Unidad i

Ayudantías Matemáticas
Gloria Gloria Loncoman
Ing. De (E) en Informática
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La recta Real y Su Orden
Definimos los números reales como la unión entre los números racionales e irracionales. El conjunto de
números reales lo denotamos por R. Por la propia definición tenemos Q⊆R.
Los números reales llenan completamente la recta, de tal forma que todos los números reales se pueden
representar en la recta y, recíprocamente, a todos los puntos de la recta se les puede asignar un número real.
De aquí sale el nombre de recta de números reales, o simplificando, recta real que se utiliza haciendo
referencia a la recta como conjunto de números.
En dicha recta, entre dos racionales siempre hay un irracional, y racionales e irracionales están siempre tan
próximos como queramos.
Desigualdad
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son
distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces
pueden ser comparados.
 La notación a < b significa a es menor que b;
 La notación a > b significa a es mayor que b;
estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también
puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".
 La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

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 La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;
esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
 La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro,
o siquiera si son comparables.
Intervalos
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman
extremos del intervalo.
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.
(a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o
iguales que b.
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y
menores o iguales que b.
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales
que a y menores que b.
[a, b) = {x / a ≤ x < b}

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Tabla de Intervalo
Conectivos y Cuantificadores Lógicos y sus Negaciones
Conectivos Lógicos.
Lenguaje natural
La gramática de los lenguajes naturales, dos frases pueden unirse mediante una conjunción gramatical para
formar una oración gramaticalmente compuesta. Algunas de estas conjunciones gramaticales, pero no todas,
son funciones de verdad. Por ejemplo, considere las siguientes frases:
A: Juan subió la montaña.
B: Pedro subió a la montaña.
C: Juan subió a la montaña y Pedro se subió a la montaña.
D: Juan subió la montaña, por lo tanto Pedro subió la montaña.

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Las palabras y y entonces son conjunciones gramaticales que unen las oraciones (A) y (B) para formar las
oraciones compuestas (C) y (D). O y (C) es un conector lógico, ya que da el valor de verdad de (C) está
completamente determinado por el valor de (A) y (B) no tiene sentido para el estado (A) y (B) y negar (C). Sin
embargo, entonces en (D) no es un conector lógico, ya que sería bastante razonable para afirmar (A) y (B) y
negar (D): tal vez Pedro subió a la montaña para ir a buscar un balde de agua, y no porque Juan subió la
montaña.
Lenguajes formales
En los lenguajes formales, las funciones de verdad son representadas por símbolos inequívocos. Estos
símbolos se llaman "conectivos lógicos", "operadores lógicos", "operadores proposicionales", o, en la lógica
clásica, la "de funciones conectivos de verdad." Véase fórmulas bien formadas para saber las reglas que
permiten las nuevas fórmulas bien formadas sean construidas al juntar otras fórmulas bien formadas
utilizando conectivos de funciones de verdad.
Los conectivos lógicos pueden ser utilizados para conectar más de dos afirmaciones, entonces es común
hablar de "conector lógico n-ario".
Conectiva Notación
Ejemplo
de uso
Análogo
natural
Ejemplo de uso en
el lenguaje natural
Tabla de verdad
Negación no No está lloviendo.
Conjunción y
Está lloviendo y la calle
está mojada.
Disyunción o
Está lloviendo o la calle
está mojada.

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Condicional
material
si...
entonces
Si está lloviendo, entonces
la calle está mojada.
Bicondicional si y solo si
Está lloviendo si y solo si la
calle está mojada.
Negación
conjunta
ni... ni
Ni está lloviendo ni la calle
está mojada.
Disyunción
excluyente
o bien... o
bien
O bien está lloviendo, o
bien la calle está mojada.
Cuantificadores Lógicos.
Cuando se habla de cuantificadores en términos de Lógica, Teoría de Conjuntos o Matemáticas en general,
se hace referencia a aquellos símbolos que se utilizan para indicar cantidad en una proposición, es
decir, permiten establecer “cuántos” elementos de un conjunto determinado, cumplen con cierta propiedad.
Los cuantificadores permiten la construcción de proposiciones a partir de funciones proposicionales, bien sea
particularizando o generalizando. Por ejemplo, si consideramos la función proposicional:
P(x) = x es menor que dos
Esto podría particularizarse así: “Existe un número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo:
“Todos los números reales son menores que dos”.
En cualquiera de los dos casos, se especifica un conjunto donde está tomando valores la variable, para
nuestro ejemplo, el conjunto de los números reales.

