Vectores ejercicios 1
9 recomendaciones24,758 vistas
Este documento contiene soluciones a varios ejercicios de álgebra lineal. Resume varias identidades y fórmulas para calcular ángulos, áreas y lados de triángulos. También presenta soluciones para encontrar vértices, áreas y diagonales de un paralelogramo, así como ecuaciones de un plano y la distancia de una recta al origen.
Vectores ejercicios 1
- 1. Capítulo 2 Soluciones ejercicios Ejercicio 2.1 Demuestre las identidades (a × b) × c = (a · c)b − (b · c)a. (a × b) · c = a · (b × c). ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯a × b¯ = a2 b2 − (a · b)2 . Solución. Deben haber muchas demostraciones. La tercera es fácil pues si φ es el ángulo entre a y b ¯ ¯2 ¯ ¯ www.GRATIS2.com ¯a × b¯ = a2 b2 sin2 φ = m co = a2 b2 (1 − cos.2 φ) 2 sQ = a2 b2 − aob2 cos2 φ r = a2 b2 Lib(a · b)2 . − . w La segunda, intercambiar la cruz conw punto, se demuestra así: w el (a × b) · c = (ay bz − az by )cx + (az bx − ax bz )cy + (ax by − ay bx )cz = cx ay bz − cx az by + cy az bx − cy ax bz + cz ax by − cz ay bx y a · (b × c) = (by cz − bz cy )ax + (bz cx − bx cz )ay + (bx cy − by cx )az = cx ay bz − cx az by + cy az bx − cy ax bz + cz ax by − cz ay bx
- 2. 18 Soluciones ejercicios resultan iguales. La primera es larga. Veamos la componente x de (a × b) × c, esta es: (a × b)y cz − (a × b)z cy = (az bx − ax bz )cz − (ax by − ay bx )cy = cz az bx − cz ax bz − cy ax by + cy ay bx = (cy ay + cz az )bx − (cz bz + cy by )ax = (c · a − cx ax )bx − (c · b − cx bx )ax = (c · a)bx − (c · b)ax , de modo que es claro que algo similar ocurre con las otras dos componen- tes y luego (a × b) × c = (c · a)b − (c · b)a. N Ejercicio 2.2 Si los lados de un triángulo son a, b, c determine los ángulos del triángulo. www.GRATIS2.com Solución. Podemos obtenerlos de varias maneras, por ejemplo del teore- ma del coseno om c2 = a2 + b2 −.c cos γ, 2ab Q os + b2 − c2 br a2 o bien cos γ i= L. , w 2ab y otras dos similares w w a2 + c2 − b2 cos α = , 2ac c2 + b2 − a2 cos β = , 2bc C b γ A α a c β B
- 3. 19 N Ejercicio 2.3 Considere los puntos cuyas coordenadas son A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 1), C = (−1, 2, 0) determine a) El área del triángulo ABC. b) Los ángulos del triángulo ABC. c) Las magnitudes de los lados del triángulo ABC. d) Las alturas del triángulo ABC. Solución. Los vectores con magnitud y dirección los lados del triángulo pueden escribirse C www.GRATIS2.com b γ m co A α a . Q os B c β i br .L w w −→ w c = AB = (1, 2, 1) − (1, 1, 1) = (0, 1, 0) − −→ a = BC = (−1, 2, 0) − (1, 2, 1) = (−2, 0, −1) −→ b = CA = (1, 1, 1) − (−1, 2, 0) = (2, −1, 1) de manera que c × a = (0, 1, 0) × (−2, 0, −1) = (−1, 0, 2) b × c = (2, −1, 1) × (0, 1, 0) = (−1, 0, 2) a × b = (−2, 0, −1) × (2, −1, 1) = (−1, 0, 2) entonces el área del triángulo es 1 1√ A= |(−1, 0, 2)| = 5. 2 2 las magnitudes de los lados son |c| = |(0, 1, 0)| = 1
- 4. 20 Soluciones ejercicios ¯ ¯ √ ¯ ¯ ¯b¯ = |(2, −1, 1)| = 6 √ |a| = |(−2, 0, −1)| = 5 los ángulos están dados por √ |b×c| sin α = b |c| = √5 || √ 6 |c×a| sin β = |a||c| = √5 = 1 5 |b×a| √√√ sin γ = |a| b = 5 5 6 = √61 || las alturas del triángulo se calculan de acuerdo a ¯ ¯ √ ¯ ¯ hC = ¯b¯ sin α = 5, √ 5 hB = |a| sin γ = √ , 6 hA = |c| sin β = 1. www.GRATIS2.com N m Ejercicio 2.4 Considere un paralelógramo . co donde se dan tres vértices A = (0, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0). sQ o i br a) Determine el cuarto vértice..L w w w b) Determine el área del paralelógramo. c) Determine las longitudes de las diagonales. Solución. Construyamos los vectores −→ −→ − → AC = OC − OA = (1, 0, −1) , −→ − −→ − → AB = OB − OA = (1, −1, 0) , de manera que − −→ − → − → AD = AB + AC = (2, −1, −1) , entonces el cuarto vértice está en la posición (esta es una solución de otras posibles) −→ − − → − − → OD = OA + AD = (2, 0, 0)
- 5. 21 El área del paralelógramo será ¯− →¯ √ ¯ → − ¯ A = ¯AB × AC ¯ = |(1, 1, 1)| = 3, donde las longitudes de las diagonales serán ¯− →¯ √ ¯ → − ¯ ¯AB + AC ¯ = |(2, −1, −1)| = 6, ¯− →¯ √ ¯ → − ¯ ¯AB − AC ¯ = |(0, −1, 1)| = 2. N Ejercicio 2.5 Escriba √ ecuación de un plano que es perpendicular a la la dirección n = (1, −1, 1)/ 3 y que pasa a distancia 3 del origen. ˆ Solución. La ecuación resulta www.GRATIS2.com n · r = 3, ˆ m co o sea √ x − y + z = 3 3. . sQ N b ro i .L Ejercicio 2.6 Sea una recta w w w x = 2t + 1, y = −t + 2, z = 3t − 1, siendo t un parámetro. Determine su distancia al origen. Solución. La distancia de un punto arbitrario de la recta al origen es p d = x2 + y 2 + z 2 , esto es p √ d= (2t + 1)2 + (−t + 2)2 + (3t − 1)2 = 14t2 − 6t + 6. La cantidad subradical, polinomio de segundo grado, tiene un mínimo justo en el punto medio entre sus dos raíces que son
- 6. 22 Soluciones ejercicios 3 5 √ 3 5 √ t1 = 14 + 14 i 3, t2 = 14 − 14 i 3 y el punto medio es 1 6 3 t= ( )= , 2 14 14 y para ese valor d es la distancia de la recta al origen, cuyo valor resulta 5√ d= 42 = 2. 315, 14 N Ejercicio 2.7 Sean a = (1, 1, 0), b = (−1, 1, 1) dos vectores. Determine la ecuación de un plano que pase por el origen y que contenga los vectores a y b. Solución. Si los dos vectores a y b están sobre el plano, entonces un vector normal al plano es N = a × b. Calculando resulta www.GRATIS2.com N = (1, 1, 0) × (−1, 1, 1) = (1, −1, 2) . La ecuación del plano es, en general m . co Q r · N = constante, s ro y si pasa por el origen ib .L r · N = 0. w w Calculando (x, y, z) · (1, −1, 2) = x − y + 2z de modo que la ecuación del plano es w x − y + 2z = 0. N Ejercicio 2.8 Determine el área de un triángulo en función solamente de sus lados a, b y c. Solución. En principio el área del triángulo puede ser escrita de muchas maneras, por ejemplo 1¯¯ ¯ 1 ¯ A = ¯a × b¯ = ab sin γ, 2 2 1¯¯ ¯ 1 ¯ = ¯b × c¯ = bc sin α, 2 2 1 1 = |c × a| = ca sin β, 2 2
