Análisis de la respuesta del sistema
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El documento presenta una introducción al análisis de la respuesta de sistemas dinámicos. Explica que las señales de prueba como escalón, rampa, impulso y senoidales permiten realizar un análisis matemático y experimental de los sistemas de control. Luego, analiza la respuesta de sistemas de primer y segundo orden ante diferentes entradas, describiendo las respuestas transitoria y estacionaria y clasificando los sistemas de segundo orden.
Análisis de la respuesta del sistema
- 1. SISTEMAS DINAMICOS CODIGO: 071-4643 Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta del sistema SISTEMAS DINAMICOS CODIGO: 071-4643
- 2. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta del sistema La mayoría de los criterios de diseño se basan en la respuesta del sistema a ciertas señales. Las señales de prueba que se usan regularmente son las funciones escalón, rampa, parábola, impulso y senoidales. Su uso se justifica porque existe una correlación entre las características de respuesta de un sistema para una señal de entrada de prueba y la capacidad del sistema de manejar las señales de entrada reales. Estas señales permiten realizar el análisis matemático y experimental de los sistemas de control. 2
- 3. Profa. Judith Devia En el análisis y diseño de sistemas de control, debemos tener una base de comparación del desempeño de diversos sistemas de control. Esta base se configura especificando las señales de entrada y comparando las respuestas de varios sistemas a estas señales de entrada Si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Si el sistema está sujeto a perturbaciones repentinas, una función escalón sería la adecuada; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería la mejor. Análisis de la respuesta del sistema 3
- 4. Profa. Judith Devia Impulso unitario δ(t) Escalón unitario 1(t) Rampa unitaria t Parábola unitaria t2/2 Análisis de la respuesta del sistema. Entradas de prueba 4
- 5. Profa. Judith Devia La respuesta en el tiempo de un sistema puede descomponerse en dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria. La respuesta transitoria es la parte de la respuesta que cae a cero cuando el tiempo tiende a infinito, depende de las característica dinámica del sistema y determina el comportamiento del sistema durante la transición de algún estado inicial hasta el estado final. La respuesta estacionaria depende fundamentalmente de la señal de excitación al sistema y, si el sistema es estable, es la respuesta que perdura cuando el tiempo crece infinitamente. Análisis de la respuesta del sistema 5
- 6. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta del sistema. Función respuesta impulsiva Dada la FT: La respuesta: Y(s) = G(s)*R(s) Como la transformada de Laplace del impulso unitario es 1, se tiene: Y(s) = G(s) La respuesta impulsiva en el tiempo es: y(t) = g(t) Esto indica que la función g(t) y la respuesta impulsiva y(t) tienen la misma información sobre las características dinámicas del sistema. R(s) Y(s) G(s) 6
- 7. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema de primer orden Función de Transferencia de Lazo Cerrado, FTLC: Donde: T: constante de tiempo del sistema Dado el sistema )(* 1 1 )( sR Ts sY 1 1 )( )( TssR sY La salida del sistema: 7
- 8. Profa. Judith Devia 0)t(y)t(rLe t ss El error en estado estacionario ess )t(eLim t sse e(t) = r(t) – y(t) Análisis de la respuesta de un sistema de primer orden Respuesta ante una entrada Impulso Unitario, R(s)=1: Aplicando transformada Inversa de Laplace 1Ts T 1* 1Ts 1 Y(s) 0te T 1 )t(y Tt 8
- 9. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema de primer orden Respuesta ante una entrada Escalón Unitario, R(s)=1/s: 1Ts T s 1 s 1 1Ts 1 Y(s) Aplicando transformada Inversa de Laplace 0te1)t(y Tt En t=T la salida alcanza el 63.2 % del valor final En t=4T la señal de salida alcanza el 98.2% del valor final Respuesta transitoria Respuesta estacionaria La pendiente a la curva en t = 0 es 1/T. El error en estado estacionario ess 0e11LimLim Tt tt y(t)-r(t)ess 9
- 10. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema primer orden Respuesta ante una entrada Rampa Unitaria, R(s)=1/s2: Aplicando transformada Inversa de Laplace 1Ts T s T s 1 s 1 1Ts 1 2 22 Y(s) 0tTeTt)t(y Tt TTeTttLimLim Tt tt y(t)-r(t)ess El error en estado estacionario ess 10
- 11. Profa. Judith Devia Propiedad importante de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo. En el análisis anterior, se demostró que, para la entrada rampa unitaria, r(t) = t, unitaria, la salida y(t) es: y(t) = t - T + Te-t/T para t ≥ 0 Para la entrada escalón unitario, r(t) = 1(t), que es la derivada de la entrada rampa unitaria, la salida y(t): y(t) = 1 - e-t/T para t ≥ 0 Por último, para la entrada impulso unitario, r(t) = δ(t), que es la derivada de la entrada escalón unitario, la salida y(t) es: y(t) = (1/T) e-t/T para t ≥ 0 11
- 12. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden se estudia usando una expresión normalizada del sistema: 2 nn 2 2 n s2s)s(R )s(Y FTLC: donde: ζ= Relación de amortiguamiento. ωn= Frecuencia natural no amortiguada. Los polos del sistema vienen determinados por las raíces del polinomio característico (polinomio del denominador de la FT): 1s:sistemasdelpolosLos 01s2s)s(P 2 nn2,1 n 2 12 Y(s)R(s) + - E(s) n 2 n 2ss
- 13. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Clasificación de los sistemas de segundo orden en función del valor de ζ Los polos de un polinomio de segundo orden pueden ser reales distintos, reales múltiples, complejos conjugados o imaginarios. Para 0 < ζ < 1, Sistema subamortiguado Para ζ = 1, Sistema Críticamente amortiguado. Para ζ > 1, Sistema Sobreamortiguado . Para ζ = 0, Sistema Oscilatorio. conjugadoscomplejos,dnn jjs 2 2,1 1 igualesreales,n2,1s diferentesreales,12 2,1 nns sImaginaria,njs 2,1 13
- 14. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Respuesta ante una entrada impulso unitario, R(s)=1: Para 0≤ζ<1 Para ζ=1 Para ζ>1 0tpara,t1sene 1 )t(y 2 n t 2 n n 0tpara,te)t(y t2 n n 0tpara,e 12 e 12 )t(y t1 2 n t1 2 n n 2 n 2 14
- 15. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Sistema subamortiguado 0 < ζ < 1: conjugadascomplejas,j1js d 2 nn2,1 donde: Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s: a)amortiguada(frecuenciimaginariaparte1 n)(atenuaciórealparte 2 nd n 0tpara,tωsen ζ1 ζ tωcose1y(t) d2d tζωn 0tpara,tωsen ζ1 ζ tωcose tωsen ζ1 ζ tωcose1-1y(t)-r(t)e(t) d2d tζω d2d tζω n n La respuesta: Error en estado estacionario 15
- 16. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Step Response Time (sec) AmplitudeRespuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1 y ζ =0.2 ess=0 0tpara,tωsen ζ1 ζ tωcose1y(t) d2d tζωn 16
- 17. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Sistema críticamente amortiguado ζ = 1: Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s: 0tpara,tω1e tω1e1-1y(t)-r(t)e(t) n tω n tω n n La respuesta: Error en estado estacionario igualesreales,n2,1s 0tpara,tω1e1y(t) s 1 ωs ω Y(s) n tω 2 n 2 n n Polos: 17
- 18. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1 y ζ =1 ess=0 0tpara,tω1e1y(t) n tωn Step Response Time (sec) Amplitude 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 0.5 1 1.5 18
- 19. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Sistema sobreamortiguado ζ >1: Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s: 0tpara,e 1ζζ1ζ2 1 e 1ζζ1ζ2 1 y(t)-r(t)e(t) tω1ζ-ζ 22 tω1ζζ 22 n 2 n 2 La respuesta: Error en estado estacionario Polos: diferentesreales,1s 2 nn2,1 tω1ζ-ζ 22 tω1ζζ 22 2 nn 2 nn 2 n n 2 n 2 e 1ζζ1ζ2 1 e 1ζζ1ζ2 1 1y(t) 1 1ζωζωs1ζωζωs ω y(s) s 19
- 20. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1 y ζ =1.5 ess=0 Step Response Time (sec) Amplitude 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 0.5 1 1.5 tω1ζ-ζ 22 tω1ζζ 22 n 2 n 2 e 1ζζ1ζ2 1 e 1ζζ1ζ2 1 1y(t) 20
- 21. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Sistema oscilatorio ζ =0: Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s: tcostcos11 y(t)-r(t)e(t) nn La respuesta: Error en estado estacionario Polos: sImaginaria,n2,1 js y(t) = 1 - cos ωn t, para t ≥ 0 21
- 22. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1 y ζ =0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Step Response Time (sec) Amplitude y(t) = 1 - cos ωn t, para t ≥ 0 tcose nss 22
- 23. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1 Oscilatorio. Raíces imaginarias. Subamortiguado. Raíces complejas conjugadas. Sobreamortiguado. Raíces reales y diferentes Críticamente amortiguado. Raíces reales iguales 23
- 24. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Generalmente, en la práctica, se especifican las características o especificaciones requeridas de un sistema de control en cantidades en el dominio del tiempo. Estas cantidades vienen determinadas en términos de la respuesta transitoria frente a una entrada tipo escalón, dado que es fácil de generar y es lo suficientemente drástica. Especificaciones de la respuesta transitoria 24
