Matematica5

básico
°Matemática 5 TOMO ITOMO I

Matemática
básico5°
TOMO I
Pasos para
Resolver problemas
¿Qué pasos me permiten
resolver de manera
ordenada un problema?
Primero, debes leer y
comprender la situación y la
pregunta asociada a ella.
Luego, debes seleccionar
los datos que te permitan
responder la pregunta.
Una vez seleccionados los datos,
encontrarás la solución del
problema utilizando una estrategia.
Finalmente, debes comprobar
la solución y responder
la pregunta del problema.
Dirección editorial
Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile
Jefatura de área
Mg. Cristian Gúmera Valenzuela
Edición
Mg. Patricio Loyola Martínez
Autoría
Prof. Jaime Ávila Hidalgo
Prof. Cristina Fuenzalida Guzmán
Prof. María José Jiménez Robledo
Prof. Paola Ramírez González
Asesoría pedagógica y de contenidos
Dra. Elizabeth Montoya Delgadillo
Dr. Raimundo Olfos Ayarza
Prof. Paula Vigar Robles
Prof. Pedro Marchant Olea
Asesoría en didáctica
Dra. Lorena Espinoza Salfate
Dr. Joaquim Barbé Farré
Mg. Enrique González Laussube
Prof. Dinko Mitrovich García
El Centro Félix Klein de la UNIVERSIDAD
DE SANTIAGO DE CHILE, ha revisado
y validado la propuesta didáctica de las
páginas de resolución de problemas
basadas en el Método Gráfico Singapur
propuestas en los textos de Matemática
del proyecto Casa del Saber de Editorial
Santillana.

El Tomo I del material didáctico Matemática 5º básico, proyecto
Casa del Saber, es una obra colectiva, creada y diseñada por el
Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana.
Dirección editorial: Rodolfo Hidalgo Caprile
Subdirección de contenidos: Ana María Anwandter Rodríguez
Asistente de edición: Eder Pinto Marín
Solucionario: Daniela Castro Salazar, Catalina Sepúlveda Pavez,
Aldo Ramírez Marchant
Corrección de estilo: Patricio Varetto Cabré
Documentación: Paulina Novoa Venturino, Cristian Bustos Chavarría
Gestión autorizaciones: María Cecilia Mery Zúñiga
Subdirección de arte: María Verónica Román Soto
Jefatura de arte: Raúl Urbano Cornejo
Diseño y diagramación: Ximena Moncada Lomeña, Daniel Monetta
Moscoso
Ilustraciones: Alejandro Rojas Contreras, Sergio Lantadilla Munizaga,
Sergio Quijada Valdés, Carlos Herrera Portilla
Fotografías: Archivo Santillana
Cubierta: Alfredo Galdames Cid
Ilustración de cubierta: Sandra Caloguerea Alarcón
Producción: Germán Urrutia Garín
Resolución de problemas
Problema
Pregunta: Se necesita conocer cuántos metros le falta a Camila para
subir a un juego.
Datos: Camila mide 1,42 m.
Pueden subir a los juegos niños con una altura mayor a 1,55
metro.
Estrategia: Hacer un esquema.
Comprobación y respuesta:
1,55 – 1,42 = 0,13
A Camila le falta 0,13 m para subir al juego.
PASOSPARARESOLVERSITUACIONESPROBLEMA
Comprensión de la situación y la pregunta
Explica con tus palabras la situación y la interrogante que
debes responder.
Selección de los datos
Selecciona solo aquellos datos de la situación que te
permitan dar respuesta a la pregunta.
Utilización de una estrategia
En esta etapa, busca una estrategia para resolver la
situación problema.
Comprobación y respuesta
Analiza la solución encontrada y responde en forma
completa la pregunta del problema.
ESTRATEGIASPARARESOLVERPROBLEMAS
Puedes seleccionar la estrategia que te facilite resolver el problema. Aquí, te presentamos algunas de ellas.
Utilizar una ecuación para resolver la situación
Estatura de Camila Medida que falta
1,42 + x = 1,55
Estatura para subir al juego
1,42 – 1,42 + x = 1,55 – 1,42 / – 1,42
x = 0,13
Hacer una representación o un dibujo
Camila mide 1,42 m y en un parque de entretenciones solo dejan
subir a un juego a los niños que tienen una altura mayor que
1,55 m. ¿Cuánto le falta a Camila para que la dejen subir?
Estatura mínima para ingresar
Altura de Camila
0,5 m
1 m
1,5 m
1,55 m
1,42 m
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares
del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total
o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos
la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares
de ella mediante alquiler o préstamo público.
© 2013, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones.
Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile).
PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quad/Graphics
ISBN: 978-956-15-2137-7 – Inscripción N° 218.133
www.santillana.cl info@santillana.cl
SANTILLANA® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L.
Todos los derechos reservados.
?1,42
1,55
El texto escolar que tienes en tus manos es
mucho más que un buen texto:
Plataforma en línea disponible 24 horas al día con
recursos digitales innovadores para docentes,
estudiantes y familias.
2.240 horas de investigación y análisis para la
elaboración de esta sólida propuesta educativa.
Más de 40 años de experiencia al servicio de la
educación de calidad en Chile.
320 profesionales de primer nivel pensando día a
día en cómo mejorar la educación de nuestro país.
Múltiples alianzas con organizaciones relacionadas
con la educación, la cultura y la vida saludable.
Más de 600 seminarios y capacitaciones anuales
para docentes a lo largo de todo el país.
Comprometidos socialmente con el futuro de más
de 25.000 niños y niñas chilenos, pertenecientes a
nuestra red de responsabilidad social.
PAG 1-2 MAT5º_TOMO1.indd 2 27-06-12 15:15

Presentación
Este libro forma parte del proyecto la Casa del Saber, que es un espacio
educativo donde podrás desarrollar las capacidades necesarias para
tu formación personal y social. ¿Qué encontrarás en la Casa del Saber?
• Es una casa donde todos tenemos cabida. Aquí encontrarás
contenidos, textos, imágenes y actividades escritas de una
manera sencilla y amigable, para que descubras que aprender
es entretenido.
• Es un espacio donde todos aprendemos a compartir y a convivir,
por medio de actividades que nos invitan a reflexionar sobre los
valores y a relacionarnos mejor con los demás.
• Es una casa abierta al mundo, donde podrás aprender más y de
manera interactiva gracias a la tecnología.
• Es una casa llena de desafíos que te pondrán a prueba y que
junto con tus compañeras y compañeros, deberán enfrentar para
encontrar soluciones, desarrollando habilidades matemáticas y
aplicando diferentes estrategias de cálculo y de resolución de
problemas.
Nosotros avanzaremos con ustedes en todo momento,
solo necesitan curiosidad y ganas de aprender.
Casa del Saber 3

¿Cómo se organiza tu texto?
El texto Matemática 5º básico Casa del Saber se organiza en 7 unidades y en cada unidad encontrarás:
¿Qué sabes? Evaluación inicial
A partir de la imagen, responde.
1. Escribe con palabras los números que representan las distancias existentes entre:
a. La Tierra y la Luna
b. Marte y Deimos
c. Marte y Phobos
2. Pinta con el color indicado el recuadro que cumpla con la condición.
El satélite que está a menor distancia de su planeta.
El satélite que está a mayor distancia de su planeta.
Luna Deimos Phobos
3. Marca con un si la afirmación es correcta. En caso contrario, marca con una .
a. La distancia entre el planeta Tierra y su satélite es menor que 385.000 km.
b. La distancia entre el planeta Marte y Deimos es igual que la distancia entre Phobos y Marte.
c. La distancia entre el planeta Marte y Phobos es menor que la distancia entre la Luna y la Tierra.
4. Encierra la opción que muestra en orden creciente las distancias que hay entre cada planeta y su satélite.
Opción 1
Tierra Luna > Marte Deimos > Marte Phobos
Opción 2
Marte Phobos < Marte Deimos < Tierra Luna
distancia
distancia
distancia
distancia
distancia
distancia
13
Unidad
El planeta Tierra tiene un satélite natural llamado
Luna, mientras que el planeta Marte tiene dos satélites
naturales, Deimos y Phobos. Las distancias entre estos
planetas y satélites se muestran en la imagen.
En esta unidad aprenderás a:
• Leer, escribir y ordenar números de más de 6 cifras.
• Interpretar el valor posicional de los dígitos en un número.
• Componer y descomponer grandes números utilizando diferentes estrategias.
• Aproximar cantidades numéricas así como los resultados de adiciones y sustracciones.
• Resolver problemas que involucren adiciones y/o sustracciones, aplicando sus propiedades.
• Desarrollar procedimientos matemáticos flexibles y creativos, mediante la exploración y aplicación
de diferentes estrategias.
Números naturalesNúmeros naturales
1
12
Páginas de inicio de unidad
• Número y título de la unidad
• Objetivos de aprendizaje
• Evaluación inicial
• Observa y responde
• Lee y responde
• Aprende
• Practica
• Ponte a prueba
Practica
1. Calcula la fracción de cada número. Aplicar
2. Completa cada recuadro para que el enunciado sea correcto. Analizar
3. Resuelve los siguientes problemas. Aplicar
a. De un trayecto de 21 kilómetros, un atleta ha recorrido
3
2
. ¿Cuántos kilómetros le quedan por recorrer?
b. De un dinero total de $ 150.000 se gasta la tercera parte; del resto se ahorran
4
3
y lo que sobra se dona a una
obra de beneficencia. ¿Cuánta es la cantidad de dinero que recibe la obra de beneficencia?
Calcular la fracción de un número
a.
5
4
de 1.500 b.
10
9
de 33.000 c.
3
2
de 9.990
a.
5
de 430 es 172. b.
5
de 1.500 es 750. c.
4
3
de es 17.550.
Ponte a prueba
Lee la siguiente situación y responde.
Julián, Armando y Rosa decidieron
comprar entre los tres un videojuego
cuyo valor es de $ 35.000.
¿Qué fracción del dinero aportó Rosa?,
¿a cuánto dinero corresponde?
Yo aporté
5
2
del total del dinero.
Yo aporté la cuarta
parte del dinero.
Yo puse el resto
del dinero.
RosaArmandoJulián
105Unidad 3 / Números y operaciones
Aprende
Lee y responde
Para calcular la fracción de un número se multiplica dicho número por el numerador de la fracción, y luego
se divide este resultado por el denominador.
Ejemplo: si de un monto de $ 141.000 se ahorran
3
2
y el resto se reparte en partes iguales entre 2 personas,
¿cuánto dinero se ahorra? y ¿cuánto recibe cada persona?
Fracción de un número
Nicolás está pintando un muro. Si ha pintado
4
3
de los 12 metros cuadrados (m2
)
que tiene, ¿cuántos metros cuadrados le falta pintar?
• El siguiente rectángulo representa el muro que pinta Nicolás. Marca
con un la opción que describe la situación.
• Por lo tanto, le falta pintar m
2
.
Módulo 2 / Operatoria con fracciones
3 m
2
3 m2
3 m2
3 m2
3 m2
3 m
2
3 m
2
3 m
2
Zona pintada.
Zona que falta pintar.
Zona pintada.
• La expresión: “de un monto de $ 141.000 se ahorran
3
2
”, se puede relacionar con:
3
2
de 141.000 =
. .
3
2 141 000
3
282 000:
= = 282.000 : 3 = 94.000, que corresponde al dinero ahorrado.
• Para calcular lo que recibe cada persona, primero se calcula el dinero no repartido. En este caso,
141.000 – 94.000 = 47.000. Luego, lo que recibe cada persona corresponde a:
2
1
de 47.000 =
.
2
47 000
= 47.000 : 2 = 23.500.
Finalmente, $ 94.000 corresponde al dinero ahorrado y $ 23.500 al monto que recibe cada persona.
104
Módulos organizados por objetivos de aprendizaje
• Educando en valores
• ¿Sabías que…?
• Conectad@s
• Recuerda que...
• Ojo con...
Secciones de cada unidad
Módulo
Unidad 1 / Números y operaciones
2 Adición
Adición de números naturales
En la tabla se registró la cantidad de personas que utilizaron durante 2 semanas
la bicicleta como medio de transporte.
• Para calcular la cantidad de personas que utilizaron ese medio de transporte en esas dos semanas, es necesario
resolver la adición entre los sumandos 657.892 y 528.105, que corresponden a la cantidad de personas que usaron
la bicicleta cada semana.
• Por lo tanto, durante 2 semanas personas utilizaron la bicicleta.
Uso de bicicleta como medio de transporte
Semana Cantidad de personas
1 657.892
2 528.105
• Para resolver una adición, se debe agrupar cada sumando según su valor posicional, es decir, unidad con
unidad, decena con decena, centena con centena y así sucesivamente, para encontrar el valor de la suma.
Ejemplos:
Lee y responde
Aprende
6 57. 8 9 2
+ 52 8 .1 0 5
Sumandos
Suma
657.892 + 528.105 =
Sumandos Suma
Sumando
Sumando
Suma
UMMi CMi DMi UMi CM DM UM C D U
7 6 5 3 0 5 1 8 9 2
+ 2 1 5 3 5 7 6 8 0 7
9 8 0 6 6 2 8 6 9 9
. . .
.
.
.
.
.
.
Sumandos Suma
1.254.540 + 13.214.100 = 14.468.640
Educando en valores
Al usar la bicicleta ayudas a
descontaminar tu ciudad, y
además promueves un estilo
de vida saludable.
28
Practica
Reconocer la equivalencia entre fracciones
1. Marca con un los pares de fracciones que son equivalentes, y con una los que no lo son. Comprender
2. Marca con una la representación que no es equivalente a
2
1
. Analizar
3. Encierra las fracciones que cumplen con la condición descrita. Analizar
a. Fracciones equivalentes a
12
3
3
1
4
2
4
1
8
2
b. Fracciones equivalentes a
15
12
5
2
5
4
10
8
40
16
c. Fracciones equivalentes a 2
3
1
9
21 28
16
2
4
1
2
15
5
4. Completa con las fracciones que corresponden en cada caso. Representar
a.
3
2
y
12
8
b.
4
2
y
20
10
c.
7
7
y
4
4
d.
15
1
y
15
1
e.
7
3
y
5
2
f.
23
33
y
2
3
a. b.
= =
Se amplifica por 2. Se simplifica por 4.
Conectad@s
Ingresa a
www.casadelsaber.cl/mat/503
y encontrarás una actividad para
complementar este contenido.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Ojo con...
a
b
=
c
d
; b, d ! 0
a • d = c • b
Ejemplo:
3
5
=
15
25
3 • 25 = 5 • 15
75 = 75
Si
entonces
93
4

Organización del texto
Matemática
básico5°
TOMO I
Pasos para
Resolver problemas
¿Qué pasos me permiten
resolver de manera
ordenada un problema?
Primero, debes leer y
comprender la situación y la
pregunta asociada a ella.
Luego, debes seleccionar
los datos que te permitan
responder la pregunta.
Una vez seleccionados los datos,
encontrarás la solución del
problema utilizando una estrategia.
Finalmente, debes comprobar
la solución y responder
la pregunta del problema.
Dirección editorial
Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile
Jefatura de área
Mg. Cristian Gúmera Valenzuela
Edición
Mg. Patricio Loyola Martínez
Autoría
Prof. Jaime Ávila Hidalgo
Prof. Cristina Fuenzalida Guzmán
Prof. María José Jiménez Robledo
Prof. Paola Ramírez González
Asesoría pedagógica y de contenidos
Dra. Elizabeth Montoya Delgadillo
Dr. Raimundo Olfos Ayarza
Prof. Paula Vigar Robles
Prof. Pedro Marchant Olea
Asesoría en didáctica
Dra. Lorena Espinoza Salfate
Dr. Joaquim Barbé Farré
Mg. Enrique González Laussube
Prof. Dinko Mitrovich García
El Centro Félix Klein de la UNIVERSIDAD
DE SANTIAGO DE CHILE, ha revisado
y validado la propuesta didáctica de las
páginas de resolución de problemas
basadas en el Método Gráfico Singapur
propuestas en los textos de Matemática
del proyecto Casa del Saber de Editorial
Santillana.
Páginas de apoyo
• Desarrollo de la autonomía
(Agenda)
• Desplegable de habilidades
El Tomo I del material didáctico Matemática 5º básico, proyecto
Casa del Saber, es una obra colectiva, creada y diseñada por el
Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana.
Dirección editorial: Rodolfo Hidalgo Caprile
Subdirección de contenidos: Ana María Anwandter Rodríguez
Asistente de edición: Eder Pinto Marín
Solucionario: Daniela Castro Salazar, Catalina Sepúlveda Pavez,
Aldo Ramírez Marchant
Corrección de estilo: Patricio Varetto Cabré
Documentación: Paulina Novoa Venturino, Cristian Bustos Chavarría
Gestión autorizaciones: María Cecilia Mery Zúñiga
Subdirección de arte: María Verónica Román Soto
Jefatura de arte: Raúl Urbano Cornejo
Diseño y diagramación: Ximena Moncada Lomeña, Daniel Monetta
Moscoso
Ilustraciones: Alejandro Rojas Contreras, Sergio Lantadilla Munizaga,
Sergio Quijada Valdés, Carlos Herrera Portilla
Fotografías: Archivo Santillana
Cubierta: Alfredo Galdames Cid
Ilustración de cubierta: Sandra Caloguerea Alarcón
Producción: Germán Urrutia Garín
Problema
Pregunta: Se necesita conocer cuántos metros le falta a Camila para
subir a un juego.
Datos: Camila mide 1,42 m.
Pueden subir a los juegos niños con una altura mayor a 1,55
metro.
Estrategia: Hacer un esquema.
Comprobación y respuesta:
1,55 – 1,42 = 0,13
A Camila le falta 0,13 m para subir al juego.
PASOSPARARESOLVERSITUACIONESPROBLEMA
Comprensión de la situación y la pregunta
Explica con tus palabras la situación y la interrogante que
debes responder.
Selección de los datos
Selecciona solo aquellos datos de la situación que te
permitan dar respuesta a la pregunta.
Utilización de una estrategia
En esta etapa, busca una estrategia para resolver la
situación problema.
Comprobación y respuesta
Analiza la solución encontrada y responde en forma
completa la pregunta del problema.
ESTRATEGIASPARARESOLVERPROBLEMAS
Puedes seleccionar la estrategia que te facilite resolver el problema. Aquí, te presentamos algunas de ellas.
Utilizar una ecuación para resolver la situación
Estatura de Camila Medida que falta
1,42 + x = 1,55
Estatura para subir al juego
1,42 – 1,42 + x = 1,55 – 1,42 / – 1,42
x = 0,13
Hacer una representación o un dibujo
Camila mide 1,42 m y en un parque de entretenciones solo dejan
subir a un juego a los niños que tienen una altura mayor que
1,55 m. ¿Cuánto le falta a Camila para que la dejen subir?
Estatura mínima para ingresar
Altura de Camila
0,5 m
1 m
1,5 m
1,55 m
1,42 m
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares
del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total
o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos
la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares
de ella mediante alquiler o préstamo público.
© 2013, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones.
Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile).
PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quad/Graphics
ISBN: 978-956-15-2137-7 – Inscripción N° 218.133
www.santillana.cl info@santillana.cl
SANTILLANA® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L.
Todos los derechos reservados.
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El texto escolar que tienes en tus manos es
mucho más que un buen texto:
Plataforma en línea disponible 24 horas al día con
recursos digitales innovadores para docentes,
estudiantes y familias.
2.240 horas de investigación y análisis para la
elaboración de esta sólida propuesta educativa.
Más de 40 años de experiencia al servicio de la
educación de calidad en Chile.
320 profesionales de primer nivel pensando día a
día en cómo mejorar la educación de nuestro país.
Múltiples alianzas con organizaciones relacionadas
con la educación, la cultura y la vida saludable.
Más de 600 seminarios y capacitaciones anuales
para docentes a lo largo de todo el país.
Comprometidos socialmente con el futuro de más
de 25.000 niños y niñas chilenos, pertenecientes a
nuestra red de responsabilidad social.
Páginas de evaluación
Quinto básico
5. Con respecto al número 456.760.912, ¿qué número resulta al redondearlo a la unidad de millón?
A. 457.760.912
B. 456.761.000
C. 456.761.912
D. 457.000.000
6. En una adición, uno de los sumandos es 45.980 y la suma es 98.790. ¿Cuál es el otro sumando?
A. 52.710
B. 52.810
C. 62.810
D. 144.770
7. Una persona ha ahorrado $ 45.670 durante tres días. Si el primer día ahorró $ 15.900 y el segundo día,
$ 14.000, ¿cuánto dinero ahorró el tercer día?
A. $ 15.770
B. $ 29.990
C. $ 61.570
D. $ 75.570
8. ¿Qué alternativa representa el mismo resultado que el producto entre 10 y 23?
A. 10 • 20 + 3
B. 10 • 10 + 10 • 3
C. 10 • 20 + 10 • 3
D. 10 • 10 + 10 • 23
9. En la multiplicación 12.590 • 345, el primer factor se redondea a la centena y el segundo factor se redondea
a la decena. ¿Qué alternativa corresponde a la estimación resultante de los factores redondeados?
A. 12.600 • 350
B. 12.500 • 340
C. 12.690 • 355
D. 12.590 • 345
171
Completa tus datos.
Evaluación integradora tipo SimceEvaluación integradora tipo Simce MR
Simce es marca registrada del Ministerio de Educación.
Nombre:
Curso: Fecha:
Marca con una la alternativa correcta.
1. ¿En cuál de las siguientes alternativas el dígito que se ubica en la centena de millón es igual al que se ubica
en la centena?
A. 145.190.490
B. 265.890.200
C. 367.560.599
D. 456.987.196
2. La expresión 4 UMMi + 5 DMi + 9 UM + 1 D, ¿a qué número corresponde?
A. 4.591
B. 4.059.010
C. 4.050.009.010
D. 4.050.019.000
3. ¿Qué alternativa corresponde a una descomposición del número 3.400.070.001?
A. 3.000.000.000 + 400.000 + 70.000 + 1
B. 3.000.000.000 + 400.000.000 + 70.000 + 1
C. 3.000.000.000 + 4.000.000.000 + 70.000 + 1
D. 3.000.000.000 + 400.000.000 + 7.000.000 + 1
4. A continuación, se muestran 4 ofertas de celulares. ¿Qué afirmación es verdadera?
A. El modelo 3 tiene un precio mayor que el modelo 1.
B. El modelo 2 es más económico que el modelo 4.
C. El modelo 3 tiene el precio menor.
D. El modelo 4 tiene el precio mayor.
Modelo 1: $ 89.990 Modelo 2: $ 129.990 Modelo 3: $ 79.990 Modelo 4: $ 109.990
170
Con respecto al número 456.760.912, ¿qué número resulta al redondearlo a la unidad de millón?
Evaluación intermedia
Unidad 3
Fracciones equivalentes
4. Marca con un si las fracciones son equivalentes o con una si no lo son.
Fracciones en la recta numérica
5. Encierra en cada recta numérica la fracción que no está bien ubicada.
Orden y comparación
6. Resuelve los siguientes problemas.
a. Durante la temporada de cosecha, Teresa recolectó
3
4
de frambuesas de un terreno;
Miguel recolectó
6
3
y Ana,
5
4
. ¿Quién recolectó la mayor y la menor cantidad de
frambuesas en ese terreno?
b. Maximiliano quiere pintar la reja de su casa. En el ático le quedan algunos galones de
pintura con los siguientes colores: de pintura azul
4
3
; de café
5
2
; de amarillo
5
3
, y de
verde,
9
6
. Maximiliano decide usar el galón que tenga más contenido. ¿De qué color
pintará la reja? Justifica tu respuesta.
a.
3
7
y
7
3
b.
3
2
y
30
20
c.
9
4
y
81
36
d.
7
6
y
4
3
e.
10
8
y
5
4
f.
35
15
y
3
1
a. b. c.
0 1 1 2
3
1
1
4
1
1
4
3
2
1
6
1
8
3
8
4
8
5
8
8
puntos
3
puntos
3
puntos
4
99
A. 457.760.912
B. 456.761.000
C. 456.761.912
D. 457.000.000
A. 52.710
B. 52.810
C. 62.810
D. 144.770
A. $ 15.770
B. $ 29.990
C. $ 61.570
D. $ 75.570
A. 10 • 20 + 3
B. 10 • 10 + 10 • 3
C. 10 • 20 + 10 • 3
D. 10 • 10 + 10 • 23
A. 12.600 • 350
B. 12.500 • 340
C. 12.690 • 355
D. 12.590 • 345
Fecha:
¿En cuál de las siguientes alternativas el dígito que se ubica en la centena de millón es igual al que se ubica
La expresión 4 UMMi + 5 DMi + 9 UM + 1 D, ¿a qué número corresponde?
¿Qué alternativa corresponde a una descomposición del número 3.400.070.001?
A continuación, se muestran 4 ofertas de celulares. ¿Qué afirmación es verdadera?
Modelo 3: $ 79.990 Modelo 4: $ 109.990
Con respecto al número 456.760.912, ¿qué número resulta al redondearlo a la unidad de millón?
En una adición, uno de los sumandos es 45.980 y la suma es 98.790. ¿Cuál es el otro sumando?
Una persona ha ahorrado $ 45.670 durante tres días. Si el primer día ahorró $ 15.900 y el segundo día,
¿Qué alternativa representa el mismo resultado que el producto entre 10 y 23?
345, el primer factor se redondea a la centena y el segundo factor se redondea
En una adición, uno de los sumandos es 45.980 y la suma es 98.790. ¿Cuál es el otro sumando?
Una persona ha ahorrado $ 45.670 durante tres días. Si el primer día ahorró $ 15.900 y el segundo día,
¿Qué alternativa representa el mismo resultado que el producto entre 10 y 23?
345, el primer factor se redondea a la centena y el segundo factor se redondea
¿Cómo vas?
Lectura y escritura de fracciones
1. Observa cada situación y luego responde.
Clasificación de fracciones
2. Encierra cada fracción según el color que corresponda.
Fracción propia Fracción impropia Fracción unitaria
Amplificación y simplificación de fracciones
3. Completa con las palabras “amplificada” o “simplificada”, según corresponda. Luego, escribe
el número por el cual se amplificó o simplificó. Observa el ejemplo.
Para obtener la fracción
8
7
como resultado, la fracción
16
14
fue simplificada por 2.
a. Para obtener la fracción
10
5
como resultado,
2
1
fue por .
b. Para obtener la fracción
7
1
como resultado,
49
7
fue por .
c. Para obtener la fracción
36
216
como resultado,
6
36
fue por .
a. Respecto del total de puestos, ¿qué
fracción representa la cantidad de
estudiantes presentes?
b. Del total de autos, ¿qué fracción
representa a los autos de color rojo?
2
1
5
7
8
88
100
99
08
342
27
5
2
32
12
12
1
24
puntos
6
puntos
2
puntos
6
98
¿Qué aprendiste? Evaluación final
Unidad 2
puntos
6
puntos
6
1. Completa la tabla con cada número que cumpla la condición descrita.
Números
Divisible por 2 Múltiplos de 3 Divisores de 2 Divisores de 3
2. Busca el camino para llegar al resultado final pasando solo una vez por cada recuadro de
la ruta escogida. Se puede pasar de un recuadro al otro solo si el resultado del segundo
casillero es exactamente una unidad más que el primero. Puedes moverte hacia arriba,
hacia abajo, hacia los lados o diagonalmente sobre la ruta indicada.
9 + 1 • 5
8 : 4 + 66 : 33
24 : 3 – 18 : 6
37 – 5 • 7
144 : 12 – 1
46 – 9 • 5
33 : 3 – 2
19 – 144 : 12
36 : 6 + 2
3 + 5 • 2 + 1
76 : 4 – 19
8 : 8 + 1
57 – 9 – 45
2 • 22 – 38
27 : 9 + 6
4 • 3 – 2 • 1
9 • 4 – 72 : 3
Comienzo
Final
4 240 12.000 1 180 2.700.000
117 3.000.000.000 200 15.000 100.000.000 45
79
Estrategias para preparar el SimceMR
78
Por lo tanto, la alternativa D es la correcta. B D
Analiza cómo responder una pregunta de selección múltiple
Análisis de las aternativas
Por lo tanto, la alternativaPor lo tanto, la alternativaPor lo tanto, la alternativaPor lo tanto, la alternativaPor lo tanto, la alternativaPor lo tanto, la alternativaPor lo tanto, la alternativaPor lo tanto, la alternativaPor lo tanto, la alternativaPor lo tanto, la alternativa
1. En la boletería de un parque de entretenciones, Patricia compra 3 entradas de niños en $ 9.600 cada
una y 4 entradas de adultos. Si ha cancelado las entradas con $ 110.000 y ha recibido $ 9.200 de vuelto,
¿cuál es el valor cancelado por una entrada de adulto?
A. $ 100.800
B. $ 72.000
C. $ 28.800
D. $ 18.000
A. Esta alternativa muestra el precio total de las entradas compradas, ya que:
B. Corresponde al dinero cancelado por las 4 entradas de adulto, aunque omite el hecho de que se
pregunta por el precio de una entrada de adulto.
C. En este caso, se confunde la cantidad de entradas compradas para adultos con las de niño, realizando
el cálculo de 3 entradas.
D. Se calcula el valor por cada una de las cuatro entradas de adultos.
Por lo tanto, la alternativa D es la correcta. 1. A CB D
110.000 – 9.200 = 100.800
100.800 – 28.800 = 72.000
72.000 : 4 = 18.000
Valor total
de las entradas.
Valor por
cada entrada.
Valor total de
entradas de adultos.
Total de dinero
con que se pagó.
Valor total
de las entradas.
Vuelto recibido.
Total de entradas infantiles.
Total de entradas de adultos.
Valor total de
78
¿Qué aprendiste? Evaluación finalAnaliza cómo responder una pregunta de selección múltiple
En la boletería de un parque de entretenciones, Patricia compra 3 entradas de niños en $ 9.600 cada
¿Qué aprendiste? Evaluación finalAnaliza cómo responder una pregunta de selección múltiple
En la boletería de un parque de entretenciones, Patricia compra 3 entradas de niños en $ 9.600 cada
una y 4 entradas de adultos. Si ha cancelado las entradas con $ 110.000 y ha recibido $ 9.200 de vuelto,Prepara la prueba 3 • Síntesis Nombre: Curso:
Casa del Saber
Sustracción de números decimales
En una carrera, Juan demora 12,457 segundos en llegar a la meta, mientras que Víctor demora
14,127 segundos. ¿Cuál es la diferencia entre los tiempos de ambos competidores en llegar a
la meta?
Al resolver el problema, se tiene: 14,127 Comprobación: 1,6 70
– 12,4 57 + 12,4 57
1,6 70 14,127
Luego, la diferencia de los tiempos es de 1,670 segundos, que es lo mismo que 1,67 segundos.
Módulo 1
Módulo 2
Módulo 3
Números decimales
División con
resultado decimal
De fracción
a número decimal
Lectura
y escritura
Recta
numérica
Adición y
sustracción
Orden y
comparación
Equivalencia de fracciones
Lectura y
escritura
Orden y
comparación
Recta
numérica
Amplificación y
simplificación
Equivalencia de
fracciones
Fracciones
Impropia
Número mixto
Equivalente
a la unidad
Propia
Clasificación
Operatoria
con fracciones
Fracción
de un número
Con igual
denominador
Con distinto
denominador
Adición y sustracción
de fracciones
12
14
6
7
1
6
1
24
28
1
24
4
Número
mixto
Número
mixto
Equivalente
al simplificar por 2
al amplificar por 2
Adición de fracciones con distinto denominador
Para resolver la adición de
6
3
y
4
5
, se amplifica para igualar sus denominadores. De esta
forma se tiene:
6
3
6 2
3 2
12
6
:
:
= =
4
5
4 3
5 3
12
15
:
:
= =
:
:
6
3
4
5
12
6
12
15
12
21
3
21 3
4
7
1
4
3
12
+ = + = = = =
Páginas especiales
Número
mixto
NúmeroNúmero
mixto
Comprobación:
sus denominadores. De esta
Número
mixto
NúmeroNúmero
mixto
Comprobación:
sus denominadores. De esta
Reflexiona y comenta.
• ¿Qué otro animal conoces que se encuentre en peligro de extinción?
• ¿Por qué crees que están en extinción?
• ¿Qué medidas podrían tomarse para proteger estas especies? Nombra tres acciones que se pueden realizar.
• ¿Qué responsabilidad tiene el ser humano en el proceso de extinción de los animales?
Competencia para el conocimiento e interacción con el mundo físico
Nombre científico: Hippocamelus bisulcus
Nombre común: Huemul
Estado de conservación: En peligro
Población: 1.300 individuos, aprox.
Nombre científico: Chloephaga rubidiceps
Nombre común: Canquén colorado
Población: 42 individuos, aprox.
Fuente: Ministerio del Medio Ambiente, Gobierno de Chile,
Recuperado de http://www.mma.gob.cl, 18 de enero de 2012
39
Esta alternativa muestra el precio total de las entradas compradas, ya que:
Corresponde al dinero cancelado por las 4 entradas de adulto, aunque omite el hecho de que se
En este caso, se confunde la cantidad de entradas compradas para adultos con las de niño, realizando
Se calcula el valor por cada una de las cuatro entradas de adultos.
Por lo tanto, la alternativaPor lo tanto, la alternativaPor lo tanto, la alternativa DDD es la correcta.es la correcta.es la correcta.es la correcta.es la correcta.es la correcta.es la correcta. 1. A CB
110.000 – 9.200 = 100.800
100.800 – 28.800 = 72.000
72.000 : 4 = 18.000
Total de dinero
con que se pagó.
Valor total
de las entradas.
Vuelto recibido.
Valor total de
Esta alternativa muestra el precio total de las entradas compradas, ya que:
DD
Módulo 2
Módulo 3
Números decimales
Lectura
y escritura
Recta
numérica
Orden y
comparación
Lectura y
escritura
Impropia
Número mixto
Equivalente
a la unidad
Propia
Clasificación
Operatoria
con fracciones
Con igual
denominador
Con distinto
denominador
de fracciones
Amplificación y
simplificación
Equivalencia de
fracciones
Números decimales
Orden y
comparación
Operatoria
con fracciones
Amplificación y
simplificación
Equivalencia de
fracciones
Números decimales
con fracciones
Competencias para la vida
La información numérica me ayuda a conocer los animales en peligro
de extinción
Responde, según la información entregada.
• En relación con las especies nativas, ¿cuántas especies más tiene la población mundial que las que
existen en Chile aproximadamente?
• Ordena las especies en forma creciente según su cantidad. Escribe en los recuadros superiores el
nombre del animal y, en los recuadros inferiores, las cantidades.
Competencia matemática
< < <
Nombre científico: Balaenoptera musculus
Nombre común: Ballena azul
Chile se caracteriza por tener una gran variedad de ecosistemas, en los cuales hay
numerosas y diversas especies. Se han descrito poco más de 30.000 especies nativas,
en comparación con las 2.000.000 de especies que se encuentran en todo el mundo.
Muchas de estas especies nativas se encuentran amenazadas, lo que significa que están
en riesgo de extinción en el mediano plazo.
Nombre científico: Pseudalopex fulvipes
Nombre común: Zorro de Darwin
38
• Competencias para la vida
• Resolución de problemas
• Estrategias para preparar
el Simce
MR
• Prepara la prueba
(Síntesis y repaso para que
pegues en tu cuaderno)
• ¿Qué sabes?
Evaluación inicial
• ¿Cómo vas?
• ¿Qué aprendiste?
Evaluación final
• Evaluación integradora
tipo Simce
MR
55

