Criterio de areas Sistemas electrico de potencia (SEP II)
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El criterio de áreas permite determinar la estabilidad de un sistema eléctrico en condiciones transitorias sin resolver la ecuación de oscilación. Se deduce para una máquina conectada a una barra infinita, pero también se puede aplicar a sistemas de dos máquinas. Si el área bajo la curva de potencia-ángulo desde el punto inicial hasta el máximo ángulo es igual al área desde el máximo ángulo hasta el punto inicial, el sistema es estable. Esto significa que la energía ganada durante la aceleración es igual a la energía
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CRITERIO DE AREAS
Christian Patricio Cañafe Clavijo
ccanafe@est.ups.edu.ec
Universidad Politécnica Salesiana
Sede Cuenca
Sistemas Electricos de Potencia II
Abstract—El criterio de áreas, permite determinar el ángulo
crítico de despeje por lo cual se puede determinar la estabilidad
del sistema en condiciones transitorias sin resolver la ecuación de
oscilación. Aunque no es aplicable a sistemas de varias maquinas,
por lo cual este metodo ayuda a comprender en que forma
influyen ciertos factores en la estabilidad, en regimen transistorio,
de un sistema cualquiera
Index Terms—Criterio de areas, oscilacion, sincronismo, regi-
men transitorio, estabilidad.
I. INTRODUCCIÓN.
La curva de oscilación permite determinar si un sistema
formado por un generador conectado a una barra infinita
es estable o inestable después de una perturbación brusca.
Si la curva muestra que el ángulo tiende a crecer sin
límite, el sistema es inestable, por otra parte, si después
de todas las perturbaciones (incluyendo desconexión y
reconexión de líneas), el ángulo alcanza un máximo y
luego disminuye, puede decirse que el sistema es estable.
En general, la estabilidad o inestabilidad del sistema
depende en forma decisiva del hecho de si la falla es
sostenida (permanente) o si se elimina en un tiempo
determinado. El criterio de áreas iguales, permite determinar
fácilmente el ángulo crítico de despeje y a partir de
la curva de oscilación calculada para falla sostenida
(permanente) o empleando un procedimiento indirecto.
En un sistema en que una máquina oscila respecto
a una barra infinita, no es necesario representar las
curvas de oscilación para determinar si el ángulo
de par de la máquina aumenta indefinidamente
u oscila alrededor de una posición de equilibrio.
En el cálculo de ingeniería, en general, es suficiente definir
si se mantuvo o no la estabilidad, por lo cual esto se conoce
como ¨ criterios de estabilidad ¨
II. GENERALIDADES.
Aunque la deduccion del criterio de igualdad de la areas
se hace para una maquina y una barra infinita, puede tambien
adaptarse a un sistema de dos maquinas. En la figura [1] se
observa un generador que suministra potencia a un sistema de
potencia infinita por medio de dos líneas de transmisión en
paralelo.
Figure 1. Sistema de Potencia Típico de un Generador conectado a través
de un sistema de transmisión a una barra de potencia infinita.
Para deducir el criterio de áreas iguales se hace para
una máquina (G) y una barra de potencia infinita ( ∞)
figura [1], aunque las consideraciones efectuadas, pueden ser
elevadas para el caso de un sistema general de dos máquinas.
Supóngase que se tiene una máquina sincrónica la cual se
encuentra conectada mediante una reactancia (XG∞ = X´d +
XT 1 +XT 2 +XLT 1 XLT 2) a un gran sistema, que se puede
considerar como una barra de potencia infinita. Figura [2].
Figure 2. Reactancias del sistema.
Esta máquina puede oscilar, respecto a la barra de potencia
infinita, cumpliendo con la ecuación de oscilación:
2H
wsin
wp.u.
d2
δ
dt2
= (Pm. − Pmax)p.u. = (Pa)p.u. (1)
Donde:
• Pm =Potencia mecánica de entrada en pu.
• Pmax
=Potencia eléctrica máxima de salida en pu.
• wsin =Velocidad angular sincrona del rotor.
• H =Constante de inercia en MW.s/MVA.
• δ =Angulo del rotor, en radianes eléctricos.
• t =Tiempo en seg.
La potencia eléctrica Pmax entregada por la máquina puede
ser obtenida de la relación potencia ángulo:](https://image.slidesharecdn.com/criteriodeareas-130630232620-phpapp02/85/Criterio-de-areas-Sistemas-electrico-de-potencia-SEP-II-1-320.jpg)
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Pmax =
¯Ei V∞
XG∞
senδ(t)
Antes de que exista la perturbación en la máquina, ésta se
encuentra operando en estado estable y la potencia mecánica
(Pmec) inyectada al generador es igual a la potencia eléctrica
de salida (Pelec), por lo que la potencia total acelerante es
cero (Pmax), siempre que se desprecie, las pérdidas por
rozamiento mecánica, por fricción del aire, por corriente de
Facoult, etc.
