Vectores
- 2. La Posición Si hemos acordado llamar movimiento al cambio de la posición con el tiempo, será necesario establecer un criterio para determinar qué posición ocupa un cuerpo en un instante. Es necesarioestudiarloque esdimensión. Una dimensión Imagina que tenemos un cuerpo que se mueve por una recta, es decir que realiza un movimiento en una dimensión. Para determinar su posición sólo necesitamos indicar a qué distancia del origen se encuentra. Observa en el siguiente applet que la posición del cuerpo puede ser positiva o negativa según se encuentre a la derecha o a la izquierda del orígen respectivamente. Dos dimensiones Si el cuerpo realiza un movimiento en dos dimensiones, es decir se mueve por un plano, necesitaremos dos coordenadas para determinar la posición que ocupa en un instante dado. Los dos valores que determinan la posición de un cuerpo en un plano podemos establecerlos utilizando como referencia un sistema de coordenadas cartesianas o un sistema de coordenadas polares. En el caso de las coordenadas cartesianas se utilizan las distancias a los dos ejes acompañadas de los signos (+) ó (-). En la figura de la izquierda aparece representado el punto P(3,2). Para evitar confusiones se tiene el acuerdo de escribir primero la coordenada x y después la coordenada y, separadas por una coma. El signo negativo para la coordenada x se utiliza si el punto se encuentra a la izquierda del orígen y para la coordenada y cuando está por debajo del orígen. Las coordenadas polares utilizan la longitud de la recta que une nuestro punto con el punto de referencia y el ángulo que forma esta recta con la horizontal.
- 3. En la figura de la izquierda se representa el punto P(3 , 45°), que significa que la distancia OP vale 3 y que el ángulo vale 45° En el siguiente applet puedes representar los puntos dados en: C. Cartesianas C. Polares (-1.3, 2) (-2, -2) (0, 1.8) (2.4, 0) (0.7, 1.5) (3, 45°) (2, 160°) (3, -90°) (2, 30°) (1, 90°)
- 4. Tres dimensiones En el caso de un cuerpo que siguiera una trayectoria de tres dimensiones, necesitaríamos tres coordenadas para determinar su posición en un instante dado. También en este caso se pueden utilizar coordenadas polares y coordenadas cartesianas. En el siguiente applet puedes ver un sistemas de ejes cartesianos tridimensional: El tiempo es la cuarta dimensión Como el movimiento es el cambio de la posición con el tiempo, además de conocer la posición, nos interesa saber el instante en el que el cuerpo ocupa dicha posición. Si representamos el conjunto de las diferentes posiciones que ocupa un móvil a lo largo del tiempo, obtenemos un línea llamada trayectoria. Vector de Posición Si ya sabes cómo se determina la posición de un punto, es muy fácil entender qué es un vector de posición. En el siguiente simulador se representa el vector de posición (r) en verde, para cada posición que ocupa el punto P en un plano, además de sus componentes en coordenadas cartesianas y en po lares: Construye una definición para el vector de posición y muéstrasela a tu profesor para conocer su opinión sobre la misma. Hemos dicho en el apartado anterior que la trayectoria es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil. Parece razonable que podamos hacer una primera clasificación de los movimientos utilizando como criterio la forma de su trayectoria: Tipos de Movimientos Tipos de trayectorias de una dimensión Líneas rectas de dos dimensiones Líneas curvas planas de tres dimensiones Líneas curvas no planas Movimientos rectilíneos Podemos decir que son los movimientos cuya trayectoria es una línea recta. En éstas páginas hacemos un estudio de este tipo de movimientos y analizamos cuáles son sus características. Una de las características que nos permiten describir un movimiento es la dirección de su velocidad, que puede cambiar o no. Para estudiar los cambios en la dirección de la velocidad utilizamos una magnitud llamada aceleración normal o centrípeta.