Índice
Unidad Módulo 1 Módulo 2 Módulo 3 Módulo 4
Números naturales
Grandes números
Lectura y escritura de
números naturales
pág. 14
Valor posicional en números
naturales
pág. 16
Composición y
descomposición de números
pág. 18
Ubicación de números en la
recta numérica
pág. 20
Orden y comparación de
números naturales
pág. 22
Aproximación: redondeo
y estimación de números
naturales
pág. 24
Ponte a prueba
pág. 25
Adición
pág. 28
Propiedades de la adición
pág. 30
Educando en valores:
cuidado del entorno
pág. 28
Ponte a prueba
pág. 31
Sustracción
Sustracción de números
naturales
pág. 32
Relación entre la adición y la
sustracción
pág. 34
Ponte a prueba
pág. 35
Multiplicación
y división
Multiplicación
Multiplicación entre números
naturales
pág. 48
Estimación de productos
pág. 50
Propiedades de la
multiplicación
pág. 52
Estrategias de cálculo mental
pág. 54
Múltiplos y factores
pág. 56
Mínimo común múltiplo
pág. 58
Ponte a prueba
pág. 59
División
División de números naturales
pág. 62
Comprobación de la división
pág. 64
Divisores y criterios de
divisibilidad
pág. 66
Máximo común divisor
pág. 68
promover el cuidado del
medio ambiente
pág. 62
Ponte a prueba
pág. 69
Operatoria combinada
Ejercicios combinados
pág. 70
Comprobar usando la
calculadora
pág. 72
Ponte a prueba
pág. 73
1
págs. 12 - 45
págs. 46 - 83
2
6

Resolución de problemas Competencias SimceMR
Evaluaciones Síntesis y repaso
Método Singapur
Problemas parte - todo
pág. 36
La información numérica
me ayuda a conocer los
animales en peligro de
extinción
Competencias:
matemática, conocimiento e
interacción con el mundo físico
pág. 38
Análisis de una
pregunta de
selección múltiple
pág. 40
¿Qué sabes?
Evaluación inicial
pág. 13
¿Cómo vas?
pág. 26
¿Qué aprendiste?
Evaluación final
pág. 41
Prepara
la prueba 1
Método Singapur
Problemas de reparto equitativo
pág. 74
Las operaciones me
permiten comprender
la necesidad de un uso
eficiente de la energía
Competencias:
matemática, tratamiento de la
información
pág. 76
Análisis de una
pregunta de
pág. 78
¿Qué sabes?
Evaluación inicial
pág. 47
¿Cómo vas?
pág. 60
¿Qué aprendiste?
Evaluación final
pág. 79
Prepara
a prueba 2
Matemática 5º básico - Tomo I
7

Índice
Unidad Módulo 1 Módulo 2 Módulo 3 Módulo 4
Fracciones y
números decimales
Fracciones
fracciones
pág. 86
pág. 88
Amplificación y simplificación
pág. 90
pág. 92
Fracciones en la recta
numérica
pág. 94
Comparación y orden
pág. 96
Ponte a prueba
pág. 97
Operatoria con
fracciones
de fracciones con igual
denominador
pág. 100
Adición y sustracción de
fracciones con distinto
denominador
pág. 102
pág. 104
Ponte a prueba
pág. 105
Números decimales
números decimales
pág. 106
Números decimales en la
recta numérica
pág. 108
Orden y comparación de
números decimales
pág. 110
Divisiones con cociente
decimal
pág. 112
Representación de fracciones
como números decimales
pág. 114
Adición de números decimales
pág. 116
Sustracción de números
decimales
pág. 118
promover la vida saludable
pág. 110
Ponte a prueba
pág. 119
Patrones y álgebra
Patrones y secuencias
Patrón de formación
pág. 132
Secuencias numéricas
pág. 134
Cálculo y predicción de los
términos de una secuencia
numérica
pág. 136
cuidando el medio ambiente
pág. 137
Ponte a prueba
pág. 137
Lenguaje algebraico
Representación en lenguaje
algebraico
pág. 138
Valorización de expresiones
algebraicas
pág. 140
Ponte a prueba
pág. 141
Ecuaciones
Igualdades
pág. 144
Propiedades de la igualdad
pág. 146
Ecuaciones con una incógnita
pág. 148
Planteamiento de ecuaciones
pág. 150
Situaciones problema
pág. 152
Ponte a prueba
pág. 153
Inecuaciones
Desigualdades
pág. 154
Propiedades de la
desigualdad
pág. 156
Inecuaciones con una
incógnita
pág. 158
Ponte a prueba
pág. 159
págs. 84 – 129
págs. 130 - 169
3
4
Evaluación integradora
8

Resolución de problemas Competencias SimceMR
Evaluaciones Síntesis y repaso
Método Singapur
Problemas de comparación
pág. 120
Los números decimales
me ayudan a comparar
diferentes resultados
Competencias:
matemática, aprender a aprender
pág. 122
Análisis de una
pregunta de
pág. 124
¿Qué sabes?
Evaluación inicial
pág. 85
¿Cómo vas?
pág. 98
¿Qué aprendiste?
Evaluación final
pág. 125
Prepara
la prueba 3
Estrategia
Utilizar el lenguaje algebraico
pág. 160
El lenguaje permite
comprender información
importante en contextos
matemáticos
Competencias:
matemática, lingüística
pág. 162
Análisis de una
pregunta de
pág. 164
¿Qué sabes?
Evaluación inicial
pág. 131
¿Cómo vas?
pág. 142
¿Qué aprendiste?
Evaluación final
pág. 165
Prepara la
prueba 4
págs. 170 -175
Matemática 5º básico - Tomo I
9

Desarrollo de la autonomía
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Marzo
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Abril
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Mayo
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Junio
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Julio
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
3
4
5
6
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1010
11
12
13
14
15
16
17
Prueba Traer materialesTarea para la casa
10

Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Agosto
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Septiembre
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Octubre
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Noviembre
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Diciembre
Prueba Traer materialesTarea para la casa
11

Unidad
El planeta Tierra tiene un satélite natural llamado
Luna, mientras que el planeta Marte tiene dos satélites
naturales, Deimos y Phobos. Las distancias entre estos
planetas y satélites se muestran en la imagen.
• Leer, escribir y ordenar números de más de 6 cifras.
• Interpretar el valor posicional de los dígitos en un número.
• Componer y descomponer grandes números utilizando diferentes estrategias.
• Aproximar cantidades numéricas así como los resultados de adiciones y sustracciones.
• Resolver problemas que involucren adiciones y/o sustracciones, aplicando sus propiedades.
• Desarrollar procedimientos matemáticos flexibles y creativos, mediante la exploración y aplicación
de diferentes estrategias.
Números naturalesNúmeros naturales
1
12

A partir de la imagen, responde.
1. Escribe con palabras los números que representan las distancias existentes entre:
a. La Tierra y la Luna
b. Marte y Deimos
c. Marte y Phobos
2. Pinta con el color indicado el recuadro que cumpla con la condición.
El satélite que está a menor distancia de su planeta.
El satélite que está a mayor distancia de su planeta.
Luna Deimos Phobos
3. Marca con un si la afirmación es correcta. En caso contrario, marca con una .
a. La distancia entre el planeta Tierra y su satélite es menor que 385.000 km.
b. La distancia entre el planeta Marte y Deimos es igual que la distancia entre Phobos y Marte.
c. La distancia entre el planeta Marte y Phobos es menor que la distancia entre la Luna y la Tierra.
4. Encierra la opción que muestra en orden creciente las distancias que hay entre cada planeta y su satélite.
Opción 1
Tierra Luna > Marte Deimos > Marte Phobos
Opción 2
Marte Phobos < Marte Deimos < Tierra Luna
distancia
distancia
distancia
distancia
distancia
distancia
13

Módulo
Grandes números1
El conjunto de los números naturales (N) corresponde a uno de los primeros conjuntos numéricos estudiados y
se representa por: N = {1, 2, 3,…}. Cuando se incluye el cero, se representan como: N0 o N , {0}.
Lectura y escritura de números naturales
Los estudiantes de un colegio han decidido realizar un evento de beneficencia, con la finalidad de donar el dinero
recaudado a un hogar de niños. A continuación, se presentan los montos donados por cada curso.
Donaciones por curso
Curso 1º básico 2º básico 3º básico 4º básico 5º básico 6º básico
Monto $ 183.375 $ 174.225 $ 153.740 $ 155.530 $ 200.725 $ 186.525
• Encierra los 3 cursos que reunieron la menor cantidad de dinero.
• Une cada monto con su respectiva escritura en palabras.
Monto ($) Escritura en palabras
200.725 Ciento ochenta y tres mil trescientos setenta y cinco.
186.525 Doscientos mil setecientos veinticinco.
183.375 Ciento ochenta y seis mil quinientos veinticinco.
• El total de aportes es de $ 1.054.120. Marca con un la opción que representa el monto recaudado.
Un millón quinientos cuatro mil ciento veinte. Un millón cincuenta y cuatro mil ciento veinte.
Lee y responde
Aprende
1º básico 2º básico 3º básico 4º básico 5º básico 6º básico
Para escribir números naturales de varias cifras,
estos se agrupan de derecha a izquierda cada tres
cifras, separándolas por un punto.
Ejemplo: 9.507.032.891
Para leer números naturales se comienza desde la
izquierda.
Ejemplo: el número 9.507.032.891 se lee:
Nueve mil quinientos siete millones treinta y dos mil
ochocientos noventa y uno.
Esta forma también corresponde a su escritura en
palabras.
miles de millones millones miles
14
U1 PAG 12-35.indd 14 26-07-12 9:40

Leer y escribir números de más de seis cifras
1. Pinta el casillero con el número que corresponda. Identificar
a. Setenta millones cuatrocientos veinte mil.
b. Ochocientos cincuenta millones cinco.
c. Dos mil quinientos treinta y dos millones ochenta y uno.
2. Escribe con palabras los siguientes números. Representar
a. 5.230.000
b. 210.000.125
c. 2.320.000.001
3. Escribe con números y palabras la información que se presenta. Interpretar
Número Escritura con palabras
a.
b.
c.
d.
Practica
70.420 70.420.000 70.420.000.000
855.000.000 850.005.000 850.000.005
2.532.0812.532.000.081 253.281
N0 se conoce como el conjunto de los
números cardinales.
¿Sabías que...?
a.La cabeza tiene aproximadamente
1.000.000 de pelos.
c. En un año, los párpados pestañean
aproximadamente 8.000.000
de veces.
d. Durante un año, el corazón late
más de 30.000.000 de veces.
b. Durante su vida, una persona
flexiona las articulaciones de
sus dedos aproximadamente
unas 25.000.000 de veces.
15
U1 PAG 12-35.indd 15 26-07-12 9:40

Módulo 1 / Grandes números
Valor posicional en números naturales
Nuestro planeta está dividido en seis continentes. Estos tienen diferentes extensiones que corresponden a las
medidas de sus superficies, las cuales se pueden expresar en km2
(kilómetros cuadrados).
• Completa la tabla con la extensión de cada continente.
DMi UMi CM DM UM C D U
Oceanía
América
• Marca con un el valor que representa el dígito destacado en la extensión de Oceanía.
• Escribe el valor que representa el dígito destacado en la extensión de América.
El valor del dígito depende de la posición que ocupa en el número. Esto se llama valor posicional.
Ejemplo: en el número 5.417.239.678, se tiene lo siguiente:
Unidad de mil
de millón
Centena
de millón
Decena
de millón
Unidad
de millón
Centena
de mil
Decena
de mil
Unidad
de mil Centena Decena Unidad
5 4 1 7 2 3 9 6 7 8
Aprende
800.000 8.000.000 80.000.000
5.000.000.000
7.000.000 9.000 8
10.000.000 30.000 70
400.000.000 200.000 600
Fuente: World Population Prospects: The 2008 Revision. New York: United Nations, 2009.
América
Extensión: 42.974.372 km2
Oceanía
Extensión: 8.505.070 km2
Observa y responde
16

Interpretar el valor posicional de los dígitos en grandes números
1. Escribe el valor posicional que corresponde al dígito destacado en cada número. Identificar
2. Encierra, en cada caso, el número que cumple con la condición dada. Aplicar
3. Escribe el o los números que cumplen con la condición dada. Analizar
a. El 3 tiene el mayor valor posicional.
b. El 5 tiene el menor valor posicional.
c. El 1 tiene mayor valor posicional que el 8.
d. El 7 tiene mayor valor posicional que el 9.
4. Resuelve la siguiente situación problema. Analizar
En el número 125.768.245 se aumenta en 3 el dígito ubicado en las decenas y decenas de millón. Si, además, se
disminuye a la mitad los dígitos que se ubican en la unidad de mil y en las centenas, ¿cuál es el número resultante?
a. 1.743.001.451
b. 1.287.535.450
c. 801.214.564
d. 102.547.462
Practica
38.967.597 7.905.521.403 9.012.538.707 789.931.250
En el número 354, el dígito 5
está en la posición de las
decenas; esto no significa que
el número tenga solo 5 decenas.
En este caso, este dígito
tiene un valor que corresponde
a 50 unidades.
Ojo con...
El 7 representa a
700.000 unidades.
587.637.609
13.745.915
9.870.783
709.314.204
El 6 está ubicado
en las CMi.
7.394.609.405
516.317.530
26.379.464
8.647.605.435
a. b.
17

Composición y descomposición de números
Existen diferentes formas para descomponer un número.
Forma estándar: representa un número como una adición en la que cada sumando corresponde al valor
posicional de cada dígito.
Ejemplo: 1.450.000.200 = 1.000.000.000 + 400.000.000 + 50.000.000 + 200
Forma expandida: representa un número como una adición, en la que cada sumando se descompone como
un producto entre el dígito y un número que puede ser: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, etc., según la
posición que ocupe.
Ejemplo: 1.450.000.200 = 1 • 1.000.000.000 + 4 • 100.000.000 + 5 • 10.000.000 + 2 • 100
El número 1.450.000.200 también podría escribirse de la siguiente manera:
1.450.000.200 = 1 UMMi + 4 CMi + 5 DMi + 2 C
Aprende
Los dinosaurios vivieron hace millones de años. A continuación se muestran algunos.
• Marca con un la opción correcta.
El Triceratops vivió hace 7 DMi de años. El Pteranodonte vivió hace (8.000.000 + 5.000.000) de años.
• Encierra la opción que representa hace cuánto vivió el Stegosaurus.
1 CMi + 5 DMi + 5 UM 1 • 100.000.000 + 5 • 10.000.000 + 5 • 1.000.000
Triceratops
Hace 70 millones de años
Iguanodón
Pteranodonte
Hace 85 millones de añosStegosaurus
Observa y responde
18

Aplicar diferentes formas de componer y descomponer números
1. Pinta el casillero que presenta la descomposición incorrecta del número. Identificar
a.
b.
c.
2. Descompón los siguientes números según corresponda. Aplicar
Estándar Expandida
a. 13.000.700
b. 4.000.900.001
c. 2.100.050.000
3. Completa con los números que faltan en las siguientes descomposiciones. Aplicar
a. 150.900.100 = CMi + 5 DMi + CM + C
b. 32.001.500 = 30.000.000 + + + 500
c. 2.500.800 = • 1.000.000 + 5 • + 8 •
d. 8.000.200.150 = • + 2 • 100.000 + 1 • 100 + 5 • 10
Practica
20.000.000 + 200 + 50 2 • 10.000.000 + 2 • 100 + 5 • 1 2 DMi + 2 C + 5 D
20.000.250
100.000.000 + 100 + 1 1 • 100.000.000 + 1 • 1.000 + 1 • 1 1 CMi + 1 UM + 1 U
100.001.001
8.000.000.000 + 700 8 • 1.000.000.000 + 7 • 100 8 UMMi + 7 D
8.000.000.700
19

Ubicación de números en la recta numérica
Arica es la capital de la XV Región de Arica y Parinacota. La imagen
muestra algunas distancias desde Arica a otras ciudades.
• Marca con un cuál de las tres ciudades está a mayor distancia de Arica.
Antofagasta Tocopilla Iquique
• Marca con un cuál de las tres ciudades está a menor distancia de Arica.
Calama Chañaral Antofagasta
Para ubicar en la recta numérica las distancias presentes en la imagen, se puede realizar lo siguiente:
• En este caso, se graduará la recta cada 100 unidades que representarán 100 kilómetros.
• Se ubican en la recta numérica los valores que se muestran en la imagen.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000 1.100
Kilómetros (km)
0 302 532 591 710 1.092
Kilómetros (km)
Arica
Iquique
Tocopilla
Calama
Antofagasta
Chañaral
Para ubicar números en la recta numérica, esta se puede graduar considerando los valores que se van a
representar. De esta forma, los números se sitúan de acuerdo con la graduación realizada.
Ejemplo: la recta está graduada cada 3.000 unidades y en ella se marcan los números 6.000, 12.000,
15.000 y 24.000.
0 3.000 6.000 9.000 12.000 15.000 18.000 21.000 24.000 27.000
Observa y responde
Aprende
IQUIQUE 302 km
TOCOPILLA 532 km
CALAMA 591 km
ANTOFAGASTA 710 km
CHAÑARAL 1.092 km
20

Representar números naturales en la recta numérica
a. b. c. d.
a. 400 b. 1.600 c. 3.400 d. 5.100 e. 800
1.0000 1.800 2.800 3.600 4.600 6.000
0 3.000 6.000 9.000 12.000 15.000 20.000 28.000
Practica
20.000 30.000
10.000
metros (m)
20.000 30.000 40.000 50.000
20.000 21.000 22.000 23.000 24.000
520 m 417 m 445 m 440 m 530 m
Edificio A
Edificio B
Edificio C
Edificio D
Edificio E
1. Escribe los números marcados con puntos en la recta numérica. Identificar
2. Ubica los números en la recta numérica. Representar
3. Relaciona los números de la columna A con su representación en la recta numérica de la columna B. Para ello,
anota en la columna B la letra correspondiente. Relacionar
Columna A Columna B
a. 15.000, 25.000, 45.000
b. 20.500, 22.500, 23.500
c. 15.000, 20.000, 25.000
4. Ubica en la recta numérica la altura en metros (m) de estos edificios. Aplicar
21
c
c
c

• ¿Qué valor posicional tiene el dígito 8 en los precios de las viviendas? Escríbelo.
– Vivienda 1
– Vivienda 2
• ¿Qué valor posicional tiene el dígito 5 en los precios de las viviendas? Escríbelo.
– Vivienda 1
– Vivienda 2
Orden y comparación de números naturales
Una empresa constructora ha puesto en venta diferentes viviendas. A continuación, se presentan 2 opciones:
Criterios de comparación
Vivienda 2
$ 48.150.000
Vivienda 2
Vivienda 1
$ 48.510.000
• Para comparar los precios de ambas viviendas, es posible realizar lo siguiente:
Vivienda 1
4 8 5 1 0 0 0 0
Vivienda 2
4 8 1 5 0 0 0 0
• Luego, 48.510.000 > 48.150.000. Por lo tanto, la vivienda 1 tiene el mayor precio.
4 = 4
8 = 8
5 > 1
3 > 1
Observa y responde
• Entre los números naturales que tienen distinta cantidad de cifras, es mayor el que tiene más cifras.
Ejemplo: 2.100.000.000 > 100.000.000
• Entre los números naturales que tienen igual cantidad de cifras, se comparan los dígitos que ocupan igual posición
de izquierda a derecha.
Ejemplo: 223.450.000 > 221.450.000
Aprende
22

Establecer criterios de comparación en números de más de 6 cifras
1. Escribe los números mayor y menor que se pueden formar con las mismas cifras del número dado. Aplicar
2. Compara las siguientes cantidades. Para ello, escribe >, < o =, según corresponda. Aplicar
3. Escribe los números según las condiciones dadas. Analizar
a. Un número que sea mayor que 1.658.441.221 y menor que 2.099.000.000.
b. Un número que sea menor que 7 UMMi y mayor que 5 UMi.
c. Un número que sea menor que 5 DMi y mayor que 47.999.998.
d. El mayor número de 7 cifras que puede formarse con el 6 ubicado en la posición de la CM.
1.342.729
Menor Mayor
852.325.254
Menor Mayor
Practica
a. 42.548 42.584
b. 1.548.325 1.600.000
c. 658.584.211 658.584.211
d. 1.254.325.325 1.254.325
e. 1.635.254 1.600.000
f. 1.999.999 2.000.000
g. 98.545.111 89.545.111
h. 187.024.001 187.420.001
El símbolo “>” significa es mayor que.
El símbolo “<” significa es menor que.
El símbolo “=” significa es igual que.
Recuerda que...a.
b.

En algunos casos
puede cumplir la
condición más de
un número.
23

Aproximación: redondeo y estimación de números naturales
Según el Instituto Nacional de Estadísticas (INE), hasta el mes de octubre del año
2010 se registraron 19.388.000 teléfonos celulares en todo el país.
• Marca con un la opción que muestre la aproximación más cercana a la
cantidad de celulares registrados hasta octubre del año 2010.
19.000.000 20.000.000 21.000.000
• Si en 20 años la cantidad de celulares se duplicara con respecto a los que existen hasta octubre de 2010,
¿cuántos celulares habrá aproximadamente? Encierra la opción correcta.
Entre 10.000.000 y 20.000.000. Entre 30.000.000 y 40.000.000.
Entre 20.000.000 y 30.000.000. Entre 40.000.000 y 50.000.000.
Para aproximar un número natural se puede realizar por estimación o por redondeo.
• Por estimación, no existe un criterio establecido. Generalmente se utiliza para simplificar algunos cálculos.
Ejemplo: la diferencia entre 550.000.000 y 545.000.001 se puede estimar que es 5.000.000.
Si es mayor o igual a 5, se agrega una unidad al
dígito que se encuentra en dicha posición y se
remplazan por cero las cifras que se encuentran
a su derecha.
Ejemplo: al aproximar 767.054.210 a la CMi
767.054.210 800.000.000

Si es menor que 5, se mantiene la cifra y se
remplazan por cero las que están a su derecha,
y las que están a la izquierda quedan igual.
Ejemplo: al aproximar 354.814.520 a la DMi
354.814.520 350.000.000

• Por redondeo, se debe observar la cifra de la derecha a la que se quiere aproximar y tener presente lo
siguiente:
4 < 56 > 5
Lee y responde
Aprende
24

Aproximar números naturales utilizando diferentes estrategias
Ponte a prueba
Considera las siguientes igualdades:
A = 100.000 + 10.000 C = 5 CM + 9 DM E = 4 • 100.000 + 5 • 10.000
B = 2 • 100.000 + 5 • 10.000 D = 350.000 F = 6 CM + 7 DM
• Ubica los valores asignados a cada letra en la recta numérica.
Practica
$ 285.990
$ 89.990
0
1. Redondea cada número, según lo pedido. Aplicar
a. 8.054.200.187 a la decena de millón.
b. 1.258.635.260 a la unidad de millón.
c. 7.540.230.100 a la centena de millón.
2. Determina el valor posicional con respecto al que fue redondeado cada número. Analizar
Número Redondeo Valor posicional
a. 1.520.214.000 1.500.000.000
b. 8.542.250.540 8.540.000.000
c. 9.174.870.210 9.000.000.000
3. Observa los precios de los productos y luego resuelve. Aplicar
a. Precio estimado al comprar la lavadora y la cocina.
b. Estima la diferencia entre los precios de la cocina y el microondas.
c. Precio estimado al comprar la lavadora y el microondas.
$ 49.999
25

¿Cómo vas?¿Cómo vas?
puntos
3
puntos
3
puntos
6
Lectura y escritura de números
1. Escribe con números la cantidad presentada en los titulares de los diarios.
Valor posicional
2. Observa el siguiente número y luego escribe V si la afirmación es verdadera o F, si es falsa.
Justifica en cada caso.
a. El dígito que se ubica en la unidad de mil de millón es 1.
Justificación:
b. Los dígitos 0, 7 y 9 se ubican en la posición de los miles.
Justificación:
c. El dígito 8 se encuentra en la posición de la unidad de mil.
Justificación:
Composición y descomposición
3. Completa con el número o su descomposición. Observa el ejemplo.
Forma expandida Número Forma estándar
2 • 10.000 + 6 • 100 20.600 20.000 + 600
a. 2 • 100.000 + 6 • 10.000
b. 2.600.000.000
c. 2.000.000.000 + 600.000
a. b. c.
3.441.658.079
26
F
F
F

Unidad 1
Población aproximada de América del Sur
País Cantidad de habitantes
Chile 17.300.000
Perú 29.400.000
Brasil 196.700.000
Argentina 40.500.000
Colombia 46.900.000
a. Chile
b. Perú
c. Brasil
d. Argentina
e. Colombia
Ubicación de números naturales en la recta numérica
4. Completa los casilleros con los números del recuadro.

5. Pinta cada número según el color que corresponda.
Números menores que 9.999.999.
Números mayores que 9.999.999 y menores que 999.999.999.
Números mayores que 999.999.999.
Aproximación
6. Observa la información de la tabla. Luego, redondea a la decena de millón la población de
cada país.
2.647.582 2.647.582.129 13.129.587
748.586 6.158.381 854.861.397 9.547.301.222
0 5.000.000 10.000.000 15.000.000 20.000.000 25.000.000
18.300.000 14.998.875 22.500.000 8.100.000
1.100.000 4.859.875 28.158.741
puntos
7
puntos
7
puntos
5
Fuente: PRB, Cuadro de la población mundial 2011.
27

Módulo
2 Adición
En la tabla se registró la cantidad de personas que utilizaron durante 2 semanas
la bicicleta como medio de transporte.
• Para calcular la cantidad de personas que utilizaron ese medio de transporte en esas dos semanas, es necesario
resolver la adición entre los sumandos 657.892 y 528.105, que corresponden a la cantidad de personas que usaron
la bicicleta cada semana.
• Por lo tanto, durante 2 semanas personas utilizaron la bicicleta.
Uso de bicicleta como medio de transporte
Semana Cantidad de personas
1 657.892
2 528.105
• Para resolver una adición, se debe agrupar cada sumando según su valor posicional, es decir, unidad con
unidad, decena con decena, centena con centena y así sucesivamente, para encontrar el valor de la suma.
Ejemplos:

Lee y responde
Aprende
6 57. 8 9 2
+ 52 8 .1 0 5
Sumandos
Suma
657.892 + 528.105 =
Sumandos Suma
Sumando
Sumando
Suma
7 6 5 3 0 5 1 8 9 2
+ 2 1 5 3 5 7 6 8 0 7
9 8 0 6 6 2 8 6 9 9
. . .
.
.
.
.
.
.
Sumandos Suma
1.254.540 + 13.214.100 = 14.468.640
Educando en valores
Al usar la bicicleta ayudas a
descontaminar tu ciudad, y
además promueves un estilo
de vida saludable.
28

Resolver adiciones
Practica
a. b. c. 8 .76 4 . 210 . 3 4 5
+ 31 2 . 2 21. 0 6 0
a. b. c. 1 2 0 . 3 5 2 .10 5
+
9 0 2 . 4 07.10 5

+ 4 . 2 3 7.1 5 8 . 213
6 . 0 5 3 . 2 9 3 . 8 74
1.1 2 0 . 3 5 2 .10 5
+
5 . 2 0 0 . 3 5 7.111
2 . 610 . 3 8 9. 6 7 8
+ 4 . 9 81. 2 3 0 . 5 76
5 . 24 8. 210 . 0 2 9
+ 2 . 3 6 7.13 4 . 5 76
1. Resuelve las siguientes adiciones. Aplicar
2. Lee y responde. Aplicar
Si una persona compra los 3 artefactos que se muestran en la imagen, ¿cuánto pagará?
3. Completa cada adición con el número que falta. Analizar
4. Escribe V si la afirmación es verdadera o F, si es falsa. Justifica en cada caso. Verificar
a. Al redondear a la unidad de mil la suma entre 234.549 y 273.430 resulta 507.000.
Justificación:
b. El número que sumado a 340.709 da como resultado 466.599 es 125.890.
Justificación:
c. La adición entre (5 UMi + 4 DM + 9 C) y 270.490.000 es un número que está entre 1 UMMi y 2 CMi.
Justificación:
LED 50”
$ 399.990
Notebook
$ 349.990
Refrigerador
$ 299.999
29
F
F
F

Propiedades
Clausura: si se suman dos o más números naturales
el resultado es un número natural.
Conmutativa: el orden de los sumandos no altera la
suma.
Elemento neutro: al sumar un número natural con el
número 0, el resultado es el mismo número natural.
Asociativa: si los sumandos se agrupan de distinta
forma, la suma no varía.
Ejemplos:
21.254 ! N, 458.210 ! N, entonces
21.254 + 458.210 = 479.464. Luego, 479.464 ! N.
1.478.520 + 5.874.210 = 5.874.210 + 1.478.520
7.352.730 = 7.352.730
1.025.547.274 + 0 = 1.025.547.274
(5.120 + 2.574) + 541 = 5.120 + (2.574 + 541)
7.694 + 541 = 5.120 + 3.115
8.235 = 8.235
• ¿Cómo son las distancias recorridas en ambos días?
(90 + ) + ( + 64) ( + 84) + (115 + )
+
m
+
m
Aprende
Módulo 2 / Adición
Partiendo desde su casa, Emilia recorre el contorno de la plaza en las direcciones que se muestran.
• Completa con las distancias recorridas el primer y el segundo día.
Observa y responde
CasaCasa 90 m 90 m
115 m 115 m
84 m 84 m
64 m 64 m
Primer día Segundo día
30

Identificar el valor posicional de los números naturales
1. Escribe la propiedad descrita en cada caso. Observa el ejemplo. Interpretar
a. 547.987.120 + 0 = 547.987.120
b. (893 + 541) + 12 = 893 + (541 + 12)
c. 12.587 + 32.541 = 32.541 + 12.587
d. 0 + 927.183 = 927.183
2. Completa con los números que faltan. Luego, escribe la propiedad utilizada. Aplicar
a. 34.980 + = + 5.120
b. + 254.102 = 254.102
c. (14.200 + 210) + = + ( + 52)
d. 580 y 200 ! N, luego + = 780 ! N
Ponte a prueba
Analiza la siguiente situación y responde.
En las bibliotecas de dos comunas
adquieren nuevas colecciones de libros.
Estas boletas muestran el desglose de
la compra.
Practica
Propiedad
5 y 12, luego 5 + 12 = 17 ! N Clausura
• Escribe en cada boleta el monto total
de la compra realizada por cada biblioteca.
• ¿Cuál es la relación entre los montos totales de las boletas?
• Para resolver la situación, ¿qué propiedad (o propiedades) de la adición pueden utilizarse? Nómbralas.
Comprobar las propiedades de la adición
Boleta
Nº 2
Novelas de acción $ 854.600Cuentos
$ 413.250Libros de historia $ 985.000Revistas
$ 220.550
Total
$
Nº 2
Novelas de acción
Cuentos
Libros de historia
Revistas
Total
$
Boleta Nº 1
Novelas de acción $ 985.000
Cuentos
$ 413.250
Libros de historia $ 854.600
Revistas
$ 220.550
Total $
31
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Módulo
3 Sustracción
Sustracción de números naturales
Según estudios realizados por el Metro de Santiago, en promedio unos 2.000.000 de pasajeros utilizan este transporte
cada día. La tabla muestra la cantidad de pasajeros que viajó en el Metro en algunos días del mes de julio del año 2011.
Afluencia de usuarios de Metro 2011
Fecha Cantidad de pasajeros
1 de julio 2.375.071
5 de julio 2.211.983
13 de julio 2.090.956
15 de julio 2.032.649
¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de pasajeros transportados el 1 de julio y el 15 de julio?
• Completa con los dígitos y datos que falten.
• Por lo tanto, la diferencia de pasajeros que usaron el Metro el 1 de julio y el 15 de julio es: .
Aprende
Lee y responde
Para resolver una sustracción
en el conjunto N0, el minuendo
debe ser mayor o igual que el
sustraendo. La sustracción se
realiza de derecha a izquierda
respetando el valor posicional de
cada cifra y reagrupando cuando
sea necesario.
Ejemplo: si el minuendo es 3.899.790.289 y el sustraendo es
1.412.425.150, ¿cuál es la diferencia?
CMi DMi UMi CM DM UM C D U
8 10
3 8 9 9 7 9 0 2 8 9
– 1 4 1 2 4 2 5 1 5 0
2 4 8 7 3 6 5 1 3 9
UMMi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 de julio
de
3 7 5 0 7 1 Minuendo
– 2 3 2 4 9 Sustraendo
3 4 2 2 Diferencia
.
.
.
.
.
Minuendo
Sustraendo
Diferencia
Fuente: www.metrosantiago.cl
116104
32
U1 PAG 12-35.indd 32 26-07-12 9:41

1. Marca con un las sustracciones cuyo resultado es correcto. En caso contrario, marca con una . Verificar
a. Una piscina tiene una capacidad máxima de 2.500.000 litros de agua. Si han vertido en ella 1.482.500
litros de agua, ¿cuál es la cantidad de agua que falta para llenarla con su capacidad máxima?
b. Una empresa abre una cuenta de ahorro y deposita $ 54.320.820. Meses después, realiza 2 giros, el
primero de $ 5.540.000 y el segundo, de $ 15.980.000. ¿Cuánto dinero queda en la cuenta de ahorro?
3. Completa los recuadros con los valores que faltan. Luego, calcula si la diferencia es correcta. Analizar
Practica
a. La diferencia es: 3.462.992
Minuendo

Sustraendo
b. La diferencia es: 3.269.273
Minuendo

Sustraendo
8.710.495 987.534 4.256.807 5.247.503 6.528.326
Resolver sustracciones
a. b. c. d. 93.567.841
– 84.699.813
8.968.028
3 2.5 4 1.504
– 9.563.604
22.87 6.900
4 2.861.792
– 7.978.791
34.883.001
89.504.004
– 7 1.613.5 1 4
1 7.890.490
33

Módulo 3 / Sustracción
Relación entre la adición y la sustracción
El siguiente mapa presenta la superficie de dos océanos.
• Al calcular la diferencia entre las medidas de sus superficies de los océanos Pacífico y Atlántico, se tiene que:
165.000.000 Superficie del océano Pacífico
– 80.000.000 Superficie del océano Atlántico
85.000.000 Diferencia entre las superficies de ambos océanos
El océano Pacífico tiene 85.000.000 km2
más que el océano Atlántico.
• Para comprobar lo anterior, se puede realizar una adición entre el resultado obtenido y la medida de la superficie
del océano Atlántico:
85.000.000 Diferencia entre las superficies de ambos océanos
+ 80.000.000 Superficie del océano Atlántico
165.000.000 Superficie del océano Pacífico
Para comprobar que el resultado de una sustracción es
correcto, se debe resolver la adición entre la diferencia y
el sustraendo para obtener como resultado el minuendo.
Ejemplo:
Para comprobar que el resultado de una adición es
correcto, se debe calcular la diferencia entre la suma
y uno de los sumandos, para obtener como resultado
el otro sumando.
Ejemplo:
Resolución
936.214.875
– 849.127.356
87.087.519
Comprobación
87.087.519
+ 849.127.356
936.214.875
Resolución
412.370.985
+ 678.542.193
1.090.913.178
Comprobación
1.090.913.178
– 412.370.985
678.542.193
Aprende
Observa y responde
Océano Pacífico
Medida de
su superficie:
165.000.000 km2
Océano Atlántico
Medida de
su superficie:
80.000.000 km2
Conectad@s
Ingresa a:
34

Comprobar la relación entre la adición y la sustracción
1. Marca con un la comprobación correcta de cada operación, y con una si es incorrecta. Comprender
Practica
2. Completa con el número que falta. Aplicar
a. Comprobación b. Comprobación
a. Resolución Comprobación b. Resolución Comprobación
127.565.125
+ 56.254.236
183.819.361
183.819.361
+ 56.254.236
240.073.597
6.878.447.123
– 535.121.000
6.343.326.123
6.343.326.123
+ 535.121.000
6.878.447.123
3. Resuelve el siguiente problema. Analizar
Durante dos años se han reciclado las cantidades de residuos que se muestran.
Si durante ese tiempo se han reciclado
890.216.432 kg de residuos, ¿cuántos kg
de vidrio se reciclaron?
D.8 A 7.25C.94V
– 6.89U.ST1.1E 5
1.R02.112.F21
El mensaje codificado es:
Papel Vidrio Plástico
354.120.911 kg 214.111.311 kg kg
124.500.350–
121.215.550
245.715.900
+ 2.434.550.200
5.915.693.300
+
8.350.243.500
–
Para descifrarlo debes asociar
a cada letra el valor de cadacifra presente en la sustracción
que se muestra.
Para descifrarlo debes asociar
Ponte a prueba
Se descubrió el siguiente mensaje codificado:
35

36
Problemas parte - todo
Observa la resolución del siguiente problema
Después de aplicar un censo, se supo que en una ciudad hay 435.827 habitantes. De estos habitantes, 176.813
son ancianos, 78.560 son niños y el resto son adultos. ¿Cuántos adultos hay en la ciudad?
PASO 1 Identifica los datos y lo que se pregunta en el problema.
Datos: 176.813 ancianos.
78.560 niños.
435.827 todos habitantes.
Pregunta: ¿Cuántos adultos hay?
PASO 2 Representa en un esquema los datos identificados.
PASO 3 Escribe los cálculos para obtener la respuesta.
PASO 4 Responde la pregunta.
Respuesta: en la ciudad hay 180.454 adultos.
176.813 78.560 ?
435.827
435.827
–
176.813
78.560+

Unidad 1
37
Unidad 1
Ahora hazlo tú
Don Martín cosecha frutillas, frambuesas y guindas. Durante una temporada obtiene las siguientes ganancias: por
las frutillas $ 1.054.241 y por las frambuesas, $ 968.542. Si el total de ganancias es $ 2.542.145, ¿qué ganancia
obtiene don Martín por la venta de guindas?
Identifica los datos y lo que se pregunta en el problema.PASO 1
Representa en un esquema los datos identificados.
PASO 2
Escribe los cálculos para obtener la respuesta.
PASO 3
Responde la pregunta.
PASO 4

La información numérica me ayuda a conocer los animales en peligro
de extinción
• En relación con las especies nativas, ¿cuántas especies más tiene la población mundial que las que
existen en Chile aproximadamente?
• Ordena las especies en forma creciente según su cantidad. Escribe en los recuadros superiores el
nombre del animal y, en los recuadros inferiores, las cantidades.
< < <
Nombre científico: Balaenoptera musculus
Nombre común: Ballena azul
Chile se caracteriza por tener una gran variedad de ecosistemas, en los cuales hay
numerosas y diversas especies. Se han descrito poco más de 30.000 especies nativas,
en comparación con las 2.000.000 de especies que se encuentran en todo el mundo.
Muchas de estas especies nativas se encuentran amenazadas, lo que significa que están
en riesgo de extinción en el mediano plazo.
Nombre científico: Pseudalopex fulvipes
Nombre común: Zorro de Darwin
38

• ¿Qué otro animal conoces que se encuentre en peligro de extinción?
• ¿Por qué crees que están en extinción?
• ¿Qué medidas podrían tomarse para proteger estas especies? Nombra tres acciones que se pueden realizar.
• ¿Qué responsabilidad tiene el ser humano en el proceso de extinción de los animales?
Competencia para el conocimiento e interacción con el mundo físico
Nombre científico: Hippocamelus bisulcus
Nombre común: Huemul
Población: 1.300 individuos, aprox.
Nombre científico: Chloephaga rubidiceps
Nombre común: Canquén colorado
Fuente: Ministerio del Medio Ambiente, Gobierno de Chile,
Recuperado de http://www.mma.gob.cl, 18 de enero de 2012
39

A. W
Análisis de las alternativas
1. Si el número 2.547.982.100 se redondea a la unidad de millón y el número 1.245.951.589 se redondea
a la unidad de mil, ¿cuál es la diferencia entre ambas aproximaciones?
A.En este caso, se calcula la diferencia entre los números sin realizar el redondeo de cada número. Aunque
el cálculo es lo correcto, no es lo pedido.
A.1.302.030.511
B. 1.302.048.000
C. 1.302.158.000
D. 1.303.029.511
B. Al redondear 2.547.982.100 a la unidad de millón resulta 2.548.000.000 y
al redondear 1.245.951.589 a la unidad de mil se obtiene 1.245.952.000.
Luego, al calcular la diferencia se realiza lo siguiente:
C. Se redondea en forma correcta ambos números, pero al calcular la
diferencia se resuelve de forma incorrecta, es decir:
40
D. En esta alternativa no se redondean de forma correcta ambos números, por lo que:
• Al redondear a la unidad de millón el número 2.547.982.100 es 2.548.982.100.
• Al redondear a la unidad de mil el número 1.245.951.589 es 1.245.952.589.
Luego, se obtiene 1.303.029.511 como diferencia.
2 . 5 4 8 . 0 0 0 . 0 0 0
– 1 . 2 4 5 . 9 5 2 . 0 0 0
1 . 3 0 2 . 0 4 8 . 0 0 0
7 9 9 10
2 . 5 4 8 . 0 0 0 . 0 0 0
– 1 . 2 4 5 . 9 5 2 . 0 0 0
1 . 3 0 2 . 1 5 8 . 0 0 0
7 10 10 10
Por lo tanto, la alternativa B es la correcta. 1. A C DB

A. W
puntos
3
puntos
3
puntos
2
Unidad 1
1. Completa las siguientes afirmaciones.
a. El número “cinco mil millones doscientos cuarenta y cinco mil setecientos
ochenta”, escrito con números es .
b. En el número 9.874.635.210, el dígito 4 está ubicado en la posición de
la de millón.
c. En el número 795.210.000, el dígito 7 está ubicado en la
.
2. Completa el crucinúmero.
Horizontales
a. 7 CM + 8 DM + 5 C + 2 D + 3 U
b. Doscientos mil seiscientos cuarenta y cinco
c. 7 CM + 6 UM + 5 U
Verticales
d. 500.000 + 30.000 + 2.000 + 80
e. 1 · 100.000 + 5 · 10
f. 4 CM + 3 UM + 4 D + 6 U
3. Ordena de mayor a menor los siguientes números y encuentra la palabra secreta.
La palabra secreta es .
d e
f
b
a
c
S
9.000.000.215
A
9.120.300.215
L
9.000.250.215
T
9.120.258.215
N
9.120.350.215
E
9.000.100.215
R
9.020.250.215
A
9.000.300.215
U
9.020.255.215
41

¿Qué aprendiste?
4. Observa los dígitos que se presentan.
Sin repetir ningún dígito, escribe:
a. El mayor número redondeado a la decena de millón.
b. El menor número redondeado a la decena de mil.
5. Resuelve el problema siguiendo los procedimientos que se indican a continuación.
En junio, un museo de arte recaudó $ 7.660.000 por entradas de niños y $ 3.905.000 menos
por las de adultos. En julio, recibió $ 10.850.000 por las entradas de niños y adultos. ¿Cuánto
dinero más recibió el museo en junio, en comparación con julio?
a. ¿Qué se pregunta?
b. Realiza un esquema.
c. Realiza la operación.
d. Responde.
6. La tabla muestra la cantidad de habitantes de una comuna. Complétala y luego responde.
¿Cuál es la diferencia entre el total de hombres y el total de mujeres?
4 2 9 1 8 3 6 5 7
Habitantes de una comuna
Edad
Sexo Hombres Mujeres Total
Menores de 18 años 20.058 42.587
Mayores de 18 años 28.194 56.220
Total 48.084
puntos
2
puntos
puntos
4
puntos
3
42

7. En una campaña solidaria se reunieron $ 2.148.387.454. ¿Cómo se escribe con palabras
el total del dinero recaudado?
A. Dos millones ciento cuarenta y ocho trescientos ochenta y siete cuatrocientos
cincuenta y cuatro.
B. Dos mil ciento cuarenta y ocho millones trescientos ochenta y siete mil cuatrocientos
cincuenta y cuatro.
C. Dos millones ciento cuarenta y ocho mil trescientos ochenta y siete millones
cuatrocientos cincuenta y cuatro.
D. Dos mil ciento cuarenta y ocho millones trescientos ochenta y siete cuatrocientos
cincuenta y cuatro mil.
8. En el número 658.457.125, ¿cuál es el dígito que está ubicado en la unidad de millón?
A. 1
B. 5
C. 7
D. 8
9. ¿A cuántas unidades corresponde la cifra destacada en el número 1.458.777?
A. 800
B. 8.000
C. 80.000
D. 800.000
10. ¿A qué número corresponde la siguiente descomposición?
20.000.000 + 4.000.000 + 300.000 + 50.000 + 1.000
A. 243.510
B. 2.435.100
C. 24.351.000
D. 243.510.000
puntos
4
Unidad 1
43

11. En la descomposición del número 365.174.845, ¿cuál es el sumando que falta?
300.000.000 + 5.000.000 + 100.000 + 70.000 + 4.000 + 800 + 40 + 5
A. 6.000.000
B. 60.000.000
C. 600.000.000
D. 6.000.000.000
12. ¿Qué alternativa corresponde a una descomposición estándar del número 7.542.111?
A. 7 UM + 5 CM + 4 DM + 2 UM + 1 C + 1 D + 1 U
B. 7.000.000 + 500.000 + 40.000 + 2.000 + 100 + 1
C. 7.000.000 + 500.000 + 40.000 + 2.000 + 100 + 10 + 1
D. 7 · 1.000.000 + 5 · 100.000 + 4 · 10.000 + 2 · 1.000 + 1 · 100 + 1 · 10 + 1 · 1
13. En la recta numérica, ¿entre qué letras ubicarías el número 29.000.000?
A. Entre la X y la S.
B. Entre la S y la Q.
C. Entre la Q y la Z.
D. Entre la Z y la R.
14. En la siguiente recta, las letras X, Y, Z corresponden a un número natural. ¿Cuál
alternativa es falsa?
A. 0 < Z
B. X > Z
C. Y > Z
D. Y < Z
28.000.000 28.300.000 28.600.000 29.500.000
X Q RS Z
¿Qué aprendiste?
puntos
4
0 Z X Y
44

Unidad 1
puntos
4
15. ¿En qué recta numérica se ubica con mayor precisión el número 6.358.144.111?
A.
B.
C.
D.
16. ¿En qué alternativa están ordenados de forma decreciente los siguientes números?
365.100 3.548.785.119 1.478.300 321.145.964
A. 321.145.964; 1.478.300; 3.548.785.119; 365.100
B. 365.100; 1.478.300; 321.145.964; 3.548.785.119
C. 3.548.785.119; 321.145.964; 1.478.300; 365.100
D. 365.100; 321.145.964; 1.478.300; 3.548.785.119
17. En una tienda comercial, una persona compró un celular que vale $ 45.990 y un MP4
por $ 35.990. Si pagó con $ 90.000, ¿cuánto vuelto recibió?
A. $ 8.020
B. $ 9.020
C. $ 9.120
D. $ 18.020
18. Suponiendo que A + B = 25.354 y que C = 18.867, ¿cuál es el valor de A + (B + C)?
A. 33.111
B. 34.221
C. 44.211
D. 44.221
6.000.000.000 7.000.000.000
6.000.000.000 6.500.000.000 7.000.000.000
6.000.000.000 6.250.000.000 6.750.000.0006.500.000.000 7.000.000.000
6.000.000.000 6.200.000.000 6.600.000.000 6.800.000.0006.400.000.000 7.000.000.000
Busca
Prepara laprueba 1
45

Unidad 2
• Resolver multiplicaciones y divisiones en el conjunto de los números naturales.
• Reconocer las propiedades de la multiplicación y estimar productos.
• Aplicar distintas estrategias de cálculo mental.
• Comprender la división entre números naturales e interpretar cada uno de sus términos.
• Comprender los criterios de divisibilidad.
• Resolver distintos tipos de problemas que involucren las 4 operaciones.
• Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.
Multiplicación y división
Algunos elementos producidos con aluminio reciclado son:
• latas de conservas
• tapas de metal
• papel de aluminio
El aluminio se funde y
se moldea en lingotes
de 25.000 kg.
Los lingotes de aluminio se funden
de nuevo y se pasan por rodillos
para formar láminas finas.
Se estima que 67 latas producen
1 kilógramo de aluminio.
Las latas se limpian
y se compactan
para ser recicladas.
46

A partir de la información anterior, responde.
1. Encierra la operación que permite conocer la cantidad de latas de aluminio que se necesitan para obtener
aproximadamente 500 kilógramos de aluminio.
500 + 67 500 • 67 500 – 67 500 : 67
2. Completa la tabla con la cantidad de latas que se reciclan por cada kilógramo.
Cantidad de latas por kilógramo de alumnio
Kilógramo 1 2 5 10 20 100 1.000
Cantidad aproximada
de latas
67
3. Encierra la operación que permite conocer la cantidad de lingotes que se obtienen con 100.000 kilógramos de
aluminio fundido.
100 • 25 100 + 25 100 : 25 100 – 25
4. Marca con un la opción que representa la cantidad de lingotes que resultan de la fundición de
200.000 kilógramos de aluminio.
2 lingotes 4 lingotes 6 lingotes 8 lingotes
5. Si se utilizan 201 latas para formar cada lámina fina de aluminio, ¿cuántos kilógramos de aluminio se ocupan?
47

Módulo
Aprende
Para multiplicar dos números de dos o más cifras, se comienza multiplicando la cifra que corresponde a la
unidad por el otro número (factor). Luego, se continúa con la decena y al producto que resulta se le agrega
un cero, siguiendo de esta forma con las demás cifras.
Ejemplo: si se han comprado 24 sillas y cada una tiene un precio de $ 3.590, ¿cuánto se pagó por la compra?
Utilizando una multiplicación, se tiene que: Factores
3.590 • 24
14.360 3.590 • 4
+ 71.800 3.590 • 20
Producto 86.160
Por lo tanto, el valor cancelado por la compra es $ 86.160.
Multiplicación1
Multiplicación entre números naturales
Un avión viaja de Santiago a Concepción todos los días y recorre 858 km en
cada viaje de ida y vuelta. ¿Cuántos km recorrerá en dos semanas?
• Para responder la pregunta se puede escribir una “adición iterada”. En este
caso, se suma 14 veces la cantidad de km de vuelo diario, es decir:
858 + 858 + 858 + ... + 858
14 sumandos iguales
• Este cálculo se puede representar mediante la multiplicación de 858 por 14. Para saber el resultado, completa
la resolución.
• Por lo tanto, en dos semanas el avión recorrerá km.
Lee y responde
14 = 10 + 4
858 • 14
+ 8.580
858 • 4
858 • 10
48

Practica
Resolver multiplicaciones entre números naturales
a. 254 • 7 = b. 1.325 • 36 = c. 12.185 • 365 =
1. Calcula el producto de cada multiplicación. Aplicar
2. Las siguientes tablas registran los costos diarios por persona en cierto hotel. Analizar
a. ¿Cuánto pagarán 4 personas que se hospedarán 5 días en una habitación sencilla y sin comida?
b. Si se registran 12 personas durante una semana en una habitación doble con tres comidas, ¿cuánto pagarán?
3. Descubre el valor que representan los símbolos utilizados en la multiplicación. Analizar
a. 4 1 • 4
3.789
+ 16.840
20.629

X
Y
Costo de la alimentación
Alimentación Costo
Tres comidas $ 35.500
Dos comidas $ 30.500
Costo de habitación por tipo
Habitación Costo
Sencilla $ 98.900
Doble $ 106.500
b. 5.X43 • Y6
33.258
+ 388.010
421.268
49

Módulo 1 / Multiplicación
Aprende
Una estrategia para estimar un producto consiste en redondear uno o todos los factores a un determinado
valor posicional. El grado de exactitud del producto dependerá del orden al que se redondee. El resultado
obtenido corresponde a una aproximación del producto real.
Ejemplo: al estimar el producto entre 9 y 12.398, se puede considerar lo siguiente:
9 • 12.398
Se redondea a la decena. Se redondea a la centena.
10 • 12.400 = 124.000
Es decir, al estimar el producto entre 9 y 12.398, se puede afirmar que es aproximadamente 124.000.
Lee y responde
Un gimnasio con una cancha de básquetbol tiene capacidad para 1.098 personas. Si
se han programado 18 partidos y los organizadores ya han vendido todas las entradas,
¿cuántas personas, aproximadamente, asistirán a todos los partidos de básquetbol?
• Considera las siguientes estrategias para la estimación de estas cantidades.
Luego, completa según corresponda.
• ¿Cuál de los 2 resultados es una mejor estimación? Justifica tu respuesta.
+ +
Estrategia 1
Redondea el primer factor a la centena más
cercana.
Calcula el producto.
1.098 • 18 • 18
Estrategia 2
Redondea el segundo factor a la decena más
cercana.
Calcula el producto.
1.098 • 18 1.098 •
50

Practica
1. Estima los siguientes productos redondeando los factores al valor posicional, según corresponda. Aplicar
2. Completa la siguiente tabla, según corresponda. Aplicar
3.587 • 33 4.435 • 47
Redondea el 1
er
factor a la centena más cercana. • 33 • 47
Producto estimado.
Redondea el 2º factor a la decena más cercana. 3.587 • 4.435 •
Producto estimado.
3. Verifica cada una de las siguientes afirmaciones. Justifica en cada caso. Evaluar
a. La multiplicación 20 • 60 corresponde a una mejor estimación de 21 • 61 que de 21 • 59.
b. Al calcular el producto entre 89 y 99, es posible afirmar que 90 • 100 es una mejor estimación que 88 • 88.
Estimar el producto en una multiplicación
a. Factores redondeados a la decena: 49 • 72 b. Factores redondeados a la centena: 318 • 1.998
51

Aprende
Propiedades
Clausura: al multiplicar dos números naturales el producto es
un número natural.
Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.
Elemento neutro: al multiplicar cualquier número natural por el
número 1, el producto corresponde al mismo número natural.
Asociativa: si en una multiplicación los factores se asocian de
diferentes maneras, se obtiene el mismo producto.
Distributiva: se aplica a la adición o la sustracción. El factor se
distribuye multiplicando cada término de la suma o la resta.
Observa y responde
Propiedades de la multiplicación
Un camión que transporta desechos para reciclaje realiza 2 viajes desde
Valparaíso a Santiago, ida y vuelta.
• Remarca el o los recuadros con la expresión que permite encontrar la
cantidad de kilómetros recorridos por el camión en un día.
120 + 120 + 120 + 120 120 • 4 120 : 4
2 + 120 4 • 120 120 – 4
• Completa cada resolución que representa la distancia que recorrerá el camión en una semana. Luego, marca con
un si el procedimiento es correcto.
Ejemplos:
35 ! N, 14 ! N, entonces:
35 • 14 = 490, Luego 490 ! N.
124.367 • 5 = 5 • 124.367
621.835 = 621.835
1 • 245.735.120 = 245.735.120
1.254.987.640 • 1 = 1.254.987.640
7 • (12 • 4) = (7 • 12) • 4
7 • 48 = 84 • 4
336 = 336
20 • (6 + 2) = (20 • 6) + (20 • 2)
20 • 8 = 120 + 40
160 = 160
Resolución 1
7 • 4 • 120
• 120
Resolución 2
7 • 4 • 120
7 •
Valparaíso
120 km
Santiago
52

Practica
Reconocer las propiedades de la multiplicación
1. Escribe la propiedad ejemplificada en cada caso. Reconocer
Propiedad
a. 1 • 3.489.720 = 3.489.720
b. 32 • (15 • 14) = (32 • 15) • 14
c. 26.245 • 41.987 = 41.987 • 26.245
d. 12 • (23 + 45) = (12 • 23) + (12 • 45)
e. 75 y 90 ! N, entonces 75 • 90 ! N.
2. Completa con los números que faltan. Luego, escribe la propiedad utilizada. Aplicar
a. 3 • (15 + 20) = (3 • ) + (3 • 20)
3 • = 45 + 60
105 = 105
b. 1.325 • 65 = 65 •
86.125 =
c. ( • 100) • 1.000 = 10 • (100 • 1.000)
1.000 • 1.000 = 10 •
1.000.000 =
3. Utiliza las propiedades de la multiplicación para resolver el siguiente problema. Analizar
En un teatro hay 15 filas con 12 butacas cada una. En la función de la noche han quedado libres 3 butacas en
cada fila. ¿Cuántas butacas se ocuparon en dicha función?
Propiedad
Propiedad
Propiedad
53

Observa y responde
En una kermés de beneficencia hay un juego que consiste en lanzar argollas; con cada acierto, el puntaje se multiplica
según lo que muestra la imagen. Tres amigos tuvieron los siguientes aciertos en la primera jugada.
• Si todos comienzan el juego con 7 puntos, escribe el puntaje obtenido por cada uno de los amigos.
Eduardo Isabel Carlos
• Si en otro juego doblan el puntaje obtenido en el lanzamiento de argollas, marca con un si la afirmación es
correcta, y con una si la afirmación es incorrecta.
Eduardo obtuvo 702 puntos. Isabel obtuvo 140.000 puntos. Carlos obtuvo 14.000 puntos.
Eduardo Isabel Carlos
Aprende
Agregar ceros: para multiplicar un número por un múltiplo de 10, 100, 1.000, etc., se puede agregar al producto,
entre los números sin considerar los ceros, tantos ceros como corresponda.
Ejemplo: 39 • 2.000 39 • 2 = 78 78.000
Por lo tanto, el producto entre 39 y 2.000 es 78.000.
Uso de propiedades: en la multiplicación de dos números, es posible utilizar las distintas propiedades de la
multiplicación para facilitar los cálculos.
Ejemplo: 9 • 83 = 83 • 9 = (80 + 3) • 9 = 80 • 9 + 3 • 9 = 720 + 27 = 747
Doblar y dividir en forma repetida: esta estrategia consiste en que, al multiplicar dos números, uno de ellos se
dobla o se multiplica por 2 y el otro se reduce a la mitad o se divide por 2.
Ejemplo:
75 • 16 = 150 • 8 = 300 • 4 = 1.200
Se agregan tres ceros.

