Teorico de inecuaciones
- 1. INECUACUACIONES Llamaremos inecuación de primer grado o lineal con dos incógnita a cualquier inecuación equivalente a: byax + <c, ,cbyax ≤+ byax + >c, cbyax ≥+ donde ℜ∈cba ,, Representación gráfica Las soluciones de una inecuación lineal con dos incógnitas puede representarse gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas asignando a cada par de valores x e y de una solución el punto (x;y) del plano de coordenadas. La representación grafica de las soluciones de una inecuación con dos incógnitas es un semiplano. Si en la inecuación aparecen los signos de: ≥≤ o , las coordenadas de los puntos de la recta que determina el semiplano solución también son solución de la inecuación. Para determinar el semiplano solución basta con tomar un punto situado en uno de los semiplanos y comprobar si sus coordenadas verifican la inecuación: • Si la verifican las coordenadas de los puntos del semiplano escogido serán solución de la inecuación. • En caso contrario, las soluciones de la inecuación serán las coordenadas de los puntos del otro semiplano. Resuelve gráficamente la inecuación 3x-y<2. Resuelve gráficamente la inecuación x+y ≥ 0 • -Representamos la recta 3x-y=2 que equivale a Y=3x-2. • -Consideramos un punto de uno de los semiplanos en que queda dividido el plano y sustituimos sus coordenadas en la inecuación. Tomamos por ejemplo el punto (0,0): ¿3.0-0<2? → 0<2. • Las coordenadas del punto (0,0) son solución de la inecuación y también lo son las coordenadas de todos los puntos del semiplano que lo contiene. • Sombreamos el semiplano solución y marcamos con un trazo discontinuo a la recta y=3x-2. • Con ello indicamos que las coordenadas de los puntos de dicha recta no son solución de la inecuación ya que se trata de una desigualdad estrictamente menor (<). • -Representamos la recta x+y=0 que equivale a Y=-x. • Consideramos un punto de uno de los semiplanos en que queda dividido el plano y sustituimos sus coordenadas en la inecuación. Tomamos por ejemplo el punto (0,-1): ¿0+(-1) ≥0? → -1≥0 • Las coordenadas del punto (0,-1) no son solución de la inecuación y tampoco lo son las coordenadas de todos los puntos del semiplano que lo contiene. • Por lo tanto la soluciones serán las coordenadas de los puntos del otro semiplano. • Sombreamos el semiplano solución y marcamos con un trazo continuo a la recta y=-x. • Con ello indicamos que las coordenadas de los puntos de dicha recta son solución de la inecuación ya que se trata de una desigualdad no estricta (≥). SISTEMA DE INECUACIONES y = 3 x - 2 y = - x
- 2. 10=+ yx 6=− yx Llamaremos sistema lineal de inecuaciones con dos incógnitas a un conjunto de inecuaciones lineales con dos incógnitas que debe verificarse simultáneamente. Las soluciones del sistema son valores de x e y que satisfacen a la vez todas las inecuaciones. Representación gráfica de las soluciones. Considerando el sistema: ≥− ≤+ 6 10 yx yx Se resuelven gráficamente ambas inecuaciones, representando en la figura los semiplanos solución de ambas inecuaciones. La solución del sistema son las coordenadas de los puntos que pertenecen a la vez a los dos semiplanos solución (región doblemente sombreada). Por ejemplo el punto (6;-6) es común a ambos semiplanos, por lo tanto x=6 e y=-6 es solución de ambas inecuaciones y en consecuencia del sistema. PROGRAMACIÓN LINEAL Aunque en el curso de este año resolveremos problemas de programación lineal con dos variables, este tipo de análisis se utiliza en casos donde intervienen cientos e incluso miles de variables. En general, la programación lineal se sitúa en el marco de la investigación operativa, un conjunto de técnicas racionales de análisis y de resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables. El nombre programación lineal no procede, como pueda parecer de la creación de programas para ordenadores, sino de un término militar, programar, que significa “realizar planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate. La programación lineal se usa para asignar recursos planear la producción, el horario de los trabajadores y la cartera de inversión y formular estrategias de mercado. La versatilidad y el impacto económico de la programación lineal en el mundo industrial actual son realmente impresionantes. Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar una función lineal denominada Función Objetivo, sujeta a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. MÉTODO DE RESOLUCIÓN ALGEBRAICO.
- 3. 1200=+ yx 0=y 0=x REGION FACTIBLE Dado un problema, la solución si existe ha de ser solución del sistema de inecuaciones formado por las restricciones, resolvemos en primer lugar dicho sistema. La región del plano obtenida se denomina región factible. Esta puede ser acotada o no. Se puede demostrar que la solución del problema se encuentra siempre en la frontera de la región factible. Para encontrar dicha solución debemos hallar los vértices de esta región y calcular el valor de la función objetivo en cada uno de ellos. El vértice en que esta toma el valor extremo es la solución del problema. Si la función es máxima (o mínima) en dos vértices, la solución optima se sitúa en cualquiera de los puntos del segmento que los une. Ejemplo: Una empresa produce un refresco en dos envases distintos, uno descartable y el otro retornable. Por cada refresco en envase retornable, gana $10 y por cada refresco en envase descartable gana $6 Sabiendo que por día como máximo produce 1200 refrescos, averigua cuantos refrescos de cada tipo debe fabricar en un día para obtener una ganancia máxima. Llamaremos x a los envases retornables e y a los desechables Sabemos que: La cantidad de envases de cada tipo es una cantidad mayor o igual que cero por lo tanto: 0≥x e 0≥y Cómo máximo se producen en total 1200 refrescos, lo cual podemos escribir como: 1200≤+ yx La ganancia la podemos representar por medio de la siguiente ecuación: yxG 610 += la cual es nuestra Función Objetivo. xy −=1200 Representamos gráficamente esta recta
- 4. Por lo tanto para que la ganancia sea máxima debe fabricar 1200 refrescos en envases retornables. Para encontrar el semiplano solución de la inecuación 1200≤+ yx debemos elegir un punto de uno de los semiplanos y ver si verifica la inecuación, elegimos el punto (0,0), 0+0 ≤1200 como verifica la inecuación el semiplano que lo contiene es solución de la inecuación. La región factible es el triángulo delimitado por la recta y los dos ejes de coordenadas, y sus vértices son: (0,1200); (0,0) y (1200,0). Para encontrar el máximo de ganancia debemos sustituir las coordenadas de estos puntos en la función objetivo. Obteniendo: G= 10. 0+6.1200=7200 G= 10.0+6.0=0 G= 10.1200+6.0=12000 Observamos que la mayor ganancia es en (1200,0)