Antologia fenómenos de transporte

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE
BIOTECNOLOGIA

ANTOLOGÍA DE LA ASIGNATURA

FENÓMENOS DE TRANSPORTE

ELABORADO POR:

M. EN C. MARÍA GUADALUPE ORDORICA MORALES

2008

Instituto Politécnico Nacional
Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte

CONTENIDO

I. Introducción y conceptos básicos.

1.1 Panorama general de los fenómenos de transporte en la bioingeniería
1.2 Sistemas de unidades
1.3 Conversiones
1.4 Conceptos básicos de física y matemáticas
1.5 Ley de Newton de la viscosidad
1.6 Fluidos no Newtonianos
1.7 Viscosidad: Estimaciones

II. Transferencia de cantidad de movimiento.

2.1 Balances de cantidad de movimiento
2.2 Flujo de una película descendente.
2.3 Flujo a través de un tubo circular
2.4 Flujo a través de un espacio anular
2.5 Flujo reptante alrededor de una esfera sólida
2.6 Ecuaciones de variación
2.7 Ecuación de continuidad
2.8 Ecuación de cantidad de movimiento
2.9 Ecuaciones de variación en coordenadas curvilíneas
2.10 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación
2.11 Uso de las ecuaciones de variación
2.12 Factores de fricción.

III. Transferencia de energía.

3.1 Ley de Fourier de la conducción de calor
3.2 Conductividad térmica: Estimaciones
3.3 Balances de energía
3.4 Conducción con disipación térmica
3.5 Conducción con reacción química
3.6 Conducción en paredes compuestas
3.7 Conducción en una aleta de enfriamiento
3.8 Convección forzada
3.9 Convección libre
3.11 Ecuaciones de energía
3.12 Ecuaciones de variación en coordenadas curvilíneas
3.14 Coeficientes de transmisión de calor

IV. Transferencia de materia

4.1 Ley de Fick de la difusión binaria
4.2 Difusividad: Estimaciones
4.3 Balances de materia
4.4 Difusión a través de una película de gas estancada

4.5 Difusión a una película líquida descendente
4.7 Ecuación de continuidad para sistema multicomponente
4.9 Coeficiente de transferencia de masa

M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales


CONCEPTOS
BÁSICOS



I Conceptos Básicos

Termodinámica: Forma de aprovechamiento energético de las sustancias, generación de
nuevas formas de energía y transferencia de materia.

La termodinámica es la ciencia donde se tratan temas que relacionan los sistemas
termodinámicos con sus alrededores. De esta relación se desprenden la forma de
aprovechamiento energético de las sustancias, la generación de nuevas formas de
energía y la transferencia de materia para crear orden o desorden.

Donde el sistema esta caracterizado por sus variables termodinámicas las cuales
describen el estado del sistema:

• Presión Pabs = Pmanometrica + Patmosferica
• Volumen 0> Pmanometrica
• Temperatura Patm > 0

Un sistema termodinámico es una colección de materia que ocupa una región en el
espacio sobre el cual se enfoca la atención para su estudio y análisis. Se define los
alrededores del sistema como aquella porción de materia que ocupa la región del espacio
que está fuera del sistema seleccionado. La superficie que separa el sistema de sus
alrededores se denomina frontera del sistema y a través de ésta se realiza la transferencia
de energía, materia y/o cantidad de movimiento.

Transferencia
SISTEMA de masa,
energía o
momento.
Frontera

Fig 1.1 Esquema representativo de un sistema

Existen 3 clases de sistema (ver figura 1.2).

Sistemas Aislados: los cuales no pueden intercambiar ni energía ni materia con
el entorno. Sin embargo, cada parte de ésta clase de sistema se constituye en un
subsistema rodeado por las partes restantes y por lo tanto, se darán los
intercambios de materia y energía para que cuando el sistema alcance el equilibrio,
todas las partes del sistema sean indistinguibles.

Sistemas Cerrados: los cuales intercambian energía con su exterior pero no
materia.



Sistemas Abiertos: los cuales intercambian energía y materia con el exterior.

Los sistemas pueden ser Homogéneos (Pueden ser mezclas, pero deben ser medios
continuos) y heterogéneos.

Fig 1.2 Diferencia entre los tres tipos de sistemas

Para los sistemas homogéneos los fenómenos que involucran el desplazamiento o flujo
de masa, energía, o cantidad de movimiento, de denomina fenómeno de transporte, y se
modela empleando ecuaciones diferenciales que expresan los flujos en términos de
cambios infinitesimales de las variables.

Fig 1.3 Diferencia entre los sistemas homogéneos y heterogéneos



Sistema de unidades.

Unidades Básicas: longitud (l), masa
(m), tiempo (t), temperatura (T),
concentración química (mol), corriente
Componente
Unidades derivadas: fuerza (F),
velocidad (v ), aceleración (a), presión
(P), etc



TRANSFERENCIA DE
CANTIDAD DE
MOVIMIENTO



Clasificación de los fluidos

Un fluido es una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente en el tiempo
ante la aplicación de una solicitación o tensión tangencial sin importar la magnitud de
ésta.

También se puede definir un fluido como aquella sustancia que, debido a su poca
cohesión intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo
contiene.

No Newtonianos:

Un fluido no newtoniano es aquél cuya viscosidad varía con la tensión cortante que se le
aplica. Como resultado, un fluido no-newtoniano no tiene un valor de viscosidad definido y
constante, a diferencia de un fluido newtoniano.

Suspensiones densas, lodos, emulsiones, soluciones de polímetros de cadena larga,
fluidos biológicos, alimentos líquidos, Pinturas, suspensiones de arcillas, etc.

Newtonianos:

Es un fluido con viscosidad en que las tensiones tangenciales de rozamiento son
directamente proporcionales al gradiente de velocidades.

Gases y fluidos de moléculas sencillas, el aire, el agua, la gasolina y algunos
aceites minerales.

El gradiente de velocidad en un punto es proporcional al esfuerzo cortante en dicho punto.

dv / dx α Ecu. 1

El gradiente de velocidad es proporcional al esfuerzo cortante impuesto al fluido (ver fig
1.4).

Ley de Newton de la Viscosidad

Fig 1.4 Representación de la les de Newton de la viscosidad

Perfil de velocidad en estado estacionario entre dos laminas


Una vez alcanzado el régimen estacionario es preciso aplicar un fuerza
cortante F para conservar el movimiento de la lámina interior. Esta fuerza viene
dada por la expresión:

µ es la viscosidad del fluido

El régimen de flujo esta dado por el número de Reynolds, el cual es adimensional.