Dobles en forma repetida.
Mitades en forma repetida.
• 10 • 1.000• 100 • 10 • 1.000• 100 • 10 • 1.000• 100
54

Practica
Aplicar estrategias de cálculo mental en la multiplicación
1. Calcula mentalmente las siguientes operaciones. Luego, escribe el resultado en cada recuadro. Aplicar
2. Completa mentalmente los recuadros, según la condición solicitada. Observa el ejemplo. Aplicar
2.300
a. 3.080
b. 4.003
c. 8.202
3. Resuelve mentalmente los siguientes problemas. Explica cómo obtuviste la respuesta. Analizar
a. Si 7 • 80 = 560, ¿cuál es el valor de 7 • 40 + 7 • 40?
b. Una persona compra 20 botellas de agua mineral de 600 cc en $ 9.380. ¿Cuál es el precio de 10 de estas
botellas de agua mineral?
c. Si 1 kilógramo de azúcar tiene un precio de $ 790, ¿cuál es el precio de 10 kilógramos de azúcar?
a. 27 • 100
b. 25 • 8
c. 105 • 7
d. 5 • 34
e. 4.500 • 120
f. 25 • 16 • 2
g. 234 • 100.000
h. 987.234 • 10.000
el doble
multiplica por 10
el doble
la mitad
multiplica por 100
multiplica por 100
la mitad
el doble
4.600 460.000
55

Aprende
Los múltiplos de un número son aquellos que se obtienen al multiplicar dicho número natural por cualquier
otro número natural.
Un número tiene infinitos múltiplos, lo que se anota con puntos suspensivos (…).
Ejemplo: los primeros 7 múltiplos del número 4 son:
M(4) = { 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 ,... }
Los factores de un número corresponden a los números que, al multiplicarse entre sí, resultan dicho número
natural.
Ejemplo: algunos factores del número 24 son: 6 y 4; 12 y 2; 3 y 8; 24 y 1, ya que:
6 • 4 = 24 12 • 2 = 24 3 • 8 = 24 24 • 1 = 24
Los múltiplos y los factores se relacionan de la siguiente manera:
9 • 8 = 72
Los habitantes de una isla se transportan a otras islas aledañas utilizando
diferentes embarcaciones, las que zarpan del puerto cada dos días. Si
una embarcación sale desde el puerto el día martes 2 de abril de 2013,
¿cuáles son las próximas fechas en las que volverá a zarpar?
• Marca en el calendario todos los días del mes en los cuales zarpará
dicha embarcación.
• Los días en los que zarpa la embarcación se pueden relacionar con
algunos múltiplos del número 2.
{2, 4, 6, 8, 10, 12,… }
• Otra embarcación zarpa cada 5 días y su primera salida mensual la hace el día viernes 5 de ese mes. Escribe los
múltiplos del número 5 que se relacionan con la fecha del calendario.
{ , , , , , }
Lee y responde
4 • 1 4 • 2 4 • 3 4 • 4 4 • 5 4 • 6 4 • 7
factores múltiplo
L M M J V S D
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30
A b r i l
56
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Practica
1. En cada grupo de números, encierra los múltiplos de cada número. Identificar
2. Escribe dos factores para cada número, sin que ninguno de ellos sea 1. Aplicar
3. Escribe los múltiplos, según corresponda. Aplicar
a. Múltiplos del número 3, menores que el número 120 y mayores que el número 90.
b. Múltiplos del número 7, menores que el número 70.
4. Lee la siguiente información. Analizar
El número primo es aquel que es mayor que 1, cuyos únicos factores son el número 1 y el mismo número. Los
números que tienen más de 2 factores son números compuestos. El número 1 no es primo ni compuesto, ya
que solo tiene un factor que es el mismo número.
Remarca cada casillero, según la condición presentada.
Números primos Números compuestos
Reconocer los múltiplos y factores en los números naturales
a. 38
b. 240
c. 684
d. 1.800
e. 10.000
f. 36.000
a. b.
30
90
150
80
15
6
24
96
480
36
240
12
3048
5 7 9 11 15 20 21 23 33
71 75 85 90 2 10 16 8 39
49 50 13 51 52 57 60 67 69
57
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Lee y responde
El mínimo común múltiplo (mcm) entre dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes y distinto
de cero.
Ejemplo: para calcular el mcm(4, 6) se puede realizar lo siguiente:
Escribir los múltiplos de cada número, marcando aquellos múltiplos comunes.
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60,...}
M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60,...}
En este caso, el menor múltiplo común es el número 12. Por lo tanto, mcm(4, 6) = 12.
Otra técnica para calcular el mcm(4, 6) es construir una tabla donde se resuelve una división entre los factores
comunes de ambos números. Si no hay factores comunes se continúa dividiendo hasta que el resultado sea 1.
Luego, el mcm corresponde al producto de los números por los cuales se ha dividido.
Luego, el mcm(4, 6) = 2 • 2 • 3 = 12.
Aprende
Inés y Lucas deciden dar un paseo en bicicleta por la ciudad realizando el
mismo recorrido. Ellos parten de manera simultánea y paran en distintos lugares
para descansar. Inés se detendrá cada 4 km y Lucas, cada 3 km.
• En la recta numérica, marca con color rojo las paradas de Lucas y con
color azul las paradas de Inés.
• Luego de partir, ¿en qué kilómetro coinciden nuevamente?
• Si en total Inés y Lucas recorren 36 km, marca con un la opción que muestra todos los kilómetros en los que
se encontraron.
12, 24, 30 y 36 km 12, 24 y 36 km
4 6 : 2 Factor común de 4 y 6.
2 3 : 2 Factor del número 2.
1 3 : 3 Factor del número 3.
1
km10 112 3 4 5 6 127 138 149 1510 16
58
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Practica
Calcular el mínimo común múltiplo entre números naturales
1. Escribe los primeros 7 múltiplos de cada número. Luego, escribe el mínimo común múltiplo en cada caso. Aplicar
2. Calcula el mcm entre los siguientes números. Aplicar
Karen está enferma y toma un jarabe cada 8 horas y una cápsula cada 12 horas. Si acaba de tomar ambas
medicinas al mismo tiempo, ¿en cuántas horas más las tomará simultáneamente?
a. M(6) = { }
M(8) = { }
mcm(6, 8) =
b. M(12) = { }
M(10) = { }
mcm(12, 10) =
a. 5 y 7 b. 15, 25 y 30
Ponte a prueba
Resuelve el siguiente problema.
Tres carteles de publicidad se encienden cada 6, 9 y 15 minutos. A las 19:00 horas de hoy se encienden al mismo
tiempo los tres carteles.
Escribe las 5 horas en las cuales se volverán a encender al mismo tiempo los tres carteles.
: : : : :
Si el mcm entre dos números, es divisible
en forma exacta solo por el número 1,
el resultado es el producto de ambos
números.
Ejemplo:
mcm(11, 7) = 77
Ojo con...
59

¿Cómo vas?
puntos
6
puntos
12
puntos
5
1. Pinta los casilleros con el color que representa cada resultado correcto.
387.492 940.020 2.854.000
2. Estima cada producto. Redondea el segundo factor, según corresponda.
• 1.999 a la UM más cercana 909 a la C más cercana 890 a la D más cercana
150
1.500
2.350
12.480
Propiedades de la multiplicación
3. Une cada expresión con la propiedad relacionada, según corresponda.
351.475 • 1 = 351.475 Distributiva
21.365 • 372 = 372 • 21.365 Asociativa
(384 • 36) • 25 = 384 • (36 • 25) Elemento neutro
31 • (322 + 29) = 31 • 322 + 31 • 29 Clausura
23, 12 ! N, luego 23 • 12 ! N Conmutativa
570.800 • 5
400 • 7.135 129.164 • 3 142 • 700
28.540 • 100 94.002 • 10 32.291 • 12
60

Unidad 2
puntos
5
puntos
6
puntos
4a. 2 y 8
b. 6 y 15
c. 20 y 24
d. 30 y 42
4. Completa mentalmente el siguiente esquema, luego responde
¿El resultado 7 • 6 • 9 • 57 es igual a 9 • 6 • 7 • 57? Justifica tu respuesta.
5. Escribe dos factores mayores que 1 y los cinco primeros múltiplos de cada número.
a. 380 Factores y
Múltiplos , , , ,
b. 750 Factores y
Múltiplos , , , ,
c. 1.000.000 Factores y
Múltiplos , , , ,
6. Calcula el mcm entre cada par de números.
1.250
multiplica por 100 doble mitad
61

Módulo
En una división se pueden identificar los
siguientes términos:
a : b = c
r
Se dice que una división en los números
naturales es exacta cuando el resto es
igual a cero; en caso contrario la división
es inexacta.
Ejemplos:
Inexacta Exacta
287 : 4 = 71 2.900 : 2 = 1.450
3 0
Aprende
2
Lee y responde
Si en una comuna se plantarán 1.260 árboles en 12 avenidas, ¿cuántos
árboles serán plantados en cada avenida?
• Completa con los números que faltan, para calcular la división entre
la cantidad total de árboles (1.260) y los árboles que serán plantados
en las avenidas (12).
• En cada avenida se plantarán árboles.
División
Educando en valores
Los árboles ayudan a reducir
considerablemente los niveles de
contaminación y proporcionan
oxígeno a nuestro medioambiente.
1.260 : 12 = 1
– 1 2
1.260 : 12 = 1
– 1 2
0 6
1.260 : 12 = 10
– 1 2
060
–
0
12 = 12 • 1
06 : 12 = 0 60 = 12 • 5
1.2 1.2
Una forma de resolver una división corresponde a la manera
algorítmica.
14.595 : 15 = 973
– 135
10 9
– 10 5
4 5
– 4 5
0
También la división se puede resolver aplicando la propiedad
distributiva, entre el dividendo y el cociente.
Ejemplo: 10.500 : 5 = (10.000 + 500) : 5
= (10.000 : 5) + (500 : 5)
= 2.000 + 100
= 2.100
Dividendo Cociente
Divisor
Resto
62

Practica
Resolver una división entre números naturales
1. Calcula el cociente en cada división. Luego, encierra exacta o inexacta, según corresponda. Aplicar
2. Determina el resto en cada una de las siguientes divisiones. Analizar
a. Esteban ha recibido un premio de $ 9.900.000, y quiere repartir la mitad del dinero con su esposa y la otra
mitad, de manera equitativa, con sus 5 hijos. ¿Cuánto dinero recibirá cada uno?
b. Se necesita dividir un trayecto en partes iguales, como se muestra en la imagen:
Si x es un número natural, ¿es posible dividir este trayecto? Justifica tu respuesta.

a. 1.250 : 4 = b. 13.776 : 14 =
1.240 metros
x
Exacta Exacta
Inexacta Inexacta
a. 13.579 : 7 =
Resto
b. 23.550 : 11 =
Resto
63

Módulo 2 / División
Comprobación de la división
En una biblioteca hay 2.106 libros que son distribuidos en 7 estantes, cada uno de los cuales puede contener 300 libros.
Al terminar de ordenar los libros, el bibliotecario afirma que hay 6 libros que no se pueden ubicar en los estantes.
• Si la situación se representa a través de una división, encierra la opción correcta.
Opción 1
2.106 : 7 = 300
Opción 2
2.106 : 6 = 300
6 7
• ¿Con qué término de la división se relacionan los 6 libros que no pudieron ubicarse en el estante? Remarca la
opción correcta.
Dividendo Divisor Cociente Resto
• Marca con un la expresión que permite comprobar lo afirmado por el bibliotecario, es decir, la que represente
el total de los libros.
300 • 7 + 6 300 • 6 + 7 300 + 6 + 7
Lee y responde
Aprende
Para comprobar que el cociente de una división es correcto, se debe cumplir que:
• el resto debe ser menor que el divisor.
Ejemplo: en la división 21.458 : 12 = 1.788 El resto es menor que el divisor, ya que 2 < 12.
2
• el dividendo debe ser igual que el resultado de la multiplicación entre el divisor y el cociente más el resto.
Ejemplo: en la división 21.458 : 12 = 1.788 Se cumple 21.458 = 12 • 1.788 + 2
2
64

Practica
Comprobar el resultado de una división a través de sus términos
1. Escribe la letra que relaciona la división de la columna A con la comprobación hecha en la columna B. Relacionar
Columna A Columna B
a. 9.000.000 : 8 9.000.000 = 692.307 • 13 + 9
b. 900.000 : 7 9.000.000 = 900.000 • 10
c. 9.000.000 : 13 9.999.999 = 526.315 • 19 + 14
d. 9.000.000 : 10 900.000 = 128.571 • 7 + 3
e. 9.999.999 : 19 9.000.000 = 1.125.000 • 8
2. Completa con el número que falta, según corresponda. Aplicar
3. Observa el ejercicio que se muestra. Luego, identifica el error cometido y corrígelo. Evaluar
Operación
19.718.365 : 24
División Comprobación
19.718.365 : 24 = 821.598 19.718.365 = 821.598 • 24 + 11
11
a. Dividendo
Divisor 7
Cociente 628.380
Resto 6
b. Dividendo 2.858.111
Divisor
Cociente 219.854
Resto 9
c. Dividendo 17.254.147
Divisor 13
Cociente
Resto
d. Dividendo
Divisor 10
Cociente 10.000.000
Resto
65

Son divisores de un número aquellos que lo dividen de manera exacta.
Generalmente, se anota “D(b): divisor de un número b”.
Ejemplo: los divisores del número 12 son los siguientes: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Hay algunos criterios para saber si un número es divisor de otro. La siguiente tabla presenta algunos de ellos.
Un número es divisible por:
0 Nunca. 1 Siempre.
2 El número termina en 0, 2, 4, 6 u 8. 3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4 Sus últimas dos cifras corresponden a un múltiplo
de 4 o son ceros.
5 El número termina en 0 o 5.
6 Es divisible por 2 y por 3, a la vez. 8 Sus tres últimas cifras son divisibles por 8 o son 0.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 10 El número termina en 0.
Aprende
Divisores y criterios de divisibilidad
En un curso hay 24 estudiantes. Si se formarán equipos con una misma cantidad de estudiantes, ¿cuántos estudiantes
pueden formar cada equipo sin que sobre ninguno?
• Para formar los equipos con la misma cantidad de estudiantes, se buscan los números que dividen en forma exacta
al número total de estudiantes.
Pinta todos los números que cumplen con esta condición.
• ¿Pintaste los múltiplos del número 5? Justifica tu respuesta.
• Finalmente, sin que sobre ningún estudiante, ¿con cuántos estudiantes se puede formar cada equipo?
Lee y responde
1 3 6 8 11 14 18 21
2 4 7 9 12 16 20
66

Practica
Encontrar los divisores de un número natural
1. Escribe todos los divisores entre 0 y 10 de los siguientes números. Aplicar
a. D(59) =
b. D(120) =
c. D(175) =
d. D(200) =
2. Pinta todos los recuadros que entreguen una información incorrecta. Aplicar
3. Analiza la siguiente información y luego responde. Analizar
Un número es divisible por el número 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y
el doble del dígito de las unidades es 0 o múltiplo de 7.
Ejemplo: el número 686 es divisible por 7.
68 – 2 • 6 = 68 – 12 = 56, que es múltiplo de 7, ya que 7 • 8 = 56.
Remarca con los números que sean divisibles por 7.
171 es divisible por 3
543 es divisible por 8
2.917.005.002.544 es
divisible por 2 y 4
669 no es divisible por 9
1.085.000.001 es divisible
por 10
7.586.214.365 es divisible
por 5 pero no por 8
800.000.000 es divisible
por 2, por 5 y por 6
13.584.215 es divisible
por 5 y 3
23.580 es divisible
por 5 y 4
70
49
71
77
12
90
19
16 329
50 51
52
57
60
67
140
763
777
1.000
210
1119
80
29
20
21
23
67

Observa y responde
Máximo común divisor
Un carpintero quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más
grandes posible. Luego de realizar unos cálculos, dibuja en la plancha los cortes que hará.
• ¿Cada cuántos centímetros se realizarán los cortes en el largo y en el ancho de la plancha?
• El ayudante le dice al carpintero que también puede realizar los cortes formando cuadrados de 16 cm en cada lado.
El carpintero le responde que no se puede realizar. ¿Por qué dice esto el carpintero? Justifica tu respuesta.
El máximo común divisor (MCD) entre dos o más números es el mayor de los números naturales que es
divisor de todos los números a la vez.
Ejemplo: al calcular el máximo común divisor (MCD) entre el número 50 y el número 30, se tiene lo siguiente:
• Los divisores del número 50 son: {1, 2, 5, 10, 25, 50}.
• Los divisores del número 30 son: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.
Una manera de calcular el MCD corresponde a la descomposición de números en factores que sean
números primos. El MCD será aquel número que resulta de multiplicar los factores primos comunes.
Ejemplo: para calcular MCD(30, 50) se realiza la siguiente descomposición en números primos del número
30 y del número 50.
30 50 : 5
6 10 : 2
3 5 : 3
1 5 : 5
Aprende
El número 10 es el mayor
de los divisores comunes.
MCD(50, 30) = 10
Factores comunes
Finalmente, se obtiene que el MCD(30, 50) = 2 • 5 = 10.
256 cm
96 cm
30 50 :
6 10 :
3 5 :
1 5 :
30 50 :
6 10 :
3 5 :
1 5 :
68

Practica
Calcular el máximo común divisor de dos o más números
a. 12 y 14
D(12) = { }
D(14) = { }
MCD(12, 14) =
b. 70 y 100
D(70) = { }
D(100) = { }
MCD(70, 100) =
a. 24 y 36
MCD(24, 36) =
b. 100, 150 y 200
MCD(150, 200) =
Ponte a prueba
El 5º básico ha organizado una visita al museo; además del profesor con sus 23 alumnas y
22 alumnos, asistirán 4 apoderados. Si se han pagado $ 80.000 por todas las entradas y la de
adultos tiene un valor de $ 2.500 cada una, ¿cuál es el valor de la entrada de cada estudiante?
1. Determina todos los divisores de cada número. Luego, calcula su MCD. Aplicar
2. Calcula el MCD utilizando la descomposición en factores que son números primos. Aplicar
3. Resuelve el siguiente problema. Aplicar
En una florería hay 36 rosas y 48 claveles para hacer ramos. Se quieren formar ramos con cada tipo de flor y
guardarlos en distintas cajas. Si cada ramo debe tener la misma cantidad de flores, ¿cuántos ramos se pueden
formar con la mayor cantidad de flores posible?
24 36 100 150 200
69

Módulo
Una operación combinada es una expresión numérica que contiene más de una operación matemática
(+, –, • o :) con o sin paréntesis.
Para calcular el resultado se debe tener presente la siguiente prioridad en la operatoria:
Aprende
Ejercicios combinados
Eugenio tiene en su granja 95 gallinas, el doble de esta cantidad en
conejos y 20 gansos menos que gallinas. Para saber la cantidad de
animales que tiene Eugenio, entre gallinas, conejos y gansos, se plantea
la siguiente expresión:
95 + 95 • 2 + (95 – 20)
• Encierra la opción correcta.
Opción 1 Eugenio tiene 190 conejos. Opción 2 Eugenio tiene 75 conejos.
• Para calcular el total de animales que tiene Eugenio, completa con los números que faltan.
95 + 95 • 2 + (95 – 20) = 95 + 95 • 2 +
= 95 + +
=
• Eugenio tiene de estos animales.
Lee y responde
3 Operatoria combinada
Operaciones con paréntesis
1º Paréntesis desde el más interior hasta el exterior, de
izquierda a derecha.
2º Multiplicación y/o división, de izquierda a derecha.
3º Adición y/o sustracción, de izquierda a derecha.
Ejemplo:
[1.250.000 + (236.000 : 8)] – (12.250 • 2)
= [1.250.000 + 29.500] – 24.500
= 1.279.500 – 24.500
= 1.255.000
Operaciones sin paréntesis
1º Multiplicación y/o división, de izquierda
a derecha.
2º Adición y/o sustracción, de izquierda a
derecha.
Ejemplo:
24.550 : 5 – 475 • 10
= 4.910 – 4.750
= 160
70

Practica
Resolver operaciones combinadas en los números naturales
1. Calcula el resultado en cada caso. Aplicar
2. Completa con el número que falta para que se cumpla la igualdad. Analizar
Javiera corre todos los días. Si el lunes corrió 3.200 metros, el martes 2.100 metros, el miércoles el doble que el
lunes, el jueves el triple que el martes y el viernes, la mitad de lo que recorrió todos los días anteriores, ¿cuántos
kilómetros ha recorrido en total en la semana?
4. Identifica y explica el error en la siguiente operación. Luego, calcula el resultado correcto. Verificar
31 • 32 + (64 + 15 – 23) – 172 : 4
= 31 • 32 + 56 – 172 : 4
= 31 • 88 – 172 : 4
= 2.728 – 172 : 4
= 2.556 : 4
= 639
Explicación
a. 13.500 + 45 • 2 b. 38.864 – 12.658 : 2 + 2.456 • 3
a. 2.354 • 4 = + 4.970
b. 39.956 : 4 = 16.790 –
c. 45.654 + 12.547 = 95.769 –
d. 3.654 = 10.234 : 2 –
Corrección
71

Comprobar usando la calculadora
Ignacia con su familia están planeando irse de vacaciones. Luego de cotizar paquetes turísticos deben decidirse por
uno de estos planes:
Plan 1 (por persona) Plan 2 (por persona)
Pasaje $ 21.000 Pasaje $ 18.900
Estadía $ 72.594 Estadía $ 71.400
• Ignacia verificará qué plan le conviene para las 6 personas que componen su familia.
• Digita en tu calculadora lo siguiente.
• ¿Qué plan es el más económico?
Lee y responde
Módulo 3 / Operatoria combinada
Plan 1
1º digita .
2º presiona “ ”.
3º digita .
4º presiona “ ”, luego digita .
El resultado es: .
Plan 2
1º digita .
3º digita .
4º presiona “ ”, luego digita .
El resultado es: .
Aprende
• Hay diferentes tipos de calculadoras: aritméticas, científicas, graficadoras, etc.
• Generalmente, las calculadoras aritméticas tienen más de 20 teclas, incluyendo las operaciones básicas:
adición , sustracción , multiplicación y división .
Estas permiten, entre otras funciones, resolver en forma más rápida distintos ejercicios y comprobar los
resultados.
• Para ingresar las operaciones en la calculadora, se debe respetar la prioridad de las operaciones.
.
72

Practica
Resolver operaciones utilizando la calculadora
1. Ocupando la calculadora, resuelve los siguientes ejercicios. Analizar
a.
b.
c.
d.
e.
2. Resuelve los siguientes ejercicios. Luego, comprueba tus resultados con la calculadora. Comprobar
a. Al calcular la multiplicación entre 23.780 y 2.540 para
luego dividirlo por 2, resulta lo mismo que primero
dividir 23.780 por dos y luego multiplicar el resultado
por 2.540.
b. Si se calcula la diferencia entre 98.254 y 37.560, para
luego multiplicar por 2, se obtiene el mismo resultado
que si se multiplica 98.254 por 2 y luego a ese
resultado se le resta 37.560 multiplicado por 2.
c. Loreto recorrió 1.537 km para visitar a su abuelita
en el sur del país. Luego se devolvió hacia el norte,
recorriendo 644 km para visitar a otro familiar.
¿Cuántos kilómetros ha recorrido en total, si el mismo
viaje lo ha hecho cada 3 meses, hace 5 años?
Conectad@s
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Ponte a prueba
Andrea va con su familia a un espectáculo. Ha comprado 2 entradas para niños en $ 4.990
cada una y 3 entradas para adulto. Si pagó con $ 35.000 y ha recibido $ 1.050 de vuelto,
¿cuánto le costó cada entrada para adulto?
1 9 5 6 7 9 4
1 2 3 4 5 6 3 93 23 1 3
2 23 34 45 56 67 18 22 0 4
1 25 4 23 33 44 95 80 4 4
9 809 0 9 99 99 00 0 00 8
73

$ 10.990
Problemas de reparto equitativo
Un grupo de 5 amigos comprará un balón de fútbol que tiene un precio de $ 10.990. Si acuerdan repartir el valor
del balón en partes iguales, ¿cuánto dinero debe aportar cada uno?
Datos: $ 10.990 es el precio del balón de fútbol.
5 son los amigos que se reparten en partes iguales el precio del balón.
Pregunta: ¿Cuánto dinero debe aportar cada uno?