- 7. 23 pero la tarea es eliminar los ángulos. Para ello considere c = a cos β + b cos α. Expresando los “cosenos” en términos de los “senos” se obtiene r r 2A 2 2A c = a 1 − ( ) + b 1 − ( )2 , ca bc o bien p p c2 = c2 a2 − (2A)2 + b2 c2 − (2A)2 , y el resto es álgebra. Para despejar A p p (c2 − c2 a2 − (2A)2 )2 = c4 − 2 (c2 a2 − 4A2 )c2 + c2 a2 − 4A2 = b2 c2 − 4A2 de donde p c2 + a2 − b2 = 2 (c2 a2 − 4A2 ) (c2 + a2 − b2 )2 = 4 (c2 a2 − 4A2 ) www.GRATIS2.com 16A2 = 4c2 a2 −(c2 +a2 −b2 )2 = (a + b − c) (a + b + c) (c − a + b) (c + a − b) m co y finalmente . 1p Q (a + b − c) (a + b + c) (c os a + b) (c + a − b). br A= − 4 i .L Intente otro camino. w w w N Ejercicio 2.9 Con relación a la figura, demuestre que si F1 = −F2 enton- ces: r1 × F1 + r2 × F2 = 0. F1 r1 F2 r2
- 8. 24 Soluciones ejercicios Solución. Podemos escribir r1 × F1 + r2 × F2 = r1 × F1 − r2 × F1 = (r1 − r2 ) × F1 = 0, porque F1 es paralela a (r1 − r2 ). N Ejercicio 2.10 Desde una determinada posición en un camino, una per- sona observa la parte más alta de una torre de alta tensión con un ángulo de elevación de 25o . Si avanza 45 m en línea recta hacia la base de la torre, divisa la parte más alta con un ángulo de elevación de 55o . Considerando que la vista del observador está a 1,7 m. Determine la altura h de la torre. www.GRATIS2.com m . co sQ h o 25º i br 55º β. L w 1.7 m w 45 m w Solución. Sea d la distancia del punto más cercano a la torre, entonces tenemos d = cot 55, h d + 45 = cot 25, h restando 45 = cot 25 − cot 55 h de donde 45 h= cot 25 − cot 55
- 9. 25 y numéricamente resulta h = 31. 157 m respecto al observador y h = (31. 157 + 1,70) = 32. 857 m respecto al suelo. N Ejercicio 2.11 Desde un avión de reconocimiento que vuela a una altura de 2500 m, el piloto observa dos embarcaciones que se encuentran en un mismo plano vertical con ángulos de depresión de 62o 240 y 37o 180 respectivamente. Encuentre la distancia x entre las embarcaciones. www.GRATIS2.com 37º18' m . co Q 62º24' s ro 2500 m i b .L w w x w Solución. Expresando los ángulos son con decimales 62,4o y 37,3o Similarmente al problema anterior si d es la distancia horizontal entre el avión y la embarcación más cercana se tiene x+d = tan(90 − 37,3), 2500 d = tan(90 − 62,4), 2500 y restando se obtiene d = 2500(cot 37,3 − cot 62,4) = 1974. 751 m
- 10. 26 Soluciones ejercicios N Ejercicio 2.12 Una persona se encuentra en la mitad de la distancia que separa dos edificios y observa la parte más alta de éstos con ángulos de eleva- ción de 30o y 60o respectivamente. Demuestre la que las alturas de los edificios están en la relación 1 : 3. 30º 60º x www.GRATIS2.com Solución. Si las alturas son llamadas hmy h2 tenemos que 1 o .c h1 , Q os x/2 tan 30 = r ib = h2 , .L tan 60 w x/2 w de donde w h tan 30 1 √ 3 1 1 3 = = √ = . h2 tan 60 3 3 N Ejercicio 2.13 Un mástil por efecto del viento se ha quebrado en dos par- tes, la parte que quedó vertical en el piso mide 3 m y la parte derribada quedó atada al extremo superior de la parte vertical, formando un ángulo de 30o con el piso. Encontrar la altura del mástil. 3m 30º
