,,a _, ' '_ 0,_ ___. _ _,,,,, _ _ _ _.' _. i. __ _ ' ' _' ^ i,. _, _ i i__o.__,_,,,e, _x, _ _ _ _ _ _ _ _o _0 _o _ __,,,
'a-' lt _ -'' '' ' - "V_ '' ''' '_' ' '' '_ '_"'0^"0'O__"'"''''''O'__dPii'''_'_^i^^_'__o''P"i'"'''___''_i'__'____.__,_=_'''.'oi'.0i___.'_0___0__,.,.=?,==,,?_o-.___,;...._.____,'_ _'ii_'__.,__' _'__'_i___"'d__
_'-_-_';__' él __? j_fu'__JCC e_!tCC _.c_!.-f_S adyaCenteS d_ _'____^_____g___'__g_,0__','_,___..__i._.____,____._..,_._____.i,__,____,_'_,,_g,0,_._._.,__g_,i0._..
un f___!,do, _2_ç se desµJ;zar a (__ _cTef_,te vel__vid_J. ,,0.,_.,__,.. _'' ! __ "'a' _.__,_,,g l _,,,'._,.,.,... =. _ ___.',..•. _ _,'_._ _. _. _... _.,,... =,... _:. ''' _ '_ ' _ ' '__0
E_ r__zamier_t_J seL__ _or de_-1i2amient(J, que e_ el ,,.,,,,_,_,i__L_e'0e_=____,___i_0.,___.;_D:_.:._;'__,__'i___i'_' .0o,e'__o_a',_______:0''
_ntey, esa an,__1-zar _lede se, el fo2a,niento . .o,.,,.,,,,,,,...,_,0,i_,,.'..i__.,_ _,,_ _ __.,. _ 0_ _...,i,_ _ _ _e., _ i _ _ __ __ _ _ ^ _' P _ D ..i.,o,, _ l'o,_,i i_ ea,_ _.,,_ i _ __ _ _ ' _.,a_. - =
_ t __c(, ?r ., ,o_ _ ,n;ento c _lne_ t___._o ?r como '__:?__i0i_ ,a_.•__0''_"__''''''' ''' ._,_.,i,,,,__i_,,._,_a
s _ _ ' K ' "' ' i ' ' _' '_ '_ _^'____0'___'____ _"ii i_ ii- - _'ii'
a _' UntinUaC- i__n _eta_l__.mOS. __oh__r__tog__ ,_
_Pur _ué no res__la et lapicero de nuestros dedos? _ o _ _ ____ _ __ _ _co.
L _ fuer__a de- _ra_Jedad sobre el lapicero es
e_____ibrad3 __r _a fuerza de rozam_ento entre ?',s FuER_A _e Ro_A__eNT_ Es_T_co i _/J )
de_USYel la_ICeC__ rons_,_e,emos e_ an_/lisi_ __, un ___ ue,
. enci _ma de Uuna super Fl 'cic h_ !rizon ilel. Las Ufuer2as
o 8 0 J _ que d-ctuan so_re e'_ _1oque son la fuerza _e
__-- __i. _o0 gcavcdad ( _F,) y la re___ciun del pi,so ( _R ) ,
a_8

_h0nt2_otntt_t q_ue()_contrarres__teFet l___tew____/o__f_________0__Jve______________c_ o_fl_o________t______d___bel f__ t_ _ deune_gectqrg__eLr_oafml_s(cml
Feo_n_Jtsytarsx/_n_________y_t_t__p_a_____es____________0_t____te__________0____D_J__d(_____s___t_pt___d__________e______d_____/__tt_______t?_t_____em______0e____0___n_tr_Dp____ytt_n_____gt___?_po____e___m_o__e5e___rnmR_______s_d_t_v_tr___p0Flt_?anco_a_hsooqrce_mtcu4c_2e6d__o6oao__egegnlonl_earl_l_aaln_mlaFctoudeFl_p__6duedererlonlean_aay2a_wtd_td_agou____e_oo__y_c____d)_ddoddgesneegesl
CnP_TU_0 Vi_i Es. tátjca y Cen_ro _,,0,'_e grav_d,0''__d
____nd_ el hlomue en rep_so dichas (uerzas como _eaccjón d-el apoyo. Un eiror típico es
tienen igu_ m. _ulo (R = fgJ, cii_,_'_derar r_i_ie e1 p is_ ejer__e dos fuei2as .so____ el
si luego aplicamo5 una rueF2a hon__nt_ ( _f) bloque, _'o q-ue ocur_ es que co__ _Fecuenc!_a __. n
. ,mo _g el D.C.L. ___. F_sent_Tlos l&s com_on_ntes; p_ro
.,,,,,_ .y _ ._ d____ 0..,_,,,n.,., . l_ fiien_- _ei_ piso sobre el bloque es wia s___.
e,_,___'o',' ,..';_;_!_t ,',___,_''' ..
______'___'_,'__,,'i___,0ai__,'__'_____.__,;_n.._,;;__,_:'_--v-_:____'______.__ ___ e' _^_''- 'U:__' __s= _-;- s __
_ _ _ _ _ _ _ 'm ' ' ' '_ _. _._., _ _ ' !. _.: _- __-__ _' _ _!_ _0 g_xgs_....__4. _. ' ___-__.;.m_ ___ !. _. _ _ _0 __,, b .
_-o__,__.6,'i-'___'''_m_.____n=__-_ __ _ _ ,,,;JnN._.0.'_.;..,.v,
'___,,___?__ = . ' ' _Jv. '___ F,n .M':_''!'.;_._._.'_;',,;,.:. ' _-
- - - -_ _ '' _',a,.,.__,__,_,___'':__,, '_;. .m-.;_g_ r _.0,_ _o_ __0 _a_
t , __''_',i_,._l__'__,,','___i._8,'___'0o_'___,._____'_'_,,____i_;'''_____''_0_._'. Pti7 _ ___ ' _ __ _ -_tO
SiendO f de _eqUeO mOdU O, e OqUe nO ___im;_''':_:'''::;'__,t__i''.',;';;;___00,____''0_;_ ___:..;__,_:__, _____'.,;__,_'__' __'__'';._;,'_-_.:-_____.:__' _
resba_ará_ entonces debe existjf otra ruef2a _t____ _n_ __- ' '.__-__,__ _
t ai h___i-_n_ .___.__'0,_._'0_'_._,..____',0___;_-O_0o0._g,_,_ !_
A esta fuer_a se le denomjna Fuer2a de La _en_enc__
roz_iento est_tico (j, ) (est_ porque el bloque _J e, p,o_r,_,,n,_, _, acc,,
s(m4x)
aún no reSbala, que en realldad et la C_U tante . . n ra m ,
de un gran n_mero de fuenas tangenciales q_e blo üe tan_o ma o, se,a,
actuan sobre toda la reeión de contacto entre el ,o2am_.ento est_t_.co m__.
bIoque y la superf1cie, debido a las i_egul0dades _ '
a CUal el bloqUe Se a_ Oya e et pISO tlene Un val0F
QUe pfeSentan ambas, . t .
l_Ua a a uerZa nOfma f_ e a SU_e lCle s0b Ce
Si inCfemen_O5 el m_UlO de _ _e_ f _ el bloque, _demos escnbif
fuena de __into _s tmbién de_ inc__t_ rs(_) D.p. f
su m6dulo oponiéndose a F hasta que su L
m__tUd _C_ cie_O v_Or _mo (fs(m_)) , r
=cte.=µs
_11 l _l_/ rN , . .
__0_0e_ 9_e ,'__ :_d_____, __ _ 1 =''_','___i,','___ _'_'_V___''________;.,:_!___'__-':_,___i_ m6X) ''"^'''' _ ' -'- /-- --- ''''''' '' -i
'_ ''''-^''8'D _''_ _'-__' '' ' ' ' 0 '' -'__--_"' ''-' '' '''''' ''v_n_
En la 2ona de contacto o adherencia de r02___e,to estg_t_co ca,acte,__
ru_osidades, eStaS empie2an a ra_a_e y _€_Un_s _ os;dad de ambas su e,nc__es e__ con_acfo es
_iCOS adherldOS a iOm_efSe, en eSta SltUaClÓ_ rs a_imensjonal. E_ valof de _s depende _e la
eS m_lma. natufaleza de .ias su eifjcjes en contacto, de s_
Si F Si__e inCrementándOte la fUelZa d_ putjmento, de _a pfesencja o ausencia de
fO__lent0 ya nO e5 Ca__ de COntr_eS_la y lubr!cación entre ellas, etc. N6tese t_bjén que
debido a eIto el bloque empie_ _ des_i2_. a es et __ngulo de fo_jento esl__jco, de_,njdo
Note _ue en este caso la fuer2a de reacción para e_ iMtante en que el bloque est_ a _unto de
de parte del piso (?R) presen_a dos resba_ac y cump_e con
componentes: una es 1a fuena _e ro_amiento y -. ,=,, ,;._.. v.,,,,_,_ ., -_ ._.____-,- n. ...,_ .._ ._.
o_a es la Fue_a no_al ( _r,)_ conocida _ambin :_'___..._..:____J _..',.;v:;_:;_,, _., 44. _' ._._. .''_,;'N_;,_ ' .._.. . __,., _. ,_''v. :_.

_____ _5x_J__l__) _ _ t____ l_ h _J_ ___ u_a_opnr_________m__n_l_lc_+_g_to_s__u__c1_ne3__p_c_____o__e_sf__c___ac__nleeentgeg(pdr__e,pttr_o_o_pc_1_961a6tm__e_n_d____et
lumbreras e_itores _ f ís ica
_,
__gg_ac__n 0,_ - /,_,__x / _-,v, _n, _ __________,,_n__q_/_
_ '"0' :'_ _-__
__ h, {ienlras no haya i!_t_r_to de _esli7aF entre _;. ___ ' _x
'-__ _-__me__c_es rug_sas n_ se r_enirlesta l__ fuer_ ___', --
' d_ ro_3n_i__nl__ estáti_o íJs _ O) ,_ f_.
. MO_Y Es_apunto _' xn ._ + _
' n_lentode _,..fes_,7_, ' l__ _ _ _
desli_. ' - _ -____ _
l!-_ O _ K' " .,
UM- O F_. ' ' ' /_ ;''- módut_ de ta r_e_2_ n__m_! _,,,t. entonces 5_
___ ': ' _ _ _=__ _n' .m_duio e__t_é __ddu __r
Js_O _s(nt_) _''_ ri_r ,_
.. -'K^ K .t'_
j'__e_t__ '__i'_u__eest__leccr mu__<r_ S/s-(m_) n, . _ t t _ u __.ct._,nal._
) .., vr.K- _' '
1i2r____,__ _ rC1r: _!;__ _;____ ____;?_ l__J _V__ _ . J ' _ . ,,
' _ ' ' ' -_,-___/__:'-_J_j_____ __ __ R_ _?_ _,_^!2 i__ ____ _ __,___T; = _-____ C_'n, ,e._C__-_
_____ji_n ___!;wfItU _ . c _ ; _ _
, ,. _ S_ __ _=_ aj l_UL_t ___ _s_ _TnJ1__ e_C_n, _,
- _y /______ _ _ n__?___' ___v_ __ ___ __N_y n_ __' ha'___ '___ ___ 'vy ' !__ s __-!___-__F___i___ _ en co_,t_ct_. ,den__ s tene__' en
__,__n_.h. _ _,3___,__ _!_. _,,* _ x_ __ ,_ 5_,,_ __i,Fcr,_._,.,,_.e,s __n_ _,_t__,
__J__.__ 5_ __Z__ __,YTv ______C_ ( /h /! f - _ _ - '_-
__ir_ t 5_____^fa 5C _lij_,_t_ _il
r_____t!!;__;J_ _d_ c___. ?'_ _' n_;j__i,__ antevJ jor; cu__ ndo m. ' _vc
_G í-_e_;_;_ ?_' ._r t_er__ eì _'__ Inr dc _;c,,u; e_ _Ioque I'o_ _!Jé? Por____ la_ s_i_ -pe_f_'cies )' s,_ls
_______i__aa_____li_ar(r__s__!__r),en' dictìoi_stante_t ir?e_nL_Ia_i_1___e_ h-___ dismin_ ui_o _et_!_u aI
_':_;c_:-_____i__?__;__-e_ der_2_'_l_iel_,_u_'a_._biaa Jn.__ a _esgd__sle _lJ__ nal__ e,___erimer__,e__ duranjc _i
u!_. v_Iof n)__n_f r_ t_'_ c_m_ m. _e_.'_ra la gr_F__-__ d_S_l__IJ_*l_n_O __ l_S SUßel'_Jl_ieS ___ __ntaC___.
p F,n __t St_!l_te_lf_ t___a S_ d6n aJ€_nO_ _'alO____
temcn___; ._ _ _
_ t adei_- ;
_ ^ - - - - - - - _ _es__' _cfltO está_co dc_ v_nas su erflcies secas en c__ta__,_, l_cJs
/Kl, --_---- ---_- corres_ondient_s coeficiente_' de r__amie_l_
_ _ cintic_ sean _proximadamente un 25a/o men_;es-
l _
' ; _ _ __
O F- met_ ,ob,emet_ o _,-
F : Fuer2a hori2onta_ aplicada sobre e! bloque.
/ .. __ue_de____.toquea__,__e___ue. Met_ sobre madera O,2 - O,6
h_ i,entras no exjsta desljzam. jento, ,los m_ul_s met_ sobfe iedfa o.3 _ o 7
de F y / son iguaies, )-2 que el _lo_ue se met_ ,ob,e cuero o,3 _
n_antie_e eTl rcposc.
t . , M___ SObfc^ hOfml€Ó_ O,6 - O,
, e _n_m___ U_fZ_ e f02amlen
ci__ético y e.s de me__r va_o_ que r,__m,,,) ___rq-ue _
cu,,,Jo l,, tu e,nc;,_s _,, c,r,€,c_to 'd,.sl;2,n una . t l t ' _ , _? __
r__specta _e _(fex lds _mpcrrecciones (o ,. _, __', _- _ ' ^ --__ _ _' '
_F_^ i,, ^_n_?__ ^__t _ _
irre._ularidades) d_ las su_a_t__ci_s sa d_sg_stan _ _'_y "' , ' i ,__v ;'.. *_ ,' - ,
debidoal_esli2amien Lo.Ap__rtirdeestecarn_io ' _'''^' '^_' - F
i -^ ' ___i_ " _:?^t' ' ___
eI __O_Ue lnCfRmenta su VelOCl__d_ ml_ntIaS _U_ Ld olo ,, o m,g,_,o /o_ o,. d
d_dld_ _ und SU__ lIe
_i m_dUlO _C la (UeIZa de r_Z_mleI_tO CJ_étJC_ /K, rnetJico__etlomentep_JIIdoqut ha ti_o_Iio_con
pcr_anece prác ticamente con.s tante. __Jda de un micro_c_io.
41O

_desprla2am__le(noF_to_8_)(50t0_p____Do__F)________t__________________0v4______o__ NF_ __2o_N l ____n__________t_t___m_0__0________t0___D_______0___0__D__0___t________0__________y___00_______0r___t__t_______m__n__3_n0____t____________0_v_____o______D___l___o_f_____ro__t_____t_________F_t____p__t__4__0p_oo_D__ N
cn_íTulo v__1 _stática y CentTo de graK'edad
_1_mplo 7 ___e_0 _af_ determ_naf la rs UtltlZ__m05
Si al blOqUe de 5 _ qUR Se mUeStfa, 5e l_ __liC_ _F(t), =_F(_)
una (uena hon2ontal cuyo m_ulo e_ de 20 1_;
determne el m6dulo de la fuerza de rozamiento,
_=lOmrs_) ,'. Js=20N
io5
;,.,;,_ :_ (o_g _Jemplo
- '':_;__,_'q__-,'_.,,._.,.,t,,.,,_ ' Sielblo4uede 8_N esdespla2adoco_velocidad
_'' ' ---^'''-''/'''''''-_i-'- -' ' 'V'^^''''_'X'-_'_'''' c__nstan_e, deiermne el v_lor __1 coe_ciet_te de
ReSOIUil__ _o_mien_o cinétjco entre la super_cie del bl__ue
Como et _ _ene dosv_ores_ sieninca que uno ),dc,_p;so (F_4oN).
eS e5tátiCO y el Oir0 ClnétlCOt C_mO _s _ _K __.__.,..,.,;.' _ '
_ µs=O_8 y µK=O,S ,....__,___,._____.__.,',o;.'.b_._;___'_._;__,;_;,_,..,.D_,,.,,,.n._,
Primero debemos averiguar si la fuerza
ho_zont_queap_icamos f_2oN, puede_aceF ReSYIYCI_n
desli2ar al bloque__ para el1o la comp_amas con Como el bloque se despla_a con velocidad
_a fs (m_ 7. _ra ello primero debemos haceF el const_te,5igniflcaqueseencuen_aenequ i l i _ no
D.c.L. del bloque cin_tico, _or lo lanto. sobre el bloque las rue_s
5o N deben e_t_ equî_ibrad_.
__
,,.t . , NOte qUe aS aCCl OneS eXternaS SObre el blOqU_
,.._;,_.'',__'..:_::_,__. ,s.. ,,,,. ' son del pisa, que _ene dos componentes: iy y
_n'___-__-4,__._____._______--__^_' '' _.,___.,_._...._____._-.__,._____.; tK ; la _g y ta fuena _. Pbr lo tanto_ en el D.C.L.
S
se tiene lo siguiente:
N
_rdenni_6n Fg_8oN
/sc__ ,=µsJ, (I) __,,_.,.x. .,,.,.
Como verEìcaImenIe no hay posibiIidad de _____'0,'o.00_,,_.^.;_..,.,.,.,_;_,.d,.D..,,0:;;.;,,0.. '
' e n O n C e S ix"_K /N
_F(f)=_F(_) rN
Fy_F,--50N El co_n_ciente de rozamiento (_,) que se pide,
Reemp__ando en (_) est_retacionadocon la jK ,_orcoMiguientep_
el bIoque p1ante_os.
_(m_)' 1 -
Ahora. como la fuerza horizon_al que apficamos _ _ f (__) _ _ F (_)
(f -- 20 _7 eS menOr qUe rs(m_), ent0nCeS el _ r _
que _e pide en este caso no es r,(m,J,sino la ' _F(^_' )"-_F(l)
fuena de rOZ_ientO que equilibre a la fue_ _ fy -_ 8o (2
F = 20 N.Como sabemos que el bloque solo
presenta tendencia a desli2ar (resbalarJ (2)en(l) µK=-_ _ _K _O,5
_OrqUe F < rs(m_)_ entOnCes eSt en equilibno.

_h __t _ __t/_ _ ___t_______/_ ___h__________l _ _f._ r/_ ___bt__/ cq_ uem_t_p__uqedo_ 1<a_K__arst__<unstfl_onl ____o_e_/_r/_/__/s_N _t__/r_/_ln ut_ y rt)_)q(ucae
lumbreras Editores F is i c_
_i_mD_O 9 _e __nde deducjmos _u_ Js_ __N y __.-__ gO?.J
lJn bloque de 1 O kg es soltado so_re un_ SuF_r_cie rJ_,a ;co/ m_ _.c,__ i_c_mu,
inclinada, taf como __e mues__ra. Si los c_e F_cientCs b_oque ,e o,,a?, pare ue nu _J.sta desl,_,am_,
_e r_22J_ien(_ entre e l _loque_ y l_ super Flcie son nece_ar,_amente se de_e cum _J._., la cond_.c.,o,
O.6 _ O,7 determin_ e l módulo de la fuer2a dc no des_J.2am.,ento (ver c,h_er_,a_._o, _, anter1.
rozamient_ sobre _l _l_J_ue.
O <Js <_ _s(m,
__,, o<r,s µ,r,n,
O<rs 5 O,7(_G)
__:.
__._í i__p!icL_ este intc_r__âIo _e __'3Ior__s par_ l___ '
____'o ____ i ó__ F d ,_ .
cU_rZ_ P r_rJZ__^__ì!__tO: _rr_ß!-iCì -_- -U_ CUi_nd_ _^_
____ _?__te c_scJ, n_s _ic_en _'_' lculer la fuer_a de t/ t d _ _ _ , r __ t-6_
_ . t _i _LS(m__i)
ríI___ü_m_er1__J ?s___}re __ ____l__, __rC) nO S_ Cn_0S St __ t _ f t r __ _,
_ ; en OnCCS _!_ ?eS__eS a c_Il _Il__t- _r = _
e.__ __i__)c_!ue r___J!i____' _ rE___ t_i____ __._ _ecit_ n_ .sa _cmm_'
___ _tlc_c_ s__! _o__n__u_ __ste q_-__;'-0__ est_ fu_r_ _S
__ i, __c';____ lc_ __Lier_.c_ _. _i :____r_ie_nt_ e__tiiti_o (si m _ _ _d t _,.
_ayUrJ e l_,tef_'a- _ Ptlnl O, fL_ CUa nOS __l_-
rr_Fi__..s__ J. c_ __-__ _ct_a__ ___ _'o2a__icJni_ r_inétic_ (si _e_o up_,3.D,___ f _ f__
lU_ _U__e_ _ eS _ SCJ_ e t
r_'='_i_l__), _iJt0nCi'_7, _ C____ _Ct._C_IO__ }l__Cr? ,0rc os,.e_,_uJ-,oG,,e,_,,_,2sba_,,do s.,h,_c,_
_r__, ;î_er_m_i- _ue t_j _uer1_() fepos__ y __n l,_ teon_ /?
'_ '' ' V ' _ a_tú_ la f__r23 de ro2amiento cin. éEicu ( _, .
___t__;_ ro_c_miento _e_tJ__n_n_. c'um_rut_er ii dicha
s_J__sicjón ei c-orrgct_. En)__cen____, entor,c__s U=O _
r__c_li_L_n_o _.C.l. ' _ ,t' ' _,
'_-.._fg_lOON ,_ ,___
_elbloque __'
res_alaono7. _' // o,6 /K ___
rs '- O,7 r
/ 3_
_/' __ _. N
_/' 'l ; Entonces calculemos FK,
/,í3Jo ___ _/_'
R rK_= __ rN
_on fas tres fuL_r___ s __odemo__ formc_r un triángulo rK_ -- (O_6) (80)
_e tue_r2as, com0 a continuaciún mostramos . / _ 4g _.
o Por olro lado, si el _'alor de la /s hubiese estado
' i_. dent,o del ;nter_,_o ob_e,;do hubie,e ,;gnincado
Fg= IOON que e_ b1oque no ,esb__ar_,a ), so,_o p,escn_a,_,
0 intento de desli2ar_ pof lo ue, lo ue _abiamos
rs supues_o iniciatmente hubiese __ido correcto.
412

__ut/oe_o_ltpd_0(_0_0_00____p__0___0_____t____s__g__t__y__l_f_u____e_p___0__0r0______________00_o0_____r__ _ _________ _____/____/__/_____/____/____r_t___ol_0_f_l___0__/__0___/_/__t_____/________ b_l _________t_ _____tl__l _________o0a_0___________________0____________________0______________o_____________o____________________________________ _____
_________________________________________d0_________________p___________________0________________0________0op_____________o__________________________0_________________________________________________0_________________________________________________________________________0___0_______________0_____0________0_o________0_____________________________________________________p__________D___0___00___D_________0_________0___0____o______o______0____________________,_____________________________________________________________0__________0_____________________0_____0_______________________e___0_______________________________________00__D_____0______________________________________________9_0_____0___0__________________________________________________0______________________________________________o___p_________________0________________0__________0_0______________________qyto_____________________________0
___ ___________0_______0_________00_______0________0_________
CAPíTUlo vl1i Esitca y C_ntr_ de grave___u
i_ _,;.. .... _____D' 'i__,___ _'___''_' 'i'''__'00_.__0 '' _x,0_,, _____'__'8_',___'_ __;-__:_.__v_.'____'_' :-.______._?__' _,__.__a''0_,_'_,___,'__,_,; _,_a____,0__>_:_.______. _._'M___,'__v_''__' ''B_ .0_'' ,,_i~___'n, _'_',____'_'_ ___-'mh:_ __^:__%_^_,_-_,c_.o,___'.__ '__i'i"_=____'o0_
. __,,_,__=__'____:__,_0 _ __,>.____o_'___,._'__-_^--_'_____''__,___'_'__0___''___'_''_'_'._0i_i.'____,,.'__,',0__m__-_-c____'__'____:__i_;_._._'____'_'_0 _?__P'',_'~___,_,___?__ ____-_'!_____, ___'
_. _ '____._ _, _'' __'__,_a_;_' _ _d'_____'i_____i_i00_ieP_i_,i_^-0__.'__.'i'___'__'_'_______' _. _æ ! m __d____,__.__,_,________,______.,__ _o':'',___',___ ,''''_'_.___-_'' _ 00, _____^___,8,__0_,__,0___' _:'_ ' _,_
n bl0qUe eS CC_lOCad_ S0hre Una _ at On_a_ QUR_ _, ___' ' ,o,.,__i_i_0o___ _'-'--'--_n' -'"- ' -- --^' -'_"_-" _-V-- '- --'-_''-_ - --__ ,g,,
pUeder_t__IrededOfdeUna__Ci_aCI6nQUe_a_ _._.. ?_,''_î'_- E__ cl ejemDl_ _nterioc solo t___n_0s _-
porunodes_sextremos.Dete_inelamedidadel _,_a.__ __n5=__er__c_ la_ po isibjlid__ _e _i,!e el blo_ue _,,,,a__
mayor _ngu_o que se puede hacer rutar la l__,',oei= pier__- el equi1ibri_ _or desj_3mjento. per_ _0a,?'
plat_o_ de manera que el bloque no resba1e. .'_, e_ste tam_i_n la pasibilidad de que pierda el g'
__ equjli_no _r vo_cd-dur_. _
0__0 "',_', , , "'_
_ _.e:'-,;;,..;;_.'.._..,.,n:;'._.. _ _0___ _=_,_,',._ ,,...__.'_____,o.'_'' ___
R_solyci_ i_g.,i.. ..,. i_. ' _i,
Es evidente que conforme aumentamoS la _,i,iai ,_,_. . ': ' __.
inCti_aCi6_ de la _latafOnn_, tambleß aUmenta _i.. g_,-- _
la tendencia a resb__ del bloque sobre ella. _r __'_.i_._' 'i'''''' _,'_,'_i
lo t_to, lamayorinclinaci6nde laplal_ormase i'__,i___ Esta posi_ilidoad est_ re1aci_nada con ias ____,
da cuando el bloque eL_tá a punto de resbaIar. _''' _meMiones del bfoque y debido a _ue no l_ __
Kepresenlem_s ese pfeciso jns_ante i_a. COnOCem05 eS im__ible __r qU_ OCU_e _
i__ii,. pnmero, si eI bl_ue pierde el equilihn0 por .,,ii
B_ ,, io0iii''_ _e____into_porvoltadur_,porello,hemos _g
__ _....,._' ''__ g__i. coMide_domlounadelas_sibi_dades. Y'___,___,.
s(_7 . 0, f_ __ ._,,i.,,.._,_._0,_,._,0,,.... ,.,..,,..,, . _,.,,,..,.,._....,i_..,__.....,...,. ... ._.,..,,._,i,.,.,ii.
_:'_ _ _ = - = = = = = = = = = = = = = = * = = i ',_,''i''____,___,_'_''_i____,___,___'_____i_'___,'''_.,__'____,___i"i___'_'_'_'0_,____a^___'___',.__a '' __ _ ''_ '' _""'____'___'_ii.__i i___','a,.i,ai__,____æ____'__'__'i__i,_i,_oi_"_'_____!___00__,'____,!_., ''_
_ ,..t iiii.___,_,i_.__,,_g__._i.____0__,_,__,__..0g__a____,i0___._,,,,,_____..i,,_,_,,,i____ i___,. ,_._,.,_l_'_,____ .,, _,_,i, _ _i.,_.,_..,,_i__,_,,_,i__,il..i'___i_!_..,,.l___g_,,,_o,__.a___.___,____,_o,__'__,_.,._g,__._.,_.__.__,.i
S_bre el bto_ue_ como µod_m_s notar. actúan i0_i_i _,_,'____,_ __,,_., ____!._0i _0_,g____,.___,^___d ______i.8__'i__,a,_i'_ii,i._ '. __ _j_:___"_._h__0__;_.._'',__,_____i,_..___'''_i,... _..''i____i'____,___.__'.._i__ _.0__._____ _''__i__0____B9__ _8_____a___a,_i.
____'___il i__'_D__'____ ._____________e___,i. __O___ i_..i_!i_,__i_ ___ê_i__i_i.e_'. 0. ''' _-__- _'_i__ __.0___'_'___'___'_ii___i___! __ ____ '___=____._!___0_____ _______,_____^____:'___.0__.0 __'_____i i
_aS Y COmO _'a S_ emUS _aIa qU_ ____i__'_''__'0___i__e_______i_ii_,_i''i'____i___i.,_l__, l __'_'_i_0,9_._i.,____ii._ii___a___i__.l|i'_i,i,____•_,___''__'__,i_.''__'____i_'
i ____!____'____,ii,_, a______^_,',', '_i.,___' ___0_^'_,________^ ' ' ' ____e_ __'__=,',_______a___0____,d,ii_ _ _, _i,_gl__i_!_i_'______i_,_''_,_.ii_.ii _oi_0^___________i'_
esté en re_oso, estas deben ser _ufineate_. C__in _r_' ,___0_,__,___,__e__0,,,_e,_.___,i_0,__g___,___'ii.,______,,0_'_,_.,=_;,_0_,_g____,___',i',_ ._____'-__0;,_._,,____o_.g,_,..i.9i_ie!._'_'-'__'.,,_'-',., ,_,__'e___._,____,.,_,_.__.,,__,_i,, ',_____0_',______,_'_._.._,...i._?'.''i__ii_.,____.,__._o___'i,_0__g_,,__.0,,ii
el bloque es___ a punto de deslizw_ la fue_; ---__ __''- i_.,.;0._'_?______,_=_:___'_,=._,_.._;__._..__0_0_.,__._____._,g,?i_, ;; ; ,_,___.,.,__.__.,__o,_,9._.,._,,,:.,..,..,.,_,',0';_,.,:._,,;_...__.:a,,.___o_____g_.,g_a.,i._'__i_,'ii.'.i._,i_,__..,.0_____,'____o____,,________eo,__,_,_'__'___e,'_i__.__p.,.,,,_0_,'_._'__'_,_____.,___,_,_.
rO _ m l e n t O e S l á _ C O t O m 6 S U V _ O f m _ l m O , l. _ e _ ' ' ' ''__li_g_.0__i '_,__' _i___,___________0'l_'_-___'_____i_. y __ ;,,'_.__,___Y_'_'_____________'____9'______^___0___'_____'_a___'i______8_i__î'___,_'____i_' i_''_' ______i, ___ _' '_ il_'i_._'a_ii __^'',____1 ______, ____t_i__'__'i_0_____'__._0_^_ii
'_,ei_i;ili_i_i________^'__^_'_____i^__,"i_' _0_'""_____i0 e___.______o"i,_.',ii__i__i0__,__,i____.8l__.__ei,'-li_ __ii'i0_'___i" 'o___i,'ii'_ii_'i___''_i_,_i_.___B_____'_.i_i'_ii i
a p a_i c d e l g rán c o i _ n e m a s '___i_.____._._,..._,,,___,,_._.__.oægi__.__,ai,______..,a._.____..i' ;. .__,i_____._,,_._,.,, 0i_,.i,i___._._.,i..,___...__i_.__.__.__e_i_i,_i.',_i.'_'._i,.i_...___..'ii,' __i__i i_'___..___,.__0_.,,__i0_'i__'_..._._.i_.i._.,i._,l._,__,_'.___'__9_..,_'_i_ii..i
_5(m__) _µ _ '_a_'_______,__,.__;'^______^'î'_' _'_ :_''_____'_._,^__'_______''_i'ii' _''_''_i_.___'_?'___'____,'i_'i',_ii_',_._ii' ___ii__i_^.i'li_'___i.ii_'i_____'i___d_ii_'___
_ = _ = = _s i.._,'i._______...i,i,__,___,__._,_____._'____i____^__i, ''_.___ _,;i,_l.i._ii,._l_,ii 'i_'''_ _ al_i._i._i,i...i.,_,^.,..___,'_i.__gi_,,',i_...i. _.i__,_,.._d,,.i.i_..i.li__.'ii,____,___'08,,0__?,__._,,_l_,,_,!g'_,,i.._,.._,,____,____,,__i.9'_ii
r_ h' . i 'i_i__',''B,__'_,a0__0g,_,_,_,__,,.__^_i ' _' .0. __'_i_. _i __._i "i' l ' i' ' ,0._..._,_'i_i___.._.._,g.__ ,iii___,_g_.___ _, i._ '_ __ i._i !_._iiii' li i. i __l',i.i_.__'g_ ..__,._,__ _',._,._g,_,__'_.g,,_,_i_0i,__i._0i,___,,___,?_
_ o, J 5 i_______'_',l______, i_0___i_, _ d_i ' __;______ ._0, "_i,.___ _'__^__ :_,,,o.i,___'0'__''_i_,i__0_a_, ii_w__ii,__,___ '''__._i.__.''. .___;,__o_.,=_ ;,..'. =_...._'.. ..._.,___,_,._0'.__,_''._,___0..__.=.,._.,____=._=__.___-________ '_
.'. ____70
_ ma1_i__o o_ _nconuorse en _i_bio
_r lO _nt0_ el blOqUe Se m_tendf_ en re_OSO y,o, ___, _,;_nto lo o,c;n g
mien, tras la tat_fo__ no _c__e su jnc!,ir_cjón _ i .
en 370, de lo contrrio 'el bloque _sb_ará. c____ _r_ r d_ mi_ v_

_t________________t__nt___________________s___________v_______r_________________________r_______________________________/__________________x___________________r/____________________f________/_____t________y_t___________r_____r___t________ r t t __ _ d _g_t____?_yt_?_t_______9__t___v_t__________________ _
__,_,.>.. ...'..._.... E_ R0___MieNTO Y El MOV_Nt_ENie,_' T0_0..,, _E i0S ANlMALE_
'_
, __._'. !Qu ____'_ d_e_cm_B e_ i__ _E ro_amiento en e I _roces_ de ___vimiento de l0s seras _iiv_s_
_, , __am__-_,__!______ ______ e_!____ i5_1ü_ concreTo, a s__ber, l_ m_-xrch._ _e ;-Gn _- ,__s___,a Se sueie cree_ q__ d__â!___ e _
_'n''B'''__' _ _.F ' ' _ , , '
: _fI____ i_i__ __n''___!___''l_ _5e fOZ_mE__,_tCit _lJ_1C_i Ue__a_Y_ Gnr_n3-JU_ _ i_C v____ O__!_Av__ eer1n_
n_,:_.;_ _._____._J C_ ;__., n,;'?'_:__,_n..__ t_ '_r, .__.__ __ =___ _.._.__ut u4;r..i çn. c_f__i. _'!.ca _,_;>?) ___-_e c._6_, _,c;,'?_T.,r_ ___,_ne jsnte cric__rto __,_. fg;____ _i___
_ c___'t__r_:ic-;' _--i __-_'J;,)t_. t_ L-m_r_1'!_ c_._i_. _;Ser_a cap_: t_'-'J _ _______-'_i_!_-______._ _."-____Jnc.a' _T_(;v!_T,_e_io __' ; -J n___'____
S__i_ __, t___ßd___c:
'- _ ;___ ____-F =_._ '-_fxe__- _, _. _'.__- _ _-_ ___. _, ; r_z_c___;e_1c_;_- _te-._?_:_,7_f' _ __, -_ ._ __1 _->__ c_i deJ ______ _____i____c__ v !_,c-.,__
ar__r_ _ _+c__. _c_ i-_____ ce_.et eE__ _______,c_ ;iJ s____;__;c_tce, m !_ cà_. -_!_____i, i' _e' _J% r___ _c._i'.'_!.' ___' m ;'s__;')_ __,_iî' __ _;_. _?____- ___
, l_-__i"-__i{nc __o c____ -__-_ Ir9_ì__ J: _i ___, n__v'''_ i _!Je_e mo__x_;_ ;+__ ,J_e :______ _4_c_!___te sol0 a C_i. _iC1_?r> _-__ __1__ _t _
_, _,_.___ n. _.J,, ,...._J ,, .,.__ _. ._ ,__., ,_.,_x._ _.__,,,:,, _,_ ,.,_. ,n Es_,_ ,f______, __,_ __s__,y, __,_,- v, 1_._.,, ,..,,__n, ,do _.,e c,m,n_ __,-, _cn ,-
tCr-_ e,,1_ re_'___,__:' __'_'_. _^____'. _____ tr_'_c_? l:-__ ro2_____c_____i__ __!j_c____nten_e___Te_ r_'__nsi_erý_je. e_ C_-Jer__ ns___
_"etr_ce,4e. ?,__' _, __ L ?,;_J'-___ _c_ c_3_as se _esp1Ma _9__cia a_-ela____: _e e_a ?,;__dnera se da, un pMo- _
, ;_' e_-o, _-_c' i_c__/_i _; _q!J_ ___e;?__ e_ cen__ ro de __n_s-_ __-t c__er_. o ^__!J__ano se desp;'___ t.___ciJ _d-e-fa_Le?
_, _. sr._ ;, _,,_e.,_,g __e _ _v_ !_,__ ;_ 1_ cort_r. ,_ccjn de tcs n_í._s__!___s, e___ dec_-;, _- s u_. ._ _,uef__ tnr.__rna. _._n ____-- cn___
i_ i_'_aclr_ _et r_-_à_n9__;__?'__'_ _ansist_ ur_lc_fTlen_e en e. q__itI'_r_? _'___- _-_ j__s _s f'_enas _,_Eer_,_ i_v___:'-___
___e _urgen _ura____ j_- 1_; _.rcha. _an_t_. _e esd_ ,__nera. prtori__.J _ !a oc__.
-- 0urance el es_I_am1en_o _e lo_ seres vivos. as_ com_ du_'___ te ei rrrrJvirnienco _e una '_ocamoTor-_, ;_;'
1a(unción del ro2._r__ie__crJ es id-_.tica. T__os _s_os cuerpos_ reati2an movi__ienco pro_resivo no grac_as _
a Ia accin det rozamìenTo. sino merc__ -_ una de 1as dos fuen_ inter_as que pr_vatec_ a expensas _3,
. _e éf. 4_
'':_'' ,,.;.:., _!:,_;
;;_:_. ___'':.._.;_. . __
:____'_'c-', ',;,._;;__..,. _.
';_;:_-..-,.;'_ ''_'.:'--'_:._,.:__:'. .____'..
_/v- ____;, -_; -_-._ ?
-;-_,-_;_;;__:__:-'-a_,4_,._
_-___;_;-_-:- _
4:s_--v,_-__--- _i _ -
'; _ _ _-9._ _-;- _--? _ - _ _
___n ' -_ t
____ ;-___--_-_:_:;;;---;_-;_: ___.
___.__.'' S__':;'.;. _
__'.;..,'..:'_,...... _._.:vv; fUENTE: iSabe usted fisjca1. AUTOR: Y. _erefman. Editori_ mir. ;V',_
__,::__,?.._!__.,_...'.,_t'_.:... __i..

_Re?nt_re eflgos_ ___Trggr____n)__y_Ty___c__T__A___f__|lxrt_rt_tf_ _ _T_p_rt0_rRt___xe___m_281s2__ ___ 0___t__fr_ h ___?______ t __0 _ _ _ ;_t___ tt
___v ____g___ __g______ _
_tO_l8__ 1 __ cs ____n R, cun;_ cI '_l_4ue est__ ___ __!,ì___c_
En el sistema mostrado, el _eqU_o blOqUq eS de _Iar_teamos
2Kg, latabla de 5kg ylasPoleas son ideales. _Si _ ___(_)-__F(_)
eI sistema se mantien_ en reposo_ determine el
_ d,_o de la fue,za que el _loq_e e;erce sobre _ J ' + R = 2 O ( _ J
_;'(?____í_!)
,___ __ __;-_; J_-__
! ___, ___x __ _ _, _,,_!_,___ _. ___,_x. ,_ _,
J_,,
eSOlUCiÓn
Haeamus una separación imaginar;a de las ;!j e-_ (___j
super F_cies del bloque y la tabla que están en 3(2o__,J _ _ + 5o
contacto y gra F_quemos las fuer2as que surgen_ _
DeteFm_ne _ l m _ du fo de la Fu_r2a de tens i ón __
la cuerda (l). Se s_e que et bloque 6 es de _60 _;
; las poleas pequeas son de 20 N cada una_;
micn, t_as que la mayoF e__ de 4 _ __.
___ _,
F _,,! :!)-_2oN _ " m ' A
__,_ ';_;' _____ _

__ _,tl_____l,_ ___t__f_ _0__p______________0__________0|_________0____0______________________0_______t_oo___o_______o___t__ tlll p g ___ ___ t_ _ttt _aA_ t __ _ 0t ___N_
lumb reras E_ itores fís ica
Res ol u ci ó n PfO_l_m_ 3
_afa determinaf la tel__lÓn _' _ COnViene haCer En la fi_Ufa mOStrad_. el JOVe_ e_e?Ce Un_
D_C_L_ de I_S _O_eaS l V. l__ fuerJa de l_O N. p_ra 4ue el sjsEem__ InGstrado
per__anezc_ en e_!Jilibrio. Si et ui_amómeEr_
^'_ .. - ' ' _. _ _ ' ' 0 ;deal D ;nd;ca _oo _! _a tens;Ó
!:_"'''_' ''_'''_ _ .,,__ , ' ^'
'd' _i0_4'''''_' _ ; '
_t_ _,
"_rl'....rj_ _ ,;
_0,0__,_;, ',;.=. i;,_.,_,_A ; _
_ r ;_ 530
2
,? ' D
; __4O_ _r ___'
__ 2______2 _
: - í0,_'______,_i"' ''_C_'''0i_'',__i__8__i___. 2 ''
: _'-'-^_--,:-'=_---_'_'_0-____'d_ _0 B
: '__,.-__'_.-,_,o%'.--,,,,,_,n:_'(__) l'; - _ ', ' _
____D_
; _;___c__-_--0;
: l60N
__, Resuluc_ión
I__r__ determir__r el v_lur _e Ji. __rm3'_mente_
De__' D.C.l_. _e lc_ polea m__vi1 (l) pe_uea en procedercmos anâ_;|zar__l equi_ibriodelnudoD;
e_-_iI__ri_ _l_-am_s esto jraerá c0m_ consecuencia tambin analizar
T__(_) _ _F(_) e! nudoA. Lu_o,o comb;-r_ando las ec_aciones de
equilibrio pIanteada5 se obtiene 1a respLlesta. _ro
_T,_T,+20 h ,
ara nU aCer eXtenSa la re50lUClOn, eS
_ T_ _- 2r(-20 (l) con__eniente asociar al bloque la cuerda que lo
_ SU)eta y la CUer_a AB, _ara diChO SiStema el
Se requiere el valor de T2_ para obtenerlo es d._ a r a m a d e f u e F z a s s e, _,
convenjente analizar a la polea (ll7 y _l bloque B
camo si fuera Un SOIO CUemO (SiStema) F__ _2oN _e_con___
Wael _oven
Del D.C.L. del sistema que se encuentra en
equitibrio
530 _
F(f)-- _F(l) - - - -;//_//A r _=j-
2T = _6o + 4o /,_ ,,' _?_le_
! _B
2- _ _,;
Reempla2ando (Il) en (I) _" '- _,
2r__2O_ lOO '- -=
__g
._. T__60N
416

_mhel __l__otoF_t___al(__) b____??_tlF____B(_l ) _t b_ mrt t d lqued_d (2_) t t t 2ld
CA_iTUlO V_l_ _stática y Centro d_ graveda_
Ahora para determinar T_ , podemos proceder en Resolución
forma analí_ica y para ello descomponemos Primero, granquemos las Fuer2a_ q__a act_a_
rec_angularmente a F= l 20 N , tal como se indica. sobre el _l__ue.
FF _____ _v ___ Fsen0 7_Sen0 ,_,
_m__,___, __----_-- --_-_--N, _ _ _
_v_h____ x __ ,/ _
t_^c____ _ _ , .
'_______ ;. '_e., ,g,_' :_.
G ,"_"A r_1_N
?/__ wte_ F'"'0 __, q, T ----7-!-
__ _; FF_Fc_s3o __ 72 N Fg
____ _v--f_enS__96N
'- -= Como el blo_uc se mantiene en _e__5_, de_e
F, cumpl;,se en la hon,ont_
Para el sistema, en la direcci6n hori2onta_ _f(_)-__f(_)
planteamos
_1COS0trz=FCOS8
_= t
r_ FH + r_ r2 N (F - __ )-cos8
_ 7 2 N + T A p_ir de 2sta ecuaci6n se deduce que par_ que
l .
a CUef _ 5_ m_n en_a enS__ e_ eClr 72 > 0_
._. T__28N
Se deb_ CUmplif qUe F> 7__
_ lect_r se le s_ie_ resolver medi_te un metodo luego, en la ver_cal se cum_le que
geométnco_ bien puede formar un cuadnl_tero _F(_)_ _F (l)
con fas fuer2as o en todo caso con _as Fuenas
. . , . _ FSen0 t rl SenO _ _g
Of_20n eS O 1ene Una y _5l am len pUe e
Form_ un tnángulo con las fuenas. i Intnt_oi (F T _, )sen _ = _O rJ
C_rn_ 0=300 tenem_s se_30__-, entonce_
Pra___
En el g__F1co_ se muestra un bloque de masa
_ 4 _ que se e,cuen_ e_ ,e_0so _te__Nne F + r_ _ 80 N (l)
m__du_o de _, fue,2, c,n se debe ;a_,, de la De aqui se _e duce _ue _ara mantener tensa a
cuerda '_ p_a que l_ otfas dos cuerd__ est,_ la CUefda (l), eS deC__r _j > Ot Se reQ_iefe QUe
tens_. (cons;dere g__ 3oo ,. g -_ _o _s2) F < S_ N, pefo no otvide que _afa mantener
tensa a l_ CUefda (2) Se reQuiere qUe F> r_. Si
_ reemp__amos e_ta condici6n en la ecua_6n (IJ,
_____a _'_ sededuceque
'
, g g _4 _r lo lanto, para man_ener ambas cuerd_s se_ _ _ _
04 x r e q u i e r e q u e
__ 2 G _q
_, 40N<

____ _ _ _ !________5_e_n_;_r________t1__0_t____t_s__?___t_____/_t __J _n_ l(aF_)f____3l_l_r________p _____l___ _3J _c___ __ /_;_l_>t
L___reras _dt_res _ ás ca
PF0_tem8 _ _tra (_rma _e _eI_c__t_a? 4_e _) e_, v es a ma_i_
l,J__ _oIea __ mas_ _e_>__, _ac_i__b!!_- es- tá uni__ a un _e t_ I_r__'- cjón _e, _n trián_uul0 co_ __e.s (u_-_ rze_
b!__,ue de m_s_ m _ __ ___ _,_' n_, __ed_ desj!iar a I_ que actúan scbrc_ a_ si__'_en__ _'_1oque-__ie__).
12_'_.___ _e __ __er___ __Ie 5 m da __ngitu_ cu_'o5
_ii__m__ _ _ Y es;n fj;___ c_ l___ __re_es pT C__m_ a_ _r____n_!__c__ e5
ve;t!c_a__s ____3_a4as _ _n _______ s!. s_i ;_ __!__a es _ js___eles. se_ c1e__ _!__e ___c
_ ?
_____ c_, _- ;_(Je V__r t3__)__ 1_' _Cj_5l___ _n _!_ C'_2rda __ _n B - - - - -__- U ß.
e_ e___a__ c;__ ;e__s'c! - T
_, ; _0
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C_iiTUl_ V_- 1 a Estática y Centru de ____,;__ ve____id_0_._
PF__l_m8 6 ___o_e _,i_o, _i_,,e____ __a___'__ a____. J
laí_gu__,ues_una_._,_ ,0,ni__e ____ a_u?,+_da i,!!na e__Fe_a_4i_mo_ei_eademas_ ,_ v, r_di__ i_ ___
en s_a __e__ y a_c_la_ en_. _Jp_,__j,_e e_' m6c1_,!o ___C'ue__ir__ ei__ e__uilibnu _oSte_d_ ____ __i_____ C_,l??- _1__
dp _a _ue_a que e_e?,ce g-a _icuiación __ 1a __,_. i__al d_ t_____it_d L. i4ué fuer2a s_r__ nece_z__i
___ apl'_c__- __n _-l p__n(_ m_dio de la cuer_? _ara 4_Je
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A _ ^'__''' ... :V, _n_i___,_0______.,_.D,_,,,.,
.. _......... ,....,_.,,_. ._____.___, _, ,____ _._ .._ __, _ ___,___._....... ...... !4; _v_,,_,..''__';____'___'_,o__o_.._,___,__,___,_'_0,.__._a_,o__,
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Resolucin ; '' '':'.,,,
_tes de hacer el D.C._- de la barra, se nota que Res__fuc_ó_i
sobre eila actúan_ so1o tres f_er2as y co_o no son __'__n_ se __ __ qa_ie_e _ue _a fue_za sea 1a ne_e._ar_a (;___
parale_l_ sus linea_ d_ _-cciáa n s. e deben intersect_ _e n_e,___ _J_!ur _posjbleJ_ l__ esfera _' er__,_ cunta__!o
e_ Un _Un tO_ COi ia pared __a CU__do f Se__ mínirn_ (F__!-
i Como la b_a es _gida y está conect_da en la ;_:;'_.': ''
icu_aci6n A n_, eiende a des_iz_ sobre la _;;._,.... ,; l/_
,enton_de_edee_solo_nrm' n_ :..'_:,.::._.,._..,;,!;'.'..._,:'.....,. r_
una reacción no_al _p que es honzontal y :_,._;';;__..:':_,__,_____,:_..._.,?.._.'_._'__..'_-__.,'__.'.':_';:_._.;.. ' F_
CO_CUrre COn Fs en ta tOmO Se mU_ eS_- .:;_:_._.-_:_._':__. _''''"_j - - - - - -T
8;_,,/ .0_Rp _;_ T_ l
d_ ,__''' ' Y_,._:;;,_,,_.o,.,.,
_ " -_ ' ''_''_ ._ _ _ ' ' _, hab_ contec__0 _' ?_ ___ _ _ _ _ .? ;__ __i_____,,_a____o0__,__i__ __.___._
_"_ ''_'''''' ._.,_' = ' lm __a) ,--_- _'__:__-____ _._,_-_-:i__d'-:___;::;_!i__,:;___,_^o__._.__a___0a,'
__ __'_'..,''',__.v, '__x_'; ,''_ Fg_ l20N .. .' ____s_0 _______-;____, ;___,___,_.__.iD,,,,_,0,_.','_0_._..__,_.,__,,.,_..,.,_,8,_0'
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' __i_i_/e ßUe COn l_S tfeS fUei____i _(_'__ _,.sEa;est_sjgn,_f__-aa-u_sobrel_es,reraah_f,-_
_St_bl_C_ et j_POSO Se fOrmará el P^_i_'_U_j_ _'oloactúan_0. _s_e__:1afue_degravcda__
_'eClOrlal __erradO 4u_ en eSte Ca_o f_Sul_a 5eF ? _
._, gu _ . o Fg yi_N fue_zaporpMtedelacuerda r__.
_O reCt__ll U Sei_eJ__le _ l- nac__jJ_-
sombread_ A8C_ (no_e que la F que de_mos dete_'nar _ctúa
a sobre l_ cuer_a __ no sobre la esfera). _a que
R_ - _,-._--- ' De_ _ n__e__e la esrera se mante_a e_1 eq_ilibiio estas d_s
. ..!.. _''''''.:V_._;,'._'-_..... .. _ - fue_S deben ser necesan'amente colineales ,
Rp T_=Mg

___tf cfs___l_leeel_nnfczgggt______nsdefntc__se_Fn__dl__ t_t______ _ F_ (l) d na__m_ _e_n__te_(___________(?2Mr)g_o)_l_0 _ _
L_ m_reras Ed it_r__. Física
_ __ra,alaplicarlaF_er_a _- e,_ P seorigin_ Aplicamos le:_ de senos_ cntonces tenemos
_n dfCh? _Un_O l!n nUdO, _e m0ef_ qUe la_ _
_g= seT;
ig__al te_n_'_ón a _}esar de ser parte de una
-_m3 c_ef__ __de__ M_5en0
t _n - _ =
_ Sena
_CJ j_ _l C _' meilOf V_ Of e m_r_ , S _
_j Fecc_Ó.n., e_,tar__, _ei___ide precis_____entf. __r E_ i_ll) Paf_ QUe F Sea mínlmO, COnC_ntfamOS
e._. t.a c.o. tición. con ta5 Eres (uefzas nUeStra atenCl_n _n el denOmirladOr (Sena) > Ya
F,a,__o5uni_a_ ngu_ode que ei nun_er_dor ya tiene de_nido un va_or,
entor_ce5 F es mínimo si s2___ es máx=_mo,
planteamos
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8 _ M3ser_0
mn^--_' ' _M_Sen
_ _ Sena ;
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___-------___ _ __ie_d'o ?mE,=M,___n,0
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rJ ___UI0 _ esta de_ni__, así _lle 7, debe estar
c_____tc_nidao r_acesariamen_e e1_ la iecla _ y _' o sea _ es pemendiculaf 3 __
n__n l 2
__'_e i,__ir _el extr__mo de j'J y llegar a aEgún F__
pu__t_ C_ ._amuL_ f _________ e_eo_tnc_ente
+.. __,_M3S__
_1C€_i_ eStar fe_feSent_dO __r _1 ___ment_ dirl_t O V
d__ me r__r tan_an_ y _Jafa el f0 _ebe fOfmar 900 COn __2
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CA__T_L_ V9ll _stática v,' Centr0 te gravc_ad
_es o_u cjón _r0 _ t _ M_ _
__ ote que sobre ta ba_a yeccen fuer2a l_ tierra. el __ _I___e _ne _ kg re__sa _-___e a_ ?I_' 1___ incli__c___
reso_e y 1a articulacj6n. Cómo no son _a_alc!as_ _:__c_ _ e__,_ _!i'__0 a l_a h_a_rc_ __m_4_ea __ 1 _ __.
entonces l__ tre_ fuerza_ debe__ ser concurr. en t_s __le !a_ !_r___",tt __ ._, _._ !_ cue?_d_ ____;j__f___ _ =- _ __,.
en __)e_;in _ur,to (_), t5_ co_o _o fnn_5tra_os a
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_u_em__ _-__,_nv_Jl_r nac'_en_o __su _e! __. e_o__? ?,,,,,. ___,r_, _.n_,,.,,,_._, _ ,__ , _,_,___,,,,_J_,,_,_, un
_ __i_;_lC,trlC_. ._ .mn_s f_.,nt, rr__J_
_u___ tk__' tres (u_r2_s __nc__rrente5 __ _, __' c_ue
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l_u1_tn_?__o_t_tcd_ae___lut_____s__cJ__lo_l____mcn_s_____t____nJn_r__t______l__l___________t__e1fl__x_______________m_________J_u_____________d_________p_n____________________________tl___l________________________t_)______0___________________________r_____e_______x____________________r________________________________r______7_____s________________t__________________________________________n__________r_d__y__________________________________n____r________________>e_____r________n_____n____ç_________t______________l_______c_____a__________________,______________tJ________r___fs_A___________e______________________s___a____n_r_ct__/_______1ct_____lo_ enn___Re4c__t?d_J_Jepb_n__
lu _nbieras Ed tor_s _ is ii_d
_lanteamos la refacin _;J__ _rci__0_c_'onaiidad entre P___1__8 1_
las lados de_ triángufu 4__ fu_r2a _-_ to__ lados de,_ Semuesirau_.aesr_rahom0_ne-a_c4X_ ._a_ur_rn
triá'-ngulo del eráf_co. de desl;2_r. _et_rm_'ne e1 mí_dulo d_e, ___ f_er2_' de
_,_ reaccin de _a __-__red su?Jre dich_ e5(era,
_, -__/j _ __ --x (U-_ 53^ ;_s =0,7_)
T rt'_ . ' o_,_
.x__ i J '_'
I_ fi _.
S_ req_u__ce el 'Ja1or _e __ µ !,
,J!c_u_o de l,_ f(___r_e _e tengi_n _'iJ, en e_Ste _aso .,.,;.;:___-___ __
_'_____- ,!f=2_n_os a1 b___' -r_a__e, ;_ _grze_ s. ä'c uenle_ sobr_ _, i_..:__:.v:i;___ _.__.:___.._;'.;: ' __ _
S_il g'_5__1v? _ _;'/____,:;__-?_:'__','__.._;_'.;..;...;;;:.: i ' J
!,. T_' ' . :__R_'__':_::._,,,_,e_:5'_,;;-:'_;/'__:._',:_';_;;_4.::__,:_:'__,: '_;::,::_,_._.,._ ;,._,'_____.;__,,;_,_,.;__';_,,/''
____ _ _ ' t_ _ ' _______';,t_',____5!.,_;_'_..,:,!'_-t__i_____ii''
' _ Y_' _&V,_,gæ__u___.,,_,Ói_,
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- '___J__i__,_;J x,,__x.,_rc__- r_.;,r,c__v.,_.wy),n ,. r__n.d r____.n,,_3an,.- ifes_,__}_,fz,n
/' _. _ ,__u_:._,.;;_,,___,__!,,_,,,,._
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i__.,,0_ __...,.i_il_,'0_,_--'"---'_'"- -- --- __ -"---'- ---'-'"' ''----'--' - '----'-__- ___,- _ _
;_,,__._,i.__-____ A_ _lantea_ mé'__do _eométiica Pera ___e ,-er t_ fue,z, de ,o2,m;ento c,t,_t;com__ ;ma), la
.5_ c__ufare)v__of_euna_e_,r__mohemos_jst_ __'_ otTecom onentedehe_n
!x,',-_:' __uedeap_iic_seme.id-_de_i__Wos,nv_e_. __ __n el gra/f_,cu e_ a,ngu_oae,_ e_ a,
_,'_- nu' s pre_L_ntam__- v en qu é cc___ d _c ion_s _,_- . d h .
__ _. _, > _ _ ., w _ _ fOZ_mlentOY e e VerlnCar C_
Mg-_ a_l_O_ia SemeJ_ etn_ _S, _ emOS _._,
_ a iic_ cu_do sob,e e_ cue ue est_Jdiemos __/-' tana = ___
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_,.,. esténeclu__d0_esru_nasconcunentesyenel g_' luego ten,__o,75
æ gr__ se te_a cie__ longitudes de datos. __,_; __ u _ 3 Jo_
_ _ ___,,,.M_ ,,_av_s_,s.__,_,,-D-_,,,,,0,,,,8,,, ,0,0D,,,_,, __x,-__, , ,, ,,,___, __,,n_o,-_,_.,,__ ,, D_, ,,___ ,,_n,,,.__,,,._, _
422

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entt____________c_______t_y_J__________________'_______Jn_____n_______ttel______t_nt_Tn______________________r___________________?t__________t______________o___________________________________________?_________nt________________t________________9_________________________________p>__v______v_______x___________J_____________t0_______________________________(___p__________________7____t_R___ __
CAPíTULO Vl__ __t__ca _? __0_._'' e_ii_ d'_,'9'__''e grav___c_Jæ_
Co_ l_ _e_ fue__- __0ncuiTe_tes _ue g_un_zan __ _omri _i__Ti_s s___ __equere l__ /_r,.n_,_, _ j2 _,, _i_ar__
eq_j_jb_o_e l_e_si__dasepue_e f0__rur_tn___u!_ _e__i_m3____rt_s, h,aga_os __ _.C.i_ _a ___ _?__ _fa
(__tJca_ici. ? C0nC_i___nci__ _e E__ _ie_ Fi_ei_à'._,_.
6_ ga,. ,?, _. ,.. ....,Fo...,,._-_3_N__'____
' _. ' i _'' __'i!____,_,,..
ì, ' c:_n__S307€rit_ncec, J____J__l,/ _'_^'_a'_9.,. __m_t_
__ _ !_ ,. ; . , l d f. _,___' ' ''__. ' '''_'_'__0,_,. - _N ____4J
__M_ , ' ' e_ i__n_U O _ Ue_S CS ,_ '__.._?_'_0___,_,...
t ._ jsúgceles _' _._,_,'''_;,.w,.
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24N - ._,_,_-__'__,_ __? ' '
. _ ''. ' _or_ _&semos a descc_n_µoner, __.cta_;'t___9_' _ '_ ,,__n___,
' i'' a ___ reacc_ iíJn (_R.) v, _a r_er_._ de tenivj__n (__')
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R_40N
T,__2__,_ F_30_s'
__,0, _ o__0',.
,b_ ! .,' ' ! '' __,__
-' i_e I !,' _ igN'_i'_'___..
punt_ de desli2ar. _etermine el c_enciente de '- '' _"'__,,.,
__n_0 e,_,c la b,,,a y el p,_so. ' '_''_0' ':,=_;_____,,,,., F,___
_, '... '' _ ...._ _ '___.._''_ '-'_
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__OrT_na_ (J____, Se_7Ún _____l.__e___t_', reem_ja2amo_ ef_ (l)
_-s (ma,
_s___ X (l) _s=__-
,q' i l83
423

______o_m_/s_J____t__ 2____ __ _l___ ____ _?____J_____ _ t _F___m_tn__+_uttt__________6o_____t,m__ |ta____6ot__oe_q_lu____be__t_aqu_e t__rt_(dtlr_luae
lumbrer_s tdit_res f _i i_' __.
Ofi"_ méto_o ,_;t_l__)t' l- ;;t____. ;_r_ft(le___nj_ __ T__,_'_2_,af, _t'_3cia (_tn_,___:)
Ha_ien_o__s_c1el_____!_'i___de _x _._-_ -_'. .____n,'__a (_r_) _p_ra Em_tí_ __;_T; _)e_'_,._j-gf_ ____ v_l_i _e F
c_ c'_al se µ_3ntea _
_ _i _'_' ___ J__ _;'-r_!____ c_! tJ1ci_ue t__cn_e _ rc5hc-_I;_?,
-__,{,-- _,_,_ ;';__) - -
I!__-__'__l _!_JtU: _it_rO la0 fUef__^ d_ i_2_fl_Lli____-_(r.5
_-!_i';i ?}njl)__T_rJ_ c,_ _,)c!ii_' ? ',_ _ 'J _9,;,! i_n_mos .. , . .
-'- ' ' -' ' ' - '' ' ^ ' ' - ' ' =M__rti_t!r'rJ- C _ e tel')__ SU ma7cjm_ V_ Of _. rç ,,_ _ :J
tr__- ;_u__rLú_ c_n______ ____?_'' _ . _",s _--'-_ ',_ _ll_' _ t _ _ ) _ V '
' ' - ' , _lCl_ 3i_l J__, _5l
!_r?ii__n, __._uí_ trin___l_ _à___i__ .. - n9,Fv__ v. _n_ r)__c_
_t_,!_ fL_c_rza__ i_ ;ene_ i__ _1_!! __J-__ _ _ ,_ , _ Fg = 1 00 N
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3Jo _F(/_)__F(,/)
f_s=t;____ ' '
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3
+ (ß,5) (_'_J=
p,0a_emg _2 =_ f..n_,, = 20 _
_Çuéva_ores puede tener '__ i_x_____'_ _ para . ,_J,_,_,a,s_ Fesm__
mante__er a_ bl__Jue __ :-_ () ____, e_ n reposo? res_al_, hac;a __ r,iba., pefo __ f_,er2_._ J
(Cunsjdere que _l coe?_':'__'n'_c _'e ro2amiento fozamjentoest_'coseo pondr_e 7erclen___,t_
est_tico entre las supei'__cie_ an _?'!_ri!_cto es O,J y m__mo _'ator (rs(m_J hacia eb_)u, a__-
2
__ ,,Fg_ l00N
-_ i / ,' ;_
F __ _ _
' ''' 80N 37d_ _
. _ _60N
3Jo _,n_', fs(_)
_- - - - - - ^
N=
Re.sotución
El _loque debe quedar en rem_so y p_ra esto, iqué 37o
condiciones serán necesarias? No resbala pero
424

