Guia 4 productos notables i
Descargar como DOC, PDF2 recomendaciones3,867 vistas
El documento presenta una breve historia del desarrollo de las matemáticas desde su origen entre los pueblos antiguos hasta la época griega. Destaca que los griegos, especialmente Pitágoras, Demócrito y Euclides, introdujeron conceptos abstractos como la abstracción, generalización y análisis. El documento también describe brevemente la obra "Los Elementos" de Euclides y su influencia.
Guia 4 productos notables i
- 1. I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO Definitivamente las matemáticas, en sus orígenes estuvieron directamente relacionadas con las condiciones de vida de la época. El hombre primitivo necesitaba el número (al menos los primeros números naturales) para verificar la cuenta de su rebaño, para efectuar rudimentarios intercambios comerciales o para llevar la cuenta de su calendario que les permitía controlar las cosechas. Solo con los Egipcios se puede comenzar a hablar de ciencia matemática. Obligados por las inundaciones anuales se vieron en la necesidad de manejar líneas y números. Conocieron hechos matemáticos, supieron manejar formulas y razonar con figuras geométricas, pero solo por una necesidad práctica, sin una concepción de la ciencia teórica. Sin embargo, las cosas cambian radicalmente cuando abordamos "La Época Griega". De la mano de Thales de Mileto (640 - 560 a.C.), Pitágoras (580 - 500 a.C.), Demócrito (460 - 370 a.C.) y Euclides (360 - 275 a.C.) aparecen conceptos precisos como la abstracción, generalización, análisis y la síntesis. La escuela de Pitágoras se apasiono por estas cuestiones : "Todas las cosas son números". La obra de Euclides "Los Elementos" (320 a.C.), que le origino una gran reputación ha sido usado como texto de estudios cerca de 2000 años. Dicha obra, constituida por trece libros, es la coronación de las investigaciones realizadas por los Geómetras de Atenas y de sus antecesores. Como encargado de la Biblioteca de Alejandría, era tal su entusiasmo que diariamente le comunicaba de sus avances matemáticos a Tolomeo II (308 - 246 a.C.) Rey de Egipto, sumiéndolo constantemente en situaciones por demás incomodas. 900 a.C. 800 a.C. 700 a.C. 600 a.C. 500 a.C. 400 a.C. 300 a.C. 200 a.C. CULTURA OLMECA (1200 - 400 a.C.) CULTURA CHAVIN (850 - 200 a.C.) IMPERIO ASIRIO (883-612 a.C.) IMPERIO PERSA (550 - 331 a.C.) COMERCIO FENICIO (900 - 600 a.C.) PRIMERAS CIUDADES GRIEGAS-GRECIA CLÁSICA (750-330 a.C.) REPÚBLICA ROMANA (509 - 27 a.C.) EUCLIDES (360 - 275 a.C.) 96
- 2. I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO Observemos las siguientes figuras: Es un cuadrado de lado (a + b), hacemos 2 cortes imaginarios tal que se forman 2 cuadrados (lados a y b) y 2 rectángulos. a 1 4 2 Área Total = (a + b) Pero también: AT = A1 + A2 + A3 + A4 2 2 2 b 3 2 (a + b) = a + b + ab + ab 2 2 2 (a + b) = a + 2ab + b a b ¡Interesa nte Verdad! a Ahora es un cuadrado de lado “a” y hacemos nuevamente 2 cortes a - b imaginarios tal que se forman 2 cuadrados (lados “b” y “a - b”) y 2 rectángulos. 1 3 a-b A1 = AT – A2 – A3 – A4 a 2 2 2 (a - b) = a – b – b(a - b) – b(a - b) 2 2 2 2 2 b 4 2 b (a - b) = a – b – ab + b – ab + b a - b b 2 2 2 (a - b) = a – 2ab + b ¡Soy un genio! Otra vez hacemos el par de cortes imaginarios y obtenemos lo siguiente: 2 a-b AT – A 1 = A2 + A3 a 2 2 a – b = a(a - b) + b(a - b) Extrayendo factor común obtenemos: 3 1 b 2 2 a - b b a – b = (a + b)(a – b) a 97
- 3. I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 4 QUINTO AÑO PRODUCTOS NOTABLES I PRODUCTOS NOTABLES Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva, ello por la forma como la presentan. 1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Es el desarrollo del binomio suma o diferencia al cuadrado. 2 2 2 (a + b) = a + 2ab + b TCP 2 2 2 (a - b) = a - 2ab + b Ejm.: 2 2 2 Ψ (a + 3) = a + 6a + 9 Ψ (x + 6) = 2 2 2 Ψ (2x + 5) = 4x + 20x + 25 Ψ (4x + 3) = 2 2 2 Ψ (x - 7) = x – 14x + 49 Ψ (m - 4) = 2 2 2 Ψ (3x - 1) = 9x – 6x + 1 Ψ (5m - 2) = De acá se generan las identidades de Legendre: 2 2 2 2 (a + b) + (a - b) = 2(a + b ) 2 2 (a + b) – (a - b) = 4ab Ejm.: 2 2 2 2 Ψ (3x + 2) + (3x - 2) = 2. (3x + 5) + (3x - 5) = 2 2 2 2 Ψ (4x + 7) – (4x – 7) = Ψ (x + 9) - (x - 9) = Ψ 3. DIFERENCIA DE CUADRADOS Es el resultado generado de la multiplicación del binomio suma por su diferencia. 2 2 (a + b) (a - b) = a – b Diferencia de Cuadrados Ejm.: 2 Ψ Ψ (x + 3) (x - 3) = x - 9 2 Ψ (3x + 5)(3x - 5) = 9x – 25 3 3 6 Ψ (2x + 5)(5 – 2x ) = 25 – 4x 98
- 4. I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO 4. (x + 7)(x - 7) = Ψ 4 (x + 8)(8 – x ) = 4 Ψ (2x – 4)(2x + 4) = 5. BINOMIO AL CUBO (SUMA) (a + b) 3 3 2 = a + 3a b + 3ab + b 2 3 Las equivalencias que aparecen con 3 3 = a + b + 3ab(a + b) * asterisco son para problemas con BINOMIO AL CUBO (DIFERENCIA) condición. 3 3 2 2 3 (a - b) = a - 3a b + 3ab - b 3 3 = a - b - 3ab(a - b) * Ejm.: 3 3 2 3 Ψ (x + 3) = x + 3x . 3 + 3x . 9 + 27 6. (y + 2) = 3 = x + 27 + 3(3x)(x + 3) 3 Ψ (a - 5) 3 3 2 = a – 3a .5 + 3a.25 - Ψ (m - 1) = 125 3 = a – 125 – 3(5a)(a - 5) Ψ 7. SUMA DE CUBOS 3 3 2 2 (a + b ) = (a + b)(a – ab + b ) DIFERENCIA DE CUBOS 3 3 2 2 (a - b ) = (a - b)(a + ab + b ) Ejm.: 2 3 3 3 2 Ψ (x + 2)(x – 2x + 4) = x + 2 = x + 8 8. (a + 4)(a – 4a + 16) = 2 3 3 3 3 3 Ψ (y - 5)(y + 5y + 25) = y – 5 = y – 125 Ψ (m - 2) ( )=m -2 2 3 3 3 3 3 Ψ (2x + 3)(4x – 6x + 9) = (2x) + 3 = 8x + Ψ (4x + 3) ( ) = (4x) + 3 27 Ψ 2 4 2 (x - 2) (x + 2x + 4) = 2 3 3 3 Ψ (5x - 1)(25x + 5x + 1) = (5x) – 1 = 125x - 1 Ψ 9. PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN 2 (x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab Ejm.: Ψ (x + 3) (x + 5) = x + 8x + 15 2 10. (x + 1) (x + 6) = Ψ (x + 4) (x - 2) = x + 2x - 8 2 Ψ (x - 5) (x + 9) = Ψ (x + 7) (x - 9) = x – 2x – 63 2 Ψ (x + 4) (x - 10) = 2 Ψ (3x - 1) (3x - 6) = Ψ (2x - 5) (2x - 3) = 4x – 8(2x) + 15 Ψ 99