Respuesta: Para comprar el balón de fútbol, cada uno de los amigos debe aportar $ 2.198.
10.990 : 5 = 2.198
0 9
49
40
0
? ? ? ? ?
74

Unidad 2
PASO 2
PASO 4
PASO 3
Ahora hazlo tú
David lleva su automóvil al mecánico, quien le cobra $ 222.000 por arreglarlo.
David paga en 6 cuotas iguales. ¿Cuál es el monto de cada cuota?
75

Las operaciones me permiten comprender la necesidad de un uso
eficiente de la energía
• Completa la tabla con los precios de cada una de las ampolletas.
Cantidad de
ampolletas
1 2 5 10 50 100 1.000 100.000
Precio ampolleta
incandescente
Precio ampolleta
fluorescente
• Si ambas ampolletas se mantienen encendidas hasta que expire su vida útil, ¿cuántos días,
aproximadamente, durará encendida cada ampolleta?
¿Qué ampolletas debemos utilizar?
Normalmente, en el mercado se ofrecen ampolletas de dos tipos: incandescentes y fluorescentes compactas.
Las ampolletas incandescentes (las tradicionales)
son económicas, pero tienen poca vida útil y
consumen mucha energía.
76

• ¿Cuál de las dos ampolletas es la que más conviene usar para ahorrar energía?
• ¿Qué diferencias hay entre los dos tipos de ampolletas?
• ¿Cuál de los dos tipos de ampolletas utilizarías?, ¿por qué?
Tratamiento de la información
Las ampolletas fluorescentes compactas tienen un precio más
alto, pero son más duraderas y consumen menos energía.
En la siguiente tabla, se presenta una comparación
entre ambos tipos de ampolletas.
Incandescentes Fluorescentes
$ 300 $ 1.900
1.000
horas aproximadamente
8.000
horas aproximadamente
100 watts 20 watts
Diversos países las sacaron
del mercado
Contienen mercurio, lo que
dificulta su reciclaje
Precio
Duración
Consumo
Atención
Fuente: Ministerio de Energía, Gobierno de Chile.
77

Estrategias para preparar el Simce MR
78
Por lo tanto, la alternativa D es la correcta. B D
PorPorPor lolo tanto,tanto,tanto,tanto, lala alternativaalternativaalternativaalternativaalternativaalternativa DDD eseses lala correcta.correcta.correcta.correcta. BBB DDDD
1. En la boletería de un parque de entretenciones, Patricia compra 3 entradas de niños en $ 9.600 cada
¿cuál es el valor cancelado por una entrada de adulto?
A. $ 100.800
B. $ 72.000
C. $ 28.800
D. $ 18.000
A. Esta alternativa muestra el precio total de las entradas compradas, ya que:
B. Corresponde al dinero cancelado por las 4 entradas de adulto, aunque omite el hecho de que se
C. En este caso, se confunde la cantidad de entradas compradas para adultos con las de niño, realizando
D. Se calcula el valor por cada una de las cuatro entradas de adultos.
Por lo tanto, la alternativa D es la correcta. 1. A CB D
110.000 – 9.200 = 100.800
100.800 – 28.800 = 72.000
72.000 : 4 = 18.000
Valor total
de las entradas.
Valor por
cada entrada.
Valor total de
Total de dinero
con que se pagó.
Valor total
de las entradas.
Vuelto recibido.
Valor total de
78

Unidad 2
puntos
6
puntos
6
1. Completa la tabla con cada número que cumpla la condición descrita.
Números
Divisible por 2 Múltiplos de 3 Divisores de 2 Divisores de 3
2. Busca el camino para llegar al resultado final pasando solo una vez por cada recuadro de
la ruta escogida. Se puede pasar de un recuadro al otro solo si el resultado del segundo
casillero es exactamente una unidad más que el primero. Puedes moverte hacia arriba,
hacia abajo, hacia los lados o diagonalmente sobre la ruta indicada.
9 + 1 • 5
8 : 4 + 66 : 33
24 : 3 – 18 : 6
37 – 5 • 7
144 : 12 – 1
46 – 9 • 5
33 : 3 – 2
19 – 144 : 12
36 : 6 + 2
3 + 5 • 2 + 1
76 : 4 – 19
8 : 8 + 1
57 – 9 – 45
2 • 22 – 38
27 : 9 + 6
4 • 3 – 2 • 1
9 • 4 – 72 : 3
Comienzo
Final
4 240 12.000 1 180 2.700.000
117 3.000.000.000 200 15.000 100.000.000 45
79

¿Qué aprendiste?
80
puntos
3
puntos
4
puntos
4
puntos
6
3. Descompón, ocupando como factores números que sean primos.
a. 150
b. 1.325
c. 3.000
4. Completa la tabla.
Dividendo Divisor Cociente Resto
135.525 18
451.169 36
7 126.365.265 0
13.563.114 6
5. Resuelve el siguiente problema.
En un campeonato de ciclismo participaron 39 equipos con 22 corredores cada uno. Si se
retira la tercera parte del total de corredores, ¿cuántos corredores terminaron la carrera?
6. Completa cada recuadro con los números que faltan, según corresponda.
a.
b.
130.000
multiplica por 1.000
multiplica por 10
el doble
5.000.000
la mitad
multiplica por 10
el doble
80

Unidad 2
7. Zwa es la moneda de un país, que equivale a $ 835. ¿A cuántos pesos equivalen 500 zwa?
A. $ 15.305
B. $ 80.000
C. $ 417.500
D. $ 420.000
8. Un set de lápices tiene una masa de 150 gramos. Si una caja contiene 50 sets de los
mismos lápices, ¿cuál es la masa de 100 cajas de lápices?
A. 300 gramos.
B. 7.500 gramos.
C. 75.000 gramos.
D. 750.000 gramos.
9. ¿Qué propiedad de la multiplicación se representa en el recuadro?
1.254.236 • 1 = 1.254.236
A. Asociativa.
B. Distributiva.
C. Conmutativa.
D. Elemento neutro.
10. ¿Qué número debe ir en el recuadro para que se cumpla la igualdad?
123.000 • ( 45.000 + ) = 123.000 • 45.000 + 123.000 • 1.000
A. 0
B. 1.000
C. 45.000
D. 123.000
puntos
4
81

¿Qué aprendiste?
82
puntos
5
11. ¿Qué número no es un múltiplo del número 47?
A. 141
B. 1.692
C. 2.209
D. 2.351
12. Si el mínimo común múltiplo entre el número 3 y otro número es 21, ¿cuál es el otro número?
A. 5
B. 7
C. 9
D. 12
13. Del terminal de transportes salen autobuses hacia diferentes destinos cada 5, 6 y 8 minutos.
Si a las 9:00 a. m. coincidieron en la salida tres autobuses, ¿a qué hora coincidirán en su
salida otros tres autobuses?
A. 10:00 a. m.
B. 11:00 a. m.
C. 11:30 a. m.
D. 12:00 a. m.
14. Javier ahorra diariamente en su alcancía 3 monedas de $ 50 y, luego de un tiempo, ha
reunido $ 1.650. ¿Cuántos días demoró en juntar ese dinero?
A. 11 días.
B. 33 días.
C. 99 días.
D. 50 días.
15. Al dividir un número por 20, su resto es 9. ¿Cuál es ese número?
A. 39
B. 99
C. 119
D. 129
82

Unidad 2
puntos
5
16. ¿A qué división corresponde la comprobación que se muestra en el recuadro?
135.458 • 15 + 11
A. 135.458 : 15
B. 135.458 : 11
C. 1.490.053 : 11
D. 2.031.881 : 15
17. ¿Cuál de los siguientes números no es divisible por 6?
A. 13.146
B. 21.750
C. 22.222
D. 22.800
18. ¿Qué alternativa representa los números tal que el MCD es 6?
A. 16 y 20
B. 18 y 24
C. 20 y 22
D. 22 y 24
19. Ximena tiene 150 botones rojos, 160 azules y 50 verdes. Ella quiere repartir la misma
cantidad de botones en cajas con la mayor cantidad de botones posibles. ¿Cuántas cajas
se pueden armar sin que sobren botones?
A. 3
B. 5
C. 10
D. 25
20. ¿Cuál es el resultado de la siguiente expresión: 1.235 • 5 + 120.000 : 5?
A. 25.235
B. 30.175
C. 121.235
D. 1.212.350
Busca
Prepara laprueba 2
83

Unidad 3
• Leer, escribir y clasificar fracciones y números decimales.
• Amplificar y simplificar fracciones obteniendo fracciones equivalentes.
• Ubicar fracciones y números decimales en la recta numérica para ordenar y comparar.
• Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual y distinto denominador.
• Resolver adiciones y sustracciones de números decimales.
• Calcular la fracción de un número.
• Representar fracciones con números decimales.
• Manifestar una actitud positiva frente a ti mismo y tus capacidades.
Fracciones y
números decimales
Las notas musicales son símbolos que representan la duración que tiene un determinado sonido.
Las más conocidas son:
Duración de las notas musicales
Símbolos Duración Nombre
4 tiempos Redonda
2 tiempos Blanca
1 tiempo Negra
Corchea
Semicorchea
Fusa
2
1
tiempo
1
4
tiempo
1
8
tiempo
84

1. Une cada figura musical con su tiempo de duración.
Símbolos Tiempos

2
1

1
8
1
2. Dibuja en el recuadro la nota musical que se relaciona con la representación gráfica de su tiempo de duración.
3. Completa cada casillero según la duración de las notas musicales.
a. De menor a mayor.
b. De mayor a menor.
a. b.

< < < 1
4
4
> > > 1
1
2
85

Módulo
1
Aprende
Fracciones
Observa y responde
1
4
de los competidores se retiraron
antes de finalizar la carrera.
El combustible consumido en una
de las motos fue de
1
2
del estanque.
Ejemplos:
Escritura Lectura Representación gráfica
(Escritura con palabras)

5
8
Cinco octavos

30
100
Treinta centésimos

6
12
Seis doceavos
Para leer fracciones, se nombra primero
el numerador y luego el denominador.
• Si el denominador está entre 2 y 9,
la fracción se lee medios, tercios,
cuartos, quintos, sextos, séptimos,
octavos o novenos.
• Si el denominador es 10, 100 o
1.000, se lee décimos, centésimos o
milésimos.
• Si el denominador corresponde a
un número distinto a los anteriores,
se nombra el número y se añade la
terminación avos.
Numerador
Número de partes que se
consideran del entero. En
este caso, es 1.
Denominador
Número total de partes
equivalentes de un entero.
En este caso, el entero se
divide en 2 partes iguales.
1
2
• Representa en cada cuadrado la fracción correspondiente. Luego, escríbela con palabras.
Competidores retirados
Pinta con color rojo las partes que
se consideran del entero.

Combustible consumido
Pinta con color verde las partes
que se consideran del entero.
2
1
0
LlenoVacío
86

Practica
Leer y escribir diferentes fracciones
1. Completa el crucinúmero escribiendo las fracciones correspondientes. Aplicar
2. Escribe con palabras la fracción que representa la parte pintada en cada figura. Representar
Lucas repartió 20 invitaciones en su cumpleaños: 12 para las niñas y el resto para los niños. ¿Qué fracción del
total de invitaciones le corresponde a los niños que invitó a su fiesta?
a.

b.

c.

B
A
D
C
H
G
E
K
F
L
J
I
A
7
8
G
8
2
B
2
5
H
18
13
C
10
4
I
4
5
D
20
1
J
2
15
E
13
6
K
6
7
F
9
11
L
42
1
O C H O S É P T I M O S
87

Observa y responde
Tres amigos utilizan cartulina para representar las siguientes fracciones.
Víctor está equivocado. Andrea y José se equivocaron. Todos están en lo correcto.
• Ambas figuras pueden representarse como: 1 +
4
1
o 1
4
1
, que corresponde a un número mixto.
Módulo 1 / Fracciones
Aprende
Ejemplos:
•
3
2
es una fracción propia, ya que 2 < 3.
•
5
5
es una fracción equivalente a la unidad, ya que 5 = 5.
•
4
9
es una fracción impropia, ya que 9 > 4. Si se representa como
un número mixto, se tiene:
9 : 4 = 2 escrito como número mixto es 2
1
4
1
También es posible escribir un número mixto como fracción
impropia de la siguiente manera:
2
1
4
=
2 1
4
4 : +
=
4
8 1+
=
4
9
Las fracciones se clasifican en:
• Propia: el numerador es menor que el
denominador.
• Equivalente a la unidad: el numerador
es igual que el denominador.
• Impropia: el numerador es mayor que
el denominador. Además, este tipo de
fracciones se puede representar como
un número mixto, que corresponde a
una parte entera y otra fraccionaria.
La figura 1 representa:
“un cuarto” del entero.
Figura 1 Figura 2
4
1
4
4

1
4
1
1
4
1
4
4
4
1
4
5
= + = + =
fracciones.
Entre ambas figuras
se representó
“un entero un cuarto”.
La figura 2 representa:
“cuatro cuartos” del entero.
cartulina para representar
la opción correcta.
representa:
entero.
Andrea
José
Víctor
88

Practica
1. Clasifica las siguientes fracciones. Para ello, escribe P si la fracción es propia, una I si la fracción es impropia y
una U si es equivalente a la unidad. Clasificar
2. Escribe el número mixto y la fracción impropia correspondientes a cada representación. Representar
3. Escribe cada número mixto como una fracción impropia. Luego, represéntalo gráficamente. Aplicar
4. Marca con un la opción correcta; en caso contrario, marca con una . Verificar
Clasificar y representar distintos tipos de fracciones
a. Juan bebió
3
8
de litro de agua.
Por lo tanto, Juan bebió:
Menos de 1 litro de agua.
1 litro de agua.
Más de 1 litro de agua.
b. Margarita compró
12
9
de un tarro de duraznos.
Por lo tanto, Margarita compró:
Menos de un tarro.
1 tarro.
Más de un tarro.
a.
2
1

b.
13
6

c.
7
7

d.
10
9

e.
15
5

f.
18
18

g.
12
5

h.
101
100

a. b.

a. 1
6
1

b. 1
5
3

c. 2
4
1

d. 2
3
1

89
U
U
U
U
U
U
U
U

Lee y responde
Amplificación y simplificación
Camila y Francisco quieren saber la cantidad de piezas de un juego que pueden
ordenar en un minuto. Del total de las piezas, Camila ordena
2
1
, mientras que
Francisco ordena
10
5
.
• Suponiendo que el rectángulo representa el total de piezas del juego, pinta en cada figura la cantidad de piezas
que ordenó cada niño, con respecto a la unidad.
• ¿Quién ordenó más piezas?
• Si otro niño ordena
6
3
del total de estas piezas, ¿qué relación puedes establecer entre esta fracción y las fracciones
que representan las piezas del juego que ordenaron Camila y Francisco? Explica.
Camila Francisco
Aprende
Amplificar una fracción corresponde a multiplicar
tanto su numerador como su denominador por un
mismo número distinto de cero.
Ejemplo: si se amplifica
5
2
por 3
5
2
5
2
15
6
3
3
:
:
= =
Una fracción es irreductible cuando no se puede seguir simplificando. Por ejemplo, la fracción
5
2
es
irreductible, ya que no existe un número natural distinto de 1 que divida exactamente a 2 y 5 a la vez.
Simplificar una fracción corresponde a dividir tanto
su numerador como su denominador por un mismo
número, mayor que 1 y que sea divisor de ambos.
Ejemplo: al simplificar
8
6
por 2
:
:
8
6
8
6
4
3
2
2
= =
8
6
5
2
4
3
15
6
Amplificación Simplificación
90

Practica
Amplificar y simplificar fracciones
1. Pinta todos los números que dividen de manera exacta el numerador y el denominador de cada fracción. Comprender
a.
18
12
b.
75
15
2. Escribe la fracción que resulte en cada caso. Aplicar
3. Escribe la fracción representada en cada caso. Luego, completa con la fracción y la representación resultante. Analizar
4. Lee la siguiente situación. Luego, explica cuál de los niños no está en lo correcto. Analizar
Un atleta corrió la prueba de 400 metros planos, pero se retiró a los 200 metros afectado por un calambre.
a. amplifica por 4 b. simplifica por 3
a.
5
1
amplificado por 2
b. 1
9
3
simplificado por 3
c.
60
20
simplificado por 10
d.
12
3
amplificado por 3
2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7
Conectad@s
Ingresa a
Un atleta corrió la prueba los 200 metrosplanos, pero se retiróretiró a los
No, avanzó
400
200
del recorrido.
Yo creo que avanzó
4
3
del recorrido.
El atleta avanzó la
mitad del recorrido.
Felipe Francisca
Sofía
91

Lee y responde
Equivalencias de fracciones
Todo deportista debe hidratarse permanentemente, ya que la actividad física
provoca la pérdida de agua del cuerpo a través del sudor. La mejor bebida
hidratante es el agua. Después de un entrenamiento, Daniela consume
1
4
botella
de agua y Carolina,
8
2
de la misma botella.
• Pinta el número que permite simplificar
8
2
.
• Escribe la fracción que resulta luego de simplificar
8
2
.
• Amplifica por 2 la fracción
1
4
y luego escribe la fracción resultante.
• Si Daniela hubiese consumido
16
4
de la misma botella, ¿habría ingerido la misma cantidad de agua que Carolina?
Explica.
Aprende
Las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma parte de una cantidad. Se pueden
obtener amplificando o simplificando una fracción dada.
Ejemplo: si se amplifica la fracción
2
1
por el número 6, se obtiene
12
6
. A su vez, si se simplifica
12
6
por el
número 6 se obtiene
2
1
.
Gráficamente, lo anterior se representa:
Por lo tanto, las fracciones
2
1
y
12
6
son equivalentes y representan la misma parte de la unidad.
2
1
12
6
Amplifico
por 6.
Simplifico
por 6.
2 4 6
92

Practica
Reconocer la equivalencia entre fracciones
1. Marca con un los pares de fracciones que son equivalentes, y con una los que no lo son. Comprender
2. Marca con una la representación que no es equivalente a
2
1
. Analizar
3. Encierra las fracciones que cumplen con la condición descrita. Analizar
a. Fracciones equivalentes a
12
3

3
1

4
2

4
1

8
2
b. Fracciones equivalentes a
15
12

5
2

5
4

10
8

40
16
c. Fracciones equivalentes a 2
3
1

9
21

28
16
2
4
1
2
15
5
4. Completa con las fracciones que corresponden en cada caso. Representar
a.
3
2
y
12
8
b.
4
2
y
20
10
c.
7
7
y
4
4
d.
15
1
y
15
1
e.
7
3
y
5
2
f.
23
33
y
2
3
a. b.
= =
Se amplifica por 2. Se simplifica por 4.
Conectad@s
Ingresa a
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Ojo con...
a
b
=
c
d
; b, d ! 0
a • d = c • b
Ejemplo:
3
5
=
15
25
3 • 25 = 5 • 15
75 = 75
Si
entonces
93

Lee y responde
Javier, Cecilia y Felipe realizan una carrera de barquitos de papel. El barquito
de Javier se hunde luego de recorrer
5
3
de la distancia total; el de Cecilia se
hunde al recorrer
2
1
del total, y el de Felipe, a los
10
7
del total del recorrido.
• Escribe las fracciones que representan las distancias recorridas por los barquitos de Javier y Cecilia, luego de
amplificar por 2 y 5, respectivamente.
• Ubica estas fracciones en la recta numérica. Observa el ejemplo.
• ¿Por qué las fracciones resultantes se ubican a la izquierda de la fracción
10
7
? Explica.
Aprende
Para ubicar fracciones en una recta numérica
se puede realizar lo siguiente:
Entre números naturales y considerando el
denominador, se divide en partes iguales cada
segmento de la recta que representa una
unidad, según sea necesario.
A partir del cero, se cuenta el número de
partes que corresponden al numerador, para
luego ubicar la fracción.
Las fracciones propias se ubican entre 0 y 1,
mientras que las fracciones impropias se ubican
a la derecha del número 1.
0 1
Barquito de Javier.
Barquito de Felipe.Barquito de Cecilia.
10
7
Ejemplo: la ubicación de la fracción
8
3
en la recta
numérica, es la siguiente:
Al ubicar
3
5
en la recta numérica, se tiene que:
3
5
3
3
3
2
1
3
2
= + = +
0 1
8
3
0 21
3
5
Javier Cecilia
94

Practica
Ubicar fracciones en la recta numérica
1. Escribe la fracción representada por el punto ( ) en la recta numérica. Identificar
2. Ubica las siguientes fracciones en la recta numérica. Representar
3. Ubica las siguientes fracciones en una misma recta numérica. Analizar
6
3
4
6
12
7
2
2
1
4. Escribe la fracción representada en cada caso. Luego, ubícala en la recta numérica. Representar
a.
b.
c.

0

0

0
0
a.
9
4
b. 1
6
5
c.
8
7
d.
4
12
0 0
0 0
a.
b.
c.
d.

0 10 1

0 1

0 1 2

0 1 2 3
Para ubicar
las fracciones
puedes igualar los
denominadores.
95

Lee y responde
Comparación y orden
El lanzamiento del disco es una prueba atlética que consiste en lanzar por el aire un disco de madera en forma de
platillo, rodeado por metal. En un primer lanzamiento, un competidor alcanza
4
3
de la distancia total y en un segundo
lanzamiento, alcanza
10
8
de la distancia total.
En el primer lanzamiento le faltó
4
1
de distancia para completar la distancia total.
En el segundo lanzamiento le faltó
10
1
de distancia para completar la distancia total.
• Representa gráficamente ambos lanzamientos respecto de la distancia total. Luego, completa.
Primer lanzamiento Segundo lanzamiento
En el lanzamiento alcanzó una distancia mayor.
Aprende
Si se comparan dos o más fracciones con
igual denominador, es mayor aquella que
tiene un mayor numerador.
Ejemplo:
5
7
>
3
5
, ya que 7 > 3. O de
manera equivalente,
3
5
<
5
7
, ya que 3 < 7.
Para ordenar fracciones se puede utilizar la recta numérica.
Ejemplo:
Esto se puede escribir en orden creciente:
6
4
< 1 <
6
7
<
6
12
< 2
6
3
, o decreciente: 2
6
3
>
6
12
>
6
7
> 1 >
6
4
.
Para comparar dos o más fracciones con distinto denominador,
se pueden amplificar o simplificar de manera que tengan igual
denominador, para luego comparar sus numeradores.
Ejemplo: al comparar
2
3
con
3
4
, se tiene que
2
3
=
4
42
3 :
:
=
12
8

y
3
4
=
3
33
4 :
:
=
12
9
. Luego,
12
8
<
12
9
. Por lo tanto,
2
3
<
3
4
.
0
6
4
6
7
6
12
2
6
31
96

Practica
Comparar y ordenar fracciones
1. Compara las siguientes fracciones y números mixtos. Para ello, escribe
>, < o =, según corresponda. Aplicar
2. En cada grupo de fracciones, encierra con color rojo la fracción mayor y con color verde, la menor. Analizar
3. Ubica las siguientes fracciones en una recta numérica. Analizar
a.
10
4
,
5
3
,
10
6

b.
4
2
, 1
8
1
,
2
3

Si conoces el mínimo común múltiplo
(mcm) de los denominadores de
diferentes fracciones, podrás saber el
número por el que se amplifica cada
fracción para luego compararlas.
Ojo con...
a.
7
1

7
2
b.
2
3

9
4
c.
8
5

4
3
d.
3
7

2
6
2
e. 3
5
1

2
5
1
f.
4
16

25
20
0
0
Ponte a prueba
Anita va a comprar jugos naturales al supermercado y encuentra dos tipos.
Si Anita quiere comprar 3 litros, ¿cuál de los dos jugos le resulta más económico? Explica.
2
1 13
1
.
1
10 000
1
5
8
13
1
10
1
4
13
5 1
100
1
3
13
13 .
1
1 000
Opción 2Opción 1
4
3
de litro a
1 litro a
97

¿Cómo vas?
1. Observa cada situación y luego responde.
2. Encierra cada fracción según el color que corresponda.
Fracción propia Fracción impropia Fracción unitaria
Amplificación y simplificación de fracciones
3. Completa con las palabras “amplificada” o “simplificada”, según corresponda. Luego, escribe
el número por el cual se amplificó o simplificó. Observa el ejemplo.
Para obtener la fracción
8
7
como resultado, la fracción
16
14
fue simplificada por 2.
a. Para obtener la fracción
10
5
como resultado,
2
1
fue por .
b. Para obtener la fracción
7
1
como resultado,
49
7
fue por .
c. Para obtener la fracción
36
216
como resultado,
6
36
fue por .
a. Respecto del total de puestos, ¿qué
fracción representa la cantidad de
estudiantes presentes?
b. Del total de autos, ¿qué fracción
representa a los autos de color rojo?
2
1
5
7
8
88
100
99
08
342
27
5
2
32
12
12
1
24
puntos
6
puntos
2
puntos
6
98

Unidad 3
Fracciones equivalentes
4. Marca con un si las fracciones son equivalentes o con una si no lo son.
5. Encierra en cada recta numérica la fracción que no está bien ubicada.
6. Resuelve los siguientes problemas.
a. Durante la temporada de cosecha, Teresa recolectó
3
4
de frambuesas de un terreno;
Miguel recolectó
6
3
y Ana,
5
4
. ¿Quién recolectó la mayor y la menor cantidad de
frambuesas en ese terreno?
b. Maximiliano quiere pintar la reja de su casa. En el ático le quedan algunos galones de
pintura con los siguientes colores: de pintura azul
4
3
; de café
5
2
; de amarillo
5
3
, y de
verde,
9
6
. Maximiliano decide usar el galón que tenga más contenido. ¿De qué color
pintará la reja? Justifica tu respuesta.
a.
3
7
y
7
3
b.
3
2
y
30
20
c.
9
4
y
81
36
d.
7
6
y
4
3
e.
10
8
y
5
4
f.
35
15
y
3
1
a. b. c.
0 1 1 2
3
1
1
4
1
1
4
3
2
1
6
1
8
3
8
4
8
5
8
8
puntos
3
puntos
3
puntos
4
99

Módulo
Lee y responde
2
Aprende
Adición y sustracción de fracciones con igual denominador
Miguel corre cada mañana en la pista atlética del estadio. El día lunes
corrió
4
1
de la pista, el martes
4
2
y el miércoles,
4
1
.
• Representa gráficamente las distancias recorridas cada día.
• ¿Qué día recorrió mayor distancia?
• Marca con un la afirmación correcta.
Durante los 3 días recorrió tres cuartos de la pista. Durante los 3 días recorrió una pista completa.
Operatoria con fracciones
Ejemplo:
8
2
+
8
4
=
8
2 4
=
8
6
=
:
:
2
2
8
6
=
4
3
Si se representa gráficamente, se tiene que:

2
8
+
4
8
=
8
6
=
4
3
Para resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador, se suman o restan los
numeradores y se conserva el denominador. Luego, si es el caso, se puede simplificar el resultado para
obtener una fracción irreductible.
Ejemplo:
6
5
–
6
1
=
6
5 1
=
4
6
=
:
:
2
2
6
4
=
3
2
Si se representa gráficamente, se tiene que:

5
6
–
1
6
=
6
4
=
3
2
+
+ = = – = =
–
Lunes Martes Miércoles
100

Practica
1. Escribe las fracciones correspondientes a la adición de las figuras coloreadas con azul y rojo. Observa el ejemplo.
Aplicar
2. Completa el casillero con la fracción que corresponde. Analizar
a. Luis compró cuatro quintos de kilógramo entre cerezas y fresas. Las cerezas tienen una masa de un quinto de
kilógramo. ¿Qué fracción de kilógramo representan las fresas?
b. Andrea ha bebido dos cuartos de litro de leche y su hermano Rodrigo ha tomado un cuarto de litro más que
ella. ¿Qué cantidad de leche bebió Rodrigo?
Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador

10
4
10
3 10 10
3
10
74
+ =
Adición

Adición

Adicióna. b.
+ = + =
–
12
9
=
12
8
15
7
+
15
8
=
5
1
+ =
5
6
100
7
–
100
5
=
6
4
– =
6
1
+
8
7
=
8
9
a.
b.
c.
d.
e.
f.
101

Lee y responde
Aprende
Adición y sustracción de fracciones con distinto denominador
Los estudiantes de 5º básico recolectaron diferentes alimentos para ayudar en una campaña solidaria. Del total de
los estudiantes,
4
1
de ellos ha donado pastas,
8
1
azúcar y
2
1
de los estudiantes donó arroz.
• Representa la fracción del curso que donó cada tipo de alimento.
• Marca con un la representación que muestre la fracción total donada por el 5º básico.
• Escribe la fracción que representa la cantidad de estudiantes que no participó en la campaña.
Pastas Azúcar Arroz
Para resolver adiciones o sustracciones de fracciones con distinto denominador, se igualan sus
denominadores para obtener fracciones equivalentes a cada término, de forma que sus denominadores sean
iguales. Luego, se calcula la adición o sustracción entre las fracciones con igual denominador.
Ejemplo: al resolver la adición y la sustracción entre
6
3
y
4
1
, se puede considerar lo siguiente:
• Se calcula el mínimo común múltiplo (mcm) entre los denominadores. En este caso, mcm(4, 6) = 12.
• Conociendo el mcm entre los denominadores, se amplifica (o simplifica) cada uno de los términos para
obtener fracciones con denominador igual al mcm.
4
1
se amplifica por 3, resultando
12
3
.
6
3
se amplifica por 2, resultando
12
6
.
• Se resuelve y se simplifica hasta donde sea posible.
:
:
6
3
4
1
12
6
12
3
12
6 3
12
9
12 3
9 3
4
3
+ = + =
+
= = =
:
:
6
3
4
1
12
6
12
3
12
6 3
12 12 3
3
4
3 3 1
–
–
– = = = = =
102

Practica
Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con distinto denominador
1. Resuelve las siguientes operaciones simplificando cuando sea posible. Aplicar
2. Pinta la adición o sustracción cuyo resultado está representado en cada figura. Analizar
3. Lee la siguiente situación y realiza lo pedido. Analizar
Javier y María compraron 1 kilógramo de manzanas y comieron
8
3
de kilógramo. Pinta la expresión que representa
la cantidad de manzanas que no han comido.
4. Encuentra el error cometido. Luego, corrígelo. Verificar
Matías compra
2
1
kilógramo de pan y
4
1
de kilógramo de queso. Él afirma que la masa total de los productos que
ha comprado es igual a
6
2
de kilógramo.
a.
1
4
+
3
1
=
b.
3
2
–
9
6
=
c.
3
4
–
5
6
=
d.
6
7
+
3
1
=
e. 4 +
3
1
=
f.
2
6
–
4
4
=
Todo número natural se puede
representar como fracción con
denominador 1. Por ejemplo:
3 =
Ojo con...
3
1
a. b. c.
4
8
+
8
4 4
16
+
4
1
2
3
–
2
1
12
5
–
6
1
8
1
+
4
1
4
2
+
4
1
8
3
– 11 +
8
3
1 –
8
3
8
3
+ 1
103

Aprende
Lee y responde
Para calcular la fracción de un número se multiplica dicho número por el numerador de la fracción, y luego
se divide este resultado por el denominador.
Ejemplo: si de un monto de $ 141.000 se ahorran
3
2
y el resto se reparte en partes iguales entre 2 personas,
¿cuánto dinero se ahorra? y ¿cuánto recibe cada persona?
Nicolás está pintando un muro. Si ha pintado
4
3
de los 12 metros cuadrados (m
2
)
que tiene, ¿cuántos metros cuadrados le falta pintar?
• El siguiente rectángulo representa el muro que pinta Nicolás. Marca
con un la opción que describe la situación.
• Por lo tanto, le falta pintar m2
.
3 m
2
3 m
2
3 m
2
3 m
2
3 m
2
3 m2
3 m2
3 m2
Zona pintada.
Zona pintada.
• La expresión: “de un monto de $ 141.000 se ahorran
3
2
”, se puede relacionar con:
3
2
de 141.000 =
. .
3
2 141 000
3
282 000:
= = 282.000 : 3 = 94.000, que corresponde al dinero ahorrado.
• Para calcular lo que recibe cada persona, primero se calcula el dinero no repartido. En este caso,
141.000 – 94.000 = 47.000. Luego, lo que recibe cada persona corresponde a:
2
1
de 47.000 =
.
2
47 000
= 47.000 : 2 = 23.500.
Finalmente, $ 94.000 corresponde al dinero ahorrado y $ 23.500 al monto que recibe cada persona.
104

Practica
1. Calcula la fracción de cada número. Aplicar
2. Completa cada recuadro para que el enunciado sea correcto. Analizar
a. De un trayecto de 21 kilómetros, un atleta ha recorrido
3
2
. ¿Cuántos kilómetros le quedan por recorrer?
b. De un dinero total de $ 150.000 se gasta la tercera parte; del resto se ahorran
4
3
y lo que sobra se dona a una
obra de beneficencia. ¿Cuánta es la cantidad de dinero que recibe la obra de beneficencia?
Calcular la fracción de un número
a.
5
4
de 1.500 b.
10
9
de 33.000 c.
3
2
de 9.990
a.
5
de 430 es 172. b.
5
de 1.500 es 750. c.
4
3
de es 17.550.
Ponte a prueba
Lee la siguiente situación y responde.
Julián, Armando y Rosa decidieron
comprar entre los tres un videojuego
cuyo valor es de $ 35.000.
¿Qué fracción del dinero aportó Rosa?,
¿a cuánto dinero corresponde?
Yo aporté
5
2
del total del dinero.
Yo aporté la cuarta
parte del dinero.
Yo puse el resto
del dinero.
RosaArmandoJulián
105

Módulo
Aprende
Un número decimal se compone de una parte entera que está a la izquierda de la coma y una parte decimal,
a la derecha de la coma. Para escribir un número decimal, este se puede ubicar en una tabla posicional en la
que se separa por una coma la parte entera de la decimal.
Ejemplo:
Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y luego la parte decimal, en términos de la última
cifra.
Ejemplo: el número decimal anterior se lee: “Doscientos setenta y un enteros doscientos noventa y tres milésimos”.
3 Números decimales
Observa y responde
Centenas Decenas Unidades Décimos Centésimos Milésimos
2 7 1 , 2 9 3
Parte entera Parte decimal
Lectura y escritura de números decimales
• Marca con un la opción que represente la temperatura, registrada en grados Celsius, en Arica.
Veinticinco y tres décimos. Veinticinco enteros y tres décimos.
Temperaturas registradas
Ciudad Temperatura
Arica 25,3 ºC
Iquique 27,8 ºC
Calama 20,6 ºC
Fuente: www.meteochile.gob.cl
En la tabla se muestran las temperaturas máximas registradas en 3 ciudades
del norte de Chile el 11 de abril del año 2012.
• Encierra el número que representa la parte entera de la temperatura máxima
registrada en la ciudad de Iquique.
27 25 20
• Encierra el número que representa la parte decimal de la temperatura
máxima registrada en la ciudad de Calama.
8 6 3
106

Practica
1. Escribe la posición que corresponde al dígito destacado. Identificar
2. Escribe con palabras cada número decimal. Representar
a. 0,72
b. 12,67
c. 35,401
3. Pinta el número que represente lo escrito con palabras. Representar
a. Ocho enteros y dos décimos. 82 8,2 0,82
b. Quince centésimos. 0,15 0,015 0,105
c. Diez enteros y un décimo. 10,01 10,001 10,1
4. Lee la situación y luego responde. Analizar
a. Escribe los números de las sardinas que pescaron:
• Carlos
• Paola
b. ¿Cuántas sardinas no se pescaron?
Leer y escribir números decimales
a. 1,1
b. 0,731
c. 30,207
d. 500,99
Yo pesco las sardinas
cuyos números tienen un 3
en el lugar de los décimos.
Yo pesco las sardinas cuyos
números tienen un 5 en el
lugar de los centésimos.
Cuando la parte entera de un número
decimal es cero, se escribe con palabras
solo la parte decimal. Por ejemplo, 0,032
se escribe “treinta y dos milésimos”.
Sabías qué...
Un n
Los
5,95
4,3
3,653,38
2,25
3,12
2,83
1,65
9,31 4,23 2,32
4,69
6,31
4,37
3,157,25
2,185,842,31
Carlos Paola
107

Observa y responde
Números decimales en la recta numérica
Uno de los criterios que utiliza la Federación Internacional de Fútbol Asociado
(FIFA) para determinar si un balón de fútbol es de calidad, es su masa.
La masa ideal de un balón oficial debe estar entre los 420 y los 445 gramos (g).
• Encierra la opción que represente correctamente la ubicación del balón 2 en la recta numérica.
Opción 1
Opción 2
• Escribe: “Balón 1” o “Balón 2”, según su ubicación en la recta numérica.
Módulo 3 / Números decimales
gramos (g)
440 441 442
440 441 442
gramos (g)
439 440 441 442
gramos (g)
Aprende
Para representar un número decimal en la recta numérica, se ubica primero la parte entera. Luego, se ubica
la parte decimal dividiendo en partes iguales (10, 100, 1.000,...) el segmento que corresponde a la unidad.
Esta división se realiza según la cantidad de cifras decimales que tenga el número.
Ejemplo: representa en la recta los números 1,5; 1,53 y 1,537.
Para representar 1,5 en la recta numérica, se divide en
10 partes iguales el segmento ubicado entre 1 y 2, para
luego ubicar el número decimal.
Para representar 1,53 en la recta, se divide la décima en
10 partes iguales y luego se ubica el número decimal. El
segmento queda dividido en 100 partes iguales.
Para representar 1,537 en la recta, se divide la centésima
en 10 partes iguales y de estas se cuentan 7 para ubicar
el número decimal. El segmento queda dividido en 1.000
partes iguales.
1,5 1,6
1,53
1,537
1,54
1,537
1,54
0 1 2 32
1,5
Balón 1: 439,75 g Balón 2: 441,40 g
1,53
108

Practica
1. Completa con el número decimal correspondiente. Identificar
2. Ubica los siguientes números decimales en la recta numérica. Representar
3. Dadas las rectas numéricas, determina el valor de X, Z y W. Reconocer
a. X Z W
b. X Z W
4. Considerando la siguiente recta numérica, escribe V si la afirmación es verdadera o F, si es falsa. Justifica en cada
caso. Evaluar
a. La letra Z corresponde al número decimal 120,125.
Justificación:
b. La letra A corresponde a ciento veinte enteros catorce centésimos.
Justificación:
c. El valor de la letra P se encuentra ubicado entre 120,135 y ciento veinte enteros ciento treinta y
ocho milésimos.
Justificación:
Ubicar números decimales en la recta numérica
a. 3,15 b. 4,55 c. 3,3 d. 4,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
3 3,5 4 4,5 5
120,11 A Z P120,12 120,13 120,14
20 21X Z W
31,5 32,5W Z X
109
F
F
F

Lee y responde
Orden y comparación de números decimales
Ernesto se está preparando para mejorar sus marcas en la competencia escolar del lanzamiento de la jabalina. La
tabla muestra las distancias que ha obtenido durante cinco días.
Registro de distancias de lanzamiento de la jabalina
Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
Distancia
(metros)
38,65 39,35 38,50 39,85 39,05
• Encierra los días en que la distancia, en metros, tiene una mayor parte entera.
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
• De los días que encerraste, ¿en cuál es mayor la parte decimal?
• Pinta con el día en que Ernesto registró una menor distancia de lanzamiento y con el día en que registró
una mayor distancia de lanzamiento.
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
Educando en valores
El deporte me ayuda a mantener la
mente y el cuerpo saludables.
Aprende
Para ordenar dos números decimales, se compara primero la parte entera, es decir:
• Si son diferentes, es mayor el número que tiene la mayor parte entera.
Ejemplo: 9,5 > 8,5, ya que 9 > 8.
• Si son iguales, se verifica que tengan la misma cantidad de cifras decimales para poder compararlas. Si no
las tienen, se completa con ceros según corresponda y luego se comparan.
Ejemplo: 123,41 y 123,4.
Finalmente, 123,41 > 123,4.
C D U d c
1 2 3 , 4 1
C D U d c
1 2 3 , 4 0
=
=
=
=
>
110

Practica
Establecer criterios de orden y comparación entre números decimales
1. Escribe >, < o =, según corresponda. Aplicar
2. Encierra con color rojo el número decimal mayor y con color verde el número decimal menor. Aplicar
3. Escribe 5 números decimales que cumplan con cada condición y en el orden correspondiente. Analizar
a. Mayores que 0,1 y menores que 0,6.
< < < <
b. Menores que 1,32 y mayores que 1,3.
> > > >
Luisa, Ignacia y Matías corrieron un determinado tramo. Luisa demoró 21,34 segundos e Ignacia 3 milésimas
de segundo más que Matías. Si Matías demoró 1 décima de segundo más que Luisa, ¿en qué orden llegaron?
¿Cuánto demoraron?
a. 3,7 3,07
b. 2,08 2,008
c. 14,45 25,45
d. 12,25 25,12
e. 874,1 8.741
f. 9,99 9,990
g. 12,321 123,21
h. 574,024 574,240
i. 458,96 485,96
a. b. c.
21,5 21,4
21,39
21,05 21,01
3,2 3,25
6,05
6,501 3,39
12,9 11,8
12,98
12,01 11,99
111

Lee y responde
Divisiones con cociente decimal
Juan quiere recorrer 9 kilómetros realizando solo 4 detenciones. Si se detiene al recorrer la misma cantidad de kilómetros
en cada tramo, ¿cada cuántos kilómetros hará estas detenciones?
• Para calcular cada cuántos kilómetros se detendrá, es necesario calcular el cociente entre la cantidad de kilómetros
y la cantidad de veces que se detendrá.
• Completa con los números y datos que faltan para continuar la división anterior.
9 : 4 = 2
– 8
1
8 = 4 • 2
9 : 4 = 2 , 2 5
– 8
10
– 8
20
– 20
0
Se agrega una en el cociente y un en el primer resto.
En este caso, se continúa la división, hasta que el resto sea .
El resultado de esta división se puede interpretar como:
“Juan se detendrá aproximadamente cada 2 kilómetros”.
Para resolver una división no exacta entre números naturales, si el resto es distinto de cero, se prosigue la
operación agregando una coma al cociente y un cero en el resto. Si nuevamente este es distinto de cero, se
prosigue agregando nuevamente un cero al resto, y así sucesivamente.
Ejemplo:
12 : 5 = 2 12 : 5 = 2, 12 : 5 = 2,4
– 10 – 10 – 10
2 20 20
– 20
0
Aprende
Se agrega un cero. Finalmente el resto es cero.
Se agrega una coma. Se continúa la división.
112

Practica
1. Marca con un si el resultado es correcto. En caso contrario, marca con una . Verificar
2. Calcula el cociente de cada división. Aplicar
3. Escribe V si la afirmación es verdadera o F, si es falsa. Justifica en cada caso. Evaluar
a. Al dividir 23 y 8 el cociente es igual a 2,88.
Justificación:
b. Si el cociente es 12,5, el dividendo sería 37,5 y el divisor, 5.
Justificación:
c. Si el dividendo es 534 y el divisor 4, el cociente es 133,5.
Justificación:
La rapidez media de un móvil se calcula como el cociente entre la distancia que recorre y el tiempo que demora
en recorrer esa distancia. Si un móvil recorre 100 metros en 8 segundos, ¿cuál es su rapidez media?
Resolver divisiones con cociente decimal
a. 13 : 4 = 3,25
b. 17 : 2 = 85
c. 344 : 10 = 34,4
d. 150 : 8 = 1,87
e. 2.500 : 4 = 6,25
f. 6.540 : 8 = 817,5
a. 100 : 80 = b. 573 : 3 = Los términos de una división son:
Recuerda que...
Cociente
Dividendo
Resto
9 : 4 = 2,25
– 8
10
– 8
20
0
Divisor
113
F
F
F

Lee y responde
Representación de fracciones como números decimales
Lucía se ubica en una pista de 1 m de largo y lanza un avión de papel que alcanza
una distancia de
5
4
del total de la pista.
• Encierra la fracción que resulta luego de amplificar por el número 2 la distancia
recorrida por el avión de papel lanzado por Lucía.

5
8

10
8

7
6
• Marca con un la división que sea correcta.

8
10
= 80 : 10 = 0,08
8
10
= 80 : 10 = 0,8
0 0
• Encierra la opción correcta.
Opción 1 Al amplificar por el número 2 la fracción
5
4
, resulta
10
8
, que corresponde al número decimal 0,08.
Opción 2 Al amplificar por el número 2 la fracción
5
4
, resulta
10
8
, que corresponde al número decimal 0,8.
Aprende
Las fracciones se pueden representar como un número decimal. Para ello, se puede calcular el resultado de
la división entre el numerador y el denominador.
Ejemplos:
• La fracción
1
10
se representa como número
decimal 0,1, ya que:
1 0 : 10 = 0,1
0
Al representarlo gráficamente se tiene:
• La fracción
3
4
se representa como número
decimal 0,75, ya que:
30 : 4 = 0,75
2 0
0
Al representarlo gráficamente se tiene:
Representación de fracciones como números decimales
que alcanza
2 la distancia
10 = 0,8
114

Practica
Representar fracciones como números decimales
1. Relaciona la fracción de la columna A con el número decimal de la columna B. Para ello, anota en la columna B
la letra correspondiente. Relacionar
Columna A Columna B
a.
2
1
0,7
b.
5
3
0,25
c.
4
1
0,5
d.
10
7
0,6
2. Encierra la fracción y el número decimal que representa cada caso. Analizar
a.
b.
3. Lee cada situación y responde. Luego, justifica tu respuesta. Analizar
a. Amelia fue al supermercado a comprar
4
1
de kg de aceitunas y la balanza marcó 0,265 kg. ¿Es necesario
agregar o quitar aceitunas para obtener la cantidad de kg que ella quería comprar? Explica.
b. Iván compró
5
3
de kg de manzanas y Gonzalo compró 0,75 kg. ¿Quién compró más manzanas? Explica.
Fracción Número decimal
2
10
3
3
10
3
2
4
10
2,03 3,3 2,3
2
10
6
3
10
6
3
10
5
3,6 2,6 3,4
115

Observa y responde
Adición de números decimales
En una competencia de clavados, Pablo se lanza desde el segundo
trampolín, como se muestra en la imagen. ¿Desde qué altura se lanzó?
• ¿Cuáles son las alturas del primer y segundo trampolín?
Primer trampolín
Segundo trampolín
• Para conocer la altura desde la que se lanza Pablo, se calcula la adición entre las alturas del primer y segundo
trampolín. Completa con los números que faltan.
Primer trampolín 2 , 5 0
Segundo trampolín + 2 , 0 3
0 , 2 0
• Por lo tanto, la altura desde la que se lanza Pablo es: m.
Aprende
Para resolver una adición entre números decimales, los sumandos se pueden escribir en forma vertical alineando
según la posición de la coma, para luego calcular el valor de la suma. Si los números no tienen la misma cantidad
de cifras decimales, se agregan los ceros necesarios para que tengan la misma cantidad.
Ejemplos:
• Si se calcula la adición entre 301,634 y 15,4, se tiene que:
• Si se calcula la adición entre 1.023,7 y 25,409, se tiene que:
3 0 1 , 6 3 4
+ 1 5 , 4 0 0
3 1 7, 0 3 4
Sumandos
Suma
1
1
1 . 0 2 3 , 7 0 0
+ 2 5 , 4 0 9
1 . 0 4 9 , 1 0 9
Sumandos
Suma
1
2,73 m 1er trampolín
2do trampolín
2,52 m
116

Practica
Resolver adiciones de números decimales
1. Calcula las siguientes adiciones de números decimales. Aplicar
2. Completa con los números que faltan en cada caso. Observa el ejemplo. Aplicar
5
4
+
8
1
= 0,8 + 0,125 = 0,925
3. Lee la siguiente situación. Luego, responde. Analizar
En una competencia de atletismo, cada corredor de un equipo debe recorrer 100 m de la pista. El participante 1
recorre la pista en 13,54 segundos; el participante 2 en 11,35 segundos; el participante 3 en cinco centésimas de
segundo más que el participante 2; y el cuarto participante recorre la pista en una décima de segundo más que
el participante 1. ¿Cuánto tiempo demora el equipo en recorrer la pista?

a.
10
12
+
5
4
= + 0,8 = 2
b.
4
3
+
4
7
= 0,75 + =
c. 1
5
2
+
4
3
= + 0,75 =
d.
5
1
+
10
3
= + 0,3 =
e.
6
3
+
12
6
= 0,5 + = 1
f.
8
5
+ 1
8
2
= + 1,25 =
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2 0 , 4 3 2
+ 15 , 3
14 5 , 6 2
+ 3 2 ,7 8 8
21, 8
+ 1, 0 9
2 0 0 , 4 0 9
+ 13 4 , 6
4 , 5
+ 1 2 , 0 5
15 3 , 4 3 8
+ 2 7 8 , 5 4 9
117

Aprende
Para resolver una sustracción entre números decimales, se pueden escribir en forma vertical el minuendo y
el sustraendo, de modo que correspondan las comas de ambos números. Si la cantidad de cifras decimales
no es igual, se agregan los ceros necesarios para igualar las cifras decimales y se realiza la operación.
Observa y responde
Con el fin de mejorar sus tiempos, un piloto de carreras practica a diario. En
los últimos días ha mejorado sus tiempos, los que se muestran en la imagen.
¿Cuál es la diferencia entre los tiempos cronometrados?
• El tiempo mayor cronometrado es segundos. Para
calcular la diferencia de tiempos este número corresponde al minuendo.
Mientras que el sustraendo corresponde al tiempo menor cronometrado.
• Completa con los números y datos que faltan, según corresponda.
Primera vuelta
Segunda vuelta
• La diferencia entre los tiempos cronometrados es de segundos.
14
5 9 7 2 Minuendo
– 8 8 0
1 6 Diferencia
,
,
,
6
Ejemplos:
• Al calcular la diferencia entre 28,4 y 12,003 se
tiene:
• Si la diferencia es 254,12 y el minuendo es 365,
¿cuál es el valor del sustraendo?
El sustraendo es 110,88 ya que:
10
3 6 5 0 0 Minuendo
2 5 4 1 2 Diferencia
,
,
,
9410
2 8 4 0 0 Minuendo
1 6 3 9 7 Diferencia
,
,
,
93
Primera vuelta:
Segunda vuelta:
118

Practica
Resolver sustracciones de números decimales
1. Resuelve las siguientes sustracciones. Aplicar
2. Encuentra el número que falta en cada caso. Analizar
a. Un saco de manzanas marca 23,54 kg en una balanza. Luego de vender algunas manzanas, se pone nuevamente
el saco en la balanza y marca 17,85 kg. ¿Cuántos kg de manzanas fueron vendidos?
b. El tiempo que demoran dos autos en viajar de una ciudad a otra es de 2,3 horas y 3,2 horas. ¿Cuál es la
diferencia de tiempo entre ambos?
a. 13,4 – 10,004 = b. 3,236 – 1,358 = c. 12,1 – 10,099 =
a. b. c. 2 6 5 , 4 5
–
3 2 , 5
14 . 215 , 21
– 5 . 3 2 5 ,115

– 5 47,1 2 3
1 2 , 0 0 5
Ponte a prueba
Tres amigos compiten en salto alto en las olimpíadas de su colegio. Andrés logra 1,50 m;
Felipe, 0,4 m más que Andrés; y Carlos, 0,6 m menos que Felipe. ¿Cuántos metros saltó Carlos?
119

Problemas de comparación
En una competencia de obstáculos, Lucas realizó el circuito en 52,87 segundos, mientras que Leonardo lo
completó en 57,36 segundos. Con respecto a Lucas, ¿cuántos segundos más demoró Leonardo?
Datos: 52,87 segundos demoró Lucas.
57,36 segundos demoró Leonardo.
Pregunta: ¿Cuánto tiempo más que Lucas demoró Leonardo?

Respuesta: Leonardo demoró 4,49 segundos más que Lucas en completar el circuito.
5 7, 3 6
– 5 2 , 8 7
4 , 4 9
?52,87
57,36
120

Unidad 3
PASO 2
PASO 4
PASO 3
Ahora hazlo tú
Un puente que conecta dos ciudades puede soportar hasta 35 toneladas. Si un camión, sin carga, pesa
11,532 toneladas, ¿cuál es la máxima carga que puede transportar para poder cruzar dicho puente?
121

Debido a la escasa variación de tiempo que demoran algunos atletas en completar diferentes competencias,
resulta necesario utilizar números decimales para medir con más exactitud el tiempo cronometrado.
100 m planos
Atleta 1: 12,25 s
Atleta 2: 11,95 s
Atleta 3: 12,75 s
Los números decimales me ayudan a comparar diferentes resultados
• Con respecto al lanzamiento de la jabalina, ¿cuál lanzamiento marcó una mayor distancia? Justifica tu
respuesta.
• ¿Cuál fue la diferencia entre el primer atleta que llegó a la meta y el último?
122

En las distancias obtenidas en el lanzamiento de la jabalina, los
números decimales permiten observar con exactitud el punto
dónde llegó la jabalina.
Lanzamiento de la jabalina
Atleta 1: 38,05 m
Atleta 2: 33,75 m
Atleta 3: 38,5 m
• ¿Qué pasos debes seguir para ordenar los números
decimales que representan los tiempos?
• Explica con tus palabras lo que se debe realizar
para resolver adiciones o sustracciones de
números decimales.
• ¿En qué otro contexto se utilizan números decimales?
Nombra algunos.
Competencia para aprender a aprender
123

Estrategias para preparar el Simce MR
124
1. Bernarda tiene $ 320.000 en su cuenta de ahorro y giró
5
2
del total del dinero. ¿Cuánto dinero le queda
en la cuenta de ahorro?
A. $ 64.000
B. $ 128.000
C. $ 192.000
D. $ 448.000
Por lo tanto, la alternativa C es la correcta. 1. A DB C
A. Se calcula
5
1
de los ahorros que tiene Bernarda, lo que corresponde a dividir por el denominador, y no
considera la multiplicación por el numerador.
B. Se obtiene el dinero correspondiente al giro realizado, es decir, se calcula:
.
5
320 000 2:
= 128.000
Pero no resuelve la sustracción con el total de dinero de la cuenta de ahorro.
C. En este caso, primero se obtienen los
5
2
del dinero, y posteriormente se calcula la sustracción de este
monto con el total de dinero de la cuenta. Se obtiene lo siguiente:
320.000 Dinero en la cuenta de ahorro
– 128.000 Dinero que se giró
192.000 Dinero que queda luego del giro
D. En esta alternativa se calcula el valor correspondiente al giro realizado. Sin embargo, se resuelve de
manera incorrecta, ya que se suma con la cantidad de dinero inicial.
•
124

Unidad 3
puntos
5
puntos
5
puntos
6
1. Pinta cada fracción según el color que corresponda.
Fracciones equivalente a 1 Fracciones impropias Fracciones propias
2. Representa en la recta numérica los números indicados. Luego, responde.
5
1
; 1
4
1
; 2
5
4
;
10
3
; 1
3
1
a. ¿Cuál es el número mayor?
b. ¿Cuál es el número menor?
c. Ordena los números en forma decreciente
3. Observa los círculos que se muestran en la figura. Luego, pinta
6
1
con color azul,
8
3
con color rojo,
4
9
con color verde y el resto de color amarillo.
10
9
6
10
5
2
3
12
4
4
2
4
10
11
8
7
12
15
13
13
0 1 2 3 4
125

¿Qué aprendiste?
126
puntos
4
puntos
8
puntos
5
4. Escribe la fracción que representa la parte pintada de color verde en cada figura.
5. Representa como un número decimal las siguientes fracciones y números mixtos. Luego,
ordénalos de menor a mayor.
6. Lee la siguiente situación y responde.
Cinco ciclistas recorren una pista de 4 km. En el plano de la carrera se señalan las distancias
recorridas en un momento de la competencia.
a. Determina la distancia que les queda por recorrer a
los siguientes competidores para llegar a la meta.
Ciclista E
Ciclista D
Ciclista C
b. Calcula cuál es la distancia que hay entre:
los ciclistas A y E
los ciclistas B y C
a. b.
a.
6
3
;
4
5
;
10
3
;
8
8
b. 1
5
2
; 1
12
9
;
8
9
;
2
5
2
1
1
4
1
4
9
41
6
1
6
E
D
A
C
B
2,99 km
1,6 km
0,38 km
0,13 km
3,5 km
META PARTIDA
126

Unidad 3
7. ¿Cuál de las siguientes alternativas no representa a la fracción
4
1
?
8. ¿Qué fracción resulta al amplificar por el número 7 la fracción
5
2
?
A.
5
14
B.
35
2
C.
35
14
D.
12
9
9. ¿Qué afirmación es falsa?
A. Las fracciones impropias pueden escribirse como número mixto.
B. Las fracciones impropias son siempre mayores que las fracciones propias.
C. Las fracciones propias tienen el numerador mayor que el denominador.
D. Las fracciones propias pueden ser números que se ubican entre 0 y 1.
10. ¿Cuál de las siguientes fracciones está ubicada entre los números 3 y 4?
A.
4
15
B.
4
3
C.
4
10
D.
4
20
puntos
4A. B. C. D.
127

¿Qué aprendiste?
128
puntos
3
11. Si a la figura 1 se le agrega la parte coloreada de la figura 2, ¿qué fracción representaría?
A.
6
2
B.
6
3
C.
6
6
D. 1
6
2
12. Leonardo regaló
6
2
del total de bolitas que tenía. Luego, perdió jugando con otros niños
4
1

de las que le quedaban. ¿Qué fracción del total de bolitas le quedaron?
A.
6
1
B.
12
5
C.
12
7
D.
6
3
13. Un tarro de pintura tiene
4
3
de litro. Para pintar una pared se ocupó
2
1
litro de la pintura
de ese tarro y con el resto se pintó una puerta. Si finalmente queda
8
1
de pintura, ¿cuánta
pintura se utilizó en la puerta?
A.
8
2
B.
4
3
C.
8
1
D.
8
3

Figura 1 Figura 2
128

Unidad 3
puntos
4
14. ¿Cuál es el denominador que debe ir en los recuadros para que se cumpla la igualdad?
A. 2
B. 4
C. 7
D. 8
15. El número tres enteros cinco centésimos corresponde a:
A. 35,0
B. 3,5
C. 3,05
D. 3,005
16. ¿Qué recta numérica representa de mejor forma el número 3,15 con un punto?
A.
B.
C.
D.
17. De las siguientes adiciones, ¿cuál representa el resultado mayor?
A. 212,05 + 7
B. 215,1 + 4
C. 200 + 19,5
D. 150,25 + 68,75
7 8
4
15
+ =
43
43
43
43
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Prepara laprueba 3
129

Patrones y álgebra
Unidad
Patrones y álgebra
4
Se tienen 21 espirales destacados de
color celeste en el girasol. Este número es
un término de la secuencia de Fibonacci.
2 3 5 8
La medida en centímetros, entre los huesos de un
dedo de la mano, se relacionan como parte de la
secuencia de Fibonacci.
2, 3, 5, 8
Es posible relacionar la secuencia descubierta por el matemático italiano
Leonardo Fibonacci, con algunos elementos de nuestra realidad.
Los primeros 8 términos de la secuencia de Fibonacci son:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
130
• Describir patrones o reglas que determinen una secuencia dada.
• Calcular y predecir términos de una secuencia.
• Relacionar los conceptos de igualdad y desigualdad con las ecuaciones e inecuaciones, respectivamente.
• Resolver ecuaciones e inecuaciones de primer grado que involucren adiciones y sustracciones.
• Resolver problemas utilizando ecuaciones e inecuaciones.
• Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.