____f//Fsm__ttn_o<_q__uF_<_____sF_/K__tx__ /_/______/et_/_/___________t________/ _r_________F____ ___ FK c __ __ _ _r__h_T+__________K__t_x_____sr___)e______n_3__ o__3____t________r____/_o_t_7__tn_____0o_(________c_t_0)g_________ _o___f__4___l___Fx______yt/____/_____________________c_s3x7(o _
e&PíTULO V__t _E_'ttica y Centro de gra__ed_d
-,g, en ,eposo, es ne_cesan_, P__f_i_'___0.__,,_'__, '_,___,,, _'_,,,,_,_'_,_0_
_Cu3ntD _ la deforTna_ón _el reso_te (-._ _!0O N_n) 9
si et _lo_ue de 23 kg 5e encuenti'a en e_uf;_bri__,
m_ " G0 + is_m_) cinét'_c_? íg = 10nUs_)
Fm_=60+µs/,v , _''i^'_8'?__a_i_a__....,.,,__,.,_.,.__,,.,.
_6o+ (o5) (y_) __ '^'
In5x ' _ ,
._. __, _1ooN _: .__
____.:__ ___i__s_c__ncja, para que e7 bfa_ue si___ en ,_ ._-' ''''- _-___.
re_so, f est__ r comprend ida entre '' '_' __ ' '9'' ' ' . ''' _f0;2_i"__'__''_ ' '_ _'' -_v_ '
i_ß N <_ F <_ l 0_ N Rcs___c_n
_Q_ê sucede con el bIoque si le ejercem_s F_esteprobi_ma,esn_cesno___i_3_ruerM5.
_<2_ Y? E_ bloque desli2ará h_cj_ ab_v jo y n_ en la dirección _e,1 mo____aent_ __ en la djcecc_í_n
quedará en equil;-bn0. _Qué sucede con el b1oque pem__n_ic_'1_r a ella_ p_2 lo cua_ realj__-am_s l_'
si le aplicamos F> l00 _? M eSEe casO. el _l OqUe des_ cu_i_p0s__ción rectan_ular de 1a fuen_ el_stica.
Se deSli2af_ haCia _rriba _0rQU_ Se VenCR al _,en3_ro
r0_amiento estático m_mo __ ya no estará en FgM_230N ---------_F,__
eqUllibfiO_ _ _ ,t';_
__ , _?_,æo_o,,_,,_,.v,.g,_n, _.;:.:s. 1___io !
L _ 0^/_,?, _.' ' ' _ - ' _' ' ' __ ' _ '
_ - _ .__ _- c,mo e_ b_oque ,, ; j i. i; n _ _ - ',._,e,,.,,,, ho,x.z,,e,__
_ur último. podemos hacer las 5iguientes er_ la dirección veriital se ver_F1ca que
PfeCiStO_eS: _F(m...) = T_F(i)
a. Si _4 _ _O N_ el btoque n0 intentarja desli_ y
b. Si 20Ns-F<GOh', el bloque i__ tentaría (3_
deslizarhaciaabajo. rN +l00X_! g J_2_'
C, Si _NS__<l__, f9 e__lo0qUeiMtentz_-__'_ ti2_j _ .,., _2 ng __
hacie_rrî_a '' _' i
__ Adei__'-_-_'', c_mo _l blc__ue es_ en eq_i___u _é_co
.,-. . i.. , ' , _ '- __cJ _c_e.) ;en__nc_:'___ horu' _n_men___debe__p_
_0 ',--__,-c__, ___ ___ v-' __,(_/___._,,_
.-,_/ ..,'..,'''' _'_jJt_t__
i'''' _, o_ ,_,;_'_iY''' _ dede__
'' ___ ''' ___' ___ _C_ 3 _= rK=_K _ r.N
_r_
Reerr_p_azando (_ l j en (_)
0_ _'. -_'r,
_// _,_ ___o lOOx - _ =íO,2)(230-60x)
.;.n_'_''' dedtt_
'''"' ____ ._. x_o,5m

p__t1___l____l_ ____ _Rt_rt______ A8_ o/_ x/l l _ __( __ __(__+ ) __ _ la b _e
!L _mbrera_ Ed itores _ ís i ca
Pra_lem81_ _n e__s_
_m' e____fer_' h_mo__n___ d__ mas__ _ _st c_ _ Llrltu
C'_
C feSb_I_r. __termlf_e e i__ 7(_lC___ __ tanc_=_ ri
X ''
raz_=tlj_. _ltC_ ____ l_t!.c_ e__tf_ l ii __red )_' la eSr_ra; ta
_. _.__,,t_ e,_ t__,,_nt_ a _,.. ,.u ,er(1_c-E_ gs(e_ ,_,-c_, _h0_a P__f____m_-_ e C_ _n fUnC__E_ __ )_, _aI_
^ _I1G en el _ Ci'0 __s c_nvenier!te s_be_ cu__ __to
l, e_ Ç3. _n _j __- ASr_ se d____ce _J_e !_ _ _0'',
t{ '
t _ --- _ M Cl C_O SR _Uede _t_r_tCaC
_R COsen(___J=R
l_ _.ß ' cosen6_u_i
. _/' (_
. ._,_ '' CO - =_ _ CO=_,
'_ _''' ,,'.-_- ),;_" 2 _J3
Finalmente,en (l!,
_esuIuc2_n
_e,nc,r__mos _ue par_- ___lcu_ar el u., __dcn)os _2_
foce__der _n___E_c3mer,l__ c_._ Ia r,(__,) ;_ _e /,,, o en (M ,, .__ __ __ 2
to_o c_so __c_mé__icd__.___te ___ n e! ng_ljo de _ _
r_J__e_,I'T'_iento (_). Si p_o_e___n)u_ c_n eite uItimo, ,_
e5 (_unveE_je_te _re_cerc_Frect_n_ente l_nt r___rjn __ _s _ l_n_ =
_ ' ^ vG3
__ !a pered y _ar_ cllo a_r__-ech__ mo__ la
__ncurrc_nci_. __ l_s trt_s íue_rzas: El _r_b!_Cn_c_ t_mbl_n S_ _U__C reS_tV_r
rs
__ pl__nteando _s __! "' ,_ara calcul_r rs(n,_) _,'
_ ___ ,_ N
____'___ ,, ,,' r,, _rimcro se t_n_ria que plant_ar se_unda
_ __ '_ _ /,' cun_ti__ión para el equitibrio para expresar a Ia
;_ R'_ ìì___ T (uerz_' de lensión _n F__nción de la (uer2a de
_ __ , ' ' a_ p gravec_,__ y, I__cgo _quitibrio en la horizontal vv Ia
R_ 3 ; __ ,_ _, 2_ O, yert_,c_;. pe,o esto _o podemo, _eia, p,,, c,,nd
; __ _ _ ,' se haea Ia se__un_a c__ndci!_ _ara e_ ect__itibrio.
-_ ,J ' ; ,'_;
,_ ' ''__ :;' ,_ ' ) pr___emg1_5r
,_ S> t á _ __ _._ __ __ _ / E_ a,,;_,_, p.,,,d_ d,,,_J.,cn_, c,_,__ _) c,f_ _ " _
__ 0 - - -_ '_ . ( ._ ._ ' , '_ 'd t ' __ __
_ ,, t _'tfC_ln _ICn_!__ , _ _f5'_ 4__C _______C_ i_ O P af_!_ C;
J ,," _ _' e5t_f__ __ e__.!'_ihfio__. ___ c_er__enle de F___miento
; /' _ Fg estátic_ cntr_ el anillo y el __ 1am_re es µ.
R'------ rs
' o_
_n cl grán_.o a es el ánguIo de ro2amienlo_ ! //'
ent_n___-_s ; ,/
_, l_a ! _/0
426

_cct_s_ot_0decnfolttclnaJNls__t_ad_p_eolr_at_gm_o_s(qu_e__|_ e__a_n___l)o tpaD0_ F__a tattp0st_trl__tn e _____ _t_____y__s____t________BD____o_,_l_J&__l____________l___________y____y_________t_________J_________l__l____/l______f__t_a____s_ ___a__5___t y___
CAPlTULO Vlll E_tática y _entro de €rav_dad
Reso_u_tón Reso_uc_Ón
Sobre el ani tlo podemos notar que actú__ n soIo _obre 1a bolia_ te_dremus aci_ando cuatro fuei__ _in._: '
dos fuer_,as: lc1 _g y la reacci6n de parte del Ia Fs _ !a re_cción por pa_e del _is__ don_e 5?
alambre (R?). como aa condicio_n es que el anillo a_uYa i' la_ reaccjones de aln_os _lc_no_, L2s d Au-5
se mantenga en__ feposo, se requiere que estas _nmej_ S___ _e_endiCUl_e5 a) p!anO deI _a_eI
r,uer7es ._ean col_ne__es de igua_ módulo y ?__ _e equili-bran, a_í que so__o graî_caremos !3__'
d;,ecc;ones co,tran__ _i reacc_i_nes de am_0s pl_o_ que se encuen_r_n
_ sobre e_! p1__Jno de1 pape__ y como __un s_l_ _os
. ' Fg fuerzas para garantizar e3 equiIibjo _e la boja_
: ' ,' estas nec_es_anamente_ deben ser ca1_neales _e
_ _ ,_ _0 _- uaJ m0_d_lo d_-recc__ones conif____
; ,,'a'0'_ ___R
!_ ,__ ht_ -/__7
_ ,_ ' R,, " .0,'';
'__0__--.__=:==-. .' _
J _ _
__v_'' _ ;:-----_-=-------------- _- -!fs------_!
'''' ?_'_i_0 '''0'!.;___,'__''_. __' "'"',_-_, __' _ ' ' _
._ ,_D_o_ __- _ '_-v-- '_: ' i' '_ _J ' ' _
está a _ L_nto de desli2ar, a e_ ei ngu1o __ '_._ .,.:_:__=_:__0__'_;__-'- ,J_! ,' i
ro2amiento y debe verin_car ' ____ '___,_0,___0,ii__'__.' ____u.__,____:;_ ''___ _ ,'_O . _. _ ,,,
___ 0 0. "_'__'_'' -'_'____, 'i'_'_: ;;.... J
an_ = _s a + 0 = 900 ?.'__'_'__0i__' ,_____,^__e__:nm__._ _;__;__, _. __..,:_ì. ''':_-.______ ' ' '
__''_^'_____, _?''v?_'___._'_ =____';_ '-e-__x_5_-- _-
_''0^=__a_o._.-__._i_ ..__' ..._. ?_:_^_i-_-;_ _
^ S __
'_S_ o_
0=_CC_(µs-) (l) _, _,',,' ":__ F
Para áneutos menores que 0, dado por (I) el anitI0 ,',_
de5lizará_ entonces _ra que no deslice _R
O _ _c cot (µs) Al descomponer la reacción por _arte de ___bos
planosnot_mo_nque
_t____g16 f,n = r_ t__ a
__ac__6n _e ias fue,2as ?F se __nte__g Ahora también se debe cumpljr que
Fs<rs_ _
r_ UClf e1 an_UlO __edfO 0. _Cl_al debe Sef e_ m__t
.entedefn.cc_.o,nent,e_ b _ _ , _ t_aSµ
a OayOSß_anOS_ /'
para que ta bola no escape? Considere _ue el t _s >-- _a !_lJ
Slitema Se e_Uentfa S_bfe Un __00 hOM_t_ liW. Solo best_iía e_,contraf una rel,acjn en>_re_ _ c_
Del_IA_
v~_.',__0 _.., _, _. 0_ . g+ (90_a_/ t (go_a)_- l8o
'n' .'__'_':____'_'::'__ , F
__'g': '_c__?_;'_ ,. -, 0
. .. '_',_,.g_,0.__o,,,,__,_.__D,,,___v;h._;_._,,..,.. ..,,._..,;_ .'. _ = -
_' 'i00_'0__'_''_"''____0'''i-__i^i'___'~' '__''_
'_ F
0
_s>tan_
427

__ _0_________ _ ___ _rr_ _ ________ _____v________ _ ___ _ t_( ax)__0___()__v________v____ )__ _ ____f________________________ t _ _ _ _
lum breras Ed itorn f is _ ca
PFObl_m8 TJ i,Cómo con__robar este resuItado? _e 5__e q_e
En _a (igura mostrada, la __1ea tiene masa P_ra _UR m nO reSba!_e, r_eCCSar_amer_te_ la
d_p,ec;__e.,_'__que n__G_ym _3,s_ fuerza _e rozamiento estático dabe estar
es(en in_ci_tmente en ?. epos_. s_ ios coenci_ntes com_r_n_,ida _rltre
_e rozamiento entre tudas las super(ices en O < /s S Js(m%_ __
c_ntacto si_n µs=0,_, _semoverán los bloques o<r <µ _
S_ SY
_i _;_ homhre jala ta cuer_a con 40 _7 _cuánto vate
' O< rc< (U 6Jt_35J
_ fuerza _e ruzamiento sobre cada bloque? " ^ ' -
r,_____o_,_) O< r,S _JIm
, . P0r __ t_- nta_ __s c_rrc___ ai_____ qu_- so___= m ;_
''_,_____. _''__
, ___.___v.,. __ _ ... .., ._;;.___ fUer2_ de_ r0ZamtentO _St_taC0 eS rs = 20 :!
.,_,;,,__;_'''''_'_X'_''''"'''_o''' '_ '_e,_____0_' ____;.__'' ' D ,_'__''____,.., entonces m ce___a_Jah__a__q_é__emo__ar_,__
n -_- V'-_: ,'_ ___. i' _a _e _ _mer_, gr_J_uem___ ln_i a'_le__- a_ s__tJT__ é;.
/y=3_N
Resolucin Fg=60N
._nelicen_os ta _ole2 cuancio el 1__mbre jaIa la /s .n. __y.. __,_0, _,., .._..,.. T__2o_
cuer_a. _g_ '_;_';_-:_y' _'___';:' _,v_.::m;_.,_,;
_ .,0 ., _... .'
S
,.,e_,,;_,_,:_0.._...... 4O_....., /,v=9SN
' ' m=O
. _s__miendo que __ est en re_os_
Considerand_ _ue la _oIea reposa _F(_)_ _F(_)
_Tt_(_)__t_(_)
r+rs _/s
40--_T
__ Jj_40N (l)
,'. T=20N
Ahofa _____.icc_mos __ m, _por q_é7. Purque es el _C_rnOVennC_O?eSter_SU1tadO?_(O__ Slmil_r
n_és propenso a res_aIar ya mue experimenta al caso anten_r, sien__re que M no resbale, debe
me_nor resistencia, es_to es debido a que hay veri Flc_
m__or pr_sin entre las superncies en contac t_ o < r; <_ r;_m ,
dem con JV.
O< rjS_sJ_
F,_35N o ,
</jSO_6 __
.'.,n_.; T_2O_
_ .._':'':._. O< rj5 _7_ (lt)
' '0iC ' _ .__._''','__._i
'_____.__i_'__i_':'''_,/:._.____5__.','_'_. M DR (IJ y (1l) dedUCImOs que Jt_ no resbala pues
N- . ,':-;,.;.:sC;__'.;.s___:.._v!;: esta_ den f de_ -l
r;_40_'P
ar_- quewresbale F
ln_ mente_ COn feS_eCtO a laS pre_UntaS, nln_UnO
_ (^_- )= __'(t) de los bloques fesbafa, fa fue,z, de ro2amient
20 J_ = /s ent_-e l_s bloques e__ de O _! y la d_ _'_ sup_r F_L_ie
.,. ,J, -_ 2o __ s_bre M es 40 _.
428

__t_________00______0________0________________o __________h____________________o___t.0____t______t_L____o_n__e_v____t_______o___0______y__________0_______r__?___0_nA_________o__________________________________D__________J______ _____0_______o0_____0______________0__0 _________n__rn__o_T_ Reem_fp_Flaza3(_oon)_____(om((m_o_f(_tl6)fl)_))((_qo)o) )
_itTu Lo vi__ Esiá_ica y centr0 __ gravedad
P_al_m_ 18 _a que el bloque A no resb_e, debe __nc_e
Dos bloques A y B se encuen_an sobre un plano
inClinadO_ Si MB " 2 MA ' l 00 k_ Y el COe_Ciente
de,,_,tm;e,_oe,__coe,t,e Ayg e, o.6o_ent,e _F(_)^'__(_)
8 y e! pl_o inclinado es O,35. An_ice el estado F m 30_ + /s
_el sistema pa_a diferentes valores de F.
_ -- S- -
Adem_s, si no resb_a_ la fuerza de r_zamiento
F sobre él debe estar c0mprendjda _n
_:__:_.____ '_ O<r,__s
_.;...o._,,,_..;__-__;_;..._;_.,;. .__,. ,_,, _. D,,ov___0^''_' '^'_' F " _ S _sFN
___0D,__ _' __'_, _'_D,_0_. ,__;__,,__''_'_!, a_ __, ,_..i,0_,0._,_,. _D___ _''_''_ '
._,N.__ ___' _ _ _ _. ._. F <_ 5go N (_ _ )
__i_ando. las Fu&_ actuantes sobre B, para
R_oluct6n el repo_u
R_a hacer et an_lisis pedido, antes hacemos una
separaci_n ima_inaria entre los bloques y -
g_ar_camos 1as (uec_s que act_an sobre ellos_ /s + rs = _
entonces {e_mos Reemplazando (IJ
F-3O0+/_=6O0
_g__,5OON
__ ;'._ /_=9oO_F (IIl
_ ". Para que B no resbale, necesanamentet la F_e_a
9_ N _ '_ 3oo N /_ debe cumpl;
0 0,,_,0 _ 5
-_"''''''" . f
__--_.:_ _ O< r;S is
_,,,,',:,,0_,_,,,_,0__,;_,_,,,__,_';:._,;__;__,_:'_;;>''_';_'___''_,,''____'____-_'' Fs
__--_N 9o()_F<__s/;
r,__ _ N 900 - F _ O,35( l 200)
_D -__ _,_'' _ __N_ _F (IY)r
? m;.____.;:_;__-_;=_ j_---. __' De lo, ,esu_,a_0
'_?_'''c'".-_ê-:__'--__' r_
_____'_'___o____-."._-C__''_ _ Si 98__F_540N ambo_ btoques A y_
_ _'i'_e'_''
;__' ; /! _2_N fe_S___ eS detlf, l_tent_ deSli2ar,
' ' ! , . N--
___ _. !, '. . ' Si F<_80N ambosbloquesdesciendensin
_, _ '. _ _ _ resb__A _s_cto de B a menos que F < 60 N.
__,=_i3___ __ __ _ _ "i__'_N _ si F < 5qo _f_ entonces e_ b_o u e A
?,_IaN sobre 6 hac_a arr_ba_ pero e_ b_o que g
segw_en reposo.
429

__vpcppe6elnmrocoeedrsaot_al0a_fualueelf2arza__/_______>___l_____nsd_d_____y_________n___ee_________/_x____________/ms_4mc__p________f________v_________n___o_h___e___________________________n________h________n__v___________yl____os____v____t_____t_____d______________tt____________________t____________0_____e____________t_________________________________d____________________e_valo_fd_ e la fupeena r___ _t_srs2_ _t,l__f__
__________________tht_________o__________0_______________t__________o_______________0r_____tv_____________________0_____________t_____________v_________________________0_____________________v___________________t___________________________________t_________________________________________t___v______________________________0___t__o_____________________ttF________/__J|__/__ _t/ o
Lumbrera_ Editor_ fjsi ca
PtO_l_m_1_ Como el cubo n_ se e!eva de la superr_cie y
Un cubo de O,5 kg re_osa sobre una _upe_lcie tampoco la hunde, entonces debe verinc_se.
PJ3na aue está inc_inada 37U respecto de la _F(_)-__F(_)
ho_2onlal, t_1co_na'_ndicalaf_g_ra.L_év_ores De _a F_g,ra de___c_-
_e-_e tom_r l_ fuena F p_a. que el cub_ deslice?
_ _ /_ __- '
i l
c_!,b_ y el ptanç _nc_ _,n_do e.s o ,g y g _ _ o _s2) ReemPl_andO en (l) tenemOS qUe rs(m__) = 3 ,2 N
Ahora en una vista espacial, para mej_r _-'_si6n
_ _v-_--_ _._ _as_a_amos solo a los componentes rectangul_es
__,.-.=_;;;-;.-_y__:_N--:;::-:________-_:::'''_;__...;''_:';._i;,,..,.,_.., de la fuer2a de gra_'edad, de la siguiente manera:
' ' -' 'i__,,!_'_;=_'__ ''_"___'n_0. _ _. .___;-_.__-__?_-,-:;__-_____A,.,:___;;_'':.:n'.;!__,_'__::__,-., . ..; ' ;
. __ _i: , _ F S_i _ido __-'-^'___.__--_-.;- -__-_--;-__.-:,,''"' _''_. :;;____,;'_:.;_;:''.__.,... ''_:,.. .,
-___ ''':' '';'; _ _ aF --_,=_--_,=-d -__,;'_:;_:;:_._i: .;;._':_:'.:i:_:v''_'.:..tt..__..
,- _ __ ,_ ' ': ' ' ' __ _ '- _-_ _ _iy_ _-_ _c ?-:' ':_,;_: __;; ' '.: '. ' _:;.. ' ''. : _ ;'____' : _,' ;;___;,,_:.' _.;.,._;n :_..!..; '__ : ;; !,_ ' ',, _. :,_, ' __ ; ' ^ '' _ :!.,.4/ _' ,.
-':n^-;-_.--_'_____-------___--_;__';:::?_'._:_:_:'_;_:__.'':_'._. _ R_ttd f_ ;.:______S__._ '_::''___'__'_-. _'_''''_,____' 3N"_ '
0_-_-______-__m-_'_'___::_i_'_'_''_:_'4___ _'X ' _'''_'::'___!'_:''' ,.''._: .?
- --c__n- _'-; _-9 _n ''-' ' _ _' _v_ ____ __ ' r _ 'i_ __ __ _ __ 0 i
---_s;.-___.___,;s-'- _ 3J_O_-t'' . ,_ .,.0,,_;..n.,;_.;;;..;.. 0 ,_0__._'_'_.__,,..---_--=/_F
Fs ___- - -_- - - - ' _'_'__'_P'0'__- ___,g_,,0g_,,_. _...;.:.'' ;_.a.;;____ ///'
R_oluc__n '. ' -;_-j=-_-_--v_-^__'_'_o_''i, _''' , ''
_ c - , - _-__-___-__=-______-- i_--_i:?'__,t:';_'__!_v', _,:: __, _.,. _
ara que el cubo ernpiece _' desli_wse, se debe - _v-_i-._-_-_^=-5__;_q--:=:;'.;::i'__':;.. v_'' _'_
.ento esta, t._co m___mo _ '' 'n. __ ___' ___ =:_;;'';,._._':__''_ ' ._.. . _ ':,,. ;
i _ ' _ _'_ _' ___' :.__, :__.n_;::''_''''____''' __''
_edebidoa ' '' n, ,_____;:,_,__;:.;__''..:_: :... ... .__
CmI_t_ '_' _ ' _4. _'_'m '' _'^,7_r;; '_''' __;._ _:__._;__'__:_'' ____ :.,?......;,:;_.._ __ _
norm_ ya que d_ 3N (_ _ _ '9 _.. '_s'__, i__ - _ ' _,' ' v_, __"___: __ _ ' _ _ - - ' -
'___'____:'''.:_,'''._.;:_-m--__-v-___---- _'_ _7-O_ _ ' '
i,(m_)'_n (l) ''
_ Notamos que el cubo intenta deslizar sobre
afa C_tUl_ el m6dUlO de la (Uerza _Ormal, eS ?
-2__cu_desdeun,_.stade ___ la dirección Y' debido a Ia Fuena F ya fa
. _ vez intenta desli2ar en la direcci6n -X'
a a SU_e_Cle, _ _enem0S
debido a la componente de 3 .N.
Fg_5N ' F0 _ene a Ser la CeSUltante de F Y de la
,,';! '_. com_nente de 3 N de la Fg.
,_ !, __. _ rs_ y rs2 son componentes de la fuer_ de
; 3N. /,/ rozamjento sobre et bloque.
4 N c7 ' ,,' _ consecuencia_ p_a que e1 c,bo se traslade
,_v,__:, i. ;;.:,:.., / ' fas del plano incl_nado, se,_ necesan_
'i__'^_m___ ;'_ __.:;_:4_!:'>''_'_
^'__ 'V__,.:_._::i^_:_4''D_
__^__.,0a.0_,_.'_;_^'i, r Fo > Fs(m_)
r__ ;!37o
,3_7o ResoI_endo
_._,- _ F> l_lIN
' '

_cNctoo6nn_es_es__ceu_qet_rnuece_s__l Fasf,t/u_oteebn1_feNe0___e__a__0_________n_s0__l_________am_n0___t__d________________s__o_c_______ae_________ln_t___a_tcl_au_l____ce___tn_u___Rtt_aans_ce__fs_ttra)ecs0fnudel_crzl_0a_ns,__ s_emn_na______m_Fm__mgfµn_sl___0+__2_s_ t4
CAPíTU_0 Vl_l E_tátic_ y Centra de gr&vedad
Pt0_l_m_ iO de d_nde _e deduce qLie _ tama su __enar9_aior
Unaca_ademasa m reposasubreUna Su_ef FlCie cuan0o s_ segmento di__gj_o _ue l_ re_re_5enta
hOn20nt_I tal COmO Se indiCa. Det__ine el __U10 ienga lan _. enor longtud y elIa _e dafá cu_n_KJ ge_
0 de aplicaci6n de fa fuerz_' F y el móduIo pe_end_,cui_, (__ a _la ,eacc;__n dg1 p_so (R- _ _
mínimo de esta, de mar_era que 7a caja empiec_ D ,
el t_aß_UO feCî
a resbalar,
_+ í90_0)=900
_, ,,,._...,......,......... g .'._=_ elIJ
0__'j,0_X-o-__'';-::,___._.:__::i!_:0_ (lI) e_i (l)
. :;__ i_ :,_ :_:_ ___ .;4_;,_,,__;c__ '_v ;_ '_- ; _'_' __;__ ' _; _i ; __n_, ____ _ _, __ -,c _mn__ __ _ _ ' ':_ __ _ _ ___ _'. ___ ; _ _ __ _. _v _' _ '_ i_ ___ _ _ _.,: ' ?.
tan0=_s t 0=_ctan (_ls)
Resoluc1ón
p_,, que ta c_J, emp_ece a resbai_r, _qué Ta_bién del tr_áng0u1o reci_ng___ de iuerza_
condición ser_ necesaria? El piso estar_ d_educim0sque
empezando _ ceder, actuando con la fs(m_J. M
gr_caremos las fuerzas sobre la ca_a.
__ ,_ F Fm_n=_sena (li1)
_- 0
...,.,_,___......, ,,_.. Pero de (l_ tana=Ms , ent OnCes COMtruim0S el
i_'_^_:0____'_''?V'__'_,__,;:_'_= _'_::'.9'_'_', :.''_'O - 0- - ------ t__g!_lo rect_neulo.
___'__',__ _ _ _;.0,__o_ii___' __ _: ';_ _. ;____ _. _ _' _', '_ _:__,
__:,:._: !?__;j_'i!_________;__';'_ ?_-:'_;_;__.____M. ';.:?,.,i:_: _ _. _ _:.._!_'';___ i__;'__'___:_,,;___'_;,_:i,__;__;:i; _. _ ?,_____?q; ___!.;=;_ _,.;s;;';', _'' '-qm;'_, ,_.
//f à'_ ! a
,_ N _____ __ _
_s
Fg_ F y R _ el ngulo de rozamiento ta) queda
deF_nido_r t sena_ µs
tana= =
N Reem_l_ndo_ en Ia ecuaci6n (Ill) tenemos
._. Iana=µs €2J
' en e 1ml e OrmamOS i_n l + _sZ
t__nguIo
_ Con este vai_r p_' ra F hacemo_ que la caja eslé
a punto de resbalar por lo que con un val0c
_ ligera_ente mayor que el sealado _a caja
Fg__ , o. empe2a,a,'
_ //___ . m_µs .
,'__/,_ '__x__f I+µ2s
_,.__;_-'--

___ps_e___e_c___0ql____nau_t____l__0_0_____p____________t_0_n___t___r_______r_________________0___0h__0__n____0____________o_______t________________________r____000_0___N_0_0_00_ __________v__t__F_____t_______t_ ________0_____y_____ t ____F___%t___________>_________t spnh_e_o____fmanu_oe_ s(t_c_cf0_o_ __m__ o_ __aos_ __a8_d__ __u_ )a_qs__ud_ell_bun0Felo_o_____l_)____s _ _en0__d__teo
.,.:, _O_E_T_ __ U__ _____'i' ' EQ__ -.= _'_08_,i__ _ __i.='_'_'_'___a.i'_i -_U____,'__ii_,0...','_ -^g_-__.___''___.5.__...
_'": _'i__, ''_i'0_ __,0'_.,__i,_lO_ ___ CL e_i_.0__.,Ulii__lO __'_n-'_'_,__' '
i. ' _ 0 __N__ __- _ __n__ ? _ _ - -_
' '' ^_' ''__7 '_ ___t,____ V_,i__.'i_i:'"_.____:':_?._ '' '______' ' _._, X__;;; '_ 'm'___ '___' ___7"''" '__:_'_.' _;;n?.;_:!_,.S, _ _' '_;_._' :,!_,'?._;_.__;x.,_,._n-:;_;__x_:._;_'.__.:.,_,, ;_,, ':_, _;,_æ','__'_?;__;____?-_9 .__y-__;_v!,_,' "''._,..._-"-_,..._._,__-_';x'__'_''?-_' ''-';:.'_:..;.' ,_=.__.i. .:.._;,___;______'-g_9_-_tw____..;_.X_.._'__;._,;:.;',.h:__'.;_._:.'5'' _-t______..___,__:__'.__,..t,v_.__;,,_!._;_?_'n;___;-__:___--__-_'_. :_:.,:;, __._:_,.:;_._m, ___ :_s-_'_-'-___;_-:'
_ _' __,,__' _'____,__,, ___, '' __ _ _'_i__.,a.,___,,'__ '.':_'_ _. ,.. ..,_. ._._ , . _ . '_'_ .:,,.,.;:_.h___æ',,._ç.. '_::_,_;:__'':;_..:_.'__..;;_.;;..:_;:..i:____;'__. _;_;'',;e. ._''.;''..;.. " ''',:'q:;=;__-'_n___-____--:;_.:_' ' :_'_.;.;_..''. ''__'_,'.;.._.''v.. ;_._.,_;___v__;-_-q!,_;-_-____-.;.-;n_.:.;..___.:;.::__;._.''i'!,;.;,:.;:'_;: :''w' -_-________y_______;,-;_.._.:___;:.'.:.,_..;..___. ;_:5_Ji'':_:.__'''.';'?.. g_g,s;-'_-__-__--_-__._:,:._,'_'_._'_ ::'_'':''_;m._?:._:;'!_''___:.._..,...___c= ____v-____-_;--'_-,;_ ,_...;.;_',_.':.,,:;;_.__,'_'.___;_:_-_-.__n______-v.=,
Es importante te__er presente q_e una Fuer2a _cantc_ndose !a barT_ en reposo se cumpje
al __ ct_ar sobre _n cue__, pue_e cauSar una que T _ _f, Si ahora aplic_os a los extremos
S ____ de e FeCt05_ entfe ellOS __dem_S menCl0nar _e la b_,_ra, fuer2as vg_icaig_ y, opuegtag __ como
lä' d__'_rmaCi0n de un cuemO_ Com0 tU_ndO Se
estirc__ _ comprime un res_rte; t_mtJién puede
C_,__S-__- __n __FC_Ct0 _!.__ Ser_ __-_, ß_eSti_ inte_S y _, ........,...,....._...... ._,...,.,.._.. ,, .v,_, ,,n,... __..,_.,,_..,,. ,. .,,,..v.._,._
tratacemn_- eJ-_ 2ste _?un__, _l efecto _e rotac_n_ F2 _,__.,,.__,. ?!_ _
_sto___periibi__sc__and__napue_a_eabfeo . .....,. . ,. 0 _''____,, ,, _ ' ___.____t.
_ecca _eb_do _ ;:-_ _, e_z__ ap_i_ada p_c u_a __ '_ ___i''__' ''''''_'' ' ' i' '' F;--^---- =_''''_ "_ ----, __'
d_.6 un _F_ _'''_'i ''
ef50na:. 0 ef mUVli_lent0 _ t_m n de
automói _ebído __ Ia_ fuerzas aplica_s por las
_nanos de;_ tonduc_or. Sie_d0 __ = F2, la _Ue_a reSUltante S0b_ __c
ba_a sigue siendo nula_ entonces {a b_ra _
0__0___0,.. 000000_000_0 mantle_e en eqUilib_O de tras_aCiÓn_ im em_t
" 0 __0.,,,',_ __,e_________ _ i '_', _ _' _ e_ _' ' _ 0 ^_ 0_'i _' _______ _'__.,__ _ _'0 _00 ;_5_-_K'g_-,__,n_;. -'' a _u_ de d__ch_s F_e__ _a _rfa rota en sen___
___'__i_ .;_'/_v:;_',.0;,_''__'' ,___' '_i R___00 _' :''_'____'__,___:-__ '
__,,___.,. ._i_._,_,,,__..___,_;0______,.__.._...''..,. _..;__0 =__.0_. .,:'_.,._.,.., . .,______!__,_____.__,;_,.e:..,_,,...,;o'.._., . , _ . .
i__..:;.,__'_____^-w'-:____i ._;;__i0000000 __;-_,,.;.-;..___ ,_00_,.,0__,ii,_C0,_i0,,... l,._,_i_i,.ii_.'li
0i_a._. ,____:__0_'_!! -:_._^'i_ ::'_.0_0000'0 _____-_-_'e^?''_''^__ _'_''''' _'i_'_|i_ --''__i_0'V'___''_"____ EntOnCe_f 1le_amOS a la CO_ClUSi6_ qUe Ia
0__i.i",v.0,.___;:-'^.'__!._,_., e;_000000.0 ._0:_.'''_':!. '''_',. '' _,_;_ _ _'',M,:C_
0_0'i_..i,._c.__;:__m.,;_:_?.._.'__v,i.'i, i.;a_00.__000 ''' ^'___.,.,.,,_i_,i_.,_i_a___..,,,i__', _mefa ndic__n ee __ n n es w_ci
__'::___'..___-_-__--_._'_'_0_-_______-,____'' '''-'''__0_0_0'8 _ ,,_'':_;y-.,--_:-;__:_--_-'-::_;.____...
._m....,____..._._.,,,;,__;...,...o-,.;-,,____._0_0____',i ,.__......,.,''"0_0 '-/-_^_&_'''''''' par__ _araniizar el equiIibno de un cue_o; se
'' ''~__ ' _s___ _'_;__'__''_' ___. ',_ _0__ __,_o,._^' _^_ _o___.__ i _'S__.__'_____. _ _'_'-_ ^0?^'_-_' i' __ '' '^0 O ^ ' requjeFe de una segunda con_cin. _tg nueva
.me,a cond,_c____nde eq,_____br,_oasegura condjci6n, c0mo podemos entender, estar_
____b,__0 de t Fag_gc__6n de un cue,po., s-_n re_acionada con los efectos de rota_6n que
e__nb_go_ no aseguf_ _ue el cuemo __o fote. p_f pued_n cau_ las fue_ que a_ú_ sobre un
ejem_lo, consjderem. os una ba_a hom_genea CUe_O y eStO 10 _demOS t_Cten_ C0n Ma
su_pDendida _n su punto m_dio por _na cuer_a maenitud _sica a _ cu_ llamaremos Mo_ento
atada a1 techo. de un8 fuer2a.
' m- _- ' _' _'''' ' -- _ momenlo de _ tVerza es una magni_ud
nsica vectonal_ que mide _ erecto o posibIe efecto
7 de r__ac__
_._.;.;==''' ._._.'.. ,._'=_...___==,.0.' .....= ''..;..__, ..
F,
_nbo d_ _o_ent_ (G_.).
_,, 2

_p_aac__pscutu_Fe000000m00_0tt0_;_____0t__0____r_dan_g__atm_0?u_____n000n_>s_t0?_0_?00_?tn_____a0_?__l_t?_0_0_0?(_?u0_trfh0_0__0?0et_?tDt_/_a___l___)_lv _t _____p Ft_0_c00_00nc00000__??___000_,__J__,t_0n__v__l__0_0_co__?t_____r_00p_nt;!t_?0___00?000v00_?___0_?00000000000?__ ene__dgerf4a__e_n___%_v___cc_________c__0__t___tt__________?________1t_;00000000_____0r_eJ____l_Dn?__!1_J___ 39
CAPíTUL_ V1 l l _s{ática _ Ce_ir0 _e gr___e___d
A_,or__ _de qué depende el e(ecto de rot_cion T2_______; '_S e. Vl___ lte ____ U__ __ Cr2_ a___'____
c_usad-0 por un_ fugr_a7. _0e- qu d___nde ef !l_StO e_ _i __!_ _e fOt__i_J_ i__ _r___UC_ _t_C!U __
? _-utaci___, _2;'! ____mu s_1cedc _!_ e; c_,_o a2 la _'__!__c_
.deren_os e1 e_em __ de una ue__ u_ cuan__ à_j_.c_os u-n___ (_;__a l_u_t_ en i.__s __is__ î- _-e_. ,
, iI_c1:.;s__v_ sj n_ est a_ljc3___ en el eje e rotac;'ó_
UedC F_tar _n tOfnO _ SUS _fSa_raS,
_ast2 ___e _a línea !_ a_,_ió_, __ _a _'___r__a F___se ___
0__00 000 r _i___ C7j_ _í9 r_ q_l_ _O SC µv_ __U2C_ __t_C7 _r_, _^_Jm_
___ 0_ 0?__'_ ___?00 _____nd_ em__L____mus la p_Je7_e t___ ___m0 se_ mu,___- ly,_
0___,_._,,,. 00
_?n,_',- __0000
_,_____,_?S, __- ,'
__ '___'j_' _i__.' ,, , ?_0_0 _
0_,_v_ 'V^ X___ n00?_0 _ _??,_0,_?_e_0 0t 0 '
_;,_', ' _0 _5____ _ __0_t
_ '__5_, ;''''' - __. 0_0 :_q _ __ _ ^ _'
__,e__'''_,_, ' 00 0 _ _ ,___ ' 0 !j_
'_nv_'v' _^vG''_eq___,_? _ v, _ _ - , ' _ _ _n 00 _
^' -' '_' _ic,_; __ _ _ ___deacy_._ _ _ _
9; _ _y ^_ _, _ _ ?, _ 0 _ _ - - - _ c _ _ _
5'____1lC___OSUnafUeCZa_eIG5d_laSblS___a_, G-X,^ '_-'' _ . 0 r
_,_ con F,c-,1_,d__ esto es 1,, 4,_ _ gc_,, __ ' "__s __ _,
_2ar d;an_amente , _n; _ _ ,, _ _ _v _
MOF_, S1 3_lt__M_S __ ml5ml 4 fU_r2a _eC0 en ___,_ e_j__, _v_s nece__dr3o _n__e _,_, ,tj___,_ j_ e_ c?_i_,_
_CdiO de la _U__t_ _5t_ t_mblé_ _Otaf_ _ __rO COn _e l_ '_u_rz_ n_ _a.se ,r__r e!_ Centr_ c_e_ ;ot__ _jó_ ___
n_e;__s faCilida_. _u_ __a }nrnc1__ _7.c_un a?ec__o __e rot___i_n. ____ c_'_/m_
samue_-tra
_ _ n000_0n0000__00n__00n0 _ ' ' ' d0000000___n____n000000000
:___,__ ___0u__ -'_' -____n^__0 '_ _'''_:
' , _ , _0,_0__00 ' , _ ,, _00_0_0000 ___'__ ' _^?,_
0'_ _ _ , __ ^n 'n 0 _,t_, _ _,__ , _ ^__0 __f_,de _,_6, ___ _go l,
_?,'_ ___ _ _,__o_______ 0_ _m_
v _ n _V_? ___v___ _;r _i_ _ ___J _ de_n_ ____c
' , _,___sn1y(c_.J
-? si a__ica_o5 _a misma ruena c_cca c___ 1__
bi_a_faS ta PUe_ __-fa P_rO COn mUCha di FlC__ta_ __ __ste ca5__ __ _, _r_o de t__ _____ c__ ec l_
_e _Ste ______0, __t_t_m_S qU_ ia C__aCidad djstancj_ n___ ___r_d_ desde __l centr_ _e mome._;os
_e _na fUer53 pa_a prOdUcir r_t_ci_n n_ has__a la línea __e e_ci_n _e la íuer__ Fesui_ar,d0
so;a__te _epen__ de su módu___ _;n_ tamb_én o,ue son rr_utuamente pe_endic_l__a_ :'_ _ _ ).
de cómo y dónde esté apjjc_da est3 fue_a, es Por !o tant,a, e_ ___1!_ de; momerl__ __ un6
decjr, _eFen_efá t_m_ién dg u_a _istan_ia __? '___ __ _t'_' _Ua a5i
_____ __ _m;_____ _____ _e_ _a _____a, __'_ 4___ a _na__r __ __on__ F .d
_____o _e _a __e___ _____c ___r_ el ef__'tc _? __taci6n
_3r _,yo, s,r_ su m,__e_to Uni_ad: N.m.

__a_ dt __(___m______t)______ _F _ __ __ _ ____M_o (_____l___t|___0_?/__t___J _________t_____s_r__t _s_f__6n__lfl__n/l__
Lumbrer_s _ditores fís i c a
_a notac_6n _ se __e, m_dulo de; g, Elmomentode una Fuer2aesun_ma njtuJ
0_ '
momgnto _R la fuena F res_ecto al punto 0_ ve_tona!,_arloque sepuede represe_tarpor
_onde O es gl centf_ _e mom__ntos (c+m_J. Un V_C_tO_ iUya __ICCClÓn eS D_ ef_en_lCUlaf _l
plano de r_tación de F_nidc-_ po_ 1a f_erz3 f y
Pr0_t____e_ t_ djst_cia _se_ún la r_gla 0e 1a m_o _efecha.
1, _l _r__ _e un_ _u__n,a (_/_ es la distanCia del MoF
centr_ __ _om__t_ (c.m_) _ fa I ínea _e acciur_ ,,'
_e Ia __e_ y no c__mo se suele confundir con _ v, , __
.,sf_n_,_a_. d _. ., d _ f _ ___ _'_ F
__nt_ _aFllvC_Cl On _ a UefZa1 _ _ _.n___:___ .-
_ _ ene_ _____co_tgn_or -n-___.V _- ' _
_Om___'r_Jeln__ _'
Aquí el _r_o de F no es Oi, sino O,_. ____d ' ,'
2_ ,_i ___, ;a, lí_e_ de acción de la fuef2a m-'__ _
pasa por ef centro de momenlos y no se
produce ni_ú efc_to de rotac!n; en este c_u R_ci_r_ _
gi_de '
_s __ a .,_Y___ _PW___+
delm_1n_to
0,0 __c_bna
-__o 0
'_'
Tenga en cuenta q_e el momento de una
_1 F- _ fuena es un __ector libfe_ es decir_ no tiene
_-
,__ n_ punt_ de a_7icación; ___ lo tanto, pLRde estar
__ _v? en __u_!qu ie_r __c ta p_releIa al ej_ _e rotac ión.
O
5_ Se con_'iene en tomar como positivos _os
3_ Si ca.mhc_mos __a dirección de la fuerla, momentos _ue tjene___ un efecEo de fotac_ón
__t5remOS_U_ S____aZ_ t_mh__n Canl_lay Sl en sen;ido antjhura_o, y ne_etivos los que
_T_aIIten____S _1 rn__d__O de lY fUef2a tienenefe__toderotacjnensentiduhofano_
c_m_tante_ _l __0mento depender_ _F ?
_J .Mo (-)
_n_Can_____t_ __ S!_ br_2_+ PUf lO tant__, _1
e_0In_N___J ___rá_ m5iin_J c_a__ do el hrazo sea _,,._ ro_c,.
.T__ifr.n d _ et_tto __1u.fre cuendo _ es _anr__a _'
Femen_i_._'_a_ a la l1a__e. _
_, _ _ _. E_ eferto _e r_ta__ión de una fuer2a y su
; respecti_'_ momento so__e _n cuemo_ n0 se
,o m_if_ca cua__o a. la tuerza se !e trasIada a
d_ lo largo de s_,. __nea de acción
f
! _(m5,_)- ' (m__) ---- ,_--. _.._
, lj _
,' i'd <> ;d_^ ' _
n _ ! '2 h__-;
- , 'P ', P _
Mp-- -fxd Mp=_Fxd
4_

___L tt____t___________ __ _d__ _ __3m _ _d___ ppl_tF__c_e_l_6Nqn__o)_r________/_d_egedl__nup(cceulmretteonn)nntaae_lqgreuu_cnneaop_5sye__t__e_uptcno)_a_or_sJedolr11e__(o0_t_on_sGr__g_a_f)_eec___tlo_wp _sr__r_lc__ce_e_ss_
_n_íT_!L0 Vl l l Estática y CentFo de gravedad
__eniplo J l r__a dete_m.inar el momento _e c,_da fuer__a s__
Delc_rrnine e) __om_nto _.e cada fuer2a v,. el de_e dete,__jnar el bra2o de cada u_. ia re+sp_cto
mc_r__c__tG r__s_f(ar_l__ reipecta de _. __p!___mue lo de A, pa_a el_o se traza una pemeEi_!_cul_r _ _a
que está _currie__do. Iínea de acci_n de cada fuena, _esd5 A.
Lu_ _€o
_"j,J7_ F2=20_ M_,r____Fd __+ 2,,-N 2m __+5oK1
_n i'
'A"-22-- _ _-_ '
F__2_N _ __
' F_stand_ aci'_culada la bar__a en, uno de sus
2m _ e__t_R__o__ _ entonces sobre lc_ __' rr_ se t_.ndi'á
, a_tuanc._u una fuerza de reaccir, de _a_e de !a
A_ artica._la_ni0Ó_.; pero c_Jmo s._ _ur!tc_ __ aplic.m_.j_r_
- - c0i_,cide c_r_n el centr0 _e, m___ent_i5 _4y n0 C_i_Sa
_esol_ción e(octo _e rot-_c_,o/
_ecuerd_ qu_ cada fu___ e)erce su propio ef__ce_
sobre un c__em_. por consiguien. te, _ene __u _ropio
mornento Fespecto de _. estu __!__nnc'a c___e el cá_cu_o _!, mon_e._to r_su_tante _M_es
m_mento de L'ada f!_e_'za se de_ermina en Forma
C__mo 5e puede __tar, a1 actuar ms de una
independ!-ente.
UCrZa SO_re Un CUer__, eSEa.S tlenen _SOCiada
_n P_tc C__O_ COmO no Se da lnfOfmaClU_ __ CefCa
tC)____l_O, SU feS_eCtlVO mOmentO, _.5 CU& e_
de Ia me_. ___ de la b_- rra_ considerarem0s que la ueden te,e,unam_.smad_.,ecc__o,nod_.re__,_,_9,,
_erraes_emasadespreCia_te_entonceS Fg-_O. contfar_as, En el e_emplo qu__ estam_s
desarroIlando F, tiende a hacer rot&r Ia bar_c_
i. i... ' en sentido antih_rario y _, en senti_o horarin;
3 m e. i_ ' F,__ 2o N_ P_- ro como es l_ico_ si la barra rota, r_o lo Po_r2
!.'_ _ ', '- . t_acer _n l_s dos 5enfidos af mjsmo tiempo_ es'
F, _, 2_ _. __ __''',' i._ '''' '__ __'ea c'_ _, _eci?_ o _'_'e_' r_ta en s2n'ido h_raci_ "_ bjen R__'
, . _. _,_ '__ _C^_6n e 2 sentjd0 2ntjhoraTjo. _er_ ic___ s__er estu;
t_' " ' _ _ g, , _
d,=2rn_ ___'i,0_ '_
'_'' i _ _5 __ O eS _eCeSanO COn__CeF e e eCtO r_SU_tant__
_t__'' 2_ ,_3p 7_ ,_
_rcm) _
' ' __ F__d_'__n. _ebemUS detefmtnar Un m_me_to
Ah__a,dete__nem0seln_omentodgcadafu__-__a. _esult_nte M''' y tat moment_ se detecm_na
_,r_ este cas_ solo determinamos los mu- me,_t.os SUmal'I_O V_CtOn_mCnt_ a lOS _^urne_tOS de C_da
de_,_s_ fuer2e_- __ y _2 ,el'_f_fm_jnde_endi..___,e_. fUeFZa. L_e__
__te _UC St ff aCtUaf_ S01a (5ln COn51d__'_r ta
_CC_Ó__ t'2 ), 1a b_na F0t_aa en _-ent1d0 antlhOra_0, __ _eS _ _ _
- 'A- A
fCS_ectO d_ A_ _ntOnc_S ___.' _.
_efo sj c_nsideramos s6lo la accjón de F t tr_t_ Mt'_ _f,
1' A= _ _ _"t +'
not_-reInus _ue resFei_ta de _, la b__ rr__ rota_ en
ser,t;doho,an'_entonces Mf2() .'. MA' _-lON.m
, A -'
435

______ ______ _ __n_____ _______1ll ___t__tt______p________ ____5__________J___ ___________t_> t ____ ______l____E____ ______t_____J/___ç/__r_______J/__D__0______o_____________________tl_______ _l___ _r________ __t_l
l__mbrcras Editort_s _i_- i_=a
_nte_r__tar y darIe un ____ti__ __si_Nu aI _cs(1it_c1o ___l m,x_. mo m_d__ _ el mc_n_er;_G r_____!;_t,_. _)te _._!___ic
o_t_ni_o r2u es n_l_)J c_In,D1;_c__ __+ l_!n ___rf_;._nt_ r+-) in_i___j_ ___ efec,tu_ ,___t_ _e f_t__-;-n;__. e_n _c.__-_?3 ___idu
resl lttmnte _iferente d_ _erc_. in_ice un ef_cto _)eto a!_ l jhnr_rj (_. _;_J tJ_Jr___ .__ _, c1c _r,._)cd i,_(._ __r- ,_c_ l __
Û_= r_t_!__i_n, ta quc _is_ n. i_5ca c,_-'.__ Ic3 _arr._ rc1t_ .)c el pr____7un€_: r.,_u _7__>-_!_ie v__ __f ___.____e__(___ f-__._!)t,e;_.');__
sit___ ! ___J (_-) inr_! !_'a _ul' !x_ h__c'c_ _r_ i__)I !__ ____rar_,_ ta l (_ le__ n1JIc)? __i,._ni__c_i-i_ _u__ __'__x _e_ d__s Iu_. c__'c{__ t(_s
C1__:_iCJ. SC lnUC'Str_ a rOT_tiflU_r_'J_Ti d_ fot_ciÓn e_ ?C_.t_(j__ t)of_-_ (i__ _- ___) scJ_{_({__
r: ' ' - _ _ _nIih__,ùii(J' (j__ (__J__s jd.__ (ueiiá_ se c_J___ _)î_r;_,s_.__r__-_;__
x; ii '__ que nG__ !!1___cx_n__ a l7!__te__r ____c l_ t__-ì _<_ _n i____'ar!___
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: _ t__ .' ' j _j _,' St f__a l1____t_ t__C__ !0 Cte _'i_nef__ __if__)P, _S_
' _ '. ..' __' i _e,cif s;__ v_n,_., su __,,..u_.c___d __c, f__,,_,,,J,_ n
'_i._,_',,i_ ___to _!i!rn__ a,ue I)e__iJ_ _feI_t__a___ ___.
: ___ ì __ft_CiSíxmC__tc ___ !u c __e trd_ td i__ Sl____,!n_I_'
_. ____i_n
_ ^ _ r_Un!.l;____ rl ___r3 _.S C___!__;l_t__,_ir;
__'____,,__F___ _,e_,,____i,_ Ci..,'d.__,,_____,____.-_,___,''_,6N _i,_,_'_RA g_i_';,,___ E__l_l____ __c____0
Cllc_n_o .se __'m_i____ a a_.i_;'izar e _n __L1ert_o _. i_____oc!cu_>___ rr__e ?_,__.'__;!c___.!__rl _.__;._,__;_,__-
e__ r___c_s_. nc>rm__,_aln!_r_re_ _c _!-a__1tea 1a __'imrr_ {_______s__nf_ í;,J -_,- c__
Con_ic___J__ r_ara et F,4_j_itJrio; __e_o 1_' _rác1ic__ n_s
ml_L_st?-_ _u__ n_ se_ rc__cUeI_'e c! estn_o _._a c__iì_'tJn_ _ _? i
c_,n_;-,;_2_c, A!_o__ su_g_ l_ __e__u__t_ ,,_ quµ t__,___, / ''_
'^ '_ - // __
mnt_ est_ __-itì,c_ll__7_ _,_.l l,_ c__-t_'ttîc_ c_''L____e c)tr_ // /_
r ' _ -
c_nc1ic!!__ _______ ___! e_-uii__'_no q_.____ p_r!__!!t_ ___iir _c ;,_ (s_ _ ' :'
e_t_i _i_c__ftac_3 e;s l__ _lam____ ________n_a C_r_r__i_iun ' _ _ t
_. v,, e_ Equ_._;b,.)o _. gecc,;_.,ico, 1, c,.,.,_ _,,,.,.t,,,_f,c_,.. . ,' ' ._,0,... ,d.; _ _ -
''' Un r_cJe_'_n/Ju _se __nrlIe/Jlry _n c_uiIiUrj_ rle _..,... _.'_ _' '
rDt0ción si ,v __o/_ __i eI rnomento re_nuIt_nte s_o_re - ' -_
/i-u,irL?s_c___=un cunIq!_jcrpiln_'_ _snut_. _,sto __,_ _.!,i.c4 ___ _.,__ __ e _ _ _,. _ ,. _! _,_ , _,__ ___ __,_ _ _ _ 3!_
_,___e,_f :lcei______+'!n _-n5_lJt_c_r ___ ___;_;__ _,___J__) _c-
!a__ uj1jh,.__ de_ r_t,_cjór ! q __ Mx _s __ o j CU_ _l_tC't'_n _3r_ ei e{__tlJlllt_'T_(' __C i?_'_r._i0l) __._- _i___C
' ^__ __ _. _________er tn___i_nte jn st __ u_Juier_tc 2_____c: !',n=
_}_zc}ra __f e_u_'__i_r!o de ?,_teci_n se p__e_e ! __, ? _. '-;
,,,,,nt,, e_.,. _,u_, ,_ ;,_,,,c;,f),v__ .. __J4f __ M _^__ j
q5e_ _ura el __ __li}i_ri _ cl e_ r _ t a L_ i _ n
l. C_dnd'J e_ cuerpo no _ot,a' es decir, __st_'_ _n
iemoso t_ -_ _-ô). H_c'iendo _'so de la cinem_jti__a (de rotaCi_r_)_
_e rlt__t_a __e lln cuer___ _ist_r_' e_ __q_1jf;_brjo _e
r_t__ ci(Jn si su _cc_era_ión anguJar ei nu)a
t
;'- u?_ ____o!
= t_
_____-"''.' _=;- ''__'.':'..,__'.__'';__'o_ _, u_-_c__e. ,
036

_m0 _ ___ _N lt___ p ____x___ __t __t_ _ __________t____________________t____ ____ ___ ____t___) __m_tu_ert
_um bceras Ed itores fís ica
Resolución _i'.,,., _'' '^o._,__, __'' _'' 0P _'_"__'^ '' '___ 0'_i''__.=',.:..d__'=.=='..:. '''''i'''_.._i__i,_.
En est_ casa, c_mo poden_ns n_tar_ ia b__rrx_ se 'q____,_'''^''''_D'''___'___'''____'_''''_^^''^'O'^''''''^''_'''i0'd_i'_'''"''__''0^' _5'
,_e,ntr_enre oso adem__, nn, r0t2 ent0nces ';:'' De+s_UéSdere5_lverestee!_e___iìIu,p_nde_n_s ;__'
_abarfu_. , ene u_____ f_l n_c._ n/nl_co sobree__a ;, S__Cr_fUl'la____1?__lI_lCJn_r__t3__iß_r__ltPC_10f. 5',:'_
. , __' CuanclO se a_ii___ !e e___iti'Drio _e rulracin cor_ M__
_e CUm_le la _rlmCf_ y St^QUn a Con '_CtOn e ,_ _
_ . __ !__n SOlO dOS rUerzc_5. _u_ m_d_jIU.5 _Uardan '_,_
C4l__llbC_O. ___fa _a_7_fnOS e! D.C.l. de 3 Darr_. ''' . . . ;'
_,_, f__2Un__ InVefS___ _ _S J__t_n__l__S qUe ay a q
_ '' __ diCh____ tUefZ_S. ,_,
T __ ,,,..,,_,,,,,.,,, ,, ,, _, .__,,v,,__,_...,..,.,.,,,___...,._. ...__. _,,,._ .m...,.,..,.v,..,_n,._..,....,.. .,v. _;,. _,.,,,_._,,._,, ,, _,.N ,,.,, ,,,,_4 /r,N,n%,,_,'
'''' _dl--4m_- 0 _Jemplo IJ
0__''__'___-0_''_ ' '0 ' '''- '' ''' '_6_'' _"'''_'''___ '0 _'_'' _
_ ''_ _ _ ' 0 _' _ _Ctern_Ine _''lV_lOrd_larUeC_ _ _Ue Se_PtIC_
' 2_ m s0bre la __,ra homo,e_nea de _2 __, pa,,,
,..?_ Fg__O__ ^ t __
_ i esta se man tenga 1_o_.. ,..___ ntaI , = I O rT4rs
a, F '_____,_.._
,_ote a.uè Fg y 7 sun verticales_ crItunces
ne__2s_riamente R _!ene qu2 ser vertical_ o__370 _ ;, ,. _;X -._
rer-_e__de que esto lo ,_cmos planteado en la ._ _ ' - _''__''__'' ' -
primera condiciún de e__Jilibrio. _ '
_ra halfar T no _,s __u_ciente ap!ic_ la D_ nmera '
c_ndición de e_uif'__F__ ya _ue se desconoce el -
_du_ode R _0, e__e__ __ '_an'ieamos Rgso(_ç_ón '
n - _ote que las acciones exlernas sobre la b_ra son
F(_) _ _ F(_) _ __ p_no ,-,c_,._, __, c,.e,,, y _a F,_ _F
T + N _ Fg c___;ente_ en et D.C.l. se representarn tres
r_2__J._R i_,a1E_r_,_nGce___t. fU_r2aS_ COm_ laS fllef2aS F Y Fs tienen
Enloncesnos4u_daapt_cartav_p__0undacon_icjn_ _lieCC-l_f5 C_nOCIda5_ y nO SOn_ _aralel_S,
par_nx esto esc__-3e_os ü_n cent_o de m_mentos Xynt____Ce_ la !_c^rCe_ fUe_a_ la FCaCC_!OTI del P__0
conve,I_ iente, _al que e!imine ei et-ecto de rotaci_Jn ß, tendrá qu_ te r_er un__ l ínea de ac_n ió-_i ql__c p&_e-
__ aquellas fuerzas que ___r ah_;_ a no no._ interesa po; la ir_t_rsección de l_ lineas de acción F __' __q
conoL_er, _al c'omo R - ta_ cumo se muestra en Ia sjgujente _5u Fa:
Entunces es clarn que _e_em_s tom_ momentos
re_specto de O. L_ego ptentee_ Tn0s que: '_ ,= ,/
_Mo___Mo_'' ,,_' ; '__
f_ r F ;' '
t M___ , '_
_ O ! '' A
s_-'l s,..0__.______ . _ __.__
t200(3)=_(_) ' R
_ l20N '
._. r__50N
43_

____/__emp__(ot__l/___F__ _t 0_____t_t_____/_____________v_ ___ _ ________n_>______7_ _ 0 __ ____0___________6_ r_____d_tt____(__Mt/)
CAPíTUL0 VIIi E_vtática y Centru _e grave_a_
Corno se conuce 1e _ir_cción de R, como que R_solyci_n
convien2 ?_orrr_ar el trián3uIo de f_ler_as; __,r0 _n _ _artir _el gián_c_ de___c__ma__ _ue __ohre !,a ba_ra
eSte C_O C_lCUlare__0S ei Va_OrF, )laCien_O US_ _cLú_n tr___ f,uerzas: l_ atracc___n i_e> l_ tje_i_, _an
de_ 1a segunda c__ndic'aó_ de equiIibrj_. Fe,Jc_;_n de!_ pis_ v de _a pared. n_,has Fue,_as
Lasegundacondjciónse3plicadetalm_eraq!_-e 4___,, ser c,0,,,_u,,entes _2;, coma ,e mues_,r
cIiminemc}_s el efectu de rotaciòn de._ a_ue154_ s c,nt;,_u_c.__,,n.
FL_er2as _ue no se desean determin_- Como R
es una de _Itas y actu_ en _, entonces se a_lica la __
segunda __ondici__n de equ____r_o con respec_u a -___ ___ .:,. .,_,.,, _ _ _ _ n _ n. _'__ _ _ _ _
dicho punto, en f_rm.a práctica p1anteamos _. ;! '__
_,__ _?,_ '__ _ :', '__
__- _ '.
''__ _ !
_ia nOtar C6m_ SO_ i0S _f3205 de 12S fU_i2_5 _ . '_
F y f, } __ctode-___j__r_ndic_a '''--' F,-_2ooN .,_.%,_i. __
5us lín_as de acc_Ón y_rcamodidad asumimos_ que, ' q' ,__,
_'a b_a _ene una longitud lO0, tal comu n indiM ; .. . _95'o__'
,/x ' '-'"i'' ' ' ''_ -'n26''''''''_''''v' "'''''''''''^'''''''''''-''-''''ai'_2
,/0_
," ' d 6a Pero coi_o nos _iden el val_r de 1a fuerza de
x' _ I-
_ __ ro2amiento (rs), a la reacciÓn de_ piso _ _2 l__
3__ O _ ,0, ,_ dcs_omp_nemo__ rectangular__,ente, y- 5e ten__.a
5_ d2'-_a...,'' _
F_= !2O_ JR_
0 -------------------_--
LuegopIanE_eamos ,
r t_fg ,0
_ A- A '
Fd_ _ l_0.d2 _,_, _ dC.G.
F(6a) = I20 (5_) fg_2oo_, ' _.
.-. f_IoòN C '! - ' ''"'
:.'' ! 4__0.0o
-__''' --___, _-.;__0'''.___.., .S
2- i ,
Se mue_'tr_- une barra homo_énea _e __-O kg en ' !,
rep_5u_ dete Fmir_e e_ va__r de 1a fuerz_ _e
fOi_a_l_RntOQUeaClU_S_breella__t l0___'J ,4lc,n,id,,a,,ob,clab,,,a_eD,;m, c, _ _n___
' ' _... _i5o Fara e_ equìlihrio tenemos .,
' ''0'0__.. _Tf(_),__f(t) _ R__F,
0. 450 ___ _F(__)=_F(_) _ r, _F, _2o__
439

__d_reenltt_llt_Jonrc____ep_lMmat2Ra__d__(_______da_t_____e____s____)__'_____Mp___________o____t______ru(nc18m)_(_ _______tl f 1__d______________n___________________t____l__(_____(__
Rfuell__le___t__p_ft__J_/_v____t___vtt____t________r_v_____/______F_____7__________________v__r____n________m___ls_______0______tr__ly________________)_y___x_9q_l__________b__t__r_____y____________t____e__________l_________________________o_____________t______v__h________________n_h__y____tv___v__________lt______v_x___Jt________|_____t____t_t______e_________t_t_____r____v___________t_______r________/t____________l____r__________t______t___t_____v____rln___________________r____________________t_______K_____________________y___________________________>_____q__/_______b_________|______sv______w___________y_____t_____________n______tg______v____________________________tx____t_____________________________________________________________________6_______r____________t_________t____t________________|J________?____________t_________r____________t________________________h_____t_______)________/_____r____tv___r_____________________t__
l__ar_
lumbrera_ Editores fís jc_
Como vemos no hen__s Gb_c_i___ l_ is, entonces _jel_p(o J5
ahora nos laca hacer u_o de l__ __'egun_a condic_=ón Sot_re ____ barra actí__ d_.5. _erzas _a:'!_.';! _.,u. tL_ _o_, __J
__ ra el equi_ibrio y tom_rem_s como centro de s_' i __dicc_ _ __;_., _ !st__n_ i__ _e _ 2ct__ l_- r__s_ i;- l_ntc_?
./_ p 1,2m __'___SN
.5 hI' ,,.,......,..-0.._. _, ._,, __
, _M _ C_
,4t- .1_ 2= _
_ t' .,
_ JV__= _'' eSO_lClOn
F_ J Seg_n las fucrzas _ue __túd_ so__'e la barra _e
I t- i _
' lcndr_ un_ reiuftan__ d__da p_r
t /s(L_)=2O_tb) _
F,. _6_.'_)
._. rs=l_ON'
_' pc_ra d___ermin_r a c___ _istan__i___ !,x) d__ _ _- __tu__
Se le recumien__ aI lector que o_tene_ el po_e,_osh_, ce,Fus,J_e_ _e,,,,e_n,_ de_._,._u,,o.
mi__mo resu5__ado hac;'!en__ us_ _e Ic_ _rimera
cur_djci_n _ai_ __t e_ü_i!,j_rju. t7Tjmero (_r.__aF un r '
_x= _
trin_uIo c?n las fuer_as_ pucs_ calcuIar ß, )J >.
_eSCOInD. OIlid_ndOl_ S_ _J_Jt'al___ l_ r._ + _ x-_ _jF_ ____ N___
?va,_gnon __ _2m _J_1
u_ndn __0i_re un cllcr__. _- ctilc_n un __n)urlto ' _'
de fuer_a_' concurrcnte___ ellas pueden ___er .,
.es_t t Mt_, T_J_,
' l U '_ne' _ _,_,, '_
e_ ej_ . .
_, . __ .. _, t + F,x_ _ _, __rJ,,.t
: ' .;," ''''_''' ' ' p' _ ; _0- ' i-_ _, : '' ' '_ ' _ ' ' '__ - i p- ' - -,F' .
!_- - - - _._d-...n,._. .:_;.;.,,._____-_.__ <>? - - - - - -d-.. _........;=.__,___ , R ^ ' 'K _,n,.,,.,;-..,.,.._.. .....,.-...., ,. ,/,,, _.,,,,,_.,..._.,.,,,-..._v_.,,,,..,__.. ,,.,_._,_,,,..n,,.,q,,_,,,,..._.. _, -?.n..,,
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' v____' -''____ ''' , _.,__. _.c''__,,._,'__?_'_rJ.,'___'.':_ _''':___''__:'___
_!n destacad_ matem___tico ?._- mecánic_ _,s____'.:.:..:,;.;;.^._.';' ,g_,;n;,,;_'_i,.,v..'''_'''_-..,,;.__,.;.;,_'__:-n___:,._.',_;'__:V''';i'__,,_,!'ï ''::;''._;..
rrancés P. _c'ari_vnon ( l 65__ - l 7__) esta_leció que !_a ;..n_._.'___'.,__..,--'=___';:-_._ _',_0,,- ___._.._.;.:,_'','',._:;._;e-_i_'',_._':'__'/''_'s___'_;_",;_. .;_.__;._.__ '' ':__'_;__ .,.._.- v_c:__' ,t - _!V_' ''
sUma _C mOnlent__t _ C__c_ Un_ C l_i Ul;rZ__ ;__;__'.___._.__-'-=____ __,-_, _':_';':.;_._',,;,..'__;,,-_.;;._:__- __-g- _-n-___,v_..i._',_,_.._..'___.^' ._._.;':'. __.__.___-i;__
rL_s_cL_t_ a ___'_ __ je es i____a_ a_! ____T1c_nt_ de_ _u _'._,;-:.:_.;_.-_.''_':.:'' _ __.'__a___i:'_='__,.,_:-_:_.:_,,_;..:_.,_-___:',__--;____'_;'','_ __''' ' -.'__:___n'_____
resu!t-ante rcsmecln d_1 mism_ ej_. Es decir _;__,.,__:,:__..../...,,,y;..::,,._;._' _y,'';:__:__+_'_::___'',-_:__ ._ ^',_;_'''i'',:,'' :',n _ ,_,, _v..,
t' x t, ! _ ..__t. _-__-m-_;-_._cq;n -_, _._.., _ _'' _ _ _ ^ _ '_'i_.' --
r_c M' I e)e t ____d,-.: _. __'_.;'''. '!,_r_ '' '''_ '' '''' ' _. _ _ _, __-,
i-t t ---__' '-"''_ ''_'d''''_''-
i- __- - _ __-___-- - -_- i _os _Jerncs 4 _e Jo grmnos_u eencr_n e fe_t_s c1c r_tr1c_or_
(nqUí Se COnifde Fa _l SI__O de Ca__ mO_)CntO) en _encJ_os c_nlrorJo_ respecto de/ a_oyo i_J. _0
Tenef _r_S_nte _U__ ___t_ tcotem_ _amblen C__ ___rfIsla _I rno_1_ene_ oic__ __sIcIn re,_eJ_ a._e __s
aptica_le a _n conjunt_ de FL_erz_._ _c_ral_t_s. e(eC_US de r__'Oci_ mC_'_Ci__0_os _e ee_-_libr_n
44O

_r_r___J_ _( _)( ___1___cm_________37Fl__ (_ ; _tp______;_e______2___ _t__ _ /_ _)___1 _1_r_7 l_ __
'____
D_____,_ ________ __5___e__ _,q ,,,,_,, __ _ ,,_ o,__ , ,, , c , , _ ,__ , ,_,c,__ ,, , _ ,___,c,___ ,_ ,
______m_ _ S! uni___s I__ s c,_tr_;,___u_ _,_? 7_ t___F_ doh!,____ _r__ m,--____
l__n I_ r;__;_c_ s_- rT_____-tra _1__ tJar__ d_ r'__a____ _ (_'ria_ !_;__> ____ r_!c___ (___! c__?,'___ ;_-'__c__dc_'!_;__
i_rc__i!,_7 ____'!,ûtJi_5 ____!n_ti_e __ lre__ TueT__;__. ___te_mi_e _'___J_ec_o c{_ 1a __,yiirJntal es .37_ _,' 5_;_;__ )__ m_sr____'
___I m_ ,_r?,___' _xx_) _e___J!t_nte re_pect_ _e _, jnc1Jjn____,n._ ,_ ___e _e ,F_f_rJ__ ?i. en _.___ ta_? ____,__?vj__Ji__.__e__
el se_e____;;_ _P e_- 7_ lí_e__ _e a_'____ d__ la F
J__
_c_San___J _(_I __ C_r__rO d_ n_O__C_5f_S.
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_ l ____1mC'.____ _C___ _'_fOr__ __'''-___J_r___ '""_i_
I _5, C1_ _,__ __ ,_, rc____-_pl,;_J;_.n,J_s ___ (f/t
' _ - __:'- ' _ _', _ ( __2___ _J ,__T_ j _ í___-/!__ ._. _/ ___ _ !,
;, l__m
_- n,n_ 0 __ 000 __ .'. ,___''=_2_-__q.c__
t 40m
_,_5N 2 _QUé S_._7n_f1CadO lC da_)OS ._a eSte feSUJi_3____J?
Sixni F_ca r1ue la barrc_ bajc !_ acci_n siTT_u1t________
_1e l_s fuerz_s t', I-'_ v F_ ro_ara, J'______c_o _e _' _,
Kesolu_;ón ' -
en senCido hurario, es decjr
Cc)rn_ _a barre cs _1e m,_sa desprec;_b_e, ___hr_ eIla
n__ ___c_ tom_ _n c__enta ;a atra_cj_n dc __ tierF__ ( _ _ '! _
- (i !,:
v. _era determinar el mome_ta rcsuft__te re__eclo !_ _, _,
de A(,M._C',), s_f_ te_dríamos que cv_'luar Ios / ; _ ; f
__on_ento_s _c ___ s r_e!_2as dadas y pt_n ntcar que A t _/_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _. _ _ _ : ''. ;'.
r ,.,, ,. 8V_._;0t--_"-/----'"/"--;/_
-_'__' _ _M _ + 'M._ ' '_1.q I ' _ / _ ,_ ,.
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J_t_'_" J_ 1.__ l__ lJCIT)J= "2_?_+Cm _, 0, . . .
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_ o -p_, u_7 ' _-b-_! 2b_! __!
_'- _ -
441

A_hur___ c__|_allcul_e>_mn?_tlos__R y0R__ll___6o_N| __ _ ll..t t _ __t_ __ F 6o_N o_delapldmceayrlt
lumbrer_s Ed itores _is i c'a
Resoluci6n __hora __ cunv__nientc __ _licnr la ._-__.4_Jnd_ condi_'ión
En_enden_os 4_ue _I .sj.___*_n_' r_en_e _' ir r1e_qu!Ii_ri_pc_r_tc__3rra,ret_ecto_e._.
_'_ctc_1men_c hacia ehd)o, _i___ a_J_!__ 3 :'_ atracci_I_ _,_r, ) _- .__ -?__ _,_
terr__tre; 3_r_t,o __do,n_h__,___ció_,)J_ Egun_s_o_re K hrJ_ ___,
- _ q _ ,_
_'aha_ra_ que- lepermit_inlent_' _ desli2arsobre Ios _ R(d)?_; (__j_N, (3_,!
____?lUS (nO S_ __an_'(__Sta I__ rs __ COn lO CUal t _O tGU(2J=__y
estat_ler,_r__mos qua en l_s aßo_,'cs _1 _ B soto t __ _- _O _'
i;__ ,_ _c_ac_ci___es dir;_i_as hacia arr_'ba que impiden En (l)
_uc l_ harr_' y el bl__u_ vay_n h_cia abajo. Con _A -- __ N
e___ cl _.c._. de el!,Os spfja :. R_ = mO N _ R_ = _50 _
_- - - - - - - - - - -. - P_0alemaJ
; _g _ 30 N _! Deter_nine_ el m_dulo de la fuer__ quc ejerce el
: ;! __equwbm plano incIinad_ sobre la p1aca homo€énea de
;3ke -'/ _ u_O! delb_ 6O_que semantiene enequili(_riu.
_. _';__c !_, R_20N_
!. R ! _
'---.-._------_' _ , f
R _- _
uO
A : :C.G. B :
R_, ;! ;_ R,_ _ 0
_b-_b_-b+b_
Resolución
Antes de hacer los clculos de ta RA y la R,, _n et D c l de la p_aca homo_e/ne_. en pr,_
pod_mos establecer que una es de mayor __alor _,g,,_ se ,oEe,,_ que_ p,r, e_ e_,1-_-__n_
4Uela Otra_POreiemPIOdelasCOndiCiUneSdadaS la reaccin de la superFicie inclina_a (_x)
_OdCmOS SCnalar qUe la maSa dC'l SiSt_ma eS _)ecesanamente, _cbe ser vertjc_l, _orqu_ T
corn_ si estuviese m_s a 1a derecha y para _, son (uerzas __erti_'ales.
sujelarlo ha_ría que ejercer una accin _e mav. or
v_Ioren_ que en A_ entonces R_<Rg. T
_--
_ B
_ara 1a barr__ p1antearnos Ia prim_ra condición de
equilibrio.
C.G.
_F(m_ )=_F(l) _!
x+f _ 2x_x_0P
_ B- A
_R _
t R_+Ry=_N (t) _ =_
442

_sg_t_y__t_R536oo)_c0_Gt ___ A_ ' __an Jg_J__T_ls_l3_;A_F(IT_d+___p)(M_+__l___3__Trroe__(__NdeJtMem)_av___F_gfn_____ogo_l____(st_egq_tn)t_u_t_re_lerm3foa__(s_Tqu)_te_s_op__f_;e__ t5a_____yry_
CAiíTUl_ v_lt E__t_ática _' Centro de gr3__e da d
r_r_ _eter_!;n_r e; múdu!u _e t(, podemn__ ___apajà__te_l_inarelValOf__- la T ___Cm_S
__,ar _a seg,nda cond___;n _ae equil_hrî_, c_n_i_er_r 1_ se__unda cundicj_n de_ _quilibric_,
e_,p,_J,__;__n_fe_, efect,_g__ T. re5mecto __ ,_.
_____,,) _M, )= _,__,
. Sohr_- f__ '__er2as lrazamos sus _ist__nc _as.
_ M=M,_A
_R(3-x)=_,(x} /Ó ,,
, ' ' ' ;__ _, -_ __sef,53_____
.-, R_20__ _ r_ ' r i '__.
Ten__i_n po_cmo_- Jtegar a este _____l_tad_ o _ _ ^ _ __ _ __
recordando una _bs_rvacjón anteriar. I,_S d c G d
dis_anciasdesdeihacial_ _, y _a _ es_a_nen la ' __ F _ 3oN _v !_,
fel_CiÓn d_ l a 3, _n_OnCeS lOS ValOfeS de dlCha_
fuerzas deben de ser de 3 a I , respectivamente, De_ ,_/F_c_ _d_
c_mo Ia Fg = 60 N concluimos _ue R = _O J_!. _
Pr_alem8_
C mUeStra Una ba_a h0_0_enea de l3 k_ e_
reposo. Determine el módulo d_ e la tensión. _ T(8,d _+r/__
__o_s2) 5 _ m J__
g .N.r__oN
O_método
_ cál_ut_ de la '_uer2a de tensión tambjén _e
_uc__e _e5otver _aciend_ un pe4ueno arti_;cic
' l___.,o epfi__amos !a peime_r__ condición _e
c(__uil_i___(__ e__pe_-__,';cc__.Jer1te el méto___ _e_
Re_olucíón .;_ .
Segu_ t,__ situación _ue te_mmas, 'J2 cue!_a _' i_' '- ' ' '
ac- túan c___ ___ o f__-_-':z_- s v_ 1_ __cmo_ reducir a tre? ,
arti_u!__ __=_(_n ma__t___ne_r_ a __ barra _r, po5i____n
hur;2ontal y su _._.L+ .seria /, ,,';
_' 'T_ ' , ' _ ' T ' ;
T'-_T_o530 _Rt, 53o r Af ! __,
0 _, 0^ __^v-
_ _ _ )!
- - - = F_ (Fg-r
_=

_h___r _v _______(_rJ_l_(__tt__t)_____t_Tv_T_____)_5_______/___r_r_x__t_ _n_r/_ ____ p _v_lq____g__(__t_)_l3__61______/ _______p_grF_ q _
lumbrer__ s _ditoF_s física
como vemos el s;s t_m_ de rue_za lo reducjn_o.s a _rODliM_ _
tfgs fuef2,_s_ l_ T _ __ __ __ _eacc_jón de ta __ _arr_ lt_a Se _nCUent Fa en ?_DOS_ CUa__J_G __
'' ' S - ' _
n,t,_,u_,c,-,_, ?_ __,, cv_,,,_,s debg, ,,_. _Ca_ilC_llnafuaT2ahor;2ontd_i F ,Determ____ef
n!du!_de _'. _J=_ 1,Omis_ x t__n0__/___)
CJ____U__Cn____n P. _il0fc__e tlene
_,_
,_!ì i L
, '37u!37"
_ : '_ _rlageomeMaquc _ ,
,' _ __ sctiene,_g(o___n ?_G ,J
_ _ ' m_ul_is_sceles. '_ _
/ ; __ h , '_ ,_R
__3_ _ 53__ t a ,, _;_x ;'
,_, R 36
_ ' __
_
Ah_,,_, cn, _,,_ t,e, (,,,,,n, fo,m3n,os ._n f,;;,_._,!o Res___c_ón
d_ (__,_,2a_. Perc_ simplinc__r ie- parte de cá1c_lo_ an_licemos a
l_ _ar_a v_ al _fo4ue ju_tas (.sistema).
T - - -_ - Ahora hagamos su D.C.L.
l J_
f _ 37' RA_
'2 D-----
_ l
_g-r _! b!g -----
--0----^--- ! ,_'' _
--_--_cG __ _
! _ ,0 _ R ;
37o !_ ,' _g ;
D ,' _ !
_ ," ;
_ste (ring__l_ de fu_r2_s es isósceIe_' (R, = 7J _' a ' - - - - - - _ - - - - - - _C- _ _
J_mrtjr de ahí se puede est__biecer
Fg-T _ F_
4 l3o_T _
cos37^___ _-=-
'_^'
._. T=__ j_ __ _ra detel-m1nar eI mOdulo de f _ con_1er___
_ ' .g____'v '^ ,.' ^ / ''^' ' '"_' v'_-' ' _ ,!jcarlase _lnd__condjción araele ujlj_rio
_____0__?_ __ /,,,_ ,,__ ,, '-?, _>',,' -', '
_ __ ^_.,V^=... ' Y''_'__ '' ' '-- ,__=,_,_- -', =__- ''', , rCS_eCtOde1C.Gcde 7ab_rr__
?__j _
hG_,c_'_' __ S(_ U)tImO mClO__ __C SOlU_tOn _ara Pl '
' !c_-, = /_(-,
' _r_hlem__ _, _e µue_e usar cn 0jras ,
;, a!>lica__ione_ _ero sobre _o_u se recomienda >'' __ (b) F_
_l;__ _ c__cu__s , A _,c_c__s e_ __u_l__n_ de n_ - -_
, .segund_ _ondici_n s_ r__duce a primera ' F(LcosO)=36(lsenO)
c-_ndicion, en otrus caso.s, simplemente ,
; pe_mite re_ucjr _ln molígono d_ (_l_r_as de '-, F=36tan_, COmO tan(_==
_ c-iJ_c'_ o cuatr_ lados a uno de tr_s (t_iángulo). v
_ , .,n,_ _n_,_ ,,?_,,,, ,n,,_.,_ ,,_ _,,,,y .,_ _, , _,,n n c,- .'. F_24N
_44

__ __t__tt______fl _lt___l__7_______3t_o__t__1_____________t_F_+_____l_t_t__g___t_____l____tJ_n2______o___t ___N_mf_t__t_t__l_t___/v_tt__rn0u______t____J___ft_.t_?_)r_______l______n____lNrtl_lll_l_;r_tll_tl_l_t_t_t _tl|t _tl(pr)_ _ r_g__t__r_s____ 5m__ /_s__t__l) _g0_flt_ _(( ) A ___
cApjTul.o va __ - Es_tica __ Centro d2 gravedad
___lgmg_ _n_r__ _:____,ene _a_er_T_in_r eI _'2__v_y_ _a X
se muestra __n_ fued,n h_n)_genea __ 12 _g_ _r__di_' _te !_ s___!___ c_r)c_iciíJ_t _a?_ et
compuesta y _po_,,__-,_ en pa_, _e un e Fo. _c,u_ e__.Jltaj;tJri_, c'__ _s'___r_mos _' ? c_r__c ___r____ _1e_
___f_ el módulo _c 1a ?___en_ _c r_?_rr_1___r_tO entre J i ' _
J'j '_'__
__o t ____t_ g t',,C0m.(_) __t__,?
!, ___ __i_!__r)___n___,
; _m__;_s? t^"'/'
: _____q__ -i ___-,_íG_
_,3, ' Fin__ __en_c_ __n (l_+
Pro_lem8 7
a__OIUCin L_ h_rfa _o_n_génp_, _ublad_ c1_ _, es n_ l3 k,_-_
Para detefminaf _l m_dUl0 de la fUef2a de y se m_ntje_. p en r____t__, al eje__e?,ig un3 ___,__e
rozamiento (^r,) , hacemos el D.c,L. de la _eda v,_,_;cal _e mód_1_ 2__ _, __n __n p _,_t,, _,_,R_ e_f1_ ,
y lUe_O et_bleCemOS eCUaCi On_S d_ eqUillbr_O determj__e e_ m__ulo del m___,3_,__ç __e
meCanlCO_ producjr_ _sta F_erz_ fe5pecto Ue __,
_ - __'d ,___, _,/ ' J O,8m ;___c_ ?_5m
, _,_,_,_30t _,_
:. ,______,___-:,___- /'
; r__ _'''-_N ' _j_5_N
________--_ ' _''x__ ' 'i__s ; -'';,, _ __es___3r_in
^ - - _ -- ' _ '_ _ ; ,, Farà ____e l2 __ana 4_ade _n rep_so la fuena de
_F__ _ _____ es_ din__'___ h_n_i3 ar_ba _, poJ ejem_ p Io_
La fUeda eStá ell _QU_1i_nO debidO a tFeS fURf2aS _o4emos suµor__r que ectua _ x_ metrD__ a ___
verticale5: F,,T y _. izqu1erd_- _t_ A, tal c__m_ l_ indicamos a
On_ln_i_C! Ón:
rect_n_utar_s: fuer__a de ro2a_.ie_. to (F__) y fUer2a F -_ 2G_ N
nO_al _JN7, y 5e VefiF1Ca qui
A
rs=_c0_53D __
3R _ ' XA
t rs=-c

___p_aut_r_re_ltau3____o_cm1__a_e___c__t_uo__ld_____or_____e(_______oM___9______v__ m_____F(_)l) ____J() _ d_ree_?laa___segr_t_rf_e_s_yl__feu_res__r2_a)lt_s_As_p___o)(rd,ge]_m_)4tcom_usc(mrF(__ol0as____t)pFnal_4froag(Nlmlola__)___eyen_naee_asr;
lumb reras Ed itores f ís jca
Sepidedeterminarelmád Le!___elmomentode_a Ahor_ _pli_.an_u 1__ se€un4a con_i_ión
f___rzave_tical ? resµec_odel____t_A_ p_rtanl_, _e e,qu_Ii_riu r?____ecLo de _, ub;Rnemos
tenteam_s _jf_c___mentD f _ t '
' W ' 9-
r_' __
_-" - K_- _ ' _ _ _ -
r ' __ _' J
j_)_t)CrT;0S ____r,ml___ __XA. _S__l_ Cm__ _ _Ce_
__ _ nJt- __ _ _
U__ __- . - __ J_ _fI3 _' __-a U_F __)UmRl_ OS en e J + i _ __ J ,_ _ ^ , J
e__x!i_t_ri_ _e rctecin re__pect_ de _ v_-
:. J J____ _ .m
F_2o______
a
_ _X_ _
! oqm ! ; o2m o2m ___ermin__ c__menor_aIorde -_'_ fue_za _ue d_be
_,.___,. _ , __ , ' - !-___,o-__-_--_j e;
i'''''_ 1 ____,v_.,,,_,,____5_-; _J, !_, ), b2,f, ._,,,()e,,,,, d, _,_ l,., R, ;a pct__.c;ó
_ ' ;_ m__strada. _ _ 1 O m/-'__')
x F,_8n__J
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_- ,0
Fj--50NJ
_,M _ -TM _, g
B_ _ Y
0
f tq F, F_
__'JA-- ,_+ _T_ ,__ 3m
t',d=f, (O,4)+ __; (O,8+ _,2)+__ (.O,8+ O,4)
_
200 ._ _ 8_íO,4) + 5_(IJ+ _O (l.,2
d_o,71m ReSO__CiÓn
En las c0ndiciones _adas sobre la barra actúan
tres fuerzas: Fg_ Fpe,s y R (reaccin de la
X_ = O, _ -- d ar(__culac__o_n) solo la f,er2, de _,avedad t,.
x,= O, _ ?_ d_,,ecc..o_n mo,dulodef_n_.do _F
e
__nlpl_CenlC_S en la eCUaClO_- l/ otras dos fuenas no. med_ante la conc__rrenc;
f- 2 _ _1
_- _/--_ ' 1 '
';
_' se,_,, co,,,en,-en,e pn_mefo ,''!'! "' _--
A_ ,'___ _/
dct_rminar R a partir deI e_uiIibrio de traslacin ,' ,'; - ' ' - N,
de3_barra. _, ! , ' '
":__ C.G.
F(_)=__F(__) /_;,
',' _
F=Fy+t_; ___+R _'
_
- + + + R
._. R__ON '
__ -
44_

_g_3___MM___n_____F_l1R(__d_G)o( _Jl _/ ,__ _ _,, _l_,t_ _e_x_re o__5_____r_p_?_r__ra_t e_ 0b)ett oct ,Gg_lofrl_sl J_d _
CA___UlO V__1 _s__ica y Cen_r_' __. __av________
Sj queremos determjnar el va_or (mír_imc_) de 1_ _espl1.s __ r__f_ner l_ re___ue_t_ te__cr_O__ __U__
fuer2adeiapersor,a,n0seriaad_CUadOFl_nte_f l__e_.,_;m_, __ _ u_ ___9_O
_a primera c.ondicí_rI para el _4_ilib_o, v. a que so1o m
_sto ?,!ijeEr_ JeL'ir q_e ___ Fm,n e? _e_Re____;---_u!c__
barra está en re___s_, __.mhié,n p_demos plantear _ __
;__;_, _e e_,;a ;_,;o ,espec _o de A. - - _mc.,
Y
F_ , ,_ '
O ,,_
2m /2m o ,"
----__0,__B t ,_t
_0 ,_ / , '
F_=60N d__ d,/' -_
_ ,_d_5__
m ,' /_' _e__l€__
,' /_' F2_80N ___a_far_na_staca_e 4kg y Im de1__3__(u__
,', t' ; stun es uhica_a en posición hu_zontal so_r_ _n
_ _ _ _ _ _ _ _ _. __ _'__ _ _ _ _ _ _ _ D! d_sco rec_iF1cador t_ como se mues_ra. iQué va__r
' tiene la fuer2a que debe _plicarsc en eí
?mngarl__v7__ /2
F_ y F_ _O_ _artes _r_p_rCi OnaleS de la fUerZa de
ravedad total sobre la baTra homoen_a y se _6. _ _ t, '__4 m_,
ob__enFa que res_ecto de l_ articu_ación A, solo _ __ _ _ _'__8
produce momento, la fuerza Fj y F. ., ' ^ ___,',__
_;
A-2 1 _________
M__ _8oc2__ __o_,__)
P_r_ _ue I__ _arra no rote, la fuer2a F t_m_ién ResolUCin
_e_? p___uci_ __n momentu de módu1c _ 60 N._n; Se2 _ eI __r.Sdu!_a de la fue_ qu_ se _e_e e;2_rc_-_!
_e__ e_ s._nt ido contr_'o_ entonc_s so_re eì e_lremn _e laes_c3. C_n esta €uer__ _ch-_
_- _ 6n _, m __c___-,_lt iJ_arse ta p_si_ií_n __n_zont_ _e _3 es_4- ca_ a__- _
= _.
c____ _--_1nt_ién, de__ e_-'_?a_r-se su desp_a1,amie_ntc_
_ __dt _ I60N,n1 _e_j,_r_?. e l_ (uer2a _e p_zam_er,t_ c__néfi__, 0ue lc
_jerceré e_ djscc , _t_3ta__. __t_s c_ractestica5 _e l
_f__ (1_; __ . _. _ ._.h.
SenU ' PfO _m__n_S__1____Yi_n_a-_2__ _qUl l nO e _
como Fdebe ser m,,_o_ entonces _ (l) s,-na eSt_Ca _', p_fa _i____. hm__mOS SU _.C.t.
_ebesermáximo.
__-_,Gm _?C,4m_
_6o K !o C_G_! B;F0
t _,_-n=_; !, ,, _ _'o_'_''- '
Sena Jm_ ! _ ,' _N _ ' !
V : ___; _ '_;
l _ - - =t -0 _ /' V _ _ ____,,F
_ _32N __ Fg_90N
NN mn
_7

__ rrrr____e_+tlFn__F2J(l__46)_______8lTNFp(l__)dd__bt_g 0mJl _ ) _p__r__/____ t_l __tlr6l__y_l_n________oJt__J_t__)|r____l__t_____4__t___lt____t __l__A___t_ 4__ (_) _
Lu mbreras Ed __l_res fí__ ica
A _____ar qu__ fc_ esTac=a ,_u s_ rJ-___eve. 5__re eIla s_ Resolución
n___nitic_sta L_na '_uer_a de raz__miento _'intico SegúneIprut_len_a, lae__feranusR rnuev__ycomo
J_ .
( ?_ J _c^ _ld(_ a __UC n_Ient_aS _' _lSC_ fUt_, Sll eStc_ I__a a _ t__ltC __F m__lU _L_ _a C_U_r_a_
µc rif__ r__ ro2a )_ _cs'__l___ io_re l_ e__ taca, __. __nce_ e l b1cque tafnp_co se mueve_, v_ __r2
_tl___ __ara cal_uI_r _; d_t _I____ _cu- tc____''' __-J_ d_'_tcrminar s Ll mas_, en _ase al c_uilibrio. de su
__ _t_J. _F2 (_) D c L tenem_s
-__i- __ ''-
.__ ! _r_ui_r_ - c_i _7l1oc __.x ' i_s c___._ _ ____-__ntes FH __ fv ;
_ CcJm_ t_ estc___ T_o r_t? ___dcmos c_n_'iderar __ r _F(mt ) - _F(_)
___ __,_ !
!__ _
_- __,-- _' T--m__
___n_=Jtl,__' m U=O
_ a_(O,6)___,(IJ _ m r
_ __qN (_1) _Fg_m_ -_o
_' -
_ n . , . pu_, lc lante__ do _/emos ue se re _ie___ _1 v_l_,,
{_i_E__ i_ eS(3CallU_Se eSD _2a,ß0reQUl l rlO ^ _ C
dg _fat_acj_m pl._ntca__us _e la tUCfZ_ de tenSiÓn, COmO eSta fUer2_ tan__l__
se manirlesta sobre la esfera, analicémosla ahora.
. _- Como _'o_re 1a esfera van a actuar tres fuerzas nu
._ V-g
4_ paralelas, entonces ellas son concurrentes, tal
_'' -
CO__O lO mOStramOS a COntlnUaClOn:
n_=
T,a,_bj ' ._e cun) lif _ ,_
__'(_)=_TF(t) ,_,:
,37q:
X-N ,_ .
__,f,,=FH ,/ ;')
tt;(=(O_í)(_6) ' !_
T : '.
tFH_- (Ill) _, _
_eemplazando (11) y (1_1) en (_) 8 0___=490N ' _)
,_.__(gj2+(24j2 __g_N _' 1_._5_3o b _,
_, __---___
_re__emg 1_ _': c - _ - _ ' '_? _) /. -
La est'era homoeénea de 4Y kg se mantiene en _ _ ___ ____!
, _ _ __ ''_'''___ ___
reposu.DeteTmIne amaS_ e Oque. _ 5 _ ,,, ',_'._ , ,_ _,,_,_,
__l__,_ 3Jo ! __'_
! _ 370 '.
37_; __, Melpunto B, lacuerdaestan_entealaesferay
; se deduce que Fg, T _, R concurren en O. Por el
__n0, ' equilibrio de rotación de la e5fera planteamos_
_x:?__'_n__, _,_o resp__cto de _.
_' ?_ '___ '_"?_____,'_''-'__ _ _/, ) -_ _ _r,
3T
-- - - - ---- - T(r + a) = _ (b) (llJ
448

_6phg_gn__Rre_po_____________s0_____o____________ct____v_l_______J_____________v_______ __________t__________________________ tal ________________________________ _t___R_2_____t_45etlr__ _ e35e_ e _e(no) 0_________________
cA__uLo vlll Est_tica y Centro de gravedad
como de _a ngu,, tenemos Para determinar el valor de _ _ para la barra.
' 3To consideramos la pnmera condición de equilibno.
G_rCU5 )'=rSC_
,azamos en (__) _F (_) = __(_)
t R___ (ll)
t Tr+_f-___(__f._
2.5 ,5 _F(f)__F(l)
dedonde T_l50N
.'.M(IJ.m_l5kg _
Según esto se requiere el v_or de R_, el cu_ lo
p__f_mgt1 ob_endremos _espu_s de usar Ia segunda
_ _, F,g,,, se mue,t,, u,, b_,, _omogénea de c_ndici_n de equilibnoi sobre _ b_ra, resPecl_
-Que_ valo, t__ene _a fuer,a de del C.G.
tensin ' (Su_er__cies _i_-as y _ _ l O m/s') _Mc.,. _ _ '_Mc.,. J
' M_1 _M_2
',. C.C-- C._
._..' _.,_C.G_ t _j.b=Rj._ -(N)
_. y ._,..., __. '0,.._.. ...,., .. n.., En esta úllima expresi6n reemp1azamos (l), (ll)
y (l1l).
Resoluctón
_ael_fOblema.SlnOeStU_eSelaCUerdalab_a t T l.- =60 __-
res_aláía_ notan_ dose que su C.C. se _eja; en
5entjdo la cuerda le impjde ello ejercjémdose una =- T = QS N
fueria T hacia la pared tal como se indica en el .
siguien_e D.c._. de la b_Fa _Ob._e_8_. _n .,l'__ ______ __o0_____,_____i___i___.___ d____e_______________ ______,____ _ _o_.__,A__ _____,_i_i...
i0|i Se ha cmsiderado la segunda cmdi__n de i
v__ 'i .. _^_
t 5_ '' __i_ eqMbno l_ C_ Cen_ de m__l_ 'i_'
0'. - _ ío ^'- -_ ' ' ii_ _'
_;,. ;=. : _o_'__',i. un_tope__' nteabbam(suC.G.);_ i
n_''_-: i' ! ii,i'_'_ taæn _ __e e_ _a __ c___ón i'
______-__l_'__0._ !!b _''_ _'
___- '__'.. : , _'_o0,_' de eqUIllb ClO tOmandO COmO CentrO de __i
_-_''-. T ___'_ ,. d .d '0'i____ momentas un punto que no pe_ene_ca al ea_
_;:.- c._'_..._530 , i'i d ._d,_____ . _ _i
P__''_F_N'l ! _0___ ' ' ii
.,v. _ - i_,= _ _ _''i_i eMuenba lwW_cai_n _ el hecho _ _e _ .
,''i. '. _ _ 0'_'i segunda condici6n de eaui1ibno se puede '"
' __ ' ', '_ _ ''s__ ''__. S __' _ _ o,0_.. __, i __ _r _b,.o de _nt_ _ _s g0...' i
_' -,:;,_, ___' __V,_,_ ___ _.__'__v_,_ ;;_;-_æ''_-!._:''_'._,,,:.__.,__0__ '_' ' 'V '__. .;.!___,_,___.,_c__;.__ ':_',?'0,__0_.:.,_.n_' ',_ ''i__
. R i_9_i de_e_yco__p__M__momento i.i
i i_ .
.,._. de Un par de h1e_ _ Mdepen_ente del cenbo ..,__.,
,i., de_t_,_por_oque_puede_ ___
=LSe_530 ___' __
' C__0 de _ent_ hR_ deI cuerpo. i__
_=Lcos530J .___,....,.. .., .... . . .. ,.. , .. _i'i

___6ao_seesg__ue_t__nd___t__t____tc__asaJ0cotnod_m_ttlNoo_p_ne)ldveas_e3o_o_qtflud_tte_tlbl_r_lo_g_ 0o _ _yR_ alo t_yabl_elrmtl__b___ln_y_8_oev_t0__r_0Rye (ly}bJ lc_
lumbreras Ed itores fisica
Ene_problemaanlenor.e_v_torde T lopodemos R_so_ucin __
calcufar directanlente con la segunda condición. Estc problema lo __amos _ resul_'er, cunsider_ndo
de equilibno tom' ando centro de momento_ fuera la obser_'ac.ión del prot_lema c_J_terior. es dccir.
de la barra_ ahora en cl gr__co pro_nemos apli__mo_' la 5e___n_a condicián clc_ cquilibrio.
tomando c_n_o cer_tro dc moment0_ fuera _e l_
R '''' !
- - - - - - - - _a - - - - - - - - d _ h_fra. AhOfa sobre l__ baffa _n re_S__. _Ctú_- n lrCs
'530 , _ _ _-_ _ ? ?
.;''''_,_- _ _ : !_ fuenas: l_J f_ , R,-, _ R, 1as cu_les _e_e_ ser
_. _ '. ;_ ;, b _oncufre_lt_s., t_l corn_ _. _ mueslr_ _ cur)tinuacjun
__' '._ ; _pm_o > '
---- _?'---.---0 Rt ; __
'_ 7 '. !, i_ ,,'::
;:.: f__6ON ' '_ ;'. Q ,_' ;! _. '
: 5300' - ;' _ '_.
', ' '. __'_ :'' ' ' '-'- - ''''''/ 0 ' ' '''' ' A ' _ ' __
R1 ^__-_--m-__ __ ___t
05?._--_-_ ,'.
_,y R no son (_ _.. -_-l_q _ ,'' '..
' t 2 . _ _,l_Cm1_r
impo__tes, trazamos sus Ilneas de acci6n para : ,_ -. __ '.
ver d_nde concurren (en P) y dicho punto l0 _._=_-__r _-G_ 4__.
COMi_eramos CentrO de mOment_ Y PIanlean_S P FA_
Mp __JW
r MF _des___ner_c_L1_'_nfea N, scobiienent _ _
___/ _ ?f ___ _ __ d_r
f K'' s'
t r' b = F_ N O Ia barra coMideramos ta segu_a r_ndicin de
_ r. _ sen s3o c 6o, _ cos s3o _w__o. tan__ co_ c_n_o d_ _n_ent_ el
punlo O_ _'a que en _ste punto __ncurren la
._. 7__S__' _R _ _/ _
D y _ _ C__ CJf_S nO Wn _C Inte_S.
'n ___,. ___,n _Mo)__M,)
Se mueslra una bwra homognea de l_Z tcg y de _ Mr, _ _.__',
cm _ longitud, en reposo, apoyada en el
t r_.f=t'g.
inte_or de una superf_cie semicilíndrica_ cuya ' '
__e ABes_5pefay 8C esljsa. iQué_'a_ort__ene D_l _rfiCO Se {lene 4Ue __-_J7U, COn _l10
_entosobfelab_ra7 ___o_st) Setle_e
, A 5o cm o c , .b_ -_.2_O,_c,m
_..___. '----_____' _,._. ._ 23__ _, lU____r_em__MmOS en (l)
',, ., _- _.'_á=3i'' t /s(íOc'm). _ l2_.(2_cm)
:._ _.. ' _ ,_Ocrn . r-_Jg_
:__, _Y ;! ,,' '
B ' ,!_
45O