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Para notar la particularización y la generalización, se utiliza la siguiente simbología, respectivamente:
que se lee: “existe un equis que pertenece a erre (a los reales), tal que equis es menor que dos”
Mientras que
se lee: “para todo equis que pertenece a erre (a los reales), se cumple que equis es menor que dos”
El símbolo (para todo…) se denomina cuantificador universal, y el símbolo (existe al menos un…) se
denomina cuantificador existencial.
Así, un cuantificador transforma una función proposicional, en una proposición a la cual se le asigna un valor
de verdad.
Los cuantificadores más utilizados son entonces:
 CUANTIFICADOR UNIVERSAL (para todo…): se utiliza para afirmar que TODOS los elementos
de un conjunto, cumplen con una condición o propiedad determinada. Esto se expresa como:
 CUANTIFICADOR EXISTENCIAL (existe al menos un…): se utiliza para indicar que existen uno o
más elementos en el conjunto A que cumple(n) con una condición o propiedad determinada.
 CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO (existe un único…): se utiliza para indicar que existe
exactamente un elemento en el conjunto A que cumple con una condición o propiedad determinada.

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NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces:
Operaciones Con Conjunto.
Diagramas de Venn - Euler
En las Matemáticas, es común encontrarnos con nombres de lemas, teoremas, axiomas, conceptos, en honor
a algún matemático famoso y en este caso, haré mención de dos de ellos y son:
 Leonardo Euler (1707 - 1783) y
 John Venn (1834 - 1923).
Dos matemáticos reconocidos, por su aportación en torno a los
diagramas de Venn-Euler que definiremos a continuación.
El universo U comúnmente lo representamos gráficamente por el conjunto de elementos que se encuentran
dentro de un rectángulo. Por el otro lado, los subconjuntos que puedan pertenecer al universo se representan
por medio de círculos u óvalos, como ya lo hemos mencionado antes.
La importancia de los Diagramas de Venn, radica en que nos sirven para representar las operaciones con
conjuntos, las cuales son:
 Unión
 Intersección
 Diferencia
 Complemento

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La Unión
Son los elementos que pertenecen tanto al conjunto A o al conjunto B. En
otras palabras, está formado por los elementos de ambos conjuntos
La Intersección
Son los elementos iguales que pertenecen al mismo tiempo tanto al conjunto A y al
conjunto B. En otras palabras son los elementos idénticos que aparecen en ambos
conjuntos. (Ver fig. 1)
Figura 1
Recuerda que cuando no hay elementos en común entre dos conjuntos se dice
que estos son ajenos o disjuntos y por lo tanto su intersección es igual al
conjunto vacío. (Ver figura 2)
Figura 2
La diferencia
Caso 1
Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A pero que
no pertenece a B y se escribe como A - B. (Ver figura 3)
Figura 3
Caso 2
Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B pero no
pertenecen a A y se escribe como B – A. (Ver figura 4)
Figura 4

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El Complemento
Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universo que no pertenece a un subconjunto
dado ya sea A o B. En otras palabras, son los elementos del universo que no pertenecen a un conjunto dado.
Por ejemplo si se tiene un conjunto A su complemento se denota como A´ y si se tiene al conjunto B su
complemento se denota como B´ . (ver figura 5 y 6, respectivamente)
La forma de denotar al complemento de un conjunto aparece en las imágenes.
Figura 5
Figura 6

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