16. presentación ecuaciones diferenciales

CAPITULO ICAPITULO I
Funciones
CAPITULO IICAPITULO II
Integrales
CAPITULO IIICAPITULO III
Ecuaciones diferenciales
CAPITULO IVCAPITULO IV
Método para resolver una ecuación diferencial

FuncionesFunciones
1.1 Exponenciales y Logarítmicas
1.2 Diferenciación de una Función Exponencial
1.3 Diferenciación de una Función Logarítmica
1.3.1 Diferenciación Logarítmica

IntegralesIntegrales
2.1 Integral Indefinida
2.2 Integración de Funciones Trigonométricas
2.3 Teorema Fundamental del Cálculo
2.4 Método de Sustitución
2.4.1 Sustitución para integrales definidas
2.5 Integración por partes

Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales
3.1 Introducción
3.2 Solución de una Ecuación Diferencial
3.2.1 Comprobación de la solución de una ED
3.3 Obtención de una Ecuación Diferencial a
partir de la solución general.

Métodos Para Resolver una EDMétodos Para Resolver una ED
4.1 Introducción
4.1.1 Objetivo de los métodos para la obtención de la
solución general.
4.2 Ecuaciones de Variables Separables
4.3 Ecuaciones Homogéneas
4.4 Ecuaciones Exactas

Cálculo con Geometría Analítica
R. E. Larson y R. P. Hostetler
Mc. Graw-Hill, 2000
Cálculo con Geometría
L. Leiithold
Harla, 1992
Cálculo, Concepto y Contextos
J. Stewart
Internacional Thompson, 1999

Ecuaciones Diferenciales
E. D. Rainville
Nueva Editorial Interamericana, 1987
Cálculo
Frnakes Ayres Jr., Elliot Mendelson
Mc. Graw-Hill, 2001
Matemáticas Superiores para Ingeniería
C. Ray Wyle
Mc. Graw-Hill, 1994

DefiniciónDefinición
La función denota una regla que asigna a cada elemento de x
del conjunto A, exactamente un elemento, denotados
por f(x) del conjunto B.
BAf →:
f Función
A y B Conjuntos
x
a
f(x)
f(a)
BA

Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos de
números reales:
Dominio es el conjunto A de la función, denotado por
D(f).
Rango es el conjunto de todos los valores posibles
f(x) conforme varía en todo el dominio A.
El número f(x) es el valor de f en x.
R== BA

y=f(x)
Rango
Dominio
x
y
{ }AxxffR ∈= :)()(

EjemploEjemplo
Encuentre el dominio y rango de cada función:
1. f(x)=2x-1
2. g(x)=x2

SoluciónSolución
1. La ecuación de la gráfica es y=2x-1, la cual es la ecuación
de una recta con pendiente y ordenada en el origen de -1. La
expresión esta definida por todos los números reales, de
manera que D(f)=R y su rango es también R(f)=R.
-1
-1
1
1
/2 1

SoluciónSolución
2. La ecuación de la gráfica g(x)=x2
, la cual representa una
parábola. La función g esta definida para cualquier número
real, así D(g)=R y su rango es positivo.
1
2
3
4
1 2-1-2

Funciones PotenciaFunciones Potencia
Funciones donde la base es una variable y la potencia es una
constante, tiene la siguiente forma:
Ejemplos:
x
a
xf =)( R∈a
1
2
−
=
=
=
xxh
xxg
xxf
)(
)(
)(

Función ExponencialFunción Exponencial
Función donde la base es una constante y la potencia es una
variable, es la función exponencial de base a, tiene la
siguiente forma:
Ejemplos:
a
x
xf =)(
R∈
>
x
a 0
x
x
xg
xf
2
3)(
2)(
=
=
x
xh 





=
2
1
)(

Propiedades de la Función ExponencialPropiedades de la Función Exponencial
Siendo:
1. 4.
2. 5.
3. 6.
10
=a
yxyx
aaa +
=
yx
y
x
a
a
a −
=
( ) xxx
baab =
( ) yxyx
aa ⋅
=
x
xx
b
a
b
a
=





0, >ba R∈yx,

En cálculo se decide trabajar como base el número
irracional e que tiene un valor aproximado de
2.718281828.
La función exponencial para cualquier x є R se define
como:
Cuenta con las mismas propiedades que cualquier función
exponencial de base a.
( ) 718281828.21
1
0
≈+=
→
x
x
x
xLime

Gráfica de la Función Exponencial “baseGráfica de la Función Exponencial “base e”e”
2
3
4
0.5 1 1.5-1.5 -1 -0.5
1

Función LogarítmicaFunción Logarítmica
Para a>0 y a≠1 y x>0 denotamos la función logaritmo de
base a por logax, y se define como:
Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe elevarse
la base a para dar x.
xabx b
a =⇔=log

Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones
inversas una de otra, como se puede ver en los siguientes
ejemplos:
Forma Logarítmica Forma Exponencial
log28=3 23
=8
loga1=0 a0
=1
log10 0.1=-1 10-1
=0.1
log10 1000=3 103
=1000

Propiedades de la Función LogarítmicaPropiedades de la Función Logarítmica
Siendo: a, b ≠ 1 y x, y >0 se tienen las siguientes
características:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7.
01log =a
1log =aa
( ) yxxy aaa logloglog += yx
y
x
aaa logloglog −=





xnx a
n
a loglog =
a
x
x
b
b
a
log
log
log =
a
b
b
a
log
1
log =

Logaritmo NaturalLogaritmo Natural
Es la función para un x>0 se define como la función
logaritmo cuya base es el número e y se denota por:
Esta función goza de las mismas características que la
función logarítmica de base a, dados x, y > 0.
xx elogln =

Función de Logaritmo NaturalFunción de Logaritmo Natural
-2
-1
-4
0.5 1 1.5
-3
2

Propiedades como Funciones InversasPropiedades como Funciones Inversas
1.Si a > 0 y a ≠ 1 se tiene:
2.Si a = e se tiene:
xax
a =log
R∈∀x
xa xa
=log
0>∀x
xex
=ln
R∈∀x
xe x
=ln
0>∀x

Ejemplo:Ejemplo:
Desarrolla las siguientes expresiones:
9
10
log5 23ln +x
5
log2
xy ( )
3
2
1
2
ln
−
−
xx
x

Solución:Solución:
1. Aplicando la propiedad 4 de logaritmos:
9log10log
9
10
log 555 −=
ylogxlog
y
x
log aaa −=






2. Aplicando la propiedad 5 de logaritmo natural:
( )23ln
2
1
23ln +=+ xx
xnlogxlog a
n
a =

3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de logaritmos:
( ) 5logloglog
5
log 2222 −+= yx
xy
( ) ylogxlogxylog aaa += ylogxlog
y
x
log aaa −=






4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de logaritmo natural:
( ) ( ) ( ) ( )1ln
3
1
ln3ln21ln3ln
1
2
ln 32
3
2
−−−−=−−−=
−
−
xxxxxx
xx
x
( ) ylogxlogxylog aaa +=
ylogxlog
y
x
log aaa −=





xnlogxlog a
n
a =

Ejercicios para Resolver en Clase:Ejercicios para Resolver en Clase:
1. Escribir cada ecuación logarítmica mediante exponencial
y viceversa:
a) ln8.4 = 2.128
b) 491/2
= 7
2. Desarrolla cada una de las siguientes ecuaciones:
a) log2x2
y
b) ln(z-1)2

Ejercicios de Tarea:Ejercicios de Tarea:
1. Desarrolla la siguiente expresión:
2. Despejar x de las siguientes expresión:
a) b) c)
3
3
2
1
ln 




