5.sistemas ecuaciones

6
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1

PÁGINA 133

P RACTICA
1 Comprueba si x = 2, y = –1 es solución de los siguientes sistemas de ecua-
ciones:
° 2x – y = – 4 ° 3x – 4y = 10
a) ¢ b) ¢
£ 5x + y = –10 £ 4x + 3y = 5

° 2x – y = – 4 °
a) ¢ 8 ¢ 2 · 2 – (–1) = 5 ? –4 8 No es solución.
£ 5x + y = –10 £ 5 · 2 – 1 = 9 ? –10

° 3x – 4y = 10 ° 3 · 2 – 4(–1) = 10
b) ¢ 8 ¢ 8 Sí es solución de este sistema.
£ 4x + 3y = 5 £ 4 · 2 + 3(–1) = 5

2 Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la so-
lución x = 3, y = –1/2:
x
°—+y=…
° 3x + 2y = … § 2
a) ¢ b) ¢
£ x – 4y = … § x –y=…
£

° 3x + 2y = …
a) ¢
°
8 §
¢
( )
1
§3 · 3 + 2 – — = 9 – 1 = 8
2 ° 3x + 2y = 8
8 ¢
£ x – 4y = … §
( )
1
§3 – 4 – — = 3 + 2 = 5
£ 2
£ x – 4y = 5

x °3 1 °x
°—+y=… §— – — = 1 §— + y = 1
§ 2
b) ¢ 8 §2 2
¢ 8 §2
¢
§ x –y=… § 1 7 § 7
£ §3 + — = — §x – y = —
£ 2 2 £ 2

3 a) Busca dos soluciones de la ecuación 3x – y = 1.
b) Representa gráficamente la recta 3x – y = 1.
c) Un punto cualquiera de la recta ¿es solución de la ecuación?
a) 3x – y = 1
Si x = 1: 3 · 1 – y = 1 8 y = 2
Si x = 0: 3 · 0 – y = 1 8 y = –1
b) Y

2
(1, 2)
1
1 2 3 4X
(0, –1)

c) Todos los puntos de la recta son soluciones de la ecuación.

Unidad 6. Sistemas de ecuaciones

6
Pág. 2
4 a) Representa gráficamente en los mismos ejes las dos rectas siguientes:
2x + y = 3 x–y=3
b) Di cuál es la solución de este sistema:
° 2x + y = 3
¢
£ x–y=3
a) 2x + y = 3 x–y=3 Y
2x + y = 3
x 0 1 x 0 1 x–y=3
y 3 1 y –3 –2 2
X
–1 (2, –1)

2x + y = 3 °
b) ¢
x – y = 3£
La solución del sistema es x = 2, y = –1, que corresponde al punto de corte de
ambas rectas.

5 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
° 3x – y = 1 ° 3x – y = 0 ° x + 3y = –5 ° 2x – 3y = – 4
a) ¢ b) ¢ c) ¢ d) ¢
£ x + 2y = 5 £ 3x + y = –6 £ 2x – y = 4 £ x + 8y = –2

° 3x – y = 1 Y
a) ¢
£ x + 2y = 5 3
3x – y = 1 x + 2y = 5 2 P(1, 2)

x 0 1 x 1 –1
1 X
y –1 2 y 2 3 –1

Solución: x = 1, y = 2

° 3x – y = 0 Y
b) ¢
£ 3x + y = –6 1
3x – y = 0 3x + y = –6 1 X

x 0 1 x 0 –2
P(–1, –3)
y 0 3 y –6 0

Solución: x = –1, y = –3

°
c) ¢ x + 3y = –5 Y
£ 2x – y = 4
1
x + 3y = –5 2x – y = 4
1 X
x 1 –2 x 0 1 P(1, –2)
–2
y –2 –1 y –4 –2

Solución: x = 1, y = –2


6
Pág. 3

°
d) ¢ 2x – 3y = – 4
£ x + 8y = –2
2x – 3y = –4 x + 8y = –2 Y
2
x 1 –2 x 6 –2 –2 2 4 6
y 2 0 y –1 0 X
–2
Solución: x = –2, y = 0

6 Resuelve por sustitución.
° x + 3y = 0 ° 8x – 3y = –25
a) ¢ b) ¢
£ 2x + y = –5 £ x – 5y = –17

° 7x – y = –6 ° 2x + 16 = 2y
c) ¢ d) ¢
£ 4x + 3y = 3 £ 2y – 3x = 16

x + 3y = 0 ° x = –3y
a) ¢
2x + y = –5 £ 2(–3y) + y = –5 8
8 –6y + y = –5 8 –5y = –5 8 y = 1 8 x = –3 · 1 = –3

8x – 3y = –25 °
b) ¢ 8
x – 5y = –17 £
8 x = –17 + 5y 8 8(–17 + 5y) – 3y = –25 8 –136 + 40y – 3y = –25 8
8 37y = 111 8 y = 3 8 x = –17 + 15 = –2
7x – y = –6 ° 7x + 6 = y
c) ¢
4x + 3y = 3 £ 4x + 3(7x + 6) = 3 8

8 4x + 21x + 18 = 3 8 25x = –15 8 x = –15 = – 3 8
25 5

(
8 y=7 –3 +6 = 9
5 5 )
Solución: x = – 3 , y = 9
5 5

2x + 16
2x + 16 = 2y ° y = — = x + 8
2
d) ¢
2y – 3x = 16 £ 2(x + 8) – 3x = 16 8

8 2x + 16 – 3x = 16 8 –x = 0 8 x = 0 8 y = 8


6
Pág. 4
7 Resuelve por igualación.
°x=4
a) ¢
£x–y=6

° x + 3y = – 4
b) ¢
£ x – 2y = 6

° y = 6x
c) ¢
£ 7x = 2y – 5

° 3x – 4y = – 4
d) ¢
£ 2x + y = –1

x=4 ° x=4 °
a) ¢ ¢ 8 6 + y = 4 8 y = –2
x – y = 6£ x=6+y£
x + 3y = – 4 ° x = – 4 – 3y °
b) ¢ ¢ 8 –4 – 3y = 6 + 2y 8 –4 – 6 = 5y 8
x – 2y = 6 £ x = 6 + 2y £
8 y = –2 8 x = –4 – 3(–2) = 2
y = 6x °
y = 6x °
c) 7x + 5 § 8 6x = 7x + 5 8 12x = 7x + 5 8 5x = 5 8
¢
7x = 2y – 5 £ y = —¢ 2
2 § £
8 x=1 8 y=6·1=6
3x + 4 °
3x – 4y = – 4 ° y = — §
4 3x + 4 = –1 – 2x 8 3x + 4 = –4 – 8x 8
d) ¢ ¢ 8
2x + y = –1 £ y = –1 – 2x § 4
£
8 11x = –8 8 x = –8 8
11

