Aritmética - San Marcos.pdf

BANCO DE EJERCICIOS
DE LA COLECCIÓN COMPENDIOS
ARITMÉTICA

Editorial
Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563
www.editorialsanmarcos.com
ÍNDICE
Razones - Proporciones - Promedios .............................................................................................. 4
Magnitudes proporcionales............................................................................................................... 14
Reparto proporcional ........................................................................................................................ 18
Regla de tres..................................................................................................................................... 23
Porcentajes - Mezclas ...................................................................................................................... 27
Interés - Descuento........................................................................................................................... 36
Numeración - Conteo........................................................................................................................ 45
Cuatro operaciones........................................................................................................................... 55
Divisibilidad....................................................................................................................................... 66
Números primos................................................................................................................................ 77
Máximo común divisor - Mínimo común múltiplo.............................................................................. 85
Potenciación y radicación ................................................................................................................. 92
Teoría de conjuntos .......................................................................................................................... 101
Números racionales ......................................................................................................................... 114

Editorial
RAZÓN
Es la comparación que se establece entre dos can-
tidades de una magnitud mediante las operaciones
de sustracción o división, lo cual nos induce a se-
ñalar que se tiene dos clases de razón.
Razón aritmética. Es la que se obtiene mediante
la sustracción y consiste en determinar en cuánto
excede una de las cantidades a la otra: a – b = r
Ejemplo:
Los automóviles A y B se desplazan con velocida-
des de 28 m/s y 23 m/s respectivamente, compare-
mos sus velocidades:
razón aritmética
valor de la
razón
28 m/s - 23 m/s = 5 m/s
1 2 3
4444
4 4444
4
6 7 8
4
4 4
4
S S
antecedente consecuente
Interpretación: la velocidad del automóvil A excede
en 5 m/s a la velocidad del automóvil B.
Razón geométrica. Es la que se obtiene mediante
la división y consiste en determinar cuántas veces
cada una de las cantidades contiene la unidad de
referencia:
b
a
= k
Ejemplo:
Los edificios A y B tienen una altura de 60 m y 36 m,
respectivamente, comparemos sus alturas (en ese
orden):
antecedente
consecuente m
m
36
60
3
5
=
razón geométrica
valor de la razón
Interpretación:
• Las alturas de los edificios A y B son entre sí
como 5 es a 3 porque:
Altura de A: 5(12 m)
Donde: 12 m es la unidad de referencia.
Altura de B: 3(12 m)
• Por cada 5 unidades de 60 m hay 3 unidades
de 36 m.
• Las alturas de los edificios A y B están en la
relación de 5 a 3.
Recuerde:
RAZÓN
Aritmética Geométrica
a - b = r
b
a
= k
Términos:
a: antecedente
b: consecuente
r y k: valores de las razones
Cuando en el texto se mencione solamente razón o
relación se debe entender que se hace referencia a
la razón geométrica.
proporción
Es la igualdad en valor numérico de dos razones
de la misma clase.
Proporción aritmética. Es aquella que se forma
al igualar los valores numéricos de dos razones
aritméticas.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética con las edades
de 4 alumnos y que son: 15 años, 17 años, 18 años
y 14 años.
Extremos
I. 18 años - 15 años = 17 años - 14 años
Medios
Extremos
II. 18 años - 17 años = 15 años - 14 años
Medios
Llevando los extremos y medios a un solo miembro
de la igualdad se obtiene lo siguiente:
Extremos Medios
• 18 años + 14 años = 17 años + 15 años
32 años = 32 años
razones - proporciones - promedios

Editorial
5 Banco de ejercicios
Extremos Medios
• 18 años + 14 años = 15 años + 17 años
32 años = 32 años
De donde podemos concluir que en toda propor-
ción aritmética:
[suma de extremos] = [suma de medios]
Dependiendo del valor que asumen los términos
medios las proporciones aritméticas presentan dos
tipos.
A. Discreta. Cuando los valores de los términos
medios son diferentes.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética con las altu-
ras de 4 árboles y que son: 25 m; 18 m; 42 m y
35 m.
Resolución:
Debemos comparar las alturas de dichos ár-
boles mediante una resta.
25 m - 18 m = 7 m a la vez 42 m - 35 m = 7 m
Como el valor de cada razón es el mismo pode-
mos establecer: 25 m - 18 m = 42 m - 35 m
que es una proporción aritmética discreta.
Convencionalmente se asumen los términos
de la proporción aritmética en el orden como
se presentan en el problema:
1.er
término
c m -
2.o
término
c m =
3.er
término
c m -
4.o
término
c m
Ejemplo:
Halle la cuarta diferencial de los precios de
tres artículos que son: S/.50, S/.34 y S/.29.
Resolución:
La cuarta diferencial es el cuarto término en la
proporción: 50 - 34 = 29 - c; c = 13, enton-
ces 13 es la cuarta diferencial de 50; 34 y 29.
B. Continua. Cuando los valores de los términos
medios son iguales.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética continua con los
volúmenes de 4 recipientes y que son 19 cm3
,
15 cm3
y 11 cm3
.
Resolución:
Podría ser:
19 cm3
- 15 cm3
= 15 cm3
- 11 cm3
ya que generalmente se asume el orden en
que se dan los términos.
Recuerde:
Proporción aritmética
Discreta
“a excede a b como c excede a d”
Extremos
a - b = c - d
Medios
d: cuarta diferencial de a, b y c
Continua
Extremos
a - b = b - c
Medios
b: media diferencial de a y c
c: tercera diferencial de a y b
Proporción geométrica. Es aquella que se forma
al igualar los valores numéricos de dos razones
geométricas.
b
a
d
c
k
= =
Ejemplo:
Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son
24 L, 6 L, 16 L y 4 L las cuales se comparan me-
diante la división del siguiente modo:
L
L
L
L L
L
L
L
6
24 4
4
16
4
6
24
4
16
=
=
=
_
`
a
b
b
b
b
• 24 L y 4 L: términos extremos
• 6 L y 16 L: términos medios
Interpretación: la capacidad de 24 L es a la capaci-
dad de 6 L como la de 16 L es a la de 4 L.
Ejemplo:
Forme una proporción geométrica con las veloci-
dades de 4 automóviles y que son: 15 m/s; 20 m/s;
9 m/s y 12 m/s.

Editorial
aritmétiCa 6
Resolución:
I.
/
/
/
/
m s
m s
m s
m s
20
15
12
9
4
3
= =
Extremos: 15 m/s y 12 m/s
Medios: 20 m/s y 9 m/s
Valor de cada razón geométrica:
4
3
II.
/
/
/
/
m s
m s
m s
m s
15
20
9
12
3
4
= =
Extremos: 20 m/s y 9 m/s
Medios: 15 m/s y 12 m/s
Valor de cada razón geométrica:
3
4
Llevando los términos medios y extremos a
un solo miembro de la igualdad se obtiene lo
siguiente:
Extremos Medios
(15 m/s)(12 m/s) = (9 m/s)(20 m/s)
180 = 180
Extremos Medios
(20 m/s)(9 m/s) = (12 m/s)(15 m/s)
180 = 180
De donde podemos concluir que en toda pro-
porción geométrica:
[Producto de extremos] = [Producto de medios]
Dependiendo del valor que asumen los tér-
minos medios, las proporciones geométricas
presentan dos tipos:
A. Discreta. Cuando los valores de los términos
medios son diferentes:
b
a
d
c
=
Convencionalmente se asumen los términos
de la proporción en el orden como se presen-
tan en el problema:
.
.
.
.
2
1
4
3
término
término
término
término
o
er
o
er
=
^
^
^
^
h
h
h
h
Ejemplo:
Calcula la cuarta proporcional de las estaturas
de 3 estudiantes que son: 1,6 m; 1,2 m y 1,4 m
Resolución:
La cuarta proporcional es el cuarto término de
la proporción
,
, ,
x
1 2
1 6 1 4
= & x = 1,05 es la cuar-
ta proporcional.
B. Continua. Cuando los valores de los términos
medios son iguales.
b
a
c
b
=
Recuerde:
Proporción geométrica
Discreta Continua
b
a
d
c
=
d: cuarta proporcional
de a, b y c
b
a
c
b
=
b: media proporcional
de a y c.
c: tercera proporcional
de a y b.
Propiedad de la proporción geométrica. Al efec-
tuar las operaciones de adición y/o sustracción con
los términos de una razón en la proporción, estas
mismas operaciones se verifican con los términos
de la otra razón.
Si:
b
a
d
c
b
a b
d
c d
o
a
a b
c
c d
o
b
b a
d
d c
o
a b
a b
c d
c d
&
=
+
=
+ +
=
+
-
=
-
-
+
=
-
+
Serie de razones geométricas equivalentes
En algunas oportunidades nos encontraremos con
razones geométricas que tienen el mismo valor nu-
mérico, como:
; ; ;
5
10
2
7
14 2
3
6
2
6
12 2
= = = =
Las cuales pueden igualarse del siguiente modo:
5
10
7
14
3
6
6
12 2
= = = = , la cual es llamada serie de
razones geométricas equivalentes.
Donde:
10; 14; 6 y 12 son los antecedentes.
5; 7; 3 y 6 son los consecuentes.
2 es la constante de proporcionalidad.
Realicemos algunas operaciones con los términos:
•
5 7 3
10 14 6
15
30
2
+ +
+ +
= = •
5 6 3
10 12 6
8
16
2
+ -
+ -
= =
En ambos casos se observa que la constante de
proporcionalidad no ha variado lo cual nos induce a:
5
10
7
14
3
6
6
12
5 7
10 14
5 3
10 6
= = = =
+
+
=
-
-
=

Editorial
5 3 6
10 6 12
5 7 3 6
10 14 6 12
2
=
+ -
+ -
=
+ - -
+ - -
=
•
5 7 3
10 14 6
2 2 2 2
3
# #
# #
# #
= =
•
5 7 3 6
10 14 6 12
2 2 2 2 2
4
# # #
# # #
# # #
= =
Se puede observar que al multiplicar los antece-
dentes y consecuentes la constante de propor-
cionalidad se ve afectada de un exponente que
numéricamente es igual a la cantidad de razones
consideradas para la multiplicación.
Nota:
En general para n razones de igual valor nu-
mérico:
...
c
a
c
a
c
a
c
a
k
n
n
1
1
2
2
3
3
= = = =
Donde:
ai: antecedente; ci: consecuente
k: constante de proporcionalidad
Además:
a1 = c1 k
a2 = c2 k
a3 = c3 k
h
an = cn k
En el cual se cumplen las siguientes propiedades:
• ...
c
a
c
a
c
a
c
a
k
n
n
1
1
2
2
3
3
= = = =
...
...
c c c c
a a a a
k
n
n
1 2 3
1 2 3
+ + + +
+ + + +
=
Se cumple:
k
suma de consecuentes
suma de antecedentes
=
•
. . ...
. . ...
...
c c c c
a a a a
k
c
a
c
a
c
a
c
a
k
n
n n
n n n
n
n
n
n
1 2 3
1 2 3
1
1
2
2
3
3
=
= = = = =
c c c c
m m m m
Se cumple:
k
producto de consecuentes
producto de antecedentes n
=
Donde n es el número de razones que se
multiplican.
Propiedad:
En las siguientes series de razones geométricas:
•
12
8
18
12
27
18
= = •
54
81
36
54
24
36
16
24
= = =
se observa que el primer consecuente es igual al
segundo antecedente, el segundo consecuente
igual al tercer antecedente y así sucesivamente. A
este tipo de serie se le denomina: serie de razones
geométricas continuas equivalentes.
En general:
b
a
c
b
d
c
e
d
k
= = = =
a ek
b ek
c ek
d ek
4
3
2
=
=
=
=
Z
[

]
]
]
]
]
Promedio
Dado un conjunto de datos es frecuente calcular un
valor referencial (que represente a dichos datos)
cuyo valor se encuentra comprendido entre los va-
lores extremos (mínimo y máximo dato) o es igual
a uno de los extremos y se le denomina promedio.
En general: para n datos a1 # a2 # ... # an
se tiene que:
a1 # promedio # an
• Promedio aritmético o media aritmética (MA)
Ejemplo:
Calcular el promedio aritmético de las tempe-
raturas de 5 ciudades y que son: 14°; 13°; 11°;
12°; 15°.
Resolución:
° ° ° ° ° °
13°
MA
5
14 13 12 11 15
5
65
=
+ + + +
= =
Es el más sencillo y ya lo habíamos trabajado
en el ejemplo anterior:
MA
cantidad de datos
suma de datos
=
...
MA
n
a a a an
1 2 3
=
+ + + +
Para determinar la variación que experimenta
el promedio aritmético de un conjunto de da-
tos solo es necesario considerar el incremen-
to o disminución en la suma de los datos.

Editorial
aritmétiCa 8
del
cantidad de datos
variación
promedio
incremento o disminución
en la suma de los datos
=
c m
Cuando de un conjunto de datos se conoce su
promedio implícitamente ya se tiene la suma
de los datos.
MA (n datos) = k & suma (n datos) = n(k)
• Promedio ponderado
Datos: a1 a2 a3 ... ak
Pesos: P1 P2 P3 ... Pk
promedio
ponderado
=
...
...
P P P P
a P a P a P a P
k
k k
1 2 3
1 1 2 2 3 3
+ + + +
+ + + +
• Promedio geométrico o media geométrica
(MG). Es un promedio que permite promediar
índices y tasas de crecimiento y el procedi-
miento para calcularlo es:
MG =
cantidad
de datos
producto de los datos
...
MG a a a an
n
1 2 3
# # # #
=
• Promedio armónico o media armónica (MH).
Es la inversa del promedio aritmético de los
recíprocos de los datos:
MH
suma de las inversas de los datos
cantidad de datos
=
...
MH
a a a a
n
1 1 1 1
n
1 2 3
=
+ + + +
• Mediana (Me). Es un promedio que represen-
ta el punto medio de los datos para determi-
narlo el procedimiento es el siguiente:
Se ordenan los datos en forma creciente o de-
creciente.
– Si el número de datos es impar, la media-
na es el dato central.
– Si el número de datos es par, la media-
na es el promedio aritmético de los datos
centrales.
• Moda (Mo). Es el valor más frecuente o el que
más se repite en un conjunto de datos.
Propiedades (MA, MG y MH)
1. Para un conjunto de datos no iguales se tiene
que:
MH 1 MG 1 MA
Cuando los datos son iguales se cumple que:
MH = MG = MA
2. Siempre para dos datos a y b se cumple que:
(MA)(MH) = (MG)2
Para dos números:
MA(a; b) =
a b
2
+
MG(a; b) = ab
MH(a; b) =
a b
a b
ab
1 1
2 2
+
=
+
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se
aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se ob-
tienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor?
Resolución:
Por dato:
( )
( )
b
a a k menor
b k mayor
5
2 2
5
&
=
=
=
Además: 2k + 175 = 5k + 115
60 = 3k & k = 20
Luego: menor = 2k = 40
2. El producto de los cuatro términos de una
proporción geométrica es 50 625. Sabiendo
que los medios son iguales y que uno de los
extremos es 75, indicar la suma de los cuatro
términos de la proporción.
Resolución:
Sea la proporción:
b d
b
k
75
= =
Por dato: (75)(d)(b)(b) = 50 625
S
b2
Entonces: b4
= 154
& b = 15
Además por propiedad:
(75)(d) = (15)(15) & d = 3
Luego: 75 + 2b + d = 108

Editorial
•
F
V
600
600
7
8
-
-
=
Por propiedad de proporciones:
F
F V
F
F F
600 7
1
600
2 300
7
1
&
-
-
=
-
- -
=
^ h
-7F + 2100 = 600 - F
1500 = 6F & F = 250; V = 200
Cambian de opinión: 150
6. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de
una proporción continua si la suma de sus cua-
tro términos es 36 y la razón entre la suma y
diferencia de los dos primeros términos es 3?
Resolución:
Sea la proporción:
b
a
d
b
k
= =
a + 2b + d = 36 ...(1)
a b
a b
-
+ = 3, de aquí por propiedad de propor-
ciones: 2
b
a
&
= a = 2b
Reemplazando en la proporción:
2
b
b
k k
2
&
= =
Luego en (1):
2b + 2b +
b
2
= 36 b
2
9
36
& =
b = 8; a = 16 y d = 4
` a - d = 12
7. El promedio de 50 números es 38; siendo 45 y
55 dos de los números. Eliminando estos dos
números, hallar el promedio de los restantes.
Resolución:
Vamos a convenir que: MAn =
n
Sn
Entonces en el problema:
S
S
50
38 1900
50
50
&
= =
Como dos de los números son 45 y 55; quedan:
S48 = 1900 - (45 + 55) & S48 = 1800
Luego: MA48 = 37,5
8. Se tienen 4 números enteros y positivos, se
seleccionan 3 cualesquiera de ellos y se cal-
cula su media aritmética, a la cual se agrega
el entero restante, esto da 29, repitiendo el
3. El jardinero A planta rosas más rápidamente
que el jardinero B en la proporción de 4 a 3.
Cuando B planta x rosas en 1 hora. A planta
x + 2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4
horas?
Resolución:
Por dato:
B
A A t
B t
3
4 4
3
&
=
=
=
Además en 1 hora
2 + x = 4t
4 & x = 6

x = 3t
Luego, B en 4 horas planta:
6(4) = 24 rosas.
4. La razón de 2 números es 3/4 y los 2/3 de su
producto es 1152. Encontrar el mayor de los
dos números.
Resolución:
Sean a y b los números:
b
a
a b
4
3
4
3
&
= =
1152
ab
3
2
= & 1152
b b
3
2
4
3
=
c m
b
2
1152
2
= & b2
= 2304 = 482
& b = 48 (mayor) / a = 36 (menor)
` b = 48
5. Un asunto fue sometido a votación de 600
personas y se perdió; habiendo votado de
nuevo las mismas personas sobre el mismo
asunto, fue ganado el caso por el doble de
votos por el que se había perdido la primera
vez, y la nueva mayoría fue con respecto a la
anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas
cambiaron de opinión?
Resolución:
A favor En contra
Diferencia
de votos
1.a
vot. F 600 - F 600 - 2F
2.a
vot 600 - V V 600 - 2V
Por dato:
• 600 - 2V = 2(600 - 2F)
600 - 2V = 1200 - 4F
4F - 2V = 600
2F - V = 300 & V = 2F - 300

Editorial
aritmétiCa 10
proceso 3 veces más se obtienen como resul-
tados 23, 21 y 17. Hallar uno de los enteros
originales.
Resolución:
Sean a, b, c y d los números:
a b c
3
+ + + d = 29 ...(1)
b c d
3
+ + + a = 23 ...(2)
a b d
3
+ + +c = 21 ...(3)
a c d
3
+ + +b = 17 ...(4)
Sumando miembro a miembro:
a b c d
3
3 + + +
^ h
+ (a + b + c + d) = 90
a + b + c + d = 45
En (1):
a b c
3
+ + = 29 - d
45 - d = 87 - 3d & d = 21
En (2): a = 12; en (3): c = 9; en (4): b = 13
9. Hallar dos números tales que su media arit-
mética sea 18,5 y su media geométrica 17,5.
Resolución:
Sean a y b los números.
MA(a; b)
a b
2
=
+ = 18,5 & a + b = 37
MG(a; b) = ab = 17,5 & a # b = 306,25
Debemos buscar dos números que multiplica-
dos den 306,25 y sumados 37.
Así, de: a # b = 306,25
a # b = 24,5 # 12,5
Los números son: 24,5 y 12,5
10. Tres números enteros a, b y c, tienen una
media aritmética de 5 y una media geométri-
ca de 120
3 . Además, se sabe que el produc-
to bc = 30. Hallar la media armónica de estos
números.
Resolución:
Por dato:
MA =
a b c
a b c
3
5 15
&
+ +
= + + =
120
MG abc abc
120
3 3
&
= = =
De donde: a(30) = 120; (bc = 30)
& a = 4
Luego:
b + c = 11
bc = 30
b = 5; c = 6
0
b = 6; c = 5
&
MH(a; b; c) =
. . .
20 24 30
3 4 5 6
37
180
74
360
+ +
= =
11. El peso promedio de todos los estudiantes de
una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes
de la clase B es 71,2. Si el peso promedio de
ambas clases combinadas es 70 y el número
de estudiantes en la clase B excede a la de A
en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B?
Resolución:
Sea n el número de estudiantes en B y n - 16
el número de estudiantes en A:
.
, ,
70
n
n n
2 16
71 2 68 4 16
Prom
& =
-
+ -
=
^ h
139,6n - 1094,4 = 140n - 1120 & n = 64
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
1. Dada la siguiente serie de razones geométri-
cas equivalentes:
a
b
c
d
27
70
15
14
= = =
además: b - d = 24. Hallar: a + b + c + d
a) 126 b) 134 c) 143
d) 162 e) 146
2. Si:
b
a
c
b
d
c
= = y además:
(a2
+ b2
+ c2
)(b2
+ c2
+ d2
) = 4900
Hallar: 3(ab + bc + cd)
a) 70 b) 280 c) 35
d) 120 e) 210
3. Dado la siguiente serie: ;
b
a
d
c
e
d
k
= = = k ! Z+
Además: c +e = 15; b +d = 14
Calcular: (a + b + c)

Editorial
a) 25 b) 30 c) 36
d) 42 e) 28
4. En una proporción geométrica continua se
sabe que la diferencia de los extremos es 40
y la suma de sus términos es 100. Calcular la
media aritmética de los extremos e indicar la
suma de sus cifras.
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 8
5. En una proporción geométrica continua la
suma de los extremos es 75 y la diferencia de
los mismos es 21. Calcular la media propor-
cional.
a) 18 b) 30 c) 24 d) 36 e) 32
6. En una proporción continua, la suma de los
extremos es 73 y la suma de los cuadrados
de los extremos es 4177. Determine la media
proporcional.
a) 18 b) 22 c) 24 d) 28 e) 32
7. Hallar el valor de b si: a b c
5 7 8
= = y
a + 2b + 3c = 430
a) 90 b) 30 c) 105
d) 35 e) 70
8. La razón de 2 números es 3/4 y los 2/3 de su
producto es 1152. Encontrar el mayor de los 2
números.
a) 36 b) 48 c) 50
d) 60 e) 72
9. Si:
C P V
5 12 13
= = y C P 78
2 2
+ =
hallar: C + P + V
a) 180 b) 240 c) 270
d) 300 e) 210
10. Sabiendo que:
a b c d
12 27 48 75
2 2 2 2
= = =
donde (d + b) - (c + a) = 143
Hallar: a + b + c + d
a) 101 b) 10 010 c) 1001
d) 111 e) 1010
11. La suma de tres números es 650. Esta suma
es a la diferencia del primero con el último
como 50 es a 9 y esta misma suma es a la di-
ferencia de los últimos como 25 es a 1. Hallar
el mayor de los números.
a) 295 b) 169 c) 195
d) 286 e) 210
12. La anchura de una alfombra rectangular es a
su largo como 2 es a 3. Si se le corta por los
4 costados una tira de 10 cm de ancho, la su-
perficie disminuye en 56 dm2
. Diga cuál es el
largo de la alfombra.
a) 21 dm b) 12 dm c) 15 dm
d) 18 dm e) 28 dm
13. Para envasar 15 000 litros de aceite se dispo-
ne de botellas de 1/2 litro, 1 litro, 5 litros. Por
cada botella de 5 litros hay 10 de un litro y 20
de medio litro. Al terminar de envasar el acei-
te, no sobra ninguna botella vacía. ¿Cuántas
botellas había en total?
a) 18 000 b) 30 000 c) 18 600
d) 27 000 e) 240
14. Se tiene una serie de razones geométricas
continuas equivalentes, donde cada conse-
cuente es el triple de su antecedente; además
la suma de sus extremos es 488. Dar como
respuesta el mayor término.
a) 486 b) 242 c) 345
d) 620 e) 70
15. El número de niños y niñas en una fiesta in-
fantil está en la relación de 2 a 5. Si al cabo de
2 horas llegan 10 parejas y 6 niños, la nueva
relación sería de 4 a 7. Hallar el número de
asistentes.
a) 96 b) 121 c) 84
d) 91 e) 110
16. Hace 8 años la razón de las edades de dos
hermanos era 2/5 y dentro de 12 años la razón
sería 4/5. Hallar la edad del menor de los her-
manos.
a) 16 b) 18 c) 15 d) 9 e) 12

Editorial
aritmétiCa 12
17. La razón de x a y es 343 veces la razón de y2
a x2
; hallar la razón de x a y.
a) 5/1 b) 5/2 c) 6/1
d) 7/2 e) 7/1
18. En una urna se tienen 400 bolas, de las cua-
les 160 son blancas y las restantes, negras.
¿Cuántas blancas se deben añadir para que
por cada 2 negras haya 3 bolas blancas?
a) 200 b) 240 c) 100
d) 120 e) 0
19. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de
una proporción geométrica continua, si la
suma de sus cuatro términos es 32 y la razón
entre la suma y diferencia de los dos primeros
términos es 2?
a) 9 b) 14 c) 10 d) 16 e) 12
20. En una proporción geométrica continua, el pri-
mer término es 1/9 del cuarto término. Si la
suma de los medios es 72, hallar la diferencia
de los extremos.
a) 60 b) 90 c) 72 d) 96 e) 84
1. b 5. d 9. a 13. b 17. e
2. e 6. c 10. c 14. a 18. a
3. c 7. e 11. d 15. e 19. d
4. c 8. b 12. d 16. e 20. d
Claves
1. El promedio de 5 números es 85. Se conside-
ra un sexto número y el promedio aumenta en
15. Hallar el sexto número.
a) 155 b) 165 c) 175
d) 170 e) 185
2. En un salón de clase, a alumnos tienen 14
años, b alumnos tienen 11 años y c alumnos
tienen 13 años. Si el promedio de todos es 12
años, hallar a.
a) 2b - a b) b - 2a c) 2b
d) a - b e) a + b
3. El promedio aritmético de los cuadrados de 2
números consecutivos es 380,5. Hallar el me-
nor de ellos.
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
4. Un estudiante de una academia ha obtenido
13; 14; 16; 12 y a en sus 5 exámenes, además
el último tiene doble peso que los otros. Deter-
mina el valor de a si el promedio ponderado
es 13,5.
a) 12 b) 12,5 c) 13
d) 13,5 e) 14
5. El promedio de 50 números es 30. Si se re-
tiran 5 números cuyo promedio es 48. ¿En
cuánto disminuye el promedio?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
6. El promedio de las edades de 5 hombres es
28 años, además ninguno de ellos es menor
de 25 años. ¿Cuál es la máxima edad que po-
dría tener uno de ellos?
a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44
7. La suma de 2 números es 18 y sus promedios
aritmético y armónico son consecutivos. Halla
la diferencia de dichos números.
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15
8. El doble del promedio aritmético de 2 nú-
meros es igual al cuadrado de su promedio
geométrico más 1. Si uno de los números es
120. ¿Cuál es el otro?
a) 120 b) 60 c) 30 d) 4 e) 1
9. El promedio armónico de 40 números es 16 y
el de otros 30 números es 12. Halle el prome-
dio armónico de los 70 números.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
10. El mayor promedio de 2 números es 100,
mientras que su menor promedio es 36. Hallar
la diferencia de dichos números.
a) 180 b) 160 c) 140
d) 120 e) 182

Editorial
11. El promedio armónico de 3 números es
180/37, uno de los números es 5 y el prome-
dio geométrico de los otros 2 números es 6.
Dar como respuesta el menor de estos 3 nú-
meros.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 12
12. El promedio geométrico de 2 números es 12 y
la suma de sus promedios, aritmético y armóni-
co es 26. ¿Cuál es la suma de dichos números?
a) 40 b) 18 c) 32
d) 36 e) 20
13. La media aritmética de 5 números es 120. Si
le agregamos 5 nuevos números la MA queda
aumentada en 80. ¿Cuál es la MA de los 5
números?
a) 200 b) 240 c) 280
d) 320 e) 360
14. La media aritmética de 2 números es 20,5 y la
media geométrica es 20. Hallar el menor nú-
mero.
a) 20,5 b) 11,5 c) 16
d) 11 e) 18
15. La media aritmética de 3 números es 13/3, la
media geométrica de los mismos es igual a
uno de ellos y su media armónica es igual a
27/13. ¿Cuál es uno de los números?
a) 9 b) 8 c) 72
d) 6 e) 10
16. Un ciclista viaja de A hacia B a 60 km/h, y re-
gresa por el mismo camino a 30 km/h. Hallar
la velocidad media de su recorrido total.
a) 50 km/h b) 4 km/h c) 40 km/h
d) 35 km/h e) 30 km/h
17. ¿Cuántas horas emplea un móvil para reco-
rrer 480 km. Viajando a una velocidad media
de 60 km/h, si hace 3 paradas de 15 minutos.
a) 8,15 h b) 8,45 h c) 8,50 h
d) 8,75 h e) 8,90 h
18. Hallar la suma de dos números que se dife-
rencian en 24, y además la diferencia que
existe entre su MG y MA es 6.
a) 24 b) 26 c) 28
d) 30 e) 32
1. c 5. c 9. c 13. c 17. d
2. b 6. a 10. b 14. c 18. d
3. d 7. a 11. c 15. a
4. d 8. e 12. d 16. c
Claves