 −
x
x
( ) 1log3log 1010 =−+ xx 4ln
=x
e 3ln =x
e

Funciones de Base ArbitrariaFunciones de Base Arbitraria
Para a>0 y a≠1 y u=u(x) una función diferencial en x donde
xєR entonces la derivada de ax
es:
y para la derivada de au
es:
( ) xx
aaa
dx
d
ln=
( )
dx
du
aaa
dx
d uu
ln=

Ejemplo:Ejemplo:
1. Derivar las siguientes funciones:
(a)y=2x
(b) y=2senx
(a) (b)
( ) xx
dx
d
y 22ln2' == senx
dx
d
y 2'=
( )( ) senx
xy 22lncos'=
( ) senx
dx
d
y senx
22ln'=

Funciones de BaseFunciones de Base ee
Para a>0 y a≠1 y u=u(x) una función diferencial en x donde
xєR entonces la derivada de ex
es:
y para la derivada de eu
es:
xx
ee
dx
d
=
dx
du
ee
dx
d uu
=

Ejercicios para Realizar en Clase:Ejercicios para Realizar en Clase:
1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones:
a) y=e3x+1
b) y=(ex
+1)2
c) y=e3x
d) y=etan3x

1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones:
a) y=a5x-1
b) y=x2
ex
c) y=e5x

Derivación con Base Arbitraria:Derivación con Base Arbitraria:
Si a>0, a≠1 y u=u(x), es una función diferenciable de x,
donde x>0, entonces la derivada de logax es:
y la derivada de logau es:
( )xa
x
dx
d
a
ln
1
log =
( ) dx
du
ua
u
dx
d
a
ln
1
log =

Ejemplo:Ejemplo:
1.Derivar las siguientes funciones:
(a)y=log10cosx (b) y=log5(2+senx)
(a) (b)( )x
dx
d
y coslog' 10=
( )
x
dx
d
x
y cos
cos10ln
1
'=
( ) 10ln
tan
cos10ln
'
x
x
senx
y −=
−
=
( )senx
dx
d
y += 2log' 5
( ) )2(5ln
cos
'
senx
x
y
+
=
( )
( )senx
dx
d
senx
y +
+
= 2
)2(5ln
1
'

Derivación con BaseDerivación con Base ee
Si a>0, a≠1 y u=u(x), es una función diferenciable de x,
donde x>0, entonces la derivada de lnx es:
y la derivada de lnu es:
x
x
dx
d 1
ln =
dx
du
u
u
dx
d 1
ln =

Ejemplo:Ejemplo:
(a) (b)
(a) (b)( )( )1ln' 3
+= x
dx
d
y 





−
+
=
2
1
ln'
x
x
dx
d
y
( )1ln 3
+= xy
2
1
ln
−
+
=
x
x
y
( )1
1
1
' 3
3
+
+
= x
dx
d
x
y
1
3
' 3
2
+
=
x
x
y






−
+
−
+
=
2
1
2
1
1
'
x
x
dx
d
x
x
y
( )( )212
5
'
−+
−
=
xx
x
y

Ejercicios para Resolver en Clase:Ejercicios para Resolver en Clase:
a)
b)
c)
( ) ( )θθ cosln=f
( )
xa
xa
xg
+
−
= ln
( ) xxxf ln=

a)
b)
( ) ( )4log 2
3 −= xxf
( ) xxf ln=

El cálculo de derivadas de funciones complicadas que
comprenden productos, cocientes o potencias se puede
simplificar tomando logaritmos.
Método de la Derivación Logarítmica:Método de la Derivación Logarítmica:
1. Tome logaritmos naturales en ambos miembros de una
ecuación y=f(x) y aplique la propiedad de los logaritmos
para simplificar.
2. Derive con respecto a x.
3. Resuelva la ecuación resultante para y’.