____t__t_________t_0_oR_______t________o______t____0______________________0_ ___>_______e_________t_________________0_0______0___t______0___0____ __ ___ _ _ ccon es___t__mm__l2_F__ee/s___nu__dm_tag_bd___(oF22s_rh__Ncso_erbn_nms__ld__efDa22qn_udse_oee_nlegl epQl_un___lt__0hF__c0
C,4PíTUlO _ 1 _9_ Estática y Centro de gravedad
Pf0_1em8 _9 _omo la reacción en D y la fue_ de grayedad
Se tiene dos __ a_as _p_rM s___tenidas como se sobrelabarra (l) sonfue_asve_jc_es_entonces
in_ica en !2 Fa_u_e- _"' los ___e_cj''''''' tes de 'o_iento la ruecza ent_e _as bacfas (R_) t_bién es ve_icai ,
entre las b_ras son _!K, =0,_ y µs =O_75 c_ra porotro _ado,consider_dolasegundacondicjón
ué valures de __ _- j _ir3__ _i:!_ de las barras para el equiljbno r,especto de D_ se deduce que
hom___c_e_s, l_ 0tr,3 ncx ru__ ti_a!_.-_ _i_hre eI piso liso?
R Fg __g
_.' _ _ 2 2
_'_,_'',_ ,
(i_) _^ de tFasiacj_n de (l J se obtjene
__''_
,_____._.',__0_0 ,_
, W' ',__''''''____'__,'-' R-_ _
__. _ ' '_''_!_,..D,.0. _ 2
'__ ' ^''_'. _ ., ..,. En el _ sombreado_ se cumpIe que
- D'-'''
g m_
Reso_uc,_ón iN =RCOS0= _ COS =-CO50
AnalicerT__s ;'d_-s fue___ _qq___;''-_fe _aí___ una de las balT_
des_i_és _e h_ber ,_ec__.,_ ;_;___s _e___ _._!_c__'os D.c.L. r Rs :g F_ _ g _m_
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_...'' ' lisu
-_ ' ,. ,_....,. 0 .._ ... _ '_.y.,__v.;._:.: se ún el fesu_tado obte__
Rp ex;st;,a_ equ;l;bf;o de la barra (_J s,-
_ ____?vx ____ _-d cuenta _ue Ia fuerr__ de rozamient0 O^< 0 <- 37^ , PerO Se Perder4 el eqU1llbnO 5IemPre
î- i -T J_,i;_-c_x: _. ;Jn 1a r__ct__ tan_-er_t__ ì_ _a__ _ü__X_cies qUe O> 37_. _ara 0=37^ la barra (l) estar_ a
___>_! _ .' __''t- ' c'a,= Ias d_s b_rras en _l punto C. punto de deslizar.
451

_h____r_________1Jt___ ___p_ h_______t_____v_t________________t______4_J___r______t__r____J_l_l_____c___J_?___t_v________T_t_t_w_J)___vt_____7_____pl_t_t_q_tpp_c__Jt__ _t______t__t|_t>___ _7t___ l___ 4________ _______t__0____ t______________c__t___t___g_l___r_____J5_____f_______________t__t___t___t_t_______t______r_________d_______________r ___
l_mi__er, as Editores F jsieaP
tO _ __m_ 1qi' ,_, _a _____ _J_rI-__ __ estå ___ r__pu_ so_ pOr tanto, respeet0
La ?_ s(i__tui_,_ r_,)_,_t?,g___ c__t.._ ec_, _'g__u___. _n.ac, i1c _ h___ ____ilitiri_ __ iot_cîón, c_m_ retp_cto
n_nee _ _ -d d ';+ _ _e _e _i__hu _l1ntn _'e___ cum__!irse que e__ _,_-Inicnto
_ q J lt _
- r_s__,E_,__ i_t_ ca,___u,__ _e_, _iui_ (,?._ _ o) _a Fe__ _,__,í,n en
I__ _gi_n__ _J_t_,__m_n_ e'_ v__-__r _e f_ ?J_i__. c;icJ) e__ ie ^', .? -j '-' V ^ ' '
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45

_RF_ R__ _____ _ p _ t _____________t_______r_____>____________________________________________________ ________________y_____y__________ ___________________r______ _________t______0____________o______________t_______ ____________________00________ ___________________ _B_t_____0 _____|____________0______________n___________c_Dl_0_____________?_____J__t_______________
CAPíT___i_ V1i_ __tática y _e_tr0 de gravedad
fg es el m_ufo de la f_1er2a de gra__edad de cada '
a. _5___;-,:__ b. _:_______
_-m - ?;____.. ;'.5>''_
_g'(lOXO_2)(I_)"-_0_l _v:_;'___ _; r -'_''^_;:_';
___ __ 'e_
requilibnodelabai_3_COtenemOS __...;_ ,/' _ _ j:;_;,_ cc
_'_'___ .__- _;_ 'i_'__ '' ''; '__ia ''__0_..,_.._0_.. ._. _.,i_0_a,a_._.i_..i_e_._0,__.,''_0.i_ _
F(f)__F(_! J _ :__ '''_'___ ''_ ' _''' ''''' '___:--'
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_ RB_2_+R__ (l)
_aracalcuf_R_,de_e4ujljbna_elabaJTa__ c. _ _ _g R,."''
_F(_) _ _F(_) - ,_e_,..:..,d0,;,:_._. _._,.__ =_,.__..=_...,._,..._.,o_., ;._n.,._;,_____:''' O,.,,.;=0.__-=__._.. =_,;_,=_.=,,__'__wa__=_-_......_ _;,:_=,__.._.,_.,,_'_,._''_"
Ro _ 2Fg _ _, + __. ___. __? ,,..n_..''' _, :..i0_.i_ . c G .,...,_.____' '
Ro_40N+RD+_g .!;_i _ ..__.;w_.:''' __'_o,'__,,,___,___,__.,_._d_g____d_,. i''.i'i---_ ,._;__._'__':_':'_'
Pbr equi1ibno de rot&c_iíxn respeclO de O se v_nnca '__ _''. .,...,__,;__:''''''' _i::_ ,,.,,_, '_ ''' ,'
_ i_._:_!_'__0",'''- ____,,i_'''__"' j_,,,'
g= D '-'_'R
_b_oi '___6nA_
t Ro =_ONt2R_ (lIJ _B__tenden__ade
d__inl___m
_ho,a de_gmo_- ca!J_ula, R a,_ _,_. _,a_r_ i____de
' ' - D __n_o.
articulada en C_ con_idcramos
d. Para dos barias articuladas d_ masa
Mc =_' Mc de,prec_able.
RD(2_)=Fg(a) __/ -
t RD=lON n._._. .D_ ., _ _.___,_''
Ahora, reempIaz__os en (lIJ _=',v_ _____. .,,. ._o_, ' ' _i _..'' _,';=_...,. di.;-:__i _
"''' ' ' ___;='_,,,.... ,._t__=,' =_ '' i____,,.__,__,_. ,,,.__i,.^'_
t Ro=QO_t2(l__)=60N ''_' _ ' _''_'__N_-_q
__n_mente , este resulta_- 0 1o reemplazamos en (_) _ra___g ____ _
_m 2o N + 6G N Se mu_str_ dos barr___ _gdas, h_mogé_eas_ _i___ .
B
l_Ual maSa en femOSO; CafCUle el ValUr 1_R 5__
._. Rg_8O_ reaCCiÓnenP. (m_,_= 10k_)
. PaFa p0sten0res aplicaciones tener e_ cuenta l_s ':;_!__;_.
sigu ientes casos: v__._;___' ' .,.__0..
_as fuerz_s de reaccin que se maninestan en i;__'..v;__ _'=i_._ (2_
ias articulaciones9 depe_.dern del estado _-_.:,_,'''_.. ;_'_-_
/n__co dg los cue,pos po, e_Nemp_o. _: ::::: _._ _ '_i'__. _s
__seNase _os v_jgujent_s _D_c,_. '''''-' _x I) ___ ''' '_p'__'_'_. ....:
45_

____ x_ 2_(2ll_Jd__ __o____t_____0NJd _ ( p) p_ __ __o4____o_0___o2__ __o_r__________t_______________r_0__ tR_______ ______ _ _p_________ ____ __
lu mb reras Ed itores fjsica
- ReSOlucin Ahora se Fequiefe el valor de F, el cual to
Del ._rá_co se c_nt!ende que e_ rodiIlo se apoya en determjnafemos analj2ando et equjlibTio de _a
P, por lo tanto_ hay una reacción normal. ya que __rr_ (2). _ consideraf la segunda condj_j6n de
al tener rod _l Ios so_re P, esia_ solo presionan en equilibno fespecto de i_ se nota que las dist_cj_
forma1_erpendic__a___ l_su_er FlcieYla reac_i_n a tas fuer2as Fs y F esia_n en la fclecio_nde _ a
sOhre ellos tenda q_e ser de i_ual modo. _ora, 2, ent_nc_s su__ valores tambjén; pero en forma
el _.C.l. de cada una ___ ì_s _arras __e_ria !n__-ersa_ c_n lo cual establecemos qu__ F = jO _.
' En (i)
P
_ -_- "- -_- - ' -
'_, ! -F
R__''.. _ !
_ _! - x 62_
' _ '- _- __'
c-G.'''. :,
! Pro_lem816
' SF_ muestr_llna barra _omog__.___a de 6 ke y 2 m
t _ de inngit__-t _!_rJy3cJa sohrc ur;__ p_tea
, h__no___nea e1__ rep_so. L_'_é_ mó_ulo tic_ne _,_
_ ' reacción en _ (PA --- I ,2 m y g = IO m_'s_)
i _,__oo_}
r
-i.o b_ ,_ b __! 2b 0
.c.._ _'_'_'____'__'_''':':__'___=^'_0_'' ' i'0'. _':___:_ _' ''' '_''':_^= ''0''0'_.'0,== _= 0_ '_'i (l) A '".
1 C _C _ _0 ' _ , ' ' ''0
b ;'' _ ' ' '' ''_:_',__. _,:''_,:_ ''. -
Rp ---- ___ __
l,_ fu_r2a en_e 13s !_arras __s ,_orm_l_ ya que en ' , _ __..
la__ condin_i_r_es _adas_ cl extremo de la barra (2) ' '''
no intenl__ _eslizary, po; ta__t__no _ayfuerz_de 6tLg , ,...' ____J__=__ ''. p
rozamicnt_ entie ellas_ '"
Parr_ d_tefJ_ir'lar Rp_ _ara la barra (l),
consic{erem_s la se_un__ condjción para el Resolucin
eq__ilib_o_ respecto de O. Se_ún el enunciado_ la p_lea (solidaria) está en
reposo, es decir, n_ rotâ re___ecto de O a pesar
_T M0) = __o) q,,, el bloq,e __,e,de a h,,e,l, Fo_,r e, s Je,_,_
,. antihorario y ipor qué no rota en dicho sentido?
_ M_+Mo_=MÒi
O Se eX_l_C__ COn et hR_Ch_ de 4Ue la barra en
A le o Frece una resislen_ia (la fuerza de
- g - _ '
r0zamiento estatico) tal como i_ indicamus en el
t F + 200 = 4 Rp (l) s_gu;ente d_,g,a.ma ..
454

___ t______t____________________s___________t_____________ __ ____ c_ _ ___ p ___________ __ 0_______t_________t_______v___0_____________t____________n_________________1l__5_0__g____ ___0______Dl__0______0__0__________s__________________0__0_____________/___
CAPITUla Vt1 I , Está_ica y Centio de gfavedad
.... ,,' Por último, trabajaremo5 con 1a barra, par__
__. _ ,/iF,_6o calcular la reacción en P planteamos Ia pnmera
ff, a _.. ' d_ _ ,2m cond__c_-o/n a,& el e u,-l__bf_-
r _ rs'_'__,. _ -
_ S _ eSCOm_OnemOS a a g en la dlfeCClOn de la
_ , / _GJ:_.
;.... g 2b/_ N _, '_'.....-_!,.__m ' bar_;a__'pe_e_.__,ic_laraiab_rat_comoseindica.
''':_-____V__,_i'___._i___ ;_ _' _
._'''''''-i-:v_.'__' _b_i_._'j_'__i''_. H_ _ 0_ ' ''-"__,
'''''_V''''''__,,.--'_-'''?,__'' _ 37d_:',_..' ''i'i.,,
' ' '''__4!'_'_:'n-__'___'_''_'''';___ __'''''___:_';:_._:.';'___ -_!------ ___...__p_ a''__o_'_. _':._____ ,/_P'
i, ''',-'K'- y ''''';_..:__:.':'';''''' ' d__,8m; /N=40N __i'' ..;''o__o_,..,,o ,_..-;....,..;__.;___,;;...:.;..:_''__ '__ ,,//
:__ _ _, rsN_3_N ?S_'___'_.n......___'_,;_''!__ _'i__9__8'_N
_ r'' '_ 'o.'_'_:__,,_gP
_ _, i 36N '_''':_s__ _
; _ &g___.CD__i..... ..; ___ ; __1__ _r_ _ i______.9
_ '''_' _N,' del_'_ T=60N ' // _ 'b'_:_.:.i;____,
_.__ __ ,_ ,_ i, _'_'_'O__, _..,_..
P_a _der caicul_ la reacción en P se requjere 3i. o:'_'.iO_0,_ .. ._
--^---- _
ei valor de- l_ rh_ yla rssubre !abafr__. :':;;;;'__'_.,,._'_'""'_. ''
Et _,_t,r de _, r, t, c,_cu_,_o, c,,,__e,,,d, g, _ ,2_- ' ' ;E _ _.!
_egu,d, co,d;,ió, par, el e9uil_.b,;o, sob,, _,, '__ :, ,_ ____'
_,_;__D,lea re_pe_o de O. __ __
'f
__v _ -_d'_ v,, __
' O ._ '''''''O.
Of el e_,Ufll_nO de _& _arf_, Se da__e C____1__ ßU_
r_ _,_,T
0 _ 0'O
_' ___leje,V_' '
_ r,(____''___J(_X), '
__(__)_____ €,)
_ ________!
'_ _3_30N=3__i____
,-p _s_30,_1 _0_,
P''1- '
__ otro lado, e_ va1or _e _2 f_, lo c__cu_a_'_ _''9___
' _ E__el_;___^
considerando también la segunda iondición _'- ara
el equi_bno, _specto de P, sobre la baira. _ F r__) __ _ F( _/')
__ -__ ' - R +_o__-dg&
' _ P P 2 ' -^
rv _r, _2'8_
i--_
t (y(__F_(dl) COmO Rl y R2 SOnC0m_OnenteSreC2an_Uf_ieS
-2J __(_, g_J de_a _p _ entonces se_e_e
N_- i
.n. /,_ 40N Rp _JR2__R; _ ..,!,6'+_' _ a_N
_55

_ta_m_ blt _3_tn___c________0_s_0_____o________________00___q_o0____ dp _l __t__________________s________y_bt_______________g___p____0n_______________ t _ d____m__m_______ ____0______________v___________0___c____________________o___0_0_______________0_____0_00___o_____D____e_0__________o________d ___ 00_t res_p_ e_c__0to_ d_esu_c__n____et________n_od__e_ grQa_vteda_d__qd(a_cs_Gpoo_e)n_sr___
_:__-5_!,;__:_,0' CENTQO DE __Ma__ {C._.} _,___,.____d_'i ' i 0 e _
. _ _ _ _ _ __ ____._M__.._.____.__ _ i _ _. _ _ _,,
En la actividad cotidiana, observamos a.
posiciones de _gunos objetos que tiam0 nuestra _ :G; ,...,.. _
atenci6n. ' ._;,__g._eo__0_g=,_.,,D0,g...,,_.., ,.__.,.,_.__, ._,,,_.. _0_...i. __._... '' ' ' _ ^ ^'__ '
_ ''_ : i_ ' '- _'__i'_'__ ' _' i ' __': _____ ___% _ _'__ ___ __8
' _,.,_..,_.____
D ad _- i_ _
_ ; O-: :; ___ ____,0_0;.,,..,. ,_;.i_', _. i _,_ _ O, _,_ a_,.,. 'i _, ___ _ _,__ ___,_0o,__,__e. _; __;.; _,. _,. _n j ' __vo_c_a-/ _, cun-a _b,e el _a,n___o, ,_von_,,
'-_''_'''i_+_-_,:_"''_X'_''-':'c'___i_ __'','i_i-__..'..;_,.,.. __''_'_._.u_,.._. _ _ t__stema cun-a m_s _adr__tlo7 __ ue_ fe u__s._t
ns:, _'_' '-''_''''"':'__'v__,,0_,. son n. ecesarios para la volcadura y no
volcadura?
__r que no _e _l mechero a_yado en el b se ___ un s__,tema de dos bo__ un._
extremo de una mesa? ,5_r qué no cae el alambre u_ va___,, ___
s_re Ia supe__cie incJinada? i_r que no vuelca
el cami_n estacion_do sobre un cerro co_ _-_
_ i'______o
S_nata Ia nI_Uf6? ,__,__,_ cG i_'___d
i^' ---= - ----__ c.___0
a respuesta _equjere de conceptos de C-G- '' _,, ' _ _
,. . . ., _ ^__'i ,____ _C._._
e4U_ l flO _' e a _' tCaClOn e SU CentfO e _ __',,;.,..... _ __ "'''_d _ _,0
,' 0,__'_ _''''
_faVe_ad (C.__.). _te _UntO nota_le qUe_ en la CG., ^' '_
mama de los casosf es_á siEuado sobre el cue_ ,_ ,_ __o.''0___0i''_'__ 'tc.G
_ii_i_i._'__ _i_, _'0'''_
_én nos e__te _a_iear la situacî6n de ' cG i _ R_
__ ' '___' _
estabilidad de los cuerpos. _
_
EFec_ivamente, los diversos cuemos n_sicos en
la naturale_ poseen m_ e interactúan con la _pen,ment_mente e_ ,._stema '
granmasa denuestrop laneta_ esta interacc i ón . Rea___2a un mov-_m_.ento de ro_ac_-o_
se ve ret1ejada en la Fuerza de gravedad que
se consi_era concentrada en un punto en el cu_
_ Su C.G. se despla2a realizando un
_pe_ment_men_e si le aplicamos una fuerza
m ovimi e nto ,p_abó_i co.
opuesta y de igual m6dulo que Ia Fuer2a de
gravedad_ el cue_o_ estará en eqwlibno. No_amos que e5 de ,um, __mpoTtanc__
_ consecuencia, dicho _unto denominado con_e, _a ubi,ati6n det c.G. de _os cue_s paFa
CentFO de _raVedad (C.G_) eS Un PUtO _tal _a _a_i_ al siste_ en su conjunto y pfecj_f l_
el análisis del equilibno y su implicancia en la caf4ctens_casdesumo_m_entoy/oequ___b_oe,
volcadura. obse_emos algunos casos donde gene,a_. _n_c;emo_ a continu,c_6n el estud_o
tomar en cuenta este punto es muy impo_ante. corr_pondl-
456

p___El ( ___bJ_t___t______h___n_tn____n________t___æ_t_ ____ d ________________________________t)o0___x_____________0__r_ A_ _l_ l _ _y e?nd_____o____F_D__u_s FoFdelteo__r_Fe__ma+_d_en_yvaxn_g+n_o____n+_F(_om_x_nand___J_0
Lumbreras Ed itor_ - Fisica
E_p_rlm_ntalment_ Analitlc_mente
AquE_ solamen_e, tendremos en cuenta un Siguiendo con la consideraci_n de Erabajar
cuerpo plano, pudiendo ser irregular y no con cuemu5 planos, te_dremos en cuen_a un
homogeneo. Vamos a suspenderlo de dos puntos cuemo cuya Fuer2a de gravedad es F g y cuyo
(A y _) quedando en cada caso equilibrado __on centro d_ gra_'edad deseamos conocer, para ella
Ja a__da de un hilo. Io descomponemos en una cantidad nnita de
_ q_edar suspendido de uno de los pun-tos_ pa_es simples de fuenas de gravedad:
el C.G. deI cuemo quedar_ directamente bajo e5te
_ , . N / . - gl_ g2_ gS_"'_ B ( n)
UntO O _en COlnCl If COn e. ra OCa l2ar e
C.G. se __ una linea venjc_ debajo de_ punto 'y CUyOS C_C. tienen, en el _lanO _, C00rdenadaS
de suspensión. El C.G. se encuentra entonces en (x_ _Y_J, (R_ ;y1J_ (x3 ;Y3)_ - - _, (xn ;-)J,) y, ubic_do et
la in_ersección de las dos líneas Erazadas para C.G. en el punto (-_; y!/ _ jenemos
cada _. to_ ta_ como se muestra
_ __ _u__e9_ _ _______i
,-,_____.__ _,__' _-____,__-____:_.______h Y _ _ _ Y
_ '_ Ju___,__,
___,_,0 yn _0 __^____D '
__ A 0 ___B' 0i_ _./... ..,'_ .i?e n _
_ .., _ gv _ , _.., . .. _., _ y _ - y 1 _ __ V' ' _ ? , _ , ; _ '
_IM' ___'__.';._/_''.._.:_,.__.______. ..__m:,____c-_,_a:D.=_'o____!_''_'.,. _ttC_ _ , _ ,'' _ _^''',..._
____._,..__'it..':t'_'_.:.;?!i'_____.'.._', A ._t_._.__,_0;_.____x__'__!_._:'_^v?!:__;;._... ,' ,, '''V'_' ,l <> _'''
,__'_0'____._-_.';._., __,._,__!m_?'n_' q;__'_q-. '_:_;e.?.._.nq!.M- t ;.0 o_,;._V__'_ _',' ___'_, ,,_ _ l -_ ,'__. _ ,0 _ ,, ' _.. ; .' ,' '''' '
v ' _ ' !: ,,_ '. : _ _ ,.,. :v, _ ;. ;_ ;. .; _. !. _,. _0 _ _ ;_ _ ' ' ' " ' ' ' ' ^ _ ___ ! _ _, __ ;- '_ V. _ i :-, :; ,. _ i0_ :, ;0 _D _ , _ _- : _ , _ , ' __? _., Y_-_ ;. ,J __, _ ,, ' X _ '? X
''_''_'_'''A' _- _a _ X x
_EI C.G. de_ende de la forma geométnca del d '
Onde
objeto? Veamos el siguiente caso. si tenemos una
vanlta A8 homognea el C.G. est_ ubicado en eI F_ _ Fg, + Fg, + Fi3 + __ _ + fg
punto medio M. _ro_ 5i a esta v__la Je damos Hacl_
la (orma de u_ circunferencia. juntando _ con momentos ,especto _ e__e _
B_ el C.G. ya no estará en el punto M, se ,
demuest_ que est_ fuefa de ella. MF_ _ _ _F1
ttfY^____ t_Y
Ce__O de __Vedad (C.G.J _ende a ublc_Se
en la 2ona don_e e_sta mayor conten_aci6n de F ; f x +,n
_ ' _ l' l _2' t 33' J ''- _n'
m_a_ por e_emplo_ el C.G, de una _ina _angul_
est_ a un tefcio de la disi_cia en_ la base y el de d0nde
v_ice supenor; un _lido c6nico _ene su C.G. a '
'' _ Fg_._1 +Fg2.X1+Fg3._3 +...+_( _.X
una cuarta _a_e hacia mba desde su ba_. x__d " n (_
Fg _+ Fg,+ fg 3+... +fs
-- ------- D.n,..,_.,..,.,., ------ Aná_ogamente_ tom_do momentos respecto al
':'.__-;:_'''_ _''' ____ eieX-
h '''' , _ ,-_ !_n,,v_'_.___, _,_
_ ___-_'_;,_:._..!_ '' __.. '''''^_n_,n__.___,,, _ Fg _. y_+Fg,. __ +Fg _. _'3+ ...+F,,. y,_
____ í- .__'';.n_.;;,'_''_'__0__,'___?,____o,__._e_._,__'___,____0 e __.__'^-'--- ;? ,_.____n_.___._;_;;__;_'_q_ Y --_f + F , f ; j _ - (2)
^''_O''___^i_i ''__.__ ,,._,.'_'.':'n:__..__,.._;;:_:.d''_'___'__ gl g2' s3 '''t g_n)
458

_2__ s_sdlec tly __p_A__y+_ +__ +e_Any_ ne __ t R_____y__c_t_tlr______________l____4_/______Ar_____t___0s___'_______t__________________e________3f__Re_________n________c_____tl___a________ ____0____________t______________g_s________e__t_ct___________r______o_______t_____f_____4______t0______co_D__ Kt__R_u______________co__0______tu_____________l_______ar____________t___
c&_íTuL0 vl_l . estática y Centr0 de gravedad
_pectos _ to_8r e_ cuenta Veamos este aspecto en la de_l_ición del C.G.
I. Como Fg,_m_g, Fg,=m,g , ..._ F,n=mng t delassigu_entesF1euras:
susttuyendo en las ecuaciones (l) y (2J' nos
qu eda Cu_o de _y_ ci,cun Ferenci,
cir_nferencia
___tl21'__nn ___ ' g1ede_
m,+mz+...+mn ;l ,,' i__'' _
ý__m_Y_ + m1Y1 + _ _ _ tmnYn R _y i - --- -_, G_ ;
- m_+m,+...+m, _ 0,'; ' _' ' C_G_t
.elob.etg ,esentam,sashomo e/ne,s es , _, ' !, . _ Y _
__,tl_enenlam__sma_ensl_da_(p). _ x _ __ _
m, =p__, m_ =pY,_ ..._ mn =p'Vn '
_ _ 2R _ 2i
UStltUyendO y Slm_l_f_Cand0 e_ laS x=y__ y=_
. , _ 1i
eCUaClOneS an_enOCeS.
? V_ .x_ +V_ .x_ + .. .i Vn .x
X= _
_+Yz+..,+ n c_art,0,,,,ode ,
'' efnIC CCU___
_ __ y_ + V2y2 + .. + Y y c _ r cw o _
Y--_vv v'^^ ---.!,, 0___,,,_0=, .
l _ ' ' ' A .._._,_,_,,'?'__.'(..,,.,..__,_-._.._m___..,'_:_.;:__g.._..,,. ,_
g_ si, tengmos plaeas h__og_neas de i_ua_ C'-_.;_'_i_'____.'_'_i'___!_"__''__:'.__!:.;____:_:'_'':_'_-._! ____.._'____'___.iii__^i_0_i_i___-_'_ ;_x....__ ,
_ ' . :_ _'__c. __ _,___h''i.__'', 7i_^ ''.'__'' _ ^' '__. _n,; 5i_.;_'_v. ,.._,,'__',_a____ . _!_.v_?,.,;,,.:_,. _',:', ;_'._.;____;..;.___:__,!_. '._o___.,__.,='';_P___ __.:,.'.__.._:'. _.'___ ,
espesor_ _ntonces _'_.____'__.:_;_;;;';___.. ._,:.:_-,-:;_,;:.5_'q''_____.s.___. '' _!..,.,;!_,___',.. _. ,:_' __ ,.,_;;p;'__:'__=_.;_._;'-,:_._:_''_ '_. __:_'_.__._.?.._0;_______';'.__..__'__';___._._v..____ :_"__''____0. :'_S,,.?'_..;:'''__,._..,,- - ...
u _ __A 1e u _A p u ___A e ' ii'__ _ '''' ' _''' _' ' _' _''__ :'_t. :''_ _'_ _ '''' m __' '' _ :_:__';'. _: _' _'_ _"v '_' ' '_'___' _!_ ' _''; __' __ i': :_ _'_ :_____. __; _ ! __ _ :' _ '='_ __ _ 's;. _ _ : _ ' : _.;' m__';; _v;' __' m__''__,5___ _) __; _'_;' ';-'_: :;'''_. :__ _ : _ _:_ :'__ , __0' _? __ _''__: __ ' __ :'_;_e_n ___',. _ ! _ _ _ _ _._h;. _ _ '-x; __g : _ __0 :- '- _ 'i ' _'ie;,_. ' i ___
' _ 2 l'"1 n n _ 0w__'...._..i'._9'_';_;-___.._i:'._:_'.;'.:t._::'';.._'___'''__::__.___!'_'_.:._.._,;,:_,,_. ;.__'_'___'_j___9_o,_;_i''..5__':._._;_;__:_.U:_-c._::.;_,.;_,4.';''_;'..,.:.2_..._..____!:.___:_.__.._0.__!.___._._V_;_0 i_
Reemplazando en ias ecuaciones anteri0re5 0 _ R o _,_,____
_ _X_ + _X2 + _ _ _+AnXn
X=__ _
+_+ .. .+
_ _y_+_y2 + +A y X_y=_ X_
__' i,_',_,,nn _ __
_+_+.. .+An
_. Si en lug_ de placas se tiene vanil_s o cab1es
delgados y homogéneos en fo_a an_oga se .
C0de _
emUeStra _ r _
_ _ l X1 t _2 X2 t _ _ _ t _n Xn
X=__ _ _ ,, ..;';_:,__..._
_ + 2 + _ _ _ + , _ _ qe _ ..g_., '_ _'' S'' '';? _'?_'.;/ _q '':;_ ';_;..
/ _ _j .____ ., ,_. Y'-____0_';:_._.__,,;.; _";_,. i...
_ _1 y1 + _2 y_ t - __ _ + _, Yn , _ ' _ ,.n_ _' __;. _ _, _ :_. _ ' _'_ _., _._. ' _._ '_._ _ _!:._ _' '. : _ _.; ! _g _-. !'. : _. _ - _ ' ,.._'.
Y=_Q +_ + +4 o_, _ C_G. ' o ,..;.;.___'_'___;.__g_.y_____,___'__0mi'_'_._''_''__''___. .,:_,__'_;'-__-___t;..;__,_:___,.
! _ ''' n - ; _ _ - - - '_ - - - - - - - - ;' ' ' _'_'. _' '.. :o,.% :, _._,,__.' _:''_?!',___ ;_ ___'._;n;_, :. ___:.,. ___', _,__.._;_.. _.,, :_. _,;_,_;;_.- m_,_4_.._..__;. : _;;'' - - -
,'_. _...... _._,.,_ ' i.. ._. lY. ..._,._. ,c. ,__. .,n .,..,.,i,,.___,_,,-,,i_,,, ,.__i , , , ,__.,,_.,.,i,____,. _.,_o0.o0,,,_D_,_,,0_,,_,_,i. ;_-. '___ ;, ;_ ' _'_ '__ ~v,,_._0_-. '' i:_0. __4 __'v___!:_::;'g:._ :_,'_ _.,._.,_:___ __::'___',;; : ''i__,.__. ',._:'._; ;_n.___ ::. _m_.::.._;._;.5'____'
_i_g00?_,__, Si un cuei o homo éneo tjene ertes __ie,_, t. _ ;'t_ ,. ; _ _ ____,.__:_._i_''^
_i_.i_ _náloeas o sirn_tncas entre s(_ entonces le __,_'_,_.
' ____o_'_. _0,_iD.,a' _mos tra2_ un eie o p_a_no de simeta ',_'_'_',
O__go.,.D'_ 5o_re el cu1, necesariamente, estar_ _o_'_,. _ Rsena _ J
0____, contenido el cent,o de r,ved,d c G i___i.. X = _ X = --
__,,0_.., ''' _''_. - a a
o9

