unidad 9.2
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Este documento explica los conceptos de igualdad, congruencia y semejanza en geometría. Define la igualdad como cuando dos figuras coinciden en forma y tamaño al superponerse, y la congruencia como cuando coinciden en forma y tamaño pero no necesariamente al superponerse. Explica las tres transformaciones de congruencia (reflexión, traslación y rotación) y la transformación de semejanza conocida como dilatación.
unidad 9.2
- 1. |1| Unidad 9.2: Congruentes y semejantes Tema 1: Transformaciones y los triángulos Lección 1.1: Igualdad, congruencia y semejanza En el mundo de las figuras geométricas, podemos percibir cosas que en ocasiones no son reales. Cuando comparamos dos figuras nos pueden parecer iguales, semejantes o congruentes. Veamos cada uno de estos casos. ¿Igualdad o congruencia? En el mundo geométrico, la igualdad ocurre cuando dos figuras son iguales cuando superpuestas coinciden, tanto en forma como en tamaño. Es decir, si dos figuras son iguales, entonces tienen lados de la misma longitud y ángulos con las mismas medidas. Veamos un ejemplo de dos triángulos, encontraremos los lados y ángulos congruentes (≅), entre ambas figuras.
- 2. |2| Veamos un ejemplo en el que la meta es encontrar las variables en ambas figuras. 𝑥 = 𝑚∡ 𝐶 = 𝑚∡ 𝐴, por tanto, 𝑥 = 100° 𝑤 = 𝑚∡ 𝐺 = 𝑚∡ 𝐸, por tanto, 𝑥 = 80° En conclusión, 𝐴𝐵𝐹𝐸 ≅ 𝐶𝐷𝐻𝐺. La igualdad, en ocasiones, se confunde con congruencia. La congruencia ocurre cuando dos figuras son iguales, tanto en forma y tamaño, pero no necesariamente coinciden superpuestas.
- 3. |3| De esta manera, podemos ver que dos figuras pueden ser congruentes, aunque pasen por una transformación o cambio. Existen varias transformaciones en las que las figuras guardan la relación de congruencia. Veámoslas. Transformaciones de congruencia Las tres transformaciones de congruencia solo cambian la posición de la figura, no se afectan el tamaño ni la forma de la figura original. Veamos algunos ejemplos. Reflexión geométrica a) Reflexión de un segmento El eje de x es la línea de reflexión. La distancia entre cada segmento y la línea de reflexión es igual, 2 unidades.
- 4. |4| b) Reflexión de un ángulo El eje de y es la línea de reflexión. Cada ángulo tiene la misma medida, 90°. Cuando reflejas es como si la línea de reflexión fuera un espejo. Es como tus manos: la derecha es reflejo de la izquierda y viceversa. c) Reflexión de un triángulo El triángulo amarillo y el naranja tienen reflexión con respecto al eje de y como línea de reflexión. El triángulo amarillo y el azul tienen reflexión con respecto al eje de x como línea de reflexión.
- 5. |5| De la misma manera que se refleja un triángulo se pueden reflejar todas las figuras bidimensionales. Debes recordar que reflejar es ver como una imagen de espejo. Veamos un último ejemplo, tomando en consideración las coordenadas de un plano. Cada punto tiene sus coordenadas. Cuando vamos a reflejar, buscamos la reflexión de cada punto de coordenada. Tomemos el eje de y como la línea de reflexión.
- 6. |6| Observa las reflexiones de cada punto: A → H B → E C → F D → G Por último, trazamos la figura. Observa, como la línea de reflexión es el eje de y, las coordenadas de los puntos en y no cambian. Las coordenadas en x son opuestas. Traslación geométrica La transformación de congruencia, llamada traslación, es aquella en la que la figura, ángulo, segmento o cualquier objeto se mueven en la misma dirección y a la misma distancia, en todas sus partes.
- 7. |7| Cuidado con confundir la reflexión y la traslación Veamos algunos ejemplos de diferentes formas de trasladar una figura. Observa los detalles de cada figura. Cada segmento entrecortado mide 5 cm, de eso se trata, trasladar la figura la misma distancia en cada punto. También, podemos ver traslaciones de un cuadrante a otro en el plano cartesiano.
- 8. |8| Rotación geométrica La transformación de congruencia, llamada rotación, es aquella en la que giramos las figuras o los objetos. Les damos vuelta a todas sus partes en una misma dirección. No cambia de tamaño ni de forma. Veamos algunos ejemplos. Rotación de 90° - quiere decir que el giro forma un ángulo de 90° Observa que cuando la A gira a la izquierda, su rotación es positiva. Si el giro de A es a la derecha, su rotación es negativa. El signo significa dirección, es decir hacia dónde va a girar la figura. Veamos otro ejemplo.
- 9. |9| Hasta el momento hablamos de transformaciones de congruencia que no afectan el tamaño ni la forma de la figura. Sin embargo, existe una transformación que guarda relación de congruencia, pero su tamaño es diferente. Esta transformación se llama dilatación. La dilatación, mejor conocida como semejanza, sucede cuando la relación entre figuras es por un factor escalar. Dilatación o semejanza En geometría, llamamos semejantes a aquellas figuras geométricas que guardan la misma forma, pero tienen distintos tamaños. En este caso, observamos que los lados tienen diferentes longitudes, pero los ángulos guardan la misma relación. Sería interesante que pudieras ver una plataforma digital que te ayudará a visualizar este caso. Parte de los enlaces que aparecen al final de esta lección son herramientas digitales que te ayudarán mucho. Veamos la semejanza entre dos cuadriláteros cuyos tamaños son distintos, pero sus ángulos guardan relación en sus medidas. Observa que los arcos que señalan los ángulos significan congruencia entre las dos figuras. Identifiquemos las conjeturas en términos de los ángulos:
- 10. |10| Veamos ahora la relación de semejanza entre dos triángulos. Recuerda, sus ángulos son congruentes y sus lados son proporcionales. Es decir, sus lados tienen un factor escalar que nos indica la proporción de sus lados. Observa la relación entre los lados. 𝐴𝐵̅̅̅̅ corresponde a 𝐷𝐸̅̅̅̅ 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 4 y 𝐷𝐸̅̅̅̅ = 2 La razón entre los lados es: 4 2 Por lo tanto, el factor escalar es 2. Comprobar: 𝐴𝐵̅̅̅̅ 𝐸𝐷̅̅̅̅ = 4 2 = 2
- 11. |11| 𝐵𝐶̅̅̅̅ 𝐸𝐹̅̅̅̅ = 3 1.5 = 2 𝐶𝐴̅̅̅̅ 𝐹𝐷̅̅̅̅ = 5 2.5 = 2 En conclusión, ∆𝐴𝐵𝐶 es semejante a ∆𝐷𝐸𝐹 → ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹. Repasando Para ver que todo tiene conexión, te recomiendo que realices las actividades de cada lección. Verás cómo podemos aplicar los conceptos estudiados en esta unidad.
- 12. |12| Si deseas conocer más sobre las lecciones, puedes pulsar en los siguientes enlaces: Congruencias y semejanzas - http://tube.geogebra.org/student/m35443 - http://tube.geogebra.org/student/m1001275 - http://tube.geogebra.org/student/m93169 - http://tube.geogebra.org/student/m124710 Referencias Boyd, C., Burril, G., Cummins, J., Kanold, T. & Malloy, C. (1998). Geometry. USA: Glencoe McGraw-Hill. Larson, R., Boswell, L., Kanold, T. & Stiff, L. (2011). Geometry. USA Holt McDougal: Houghton Mifflin Harcourt. Prentice Hall (2011). Geometry. USA: Pearson Education.