( )
8 y = –1 – 2 –8 = 5
11 11
Solución: x = –8 , y = 5
11 11


6
Pág. 5
8 Resuelve por reducción.
°x+y=0 ° 3x – y = 0
a) ¢ b) ¢
£x–y=2 £ 3x + y = –6

° 4x – 3y = 2 ° x + 2y = 1
c) ¢ d) ¢
£ 2x + y = – 4 £ 3x – y = 7

° x – 3y = 1 ° 3x + 2y = 3
e) ¢ f) ¢
£ 3x + 6y = 2 £ x + y = 7/6

x + y = 0°
a) ¢
x – y = 2£
2x = 2 8 x = 1, y = –1
3x – y = 0 °
b) ¢
3x + y = –6 £
6x = –6 8 x = –1, y = –3
4x – 3y = 2 ° 4x – 3y = 2 °
c) ¢ ¢
2x + y = – 4 £ 6x + 3y = –12 £
10x = –10 8 x = –1 8 2(–1) + y = –4 8 y = –2
x + 2y = 1 ° x + 2y = 1 ° 15 8 15 + 2y = 1 8
d) ¢ ¢ 8 7x = 15 8 x =
3x – y = 7 £ 6x – 2y = 14 £ 7 7

8 y = 1 – 15/7 = – 4
2 7
Solución: x = 15 , y = – 4
7 7

x – 3y = 1 ° 2x – 6y = 2° 4 8 4 – 3y = 1 8
e) ¢ ¢ 8 5x = 4 8 x =
3x + 6y = 2 £ 3x + 6y = 2 £ 5 5

8 y = 4/5 – 1 = – 1
3 15
Solución: x = 4 , y = – 1
5 15

3x + 2y = 3 ° 3x + 2y = 3 ° 14 = 2 8 2 + y = 7 8
f) ¢ ¢ 8 x=3–
x + y = 7/6 £ –2x – 2y = –14/6 £ 6 3 3 6

8 y= 7 – 2 = 1
6 3 2
Solución: x = 2 , y = 1
3 2


6
Pág. 6
9 Resuelve estos sistemas por el método que consideres más adecuado:
° x– y=1
a) ¢
£ 4x – 3y = 8

° 3x = 1 + y
b) ¢
£ 3 + 2y = 10x

° 2x + 5y = –1
c) ¢
£ 4x – 3y = –2

° 3x – 2y = 2
d) ¢
£ x + 4y = –5/3

x– y=1° °x = 1 + y
a) ¢ Por sustitución: ¢
4x – 3y = 8 £ £4(1 + y) – 3y = 8 8
8 4 + 4y – 3y = 8 8 y = 4 8 x = 1 + 4 = 5

3x = 1 + y ° °y = 3x – 1
b) ¢ Por sustitución: ¢
3 + 2y = 10x £ £3 + 2(3x – 1) = 10x 8

8 3 + 6x – 2 = 10x 8 1 = 4x 8 x = 1 8 y = 3 · 1 – 1 = – 1
4 4 4
Solución: x = 1, y = – 1
4 4

2x + 5y = –1 ° –4x – 10y = 2 °
c) ¢ Por reducción: ¢ 8
4x – 3y = –2 £ 4x – 3y = –2 £

8 –13y = 0 8 y = 0 8 2x + 5 · 0 = –1 8 x = – 1
2

2

3x – 2y = 2 ° 6x – 4y = 4 °
d) ¢ Por reducción: ¢ 8
x + 4y = –5/3 £ x + 4y = –5/3 £

8 7x = 7 8 x = 1 8 3 · 1 – 2y = 2 8 –2y = 1 8 y = – 1
3 3 3 2

Solución: x = 1 , y = – 1
3 2


6
Pág. 7
10 Resuelve los sistemas siguientes:
° 2x + y = 0
a) ¢
£ 5x – 3 = 9y – 3
x y
°—– —=4
§
b) § 3 2
¢ x y
§—+—=2
§ 2 4
£
° 2 (3x – 2) = y – 1
c) ¢
£ 3 (x + y) + 2 (x – y) = 8

°x+y–2 =1
—
§
d) § 4
¢ 3
§ x – —y = 5
§ 2
£

2x + y = 0 °
a) ¢ Por sustitución: y = –2x 8 5x – 3 = 9(–2x) – 3 8
5x – 3 = 9y – 3 £
8 5x – 3 = –18x – 3 8 23x = 0 8 x = 0 8 y = –2 · 0 = 0
x y °
—– —=4 §
b) 3 2 § Por reducción: 2x – 3y = 24 ° 2x – 3y = 24 ° 8
¢ ¢
x y ¢ 2x + y = 8 £ –2x – y = –8 £
—+—=2 §
2 4 §
£
8 – 4y = 16 8 y = – 4 8 2x – 3(–4) = 24 8 2x = 12 8 x = 6
Solución: x = 6, y = – 4
2(3x – 2) = y – 1 ° 6x – 4 = y – 1 ° 6x – y = 3 °
c) ¢ ¢ ¢
3(x + y) + 2(x – y) = 8 £ 3x + 3y + 2x – 2y = 8 8 5x + y = 8 £ 5x + y = 8 £
Por reducción: 11x = 11 8 x = 1 8 6 · 1 – y = 3 8 y = 3
y–2
x + — = 1° § 4x + y – 2 = 4 ° 4x + y = 6 °
d) 4 §
¢ 2x – 3y ¢ ¢ Por reducción:
3 § = 10 £ 2x – 3y = 10 £
x – —y = 5 §
2 £

12x + 3y = 18 ° 3 2 – 5 = –2
¢ 8 14x = 28 8 x = 2 8 2 – y = 5 8 y =
2x – 3y = 10 £ 2 3/2


6
Pág. 8
11 Observa las ecuaciones que forman los siguientes sistemas y di cuál de ellos
tiene una única solución, cuál no tiene solución y cuál tiene infinitas soluciones.
Compruébalo representando las rectas que los forman:
° 2x – y = 1 ° x – 2y = 5 ° 5x + 2y = –1 ° x – 2y = 5
a) ¢ b) ¢ c) ¢ d) ¢
£ 4x – 2y = 8 £ 2x – 4y = 10 £ 4x – y = 7 £ 2x – 4y = –3

2x – y = 1 ° Y
a) ¢ No tiene solución
4x – 2y = 8 £ 1
2x – y = 1 4x – 2y = 8 8 2x – y = 4 –1
1 2 X

x 0 2 x 0 2
y –1 3 y –4 0

x – 2y = 5 °
b) ¢ Tiene infinitas soluciones Y
2x – 4y = 10 £
1
x – 2y = 5 2x – 4y = 10 8 x – 2y = 5
1 3 X
x 1 3
Es la misma recta –2
y –2 –1

5x + 2y = –1 °
c) ¢ Tiene una solución, x = 1, y = –3. Y
4x – y = 7 £
1
5x + 2y = –1 4x – y = 7
1 2 X
x 1 –1 x 1 2
y –3 –2 y –3 1 –3 P(1, –3)

x – 2y = 5 ° Y
d) ¢ No tiene solución
2x – 4y = –3 £
x – 2y = 5 2x – 4y = –3 1
1 2 X
x 1 –1 x 1 3 –1
y –2 –3 y 5/4 9/4

12 Completa los siguientes sistemas de modo que el primero tenga la solución
x = 3, y = –2; el segundo sea incompatible y el tercero y el cuarto sean indeter-
minados:
° 3x + 2y = … ° x+ y=5 ° 3x – 2y = 4 ° –x + 2y = 7
a) ¢ b) ¢ c) ¢ d) ¢
£ …–y=8 £ 2x + 2y = … £ 6x – 4y = … £ … – 4y = …

°3x + 2y = … °3 · 3 + 2(–2) = 5 °3x + 2y = 5
a) ¢ 8 ¢ 8 Solución: ¢
£ …–y=8 £… = 8 + y = 8 – 2 = 6 £6x – y = 8


6
Pág. 9

° x+ y=5
b) ¢ Puede ser cualquier número distinto de 10.
£2x + 2y = …

° x+ y=5
Por ejemplo: ¢
£2x + 2y = 1

°3x – 2y = 4 °3x – 2y = 4
c) ¢ 8 ¢
£6x – 4y = … £6x – 4y = 8

°–x + 2y = 7 °–x + 2y = 7
d) ¢ 8 ¢
£ … – 4y = … £2x – 4y = –14

PÁGINA 134
13 Representa los pares de rectas correspondientes a cada sistema y di si son
equivalentes:
° 2x + y = 3
a) ¢
£ x–y=3

°y+1=0
b) ¢
£ 3x – 4y = 10

°2x + y = 3
a) ¢
Y
£ x–y=3
2x + y = 3 x–y=3
1
2
x 0 1 x 0 1 1 X
–1 (2, –1)
y 3 1 y –3 –2


°y + 1 = 0 Y
b) ¢
£3x – 4y = 10
1
y = –1 3x – 4y = 10
1 2 X
x 2 0 –1
y –1 –2,5

Los sistemas son equivalentes, porque tienen la misma solución.


6
Pág. 10
14 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando dos veces el mé-
todo de reducción para despejar cada una de las incógnitas:
° 13x – 8y = 15 ° 9x – 13y = 54
a) ¢ b) ¢
£ 7x – 14y = 9 £ 11x – 7y = 22

°13x – 8y = 15 ° 91x – 56y = 105
a) ¢ 8 ¢ 8 126y = –12 8 y = –2
£ 7x – 14y = 9 £–91x + 182y = –117 21

°182x – 112y = 210
¢ 8 126x = 138 8 x = 23
£ –56x + 112y = –72 21

Solución: x = 23 , y = –2
21 21

° 9x – 13y = 54 ° 99x – 143y = 594
b) ¢ 8 ¢ 8 –80y = 396 8 y = – 99
£11x – 7y = 22 £–99x + 63y = –198 20

° 63x – 91y = 378
¢ 8 –80x = 92 8 x = – 23
£–143x + 91y = –286 20

Solución: x = 23 , y = – 99
20 20

15 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Para ello, simplifica previa-
mente las ecuaciones que los forman:
° 2 ° x+1
§ —x + y = –1 §—+y=1
a) § 3
¢ b) § 3
¢
§x+1 y–1 §x–3
§ — + — = –1 § — + 2y = 1
£ 3 6 £ 4

°2–x 3+y °x–1 y+1
§—+ —=2 §—+ —=1
c) § 3
¢
6 d) § 2
¢
4
§ 8 – 3x 2 + y § 2x – 1 2y + 1
§—–—=2 §—–—=1
£ 6 9 £ 2 6

°2
§—x + y = –1
°2x + 3y = –3 °2x + 3y = –3
a) § 3
¢ 8 ¢ 8 ¢ 8
§x + 1 y – 1 £2(x + 1) + y – 1 = –6 £2x + y = –7
§— + — = –1
£ 3 6
° 2x + 3y = –3
8 ¢ 8 2y = 4 8 y = 2 8
£ –2x – y = 7

8 2 x + 2 = –1 8 x = –3 = – 9
3 2/3 2

2


6
Pág. 11
°x + 1
§— + y = 1
°x + 1 + 3y = 3 °x + 3y = 2
b) § 3
¢ 8 ¢ 8 ¢ 8
§x – 3 £x – 3 + 8y = 4 £x + 8y = 7
§— + 2y = 1
£ 4
° x + 3y = 2
8 ¢ 8 –5y = –5 8 y = 1 8
£–x – 8y = –7

8 x + 1 + 1 = 1 8 x = –1
3

°2–x 3+y
§—+ —=2
°2(2 – x) + 3 + y = 12
c) § 3
¢
6 8 ¢ 8
§ 8 – 3x 2 + y £3(8 – 3x) – 2(2 + y) = 36
§—–—=2
£ 6 9
°4 – 2x + 3 + y = 12 °–2x + y = 5
8 ¢ 8 ¢ 8
£24 – 9x – 4 – 2y = 36 £–9x – 2y = 16

°–4x + 2y = 10
8 ¢ 8 –13x = 26 8 x = –2 8
£ –9x – 2y = 16

8 2 – (–2) + 3 + y = 2 8 3 + y = 2 – 4 8
3 6 6 3
8 3+y = 2 8 y=1
6 3

°x – 1 y + 1
§— + — = 1
°2(x – 1) + y + 1 = 4
d) § 2
¢
4 8 ¢ 8
§ 2x – 1 2y + 1 £3(2x – 1) – (2y + 1) = 6
§— – — = 1
£ 2 6
° 2x – 2 + y + 1 = 4 °2x + y = 5
8 ¢ 8 ¢ 8
£ 6x – 3 – 2y – 1 = 6 £6x – 2y = 10

°4x + 2y = 10
8 ¢ 8 10x = 20 8 x = 2 8
£6x – 2y = 10

8 2–1+y+1=1 8 y+1= 1 8 y=1
2 4 4 2


6
Pág. 12
16 Resuelve los siguientes sistemas. Indica si alguno de ellos es incompatible o
indeterminado.
° 2x – 5y = –2
a) ¢
£ 3,25x – 2,5y = 8
° 0,2x – 1,7y = 6,1
b) ¢
£ 3x + 2y = 9
° 3 (x – 1) + y = 0
c) ¢
£ 3 (x + 1) + y = –5
°x+y=4–y
d) ¢
£ 3x – 5 = 7 – 6y

° 2x – 5y = –2 ° 2x – 5y = –2
a) ¢ Por reducción: ¢ 8
£3,25x – 2,5y = 8 £–6,5x + 5y = –16
8 – 4,5x = –18 8 x = 4 8 2 · 4 – 5y = –2 8 10 = 5y 8 y = 2
° 0,2x – 1,7y = 6,1
b) ¢ Por sustitución: y = 9 – 3x
£ 3x + 2y = 9 2

( )
0,2x – 1,7 9 – 3x = 6,1 8 0,2x – 15,3 – 5,1x = 6,1
2 2
0,4x – 15,3 + 5,1x = 12,2 8 5,5x = 27,5 8 x = 5 8
8 y = 9 – 3 · 5 = –3
2
°3(x – 1) + y = 0 °3x – 3 + y = 0 °3x + y = 3
c) ¢ 8 ¢ 8 ¢
£3(x + 1) + y = –5 £3x + 3 + y = –5 £3x + y = –8
No tiene solución. Es incompatible.
°x + y = 4 – y ° x + 2y = 4
d) ¢ 8 ¢
£3x – 5 = 7 – 6y £ 3x + 6y = 12
Tiene infinitas soluciones. Es indeterminado.

P I E N S A Y R E S U E LV E
17 Halla dos números tales que su suma sea 160, y su diferencia, 34.
Llamamos x e y a los números.
°x + y = 160
¢ 8 2x = 194 8 x = 97 8 97 + y = 160 8 y = 63
£x – y = 34
Los números son 97 y 63.


6
Pág. 13
18 Por dos bolígrafos y tres cuadernos he pagado 7,80 €; por cinco bolígrafos
y cuatro cuadernos, pagué 13,2 €. ¿Cuál es el precio de un bolígrafo? ¿Y de un
cuaderno?
x es el precio de un bolígrafo e y es el precio de un cuaderno.
° 7,80 – 3y
§x = —
°2x + 3y = 7,80 2
¢ 8 §
¢
£5x + 4y = 13,2
(
§ 7,80 – 3y
§5 — + 4y = 13,2 8
£ 2 )
8 39 – 15y + 8y = 26,4 8 –7y = –12,6 8 y = 1,8 € 8
8 x = 7,80 – 3 · 1,8 = 1,2 €
2
Un bolígrafo cuesta 1,2 €, y un cuaderno, 1,8 €.

19 Un librero ha vendido 45 libros, unos a 32 € y otros a 28 €. Obtuvo por la
venta 1 368 €. ¿Cuántos libros vendió de cada clase?
x son los libros de 32 € e y son los de 28 €.
° x + y = 45 °y = 45 – x
¢ 8 ¢
£32x + 28y = 1 368 £32x + 28(45 – x) = 1 368 8
8 32x + 1 260 – 28x = 1 368 8 4x = 108 8
8 x = 27 8 y = 45 – 27 = 18
Vendió 27 libros de 32 € y 18 libros de 28 €.

20 En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 29 cabezas y 92
patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
x es el número de gallinas, e y, el de conejos.
° x + y = 29 °y = 29 – x
¢ 8 ¢
£ 2x + 4y = 92 £2x + 4(29 – x) = 92 8
8 2x + 116 – 4x = 92 8 –2x = –24 8
8 x = 12 8 y = 29 – 12 = 17
Hay 12 gallinas y 17 conejos.

21 Un examen tipo test consta de 50 preguntas y hay que contestar a todas.
Por cada acierto se obtiene un punto y por cada fallo se restan 0,5 puntos. Si mi
nota ha sido 24,5, ¿cuántos aciertos y cuántos fallos he tenido?
x es el número de aciertos, e y, el de fallos.
°x + y = 50 °–x – y = –50
¢ 8 ¢ 8 –1,5y = –25,5 8 y = 17 8 x = 33
£x – 0,5y = 24,5 £ x – 0,5y = 24,5
He tenido 33 aciertos y 17 fallos.


6
Pág. 14
22 Una cooperativa ha envasado 2 000 l de aceite en botellas de 1,5 l y 2 l. Si
ha utilizado 1 100 botellas, ¿cuántas se han necesitado de cada clase?
x son las botellas de 1,5 l, e y, las de 2 l.
° x + y = 1 100 ° –2x – 2y = –2 200
¢ 8 ¢ 8
£1,5x + 2y = 2 000 £1,5x + 2y = 2 000
8 –0,5x = –200 8 x = 400 8 y = 1 100 – 400 = 700
Se han utilizado 400 botellas de 1,5 l y 700 de 2 l.

23 Halla dos números naturales tales que su suma sea 154, y su cociente, 8 .
3
Llamamos x e y a los números.
°x + y = 154
§x °y = 154 – x
¢— = — 8 8 ¢ 8 3x = 8(154 – x) 8 3x = 1 232 – 8x 8
§y 3 £3x = 8y
£
8 11x = 1 232 8 x = 112 8 y = 154 – 112 = 42

24 Halla dos números naturales que suman 140 y tales que al dividir el mayor
entre el menor obtenemos 2 de cociente y 14 de resto.

☞ Recuerda: Dividendo = divisor Ò cociente + resto.
Los números son x e y.
°x + y = 140 °2y + 14 + y = 140
¢ 8 ¢ 8 3y = 126 8 y = 42
£x = 2y + 14 £x = 2 · 42 + 14 = 98
98 y 42 son los números buscados.

25 La suma de las edades de una madre y su hijo es 56 años. Hace 10 años, la
edad de la madre era el quíntuple de la edad que tenía el hijo. ¿Cuál es la edad ac-
tual de cada uno?

HOY HACE 10 A Ñ O S
MADRE x x – 10
HIJO y y – 10
56 x – 10 = 5(y – 10)

°x + y = 56 °x + y = 56 °y = 56 – x
¢ 8 ¢ 8 ¢ 8
£x – 10 = 5(y – 10) £x – 10 = 5y – 50 £x – 10 = 5(56 – x) – 50
8 x – 10 = 280 – 5x – 50 8 6x = 240 8
8 x = 40 8 y = 56 – 40 = 16
La madre tiene 40 años, y el hijo, 16 años.


6
Pág. 15
26 Hace tres años la edad de Nuria era el doble de la de su hermana Marta.
Dentro de 7 años, será los 4 de la que entonces tenga Marta. Calcula la edad ac-
3
tual de cada una.

HOY HACE3 AÑOS 7
DENTRO DE AÑOS
NURIA x x–3 x+7
M A R TA y y–3 y+7

°x – 3 = 2(y – 3)
§ °x – 3 = 2y – 6 °x = 2y – 3
4
¢x + 7 = —(y + 7) 8 ¢ 8 ¢ 8
§ 3 £ 3x + 21 = 4y + 28 £3(2y – 3) – 4y = 7
£
8 6y – 9 – 4y = 7 8 2y = 16 8 y = 8 8 x = 13
Nuria tiene 13 años, y Marta, 8 años.

27 La base menor de un trapecio isósceles mide 6 m y la base mayor mide lo
mismo que los lados iguales juntos. Si el perímetro del trapecio es 38 m, ¿cuánto
mide cada lado?
6
x x

y

°y = 2x
¢
£6 + 2x + y = 38 8 6 + 2x + 2x = 38 8 4x = 32 8 x = 8 m 8 y = 16 m
La base mayor mide 16 m, y los lados oblicuos, 8 m, respectivamente.

28 He cambiado un montón de monedas de 20 céntimos por monedas de
1 €, de manera que ahora tengo 24 monedas menos que antes. ¿Cuántas mone-
das de 20 céntimos tenía?
Tengo x monedas de 0,20 €. El número de monedas de 1 € es y.
°x · 0,2 = y
¢ 8 0,2x = x – 24 8 24 = 0,8x 8 x = 30 8 y = 30 – 24 = 6
£y = x – 24
Tenía 30 monedas de 0,2 € y las he cambiado por 6 monedas de 1 €.

29 Si Álvaro regala a Rita 4 de sus discos, ella tendrá el doble que él. Si Rita da
6 de sus discos a Álvaro, entonces será él el que tenga el doble que ella. ¿Cuántos
discos tiene cada uno?
Discos de Álvaro: x Discos de Rita: y
°2(x – 4) = y + 4 °2x – 8 = y + 4 °y = 2x – 12
¢ 8 ¢ 8 ¢
£x + 6 = 2(y – 6) £x + 6 = 2y – 12 £x + 6 = 2(2x – 12) – 12
x + 6 = 4x – 24 – 12 8 3x = 42 8 x = 14 8 y = 2 · 14 – 12 = 16
Álvaro tiene 14 discos, y Rita, 16.


6
Pág. 16

PÁGINA 135
30 Problema resuelto
He pagado 55,72 € por una camiseta y un pantalón que costaban 70 € entre los
dos. En la camiseta me han hecho un 18% de descuento, y en el pantalón, un
22%. ¿Cuál era el precio original de cada artículo?
La camiseta vale x; con la rebaja del 18% pago 0,82x. El pantalón vale y; con la
rebaja del 22% pago 0,78y.
Por tanto:
°x + y = 70 °y = 70 – x
¢ 8 ¢
£0,82x + 0,78y = 55,72 £0,82x + 0,78(70 – x) = 55,72 8
8 0,82x + 54,6 – 0,78x = 55,72 8
8 0,04x = 1,12 8 x = 28 8
8 y = 70 – 28 = 42
La camiseta vale 28 €, y el pantalón, 42 €.
°28 + 42 = 70
Comprobación: ¢
£22,96 + 32,76 = 55,72

31 Por unos zapatos y una chaqueta he pagado 126 €. Si el precio de los zapa-
tos aumentara en un 14%, entonces sería igual al 75% del precio de la chaqueta.
¿Cuánto he pagado por cada uno?
Precio de los zapatos: x; precio de la chaqueta: y ;
°x + y = 126 °y = 126 – x
¢ 8 ¢
£1,14x = 0,75y £1,14x = 0,75(126 – x) 8
8 1,14x = 94,5 – 0,75x 8 1,89x = 94,5 8
8 x = 50 € 8 y = 76 €
He pagado 50 € por los zapatos y 76 € por la chaqueta.

32 Los alumnos de un centro escolar son 420 entre ESO y Bachillerato. El
42% de ESO y el 52% de Bachillerato son chicas, lo que supone un total de 196
mujeres. Calcula cuántos estudiantes hay en ESO y cuántos en Bachillerato.
x es el número de alumnos de ESO e y los de Bachillerato.
°x + y = 420 °y = 420 – x
¢ 8 ¢
£0,42x + 0,52y = 196 £0,42x + 0,52(420 – x) = 196 8
8 0,42x – 0,52x = 196 – 218,4 8
8 0,1x = 22,4 8 x = 224 8
8 y = 420 – 224 = 196
Son 224 alumnos en la ESO y 196 en Bachillerato.


6
Pág. 17
33 Un comerciante compró 35 juegos de un tipo y 25 de otro pagando por
ellos 1 220 €. Con la venta de los primeros ganó un 25% y con los segundos per-
dió el 5%, de forma que obtuvo 170 € de ganancia sobre el precio de compra.
Calcula el precio de compra de cada tipo de juego.
Precios de compra de cada tipo de juego: x e y.
°35x + 25y = 1 220 °7x + 5y = 244
¢ 8 ¢ 8
£1,25 · 35x + 0,95 · 25y = 1 390 £43,75x + 23,75y = 1 390

(
8 y = 244 – 7x 8 43,75x + 244 – 7x = 1 390 8
5 5 )
8 43,75x + 1 159 – 33,25x = 1 390 8

8 10,5x = 231 8 x = 22 8 y = 244 – 7 · 22 = 18
5
Los precios de compra fueron 22 € y 18 €, respectivamente.

Un autobús sale de A a 90 km/h. Cuando ha recorrido 25 km, sale de A un coche
a 110 km/h que quiere alcanzar al autobús. ¿Cuánto tiempo tarda en hacerlo y qué
distancia recorre hasta conseguirlo?

AUTOBÚS: 90 km/h
A B
25 km x

COCHE: 110 km/h
A B
25 + x

E S PA C I O VELOCIDAD TIEMPO
AUTOBÚS x 90 t
COCHE 25 + x 110 t

Sabemos que espacio = velocidad · tiempo.
x = 90t °
¢ 8 25 + 90t = 110t 8 20t = 25 8 t = 1,25 8 x = 112,5
25 + x = 110t £
Tarda 1,25 h y recorre 137,5 km.

35 Un tren regional sale de una estación a 85 km/h. Media hora más tarde sale
otro más rápido en la misma dirección a 110 km/h. Calcula el tiempo que tardará
en alcanzarlo y la distancia recorrida hasta lograrlo.
t : tiempo que tarda en alcanzarlo.
x : distancia que recorre el tren regional hasta el alcance.
85 km/h
42,5 x 85 · 0,5 = 42,5
x + 42,5


6
Pág. 18

°x = 85t
¢ 8 85t + 42,5 = 110t 8 25t = 42,5 8
£x + 42,5 = 110t
8 t = 1,7 8 x = 144,5 8 144,5 + 42,5 = 187
Tarda 1h 42 min y recorre 187 km.

36 Dos ciudades, A y B, distan 234 km. De A sale un autobús en dirección
a B y simultáneamente sale de B un tren en dirección a A. Tardan en cruzarse
1 hora y 30 minutos. ¿Cuál es la velocidad de cada uno sabiendo que la del auto-
bús supera a la del tren en 5 km/h?

v+5 v
A 234 – x x B

°x = v · 1,5
¢ 8 234 – 1,5v = 1,5v – 7,5 8
£234 – x = (v + 5) · 1,5
8 234 – 7,5 = 3v 8 v = 226,5 = 75,5 km/h
3
El tren va a 75,5 km/h, y el autobús, a 80,5 km/h.

37 Un automóvil tarda dos horas en recorrer la distancia entre dos ciudades. Si
su velocidad hubiera sido superior en 30 km/h, habría tardado una hora y cuarto.
¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades?
x es la distancia que tiene que recorrer y v la velocidad que lleva.
°x = 2v
¢ 8 2v = 1,25v + 37,5 8 0,75v = 37,5 8
£x = 1,25(v + 30)
8 v = 50 km/h 8 x = 2 · 50 = 100
La distancia es 100 km.

38 Un autobús escolar hace la ruta entre dos pueblos, A y B. Cuando va con
niños, lleva una velocidad media de 60 km/h y tarda un cuarto de hora más que
si va vacío con una velocidad de 100 km/h. ¿Cuál es la distancia entre A y B?
60 km/h
x
100 km/h

°x = 60t
¢ 8 60t = 100t – 25 8 40t = 25 8
£x = 100(t – 0,25)
8 t = 0,625 8 x = 60 · 0,625 = 37,5
La distancia entre A y B es 37,5 km.

39 Hemos mezclado aceite de oliva de 3,5 €/l con aceite de girasol de 2 €/l
para obtener 50 l de mezcla a 3,08 €/l. Calcula la cantidad de aceite de oliva y de
aceite de girasol que hemos mezclado.


6
Pág. 19
CANTIDAD PRECIO
O L I VA x 3,5
GIRASOL y 2
MEZCLA 50 3,08

°x + y = 50 °y = 50 – x
¢ 8 ¢
£3,5x + 2y = 50 · 3,08 £3,5x + 2(50 – x) = 154 8
8 3,5x + 100 – 2x = 154 8
8 1,5x = 54 8 x = 36 8 y = 14
36 l de aceite de oliva y 14 l de girasol.

40 Si en un depósito que contiene agua a 50 °C añadimos agua a 15 °C, obte-
nemos 150 l a 36 °C. ¿Cuántos litros había en el depósito y cuántos hemos aña-
dido?
x son los litros de agua que había en el depósito.
y son los litros que hemos añadido.
°x + y = 150 °y = 150 – x
¢ 8 ¢
£50x + 15y = 150 · 36 £50x + 15(150 – x) = 5 400 8
8 50x + 2 250 – 15x = 5 400 8
8 35x = 3 150 8 x = 90 8 y = 150 – 90 = 60
Había 90 l de agua a 50° y hemos añadido 60 l de agua a 15°.

Las dos cifras de un número suman 7. Si invertimos el orden de estas, obtenemos
otro número que es igual al doble del anterior más 2 unidades. ¿Cuál es el núme-
ro inicial?
Cifra de las decenas: x
Cifra de las unidades: y
Número inicial: 10x + y
Número invertido: 10y + x
1.a condición: x + y = 7
2.a condición: 10y + x = 2 (10x + y) + 2
°x + y = 7 °x + y = 7
¢ 8 ¢ 8
£10y + x = 2(10x + y) + 2 £10y + x = 20x + 2y + 2

°y = 7 – x
8 ¢
£10(7 – x) + x = 20x + 2(7 – x) + 2 8
8 70 – 10x + x = 20x + 14 – 2x + 2 8
8 27x = 54 8 x = 2 8 y = 5
El número buscado es 25.


6
Pág. 20

PÁGINA 136
42 Un número de tres cifras es capicúa y sus cifras suman 10. Si a dicho nú-
mero le sumamos 10 veces la cifra de las decenas, el resultado es 261. ¿Cuál es el
número?
x es la cifra de las unidades.
y es la cifra de las decenas.
x es la cifra de las centenas.
°2x + y = 10 °y = 10 – 2x
¢ 8 ¢
£100x + 10y + x + 10y = 261 £101x + 20(10 – 2x) = 261 8
8 101x + 200 – 40x = 261 8
8 61x = 61 8 x = 1 8 y = 10 – 2 = 8
El número es 181.

43 Si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden
de estas, obtenemos el doble de la cifra de las decenas del número inicial. Halla
dicho número sabiendo que sus cifras suman 16.
x es la cifra de las decenas.
y es la cifra de las unidades.
°x + y = 16 °y = 16 – x
¢ 8 ¢
£(10x + y) – (10y + x) = 2x £10x + 16 – x – 10(16 – x) – x = 2x 8
8 10x + 16 – x – 160 + 10x – x = 2x 8
8 16x = 144 8 x = 9 8 y = 7
El número es 97.

R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA
44 Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya única solu-
ción sea x = 2, y = –1.
°3x + 2y = 4 3 · 2 + 2(–1) = 4 °
¢ 8 ¢ 8 x = 2, y = –1 es solución.
£ x– y=3 2 – (–1) = 3 £

45 Comprueba si x = 3, y = 1 es solución de alguno de estos sistemas de
ecuaciones:
° x+ y=4 ° x– y=2
§
a) ¢ x – 2y = 1 b) § 2x – 3y = 3
¢
§ §
£ 2x – 6y = 0 £ x+ y=5
° x+ y=4 3+1=4 °
a) § x – 2y = 1 8 3 – 2 = 1
¢
§
¢ x = 3, y = 1 es la solución de ese sistema.
§ §
£2x – 6y = 0 2 · 3 – 6 · 1 = 0£


6
Pág. 21
° x– y=2 3–1=2 °
b) §2x – 3y = 3
¢ 8 2 · 3 – 3 · 1 = 3 § x = 3, y = 1 no es solución de ese sistema.
¢
§ §
£ x+ y=5 3+1=4?5 £

46 Observa la representación de las rectas r1, r2, r3 y responde sin resolver.

y – x = 10

5y – x = 22
r1

r2 2

r3 –2 2
–2 x + 2y = –1

a) ¿Cuál es la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones?:
° y – x = 10 ° 5y – x = 22
I) ¢ II) ¢
£ x + 2y = –1 £ y – x = 10

b) ¿Cuál es la solución de este sistema?:
° y – x = 10
§
¢ 5y – x = 22
§
£ x + 2y = –1

a) I) Solución: x = –7, y = 3 II) Solución: x = –7, y = 3
b) Solución: x = –7, y = 3

47 Observa la representación de las rectas r1, r2, r3 y responde sin resolver.

4

2
= 16
r 3: 7y – x
–2 2 4

r2: x – y = 2 r1: x + y = 0
–4

a) ¿Cuál es la solución de los sistemas siguientes?:
°x+y=0 °x+y=0 °x–y=2
I) ¢ II) ¢ III) ¢
£x–y=2 £ 7y – x = 16 £ 7y – x = 16


6
Pág. 22
b) ¿Tiene alguna solución este sistema?:
°x+y=0
§
¢x–y=2
§
£ 7y – x = 16

°x + y = 0
a) I) ¢ Solución: x = 1, y = –1
£x – y = 2

°x + y = 0
II) ¢ Solución: x = –2, y = 2
£7y – x = 16

°x – y = 2
III) ¢ Solución: x = 5, y = 3
£7y – x = 16
b) No, porque las tres rectas no tienen ningún punto en común.

48 Considera este sistema:
°3x + 2y = 5
¢
£ax + by = 15
¿Qué valores deben tomar a y b para que el sistema tenga infinitas soluciones?
Busca tres soluciones del sistema.
Para que tenga infinitas soluciones, la segunda ecuación debe ser proporcional a la
primera.
°3x + 2y = 5
Así: ¢ 8 a=9 y b=6
£ax + by = 15
Soluciones: Damos valores a x para obtener puntos de la recta 3x + 2y = 5:
x = 1, y = 1; x = 0, y = 5 ; x = –1, y = 4
2

49 Observa el sistema de ecuaciones siguiente:
°3x + 2y = c
¢
£6x + 4y = d
¿Qué condición deben cumplir c y d para que el sistema no tenga solución?
El sistema no tendrá solución cuando las dos rectas sean paralelas, es decir, cuando
d ? 2c.

50 ¿Cuál debe ser el valor de m para que los sistemas a) y b) sean equivalentes?
°2x – 3y = 1 °x – y = m
a) ¢ b) ¢
£x+ y=8 £y = 3

La solución de a) es x = 5, y = 3.
b) debe tener la misma solución: 5 – 3 = m 8 m = 2


6
Pág. 23

PÁGINA 137

PROFUNDIZA
51 Ejercicio resuelto

°2x – y = 2
Resolver por sustitución: ¢ 2 2
£x + y = 52
Despejamos y en la 1.a ecuación y sustituimos en la 2.a:
y = 2x – 2 8 x 2 + (2x – 2)2 = 52 8 5x 2 – 8x – 48 = 0 8
8 ± √ 82 + 4 · 5 · 48 8 ± 32 x=4
8 x= =
10 10 x = –12/5
Si x = 4, y = 2 · 4 – 2 = 6.

5 5 ( )
Si x = – 12 , y = 2 – 12 – 2 = – 34 .
5

52 Resuelve por sustitución.
°2x + y = 4 °y – x = 0
a) ¢ b) ¢
£ x2 +y=7 2 2
£2x + y = 147

°x – y = 2 °x + y = 1
c) ¢ d) ¢
£ x2 – y2 = 16 2 2
£2x – y = 2

°2x + y = 4 °y = 4 – 2x
a) ¢ 8 ¢
£ x2 +y=7 2
£x + 4 – 2x = 7 8

2 ± √4 + 4 · 3 2 ± 4 x=3
8 x 2 – 2x – 3 = 0 8 x = =
2 2 x = –1
Si x = 3, y = 4 – 2 · 3 = –2.
Si x = –1, y = 4 – 2(–1) = 6.

°y – x = 0 °y = x
b) ¢ 8 ¢
£ 2x 2 + y2 = 147 2 2
£2x + x = 147 8
x=7
8 3x 2 = 147 8 x 2 = 49
x = –7
Si x = 7, y = 7.
Si x = –7, y = –7.

°x – y = 2 °y = x – 2
c) ¢ 8 ¢
£ x2 – y2 = 16 2 2
£x – (x – 2) = 16 8
8 x 2 – x 2 + 4x – 4 = 16 8 4x = 20 8 x = 5 8 y = 3


6
Pág. 24

°x + y = 1 °y = 1 – x
d) ¢ 8 ¢
£ 2x 2 – y2 =2 2 2
£2x – (1 – x) = 2 8
8 2x 2 – 1 + 2x – x 2 = 2 8 x 2 + 2x – 3 = 0 8
–2 ± √ 4 + 12 –2 ± 4 x=1
8 x= =
2 2 x = –3
Si x = 1, y = 0.
Si x = –3, y = 1 – (–3) = 4.

53 La diferencia de dos números es 2, y la de sus cuadrados, 20. Halla esos nú-
meros.
°x – y = 2 °x = 2 + y
¢ 2 2 = 20
8 ¢ 2 2
£x – y £(2 + y) – y = 20 8
8 4 + 4y + y 2 – y 2 = 20 8 4y = 16 8 y = 4 8 x = 6

54 Halla dos números cuya suma es 12, y la de sus cuadrados, 80.
°x + y = 12 °y = 12 – x
¢ 2 2 = 80
8 ¢ 2 2
£x + y £x + (12 – x) = 80 8
8 x 2 + 144 – 24x + x 2 = 80 8 2x 2 – 24x + 64 = 0 8
8 x 2 – 12x + 32 = 0 8
12 ± √ 144 – 32 · 4 12 ± 4 x=8
8 x= =
2 2 x=4
Si x = 8, y = 4.
Si x = 4, y = 8.

55 La diagonal de un rectángulo mide 15 cm, y su
perímetro, 42 cm. Calcula sus lados. 15 y
°2x + 2y = 42 °x + y = 21
¢ 2 2 2
8 ¢ 2 2
8
£x + y = 15 £x + y = 225 x

°y = 21 – x
8 ¢ 2 2 2 2
£x + (21 – x) = 225 8 x + 441 – 42x + x = 225 8
8 2x 2 – 42x + 216 = 0 8 x 2 – 21x + 108 = 0 8
21 ± √ 441 – 432 21 ± 3 x = 12
8 x= =
2 2 x=9
Si x = 12, y = 21 – 12 = 9.
Si x = 9, y = 21 – 9 = 12.
Los lados del rectángulo miden 9 cm y 12 cm, respectivamente.


6
Pág. 25
56 El perímetro de un rectángulo es 68 m, y su
área, 240 m2. Halla sus lados. y

x
°2x + 2y = 68 °x + y = 34 °y = 34 – x
¢ 8 ¢ 8 ¢
£xy = 240 £xy = 240 £x (34 – x) = 240 8
8 34x – x 2 = 240 8 x 2 – 34x = 240 = 0 8

34 ± √ 342 – 240 · 4 34 ± 14 x = 24
8 x= =
2 2 x = 10
Si x = 10, y = 34 – 10 = 24.
Si x = 24, y = 34 – 24 = 10.

57 Las diagonales de un rombo se diferencian en 6 cm y su
área es 56 cm2. Calcula la medida de las diagonales.
x

y

°x – y = 6
§x · y °x = 6 + y
¢— = 56 8 ¢
§ 2 £(6 + y)y = 112 8
£
8 6y + y 2 = 112 8 y 2 + 6y – 112 = 0 8
–6 ± √ 36 + 4 · 112 –6 ± 22 y=8
8 y= =
2 2 y = –14 (No vale).
Si y = 8, x = 6 + 8 = 14.
Las diagonales miden 8 cm y 14 cm, respectivamente.

58 El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m. La al-
tura relativa al lado desigual mide 12 m. Calcula la medida
de los lados iguales. y y
☞ Si llamas x a la mitad de la base, se simplifican los cálculos. 12

x
2x

°2x + 2y = 36 °x + y = 18 °y = 18 – x
¢ 2 8 ¢ 2 8 ¢
£ y – x 2 = 122 2
£y – x = 144
2 2
£(18 – x) – x = 144 8
8 324 – 36x + x 2 – x 2 = 144 8 36x = 180 8
8 x = 5 8 y = 18 – 5 = 13
Los lados iguales miden 13 cm.


6
Pág. 26
59 Los lados de un triángulo miden 5 cm, 7 cm y 10 cm, respectivamente.
Calcula la altura relativa al lado más largo y halla el área del triángulo.
☞ Ten en cuenta que la altura h divide al triángulo original en dos triángulos rectángulos.

5 7
h

x 10 – x

°h2 + x 2 = 52 ° 2 2
¢ 2 8 ¢h + x = 25 8
2 = 72 2 + 100 – 20x + x 2 = 49
£h + (10 – x) £h

° 2 2
8 ¢h = 25 – x
£25 – x 2 + 100 – 20x + x 2 = 49 8
8 20x = 76 8 x = 3,8 8
8 h = √25 – 3,82 = √10,56 ≈ 3,25 cm 8

8 A = 10 · 3,25 = 16,25
2
La altura mide 3,25 cm, y el área, 16,25 cm2.

60 En una parcela rectangular de 60 m de perímetro se hace un jardín rectan-
gular bordeado por un camino de 2 m de ancho. Calcula las dimensiones de la
parcela sabiendo que el área del jardín es 112 m2.

y
2
2
x

°2x + 2y = 60 °x + y = 30
¢ 8 ¢ 8
£(x – 4)(y – 4) = 112 £xy – 4x – 4y + 16 = 112

°y = 30 – x
8 ¢
£x (30 – x) – 4x – 4(30 – x) + 16 = 112 8
8 30x – x 2 – 4x – 120 + 4x + 16 = 112 8
8 –x 2 + 30x – 216 = 0 8 x 2 – 30x + 216 = 0 8
30 ± √ 302 – 4 · 216
8 x= =
2

= 30 ± 6 x = 18 8 y = 12
2 x = 12 8 y = 18
Las dimensiones de la parcela son 12 m y 18 m, respectivamente.


6
Pág. 27
61 Varios amigos se van a repartir un premio de 800 € a partes iguales. Dos de
ellos deciden renunciar a su parte y de esta forma los demás reciben 20 € más cada
uno. ¿Cuántos amigos son? ¿Cuánto recibe cada uno?
Son x amigos; y es el dinero que corresponde a cada uno.
°xy = 800 °xy = 800
¢ 8 ¢ 8
£ (x – 2)(y + 20) = 800 £xy + 20x – 2y – 40 = 800

° 800
§y = —
§
8 ¢ x
§ 800 800
§x · — + 20x – 2 · — – 40 = 800 8
£ x x

8 800 + 20x – 1 600 – 40 = 800 8
x
8 20x 2 – 1 600 – 40x = 0 8 x 2 – 2x – 80 = 0 8

2 ± √ 22 + 4 · 80 2 ± 18 x = 10
8 x= =
2 2 x = –8 No vale.

8 x = 10 8 y = 800 = 80
10
Son 10 amigos. Como 2 renuncian a su parte, a los 8 restantes les corresponde 100 €.

62 Si la base de un rectángulo disminuye 2 cm y la altura aumenta 4 cm, se
convierte en un cuadrado. Si la base disminuye 4 cm y la altura aumenta 2 cm, su
área disminuye 12 cm2. Calcula los lados del rectángulo.
x–4

y+2
y

x

°x – 2 = y + 4 °x = y + 6
¢ 8 ¢
£(x – 4)(y + 2) = xy – 12 £xy + 2x – 4y – 8 = xy – 12 8
8 2(y + 6) – 4y – 8 = –12 8
8 2y + 12 – 4y – 8 = –12 8
8 –2y = –16 8 y = 8 8 x = 14


6
Pág. 28
63 Resuelve este sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas y comprueba grá-
ficamente su solución:
°2x + y = 1
§
¢ x–y=5
§
£ x + y = –1
☞ Halla la solución de las dos primeras ecuaciones y comprueba si verifica la tercera.
°2x + y = 1
§
¢ x–y=5
§
£ x + y = –1
°2x + y = 1
¢ 8 3x = 6 8 x = 2 8 y = 1 – 4 = –3
£ x–y=5
Comprobamos si se verifica la tercera ecuación: 2 + (–3) = –1
La solución del sistema es x = 2, y = –3.

64 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
°x – 3 = 0 °3x – 2y + z = 4 °x+y=z °x + y = 5
a) §2x – 3y = 9
¢ b) §x + y = 5
¢ c) § x – y = z
¢ d) §x + y + z = 3
¢
§ § § §
£x + y – z = 1 £z – 3 = 1 £ x + z = –4 £y + z = 2

°x – 3 = 0 °x = 3
a) §2x – 3y = 9 8 §2 · 3 – 3y = 9 8 –3y = 3 8 y = –1
¢ ¢
§ §
£ x+y–z=1 £3 + (–1) – z = 1 8 –z = –1 8 z = 1
Solución: x = 3, y = –1, z = 1
°3x – 2y + z = 4 °3x – 2y + 4 = 4
b) §x + y = 5
¢ 8 §x + y = 5
¢ 8
§ §
£z – 3 = 1 £z = 4
°3x – 2y = 0 °3x – 2y = 0
8 ¢ 8 ¢ 8
£ x+ y=5 £2x + 2y = 10
8 5x = 10 8 x = 2 8 2 + y = 5 8 y = 3
Solución: x = 2, y = 3, z = 4
°x + y = z
°x + y = z
c) §x – y = z
¢ 8 ¢ 8 2x = 2z 8 x = z 8 z + z = – 4 8
§ £x – y = z
£x + z = – 4
8 2z = – 4 8 z = –2 8 –2 + y = –2 8 y = 0
Solución: x = –2, y = 0, z = –2
°x + y = 5 °x = 5 – y 8 x = 5 – 4 = 1
d) §x + y + z = 3 8 §5 – y + y + z = 3 8 z = –2
¢ ¢
§ §
£y + z = 2 £y + z = 2 8 y + (–2) = 2 8 y = 4
Solución: x = 1, y = 4, z = –2


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