- 5. Como en los movimientos rectilíneos no cambia la dirección, podemos decir que se trata de movimientos en los que la aceleración normal es cero. Movimientos curvilíneos Ya has visto en la tabla anterior que podemos distinguir entre dos tipos de movimientos curvilíneos: los de dos dimensiones y los de tres dimensiones. Como algunas de las curvas son muy conocidas, solemos asociar el nombre de algunos movimientos con la forma de su trayectoria. Así, podemos citar: Movimientos circulares Movimientos elípticos Movimientos parabólicos En el lenguaje ordinario los términos distancia y desplazamiento se utilizan como sinónimos, aunque en realidad tienen un significado diferente. La distancia recorrida por un móvil es la longitud de su trayectoria y se trata de una magnitud escalar.
- 6. En cambio el desplazamiento efectuado es una magnitud vectorial. El vector que representa al desplazamiento tiene su orígen en la posición inicial, su extremo en la posición final y su módulo es la distancia en línea recta entre la posición inicial y la final. Con el siguiente applet entenderás fácilmente la diferencia que existe entre ambas magnitudes. Para usarlo pulsa el ratón para marcar el inicio del recorrido, arrastra para dibujar la trayectoria que desees y suelta para marcar el final de la misma. Intenta realizar los siguientes ejercicios: Traza una trayectoria en la que coincidan distancia y desplazamiento. Traza un recorrido en el que el desplazamiento sea cero. Observa que los valores de la distancia recorrida y el desplazamiento sólo coinciden cuando la trayectoria es una recta. En caso contrario, la distancia siempre es mayor que el deplazamiento. Seguramente habrás observado que si el final del recorrido coincide con el inicio, el desplazamiento es cero. Cuando Alex Crivillé da una vuelta completa al circuito de Jerez recorre una distancia de 4.423,101 m, pero su desplazamiento es cero. Rapidez y Velocidad Rapidez y velocidad son dos magnitudes cinemáticas que suelen confundirse con frecuencia. Recuerda que la distancia recorrida y el desplazamiento efectuado por un móvil son dos magnitudes diferentes. Precisamente por eso, cuando las relacionamos con el tiempo, también obtenemos dos magnitudes diferentes. La rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo.
- 7. La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de posición (o desplazamiento) con el tiempo. Unidades Tanto la rapidez como la velocidad se calculan dividiendo una longitud entre un tiempo, sus unidades también serán el cociente entre unidades de longitud y unidades de tiempo. Por ejemplo: m/s cm/año km/h En el SistemaInternacional,launidadparalarapidezmediaesel m/s(metroporsegundo). ¿Cuál de las siguientes medidas representa una rapidez? A. 10 m B. 2 s/m C. 6 m/s D. 3 m/s² Rapidez media La rapidez media de un cuerpo es la relación entre la distancia que recorre y el tiempo que tarda en recorrerla. Si la rapidez media de un coche es 80 km/h, esto quiere decir que el coche coche recorre una distancia de 80 km en cada hora. Decir que la rapidez media es la relación entre la distancia y el tiempo, es equivalente a decir que se trata del cociente entre la distancia y el tiempo. Por ejemplo, si un coche recorre 150 km en 3 horas, su rapidez media es: 150 km / 3h = 50 km/h ¿Podrías calcular la distancia que recorrería el coche anterior en media hora? Velocidad media La velocidad media relaciona el cambio de la posición con el tiempo empleado en efectuar dicho cambio.
- 8. Si conoces bien la diferencia entre distancia y desplazamiento, no tendrás problemas para realizar la siguiente actividad: Una personapaseadesde A hasta B, retrocede hasta C y retrocede de nuevoparaalcanzarel puntoD. Calculasu rapidezmediaysu velocidadmediaconlosdatosdel gráfico. Velocidad instantánea y rapidez instantánea Ya sabemos que si realizamos un viaje de 150 km y tardamos dos horas en recorrer esa distancia podemos decir que nuestra rapidez media ha sido de 75 km/h. Es posible que durante el viaje nos hayamos detenido a echar gasolina o a tomar un bocadillo y sabemos que al atravesar las poblaciones hemos viajado más lento que en los tramos de carretera. Nuestra rapidez, por tanto, no ha sido siempre de 75 km/h sino que en algunos intervalos ha sido mayor y en otros menor, incluso ha sido de 0 km/h mientras hemos estado detenidos. Esto nos obliga a distinguir entre rapidez media y rapidez instantánea: Rapidez instantánea : la rapidez en un instante cualquiera. Rapidez media : es la media de todas las rapideces instantáneas y la calculamos dividiendo la distancia entre el tiempo. Determinar con exactitud la rapidez instantánea de un cuerpo es una tarea complicada, aunque tenemos métodos para aproximarnos a su valor. Supón que queremos conocer la rapidez de una piragua justamente en el instante de cruzar la meta. Si la carrera es de 1000 m y recorre esa distancia en 40 s, obtendríamos un valor de 25 m/s para la rapidez media, pero sería una mala aproximación al valor de la rapidez instantánea. El problema es que la piragua se mueve más lentamente al principio de la carrera que al final. Podemos entonces colocar una célula fotoeléctrica en la meta y otra 100 m antes para medir en tiempo que emplea en recorrer los últimos 100 m y calcular así la rapidez media en los
- 9. últimos 100 m. El valor obtenido se aproximará más que antes al valor de la rapidez instantánea en el momento de cruzar la meta. ¿Y si hacemos lo mismo para el último metro, o para el último centímetro, o para....? Se puede determinar la rapidez instantánea de un móvil calculando su rapidez media para un pequeño tramo y usando esta aproximación como rapidez instantánea. Si al valor de la rapidez instantánea le unimos la dirección, entonces tendremos una medida de la velocidad instantánea. Curiosamente lo que solemos conocer como velocímetro no mide la velocidad instantánea sino la rapidez instantánea ya que no nos dice nada acerca de la dirección en la que se mueve el vehículo en ese instante. En resumen, rapidez y velocidad son dos magnitudes relacionadas con el movimiento que tienen significados y definiciones diferentes. La rapidez, magnitud escalar, es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado. La rapidez no tiene en cuenta la dirección. La velocidad sí que tiene en cuenta la dirección. La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el desplazamiento o cambio de la posición con el tiempo Rapidez constante Si un cuerpo se mueve y su rapidez instantánea es siempre la misma, se está moviendo con rapidez constante. Lo mismo podemos decir para la velocidad. En este caso los valores medio e instantáneo de cada magnitud coinciden. Direcciónde la velocidad Hemos dicho que para especificar la velocidad de un móvil necesitamos dos informaciones: su rapidez y su dirección. Hay muchas formas de especificar la dirección según que los movimientos sean de una, dos o tres dimensiones. Por ejemplo, para los movimientos en un plano se suele expresar la dirección mediante un ángulo u otra referencia: Dirección:30º Dirección:Norte En el caso de los movimientos rectilíneos es mucho más sencillo. Las velocidades en el sentido positivo son positivas y las velocidades en el sentido negativo son negativas: el signo nos informa de la dirección.
- 10. Este signo es un convenio, así decimos que si un móvil se mueve hacia la derecha su velocidad es positiva y si se mueve hacia la izquierda es negativa o por ejemplo, consideramos positivo, hacia arriba y negativo, hacia abajo en los movimientos verticales. Pero no hay ninguna razón para hacer esto, es simplemente un acuerdo. ¡El volante de un coche también es acelerador! Es muy importante que conozcamos cuándo está cambiando la velocidad. Como la velocidad se compone de la rapidez y la dirección, cualquier cambio en ellas supone un cambio en la velocidad. Así la velocidad varía si cambia la rapidez o cambia la dirección o, por supuesto, si cambian ambas. Observa que esto supone que cuando un coche toma una curva, aunque su rapidez sea constante, está cambiando su velocidad. La aceleración nos informa sobre los cambios en la velocidad de un móvil. Aceleración Los conceptos de velocidad y aceleración están relacionados, pero muchas veces se hace una interpretación incorrecta de esta relación. Muchas personas piensan que cuando un cuerpo se mueve con una gran velocidad, su aceleración también es grande; que si se mueve con velocidad pequeña es porque su aceleración es pequeña; y si su velocidad es cero, entonces su aceleración también debe valer cero. La aceleración relaciona los cambios de la velocidad con el tiempo en el que se producen, es decir que mide cómo de rápidos son los cambios de velocidad: Una aceleración grande significa que la velocidad cambia rápidamente. Una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia lentamente. Una aceleración cero significa que la velocidad no cambia. La aceleración nos dice cómo cambia la velocidad y no cómo es la velocidad. Por lo tanto un móvil puede tener un velocidad grande y una aceleración pequeña (o cero) y viceversa. Como la velocidad es una magnitud que contempla la rapidez de un móvil y su dirección, los cambios que que se produzcan en la velocidad serán debidos a variaciones en la rapidez y/o en la dirección. La aceleración es una magnitud vectorial que relaciona los cambios en la velocidad con el tiempo que tardan en producirse. Un móvil está acelerando mientras su velocidad cambia. En Física solemos distinguir ambos tipos de cambios con dos clases de aceleración: tangencial y normal.
