30 ángulos en la circunferencia y teoremas
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Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con ángulos y figuras geométricas en una circunferencia. Define términos como circunferencia, radio, cuerda, diámetro, secante y tangente. Explica que el ángulo de un arco es igual al ángulo central que lo subtiende y que el ángulo inscrito es la mitad del arco que subtiende. Incluye teoremas como que los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito son suplementarios y que la tangente es perpendicular al
30 ángulos en la circunferencia y teoremas
- 1. 1 C u r s o : Matemática Material N° 16 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 16 UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS DEFINICIONES CIRCUNFERENCIA: Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto O. RADIO: Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta ( OA ). CUERDA: Trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia ( DE). DIÁMETRO: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia ( BC ). Es la cuerda de mayor longitud. r O 1 SECANTE: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ) radio O TANGENTE: Recta que intersecta a la circunferencia en un sólo punto (TM). T punto de tangencia. ARCO: Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella ( CE ). ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus rayos son radios de la misma (EOD). EJEMPLOS 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es FALSA? A) El diámetro de una circunferencia es el doble de su radio B) La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro C) En circunferencias congruentes los radios son congruentes D) Al intersectarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro. E) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia 0: Centro r: Radio C(O,r) = (O,r) (O,r) cuerda diámetro secante tangente arco C A Q M P B D E T
- 2. 2. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera? A) Una cuerda no puede pertenecer a una secante B) Una cuerda puede pertenecer a una tangente C) La tangente intersecta en más de un punto a la circunferencia D) Los rayos de un ángulo del centro son cuerdas E) El diámetro es una cuerda 3. En la circunferencia de centro O (fig. 1) de diámetro AB , el ángulo AOC mide 54o. 2 ¿Cuál es la medida del ángulo BCO? A) 17º B) 24º C) 27º D) 32º E) No se puede determinar 4. Según los datos de la circunferencia de centro en O (fig. 2), + es A) 198º B) 168º C) 144º D) 132º E) 126º O 5. En la circunferencia de la figura 3, OD y OC son radios. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) ODC = OCD II) AE OE III) DE CE A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III B A O fig. 3 D C E B A C fig. 1 O fig. 2 39o 48o A B C
- 3. 3 MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco. D ÁNGULO INSCRITO: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ésta (FHG). G TEOREMA Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del arco que subtiende el mismo arco. C O D O E EJEMPLOS 1. En la circunferencia de centro O (fig. 1), se cumple que el arco BA es igual al arco DC y el arco AED más el arco CB es igual a 3 veces el arco BA. Entonces, la medida del x es A) 45º B) 60º C) 72º D) 84º E) 90º B 2. AC y BE son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si BOA = 2COB, entonces el CDB mide A) 30º B) 35º C) 45º D) 60º E) 120º fig. 2 E D C O A B H F x O D A C fig. 1 E DE = EOD = E O O: centro de la circunferencia A B O A B A B = 1 2
- 4. 3. Según los datos entregados en la circunferencia de centro O de la figura 3, ¿cuánto 4 mide el ángulo ? A) 35º B) 40º C) 70º D) 120º E) 150º 4. En la circunferencia de centro O de la figura 4, + = 90º. Entonces, la medida de es A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 75º O fig. 4 5. En la circunferencia de centro O (fig. 5), AC es diámetro. Entonces, la medida de es A) 10º B) 20º C) 40º D) 80º E) 140º 6. En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura 6, ¿cuánto mide el BCA? A) 22º B) 34º C) 36º D) 44º E) 68º 7. En la circunferencia de centro O de la figura 7, BOA = 70º y COB = 40º. ¿Cuánto mide el ángulo ABC? A) 140º B) 125º C) 120º D) 110º E) 95º A B O C 20º fig. 5 68º O C A B fig. 6 x + 50° x fig. 3 2x + 30° O O A C B fig. 7
- 5. TEOREMA Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida. TEOREMA Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. A O B TEOREMA En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. TEOREMA La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. QP tangente en P QP OP r Q 5 EJEMPLOS 1. En la figura 1, TPQ = 140º y QRP = 15º. ¿Cuánto mide el PQT? A) 15º B) 20º C) 25º D) 30º E) 35º T R 2. Si en la circunferencia de la figura 2, + + = 90°, entonces la medida de es A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 90º O P P Q fig. 1 = BCA = 90º + = 180º + = 180º A C B D C O: centro de la circunferencia P Q fig. 2
- 6. 3. En la figura 3, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Entonces, x = 6 A) 30º B) 65º C) 115º D) 130º E) 230º D C 30º 4. En la figura 4, AC es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuánto mide el ángulo BCA? A) 15º B) 25º C) 35º D) 55º E) 70º 5. En la figura 5, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cuánto mide el OPT? A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º 6. En la circunferencia de centro O de la figura 6, PA y PB son tangentes en A y B, respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo BCA? A) 25º B) 50º C) 65º D) 100º E) 130º B C O P O 50º 7. En la figura 7, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Si = 145° y = – , entonces es igual a A) 35º B) 45º C) 55º D) 60º E) 70º B 55º O A C fig. 4 T P O fig. 5 40º C B D fig. 7 A fig. 3 35º x A B A fig. 6
- 7. fig. 2 7 ANGULO INTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA El ángulo interior de la circunferencia es aquel que se forma al intersectarse interiormente dos cuerdas, como se muestra en la figura 1, y su medida corresponde a la semisuma de los arcos que subtiende. = BA + CD ANGULO EXTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA El ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus rayos, tangentes o secantes a la misma ,como se muestra en la figura 2, y su medida corresponde a la semidiferencia de los arcos que subtiende. ANGULO SEMI INSCRITO El ángulo semi-inscrito es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia, sus rayos lo forman una cuerda AC y una recta L tangente en A , como se muestra en la figura 3, su medida corresponde a la mitad del arco que subtiende. EJEMPLO 1. En la circunferencia de la figura 4, la recta L es tangente en B, el ángulo DBC mide 50º y el arco EB mide 140º, entonces el valor de x + y es A) 70º B) 80º C) 90º D) 100º E) 120º 2 A B C D fig. 1 = DC AB 2 P B A C D = AC 2 A L C fig. 3 y L B x C D E fig. 4
- 8. 2. AD y BC son cuerdas que se intersectan en E (fig. 5). Si el arco BA mide 60º y el arco CD mide 100º, ¿cuánto mide el ángulo ? 8 A) 20º B) 60º C) 80º D) 100º E) 160º fig. 5 3. La recta L tangente a la circunferencia en el punto A (fig. 6). Si el triángulo ABC es isósceles de base AB, entonces el ángulo DAC mide A) 20º B) 25º C) 35º D) 40º E) 70º 4. En la circunferencia de la figura 7, ángulo CPA mide 40º, si el arco AC es el triple del arco DB, entonces ¿cuánto suman los arcos CD y BA? A) 40º B) 80º C) 120º D) 160º E) 200º RESPUESTAS Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 6 7 1 y 2 E E C B A 3 y 4 C A D D C A B 5 y 6 C B C C A C E 7 y 8 B C E E DMTRMA16 A E C D B fig. 7 A B C D P Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/ fig. 6 B A 40º C D L