Uniguajira linea recta- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencial
- 1. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 1 INTRODUCCION AL CALCULO DIFERENCIAL 1. Definición de línea recta 2. Pendiente de una recta 3. Rectas constantes: verticales y horizontales 4. Rectas con ecuación: y = ax 5. Rectas con ecuación: y = x + b 6. Recta dada la pendiente y un punto: y = mx + b 7. Ecuación de la recta dado dos puntos 8. Ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0 Rectas paralelas Rectas perpendicular 1. LINEA RECTA Definiciones: 1. Una línea recta es la figura geométrica en el plano formada por una sucesión de puntos que tienen la misma dirección. Dados dos puntos diferentes, sólo una recta pasa por esos dos puntos. 2. Es la figura geométrica formada por un polinomio de primer grado a0 + a1x. 3. Es la figura geométrica obtenida al unir dos puntos, tal que la distancia recorrida sobre ésta figura, es la más corta. La recta es usada en una gran cantidad de aplicaciones. 1. Con líneas rectas podemos formar, triángulos, cuadrados, rectángulos, en general todos los polígonos. 2. Los modelos más simples pueden construirse con líneas rectas, por ejemplo un objeto en movimiento con aceleración constante puede modelarse con una línea recta donde la pendiente es la aceleración.
- 2. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 2
- 3. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 3 Ejemplos: Trace en el plano cartesiano la línea recta que pasa por los puntos: a. A(1,5) y B(4,9) b. C(-2,-4) y D(-5,2) c. E(-1/2,0) y F(-3,-2) d. G(1,2) y H(-3,-2) 2. PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre dos puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe: toda recta que no sea horizontal, tiene que cortar al eje "x". Se dice que si una recta corta al eje X, la inclinación de la recta se define como el ángulo positivo menor de 180°. La pendiente de una línea conteniendo los puntos (x1, y1) y (x2,y2) es dada por: Ejemplos: 1. Trace la línea recta que pasa por los puntos (-4,3) y (2,-5) y halle su pendiente Yendo de (-4,3) a (2,5), vemos que el cambio en y, o elevación, es - 5 – 3 = - 8. El cambio en x, o la corrida, es 2 – (-4)= 6 𝑚 = −5 − 3 2 − (−4) 𝑚 = −8 6 𝑚 = − 4 3
- 4. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 4 3. RECTAS CONSTANTES Las rectas constantes son aquellas que no tienen inclinación, aquí no importa que valor de la variable (independiente) x tome, siempre el valor de la variable (dependiente) y es el mismo. 2.1 Rectas Horizontales: Y = -2 Y = 2 2.2 Las rectas verticales: Las rectas verticales NO son funciones, sin embargo son usadas en muchas ocasiones. Una recta vertical tiene la fórmula x = a, es decir x toma un valor siempre (a), sin importar que valor es y X = 4 4. RECTAS CON ECUACIÓN y = ax Después de las rectas constantes, las más simples son aquellas que tienen como ecuación y = ax. Estas rectas son inclinadas, pasan siempre por el origen (0, 0) y la inclinación esta determinada por el valor de a.
- 5. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 5
- 6. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 6 5. RECTAS CON ECUACIÓN y = x + b La recta y = x + b, simplemente se desplaza sobre el eje y tanto como b. Si b es positivo, entonces la recta se desplaza hacia arriba del cero. Si b es negativo, entonces la recta se desplaza hacia abajo del cero. Ejemplo: Trace las grafica 𝑦 = 1 3 𝑥 y 𝑦 = 1 3 𝑥 − 2 en el mismo plano y compárelas. Hacemos la tabla de solución:
- 7. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 7
- 8. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 8 6. ECUACION DE LA RECTA DADA LA PENDIENTE Y UN PUNTO La ecuación de la recta de la forma y = mx + b, es la ecuación donde se conoce la pendiente, que es m, y la distancia dónde la recta interseca al eje y que es b. Toda recta tiene una representación de la forma y = mx + b Si se conoce la pendiente de la recta a y un punto (x1, y1), entonces la ecuación es: y − y1 = m(x − x1) La pendiente a nos dice que tipo de inclinación tiene la recta, el número b nos dice que tanto subimos o bajamos a la recta. Así sabemos que tipo de grafica. Ejemplo: Encuentre la pendiente (m) y el intercepto con el eje y de la recta y = 5x - 4 Ejemplo: Encuentre la pendiente (m) y el intercepto con el eje y de la recta 2x + 3y = 8 Primero resolvemos para y, para poder leer la pendiente y el intercepto con el eje y.
- 9. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 9
- 10. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 10 Ejemplo: Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A (4, -8) y que tiene una pendiente de 3/2 al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente: 7. ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS Por dos puntos diferentes pasa siempre una y sólo una línea recta. La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) es 8. ECUACION GENERAL DE LA RECTA Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita de la recta. Donde A, B y C son números reales.
- 11. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 11
- 12. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 12 9. ECUACION GENERAL DE LA RECTA RECTAS PARARELELAS: Son Paralelas al eje cuando ambas rectas tienen la misma pendiente m1 = m2 RECTAS PERPENDICULARES: Son Perpendiculares entre ellas cuando el producto de ambas pendientes es -1 m1* m2= -1 Ejemplo: encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -1, 3) y es paralela a la recta 2y - 6x = 10 Procedimiento: Luego utilizamos la ecuación general de la recta y llegamos a: La ecuación de la recta que pasa por ese punto es: Pendiente = 3 Intersección con el eje Y = (0,6) "hacemos cero a x" Intersección con el eje x = (-2,0) "hacemos cero a y"
- 13. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 13
- 14. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 14 EJERCICIOS PROPUESTOS En los problemas del 1 al 5, determine la pendiente de la recta que contiene los dos puntos. 1. (3,5) y (4,7) 2. (-6,0) y (0,6) 3. (2,-4) y (0,-6) 4. (3,0) y (0,5) 5. (2,3) y (-5,-6) En los problemas del 6 al 8, determine una ecuación para cada recta. Luego escriba su respuesta de la forma Ax + By +C = 0 6. Pasa por (2,2) con pendiente -1 7. Con intersección en y 3 y pendiente 2. 8. Pasa por (-5,0) y (-5,4) En los problemas del 9 al 12, determine la pendiente y la intersección de cada recta. 9. 3y = -2x + 1 10.6 -2y = 10x – 2 11.-4y = 5x – 6 12. 4x + 5y = -20 Escriba una ecuación para la recta que pasa por (3,-3) y que es: 13.Paralela a la recta y = 2x + 5 14.Perpendicular a la recta y = 2x + 5 15.Paralela a la recta que pasa por (-1,2) y (3,1) Determine el valor de c para el cual la recta 3x + cy = 5 16.Pasa por el punto (3,1) 17.Es paralela a la recta 2x + y = -1 18.Tiene intersecciones con el eje x y con el eje y iguales. 19.Es perpendicular a la recta y – 2 = 3(x + 3) 20.¿El punto (3,9) esta por arriba o por debajo de la recta y = 3x – 1?
- 15. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 15 EJERCICIOS – PRIMER PARCIAL PLANO CARTESIANO:
- 16. UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSIÓN VILLANUEVA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CALCULO DIFERENCIAL 16 EJERCICIOS – PRIMER PARCIAL LÍNEA RECTA 1. Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y − 7 = 0. 2. Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta 2x + y + 2 = 0. 3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (−2, 2). 4. Calcular la ecuación de la recta perpendicular a 8x − y − 1 = 0 y pasa por el punto P(−3, 2). 5. La recta r ≡ 3x + ny − 7 = 0 pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y − 13 = 0. Calcula m y n. 6. Los puntos A(−1, 3) y B(3, −3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2x − 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.