- 11. La aceleración tangencial para relacionar la variación de la rapidez con el tiempo y la aceleración normal (o centrípeta) para relacionar los cambios de la dirección con el tiempo. Normalmente, cuando hablamos de aceleración nos referimos a la aceleración tangencial y olvidamos que un cuerpo también acelera al cambiar su dirección, aunque su rapidez permanezca constante. Como estas páginas están dedicadas al estudio de los movimientos rectilíneos, y en ellos no cambia la dirección, sólo vamos a referirnos a la aceleración tangencial. Pero recuerda: ¡si el movimiento es curvilíneo, no podemos olvidarnos de la aceleración normal! Una característica de los cuerpos acelerados es que recorren diferentes distancias en intervalos regulares de tiempo: Intervalo Rapidez media durante el intervalo Distancia recorrida durante el intervalo Distancia total (desde t = 0) 0 - 1 s 5 m/s 5 m 5 m 1 s - 2 s 15 m/s 15 m 20 m 2 s - 3 s 25 m/s 25 m 45 m 3 s - 4 s 35 m/s 35 m 80 m Observa que al ser diferente la rapidez media de cada intervalo, la distancia recorrida durante el mismo es también diferente. Aceleración constante La tabla anterior muestra datos de un movimiento de caída libre, donde observamos que la rapidez cambia en 10 m/s cada segundo, es decir que tiene una aceleración de 10 m/s/s o 10 m/s². Como el cambio de la velocidad en cada intervalo es siempre el mismo (10 m/s/s), se trata de un movimiento de aceleración constante o uniformemente acelerado. Otra conclusión que podemos sacar de los datos anteriores es que la distancia total recorrida es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. Observa que al cabo de 2 s la distancia total recorrida es cuatro (2²) veces la recorrida en el primer segundo; a los 3 s la distancia recorrida es nueve (3²) veces mayor que la del primer segundo y a los 4 s es 16 veces (4²) esa distancia. Los cuerpos que se mueven con aceleración constante recorren distancias directamente proporcionales al cuadrado del tiempo. Aceleración media La aceleración (tangencial) media de un móvil se calcula utilizando la siguiente ecuación: Con ella calculamos el cambio medio de rapidez en el intervalo de tiempo deseado. Para conocer la aceleración instantánea se puede utilizar la misma aproximación que hicimos para el caso de la velocidad instantánea: tomar un intervalo muy pequeño y suponer que la aceleración media en él equivale a la aceleración instantánea.
- 12. Unidades Como puedes deducir de la ecuación anterior, la aceleración se expresa en unidades de velocidad dividida entre unidades de tiempo. Por ejemplo: 3 (m/s)/s 1 (km/h)/s 5 (cm/s)/min En el Sistema Internacional, la unidad de aceleración es 1 (m/s)/s, es decir 1 m/s². Dirección de la aceleración Como la aceleración es una magnitud vectorial, siempre tendrá asociada una dirección. La dirección del vector aceleración depende de dos cosas: de que la rapidez esté aumentando o disminuyendo de que el cuerpo se mueva en la dirección + o - . El acuerdo que hemos tomado es: Si un móvil está disminuyendo su rapidez (está frenando), entonces su aceleración va en el sentido contrario al movimiento. Si un móvil aumenta su rapidez, la aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad. Este acuerdo puede aplicarse para determinar cuándo el signo de la aceleración es positivo o negativo, derecha o izquierda, arriba o abajo, etc. Si la velocidad y la aceleración van en el mismo sentido (ambas son positivas o ambas negativas) el móvil aumenta su rapidez. Si la velocidad y la aceleración van en sentidos contrarios (tienen signos opuestos), el móvil disminuye su rapidez.