Re = D v ρ / µ Re < 2100 Flujo laminar
Re > 2100 Flujo turbulento

D = Diámetro de la tubería (m)
V = velocidad del fluido (m/s)
ρ = Densidad del fluido (Kg/m3)
µ = viscosidad del fluido (m s/ Kg)

Plásticos de Bingham la relación de esfuerzo cortante frente al gradiente de
velocidad, es lineal pero no pasa del origen.

= 0 + (dv/dY)

0=Tensión o esfuerzo de fluencia
= Viscosidad plástica

Pseudo plásticos y dilatantes que siguen un comportamiento potencial
(Fluido de la ley de la potencia) la relación entre esfuerzo cortante y gradiente de
velocidad no es lineal.



Log = log K (dv/dy)
Log = log K (dv/dy)
Log = log K + log (dv/dy)

Plásticos en general tienen características de plásticos de Bingham

= 0 + K (dv/dy) es el indice de comportamiento del fluido

La densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento sigue la dirección del gradiente
negativo de velocidad por lo que el gradiente de velocidad se considera como una fuerza
impulsora del transporte de la cantidad de movimiento.

La viscosidad es la propiedad de un fluido que se opone al movimiento relativo de capas
adyacentes en el fluido.

La viscosidad en gases la densidad aumenta con la temperatura.
La viscosidad en líquidos disminuye al aumentar la temperatura.

En gases, la cantidad de movimiento se transporta por las moléculas que se desplazan
libremente, mientras que en los líquidos el mecanismo principal del transporte de cantidad
de movimiento coincide en el choque efectivo de las moléculas.



Principio de estados correspondientes

Establece que todas las sustancias puras en la región fluida pueden describirse con las
ecuaciones de funcion de dos variables reducidas.

PV = z RT Pr = P / Pc Tr = T / Tc

yx = - µ ( dvx/dy)
yx [=] N/m2, dina/ cm2
Ley de Newton
Vx [=] m / s , cm / s
de la viscosidad
Y [=] m, cm
µ [=] Kg/ms ó g / cms ó poise

V = µ/ ρ [ = ] m2/s Viscosidad cinética

Métodos para determinar la viscosidad

Método de Uyehara.
El valor de µc se puede estimar con la siguiente expresión.

µc = 61.6 (PMTc) ½ (Vc) -2/3 Ecu. 1.a

µc = 7.70 PM ½ Pc 2/3 Tc -1/6 Ecu 1.b
µc [=] micropoises
Pc [=] atmosferas (atm)
Tc [=] kelvin (K)
Vc [=] cm3 / g mol



Fig 1.5 Viscosidad reducida r = / c, en función de la temperatura reducida, para distintos
valores de la presi6n reducida Pr = P / Pc. [O. A. Uyehara y K. M. Watson, Nur. Perroleum
News, Tech Section 36,764 (Oct. 4, 1944); revisada por K. M. Watson (1960). Una versi6n a gran
escala de este gráfico se inserta en 0. A. Hougen, K. M. Watson y R. A. Ragatz, C. P. P. Chats
Wiley, Nueva York (1960), Segunda edición.



Ejemplo 1.1 Calcule la viscosidad del Nitrógeno molecular (N2) a 50 ° y 854 atm
C
utilizando el método de Uyehara.

PM = 28.02
Pc = 33.5 atm (obtenido de tabla)
Tc = 126.2 K (obtenido de tabla)
T = 50 ° = 323 K
C
P = 854 atm
µc = 180 x106 g / cm s (teórico)

Aplicando la ecuación 1.b se obtiene:

Calculando la Temperatura y Presión reducida para interpolar en la grafica 1.5 se tiene:

En la Fig. 1.5 se lee que µ/µc = 2.39 = µr aproximadamente. Por tanto, el valor estimado
de la viscosidad es:

El valor experimental es 455x10-6. El error en este caso es mínimo por lo que el método
es aceptable.
Nota: se le deja al alumno que compruebe el resultado utilizando la ecuación 1.a

Método de Kobayashi

El valor de µc se puede obtener de tablas.



Fig. 1.6 Viscosidad reducida r = / c en funci6n de la presión reducida Pr = P / Pc, y la
1.6
temperatura reducida Tr = T / Tc,. [N. L. Carr, R. Kobayashi y D. B. Burroughs,
Am. Insr. Min.& Met. Engrs., Petroleum Tech., 6, 47 (1954).



Postulados de la teoría cinética de los gases

• Gases constituidos por partículas que se mueven en línea recta y al azar
• Movimiento se modelan si las partículas chocan entre si o con las paredes del
recipiente.
• La velocidad de las partículas se considera despreciable
• Entre partículas no existen fuerzas de atracción ni de repulsión
• La energía cinética media de las partículas es proporcional a la temperatura
absoluta del gas.

Método por la ecuación de Chapman-Enskog
Se basa en la teoría cinética de los gases, esta teoría da expresiones de los coeficientes
de transporte en función de la energía potencial de interaccione entre dos moléculas de
gas.

donde

ϵ/K = 0.77 Tc σ = 0.841 Vc1/3 ó 2.44 (Tc/Pc)1/3 ϵ/K [=] K
ϵ/K = 1.15 Tb σ = 1.116 V 1/3 σ [=] Amstrong
ϵ/K = 1.92 Tm σ = 1.22 V1/3 Pc [=] atm
µc [=] g / cm s

Ejemplo 1.2 La viscosidad del CO2 a 45.3 atm y 40.3 ° es 1800 x 10 -7 poise. Estimar el
C,
valor de la viscosidad a 114.6 atm y 40.3 ° Utilizando el método de Kobayashi.
C.

T1 = 40.3 ° = 313.5 K
C
P1 = 45.3 atm
µ1 = 1800 x 10-7 poise

por lo tanto la Pr y Tr son:



Con estos valores se interpola en la grafica de la figura 1.6 y se tiene una µ# de 1.12 que
corresponden a las condiciones iníciales del problema, por lo tanto µ° = µ/µ# es de: 1610 x
10 -7 poise

Y para calcular a las condiciones deseadas:

T2 = 313.5 K
P2 = 114.6 atm
µ2 = ? ?

por lo tanto Tr = 1.03 y Pr = 1.57 interpolando µ# = 3.7
para calcular la viscosidad se tiene:

µ = µ# µ° = (3.7) (1610 x 10-7poise) = 5957 x 10 -7 poise

El valor experimental es de 5800 x 10 -7 poises.