Pmec = Pmax =
¯Ei V∞
XG∞
senδ(t)
En estas condiciones estables de operación, la velocidad
real del rotor ω(t) , es igual a la velocidad sincrónica ωs
, de modo que la velocidad relativa del rotor es cero ωrel = 0 .
ωrel = dδ(t)
dt = ω(t) − ωs = 0
Figure 3. Característica P − δ, mostrando el punto de equilibrio inicial
Para deducir el criterio de áreas iguales de una máquina
conectada a un bus infinito, se debe considerar wp.u. = 1
de la ecuación (1) entonces tenemos las siguientes relaciones
entre el ángulo del rotor y la potencia de aceleración:
d2
δ
dt2
=
ω0
2H
(Pm. − Pmax) (2)
Donde Pmax es una función no lineal deδ , y por tanto la
ecuación anterior no puede ser solucionada directamente. Si se
multiplica en ambos lados d
dt y se utiliza la siguiente relación
tenemos:
d
dt
[
dδ
dt
]2
= 2
dδ
dt
d2
δ
dt2
(3)
H
wsin
d
dt
dδ
dt
2
= [(Pm.)p.u. − (Pmax)p.u.]
dδ
dt
(4)
H
wsin
¢ δ
δ0
d
dδ
dt
2
=
¢ δ
δ0
[(Pm.)p.u. − (Pmax)p.u.] dδ (5)
Es importante tener en cuenta que la integración va desde
δ0hasta δ1, de tal manera que cuando δ1 alcanza su valor
máximo en δ2y por lo tanto para δ0, δ2se tiene que dδ
dt = 0y
por tal razón se obtiene:
¢ δ2
δ0
[(Pm.)p.u. − (Pmax)p.u.] dδ = 0 (6)
En la figura [4], cuando el área A1 es igual al área A2.
La energía cinética es incrementada por el rotor durante
la aceleración cuando δ cambia de δ0 a δ1 . La energía
incrementada es:
Figure 4. Respuesta al cambio de paso en la potencia mecánica de entrada.[1]
E1 =
¢ δ1
δ0
[(Pm.)p.u. − (Pmax)p.u.] dδ = A1 (7)
Segundo la integral varia desde δ1a δ2, y tenemos el área
de desaceleración se puede calcular como:
E2 = −
¢ δ2
δ1
[(Pm)p.u. − (Pmax)p.u.] dδ = A2 (8)
Teniendo en cuenta la ecuación (6), esto se puede reem-
plazar de la siguiente manera, y obteniendo matemáticamente
el criterio de igualdad de áreas.
¢ δ1
δ0
[(Pm.)p.u. − (Pmax)p.u.] dδ =
¢ δ2
δ1
[(Pmax)p.u. − (Pm)p.u.] dδ
A1 = A2
Puesto que no se han considerado pérdidas, la energía
incrementada es igual a la energía perdida; por tanto el área
A1 es igual al área A2 lo que forma la base para el criterio
de igualdad de áreas, lo cual permite determinar la máxima
oscilación de δ y por tanto la estabilidad del sistema sin
calcular la respuesta de tiempo a través de la solución de la
ecuación de oscilación.
III. CONCLUSION.
• El criterio de areas es un principio muy importante por el
que se determina la estabilidad en condiciones de regimen
transitorio, sin resolver la ecuacion de oscilacion. La
deduccion del criterio de areas se hace para una maquina
y una barra infinita, pero tambien se puede adaptarse para
una un sistema de dos maquinas.
• Si una máquina oscila respecto a una barra infinita no
es necesario representar las curvas de oscilación para](https://image.slidesharecdn.com/criteriodeareas-130630232620-phpapp02/85/Criterio-de-areas-Sistemas-electrico-de-potencia-SEP-II-2-320.jpg)
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determinar si el ángulo de par de la máquina aumenta
indefinidamente u oscila alrededor de una posición de
equilibrio, en general, es suficiente definir si se mantuvo
o no la estabilidad por lo cual se recurre al analisis por
medio del criterio de areas.
REFERENCES
[1] GRAINGER, Jhon - STEVENSON, William, “Análisis de Sis-
temas de Potencia”, Editorial McGraw – Hill Inc., Impreso en
México, 1996
[2] KUNDUR, Prabha, “Power System Stability and Control”,
McGraw – Hill, New York, 1994.
[3] Sistemas eléctricos de gran potencia - B.M. Weedy - Google
Libros.
Christian Patricio Cañafe Clavijo Nació en
Cuenca-Ecuador, en 1990. Recibió el Título de
Técnico en Sistemas Informaticos en el Colegio
Nacional Técnico Manuel Cordova Galarza en el
2007, Actualmente cursa la educación superior en
la carrera de Ingeniería Eléctrica de la Universidad
Politécnica Salesiana .](https://image.slidesharecdn.com/criteriodeareas-130630232620-phpapp02/85/Criterio-de-areas-Sistemas-electrico-de-potencia-SEP-II-3-320.jpg)
Criterio de areas Sistemas electrico de potencia (SEP II)
- 1. 1 CRITERIO DE AREAS Christian Patricio Cañafe Clavijo [email protected] Universidad Politécnica Salesiana Sede Cuenca Sistemas Electricos de Potencia II Abstract—El criterio de áreas, permite determinar el ángulo crítico de despeje por lo cual se puede determinar la estabilidad del sistema en condiciones transitorias sin resolver la ecuación de oscilación. Aunque no es aplicable a sistemas de varias maquinas, por lo cual este metodo ayuda a comprender en que forma influyen ciertos factores en la estabilidad, en regimen transistorio, de un sistema cualquiera Index Terms—Criterio de areas, oscilacion, sincronismo, regi- men transitorio, estabilidad. I. INTRODUCCIÓN. La curva de oscilación permite determinar si un sistema formado por un generador conectado a una barra infinita es estable o inestable después de una perturbación brusca. Si la curva muestra que el ángulo tiende a crecer sin límite, el sistema es inestable, por otra parte, si después de todas las perturbaciones (incluyendo desconexión y reconexión de líneas), el ángulo alcanza un máximo y luego disminuye, puede decirse que el sistema es estable. En general, la estabilidad o inestabilidad del sistema depende en forma decisiva del hecho de si la falla es sostenida (permanente) o si se elimina en un tiempo determinado. El criterio de áreas iguales, permite determinar fácilmente el ángulo crítico de despeje y a partir de la curva de oscilación calculada para falla sostenida (permanente) o empleando un procedimiento indirecto. En un sistema en que una máquina oscila respecto a una barra infinita, no es necesario representar las curvas de oscilación para determinar si el ángulo de par de la máquina aumenta indefinidamente u oscila alrededor de una posición de equilibrio. En el cálculo de ingeniería, en general, es suficiente definir si se mantuvo o no la estabilidad, por lo cual esto se conoce como ¨ criterios de estabilidad ¨ II. GENERALIDADES. Aunque la deduccion del criterio de igualdad de la areas se hace para una maquina y una barra infinita, puede tambien adaptarse a un sistema de dos maquinas. En la figura [1] se observa un generador que suministra potencia a un sistema de potencia infinita por medio de dos líneas de transmisión en paralelo. Figure 1. Sistema de Potencia Típico de un Generador conectado a través de un sistema de transmisión a una barra de potencia infinita. Para deducir el criterio de áreas iguales se hace para una máquina (G) y una barra de potencia infinita ( ∞) figura [1], aunque las consideraciones efectuadas, pueden ser elevadas para el caso de un sistema general de dos máquinas. Supóngase que se tiene una máquina sincrónica la cual se encuentra conectada mediante una reactancia (XG∞ = X´d + XT 1 +XT 2 +XLT 1 XLT 2) a un gran sistema, que se puede considerar como una barra de potencia infinita. Figura [2]. Figure 2. Reactancias del sistema. Esta máquina puede oscilar, respecto a la barra de potencia infinita, cumpliendo con la ecuación de oscilación: 2H wsin wp.u. d2 δ dt2 = (Pm. − Pmax)p.u. = (Pa)p.u. (1) Donde: • Pm =Potencia mecánica de entrada en pu. • Pmax =Potencia eléctrica máxima de salida en pu. • wsin =Velocidad angular sincrona del rotor. • H =Constante de inercia en MW.s/MVA. • δ =Angulo del rotor, en radianes eléctricos. • t =Tiempo en seg. La potencia eléctrica Pmax entregada por la máquina puede ser obtenida de la relación potencia ángulo:
- 2. 2 Pmax = ¯Ei V∞ XG∞ senδ(t) Antes de que exista la perturbación en la máquina, ésta se encuentra operando en estado estable y la potencia mecánica (Pmec) inyectada al generador es igual a la potencia eléctrica de salida (Pelec), por lo que la potencia total acelerante es cero (Pmax), siempre que se desprecie, las pérdidas por rozamiento mecánica, por fricción del aire, por corriente de Facoult, etc. Pmec = Pmax = ¯Ei V∞ XG∞ senδ(t) En estas condiciones estables de operación, la velocidad real del rotor ω(t) , es igual a la velocidad sincrónica ωs , de modo que la velocidad relativa del rotor es cero ωrel = 0 . ωrel = dδ(t) dt = ω(t) − ωs = 0 Figure 3. Característica P − δ, mostrando el punto de equilibrio inicial Para deducir el criterio de áreas iguales de una máquina conectada a un bus infinito, se debe considerar wp.u. = 1 de la ecuación (1) entonces tenemos las siguientes relaciones entre el ángulo del rotor y la potencia de aceleración: d2 δ dt2 = ω0 2H (Pm. − Pmax) (2) Donde Pmax es una función no lineal deδ , y por tanto la ecuación anterior no puede ser solucionada directamente. Si se multiplica en ambos lados d dt y se utiliza la siguiente relación tenemos: d dt [ dδ dt ]2 = 2 dδ dt d2 δ dt2 (3) H wsin d dt dδ dt 2 = [(Pm.)p.u. − (Pmax)p.u.] dδ dt (4) H wsin ¢ δ δ0 d dδ dt 2 = ¢ δ δ0 [(Pm.)p.u. − (Pmax)p.u.] dδ (5) Es importante tener en cuenta que la integración va desde δ0hasta δ1, de tal manera que cuando δ1 alcanza su valor máximo en δ2y por lo tanto para δ0, δ2se tiene que dδ dt = 0y por tal razón se obtiene: ¢ δ2 δ0 [(Pm.)p.u. − (Pmax)p.u.] dδ = 0 (6) En la figura [4], cuando el área A1 es igual al área A2. La energía cinética es incrementada por el rotor durante la aceleración cuando δ cambia de δ0 a δ1 . La energía incrementada es: Figure 4. Respuesta al cambio de paso en la potencia mecánica de entrada.[1] E1 = ¢ δ1 δ0 [(Pm.)p.u. − (Pmax)p.u.] dδ = A1 (7) Segundo la integral varia desde δ1a δ2, y tenemos el área de desaceleración se puede calcular como: E2 = − ¢ δ2 δ1 [(Pm)p.u. − (Pmax)p.u.] dδ = A2 (8) Teniendo en cuenta la ecuación (6), esto se puede reem- plazar de la siguiente manera, y obteniendo matemáticamente el criterio de igualdad de áreas. ¢ δ1 δ0 [(Pm.)p.u. − (Pmax)p.u.] dδ = ¢ δ2 δ1 [(Pmax)p.u. − (Pm)p.u.] dδ A1 = A2 Puesto que no se han considerado pérdidas, la energía incrementada es igual a la energía perdida; por tanto el área A1 es igual al área A2 lo que forma la base para el criterio de igualdad de áreas, lo cual permite determinar la máxima oscilación de δ y por tanto la estabilidad del sistema sin calcular la respuesta de tiempo a través de la solución de la ecuación de oscilación. III. CONCLUSION. • El criterio de areas es un principio muy importante por el que se determina la estabilidad en condiciones de regimen transitorio, sin resolver la ecuacion de oscilacion. La deduccion del criterio de areas se hace para una maquina y una barra infinita, pero tambien se puede adaptarse para una un sistema de dos maquinas. • Si una máquina oscila respecto a una barra infinita no es necesario representar las curvas de oscilación para
- 3. 3 determinar si el ángulo de par de la máquina aumenta indefinidamente u oscila alrededor de una posición de equilibrio, en general, es suficiente definir si se mantuvo o no la estabilidad por lo cual se recurre al analisis por medio del criterio de areas. REFERENCES [1] GRAINGER, Jhon - STEVENSON, William, “Análisis de Sis- temas de Potencia”, Editorial McGraw – Hill Inc., Impreso en México, 1996 [2] KUNDUR, Prabha, “Power System Stability and Control”, McGraw – Hill, New York, 1994. [3] Sistemas eléctricos de gran potencia - B.M. Weedy - Google Libros. Christian Patricio Cañafe Clavijo Nació en Cuenca-Ecuador, en 1990. Recibió el Título de Técnico en Sistemas Informaticos en el Colegio Nacional Técnico Manuel Cordova Galarza en el 2007, Actualmente cursa la educación superior en la carrera de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Politécnica Salesiana .