![ Demostrarque el área de un paralelogramoesigual al productode dosladosno paralelos
por el senodel ángulocomprendido.
Si SPQR esun cuadrado,y PQT esun triánguloequilátero,cuantomide el ánguloSTR.
ABCD y EFGD son cuadrados. Entonces <x =
Calcula el área total del siguiente mosaico,
donde el mismo está constituido por uno o
más triángulos como el dado en la figura.
Observe que debe calcular el área total y no
solo la parte sombreada.
Sobre los bordes de una hexágono regular de 1 metro
de lado se levantan rectángulos de b metros de alto,
luego se unen los vértices próximos de los rectángulos
con segmentos de recta, determinar el área total
sombreada
Sea △ABC un triángulo rectángulo en B, BM mediana, BC = a, AC = 2a, CE //
BM, BE // AC. Calcular las siguientes áreas: A[BMCE], A[△AMB], A[△ABC].](https://image.slidesharecdn.com/8clase8cuadrilteros-181115004445/85/8-clase-8_cuadril_teros-10-320.jpg)
8 clase 8_cuadril_teros
- 1. DesarrolloClase de Cuadriláteros CUADRILÁTEROS Definición:Cuadriláteroesunpolígonode 4 lados Elementos: 4 lados, 4 vértices, 4 ángulos internos y 2 diagonales. Además, la suma de todos sus ángulos interiores es de 360°. Los Cuadriláteros pueden ser cóncavos o convexos, dependiendo cuánto midan sus ángulos interiores. Un cuadrilátero es convexosi todos sus ángulos interiores son menores a 180° (mira la figura de abajo).Tambiénpuedesdarte cuentasi esconvexo,cuandoal trazar una recta sobre él,la recta lo cortó a lo más en dos lados. Un cuadrilátero es cóncavo, si uno de sus ángulos interiores mide más de 180°. También puedes darte cuentasi escóncavo,cuandoal trazaruna rectasobre él,larectalocortaenmásde doslados. Clasificaciónde los Cuadriláteros:de acuerdoal paralelismode suslados,podemos clasificarlos cuadriláteros en: Paralelogramos (romboide):tienendosparesde ladosparalelos. Trapecios:tienenunparde ladosparalelos ylosotros no paralelos. Trapezoides:sonloscuadriláterosque notienenladosparalelos. Esel cuadrilátero más general.
- 2. En los paralelogramos llamamos base a cualquiera de dos lados paralelos, en el trapecio se denomina bases al par de lados paralelos. Altura de un paralelogramo o trapecio es el segmento de perpendicular comprendida entre las bases. Dentro de los trapecios se puede distinguir los subconjuntos de trapecios isósceles y trapecios rectángulos.
- 3. Propiedades de los paralelogramos (demostrar) TEOREMA En todo paralelogramo cada lado es igual a su opuesto. Dato o hipótesis: - AB paraleloDC - AD paraleloBC Tesisa demostrar: - AB= DC - AD = BC Demostración:conla construcciónauxiliarACse determinandostriángulosque se deben demostrariguales. Corolario: cada diagonal divideal paralelogramoendostriángulosiguales. TEOREMA Los ángulos apuesto de un paralelogramo son iguales y los adyacentes a un mismo lado suplementarios. Dato o hipótesis: - AB paraleloDC - AD paraleloBC Tesisa demostrar:- <A= <C; <B= <D - <A+ <D= 180° Demostración:igual construcciónauxiliarque en teoremaanterior.
- 4. TEOREMA Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales. Dato o hipótesis: - ABCDparalelogramo - ACy DB diagonalesque se cortanenO Tesisa demostrar: - AO= OC - BO = OD Aplicaciones para realizar en clase 1. La recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio (mediana) es paralela a las bases e igual a su semisuma. Tesis: EG // AB//DC EG=1/2(DC+AB) 2. Determinarel valorde ladiagonal de uncuadrado enfunciónde su lado. 3.
- 5. Solucion: TrianguloAFBsemejante aCFE TrianguloABHsemejante aHDE Solución21 m Perímetroy área de un cuadrilátero: DEFINICIONES Perímetro:sumade laslongitudesde suscuatrolados. Área: entendiendoporsuperficie,enunaregión limitada,comoel conjuntode todoslospuntosdel planoencerradosporuna figurageométricaplana.El áreaes lamedidade tal superficieenfunción de una unidadde superficie.Porlogeneral launidadde superficieeslacorrespondientea la de un cuadrado que tiene una unidad de longitud por lado. Figuras equivalentes: se dice que dos figuras geométricas son equivalentes si tienenigual medida de superficie,esevidente que losfigurasgeométricasigualessonequivalentes,peronodosfiguras equivalentes serán siempre iguales. Ejemplo de figuras equivalentes.
- 6. TEOREMA El área de un rectángulo es igual al producto de la base por la altura. Datos o hipótesis: R rectángulobase b y alturaa Tesisa demostrar: - area de R = a * b TEOREMA El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura. Datos o hipótesis: - AC paralelogramode base by alturaa Tesisa demostrar: - área de AC = a * b Corolario: dos paralelogramos son cuyas base y alturas son iguales son equivalentes.
- 7. TEOREMA El área de un triángulo es igual al producto de la base por la altura, dividido entre dos. Datos o hipótesis: ABC triángulode base by altura a Tesisa demostrar: - área de AC = ½ (a * b) Corolario 1: todos los triángulos cuyas base y alturas son iguales son equivalentes. Corolario 2: El producto de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al producto de la hipotenusa por la perpendicular bajada a ella del vértice del ángulo recto. Triángulo rectángulo Área del triángulo rectángulo = TEOREMA El área de un trapecio es igual a la mitad del producto de la altura por la suma de las bases.
- 8. Datos o hipótesis: ABCD trapeciode basesb yb´ Tesisa demostrar: - área de AC = ½ a * (b+ b´) Corolario: El área de untrapecioesigual al productode la alturapor la recta que une los puntosmediosde losladosnoparalelos. Área de un polígonocualquiera:El área de un polígonocualquierapuede calcularse fácilmente descomponiendoenfigurasde áreaconocida Área de (ABCD) = Área de (ABCD) =
- 9. Aplicacionesparaclase Demostrarque las bisectricesde dosángulosopuestosenuncuadriláterocualquiera formanun ángulo agudoque esigual a la semidiferenciade losotrosdosángulos. Los vértices A;B;CyD formanuncuadrado de lado l,sobre los ladosDC y AD se construyentriángulosequiláterosAFDyDEC respectivamente,calcularel áreadel triánguloFDE enfunción del ladodel cuadrado. En el grafico se tiene MN // AB , MN= 3cm., y AB= 5cm determinarlarazónentrelasáreasdel cuadriláteroABNM y el Triangulo ABC. Tarea para la casa: Una zona boscosatiene formade trapecio,cuyasbasesmiden128 m y 92 m.La anchura de la zona mide 40 m. Se construye unpaseode 4 m de anchoperpendicularalasdos bases.Calculael áreade la zona arboladaque queda. Un jardín rectangulartiene pordimensiones30 m y 20 m. El jardín estáatravesadopor dos caminosperpendicularesque formanunacruz.Uno tiene unanchode 8 dm y el otro 7 dm.Calculael área del jardín. Dados loscuatro dadosde un cuadriláteroyuna de sus diagonales,calcularalaotra diagonal:a= 5 cm.,b=7cm., c=6cm., d=8cm., y ladiagonal 8cm.
- 10. Demostrarque el área de un paralelogramoesigual al productode dosladosno paralelos por el senodel ángulocomprendido. Si SPQR esun cuadrado,y PQT esun triánguloequilátero,cuantomide el ánguloSTR. ABCD y EFGD son cuadrados. Entonces <x = Calcula el área total del siguiente mosaico, donde el mismo está constituido por uno o más triángulos como el dado en la figura. Observe que debe calcular el área total y no solo la parte sombreada. Sobre los bordes de una hexágono regular de 1 metro de lado se levantan rectángulos de b metros de alto, luego se unen los vértices próximos de los rectángulos con segmentos de recta, determinar el área total sombreada Sea △ABC un triángulo rectángulo en B, BM mediana, BC = a, AC = 2a, CE // BM, BE // AC. Calcular las siguientes áreas: A[BMCE], A[△AMB], A[△ABC].