Editorial
MAGNITUD
Se entiende como magnitud, para nuestro estu-
dio, a todo aquello que experimenta cambios o
variación, el cual puede ser medido o cuantificado
(magnitud matemática).
Cantidad
Es un estado particular de la magnitud en un deter-
minado momento de análisis, el cual resulta de me-
dir (cuantificar) la variación, expresado en ciertas
unidades de medida. Si tiene unidades se dice que
es concreta, si carece de unidades es abstracta.
RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES
Dos magnitudes son proporcionales cuando al va-
riar uno de ellos entonces la otra también varía en
la misma proporción.
MAGNITUDESDIRECTAMENTEPROPORCIONALES(DP)
Ejemplo:
En un determinado momento Lolo coloca 5 estacas
de diferentes alturas y luego procede a medir la
sombra que proyecta cada una de ellas, todo ello
lo anota en la siguiente tabla.
Sombra proyectada (cm) 4 6 12 36 48
Altura de cada estaca (cm) 2 3 6 18 24
Resolución:
Intuitivamente se puede afirmar que a mayor altura
de la estaca, mayor sombra proyectada. Esta afir-
mación, matemáticamente se puede expresar así:

DOWXUD FP
VRPEUD
FP
Valor de la altura
Valor de la sombra
2
4
3
6
6
12
= = =
18
36
24
48
2
= = = (constante)
Donde los puntos corresponden a una recta que
pasa por el origen de coordenadas, la cual presen-
ta una inclinación respecto al eje horizontal (lla-
mada pendiente) que numéricamente es igual a la
razón geométrica de los valores correspondientes
a las magnitudes.
Podemos observar que las magnitudes sombra
proyectada y altura de las estacas cumplen que el
cociente de sus valores correspondientes es cons-
tante y que su gráfica es una recta.
Cuando 2 magnitudes cumplen estas 2 condicio-
nes les llamaremos magnitudes directamente pro-
porcionales. De aquí podemos mencionar que si
los valores de las magnitudes aumentan (o dismi-
nuyen) en la misma proporción son directamente
proporcionales.
En general para dos magnitudes A y B estas se
relacionan en forma directamente proporcional si
el cociente de sus valores correspondientes es una
constante.
Notación: valor de (A)
A DP B
Valor de B
Valor de A
constante
=
^
^
h
h
A a B
B
A = k
• La gráfica de dos magnitudes DP, son puntos
que pertenecen a una recta que pasa por el
origen de coordenadas.
• En cualquier punto de la gráfica (excepto el
origen de coordenadas) el cociente de cada
par de valores resulta una constante.
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
(IP)
Ejemplo:
Una empresa constructora estudia, el tiempo que
emplea un grupo de obreros para realizar una obra
(todos los obreros rinden igual) y estos son los da-
tos obtenidos:
n.° de obreros 10 20 24 30 40 50
Tiempo (días) 60 30 25 20 15 12
Se observa cuando hay más obreros menos tiem-
po se emplea. El comportamiento de los valores
es inverso, esto lleva a señalar que la magnitud
obreros y tiempo son inversamente proporciona-
les. Además de ello se tiene que:
10(60) = 20(30) = 24(25) = 30(20) = 40(15)
= 50(12) = 600
magnitudes proporcionales

Editorial
De donde:
Valor de
obreros
Valor del
tiempo
c f
m p = constante (obra a realizar)
Gráficamente:
tiempo (días)

1ƒGHREUHURV
Cada sector rectangular que se genera con un
punto de la gráfica y los ejes tienen la misma su-
perficie y que físicamente corresponde a la obra
realizada.
En general, dos magnitudes A y B son inversamen-
te proporcionales si el producto de sus valores co-
rrespondientes es constante.
Notación:
A(IP)B (valor de A)(valor de B) = constante
.
A B A B k
1
a
=
c m
• La gráfica de dos magnitudes IP, son puntos
que pertenecen a una rama de una hipérbola
equilátera.
• En cualquier punto de la gráfica el producto de
cada par de valores correspondientes resulta
una constante.
Propiedades
Cuando se tienen más de 2 magnitudes como A,
B, C y D se analizan dos a dos, tomando a una de
ellas como referencia para el análisis y mantenien-
do a las otras en su valor constante.
• A DP B (C y D constantes)
• A IP C (B y D constantes)
• A DP D (B y C constantes)
BD
AC
constante
=
• A DP B = B DP A
• A IP B = B IP A
• A IP B A DP
B
1
• A DP B An
DP Bn
• A IP B An
IP Bn
1. Una rueda A de 80 dientes engrana con otra
rueda B de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra
rueda C de 15 dientes que engrana con una
rueda D de 40 dientes. Si A da 120 vueltas por
minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda D?
Resolución:
Graficamente, las ruedas están dispuestas
como sigue:
$
%

'

Nota:
Si la rueda tiene menos dientes, da más
vueltas; lo que indica que:
(N.° de dientes)(N.° de vueltas) = k (IP)
Así, en un minuto:
1.° 80(120) = 50(N.° VB) N.° VB = 192
2.° Pero N.° VB = N.° VC = 192 (tiene el mismo
eje)
3.° 15(192) = 40(N.° VD) N.° VD = 72
2. Según la ley de Boyle, la presión es inversa-
mente proporcional al volumen que contiene
determinada cantidad de gas. ¿A qué presión
está sometido un gas si al aumentar esta pre-
sión en 2 atmósferas, el volumen varía en un
40%?
Resolución:
P: presión; V: volumen
Observación:
Si la presión aumenta; entonces el volumen
disminuye, pues son IP.

Editorial
aritmétiCa 16
Así: P # V = k (constante)
P # V = (P + 2)
100
60
# V
10P = 6P + 12
4P = 12 P = 3 atmósferas
3. Dos cantidades son inversamente proporcio-
nales a una tercera. ¿Cómo son entre sí estas
cantidades?
Resolución:
Sean A y B las magnitudes y C una tercera
magnitud.
Por dato: C IP B y C IP A
Por propiedad: C IP (A # B)
Por lo tanto:
C # A # B = k (constante)
` Son inversamente proporcionales.
4. Un tendero hurta en el peso empleando una
balanza de brazos desiguales que miden
22 cm y 20 cm. Una mujer compra 4,4 kg de
azúcar y el tendero pone las pesas sobre el
platillo correspondiente al brazo menor de la
balanza. La mujer compra otros 4,4 kg del
mismo artículo y obliga al comerciante a po-
ner las pesas en el otro platillo. En los 8,8 kg
¿cuánto dio de más o menos el tendero?
Resolución:

3

P(20) = 4,4(22) P = 4,84 kg
Al colocar las pesas en el brazo menor nece-
sita más azúcar para equilibrar.
Entrega de más: 0,44 kg

3

4,4(20) = 22 # P P = 4 kg
Entrega 0,4 kg menos; luego en los 8,8 kg en-
trega:
0,44 - 0,40 = 0,04 kg = 40 g más
5. Una persona dispone de un capital de 584 250
soles que lo ha dividido en tres partes para im-
ponerlas al 2%, al 4% y al 5% respectivamente.
Sabiendo que todas las partes le producen igual
interés. ¿Cuál es la parte impuesta al 4%?
Resolución:
Si los intereses son iguales; entonces los ca-
pitales son IP a las tasas
C1 # 2 = C2 # 4 = C3 # 5
Multiplicando por
20
1 tenemos:
C C C
2
20
1 4
20
1 5
20
1
1 2 3
# # # # # #
= =
C C C
k k
C C C
10 5 4 10 5 4
1 2 3 1 2 3

= = = =
+ +
+ +
k =
19
584 250
= 30 750
Luego, la parte impuesta al 4% es:
C2 = 5 # 30 750 = 153 750 soles
1. A es directamente proporcional a la raíz cua-
drada de B e inversamente proporcional al
cuadrado de C. Cuando A es 8, B es 16 y C es
6. Calcular el valor de B cuando A sea 9 y C
sea 4.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
2. Se tienen las magnitudes A; B; C y D tales que
A es DP a B; A es IP a C; A es IP a D. Cuando
A = 5; B = 2C y D = 2, hallar el valor de A
cuando B = 48; C = 2 y D = 3.
a) 36 b) 35 c) 40 d) 45 e) 32
3. Se sabe que una magnitud A es inversamente
proporcional a B. Hallar el valor de A sabiendo
que si disminuye en 36 unidades el valor de B
varía en un cuarto.
a) 24 b) 36 c) 180 d) 60 e) 48
4. X varía en razón directa a Y e inversa al cua-
drado de Z. Cuando X es 10, Y es 4 y Z es 14.
Hallar el valor de X cuando Y sea 16 y Z sea 7.
a) 180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120

Editorial
5. A es directamente proporcional al cuadrado de B
e inversamente proporcional a la raíz cúbica de
C. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye
en sus 26/27, ¿qué sucede con el valor de A?
a) Se multiplica por 12
b) Disminuye en 1/11 de su valor
c) Aumenta en 1/11 de su valor
d) Se triplica
e) Se cuadruplica
6. A y B son directamente proporcionales. Cuan-
do el valor inicial de B se triplica, el valor de
A aumenta en 10 unidades. Cuando el nuevo
valor de B se divide entre 5, ¿cómo varía el
valor de A respecto al inicial?
a) Aumenta en 15 b) Disminuye en 10
c) Disminuye en 12 d) Disminuye en 2
e) No se altera
7. A y B son inversamente proporcionales con
constante de proporcionalidad igual a k. ¿Cuál
es este valor si la constante de proporcionali-
dad entre la suma y diferencia de A y 1/B es 6?
a) 6/5 b) 7/5 c) 2 d) 7 e) 6/7
8. Sea F una función de proporcionalidad, tal
que: F(4) + F(6) = 20
Hallar el valor del producto:
F
7
31
^ h
F(7) F(3)
a) 372 b) 744 c) 558
d) 704 e) 1488
9. El consumo es directamente proporcional a su
sueldo. El resto lo ahorra, un señor cuyo suel-
do es $560 ahorra $70. Si recibe un aumento,
consume $910. ¿De cuánto es el aumento?
a) $450 b) $480 c) $490
d) $560 e) $500
10. La figura muestra los engranajes W, I, L e Y
con 8; 12; 16 y 6 dientes cada uno respectiva-
mente. Si W da 18 vueltas por minuto, ¿cuán-
tas vueltas dará Y en 3 minutos?
:
,
/

a) 24 b) 48 c) 72
d) 96 e) 100
11. Una rueda A de 20 dientes engranada con otra
rueda B de 75 dientes. Fija al eje B, hay otra
rueda C de 35 dientes que engrana con otra
rueda D de 20 dientes. Si A da 60 vueltas por
minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D?
a) 24 b) 28 c) 36 d) 60 e) 21
12. Se tienen 2 magnitudes A y B; tales que A es
inversamente proporcional con B2
; si cuando
B aumenta en 25% el valor de A varía en 144
unidades. ¿En cuánto aumenta o disminuye
cuando B disminuye en 20%?
a) Aumenta (22%) b) Disminuye (22%)
c) Disminuye (10%) d) Aumenta (10%)
e) Aumenta (50%)
13. Si: A es DP a B2
(C = constante); C es DP a
A (B = constante). Sea la tabla:a
A 4 x
B 2 1/2
C 1 1/2
hallar x.
a) 1/4 b) 1/8 c) 1/16
d) 1 e) 1/64
14. Si A es IP a B2
; A es DP a D y D es IP a C ,
hallar x de la siguiente tabla.
A 2 4
B 2 x
C 9 4
D 4 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 12
1. d 5. a 9. b 13. c
2. c 6. d 10. d 14. b
3. c 7. b 11. b
4. b 8. b 12. a
Claves

Editorial
Como aplicación de la proporcionalidad consiste
en repartir una cantidad en partes directa o inver-
samente proporcionales a ciertas cantidades que
llamaremos indicadores.
Problema general
Repartir S en partes P1; P2; ...; Pn que sean DP a
b1; b2; ...; bn. Determinar cada una de las partes.
Resolución:
Partes: P1; P2; ...; Pn S = P1 + P2 + ... + Pn
Indicadores: b1; b2; ...; bn
Por dato: P1; P2; ...; Pn DP b1; b2; ...; bn
...
b
P
b
P
b
P
n
n
1
1
2
2
= = = = k (constante de proporcionalidad)
Por propiedad: k =
...
...
b b b
P P P
n
n
1 2
1 2
+ + +
+ + +
k =
S
S
i
Si: suma de indicadores
Luego: P1 = b1k; P2 = b2k; Pn = bnk
Ejemplos:
1. Repartir 25 200 en partes DP a 5; 7 y 9. Deter-
minar cada una de las partes.
Resolución:
Sean las partes:
A; B y C S = A + B + C = 25 200
Del dato: A; B; C DP 5; 7; 9
Si = 5 + 7 + 9 = 21
k =
21
25 200
k = 1200
Luego: A = 5.(1200) = 6000
B = 7.(1200) = 8400
C = 9.(1200) = 10 800
2. Repartir 12 600 en partes IP a 1/4; 1/7 y 1/10.
Dar como respuesta la menor de las partes.
Resolución:
Partes: A; B y C S = A + B + C = 12 600
Usando propiedad:
A IP A DP
4
1 4

B IP B DP
7
1 7

C IP C DP
10
1 10

Luego: Si = 4 + 7 + 10 = 21
600
k k
21
12 600

= =
Por tanto, la menor de las partes es:
A = 4(600) = 2400
3. Repartir 252 800 en partes DP a 3; 4 y 6 e IP
a 5; 5 y 7. Determinar la diferencia entre la
mayor y menor de las partes.
Resolución:
Partes: A; B y C S = A + B + C = 252 800
Como: A; B; C IP 5; 5; 7
A; B; C DP ; ;
5
1
5
1
7
1
MCM (5; 7) = 35; luego:
A DP 3 / A DP A DP
5
1
5
3
.35 = 21
B DP 4 / B DP B DP
5
1
5
4
.35 = 28
C DP 6 / C DP C DP
7
1
7
6
.35 = 30
Si=21+28+30=79 k
79
252 800
3200
= =
Por lo tanto, la diferencia entre la mayor y me-
nor parte es:
C - A = 30k - 21k = 9(3200) = 28 800
REGLA DE COMPAÑÍA
En este caso se reparten las ganancias (G) o pér-
didas directamente proporcionales a los capitales
(C) aportados y los tiempos (T) de imposición de
cada uno de los socios, respectivamente.
Es decir:
G DP C (T constante) y G DP T (C constante)
G DP C.T
CT
G
= k (constante)
En general: ...
C T
G
C T
G
C T
G
k
n n
n
1 1
1
2 2
2
= = = =
En particular, si:
1. ...
C C Cn
1 2
= = = , entonces:
...
T
G
T
G
T
G
n
n
1
1
2
2
= = = = k1
REPARTO PROPORCIONAL

Editorial
2. T1 = T2 = ... = Tn, entonces:
...
C
G
C
G
C
G
k
n
n
1
1
2
2
2
= = = =
1. Dos pastores que llevan 5 y 3 panes respecti-
vamente, se encuentran con un cazador ham-
briento y comparten con este los 8 panes en
partes iguales. Si el cazador pagó S/.8,00 por
su parte. ¿Cómo deben repartirse los pasto-
res el dinero entre si?
Resolución:
Total de panes = 8
1.er
pastor tiene: 5
2.o
pastor tiene: 3
Como c/u de los 3 come 8/3
El 1.er
pastor ayuda con: 5
3
8
3
7
- =
El 2.º pastor ayuda con: 3
3
8
3
1
- =
Entonces el reparto se hace en forma DP a lo
que cada uno ayuda.
O sea: 1.° DP 7
2.° DP
1
S
k
8
1
8
8
i

=
= =
El primero recibe: 7 soles
y el segundo recibe: 1 sol
2. Repartir 154 en partes directamente propor-
cionales a 2/3; 1/4; 1/5; 1/6.
Resolución:
S = 154
Partes:
1.a
60 40
DP
3
2
# =
2.a
60 15
DP
4
1
# =
2
k
77
154
= =
3.a
60 12
DP
5
1
# =
4.a
60
DP
6
1
# =
S 77
10
i =
Observación: 60 = MCM (3; 4; 5 y 6)
Luego:
1.a
→ 80; 2.a
→ 30; 3.a
→ 24; 4.a
→ 20
3. Una persona dispuso en su testamento que
se entrega a 3 sobrinos suyos la cantidad
de S/.19 695 para que se repartan propor-
cionalmente a las edades que cada uno de
ellos tenga el día que falleciera. Uno de ellos
tenía 36 años el día que su tío falleció y le
correspondió S/.7020 pero renunció a ellos y
el reparto se hizo entre los otros 2, también
proporcionales a sus edades, por lo que a uno
de ellos le correspondió S/.2700 adicionales.
Calcular las edades.
Resolución:
Primer reparto (19 695)
DP
36 → 36 7020
a b
36
19 695
#
+ +
=
^ h
entonces: a + b = 65
Segundo reparto (7020)
DP
a → a #
65
7020
= 2700 a = 25
b = 40
` Las edades son: 36; 25 y 40
4. Un hombre decide repartir una herencia en
forma proporcional al orden en que nacieron
sus hijos. La herencia total es S/.480 000; adi-
cionalmente deja S/.160 000 para el mayor,
de tal modo que el primero y último hijo reci-
ban igual herencia. ¿Cuál es el mayor número
de hijos que tiene este personaje?
Resolución:
S = 480 000
Orden:
1.° 2.° 3.° ... n.°
mayor menor
Les toca: k; 2k; 3k; …; nk
De donde:
k + 2k + 3k + ...+ nk = 480 000
k #
n n
2
1
+
^ h
= 480 000 ...(1)

Editorial
aritmétiCa 20
Además, por dato:
k + 160 000 = nk (n - 1)k = 160 000 ...(2)
Dividiendo (1) ' (2):
n
n n
2 1
1
-
+
^
^
h
h
= 3 n2
+ n = 6n - 6
n2
- 5n + 6 = 0
(n - 3)(n-2) = 0 n1 = 3; n2 = 2
Mayor número de hijos = 3
5. Se reparte 738 en forma directamente pro-
porcional a dos cantidades de modo que ellas
están en la relación de 32 a 9. Hallar la suma
de las cifras de la cantidad menor.
Resolución:
Por condición del problema:
A = 32K
B
A
9
32

=
B = 9K
Entonces: A + B = 41K = 738
K = 18
Luego: A = 32(18) = 576
B = 9(18) = 162
Suma de cifras de menor cantidad:
1 + 6 + 2 = 9
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Efectuar el reparto de 7227 en forma inversa-
mente proporcional a 4; 8 y 12. Dar la diferen-
cia entre la mayor y menor de las partes que
se obtiene.
a) 2828 b) 2728 C) 2628
d) 2840 e) 2943
2. Se reparte una cantidad N en forma DP a los
números 2; 3; 5 y 7. La tercera cantidad repar-
tida (en orden ascendente) resultó 600. Hallar
la suma de las cifras de la cantidad total.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
3. Se desea repartir $7200 en partes DP a las
raíces cuadradas de los números 200; 392
y 288. Dar como respuesta la menor de las
partes.
a) $2000 b) $2800 c) $1200
d) $2400 e) $3200
4. Repartir 1240 DP a 2400
; 2401
; 2402
; 2403
y 2404
.
Hallar la suma de cifras de la mayor parte.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15
5. Repartir 648 en forma DP a 4 y 6 y a la vez en
forma IP a 3 y 9. Dar la diferencia de las partes
obtenidas.
a) 214 b) 215 c) 216
d) 217 e) 218
6. El profesor de aritmética decidió premiar a
sus mejores alumnos regalándoles $9200 en
forma directamente proporcional al número de
problemas que resuelven de la guía. El prime-
ro resolvió 17 problemas, el segundo 15 y el
tercero 14. Indica cuánto le tocó al segundo.
a) 3000 b) 3400 c) 2800
d) 3500 e) 4000
7. Repartir 28 380 en partes IP a los números
2/7; 4/5; 6/7 y 12/15. Dar como respuesta la
menor de las partes.
a) 3000 b) 3400 c) 2800
d) 4620 e) 4000
8. Repartir 580 en partes DP a los números 6; 8
y 9 e IP a los números 5; 4 y 12, además DP
a los números 10; 7 y 4 indicar la diferencia
entre el mayor y la menor de las partes.
a) 180 b) 160 c) 200
d) 250 e) 220
9. Se reparten 1000 en tres partes inversamen-
te proporcionales a 183
; 64
y 242
. Dar como
respuesta una de las partes.
a) 144 b) 288 c) 576
d) 324 e) 162
10. Descomponer 304 000 en tres partes de ma-
nera que los 2/3 de la primera sea igual a los
5/6 de la segunda y los 4/9 de la segunda
igual a los 8/7 de la tercera. Dar como res-
puesta la menor parte.
a) 44 200 b) 44 400 c) 44 600
d) 44 800 e) 45 000

Editorial
11. Al repartir N en tres partes A, B y C de manera
que A es a B como 3 es a 4 y B es a C como
7 es a 3, se obtuvo como parte mayor 1400.
Calcular el valor de N.
a) 2000 b) 6400 c) 3050
d) 2300 e) 3250
12. Se reparte una herencia en forma proporcio-
nal a las edades de 3 personas y recibieron 6;
12 y 24 millones, respectivamente. ¿Cuánto le
habría tocado al segundo, si el reparto hubie-
ra sido inverso a sus edades?
a) 6 millones b) 12 millones
c) 24 millones d) 9 millones
e) 18 millones
13. Hallar tres números que sumen 472 y que sus
cuadrados sean proporcionales a 1/8; 1/50 y
1/98. Dar el mayor.
a) 180 b) 430 c) 120
d) 280 e) 320
14. Tres automovilistas deciden repartirse $3100
en forma proporcional a las velocidades de
sus vehículos. Si luego de una competencia
se observó que el primero de demoró 2 h,
el segundo 3 h y el tercero 5 h en llegar a la
meta. Hallar cuánto le tocó al primero.
a) 1500 b) 1200 c) 1300
d) 600 e) 900
15. Al repartir $76 700 en 3 partes DP a 3; 5 y
6 y DP a ; ,
y
72 128 200 respectivamen-
te. ¿Cuál es la diferencia entre las 2 mayores
partes?
a) 10 000 b) 11 000 c) 12 000
d) 13 000 e) 14 000
16. Una cantidad es repartida en forma proporcio-
nal a tres números y son 96; 32 y 24. ¿Cuál
habría sido la mayor de las partes; si el repar-
to se hubiera hecho en forma inversamente
proporcional a los mismos números?
a) 76 b) 42 c) 48 d) 72 e) 60
17. Las edades de siete hermanos son números
consecutivos. Si se reparte una cantidad de so-
les proporcionalmente a sus edades, el menor
recibe la mitad del mayor y el tercero 80 000
soles, ¿cuántos soles recibe el quinto?
a) 64 000 b) 72 000 c) 80 000
d) 100 000 e) 96 000
18. Dos agricultores tienen 4 y 3 hectáreas de
terreno que trabajarán en conjunto. Para con-
cluir más rápido contratan a un obrero que
cobra 70 soles. Se desea saber lo que cada
uno debe pagar al obrero, si al final los tres
trabajan igual.
a) 50 soles y 20 soles
b) 40 soles y 30 soles
c) 60 soles y 10 soles
d) 45 soles y 25 soles
e) 60 soles y 10 soles
1. c 5. c 9. b 13. d 17. d
2. c 6. a 10. d 14. a 18. a
3. a 7. d 11. c 15. d
4. a 8. e 12. b 16. a
Claves

Editorial
Es una aplicación de la proporcionalidad donde
al comparar dos o más magnitudes se determina
un valor desconocido. Se considera como magni-
tud dependiente a la magnitud que contiene a la
incógnita.
REGLA DE TRES SIMPLE (R3S)
Resulta de compararse dos magnitudes directa-
mente proporcionales o dos magnitudes inversa-
mente proporcionales.
R3SD. Sean A y B dos magnitudes DP.
Entonces
B
A = k, luego:
b
a
b
x
1
1
2
= (x, es incógnita) x
b
b
a
1
2
1
=
Disposición práctica:
Magnitudes:
Valores correspondientes
a b
x b
1 1
2
A B
x a
b
b
1
1
2
=
*
R3SI. Sean A y B dos magnitudes IP, entonces:
A # B = k, luego:
a1b1 = xb2 x = a1
b
b
2
1
Magnitudes:
a b
x b
1 1
2
A B
x a
b
b
1
2
1
=
*
Regla de tres compuesta (R3C)
Resulta de compararse más de dos magnitudes.
Se compara siempre la magnitud dependiente con
otra, independiente de las demás.
Sean A, B y C tres magnitudes, donde B es la mag-
nitud dependiente (contiene a la incógnita).
Consideremos A y B dos magnitudes DP
b
a
x
a
b
x
a
a
1
1 2
1 1
2

= = ...(1)
B y C dos magnitudes IP
b c xc
b
x
c
c
1 1 2
1 2
1

= = ...(2)
De (1) y (2):
b
x
a
a
c
c
x b
a
a
c
c
1 1
2
2
1
1
1
2
2
1

= =
c c c c
m m m m
Magnitudes:
DP
A B C
IP
a1
a2
b1
x
c1
c2
*
x b
a
a
c
c
1
1
2
2
1
= c c
m m
Nota:
Al compararse una magnitud que hace obra
(hombres, operarios, obreros, máquinas,
etc.) con la magnitud tiempo (días, horas,
h/d, minutos, etc.) siempre serán inversa-
mente proporcionales.
1. Una guarnición de 400 soldados situados en
un fuerte, tienen víveres para 180 días si con-
sume 900 gramos por hombre y por día. Si
recibe un refuerzo de 100 soldados pero no
recibirá víveres antes de 240 días, ¿cuál de-
berá ser la ración de un hombre por día para
que los víveres puedan alcanzarles?
Resolución:
Por regla de tres compuesta:
Soldados días Ración / día H
400 180 900
500 240 x
Luego: x = 900 #
500
400
240
180
#
x = 540 gramos
2. Se emplearon m obreros para ejecutar una
obra y al cabo de a días hicieron 1/n de aque-
lla. ¿Cuántos obreros hubo que aumentar
para terminar la obra en b días más?
Resolución:
obreros días obra
m a
n
1
m + x b
n
1 1
-
c m
REGLA DE TRES

Editorial
m + x = m #
b
a
n
n n
1
1
# #
-
^ h
x = m # ( 1)
b
a
n
b
m b
#
- -
x =
b
m (an - a - b)
3. Un contratista dice que puede terminar un tra-
mo de autopista en 3 días si le proporcionan
cierto tipo de máquinas; pero que con 3 má-
quinas adicionales de dicho tipo puede hacer
el trabajo en 2 días. Si el rendimiento de las
máquinas es el mismo. ¿Cuántos días em-
pleará una máquina para hacer el trabajo?
Resolución
Suponemos que inicialmente hay N máquinas
de dicho tipo; entonces:
máquinas días
N 3 N + 3 = N
2
3
#
N + 3 2
2N + 6 = 3N N = 6
Luego: máquinas días
6 3
1 x
x = 3
1
6
# x = 18
4. Quince obreros han hecho la mitad de un tra-
bajo en veinte días. En ese momento abando-
nan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tar-
darán en terminar el trabajo los obreros que
quedan?
Resolución:
Obreros días
15 20
10 x
x = 20 #
10
15
x = 30
5. Un reloj se adelanta minuto y medio cada 24
horas. Después de 46 días 21 horas 20 minu-
tos. ¿Cuánto se adelantó el reloj?
Resolución:
Expresando todo en horas, tenemos:
46 días 21 h 20 min /
3
3376
horas
Luego: tiempo (horas) adelanto mínimo
24
2
3
3
3376
x
x = min
3
211 / 1 h 10 min 20 s
6. Una obra debía terminarse en 30 días em-
pleando 20 obreros, trabajando 8 horas dia-
rias. Después de 12 días de trabajo, se pidió
que la obra quedase terminada 6 días antes
de aquel plazo y así se hizo. ¿Cuántos obreros
se aumentaron teniendo presente que se au-
mentó también en dos horas el trabajo diario?
Resolución:
Inicialmente debían hacer la obra en 30 días;
lo que indica que en un día hacen
30
1 ; entonces en 12 días hacen:
30
12
5
2
/
Faltando así: 1
5
2
5
3
- = , luego:
Obreros días h/d obra
20 30 8 1
20 + x 12 10 3/5
20 + x = 20
12
30
10
8
5
3
# #
#
20 + x = 24 x = 4
7. Un reloj marca la hora a las 0 horas de un cier-
to día; si se sabe que se adelanta 4 minutos
cada 12 horas. ¿Cuánto tiempo transcurrirá
para que nuevamente marque la hora exacta?
Resolución:
Si durante 12 horas adelanta 4 minutos, en-
tonces en un día adelanta 8 minutos.
Así: adelanto n.° días
8 1
720 x
x = 1 #
8
720
= 90 días
1. Si 64 obreros pueden construir una carretera
en 24 días, ¿cuántos obreros podrán hacer la
misma carretera en 48 días?