Ejemplo:Ejemplo:
1. Derivar las siguiente ecuación:
( )5
24
3
23
1
+
+
=
x
xx
y
( ) ( )23ln51ln
2
1
ln
4
3
ln 2
+−++= xxxy
23
15
14
31
2
+
−
+
+=
xx
x
xdx
dy
y
( ) 





+
−
+
+
+
+
=





+
−
+
+=
23x
15
1x
x
4x
3
23x
1xx
25
24
3
23
15
14
3
2
xx
x
x
y
dx
dy
( ) 







+
+
= 5
24
3
23
1
lnln
x
xx
y

Ejercicios para Resolver en Clases:Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada
de las siguientes funciones:
a) b)( ) ( )324
1873 −−= xxy
senx
xy =

1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada
de las siguientes funciones:
a) b)
( ) ( )
( )8
34
3
51
−
−+
=
x
xx
y
x
xy =

Una función F se dice que es una primitiva o antiderivada
de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I.
EjemploEjemplo
Se necesita encontrar una función F que su derivada sea
f(x)=4x3
, por los conocimientos en diferenciación se diría
que:
Por lo tanto F es una primitiva de f.
4
)( xxF = 34
4xx
dx
d
=

Familia de Primitivas:Familia de Primitivas:
Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es
una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:
EjemploEjemplo
Sabemos que la función F(x)=x4
es una primitiva de
f(x)=4x3
así que las siguientes funciones:
G1(x)=x4
+5 G2(x)=x4
-123
también son primitivas de f(x).
( ) ( ) CxFxG +=
R∈
∈∀
C
Ix
( ) CxxG 4
+= Es la familia de primitivas de f(x)

Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación:
El proceso de calcular las primitivas de una función f se
denomina integración, así que tenemos:
lo que significa que:
( )∫ dxxf
( ) ( ) CxFdxxf +=∫
( )[ ] ( ) ( )xfxFCxF
dx
d
==+ '
R∈C

Partes de la Integración:Partes de la Integración:
( ) ( )∫ += CxFdxxf
Variable de Integración
Integrando
Símbolo de la
Integración
Constante de
Integración

Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:
1.
2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
∫ += Cxdx
x
ln
1
( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf
∫ −≠+
+
+
1
1
1
nC
n
x
dxx
n
n
( ) ( )∫ ∫= dxxfkdxxkf
∫ += Cedxe xx
∫ += C
a
a
dxa
x
x
ln
∫ +−= Cxsenxdx cos ∫ += Csenxxdxcos

Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:
9. 10.
11. 12.
13. 14.
∫ += Cxxdx tansec2
∫ +−= Cxxdx cotcsc2
∫ += Cxxdxx sectansec ∫ +−= Cxxdxx csccotcsc
∫ +=
+
−
Cxdx
x
1
2
tan
1
1
∫ +=
+
−
Cxsendx
x
1
2
1
1

Ejemplo:Ejemplo:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1. 2.
3. 4.
5.
∫ dx
x3
1
∫ dxx
∫ senxdx2 ( )∫ + dxx 2
( )∫ +− dxxxx 24
53

∫∫ +−=+
−
==
−
−
C
2x
1
dx
x
1
23
C
x
dxx
2
2
3
Cx
3
2
dxx 3
+=+=+== ∫∫ CxC
x
dxx 2
32
3
2/1
3
2
2
3
( ) C2cosx2senxdx +−=+−== ∫∫ Cxdxsenx cos22
1.
2.
3.

( ) C2x
2
x
dx2x
2
++=+=+ ∫∫∫ dxdxx 2
( ) ∫ ∫∫∫ +−=+− xdxdxxdxx 24
53dxx5x3x 24
Cx
2
1
x
3
5
x
5
3 235
++−=++





−





= C
xxx
23
5
5
3
235
4.
5.