___u___________o_t__/____l0_t__________0_____________l____t_______________J_o__t_o___t____tl__r_______________o___c_tt_________t___+____q_t_________t___vy______ltlt____________t__t___ttr__t___0d0___y_tx__0_J_t_______________0_o_______________________0_______________0______0________<___t______________ttl_______________o____________________o______________0_____o__________y____t ____s___t__e___m___1l_eR_______l____p__tl_t_ts_______t_op4__e1_0_J__00___@_me______f____a_yoyy_r ______p____________a____f___________a____b_________o__2t_lt__t0_o_t___l____0oo____o___1_n_od_R______R_______0e___p_________v_________0_______d_o______ ty
lu mb re ras Ed itores fi_ica
Cascarn Cascarón '
sma ClllndrO
Sem_eS Fe f1 cO COnl CO
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_ I '_:.'r:'''' ' ..:_._ C.G.___,,;,___'.'___';J _ _ ___.0,_,,'__o?,_,0_"^_,___,0_ ' ir _
_N._-_ _ ____ _.__ _,__ ' _ l' ' _ ' - i _'
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_rámide Cono H__ sem;e_
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Hemisfeno -;__ ;_, _i-_i.__x ___ ., M_. ,i'_._____,__,_' __,_ '_ -
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. ;_ : ' '_' " ''__0î_'__i'_______''i ''' __ __ __ _'_'_'0_i_ î ' ,' _ '___,o___;_'___,',____d.0._.,_, __'_,__0__''''_'_o__,o_______''_,____,__o___0__'__._'___,,____a_,___o_'_,____'_
, ,I ''''_____'8_^'0 __i_ ___o __,____. ___ __i__ ,, _ _,o ._, o _i_.. 0,__. ,__.. _._____,__.._B_ig__.,.i'_i'_.'_,_0_l Oii'____'' '_
"'_"--_'-'_0 _ 0 _-
'_';'-,;__,;-;_ ---,---'o' ------------- -- - _,__3_ _;__H
Tronco Semi tronc_
,.,,_,, .,__'' _?; _,..._..'_i.__m.._,_Ç___^...0_ _' ,;._..,..<..,_.___.__'_.; ____,,, __i;._ ___':_''___'^'_Vi;___8,o.,;_,_':._,. __,_. 0,._,_,.,o.___.,.i0__'_i'_B,_,.._i.l,il,_,i.i''''ii.. de CO_O
'''__'''':,,__/_.;'^___l_____'' '?' '' '. __.o._. ' __...;'___;'___';;,_.._. _, _V ___,"__'_,_'__,_0_0o__'0_____'__0____,ma_;_0__Di___i_..,i'_i_''__'__'
''. _ _'__' _ ' ' '-- 0-- __: ' ': i ' '_: ' _ ___o__i___i i_._''- ii..._ ___ _ .0W0__D_____ ' ' O '__' _ _o_ __i__i_^_ __ ''_i ii'____
. ,;..__.;:'_.. q_ ___ ._..,_i.',_..,.i_i .'_i,___,,_,i90'i_ii d,_,_,,.,., ,' iiiii_i_8_ii__._i,i_0?,i__...ii ;_.,,wo_''.'._i__0_oe_ .^'_-._. .0__|._i__,i_'__ _' ,_.i_' ii ..__. _,;t'; ,
f __:_ . iiO_.'_ii_' ' ,-____.'/';__ ;':'__, -_,__,,_^'__ _' i_ l____._'___'____,_.__''i'iO'i''' ''__'i'''i _'_=_._,o..._'.__._...___i.,00_.i._.,_' _.o.. :'_; __=.t'_; t _ ' _' N
'' _____i__,o=''_-i_ii.ii__i_,?.-;''__:-___:.,__?td9e.__iA"i _'...__.._ii__,i.ii,i.i_.,_ i.l__^.__0_ii_,_,.____L__9i____l'i'0__.il_'__"_,i._,_,___,,_i__0_,ii__._,'i_ __..__1 __:._'.. _ ' ,'. t
''' _''__-'' ;______'_,__'i._iii',.i'_i _'_'_i__,il',_'i''_'''''i'_'_i!!_ii_'i?'j'__.__,Y'_''_y:''_'_''''_''''__';_'^''''''?"_q_'____07_:''___''__''''i__e"__'''__iii'_,'i"''__ii,i''iii_:'_i' ,__--,_'' '' _ H _' _ , '
.., ._.wi;__l_i_,oo,.__i____B,__,,_,0'i_i_.'gi_;ii, ..i'_..i.. _i__:..;____i_'_i,,;_,..'.'__:,,g_.;.___i .._...__;;<;_,_;;__.__;,n__n;.___'_a,__.._;la_i_'_l'.ii_i _;_g_._.g ,0_;_^_i_ i,. ___. ,;s,;_,_i;_.,.;. , ' ' I _,_ _
_ t,; ' i_ _ _ ;'''_' :'e_.'._'_,,_o...,,___d, __i_' _' _ ' '_' '' '_'' ' ''' '-___-_ _n ' -- ' :__ ^ '_ '- ' ' _' _'_, ' ',_i __o___' '',:'_ __ __-0 _o ^''-^ '____'_< '_'_ _,'_:_,__ :'_ ___ d __o 0'''____ _'' :, _--, __'e_ _'_ _,_oa 'ii__ iii i' ''_'' _'' '' '_ '"._. '0, ,,_ __v__,_ _'__ _:'; __ _' ' ' _o_''___''' S ___ _ i-- , '' ! ' - ' ' o
!0n=i ,i__o,__ i',,._.;_._q..,.i._i_,, .'ii_'i___i_.'_i..,i_ _ ,_.iii. _-?__ ,0, ., i,,_:__'_i_ ___-_ ._-__ ;o_0,_; .__.,. .''_'i__ _'__.'i:;_i _â0___ __., __,_iii__,i .'. _?. ii.i.O'_'_ _:_.. ... .,_. _B,. o_ ..__ __. ., , ,_D __, , ,, , __ ,_',:_' _' ,_ii _ .; ., ,_. __ _ R . = = _ _ _ __ 4___ . _ '
'i_'__0 _oo___ii'_0__"__ ,_'_,'_' '__._ __ . '''''______,_._o,_''i_,'''''0''_'''_''''''i'^_'_,__'','0__'__i_8_;'___,_,0__i_._____._i"'.i_,i.____''.ii, ' '''' 0 _ 0
__,_i'ai'ii_'_ _^'_ 0__ _oo___' i__iO'_''_i.i^_ii____,____?,..____;._<!__m____' '___';:_'_''___:______î'i__i' _""
''.i..,._,i_.o.,....,.,__ ,. ,.,.,i____!_ . .o,. _ .._ ' ii i,,.i" ,,.i__ ___.,?._';,__e.,_.__.._.__..=..;.;___.;.-,,_;_;.._."'c_.,.,,;i',,. '. ',,,._,,_____. __::;.S:,_.,:_,',..__o,_. '__a'_^_i_O'_,i.._._..
' ,._;.a _ ^_=__i___'_ _.. j__":' , ,''._ _/?._m_d.'_'.,.__.__,,,.o_.,__-_____D__i'i _.'. ., i___,__..__ 'O . _o__.i
. i__'_.'.,.,__.;;.._:.,_,_._..,_;_,_,,:;;--i_.________ _;;_._...._:,....,_,.:.!.._...__..j_'__i_- .__j,,.:''_' .__, _'i'_,n___-,___.;__._';' ;;_' ____..___,_,,n_,_.._,,.,,_o8,0,__o_,.0.i,.0,_,.,.....,.i,_._.,;::__,'_.. _ H R2 t. 2Rf + 3f__ _ f_ + q _
JJ -4_l+f+_ --
Ot _taO _050F_l _nClmO e _Vorl d _l_n_SU ___ffO
__ grwedod (C. G J _ debdjo _ elId.
'_0_0

________________l(__l_)__l_ ____ ______________________________ _ _______ _| _______8_m_3l60____y___0m9+__3______0______m+6o2mg_o__y2++__mmg3__y3g_g00g __
'__i_,_i_i____,'''''i_i,,., '0,._, fe_','.0-'__m,,8, 6Q,eSueit_S!',..., ,,, , , . , _,,,,,,_ ,,,,. ,,,,
__f_1 , Tenemos
Se _ene _es pequ_nas esfer_ de masasm_ = I0O para la ma5am_ su C.G. es (_ _ iy _)=(0 ;O)
B, m2 _ 2OO _ y m3 = 3O0 __ diS_Uett_ _ COmO _a la m_ m_ SU C-GN _ (X2 iyd_(l8 _24) _
se indica. Determine l_ coorden___ de_ C.G. de1 _0' 0 ' ;0 la _m3 su C_G, es (x3 ;yJ_(50 ; _j _
sistema. _. _uego, us_os
_ m _ _X _ + m _ _X 2 + m g -X 3
,,,,y , X= ''
I 1 3
m, Reempl_0_' _'_,__ .do -'
_____,.,
.'___' _ (1_g)(Ocm)+ (20Og _ (I8m)+ (_,,,_D_,_' g ) (5__e,._'_ J
t _ ____ _ _ _''_'_ _
_' ' l_gt__g+3_g
_' __ ? 3_gcm+1sOOogcm l8_O_,cm
___= ,_ ;.
m_ _'_a '_m_ x(_) __'_'' c''"D i__i'-
i'''_____' _- ''_'-O ' _93
_5O__ - X=-Cm
R,__u_6n _ ______nte t
_a de_eFmn_ las coordenad_ G_J det c.G. _
del sjsrem&_ necesji_emos 1_ coofdenadas det Y -" _ + m + '
l 1
C.G. de cada una de la_ esferas_ Para ello
utiliz_emos la geomet_a. _ _t 0'_0 ,0 _ B _ m) +(2_ _)(2q _ )+ __0_0 _ '0 _ m )
_ Y lO0 +200 +_ ' '
__ _ __ß0_.cm
0'.,. Y=_' =&Cm
3O_ _ __ _ y
.' i.24cm _', --t_'"'
' '' ;_, _'''' __,, _ Entonce_, el C,GN d ,el sjstema es_ ubicad0 en
053O_ ' "i .
' _ ''__yJ=_;8an
! l__ ! , 3
' ___ ,G_camente
y(,) '''_"_'i'ii' Y
mr___ ' m
_i_,=,,.(I8;24) _^"__0 _
_; ___ ,_'_ '_
' ,_ ! ___ _ ,í !-'-'-___.C.G.__
(o_,o) ,_ ; mg_____ x (cm Y _-----;i-----------;.'-_-_.:=__, ..__. x (_)
_ ___ ___,0____i g_w0=, e_ _,_). m i X m3
461

_Ang___( l__o___(3w____o__00 )_(____(lpl__l(_24))Jl___ _)__(L___)0__p_02_L20 __ 15cm________yl___0__?_____p_________t3_____o_____c___________c____t0____me________(3_______0___0____0_6_c___m____________)_6_____________(__v_____0___0____0___0_______ _y?) __f0__6v cmxo
lumbreras Ed_or_ ' . física
PfO_lem_ 2 Por _o tanto_ el C.G. de la barra doblada tiene por
Se mues_ra una barra homognea y doblada. c_rdenadas '
_etermine la5 coordenadas de su C.G. _ _ 2 L
y _:y = -L;-
'>
'ß __l___00e__,3
____o'_, Encuenti las coordenadas del C.G. de laplaca
' __'__ ' ' - _ met_ica de espesor uni Forme. Considere n = 3 , I.
_'_, ___C__G_ X
o'_O'_0"'^^''^_____' ___^^^__' '_ ''^^^_' _ Y(c_J
Re,_oluc_ón _
Consider_mos que la _ e_ la uni6n _e dos __ - . . . ,, ,.,.,. ,_,.,,,,,,o,,,.o..0,0..,.,.,..d0,,.o.,,,.
homogneas de _o_itudes L_ = L y L_ _ u. ' . '' '''' x:':~ _ _.n__' _:;_'__' _ gg:',_,__'; _.,_._'0_'_o___0_,e__,o __a, ____. ____ __0,_ _ _, ','' _,,,__ _ '0 __'_,____0,_"'_ __,'_' ___a __o__0___i_?_.._____,'0_'0,.
_ ' '' _' :_ _/_:^__ _i___' _'_ '___, ___i'^0___0_'_^'0'_'_'______,__'__'_''
;_...._.,.,, ._, __ ,.__,',.._4._,?____.,___0,_.
,__0'_,_,; 3Ocm._,__.-,___''-___-___,ç-;_n- _ ^''_''-''
_ _ ' ' D _,- _ ; _ _Dd. _, _; __ __ __'_ _n-__-- _-. .. _ _ -- ---
,__, _gO____0_'__'_8_0,_.___-____=__ _'''_' '' ' /
_ _n q __, i_ ! _ _ _i,_0a,__,_'.oo_'__,_o:.;=o0'_,;'.:________---,___,_._::.__...'' _ '' ....__ _ l O M
i__.0 _' __,,;_,_0__,_'i__g_,__,__0._'___,_-__0_ :___,____ __^_-_:?,,;;,'' '_.;;_''__.;.:':__'._,';';_''=_ .;._ ': - X (_J
.___._' l2 X o____'_'''_'''' '' '_
_d _m _ _,. _ _. _ _ _ _; _ _ _ _ _ _ _:. ., __ n _ ! _ __o '_. _ _. _ __, _ ' _ -. ; ' ' _ : _. _. _ _ _'_ =. ' _. , _ _ ' _ _ _ ' _ __ _ _ ' _ _ _ _ ' ',(
__ _y2 ) '
?_nt__ ig os-_c_No_s de _s ientrog de R__U_n
,aye_a_.d ,m_ Hubiese sido f_cil dete_in_ ta ubicaci6ndel C.G.
si todo fuera una placa cuadra_a_. pero debi_ _(
Xj___ _"_ Oi_ y agu_ero circular esto no es posible. Aqu_ la
o _Iu_n Ia abor__e__ _os de la siguiente manera:
X2_yj = l;
tenemos una placa cuadrada de lado L _- 30 cmAh
ora, so bre e lq 'e X _usamos at c,al se _e sustra _-ouna pl_,_c__,cul,,de ,aJ__
_ (l_ )(x_) t (l2)(x2) r _ 6 cm.
X_- _
t
_
_ - +
x___ =_ _
+2L 3L _ ' ,...-...'_''__:;..;'._. _______i,__,g_.
? 2 _ .'';:i__''-____;-;._9'_,'_
__-L ':':, __/_''___-:__'-, -
_?_' _t,t____ . __''': ,_,,_'___'_,
, b l , y '____ _'_;_''i_?' _ '_ ' 10cm -- -=- - ___'__,_,'j_,___
O_ament__ 50 fe e ele i,__,._,,__,_,'..,__.g,__0o____,.a,_0,__0 _,___'o;_ ___.v_ _,,_ __ ''i'i,_ii.____a_____.______^_,,__0_08_
_ (L,)(y,)+(4)(y2) O__ _''0^'^0 __ _'''_s_'m O j4
Y-- -
l 1
l L1 pl8ca t,ad,,da de a_rea _ __ L2 __ 9oo cm1 su '
l) - + _ t
y_ 2L 2L __32L c.G.ubicadoen (x, ;y,)=(_s__ _s)cm
+
_ i Placa circul_ de áea A, = nr2 = 36n cm2 y suY
-_-6 cc b_
" 21t- _
40

_ppl_ca__x_t_(_yyct_______t_r___c(__3_u3t)lt7a5)oo_r(cy_dmA)ec)(m_9art00(3eAa_2cx3Am62yo_22n)_)__c(m_363cnc_m_ 2_) _ _vEc_mfrounolayune_onmstesalet__seeTvofmaent_rae_e_aassnmd__0______t_______t_c_____e___e____vo_________eeD__0______0____c_00___s_______nt0o_t__0_r0__%o_vut___t________0e_____a______________l,a_____s___em________y_/_d__0_____)n__s_______0_____oa____oe_o___x_s_0o__mn_00___yo______tr__o_ao__s_b____sasto__teabnrff_det_eoemcl_t_0toenl_se_day0__ssct_sut__)emmoast
CAPíTULO Vlll Esttica y Centro de gravedad
Ahorat para determinar la ubicacióndel C.C. de ..____..;..,,-_'____._;,?';_.,,;__..,,_,._,..,,,_,_,0.o,..
a _7_Ca a_Ulereada .n0 Utllt2arem05 laS maSa5t ;;..' ....,..._ _ __,'',;;.___''_._^'',^_0^''.__.,___,_"'L;__d,_'__..
de espesor uniforme _ _ _ ,_.._ _, _ ___,.' _ ___' _ _ ''__o_ i' _'_'_0__!0___8___ _o __ai__ ____ ^___ i__ ^____ '0__ ''i _ '! '_ _
Con lo ante__r .::_:_.__,;.;._.,.:,'__;;:. _ ....._...:_.- _-- :-_-_-,
_ (A_)(x_ )' (A2) (X2) - _ _ ' _0_ ''. _: ' '_ ' n__ ': _' _ ' _ _.: : ' __ : _ ''
x=_ H ;_'_...;:_ ;_ _ :.__-
En este caso_ se consid_ iina _ poFque a la ' D,__o,__,,.:,,,. _ _ !, _ _,.._ _;:'_.
Iaca cuadrada de _ea A_ se le ha su5traido la --- _''_ ' ..., _-
Resolución
_ (_ocm')(IScm)-(36ncm' )(24cm) Recuerde qu_ __n _l _?e_s_ de trunn,. __.'_,,,__. _ __r,__,
_ l3 _O0 cm3 -864ncm2 _ V_,. y_ + V2. y2 +... +Vn. _v,X = _
2 2 y =
900 Cm -36_Cm. V_ + V2 + ___+ Vn
_ambíén
_ -43 ,(,ad;o)'_ _ -43 _R__
i-A2 ( ,
ci1i_ro V2 = Area de la bas_J (altt_r_
- (90ocm')(_5cm)-(36_, _' _tOcm) _ v (,,2)(y)- - _
(goo cm2 j _ (36, cm_ j ' - - -
Trace_os el sistema de ejes cuor_ena_os de
90O_m2-36_cm
y= l_,7cm ..,.,,._,__0_;_._;-_;__;.____._-_... v'_,.,
MEonces, la __icación del C.G. _ene coordena_a__ 'p,_ _' ',.q. _--:- ^- _=...;...._ j. _
_ _ V_ ''__0_'^'_'_,___'_... _i-?_,.__=_:_'_-_ __---- --
x; y -- ( I 3 , 7; I _, 7) c m _''_00_'__'__'_'__.,_,'_'_;,,'_..___:o,,-;,.0_;o^__'_y.:____4_-g_;____;::_-_v.:.........,.;__.._.'...__.:._,._..,..;..__,_,;_,;.;;_._v.g=_-_--____;_;-__.;'''' R
Pro_l_m8_ ? ,,',_p_'_,''"','_'
n la n__ura_ se _uestra una esfera metálica __nto .'_'.''''"-__- _! ,,'_---_^_;___'- _ _ R
a un ci lindro del mismo material. Calcule la altura i:' __ .. '_ ;! ,' "';_..,___;.,..:
del cifindro para que el C.G. del sistema est v _._';._.,__... ,._':. '__ ... ___-_=_-:_-
Ub1CadO en el _UntO de COntaCtO enlre lOS Cue_OS_ :_,._n;.,_;_"' ;J _... ;5:;;;....;,_
(Cunsid__ryrR= 60 _'m y r_ __ cm). _ _.__"-- _ '--_ _-;~_--_ __ ..______._ __________ _>

_ _t_o____0o___00_______________3______________________00_D(t__________o_________o________)____)___Tc___o__o_0_0(______(_____H___________________0________________)_______6_______0_____Ro__le__l____o)__0__n_0________________(________(__4__)0____o___o_____)__________________2 E____d_y__________________2__d__Rlllt_c_G_(__R_)__o)R__ _ _ _o_ __ __
lumb reras Ed itores ' _ fis i ca
Veamos que el punto de contacto P tiene como
. ofdenaday___. Y _,L
Ah o r a ,,,,.,0.,,,0_n00n__ __'_o,,___"_o '_0 _ _ __
_ ( __) ( yt) + ( V2) ( y1) ,.. _. _ !_ '^'_
Y--_v v _ .d___' ! '___,.
l 2 ,.B._'' _ '' - _''_,.,
__Bo__,,, ,0,,, .p. p00,0000,.,0 0 _ 0 ,, ,,li',,,o, X
O
-43nR3 (HiR)+(nr'_)-_2 ' -
Y = ' ' 4 Entonces iya conocemo5 la abscisa de las
3 t, nf2H '
3 COOrenaa5 e _ ..
x=R
Re_empl&zando los datos que tenemos R _ 60 cm_
V4lUemOS ta Ofdenada del C.G._ _aTa e1tO,
f _ 40 cm y Y = _P. consjderaremo_ af cue__ com_ sj fuese 1a unj_
' 4 Hz de un al_bre _ciic_fe_enciat Y un __
3 2
-__ + +_ _ rec_l_neo. 'X
_ 4,,, ,,, '
/_ 3+ _2H y r
_ .,..,
___'___ i' +
Operanda ."'' C__N
14 _' !,Y_ ix cG _
:.Y_4Cn_ __ . ' _' __.
o O_''''^'^^_''i' _ '_'^
__'''_i_,_lg_85 Longitud L___R ___ __2_
Con un alambre delgado h0mogéneo se obtiene y 2R
l=_ _1_
lo que se muestra en la gr_n1ca. Determine la _
ubicaci6n del C.0. del _ambre. Luego . _
.Y _ _(__X__)+(4)(__)
Y-- '
t
,0d__'___-"^'^ ''_'' ___o,, 2R
___''_' , ''_,.,. (1ER +
i__' ,' _, __ 1C
_?__'' ,' __., _R+1_
.__,io' ,' ?'_ x _ 2
0'''_^'_' _ y_-
_(n+2)
_ 2
Re_lu_ón Y_-_( 2)
1l+
Recuerde que si existe una recta de simetja,
entonces el C.G. es___ ubicado en un punto que
se encuentra en dicha recta. En es_e c_o, la fecta x .v _ R. 2R
desimetaes _. '' ' (n+2)
464

A_______l___||t_____ttt)t _______t_t, (t___t ______t__ _ongy____d_____2LR_gd)4nR(lR+)L__+_L_2RRh_y3) e_x_2R
CAF_TUlo vI_l - Estática y Centro de gravedad
' __cJ_c_n_6 -
Y
Dete_ine ta ordenada y) del C.G. de1 _ambre ;,
homogeneo que fue doblado, _ tomo _e jndica. !, R
>
_, y O _ y
; _, C.G.
: _2R __ _
_ __ _- 3-
! '__ ;!R x 2 2R
' _ _ Y3=-(R3=-_
O '_ _ _
R__
Al un__ estos _es_ obtendrem0s le (orma _nicia__,
R___ _Ue_Oy _afa dete_m'lnaf la ___enada de1 C.G_
USamOS
paNi del tot_ podemos ob_ener tre_ porciones
coMtituid_ _r __bres que _enen la for_ de _ (l _ j ( y_) + (l,) ( 1 2) + ( 4 ; _-
semj c ircunfere ncjas. Y --
l t a
__
: (2nR-+(_)__(1i
; ' ?_ 1l 1l _
: _G. 2_+_R+_R. ,
; ;y_ _g_+2R2_2R1 gR1
: X y=__
-- ____----___-_---_--.---__ =-_ 1GR 41c
O_!
2R=_00'o
_'. Y---
1C
Longitud l_ _ n(R_) _ n(2R) _ 2_
2 gR _l
Y_'_R____ __.1_d , '
_ n e _IMne e f_ l0 e a eS_efa Omog nea para
que e1 C.G_ del sistema conf__ado este en A. _
_ y ___m__ yde _J_ ylaesfe_de I0ON.
; Y
: CG_y x
,_ ' ;t
_;_ ---^- --^ ^^_^ ' __-;___-____?,
R _ _ __,_, _ R' ;__ _ ______?
_________i_____a_ X
oneitu_ l__n(R_)=_R _0_,.,__ .? ' __?_____^V,_?
_ 2OO m ^__^_, ,0 __, , ,, _, _,Q_ ,_ ?_ _, ,_, _ ,, ,,,_ ,_?__ e, _
Y1 __(R )__ ^_,,^,?^___?v__ ,,^_'_?^,
M _ '_''_ _,_i
_

_t___p__n___ _____x__________________________t____t__/______________________________________o_______________t___0___0_____________________00______________________________0________o0_0____________0____o___o__ _() t RRet_u_e___f__d__e__qnt__u_Je_ (sRl_ __7_oo____0m__(____?0_____mant_n__)__________t_n_p0____ ___ _ __en)e suspe_ nd_ l_do_utdd_c_dolntf
Lumbrer_ Ed itores F í s i c a
Rg_oludón Reem p l a za n d o ( I _ ) e n ( l )
Como ta ubicación del C.G. debe serA_ entances
? ? '_m2(RtlOO)
SUS COOrde_das SOn X = - _ Y _ . _
Trabajando con ias abscisas ' 2
- _
y 2
"__2 R+
_1_c_1_c_ R -R=
__ cG __ ------ x -''
__'' 0''__0_ _ 0_ '_.'_0_'' _. __'_ ' ____ 0 '
'_'_i''^-' o R_ 2 +
Consideremos que la ma,_a de la barra es m_
_ 7R_2R+2_
_1 _"(R+ lOO Cm)_- 'R' 1O_ Cm
' .-. R=40cm '
,Y
- Pro_l__,__0____
_....,..._;D.;,,_'_-.._,?,_,.. Un a1ambre ií gido hom __ é n e o d e 5 O c m d e
0. ,.'''''' '' ' ' '_'', _''_,:__. __:v;,.y_..._;__a___''__'__0_,____._0,0_;.._.. Iongitud es d0blado tal corr_o s e i n d i c a. _ r a q u e
__-:_- ,_q ,'_/ c- ._ _^''_'''''-v',;_'_'-..-_;,;_:__._.._,.'',_9__'_,,_,,_____0,_.__''0__'____o0,,0,ie_,,a,o X e _ al am b f e s e m _ _ e ng a c o n la p o r c _ 6 n _ _ t o c m
.__,_:---.?,''___m__;__'__?__ - _::'_ _/__',_ -____!,j'_''___-_!_0__-'____0_,_,___o_^___oi__''0'____.d'_ en pos_c_ón ve__cal icu_ debe se, _a _ on g; _
_____' :',''_''- _'__i_'',-_''_^' _. ___^i__00__'_0__d,a0____ _i_ __-___,0__a_" t
_'_' _','0 _ 8'D___ ____._,,_ ..____ _.a _ i,_0_,0,i..___i__'i___^i,_,__a__'_'
'__'_R_'_i,_o____a. __o. '_,i______ _0 '_' ______"i__i___,___,,_,'. ,__0_q'___,,... _,o^__' __?,____,,o?_, '__o^_''
'_ ''_____oB' '____'______g__.=____g__________,_______,_.o____0__.,_,.i,ie_,•,0a___i0i__'_ '' '_' _
- i
Consideremos que la masa de la esfera es m2 y _ _l
del gr_F_co se deduce que su abcisa es _2 = 0. - - 0
_tonces plantamos para la abscisa del C.G. del o
sis te ma _anan s fe ra) -
_ (m_) (X1 )+ (m_) (_1)
_=_ _OUCO
m_+m2
e_emOS U_ C U e _ O S U S _ e n l O 1
(m_ )(_R _ 1oo)+ _ __ _ aC6n de _ fB S__ el CUe_ _ _r
(-R) _ _, e_ pun_o de dond e s e
m,+__
to _lenor pademos pro poner la si g u i e n _ e f _ w a:
_m_-(R+ lOOJ _ _
_ ^^_m+m _ _ _ _
I 1 ;
Tenemos l_ tVe_ que ejerce la Tie_ sobre _, _O Cm _
cd__ _no de los cuemos_ en donde sabemos que - ' '' ' _'
sonproporcio_esal_m__. _ocm L !
m, 9ON 2 __ 0 ._..._.___ ..__.__.._._._. _ _. _ _ _ _X,
t _--__ooN t R___5m_ (Il) - O__----i------ f
m_ _ c. _ _
466

_gnre__p_osoto______l__0___D_8o5o_e__Lot__e__Fmt__l______________________0__0_o_____o_______0_________Do_g____________0_pn__0_0_______________A___d_l____________0____t_2_____(_____ ________)____0_____(________0____0)_o__0________t_____ _ B__w____0________________________________________________p_____________________o_________p____0__0________l|__c___n_G___________________ _ c ______p_____________________l_0____2_A__________n_c__)_
CAPíT_LO VIll Est_tica y Centro de gravedad
Puede obse__ que l resulta ser la absua_ de Ias Re_oIu_n
coordenad_ del C.G. del __re doblado. _ _ p_l_ se pu_ __er ___do _a
este caso consider_emos _ a1ambre como la c_____equWbno,__a_nsidenr
unin de dos alambres homo_neos de ____deCG._i___vwa'_
longitudes l_ y l_. que pa5e _r _ _to A_ 0_ de_ contener _ LG. de
__y __00 0_ _,
lOCm l____, . qo_ .p,...i____''.:_..''0_,_;.,'0.''__,;.0! J..!''._
_'. _ X> D,..,_=___ad__ ___,, __'_,__ __ n i ' ' 0
De_ erár_co deducimos que p_a L,_ io cm, las .....=',.____._ ;, ' ' D D0
C_Fdenad_ de SU C_G. SOn __ _ yl _ 0; 5 Cm .,,,_'. '. ;
y para l_ = 90 cm_ su C.G. está ubicado en ' _0__'_i'^'_;.=_0__i_.,.. ,, _
(__ _ y2)_(20 _ IO) Cm ' ' '''_i''__ ._. _.
luego. e5 conveniente usar _ ''':i'_._____,.,.,..
? (L_)(__)+(L2)(X2) (10)tO)+(_)(20) R_adeterminar 0 tr_bajaremosen el iri_ulo
_c._.=_=
_+l2 10+_0 m
re___ 0 Som_reado_ en dOnde tan0 = _
xc.c.=_ _ xc.c.=l6Cm (eSi8uaIaL) t g_arct_ m
,-. l--16an -
Como la ubicaci6n del C.G. de un cuemo no
___l__9 _0 0 0,0 _0 0 dec6__te_i_do_cue____s
_b__homogen_quesemues_eencuen_ a__mod_ a la barca de la sguiente m_er_ e
_ne _a med__d, de_ __ gu_o g _' a_m_nos que est_ co_ormada _r dos b__
de l0ngitUdeS L _ _ L_ _ l. '
_'O_'_O 0_''i^O''00"i_"_^' 'Y .._
l__- ;, c._G. ie__
, _'D'''. _ _' _ 0 _ ^ ' ^' ' _ _' ^ _ ^ _ ^ _ _ _ _ ^ ^ ^ _ _ _ __
_ .... De estégr_nco, se deduce que
L ^'' __ '... _ l_ = l, las coordenad_ de su C.G. son
''_''=''C (x.y)_ __._,'_;

_G_m__as_J___a_x_____m(___5toe__3q_cl__)o__l3olcl_(a____t_nl___))s((obfe_t u____na3_mLesa c_m0 ste _p___ fa_Ae_l_o
tene_____JA____l_t_o___________J___0___s____00_0___________0__t_______g______________________________00____________________0y__no_0t0______0__o__0_____0___B______________D________n__00___n___________o______0r______________________0____0_0____g0________o_0o_q_____________0v__________o___t______0_______0___x_________0_n_0__0_0o___________0__________0__________n______0________o_______0_____________00o__________o0______D0___o_0______0_____y_________0_________0_r_________o___0_______________0______0____________9v________lo_0_________________F________o__________0rro0vg_____h_______________0_L_0_D_o___00___________t__tr_0L__x____p____o___________q____tt_________________________________0__l_________t______g_ _ la
Lumb rer__ Ed itor_ f _s i ca
Para l, = l, su C.__ est_ ubicado en Re8olu_ón
Para resolver el presente pioblema vamos a p_iT(
X2 iY1 )_ Oi-2 de l_ siguientescond_c_'ones_ los_adnllos A y B
y et c.G. de 1a barra doblada gstaf_g en (en reposo ) t _ comO se in d iCa' ,_
.. _;..., _'._ ___y. _. _0 _'o___ _._o,,D_,._,; c., _ '_ ___ '' ' ' ;_, ; _ _m _ ' ^ _ ' ' ' __,_., _ _ _,,, _ ' ' _,0_ _ ____ _ __ _ _ _8_'.o _p_,, B _ _,, _ __ _ _,_,, _ _,_,g,'__, _ '_,_, __, _, ',,, _,, _,00 ; ;,, 4..?,. _.; :, ,.. _; - :' _ __' _ ' __ _ _.'; _; M._ , _,_ _ __ _ _ ; ' _ _ ' '
LUe__ U__amOS S0bre el e_e.X si a se sitúa sobre el ìadn_lo A con uno de _us
_ ) (l) _ + _ri)(L) _tremos salientes, __ n_icem05 en qu caS_ _Sta
' (L_)(X_)+(__ XaJ, 2 '
=_' L + _ _ = L+L .s al i e n t _ s e r m _ x i m a. s i n p e r d e r e t e q _ i J i b n o.
n"''_l __
També_ so_re ei e_e Y L 0 ' - _
. ) (L)(o)+(_>, _ B _,_ -_e,__;__''__.'_'_'____--_c__o_. __-__.m,-_
_y (l! ). r___j+ L__ Xi/ 2 , ?_.;_.;. ____ _' '.':_. :' ____'.____.;-,;d,.8 _____00'--
" - ___ + u__ - _ _ -- l + l _ __ '_ _ ' ' ._, '_ ' ::.:_ '' __ ___,___ _80;.,.,o_0,0 ;,_.,, '_ _' _''' _5 '_: _ ' '.,.__. _ __ _; _, _ -' ;
' B no _elca _e5_c_o del g__em0 (p) pues la l _nea
ReemPl_ndO en (IJ de_ ac,_;,_, de ,u _ ,o e._.f, fue,, de 1, ,upe,f,c;e
-4 f i dea_yo. _
O _ arc_ _! _ æct_ - No, _ese que x < L
-g_ ' 2
.'.8=_oc__ _3_
_5 lad_llos hOn_O_neOS i_U_le, de lOn_iT_d l y ___'-__:_:_________i_'_i__._',______,D,_.c_ ____ _- :,'_. ,.;!,,,':_;__;_- -_____v-___.__
muestra en la r__ura. iCu_ es ia m_ma diS_Cia _ este ca_ 8 está _ punto de v_lcar re5. _ect_
X a la C_l se _U_e _0f__ l0S __d_ltU5 Sin QUe del __en_o _ va que ía 1.înea de _c__j6_., _e la
_c _g_ ? - Fuer2, de g,avedad est_ en e_ ___m'_te dp
e_i_.__,_o.,_. _ _|,,,.__,,,,o;,i'._,.g __.;;_,_.-.; _- ^'_ |'_'__;',_'_ __o,.0__,0 __i_,g __.;;._,._,o;.''__'_,_ _upe rnc ie de apoyo, a h__r_ _ v -2.
, ..__g_0__i.i _B.,...,...0_0..__;_...8._,_,,,_'__'_'_______,,_0o_0,..___,,,__i____,.,.,_,o_.,i,___oi,,.a,_?_.i,,_._.. ,.ii.i.,.|__,.. ,- _ gg _
_ __ _,,,.,. - - - - _ - - - - i i _,,, _,,., , _ _, _ _,,., _,9,.,_ _..,,0.. _ _, ' _ _ _,. _, R ' _ _ _ _ _ _ _ _,0. _... __ _,, ,, , _ = '0., _-.._.,. j.,_,. _ ;.. _ _? ^
'_ i _ i _ _ ' 0 '' A _ ''; __, __ _ '__ _ _ __o,i _.._,e_ _ _ i _',.,__9 __ _,_,__.0 i ___ _. _.@=.. __ : _-_ _ _ : _.... _..,. _,,.-_. _ ___ _.0 _ _ _. __ ^'_ ' _d _ _ _ i _,__, __8 _. __ _,_._0 __,,,_ _ ;

vo_Nde011ctamlaa(cGddounnol_)__s__q(pue)_(___D0_______________0p__o0__________p_00_0_p_o0__o_o____0____0_____0___0____L____0_oe_______p_________l_________________0_______0____0_______________t______D__pas__________________________0___l______________a____0____________________l0_D_______0__F______o0_______0_u_________t__________e___________0_po_000______0d_____o_________e__)_______gp_____ vedad _ d 3__t()d _ ___D____d0__o____0_J0_______0____0l_____ tl4 tdtl66_ d_h__00__l__l_lp2_ eoo__b?re_0e
cAi__L_ v_i_ Esta'tica y Centro de graveda_
_ este la_llo _ _ a volc_ r_pecto de (P), __ _ro, t_bn de la rlgwa '
_jte_momentoFg.d>O.Nohayeqwlibno_ -' 2K_L t K_L
L - 2 Q
x > _ ._a el equilibno del l_dnllO 8 respecto
de A es neces0o que la _e _iente __cto _ L 3
L _=-+- _ __-l
el, extremO PJ tenga una IOngItUd _ f -. 2 4 4
.'. La m_ma s_iente ieSpeCt0 de (P) _er_ __ C6mo hall_a la __ djst_cia _ 5j se t_t__
de 3 ladrillos, I1_ego para Q ladrili0s _? âs!
X_ _ _ sucesivamente A ladnllos7.
Siguiendo -el mismo razonamient_ __denios
.__o gde_est_ __ _do ,g_ untode i_ duc irque:
._cG b_ ._ l l_
__de4re _ .eS__ _ Ve_C p_a3lad_llos ___-_+-4+-_
q_e con_ene ai pu_to _0.
Mtonc_, _a el caso en que se _ene los dos p_a 4 la__Io5 _ ==2 +-4 +-+-g
ladrillos apoyados sobre la mesa_ 5e puede _ _ L _ ,
_
pi.ante_ 1o sjg_ieng__ p_a n lZ_r_ll_ _ " j _ - i N __ -- - + -
_ n
_ Co_ideremos a los dos ladnllos c_o un La dem_s_aci6n queda p_a el _ec____r.
i_tem_ de modo que el C G de este sutema
P__l0m_8_0_,,__,_
eSte COntenldO en a 1nea VertlC_ qUe
. e n e _ u n t o d e v o _ c a d w a (, _ la n_gura se m_es_a una b_a ho__ag' ___a de
longitud l, cuya m_a es igual _ la m_a de la
_ _a que la distancia _a m_m8_ el ladnllo _ _ _ d' __ _
l eS era- _Ue _S C_a e PUn 0 e aP0_'0 _
de la p_te supe_or debe sobre__ir -j y ' encon___ el C,G. del sistema __sfe Fa?
qued&r_í. ' O
2_, F, __=_=_ ! _ _ ='='_' _._,_o__ _. ___ _ ===__
__.__,_.,__..__., __;__' __"-__''-:_a.___,__;___0' ___^a___,_,.___a__._.______o____.._._,_'_'_i__,.___.._,,.._.a,,_,_.o,._,;,o,;;,':'00___..._.0_,:__;_'!___w_____ _ t
Fg __"i___'._,__;. g_'__a____.,_,_' __,a___g,__,__________''_i0_,_'_______' _, '''_' '''_R'_0____i,'0____________0i.,9_!_=,______'___0_al__0___.__f,__'d______,__',_'
_, _, ___i, _',_ _,__ _._ _,_e__ 0, '_,''____, _.__.i'_ ____,,,',0_____i.___d'_..'__..,. ,,_,__.,.,,0__.,_, i_.i_;'',__.._._.., _ - ._. _.0_.;_,,____'_'___,_,__,'__.____ ___ _=,_, _o,__a_ , ...._
__ __ _ ' ''___ __i __. _' _, _ i, _.. _i _ _ ?_.e_ 0..,,_,__0_,__ ^ _ _ _j._,0o.0,0 ___ __ i00 ____ __ _ ' _0_____ __'_ '___ _ _i_', _ æ _ __ ___o._;. _,d.i _i _. ___0._. __'.___, a_i __a_. ''_, ' __'_.i ___0 _^___ _,_,'eig_.ii,_., ___.9_.,_. _i P ; ' _ '
..' ; __a' _'_ _ _'_0 _ii_',._'_'__.l,"ii_''i_'. '_'''_ ''_l ____'' ii___,. _._,__, ' _,_, _0mt'_ 0,',L 0,_0____._,i_____' __i''__.o_ ____,'_'_,_'.i 0__,,''__'__ '_,,_,.,__8_,,_', 0__,___i^_.i',_9_.i_,.. l
__,_.;_...._,;!:__o_____,_.__,'_,a..,=._,i_0a_,__,__,_,ii_..,__.._.,_.,,_,_..._,_i_,,,'i,,_a,,_,,_0_._?,._,_e_.'d,____,,___!,____''_'___0",,_____i_._____,,_.__,i,_,o____,_____,'__,___0,.,,__.i_ _ R__ ,_a___ 0 ___Cln
____'_B_8.'__i____,._i___,i_,,_.._,, i__'__^____0_______'^dO_'i_0_ii,_._i_____'__a_________._____ii.__.._____.i,_i___._,i f , ; _ sisteIr,e_ debe tene_ su C,_ ubi_do or de_'
_-K_,,, -_-;_ --ïi2-_!
'i____00'_' _ e _Ut_ _ __ __OyO _a qUe en lC O U__ aCtlla
' _ x ' ' _ 1, ,eac,,__, del p.,,,te q,pv gqu,._,,b_ a _, _
- _
' M _ Fl_Wa G, et _l C_G- del SfStema _ la g,i tj_temg (_a_es(erg_,.
línea de acci6n de la Fue_ de gravedad p_a ;
.stem4 ès_ a Mt_ de _r_m 0; '
pcrd2r _u equilib_o. ' ; ' 0
Entonces _ _
L (_) ' icG
X=K+_ _ ; ' '
_ .__.i,_o==_m,--m
46_

_p__________r_t____m_N__tdh_cft__t___r_t_m__2____tr__xt_y__m_t___7J_______xt(t_c_nt____r_ ___?__o__v_ ___?_N_ttttn__tr___yn_?_t_v_n___?_3v__ct______c)___y__v__nnt __x_______t__v___9___f__ctvy______t___rttt_c _t_ t ______J_t __t________r_____h__t____nt_____n___ _
lum breras Ed itor_ fíSi Ca
_culo de la distan_a d. se_alada_ se inicia la volcadura_ en ese sentido
_ Asociemos el sistema de coordenadas XY al elpnsma puedead__l_siguientesposiciones:
sistemade cue_os.
_y l Eneade _ .
, _ _ _ acci_nde Fg ;
_ C.G. O _ X '_i____ __ ''.'_;__' _g_-__
___ -- -----t '^_nv_ _ ,l - __ _ __. ._ _
ml d_ y '_-:s-;__v;__ ' .. ,_C.G
c.G. i - - - - - - - - L 'v;j_ ;_>j_ '_, i___, ;,'' ___, __ __'
_ ,? .__';J___P '''''___,;_x_,x,,..q.' 'P
m_ _,,,_. ._ A; ' ; ___v,__h___,__,____v__'_y_v_'",_____
su__lcie (2) '
la _a_a de maSa ml pOSee y_ = O en Con_Cto
La es Fer_ de mas_ m2 _see y, = -l (l)
__uego_usamos !
F ;__- _
? m_y_+m,y2 _ _''5___h
Y _ __ _ __!. . .._._":_ '__ __m_,___ _'___ ,
l 2 ;; __ _;_ , ,,_'_.,,____.v __m_?__
__y___m_?_ _____'___;_;;_ __-_;_,____v_::___ _, _-K-
m(O)+m(_L) L __;,_ ______:__;_,_;_n'__ ' ,__'__'_'_ _'_ _,!__Y;___-'_
m+m - 2 _ ' ' '__c__ _,! _-' X/, _? q_h_ __;.v_ ' _ _ __. _ ' _ _
__'s ''0 0_v..!
l '__-_ g ___
2 c_-_,__ .___,____-,.,,___,_^_ ,_v__,__ _ _n _.__,_,x____?___,__,_, _;yq_ q ___
(3) (4)
to_l__
Se muestra un pnsma homogneo; _para que '
Se_ún lo mencion_do, vemos que en el cas_ (l)
8UlOS de lnClInaCl6n del _lanO _Spect0 del ptSO,
y (2) la linea de acci6n de la fuerza de gravedad
el _n5ma VOlCaf_. NO hay deSllZamlentO. _
pasa por la superf_cie en contacto, con lo cual
a
_ aseeuramOS que en estos cascs el bloque est_á
__ ^_
. - _ _'''-__'-;Y__,_ _ ________,-__s_ .___t_,__ ' en una situación de equilibno.
_ ' __'-_;_-_-__i^-'----;---_ 9,;;_, _'_ __' Enelgr_Flco (3),lalineadeac_ndela Fg est
en el límite de la supefflcie en contacto; entonc_
R__u_ón ef pnsma est_ a punto de v_lc_ (tener en cuent_
En este problema primero debemos tener que se est_ considerando qua __e produce _ól_ la
presente, _cuádo un cuemo empe2ar a volcar? volcadura), en la F1gura (4J ya se daa la vo_cadum.
Para un cuemo que se encuentra apoyado sobre _ _ng,lo ped;do (x) es__Ea _eF,_-
una supe__cie, su estabilidad queda dete_inada pero g __ 9oo _ _ _ por tn__ngu_,
cuando la línea de acción de la rue_ de g_vedad que _ __ 6oo , entunces g __ 3oo
Fg _sR _r la su_rF_cie en contacto o por la
de Por lo tanto, podemos se__ que para ángulos
SU_ef Cle 4_e _fOYeCte e CUe_O y Sl a Jnea
.6n _e d,.cha fue_ no pa,a po, las supe__c_.e, mayores de 3_ e! pnsma volc_a. _
470 '

_cJ_____t_________ ___0_?_; _t ___________ 4 _El____t_ _ _____vt_ ?__u_____ __ ; )_ ______!____c_?__)?m2_ ___t___?4n___N_ ;_ _
9_m__ '__;c_ _
________ _ _G____ _
_. _ sstemamostrado estáenrep_5o, indique 3_ A una bana homo_enea se _e sujet_ poc
el di_ra_ de cuem0 libre (D.C.L.) m_S cuerdas jdeales _n ere5 casos djfgren__s,
adecuado p_a l_ b_a. or_ene 1os c_o5 e_ __s cu_es e_ M6du_,o _
__ ,_, __ _a _e_sj___ va _e m_?_r a _e___ v_o_-
___ _____
_ ?_ __ ____ __-___v ___?_ m_x___
_v_,_en,__,_,___ --_--
nJ v^ B) _,D^ ,_
_
_
_ _
__j (2_
_
__ _ ' 0m_
DJ _ _J
_ _
__
t t C_J
2. E_ si5_em_ mo_tr_do es__ R_ e__jljb___, __ _. 2 c 3 E) ,?
indi_ue c_ e_ e_ _j_r__ _e cmem t;_re _) _. _. 2 __ ms
____._._ __ 1y ___ h0___nt_. _C__5;__r_ ' ' ' '
____ b___ __ ____ _es Freci__a?
, , 5__f__ _ ß __ __ r__, _____n_
m _, _ _ t5 _e_n____ _c_ ____ c_ _ cGn_;_ee _"e
___ J ^
5 _ n____ __ _ _ _ _'_, _ _ _ _ __^J
__ , __ _% _,,.
__n _m _^ '_ ,:_^" ___"^ _^^ ^ '^___"^CC,___ V'U
__ _ _?
_J _"' _, _
_ F _ ; ;_
m_ _____ i_ _2_
/ _>_ _
_? 0
_) _
ar _
n=9
_ _ f __
_ _
c __V __ '__ __ 2 cm B__cn _)íc_
a<_
471

__ EcD)_)n7_s_soo_t_NNntleu______y___a_enne__lanl_a_m___mb_re____ _m__ _g_3o__N__ _J_ht?___ x_t_____?__ ml5_n_ege5sle0men6dc_uuelontrdea
lumbreras Ed itores fisi c_
5. En el sistema mostrado et _nillo homogéneo _. l!n tubo liso, de 64 cm de loqtud, permanece
presenta _na densidad _ine_I de masa co1gado mediante una cuerda qu_ pasa por
5 su jntemof. _etermjne la djstantja desde el
=-k_m y fadlOR = O,5m.Determlneel
_ 2 punto P _ centro de g_vedad del tu_.
m_ulo de la tensjó_ en P, _ = l O _s ) _,
_,K_,_ __ _ _ g _,q
AJ35N m a _
BJ4oN _ 3_
P
C)_ON
D)6oN ____
'___ 0
_ A)40cm _)l4cm C)24cm
' D)_Ocm E)48cm
9n iQué fue_za eI_s_ica expenment_ et reso_e
g _ _ de_i_a a la _cc_6n __ la e5rera horn_génea
_e l 2 hg? De_prece _a masa dc _a estruc__re
. El met_ mO__r__O _etClende COn fa_lde2
.cu_/ ta Y la fUe_ de rOZamlentO_
fuerza (_ara_elame__e _ alambre7 debea F,_v____^_____
__h_ _'
a_l_ilX _ me_ __e _Cle_ COn __ldeZ A) _ o N '__ce__v__n , n _,
U ' _?"__0__,5?
const0ted__ 3?(M=î_ ; g= IO_s B)_ON _ C _
_a _ 0
0 O =
A)30N ,_ D)40N K _u
B)60N ? g E)5oN ^
c72sN _ __ =
___ n _
_,_ ___ _s _ ______^_ ,n_
E)4oN _, _o_ b h ,_ _
_ ' _pu _t _d p _e _b _; _,; 'D de ;e _, 6 '
3oO__ la fuena que ejerce la barra a su superF_cie.
_,,n__n Uqyx,mv, __ _ o st
T_ La barca _isa que se muestra est_ en re_oso y 8 _ ^ _>_9X_
es de 7 kg. DRtermine el módulo de la
,e,cc;ón e,A. _ _ _o nUs2J _ ?V 7
S-_4
A)30N _?_ ___- __
B)3_N _^ _''- I27'J
c)3_N q,_ a _ _n_ 3_' _ ;
4,, ; _X _ o y _v _
E)3s_N '__n_
___ AJ8oN B)1_N _)lloN
---- - ___ D)soN E) 12_N
472

___D_____5__))))__/)25aTgl_y3__o__ xNNN3_t___t_ 3g__o_n N_N1_ nJ_e_o___6___t___ _____xt__/__4_tn//_ _t__tx_t/_t_d_4 __ecvv_tt__vt_qsh;__F%qvn_ __l_nJ))_5__rm_r_n___J___5_3e___m_ s___!b;__e___?___mr__ ?________3qql_____e_??___________q__t__w_________u__l_x e__l_?____m_n_ _tlN_____
cA_t____ Vt___ Es_á_ica _ ___t?0 _e gr_vede_
_ 3. tJ_ _____g _e 5 k_ 5e hace des_izar h_cia l8. (/!_ caia ho_genea cu_a c__ __ter_! tje__
__n ___. _gl_i_ad c__s__te sobre un p_ano di_Mi___ _ _ x 20 se c__c_ ____ra un_a
inc__' m__ _0so, _a ello si _ra d_ la cue_a p1a__orma hon2_n_at. Si !ue2__ v_ co_'anza
c_n _n_ f_e_ de 5_ N. Si __ pranto la cuerda a inc_in_ __t_ente la plataforma_ indj_u_
s_ rompe, dete_ine el m6dul_ _e la Fuena 4ué aIterma__ esta__ece l0 mue s_cedec__
resultante em _ic__ in_tant__ _ue__ d_ ,_ ,,
___mtq2 ____,, __m~^
AJ 24 N ; _^ N _c, _ M _ _5 c____'___ _
___ _, _ S ' ____,__v___^ _,___
_) __ _ _, 2q m_ ___,_ ,__ ' A) L_ CaJ_ r_C}2n _i_P_m el ea_1_'_____ ___
s _ _ _ _ / ___ Y ^ )n___.,n___m __t__F_un ___,4___,ç
o 4_ J _2 c___ __ _e_ _ _ ; e_'_ __ ;_ __an, _ ____2 ; _' u_ _ :
in__!,_ar l_ ____a Fo_ma u_ p___ _ _a
l2. _ m_e_tra un __l_ homogé_eo S_meti_0 a _30/'2,
!_ 6c_i?_ de du_ _u_r2_5. lm4j4_u2 _,__ _^') __ caj_ s_ ___c_n___ _ __JE___ ?, ___w____F
_ee__a e5 c0necta. (T: m6dWo de t_nsi_n) m! mismo e!cmp_v
_ aru_1o es_ 9_bre u__ mes_ ljsa h_nz_nta. l. _j Co_u__ la _l__D_a æ jnc1;__a y _a ca;2
_e m_n_e_;__n aú_ __ _____. la __e__* __ _n
_ _,_ n , __a__orma so_re la c6;;a __ c_n___c_.
_, _ ,/ EJ __ __s ant_riore_ ha__ __s __ternat!v65
q, /_ C_rr_CtaS.
/ _ _ _ _. _Se mues_a __a eseruc__ _w_e_ ____ __
_ _, > _ , n A r_;_a !G_ma_a po_ t_as ___; un_ __ _t_o_ _5
_) T, -_ ? ' _ ho_2o_talF I_5 m__ _e __ b;_u___ _ ?, _ _n_;_
_ ) _, _ , !gu_ !e5 y es_ _n u_ i _o5 ___ _J_a __1__ ta
_ __2mV Or _ mS_0_Se a n Y _ v .
C_ _t____R _U_1e___ _____ _Ot M_RS
_ 6 _,m_ ev_ ,__ctu,_ ar_ e_ _ ,_.
_ __n la ___r_ _e S_ __e5_f_ eSt_/ _ ?Un_fM_ __ V^___^__ _,
__li_5e. __e_m:_ne e_ _,. . m_ _s,_ ___",_,_,, ?_ ,_,n_,6^___
._) íJt _ _^ _^ 2 ____ ,?'
c) 1_3 ''! _)_ _,__ _^'_
_,_ E)- _?v ,
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l_7 Enl4o_____r_______l _n_aA__
_____p__________0____0__0_____o_0_/______0____0_0____o___________D__D_00_______o_____________0____0____________0_______________o__0_____to_o_0_____ov_______o_______0________>_________x___________________________x_________0h___m__0______________o________>_______DD___________e____o____________D__________________ty___o____n____0_______0_____m___________?__t______v___g__8____________________________s_0____________x_o0____0____________________________________________0___0______3____0___0o__________p__________________________________v___________(____________0______0_____________n_____o_______?____________0_____0_______o______00______________o___0______________0__________d______)0___s0 tl d __t______t____
_))_/__________________________________________,______________t_______________________x__________y____________________________________________v_____rn_0s____r_9_______v___c_)______r_________t________c_s____________lt|___>__________________y__o_______________________________________n9____L____________________q__R___________u___y_________te_l_q_____,__s0_5_________________________t__q__n__vm__r___4___po_________t______))_4_vm_na___y______7_______l_a_y_______________n__cu___ t_ e_fd_
Lumb rer_s _d itores fjsjca
l 6. Sobre una mesa hon2ont_ se colocan los tres "_'' '^''_:_' "n'""''
rodiltos, de los cuales uno tiene et doble de = _
di_etro que eI otro y en etlos se enrlla una _;_s K =
cuerda que sopoIta una tensión de m6dulo i__:-'_.0 '__ .._:'_'_.
,o_, Dete,m.,,e _os mo,,,_o, ,e ta, _'n_=_:_'_,_,,,,,_0,_.0,0,,0,,_0,.,,.__,__i,m__i_-_'._
. ' ' _ ''_ _.: ' _'- : _ ' __ _ _0 _,,',_0_ _ _ __ ?, __; !_ __ _ __0, _ ^ _,, _ ____.' æ0_, _ _L_ _o _. '_ _, __ __ ' ^' 0; _. ' ' , _ _ ; ' ' '_ _ ' :__: _._'_. _ _ __ _ ' _ ''_? P';.
reaCelOneS en OS COntaCtOSA y_. ' _____ _''_'__ ,__:_'80___'^^'''_,?_'__''_q,'M'__-_: _0 -':_s_ ,____ 5:?
_9 , __._ .0. ___ , _. _ e _D__'. ? v_. : :_ ,., __,. :._ __ , _:__ ,_': ;_ __ ,:_. :i ._. .. .._ _, ..._ ,. _ .__ _ !__ :: _ _ . , ,. _;_. _ :''
- . .._,;;,.... . _____,'0.oi_,_,,._.__D.._D,__',0'_o._.,__.,.D_,__. ._.,__O__;!0_.'__i,.__i,._,._,:'.::._.._o...9,.,__ii,.l.,__,_..__i_.i.__D..,_. 0 '_'__. '_':. ':: '''.,,_-._'..,;..;._,,;,._'-.:_,_. :i. :'__,._./ '_'_?'_....._,,,',_i;i .,.....
__.,.....;,_;_.,._.___.,,._,_,,;;___,,;_;_...,_...,;;;..,.;:__.__._:,.,...,:.._..... __ A)o,3m B)o,7m c)o,4m
'' =::_.._!_,_';_;_,_''s:'.,:__5.__:_.5__'___:i?,_ - D) O 8 m _J O 5 m
:''_;'î' J,_;_v_?._;,;.'_.m!._..:_;__'',__:''';_; t _
^_-'.__'__:__!_.:_:,_:æ_,.:_,.__._>__.,___._:;;'';_:_':_-__._'_x._'.:,;.,.v.._;'_.;',_:;:.,......._ ' l9. ìa vanlla homogénea y rígida de 7G cm de
'''__;____ _:'''__._.;:,.''_;;_;i..S.,;;;._:__..__:____?;_._____.,0n;!;___'__''' longitud r2posa_ com0 se muestra en la ngura,
A) _ __5oN.,R ___gN en UnaCaVidad ^_ilínd__Ca Ijsa de SO Cm de
B) _ __3oN .,R __ _g,2N fadi0.Detefmine O.
c) ig __33,2 _T _, R,__ 15 N , _ ., _
D). RA=30__RB=20N _:
E) RA ' 50 _ _ RB ' l 8,2 N _'''m_':__':_,_'-"' .._.___','U"________'''''_'.;.'''_C',_'n!._;;.-.;',. ' _ ._; ^ ' ' ' ' ^ " ' ' _ .-:,__. 'c..;.; _'_,i__;:_^ni;___'__.;__'_-e_':_'_n,,_''
Tl , . '''__;_,;:-_,_s .._'_='__
. a _Ura _, + = - Ca . l a Ca ena tle_e '''v;,';_.;.__ .,.. ..,._;;_,_;,.:''''
- '"""______.__o"__,'.__'_. . ._-.;v;'______' '-
_ de maSa y en su extfemO B sopOrta una ' '_ _'' '' '
A 3oo B 37o c 16o
'_ensiÓn dA móduIo IOO N Lqué _ensión
D 4_O ' e 53o
experimen___ la cadena en su extremo A?
_ B ._'_>_:__.
___.:_'':_=' 20_ H_le el módu!_o de la fuena de ro20iento
''_'00 ,.:;: '_
v, .,,a, __0' p '':_;: en_e la semiesfera de 5 hg y el ptano incIi_do_
._v_'c_'-.';' A _ 0"" 'i-""''"' si el m_ulo de la teMió
::__'_,__ '' _Y'
!n_____:.____'__0_. ,,_o_0_ que _s_ene la caruia ljsa en reposo es 75 N. .
_'_'_,';.__ a __,'. ,,_'' ._,m,._,_ _,.,- _.,. ,.;_,..,,_ _, ,
''''' ''_,,_g0o , ,__l0._ ''Y'''''''''-
''__ ''',. .,,,_
_'_"00___ _0,___0^_''
n)_oN_ B)9oN cJ_ooN _
D)7oN . E)6ON ';
18. Et b1oque A de Q kg se apoya sobre otro B y _ ._.., ; ,i__e.._,_,i'._
permanece en repaso, siendo todas las -''h'. !S3;/''
superficies lisas. Calcule ta suma de las :_. !_----- R-_o,sm _
, deformaciones de los resortes, si sus i -,
const_tes de ngidez son ieu_es y de valor 3 7'_
K = 64 N/m- (la deformación del resorte - - - - - - - - - - -_' _ -
vertcal y la de Formación del resorte _) 20 __ B) 2î 1_ CJ 25 N
hon2ontat est_/ en relación de 4 a 3). D) 30 N E) 3_ _T
474

_ _2
Qheq_____o_)________e9m_____q_______o_u____tg_______e_____0____n_____<_0_____0__0___o________e_______________________o___o___________L___________o__t_t____s_______n_D___________________y__________o______og____0___0_0__0__n_____M____0_______a___e0_t________________________J___0____o___o0___________t_______o_J_%_____0__0____o_d____oo_______t____t_______0___0____0_K___w_o__oe______o__0___0_0________0_______________0_______g_____?_0_______0____0____y_0o_________x_o___o0_ovt_t________m___D___0_________g_0o_____________________0_________t_____t__æa_______v_x______p_4__y_r__0__w__t_0____n0_________o________________0_______0o_______r__________________000___o______0__o____o____0__________________t____Et________t_x____________________D___a______)__________a0______________________m______________________00__0___02___&__0_o_____g_n__0____0____o___________0__0____o___0______0__________________________e__4__t_
s d_e__
_t____xl_6d_u_______t__e___r___________D___n0___J9____0o_0__0_______________0_________J______e9___Nt___0o0__0D__00____t_____o__________e________________________________l___________t_____00________0_o______00____s__0__________h____________y___________________________0o______________oyr___t________00_0________00_0____0__g___________y_0___________p00___o_____0_____________________L_____0__________0Do_____________n________0o____0___0_p0_______________o____________________p0_00___________________0_______0____0_o__m________0________p______________________________a_______o____________re_t_____________p__0_____________t_____e___x____________________0_________________0____0_____0_____0___________________D_e________t_____________________________t_y___J0____________________0____________0_z______0____t______________________________________v___e____________________________n_____0____0t___o_0_____________t_0___o_0
llsat _7_ _ ___
c____LQa v__i Est_tica y C_tro de gr_vedad
a _ sj la _lea _ rot_ m_tenjendo al b1oque de 23. m el sj,ete_ de _en_ qu_ a_/ s0bre lg
1oo _ en eq_'libn'_, determine la c0_d_ barra, ia que _istancia de A act úa su
de _a_nllos de 4 tq que se han colocado en resul_teT _ = L)
_a canasta de 4 kg. C0nSide_e laS POleaS
iguales._= lO_s_ ' 2oN
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_:_.__;_., a__-- 5e, muestra un cil__dro h_mo_n__ _e_ 2_ _.
en rep0so. Si l_ b_i_ indica 30 N_ iqué
n) 5 B) _ C_ _ .,,.,....,._;_0,,._.;;;..__,_.._....,._.'_ _' W-_,8___..._,.i._',, ____ _, _ ?_ _,.. _. __'...; _.,.y_ ;..., __.v....,...,,'; ;_0,'g;,,.,,.'__ _,., _ _;.
22_ Lo5 cilindros que se mue5_ran son _''___'i_, ____,._e_._u.;,_.______'__
l 73 N. Si no hay aspere2as, cu_ _ e1 mayor _____'_,'_,.__ ..,_u i_.._!__,_.__,.__..,. ___''__
m_ul0 dae F de ta1 PaDrma Que n_ s_ ___e_da 'C--''' ___'_^ ^^^_--'"__n_-'' _-' q' m' _"'--'^_'''O"' 'O' '''' - _ ^'''
____bno_ ___ î5 N _'r_,__ l2 _i____ C) l0a_e' _
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Lumbrera5 Ed itores Físita
26. En el grF)co, cuando el _tremo del reso_e 2_. En la f_gura, se muestra un b1_ue de 80 N
- queestsindefo_arseengancha_extimo repasando sobre una bam homognea de
de la bana homogenea, esta queda a p_nto 50 N en posici6n ho_zontal. Determine el
de desti2ane_ De__rm_e e{ _s _ (m_, , , _ 30hg_ m_UlO de la fUerza qUe e_efCe _a baCra SObre
2 e) _to ue nas fec_e t_o fo2ami
_J : __ __ o __ _ _ _ _ _- _ e _ '_, s_ ' _.:; ? , __ -_. ; _ :. ,_ '_ _ __ _, _ __ _ _ _ _ _ Jg _ v _ ' _ _ __ ' _. _, a W' _ _ - - _ - i -, w- __,, ' i ' _ :,_, _ ?,_ _ m_. .._4 _., _,-n _.
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A) l/2 B) l_ CJ 2/3 t I mt3m_
D)3/4 E)yi
c_7 En _, F,gu,a se __,ec,.a c6mo se ams_,a a un D) _ N E) 44 N
ta_ló_ con veloci_ad constante. Si la b_a
/ __.cu_a_eshomoge_neayde _o_ 30. _etermine el m_ulo de la fue_ por pa_e
. que, m_,_o _-_e,e _F 7 _ __ _ o _s2) ' de la _iWación sob_ el __ de l _ si su C.G.
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' F __''_,__'i 370
-_,__,c-.__..,_. _......_....,...n.._._._.,____-_;__;;s_,;v_s__;,_-.e_,__.;..K;...,_..._..._....._,;,...,..-n;.m.,__=g,-_,_n_9..p,-,.,.,..n...,.,_o E) l2_ _:;_,; _- ----' Im
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' ,a _ra qU_ Se mUeStra eS Om08enea, _ !_,,_,
__ kg, y está a punto de desliz_se. Ca_u_ el __'
Z . ^
5 _ = S . e ermlne e men_r Va Or e a UeFZ_
. _ p_a que el ci_indro homogeneo de 80 N esté
i_ a punto de desli_ y volcar. .
'_,,;. _
_._';..;,__. ; AJ 42 N ___'_'0g'_________ ____ __0__...!.__--_ _._ _.__'4_i____d __,,.,______'_,_ii"a
'''"_:' _ 4_ g)4gN i'.l___''^i_i_o__'_'__a_,.D___-_' ' __'_________',________'8__9i'^^____
, _ _ ,__,_. _ F ' _•,''_.'_,___|_.__0,_,_''o__!-0.'_,'_''' ;Y_..,_____,',i____i__,__d'i^'..
_ _ 53oo d _',_,___'''__c'_,._;.._.. ._,._.,;. C) SO N .i,.ii','•.'.__.__,.i,a_"o_______.,,'0,:__-_ :_''':____'_'_'d__.__,'i_''i'lD,i,..iii.i_' .
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476 _

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