![2.6 – Divisibilidad de polinomios
• Múltiplos y divisores: Un polinomio D(x), es divisor de otro, P(X), si la
división P(x) :D(x) es exacta. En tal caso, se dice también que P(x) es
múltiplo de D(x), ya que P(x) = D(x).C(x)
• Polinomios irreducibles: Un polinomio es irreducible cuando no tiene
ningún divisor de grado inferior al suyo.
• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios:
Un polinomio, D(x), es el máximo común divisor de dos polinomios, P(x)
y Q(x), si es divisor de ambos y no hay otro polinomio divisor común con
mayor grado que él. Se denota: D(x) = M.C.D. [P(x),Q(x)]
Método para calcularlo:
-Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x)
-Se toman los factores comunes al menor exponente](https://image.slidesharecdn.com/2-141013035848-conversion-gate01/85/2-polinomios-y-fracciones-algebraicas-presentacion-16-320.jpg)
![2.6 – Divisibilidad de polinomios
Un polinomio, M(x), es el mínimo común múltiplo de dos polinomios,
P(x) y Q(x), si es múltiplo de ambos y no hay otro polinomio múltiplo
común con menor grado que él. Se denota: M(x) = m.c.m. [P(x),Q(x)]
Método para calcularlo:
-Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x)
-Se toman los factores comunes y no comunes al mayor exponente
Ejemplo: P(x) = x3 – x2 – x + 1, Q(x) = 2 x3 + 6 x2 – 8
-Factorizamos : P(x) = (x – 1) 2 .(x + 1) Q(x) =2.(x –1).(x + 2)2
-m.c.m [P(x),Q(x)] = 2.(x –1)2 .(x + 1).(x + 2) 2
-M.C.D [P(x),Q(x)] = x - 1](https://image.slidesharecdn.com/2-141013035848-conversion-gate01/85/2-polinomios-y-fracciones-algebraicas-presentacion-17-320.jpg)
2. polinomios y fracciones algebraicas. presentación
- 1. 2.1 – Expresiones algebraicas • Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Los números se llaman coeficientes y las letras se llaman variables, incógnitas o indeterminadas. • Hay expresiones algebraicas de muy distintos tipos: - Monomios: 3x2 , - 2x, 2pr,... - Polinomios: 3x2 - 2x +1, 2prh + 2pr2 • Algunas expresiones algebraicas son igualdades: - Identidades: 3(x + 4) = 3x +12 - Ecuaciones: 3(x + 4) = 27 Se verifica para cualquier valor de “x”. Se verifica para “x = 5” •Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.
- 2. 2.1 – Expresiones algebraicas x y • Si x y y son las medidas de los lados de un rectángulo, 2x + 2y es la expresión algebraica que nos da el perímetro del rectángulo. • Su valor numérico para x = 3 y y = 2 nos da el perímetro de un rectángulo de esas dimensiones: 2 . 3 + 2 . 2 = 10 Ejemplo:
- 3. 2.2 – Monomios • Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras (parte literal) son la multiplicación y potenciación de exponente natural. • El coeficiente es el número que acompaña a las incógnitas • El grado de un monomio es la suma de sus exponentes. • Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica la parte literal. Grado respecto de la letra x 8x2y5 El grado de este monomio es 2 + 5 = 7 Coeficiente • Valor numérico de un monomio es el resultado que se obtiene al sustituir las incógnitas por sus valores. (x = 2, y = -1 -32)
- 4. 2.2 – Monomios • Suma o diferencia de monomios: La suma (diferencia) de monomios semejantes es otro monomio también semejante a ellos cuyo coeficiente es la suma (diferencia) de sus coeficientes. Si dos monomios no son semejantes, su suma (diferencia) no se puede simplificar y hay que dejarla indicada. 12x2y – 2x2y + 4x2y = (12 – 2 + 4)x2y = 14x2y 5x2 + 6xy = 5x2 + 6xy 12x2y – 2x2y + 4x2y + 5x2 + 6xy = 14x2y + 5x2 + 6xy Ejemplos:
- 5. 2.3 – Polinomios Un polinomio es una expresión que es suma o resta de monomios. Cada uno de los monomios que lo forman se llama término. Término principal Grado del polinomio P = 8x5 – 6x4 – 3x2 + x – 2 Término de grado 2 Término independiente o término de grado 0 El valor numérico de P en a, P(a), se obtiene sustituyendo x por a