Editorial
aritmétiCa 25
a) 16 b) 24 c) 32
d) 36 e) 30
2. Carlos puede hacer un trabajo en 18 horas.
¿En qué tiempo podrá hacer un trabajo 1,4
veces más díficil?
a) 36,2 horas b) 43,2 horas
c) 25,2 horas d) 40,2 horas
e) 28,2 horas
3. 24 taladros en 8 horas pueden hacer 7680
agujeros. ¿Cuántos taladros en 9 horas de
trabajo podrán hacer 7200 agujeros?
a) 20 b) 18 c) 16 d) 24 e) 25
4. Por pintar una pared de 4,5 m por 3,6 m me
cobran $36. ¿Cuánto me cobrarán por pintar
tres paredes de 2,4 m por 7,5 m?
a) $90 b) $105 c) $108
d) $111 e) $120
5. Para su comercialización, la harina de trigo
se distribuye en cajas cúbicas de diferentes
dimensiones. Si una caja de 6 dm de arista,
conteniendo harina de trigo, cuesta 216 soles,
¿cuánto costará una caja de 8 dm de arista?
a) 288 soles b) 360 soles c) 464 soles
d) 512 soles e) 560 soles
6. Si a obreros pueden hacer una obra en b días
¿en cuántos días pueden hacer una obra de
triple dificultad, el doble de obreros, cada uno
de ellos de doble habilidad que los anteriores?
a) b
2
b) b
4
3
c) b
d) 2b e) 3b
7. A y B pueden hacer una obra en tres días. Si
A trabaja solo, se demora siete días. El primer
día solo trabajó B, y a partir del segundo día
los dos trabajaron juntos. La cantidad de días
que demoraron en hacer la obra es:
a) 2
7
5
b) 2
7
3
c) 4
3
1
d) 3
7
3
e) 3
7
5
8. Un grupo de 12 alumnos resuelve 120
problemas de Física en dos horas. ¿Cuántos
problemas resolverá otro grupo de ocho
alumnos, el doble de eficientes que los
anteriores, en cinco horas?
a) 136 b) 100 c) 480
d) 400 e) 800
9. Si ocho bolitas de 0,4 mm de radio pesan 256
gramos, con siete bolitas del mismo material
que los anteriores, pero con radio 0,6 mm,
¿qué peso tendrán?
a) 960 g b) 1000 g c) 1020 g
d) 1140 g e) 1180 g
10. Treinta obreros pueden hacer una obra en 48
días. Si 18 de ellos disminuyen su rendimiento
en su tercera parte, ¿en qué tiempo harían la
misma obra todo el grupo?
a) 60 b) 24 c) 36
d) 54 e) 72
11. Juan compra 15 kg de arroz para 18 días para
su familia que está compuesta de 5 personas
en total. Sin embargo, pasados 6 días llegan
3 familiares más. ¿Cuánto durará el arroz en
total?
a) 12 días b) 15 días c) 13,5 días
d) 10 días e) 12,5 días
12. Si Manuel puede hacer 24 problemas en tres
horas, ¿cuántos problemas cuya dificultad es
a la de los anteriores como 6 es a 5, podrá
hacer Manuel en el mismo tiempo?
a) 28 b) 29 c) 24 d) 18 e) 20
13. Sesenta obreros hacen los 3/8 de una obra
en 27 días. Si se retiran 24 obreros y los res-
tantes concluyen la obra, ¿qué tiempo en total
duró la obra?
a) 75 días b) 72 días c) 45 días
d) 102 días e) 62,5 días
14. Veinticuatro obreros pueden hacer una obra
en 60 días, si trabajan 9 horas diarias. 20 días
luego de iniciado el trabajo se enferman 6
obreros y los restantes trabajan 10 horas dia-
rias hasta terminar la obra. ¿Cuánto duró la
obra en total?

Editorial
d) 68 días e) 64 días
15. Una secretaria escribe 48 palabras por minu-
to. ¿Cuántas palabras escribirá en 6 minutos,
si disminuye su velocidad en su cuarta parte?
a) 108 B) 162 C) 180
d) 200 E) 216
16. Tres campesinos pueden cosechar un terreno
de 80 m2
de área. ¿Cuántos campesinos se-
rán necesarios para cosechar un terreno de
1,2 hectáreas?
a) 300 b) 540 c) 320
d) 400 e) 450
17. Cuarenta y cinco obreros pueden construir
600 m de un muro de 1,5 m de alto. ¿Cuántos
obreros construirán 1150 m de un muro de 1,6 m
de alto?
a) 84 b) 88 c) 92
d) 96 e) 98
18. Ocho obreros cavan una zanja de 1,6 m de
diámetro y 12 m de profundidad. ¿Cuántos
obreros podrán cavar una zanja de 2 m de
diámetro y 24 m de profundidad?
a) 24 b) 25 c) 28 d) 15 e) 18
19. 27 obreros pueden hacer una obra en 42 días,
si trabajan 8 horas diarias. ¿Cuánto tardarián
16 obreros, trabajando 7 horas diarias, para
hacer una obra cuya dificultad es a la anterior
como 4 es a 3?
20. Dieciocho obreros pueden hacer una obra en
15 días. Si luego de haber trabajado 5 días se
retiran 3 obreros, ¿cuál será el tiempo total de
duración de la obra?
1. c 5. d 9. d 13. d 17. c
2. c 6. b 10. a 14. d 18. b
3. a 7. d 11. c 15. e 19. e
4. e 8. d 12. e 16. e 20. c
Claves

Editorial
100 partes iguales
6 7 8
4444444444444
4 4444444444444
4
100
1
100
1
100
1
100
1
... 100
1
100
1
S
Uno por ciento
Entonces:
A por ciento 12 A% 12 A
100
60 partes 12 60
100
1
c m12 60% 12
5
3
10 partes 12 10
100
1
c m12 10% 12
10
1
40 partes 12 40
100
1
c m12 40% 12
5
2
25 partes 12 25
100
1
c m12 25% 12
4
1
100 partes 12 100
100
1
c m12 100% 12 1
Además:
40% de 400 =
5
2 (400) = 160
75% de 560 =
4
3
(560) = 420
25% de 900 =
4
1 (900) = 225
15% de 600 =
20
3
(600) = 90
65% de 400 =
20
13
(400) = 260
Porcentaje. Es el resultado de aplicar el tanto por
ciento a una cantidad.
Ejemplo:
Halle el 20% de 400
20%(400) = 80
S S
tanto porcentaje
por ciento
Operaciones con porcentajes
1. a%N + b%N = (a + b)%N
Ejemplos:
• 12%N + 34%N = 46%N
• 118%N + 60%N = 178%N
• 30%N + 11,5%N = 41,5%N
• N + 13%N = 113%N
Porcentajes
Regla del tanto por cuanto. En algunas oportu-
nidades es necesario dividir lo que tenemos en
partes iguales para hacer una distribución de estas
partes.
Ejemplo:
Se tiene una bolsa con 40 manzanas el cual se
desea dividir en 8 partes iguales y se han de tomar
6 de ellas.
Resolución:
El procedimiento a seguir es:
Dividiendo 40 en 8 partes iguales.
8
40
5
=
Tomamos 6 de estas partes:
6(5) = 30
Interpretación:
El 6 por 8 de las 40 manzanas es 30 manzanas.
Matemáticamente:
6
8
40
30
=
c m
En general si tenemos N objetos. ¿Cuál será el a
por b de N?
6 7 8
4444444444444
4 4444444444444
4
1 2 3
4444444
4 4444444
4
Se toman a partes
Matemáticamente: a
b
N
c m
De aquí podemos señalar que el tanto por cuanto
viene a ser un procedimiento aritmético que con-
siste en dividir un todo en partes iguales y tomar
tantos de ellos como se indique.
En la vida diaria el tanto por cuanto más utilizado
es aquel que divide al todo en 100 partes iguales y
al que se le denomina: tanto por ciento.
Ejemplo:
Calcule el 15 por ciento de 400.
15
100
400
60
=
c m
En general si una cantidad se divide en 100 partes,
cada parte representa (1/100) del total a la cual
llamaremos el 1 por ciento y lo denotaremos: 1%
PORCENTAJES - MEZCLAS

Editorial
2. x%N - y%N = (x - y)%N
Ejemplos:
• 74%N - 24%N = 50%N
• 169%N - 29%N = 140%N
• 112%N - 64%N = 48%N
• N - 14%N = 86%N
3. a # (b%N) = (a # b)%N
Ejemplos:
• 3(50%N) = 150%N
• 4(75 %N) = 300%N = 3N
• 5,5(2%N) = 11%N
4. El a% del b% del c% de N es: a%b%c%N
Aplicación comercial
Un comerciante compró un pantalón en S/.50 (Pc)
y fija para su venta un precio de S/.80 (PF). Sin
embargo lo vende en S/.70 (Pv) debido a que hizo
una rebaja de S/.10 (R).
Aparentemente está ganando S/.20 (GB), pero esta
operación le generó gastos por un valor de S/.5, (gas-
tos) por lo cual realmente esta ganando S/.15 (Gn).
GB = S/.20
6 7 8
4 4 4 4
4 4 4 4 4
4
Gn = S/.15 gastos = S/.5 R = S/.10
6 7 8
444 444 6 7 8
444 444 6 7 8
444 444
Pc Pv PF
S/.50 S/.70 S/.80
Nota:
Las ganancias (o pérdidas) se representan
como un tanto por ciento del precio de costo.
Las rebajas se representan como un tanto
por ciento del precio fijado.
Pv = Pc + ganancia
Mezcla
Es la reunión de dos o más sustancias (ingredien-
tes) en cantidades arbitrarias conservando cada
una de ellas su propia naturaleza.
Regla de mezcla. La regla de mezcla se origina
por el deseo de los comerciantes en determinar
el precio de venta de una unidad de medida de la
mezcla. Para ello se vale de algunos procedimien-
tos aritméticos, lo cual en su conjunto constituye la
regla de mezcla.
Ejemplo:
Un comerciante hace el siguiente pedido a un dis-
tribuidor mayorista de café:
Café Cantidad en kg Precio unitario
Extra (E)
Superior (S)
Corriente (C)
50
20
15
S/.7
S/.5
S/.4
Para venderlo a sus clientes el comerciante mezcla
los tres tipos de café.
¿A cómo debe vender el kg de la mezcla para ga-
nar el 20%?
Resolución:
Para determinar dicho precio de venta el comer-
ciante procede del siguiente modo:
1.° Determina el costo de su inversión
Café E S C
Cantidad (kg): 50 20 15
Precios unitarios: S/.7 S/.5 S/.4
Costos parciales: S/.350 S/.100 S/.60
Costos totales: S/.510
Peso total = 50 + 20 + 15 = 85 kg
2.° Calcula el costo por unidad de medida (kg) de
la mezcla. A este costo por kg se le denomina
precio medio (Pm) ya que es un precio que no
genera ni ocasiona pérdida.
/.
/.6
Costo por
kg de mezcla
P
S
S
1
85
510
m
= = =
H
Se observa también que:
S/.4 1 S/.6 1 S/.7
1 2 3
4
4 4
4 1 2 3
4
4 4
4 1 2 3
4
4 4
4
Precio menor Precio medio Precio mayor
Si comparamos los precios unitarios con el
precio medio se tiene:
Cantidades
E
50 kg 20 kg 15 kg
S C
Precios unitarios S/.7 S/.5 S/.4
Precio medio: S/.6 S/.6 S/.6
Pierde Gana Gana
Por 1 kg: S/.1 S/.1 S/.2

Editorial
aritmétiCa 29
Pero la pérdida y ganancia es aparente ya
que al final estas se compensan.
Pérdida = Ganancia
50(1) = 20(1) + 15(2)
S/.50 = S/.50
3.° Sobre el precio medio el comerciante determi-
na el precio de venta considerando su ganan-
cia respectiva.
Precio de venta = S/.6 + 20%(S/.6) = S/.7,20
Luego:
El comerciante debe vender el kilogramo de la
mezcla en S/.7,20 para ganar el 20%.
En general para k sustancias:
1 2 3 k
...
Cantidades: C1 C2 C3 ... Ck
Precios unitarios: P1 P2 P3 ... Pk
Se cumple lo siguiente:
I.
...
...
C C C C
C P C P C P C P
k
k k
1 2 3
1 1 2 2 3 3
+ + + +
+ + + +
Precio
medio =
Mejor aún:
Peso total
Costo total
=
Precio
medio
Promedio
ponderado de
precios
II. Precio menor 1 precio medio 1 Precio mayor
III. Ganancia aparente = Pérdida aparente
IV. Precio venta = precio medio + ganancia
Comercialmente la pureza alcohólica se ex-
presa en grados y para ello convencionalmen-
te se tiene que: (%) 12 (°)

volumen de
Grado de mezcla =
alcohol puro
# (100°)
volumen total
Ejemplo:
Se mezclan 80 L de alcohol de 25° con 120 L
de 40°. Calcula el grado de la mezcla.
Resolución:
Se procede de manera análoga que para el
cálculo del precio medio.
Tipo de alcohol:
I I I
Volumen: 80 L 120 L
Grado: 25° 40°
Grado medio =
80 120
80 25 120 40
+
+
^ ^
h h
= 34°
En general para k tipos de alcohol:
Tipo: 1 2 3 k
...
Volumen: V1 V2 V3 ... Vk
Grado: G1 G2 G3 ... Gk
Grado
medio =
...
...
V V V V
V G V G V G V G
k
k k
1 2 3
1 1 2 2 3 3
+ + + +
+ + + +
Aleación. Es la mezcla de dos o más metales me-
diante el proceso de fundición. En las aleaciones
por convencionalismo los metales se clasifican en:
a. Finos. Oro, plata, platino.
b. Ordinarios. Cobre, hierro, zinc.
La pureza de una aleación se determina mediante
la relación entre el peso del metal fino empleado y
el peso total de la aleación, a dicha relación se le
conoce como la ley de la aleación.
Ejemplo inductivo:
Se tiene una aleación de 36 g de plata pura con
12 g de zinc, ¿cuál es la ley de la aleación?
Resolución:
Plata Zinc Total
Peso: 36 g 12 g 48 g
Ley =
Peso total
Peso plata
48
36
= = 0,750
La aleación del peso del metal ordinario con el
peso total se le conoce como la liga de la aleación:
Liga
Peso total
Peso zinc
48
12
= = = 0,250
Se deduce que:
Ley + Liga = 0,750 + 0,250 = 1
En general
Para una aleación:
Peso metal
fino
Peso metal
ordinario

Editorial
I. Ley =
Peso total
Peso metal fino
II. Liga
Peso total
Peso metal ordinario
=
III. 0 # ley de la aleación # 1
Comercialmente la ley del oro se expresa en qui-
lates y para ello convencionalmente se establece
que si la aleación contiene solo oro puro es de 24
quilates.
• Una sortija de 14 quilates significa que el peso
total se divide en 24 partes iguales y 14 de
ellos son de oro puro.
• En el ejemplo anterior vamos a determinar su
ley en quilates.
Oro Cobre Total
9 g
18
# 2 # 2
# 2
3 g
6
12 g
24 partes
Ley = 18 quilates
Ley =
12
9
24
18
= ; de donde se obtiene:
Ley=
.°
Peso total
Peso metal fino n de quilates
24
=
^
^
h
h
1. Un fabricante reduce 4% el precio de los artí-
culos que fabrica. Para que aumente en 8% la
cifra total de sus ingresos, sus ventas tendrán
que aumentar en:
Resolución:
Sean P el precio y N el número de artículos;
entonces:
Ingresos = P # N
Después:
P disminuye en 4%; ahora tiene: 96%P y N
aumenta en x%; ahora es:
(100 + x)%N
Para que los ingresos aumenten en 8%
Así: PN P
x
N
100
108
100
96
100
100
#
# =
+
^ h
10 800 = 9600 + 96x
1200 = 96x
x = 12,5%
2. Se estima que una mezcladora de concreto
sufre una depreciación de 10% por cada año
de uso, respecto al precio que tuvo al comen-
zar cada año. Si al cabo de 4 años su precio
es de S/.131 220; hallar el costo original de la
mezcladora.
Resolución:
La depreciación no es sino la pérdida del valor
del bien. Así, si el costo inicial es de N soles.
Depreciación Queda
1.er
año 10% N 90% N = P
2.° año 10% P 90% P = R
3.er
año 10% R 90% R = S
4.° año 10% S 90% S
Por dato:
100
90
# S = 131 220
131220
N
100
90
100
90
100
90
100
90
# # #
# =
N = S/.200 000
3. El ingreso promedio del sector obrero en una
empresa es de 300 000 mensuales. En el mes
en curso hay un incremento de haberes del
10% del haber anterior más bonificación gene-
ral de 60 000 soles, pero se decreta un des-
cuento del 5% del haber actualizado, profondos
de reconstrucción. Hallar el promedio actual.
Resolución:
Ingreso actual: 300 000
Se incrementa en:
100
10
# 300 000 = 30 000
Por concepto de bonificaciones 60 000, en-
tonces, su haber actualizado es 390 000.
Pero se descuenta:
100
5
# 390 000 = 19 500
Entonces recibe:
390 000 - 19 500 = 370 500 soles

Editorial
aritmétiCa 31
4. Un mayorista vende un producto ganando
el 20% del precio de fábrica. Un distribuidor
reparte estos productos a las tiendas de co-
mercio ganando una comisión del 15% del
precio por mayor. La tienda remata el artículo
haciendo un descuento del 10% del precio de
compra (del distribuidor). ¿En qué porcentaje
se eleva el precio de fábrica del producto?
Resolución:
Sea PF el precio de fábrica
El mayorista vende en 120% PF al distribuir.
El distribuidor vende en 115% (120%PF) a la
tienda.
El tendero lo remata en (pierde 10%)
90%[115%(120%PF)]
Es decir; se vende en:
PF
100
90
100
115
100
120
# # # = 124,2%PF
entonces, el PF se ha incrementado en 24,2%.
5. El presidente de un club de basketball obser-
va que por partido, en promedio, un tercio de
las entradas se quedan sin vender, pero afir-
ma que todas las entradas se venderían si se
rebajase en un 30% el precio de la entrada.
Suponiendo correctas las hipótesis del presi-
dente del club. ¿Qué sucederá?
Resolución:
Sea 3N el total de entradas y P el precio de la
entrada.
1.° vende: 2N; queda: N
venta total: 2NP
2.° el nuevo precio es 70% P, entonces:
venta total = (70%P)(3N) = 2,1 # NP
` La recaudación aumenta.
6. Pedro tiene una casa que vale 100 000 soles
y se la vende a Juan con una ganancia del
10%. Juan revende la casa a Pedro con una
pérdida del 10%, siendo así:
Resolución:
Costo de la casa: 100 000 soles
Pedro vende ganando (10%) o sea en 110 000
Gana 10 000
Juan lo vende a Pedro, perdiendo 10% de su
costo que es 110 000.
Luego lo vende en:
100
90
# 110 000 = 99 000
Pedro gana 1000 soles más
Ganancia total: S/.11 000
7. Un arquitecto ha previsto un recubrimiento de
locetas circulares para una cierta pared. Si to-
das las locetas son iguales, ¿cuál es el máxi-
mo porcentaje de área de la pared que puede
ser cubierto con dichas locetas?
Resolución:
Gráficamente:
a locetas
b locetas
Z
[

]
]
]
]
]
]
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
R
R
R R R
Largo: L = (2R)b; ancho: A = (2R)a
Área de la pared: L # A = 4R2
ab
Área de cada loceta: pR2
Total de locetas: a # b
Área cubierta por locetas: abpR2
Nos piden: 4
x R ab
100
2
= abpR2
x = 78,5%
8. Hallar la cantidad de onzas de agua que se
necesita para rebajar al 30% el contenido de
alcohol de un frasco de loción de afeitar de 9
onzas, que contiene 50% de alcohol.
Resolución:
Si hay 9 onzas de 50% de alcohol, entonces
tiene:
alcohol = 4,5; agua = 4,5
Si aumentamos x onzas de agua, entonces,
por dato:
100
30
(9 + x) = 4,5
27 + 3x = 45 x = 6
9. Una persona pregunta en una tienda qué des-
cuento le pueden hacer sobre el precio de un
repuesto, le responde que el 20%; va a otra

Editorial
tienda y compra el mismo repuesto con un
descuento del 25%; ahorrándose así S/.35.
¿Cuánto costaba el repuesto?
Resolución:
Sea P el costo del repuesto
En la 1.a
tienda desct.: 20%
En la 2.a
tienda desct.: 25%
Ahorro: 5%
Al comprar en la segunda tienda ahorra:
100
5
# P = 35 ` P = S/.700
10. Para la construcción de un edificio se compra-
ron ladrillos a S/.1200 el millar. Se inutilizan
por diversas causas 3600 ladrillos equivalen-
tes al 0,1% del total comprado. ¿Cuánto se
invirtió en la compra?
Resolución:
Por dato del problema:
0,1%T = 3600
T: total de ladrillos
Entonces:
,
3600 3600
T T
100
0 1
1000

= =
T = 3 600 000; que es equivalente a 3600 mi-
llares.
Como costo/millar ladrillo = 1200
Costo total = 3600 # 1200 = S/.4 320 000
11. ¿Cuál deberá ser la pureza de alcohol que de-
berá añadirse a 80 litros de alcohol de 96% de
pureza, para obtener un hectolitro de alcohol
de 90% de pureza?
Resolución:
Recuérdese un hectolitro tiene 100 litros, en-
tonces para completar faltan solo 20 litros.
Así:
grado
medio
=
% %
90%
x
100
80 96 20
# +
=
7680 + 20x = 9000
20x = 1320 x = 66%
12. ¿Qué cantidad de cobre debe añadirse a una
barra de plata que pesa 635 g y tiene 0,920 de
ley, para que resulte una aleación de 0,835 de
ley?
Resolución:
Cantidad Ley
635 0,920 0,835
Lm = 0,835

x 0 0,085
x
x
635
85
835
835
635 85

#
= =
x = 64,64 kg
13. Se hace una mezcla de vinos de S/.70 el litro y
S/.60 el litro, con agua; la mezcla tiene un pre-
cio de S/.50. Se sabe que la cantidad de agua
es los 2/5 de la cantidad de vino de S/.60. ¿En
qué relación está la cantidad de vino de S/.70
a la cantidad de vino de S/.60?
Resolución:
Consideremos:
Vino (1): x L; de S/.70 y
Vino (2): 5V L de S/.60
Agua:
5
2 (5V) = 2V de 0 soles
Luego:
Pm =
x V
x V V
7
70 60 5 0 2
+
+ +
^ ^
h h
= 50
70x + 300V = 50x + 350V
20x = 50V
` ,
V
x
5 20
10
2
1 0 50
= = =
14. A 215 litros de un vino que importa a S/.0,40
c/u, se añaden 5 litros de alcohol de a S/.2,50
el litro. En cuánto debe venderse el litro de la
mezcla para ganar el 20% sobre el precio de
compra.
Resolución:
Tenemos:
C1 = 215 L P1 = 0,40
C2 = 5 L P2 = 2,50
215 0,40 5 2,50
P
220
m
# #
=
+
,
P
220
98 50
440
197
m /
=

Editorial
aritmétiCa 33
Como gana el 20% sobre el Pm (que es lo mis-
mo que Pc)
Entonces: /.0,537
P S
100
120
440
197
venta #
= =
15. Si 30 litros de una solución contienen 12 litros
de alcohol, ¿cuántos litros de agua debemos
agregar para obtener una solución al 25%?
Resolución:
Si agregamos N de agua se obtiene:
25%
g
N
30
12
m =
+
=
N
30
12
4
1
+
=
48 = 30 + N N = 18 L
16. Un lingote contiene 5 kg de plata pura y 3 kg
de cobre. ¿Qué cantidad de plata pura es pre-
ciso agregar a este lingote para fabricar mo-
nedas de plata de S/.5; cuya ley es 0,900?
Resolución:
Tenemos:
Ag = 5 kg ,
Ley
8
5
0 625
= =
4
Cu = 3 kg
Luego:
Cantidad (kg) Leyes
P 1 0,275
Lm = 0,900
8 0,625 0,100
,
, 275 8
P P
8 0 100
0 275
100
#
= =
P = 22 kg
1. Vendí un artículo ganando el 24% del costo.
¿Cuál es el costo, si lo vendí a $217?
a) $165 b) $172 c) $170
d) $175 e) $164
2. ¿Qué número aumentado en 14% da como
resultado 45,6?
a) 42 b) 40 c) 36 d) 41 e) 38
3. ¿Qué porcentaje debo disminuir a 450 para
obtener el 10% menos de 400?
a) 20% b) 16% c) 18% d) 25% e) 15%
4. En una sesión de maestros se vio que el 65%
trabaja en colegios nacionales, 220 en cole-
gios particulares y 20% en colegios particula-
res y nacionales. ¿Cuantos eran en total?
a) 400 b) 500 c) 600
d) 700 e) 800
5. Al comprar un artículo me hacen dos des-
cuentos sucesivos de 12% y 20%, de manera
que ahorro $74. ¿Cuál era el precio original
del artículo?
a) $200 b) $240 c) $320
d) $280 e) $250
6. Un futbolista ha hecho 30 goles en 75 par-
tidos. ¿Cuántos goles debe hacer en los 25
partidos siguientes para que su porcentaje de
goles por partido aumente en 5%?
a) 12 b) 15 c) 10 d) 16 e) 20
7. Indica si las siguientes afirmaciones son ver-
daderas (V) o falsas (F), respectivamente:
I. a%(N) + b%(N) = (a + b)%(N)
II. m%(N) – n%(N) = (m-n)%(N)
III. a(b%(N) ) = (ab)%(N)
IV. a%(M) b%(N) = abMN
10 000
a) VVVF b) VVVV c) VFVF
d) VFFF e) VVFV
8. Un terreno tiene 500 m2
de área. Vendo el
20% de dicho terreno y luego el 38% del res-
to. ¿Cuánto usaré para sembrar arroz, si para
este fin utilizaré la mitad de lo que me queda?
a) 248 m2
b) 124 m2
c) 62 m2
d) 112 m2
e) 180 m2
9. El precio de lista de un artículo es $600. Al
comprarlo me descuentan el 18% y para ven-
derlo gano el 18%. ¿A cuánto lo vendí?
a) $590,25 b) $600,00 c) $580,56
d) $585,0 e) $575,6

Editorial
a) 11/10 b) 1/11 c) 11/21
d) 1/10 E) 7/11
18. Si el largo de un terreno se acorta en 40%,
y el ancho se incrementa en 40%, ¿en qué
porcentaje varía su área?
a) Aumenta en 12%
b) Disminuye en 12%
c) Aumenta en 16%
d) Disminuye en 16%
e) No varía
19. En un país la producción aumenta el 10%
anual. Si en el año 1998 la producción era de
18 000 unidades, ¿cuál será le producción en
el año 2001?
a) 20 362 u b) 18 268 u c) 24 398 u
d) 23 958 u e) 26 718 u
20. La dirección ha comprado dos tipos de tizas
en iguales cantidades. Los profesores usan
en clases 80% de un tipo y 75% del otro tipo.
¿Qué porcentaje de la cantidad total se quedó
sin usar?
a) 45% b) 22,5% c) 15%
d) 30% e) 67,5%
21. Se compran dos latas iguales de leche para
el desayuno. Si de la primera se consume el
25% y de la segunda se consume el 50%,
¿Qué porcentaje del total de la leche compra-
da queda sin consumir?
a) 75% b) 25% c) 62,5%
d) 37,5% e) 32,5%
22. En un aula el 63% del total de alumnos es de
letras, el 2% es de arquitectura y el resto es
de ciencias. Si de los alumnos de ciencias, el
80% son varones, ¿qué porcentaje del total
son mujeres que estudian ciencias?
a) 7 b) 14 c) 21
d) 28 e) 35
23. De una cierta cantidad de dinero que tenía,
me robaron el 12%. Si de lo que me quedaba
presté el 25%, ¿Qué porcentaje del total de
dinero que tenía antes del robo me quedará?
10. En un vaso preparo ron con gaseosa y limón,
El 25% de la mezcla es ron y el 80% del vaso
contiene líquido. ¿Qué porcentaje del vaso es
limón, si este representa el 10% del ron?
a) 2% b) 1% c) 0,5%
d) 1,5% e) 2,5%
11. ¿En cuánto excede el a% de b/3 al b% de a/4,
si ab = 36 000?
a) 30 b) 300 c) 900
d) 1000 e) 3000
12. Un comerciante decide vender un artículo, ga-
nando el 10%. Un cliente acude a comprar y
solicita un rebaja de 10%. Si el comerciante
le hace la rebaja solicitada, con lo cual pierde
S/.200. ¿A cuánto se vendió el artículo?
a) S/.20 000 b) S/.19 800 c) S/.19 000
d) S/.19 700 e) S/.18 900
13. Al dictar mi clase de matemáticas, en la piza-
rra dejo libre a cada extremo el 5% del largo
y el 4% del ancho. ¿Qué área efectiva de la
pizarra uso?
a) 78,6% b) 80,4% c) 81,2%
d) 82,8% e) 84%
14. Un depósito está lleno totalmente. Si se ex-
traen 256 litros, su volumen disminuye en
80%. ¿Cuál es el volumen total?
a) 480 L b) 250 L c) 300 L
d) 350 L e) 320 L
15. La edad de Miguel aumentada en su 75% es
igual a 63 años. ¿Cuál era su edad hace 7
años?
a) 36 años b) 31 años c) 29 años
d) 30 años e) 28 años
16. En una granja de aves, el 40% es de gallinas.
Si se ha vendido el 20% de gallinas, ¿en qué
porcentaje ha disminuido el número de aves?
a) 10% b) 6% c) 8% d) 12% e) 7%
17. Un número aumenta sucesivamente en 20%,
25% y 40%. ¿En qué fracción debe disminuir
para regresar a su valor original?

Editorial
aritmétiCa 35
a) 55% b) 66% c) 88%
d) 62% e) 75%
24. Se sabe que al extraer 40 litros de un depósito
que estaba lleno hasta el 60%, queda reduci-
do al 50% de su capacidad. ¿Cuál es la capa-
cidad del depósito?
a) 260 L b) 400 L c) 160 L
d) 100 L e) 200 L
25. Si se calcula el 75% de la suma de 1/4 de 256
con el 60% de los 2/3 de 400, resulta:
a) 172 b) 168 c) 206
d) 186 e) 602
26. Si al vender un artículo se gana el 50% del
costo, ¿qué porcentaje del precio de venta se
debe rebajar para ganar 25% del costo?
a) 25% b) 20% c) 30%
d) %
3
25
e) %
3
50
27. El costo de vida de un país sube cada mes
en un 20%. Si en enero gastaba una cantidad
a para vivir, ¿cuánto gastaré en agosto para
vivir de la misma forma?
a) (0,2a)7
b) (1,2)7
a c) (1,2)6
a
d) a + (0,2)7
e) (0,2)7
a
28. En un país el 35% de la población se encuen-
tra en la capital. En la capital el 6% de las per-
sonas son analfabetos y en el interior el 24%
de la población son analfabetos. Hallar qué
porcentaje son los analfabetos con respecto
al total.
a) 16% b) 17,7% c) 15,6%
d) 19,2% e) 15,8%
29. Compro un artículo en 240 soles y lo vendo a
312 soles. ¿ qué porcentaje del costo gané?
a) 20% b) 24% c) 30%
d) 33% e) 33,3%
30. Un vendedor logra colocar los 3/4 de su
mercadería en clientes fijos y un 1/8 en
clientes eventuales. ¿Qué porcentaje de su
mercadería aún no ha colocado?
a) 8% b) 10% c) 12,5%
d) 15% e) 16%
1. d 7. b 13. d 19. d 25. b
2. b 8. b 14. e 20. b 26. e
3. a 9. c 15. c 21. c 27. b
4. a 10. a 16. c 22. a 28. b
5. e 11. a 17. c 23. b 29. c
6. b 12. b 18. d 24. b 30. c
Claves

Editorial
Regla de interés
Identificación de los elementos
• Capital de préstamo (C). Llamado común-
mente capital, es la cantidad de dinero que su
poseedor va a acceder en forma de préstamo
para obtener ganancias.
• Tiempo (t). Es el periodo durante el cual va
a ceder o imponer un capital. Para calcular el
interés se considera generalmente:
1 mes comercial tiene 30 días
1 año comercial tiene 360 días
1 año común tiene 365 días
1 año bisiesto tiene 366 días
• Interés (I). Es la ganancia o beneficio que
produce el capital de préstamo, durante cierto
tiempo.
• Tasa de interés (r%) o rédito. Es la ganancia
que se obtiene por cada 100 unidades mone-
tarias en una unidad de tiempo. Por ello se ex-
presa generalmente como un tanto por ciento.
Ejemplo:
• 5% mensual, significa que por cada mes
se gana el 5% del capital prestado.
• 21% trimestral, significa que por cada tres
meses se gana el 21% del capital.
• Cuando no se indique la unidad de tiem-
po referida a la tasa, se asumirá una tasa
anual.
Tasas equivalentes
r% = 2% mensual 12
4% bimestral
6% trimestral
8% cuatrimestral
12% semestral
24% anual
30
2 % diario
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
• Monto (M). Es la suma recibida al final del pe-
ríodo y es igual al capital más el interés que
genera el mismo.
M = C + I
Clases de interés
• Interés simple. Es cuando el interés o ganan-
cia que genera el capital de préstamo no se
acumula al capital. Con otro ejemplo práctico
podemos observar un caso de interés simple
y al mismo tiempo deducir una relación entre
los elementos que intervienen.
Ejemplo:
Se depositó en un banco S/.4000 durante 3
años siendo la tasa anual de 10%. ¿Cuánto
será el interés ganado y el monto obtenido?
Resolución:
C = S/.4000
t = 3 años
r% = 10% anual
Cada año se gana: 10%(4000) = S/.400
Esquema
S/.4000
Interés: S/.400 S/.400 S/.400
1 año 1 año 1 año
Luego al final de los 3 años se tiene:
Interés = 400 + 400 + 400
Interés = 3[10%(4000)] = S/.1200
En general:
Interés = Tiempo # Tasa # Capital
No debemos olvidar que el análisis se hizo
año por año, porque el interés se prestó con
una tasa anual, lo cual nos da una idea que si
las condiciones de tasa en que se prestó fue-
ran mensuales, el análisis se debería realizar
en tiempos mensuales.
Las fórmulas para calcular el interés simple
son:
. .
I
C r t
100
= , t en años . .
I
C r t
1200
= , t en meses
. .
I
C r t
36 000
= , t en días
• Interés compuesto. Es cuando el interés que
genera el capital prestado, se acumula al capi-
tal en intervalos de tiempo especificados. Ob-
servamos el ejemplo pero en condiciones de
un préstamo a interés compuesto o conocido
también como un proceso de capitalización.
INTERÉS - DESCUENTO

Editorial
aritmétiCa 37
Ejemplo:
Se presta un capital de S/.1000 durante 3
años a una tasa anual de 10% y capitalizable
anualmente. Calcula el monto obtenido.
Resolución:
Observación: capitalizable anualmente signifi-
ca que después de cada año el interés produ-
cido se acumula al capital, siendo el monto ob-
tenido el nuevo capital para el siguiente año.
Capital
S/.1000
I1 = 10% (1000)
I1 = S/.100
I2 = 10% (1100)
I2 = S/.110
I3 = 10% (1210)
I3 = S/.121
1 año
S/.1100 S/.1210 S/.1331
1 año 1 año
El interés en los 3 años es:
Interés
compuesto
= S/.100 + S/.110 + S/.121 = S/.331
Luego:
Monto en general = 1000 + 331 = S/.1331
En general:
M = (1 + r%)n
. C
Donde:
n nos indica el número de períodos de capitali-
zación contenidos en el tiempo de imposición.
El período de capitalización determina las uni-
dades de la tasa y tiempo que se debe utilizar
necesariamente.
Regla de descuento
Identificación de los elementos
• Letra de cambio. Es un documento de crédi-
to que se utiliza para resolver transacciones
comerciales a plazo, en el cual una persona
denominada deudor se compromete (median-
te su firma y datos) a pagar el importe a otra
persona denominada acreedor al cabo de
cierto tiempo.
• Valor nominal (Vn). Es el valor que asume un
documento comercial para ser cancelado en
una fecha determinada, por tanto, va impreso
o escrito con claridad en una zona destacada
del mismo documento.
• Fecha de vencimiento. Fecha límite que in-
dica el final del plazo para hacer efectivo el
valor nominal de un documento comercial.
• Valor actual (Va). Es el valor que pagamos
por un documento comercial por hacerlo efec-
tivo antes de su fecha de vencimiento.
• Descuento (D). Es un beneficio para el deu-
dor por cancelar un documento comercial an-
tes de la fecha de vencimiento; está represen-
tado por la diferencia entre el valor nominal y
el valor actual del documento.
D = Vn - Va
• Tiempo de descuento (t). Es el comprendido
entre la fecha de negociación y la fecha de
vencimiento.
Clases de descuento
En la presente teoría consideramos dos clases de
descuento según el capital que se asume como re-
ferencia, si éste es el valor nominal se denominará
descuento comercial, si la referencia es el valor ac-
tual se denominará descuento racional.
• Descuento comercial (Dc). Es el interés que
generaría el valor nominal bajo una cierta tasa
durante el tiempo de descuento.
También se le denomina descuento externo
o descuento abusivo, ya que la deducción de
interés es sobre un valor futuro.
. .
;
D
V r t
100
c
n
= t en años
. .
D
V r t
1200
c
n
= ; t en meses
. .
;
D
V r t
36 000
c
n
= t en días
Ejemplo:
Tenemos una letra de cambio de S/.540 que
vence en 4 meses. Si hoy negociamos la letra
a una tasa de descuento del 24%. ¿Cuánto es
el valor del descuento comercial?
¿Cuánto nos pagarán por dicha letra?
Resolución:
Para hallar el valor que nos pagarán por la
letra, es necesario, restar los intereses que
corresponden a los 4 meses siguientes, es-
tos intereses se han calculado a partir de un
capital inicial, pero, en el descuento comercial
se calculan del capital final que viene a ser el
valor nominal.

Editorial
S/.540
4 meses
Por tanto, el cálculo de interés será:
%
12
24 # # =
540 4
tasa de
descuento
valor
nominal
tiempo descuento
(interés calculado
del Vn)
S/.43,2
S S S S
Finalmente, el valor efectivo del documento es:
- =
S/.540 S/.43,2
valor
nominal
descuento valor actual
S/.496,8
S S 1 2 3
4
4 4
4
Resumiendo: Vac = S/.496,8
Dc = S/.43,2
Podemos concluir que:
Dc = r% Vnt = Vn - Vac
Vac: valor actual comercial
El descuento comercial es proporcional al
tiempo de descuento.
• Descuento racional (Dr). Es el interés que
generaría el valor actual de un documento co-
mercial a una tasa de descuento y durante el
tiempo de vencimiento.
También se le denomina descuento interno o
descuento matemático.
;
D
V rt
100
r
a
= t en años
;
D
V rt
1200
r
a
= t en meses
(Descuento interno o matemático)
;
D
V rt
36 000
r
a
= t en días
Ejemplo:
Tenemos una letra de cambio de S/.540 que
vence en 4 meses. Si hoy negociamos la letra
racionalmente a una tasa del 24%. ¿Cuál será
su valor actual? ¿Cuánto vale el descuento
racional?
Resolución:
En este caso también restaremos del valor
nominal los intereses pero, ahora el interés se
calcula a partir del valor actual (cuyo valor no
es dato del ejemplo), entonces:
%
12
24 # # =
VaR 4
tasa de
descuento
mensual
valor
actual
racional
tiempo valor
nominal
valor
actual
racional
S/.540 - VaR
S S S S S
Luego: VaR = 500
Finalmente el descuento racional es:
DR = 540 - 500 = 40
Resumiendo:
VaR = S/.500
DR = S/.40
Podemos concluir que:
Dr = r% Vart = Vn - Var
Var: valor actual racional
Comparando los resultados de los dos ejem-
plos se tiene que:
Comercial Racional
Descuento: S/.43,2 2 S/.40
Valor actual: S/.496,8 1 S/.500
Observación:
Los descuentos han sido aplicados a la mis-
ma letra y a tasas iguales para un mismo tiem-
po de descuento.
Propiedades de la regla de descuento
En este segmento del capítulo planteamos algunas
propiedades que surgen a partir de la comparación
de los resultados obtenidos en los cálculos relati-
vos al descuento comercial y al descuento racional
de una misma letra a tasas y tiempos iguales.
• Dado que Vn 2 Va, entonces: Dc 2 Dr
además Vac 1 Var
• La diferencia de valores actuales (comercial y
racional) es igual a la diferencia de sus des-
cuentos.
Var - Vac = Dc - Dr
• Es posible calcular el descuento racional
a partir del valor nominal de un descuento
(como veremos). Sabemos que:
Dc = r% Vn t ...(a)
Dr = r% Var t ... (b)
Restando (b) de (a):

Editorial
aritmétiCa 39
Dc - Dr = (Vn - Var) r% t
1 2 3
4
4 4
4
Dr
Obtenemos:
Dc - Dr = Drr% t
Luego, reemplazando el Dc por su equivalente
en la expresión anterior.
r%Vnt - Dr = Drr% t
r%Vnt = Dr (1 + r% t)
y obtenemos:
Dr =
%
%
r t
V r t
1
n
+
Luego, la expresión obtenida en (3) la multipli-
camos por el Vn.
Vn (Dc - Dr) = Dr r%tVn
Dc
y obtenemos:
V
D D
D D
n
c r
c r
=
-
Cambio de letras. Es usual que un deudor no
pueda cumplir con sus obligaciones (por diversos
motivos), es por esto que tratará de replantear
sus pagos modificando los montos y los plazos en
acuerdo con el acreedor. También se presenta la
figura en la cual el acreedor (tenedor de la letra)
canjea ésta por otra u otras con distintas caracte-
rísticas.
Para ello es necesario que a la fecha del canje
los valores de los documentos (valores actuales)
reemplazados y reemplazantes sean equivalentes.
Ejemplo:
Lolo tiene una letra de S/.200 que vence dentro de
60 días y Tito tiene otra letra de S/.225 que vence
dentro de 120 días. Si ambos intercambian sus le-
tras, ¿quién de ellos se perjudica? Considere que
se aplica en ambos casos una tasa de descuento
del 5% mensual.
Resolución:
Recordemos que el valor nominal de un documen-
to es el valor que se pagará en la fecha de venci-
miento, pero hoy el valor de cada letra es menor,
calculemos los valores actuales:
Como la tasa es mensual podemos considerar el
tiempo en número de meses.
Dc1
= 200 # 5% # 2 Dc1 = 20
Dc2
= 225 # 5% # 4 Dc2 = 45
Vn D Va
Letra de Lolo 200 20 180
Letra de Tito 225 45 180
Comparamos resultados y notamos que hoy el va-
lor de cada letra es S/.180 por lo cual se pueden
intercambiar sin beneficio ni perjuicio de Lolo o de
Tito.
Vencimiento común. Es un caso particular que se
presenta en un cambio de letras con las siguientes
condiciones:
1. Se reemplazará un conjunto de letras de cam-
bio por una sola.
2. El valor nominal de la letra reemplazante es
igual a la suma de los valores nominales de
las letras reemplazadas.
3. Todas las letras son descontadas comercial-
mente y a una misma tasa.
Nota:
1. Dc 2 Dr pues: Vn 2 Va
De donde: Vac 2 Vn - Dc; Var 2 Vn - Dr
y de aquí: Var 2 Vac
2. Tanto la tasa como el tiempo, deben ser
cantidades que no hagan al descuen-
to una situación absurda. Por ejemplo
el tiempo no puede ser 200 años, 500
años, etc.
1. ¿Cuál es la suma que al 5% de interés simple
anual se convierte en 3 años en 3174 soles?
Resolución:
Datos: r = 5%; t = 3 años
M = 3174
C + I = 3174
C +
5 3
C
100
# #
= 3174
20
23
C = 3174 C = 2760

Editorial
2. Carlos impone los 4/7 de su capital al 4% y
el resto al 5% y resulta un interés anual de
S/.3100. Diga cuál es la suma impuesta al 4%.
Resolución:
Sea C el capital
• Coloca
7
4 C al 4%
7 100
4 4 1
I
C
C
700
16
1
#
# # #
= =
• Coloca C
7
3
al 5%
7 100
3 5 1
I
C
C
700
15
2
#
# #
= =
Por dato:
I1 + I2 = 3100
C C
700
16
700
15
3100
+ =
700
31
C = 3100 C = 70 000
Al 4% se colocó:
7
4 # 70 000 = 40 000
3. El valor nonimal de una letra es los 4/5 del va-
lor de la otra. Se han descontado comercial-
mente al 4% la primera por un mes y 16 días y
la segunda por 3 meses. El descuento de esta
fue de S/.20,50. ¿Cuál fue el descuento de la
otra?
Resolución:
Consideremos Vn2
= 5Vn, entonces
Vn1
= 4Vn
Por condición: 20,50
D
V r t
1200
c
n
2
2
# #
= =
5 4 3
20,50 410
V
V
1200
n
n

# #
= =
De aquí deducimos: Vn1
= 1640
Luego: D
V r t
36 000
c
n1
# #
=
1
Dc1
1640 4 46
36 000
# #
=
Dc1
= 8,38 soles
4. Un capital de S/.40 000 estuvo impuesto du-
rante un cierto número de años, meses y días.
Por los años se cobró el 5% anual, por los me-
ses el 4% y por los días el 3%. Calcular la utili-
dad producida por dicho capital sabiendo que
si se hubiera tenido impuesto durante todo el
tiempo al 5%, habría producido S/.3840 más
que si hubiera colocado todo el tiempo al 3%.
Resolución:
Consideremos un total de t días.
I I 3840
% %
5 3
- =
40 000 5 40 000 3
3840
t t
36 000
# # # #
-
=
40 000 2
3840 1728
t
t
36 000

# #
= = días
es decir: t = 4 años, 9 meses y 18 días
Luego, nos piden: Iaños + Imeses + Idías
40 000 5 4 40 000 4 9 40 000 3 18
100 1200 36 000
# # # # # #
+ +
= 8000 + 1200 + 60 = 9260 soles
5. El monto de un capital impuesto durante
8 años es S/.12 400. Si el mismo capital se
hubiera impuesto al mismo rédito durante
9 años, 6 meses, el monto sería S/.12 772.
¿Cuál es el capital?
Resolución:
Para el primer monto: 12 400 soles
M1 = C +
8
C r
100
# #
= 12 400 soles ...(1)
Para el segundo monto: 12 772 soles
9,5
M C
C r
100
2
# #
= + = 12 772 ...(2)
Restando (2) - (1), se obtiene:
,
12 772 12 400
C r
100
9 5 8
# -
= -
^ h
,
372 24 800
C r C r
100
1 5

# #
= =
^ h
Reemplazando en (1):
C +
24 800 8
100
#
= 12 400
C + 1984 = 12 400 C = 10 416 soles
jhsf

Editorial
aritmétiCa 41
6. Calcular el valor nominal de una letra, sabien-
do que su descuento comercial es 388,25 so-
les y su descuento interno 385 soles.
Resolución:
Por dato se sabe que:
Dc = 388,25 y Dr = 385
Además por propiedad:
V
D D
D D
n
c r
c r
#
=
-

,
388,25 385
V
3 25
n
#
=
Vn = 45 992,69 soles
1. Calcular el interés que producirá S/.1600 de-
positado durante 2 años al 25% trimestral ca-
pitalizable semestralmente.
a) 5100 b) 5200 c) 5400
d) 6500 e) 6800
2. Un capital produce un cierto interés al cabo
de un tiempo en el cual se observa que la di-
ferencia entre el capital y el interés equivale al
42% de dicho capital. ¿Qué interés produce
un capital de S/.30 000 en la tercera parte del
tiempo anterior y con una tasa 50% menor?
a) 2900 b) 3000 c) 3100
d) 3200 e) 3300
3. Un capital se tiene impuesto al 4% anual de
interés simple. Al final del primer año se re-
tiran los intereses y además otro tanto como
los intereses, al final del segundo año se repi-
te la misma operación y se observa que el ca-
pital ha disminuido en S/.6272. Hallar el valor
del capital original (en soles).
a) 71 000 b) 82 000 c) 80 000
d) 89 000 e) 9000
4. Una persona posee S/.45 000, una parte la
coloca al 36% anual y el resto al 35%. Si las
tasas a las que están impuestas se permuta-
ran, al término de un año se produciría S/.50
más de interés. Hallar la diferencia entre los
intereses anuales.
a) S/.1000 b) S/.1550 c) S/.3000
d) S/.5000 e) S/.6000
5. Carmelo tiene una peluquería hipotecada y
anualmente tiene que pagar el 6% de su va-
lor. Dicho pago lo hace con los intereses que
le produce un bono de $75 000 al 4%, donde
estos intereses están sujetos a un descuento
del 20%. Determinar el valor de la hipoteca.
a) $35 000 b) $40 000 c) $45 000
d) $50 000 e) $55 000
6. Un capital aumenta la mitad de su valor al cabo
de cierto tiempo. ¿Cuál es este, sabiendo que
expresado en años es igual a la mitad del tanto
por ciento al cual se impuso el capital?
7. Determinar a qué tasa mensual debo imponer
mi dinero, sabiendo que tengo S/.1200 y den-
tro de 8 meses debo comprar un artefacto que
actualmente cuesta S/.1400 y que al cabo de
dicho tiempo su precio aumentará en un 20%.
a) 5% b) 10% c) 12%
d) 15% e) 17,5%
8. Un capital impuesto a una tasa mensual du-
rante cierto tiempo produce S/.1800 más que
si se hubiera impuesto a una tasa semestral
numéricamente igual a la anterior. ¿Qué in-
terés se hubiera producido si la tasa fuera
anual?
a) S/.160 b) S/.175 c) S/.180
d) S/.195 e) S/.200
9. El gráfico corresponde al monto (M) obtenido
en función del tiempo (t) a partir de un cierto
capital impuesto a interés simple con una tasa
de r% anual. Calcular: a + b + c + r
M
(S/.)
8bc
a84
a00
t (años)
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28

Editorial
10. El monto obtenido al imponer un capital duran-
te 8 meses es S/.24 800. Si el mismo capital
se hubiera impuesto a la misma tasa durante
9 meses y 15 días el monto sería S/.25 544.
Hallar el capital (en soles).
a) 18 350 b) 19 900 c) 20 832
d) 21 540 e) 22 345
11. Determinar el tiempo al que fue impuesto un
capital a una tasa de 60%, sabiendo que el
capital, interés y monto más capital forman
una proporción geométrica continua, donde la
media proporcional es el interés.
a) 35 meses b) 37 meses
c) 38 meses d) 39 meses
e) 40 meses
12. Dionisio se presta $42 000 al 10% de interés
mensual sobre el saldo deudor de cada mes.
El primer y segundo mes no se amortiza nada,
pero el tercer y cuarto mes se paga una mis-
ma cantidad igual a N dólares. Hallar N para
que la deuda quede cancelada al cuarto mes;
dar la suma de sus cifras.
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
13. Se tiene S/.306 000 divididos en 3 partes pro-
porcionales a los numeros a; b y c; las cuales al
ser colocadas a la tasas de (a + 1)%; (b + 2)%
y (c + 3)%, en ese orden, al cabo de un año
generan montos proporcionales a a2
, b2
y c2
respectivamente. Hallar la mayor de las partes
en que fue dividida la cantidad inicial.
a) S/.100 500 b) S/.102 000
c) S/.103 000 d) S/.106 000
e) S/.110 000
14. Ulises quiere comprar una guitarra, pero le
falta tanto como lo que tiene, así que decide
comprarla dentro de 10 meses, por lo que
deposita lo que tiene en un banco al 15% se-
mestral y después de 4 meses deposita S/.115
más. Si cuando retira todo su dinero, el precio
se había incrementado en 20% de su valor,
pero a pesar de ello logra comprarla sin tener
excedente. Hallar el precio final de la guitarra.
a) 276 d) 300 c) 360
d) 380 e) 408
15. Un capital de abc00 dólares es colocado du-
rante 10 meses a una tasa de 9,6%, siendo el
monto, interés y capital proporcionales a 27, b
y c2
. Hallar a + b + c, si se sabe además que
el monto fue a(b + c)c00 dólares.
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
16. Un capital se impone al 40% anual durante 3
años, de manera que cada año se reciben las
ganancias y la mitad de ellas se suman al capi-
tal. Si al final del tercer año se recibe S/.100 800,
¿cuál fue el capital depositado?
a) 40 000 b) 42 000 c) 45 000
d) 48 000 e) 50 000
17. Cada año se deposita S/.160 000 en una cuenta
bancaria que produce 5% de interés semestral
y con el mismo periodo de capitalización, ¿qué
capital se tendrá inmediatamente después de
haberse efectuado el tercer depósito?
a) 502 120 b) 517 464 c) 525 734
d) 528 460 e) 530 881
18. Edy va al banco y pide un préstamo por una
cierta cantidad al 8% anual y 4 meses más
tarde pide otro préstamo por otra cantidad
pero al 5% anual. Cinco meses después lo
que entrega al banco por capitales e intereses
producidos por cada préstamo son iguales,
determinar el valor del primer préstamo.
a) 450 b) 480 c) 520 d) 640 e) 720
19. Un capital de S/.175 200 fue impuesto al 30%
anual de interés simple durante 7 meses se-
guidos. Determinar cuál fue el primer mes de
imposición si se sabe que con el año común
habría un beneficio extra de S/.300 con res-
pecto al interés que se obtendría consideran-
do el año comercial.
a) Mayo b) Junio c) Julio
d) Agosto e) Septiembre
20. Se deposita S/.3125 en un banco a una tasa
de 20%, capitalizable anualmente. Si el inte-
rés total generado fue S/.3355, determinar el
tiempo que estuvo depositado dicho capital.