- 11. 27 Solución. La hipotenusa c será dada por 3 1 = sin 30 = , c 2 de donde c = 6 m, por lo tanto la altura del mástil era 9 m. N Ejercicio 2.14 Una persona en su trote diario, desde su casa, corre 7 km al Norte, 2 km al Oeste, 7 km al Norte y 11 km al Este. Encuentre la distancia a su casa a que se encuentra la persona . www.GRATIS2.com Solución. Sean los ejes cartesianos OX hacia el este y OY hacia el norte, entonces el desplazamiento resultante es r = 7ˆ + 2(−ˆ) + 7ˆ + 11ˆm co j ı j ı . sQ = 9ˆ + 14ˆ, ı j y su magnitud, la distancia a la casa, es ro √ ib .L r = 92 + 142 = 16. 64 km. w wN w Ejercicio 2.15 Una caja tiene 16 cm de largo, 18 cm de ancho y 10 cm de alto. Encuentre la longitud de la diagonal de la caja y el ángulo que ésta forma con cada uno de los ejes. Y 18 cm 10 cm Z 16 cm X
- 12. 28 Soluciones ejercicios Solución. El vector que representa la diagonal es ı j ˆ r = 16ˆ + 18ˆ + 10k, y entonces su longitud es √ r = 162 + 182 + 102 = 26. 077 cm. Los ángulos están dados por r ·ˆı cos α = (26. 077) 16 = 26. 077 r·j ˆ www.GRATIS2.com cos β = 26. 077 18 26.om = 077 c ˆ .r · k cos γ =sQ o 26. 077 i br= 10 .L w 26,077 w de donde w α = 52. 152 o , β = 46. 349 o , γ = 67. 4501o . Note que cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. N ı j ˆ ı j ˆ Ejercicio 2.16 Dados los vectores r1 = 3ˆ − 2ˆ + k, r2 = 3ˆ − 4ˆ − 3k, ı j ˆ hallar los módulos de: r3 = −ˆ + 2ˆ + 2k, a) r3 b) r1 + r2 + r3
- 13. 29 c) 2r1 − 3r2 + 5r3 Respuestas: (a) 3; (b) 5,66; (c) 5,48 Ejercicio 2.17 Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la ı j ˆ ı j ˆ resultante de r1 + r2 , con r1 = 2ˆ + 42ˆ − 5k, r2 = ˆ + 2ˆ + 3k, ı 7ˆ 7ˆ Respuesta: 3 ˆ + 6 j − 2 k. 7 ı j ˆ ı j ˆ Ejercicio 2.18 Demostrar que los vectores A = 3ˆ+ˆ−2k, B = −ˆ+3ˆ+4k, ı j ˆ C = 4ˆ− 2ˆ− 6k, pueden ser los lados de un triángulo, y hallar las longitudes de las medianas de dicho triángulo. Solución. Si tres a, b, y c forman un triángulo entonces debe ser a + b + c = 0, www.GRATIS2.com lo cual es satisfecho por los vectores m −A, B y C . co Q Las medianas unen los puntos medios de losos br lados por lo tanto vectores a lo i .L largo de las medianas son 1 w w1 2w 2 C + (−A), 1 1 (−A) + B 2 2 1 1 B+ C 2 2 donde −A = (−3, −1, 2), B = (−1, 3, 4), C = (4, −2, −6), luego µ ¶ µ ¶ 1 3 3 1 , − , −2 , (−2, 1, 3) , , , −1 2 2 2 2 y sus longitudes son q 1 + 9 + 4 = 2. 549 5 √4 4 q 4 + 1 + 9 = 3. 741 7 32 22 + 212 + 1 = 1. 870 8
- 14. 30 Soluciones ejercicios N j ˆ Ejercicio 2.19 Hallar el ángulo formado por los vectores A = 2ˆ + 2ˆ − k, ı ı j ˆ B = 6ˆ − 3ˆ + 2k. Solución. Tenemos A·B cos α = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯A¯ ¯B ¯ 12 − 6 − 2 4 = √ √ = 9 49 21 de donde α = 79. 017o www.GRATIS2.com N m ı j ˆ ı j ˆ ˆ forman un triángulo .co Ejercicio 2.20 Demostrar que los vectores A = 3ˆ− 2ˆ+ k, B = ˆ− 3ˆ+ 5k, C = 2ˆ + j − 4k, ı ˆ rectángulo. Q Solución. Usted puede constatarsque ro ib .L − B = C, w A w o sea w B + C = A, de manera que forma un triángulo. Además calcule A · C = (3, −2, 1) · (2, 1, −4)) = 0 luego A⊥C es decir se trata de un triángulo rectángulo. N Ejercicio 2.21 Hallar el vector unitario perpendicular al plano formado ı j ˆ ı j ˆ por A = 2ˆ − 6ˆ − 3k, B = 4ˆ + 3ˆ − k.