- 6. 2.3 - Polinomios • Suma o resta de polinomios agrupamos los términos del mismo grado. P = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4 Q = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x P + Q = x5 + 5x4 – 2x3 + 3x – 4 P = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4 Q = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x P – Q = x5 – x4 + 2x3 – 6x2 – x – 4 Ejemplo El grado de P ± Q es, como mucho, el mayor de los grados de P y Q
- 7. 2.3 – Polinomios • El producto de un polinomio por un monomio es otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio 2xy2 . (3x – 2y + 4) = (2xy2 . 3x) + (2xy2 . (– 2y) + (2xy2 . 4) = 6x2 y2 – 4xy3 + 8xy2 • El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo y sumando luego los términos semejantes –7x3 + 3x2 – 0x + 2 2x2 + 3x – 1 7x3 – 3x2 + 0x – 2 – 21x4 + 9x3 – 0x2 + 6x –14x5 + 6x4 + 0x3 + 4x2 –14x5 –15x4 +16x3 + x2 + 6x – 2
- 8. 2.3 - Polinomios • Productos notables • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 • (a + b) (a – b) = a2 – b2 • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 • (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 • Sacar factor común: Cuando todos los términos de un polinomio, P(x), son múltiplos de un mismo monomio, M(x); podemos extraer M(x) como factor común. • 2x+3x 2 – 7x4 = x.(2 +3x – 7x3)
- 9. 2.3 - Polinomios • Cociente de polinomios: La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales: al dividir dos polinomios, se obtiene un cociente y un resto (el grado del resto es menor que el grado del divisor). La relación entre D(x), d(x), C(x) y R(x) es: D(x) = d(x).C(x) + R(x), o bien, D(x) = + C(x) R(x) d(x) d(x) Cuando el resto es cero, R(x) = 0, la división es exacto y se cumple: C(x) D(x) = d(x).C(x), o bien, D(x) = d(x)
- 10. 2.3 - Polinomios Cociente de los términos de mayor grado x3 resto Se resta x3 . d Se resta 2x2 . d Se resta (–1) . d –(– 3x2 – 2x + 4) cociente Cociente de los términos de mayor grado 3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4 – (3x5 + 2x4 –4x3) 6x4 + 4x3 – 11x2 – 3x + 6 Primer paso 3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4 – (3x x3 5 + 2x4 –4x3) 6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6 Segundo paso – (6x4+ 4x3 – 8x2) – 3x2 – 3x + 6 3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4 – (3x x3 + 2x2 5 + 2x4 –4x3) 6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6 – (6x4– 4x3 – 11x2) – 3x2 – 3x + 6 Tercer paso Cociente de los términos de mayor grado – x + 2 + 2x2 – 1
- 11. 2.4 – Regla de Ruffini r La Regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a. Ejemplo: Dividir P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se Coeficientes de P 2 – 6 – 4 12 a 2 se suma Se opera: 2 – 6 – 4 12 2 2 4 – 4 – 16 – 4 –2 –8 se multiplica por a Hemos obtenido que: P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)
- 12. 2.4 – Regla de Ruffini Criterio de divisibilidad por x – a: Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x –a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a. Por tanto, para buscar expresiones x –a que sean divisores de un polinomio, probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del término independiente Valor de un polinomio para x = a: El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, es el número que se obtiene al sustituir la x por a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a). Teorema del resto: El valor que toma un polinomio, P(x), cuando x =a, coincide con el resto de la división P(x) : (x – a), es decir, P(a) = r El resto de dividir P(x) = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede obtener así: P(2) = 2 . 23 – 7 . 22 – 4 . 2 + 12 = – 4
- 13. 2.5 – Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible. Método para factorizar un polinomio: •Sacar factor común. •Recordar los productos notables. •Si es un polinomio de grado > 2: Por Ruffini, probando con los divisores del término independiente, hasta obtener resto cero: P(x) = (x –a).C(x) •Si es un polinomio de grado = 2. Se resuelve la ecuación de segundo grado: Þ - 2 soluciones distintas a.(x - x ).(x x ) ì Þ 1 solución doble a.(x - x ) No tiene solución ax bx c ax bx c 0 2 2 1 1 2 2 ïî ïí Þ + + + + = Þ
- 14. 2.5 – Factorización de polinomios Ejemplo: Factorizar el polinomio P = x4 + 3x3 – x2 – 3x • Se saca factor común x: x(x3 + 3x2 – x – 3) • Por Ruffini: x3 + 3x2 – x – 3 Para ello probamos con los divisores positivos y negativos de 3 1 3 –1 -3 1 1 4 3 1 4 3 0 • Por la fórmula:x2 +4x + 3 = 0 x = -1, x = -3 x.(x – 1).(x + 1).(x + 3)
- 15. 2.5 – Factorización de polinomios Ejemplo: descomponer P = x3 – 2x + 4 1.– No podemos sacar factor común 2 – Regla de Ruffini. Buscamos posibles soluciones de la ecuación x3 – 2x + 4 = 0 entre los divisores del término independiente: {1, –1, 2, –2, 4, –4}. 1 0 –2 4 –2 –2 4 –4 1 –2 2 0 3.– Por la fórmula x2 – 2x + 2 = 0. No tiene solución (x + 2).(x2 – 2x + 2)
- 16. 2.6 – Divisibilidad de polinomios • Múltiplos y divisores: Un polinomio D(x), es divisor de otro, P(X), si la división P(x) :D(x) es exacta. En tal caso, se dice también que P(x) es múltiplo de D(x), ya que P(x) = D(x).C(x) • Polinomios irreducibles: Un polinomio es irreducible cuando no tiene ningún divisor de grado inferior al suyo. • Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios: Un polinomio, D(x), es el máximo común divisor de dos polinomios, P(x) y Q(x), si es divisor de ambos y no hay otro polinomio divisor común con mayor grado que él. Se denota: D(x) = M.C.D. [P(x),Q(x)] Método para calcularlo: -Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x) -Se toman los factores comunes al menor exponente
- 17. 2.6 – Divisibilidad de polinomios Un polinomio, M(x), es el mínimo común múltiplo de dos polinomios, P(x) y Q(x), si es múltiplo de ambos y no hay otro polinomio múltiplo común con menor grado que él. Se denota: M(x) = m.c.m. [P(x),Q(x)] Método para calcularlo: -Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x) -Se toman los factores comunes y no comunes al mayor exponente Ejemplo: P(x) = x3 – x2 – x + 1, Q(x) = 2 x3 + 6 x2 – 8 -Factorizamos : P(x) = (x – 1) 2 .(x + 1) Q(x) =2.(x –1).(x + 2)2 -m.c.m [P(x),Q(x)] = 2.(x –1)2 .(x + 1).(x + 2) 2 -M.C.D [P(x),Q(x)] = x - 1
- 18. 2.7 – Fracciones algebraicas P(x) Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios Q(X) Simplificación: Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y denominador y se eliminar los factores comunes obteniéndose otra fracción equivalente. x3 – 3x2 + x – 3 x4 – 1 (x – 3) (x2 + 1) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) x – 3 x2 – 1 Reducir a común denominador: Se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores. + , x 1 x 1 , x x 1 3 x 1 2 - - + = + , x 1 - + , x 3 - + = (x 1)(x 1) x 1 x 1 + , x 1 (x 1)(x 1) - , x(x 1) (x 1)(x 1) = + 3(x 1) (x 1)(x 1) - + + - - + , x 1 - = + 2 2 2 - x 1 , x(x 1) x 1 3(x 1) x 1 + - -
- 19. 2.7 – Fracciones algebraicas OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Suma y diferencia: para sumar o restar fracciones algebraicas, se buscan fracciones algebraicas equivalentes con denominador común y se suman o restan los numeradores x – 2 + x2 – 3x = x – 2 + (x – 3)x = x2 – 1 x2 – 2x + 1 (x – 1)(x + 1) (x – 1)2 (x – 2)(x – 1) + (x – 1)2 (x + 1) (x – 3) x (x + 1) (x – 1)2 (x + 1) = x2 – 3x + 2 + x3 – 2x2 – 3x (x – 1)2 (x + 1) = x3 – x2 – 6x +2 (x – 1)2 (x + 1) =
- 20. 2.7 – Fracciones algebraicas Producto: para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican entre si los numeradores y los denominadores x – 2 x2 – 2x + 1 . = x4 – 1 2x + 1 (x – 2) (x4 – 1) (x2 – 2x + 1) (2x + 1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) (x – 1)2 (2x + 1) = (x – 2) (x + 1) (x2 + 1) (x – 1) (2x + 1) = x4 - x3 -x2 -x -2 2x2 - x - 2 =
- 21. 2.7 – Fracciones algebraicas Inversa de una fracción algebraica: la inversa de una fracción algebraica P(x)/Q(x) es la fracción (P(x)/Q(x)) -1 = Q(x)/P(x) División de fracciones algebraicas: para dividir una fracción algebraica entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda x3 – 1 2x2 + x = : x3 – 1 2x2 + x . = x4 + 1 (x3 – 1) (2x – 1) (2x2 + x) (x4 + 1) = 2x – 1 x4 + 1 2x4 - x3 - 2x + 1 2x6 + x5 + 2x2 + x 2x – 1