Prueba tab tv a8 blue

CURSO PROPEDÉUTICO
MATEMATICAS 2013

PROPOSITOS GENERALES: Que el alumno
recuerde la mecánica que utiliza el
lenguaje algebraico para resolver
situaciones problemáticas.

Que el alumno repase y recuerde los
procesos y los algoritmos para la solución
de operaciones básicas con monomios y
polinomios.

Que el alumno aplique leyes de los
exponentes en la solución de
multiplicaciones y divisiones algebraicas de
monomios y polinomios.

LENGUAJE ALGEBRAICO

1. Algebra. El álgebra es una ciencia cuyo
objeto es simplificar y generalizar las
cuestiones relativas a los números.

En álgebra, lo mismo que en Aritmética, se
efectúan operaciones con los números,
pero el modo de representados difiere en
ambas ciencias.

En Aritmética, sólo se hace uso de los
signos comúnmente llamados arábigos:
0, 1, 2, 3, etc.,

para escribir los números; mientras que en
Algebra, para representarlos se usan letras,
como a, b, x, y, etc., las cuales se llaman
literales..

2. El algebra se aplica en fórmulas, por
ejemplo:
a. El área de un rectángulo es igual al
producto de la base por la altura.
Esta expresión puede abreviarse así:
Área = Base x Altura la abreviación,
resulta mas corta, escribiendo, sólo la
primera letra de cada palabra suprimiendo
el signo X; así se tiene A = ba (fórmula).

Toda fórmula es una regla expresada por
medio de símbolos, e indica las
operaciones que deben efectuarse con los
números representados por las literales,
para obtener ciertos resultados.
Por la aritmética, se sabe que, dado el
producto de dos factores, conociendo uno
de los factores, se puede calcular el otro, al
dividir el producto entre el factor
conocido.

Así, de la fórmula del área del rectángulo
A = ba, se deduce que:
࡭ ࡭
࢈ = ࢟ ࢇ =
ࢇ ࢈

El producto de dos factores literales a y b,
puede escribirse: axb, a.b, ab, del

mismo modo, el producto 5 por a, se
representa : 5 x a, 5 . a o 5a.

El área de un rectángulo de base b y
altura a, es ba. Y el área de tres
rectángulos iguales (ba) es:
࢈ࢇ + ࢈ࢇ + ࢈ࢇ = ૜࢈ࢇ

El duplo de a se escribe 2a,

el triple de b se escribe 3b.

ࢇ ࢇ
el cuádruplo de ૜
es ૝ ૜ así se tiene:

૛ࢇ = ࢇ + ࢇ
૜࢈ = ࢈ + ࢈ + ࢈
ࢇ ࢇ ࢇ ࢇ ࢇ
૝ = + + +
૜ ૜ ૜ ૜ ૜

En las expresiones anteriores: 2,3,4, se
llaman coeficientes.

Coeficiente es el número o la letra que
indica cuentos sumandos iguales se
toman.
En las expresiones ૞૛ , ࢇ૛ , ࢇ૜ , ࢇ࢔ los
números 5 y a se llaman base, y el
número o letra escrito arriba se llama
exponente, e indica el número de
factores iguales a la base que hay en el
producto.

ACTIVIDAD 1. Expresar algebraicamente:
l. El duplo de a, el triple de b. el quíntuplo de
cd.
2. El cuádruplo de la suma de a más b,
dividido entre 5.

3. El área A de 3 tiras iguales de papel, si cada
2
tira mide a dm .

4. La distancia d de 25 arboles situados de un
mismo lado de una avenida, dado que cada
árbol esta inmediato del siguiente.

5. La distancia, con respecto al punto de
partida, a que esta un automóvil que corre,
con velocidad uniforme durante 3 horas, a
razón de n km por hora.

6. El perímetro p de un cuadrado que mide a
m. de lado.
7. El perímetro de un rectángulo de b m. de
LARGO y a ANCHO m.
8. El área de un triángulo de base b y altura
a, sabiendo que esa área es igual al
semiproducto de la base por la altura.

9.La longitud c de una circunferencia, dado
que es igual al producto del número ࣊ por el
duplo del radio r, o por el diámetro d.

10. El área de un polígono regular, si se

obtiene multiplicando el semiperimetro s
por la apotema a.

ACTIVIDAD 2. Las siguientes expresiones
algebraicas Transformarlas en enunciados:
Expresión enunciado
ࢇା࢈
,
૛
ࢇ࢈
૛
,
ሺ࢔ + ૚૙ሻ૛ ,
ሺ࢔ − ૚ሻ૜ ,
૝ ሺ࢔ + ૡሻ ,
ሺ૜࢔ + ૛ሻ૛ +5

ACTIVIDAD 3. Marca la alternativa correcta
de cada pregunta. Escribe también el
desarrollo.
1) ¿Cuál es la expresión que corresponde a:
"los cuadrados de dos números enteros
consecutivos"?

2) El Club popular Colo-Colo anota m goles
en su primer partido, m-5 en el segundo y
m+10 en el tercero.
Cuántos goles anota en el cuarto partido si
en total hizo 4m goles?

En un gallinero hay P pollos. Se enfermo la
mitad y luego la mitad del resto. Los pollos
sanos son:

El "triple del cuadrado de la diferencia entre
a y el cuádruplo de b" en lenguaje algebraico
es:

¿Por cuánto se debe multiplicar a para
obtener b?

La mitad de z aumentada en el producto de
18 por w, se expresa por:

Después de subir x kilogramos, Lorena peso
50 kilogramos. ¿Cual era su peso anterior?
a) x kg b) 50 kg c) (x - 50) kg
d) (x + 50) kg e) (x - 50) kg
Si Rafael es 10 años mayor que Jessica. ¿Qué
edad tiene Rafael si hace x años Jessica tenla
10 años?
a) x años b) 10 años c) (x + 20) años
d) (20 - x) años e) (x + 20) años

¿En cual (es) de las siguientes ecuaciones, n
toma un valor perteneciente a los números
naturales?
l. n+5=2 II. 2n+3=7 III. 3n - 5 = 10

a) Sólo I b) Sólo I y 11 c) Sólo I y III
d) Sólo II y III e) I, II y III

Si las dimensiones de un rectángulo son
-
(a + x) y (a x) entonces su área quedara
expresada por:

Lección 2
Termino algebraico
Consta de:
a) signo b) coeficiente numérico
c) factor lineal d) exponente

GRADO DE UN TÉRMINO: Es la suma de los
exponentes del factor literal Ejemplo:

En el término tiene grado 3 (por el
exponente de x)

En el termino tiene grado 5 (2 + 3,
la suma de los exponentes)

GRADO DE UNA EXPRESION: Es el grado
mayor de sus distintos términos.

Ejemplo: En la expresión tiene
grado 5 (por el grado del segundo término)

En el término tiene
grado 12 (por el grado del segundo
término)

Es toda combinación de números y letras
ligados por los signos de las operaciones
aritméticas.

De acuerdo al número de términos puede
ser:
MONOMIO: BINOMIO TRINOMIO:
tiene 1 : tiene 2 tiene 3
término términos términos

POLlNOMlO O MULTINOMIO: tiene más de
3 términos

TERMINOS SEMEJANTES
Los términos son semejantes cuando
tienen el mismo factor literal,:
Se pueden sumar o restar: Sumando o
restando sus coeficientes numéricos y
conservando el factor literal.

Ejemplo: El término y el término
son semejantes. Ya que tiene factor literal
iguales) y al sumarlo da

EJERCICIOS:
1) Define con tus palabras:
a) Coeficiente numérico b) Factor literal
c) Término algebraico
2) En cada término algebraico, determina
a) El coeficiente numérico, b) factor lineal y
c) el grado

En cada término algebraico, determina
a) el coeficiente numérico,
b) factor lineal y
c) el grado

3) Determina el grado y el número de
términos de las siguientes expresiones:

4) Calcula el perímetro de cada rectángulo
encontrando su expresión algebraica,
Luego clasifica según su número de
términos, antes de reducir términos
semejantes:

5) Reduce los términos semejantes en cada
una de las expresiones siguientes:

Lección 3
EVALUACION DE EXPRESIONES

A cada letra o FACTOR LITERAL se le asigna
un determinado valor numérico.

Ejemplo: Si a = 3 y b = 2, remplazamos
esos valores en la expresión:
3a - 2b - 5a + 4b - 6a + 3b =

Ahora : Si a = -2 ; b = 4 ; c = -1
encuentra el valor de cada expresión

12a-8a+10a+3a-18a +5a= 7a - 8c + 4b + 6c - 4b + 3a
=

veamos ahora un ejemplo con números
racionales si:

Evaluemos la expresión:
a) 3a - 2b - 5a + 4b - 6a + 3b

Si:

Encuentra el valor de cada expresión

EJERCICIOS: En las siguientes expresiones
algebraicas, reduce los términos
semejantes y luego remplaza en cada caso
por a = -2 y b = 7, para valorar la expresión
a) 3ab-b+2ab+3b=

Calcula el valor numérico de las siguientes
expresiones algebraicas:
a = 2; b = 5; c = -3; d = -1 y f = 0

Encuentra el valor numérico de las
siguientes fórmulas, aplicando en cada
caso solo los valores asignados para las
variables respectivas.

4) Evalúa la expresión
para los valores de x = O, 1, 2, 3, 4, ..., 40.
¿Qué característica tienen los números que
resultan?

ENCONTRANDO FORMULAS
A Continuación debes encontrar una
fórmula que represente a todos los
términos de la sucesión de números.

, esta fórmula debe ser válida para valores
naturales, es decir si le damos valores a la
fórmula, debe obtener los términos de la
sucesión.

Ejemplo: la sucesión 2, 4, 6, 8, .... , tiene
una fórmula que generan estos números,
una manera de obtenerla es descomponer
sus términos:

La fórmula que genera a esta sucesión.
2xn, donde n E N ,

Encuentra la formula para las siguientes
sucesiones:
2) Mersenne, antiguo matemático,
propuso la expresión 2p - 1. Al remplazar p
por un número entre 1 y 10,
¿Cuáles números primos resultan?

3) Verifica si la fórmula 24n + 4(n + 1) + 10
entrega múltiplos de 7, para n E N,

ALGEBRA Y GEOMETRIA
CALCULO DE PERIMETROS
Se dan los siguientes segmentos:

1) Elige un segmento y dibujas 3 veces el
segmento elegido

2) Elige dos segmentos y dibuja la suma de
dichos segmentos

3) Elige otros dos segmentos y dibuja la
diferencia entre ambos segmentos.

Recordemos el concepto de PERIMETRO

Determinar el perímetro de cada figura:

Lección 4
Eliminación de paréntesis
Para resolver paréntesis se debe seguir las
siguientes reglas:
a) si el paréntesis esta precedido por signo
positivo, se consideran los términos por
sus respectivos signos,

b) si el paréntesis esta precedido por signo
negativo, debes cambiar el signo de los
términos que están dentro del paréntesis
que vas a eliminar.

COMPLEMENTARIOS
Si la arista de un cubo mide 6a cm.
Calcula para a = 1,2,4, ... , 16
a) La superficie del cubo
b) El volumen del cubo
c) La superficie y el volumen
¿En qué relación aumentan la superficie y
el volumen cuando aumenta en estos
valores?

2) En una caja negra hay "b" bolitas
blancas y "a" bolitas azules,
Se realizan en orden los siguientes
cambios:
1. Sacar 3 bolitas azules y5 blancas
2 Duplicar las bolitas azules y
cuadruplicar las bolitas blancas
3. Agregar una bolita blanca y
sacar 1 bolita azul.

A partir de esta información completa la
tabla de sucesos para determinar cuántas
bolitas quedan al final.

Repite los mismos pasos pero tomando 5
bolitas blancas y8 bolitas azules, en Lugar
de b y a, respectivamente.

Valorar:

Lección 5.
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Definiciones.

Monomios: un Monomio es una expresión
algebraica formada por una parte
numérica llamada coeficiente y una parte
literal formada por letras y exponentes.

El grado de un monomio es la suma de los
exponentes de las letras que lo forman:

Dos monomios son semejantes cuando
tienen la misma parte literal

1- Indica el grado, la parte literal y los
coeficientes de los siguientes monomios:
Monomio grado Parte coeficiente
literal

2.- Calcula el valor de m para que cada par
de monomios tengan el mismo grado:

3.- Une con flechas los monomios
semejantes de las dos filas:

4.- Calcula el valor de m, para que cada par
de monomios sean semejantes.

6.- Efectúa las siguientes sumas, resta,
multiplicación y división de monomios:

9.- Efectúa las siguientes potencias de
monomios:

POLINOMIOS
Un polinomio es una expresión algebraica
formada por: la suma o diferencia de dos o
más monomios no semejantes, o la suma o
diferencia de un número y uno o más
monomios.
Ejemplos:

El grado de un polinomio es el mayor de
los grados de los monomios que lo forman.

Indica el grado de cada uno de estos
polinomios

Halla el valor numérico del polinomio:

Halla el valor numérico del polinomio

Halla el polinomio de primer grado tal que
su valor numérico
para x = 1 es -2, y para x = 0 es 3.

Halla el polinomio de segundo grado tal
que el coeficiente del término de mayor
grado es 1 y su valor numérico
para x =1 es 2 y para x=0 es 6.

Calcula el valor de a para que sean iguales
los polinomios
p(x) =2x – 3 Y q(x) =2x +a

Calcula el valor de a para que sean iguales.
los polinomios

Suma y resta de polinomios
En la suma de dos polinomios se suman los
monomios semejantes;

Para restar dos polinomios se suma al
polinomio minuendo el opuesto del polinomio
sustraendo:

El signo negativo que afecta a un
paréntesis, cambia los signos de los
monomios que contiene l

Calcula

Calcula
a) p(y) - [q(y) - r(y)) = b) q(y) - r(y) - p(y) =

Calcula
a) [p(t) +q(t)J - [r(t) +s(t)J = b) q(t) + [p(t) - r(t)] - s(l) =

Calcula
a) q(x) - [r(x) +p(x)J = b) r(x) • [q(x) - p(x)J =

Calcula m sabiendo que
p(x) +q(x) - r(x) =

7.- Dado el polinomio:

Halla otro polinomio q(x) tal que:

8.- Dado el polinomio:

Halla otro polinomio q(x) tal que:

9.- La diferencia de dos polinomios es:

Calcula q(x) sabiendo que

10.- ¿Qué polinomio hay que sumar al
polinomio?

Para obtener el opuesto del polinomio

LECCION 7.
Producto de polinomios
- Para multiplicar un monomio por un
polinomio , se multiplica dicho monomio
por cada uno de los monomios del
polinomio:

- ,Para multiplicar dos polinomios : se
multiplica cada monomio del primero por
los monomios del segundo y por ultimo se
realiza la reducción de términos
semejantes.

Hallar los siguientes productos:

Observa los siguientes productos y
completa los términos que faltan:

1. Completa la siguiente tabla:

2. Halla el producto p(x)'q(x):

Halla el producto p(x)'q(x) para cada caso

5.Dados los polinomios:

Calcula:

Calcula:

d) ¿Cómo son los resultados de los
apartados a y b?
6 Completa la siguiente tabla:

LECCION 8.
DIVISION DE POLINOMIOS
División de polinomio entre monomio
La división de un polinomio entre un monomio
se realiza sumando a sumando, en el caso de
que existan las mismas variables.
Ejemplo:


.
.
.

. Calcula los siguientes cocientes y verifica que
los cocientes son exactos o enteros:

Halla el cociente y el resto de las siguientes
divisiones:

. El cociente entre un polinomio y el monomio

División de un polinomio entre otro polinomio

La división de dos polinomios, por la división
larga, se siguientes pasos:
•1) Se ordenan los términos de ambos
polinomios según las potencias decrecientes (o
crecientes) de una de las letras comunes a los
dos.

2)- Se divide el primer término de dividendo
por el primero del divisor, con lo que resulta el
primer término del cociente.

•3) El resultado del cociente se multiplica por el
divisor, para después

4) restar este producto del dividendo y del
resultado obtenido,
5) Se ejecutan los pasos 2-3-4 de manera
consecutiva hasta reducir el residuo a cero o a
un polinomio menor que el divisor.

• Si el residuo es cero, entonces el cociente y el
divisor son factores del dividendo.

9. Realiza las siguientes divisiones:

8. Realiza las siguientes divisiones de
polinomios y comprueba en cada caso que

9. Determina el cociente y el resto del
polinomio

10. Comprueba:
a) El grado del cociente es igual al grado del
dividendo menos el grado del divisor
b) El grado del resto es menor que el grado del
divisor

11. ¿Qué polinomio dividido entre

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