- 5. I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO En este último producto notable debemos tener muy presente los signos de cada término, de los factores en cuestión. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Reducir: 7. Efectuar: 2 2 A = (2x + 3) – (2x - 3) + (3x - 4) – 8x - 16 2 2 3 3 3 3 3 L = ( 10 − 2 ) ( 100 + 20 + 4) a) 0 b) 2 c) x a) 1 b) 10 c) 2 2 2 d) x e) 2x d) 8 e) 1 2. Efectuar: 8. Reducir: (x + 1)(x − 1) + ( x + 1)(1 − x )(x + 1) n n n A = (x + 8)(x + 2) – (x + 3)(x + 7) n 2 a) x b) 1 c) 0 a) x n b) x 2n c) 2x n 2 d) 2x e) 2 d) -5 e) -1 9. Simplificar: 3. Reducir: E = ( x + 1)(x − 1)(x + 2)x + 1 A = (2 3 + 3 2 )2 + (2 3 − 3 2 )2 2 2 2 a) x + x b) x + x + 1 c) x + x - 1 a) 15 b) 20 c) 25 2 d) 60 e) 67 d) x – x + 1 e) N.A. 4. Simplificar: 10. Simplificar: 4 4 4 ( x+ y )2 − ( x − 4 y ) 2 4 4 ( x + 1)( x − 1)( x + 1)( x + 1)(x 4 + x2 + 1) L= 4 xy 6 6 2 a) x + 1 b) x – 1 c) x + 2 a) 1 b) 2 c) 3 2 d) x – 2 e) N.A. d) 4 e) 6 5. Efectuar: 11. Reducir: 2 4 3 3 3 E = (x + 2)(x - 2)(x + 4)(x + 16) + 256 M = (2x + 3y - z) + (3x – 3y + z) – 124x + 15x(2x + 3y - z) (3x – 3y + z) 2 4 a) x b) x c) x 6 8 2 3 d) x e) x a) 0 b) x c) x d) 1 e) 2z 6. Multiplicar: 2 2 M = (x + 1)(x + x + 1)(x - 1)(x – x + 1) + 1 12. Hallar “E” en: 3 3 3 4 6 E= 25 + 500 + 25 − 500 a) x b) x c) x 9 d) x e) N.A. a) 1 b) 2 c) 3 100
- 6. I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO d) 4 e) 5 d) 4 e) 5 13. Evaluar: 5. Efectuar: 32 2 2 4 4 8 E= 1 + 80(92 + 1)(9 4 + 1)(98 + 1) E = (a + 5)(a - 5)(a + 5 )(a - 5 ) – a 4 8 6 a) 9 b) 3 c) 81 a) 5 b) -5 c) -5 4 d) 1 e) 6 d) -25 e) Hay dos claves correctas 14. Simplificar: 6. Multiplicar: (m + 2a + 3b)(m + 2a + c) − 3bc 2 M = (a + b)(a + ab + b )(a - b)(a – ab + b ) 2 2 2 −m m + 2a + 3b + c 6 3 3 6 a) a – b b) a – b c) a) m b) a c) 2a 6 d) b e) c (a - b) 6 6 d) a – b e) Hay dos claves 15. Reducir: correctas A = (1 + 8 + 3 + 24 ) (1 − 2 2 − 3 + 2 6 ) 7. Efectuar: 3 3 3 a) 1 b) 12 c) 13 L = ( 3 + 1) ( 9 − 3 + 1) d) 14 e) 18 a) 3 b) 4 c) 8 d) -4 e) N.A. TAREA DOMICILIARIA Nº 4 8. Reducir: 5 5 5 5 M = (x + 4) (x + 7) – (x + 2) (x + 9) 1. Reducir: 10 20 2 2 2 2 a) 5 b) x c) x M = (x + 2) – (2 - x) + (x - 4) – x - 16 d) 10 e) 15 a) 0 b) 2 c) x 9. Simplificar: d) 4x e) x + 2 L = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 2. Efectuar: 2 2 2 a) x + 5x + 5 b) x – 5x + 5 c) x - 5 ( x + 2)( x − 2)(x + 4) + ( x + 4)(4 − x) 2 d) –x – 5x – 5 e) N.A. a) 0 b) 1 c) 2 2 2 10. Simplificar: d) x e) 2x 4 4 4 4 ( a + b )( a + b )( a − b )( a + b)( a 4 + a2b2 + b4 ) 3. Reducir: 6 6 6 6 a) a + b b) a – b c) M = ( 7 + 3 )2 + ( 7 − 3 ) 2 3 3 a +b 3 3 a) 10 b) 13 c) 20 d) a – b e) N.A. d) 18 e) 36 11. Reducir: 3 3 3 4. Simplificar: M = (x + 2y – 7z) + (x – 2y + 7z) – 8x + 6 6 6 6 6x(x + 2y – 7z) (x – 2y + 7z) ( 5+ 6 )2 − ( 5 − 6 )2 A= 6 2 30 a) x b) 2xyz c) 0 2 d) x – y e) 2y a) 1 b) 2 c) 3 101
- 7. I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO 12. Hallar “M” en: 3 3 M= 20 + 392 + 20 − 392 a) 1 b) 6 c) 20 d) 4 e) 8 13. Evaluar: 8 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) + 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. Simplificar: (x + a + b)(x + a + c) − bc −a x+ a+b+c a) 1 b) 2x c) x d) 3x e) 8x 15. Reducir: P = (1 + 2 + 3 + 6 ) (1 − 2 − 3 + 6 ) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) -1 102