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Conjunto numerico, lorenny colmenares
- 1. CONJUNTO NUMÈRICO República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco” Barquisimeto, Estado Lara Autora: Lorenny Colmenares. Prof. Consuelo Pérez. CI: V-27.666.482 Matemática Inicial Grupo C BARQUISIMETO, FEBRERO 2021
- 2. Definición de conjunto En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Operaciones con conjuntos. Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son: Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B. Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B. Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene los elementos de A y B que no son comunes.
- 3. Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A. Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B. Propiedades Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números naturales. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión. Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional. Números reales. Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ. La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la interpretación matemática de efectos como los fenómenos eléctricos. Características de los números reales Además de las características particulares de cada conjunto que compone el súper conjunto de los números reales, mencionamos las siguientes características.
- 4. Orden Todos los números reales tienen un orden. En el caso de las fracciones y decimales: Integral La característica de integridad de los números reales es que no hay espacios vacíos en este conjunto de números. Esto significa que cada conjunto que tiene un límite superior, tiene un límite más pequeño. Infinitud Los números irracionales y racionales son infinitamente numerosos, es decir, no tienen final, ya sea del lado positivo como del negativo. Expansión decimal Un número real es una cantidad que puede ser expresada como una expansión decimal infinito. Se usan en mediciones de cantidades continuas, como la longitud y el tiempo. Cada número real se puede escribir como un decimal. Los números irracionales tienen cifras decimales interminables e irrepetibles, por el ejemplo, el número pi π es aproximadamente 3,14159265358979... Clasificación de los números reales
- 5. Conjuntos de los números reales. Números naturales De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6,...hasta el infinito. El conjunto de los números naturales se designa con la letra mayúscula N. Todos los números están representados por los diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, que reciben el nombre de dígitos. Ejemplo Los números naturales nos sirven para decir cuántos compañeros tenemos en clases, la cantidad de flores que hay en un ramo y el número de libros que hay en una biblioteca. Números enteros El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números simétricos. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números negativos se denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z y se representa como: Un número simétrico es aquel que sumado con su correspondiente número natural da cero. Es decir, el simétrico de n es -n, ya que: Los enteros positivos son números mayores que cero, mientras que los números menores que cero son los enteros negativos. Los números enteros nos sirven para: Representar números positivos: ganancias, grados sobre cero, distancias a la derecha; Representar números negativos: deudas, pérdidas, grados bajo cero y distancias a la izquierda.
- 6. Ejemplos En el polo Norte la temperatura está por debajo de 0ºC durante casi todo el año, entre - 43 ºC y -15ºC en invierno. Una persona compra un vehículo por 10.000 pesos pero solo tiene 3.000 pesos. Esto significa que queda debiendo 7.000 pesos. Desigualdad. En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. La notación a < b significa a es menor que b; La notación a > b significa a es mayor que b Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que" La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b; La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables. Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del
- 7. elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor. Valor absoluto de un número entero. El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales. |−5| = 5 |5| = 5 Valor absoluto de un número real. Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo. |5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0 |x| = 2 x = −2 x = 2 |x|< 2 − 2< x < 2 x (−2, 2) |x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞, −2) ∪ (2, +∞) |x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5 − 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7 Propiedades del valor absoluto 1. Los números opuestos tienen igual valor absoluto. |a| = |−a| |5| = |−5| = 5 2. El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. |a · b| = |a| ·|b| |5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
- 8. 3. El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos. |a + b| ≤ |a| + |b| |5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| ≤ |5| + |2| 3 ≤ 7 Desigualdades de valor absoluto. Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. Desigualdades de valor absoluto (<): La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es: Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b . Ejemplo 1: Resuelva y grafique. | x – 7| < 3 Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta. x – 7 < 3 Y x – 7 > –3 –3 < x – 7 < 3
- 9. Sume 7 en cada expresión. -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7 4 < x <10 La gráfica se vería así: