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TEMA 22EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS Y CÁLCULO NUMÉRICONÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALESSISTEMAS DE NUMERACIÓNRELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROSOPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMOINTERVENCIÓN EDUCATIVA

introducciónEste tema centra la mayor parte de la enseñanzade las matemáticas en primaria.Los contenidos de números son la base de posteriores aprendizajes, además de tener unaaplicación a la vida cotidiana evidente.Partiremos del RD1513/2006 y del D126/2007 Canariaspara abordar los objetivos, contenidos y criterios de evaluaciónIntroduciremos conjuntos numéricos, veremos distintos tiposde modelos y materiales. También nos detendremos en cálculo mental, estimado y uso de calculadora.Estudiaremos el concepto de sistemas de numeración, y realizaremos indicacionessobre la intervención educativa.

EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS Y CÁLCULO NUMÉRICODECRETO 126/2007 de 24 de mayoEl bloque 1, «Números y operaciones», pretende esencialmente el desarrollo del sentido numérico, entendido como el dominio reflexivo de las relaciones numéricas que se expresan en la habilidad para descomponer números de forma natural, comprender y utilizar la estructura del sistema de numeración decimal, utilizar las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas, para realizar mentalmente cálculos; todo ello apoyado en la manipulación de materiales (regletas de cuisenaire u otras, bloques base diez, cinta métrica, calculadora, ábaco…).

1.1.CONTRIBUCIÓN AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICASCompetencia matemáticaSe logra mediante el carácter instrumental de los númerosy cálculo numérico, que permite resolver la mayoría de losproblemas que se presentan en la vida cotidiana.En el bloquenúmeros yoperacionesCompetencia en el conocimiento e interacción con el mundo físicoPermite un comprensión mejor del entorno en múltiples contextos:medidas de temperatura, cálculos monetarios..

Competencia en tratamiento de la información y competencia digitalLos números proporcionan destrezas asociadas a su uso, como la comparación,la aproximación… facilitando la comprensión de informaciones que incluyen cantidadesO medidas.Competencia en autonomía e iniciativa personalMediante la planificación, gestión de recursos y valoración de los resultado,necesarios para hacer frente a la resolución de verdaderos problemaspara los niños.

Competencia para aprender a aprender Es también necesario incidir desde el área en los contenidos relacionados con la autonomía, la perseverancia y el esfuerzo para abordar situaciones de creciente complejidad, la sistematización, la mirada crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo Competencia en comunicación lingüística Incorporando lo esencial del lenguaje matemático a la expresión habitual y la adecuada precisión en su uso

RD15131.2. OBJETIVOSConocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para afrontar situacionesdiversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estéticos o utilitarios y confiar en susposibilidades de usoUtilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas

NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALESEl desarrollo de la humanidad ha ido al desarrollo de los conceptosnuméricos y su uso. Todas las culturas y épocas han sentido la necesidad de desarrollar herramientas que permitieran resolverproblemas cotidianos asociado a las cantidades y sus operaciones.2.1.NÚMEROS NATURALESLas técnicas de contar son universales y surgen ligadas a la necesidad de :Comunicar información relativa al tamaño de las coleccionesde objetos.Indicar el lugar que ocupa un objeto dentro de una colecciónordenada de objetos.

CONTARESPoner en correspondencia uno a uno los distintoselementos de un conjunto con un subconjunto deotro conjunto.Godino2004 Los número naturales son cualquier sistema de objetos,perceptibles o pensados, que se usan para informar delcardinal de los conjuntos y para ordenar sus elementos, indicando el lugar que ocupa cada elemento dentro delconjunto.

2.1.1. Formalizaciones matemáticas de los números naturales.Un conjunto de objetos N, se dice que está naturalmente ordenado si cumple los siguientes axiomasFormalización de PEANOA cada objeto le corresponde otro que se llamasu siguiente o sucesor.Existe un primer elemento 0, que no es sucesor de ningún otro elemento.Dos elementos diferentes de N no pueden tener el mismo sucesor.Todo subconjuto de N que contiene el O y que contiene el sucesor de cada uno de sus elementos coincide con N.

Formalización a partir de laidea de clases de equivalenciaDos conjuntos de objetos que tienen el mismo cardinal son equivalentes y todoslos conjuntos equivalentes forman una misma clase de conjuntos.El conjunto de estas clases está naturalmente ordenado.2.1.2.Operaciones entre números naturales.SUMADados dos conjuntos finitos A y B disjuntos, con cardinales:N(A)= a y n(B)=bDefinimos la suma de a y b como el cardinal del conjuntoA U B.PropiedadesUna operación internaConmutativaAsociativaPoseedora de un elemento neutro.La suma es

PRODUCTODados dos conjuntos A Y B con cardinales a y b, e define el productode a x b, como el cardinal del producto cartesiano A X B:a x b = n(AXB)= n(A) x n(B)PropiedadesUna operación internaConmutativoAsociativoPoseedor de una elemento neutro.El producto esRESTASean A y B dos conjuntos tales que B c A y con cardinales a y b, Se define la diferencia a-b como el cardinal del conjunto A-B= [x/x EA y x E B]

2.1.NÚMEROS ENTEROSConjunto de los números naturales más los negativos.Modelos para representar los nº enteros y sus operaciones.El modelo de recta numéricaEl modelo de fichasConsiste en usar fichasblancas y negrasUna blanca se anula conuna negra.Blancas +Negras -

2.3.NÚMEROS FRACCIONARIOSGeneralmente un par ordenado de números enteros con la condiciónde que el segundo sea distinto de cero.A numeradorB denominador2.3.1. Significados de una fracciónRazón Simbolización decimalPartes de un todoOperador Cociente de enteros

2.3.2. Representaciones y modelos para fraccionesModelo linealModelo de área

Fracción equivalente, nº racional

2.4.NÚMEROS DECIMALESLos números decimales pueden escribirse de dos maneras:como fracción o bien en notación decimal.Los números decimales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse2.4.1 Contextos de los números decimales.Calculadora y pcs.medidaAproximación Notación científicaDivisión enteraPorcentajes Didáctica

2.4.2. Representaciones y modelos de decimales.Las fracciones decimales son la base de los decimales.Los significados y representaciones de las fracciones son útiles para los decimales.Inicialmente a los niños les resulta más fácil usar la anotaciónfraccionaria que decimal.Modelos de los númerosdecimalesPapel cuadriculadoBloquesmultibase

SISTEMAS DE NUMERACIÓNEs un conjunto de reglas y convenios que nos permiten expresarverbal y gráficamente los números mediante palabras y signos.3.1.SISTEMAS DE NUMERACIÓN ADITIVOSPrimeramente se usan cifras para denotar 1,n,n2,n3… donde n es la base del sistema de numeración. Para representarun número se acumulan los símbolos necesarios en cada uno de losórdenes.SISTEMA EGIPCIO

Luego, se usan cifras para 1,a,n,an,n2,an2...Donde a<n es un divisor privilegiado de n que recibe el nombrede base auxiliar del sistema.SISTEMA ROMANO3.2.SISTEMAS DE NUMERACIÓN HÍBRIDOSLas distintas potencias de la base n.Son de tipo aditivo-multiplicativo.Dos tipos de símbolos:Los que representanA los multiplicadores de dichas potencias.

3.3.SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALESSe basan en el valor relativo a sus cifras, ya que una misma cifra representadistintos valores según el valor que ocupe.SISTEMA BABILÓNICOSISTEMA MAYA

Se basa en los siguientes supuestos:3.4.SISTEMAS DE NUMERACIÓN DECIMALValor de posiciónBase 10.Valor relativoUnidades de orden superiorMultiplicadoresMateriales y recursos para la enseñanza del sistema decimal- Objetos corrientes que sirvan como contadores- Regletas Cuisenaire- Bloques multibase de Dienes- Ábacos.

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROSLos números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}Cuando se necesita además restar surgen los números enteros={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados), ={... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ...... }

OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMOCÁLCULO ESCRITOEn todo algoritmo está implicadas dos cuestiones relacionadas: anotación y procedimiento.Anotación Es la anotación indo-arábigaProcedimiento Está basado en el valor posicional de las cifras y es diferente en cada operación aritmética.El algoritmo debe poseer las siguientes propiedades:Nitidez Eficacia Universalidad

El algoritmo de la suma o adiciónSe necesita prestar atención ala correcta colocación de los sumandos y elresultado, de manera que unidades, decenas, centenas… se alineen paraevitar errores.Dificultades y erroresERRORESOperar como si se tratarade dígitos.Error en la segunda columnaConfundir el papel del cero.Muchas dificultades se deben mása los errores en las sumas básicas que a la falta de comprensión de las fasesdel algoritmo usual.

CÁLCULO MENTAL Y ESTIMACIÓNLos algoritmos que se desarrollan en la aritmética del cálculo mental y estimadoTienen unas características que los diferencian de los llamados lápiz y papel.Son flexibles, personales y el resultado no tiene por qué ser exacto.De sumasBasados en la descomposición de uno o ambos sumandos:Convirtiendo en 10 a uno de los sumandosSeparando las distintas unidades de cada sumando.De productosDescomposición de unos de los factores: a veces de tipo aditivo y otrasde tipo multiplicativo.

CALCULADORAAplicaciones didácticas posibles:Permite concentrarse en el proceso de resolución de problemasy no en las operaciones aritméticas.Logra el acceso a matemáticas que van más allá de los cálculos.

Explorar, desarrollar y reforzar conceptos incluyendo estimación,cálculo y aproximación.Experimentar con ideas y patrones matemáticos.- Hacer cálculos tediosos con datos de la vida real. Establece3 etapasEtapa de familiarizaciónEtapa de familiarización y exploraciónEtapa de aplicación Rizo 2002

INTERVENCIÓN EDUCATIVA6.1. PERÍODO DE 6 A 8 AÑOSCONTENIDOSOBJETIVOSUtilización de números ordinales.Cálculo de sumas y restasutilizando algoritmos estandar.Elaborar estrategias de cálculomental.Reconocer situaciones de suma, resta, multiplicación y divisiónEVALUACIÓNACTIVIDADES3. Comparar cantidades pequeñas de objetos en hechos o situacionesfamiliares, interpretando y expresando los resultados de la comparación de forma numérica; y ser capaz de redondear, en función del contexto, a la decena más cercana. Cálculo mental de sumasObservación del calendario e interpretación de su lenguaje.

6.2. PERÍODO DE 8 A 10 AÑOSCONTENIDOSOBJETIVOS3.1. Composición y descomposición aditiva y multiplicativa de los números, y construcción y memorización de las tablas de multiplicar. 2.1. Comprensión en situaciones familiares de la multiplicación como suma abreviada, y su utilización en disposiciones rectangulares yproblemas combinatorios; y empleo de la división para repartir y agrupar. Establecer equivalencias entre lasuma y la resta y entre la multiplicación y división.Identificar regularidades numéricas y escribir series ordenadas de números.ACTIVIDADESEVALUACIÓNComentar de manera lúdica el nombreDe los números: cardinales, ordinalesy romanos.Plantear problemas con númerosdecimales.2. Realizar cálculos numéricos de números naturales con fluidez, utilizando el conocimiento del sistema de numeración decimal y las propiedades de las operaciones, en situaciones de resolución de problemas.

CONTENIDOS6.3. PERÍODO DE 10 A 12 AÑOSOBJETIVOS1.4. Usos de los números decimales habituales en la vida cotidiana. Fracciones decimales, porcentajes y su equivalencia con los números decimales hasta el elemento de 2.º orden (centésimas Conocer los nº enteros y su aplicaciónpara representar algunas situaciones de la vida cotidiana.Calcular sumas y restas de fraccionesy realizar operaciones con nº decimales.ACTIVIDADESEVALUACIÓNPlanteamiento y resolución de problemasen los que intervengan operaciones combinadas.Realización de series de nº proporcionales2. Realizar operaciones y cálculos numéricos mentales y escritos en situaciones de resolución de problemas habituales en la vida cotidiana, mediante erentes algoritmos alternativos para cada operación, y automatizarlos a partir de la comprensión de cómo operan en ellos las propiedades de los números y de las operaciones.

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