Editorial
aritmétiCa 43
21. Una persona por error impone su capital al 5%
durante 4 años a interés simple, debiendo im-
ponerlo al r% de interés compuesto durante el
mismo tiempo, perdiendo de esta manera el
546/625 de su capital. Hallar el valor de r.
a) 15 b) 20 c) 25 d) 35 e) 40
22. Tito se presta cierta cantidad, comprometién-
dose a pagar el 5% de interés mensual ca-
pitalizable bimestralmente. Si el primer pago
de S/.1430 lo realiza al cabo de 2 meses y
cancela sus adeudados meses después con
S/.363; ¿a cuánto ascendía el préstamo?
a) S/.1200 b) S/.1600 c) S/.1640
d) S/.1740 e) S/.1800
23. Un negociante recibe anualmente una ganan-
cia de S/.20 000 que proviene de dos de sus
negocios que le producen intereses que están
en la relación de 2 a 3. Si las tasas de interés
son 16% y 18%, respectivamente, hallar la di-
ferencia de los capitales empleados en cada
negocio.
a) S/.90 00 b) S/.95 000
c) S/.96 000 d) S/.98 000
e) S/.100 000
24. Hace 8 meses se impuso cierto capital, cuyo
monto actualmente es S/.4650. Si dentro de
un año el monto será S/.4875, hallar la tasa
anual de imposición.
a) 3% b) 5% c) 7% d) 9% e) 11%
25. Hace 3 años una persona depositó cierta
suma de dinero al 10% semestral capitaliza-
ble anualmente y con el dinero acumulado
hoy ha comprado una casa que planea ven-
der en S/.220 320 con una ganancia del 20%
sobre el precio de venta. ¿Cuál fue el interés
obtenido?
a) S/.74 256 b) S/.103 960
c) S/.105 920 d) S/.108 050
e) S/.110 980
26. Vladimiro deposita abc000 dólares en un ban-
co de Ginebra que le paga 7,3% anual, y otro
capital de xyz000 dólares lo coloca en una
financiera de Gran Caimán la cual le da un
beneficio de 8,2% anual. Luego de 11 años
el monto originado por ambos capitales es el
mismo. Calcular a + b + c + x + y + z.
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
27. Un capital de $72 000 es dividido en 9 partes,
siendo las 8 primeras: 1/2 1/6; 1/12; 1/20; …;
1/72 de dicho capital, las cuales son impues-
tas durante un año al 0,4% diario, y el resto se
impone también durante un año al 15% men-
sual. Determinar el monto total obtenido.
a) 150 480 b) 150 400 c) 152 400
d) 156 800 e) 178 560
28. Al dividir un capital en tres partes, se impone
la primera al 3% bimestral, la segunda al 12%
semestral y la tercera al 1% mensual. Anual-
mente producen el mismo interés y además
se sabe que el total invertido es de S/.26 000,
obtener la mayor de las partes.
a) 6000 b) 10 000 c) 11 000
d) 12 000 e) 18 000
29. Se impone un capital C a interés simple de la
siguiente manera: el primer mes al 5% men-
sual, el segundo mes al 6% mensual y así su-
cesivamente durante n meses. Hallar n si al
cabo de ese tiempo se produjo un interés que
es igual al 45% del capital C.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
30. Un cierto capital se impone a un plazo fijo de t
meses al r% anual de interés simple y cuando
ha trascurrido un tiempo igual al 60% del tiem-
po que falta, la tasa aumenta un 20% de su
valor, obteniéndose una tasa aumenta un 20%
de su valor, obteniéndose una tasa efectiva
que es x% mayor que r. Hallar el valor de x.
a) 10,5 b) 11 c) 12 d) 12,5 e) 15
1. d 7. a 13. c 19. c 25. a
2. a 8. c 14. a 20. c 26. a
3. c 9. d 15. a 21. b 27. e
4. b 10. c 16. e 22. b 28. d
5. b 11. e 17. e 23. e 29. b
6. e 12. d 18. a 24. b 30. d
Claves

Editorial
Numeración
Es parte de la aritmética que se encarga del estu-
dio de la correcta formación, lectura y escritura de
los números.
Número. Es un ente matemático que nos permite
cuantificar los elementos de la naturaleza, el cual
nos da la idea de cantidad.
Numeral. Es la representación simbólica o figura-
tiva del número mediante determinados símbolos
o guarismos.
Ejemplo: `,‌‌‌‌ ; ; ;, , 3
Cifra (dígito). Son los símbolos que convencional-
mente se utilizan en la formación de los numerales
y estos son:
0; 1; 2; 3; ...
Sistema posicional de numeración. Es el con-
junto de normas, leyes, principios, reglas y conve-
nios que nos permiten la correcta formación, lectu-
ra y escritura de los números.
Principios fundamentales
Del orden. Toda cifra que forma parte de un nume-
ral ocupa un orden determinado, el cual se indica
de derecha a izquierda, por ejemplo el numeral:
7 5 4 2
Cifra Orden
2 0
4 1
5 2
7 3
o también
Órdenes
5 4 3 2 1 0
9 1 0 4 7 3
Aplicación 1
¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual se cum-
ple que su cifra de tercer orden está ocupando el
cuarto lugar?
De la base
Todo sistema de numeración tiene una base que
es un número entero mayor que la unidad, el cual
nos indica la cantidad de unidades necesarias y
suficientes de un orden cualquiera para formar una
unidad del orden inmediato superior.
Por ejemplo, si la base es 10 (en ese caso se dice
que el sistema de numeración es decimal) y quere-
mos representar el siguiente conjunto de unidades
simples en dicho sistema.
Se empieza agrupando las unidades en el orden
0 y cada 10 unidades se va pasando al orden 1.
Órdenes
1 0
Utilizando las cifras para formar el numeral tendremos:
Orden
1 0
2 6
textualmente diremos que se tiene veintiséis uni-
dades y de acuerdo al orden decimos que se tiene:
6 unidades de orden 0
Ahora expresamos las unidades simples en el sis-
tema de numeración de base 5.
0
1
2
numeración - conteo

Editorial
aritmétiCa 46
Utilizando las cifras, tenemos:
Orden
2 1 0
1 0 1
(5)
textualmente diremos que se tiene uno, cero, uno
en el sistema de base 5 y de acuerdo al orden:
1 unidad de orden 0
1 unidad de orden 2
Podemos resumir el proceso del siguiente modo
(para ello nos valemos del sistema decimal el cual
conocemos más).
El proceso consiste en ir agrupando las unidades
de acuerdo a la base en cada orden, luego:
0
26 5
5 5
1 5
0 1
1
1
1
0
1
2
Queda
Queda
Pasa
Pasa
` 26 = 101(5)
Si se tuviera 39 unidades y se desea expresarlo
en base 5 (se sobreentiende que es el sistema de
numeración).
0
39 5
7 5
4 7
2 1
1
4
4
2
1
2
Queda
Queda
Pasa
Pasa
` 39 = 124(5)
Este proceso podemos reducirlo un poco más,
para hacerlo práctico, así:
39 5
4
2 1
7 5
Luego: 39 = 124(5)
Conclusiones
I. Toda cifra que forma parte de un numeral es
un número menor que la base.
Así en el sistema de base n se pueden utilizar
n cifras diferentes las cuales son:
máxima
0; 1; 2; 3; ...; (n - 1)
1 2 3
4444
4 4444
4
significativas
II. A mayor numeral aparente le corresponde
menor base.
Si: 143(n) = 53(k)
Como: 143 2 53
Entonces: n 1 k
Sistemas de numeración más usuales
Base Nombre del sistema
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Binario
Ternario
Cuaternario
Quinario
Senario
Heptanario
Octanario
Nonario
Decimal
Undecimal
Duodecimal
Cuando las cifras a utilizar superan a 9 con-
vencionalmente se utilizan letras mayúsculas
para su representación, es así que:
cifra letra
10 12 A
11 12 B
12 12 C
h h
Ejemplos: A5BC3(15)

Editorial
Significa que se tiene:
C = 12 unidades de orden 1
B = 11 unidades de orden 2
A = 10 unidades de orden 4
Del valor de las cifras. Toda cifra que forma parte
de un numeral tiene dos valores.
Valor absoluto (VA). Por la cantidad de unidades
simples que representa.
Valor relativo (VR). Por el orden que ocupa en el
numeral.
Vamos a determinar cuántas unidades simples tie-
ne una unidad en cada orden.
En base 10
... 103
102
10 1
#10
3 2 1 0 orden
#10 #10
1 unidad
de orden
contiene la siguiente canti-
dad de unidades simples
0
1
2
3
h
1 = 10°
10
102
103
h
En base 7
... 73
72
7 1
#7
3 2 1 0 orden
#7 #7
1 unidad
de orden
contiene la siguiente cantidad
de unidades simples
0
1
2
3
h
1 = 7°
7
72
73
h
Dado el numeral 87534 indica el valor de sus ci-
fras.
Cifra Valor absoluto (VA)
4
3
5
7
8
4 unidades simples
3 unidades simples
5 unidades simples
7 unidades simples
8 unidades simples
Cifra Valor relativo (VR)
4
3
5
7
8
4 unidades de orden 0: 4 # 100
Para el numeral 714653(9), indica el valor de sus
cifras.
Cifra VA VR
3
5
6
4
1
7
3
5
6
4
1
7
3 # 90
5 # 91
6 # 92
4 # 93
1 # 94
7 # 95
Representación literal de los números
Cuando no se conocen las cifras de un numeral
estas se representan mediante letras minúsculas,
teniendo en cuenta que:
I. Toda expresión entre paréntesis representa
una cifra.
II. La cifra de mayor orden debe ser diferente de
cero.
III. Letras diferentes no necesariamente indican
cifras diferentes, salvo que lo señalen.
Ejemplos:
• Un numeral de dos cifras en base 10.
ab ! {10; 11; 12; ...; 99}
• Un numeral de tres cifras en base 7.
xyz(7) ! {100(7); 101(7); 102(7); ... 666(7)}
• (a - 3)(a + 2)(2a - 1)(9)
• (n - 1)(n - 1)(n)
• abab(k)

Editorial
aritmétiCa 48
Numeral capicúa
Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes
son iguales.
Ejemplos:
3223; 454(8); 66(7); aba(k)
Descomposición polinómica de un numeral
• Simple. Es la suma de los valores relativos de
las cifras que conforman dicho numeral.
Ejemplos:
415 = 4 # 102
+ 1 # 10 + 5
723(8) = 7 # 82
+ 2 # 8 + 3
5142(7) = 5 # 73
+ 72
+ 4 # 7 + 2
En general:
abcde(n) = an4
+ bn3
+ cn2
+ dn + e
• Por bloques
Ejemplos:
3143(5) = 31(5) # 52
+ 43(5)
24351(7) = 24(7) # 73
+ 35(7) # 7 + 1
454545(6) = 45(6) # 64
+ 45(6) # 62
+ 45(6)
abab(n) = ab(n) # n2
+ ab(n)
Cambios de base en los sistemas de numeración
Primer caso: de base n a base 10
Procedimiento: descomposición polinómica
Ejemplo:
543(6) = 5 # 62
+ 4 # 6 + 3 = 207
Segundo caso: de base 10 a base n
Procedimiento: divisiones sucesivas
Ejemplo:
Representar 298 en el sistema quinario.
298
3 59
4 11
1 2
5
5
5
` 298 = 2143(5)
Propiedades:
Numeral de cifras máximas:
• 9 = 10 - 1
99 = 102
- 1
999 = 103
- 1
h
99 ...9 = 10k
- 1
1 2 3
4
4 4
4
k cifras
• 7(8) = 8 - 1
77(8) = 82
- 1
777(8) = 83
- 1
h
77 ... 7(8) = 8k
- 1
k cifras
Bases sucesivas:
• 13(n) = n + 3
• 1513(n)
= n + 3 +5
• 121513(n)
= n + 3 + 5 + 2
Luego:
17 = k + 2 + 5 + 3 + 2 + 7
12
13
15
12(k)
En general:
1a = n + a + b + c + ... + x
1b
1c
j
1x(n)
Cantidad de numerales con cierta cantidad de
cifras
¿Cuántos números de 3 cifras existen en el siste-
ma de base 10; y base 7?
• Base 10: sea el numeral abc
abc ! {100; 101; 102; ...; 999}
Cantidad de numerales: 999 - 99 = 900
Luego: 102
# abc 1 103
• Base 7: sea el numeral xyz
xyz ! (100(7); 101(7); 102(7); ...;666(7))
Cantidad de numerales:
666(7) - (100(7) - 1) = 294
Luego: 72
# xyz 1 73
En general: Si N(b) tiene k cifras, se limita del
siguiente modo:
bk-1
N(b) 1 bk

Editorial
Casos especiales en los cambios de base de
los sistemas de numeración
Primer caso: de base n a base nk
, k ! Z+
Procedimiento:
• El numeral se descompone en bloques de k
cifras a partir del orden cero.
• Cada bloque se descompone polinómicamen-
te y el resultado es la cifra en la nueva base.
Ejemplo:
Expresar 120221(3) en el sistema nonario.
Resolución:
Como 9 = 32
cada bloque debe tener 2 cifras.
12 02 21
1 # 3 + 2 0 # 3 + 2 2 # 3 + 1
5 2 7
` 120221(3) = 527(9)
Segundo caso: de base nk
a base n, k ! Z+
Procedimiento:
• Cada cifra del numeral genera un bloque de k
cifras.
• Las cifras de cada bloque se obtienen me-
diante las divisiones sucesivas.
Ejemplo:
Exprese 547(9) en el sistema ternario.
Resolución:
Como 9 = 32
el bloque debe tener 2 cifras.
5 4 7
5
2 1
3 4
1 1
3 7
1 2
3
(9)
1 2 1 1 2 1 (3)
` 547(9) = 121121(3)
Conteo de números
Fórmula para hallar el número de términos en una
progresión aritmética.
último término - anterior al primero
razón
=
n.° de
términos
Ejemplos:
Determinar el número de términos en:
• 24; 27; 30; ...; 726
3 3
n.° de términos =
3
726 21
3
705
235
-
= =
• 44; 51; 58; ...; 2438
7 7
n.° de términos =
7
2438 37
7
2401
343
-
= =
Cantidad de cifras de una serie natural
Dado la sucesión:
1; 2 ; 3; 4; 5; (N - 1); N
N numeral de k cifras, entonces:
n.° de cifras = (N + 1)k - 11...111
k cifras
Ejemplo:
¿Cuántas cifras se usan en la numeración de un
libro de 350 hojas?
Resolución:
350 hojas = 700 páginas
La numeración es: 1; 2; 3; 4; ...; 700
n.° cifras = 701 # 3 - 111 = 2103 - 111
n.° cifras = 1992
Método combinatorio
Ejemplos:
• ¿Cuántos números pares de 3 cifras existen?
• ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras tie-
nen un solo 6 en su escritura?
• ¿Cuántos números de la forma
a(a + 3)(b - 2)(b + 1) existen?
Resolución:
• abc
100
212
324
6
8
h h
99
9 # 10 # 5 = 450
• a b c b a
1 0 6
2 1
3 2
h h
6 6 → se excluyen
h h
9 9
8 # 9 # 1 = 72
• a(a + 3)(b - 2)(b + 1)
1 2
2 3
3 4
h h
6 8
6 # 7 = 42

Editorial
aritmétiCa 50
• ¿Cuántos números de 3 cifras, se escriben
con un 8, con 9 y alguna otra cifra diferente de
las anteriores?
Resolución:
casos:
8 9 a
0
1
2
3
4
5
6
7
8 #
8 a 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8 #
a 8 9
1
2
3
4
5
6
7
7 #
2
16 16 14
2 2
Permutando
8 y 9
` Cantidad de números: 46
1. Hallar la representación binaria del número
100 del sistema decimal.
Resolución:
Cambios de base:
100 → base (2)
Por divisiones sucesivas:
100 2
2
2
2
2
2
1
1
0
0
1
0
0 50
25
12
6
3
Entonces: 100 = 1 100 100(2)
2. Se desea repartir S/.1 000 000 entre un cierto
número de personas de tal modo que lo que
les corresponda sea S/.1; S/.7; S/.49; S/.343;
etc. y que no más de 6 personas reciban la
misma suma. Determinar cuántos fueron los
beneficiados.
Resolución:
Lo que van a recibir las personas, son poten-
cias de 7: 70
; 71
; 72
; 73
; ...
Entonces, 1 000 000 lo expresamos en base 7.
Así:
1 000 000 7
7
7
7
7
7
142 857
20 408
2915
416
59
8 7
1
1
3
3
3
3
1 1
1 000 000 = 11 333 311(7)
= 1 # 77
+ 1 # 76
+ 3 # 75
+ 3 # 74
+ 3 # 73
+ 3 # 72
+ 1 # 7 + 1
N.° de personas = 1 + 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1
+ 1 = 16
3. Un número está formado de dos cifras cuya
suma de los valores absolutos es 9. Cuando
se invierte el orden de las cifras se obtiene un
segundo número que excede en 9 al cuádru-
plo del primero. ¿Cuál es este número?
Resolución:
Sea ab el número, por dato:
1.° a + b = 9
2.° ba = 4 # ab + 9
Por descomposición polinómica:
10b + a = 40a + 4b + 9
6b = 39a + 9
Reemplazando b = 9 + a, se obtiene:
54 - 6a = 39a + 9
45 = 45a a = 1; b = 8
` El numeral es 18
4. ¿Cuál de las siguientes expresiones, dadas
en sistemas de numeración distintos repre-
senta el número mayor?
I. 43(5) II. 212(3) III. 10 110(2)
IV.24(9) V. 10(25)
Resolución:
Expresando cada uno de los numerales en
base 10, tenemos:
I. 43(5) = 4 # 5 + 3 = 23

Editorial
II. 212(3) = 2 # 32
+ 1 # 3 + 2 = 23
III. 10 110(2) = 1 # 24
+ 1 # 22
+ 1 # 2 = 22
IV. 24(9) = 2 # 9 + 4 = 22
V. 10(25) = 1 # 25 + 0 = 25
Respuesta: V
5. Escribiendo en base 11 el número 1 010 011
del sistema binario, se obtiene:
Resolución:
Tenemos:
1.° 2.°
1 010 011(2) → base 10 → base 11
1.° Por descomposición polinómica:
1 # 26
+ 1 # 24
+ 1 # 2 + 1 = 83 (base 10)
2.° Por divisiones sucesivas:
83
6 7 83 = 76(11)
11
6. El número 1331 en base x es un cubo perfecto
si y solo si:
I. x es 8
II. x es 7
III.x es 10
IV.x es entero mayor que 3
Resolución
Por dato: 1331(x) = k3
Por descomposición polinómica:
x3
+ 3x2
+ 3x + 1 = k3
1 2 3
4444
4 4444
4
(x + 1)3
= k3
` x 2 3
7. Si N = 2(17)4
+ 4(17) + 2(17)3
+ 26
¿cómo se escribe el número N en base 17?
Resolución:
Tenemos el numeral:
N = 2(17)4
+ 4(17) + 2(17)3
+ 26
N = 2(17)4
+ 2(17)3
+ 0(17)2
+ 4(17) + 17 + 9
N = 2(17)4
+ 2(17)3
+ 0(17)2
+ 5(17) + 9
N = 22059(17)
8. ¿Cuántos números de tres cifras existen, que
tengan por lo menos una cifra par y por lo me-
nos una cifra impar?
Resolución:
Los números que cumplen la condición, son
todos los números de tres cifras (900) menos
los números de 3 cifras que tienen todas sus
cifras pares o todas sus cifras impares.
todas pares todas impares
a
2
4
6
8
b
0
2
4
6
8
c
0
2
4
6
8
4 # 5 # 5 = 100
a
1
3
5
7
9
b
1
3
5
7
9
c
1
3
5
7
9
5 # 5 # 5 = 125
Cumplen la condición: 900 - 225 = 675
9. Hallar la suma de 0,2046(7) + 0,13
!
(5) en base 6.
Resolución:
Hallando la generatriz de cada sumando:
0,2046 (7) =
6666
2046
10
3
( )
( )
7
7
=
0,13
!
(5) =
40
13 1
20
7
( )
( )
5
5 -
=
Sumamos 0,2046(7) + 0,13
!
(5)
10
3
20
7
+ = 0,65
Pasando a base 6
0 65 # 6
3 90 # 6
5 40 # 6
2 40 # 6
h
Periódica
0,65 = 0,352
!
(6)
10. El número abcd es múltiplo de 8 y cuando se
cambia al sistema de numeración de base 8,
el último cociente es 6; el penúltimo residuo
es 6 y el último residuo es 7. Hallar la suma
de a + b + c + d.
Resolución:
Por dato:
abcd 8
8
8
6
0
7
6

Editorial
aritmétiCa 52
• abcd = 6760(8)

abcd = 6 # 83
+ 7 # 82
+ 6 # 8

abcd = 3072 + 448 + 48

abcd = 3568

` a + b + c + d = 22
11. Al responder una encuesta, un ganadero es-
cribe en la ficha lo siguiente:
n.° de toros: 24
n.° de vacas: 32
____
Total de cabezas: 100
Hallar el sistema de numeración que utiliza el
ganadero.
Resolución:
Sea n la base del sistema de numeración, en-
tonces:
24(n) + 32(n) = 100(n)
2n + 4 + 3n + 2 = n2
6 = n2
- 5n
6(1) = n(n - 5)
n = 6
12. A es el conjunto de los números de 2 cifras en
base 7; B es el conjunto de los números de 3
cifras en base 4. Hallar el número de elemen-
tos que tiene la intersección de A y B.
Resolución:
En base 7:
Se tiene: 10(7); ...; 66(7)
A = {7; 8; ...; 48}
En base 4:
Se tiene: 100(4); ...; 333(4)
B = {16; 17; …; 63}
Luego:
A + B = {16; 17; 18; ...; 48}
` n(A + B) = 33
1. El numeral EDGA en el sistema hexadecimal,
¿cuántos ceros tiene en el sistema binario?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10
2. Hallar el mayor número de tres cifras, que sea
igual a 55 veces la suma de sus cifras. Dar
como respuesta la suma de sus cifras.
a) 13 b) 15 c) 17
d) 18 e) 19
3. Si: abab(n) = 850, hallar: (a + n)
a) 21 b) 27 c) 29
d) 32 e) 35
4. En un corral hay ab0 patos, a0b pavos y aab
gallinas. La diferencia entre patos y pavos es
9; además el número de gallinas excede en 11
al de patos. ¿Cuántas aves hay en el corral?
a) 632 b) 745 c) 856
d) 902 e) 982
5. La suma de un número de 2 cifras con su in-
versa es 132. Hallar el menor valor del pro-
ducto de los números.
a) 18 b) 20 c) 22 d) 27 e) 32
6. Un número de 3 cifras diferentes sumado con su
inversa es b(2b)b. ¿Cuántos valores puede to-
mar la suma de las unidades con las centenas?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7. El menor número de 4 cifras de base n se ex-
presa como a1b en el sistema decimal. Hallar
(a + b)n.
a) 35 b) 38 c) 42 d) 45 e) 48
8. Si 2a6n(8) = ab65(n), hallar a + b + n.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
9. Si se sabe que: a0ab(6) = bb(2b)
¿cuántos valores puede tomar b?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. Se cumple que:
2b02(n) = b00b00b0(a) = nna(2n)
De tal manera que a y n son números pares
consecutivos, además aa + nn = 66.
Hallar abn en el sistema nonario.
A) 257 B) 572 C) 275
D) 527 E) 725

Editorial
11. Si se sabe que: a0a0a(x) = aaa(y)
hallar la razón entre y y x2
.
a) x + 1 b) 1/4 c) 0,5
d) 1 e) y
12. En un sistema de numeración se cumple que
el mayor número de 3 cifras es igual a 57 ve-
ces la mayor cifra del sistema de numeración.
¿Cuál es la base de este sistema?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
13. Edy tiene ab soles pero al escribir invierte el
orden de las cifras, obteniendo una cantidad
que excede en 5 al doble de lo que tiene.
¿Cuánto le queda a Edy si pierde 3 soles en
una apuesta?
a) 10 b) 13 c) 16 d) 19 e) 28
14. En la siguiente progresión, hallar el vigésimo
término.
123(n); 128(n); 132(n); ...
a) 241(n) b) 1AA(n) c) A1A(n)
d) AA1(n) e) 8A9(n)
15. Si 1010(101
(x)
) = 3F2(16); hallar: x + 2
a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 13
16. Si ab + 1 = 141414( )
8
; hallar: a + b
a) 10 b) 12 c) 18 d) 15 e) 14
17. Si: 1a
1a
1a
.
.
.
(7)
n
veces
Z
[

]
]
]
]
]
= 421(a)
hallar: n - a
a) 6 b) 10 c) 13 d) 15 e) 19
18. Un número se convierte a 2 sistemas de nu-
meración cuyos números son 454 y 353 en
bases consecutivas. Hallar la suma de las ci-
fras del número en el sistema decimal.
a) 8 b) 6 c) 10
d) 12 e) 15
19. Un número capicúa de 3 cifras en base 4, es
igual a otro número capicúa de 3 cifras en
base 5, si la suma de las cifras mayores es 7.
Hallar el número en el sistema senario.
a) 123 b) 132 c) 235
d) 143 e) 114
20. La diferencia de un número de 3 cifras con el
número con las cifras invertidas del número
original es 6xy, además se sabe que la suma
de las cifras de las unidades y las centenas
es 9. Hallar la suma de las cifras del número
mayor.
a) 12 b) 14 c) 15
d) 18 e) 21
1. c 5. d 9. d 13. a 17. e
2. d 6. b 10. a 14. b 18. c
3. b 7. e 11. d 15. c 19. e
4. a 8. c 12. c 16. a 20. d
Claves
1. ¿Cuántos números se pueden escribir con las
cifras 0; 2; 4; 6 y 8, de tal manera que sean
mayor que 400 y menores o igual que 8000?
a) 376 b) 390 c) 421
d) 450 e) 472
2. ¿Cuántos números diferentes entre sí se pue-
den escribir en el sistema senario; de tal ma-
nera que tengan 4 cifras?
a) 100 b) 200 c) 300
d) 400 e) 500
3. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo
menos una cifra 7 en su escritura?
a) 252 b) 264 c) 285
d) 302 e) 316
4. ¿Cuántos números pares de 3 cifras se pue-
den escribir en el sistema octal?
a) 250 b) 224 c) 310
d) 330 e) 350

Editorial
aritmétiCa 54
5. ¿Cuántos números de 4 cifras que sean pares
se pueden escribir en el sistema heptal y en el
sistema senario?
a) 185 b) 203 c) 246
d) 257 e) 305
6. En qué sistema de numeración hay 3840 nú-
meros de 3 cifras diferentes entre sí.
a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 e) 17
7. ¿Cuántos números de 4 cifras significativas
(sin el cero) tienen por lo menos una cifra par
y una cifra impar en el sistema quinario?
a) 195 b) 224 c) 256
d) 278 e) 307
8. En qué sistema de numeración se utiliza 1470
cifras para escribir todos sus capicúas de 5
cifras.
a) Binario b) Terciario c) Senario
d) Heptal e) Octal
9. ¿Cuántos números pares de la forma
a(a/2)b(b + 6) existen en el sistema octal?
a) 12 b) 20 c) 3 d) 29 e) 35
10. Los números de la forma (a - 1)(2b)abc exce-
de en 28 números a los números de la forma
(a + 1)(b/2)abc (n). Hallar n.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8
11. Si se cumple que:
aba(n) + aba(n + 1) + aba(n + 2) = 38 números.
Hallar la suma total de las cifras de los números.
a) 114 b) 119 c) 127
d) 142 e) 175
12. ¿Cuántos números de 3 cifras tiene solamen-
te 2 cifras cinco en el sistema hexadecimal?
a) 2950 b) 3005 c) 3120
d) 3150 e) 3270
13. ¿Cuántos números pares de la forma
(a/2)(a)(b)(a + 5)c hay?
a) 90 b) 100 c) 120
d) 150 e) 180
14. ¿Cuántos números existen al sumar números
de 3 cifras que terminan en 3 en la base 5 con
los números de 4 cifras que terminan en 5 en
la base 7?
a) 207 b) 302 c) 310
d) 314 e) 327
15. ¿Cuántos números de la forma a(a - 2)b(6 - b)
existen en el sistema nonario?
a) 21 b) 49 c) 27 d) 32 e) 36
16. ¿Cuántos números de 3 cifras existen en base
8, en donde una cifra se repite exactamente 2
veces?
a) 21 b) 25 c) 27 d) 32 e) 36
17. En 2 sistemas de numeración uno de los tér-
minos tiene 42 números capicúas de 3 cifras
más que el otro. Hallar el sistema de base me-
nor si la suma de las bases es 15.
a) Quinario b) Senario c) Heptal
d) Octal e) Nonario
18. ¿Cuántos números capicúas impares de 5 ci-
fras existen?
a) 200 b) 300 c) 400
d) 500 e) 600
19. ¿Cuántos números de la forma
(a + 3)(b/3 + 2)(a - 2)(b + 5)c existen?
a) 100 b) 32 c) 36 d) 40 e) 45
20. ¿Cuántos números pares capicúas de 5 cifras
existen cuya cifra central es siempre impar en
el sistema decimal?
a) 100 b) 150 c) 200
d) 400 e) 800
1. d 5. c 9. c 13. b 17. b
2. c 6. e 10. d 14. d 18. d
3. a 7. b 11. a 15. b 19. a
4. b 8. d 12. d 16. c 20. c
Claves

