Anteproyecto2

4445000Universidad Fermín Toro Vice-rectorado Académico Decanato de Ingeniería Departamento de Matemática APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN LOS CIRCUITOS ELECTRICOS AUTOR: ANDERSON OLIVIER 4445000Universidad Fermín Toro Vice-rectorado Académico Decanato de Ingeniería Departamento de Matemática APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN LOS CIRCUITOS ELECTRICOS AUTOR: Anderson Olivier TUTORES: Marleny de Parra ASIGNATURA: Matemática IV ESCUELA: Telecomunicación SEMESTRE: Intensivo APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN LOS CIRCUITOS ELECTRICOS PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Para calcular parámetros en el tiempo de los circuitos eléctricos usados para los estudios de RF (radio frecuencias), es preciso el uso de determinadas funciones como lo son: el escalón unitario , la rampa, la delta de dirac, se debe aplicar la convolucion de Laplace en algunos de los casos mencionados anteriormente, la cual nos permite visualizar las alteraciones que pueden sufrir las señales cuando transponen en determinado eje o cuando son viradas, todo esto es visualizado en un osciloscopio analógico o digital y verificado analíticamente mediante las propiedades de las transformada de Laplace mencionadas anteriormente. Debido a esto hace necesario el estudio de las diferentes funciones mediante las transformadas de laplace. En otro orden de ideas, es muy importante ejemplificar y expresas tanto la definición de la transformada como las propiedades, pero también en el método de cálculo de la función de transferencia, deducida de los diagramas de bloques que conforman los sistemas invariantes en el tiempo, así como también el hallazgo de los polos y ceros de dicha función antes mencionada, a continuación se muestra mediante un ejemplo paso a paso lo descrito anteriormente. El problema que se afronta por lo general en los sistemas de telecomunicaciones, es el hallazgo de la ecuación que representa de la función de transferencia, la cual viene dada en relación a las señales de entrada y salida de cada bloque que conforma el sistema como tal, es por eso que es trascendental la corroboración de los cálculos matemáticos con la transformada de Laplace , tanto por medio de operaciones algebraicas manuales, como con la implementación de algoritmos de programación en programas matemáticos como MATLAB, MATHCAD CIRCUITO RLC PARALELO CON CONDICIONES INICIALES La fuente de corriente i (t) de la figura, es la que excita el circuito. El inductor lleva una corriente inicial. En la misma dirección de. El voltaje inicial del condensador es con la polaridad opuesta al sentido de la corriente. Por LCK: Hallamos el equivalente de cada una de estas corrientes, para el caso del resistor en siemens: Para el inductor: Y para el condensador: Reemplazamos estas tres expresiones en la primera ecuación: Aplicamos transformada de Laplace, y el resultado es: Arreglamos esta ecuación, de tal forma que se pueda ver de forma mas clara: El primer factor de esta ecuación corresponde a la función del sistema, mientras que el segundo factor corresponde a la función de excitación. De acuerdo a lo anterior, el primer factor es una impedancia que puede ser expresada de la siguiente forma: O una admitancia cuyo valor es: en Siemens Los polos de Z(s) o los ceros de Y(s), determinan el comportamiento transitorio de la función respuesta V(s). La función respuesta en el dominio del tiempo es: MARCO TEORICO Propiedades de la transformada Linealidad Derivación Integración Dualidad Desplazamiento de la frecuencia Desplazamiento temporal Desplazamiento potencia n-ésima Convolución Transformada de Laplace de una función con periodo p La transformada de Laplace por definición se expresa de la siguiente manera: La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por: Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue: La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t). A continuación se muestra una breve explicación sobre el uso de la función de transferencia mediante la transformada de Laplace: Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada). El pico formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente. Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo en generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución, formado por la excitación de entrada convolucionada con el sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolución), se tiene que observar que la función de transferencia está formada por la deconvolución entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado la descripción externa de la operación del sistema considerado. De forma que el proceso de contar con la función de transferencia del sistema a través de la deconvolución, se logra de forma matricial o vectorial, considerando la seudoinversa de la matriz o vector de entrada multiplicado por el vector de salida, para describir el comportamiento del sistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso complicado, aunque solo baste ver que la convolución discreta es representada por un producto de un vector o matriz fija respecto de una matriz o vector móvil, o que en forma tradicional se observa como una sumatoria. Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática. Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión: Donde H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s) ); Y (s) es la transformada de Laplace de la respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada. La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada: La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de Y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s): Cualquier sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos. Por ejemplo, en análisis de circuitos eléctricos, la función de transferencia se representa como: REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace http://www.elrincondelvago.com

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