Ejercicios para resolver en Clase:Ejercicios para resolver en Clase:
1.
2.
3.
( )∫ − dxxx 24
sec210
( )∫ − dxxx 63
∫ 





+
+− dx
x
xx
1
3
62 2
3

1.
2.
3.
( )∫ ++ dxxx 122/3
( )∫ + dxxsenx cos32
∫
++
dx
x
xx 12

Identidades Fundamentales:Identidades Fundamentales:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
senx
x
1
csc =
x
x
cos
1
sec =
x
senx
x
cos
tan = xsenxx coscot =
x
x
tan
1
cot = 1cos22
=+ xxsen
xx 22
sec1tan =+ xx 22
csc1cot =+

Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden
las fórmulas básicas de integración:
15. 16.
17. 18.
∫ +−= Cxxdx coslntan ∫ +−= Csenxxdx lncot
∫ ++= Cxxxdx tanseclnsec ∫ ++−= Cxxxdx cotcsclncsc

Ejemplo:Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
( )∫ + dyy 1tan2
( ) Ctany +==+ ∫∫ ydydyy 22
sec1tan

Ejercicios para Resolver en Clases:Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Resolver las siguientes integrales
a)
b)
c)
( )∫ + dxxsenx cos32
( )∫ − dxxx cotcsc1
( )∫ − dxsenxx2
sec

Entre ambas ramas existe una relación descubierta
independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz,
que se denomina Teorema Fundamental del Cálculo, el
cual afirma que la diferenciación e integración son
operaciones mutuamente inversas.

Teorema Fundamental de CálculoTeorema Fundamental de Cálculo
Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva
de f en [a, b] entonces:
Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:
( )∫ −=
b
a
aFbFdxxf )()(
( ) ( )[ ]∫ −==
b
a
b
a aFbFxFdxxf )()(

Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida
Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces:
1. Si k es cualquier constante entonces:
2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:
( ) ( )dxxfkdxxkf
b
a
b
a
∫∫ =
( ) ( )( ) ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf
b
a
b
a
b
a
∫∫∫ ±=±

3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en
[a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]:
4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:
( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxf
b
c
c
a
b
a
∫∫∫ +=
( ) 0=∫ dxxf
a
a

5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la
integral definida de b a a de f, es decir:
( ) ( )dxxfdxxf
a
b
b
a
∫∫ −=

EjemploEjemplo
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
( )dxx∫ −
1
2
2
3
dxx∫
4
1
3

1. Geométricamente la integración de la función (1) en el
intervalos [1, 2] es el área de la región sombreada:
( ) ∫ ∫∫ −=−
1
2
1
2
2
3dxdxxdx3x
1
2
2
[ ]1
2
1
2
3
3
3
x
x
−





=
( )63
3
8
3
1
−−





−=
3
2
=

2. Geométricamente la integración de la función (2) en el
intervalos [1, 4] es el área de la región sombreada:
14=
4
1
2/34
1
21
2/3
33 





== ∫∫
x
dxx /
dxx3
4
1
( ) ( ) 2/32/3
1242 −=

Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dxx∫
1
0
2
( )dxx∫−
−
0
1
2
dx
xx
∫
−
1
0
3

Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dx
x∫ 





−
2
1
2
1
3
( )dxx∫−
−
1
1
3
2
dx
x
x
∫
−
4
1
2

Método de SustituciónMétodo de Sustitución
Sea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una
función continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F
es una primitiva de f en I, entonces:
Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces
du=g’(x)dx y:
Este método es comparable a la regla de la cadena en la
diferenciación.
( )( ) ( ) ( )( ) CxgFdxxgxgf +=∫ '
( ) ( ) CuFduuf +=∫

Ejemplo:Ejemplo:
1. Resolver la integral:
dxxx∫ + 13 32
duuduudxxx ∫∫∫ ==+ 2/132
13
dxxdu
xu
2
3
3
1
=∴
+= CuC
u
+=+= 2/3
2/3
3
2
2
3
( ) ( ) C1x
3
2 33
++=++= cx
2/33
1
3
2

Ejercicios para Resolver en ClasesEjercicios para Resolver en Clases
1. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
( ) dxxx∫ +
42
12
( ) dxxx∫ +
22
1
dxxx∫ 5cos5