Editorial
Introducción
Dado el conjunto A = {2; 3; 4}; el conjunto producto
A # A = {(a; b) / a !A / b !A)}
A # A = {(2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 2); (3; 3); (3; 4);
(4; 2); (4; 3); (4; 4)}
Incluye relaciones binarias tales como:
R1 = {(a; b) / a = b}
R1 = {(2; 2); (3; 3); (4; 4)}
R2 = {(a; b) / a 2 b}
R2 = {(3; 2); (4; 2); (4; 3)}
R3 = {(a; b) / a 1 b}
R3 = {(2; 3); (2; 4); (3; 4)}
R4 = {(a; b) / a + b = par}
R4 = {(2; 2); (2; 4); (3; 3); (4; 2); (4; 4)}
Ley de composición interna
Consideremos el conjunto no vacío A = {2; 3}, si
a cada par de elementos que pertenecen al con-
junto A se hace corresponder otro elemento que
pertenece al mismo conjunto, se dice que hemos
establecido una ley de composición interna en A.
Nótese que las parejas que se pueden formar con
los elementos de A son pares ordenados del con-
junto A # A.
A # A = {(2;2); (2; 3); (3; 2); (3; 3)}
Ahora, si mediante cierta condición que represen-
tamos con (*) asignamos un único elemento a cada
par tendremos:
(
*)
(2; 2) → (2 * 2) = 2
operación
(2; 3) → (2 * 3) = 2
(3; 2) → (3 * 2) = 3
(3; 3) → (3 * 3) = 3
S ↓
Par ordenado Elemento asignado
*: es el operador matemático
Entonces hemos determinado la operación interna
asterisco para definir la característica principal
de la ley u operación que produce el resultado; se
consideran criterios lógico-matemáticos o arbitra-
rios y que pueden presentarse mediante una tabla
de doble entrada:
* 2 3
2 2 2
3 3 3
En este ejemplo podemos expresar la operación (*)
en forma genérica para dos elementos: a y b
a * b = a
Definición:
Dado un conjunto no vacío A, una ley de compo-
sición interna en A es cualquier función de A # A
en A.
*: A # A → A
También se le denomina operación binaria en A ya
que relaciona dos elementos de dicho conjunto. Se
entiende que si m ! A y n ! A, entonces existe un
único p !A tal que m * n = p.
Operaciones binarias
La adición es una operación binaria, la cual es
representada mediante la ayuda del símbolo + y
asigna a cada pareja de elementos un tercer nú-
mero como resultado de la operación.
2 y 3
S
pareja de
elementos
operación
2 + 3
S
numeración
asignado como
resultados
+
Si utilizamos el concepto de par ordenado, podemos
expresar la noción anterior de la siguiente forma:
(2; 3)
S
(+) 2 + 3
operación de
adición
par ordenado
S
resultado
(considere el
orden)
Sin embargo es usual que la expresemos así:
2 (+) 3 = 5
primer
elemento
segundo
elemento
operador
elemento de
la adición
resultado
S S S
CUATRO OPERACIONES

Editorial
aritmétiCa 56
Sustracción
Dados dos números naturales a y b se llama dife-
rencia de a y b y se denota (a - b) al número natural
D, si existe, tal que a - b = D. Se denomina sustrac-
ción a la operación que hace corresponder a ciertos
pares de números (a; b) su diferencia (a - b).
Ejemplo:
34 - 21 = 13
sustraendo
diferencia
minuendo
Sustracción en otros sistemas de numeración
Ejemplo:
Halla la diferencia de los siguientes números:
432(5) y 143(5)
Resolución:
Se disponen los términos de manera vertical, para
trabajar de acuerdo al orden:
minuendo
← orden
sustraendo
diferencia
2 1 0
4 3 2(5)
1 4 3(5)
Trabajaremos en forma ordenada:
Orden Procedimiento
0
Como a 2 no se le puede disminuir en 3 lo
que se hace es regresar al orden 1 una vez
la base (es decir 5).
Luego: 5 + 2 = 4 (queda)
1
Como se ha regresado 1 vez la base, quiere
decir que en este orden se tiene ahora
3 - 1 = 2, pero a 2 no le podemos disminuir
en 4, luego el orden 2 regresamos una vez a
la base (es decir 5)
5 + 2 - 4 = 3 (queda)
2
Aquí se tenía 4 veces la base, como regresa-
mos una vez la base aquí quedó.
4 - 1 - 1 = 2 (queda)
Al final se tiene que:
432(5) -
143(5)
234(5)
En el caso de los sistemas de números, para res-
petar la terminología tradicional, usaremos simple-
mente la palabra operación en lugar de opera-
ción binaria que a fin de cuentas es una ley de
composición interna.
Se denomina conjunto de los números naturales
al conjunto:
N = {0; 1; 2; 3; ...}
Adición
Dados dos números naturales a y b se llama suma
de a y b y se denota (a + b) al número natural S,
tal que a + b = S. Se denomina adición a la opera-
ción que se hace corresponder a ciertos pares de
números naturales (a; b) su suma a + b.
Ejemplo:
3 + 5 + 9 = 17
1 2 3
4
4 4
4 S
Sumandos Suma
Adición en otros sistemas de numeración
Ejemplo:
Halla la suma de 435(7); 164(7) y 416(7)
Resolución:
Los sumandos son colocados en forma vertical
para efectuar la operación de acuerdo al orden que
ocupan sus cifras.
sumandos
Suma:
2 1 0 ← orden
4 3 5(7)
1 6 4(7)
4 1 6(7)
Z
[

]
]
]
]
Orden Procedimiento
0
5 + 4 + 6 = 15 = 2 # 7 + 1
↓ queda
se lleva
1
3 + 6 + 1+ 2 = 12 = 1 # 7 + 5
↓ queda
se lleva
2
4 + 1 + 4 + 1 = 10 = 1 # 7 + 3
↓ queda
se lleva
Luego se tiene que:
435(7) +
164(7)
416(7)
1351(7)

Editorial
Analizando se llega a la siguiente conclusión:
abc(k) -
cba(k) x + z = y = k - 1
___
xyz(k)
Complemento aritmético (CA)
Se denomina complemento aritmético de un núme-
ro natural a la cantidad que le falta a dicho número
para ser igual a una cantidad del orden inmediato
superior, a su cifra de mayor orden.
Ejemplos:
1. Halla el CA de 748; 5136 y 30 479
Resolución:
I. 3 2 1 0 orden
1 0 0 0 -
7 4 8
2 5 2 CA
CA(748) = 252
II. 4 3 2 1 0 orden
1 0 0 0 0 -
5 1 3 6
4 8 6 4 CA
CA(5136) = 4864
III. 5 4 3 2 1 0 orden
1 0 0 0 0 0 -
3 0 4 7 9
6 9 5 2 1 CA
CA(30 497) = 69 521
2. Halla el CA de los números: 53(7); 218(9)
Resolución:
I. 2 1 0 orden
1 0 0(7) -
5 3(7)
1 4(7) CA
CA (53(7)) = 14(7)
II. 3 2 1 0 orden
1 0 0 0(9) -
2 1 8(9)
6 7 1(9) CA
CA(218(9)) = 671(9)
Forma práctica para calcular el CA de los números
A partir del menor orden se observa la primera cifra
significativa, la cual va a disminuir a la base y las
demás cifras disminuyen a la base menos 1.
Ejemplos:
9 9 10
CA (7 4 8) = 252
9 9 9 10
CA (5 1 3 6) = 4864
9 9 10
CA (7 0 4 0) = 2960
8 8 9
CA (2 1 8(9)) = 671(9)
6 6 7
CA (3 5 1 0(7)) = 3160(7)
Multiplicación
Dados dos números naturales a y b, se llama pro-
ducto de a y b la cual se denota ab al número natu-
ral P, tal que ab = P.
Se denomina multiplicación a la operación que
hace corresponder a ciertos pares de números na-
turales (a; b) su producto a # b
Ejemplos:
1. 15 # 12 = 180
producto
multiplicador
multiplicando
2. 5 2 4 #
6 7
3 6 6 8
3 1 4 4
3 5 1 0 8
multiplicando
multiplicador
productos
parciales
producto final
*
Multiplicación en otros sistemas de numeración
Ejemplo:
Efectúa 243(7) # 36(7)
Procedimiento
Los términos son colocados en la forma siguiente,
para efectuar la operación de acuerdo al orden que
ocupan sus cifras:
2 1 0
#
2 4 3(7)
3 6(7)
..................
orden
multiplicando
multiplicador

Editorial
aritmétiCa 58
Además: 104 = 11(9) + 5
1 2 3
444
4 444
4
algoritmo de la división
Clases de división
Exacta. (Residuo = 0)
30 5 D d
0 6 0 q
30 = 5(6) D = d # q
Inexacta. (Residuo ! 0)
Defecto Exceso
75 11 75 11
9 6 2 7
75 = 11(6) + 9 75 = 11(7) - 2
En donde: 9 + 2 = 11
En general:
Defecto Exceso
D d D d
r q r* q + 1
D = dq + r D = d(q + 1) - r *
Donde: r + r* = d
Propiedades de la división inexacta
1. Cero 1 residuo 1 divisor
2. Residuo mínimo = 1
Residuo máximo = divisor - 1
3. Residuo defecto + residuo exceso = divisor
1. Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de
agua pesa 1175 gramos. ¿Cuántas botellas
semejantes serán necesarias para vaciar en
ellas el contenido de un barril de 225 litros?
Resolución:
Pbot = 425 g
425 + Pagua = 1175 g Pagua = 750 g
Resolución:
• Para la cifra de orden 0 del multiplicador:
6 # 3 = 18 = 2 # 7 + 4 queda
se lleva
6 # 4 + 2 = 26 = 3 # 7 + 5 queda
se lleva
6 # 2 + 3 = 15 = 2 # 7 + 1 queda
se lleva
• Para la cifra de orden 1 del multiplicador:
3 # 3 = 9 = 1 # 7 + 2 queda
se lleva
3 # 4 + 1 = 13 = 1 # 7 + 6 queda
se lleva
3 # 2 + 1 = 7 = 1 # 7 + 0 queda
se lleva
Al final se tiene que:
2 4 3(7) #
3 6(7)
2 1 5 4(7)
1 0 6 2(7)
1 3 1 0 4(7)
multiplicando
multiplicador
productos
parciales
producto final
*
División
Dados los números naturales a y b ! 0 se llama co-
ciente de a y b, se denota a/b o, al número natural
c, si existe, tal que a = bc.
Se llama división a la operación que hace corres-
ponder a ciertos pares (a; b) de números naturales
su cociente a/b.
Ejemplo:
Divida 104 entre 11
Resolución:
dividendo (D) divisor (d)
104 11
99 9
5
residuo (r)
cociente (q)

Editorial
Pero: 225 L / 225 000 g
Luego: n.° de bot. =
750
225 000
= 300
2. Dos personas deben hacer un mismo recorri-
do de 28 km. La primera está a pie y hace 5 km
por hora, la segunda a caballo y hace 12 km
por hora. Si la primera parte a las 5 a. m. ¿A
qué hora deberá partir la segunda para llegar
al mismo tiempo a su destino?
Resolución:
La persona que viaja a pie emplea:
km
km
h
5
28
5
28
=
La persona que viaja en caballo emplea:
km
km
h
12
28
5
7
=
Para que ambas personas lleguen al mismo
tiempo; el que viaja en caballo debe salir:
h
12
28
3
7
15
49
/ /
-
c m 3 h 16 min, después del
otro; o sea a las 8 h 16 min.
3. Se ha pagado una deuda de 265 soles, con
monedas de 5 y de 2 soles. El número de mo-
nedas de 2 soles es mayor que el de 5 soles
en 17 monedas. ¿Cuánto suman las monedas
de 2 y de 5 soles?
Resolución:
Como hay 17 monedas más de 2 soles, hacen
un total del 17 # 2 = 34 soles.
Es decir, 265 - 34 = 231 se pagan con igual
número de monedas de 5 y 2 soles. O sea
231 7
33
Luego: hay 33 monedas de 5 soles y 50 mo-
nedas de 2 soles.
` En total 83
4. Un obrero trabajó durante 2 meses con su hijo
en una misma fábrica. El primer mes, por 14
días del padre y 24 del hijo recibieron S/.118;
el segundo mes por 21 días del padre y 19 del
hijo recibieron S/.143. ¿Cuál es la diferencia
de jornales diarios del padre y del hijo?
Resolución:
Consideremos A el sueldo del padre y B el
sueldo del hijo, entonces:
14A + 24B = 118 7A + 12B = 59...(1)
21A + 19B = 143 ...(2)
Luego: 3(1) - (2)
36B - 19B = 177 - 143
17B = 34 B = 2 soles
A = 5 soles
` A - B = 3 soles
5. La suma de 4 números diferentes es 24; la
suma de los 2 mayores es el doble de la suma
de los 2 menores; la suma del menor con el
mayor es igual a la suma de los otros 2 núme-
ros. Hallar la suma de las diferencias del mayor
con el menor y de los intermedios mayor con
menor. (Suponer que M es el número mayor).
Resolución:
Por condición se tiene:
a 1 b 1 c 1 M
a + b+ c + M = 24 ...(1)
c + M = 2(a+b) ...(2)
a + m = b + c ...(3)
De (1) y (2):
a + b = 8; c + M = 16
Luego:
(M - a) + (c - b) = (M + c) - (a + b)
(M - a) + (c - b) = 16 - 8
` (M - a) + (c - b) = 8
6. Dos jinetes corren en un hipódromo de 90 m
de circunferencia y en el mismo sentido. El
primero que tiene 18 m de adelanto corre con
una velocidad de 2,90 m/s, y el otro 2,54 m/s.
Calcula la suma de las distancias recorridas
hasta su encuentro.
Resolución:
El primero tiene adelantado 18 m, por tanto para
alcanzar al otro debe superar 72 m; además en
cada segundo supera 2,90 - 2,54 = 0,36 m.
Luego, por regla de tres
Tiempo (s) Adelanto
1 0,36
t 72
t = 1 #
,
0 36
72 t = 200 s

Editorial
aritmétiCa 60
Finalmente:
distancia (1.°) = 2,90 # 200 = 580 m
distancia (otro) = 2,54 # 200 = 508 m
distancia total = 1088 m
7. El producto de dos números impares es 925.
Si se divide el número mayor entre el menor
se obtiene un cociente 1 y residuo 12. Halla
dichos números.
Resolución:
Sean a y b los números:
Por dato:
a # b = 925 ...(1)
a b a - b = 12 …(2)
12 1
De (1) y (2): a = 37; b = 25
8. Se divide el número 927 entre 22. ¿Cuál es el
producto de la cantidad máxima en que pue-
de aumentarse el dividendo de manera que el
cociente no varíe, por el nuevo residuo que se
genera?
Resolución:

Tenemos: 927 22
3 42
Por propiedad el resto máximo es 21, es decir,
la máxima cantidad de aumentarse al dividen-
do es 18.
Luego: 18 # 21 = 378
9. Un número de tres cifras abc es tal que
abc - cba = mn3. Si se sabe que la cifra de
las decenas es igual a la suma de las otras
dos cifras. Hallar: a2
+ b2
+ c2
Resolución:
De: abc - cba = mn3, por propiedad m = 6 y
n = 9; entonces:
abc - cba = 693 (b = a + c)
a - c = 7 (tanteo)
8 1 b = 9
9 2 b = 11 (falso)
Luego: a2
+ b2
+ c2
= 82
+ 92
+ 12
= 146
10. Si abc - cba = 1dg y a + c = 12
calcula: a + 2c
Resolución:
De: abc - cba = 1dg
Por propiedad: d = 9 / g = 8
Entonces: abc - cba = 198
de donde: a - c = 2
y como: a + c = 12
a = 7 / c = 5
Luego: a + 2c = 7 + 2(5) = 17
11. El cociente de dos números es exactamen-
te 7, y su producto es 50 575. ¿Cuál es el
mayor?
Resolución:
Por dato del problema: a = 7b
Además:
a # b = 50 575
7b2
= 50 575
b2
= 7225
b2
= 852
b = 85; a = 595
12. Un cierto número multiplicado por 2, por 3 y
por 7, da tres nuevos números cuyo producto
es 55 902. ¿Cuál es este número?
Resolución:
Sea el numeral N
Por dato:
(2N)(3N)(7N) = 55 902
42N3
= 55 902
N3
= 1331
N3
= 113
N = 11
13. El dividendo de una cierta división es 1081.
Si el cociente y el residuo son iguales, y el
divisor es el doble del cociente, ¿cuál es el
divisor?
Resolución:
1081 2q
q q 1081 = (2q)q +q
1081 = q(2q + 1)
23 # 47 = q(2q + 1)
q = 23
d = 2q = 46
14. La diferencia de dos números es 64 y la divi-
sión del mayor entre el menor da cociente 3 y
por residuo 18. ¿Cuál es el mayor?

Editorial
Resolución:
Sean a y b los números (a 2 b)
a - b = 64 ...(1)
a b
18 3 a = 3b + 18 ...(2)
Reemplazando (2) en (1):
3b + 18 - b = 64
2b = 46
b = 23 / a = 87
15. La suma de dos números es 74 y su cociente
9, dando de residuo 4. ¿Cuál es el número
menor?
Resolución:
a + b = 74 ...(1)
a = 9b + 4 ...(2)
a b
4 9
74 - b = 9b + 4
70 = 10b b = 7; a = 67
16. En cierto número menor que 100 el cociente de
la cifra de las decenas entre la de las unidades
es 3 y el residuo es 1. Si la suma de las cifras
del número es 9. ¿Cuál es su diferencia?
Resolución:
Sea ab el numeral
Por dato:
a + b = 9 ...(1)
a b
1 3 a = 3b + 1 ...(2)
3b + 1 + b = 9
4b = 8 b = 2; a = 7
a - b = 5
17. La suma de dos números es 611, su cociente
es 32 y el residuo de su división el más grande
posible. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos
números?
Resolución:
a + b = 611 ...(1)
a b a = 32b + b - 1
b - 1 32 a = 33b - 1 ...(2)
33b - 1 + b = 611
34b = 612
b = 18 a = 593
Luego: a - b = 575
18. La suma de tres números es 24. El cociente
de dos de ellos es 3 y la suma de éstos divi-
dido entre el tercero es igual a 5. ¿Cuál es el
tercer número?
Resolución:
Por dato:
A + B + C = 24 ...(1)
B
A = 3 A = 3B ...(2)
C
A B
+ = 5 A + B = 5C ...(3)
5C + C = 24 C = 4
19. En una división, el cociente es 8 y el residuo
20. Sumando el dividendo, el divisor, el co-
ciente y el residuo se obtiene un total de 336.
¿Cuál es el dividendo?
Resolución:
D d
20 8 D = 8d + 20 (d 2 20)
D + d + 8 + 20 = 336
(8d + 20) + d + 28 = 336
9d = 288 d = 32
Luego:
D = 8 # 32 + 20 = 276
1. Calcule la suma de cifras de la siguiente adición:
8 + 98 + 998 + ... + 999...998
50 cifras

Editorial
aritmétiCa 62
a) 47 b) 48 c) 49
d) 50 e) 51
2. ¿Cuántas cifras tiene el menor número escrito
en base 13, cuya suma de cifra es 169?
a) 15 b) 14 c) 13
d) 16 e) 18
3. Calcula (a + b + c) si:
a1a + a2a + ... + aaa = 8bc1
a) 17 b) 18 c) 19
d) 20 e) 21
4. Calcule n si: 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = 3240
a) 20 b) 40 c) 60
d) 80 e) 90
5. Calcula (n/2), si: 2 + 4 + 6 + … + n = 1640
a) 40 b) 80 c) 60
d) 50 e) 20
6. Calcula (n + 1), si: 1 + 3 + 5 + 7 + … + n = 225
a) 15 b) 225 c) 29
d) 30 e) 16
7. Calcula (n + 1)2
si: 1 + 3 + 5 + 7 + … + n = 225
a) 15 b) 29 c) 30
d) 225 e) 900
8. Calcula E = 1xy + x6z + yz4 + zyx, si:
x + y + z = 13.
a) 1540 b) 1509 c) 1607
d) 1666 e) 1556
9. Si (a + b + c)2
= 144, calcula abc + bca + cab.
a) 1332 b) 444 c) 1333
d) 1232 e) 1222
10. Si ( a b c
+ + )2
= 16,
calcula: abc + bca + cab + abc + cab + bca
a) 1666 b) 1776 c) 3452
d) 3542 e) 3552
11. Calcula: A= 22(3) + 11(3)
a) 111(3) b) 110(3) c) 100(3)
d) 11003 e) 1000(3)
12. Calcule el valor de S, si:
S = 5 + 8 + 13 + 20 + … + 229
a) 1300 b) 1640 c) 1500
d) 2040 e) 1240
13. Si (a + b + c)2
= 225, calcule abc + bca + cab
a) 1665 b) 1555 c) 1565
d) 1666 e) 1556
14. La suma de 15 números impares consecuti-
vos es 525. Calcule el primer número impar
en dicha suma.
a) 19 b) 21 c) 23 d) 25 e) 17
15. La suma de 15 números pares consecutivos
es 510. Calcule el último par en dicha suma.
a) 48 b) 50 c) 52 d) 46 e) 44
16. En una división la diferencia entre el divisor y
el resto es 4. Si el cociente es 12 y el dividen-
do más el divisor es 80, hallar el dividendo.
a) 69 b) 65 c) 74 d) 72 e) 79
17. En una división inexacta el cociente es 15 y el
resto 9. Si el dividendo se aumenta en 100 y
se vuelve a dividir, se obtiene 13 por residuo y
27 por cociente. Hallar el dividendo original.
a) 129 b) 120 c) 140
d) 135 e) 150
18. ¿Cuántos números de tres cifras existen tales
que al dividirlos entre 21 den un residuo que
es el doble del cociente?
a) 38 b) 39 c) 40
d) 42 e) 45
19. En una división por defecto, al residuo le falta
7 unidades para ser máximo y será mínimo al
restarle 29. Hallar el dividendo si el cociente
es la tercera parte del resto.

Editorial
a) 360 b) 390 c) 290
d) 370 e) 400
20. En una división dos números enteros positivos
se obtiene 7 por residuo y 15 de cociente. Si
el dividendo excede al divisor en una cantidad
igual al quíntuplo del residuo, hallar el divisor.
a) 36 b) 37 c) 39
d) 25 e) 41
21. En una división inexacta la suma de los tér-
minos es 1073. Si se triplica el dividendo y el
divisor, la suma de los tres términos es 3153.
Hallar el cociente.
a) 40 b) 30 c) 11
d) 22 e) 33
22. Si al dividendo y al divisor de una división
inexacta de residuo 14 se le multiplica por 5,
¿cuál es el nuevo residuo?
a) 10 b) 35 c) 50
d) 70 e) N. A.
23. En una división inexacta, la suma de los tér-
minos es 130. Si duplicamos el dividendo y el
divisor, la suma de los cuatro términos resulta
ahora 270. Hallar el cociente.
a) 5 b) 7 c) 9 d) 12 e) 10
24. En una división inexacta el divisor es 38 y el
residuo es el triple del cociente. Hallar el máxi-
mo valor que puede tomar el dividendo y dar
la suma de cifras.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15
25. En una división, el cociente es 14, el divisor
es el doble del cociente y el residuo el máximo
posible. Hallar la suma de cifras del dividendo.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
26. ¿Cuántos números enteros menores que 300
pueden ser dividendo de una división cuyo co-
ciente es 13 y su residuo 17?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
cociente 27. Hallar el dividendo si el residuo
es mínimo.
a) 351 b) 349 c) 352
d) 350 e) 500
28. Al sumar dos números se obtiene 112 y al di-
vidirlos se obtiene 3 como cociente y 4 como
residuo. Hallar el mayor de ellos.
a) 27 b) 50 c) 74
d) 85 e) 112
29. La suma de 2 números es 1069, su cociente
es 13 y el resto 61. Calcular la suma de las
cifras del mayor.
a) 20 b) 12 c) 27
d) 23 e) 25
1. c 7. e 13. a 19. b 25. c
2. a 8. c 14. b 20. b 26. e
3. b 9. a 15. a 21. e 27. c
4. d 10. e 16. c 22. e 28. d
5. a 11. b 17. a 23. e 29. e
6. d 12. a 18. b 24. e
Claves
1. Un número es tal que multiplicado por 2, por
3 y por 7, da tres números cuyo producto es
72 576. ¿Cuál es el número?
a) 12 b) 14 c) 6
d) 15 e) 18
2. El producto de un número capicúa de 4 cifras
por 23 termina en 11. Halla la suma de sus
cifras.
a) 20 b) 24 c) 30
d) 28 e) 32
3. Halla la última cifra del producto:
P = 2(2 + 1)(22
+ 1)(22
+ 1) ... (2n
+ 1)
donde: n = 1371
a) 5 b) 3 c) 1 d) 0 e) F. D.

Editorial
aritmétiCa 64
4. Al dividir A entre B se obtiene resto máximo.
Si el dividendo se disminuyera en 170, el co-
ciente disminuirá en 3 unidades y el resto se
volvería mínimo. Hallar B.
a) 30 b) 35 c) 48
d) 42 e) 43
5. El resto por exceso de una división es el tri-
ple del resto por defecto; dar el divisor si el
cociente es 15 y la suma del dividendo con el
divisor es 520.
a) 36 b) 32 c) 28
d) 40 e) 26
6. Si en una división el residuo por exceso, el
residuo por defecto, el divisor y el cociente
por defecto son números pares consecutivos.
¿Cuál es el valor del dividendo?
a) 50 b) 52 c) 53
d) 54 e) 60
7. Halla (a+b+c), si: abc # cb3 = ...402
a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 19
8. Al multiplicar un número de 3 cifras por 52, la
suma de sus productos parciales es igual a
889. Halla dicho número.
a) 120 b) 127 c) 130
d) 134 e) 140
9. En una división inexacta el residuo es 37 y el
cociente 13. Calcula el valor del dividendo sa-
biendo que es menor que 560 y que termina
en 4. Dar la cifra mayor como respuesta.
a) 7 b) 5 c) 9
d) 8 e) 4
10. En cierta división inexacta el resto por defec-
to, el resto por exceso, el cociente por exceso
y el divisor forman una progresión aritmética
de razón 3. Calcula el dividendo.
a) 171 b) 180 c) 189
d) 193 e) 195
11. Halla un número tal que multiplicando por 11,
39; 12; 34 y 27 dé como productos; abcde,
eabcd, deabc, cdeab y bcdea, sabiendo ade-
más que:
a + b + c +d + e = 27
a) 2430 b) 2432 c) 2450
d) 2439 e) 2451
12. La suma de los 4 términos de una división en-
tera es 353 si se multiplican el dividendo y el
divisor por 7 la suma de los nuevos términos
es 2375. Calcula el valor de la mayor cifra del
cociente.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
resto 15. Si triplicamos el dividendo y hace-
mos nuevamente la división. ¿Qué ocurre con
el cociente?
a) Se triplica
b) Se triplica y aumenta en 3
c) Se triplica y aumenta en 1
d) Se triplica y aumenta en 21
e) Se triplica y aumenta en 2
14. En una división entera inexacta el dividendo
es mpr, el divisor es pr, el cociente es 14 y el
resto mínimo. Halla el producto (mpr).
a) 18 b) 81 c) 63
d) 26 e) 144
15. En una división entera el producto del dividen-
do por el resto termina en 28. Sabiendo que el
divisor es un número de dos cifras, el dividen-
do termina en 23 y el cociente en 79. Halla la
suma de cifras del divisor.
a) 8 b) 9 c) 6 d) 7 e) 5
16. Si al dividir a7b entre ab se obtiene cc de
cociente y 1b de residuo. El número ab está
comprendido entre:
a) 55 y 65 b) 70 y 80 c) 65 y 75
d) 43 y 54 e) 90 y 96
17. Si: CA ( 4)( 2)
a a
+ +
^ h # CA(mn) = ...7

Editorial
Además: (a + 4)(a + 2) + mn = ...2
Calcula (a + m + n) máximo.
a) 20 b) 21 c) 22
d) 19 e) 23
18. En el producto de dos números si a uno se le
quita 3 decenas, el nuevo producto disminuye
en 10 830. Halla uno de estos números.
a) 350 b) 360 c) 361
d) 380 e) 392
19. En una división inexacta el dividendo esta
comprendido entre 200 y 300, el divisor es 25.
Además, el residuo por defecto excede del re-
siduo por exceso en 23. Halla el mayor valor
que puede tomar el cociente.
a) 9 b) 19 c) 13
d) 11 e) 15
20. En una multiplicación la suma de los 3 térmi-
nos es 1997, si al multiplicador se le multiplica
por 3, la suma de sus 3 nuevos términos es
5845. Halla la cifra de las decenas del multi-
plicando.
a) 3 b) 4 c) 6
d) 7 e) 5
1. a 5. b 9. b 13. c 17. b
2. b 6. b 10. a 14. a 18. c
3. d 7. e 11. d 15. a 19. d
4. e 8. b 12. e 16. a 20. d
Claves

Editorial
Divisibilidad en Z
Un número entero A es divisible entre otro número
entero positivo B si al dividir A entre B el cociente
es entero y el residuo igual a cero.
Simbólicamente:
Si: A ! Z; B ! Z y k ! Z
A B
0 k
A es divisible entre B
B es divisor de A
Sin embargo los elementos de la división se pue-
den representar mediante su algoritmo, esto es:
A = B(k) A es múltiplo de B
B es módulo de A
Ejemplos:
1. 40 8
0 5
40 es divisible entre 8
8 es divisor de 40
40 = 8(5) 40 es múltiplo de 8
8 es módulo de 40
2. -51 3
0 -17
- 51 es divisible entre 3
3 es divisor de -51
-51 = 3(-17) - 51 es divisible entre 3
3 es módulo de -51
3. 13 13
0 1
13 es divisor de 13
13 = 13(1) 13 es múltiplo de 13
13 es módulo de 13
4. 0 7
0 0
7 es divisor de 0
0 = 7(0) 0 es múltiplo de 7
7 es módulo de 0
De estos ejemplos podemos sacar algunas conclu-
siones:
I. Si el número entero N es múltiplo de 12, sig-
nifica que N se va a obtener de multiplicar 12
por un entero k, 12 tiene divisores, lo cual per-
mite expresar 12 de diferentes modos:
N = 12k = 2(6k) = 6(2k) = 3(4k) = 4(3k) se
observa que en cada caso podemos tomar un
módulo como referencia, es decir, podemos
afirmar también que N es múltiplo de 3, 4, 6 y 2.
De aquí se concluye:
Todo número entero es múltiplo de sus diviso-
res enteros positivos.
Ejemplo:
N es múltiplo de 15, como: 15 = 3 # 5
Luego se puede afirmar que:
N es múltiplo de 3 o N es múltiplo de 5
II. El cero es múltiplo de todo módulo, pues,
0 es múltiplo de 5 porque: 0 = 5(0)
0 es múltiplo de n porque: 0 = n(0), donde: n ! Z+
Nota:
En la multiplicidad para lo cual se tiene una
notación. Si A es múltiplo de B lo denotamos
así:
A =
°
B
Ejemplos:
• 20 = 5(4) 20 =
°
5 o 20 =
°
4
• -18 = 3(-6) = 6(-3) -18 =
°
3 o -18 =
°
6
• 5a + 7b =
°
5 + 7b = 5a +
°
7, donde: a y b son Z+
• A =
°
7 =
°
7 + 14 =
°
7 - 21 =
°
7 + 7n, n ! Z+
Hasta el momento, solo hemos visto los múl-
tiplos de un módulo, sin embargo también se
tienen números que no son múltiplos de al-
gún módulo. Y esto sucede porque no se está
cumpliendo la definición, es decir, la división
resulta inexacta y de esta se tiene dos tipos.
Ejemplos:
68 no es divisible entre 7, porque al dividir 68
entre 7 la división es inexacta, efectuándola por:
Defecto Exceso
68 7
5 9
68 7
2 10
por el algoritmo de la división:
68 = 7(9) + 5 68 = 7(10) - 2
Usando la notación de la multiplicidad, para
trabajar solo con el módulo, obtenemos:
68 =
°
7 + 5 68 =
°
7 - 2
Además: 5 + 2 = 7 (propiedad)
En general, si tenemos la siguiente división
inexacta:
divisibilidad

Editorial
Por defecto Por exceso
A B
rde k
A B
Rex k + 1
A =
°
B + rde A =
°
B - rex
Propiedad:
rde + rex = d
Esto significa que la representación se puede
dar en función del residuo por defecto o el re-
siduo por exceso.
Ejemplos:
I. 43 =
°
8 + 3 o 43 =
°
8 - 5; (3 + 5 = 8)
II. 54 =
°
7 + 5 o 54 =
°
7 - 2; (5 + 2 = 7)
En situaciones concretas nos encontraremos
con números que no son múltiplos de algún
módulo y será necesario operar y trabajar con
ellos. Para esto necesitamos algunas herra-
mientas que nos permiten dar respuestas a la
situación planteada. Esta necesidad nos lleva
a conocer algunos principios de la divisibilidad.
Principios básicos de divisibilidad
Las operaciones aritméticas elementales respecto
a los múltiplos de un módulo.
• Adición
Ejemplo:
35 + 14 = 49
7(5) + 7(2) = 7(7)
°
7 +
°
7 =
°
7
Luego, si los sumandos son
°
7, entonces, la
suma es
°
7; en general:
°
n +
°
n =
°
n
¿Qué sucede con los sumandos si la suma es n?
Ejemplo:
42 = a + b
S S S
°
7 30 12 → no múltiplos de 7
Analicemos el segundo caso, ya que el primer
caso lo hemos visto, expresado cada número
en función del módulo.
a = 30 =
°
7 + 2
b = 12 =
°
7 - 2
Luego: a + b =
°
7
Observamos que el residuo por defecto de
uno de los sumandos es igual al residuo por
exceso del otro sumando y es por ello que el
resultado es
°
7.
En general; si a + b =
°
n se van a presentar
dos casos:
I. a =
°
n II. a =
°
n + r
b =
°
n b =
°
n - r
• Sustracción
Ejemplo:
25 - 15 = 10
S S S
5(5) - 5(3) = 5(2)
°
5 -
°
5 =
°
5
Luego, si el minuendo (M) y el sustraendo (S)
son múltiplos de 5, entonces, la diferencia (D)
es
°
5.
En general: M - S = D
°
n -
°
n =
°
n
¿Qué sucede con el minuendo y el sustraen-
do si la diferencia es
°
n?
Ejemplo:
M - S = 15 =
°
5
S
°
5
Múltiplos de
°
5: 35; 20
No múltiplos de
°
5: 33; 18
Analicemos el segundo caso, ya que el primer
caso se ha visto expresado al minuendo y
sustraendo en función del módulo.
M = 33 =
°
5 +3
S = 18 =
°
5 +3
Luego: M - S =
°
5
Observamos que los residuos por defecto del
minuendo y sustrendo son iguales es por ello
que el resultado es
°
5.
En general, si M - S =
°
n tendremos dos casos:

Editorial
aritmétiCa 68
I. M = °
n II. M = °
n + R
S = °
n S = °
n + R
Efectuamos las siguientes divisiones:
47 5
2 9
22 5
2 4
47 =
°
5 +2 22 =
°
5 + 2
Dado que los residuos son iguales se afirma
que los números 47 y 22 son congruentes res-
pecto al módulo 5 y su notación es:
47 / 22 (mod 5)
En general si a = °
n + r y b = °
n + r entonces a
y b son congruentes respecto al módulo n y se
denota:
a / b (mod n)
• Multiplicación
Ejemplo
15 # 7 = 105 = 3(35) = 5(21) = 7(15)
S
°
15
°
15
°
3
°
5
°
7
Se observa que si la multiplicamos un 15 por
7 el resultado es
°
15 o
°
7.
En general:
°
n # a =
°
n; a ! Z
(n # a); a ! Z+
°
Ejemplo:
Calcula el residuo de dividir (147 # 228) entre 5.
Resolución:
147 # 228 =
°
5 + R ...(a)
Representando a 147 y 228 en función de mó-
dulo 5.
147 =
°
5 + 2 / 228 =
°
5 + 3
(147 # 228) 5
R q
Luego en (a):
(
°
5 + 2)(
°
5 + 3) = (
°
5 + R)
5(
°
5) + 5(
°
3) + 2(
°
5) + (2)(3) =
°
5 + R
°
5 +
°
5 +
°
5 + 6 =
°
5 + R
1 2 3
44 44
°
5 +
°
5 + 1 =
°
5 + R
S
°
5 + 1 =
°
5 + R
` R = 1
En general:
(°
n + a)(°
n + b)(°
n + c) = °
n + abc
• Potenciación
Ejemplo:
83
= 8 # 8 # 8 = 512
↓ ↓ ↓ ↓
(
°
4)3
=
°
4
°
4
°
4 =
°
4
Luego; en general:
(°
n)k
= °
n, donde: k ! Z+
El numeral 31 241(5) puede ser descompuesto
polinómicamente en bloques, así:
31 241(5) = 314(5) # 5 + 1
31 241(5) = 3124(5) # 52
+ 41(5)
31 241(5) = 31(5) # 53
+ 241(5)
Aplicando la notación de multiplicidad para
cada caso se tiene:

31 241(5) =
°
5 + 1 = (52
) + 41(5) =
°
53
+ 241(5)
Asimismo:
N = ... 12(7) =
°
49 + 12(7) =
°
49 + 9
En general:
°
n + e
°
n2
+ de(n)
°
n3
+ cde(n)
abcde(n) =
Observación:
(Impar)par
=
°
8 + 1
Si un número es múltiplo de varios módulos,
entonces, será múltiplo del menor múltiplo co-
mún de los módulos.
Ejemplo:
N =
°
4 / N = °
6
4
?
N = 2 # 2 # 3 # k = 12 k =
°
12
S
6
Se observa que 12 es el menor número múlti-
plo de 4 y 6.
A =
°
10
2 120 120
A K K
5 2 2 3
10 6
# #
# # #
= = =
_
`
a
b
b
b
b
? ?
1 2 3
4
4 4
4
8
A =
°
8
A =
°
6
R = °
a
_
`
a
b
b
b
b
R = °
b R = °
m
R = °
c

Editorial
Donde m es el menor múltiplo común de a, b y c.
De Arquímedes:
Si: AB = °
n /A ! °
n; entonces: B = °
n
Donde: A y B ! Z+
Ejemplos:
I. 7N =
°
9; como: 7 !
°
9; entonces: N =
°
9
II. 6A =
°
11; como: 6 !
°
11; entonces: A =
°
11
III. Si: 11ab =
°
13; hallar los valores de ab.
IV. Analicemos lo siguiente:
12N =
°
15 = 15k
12 y 15 tienen 2 divisores comunes el 1 y 3
lo cual nos induce a simplificar al máximo
de dichos números:
3(4N) = 3(5k)
(4N) = 5k =
°
5; pero: 4 !
°
5
Luego: N =
°
5
V. 20A =
°
28 (dividiendo entre 4)
5A =
°
7
A=
°
7
VI. 3N =
°
11 + 6 ...(a)
3N - 6 =
°
11
3(N - 2) =
°
11 como 3 !
°
11 entonces
N - 2 =
°
11
N =
°
11 + 2
Se puede abreviar el proceso si la igual-
dad (a) se divide entre 3:
3N =
°
11 + 6 N =
°
11 + 2
Los valores positivos que asume N son:
N = 2; 13; 24; ...
VII. 5R =
°
13 + 3
5R =
°
13 - 10 (entre 5) R =
°
13 - 2
VIII. 7A =
°
8 + 5 + 2(8)
7A =
°
8 + 21 (entre 7) A =
°
8 + 3
Divisibilidad aplicada al binomio de Newton
Ejemplo:
Calcula el residuo al dividir (154 # 319) entre 5.
Resolución:
154 # 319 =
°
5 + R
(
°
5 + 4)(
°
5 + 4) =
°
5 + R
(
°
5 + 4)2
=
°
5 + R
°
5 + 42
=
°
5 + R
°
5 + 16 =
°
5 + R
°
5 +
°
5 + 1 =
°
5 + R
°
5 + 1 =
°
5 + R
` R = 1
Otros casos
• (
°
11 + 2)5
=
°
11 + 25
=
°
11 + 32 =
°
11 + 10
• (
°
9 + 4)3
=
°
9 + 43
=
°
9 + 64 =
°
9 + 1
• (
°
8 - 3)4
=
°
8 + 34
=
°
8 + 81 =
°
8 + 1
• (
°
7 - 2)5
=
°
7 - 25
=
°
7 - 32 =
°
7 - 4 =
°
7+ 3
• (
°
13 + 1)2000
=
°
13 + 1
• (
°
5 + 4)51
= (
°
5 - 1)51
=
°
5 - 1 =
°
5 + 4
En general, sean los enteros positivos: a; r y n
(°
a - r)n
= *
°
a + rn
: n es par
°
a - rn
: n es impar
(°
a+ r)n
= °
a + rn
Restos potenciales
Ejemplo:
Halla los residuos al dividir cada una de las poten-
cias sucesivas de 5 entre 8.
Resolución:
Lo que se desea es: 5n
= 8 + rn, n ! Z0
+
Dando valores a n obtenemos:
5n
rn
50
= 1 =
°
8 + 1
51
= 5 =
°
8 + 5
52
= 25 =
°
8 + 1
53
= 125 =
°
8 + 5
54
= 625 =
°
8 + 1
1; 5; 1; 5; 1; ... se denomina restos potenciales de 5
respecto al módulo 8, la cual se observa que se re-
pite en forma periódica y que el primer residuo es 1.
En general:
Si {b, m} 1 Z+
{n, r} 1 Z0
+
además: bn
= °
m + rn

Editorial
aritmétiCa 70
Luego, al conjunto formado por los restos: r0; r1; r2;
...; se le denomina restos potenciales de b respecto
al módulo m, siendo esta periódica desde un lugar
en adelante (con período menor a m).
Ejemplo:
Calcula los restos potenciales de 2 respecto al mó-
dulo 7.
Resolución:
2n
=
°
7 + rn
2n
rn
20
=
°
7 + 1
21
=
°
7 + 2
22
=
°
7 + 4
23
=
°
7 + 1
24
=
°
7 + 2
25
=
°
7 + 4
26
=
°
7 + 1
Los restos potenciales son:
1; 2; 4; 1; 2; 4; 1; ...
Se observa que los restos potenciales {2; 4; 1} se
repiten periódicamente. A la cantidad que nos in-
dica el número de términos del período (3) se le
denomina Gaussiano, además los exponentes y
restos potenciales se pueden relacionar a través
del Gaussiano, del siguiente modo:
• 2
°
3
=
°
7 + 1 215
=
°
7 + 1
• 2
°
3 + 1
=
°
7 + 2 261
=
°
7 + 2
• 2
°
3 + 2
=
°
7 + 4 229
=
°
7 + 4
Casos que se presentan al analizar los
restos potenciales
Si se tiene; bn
= m + rn
Caso I
b contiene algunos de los divisores del módulo,
pero no a todos.
Ejemplo:
Analicemos los restos potenciales de:
a) 6 respecto al módulo 10
b) 15 respecto al módulo 20
c) 4 respecto al módulo 7
Caso II
b contiene a todos los divisores primos del módulo
Ejemplo:
Analicemos los restos potenciales de:
a) 12 respecto al módulo 18
b) 10 respecto al módulo 20
c) 12 respecto al módulo 8
Criterios de divisibilidad
Un criterio de divisibilidad es una relación que debe
cumplir las cifras de un determinado numeral para
que este sea divisible por otro, si no lo es, nos per-
mitirá calcular el residuo a partir de ellas. Cada sis-
tema de numeración tiene sus propios criterios de
divisibilidad y para conocerlos nos valemos de los
restos potenciales.

Editorial
PRINCIPALES CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
EN
BASE
10
Por 2 abcde =
°
2 + e. Si e =
°
2 (e ! {0; 2; 4; 6; 8}) abcde =
°
2
Por 4 abcde =
°
4 + de. Si de =
°
4 (de ! {00; 04; 08; 12; ...; 96}) abcde =
°
4
Por 8 abcde =
°
8 + cde. Si cde =
°
8 (cde ! {000; 008; 016; ...992}) abcde =
°
8
Por 5 abcde =
°
5 + e. Si e =
°
5 (e ! {0; 5}) abcde =
°
5
Por 25 abcde =
°
25 + de. Si de =
°
25 (de ! {00; 25; 50; 75}) abcde =
°
25
Por 125 abcde =
°
125 + cde. Si cde = 1
°
25 (de ! {00, 25, 50, 75}) abcde =
°
125
Por 3
abcde =
°
3 + a + b + c + d + e. Si a + b + c + d + e =
°
3
[(a + b + c + d + e) ! {3; 6; 9; 12; ...}] =
°
3
Por 9
abcde =
°
9 + a + b + c + d + e.
Si a + b + c + d + e =
°
9 [(a + b + c + d + e) ! {9; 18; 27; ...}] =
°
9
Por 11
abcde =
°
11 + e - d + c - b + a.
Si a - b + c - d + e =
°
11 abcde =
°
11
Por 7
abcdefgh
31231231
N
+ - +
=
°
7 + (3a + b) - (2c + 3d + e) + (2f + 3g + h). Si N =
°
7 abcdefgh =
°
7
Por 13
abcdefgh
31431431
N
- + - +
=
°
13 - 3a + (b + 4c + 3d) - (e + 4f + 3g) + h. Si N =
°
13 abcdefgh =
°
13
Por 33 abcde =
°
33 + a + bc + de. Si a + bc + de =
°
33 abcde =
°
33
Por 99 abcde =
°
99 + a + bc + de. Si a + bc + de =
°
99 abcde =
°
99
EN
GENERAL
Por n - 1
en base n
abcde(n) = (n - 1)
°
+ a+ b + c+ d+ e.
Si a + b + c +d +e = (n - 1)
°
abcde(n - 1) = (n - 1)
°
Por n + 1
en base n
abcde(n) = (n + 1)
°
+ a - b + c - d + e.
Si a - b + c - d + e = (n + 1)
°
abcde(n + 1) = (n + 1)
°

Editorial
aritmétiCa 72
1. ¿Cuál es la suma de las cifras que deben sus-
tituir al 2 y 3 del número 52 103 para que sea
divisible por 72?
Resolución:
Tenemos el numeral 52 103; sustituimos 2 por
a y 3 por b, entonces resulta:

°
8
5a10b =
°
72

°
9
Mod(8): 10b =
°
8 100 + b =
°
8 b= 4
Mod(9): 5a104 =
°
9 a + 1 =
°
9 a = 8
` a + b = 12
2. Hallar el múltiplo que siempre resulta de la
diferencia del cubo de un número entero y el
número mismo.
Resolución:
Sea N el número
N3
- N = N(N2
- 1)
= N(N - 1)(N + 1) =
°
6
S
°
2
1 2 3
444
4 444
4
°
3
3. Halla el residuo que resulta al dividir el pro-
ducto de los 100 primeros números primos
entre 4.
Resolución:
Consideremos al producto:
N = 2 # 3 # 5 # 7...
99 números primos
Nota: (n.° impar)(n.° impar) = (n.° impar)
N = 2(n.° impar)
N = 2(2K + 1)
N = 4K + 2 =
°
4 + 2 ` Residuo = 2
4. Un número al dividirlo por 10 da un residuo de
9, cuando se divide por 9 da un residuo de 8
y cuando se divide por 8 da un residuo de 7,
etc. y cuando se divide por 2 da un residuo de
1, halle el número.
Resolución:
Sea N el numeral:
N = N = MCM(10; 9; 8; 2) - 1
°
10 + 9 =
°
10 - 1
°
9 + 8 =
°
9 - 1
°
8 + 7 =
°
8 - 1
°
2 + 1 =
°
2 - 1
°
N =
°
360 - 1 N = 360 # t - 1
Para: t = 1 N = 359
t = 2 N = 719
t = 3 N = 1079
t = 4 N = 1439
h
t = 7 N = 2519
5. Si al cuadrado de un número de dos dígitos
se le resta el cuadrado del número formado
por los dos dígitos en orden invertido. ¿El re-
sultado será divisible por la diferencia de los
dígitos del número?
Resolución:
Sea ab el numeral
Por dato: ab2
- ba2
(ab + ba)(ab - ba)
[11(a + b)][9(a - b)]
32
# 11 # (a + b)(a - b)
` Si será divisible por a - b.
6. En el sistema de base 7, hallar la cifra de las
unidades del número: (1459)25
Resolución:
(1459)25
= ...x(7);
(1459)25
= (...)7 + x =
°
7 + x
En efecto:
145925
= (
°
7 + 3)25
=
°
7 + 325
=
°
7 + (33
)8
# 3
145925
=
°
7 + (
°
7 - 1)8
# 3 =
°
7 + (
°
7 + 1) # 3
145925
=
°
7 + 3 x = 3
7. Sea la diferencia entre un número de 3 cifras
y otro número obtenido escribiendo el interior
con las cifras en orden invertido. ¿Qué múlti-
plo tendrá siempre esta diferencia?
Resolución:
Sea abc el numeral, entonces:

Editorial
abc - cba = 100a + 10b + c -(100c + 10b +a)
99a - 99c = 99 # (a - c) = 32
# 11(a - c)

°
3;
°
9;
°
11;
°
33; etc.
8. Si n2
es un número divisible entre 3 y r es el
resto de dividir n entre 3, hallar el resto.
Resolución:
Si n2
=
°
3; entonces: n =
°
3 ` r = 0
9. Cuando el número 673 se eleva a la potencia
5642, hallar la cifra en que termina el resultado.
Resolución:
Analizando la terminación de las potencias de
673, tenemos:
6730
= ...1; 6731
= …3; 6732
= ...9
6733
= …7; 6734
= …1; 6735
= ...3
En general:
673
°
4
= ...1
Luego:
6735642
= 6735640
# 6732
= (...1)(...9)
6735642
= ...9
10. Se tiene cierto número N, del cual se sabe
que al dividirlo entre 3, 4, 5, 6 y 9 deja residuo
1. Pero al dividirlo entre 7 deja residuo 0. Ha-
llar la suma de cifras del menor número que
cumple con tal condición.
Resolución:
N =
N = MCM(3; 4; 5; 6; 9) + 1
N =
°
180 + 1 = 180t + 1
°
3 + 1
°
4 + 1
°
5 + 1
°
6 + 1
°
9 + 1
°
Además se sabe que:
N = 180t + 1 =
°
7
t =
°
7 + 4
Para t = 4, Nmin = 721 Rcifras = 10
1. ¿Cuántos números son múltiplos de 17 en los
3000 primeros enteros positivos?
a) 175 b) 176 c) 177
d) 178 e) 180
2. ¿Cuántos múltiplos de 6 terminados en 2 exis-
ten entre 120 y 1236?
a) 18 b) 19 c) 36
d) 37 e) 38
3. Por qué número es siempre divisible un nú-
mero de la forma: N = ab(2a)(2b)
a) 13 b) 15 c) 17
d) 19 e) 31
4. Si: a + b + c = 6
entonces: abc + cab + bca; ¿de qué número
siempre será múltiplo?
a) 11 b) 74 c) 7
d) 13 e) 27
5. A una convención de profesionales asistieron
400 personas entre americanos y europeos
entre los europeos los 2/7 son médicos, los
5/6 son ingenieros y los 3/5 son abogados.
¿Cuántos americanos asistieron a dicha con-
vención?
a) 190 b) 110 c) 150
d) 180 e) 120
6. A un evento deportivo asisten una cantidad de
personas menor que 300; si 2/11 de los asis-
tentes son mayores de edad; los 5/17 de los
mismos son limeños. ¿Cuántos no son lime-
ños?
a) 22 b) 55 c) 77
d) 132 e) 158
7. Si (
°
11 + 3)2 + A +
°
11 + 9 + 33 # 4 =
°
11. Halla
el menor valor de A (positivo).
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
8. En un salón de 50 alumnos se observa que
la séptima parte de las mujeres son rubias
y la 11.a
parte de los hombres usan lentes.
¿Cuántos hombres no usan lentes?

Editorial
aritmétiCa 74
a) 22 b) 28 c) 2
d) 20 e) 4
9. Del 1 al 5000, ¿cuántos son divisibles entre
13 pero no entre 6?
a) 340 b) 341 c) 320
d) 321 e) 319
10. A una fiesta de promoción asistieron 400
personas entre varones y mujeres. Del total
de las mujeres asistentes se observó que la
sexta parte de ellas tienen cabello largo, que
los tres octavos de ellas usan aretes y que los
cinco onceavos son rubias. ¿Cuántos varones
asistieron a la reunión?
a) 128 b) 132 c) 136
d) 264 e) 252
11. ¿Cuántos números de 3 cifras (base 7) son
múltiplos de 5?
a) 57 b) 58 c) 59
d) 60 e) 61
12. ¿Por qué número no siempre es divisible el
numeral abcabc?
a) 7 b) 13 c) 11
d) 9 e) 77
13. Calcula. ¿Cuántos términos de la siguiente
serie son
°
15 + 2?
8; 17; 26; 35; ..; 908
a) 20 b) 30 c) 15
d) 25 e) 28
14. Un numeral es
°
19 + 16; otro numeral es
°
19 + 5;
si el primero se divide entre el segundo el
residuo es cero. ¿Cuál es el menor positivo
cociente?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
15. Si prq3 = 7
pqr4 = 8
pqr5 = 9
halla el mayor valor de (p + q + r).
a) 20 b) 21 c) 22 d) 14 e) 18
16. Al dividir aba
entre 7 el resto fue 2 y al dividir
abb
entre 7 el resto es 5. Calcula el resto de
dividir abab entre 7.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
17. El número 3215
se convierte al sistema octal,
¿cuál es la última cifra de dicha representación?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
18. En una reunión donde asistieron 222 perso-
nas se observó que la 17.a
parte de los hom-
bres tenían reloj, que la tercera parte de las
mujeres usaban falda y que la quinta parte de
las mujeres usaban pantalón. ¿Cuántos no
usaban falda?
a) 40 b) 60 c) 80
d) 54 e) 24
19. Halla el mayor número par de 3 cifras, que di-
vidido entre 7 da un resto igual a 1 y al dividirlo
entre 15 el resto es 9. Dar como respuesta la
cifra central.
a) 2 b) 8 c) 4 d) 3 e) 0
20. Un número capicúa de cinco cifras es divisible
por 55; si sus millares enteros son divisibles
entre 19. ¿Cuál es el valor de la cifra central?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
1. b 5. a 9. c 13. a 17. c
2. d 6. d 10. c 14. c 18. c
3. c 7. d 11. d 15. c 19. d
4. b 8. d 12. d 16. b 20. b
Claves
1. Halla la suma de valores de x si:
52x3x1 =
°
3
a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21
2. Si 7a4a3 =
°
7, halla el valor de a.

