5. unidad n°2 movimiento curvilineo parte ii
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Este documento describe los componentes tangencial y normal de la aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva. Explica cómo descomponer la aceleración en estas dos componentes, siendo la componente tangencial paralela a la velocidad y la componente normal apuntando hacia el centro de curvatura de la trayectoria. También describe los componentes radial y transversal de la aceleración y cómo expresar la velocidad y aceleración en coordenadas polares.
5. unidad n°2 movimiento curvilineo parte ii
- 1. MOVIMIENTO CURVILINEO «2° PARTE» Ing. Francisco Alfredo Díaz Manzano Universidad de Oriente
- 2. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL • Primero considérese una partícula que se mueve a lo largo de una curva contenida en el plano. Sea P la posición de la partícula en un instante dado. Se une en P a un vector unitario et tangente a la trayectoria de la partícula y que apunta en la dirección de movimiento.
- 3. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL • Sea et’ el vector unitario correspondiente a la posición P’ de la partícula en un instante posterior. • Si se dibujan ambos vectores desde el mismo origen O’, se define el vector ∆et =et’ - et
- 4. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL • Puesto que et y et’ son de longitud unitaria, sus puntas se encuentran sobre un círculo de radio 1. • Si se denota por ∆θ el ángulo formado por et y et’, se encuentra que la magnitud de ∆ et es 2 sin(∆θ/2) • A medida el Angulo ∆θ se aproxima a cero, el vector ∆et se vuelve tangente a la circunferencia unitaria y esto es perpendicular a et y que su magnitud tiende a:
- 5. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL • En consecuencia, el vector obtenido en el límite es un vector unitario a lo largo de la normal a la trayectoria de la partícula, en la dirección hacia la cual cambia et. Al denotar este vector por en, se escribe: • Puesto que la velocidad v de la partícula es tangente a la trayectoria, puede expresarse como el producto del escalar v y el vector unitario et. Se tiene
- 6. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL • Para calcular la aceleración de una partícula se sigue el proceso ya conocido:
- 7. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL • Elaborando las sustituciones tenemos que: • Donde finalmente tenemos • Se puede observar que la aceleración tiene dos componentes, una componente tangencial y una componente normal.
- 8. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL • Si aumenta la velocidad de la partícula, at es positiva y la componente vectorial at apunta en la dirección de movimiento. Si disminuye la velocidad de la partícula, at es negativa y at apunta contra la dirección del movimiento • La componente vectorial an, por otro lado, siempre se dirige hacia el centro de curvatura C de la trayectoria
- 9. COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL • En ciertos problemas de movimiento plano, la posición de la partícula P se define mediante sus coordenadas polares. • En ese caso es conveniente descomponer la velocidad y la aceleración de la partícula en componentes paralela y perpendicular, respectivamente, a la línea OP. Éstas se conocen como componentes radial y transversal.
- 11. COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL • Una operación similar a la que se usó en la sección anterior para determinar la derivada del vector unitario et produce las relaciones. • Donde er denota un vector unitario de sentido positivo respecto a er.
- 12. COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL • Mediante la regla de la cadena, se expresan las derivadas del tiempo de los vectores unitarios er y eθ del modo siguiente: • Para obtener la velocidad v de la partícula P, se expresa la posición del vector r de P como el producto del escalar r y el vector unitario er y se deriva con respecto a t
- 13. COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL • Donde finalmente: • Al derivar nuevamente tenemos:
- 14. COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL • Donde finalmente: • Al derivar nuevamente tenemos: