68584 guia de ejercicios resueltos movimiento de proyectiles (1)
- 1. GUÍA DE EJERCICIOS MOVIMIENTO DE PROYECTILES NOMBRE: CURSO: FECHA: PROFESOR: Instrucciones: Esta guía debe ser resuelta en forma grupal, como apresto para la prueba de síntesis. EJEMPLO RESUELTO 1. Una persona lanza oblicuamente una pelota con una velocidad inicial 𝑣0⃗⃗⃗⃗ = 10 m/s y un ángulo de lanzamiento θ = 60º . Suponga que g = 10 m/s2, desprecie la resistencia del aire y considere el momento del lanzamiento como el origen del conteo del tiempo (t=0). a) En el instante t = 0,50 s, ¿cuál es el valor de la velocidad de la pelota? Como sabemos, la pelota describirá una parábola (movimiento de un proyectil) y su velocidad podrá obtenerse si conocemos sus componentes 𝑣 𝑥⃗⃗⃗⃗ y 𝑣 𝑦⃗⃗⃗⃗ analizadas en la actividad de laboratorio. Tenemos entonces: 𝑣 𝑥⃗⃗⃗⃗ = vo∙cosθ = 10∙cos60º = 10∙0,5= 5 m/s 𝑣 𝑦⃗⃗⃗⃗ = vo∙senθ - g∙t = 10∙sen60º - 10∙0,5 = 10∙0,87 - 5 = 3,6 m/s Observe que, siendo 𝑣 𝑦⃗⃗⃗⃗ > 0, podemos llegar a la conclusión de que la pelota ,en ese instante, está desplazándose hacia arriba, como se había establecido anteriormente. La magnitud de la velocidad 𝑉⃗ de la pelota, en ese instante será: V = √(𝑣 𝑥 2 + 𝑣 𝑦 2 )= √(5,02 + 3,62 ) = 6,1 m/s
- 2. b) ¿Cuál es la posición de la pelota en el instante t= 0,50 s ? La posición de la pelota, como vimos la proporcionan las coordenadas X e Y en donde la pelota se encuentra en ese instante. Designando la posición de la pelota con el punto A, tenemos: XA = 𝑣0∙cosθ∙t = 10∙cos60º∙0,50= 2,5 m YA = 𝑣0∙senθ∙t - 1/2∙g∙t2 = 10∙sen60º∙0,5 – 1/2∙10∙0,502 = 3,1 m c) Determine los valores de las componentes 𝑣 𝑥⃗⃗⃗⃗ y 𝑣 𝑦⃗⃗⃗⃗ de la velocidad de la pelota en el instante t = 1,22 s. Utilizando las ecuaciones conocidas, tenemos: 𝑣 𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣0 ∙cosθ = 10∙cos60º = 10∙0,5= 5 m/s Observe que ese valor, como era de esperarse, es el mismo obtenido para vx en el instante t = 0,50 s El valor de la componente horizontal 𝑣 𝑥 es constante en el movimiento del proyectil. Para 𝑣 𝑦 tenemos: 𝑣 𝑦⃗⃗⃗⃗ = 𝑣0∙senθ - g∙t = 10∙sen60º - 10∙1,22 = 10∙0,87 - 12,2 = - 3,6 m/s El valor negativo obtenido para 𝑣 𝑦 muestra que, en el instante t = 1,22 s la pelota está bajando. Como la magnitud de 𝑣 𝑦 es la misma que en los instantes t= 0,5 s y t = 1,22 s llegamos a la conclusión de que, en ese último instante, la pelota está pasando por el punto situado a la misma altura que en el instante 0,5 s , como se confirmará en la pregunta siguiente. d) Determine la posición de la pelota en el instante t = 1,22 s Esa posición está definida por las coordenadas X e Y correspondientes al instante 1,22 s. Designando la posición de la pelota con el punto B, tenemos: XB = 𝑣0∙cosθ∙t = 10∙cos60º∙1,22= 6,1 m YB = 𝑣0∙senθ∙t - 1/2∙g∙t2 = 10∙sen60º∙1,22 – 1/2∙10∙1,222 = 3,1 m Entonces, como ya lo señalamos la pelota se encuentra a la misma altura que