- 15. 31 Solución. Calcule ı j ˆ A × B = 15ˆ − 10ˆ + 30k, luego un vector normal al plano es ı j ˆ N = 15ˆ − 10ˆ + 30k, y uno unitario 15ˆ − 10ˆ + 30k ı j ˆ ˆ N = √ , 152 + 102 + 302 15ˆ − 10ˆ + 30k ı j ˆ = , 35 3ˆ − 2ˆ + 6k ı j ˆ = . 7 www.GRATIS2.com N j ˆ m Ejercicio 2.22 Dados , A = 2ˆ − 3ˆ − k y B = co 4ˆ − 2k determinar ˆ ı ˆ+ j ı . osQ br a) A × B i b) B × A .L w w c) (A + B) × (A − B) w Solución. (2, −3, −1) × (1, 4, −2) = (10, 3, 11) (1, 4, −2) × (2, −3, −1) = (−10, −3, −11) (A + B) × (A − B) = −A × B + B × A = 2B × A = (−20, −6, −22) . N Ejercicio 2.23 Hallar el área del triángulo cuyos vértices son P (1, 3, 2), Q(2, −1, 1), R(1, 2, 3). Solución. Dos lados del triángulo pueden ser representados por los vec- tores −→ − → − → P Q = OQ − OP = (2, −1, 1) − (1, 3, 2) = (1, −4, −1) −→ − → − → P R = OR − OP = (1, 2, 3) − (1, 3, 2) = (0, −1, 1),
- 16. 32 Soluciones ejercicios luego −→ − → P Q × P R == (−5, −1, −1) y el área será √ 1 ¯− →¯ ¯ → − ¯ 1√ 27 A = ¯P Q × P R¯ = 25 + 1 + 1 = . 2 2 2 N Ejercicio 2.24 Hallar los ángulos agudos formados por la recta que une los puntos (1, −3, 2) y (3, −5, 1) con los ejes coordenados. Solución. Un vector a lo largo de la recta es A = (1, −3, 2) − (3, −5, 1) = (−2, 2, 1) www.GRATIS2.com luego los ángulos que ese vector forma con los eje están dados por m ˆ · Ao −2 cos α = ¯ .c = ı Q¯ 3 s ¯A¯ ¯ ¯ o i br cos βL = . j · A −2 ˆ ¯ ¯ = w ¯ ¯ w ¯A¯ 3 w ˆ k·A 1 cos γ = ¯ ¯ = ¯ ¯ 3 ¯A¯ de donde los ángulos agudos son: (tome los valores absolutos del coseno) 48. 190o , 48. 190o y 70. 531o . N Ejercicio 2.25 Hallar los cosenos directores de la recta que pasa por los puntos (3, 2, −4) y (1, −1, 2). Solución. Similarmente al problema anterior A = (3, 2, −4) − (1, −1, 2) = (2, 3, −6)