Existen dos métodos para evaluar una integral definida por
sustitución.
Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en
seguida aplicar el TFC, por ejemplo:
( )
4
0
2/34
0
4
0
2/3
12
2
1
212
2
1
12 




 +
=





+=+ ∫∫
x
dxxdxx
( ) ( ) ( ) ( )
3
26
=−=−=





+= 127
3
1
1
3
1
9
3
1
12
3
1 2/32/3
4
0
2/3
x

El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian
los límites de integración cuando se cambie la variable, como
se explica a continuación:
Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es
sobre el rango de u=g(x) entonces
( )( ) ( ) ( )duufdxxgxgf
bg
ag
b
a
∫∫ =
)(
)(
'

EjemploEjemplo
SoluciónSolución
Tomando la sustitución u=2x+1 tenemos que
Hallamos los nuevos límites de integración:
dxx∫ +
4
0
12
dxdu 2= dudx
2
1
=∴
( ) ( ) 110200 =+=⇒= ux
( ) ( ) 914244 =+=⇒= ux

Por lo tanto:
duu∫∫ =+
9
1
dx12x
4
0
[ ]9
1
2/3
9
1
2/3
9
1
2/39
1
2/1
3
1
3
2
2
1
3
22
1
2
1
uu
u
duu =





=










== ∫
( ) 3
26
=−= 2/32/3
19
3
1

Ejemplo:Ejemplo:
Evaluar la siguiente integral ( ) dxxx∫ +
1
0
32
1
xdxdu
xu
2
12
=
+= xdxdu =∴
2
1 ( ) 11000 2
=+=⇒= ux
( ) 21111 2
=+=⇒= ux
duuduu ∫∫ =
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
( ) 8
15
=−= 44
12
8
1
[ ]2
1
4
2
1
4
8
1
42
1
u
u
=





=

Evaluar las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dx
x
x
∫ −
5
1 12
dx
x
x
e
∫1
ln
dxx∫ −
7
3
3

Calcular las siguientes integrales
1.
2.
3.
dx
x
xx
∫
++ 732
( ) dxxx∫−
+
1
1
32
1
dxxx∫ −− 2
92

Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:
Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar,
la cual se muestra a continuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxfxgxgxfdxxgxf ∫∫ −= ''
)(
)(
xgv
xfu
=
=
dxxgdv
dxxfdu
)('
)('
=
=
∫∫ −= vduuvudv

EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
dxxsenx∫
xu =
dxdu =
senxdv =
xv cos−=
( ) ( ) dxxxxdxxxxdxxsenx ∫∫∫ +−=−−−= coscoscoscos
Csenxxcosx ++−=

SoluciónSolución
Notamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx,
entonces du=cosx y v=x2
/2 por lo que:
es una integral mas difícil de calcular.
dxxsenx∫
( ) dxxxsenx
x
dxxsenx ∫∫ −= cos
2
1
2
2
2
dxcosxx2
∫

EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no
es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración
por partes.
dxex x
∫
2
2
xu =
xdxdu 2=
dxedv x
=
x
ev =
dxxeexdxex xxx
∫∫ −= 222

dxxex
∫
xu = dxdu = dxedv x
= x
ev =
Cexedxexedxxe xxxxx
+−=−= ∫∫ 2
Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que:
( )Cexeexdxxeexdxex xxxxxx
+−−=−= ∫∫ 22 222
1
xxx2
C2e2xeex ++−= CC 21 =

1.
2.
3.
4.
dxx∫ln
dxsenxex
∫
dxxx∫ ln2
dxx∫
3
sec

Fórmula de Integración por Partes para IntegralesFórmula de Integración por Partes para Integrales
DefinidasDefinidas
[ ]∫ ∫−=
b
a
b
a
b
a vduuvudv

EjemploEjemplo
De donde:
Por lo tanto:
dxxex
∫
1
0
dxdu
xu
=
=
x
x
ev
dxedv
=
=
[ ] [ ] [ ]1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
xxxxx
exedxexedxxe −=−= ∫∫
( ) ( ) 1=−−−= 10 ee

1. 5.
2. 6.
3. 7.
4.
dxxe x
∫
2
dxxx∫ cos
dxxsen∫
−1
dxsen∫ θθθ cos
dxxx∫
2
0
2cos
π
dxx∫
4
1
ln
dxxx∫
−
1
0
1
tan

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que
involucra derivadas de una función desconocida de una o
varias variables.
EjemploEjemplo
Las siguientes expresiones son ejemplos de ED’s:
0232
2
=−+ y
dx
dy
dx
yd y
dt
dy
α=
Conocida como Ley de
Crecimiento Exponencial

En basa a la definición anterior se tiene que:
a) Si la función desconocida depende de solo una variable
la ecuación se llama Ecuación Diferencial Ordinaria.
b) Si la función desconocida depende de más de una
variable la ecuación se llama Ecuación Diferencial
Parcial.
x
dx
dy
2= yxy += 2'
v
y
v
x
v
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2

Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden
y grado.
OrdenOrden
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la
derivada mas alta que aparece en la ecuación.
Ejemplo
Determinar el orden de las ecuaciones diferenciales:
87 5
3
−=





x
dx
dy
xsen
dx
yd
352
2
=

Solución
La ecuación diferencial:
Es de primer orden dado que la derivada mas alta que figura
en la ecuación diferencial es la primera derivada.
La ecuación diferencial:
Es de segundo orden dado que la derivada más alta que
figura en la ecuación diferencial es la de la segunda derivada.
87 5
3
−=





x
dx
dy
xsen
dx
yd
352
2
=

Ejercicios para resolver en clase
Determinar el orden de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
735 2
5
2
2
2
4
4
+=





+





−





x
dx
dy
dx
yd
dx
yd
3
2
2
2
6
2
2
7 





+=





+
dx
yd
x
dx
dy
x
dx
yd

GradoGrado
El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de
su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una
ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la
deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial.
Ejemplo
El grado de la ecuación diferencial es:
de tercer grado, dado que la primera derivada está elevada
cubo.
87 5
3
−=





xxy
dx
dy

Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
735 2
5
2
2
2
4
4
+=





+





−





x
dx
dy
dx
yd
dx
yd
3
2
2
2
6
2
2
7 





+=





+
dx
yd
x
dx
dy
x
dx
yd

NOTA: cuando alguna derivada este dentro de un
radical o en polinomio, el cual este elevado a una
potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho
radical para después determinar el grado de la
ecuación diferencial.

Ejercicios para resolver en clases
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
a)
b)
17 2
+= x
dx
dy
3
2
2
dx
dy
x
dx
yd
=+

Ejercicios de Tarea
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
a) b)
c)
d)
y
dx
dy
x
dx
yd
533
3
+





=
5
3
3
3
3
3
818 





+=





+
dx
yd
x
dx
yd
dx
dy






=−
dx
dy
x
dx
yd
853
3
5
3
3
2
2
3
dx
yd
x
dx
yd
=+

Una solución de una ED es cualquier función que satisface
la ED, este es, la reduce a una identidad.
Ejemplo
La función definida por es una solución de la
ecuación diferencial:
puesto que:
y al sustituir en la ED se obtiene una identidad
2
x9y −=
y
x
y' −=
( ) ( ) 2
2
1
2
9
29
2
1
x
x
xx
−
−=−−=y'
22
99 x
x
x
x
−
−=
−
− 33 <<− x

Una solución particular de una ED es toda solución
obtenida asignando valores específicos a las constantes que
intervienen en la solución general.
Ejemplo
Verificar que y=Cx3
es solución de la ecuación diferencial
Hallar la solución particular sujeta a la condición inicial:
03' =− yxy
2)3( =−y

Solución
Derivando y=Cx3
tenemos que y’=3Cx2
, luego, sustituyendo
en la ED:
de esta manera y=Cx3 es solución de la ED.
Para obtener la solución particular, apliquemos la condición
inicial y(-3)=2 en la solución general esto es:
La solución particular es:
( ) ( ) 033 32
=− CxCxx
( ) CC 2732
3
−=−=
27
2
−=C 3
x
27
2
y −=

Para comprobar que una ecuación es o no la solución de una
ecuación dada, se aplica el siguiente método:
Método
1.Observemos que derivada o derivadas aparecen en la
ecuación diferencial.
2.Estas derivas las encontramos al derivar la ecuación que se
supone solución.
3.La ecuación será solución cuando al sustituir el valor de las
derivadas encontradas (paso 2) dentro de la ecuación
diferencial, aparezca una identidad a=a (donde aєR) al
reducir la ecuación ya sustituida.

Ejemplo
Comprobar que la y=x2
+C no es solución de la ecuación
diferencial
Solución
1.Observando la ecuación diferencial vemos que aparece una
derivada por lo tanto, encontramos su valor derivando la
supuesta solución.
2.Derivando y=x2
+C tenemos
x
dx
dy
=
x
dx
dy
2=

Solución
3.Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la
ecuación diferencial tenemos:
Por lo tanto y=x2
+C si es solución de la ecuación
diferencial
12
2
≠
= xx
x
dx
dy
=

Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación
diferencial dada:
1.
2.
3.
yx
dx
dy
xCxxy +=





+= 22
;
025);5cos()5( 2
2
=++= y
dx
yd
xBxAseny
( ) 084; 2
3
2
=+





−





−= y
dx
dy
xy
dx
dy
CxCy

Ejercicios de tarea
Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación
diferencial dada:
1.
2.
3.
( )2412
''; yxxyyCxCy =++= −
( ) senxysenx
dx
dy
senyCye x
=+





=− cos;cos1cos
3
2
2
25
1606;38 x
dx
yd
Cxxy =−++=

Para obtener la ED a partir de su solución general,
aplicaremos el siguiente método:
1.Observemos el número de constantes de integración que
aparecen en la solución general dada.
2.Derivemos la solución general tantas veces como el número
de constantes de integración aparezcan en ella. En otras
palabra, si la solución general tienen n constantes de
integración diferentes, entonces derivaremos n veces tal
solución.

3. Tomando en cuenta el resultado de la última derivada
obtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos:
a) Si en la última derivada ya no aparecen constantes de
integración, esta será la ED que de la solución general
dada.
b) Si la última derivada contiene constantes de integración,
habrá que eliminarlas, pudiendo utilizar para esto, las
ecuaciones de las derivadas encontradas, asó como
también la solución general dada. En la ED NO deben
aparecer constantes de integración.

Ejemplo
Encuentre la ED cuya solución general es y=x2
+C
Solución
Observemos que sólo aparece una constante de integración,
de manera que derivamos una sola vez la solución general
y=x2
+C. Así
Como en esta derivada no aparecen constantes de
integración, quiere decir que esta es la ED de la solución
general presentada al inicio.
x
dx
dy
2=

Ejemplo
Encuentre la ED cuya solución general es y=Cx2
Solución
Observemos que sólo aparece una constante de integración,
de manera que derivamos una sola vez la solución general
y=Cx2
. Así
Se va a despejar C de la solución general y se sustituye el
valor encontrado en la ED.
Cx
dx
dy
2=
x
x
y
dx
dy






= 2
22
x
y
C =

Solución
Por lo tanto:
Es la ED de la solución general puesto que ya no aparecen
constantes de integración.
y
dx
dy
x 2=

Encuentre la ED de las siguientes soluciones generales
1.
2.
;21
xx
eCeCy −
+=
)2cos()2( 21
3
xCxsenCey x
++=

Ejercicios de tarea
Encuentre la ED de las siguientes soluciones generales
1.
2.
)3tan( Cxy +=
( ) 2
2
22
1 CyCx =+−

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