- 25. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales. Para efectos del curso al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, (lo cual es una práctica común) se usará la condición inicial estándar de que el sistema está en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las características de respuesta se comparan con facilidad. Especificaciones de respuesta transitoria 25
- 26. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Especificaciones de la respuesta transitoria tp: tiempo pico. Tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso. td, Tiempo de retardo. tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final. tr, tiempo crecimiento o de subida. Tiempo requerido para que la respuesta pase 0 al 100% de su valor final. Mp o SD: el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. ts, Tiempo de asentamiento. Tiempo para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final y permanezca dentro de él. 100 )(y )(y) py(t SD% 26
- 27. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Especificaciones de la respuesta transitoria para sistemas de segundo orden ante una entrada escalón unitario d d1 d r ω βπ σ ω tan ω 1 t Tiempo de crecimiento, tr: Se obtiene cuando la respuesta alcanza por primera vez el valor final Despejando tr de . y(tr) = 1 donde el ángulo β se define: 27
- 28. Profa. Judith Devia Tiempo pico tp: Obtenemos el tiempo pico diferenciando y(t) con respecto al tiempo y suponiendo que esta derivada es igual a cero. Sobre disparo máximo, SD: Se obtiene en el tiempo pico y(tp), SD=y(tp)-1 π ζ1 ζ π ω σ 2 d eeSD d p ω π t Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden 28
- 29. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Especificaciones de la respuesta transitoria para sistemas de segundo orden ante una entrada escalón unitario Tiempo de Asentamiento, ts: El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control. %)2delcriterio( n 44 st %)5delcriterio( n 33 st 29
- 30. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden Ejemplo: Dado el siguiente sistema determine las especificaciones de la respuesta transitoria para el sistema ante una entrada escalón unitario. 4s2s 4 )s(R )s(Y 2 31;1 5.0;2 4y22 s2s4s2s)s(P 2 ndn n 2 nn 2 nn 22 21,1 1 3 tan 3 1 t 1 r 81.1 3 π tp 16.0eSD π 3 1 %)5(3 1 3 t %)2(4 1 4 t s s 30
- 31. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de un sistema segundo orden 21,1tr 81.1tp 16.0SD %)2(4ts Respuesta del ejemplo 31
- 32. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de sistemas de orden superior La respuesta de sistemas de orden superior a dos, es la suma de respuestas de primer y segundo orden. Considere la siguiente FT de un sistema de tercer orden. 32 cbsass A R(s) Y(s) 23 b)as)(sp(s A R(s) Y(s) 2 1
- 33. Profa. Judith Devia Análisis de la respuesta de sistemas de orden superior La respuesta de los polos cuya parte real está más alejada del eje imaginario decaen a cero más rápido y los que están más cerca decaen más lento dominando la respuesta del sistema. 33 Si la relación entre las partes reales es superior a 5 y no hay ceros cercanos los polos que están más cerca del eje imaginario dominarán la respuesta transitoria del sistema y se les conoce como polos dominantes de lazo cerrado. t100t BeAe1)t(y )100s( B )1s( A s 1 Y(s)
Notas del editor
- #3: Dependiendo de la forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia bajo una operación normal determina cuál de las señales de entrada típicas se debe usar para analizar las características del sistema. Por ejemplo, si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian gradualmente, una función rampa sería una buena señal de prueba, o si el sistema está sujeto a perturbaciones repentinas la función escalón sería idónea para realizar las pruebas; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería ideal.
- #7: NOTA: En la práctica un pulso de corta duración comparada con las constantes de tiempo del sistema, se puede considerar como un impulso.
- #10: En la práctica, se considera que y se habla de que la respuesta ha alcanzado el estado estacionario. Por lo tanto entre más pequeña es la constante de tiempo de un sistema de primer orden más rápido alcanza el valor final.
- #12: Una comparación de las respuestas del sistema para estas tres entradas indica con claridad que la respuesta al a derivada de una señal de entrada se obtiene diferenciando la respuesta del sistema para la señal original. También se observa que la respuesta para la integral de la señal original se obtiene integrando la respuesta del sistema para la señal original. Ésta es una propiedad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Los sistemas lineales y variantes con el tiempo y los sistemas no lineales no poseen esta propiedad.