- 17. 33 de donde ˆ· A 2 ı cos α = ¯ ¯ = ¯ ¯ 7 ¯A¯ j·A 3 ˆ cos β = ¯ ¯ = ¯ ¯ 7 ¯A¯ ˆ k·A −6 cos γ = ¯ ¯ = ¯ ¯ 7 ¯A¯ o si tomamos −A 2 cos α = − 7 3 www.GRATIS2.com cos β = − 7 6 cos γ = m 7 . co N Q ros ib L triángulo. ı j ˆ Ejercicio 2.26 Dos lados de un triángulo son los vectores A = 3ˆ + 6ˆ− 2k ˆ . w y B = 4ˆ − j + 3k. Hallar los ángulos del ı ˆ w w Solución. El otro lado puede escribirse ı j ˆ C = A − B = −ˆ + 7ˆ − 5k, y calculamos A·B = 0 B·C = −26 · ¯ A¯ C = 49 ¯ ¯ ¯A¯ = 7 ¯ ¯ √ ¯ ¯ ¯B ¯ = 26 ¯ ¯ √ ¯ ¯ ¯C ¯ = 5 3 luego los ángulos son 90o , 53. 929o y 36. 071o
- 18. 34 Soluciones ejercicios N j ˆ Ejercicio 2.27 Las diagonales de un paralelogramo son A = 3ˆ − 4ˆ − k y ı B = 2ˆ + 3ˆ − 6k ı j ˆ . Demostrar que dicho paralelogramo es un rombo y hallar sus ángulos y la longitud de sus lados. Solución. En términos de los lados a y b se tiene a + b = A, a − b = B, entonces 1 1 ˆ a = (A + B) = (5ˆ − j − 7k), ı ˆ 2 2 1 1 ˆ b = (A − B) = (ˆ − 7ˆ + 5k), ı j www.GRATIS2.com 2 2 entonces ¯ ¯ 5√ |a| = ¯b¯ = om ¯ ¯ 3, .c2 por lo tanto es un rombo y sQ b ro a ·Li 5 + 7 − 35 . 2b = 23 cos α = w =− , w |a| 74 74 w de donde los ángulos son 108. 11o y 71. 894o . N ı j ˆ Ejercicio 2.28 Hallar la proyección del vector 2ˆ − 3ˆ + 6k sobre el vector ı j ˆ. ˆ + 2ˆ + 2k Solución. ı j ˆ ı j ˆ (2ˆ − 3ˆ + 6k) · (ˆ + 2ˆ + 2k) ¯ ¯ ¯ ˆ¯ ¯ˆ + 2ˆ + 2k¯ ı j 2 − 6 + 12 8 = √ = . 1+4+4 3 N
- 19. 35 j ˆ Ejercicio 2.29 Hallar la proyección del vector 4ˆ− 3ˆ+ k sobre la recta que ı pasa por los puntos (2, 3, −1) y (−2, −4, 3). Solución. Un vector sobre la recta es (2, 3, −1) − (−2, −4, 3) = (4, 7, −4) luego la proyección es (4, 7, −4) · (4, −3, 1) |(4, 7, −4)| 9 = − = −1, 9 de manera que la magnitud de la proyección es 1. N www.GRATIS2.com ˆ ˆ Ejercicio 2.30 Si A = 4ˆ − j + 3k y B = −2ˆ + j − 2k , hallar un vector ı ˆ ı ˆ unitario perpendicular al plano de A y B. m o .c Solución. Q A × B os n = ±¯ ˆ ¯ br¯ , A ×i B ¯ ¯ .L ¯ w w w donde (4, −1, 3) × (−2, 1, −2) = (−1, 2, 2) por lo tanto (−1, 2, 2) n=± ˆ , 3 N ˆ ı j ˆ ı j ˆ Ejercicio 2.31 Demostrar que A = 2ˆ−2ˆ+k , B = ı j 3 ˆ+2ˆ+2k 3 , y C=2ˆ+ˆ−2k 3 son vectores unitarios mutuamente perpendiculares. Solución. Calculando ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯A¯ = ¯B ¯ = ¯C ¯ = 1, A · B = A · C = B · C = 0. N