7o restar 8 8o
21
A partir de la información anterior, responde.
1. Encierra según corresponda.
a. Para obtener como resultado el 6º término de la secuencia de Fibonacci, ¿qué operación se realizaría entre el
4º y el 5º término?
: – • +
b. Para obtener como resultado el 4º término de la secuencia de Fibonacci, ¿qué operación se realizaría entre el
6º y el 5º término?
: – • +
2. Completa las oraciones con la información que aparece en cada casillero.
a. El número 21 corresponde al término.
b. Al sumar con el número 13 se obtiene como resultado .
c. Para obtener el 6º término se puede el 8º término con el término.
3. Escribe V si la afirmación es verdadera y F, si la afirmación es falsa. Justifica en cada caso.
a. Es posible relacionar el 6º término de la secuencia de Fibonacci con la medida de los huesos de un dedo.
Justificación:
b. Los 21 espirales destacados en el girasol corresponden a la suma del 7º y 8º término de la secuencia de
Fibonacci.
Justificación:
c. La secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... tiene un único patrón de formación.
Justificación:
d. Cualquier término de la secuencia de Fibonacci se obtiene sumando siempre un mismo valor al término
anterior.
Justificación:
131
F
F
F
F

Módulo
1
Unidad 4 / Patrones y álgebra
Patrones y secuencias
Felipe ha marcado en el calendario diferentes fechas
que corresponden a los días que trotó durante el
mes de julio.
• Escribe en orden creciente los números marcados.
; ; ; ; ; ; ; ; ;
• Marca con un la afirmación correcta.
Felipe trotó cada 2 días. Felipe trotó cada 3 días.
• ¿Qué relación hay entre los números marcados en el calendario? Explica.
Observa y responde
Aprende
En ciertos grupos de
figuras o de números
que presenten alguna
regularidad, es posible
identificar una regla que
los relacione. Esto se
conoce como patrón de
formación.
Ejemplo: al identificar la relación entre una figura y otra, es posible reconocer
un patrón de formación en esta secuencia formada por cuatro figuras. En
este caso, se caracteriza por agregar dos cuadrados de manera ordenada.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Cantidad de cuadrados 2 4 6 8
+ 2 + 2 + 2
Secuencia de figuras
Julio 2013Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31
15
30
24
12
27
21
18
132

Practica
1. Escribe el patrón de formación en cada grupo de números. Comprender
2. Observa las figuras que se muestran. Luego, marca con un el patrón de formación en cada caso. Interpretar
a.
b.
3. Completa los recuadros con las figuras que faltan, de manera que se continúe la regularidad presentada. Analizar
a.
b.
Reconocer el patrón de formación en distintas secuencias
Agregar 2 círculos.
Agregar 3 círculos.
Figura 4Figura 3Figura 2Figura 1
Quitar 3 círculos.
Quitar 4 círculos.Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
a. b. 7 12 17 22
Patrón Patrón
53 46 39 32
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 5Figura 4
Figura 5Figura 4
Agregar 2 Agregar
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Quitar Quitar
133

• Completa con las distancias que hay entre los postes, desde la casa 1 hasta la casa 2.
• Escribe la cantidad de postes que hay entre ambas casas.
Aprende
Una secuencia numérica corresponde a un grupo de números que pueden seguir un cierto patrón de formación.
Ejemplo: al relacionar las figuras con la cantidad de palos de fósforos se tiene que:
Si la secuencia continúa, generalmente se anota con puntos suspensivos (…). En este caso:
3, 5, 7, 9, 11, 13, …
Existen diferentes maneras de continuar una secuencia, que dependen de su patrón de formación (único o no).
Por ejemplo, en la secuencia 3, 6, 9, 12, el siguiente término no es necesariamente el número 15, ya que el
patrón de formación puede ser: “+ 3 en los primeros cuatro términos” y luego “+ 5 en los siguientes términos”.
Por lo tanto, la secuencia podría ser la siguiente:
3, 6, 9, 12, 5, 10, 15, 20, …
0 150 250 500
+50 +50 +50 +50 +50 +50 +50 +50 +50 +50
+ 2 + 2 + 2
3 5 7 9
Observa y responde
Cantidad de palos de fósforos
Módulo 1 / Patrones y secuencias
Casa 1 Casa 2
50 m 50 m 50 m 50 m 50 m 50 m 50 m 50 m 50 m 50 m
El patrón de formación de la secuencia es:
“sumar 2”, o bien, “+ 2”.
134

Practica
Secuencia numérica
1. Escribe en cada recuadro la secuencia numérica que se relaciona con la cantidad de elementos correspondiente
a cada figura. Interpretar
a.
b.
2. Escribe una secuencia numérica hasta el décimo término que cumpla con la condición dada. Aplicar
a. Comienza con el número 105 y el patrón es “restar 2”.
b. Comienza con el número 2 y el patrón es “sumar 2” en los cinco primeros términos. Luego, el 6º término es 1
y el patrón es: “sumar 3”.
3. Relaciona la cantidad de círculos de cada figura con la secuencia numérica que se forma. Luego, completa y
escribe el patrón de formación. Analizar
Cantidad
de círculos
El patrón de formación es:
Reconocer una secuencia numérica a partir de su patrón de formación
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6
1 4 9
Secuencia numérica
135

Aprende
Si se conoce el patrón de formación de una secuencia numérica, es posible calcular y predecir otros términos
que formen parte de ella.
Ejemplo: si la secuencia numérica 8, 11, 14, 17, 20,… tiene un único patrón de formación, ¿qué número
correspondería al 10º término?
Al analizar la secuencia, se deduce que el patrón de formación es “+ 3”, o bien, “sumar 3” al término anterior.
Luego, se tiene la siguiente relación:
2º término 8 + 3 = 11 4º término 8 + 3 + 3 + 3 = 17
3er
término 8 + 3 + 3 = 14 5º término 8 + 3 + 3 + 3 + 3 = 20
Si se pide calcular algún término específico, es necesario conocer el patrón de formación y el primer término
de la secuencia. Por ejemplo, al 5º término de esta secuencia se le suma 4 veces el patrón y a este resultado
se le suma el primer término. Teniendo esto presente, se puede afirmar que el 15º término es 50.
Observa y responde
Cálculo y predicción de los términos de una secuencia numérica
En una granja hay seis conejos que se reproducen duplicando su cantidad cada 3 meses.
Si el tiempo que demoran en reproducirse los conejos se representa como una secuencia numérica:
• ¿Cuál sería el primer término? • ¿Cuál sería el patrón de formación?
• Completa con los números que faltan, según el término de la secuencia descrita.
2º término 3 + 3 = 6 4º término 3 + 3 + 3 + 3 =
3er
término 3 + 3 + 3 = 9 5º término 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =
• Marca con un el número que corresponde al 15º término.
33 60 48 45
• ¿Cómo calcularías el término 99 de esta secuencia? Explica.
Módulo 1 / Patrones y secuencias
3 meses 6 meses ...
...
136

Practica
Calcular y predecir diferentes términos en una secuencia
a. El 20° término.
2, 4, 6, 8,…
b. El 8° término.
3, 9, 27, 81,…
Ponte a prueba
Resuelve el siguiente problema.
Si el 7º término de una secuencia es 33 y el patrón es “sumar 4”, ¿cuál es la suma entre el 2º y el 9º término?
1. Calcula el término pedido de las siguientes secuencias numéricas que tienen un único patrón de formación. Aplicar
2. Determina la posición que ocupa el término descrito en cada secuencia numérica. Analizar
3. Lee atentamente la situación planteada. Luego, responde. Analizar
Un bosque de alerces en el sur de Chile tiene una población de 1.600 árboles. Como consecuencia de la deforestación,
esta disminuiría a la mitad cada década.
Si la deforestación continúa, ¿en cuánto tiempo más habría 100 especies?
Educando en valores
Los alerces son una especie nativa del sur
de Chile, que se encuentra en peligro de
extinción a causa de la deforestación. Si
utilizas materiales reciclados puedes ayudar
a cuidar esta y otras especies similares.
a. El número 19 en la secuencia
1, 3, 5, 7, 9,…
b. El número 484 en la secuencia
547, 540, 533, 526,…
137

Módulo
Observa y responde
Aprende
La información escrita en lenguaje natural puede ser representada en lenguaje algebraico, que está formado
por números y símbolos, los que se relacionan para formar las expresiones algebraicas. En general, se usa una
letra minúscula para representar un “número cualquiera”.
Ejemplo: si n representa un número cualquiera, se tiene:
Representación en lenguaje algebraico
Al medir las dimensiones de una mesa, Luis se dio cuenta
que el ancho mide 13 cm menos que su largo.
• ¿Qué medidas de la mesa consideró Luis?
• Suponiendo que el largo de la mesa mide L centímetros, marca con un la expresión que relaciona las medidas
del ancho y el largo de la mesa.
Ancho = (L – 13) cm Ancho = (13 – L) cm
• Si Luis quisiera sumar cada uno de los lados que midió, ¿qué opción representaría este resultado?
Opción 1 Perímetro = (L + L + L – 13 + L – 13) cm
Opción 2 Perímetro = (L + L + 13 – L + 13 – L) cm
Lenguaje algebraico2
Expresiones
algebraicas
Largo
Ancho
Lenguaje natural Un número disminuido en tres unidades.
Lenguaje algebraico n – 3
Lenguaje natural El doble de un número aumentado en cinco unidades.
Lenguaje algebraico 2 • n + 5
138

Practica
Relacionar el lenguaje algebraico con el lenguaje natural
1. Encierra todas las expresiones que representen el enunciado. Representar
a. Un número disminuido en 10 unidades.
y – 10 10 – p z – 10 10 – x
b. El triple de un número, aumentado en 7 unidades.
3 • x – 7 3 • y + 7 3 • z – 7 3 • p + 7
c. 30 unidades disminuidas en el triple de un número.
30 – x 30 – 3 • y 30 – 3 • z 30 – 3 • p
2. Representa en lenguaje algebraico cada una de las expresiones escritas en lenguaje natural. Guíate por el ejemplo.
Representar
El sucesor de un número natural.
a. El antecesor de un número natural.
b. El triple de un número, aumentado en 8 decenas.
c. Un número disminuido en el doble de otro número.
3. Expresa en lenguaje natural cada expresión algebraica. Representar
a. 3a
b. z – p
c. 2a – 1
d. 2(a – 1)
4. Escribe V si la afirmación es verdadera y F, si la afirmación es falsa. Justifica en cada caso. Evaluar
a. El triple de un número disminuido en 3 unidades se representa por 3 – 3y.
Justificación:
b. Un número aumentado en 8 unidades se representa por 8 + y.
Justificación:
n + 1
Si en una expresión matemática no se
anota el símbolo “•”, se asume que
se multiplica.
3m = 3 • m
Ojo con...
139
F
F

Módulo 2 / Representación en lenguaje algebraico
Valorización de expresiones algebraicas
• Se define lo siguiente:
M: cantidad de motos en la repisa A: cantidad de autos en la repisa
• Considerando lo anterior, marca con un la expresión que representa la cantidad de ruedas de motos y de autos
que hay en la repisa, respectivamente.
2M y 4A 4M y 2A 2A y 2M
La expresión que representa el total de ruedas corresponde a 2M + 4A. Luego, como M = 20 y A = 10, se remplazan
estos números en la expresión y se obtiene lo siguiente:
2M + 4A = 2 • 20 + 4 • 10
= 40 + 40
= 80
Por lo tanto, la afirmación hecha por la niña es correcta.
Aprende
Valorizar una expresión algebraica consiste en asignar un número a cada letra o variable que la conforma, y
luego realizar los cálculos correspondientes. De esta manera, se obtiene un valor numérico asociado a dicha
expresión.
Ejemplo: si a = 12, b = 15 y c = 3, al calcular el valor de la expresión 2a – b + c resulta:
2a – b + c = 2 • 12 – 15 + 3
= 24 – 15 + 3
= 9 + 3
= 12
Por lo tanto, al valorizar la expresión algebraica con los valores dados se obtiene el número 12.
Observa y responde
Hay 10 autos y
20 motos.
En total cuento
80 ruedas.
140

Practica
Carlos necesita delimitar un terreno rectangular que mide q metros de largo y h metros de ancho, con un alambre que
tiene un precio de $ 195 el metro. Si q = 12 metros y h = 8 metros, ¿cuál es el precio que se pagará por el alambre?
2. Determina el valor numérico de la siguiente expresión algebraica. Aplicar
Valorizar expresiones algebraicas en diferentes contextos
Ponte a prueba
Observa las siguientes figuras formadas con palos de fósforos.
a. ¿Cuántos palos de fósforos se ocuparán para formar
las figuras 5, 6 y 20?
b. Escribe la secuencia numérica, según la cantidad de
palos de fósforos hasta el 10º término.
Conectad@s
Ingresa a:
12r + q – 5, con r = 0 y q = 18.
141

¿Cómo vas?
1. Observa la siguiente secuencia de figuras.
a. Completa la tabla que relaciona cada figura con la cantidad de ladrillos correspondiente.
Figura 1 2 3 4 5 6
Cantidad de ladrillos
b. ¿Cuál es el patrón de formación de la secuencia obtenida? Explica cómo lo encontraste.
2. Escribe los 7 primeros términos de la secuencia que se pide en cada caso.
a. Comienza con el número 27 y el patrón es “restar 3,5”.
b. Comienza con el número 14 y hasta el cuarto término se aumenta en 2 unidades cada
término. Luego del quinto término comienza a disminuir en 4,1 con respecto al término
anterior.
3. Resuelve el siguiente problema.
En un plan telefónico se cobra $ 158 por el primer minuto utilizado, luego $ 1,8 por cada
segundo. Escribe la secuencia que representa el consumo, en segundos, entre 1 minuto y
1 minuto 10 segundos.
puntos
2
puntos
4
puntos
2
142

Unidad 4
1, 4, 7, 10, 13, 16,…
a. 2a + b – c b. (3a – 5) + (3c – 2b)
Calcular y predecir términos en secuencias numéricas
4. La siguiente secuencia tiene solo un patrón de formación. Escribe V si la afirmación es
verdadera o F, si es falsa. Justifica en cada caso.
a. El décimo término es 30.
Justificación:
b. Al restar los términos 11º y 1º, su resultado es menor que 33.
Justificación:
c. La suma de los 10 primeros términos es 145.
Justificación:
Lenguaje algebraico
5. Representa en lenguaje algebraico cada enunciado.
a. Al sumar la capacidad del computador (A) y el computador (B) se obtiene la capacidad
del notebook (N).
b. Andrea (A) le dice a sus amigos Vicente (V) y Loreto (L): “Yo tengo el triple de la
cantidad de láminas que tienen ustedes dos juntos”.
Valorización de expresiones algebraicas
6. Calcula el valor numérico de cada expresión. Considera que a = 4, b = 6 y c = 12.
puntos
3
puntos
4
puntos
2
143
F
F
F

Módulo
Lee y responde
Igualdades
Dos niños que juegan en un balancín quieren
mantenerlo equilibrado, pero no lo consiguen, ya que
uno de ellos tiene una masa de 35 kg y queda por
sobre el que tiene una masa de 39 kg.
Ocupando bolsas de 1 kg de tierra, ¿qué pueden
hacer los niños para equilibrarse?
• La situación anterior puede representarse mediante la siguiente igualdad.
( + 35) = 39
• Por lo tanto, con kg se satisface la igualdad, ya que en ambos lados hay 39 kg.
Ecuaciones3
Aprende
Una igualdad (=) entre expresiones significa que ambas representan lo mismo. En caso contrario, se dice que
no son iguales o que son distintas (≠).
Ejemplo: para que se cumpla la igualdad, ¿qué número debe ir en el recuadro?
– 13.921.418 = 15.213.479
El número que debe ir en el recuadro es 29.134.897, ya que al remplazarlo se tiene que:
29.134.897 – 13.921.418 = 15.213.479
15.213.479 = 15.213.479
Lado izquierdo.
Bolsas de
1 kg de tierra.
Lado derecho.
144

Practica
3 kg
3 kg
1 kg
1 kg
Comprender el concepto de igualdad
a. 2.540.213 + 715.210 = 3.255.423
b. 12.112 – (5.014 + 123) = 6.800 + 75
c. 23.345 + 1.255 = 25.000 – 600
d. 2.652.321 + 1.010 = 1.010 + 2.652.321
a. (x + z) = z + x b. x – x = w – w
Sí No
Sí No Sí No
Sí No Sí No
1. Pinta en el caso de que se cumpla la igualdad, y pinta en caso contrario. Interpretar
2. Considera x = 12, w = 35 y z = 245, para verificar si se cumple la igualdad en cada caso. Aplicar
3. Completa cada balanza para que esté en equilibrio. Analizar
a.
b.
c.
3 kg
3 kg
1 kg
1 kg
1
4
kg
1
4
kg
2 kg
2
1
kg2 kg
2
1
kg
145

Propiedades de la igualdad
En clase, la profesora muestra a sus estudiantes una balanza en equilibrio.
• Marca con un la opción correcta. Si se agrega o quita en ambos lados de la balanza anterior una misma cantidad
de kilógramos, siempre queda:
Equilibrada Desequilibrada
• Encierra el símbolo que se relaciona con la situación descrita.
> = <
Observa y responde
Módulo 3 / Ecuaciones
Aprende
La igualdad (=) cumple las siguientes propiedades:
Al sumar un mismo número a ambos lados de la
igualdad, esta se conserva.
Ejemplo:
Esto también se puede representar como:
2 + 3 = 5 / + 4
2 + 3 + 4 = 5 + 4
9 = 9
10 kg 10 kg10 kg 10 kg
• Si se quitan 10 kilógramos en ambos lados de la balanza, ¿sigue equilibrada?
5 kg3 kg 5 kg4 kg 4 kg3 kg2 kg2 kg 4 kg 4 kg3 kg 3 kg3 kg 3 kg
Al restar un mismo número a ambos lados de la
igualdad, esta se conserva.
Ejemplo:
Esto también se puede representar como:
4 + 3 = 3 + 4 / – 4
4 + 3 – 4 = 3 + 4 – 4
3 = 3
4 kgagregar 4 kgquitar 4 kg
146

Practica
Aplicar las propiedades de la igualdad
1. Calcula el número que falta, de manera que se conserve la igualdad. Aplicar
2. Luego de agregar o quitar alguna pesa en la balanza, escribe la igualdad resultante. Analizar
a.
b.
c.
3. Analiza la siguiente información y responde. Analizar
500 g
2.000 g
500 g
3.000 g3.000 g
1.000 g 2.000 g
2.000 g 2.000 g
3.000 g 3.000 g
2.000 g
500 g
3.000 g
500 g1.000 g 2.000 g
Se quitan 500 g
en ambos lados de la balanza.
Igualdad
Se quitan 1.000 g
Igualdad
Se agregan 1.000 g
Igualdad
a. 1.254 + 3.254 = 7.547 –
b. 4.587 + 9.820 = + 12.000
c. 12.211 – 2.211 = 10.000 +
¿Cuál es el valor del ?
+ 3 = 9 – 3 = 9
+ =
d. 1.254.111 – = 5.210.210 – 5.200.120
e. + 354.214 = 687.214 – 235.547
f. 3.254.254 + = 365.210 + 4.000.320
147

Observa y responde
Ecuaciones con una incógnita
La balanza se encuentra en equilibrio. ¿A cuántos gramos equivale la masa de la lámpara?
La masa de la lámpara es un valor desconocido, que
se denominará incógnita. Si se utiliza la letra x para
representarla, se tiene que:
x + 1.000 = 3.500
Para responder la pregunta, es necesario despejar la incógnita (x).
• Marca con un donde se aplica correctamente una propiedad de las igualdades.
• Encierra la igualdad que corresponde al valor de la incógnita (x).
x = 1.000 x = 2.500 x = 4.500
• Por lo tanto, la lámpara tiene una masa igual a g.
1.000 g
500 g
1.000 g 2.000 g
Lado izquierdo. Lado derecho.
Aprende
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se satisface para uno o varios valores de su
incógnita. Para resolverla, se debe encontrar el valor de la incógnita que satisface la igualdad; este corresponde
a la solución de la ecuación.
Ejemplo:
¿Cuál es el valor de x en la ecuación
x + 36 = 85 + 410?
Resolución: x + 36 = 85 + 410 / – 36
x + 36 – 36 = 85 + 410 – 36
x + 0 = 459
x = 459
Comprobación:
Se remplaza el valor obtenido en la ecuación:
x + 36 = 85 + 410
459 + 36 = 85 + 410
495 = 495
La solución es x = 459.
x + 1.000 = 3.500 / + 1.000
x + 1.000 – 1.000 = 3.500 + 1.000
x + 1.000 = 3.500 / – 1.000
x + 1.000 – 1.000 = 3.500 – 1.000
148

Practica
Resolver ecuaciones con una incógnita
a. x + 35 = 70 b. 1.551 = z – 654 c.
2
1
+
2
3
= a
1. Calcula la masa del objeto que se muestra en las balanzas que están en
equilibrio. Para ello, plantea la ecuación correspondiente. Aplicar
a.
b.
2. Resuelve cada una de las ecuaciones. Aplicar
Los 4 primeros términos de una secuencia son x + 5, x, x – 5, x – 10. Si el tercer término es 155, ¿cuánto suman
los valores del primer y del cuarto término?
Existen equivalencias entre las
unidades de masa; por ejemplo:
1 kg = 1.000 g
Recuerda que...
600 g
2.000 g2.000 g
3 kg 3 kg
1.000 g
3.000 g
Incógnita
Ecuación
Solución
Incógnita
Ecuación
Solución
Solución Solución Solución
149

Lee y responde
Después de girar $ 45.000 de la cuenta de ahorro del curso, esta quedó con un saldo de $ 156.000. Para saber
cuánto dinero se tenía antes del giro, David y Andrea proponen distintas maneras de calcularlo:
Resolución de David Resolución de Andrea
• Si el dinero inicial que había en la cuenta era de $ 201.000, ¿quién está en lo correcto?
Para saber qué afirmación es correcta, se remplaza el dinero inicial en las ecuaciones planteadas por David y Andrea.
Aprende
Para plantear ecuaciones
que representen una
situación problema es
necesario identificar la
incógnita del problema,
y los datos que permitan
comprender mejor la
operación involucrada en
la situación.
Ejemplo: Juan ha ahorrado $ 45.710. Luego de hacer una donación a obras
de beneficencia, le quedan $ 21.213. ¿Cuánto dinero ha donado?
En este caso la incógnita, que corresponde al dinero, donado se representará
por z.
45.710 – z = 21.213 “dinero que queda”
“dinero ahorrado” “dinero donado”
Si giro $ 45.000 quedan $ 156.000. Si le
asigno y al saldo inicial, que es la incógnita,
la ecuación es:
y – 45.000 = 156.000
Si a una cantidad x de dinero le agrego
$ 156.000 me quedan en la cuenta
$ 45.000. Luego, la ecuación es:
x + 156.000 = 45.000
Ecuación planteada por David Ecuación planteada por Andrea
150

Practica
Plantear ecuaciones en diversos contextos
Un ejemplo puede ser: Un número aumentado en 15 unidades equivale a 150 unidades.
z + 15 = 150
a. x – 5.000 = 15.000 b. 6.000 = 2.000 – z
1. Encierra la ecuación que representa cada enunciado. Interpretar
a. ¿Qué número se debe sumar al número 110 para obtener como resultado el número 235?
110 – x = 235 110 + 235 = x 110 + x = 235
b. Si de un libro de 120 páginas se han leído 47, ¿cuántas páginas faltan por leer?
y – 47 = 120 y + 47 = 120 y = 120 + 47
2. Define la incógnita y plantea la ecuación que representa cada uno de los siguientes problemas. Analizar
a. La adición entre dos números resulta 2.547. Si uno de ellos es 1.205, ¿cuál es el otro número?
Incógnita Ecuación
b. Juan ahorró $ 45.900 para comprar un regalo a su hermano. Si este tiene un precio de $ 84.990, ¿cuánto
dinero le falta por ahorrar?
Incógnita Ecuación
3. Analiza el siguiente ejemplo sobre cómo plantear una ecuación:
Plantea un problema cuya resolución pueda representarse por cada ecuación descrita. Analizar
z + 15 = 150
151

Lee y responde
Resolución de la ecuación
x + 8 = 21
x + 8 – 8 = 21 – 8 / – 8
x + 0 = 13
x = 13
Respuesta y comprobación
Claudio tiene 13 años, ya que al remplazar
en la ecuación se satisface la igualdad, es decir:
x + 8 = 21 + 13 + 8 = 21
21 = 21
En 8 años más. Claudio tendrá los 21
años que tengo hoy.
Aprende
Situaciones problema
Daniela le plantea el siguiente problema a Alejandro: “En 8 años más, Claudio tendrá los 21 años que tengo hoy. ¿Cuál
será la edad de Claudio?”. Alejandro pensó en lo siguiente:
Incógnita “x”
Edad de Claudio.
Ecuación
x + 8 = 21
Las ecuaciones con una incógnita permiten representar diversas situaciones y con ello dar solución a
variados tipos de problemas.
Ejemplo: si a Pedro le faltan $ 25.000 para comprar un LCD cuyo precio es de $ 178.990, ¿cuánto dinero
tiene Pedro para realizar dicha compra?
• Identificar la incógnita. Se define como w la cantidad de dinero que tiene Pedro.
• Planteamiento de la ecuación. w + 25.000 = 178.990
Dinero que falta. Precio del LCD.
• Resolución de la ecuación. w + 25.000 = 178.990 / – 25.000
w + 25.000 – 25.000 = 178.990 – 25.000
w = 153.990
• Respuesta y comprobación. Pedro tiene $ 153.990 para comprar el LCD.
w + 25.000 = 178.990
153.990 + 25.000 = 178.990 Comprobación
178.990 = 178.990
152

Practica
Resolver problemas utilizando ecuaciones
Ponte a prueba
Analiza la siguiente balanza. Luego, responde.
¿Cuál es la masa de 7 tarros de pintura?
a. Paula tiene 30 juguetes en una repisa. Si en una caja pone 17 juguetes, tendrá la misma cantidad que hay en
la repisa. ¿Cuántos juguetes tenía la caja inicialmente?
b. De un trayecto de 10.350 metros, una persona ha recorrido la mitad. ¿Cuántos metros le faltan por recorrer?
2. Con respecto al siguiente problema, escribe V si es verdadero o F, si es falso. Justifica en cada caso. Evaluar
Jaime es 5 años mayor que Cristina. Si Cristina tiene 22 años, ¿cuál es la edad de Jaime?
a. La incógnita corresponde a la edad de Jaime.
Justificación:
b. Dentro de 10 años Jaime tendrá 32 años.
Justificación:
2 kg
1 kg 1 kg1 kg1 kg
153
F
F

Módulo
Lee y responde
Desigualdades
En el letrero de un ascensor se advierte que la cantidad máxima de masa que
puede cargar debe ser inferior a 300 kilógramos. Si sobrepasa esta cantidad,
detiene su funcionamiento y una grabación avisa que una o varias personas
deben salir del ascensor.
• A partir de la imagen, marca con un la cantidad mínima de personas que
deben salir del ascensor para que este siga funcionando.
1 persona 2 personas 3 personas
Si permanecen en el ascensor las personas que tienen una masa corporal de 68 kg, 82 kg y 75 kg, podría seguir
funcionando, pues la cantidad total de masa será 225 kg, que es menor que 300 kg. Esto también podría expresarse
diciendo que 300 kg es mayor que 225 kg.
• De las siguientes opciones, pinta aquellas que representen la situación descrita.
Inecuaciones4
225 > 300 300 > 225 300 < 225 225 < 300
Aprende
Una desigualdad es una
relación entre dos cantidades
que no son iguales. Estas se
pueden leer de izquierda a
derecha.
a < b
“a es menor que b”
O de derecha a izquierda.
a < b
“b es mayor que a”
Ejemplos: en la siguiente balanza, aparece un huevo que tiene menor
masa que una pera.
Si esta situación se representa numéricamente, se tiene que:
57 < 110 o 110 > 57
“57 es menor que 110, o 110 es mayor que 57”
57 g
110 g
40 kg
68 kg
45 kg
82 kg
75 kg
154

Practica
1. Encierra la desigualdad correcta que se muestra en cada balanza. Relacionar
Masa del limón > Masa de la sandía Masa de la piña > Masa de la manzana
Masa del limón < Masa de la sandía Masa de la manzana > Masa de la piña
Un ascensor se bloquea con una carga mayor o igual a 250 kilógramos. Un día suben 5 personas que tienen una
masa corporal de 75, 68, 57, 45 y 80 kilógramos. Si debe salir solo una persona del ascensor para que este siga
funcionando, ¿cuántos kilógramos tiene? Justifica tu respuesta.
3. Verifica si cada desigualdad es correcta. Para ello, remplaza los valores en la expresión correspondiente. Analizar
x = 12, y = 18, z = 8, w = 16
Representar con una desigualdad diferentes situaciones
a. b.
a. x + z < y + w
b. y – z < 10
c. 2(y – x) > y + w
d. (y – z) – (w – x) > x – z
155

Observa y responde
Propiedades de la desigualdad
En ambos lados de una balanza se ponen dos sacos de maíz, como se muestra
en la imagen.
• ¿Qué ocurre con la balanza si se agrega un saco de 5 kg en ambos lados?
• ¿Qué ocurre con la balanza si se quita la misma cantidad de kg en ambos sacos?
• Con respecto a la situación que se presenta a continuación, completa con >, < o =, según corresponda.
Módulo 4 / Inecuaciones
Aprende
En una desigualdad, se cumple la siguiente propiedad:
“al sumar o restar un mismo número en ambos lados de la desigualdad, esta se mantiene”.
Ejemplos:
Se representa como:
7 < 9 / + 5
7 + 5 < 9 + 5
12 < 14
Se representa como:
7 < 9 / – 5
7 – 5 < 9 – 5
2 < 4
7 kg 7 kg
4 kg 4 kg
2 kg 2 kg
5 kg
5 kg5 kg
5 kg
5 kgagregar 4 kgquitar
9 kg 9 kg
5 kg
156

Practica
1. A partir de las balanzas que se muestran en el recuadro, marca con un si la relación entre los objetos que se
presentan es correcta, o con una , si es incorrecta. Analizar
2. Lee la siguiente situación, detecta el error y corrígelo. Luego, redacta nuevamente el problema. Verificar
En el platillo derecho de una balanza se ponen 2 kg de plumas y en el izquierdo, 1 kg de clavos. Luego, se agrega
una pesa de 1 kg en ambos lados de la balanza y se afirma que en el lado izquierdo hay mayor masa.
3. Escribe V si la afirmación es verdadera y F, si es falsa. Justifica en cada caso. Evaluar
a. Si a y b son dos números naturales distintos, siempre se cumple que a + b > 3.
Justificación:
b. Sea y un número natural menor que 10, entonces y + 1 > 11.
Justificación:
Aplicar las propiedades de la desigualdad
a.
b.
c.
d.
Error: Corrección:
157
F
F

Aprende
Lee y responde
Inecuaciones con una incógnita
Para ingresar a unos juegos infantiles, por razones de seguridad no pueden subir
al mismo tiempo 9 niños o una cantidad superior a esta. Esta situación se puede
representar de la siguiente forma:
x < 9
Para saber qué cantidades cumplen con esta condición, es necesario conocer
los valores de x, es decir, las cantidades menores que 9 niños.
• En la siguiente recta numérica, marca con azul aquellos números naturales que cumplan con la condición
anterior, por ejemplo 6.
• Si S corresponde al conjunto solución de la desigualdad x < 9, se cumple que: S = {números naturales menores que 9}
• ¿Cuántos números naturales cumplen con la desigualdad mostrada?
Módulo 4 / Inecuaciones
Una inecuación es una
desigualdad entre dos
expresiones que se relacionan
por los símbolos > o < y que
se satisface para uno o varios
valores de su incógnita.
Para resolverla, se debe
encontrar el (los) valor(es)
que satisfacen la desigualdad.
Las soluciones pueden
representarse en una recta
numérica o como conjunto
solución.
Ejemplo: al resolver la inecuación p + 1 < 7 en N0
, se tiene que:
p + 1 < 7 / – 1
p + 1 – 1 < 7 – 1
p + 0 < 6
p < 6
Las soluciones se pueden representar de la siguiente manera:
• Conjunto solución:
S = {números menores que 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
• Recta numérica:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 Cantidad de niños6
Cantidad de niños. Cantidad límite.
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Practica
1. De los números que se muestran, encierra los que satisfacen cada inecuación. Identificar
a. x < 5 8 6 4 9 3 7 2 5
b. 20 > w 20 7 10 14 18 23 15 2
2. Resuelve las siguientes inecuaciones en N0
. Escribe la solución como conjunto y
en la recta numérica. Analizar
3. Observa las balanzas que se muestran. Luego, representa cada caso como una
inecuación. Analizar
Resolver inecuaciones con una incógnita
Ponte a prueba
Observa la siguiente balanza. Luego, escribe la inecuación que representa la condición que
deben cumplir los bloques amarillos en cada caso.
Ser mayor que el lado derecho de la balanza.
Ser menor que el lado derecho de la balanza.
a.
Inecuación
b.
Inecuación
a. x + 2 > 4
S = { }
b. x + 5 < 7
S = { }
x kg
2 kgx kg 1 kg
2 kg
1 kg 1 kg
2 kg 2 kg
6 kg
El conjunto solución de una
inecuación puede tener infinitos
números que la satisfagan. Por
ejemplo:
x + 3 > 7
x + 3 – 3 > 7 – 3
x + 0 > 4
x > 4
Solución: {5, 6, 7, 8, 9, …}
Ojo con...
4 5 6 7 8 9 ...
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Julián tiene 5 años más que Fernando y este tiene 4 años menos que Paulina. Si Paulina tiene 10 años, ¿qué edad
tendrá Julián en 3 años más?
PASO 1 Explica con tus palabras la pregunta del problema.
Se pregunta por la edad de Julián dentro de 3 años.
PASO 2 Identifica los datos importantes.
• Julián tiene 5 años más que Fernando.
• Fernando tiene 4 años menos que Paulina, y ella tiene 10 años.
PASO 3 Calcula y escribe la solución.
Fernando (F) tiene 4 años menos que Paulina (P). Luego, la situación se puede representar con la
ecuación: “F = P – 4”. Como la edad de Paulina es 10 años, este valor se remplaza y se obtiene:
F = P – 4
F = 10 – 4
F = 6 Es decir, Fernando tiene 6 años.
A su vez, Julián (J) tiene 5 años más que Fernando (F). Entonces, se puede plantear la siguiente
ecuación: “J = F + 5”. Al remplazar “F = 6”, se tiene que la edad de Julián es 11 años, ya que:
J = 6 + 5
J = 11
Por lo tanto, la edad de Julián dentro de 3 años será 14 años.
PASO 4 Revisa la solución.
Al resolver el problema, se obtuvo lo siguiente:
• Fernando (F) tiene 6 años.
• Julián (J) tiene 11 años.
• La edad de Julián en 3 años más será de 14 años.
Al remplazar cada uno de estos valores en las ecuaciones planteadas, se tiene que:
F = P – 4 J = F + 5
6 = 10 – 4 11 = 6 + 5
6 = 6 11 = 11
Finalmente la edad de Julián es de 11 años, por lo que en 3 años más tendrá 14 años.
160

Unidad 4
PASO 4 Revisa la solución.
Calcula y escribe la solución.
PASO 3
Identifica los datos importantes.
PASO 2
Explica con tus palabras la pregunta del problema.PASO 1
Ahora hazlo tú
En un mismo día, en un quiosco se vendieron $ 30.000 menos que en un puesto de comida rápida; este vendió
$ 18.000 más que un puesto de artefactos eléctricos, que tuvo una venta de $ 120.000. De acuerdo con las ventas
realizadas ese día, ¿cuánto dinero por ventas recibió el quiosco?
161

El lenguaje permite comprender información importante en contextos
matemáticos
Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) nació en Alemania
y es uno de los más importantes matemáticos de la historia.
Se cuenta de él que un día, a la edad de 9 años,
cuando llegó a la clase de aritmética de la
escuela primaria, el profesor le pidió a él y
a sus compañeros que sumasen todos
los números del 1 al 100. Gauss se paró
a pensar, y en lugar de sumar todos
los números, uno por uno, resolvió
el problema rápidamente.
• Marca con un la expresión que representa en lenguaje natural la fórmula encontrada por Gauss.
El doble de un número multiplicado por el sucesor del mismo número.
La multiplicación entre un número y el sucesor del mismo número, dividido por dos.
• Encierra la opción que representa en forma correcta la suma de los primeros 500 números.
Opción 1 Al valorizar la expresión con n = 500 resulta:
.
2
500 501
2
25 500:
= = 12.750
Opción 2 Al valorizar la expresión con n = 500 resulta:
.
2
500 501
2
250 500:
= = 125.250
162

• ¿Entre qué años vivió Gauss?
• ¿Cuál es la nacionalidad de Gauss?
• ¿A qué edad Gauss calculó esta suma?
• Investiga con tus compañeros el aporte de otro matemático famoso.

Competencia lingüística
Para sumar los 100 primeros números naturales mayores que cero, Gauss notó que, al anotar en forma
creciente y decreciente los números y luego sumarlos, cada uno de los sumandos es igual a 101, es decir:
Creciente 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100
Decreciente 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101
100 veces
Al repetirse 100 veces el sumando 101 y tener 2 veces los 100 primeros números naturales
mayores que cero, se puede simplificar esta adición y calcularla de una manera más directa como:
.
.
2
100 101
2
10 100
5 050
:
= =
Por lo tanto, la adición de los 100 primeros términos es igual a 5.050. Esto se puede generalizar con
la siguiente fórmula:
La suma de los “n” primeros números naturales mayores que cero
es igual a:
( )n n
2
1: +
+
163

164
1. A C DBPor lo tanto, la alternativa B es la correcta.
1. Para que se mantenga el equilibrio en la balanza, ¿cuál debe ser el valor de x?
A. 2
B. 4
C. 8
D. 12
1 kg 3 kg2 kg2 kg3 kg
x kg 1 kg
A. Relaciona las 3 pesas del lado izquierdo con las 3 pesas del lado derecho, como se muestra:
Debido a que la pesa con 2 kilógramos no queda “tachada”, se cree erróneamente que corresponde al valor de “x”.
B. Representa el equilibrio que se muestra en la balanza por medio de la ecuación “x + 4 = 8”. Luego, al
resolverla, obtiene:
x + 4 = 8 /– 4
x + 4 – 4 = 8 – 4
x + 0 = 4
x = 4
C. Relaciona en la balanza todas las pesas del lado izquierdo como una incógnita, creyendo que el valor que se
debe calcular corresponde a todas las pesas del lado derecho.
D. Relaciona correctamente el equilibrio representado en la balanza con la ecuación “x + 4 = 8”. Luego, al
resolverla, aplica una propiedad en forma errada, obteniendo:
x + 4 = 8
x = 8 + 4
x = 12
1 kg 3 kg2 kg2 kg3 kg
x kg 1 kg
B
164

Unidad 4
puntos
2
puntos
3
puntos
3
1. Encierra el patrón que se repite en la secuencia de figuras.
a.
b.
2. Reconoce el patrón de formación único de cada secuencia numérica. Luego, complétala.
a.
b.
c.
3. Analiza las siguientes figuras y completa la tabla. Luego, responde.
¿Cuántos palos de fósforos se necesitan para formar las figuras 10 y 15?
Número de
figuras
Número de palos
de fósforos
300 280 260
5 10 20
256 128 64
Figura 2 Figura 3Figura 1
165

¿Qué aprendiste?
166
puntos
2
puntos
4
puntos
4
4. Observa la siguiente balanza equilibrada. Luego, responde.
¿Cuál es la masa de los plátanos?
5. Resuelve las siguientes ecuaciones.
6. Resuelve las siguientes inecuaciones. Expresa la solución como conjunto y en la recta numérica.
1 kg
1 kg1 kg 2 kg
2
1
kg
2
1
kg
2
a. 1.400 = x + 987 b. 3.520 + x = 2.370 + 5.200
a. 500 > x + 300 – 200 b. 10 + 150 < m – 45
166

Unidad 4
puntos
4
7. ¿Cuál de las siguientes situaciones no se genera por un único patrón de formación?
A. M, P, M, Q, M, S
B.
C.
D.
8. ¿Cuál es el patrón de formación de la siguiente secuencia numérica?
3, 6, 12, 24, 48,…
A. Comienza en 3 y suma 3 cada vez.
B. Comienza en 48 y resta 24 cada vez.
C. Comienza en 3 y aumenta al doble cada vez.
D. Comienza en 3 y aumenta al triple cada vez.
9. En la siguiente secuencia numérica, ¿cuál es la diferencia entre el noveno y el duodécimo
término?
235, 220, 205, 190,…
A. 3
B. 45
C. 70
D. 115
10. Si p y q son el largo y el ancho de un rectángulo, ¿cuál de las siguientes expresiones
representa su perímetro?
A. 2 • p + 2 • q
B. 2p • 2q
C. p + q
D. p • q
167

¿Qué aprendiste?
168
puntos
4
11. Un niño tiene cierta cantidad de dinero (x) y gasta $ 1.500 en un juguete. ¿Cuál de las
siguientes expresiones representa la situación planteada?
A. 1.500 • x
B. x – 1.500
C. 1.500 – x
D. x + 1.500
12. Si a = 12, b = 4 y c = 7, ¿cuál es el valor de la expresión a – c + 2 • b?
A. 28
B. 13
C. 8
D. 5
13. ¿Para cuál de las siguientes ecuaciones x = 3 no es solución?
A. x + 5 = 8
B. x + 6 = 10
C. 5 – x = 2
D. x – (5 – 2) = 0
14. Si la siguiente balanza está equilibrada, ¿cuál es la masa de todas las naranjas que se
muestran?
A. 2 kg
B. 4 kg
C. 4
2
1
kg
D. 6
2
1
kg
2
1
kg
1 kg1 kg
2 kg2 kg 2 kg
168

Unidad 4
puntos
4
15. Joaquín tiene 24 hectáreas y Ramón, 28 hectáreas. Si a las que tiene Luis se le aumentan
18 hectáreas, tendría la misma cantidad que suman las de Joaquín y Ramón. ¿Cuál de las
siguientes ecuaciones representa esta situación?
A. x + 18 = 24
B. x + 18 = 28
C. x – 18 = 52
D. x + 18 = 52
16. Sean m = 2, n = 8 y p = 10. ¿Cuál de las siguientes desigualdades es verdadera?
A. m + n < p
B. p – n > m
C. n + m > p +1
D. m • n > p + m
17. En los números naturales, ¿qué inecuación tiene por solución la recta numérica que se
muestra?
A. x – 5 < 19
B. x + 5 < 19
C. x – 5 > 19
D. x + 5 > 19
18. Sea x un número natural. ¿Cuál es el conjunto solución “S” de la inecuación
17 + x > 38?
A. S = {21, 22, 23, 24,…}
B. S = {22, 23, 24, 25,…}
C. S = {1, 2, 3,…, 19, 20, 21}
D. S = {1, 2, 3,…, 19, 20, 21, 22}
15 1610 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
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169
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Completa tus datos.
Evaluación integradora tipo SimceEvaluación integradora tipo Simce MR
Nombre:
Curso: Fecha:
1. ¿En cuál de las siguientes alternativas el dígito que se ubica en la centena de millón es igual al que se ubica
en la centena?
A. 145.190.490
B. 265.890.200
C. 367.560.599
D. 456.987.196
2. La expresión 4 UMMi + 5 DMi + 9 UM + 1 D, ¿a qué número corresponde?
A. 4.591
B. 4.059.010
C. 4.050.009.010
D. 4.050.019.000
3. ¿Qué alternativa corresponde a una descomposición del número 3.400.070.001?
A. 3.000.000.000 + 400.000 + 70.000 + 1
B. 3.000.000.000 + 400.000.000 + 70.000 + 1
C. 3.000.000.000 + 4.000.000.000 + 70.000 + 1
D. 3.000.000.000 + 400.000.000 + 7.000.000 + 1
4. A continuación, se muestran 4 ofertas de celulares. ¿Qué afirmación es verdadera?
A. El modelo 3 tiene un precio mayor que el modelo 1.
B. El modelo 2 es más económico que el modelo 4.
C. El modelo 3 tiene el precio menor.
D. El modelo 4 tiene el precio mayor.
Modelo 1: $ 89.990 Modelo 2: $ 129.990 Modelo 3: $ 79.990 Modelo 4: $ 109.990
170

Quinto básico
A. 457.760.912
B. 456.761.000
C. 456.761.912
D. 457.000.000
A. 52.710
B. 52.810
C. 62.810
D. 144.770
A. $ 15.770
B. $ 29.990
C. $ 61.570
D. $ 75.570
A. 10 • 20 + 3
B. 10 • 10 + 10 • 3
C. 10 • 20 + 10 • 3
D. 10 • 10 + 10 • 23
A. 12.600 • 350
B. 12.500 • 340
C. 12.690 • 355
D. 12.590 • 345
171

Evaluación integradora tipo Simce MR
10. ¿Qué alternativa describe la propiedad de la clausura de la multiplicación?
A. El orden de los factores no altera el producto.
B. El producto de dos números naturales corresponde a un número natural.
C. Si se multiplica cualquier número natural por 1, el producto es el mismo número natural.
D. Los factores de una multiplicación pueden asociarse de diferentes maneras y se obtiene el mismo producto.
11. Si en una división el dividendo es 550 y el divisor 3, ¿cuál es el resto?
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
12. En una división, el dividendo es 24.590, el divisor es 12, el cociente es 2.049 y el resto es 2. ¿Qué
alternativa representa una comprobación de esta división?
A. 24.590 = 12 • 2.049 – 2
B. 24.590 = 2 • 2.049 + 12
C. 24.590 = 12 • 2.049 + 2
D. 24.590 = 2 • 2.049 – 12
13. ¿Cuál es el resultado de la siguiente expresión?
A. 7.057
B. 14.914
C. 22.691
D. 46.182
14. Una empresa compra 12 computadores, cada uno con un precio de $ 499.990. Si la empresa pagará en
efectivo $ 5.000.000 y el saldo lo pagará en 2 cuotas del mismo valor, ¿qué alternativa permite calcular el
precio de cada cuota?
A. 499.000 : 12 – 5.000.000 : 2
B. (12 • 499.000) – 5.000.000 • 2
C. 12 • (499.000 – 5.000.000) : 2
D. (12 • 499.000 – 5.000.000) : 2
23.451 + 120 : 3 – 400 • 2
172

Quinto básico
15. ¿Qué fracciónes es equivalente a la fracción representada?
A.
3
2
B.
12
9
C.
10
8
D.
8
12
16. ¿Qué fracción es menor que la fracción
12
4
?
A.
2
1
B.
3
2
C.
10
2
D.
15
5
17. El número mixto 2
5
4
, ¿a qué fracción corresponde?
A.
5
10
B.
5
14
C.
5
11
D.
5
40
18. Luz ha bebido hoy tres octavos de litro de leche y su hermano Alexis ha tomado dos octavos de litro más
que ella. ¿Qué cantidad de leche ha bebido Alexis?
A.
8
1
B.
8
2
C.
8
3
D.
8
5
173

Evaluación integradora tipo Simce MR
19. Una construcción tiene 780 departamentos. Si se han construido
12
7
del total de los departamentos,
¿cuántos faltan por construir?
A. 315 departamentos.
B. 325 departamentos.
C. 445 departamentos.
D. 550 departamentos.
20. ¿Qué número es mayor que 3,567?
A. 3,557
B. 3,566
C. 3,570
D. 3,564
21. Se han depositado
8
5
litros de agua en un recipiente. ¿A qué número decimal corresponde esa cantidad de
litros?
A. 0,62
B. 0,625
C. 0,635
D. 6,25
22. ¿Cuál es el patrón de formación de este grupo de números?
7.720 7.840 7.960 8.080
A. Sumar 20.
B. Sumar 80.
C. Sumar 100.
D. Sumar 120.
174

Quinto básico
23. Una secuencia numérica comienza con el número 23 y su patrón de formación es “sumar 7”. ¿Qué
alternativa representa esta descripción?
A. 23, 30, 36, 44, 51,...
B. 23, 30, 37, 44, 50,...
C. 23, 30, 37, 44, 52,...
D. 23, 30, 37, 44, 51,...
24. En una secuencia numérica el patrón de formación es “restar 8”. Si el décimo término es 90, ¿cuál es el
séptimo término?
A. 66
B. 98
C. 106
D. 114
25. Si la balanza está equilibrada, ¿cuál es el valor de la incógnita?
A. 12
B. 14
C. 29
D. 44
26. Ana compró una fruta con una moneda de $ 500 y le dieron $ 350 de vuelto. ¿Qué ecuación permite
encontrar el precio del objeto comprado por Ana?
A. 500 + x = 350
B. x – 500 = 350
C. 500 = 350 – x
D. 350 + x = 500
27. En la inecuación: z + 3 > 10, ¿qué alternativa no corresponde a un valor de z?
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
12 kg 17 kgx kg 15 kg
175

Prepara la prueba 1 • Síntesis Nombre: Curso:
Casa del Saber
Comprobación de una adición
5.211.004 + 3.623.142 = 8.834.146
8.834.146 – 5.211.004 = 3.623.142 8.834.146 – 3.623.142 = 5.211.004
Comprobación de una sustracción
7.661.419 – 3.541.114 = 4.120.305
4.120.305 + 3.541.114 = 7.661.419 7.661.419 – 4.120.305 = 3.541.114
Clausura
1.584 y 3.222 ! N, entonces 1.584 + 3.222 ! N.
Conmutativa
2.001.542 + 1.058.777.114 = 1.058.777.114 + 2.001.542
Elemento neutro
1.547.545.111 + 0 = 1.547.545.111
Asociativa
3.154 + (26.587 + 254.545) = (3.154 + 26.587) + 254.545
Módulo 1
Módulo 2
Módulo 3
Lectura y
escritura
RedondeoEstimación
Recta
numérica
Aproximación
Composición
y descomposición
Orden y
comparación
Grandes números
Sustracción
Estándar Expandida
Sumandos Suma Clausura Conmutativa Elemento neutro Asociativa
Términos Propiedades
de la adición
Adición
Términos Comprobación entre una
adición y una sustracción
SustraendoMinuendo Diferencia
Expandida
8 • 1.000.000 + 2 • 100.000 + 3 • 10
Estándar
8.000.000 + 200.000 + 30
8.200.030
Composición y descomposición

Casa del Saber
Prepara la prueba 1 • Repaso
Módulo 2: Adición
6. Resuelve las siguientes adiciones.
7. Escribe la propiedad utilizada en cada caso.
a. 21.547 + 120.254 = 120.254 + 21.547
b. 1.254.100.390 + 0 = 1.254.100.390
c. 3.250 + (30 + 4) = (3.250 + 30) + 4
Módulo 3: Sustracción
8. Resuelve las siguientes sustracciones.
9. Completa con el número que falta.
Módulo 1: Grandes números
Lee la siguiente información y luego responde.
1. Escribe con palabras la cantidad de residuos producidos por estas regiones:
a. Valparaíso
b. La Araucanía
2. Escribe el valor posicional pedido con respecto a la cantidad de residuos producidos en la
Región Metropolitana.
3. Descompón en la forma pedida la cantidad del residuo total producida por Chile.
4. Redondea a la decena de mil las cantidades de residuos de las siguientes regiones.
5. Ubica en la recta numérica la cantidad de residuos producida por las regiones consideradas.
a. Unidad de mil b. Unidad de millón
a. Estándar b. Expandida
a. Región del Biobío b. Región de La Araucanía
El año 2009 Chile produjo 6.517.458 toneladas de residuos sólidos. A continuación, se
muestra la producción de residuos, en toneladas, de algunas regiones.
Región del Biobío 645.875 Región de La Araucanía 425.234
Región Metropolitana 2.807.247 Región de Valparaíso 587.600
Fuente: Primer reporte del manejo de residuos sólidos en Chile, 2010, www.conama.cl
a. b. c. 2.258.320
+ 9.042.689
35.210.223
+ 73.899.778
365.892.100
+ 752.210.992
a. b. c. 1.254.369
– 584.210
325.254.210
– 284.998.100
8.254.100.391
– 6.510.982.089
a. b.
7.550.134.689
9.482.804.834
+
1.932.670.145– 515.578.320–
515.578.320
638.948.772
+
Resolución ResoluciónComprobación Comprobación
Desprende,respondey pega en tu cuaderno
PegaaquíPegaaquíPegaaquíPegaaquíPegaaquí

Casa del Saber
Módulo 1
Estimación
de productos
Múltiplos y
factores
Estrategias de
cálculo mental
Multiplicación entre
números naturales
Mínimo común
múltiplo (mcm)
Propiedades de
la multiplicación
Antonio compró 12 naranjas y 15 manzanas. Si cada una de estas frutas tiene un valor de $ 120,
¿cuánto dinero gastó Antonio en frutas?
Esta situación se expresa:
120 • (12 + 15) = 120 • 12 + 120 • 15 = 1.440 + 1.800 = 3.240
Por lo tanto, Antonio gastó $ 3.240 en estas frutas.
Módulo 2 División entre
números naturales
Divisores y criterios
de divisibilidad
Máximo común
divisor (MCD)
Comprobación
de la división
Módulo 3 Operaciones
combinadas
Comprobar usando
la calculadora
Sustracción MultiplicaciónAdición División
Propiedad distributiva
Un colegio tiene 345 estudiantes. ¿Cuántos buses con 25 asientos cada uno se necesitan para
que todos los estudiantes vayan a una excursión? ¿Y cuántos asientos sobran?
Para resolver este problema se puede plantear la siguiente división:
345 : 25 = 13
95
20
Por lo tanto, se necesitarían 14 buses y sobrarían 5 asientos.
Cantidad de buses completos.
Asientos que faltan.
Operaciones combinadas
Resolver las operaciones entre paréntesis.
Prioridad de la multiplicación sobre la adición
y la sustracción.
Resolver de izquierda a derecha.
Calcular el resultado final.
(68 • 568) – 2 + 7 • (169 : 13)
38.624 – 2 + 7 • 13
38.624 – 2 + 91
38.622 + 91
38.713

Casa del Saber
Módulo 2: División
5. Resuelve la siguiente situación problema.
Un curso ha impreso 1.900 volantes para promocionar la kermés de su colegio. Si se repartió
la misma cantidad de volantes entre 26 estudiantes, ¿cuántos volantes sobran?
6. Observa las siguientes divisiones. Luego, completa con la comprobación correspondiente.
a. 26.001 : 14 • 14 +
b. 195.000 : 25 • 25 +
c. 1.965.214 : 36 • +
d. 7.568.000 : 100 • 100 +
Módulo 3: Operatoria combinada
7. Resuelve las siguientes operaciones.
Módulo 1: Multiplicación
1. Lee la siguiente situación problema y responde.
Matías reúne 310 kg de latas de aluminio para reciclar y donar el dinero recaudado a un hogar.
Si el kg de lata tiene un valor de $ 360, ¿cuánto dinero logrará reunir?
2. Estima las siguientes multiplicaciones, redondeando cada factor a la decena.
3. Une cada multiplicación de la columna A, con su resultado en la columna B.
Columna A Columna B
463 • 10.000 46.300
4.630 • 10 46.300.000
4.630 • 10.000 4.630.000.000
46.300.000 • 100 4.630.000
4. Completa con el número que falta. Luego, escribe la propiedad utilizada.
a. 3.874 • = 34 •
b. 32 • ( + 13) = 32 • 5 + • 13
c. • 1 = 684.125
a. 463 • 21
b. 8.520 • 142
c. 3.625 • 19
d. 9.999 • 999
a. (645 • 254) – 658 • (368 : 2) = b. (2.256 : 3) + 387 • 5 – 4 =

Casa del Saber
la meta?
Al resolver el problema, se tiene: 14,127 Comprobación: 1,6 70
– 12,4 57 + 12,4 57
1,6 70 14,127
Módulo 1
Módulo 2
Módulo 3
Números decimales
División con
resultado decimal
De fracción
a número decimal
Lectura
y escritura
Recta
numérica
Adición y
sustracción
Orden y
comparación
Lectura y
escritura
Orden y
comparación
Recta
numérica
Amplificación y
simplificación
Equivalencia de
fracciones
Fracciones
Impropia
Número mixto
Equivalente
a la unidad
Propia
Clasificación
Operatoria
con fracciones
Fracción
de un número
Con igual
denominador
Con distinto
denominador
de fracciones
12
14
6
7
1
6
1
24
28
1
24
4
Número
mixto
Número
mixto
Equivalente
al simplificar por 2
al amplificar por 2
Para resolver la adición de
6
3
y
4
5
, se amplifica para igualar sus denominadores. De esta
forma se tiene:
6
3
6 2
3 2
12
6
:
:
= =
4
5
4 3
5 3
12
15
:
:
= =
:
:
6
3
4
5
12
6
12
15
12
21
3
21 3
4
7
1
4
3
12
+ = + = = = =

Casa del Saber
Módulo 2: Operatoria con fracciones
4. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.
5. Calcula la fracción de cada número.
Módulo 3: Números decimales
6. Escribe con palabras los siguientes números decimales.
a. 1,002
b. 105,92
7. Ordena en forma creciente los siguientes números decimales.
a. 1,54; 1; 1,48; 1,02; 1,52
b. 0,002; 0,047; 0,098; 0,992
8. Escribe como número decimal las siguientes fracciones.
9. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.
Módulo 1: Fracciones
1. Escribe con palabras las siguientes fracciones. Luego, clasifícalas en
fracciones propias, impropias o equivalentes a la unidad.
Escritura Clasificación
a.
3
7
b.
12
7
c.
9
9
2. Completa con las fracciones que falten.
a. Al simplificar por 4 la fracción
36
32
, resulta la fracción equivalente .
b. Al amplificar por 3 la fracción
7
8
, resulta la fracción equivalente .
c. Al simplificar por 2 la fracción , resulta la fracción equivalente
2
5
.
3. Ubica en la recta numérica las siguientes fracciones.
8
7
;
4
7
;
2
3
;
12
12
a. 1
12
1
–
12
12
= b.
5
3
+
1
2
0
= c.
3
8
–
12
6
=
a.
12
5
b.
4
9
c.
10
7
a. 3,45 + 7,21 = b. 14 – 12,910 = c. 0,870 + 1,2 =
a.
9
4
de 108 b.
5
7
de 1.550 c.
12
4
de 4.440
0 1 2

Casa del Saber
Módulo 2
Módulo 3
Ecuaciones
Igualdad Planteamiento
de ecuaciones
Situaciones
problema
Propiedades de la
igualdad
Módulo 4
Inecuaciones
Desigualdad Planteamiento y
resolución de problemas
Propiedades de
la desigualdad
Módulo 1 Secuencia
Cálculo y predicción
de términos
Patrón de formación Numérica
Expresiones
algebraicas
Valoración de expresiones
algebraicas
Lenguaje algebraico
Valoración de expresiones algebraicas
Al calcular el valor de la expresión 2w + 13, con w = 7, se obtiene:
2w + 13 = 2 • 7 + 13
= 14 + 13
= 27
Propiedades de la desigualdad
Si se suma un mismo número en ambos
lados de la desigualdad, esta se mantiene.
2.500 > 2.158 / + 300
2.500 + 300 > 2.158 + 300
2.800 > 2.458
Si se resta un mismo número en ambos
lados de la desigualdad, esta se mantiene.
3.200 < 4.900 / – 1.500
3.200 – 1.500 < 4.900 – 1.500
1.700 < 3.400
La edad de Andrea disminuida en 5 años equivale a 15 años.
x – 5 = 15
La ecuación es: x – 5 = 15
Patrón de formación: + 4
5 9 13 ...
...
+ 4 + 4 + 4
Cantidad de palos

Casa del Saber
Módulo 3: Ecuaciones
5. Calcula el valor que satisface cada igualdad.
a. x + 814.658 = 3.000.000
b.
5
1
+
5
4
= p –
5
3
6. Plantea la ecuación correspondiente. Luego, responde.
a. Jaime nació 5 años después que su hermano. Si el hermano nació el año 1999, ¿cuántos
años tendrá Jaime el año 2015?
Ecuación: Respuesta:
b. Un número disminuido en 15 unidades equivale a 150 unidades. ¿Cuál es el triple de ese
número?
Ecuación: Respuesta:
Módulo 4: Inecuaciones
7. Observa la siguiente balanza. Luego, responde.
Módulo 1: Patrones y secuencias
1. Encierra el patrón de formación presente en cada secuencia.
a. …
b. …
2. Escribe el patrón de formación de las siguientes secuencias numéricas.
a. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,...
b. 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000,…
3. Calcula el término pedido.
a. El décimo término de la secuencia 5, 11, 17, 23,…
b. El undécimo término de la secuencia 5, 10, 20, 40,…
Módulo 2: Lenguaje algebraico
4. Lee la siguiente información y luego responde.
Claudia y Sandra organizan vasos en cajas de 12 y 10 unidades, respectivamente.
a. Expresa el total de vasos ordenados considerando
que Claudia completó p cajas y Sandra, q cajas.
b. Si Sandra completó 45 cajas y Claudia 36 cajas,
¿cuántos vasos lograron ordenar?
y
6 kg
1.000 g1.000 g
2.000 g 2.000 g
a. Encierra la desigualdad que representa la
situación.
12.000 < y 12.000 > y
b. Pinta los recuadros que satisfacen la
desigualdad mostrada en la balanza.
11.000 g 12.000 g 1.000 g
x =
p =

Matemática básico
La salud y la seguridad
también son parte de tu educación
5°

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