Ejemplo 1.3 Calcular la viscosidad del CO2 a 1 atm y:
a) 200 K
b) 300 K
c) 800 K

µ
T (K) σ ϵ / k ( K) KT/ϵ µ experimental
(x 10 -4)
200 3.996 190 1.053 1.549 1.015
300 3.996 190 1.579 1.296 1.495
800 3.996 190 4.21 0.96 -----



2. Distribución de velocidad

Vx, y , z , θ, r = variables que se utilizan en las ecuaciones de cantidad de movimiento.

Ecuación general de Balance de Cantidad de movimiento
>0
Entrada – Salida + Generación – Consumo = Acumulación 0
<0

Balance de cantidad de movimiento

Primero se selecciona una envoltura delgada de fluido que tenga la misma geometría que
el objeto sobre el cual se hace el balance.

La ecuación para el flujo rectilíneo en estado estacionario, el balance de cantidad de
movimiento es:

Fuerzas de interés son: Presión (que actúa sobre la superficie) y gravedad (que actúan
sobre el volumen)

Transferencia de cantidad de movimiento.

El movimiento se transfiere de dos maneras

1. Viscoso: es una transferencia perpendicular al movimiento del fluido.
2. Cinético: es un transferencia paralela al movimiento del fluido.

Procedimiento para la resolución de un problema:

1. Escribir el balance de cantidad de movimiento para una envoltura de espesor finito.
2. Se hace tender el espesor a cero utilizando la definición matemática de la primera
derivada con el fin de obtener la ecuación diferencial que describe la distribución
de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.
3. Se introduce la expresión newtoniana de la densidad de flujo de cantidad de
movimiento para obtener una ecuación diferencial para la distribución de
velocidad.
4. Se resuelve la ecuación para obtener las distribuciones de densidad de flujo de
cantidad de movimiento y de velocidad en el sistema.
5. Se evalúan las constantes de integración utilizando las condiciones limites del
sistema.



Ecuación general de transporte molecular

Los tres procesos de transporte molecular de momento lineal, calor y masa se
caracterizan por el mismo tipo de ecuación de transporte.

Viscosidad Cantidad de calor Difusividad térmica

El transporte molecular de una partícula se lleva a cabo en un fluido por los movimientos
de las moléculas individuales. (Figura 2.1)

Flujo de una
película
descendente

Fig. 2.1 Diagrama esquemático del experimento de una película descendente, con indicación
de los efectos finales. En la región de Longitud L la distribución
de velocidad está totalmente desarrollada.

Fluido newtoniano τ= -µ (dv/dy)

Fluido incompresible ρ , µ = constantes

Estado estacionario A = 0 v = constante
Flujo laminar Re < 2100



Ejemplo 2.1 ejemplo de la aplicación de flujo viscoso de una película descendente.

Fig. 2.2 Flujo viscoso isotérmico de una película de líquido bajo la influencia de la gravedad,
sin formación de ondulaciones. Capa de espesor ∆x sobre la que se aplica el balance de
cantidad de movimiento. El eje y es perpendicular al plano del papel.

Aplicando la ecuación de balance:

Ecu 2.1

Por estado estacionario A = 0 v = constante por lo tanto la velocidad es cero, por lo que
la ecuación 2.1 queda:

Ecu
2.2
2.2

Multiplicando la ecuación 2.2 por -1 y dividiendo entre WL∆x y aplicando lomite cuando ∆x
tiende a cero, obtenemos:

Ecu
2.3
2.3

2.4
Ecu 2.4



Integrando la ecuación 2.4 obtenemos:

2.5
Ecu 2.5

Tomando en cuenta las condiciones de frontera: τxz = 0 cuando x = 0 y resolviendo la

ecuación 2.5 obtenemos que la constante C1 es cero.

Por lo tanto el perfil de área del fluido es:

2.6
Ecu 2.6

Sustituimos la ecuación 2.6 en la ley de Newton

2.7
Ecu 2.7

Resolviendo la ecuación diferencial y despezando al perfil de velocidad obtenemos:

Ecu 2.8

Se evalúa la ecuación 2.8 con las condiciones de frontera 2 ( Vz= 0 cuando x = a, a=
grosor de capa).

Ecu 2.9

La ecuación 2.9 es el perfil de velocidad del fluido.

Condiciones de frontera.

Para fluidos en movimiento se considera dos puntos importantes:

1. En la interface sólido-líquido (paredes) la capa del fluido pegada al as paredes no
se mueve, sin embargo, adquiere la velocidad con la que se desplaza la pared

τ=τmax



2. En el centro del perfil: la velocidad en este punto es máxima, por lo que el esfuerxo

de corte es cero (τ=0)

V = V max
Velocidad del fluido

Fig 2.3 Condiciones de frontera



Flujo a través de un tubo circular

CL2
r=R
v=0

τ=τ

CL1
r=0

v v max

Fig 2.4 Flujo a través de un tubo circular y condiciones de frontera

Entrada Salida

Transporte viscoso

Transporte cinético

Fuerzas de presión

Fuerzas de gravedad

Realizando el balance de materia.

Ecu 2.10



Multiplicando la ecuación 2.10 por

Y sustituyendo:

Ecu 2.11

Aplicar limite cuando ∆r tiende a cero

Ecu 2.12

Ecu 2.13

Integrando y resolviendo la ecuación con las CL1 se tiene que la C1=0 por lo que el perfil
de área es:

Ecu 2.14

Sustituir el perfil de área en la ley de newton:

Ecu 2.15

Resolviendo la ecuación diferencial y aplicando las CL2 para obtener la C2 y el perfil de
velocidad del fluido en el tubo.

Ecu 2.16

Ecuación de Hagen-Poiseuille



Esta ecuación establece la relación que existe entre la velocidad volumétrica de flujo y las
fuerzas que lo originan, para poder usar esta ecuación se tienen que usar las siguientes
condiciones:

1. Flujo laminar 5. Efectos finales despreciables
2. ρ constante 6. Medio continuo
3. Estado estacionario 7. No hay deslizamiento en la pared
4. Fluido Newtoniano

Problema: Flujo a través de una rendija

Fig 2.5 Flujo a través de una rendija

Un fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planas
separadas una distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y
obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de
movimiento y de velocidad (ver figura 2.5):

Solución:



Flujo a través de una sección de corona circular

Entrada Salida

T. viscoso

V = cte =0
T. cinético

Fza P.

Fig 2.6 Flujo ascendente a través de Fza g
dos cilindros concéntricos

Vamos a considerar ahora otro problema de flujo viscoso en coordenadas cilíndricas, pero
cuyas condiciones límites son diferentes. Un fluido incompresible fluye en estado
estacionario a través de la región comprendida entre dos cilindros circulares, coaxiales de
radios KR y R (véase Fig. 2.6). Comenzamos efectuando un balance de cantidad de
movimiento sobre una fina envoltura cilíndrica, y se llega a la misma ecuación diferencial
que se ha obtenido anteriormente para el flujo en un tubo en el ejemplo anterior ecuación
2.13

Ecu 2.17

Al Integrar obtenemos:

Ecu 2.18

En este caso C1 no puede ser cero como en el caso anterior por lo que las condiciones
limite son: r = λR = 0 y V1 = max

Lo más que podemos decir es que ha de existir un máximo de la curva de velocidad en un
cierto plano (hasta ahora desconocido) por lo que el perfil de es:

Ecu 2.19



Ecu 2.20

Sustituir el perfil de área en la ley de newton:

Ecu 2.21

Resolviendo la ecuación diferencial e integrando con respecto a r.

Ecu 2.23

En este caso se tienen 2 condiciones limite mas:

CL2:

CL3:

Al sustituir estas condiciones se obtienen dos ecuaciones para

2.23.a
Ecu 2.23.a

Ecu 2.23.b
Al igualar ambas ecuaciones (2.23.a y 2.23.b)

Resolviendo la ecuación y conocemos el valor de λ y y sustituyendo estas constantes
en la ecuación de (2.23) se obtiene el perfil de velocidad para el fluido:

Ecu 2.23



3. Ecuaciones de variación

Ecuación de continuidad

Esta ecuación es otra manera de expresar la ley de conservación de la materia y se
deduce aplicando un balance de materia a un elemento estacionario de volumen ∆x, ∆y,
∆z; a traves del que está circulando el fluido (véase Fig. 3.1).

Fig 3.1 Región de volumen ∆x, ∆y, ∆z fijo en el espacio,
a través de la cual esta circulando un fluido.

Ecu 3.1



Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos

Tabla 3.1
Ecuaciones de movimiento en coordenadas rectangulares

En función de τ

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µ constantes



Tabla 3.2
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricas

En función de τ

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µ constantes



Tabla 3.3
Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas rectangulares(x, y, z)

Tabla 3.4
Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas cilíndricas (r, θ, z)



Flujo a través de una rendija. (utilizando las ecuaciones de variación ecuación F de la
Tabla 3.1)

Fig 3.2 flujo a través de una rendija

Ecu 3.2

Reacomodando la ecuación 3.2

Ecu 3.1

Ecu 3.2

Resolviendo la ecuación deferencial e integrando:

Ecu 3.3
Obtenemos:

Ecu 3.4
Sustituyendo la ecuación 3.4 en 3.1 observamos que el la ley de newton y resolviendo la
ecuación diferencial.

Ecu 3.5

Ecu 3.6
Las CL1 son: x = B y =0



Ecu 3.7

Sustituyendo 3.7 en 3.6

Ecu 3.8

Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos.

Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar
tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros
verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular 0. (Véase
Fig. 3.3.) Los efectos finales pueden despreciarse.

Fig 3.3 Flujo laminar de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos
cilindros coaxiales, el exterior de los cuales gira con una velocidad angular 0.

Solución:

Datos a considerar:

• Cilindro exterior gira, cilindro interior estático
• Flujo laminar
• Fluido newtoniano e incompresible
• Velocidad constante (edo. estacionario)

• Hallar vθ y τrθ



Utilizar la ecuación de variación E de la tabla 3.2, tomando las consideraciones y
reacomodando la ecuación obtenemos:

Ecu 3.9

Igualando a cero la ecuación y resolviendo el sistema (integrar 2 veces) considerando
CL1
CL1

Ecu 3.10

Ecu 3.11

De esta manera se obtienen 2 ecuaciones:

Ecu 3.12.a

Ecu 3.12.b

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen las constantes 1 y 2:

Ecu 3.13

Ecu 3.14

Sustituyendo las constantes en la ecuación 3.11 obtenemos e perfil de

Ecu 3.15

Utilizando la ecuación D de la tabla 3.4 podemos obtener el esfuerzo cortante



Ecu 3.16

Conservación de la Energía Mecánica

Flujo laminar Re< 2100

Flujo
Turbulento Re> 2100

Ecuación de Bernoulli

Daniel Bernoulli (1700-1782)

Fig 3.4 Representación grafica de la ecuación de Bernoulli

Energía contenida en el elemento del fluido.

E = Ef + E p + Ek

Por la primera ley de la termodinámica

E1 = E2



Ecu 3.17

Restricciones:

1. Fluido incompresible
2. Sin dispositivos mecánicos entre las secciones de interés
3. Sin transferencia de calor hacia dentro o fuera del fluido
4. Sin perdida de energía por fricción

Ecuación general de la energía

• Ampliación de Bernoulli
Elimina las restricciones 2 y 4

Ecu
Ecu 3.18

Donde:
Energía si hay bomba
Energía removida
Perdidas menores (por fricción)

k = coeficiente de resistencia (adimensional)

Ecuación de Darcy (flujo turbulento y laminar)
Factor de fricción de Darcy (adimensional)

Ecuación de Hagen-Poiseville (Flujo laminar)

Laminar

Turbulento Diagrama de Moody



Ejemplo:
De un recipiente grande fluye agua con una rapidez de 1.2 ft3/s, a través de
un sistema de conductos como el que se muestra en la figura 3.4. Calcula
la cantidad total de energía perdida en el sistema debido a la presencia de
válvula, codos, las entradas del tubo y la fricción del fluido.

Pman = 0
1 V=0

12 ft Flujo

13 ft

D = 3 in

Solución: aplicando la ecuación 3.18

Ya que Pman es cero Porque el D
Es> tubo2

Po lo que la ecuación queda:

Ecu 3.1
Ecu 3.19
Datos:



Despejando de la ecuación 3.19

Sustituyendo los valores

Problemas

1. Encuentre la rapidez de flujo de agua que sale de un tanque. El tanque esta
sellado y tiene una presión de 140 KPa por encima del agua, hay una

perdida de energía de mientras el agua fluye por la boquilla. Realiza
el esquema con todos los parámetros y condiciones. El tanque esta lleno a
2.4m y diámetro del tanque de 50 mm. Determina el flujo másico.
Solución:

2. Una cañería de agua consiste en un conducto de presión hecho de concreto
de 18 in de diámetro, calcule: La caída de presión en un tramo de 1 milla de
longitud, debido a la friccion en la pared del conducto si este transporta 15
ft3/s de agua a 50 °F

3. En la figura se muestra una parte de un sistema de protección contra
incendios en el cual una bomba saca agua a 60° de un recipiente y la
F
transporta al punto B, con una rapidez de flujo de 1500 gal/min. Calcula la
altura h requerida para el nivel del agua en el tanque, son el fin de
mantener 5 psi de presión relativa en el punto A.

A 50 y 60 ° el peso específico del agua es de 62,4 lbf/pie3
F
Para tubo de acero calibre 40 de 8 pulgadas el diámetro interno es 0.6651 pie
Para tubo de acero calibre 40 de 10 pulgadas el diámetro interno es 0.8350 pie



TRANSFERENCIA DE
ENERGÍA



Transferencia de energía

Mecanismos de transmisión de calor.

Conducción: el calor se desplaza desde el extremo con más calor hacia el más frio.

Convección: transporte de energía interna, el calor se transfiere por el mezclado de los
materiales y por conducción.
.
Radiación: el medio a través del cual se transfiere el calor casi nunca se calienta.
Básicamente, este mecanismo consiste en una transferencia de calor por radiación
electromagnética.

Conducción:

En sólidos, agitación de moléculas mas próximas al foco de calor se propaga a las
moléculas vecinas sin que se muevan de lugar. Buenos conductores de calor (metales),
conducen con dificultad el calor (madera y corcho). Aislamiento térmico: se recubren
superficies con materiales que no sean buenos conductores.
El calor también puede ser conducido en líquidos y gases los cual se verifica mediante la
transferencia de energía.

Ley de Fourier

Fig 4.1
Formación del perfil de temperatura en estado
estacionario en una placa solida situada entre dos
laminas; véase un caso análogo para transporte de
cantidad de movimiento.
Donde:

q [=] cal/cm2s
k = conductividad térmica [=] cal / cm s K
T [=] K
Y [=] cm



Difusividad térmica

Conductividad térmica:

Se estima a partir generalmente de las propiedades críticas, pero los métodos
gráficos que se utilizan están basados en el principio de estados correspondientes
y son análogos a los que se usan para viscosidad.

K = f(T,P)

Teoría de la conductividad calorífica de los gases a baja densidad.

Las conductividades caloríficas de los gases monoatómicos diluidos se conocen muy bien
y pueden predecirse con exactitud mediante la teoría cinética. En cambio, la teoría de los
gases poliatómicos se ha desarrollado tan sólo de una forma parcial, si bien existen
algunas aproximaciones groseras que tienen interés.

Para gases monoatómicos se tiene la ecuación de Chapman-Enskog

Ecu 4.1
Donde:

K [=]
[=] Amstrong ( )
T [=] Kelvin (K)

PM [=]
se obtiene de la tabla B-2

gas monoatómico Ecu 4.2

Poliatómicos (Eucken) 4.3
Ecu 4.3

Numero de Prandtl 4.4
Ecu 4.4

Ésta es la fórmula de Eucken para el número de Prandtl de un gas poliatómico a baja
densidad.



Ejemplo: método de Owen
Estimar la conductividad térmica del etano a 67.2 ° y 191.9 atm, si a 1 atm y 67.2
C

° Kc= 0.0237
C

Datos:
Etano
Tc = 305.4 K
Pc = 48.2 atm
T = 67.2 ° = 340.35 K
C
P = 191.9 atm

Bajo las condiciones de 67.2 ° y 1 atm
C

Distribución de temperatura en sólidos

Flujo laminar

Procedimiento similar a los problemas de transferencia de cantidad de
movimiento.

La ecuación de balance de energía se describe de la siguiente forma:

Ecu 4.5

Los mecanismos por los que se puede entrar o salir energía del sistema son
conducción y transporte conectivo (causado por el movimiento global de fluido), la
energía que entra o sale de esta forma se le llama calor sensible.

Se considera que la energía calorífica se produce por degradación de energía
eléctrica, mecánica (disipación viscosa), y convección de energía química en
calor.



Condiciones límite:

Las más frecuentes son:

a) T = T0 temperatura de superficie conocida
b) q = q0 densidad de flujo de calor en la superficie conocida
c) En interface solida-fluido se tiene:
q = h ( T – Tfluido ) ley de enfriamiento de Newton

Donde h es un coeficiente de transferencia de calor
d) En interface solido-solido puede estar determinada la conductividad de T y
q.

Ejemplo:
Conducción de calor con un manantial calorífico de origen eléctrico.

se considera un alambre de sección circular de radio R y conductividad eléctrica ke (ohm-1
cm -1). Por el alambre circula una corriente eléctrica, cuya densidad de corriente es Z
(amps cm-1). La transmisión de una corriente eléctrica es un proceso irreversible, y parte
de la energía eléctrica se transforma en calor (energía calorífica). La velocidad de
producción de calor por unidad de volumen viene dada por la expresión:

Ecu 4.6

Se es el calor que se origina debido a la disipación eléctrica. Se supone que el aumento
de temperatura en el alambre no es grande, de forma que no es preciso tener en cuenta
la variación de las conductividades eléctrica y calorífica con la temperatura. La superficie
del alambre se mantiene, a la temperatura To. Vamos a demostrar cómo se puede
determinar la distribución radial de temperatura en el interior del alambre caliente.



Fig 4.2 flujo de calor en un alambre de radio R

Realizando el balance de energía contemplando la entrada y salida, puesto que es Edo
estacionario y flujo laminar, se obtiene la ecuación:

Ecu 4.6

Resolviendo el limite, notamos que se obtiene la derivada de rqr con respecto a r, y
resolviendo la ecuación diferencial para obtener la densidad de flujo de energía.

Ecu 4.7

Aplicando las condiciones límite nos damos cuenta que c1 tiene que ser cero CL1 r=0 qr
no es infinito (nulo), por lo tanto la densidad de flujo de energía para este alambre es:

Ecu 4.8

Sustituyendo la densidad de flujo de energía en la ley de Fourier (fig 4.1)

Ecu 4.9

Resolviendo la ecuación de diferencial de primer grado. (donde k es constante)

Ecu 4.10



CL2 T= To y r=R

Con estas condiciones se encuentra c2 y sustituyendo en la ecuación 4.10se obtiene que
el aumento de la temperatura es una función parabólica de la distancia r medida desde el
eje del alambre.

4.11
Ecu 4.11

Ejercicio:
Conducción de calor en un anillo circular:
El color fluye a través de una pared angular cuyo radio interno es r0 y el contorno r1.la
conductividad calorífica varia linealmente con la temperatura desde r0 a la temperatura T0
hasta r1 a la temperatura T1. Descubrir una expresión para el flujo de calor a través de la
pared situado en r = r0

Solución:

Fig 4.3 perfil de temperatura en una pared anular
4.3



Conducción de calor por disipación viscosa:

Fig 4.4 flujo entre dos cilindros con generación
4.4 Fig 4.5 Forma idealizada de una parte del
de calor de origen viscoso. El fluido sistema de flujo de la figura 4.4 en el que ha
comprendido entre las líneas de trazo se desaparecido la curva de las superficies
presenta en forma idealizada en la siguiente cilíndricas
figura.

Fluido newtoniano incompresible
Estado estacionario A= 0
Cilindro exterior gira con velocidad
La friccion genera calor
b<< R se desprecia la curvatura, s trabaja con coordenadas cartesianas.

Se genera calor de acurdo a

Solución

Definiciones:

• Flujo de calor Q=qA
• Densidad de flujo o flux q [=] (energía/ tiempo) * (1/área)
• Conduccioón q = - k dT/dx Q [=] energía / tiempo
• Convección q = h (Tf – T0)
• Coeficiente de transferencia de calor (h)
• Coeficiente global de transferencia de calor
• Cuando k depende de la temperatura en forma lineal se puede tomar el promedio.



Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos

Generalización del balance de energía aplicada a una envoltura para obtener la ecuación
de energía.

Elemento estacionario de volumen a través del cual fluye un liquido puro.

Se escribe la ley de conservación de la energía para un fluido en un instante dado.

A = E - S + G - C

A = estado estacionario (nulo)
E - S= energía cinética
G = adición de calor
C = trabajo
Regla de Gibbs
F = 2 -π +N

F = grados de libertad
Π = numero de fases
N = numero de compuestos

Problema: Flujo tangencial en tubos concéntricos con generación de calor de origen
viscoso

Determinar la distribución de temperatura en un fluido newtoniano incompresible
contenido en dos cilindros coaxiales que se representan en la figura. Considere que las
superficies mojadas de los cilindros interno y externo están a la temperatura Tk y T1
respectivamente. Suponga un flujo laminar estacionario y despreciable la variación de la
ρ, µ y k con la temperatura.

Tabla 4.1

Componentes de la densidad e flujo de energía q



Tabla 4.2 A

La ecuación de Energía en función de las densidades de flujo
de energía y de cantidad de movimiento.



Tabla 4.2 B

La ecuación de Energía en función de las propiedades de
Transporte
(para fluidos newtonianos de ρ, y k constantes
Obsérvese que la constancia de p implica que Cv = Cp)



Temperatura máxima en un lubricante

Un aceite actúa como lubricante de dos superficies cilíndricas. La viscosidad angular del
cilindro exterior es de 7908 rpm. El radio del cilindro exterior es de 5.06 cm y la distancia
entre los dos cilindros es de 0.027 cm. ¿Cuál es la máxima temperatura en el aceite, si se
sabe que la temperatura en ambas paredes es de 70 ° C?
Propiedades físicas del aceite son:
Viscosidad 92.3 Cp
Densidad 1.22 g / cm3
Conductividad calorífica 0.0055 cal / s cm °C
Realiza el diagrama anotando las condiciones de frontera.
Nota se recomienda realizarlo con las ecuaciones de variación y con balance de energía.

Solución:

Repita algunos ejercicios anteriores pero con ecuaciones de variación.



TRANSFERENCIA DE
MATERIA



Transporte de materia

Interviene en destilación. Adsorción, secado y extracción liquido-líquido.
Aplica para gases, líquidos y sólidos.
En general los tres procesos de transferencia se tiene que realizar balance de
entradas y salidas de energía o movimiento
Aplica para sistemas con varios componentes (mezclas).

Ecu 5.1

D = Difusividad molecular (m2/s)
CA = concentración de A (gmol / mol)

Expresiones de la concentración

Concentración de masa ρ [=] Kg / m3

Concentración molar Ci = ρ /ρi

Fracción masica wi = ρi / ρ

Fracción molar αi = C i / C

Tipos de difusión

• Ordinaria: por gradiente de concentración.
• De presión: por gradiente de presión.
• Térmica: por gradiente de temperatura.
• Forzada: se debe a una desigualdad de fuerza, características que se encuentran
sobre los componentes A y B

En una mezcla que difunde, las distintas especies químicas se mueve con velocidades
diferentes (v), por lo tanto, se requiere una velocidad media de masa v, que para una
mezcla de n componentes. Pero también se tiene una velocidad media local v*, que es
con que las moléculas atraviesan una sección perpendicular a la velocidad.

Ecu 5.2 y 5.3

Ley de Fick de la difusión:

JA* = - C DAB▼XA Ecu 5.4



Tabla 5.1 A

Formas equivalentes de la primera le de Fick de la difusión:

Variación de la Difusividad con la presión y temperatura.

La Difusividad DAB de un sistema binario es mas una función de la temperatura , presión y
composición, a diferencia de µ y k, pero del mismo modo se propone correlaciones que
tiene un campo de acción limitada y se basa mas en la teoría que en la experiencia.

Para las mezclas binarias a baja presión, DAB es inversamente proporcional a la presión,
aumenta con la temperatura, y es casi independiente de la composición, para una mezcla
de dos gases determinados.

Ecua 5.5

Para mezclas binarias de gases no polares:

a = 2.745 x 10 -4
b = 1.823

Para agua con un gas no polar

a = 3.640 x 10 -4
b = 2.334

Si los gases A y B son no polares y se conocen sus parámetros de Lennard-Jones, se
puede utilizar la teoría cinética de los gases, en particular la ecuación de Chapman-
Enskog.



Ecu 5.6

5.7
Ecu 5.7

Donde

DAB [=] cm2 /seg
C [=] gmol/cm3
T [=] K
P [=] atm
[=] Amströng



Fig 5.1 Grafica generalizada par alas Difusividad de gases densos

Ejemplo.
Una tuberiía contiene una mezcla de He y N2 a 298 K y 1 atm, condiciones constantes en
todo el tubo. En un extremo la presión parcial PA1 del He es de 0.6 atm y en el otro
extremo a 20 cm PA2 es de 0.2 atm. Calcule el flujo específico del He en estado
estacionario cuando DAB es de 0.684 x 10 -4 m2/s R = 8314.3 m3 Pa/ Kgmol K.

Solución:
Aplicando la ley de Fick se obtiene:

Al resolver esta ecuación de primer orden:



Si hacemos CA = P / RT

Ecua 5.8

Ahora sustituyendo los valores numéricos en la ecuación 5.8 y realizando el análisis
dimensional se obtiene el flujo especifico del componente (He).

Tabla 5.2

Difusividad experimental de algunos sistemas binarios
De gases diluidos

Estimación de la Difusividad a baja densidad

Estimar la DAB para el sistema Argón- Oxigeno a 293.2 K y 1 atm de presión total

Solución:
De tablas se obtienen los siguientes datos (tabla B-I):

MA = MArgon= 39.944 σA = 3.418 Å °K
MB = MOxigeno= 32.00 σA = 3.433 Å °K

Calculamos los parámetros σAB y para la solución de la mezcla argón
oxigeno con las siguientes ecuaciones:

Ecu 5.9



5.10
Ecu 5.10

Parametros de Lennar-Jones

Por lo tanto

Por lo que:

Con este dato se obtiene de tablas (tabla B-I) DAB = 1.003, sustituyendo estos valores
en la ecuación 5.7:

Comparamos este dato con el de la tabla que muestra los datos experimentales para
algunas mezclas binarias.

Estímese la DAB para una mezcla constituida para 80 moles % de metano y 20 moles %
de etano a 136 atm y 313 K. el valor experimental de PDAB a 293 K 0.162 atm cm2/ s

Pc (atm) Tc ( atm) Fraccion ( x)

Metano 45.8 190.7 0.8
Etano 48.2 305.4 0.2

PD / (PD)° = (incógnita / Valor de referencia )

Así se debe corregir la presión a temperatura deseada, el valor de (P DAB) que se indica,
para elle se usa la ecuación de la teoría cinética con las constantes no polares para
obtener (P DAB) a 313 K.



Pc´= ∑ Pcixi Pr´= P/Pc´
Tc´= ∑ Tcixi Tr´= P/Pc´

Y

Con estos datos se interpola en la grafica de la figura 5.1 para obtener PD / (PD)° que es
de aproximadamente 0.73 por lo tanto:

Ley de Raoult (presiones parciales)

L ---- solcion ideal
Fases Vol →
V ---- gas ideal P → 0
Fzas → 0
PV/RT = z → 1
Soluciones líquidas ideales

Cuando una fase líquida se puede considerar ideal, la presión parcial en el equilibrio de
un gas en la solución puede ser calculada sin necesidad de determinaciones
experimentales.

Hay cuatro características significativas de las soluciones ideales; todas se relacionan
entre sí:

1. Las fuerzas intermoleculares promedio de atracción y repulsión en la solución no
cambian al mezclar los componentes.
2. El volumen de la solución varia linealmente con la composición.
3. No hay absorción ni evolución de calor al mezclar los componentes. Sin embargo,
en el caso de gases que se disuelven en líquidos, este criterio no incluye el calor
de condensación del gas al estado líquido.
4. La presión .total de vapor de la solución varía linealmente con la composición
expresada en fracción molar.

En realidad no existen soluciones ideales y las mezclas reales sólo tienden a ser ideales
como límite. La condición ideal requiere que las moléculas de los componentes sean
similares en tamaño, estructura y naturaleza química; tal vez la aproximación más
cercana a dicha condición sea la ejemplificada por las soluciones de isómeros ópticos de



compuestos orgánicos. Sin embargo, prácticamente muchas soluciones se encuentran tan
cerca de ser ideales que para fines de Ingeniería se pueden considerar como tales. En
particular, los miembros adyacentes o casi adyacentes de una serie homóloga de
compuestos orgánicos pertenecen a esta categoría. Así, por ejemplo, las soluciones de
benceno en tolueno, de alcohol etílico y propílico o las soluciones de gases de
hidrocarburos parafínicos en aceites de parafina pueden generalmente considerarse como
soluciones ideales. Cuando la mezcla gaseosa en equilibrio con una solución liquida ideal,
sigue también la ley de los gases ideales, la presión parcial p* de un soluto gaseoso A es
igual al producto de su presión de vapor p a la misma temperatura por su fracción mol en
la solución x.

Esta es la ley de Raoult

P* = px

El asterisco se utiliza para indicar el equilibrio. La naturaleza del líquido disolvente no se
toma en consideración, excepto cuando establece la condición ideal de la solución; por
esta causa, la solubilidad de un gas particular en una solución ideal en cualquier
disolvente es siempre la misma.

Difusión:

Desplazamiento de las moléculas individuales a
través de un fluido por medio de los
desplazamientos individuales y desordenados de
las moléculas. La difusión molecular e análoga a
la conducción de calor, la transferencia conectiva
de ,asa es análoga a la convección en la
transferencia de calor.,

Fig 5.2 Contra difusión equimolar en gases

PA1 > PA2 al se P = cte, los moles netos de A que difunden deben ser
PB2 > PB1 iguales a los de B, por lo tanto,

JAB* = -JBZ*

Pero P = Pa + PB = cte, por lo tanto c = cte

Diferenciando dCA = - d CB
Así

Pero
dCA = - d CB → DAB = DBA



Ejemplo:

En un tubo uniforme de 10 cm de largo se difunde NH3 (g) en N2 (g) a 1x105 Pa y 298 K.
en el punto 1 la PA1= 1x104 Pa y en 2 PA2= 0.5 104 Pa. DAB = 0.025 x 10-4 m2/s. Calcule
JA* en estado estacionario.

Caso general para la difusión de gases

A y B mas convección

JA* = VAd CA [=] Kgmol A / m2 s
VA= velocidad de difusión [=] m/s
VM = velocidad molar promedio de velocidad del flujo respecto a un punto estacionario.

VA = VAd + VM
VA
Velocidad de difusión = difusión + velocidad conectiva
VA = VAd + VM por CA………… Ecu 5.13

CA VA = CA VAd + CA VM…………… Ecu 5.14
5.14
VAd VM
Cada término es un flujo especifico

NA = JA* + CA VM ………………………… Ecu 5.15
5.15

N = flujo conectivo total de la corriente general respecto al punto estacionario

N = C VM = NA + NB ……………… 5.16
Ecu 5.16

…………………. 5.17
Ecu 5.17

Sustituyendo la ecuación 5.17 en la ecuación 5.18



………………. 5.18
Ecu 5.18

= ley de Fick = ………………… Ecu 5.19
5.19

Se sabe que XA = CA /C

……………… Ecu 5.20 5.20
Ecuación general para la difusión + convección, para resolver se debe conocer la relación
entre NA + NB. Es valida para la difusión en gases, líquidos y sólidos. Para contra difusión
equimolar.

NA = JA* = - NB = -JB* 5.21
Ecu 5.21

Caso particular a difunde y B en reposo

Estado estacionario

Algún limite al final de la trayectoria de difusión al
componente B por lo que no puede atravesarlo.

PA2 = 0 por lo que el volumen de B es muy grande en
relación al de A

• Ley de Raoult

• Ecuacion de Antoine

De la ecuación

Sabiendo que NB = 0 por lo tanto reacomodando la ecuación queda:

Si y



Nos damos cuenta que se trata de una ecuación diferencial de primer orden, al
resolver esta ecuación obtenemos:

Se considera la media logarítmica de B inerte.

P = PA1 + PB1 = PA2 + PB2
PB1 = P – PA1; PB2 = P – PA2

Por lo tanto

DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACION
EN SOLIDOS Y EN FLUJO LAMINAR

Ecu 5.22

Difusión molecular Transporte correctivo

C C
O O
N. N.

A difusión A
L L
T T
A A

Reacciones Químicas

Homogeneo Heterogénea

Cambios de concentración en todo el Puede tener catalizador, cambio de
volumen (en ecuación de variación se concentración, primero en la superficie
toma como generación) de catalizar y después se desplaza.

RA = Kn’’’ CAn|superficie.



NAZ|superficie = Kn’’ CAn|superficie
2
RA [=] moles/ cm s CA [=] moles/ cm3 n = orden de la reeaccion

Nota En la reacción heterogénea la Generación se toma en cuanta en el balance

Balance de materia
Condiciones limite

a) XQ = XAb en una superficie
b) En una superficie se puede conocer NA si se conoce NA | NB, por ejemplo NA = NA0
c) Para difusión en un solido sumergido den un fluido
NA0 = KC ( CA0 – CAf)
d) Puede conocerse la velocidad de reacción en la superficie, por ejemplo NA0 =
K1‘’CA

Ejemplo:

Fig 5.5 Difusión de A en estado estacionario a través de B inmóvil.
El grafico indica la forma en que se distorsiona el perfil de
concentración debido a la difusión de A.
Consideraciones:

• Solubilidad de B en A es despreciable NB = 0
• Z = Z1 es constante

• En interfase se tiene EVL, por lo tanto
• A+B = mezcla gaseosa ideal
• T,P del sistema son constantes, por lo tanto c = cte
• Estado estacionario.



Aplicando el balance de materia se obtiene:

Entrada – Salida = 0

En la que S es el área de la sección transversal de la columna., dividiendo la ecuiacion
entre (- S∆z) y aplicando el limite:

Sustituir la ecuación obtenida en la ecuación 5.22

Resolviendo la ecuación diferencial sabiendo que c DAB son constantes

Volviendo a integrar:

Ecu 5.23

Aplicando las condicione límite:
CL1 z = z1 XA = XA1
CL2 z = z2 XA = XA2

Una vez encontradas las constantes de sustituyen en la ecuación 5.23

Ejercicio:
Difusión a través de una película esférica no isotérmica
a) Deducir el perfil de concentración y la densidad de flujo molar para la difusión a
través de una envoltura esférica.



En estado estacionario sucede en el secado de pequeñas gotas y en la difusión a través
de películas gaseosa que rodean a partículas catalíticas esféricas.

Solución:

Ejercicio:
Difusión desde una gotita a un gas estancado

Una gotita de la sustancia A esta suspendida en una corriente del gas B. El radio de la
gota es r1. Se admite que existe una película esférica de gas estacionario de radio r2. (Use
la figura anterior). La concentración de A en la fase gaseosa es XA1 para r = r1 y XA2 para r
= r2.

a. Demostrar, mediante un balance aplicado a una envoltura, que para la difusión en
estado estacionario, r2NAr1, es una constante cuyo valor en la superficie de la gotita
es r2NAr1.
b. Demostrar que la Ec. 5.22 y el resultado del apartado (a) conducen a la siguiente
ecuación para xA:

c. Integrar esta ecuación entre los limites r1 y r2 conel fin de obtener



REFERENCIAS

Bennett, O, Myers, J.E. Transferencia de cantidad de movimiento, calor y materia (tomos 1
y 2). Reverte, México, 2ª, edición,1998

Bird, R., Byron, W.E., Stewart, E.N., Lightfoot. Fenómenos de transporte, un estudio
sistemático de los fundamentos del transporte de materia, energía y cantidad de
movimiento. Reverte, México, 1ª. Edición, 1993.

Garcell Puyans, L. Transferencia de cantidad de movimiento, calor y masa. Ministerio de
Educación Superior de Cuba – IPN. México 1998.

Geankoplis Ch. J., Procesos de transporte y principios de procesos de separación.
compañía Editorial continental, cuarta Edición México, 2006.

Sisson, E. Elements of transport phenomena, Mc. Graw Hill, Mèxico, 1972.

Treybal, J.C. Operaciones de transferencia de masa. Mc. Graw Hill, Mèxico, 1980.

Welty, J.R. Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa. Limusa, México
1972.


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