Aplicaciones de los sistemas ecuaciones a la electricidad
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Este documento describe cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicados a problemas eléctricos usando las leyes de Kirchhoff. Presenta dos ejemplos numéricos que involucran dos y tres ecuaciones lineales respectivamente, mostrando cómo reducir el sistema a uno de menor tamaño y resolverlo para encontrar valores desconocidos como corrientes y voltajes. También propone cuatro problemas adicionales para que los estudiantes practiquen resolviendo sistemas de ecuaciones en contextos eléctricos.
Aplicaciones de los sistemas ecuaciones a la electricidad
- 1. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A LA ELECTRICIDAD1 ALEJANDRO DOMÍNGUEZ COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN PROFESIONAL TÉCNICA (CONALEP), PLANTEL “EL SOL” NEZAHUALCÓYOTL, ESTADO DE MÉXICO, MÉXICO AGOSTO DE 1984 Introducción Los presentes apuntes surgieron como una necesidad del curso de Matemáticas I (Álgebra) que se imparte a los alumnos de la carrera de Técnico en Electrónica Industrial en el Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica. Estos apuntes tiene la finalidad de hacer ver a los alumnos la importancia de aprender matemáticas para resolver problemas básicos en electricidad en los cuales se presentan sistemas lineales de ecuaciones con dos y tres incógnitas. Los apuntes parten de la suposición de que el alumno conoce la Ley de Ohm: “la diferencia de potencial en un conductor metálico (conductor óhmico) es igual a la resistencia interna de éste por la corriente que fluye en él; es decir, ”. Como comentario final, es importante hacer notar que estos apuntes no pretenden suplantar a algún libro de texto, sino que son un apoyo didáctico para el curso antes mencionado, así como un apoyo para el libro de texto utilizado en él. Las leyes de Kirchhoff En electricidad existen una serie de problemas prácticos que involucran dos o más cantidades desconocidas que están relacionadas entre sí por ecuaciones de primer grado (lineales). Un ejemplo típico de este tipo de problemas, en los cuales se requiere determinar el valor de dos o más cantidades desconocidas, son los que aparecen al querer encontrar el valor o los valores de las corrientes y/o voltajes que circulan en una malla (circuito) eléctrica cerrada. Las ecuaciones que hay que resolver provienen de aplicar al circuito eléctrico las Leyes de Kirchhoff: Primera Ley de Kirchhoff. La suma de las fuerzas electromotrices en una malla cerrada es igual a la suma de las caídas de potencial alrededor de la misma. En otras palabras: la suma de los voltajes alrededor de cualquier circuito cerrado es igual a cero. 1 Este documento es una versión transcrita, mejorada y editada del original, el cual fue creado de forma manuscrita debido a la nula accesibilidad del autor a las computadoras y a la no existencia de procesadores de texto apropiados que permitieran la edición de términos matemáticos. Página 1 de 5
- 2. Segunda Ley de Kirchhoff. La suma de las corrientes que fluyen hacia un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. En otras palabras: La suma de las corrientes que entran y salen de un nodo es igual a cero. Ejemplo 1. Sistemas de dos ecuaciones lineales Se conecta una batería en serie con una resistencia desconocida y un resistor de . Un amperímetro en el circuito muestra la lectura . Se repite el experimento sustituyendo el resistor de por uno de . En este caso el amperímetro muestra una lectura de . ¿Cuál es el voltaje de la fuente y la resistencia desconocida? (ver Figura 1 y 2, respectivamente) Para resolver este problema se aplicará la Primera Ley de Kirchhoff. Si se recorre el circuito en el sentido de las manecillas del reloj, para el primer y segundo casos se tiene las siguientes ecuaciones respectivamente: E (2.5) R (2.5)(4) 0 E (1) R (1)(10) 0 Efectuando las operaciones, estas ecuaciones se convierten en: E 2.5R 10 E R 10 Existen varias formas o métodos para resolver este par de ecuaciones simultáneas. Los más conocidos son: sustitución, igualación y adición. En cualquier caso, los valores del y no dependen del método elegido; es decir, el método elegido debe conducir a la misma respuesta arrojada por los otros dos casos restantes: lo único que difiere es el “camino” a recorrer para encontrar la respuesta. Para mostrar esto, se mostrará de Figura 1. Circuitos eléctricos para el forma simultánea los tres métodos. primer y segundo casos. Método de sustitución Método de igualación Método de adición De la primera ecuación, despejar Despejando de la primera y segunda Restando la segunda ecuación de la ecuaciones el valor de , se tiene primera ecuación, se tiene: Sustituyendo este despeje de en E 2.5R 10 la segunda ecuación, se tiene: ( ) Igualando ambos valores de : E R 10 Esto implica que: Así: Finalmente: Sustituyendo este valor en la Sustituyendo este valor de en el Sustituyendo este valor en la primera ecuación, se obtiene: despeje de : primera ecuación, se obtiene: ( ) ( ) ( ) Así: Así: Así: Página 2 de 5
- 3. Fundamentos de sistemas de tres ecuaciones lineales Un sistema de tres ecuaciones lineales es de la forma: ax by cz d ex fy gz h kx ly mz n. En este sistema de ecuaciones, las incógnitas son ; mientras que son constantes conocidas. Por supuesto, el problema consiste en encontrar el valor de las incógnitas tal que en el sistema el lado izquierdo de las igualdades sea igual al lado derecho. El método más utilizado, pero no el único, consiste en reducir el sistema de tres ecuaciones a uno de dos ecuaciones. Esto se logra si se despeja una de las incógnitas de cualquiera de las tres ecuaciones y se sustituye en las dos ecuaciones restantes, obteniendo así un sistema de dos ecuaciones, para las cuales existe por lo menos tres métodos para resolverlas, como se mostró en el ejemplo anterior. Ejemplo 2. Sistemas de tres ecuaciones lineales Para el circuito serie-paralelo de la Figura 2, se desea encontrar las corrientes cuando se dan los siguientes valores para los voltajes y resistencias, respectivamente, . Aplicando la primera ley de Kirchhoff para los circuitos formado por y , así como la segunda ley de Kirchhoff para las corrientes , se obtiene el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales: Figura 2. Circuito eléctrico serie-paralelo. 6 I1 4 I 3 14 (1) 5 I 2 4 I 3 12 (2) I1 I 2 I 3 (3) Sustituyendo la ecuación (3) en las ecuaciones (1) y (2), se obtiene: 6 I1 4 I1 I 2 14 5 I 2 4 I1 I 2 12. Llevando a cabo las operaciones correspondientes: Página 3 de 5
- 4. 5I1 2 I 2 7 2 I1 3I 2 6. Para resolver este sistema, se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 5 para obtener: 10 I1 4 I 2 14 10 I1 15I 2 30. Restando la primera ecuación de la segunda se obtiene la ecuación: 11I 2 16. Despejando : Sustituyendo este valor en la ecuación (2) se puede obtener el valor de : 16 80 132 80 13 5 4 I 3 12 4 I 3 12 4 I 3 I 3 A. 11 11 11 11 Sustituyendo los valores de en la ecuación (3), se puede encontrar el valor de : 16 13 13 16 3 I1 I1 I1 A. 11 11 11 11 11 Problemas para clase Problema 1 Una batería cuyo voltaje se desconoce está conectada en serie con una resistencia no conocida y un resistor de . Un amperímetro en l circuito da una lectura de . Cuando se remplaza el resistor de por otro de , el amperímetro da la lectura de . ¿Cuáles son el voltaje de la batería y de resistencia desconocida? Problema 2 Una batería está conectada a una resistencia de . Cuando a este circuito se agrega en serie una batería de y una resistencia de , la corriente permanece igual. ¿Cuál es el voltaje y corriente iniciales? Problema 3 La resistencia total de un circuito que contiene dos resistencias en paralelo y cambia de a cuando se duplica. Obtener los valores de y . Página 4 de 5
- 5. Problema 4 La resistencia de m de alambre de cobre del número 14 a °C es de , mientras que °C es de . Se sabe que la resistencia es función lineal de la temperatura y está dada por , donde es la resistencia °C y es una constante. Obtener los valores de y . Problema 5 Resolver el Ejemplo 2 con los datos siguientes: . Problema 6 Resolver el Ejemplo 2 con los datos siguientes: . Problema 7 Encontrar el valor de las corrientes en los resistores del circuito que se muestra en Figura 3. Figura 3, Circuito para el Problema 7. Problema 8 Encontrar el valor de las corrientes en los resistores del circuito que se muestra en Figura 4. Figura 4. Circuito para el Problema 8. Bibliografía Beiser, Arthur (1982). Matemáticas básicas para electricidad y electrónica. McGraw-Hill (Serie Schaum). Domínguez Torres, José Alejandro (1983). Breve introducción a los números complejos y sus aplicaciones a la electricidad. CONALEP Plantel El Sol. www.slideshare.net/Alexdfar/aplicaciones-de-los- nmeros-complejos Kramer, Arthur D (1983). Fundamentos de matemáticas: un enfoque para técnicos. McGraw-Hill. Página 5 de 5