en el instante 0,5 s. EJEMPLO RESUELTO 2. Considerando la pelota del EJEMPLO 1: a) Calcule el instante en que la pelota llega al punto más alto de su trayectoria. Cuando la pelota alcanza el punto más alto de su trayectoria, la componente 𝑣 𝑦 de su velocidad se anula, es decir, la velocidad de la pelota está constituida solamente por la componente 𝑣 𝑥 como analizamos en el applet Java. Entonces, haciendo 𝑣 𝑦 = 0 en la ecuación 𝑣 𝑦 = 𝑣 𝑜 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑔 ∙ 𝑡 obtenemos el tiempo pedido, Así: 0 = 𝑣 𝑜 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑔 ∙ 𝑡 donde 𝑡 = 𝑣0 ∙𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔 . Entonces : 𝑡 = 10∙𝑠𝑒𝑛60 10 = 0,86 s b) ¿Cuál es el valor de la altura máxima H que alcanza la pelota? El valor de H corresponde al valor de Y en el instante calculado en la pregunta anterior. De la ecuación Y = 𝑣0 ∙senθ∙t - 1/2∙g∙t2 se obtiene
- 3. H = 10∙sen60∙0,86 - 1/2∙10∙0,862 donde H = 3,7 m EJEMPLO RESUELTO 3. Suponga que un proyectil haya sido lanzado con una velocidad inicial 𝑣0⃗⃗⃗⃗ y con ángulo de elevación θ. Considere un punto P situado en el mismo nivel horizontal del punto O de lanzamiento. La distancia OP ( véase figura) se denomina alcance del proyectil. a) ¿Cuánto tiempo transcurre, desde el instante del lanzamiento hasta que el proyectil llega al punto P? El punto P corresponde a una posición del proyectil en la cual tenemos Y=O. Por tanto, obtendremos el tiempo pedido si hacemos Y=O en la expresión Y = 𝑣0∙senθ∙t - 1/2∙g∙t2. Tendremos: O = 𝑣0 ∙senθ∙t - 1/2∙g∙t2 Resolviendo esa ecuación (haga esto), obtenemos dos soluciones: 1) t = O, que corresponde al instante del lanzamiento, en el cual también tenemos Y=O 2) t = 2∙𝑣0∙senθ 𝑔 ; que corresponde al instante que el proyectil llega en P. b) Obtenga una expresión que permita calcular el valor del alcance del proyectil. El alcance OP corresponde al valor de X en el instante calculado en la pregunta anterior. Por tanto, recordando que X= 𝑣0∙cosθ∙t : 𝑂𝑃̅̅̅̅ = 𝑣0∙cosθ∙ 2∙𝑣0∙senθ 𝑔 = 𝑣0 2 𝑔 (2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃) como 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = sen2θ, se obtiene 𝑂𝑃̅̅̅̅ = 𝑣0 2 𝑔 𝑠𝑒𝑛2 ∙ 𝜃 c) Por la expresión obtenida en la pregunta anterior vemos que, para un mismo valor de la velocidad inicial 𝑣0 , es posible obtener diferentes valores del alcance, variando solamente el ángulo de elevación θ, visto en la actividad del laboratorio de computación. ¿Para qué valor del ángulo de elevación el alcance será máximo?
- 4. Por la expresión 𝑂𝑃̅̅̅̅ = 𝑣0 2 𝑔 𝑠𝑒𝑛2 ∙ 𝜃 vemos que el mayor valor de OP ocurrirá cuando 𝑠𝑒𝑛2 ∙ 𝜃 = 1, pues el mayor valor de seno de un ángulo es igual a 1. Como este valor ocurre cuando el ángulo es igual a 90º , se obtiene: 2θ = 90º donde θ= 45º . Por tanto, cuando un proyectil es lanzado con un ángulo de elevación de 45º, su alcance es máximo.