Editorial
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
3. Si a532 =
°
9 y 3b58 =
°
11, halla (a + b).
a) 4 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
4. Calcula x, si: 2xx5x es divisible entre 7.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 7
5. ¿Cuál es el residuo de dividir entre 7 un nú-
mero formado por 345 cifras 4?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Al dividir a2853a entre 13 se obtuvo como res-
to 2, halla a.
a) 1 b) 2 c) 4
d) 3 e) 7
7. Dar el valor de a en: a577n =
°
72
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
8. Calcula (m # n), si: 7m46n es divisible por 56.
a) 4 b) 8 c) 35 d) 49 e) 56
9. Halla (a # b), si: a713b es divisible por 88.
a) 20 b) 24 c) 25 d) 18 e) 16
10. Halla ab sabiendo que el número 2a3b26a es
divisible entre 72.
a) 64 b) 24 c) 26 d) 46 e) 36
11. Sabiendo que: abc =
°
8, bca =
°
5, ab =
°
17, halla
(a + b+ c).
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
12. Si 6aba4b es divisible por 88, halla la suma de
a y b.
a) 7 b) 9 c) 8 d) 11 e) 10
13. ¿Cuántos números de la forma abba son divi-
sibles entre 7?
a) 16 b) 18 c) 20
d) 27 e) 24
14. Sabiendo que 5b3cc =
°
11, ¿cuántos valores
puede admitir bc si b y c son diferentes entre
si?
a) 6 b) 8 c) 9
d) 10 e) 18
15. Calcula (a + b - c). Si abc =
°
7 y ab = 8c
a) 5 b) 7 c) 5
d) 4 e) 3
16. ¿Cuántos números de la forma 3a3b son múl-
tiplos de 36?
a) 1 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
17. Halla un número de 3 cifras que sea igual a
5 veces, el producto de sus cifras. Da como
respuesta la cifra de mayor orden.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
18. Si mmpp =
°
63, halla (m - p).
a) 0 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
19. Calcula: (p + q + r)
si: pqp8pr = 1375
a) 6 b) 8 c) 13 d) 7 e) 20
20. Si abc se multiplica por 11 se obtiene: 9n8n,
halla: (a + b + c)
a) 14 b) 12 c) 11 d) 16 e) 15
1. c 5. c 9. d 13. b 17. a
2. c 6. c 10. d 14. c 18. e
3. d 7. b 11. c 15. d 19. e
4. d 8. b 12. b 16. e 20. d
Claves

Editorial
Clasificación de los números enteros
positivos
Dado el conjunto numérico:
Z+
= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...}
Los números que conforman el conjunto pueden
ser clasificados teniendo en cuenta alguna carac-
terística que presenten en particular, como por
ejemplo, el de la paridad (por su divisibilidad entre
dos), se tiene:
• Números pares: {2; 4; 6; 8; 10; 12; ...}
• Números impares: {1; 3; 5; 7; 9; 11; ...}
En general, podemos afirmar que:
Número Forma
Par 2n =
°
2
Impar 2n - 1 =
°
2 - 1
En este capítulo vamos a considerar la cantidad de
divisores enteros positivos que tiene cada número.
Encontremos los divisores de algunos números del
conjunto:
Números Divisores Cantidad de
divisores
1 1 1
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 2 4 3
5 1 5 2
6 1 2 3 6 4
7 1 7 2
8 1 2 4 8 4
9 1 3 9 3
10 1 2 5 10 4
11 1 11 2
12 1 2 3 4 6 12 6
h h
De ahí se observa que:
• 1 tiene un solo divisor
• 2; 3; 5; 7; 11; ... tienen solo dos divisores
• 4; 6; 8; 9; 10; 12; ... tienen más de dos divisores
Luego los Z+
se clasifican en dos conjuntos de
números:
Simples {1; 2; 3; 5; 7; 11; ...}
Compuestos: {4; 6; 8; 9; 10; 12; ...}
Números simples
Son aquellos números que tienen a lo más dos di-
visores.
La unidad. Es el único Z+
que tiene un solo divisor
También se le llama primo relativo
Primos absolutos. Son aquellos números que
poseen exactamente dos divisores, usualmente se
dice número primo.
{2; 3; 5; 7; 11; ...}
Números compuestos
Son aquellos números que tienen más de dos di-
visores.
{4; 6; 8; 9; 10; 12; ...}
Todo número compuesto tiene por lo menos un di-
visor primo.
En esta primera parte vamos a realizar un estudio
amplio sobre el conjunto de los números primos:
{2; 3; 5; 7; 11; ...}
Los cuales presentan las siguientes propiedades:
1. El conjunto de los números primos es infinito y
todavía no se encuentra fórmula alguna para
determinar todos los números primos.
• Fermat supuso que el número (22
n
+ 1) es pri-
mo; donde n es un entero positivo.
n 22n
+ 1 Número
1
2
3
4
5
5
17
257
65 537
4 294 967 297
1 2 3
444
4 444
4
641(6700 417)
primo
primo
primo
primo
compuesto
II. Todos los números primos, a excepción del 2
son impares.
III. Los únicos números consecutivos que son pri-
mos es el 2 y el 3. ¡Demostrarlo!
IV. Todo número primo mayor que 2 es de la for-
ma (
°
4 + 1) o (
°
4 - 1).
NÚMEROS PRIMOS

Editorial
Número primo Forma
3
°
4 - 1
5
°
4 + 1
7
°
4 - 1
11
°
4 -1
h
lo contrario no siempre se cumple:
25 es
°
4 + 1 pero no es primo.
• Todo número primo mayor que 3 es de la for-
ma (
°
6 + 1) o (
°
6 - 1)
Número primo Forma
5
7
11
13
h
°
6 - 1
°
6 + 1
°
6 - 1
°
6 + 1
• Demuestrelo analíticamente.
Lo contrario no siempre se cumple.
49 es
°
6 + 1 pero no es primo.
• En muchas oportunidades se nos presenta un
número, por ejemplo 163; 221 o 317 y se nos
pregunta si es primo, evidentemente que con-
testar la pregunta nos demandaría algún tiem-
po, pues tendríamos que determinar si es o no
divisible por algún entero, inferior al número.
Para estos casos se tiene un procedimiento
práctico.
Algoritmo para determinar si un número
es primo
1.er
paso. Se calcula la raíz cuadrada aproximada
(por defecto) del número, se toma la parte entera
de dicha raíz.
2.o
paso. Se indican todos los números primos me-
nores o igual a la raíz cuadrada aproximada.
3.er
paso. Se determina si el número es o no divi-
sible entre cada uno de los números primos indica-
dos en el paso anterior, de menor a mayor.
• Se dirá que el número es primo, si no resulta
ser divisible por ninguno de los primos indi-
cados.
• Se dirá que el número es compuesto si por lo
menos en un caso resulta divisible.
Ejemplos:
1. ¿163 es un número primo?
1.er
paso: 12,...
163 =
2.o
paso: (2; 3; 5; 7; 11)
3.er
paso: 163 =
°
2 + 1
163 =
°
3 + 1
163 =
°
5 + 3
163 =
°
7 + 2
163 =
°
11 + 9
Conclusión: 163 es número primo.
2. ¿221 es un número primo?
221 =
°
2 + 1
221 =
°
3 + 2
221 =
°
5 +1
221 =
°
7 + 4
221 =
°
11 + 1
221 =
°
13 = 13 # 17
Conclusión: 221 no es número primo
Clasificación por grupo de números
Números primos entre sí (PESÍ). Se les denomina
también primos relativos o coprimos y son aquellos
que tienen como único divisor común a la unidad.
Ejemplos:
1. ¿8; 12 y 25 son PESÍ?
Número Divisores
8 1 2 4 8
12 1 2 3 4 6 12
25 1 5 25
único divisor común
` 8; 12 y 25 son PESÍ
2. ¿9; 15 y 21 son PESÍ?
Número Divisores
9 1 3 9
15 1 3 5 15
21 1 3 7 21
dos divisores comunes
` 9; 15 y 21 no son PESÍ

Editorial
aritmétiCa 79
Números primos entre sí 2 a 2. Son aquellos
grupos de números que al ser tomados de 2 en 2
estos pares de números son PESÍ.
Ejemplo:
¿8; 9 y 25 PESÍ 2 a 2?
PESÍ
6 7 8
4
4 4
4
PESÍ
6 7 8
4
4 4
4
PESI
6 7 8
4
4 4
4
8 15 8 21 15 21
1 1 1 1 1 1
2 3 2 3 3 3
4 5 4 7 5 7
8 15 8 21 15 21
` 8; 15 y 21 son PESÍ 2 a 2
Propiedades:
I. Si varios números son PESÍ dos a dos, enton-
ces son PESÍ. Lo contrario no siempre ocurre.
II. Dos o más números consecutivos siempre
son PESÍ.
III. Tres números impares consecutivos siempre
son PESÍ dos a dos.
IV. Dos o más impares consecutivos siempre son
PESÍ.
Teorema fundamental de la aritmética
Todo número entero positivo mayor que la unidad
se puede expresar como la multiplicación indicada
de sus divisores primos diferentes elevados cada
uno de ellos a exponentes enteros positivos, esta
representación es única y se le denomina descom-
posición canónica del número.
Ejemplo:1
Descomponer canónicamente el número 1400
Resolución:
1400 2 1400 = 23
# 52
# 7
700 2 descomposición canónica (DC)
350 2
175 5
35 5
7 7
1 1
Estudio de los divisores de un número
Tabla de divisores
Ejemplo:
Elaborar una tabla de los divisores de: 200
Resolución:
200 = 23
# 52
Divisores de 23
6 7 8
44444 44444
20
21
22
23
Divisores
de 52
_
`
a
b
b
b
b
50
= 1 1 2 4 8
51
= 5 5 10 20 40
52
= 25 25 50 100 200
De aquí en adelante trabajaremos en función del
número:
N = ...
p p p pk
1 2 3
k
1 2 3
a a a a
DC
Cantidad de divisores [CDN]
Ejemplos:
1. Halla la CD de los números:
a) 200 b) 540
Resolución:
(a) 200 = 23
# 52
(DC)
` CD(200) = (3 + 1)(2 + 1) = 4 # 3 = 12
(b) 540 = 22
# 33
# 5
CD(540) =(2+1)(3+1)(1+1)=3# 4# 2=24
2. Analice los divisores de 72.
Resolución:
72 = 23
# 32
CD(72) = 4 # 3 = 12
Los divisores son:
simples compuestos
? 6 7 8
4444444 4444444
1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72
S
primos
propios
CD72 = 12
CDsimples = 3 CDprimos = 2
CDcompuestos = 9 CDpropios = 11
Divisor elemental: 2
En general:
CDN = (a1 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)...(ak + 1)

Editorial
Además:
CDN = CDsimples + CDcompuestos
3. Dado el número 360 determinar su cantidad
de divisores:
a) simples Rpta.: 4
b) compuestos Rpta.: 20
c) impares Rpta.: 6
d) múltiplos de 5 Rpta.: 12
e) múltiplos de 12 Rpta.: 8
f) PESÍ con 3 Rpta.: 8
g) múltiplos de 2 pero PESÍ con 5 Rpta.: 9
Suma de divisores [SD(N)]
Ejemplo:
Calcula la suma de los divisores de 200 y 2205
Resolución:
• 200 = 23
# 52
` SD(200) =
2 1
2 1
5 1
5 1
4 3
#
-
-
-
- = 15 # 31 = 465
• 2205 = 32
# 5 # 72
SD(2205) =
3 1
3 1
5 1
5 1
7 1
7 1
3 2 3
# #
-
-
-
-
-
-
SD(2205) = 4446
En general:
SD
p
p
p
p
p
p
1
1
1
1
1
1
N
k
k
1
1
1
2
2
1 1
k
1 2
# #
=
-
-
-
-
-
-
a a a
+ + +
^ h
Suma de las inversas de los divisores
[SID(N)]
Ejemplo:
Calcula la SID de 200
Resolución:
200 = 23
# 52
sus divisores son:
1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 25; 40; 50; 100 y 200
Sumando sus inversas:
SID(200) =
1
1
2
1
4
1
5
1
8
1
10
1
20
1
+ + + + + +
+
25
1
40
1
50
1
100
1
200
1
+ + + +
=
200
200 100 50 40 25 20 10 8 5 4 2 1
+ + + + + + + + + + +
SID(200) =
SD
200 200
465
40
93
( )
200
= =
En general:
SID(N) =
N
SD N
^ h
Producto de los divisores [PD(N)]
Ejemplo:
Calcula el producto de los divisores de 72.
Resolución:
72 = 23
# 32
CD(72) = 4 # 3 = 12
Observemos estos divisores:
1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72
Multiplicando 2 a 2 los divisores equidistantes, te-
nemos:
1 # 72 = 72 4 # 18 = 72
2 # 36 = 72 6 # 12 = 72
3 # 24 = 72 8 # 9 = 72
De aquí inducimos que:
PD(72) = 72 # 72 # 72 # 72 # 72 # 72 = 726
PD(72) = 72 72
/
12 2 12
=
En general:
PD N
N
CD N
=
^
^
h
h
Función de Euler [f(n): j(n)]
Se define para todos los enteros positivos N y re-
presenta la cantidad de números enteros positivos
entre dos múltiplos consecutivos de N y que son
primos relativos (PESÍ) con N.
Algunas veces la función es llamada indicador de N.
Ejemplos:
1. Calcula f(7), f(13)
Resolución:
1; 2; 3; 4; 5; 6; (7)
1; 2; 3; 4; ...; 12; (13)
jhsf

Editorial
aritmétiCa 81
Cada uno de los enteros positivos menores que 7
es PESÍ con 7, asimismo sucede con 13.
f(7) = 6 y f(13) = 12
En general
Si P es primo, entonces:
f(p) = p - 1
2. Calcula f(8); f(9) y f(625)
Resolución:
8 = 23
; 9 = 32
y 625 = 54
f(23
) = 23
- 22
= 22
(2 - 1) = 4
f(32
) = 32
- 3 = 3(3 - 1) = 6
f(54
) = 54
- 53
= 53
(5 - 1) = 500
En general:
Si p es número primo y a es un entero positi-
vo, entonces:
f(pa
) = pa - 1
(p - 1)
3. Halla f(72), f(200)
Resolución:
72 = 23
# 32
f(23
# 32
) = f(23
) # f(32
)
f(23
# 32
) = 4 . 6 = 24
f(72) = 24
200 = 23
# 52
f(23
# 52
) = 22
(2 - 1)5(5-1) = 4 # 20
f(200) = 80
En general:
Si N = ...
p p p p DC
k
1 2 3
k
1 2 3
a a a a
Entonces:
f(N) = ...
p p p p p p
1 1 1
k k
1
1
1 2
1
2
1
k
1 2
- - -
a a a
- - -
^ ^ ^
h h h
Si: n 2 1, entonces, la suma de los enteros
positivos menores o iguales que n y PESÍ con
n es:
n n
2
1
# # f^ h
4. Calcula la suma de los números enteros posi-
tivos menores o iguales y PESI con n, donde:
n = 200
Resolución:
200 = 23
# 52
; f(200) = 80
S =
2
1 # 200 # 80 = 8000
1. Entre los números 180, 756 y 900, ¿cuál es el
que tiene tantos divisores como 360?
Resolución:
Descomponiendo canónicamente a todos los
números, tenemos:
360 = 23
# 32
# 5 CD(360) = 4 # 3 # 2 = 24
180 = 22
# 32
# 5 CD(180) = 3 # 3 # 2 = 18
756 = 22
# 33
# 7 CD(756) = 3 # 4 # 2 = 24
900 = 22
# 32
# 52
CD(900) = 3 # 3 # 3 = 27
2. ¿Cuántos divisores menos tiene el número
360 que el número 1800?
Resolución:
Canónicamente los numerales resultan:
360 = 23
# 32
# 5 CD(360) = 4 # 3 # 2 = 24
1800 = 23
# 32
# 52
CD(1800) = 4 # 3 # 3 = 36
` CD(1800) - CD(360) = 12
3. Diga ¿cuántos de los siguientes números son
primos absolutos en base 7?
13(7); 31(7); 61(7); 25(7)
Resolución:
Tenemos a los números:
13(7); 31(7); 61(7); 25(7); (base 7)
↓ ↓ ↓ ↓
10; 22; 43; 19 (base 10)
son primos solo: 61(7) y 25(7)
4. Halla la suma de las inversas de todos los di-
visores de 360.
Resolución:
Sabemos que: 360 = 23
# 32
# 5
Luego:
SD(360) =
2 1
2 1
3 1
3 1
5 1
5 1
4 3 2
# #
-
-
-
-
-
-
SD(360) = 15 # 13 # 6

Editorial
Finalmente:
15 13 6
SID
SD
360 360
( )
360
( )
360 # #
= =
SID(360) = 3,25
5. ¿Cuántos divisores tiene el número 914 760?
Resolución:
Canónicamente resulta:
914 760 = 23
# 33
# 5 # 7 # 112
CD(914 760) = 4 # 4 # 2 # 2 # 3 = 192
6. ¿Cuántos números enteros existen que sean
primos relativos con 104
menores que 104
?
Resolución:
En este caso, es suficiente con aplicar el indi-
cador del número 104
(función Euler)
Así: 104
= 24
# 54
entonces:
f(104
) = 23
(2 - 1)53
(5-1) = 4000
7. Halla la suma de las cifras de un número ente-
ro N, sabiendo que admite solo 2 divisores pri-
mos, que el número de sus divisores simples y
compuestos es 6 y la suma de ellos es 28.
Resolución:
Por condición: N = aa
# bb
(a y b primos)
Como: CD(N) = (a + 1)(b+ 1) = 6; a = 1, b = 2
o a = 2, b = 1
además:
SD(N) = 28
a
a
b
b
1
1
1
1
2 3
#
-
-
-
-
=
28
a
a a
b
b b b
1
1 1
1
1 1
2
#
-
- +
-
- + +
=
^ ^ ^ ^
h h h h
(a + 1)(b2
+ b + 1) = 4 # 7
b2
+ b + 1 = 7 b = 2
a + 1 = 4 a = 3
` N = 3 # 22
= 12
8. Halla el valor de n para que el número de divi-
sores de N = 30n
sea el doble del número de
divisores de M = 15 # 18n
.
Resolución:
N = 30n
= 2n
# 3n
# 5n
CD(N) = (n + 1)(n + 1)(n + 1) = (n + 1)3
M = 15 # 18n
= 2n
# 32n + 1
# 5
CD(M) = (n + 1)(2n + 2)2 = 4(n + 1)2
Además, por dato del problema:
CD(N) = 2 # CD(M)
(n + 1)3
= 2 # 4(n + 1)2
n + 1 = 8 n = 7
9. Calcula la raíz cuarta del producto de todos
los enteros positivos menores que 2500, que
tengan exactamente 5 divisores positivos.
(Sugerencia: vea cuál es la forma de los nú-
meros enteros positivos que tienen exacta-
mente 5 divisores)
Resolución:
Si tienen 5 divisores positivos, son de la for-
ma: p4
; p: primo
Luego, por dato:
p4
1 2500
p 1 7, ...
P = 2; 3; 5; 7
Piden: 2 3 5 7
4 4 4 4
4
# # # = 210
10. Sean p, q y r enteros de 1, 2 y 3 cifras respec-
tivamente, que son primos absolutos y están
en progresión aritmética de razón t, siendo r
el menor primo absoluto de 3 cifras. ¿Cuántos
divisores tiene t?
Resolución:
Como r es el menor primo absoluto de 3 ci-
fras, r = 101
Además p; q; r están en progresión aritmética
de razón t.
Luego: q = 101 - t (2 cifras)
p = 101 - 2t 1 10 (1 cifra)
t 2 45,5
Para t = 48, q = 53 y p = 5
Finalmente t = 48 = 24
# 31
CD(t) = 5 # 2 = 10

Editorial
aritmétiCa 83
1. Al descomponer canónicamente 4400 se ob-
tiene (2x
)(5y
)(11z
). Halla x + y + z.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
2. ¿Cuántos divisores tiene 4400?
a) 8 b) 20 c) 16
d) 30 e) 12
3. ¿Cuántos divisores primos tiene 4400?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 2 e) 7
4. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 4400?
a) 27 b) 12 c) 15
d) 17 e) 26
5. Calcula n, si 16n
# 35n
, tiene 81 divisores.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. ¿Cuántos divisores tiene 1410
- 148
?
a) 99 b) 72 c) 648
d) 1146 e) 729
7. Si el siguiente número N = 9 # 10n
tiene 44
divisores compuestos. Calcula n.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
8. ¿Cuántos divisores de 720 son múltiplos de 6?
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 16
9. Determinar el número de divisores pares del
numeral 36 000.
a) 45 b) 40 c) 60
d) 65 e) 70
10. ¿Cuántos divisores de 4400 son impares?
a) 4 b) 6 c) 10
d) 12 e) 16
11. ¿Cuántos ceros se deben poner a la derecha
de 9 para que el resultado tenga 239 divisores
compuestos?
a) 6 b) 8 c) 9
d) 5 e) 4
12. Si P = 108 # 108 # 108 # ... # 108
1 2 3
4444444 4444444
n factores
tiene 114 divisores compuestos, hallar n.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 7
13. Si el número 12n
# 28, tiene 152 divisores
compuestos. Halla el valor de n.
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
14. Halla la suma de los dígitos del menor número
impar N que tiene 4 factores primos y tiene 24
divisores.
a) 9 b) 12 c) 15
d) 18 e) 21
15. Determinar N sabiendo que admite solo 3 di-
visores primos que sumados resulta 16. Dar
como respuesta el menor valor que adopta N,
si este tiene 30 divisores.
a) 1500 b) 1584 c) 1600
d) 1700 e) 1728
16. Si: A = 8k
+ 8k + 2
, tiene 88 divisores, halla k.
a) 6 b) 5 c) 4
d) 7 e) 8
17. Al multiplicarse N = 22
# 2a
por 27 su número
de divisores se incrementa en 27. Calcula N.
a) 50 b) 100 c) 75
d) 225 e) 150

Editorial
18. Si el menor número de la forma aaa tiene 12
divisores. Calcula el residuo al dividir aaa en-
tre 9.
a) 8 b) 7 c) 6
d) 5 e) 4
19. Determina el valor de n si se sabe que el nú-
mero 1960n
, tiene 105 divisores.
a) 1 b) 3 c) 2
d) 4 e) 5
20. ¿Cuántos divisores tiene N = 9n + 1
- 9n-1
si
161n + 2
tiene n6 divisores?
a) 49 b) 50 c) 64
d) 65 e) 81
1. b 5. b 9. c 13. c 17. b
2. d 6. c 10. b 14. d 18. c
3. a 7. c 11. b 15. b 19. c
4. e 8. e 12. b 16. d 20. b
Claves

Editorial
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Dado un conjunto de cantidades se define al MCD
de estas como aquel número que cumple las si-
guientes condiciones:
I. Es un divisor común de las cantidades
II. Es el mayor de los divisores comunes.
Ejemplos:
1. Sea los números: 30 y 45
Hallando sus divisores:
30: 1; 2 ; 3; 5; 6; 10; 15; 30
45: 1; 3; 5; 9; 15; 45
Divisores comunes: 1; 3; 5; 15 → Máximo
` MCD(30; 45) = 15
Divisores de 15: 1; 3; 5 y 15
2. Sean los números 24; 60 y 84
Hallando sus divisores:
24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60
84: 1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84
Divisores comunes: 1; 2; 3; 4; 6; 12 → Máximo
` MCD(24; 60; 84) = 12
Divisores de 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12
Observación:
• Los divisores comunes de un conjunto de can-
tidades son los divisores de su MCD.
• El MCD está contenido en los números.
En general:
Para los números A, B y C
MCD(A; B; C) = k
Ejemplos:
1. Halla el MCD de: 8; 10 y 15
Resolución:
8; 10 y 15 son PESÍ
` MCD(8; 10; 15) = 1
Si A, B y C son PESÍ
` MCD(A; B; C) = 1
2. Calcula el MCD de: 18; 6 y 30
Resolución:
18 = 6 # 3 y 30 = 6 # 5
` MCD(18; 6; 30) = 6
Si A =
°
B / C =
°
B
MCD(A; B; C) = B
Mínimo común múltiplo (MCM)
Dado un conjunto de cantidades se define el MCM
de estas como aquel que cumple lo siguiente:
I. Es un múltiplo común de las cantidades.
II. Es el menor de estos múltiplos comunes.
Ejemplos:
1. Sean 4 y 6.
Hallemos sus múltiplos.
4: 4; 8; 12; 16: 20; 24; 28; 32; 36; 40;...
6: 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42;...
Múltiplos comunes: 12 ; 24; 36; ...
Mínimo
` MCM(4; 6) = 12
Múltiplos de 12: 12; 24; 36;...
2. Sean 10; 15 y 30
Observemos sus múltiplos.
10: 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100;....
15: 15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120; 135;...
30: 30; 60; 90; 120, 150; 180;...
Múltiplos comunes: 30 ; 60; 90;...
MCM(10; 15; 30) = 30
Múltiplos de 30: 30; 60; 90;...
Observación:
• Los múltiplos comunes de un conjunto de can-
tidades son múltiplos de su MCM.
• El MCM es un número que contiene a los nú-
meros.
Ejemplo:
Halla el MCM de: 8 y 9
Resolución:
8 y 9 son PESÍ
` MCM(8; 9) = 8 # 9 = 72
Si dos números A y B son PESÍ
Entonces MCM(A; B) = AB
Si los números A, B y C son PESÍ dos a
dos entonces:
MCM(A; B, C) = ABC
MÁXIMO COMÚN DIVISOR - MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Editorial
Métodos para el cálculo del MCD y MCM
Descomposición simultánea
Ejemplos:
1. Calcula el MCM y MCD de 80; 120 y 200
Resolución:
I. Hallando el MCD
80 - 120 - 200
40 - 60 - 100
20 - 30 - 50
10 - 15 - 25
2
2
2
5
#
2 - 3 - 5 23
# 5 = 40
son PESÍ
` MCD(80; 120; 200) = 40
Cada número del conjunto de números se
puede expresar en función al MCD del con-
junto de números:
80 = 40 # 2
120 = 40 # 3 son PESÍ
200 = 40 # 5
En general: sean los números A, B y C.
MCD(A; B; C) = k, luego:
A = k # p
B = k # q son PESÍ
C = k # r
II. Hallando el MCM:
80 - 120 - 200 40
#
2 - 3 - 5 2
1 - 3 - 5 3
1 - 1 - 5 5
1 - 1 - 1 1200
` MCD(80; 120; 200) = 1200
Expresamos al MCM en función de cada nú-
mero:
1200 = 80 # 15
1200 = 120 # 10 son PESÍ
1200 = 200 # 6
En general: sean los números A, B, C
donde MCM(A; B; C) = m. Luego:
m = A # p
m = B # q son PESÍ
m = C # r
2. Calcula el MCD y MCM de 60 y 96.
Resolución:
60 - 96 2
30 - 48 2
15 - 24 3
5 - 8 22
# 3 = 12
60 - 96 12
5 - 8 5
1 - 8 8
1 - 1 12 # 5 # 8
Luego: MCD(60; 96) = 12
MCM(60;96) = 12 # 5 # 8
MCM(90; 96) = MCD(60; 96) # 5 # 8
Además: 60 = 12 # 5
96 = 12 # 8
60 # 96 = 12 # 12 # 5 # 8
60 # 96 = (MCD)(MCM)
En general, para dos números A y B
Si MCD(A; B) = k
A = k # p
B = k # q
PESÍ
MCM(A; B) = m
Entonces:
I. m = kpq
II. AB = km
3. Analicemos que sucede con el MCM y MCM
de los números: 60; 90; 105
MCD(60; 90; 105) = 15
60 = 15 # 4 60 # 8 = 15 # 8 # 4
90 = 15 # 6 90 # 8 = 15 # 8 # 6
105 = 15 # 7 105 # 8 = 15 # 8 # 7
` MCD(60 # 8; 90 # 8; 105 # 8) = 15 # 8

Editorial
aritmétiCa 87
Si MCD(A; B; C) = k
MCD(An; Bn; Cn) = kn
Donde: n ! Z+
MCM(60; 90; 105) = 1260
1260 = 60 # 21 1260 # 6 = 60 # 6 # 21
1260 = 90 # 14 1260 # 6 = 90 # 6 # 14
1260 = 105 # 12 1260 # 6 = 105 # 6 # 12
` MCM(60 # 6; 90 # 6; 109 # 6) = 1260 # 6
Si MCM(A; B; C) = m
MCM(An; Bn; Cn) = mn
Donde n ! Z+
Descomposición canónica
Ejemplo:
Halla el MCD y MCM de los números A, B y C don-
de:
A = 25
# 32
# 53
B = 23
# 34
# 52
# 72
C = 24
# 36
# 5 # 11
Entonces:
MCD(A; B; C) = 23
# 32
# 5
MCM(A; B; C) = 25
# 36
# 53
# 72
# 11
En general: Dadas las descomposiciones canóni-
cas de varios números:
• El MCD de dichos números es el producto de
sus divisores primos comunes elevados cada
uno de sus menor exponente.
• El MCM de dichos números es el producto de
sus divisores primos comunes y no comunes
elevados cada uno a su mayor exponente.
DivisionessucesivasoalgoritmodeEuclides
Teorema: En toda división entera inexacta el MCD
del dividendo y el divisor es el MCD del divisor y
el residuo.
Si: D d
r q MCD(D; d) = MCD(d; r)
Ejemplo:
Calcula el MCD de 156 y 120.
156 120
36 1 MCD(156; 120) = MCD(120; 36)
120 36
12 3 MCD(120; 36) = MCD(36; 12)
36 12
0 3 MCD(36; 12) = 12
` MCD(156; 120) = 12
Euclides ordenó todas estas divisiones del siguien-
te modo:
cocientes
1 3 3
156 120 36 12 ← MCD
36 12 0
residuos
En general: sean los números A y B donde
A 2 B.
q1 q2 q3 q4 cocientes
A B r1 r2 r3 MCD
r1 r2 r3 0 residuos
` MCD(A; B) = r3
No olvidar que las divisiones se pueden realizar
por defecto o exceso.
Ejemplo:
Calculamos el MCD de 144 y 56.
Divisiones por defecto Divisiones por exceso
144 56
32 2
56 32
24 1
32 24
8 1
24 8
0 3
144 56
24 3
56 24
16 3
24 16
8 2
16 8
0 2
Por defecto:
2 1 1 3 ← cocientes
144 56 32 24 8 ← MCD
32 24 8 0 ← residuos
` MCD(144; 56) = 8

Editorial
Por exceso:
3 3 2 2 ← cocientes
144 56 24 16 8 ← MCD
24 16 8 0 ← residuos
` MCD(144; 56) = 8
Propiedad:
Sean los números:
A
n n n
a cifras
n
1 1 1
1
n
a
=
- - -
= -
^ ^ ^
h h h
...
B
n n n n
b cifras
n
1 1 1 1
1
n
b
=
- - - -
= -
^ ^ ^ ^
h h h h
...
C
n n n n
c cifras
n
1 1 1 1
1
n
c
=
- - - -
= -
^ ^ ^ ^
h h h h
` MCD(A; B; C) = nMCD(a; b; c)
- 1
1. ¿Cuáles son los dos números primos entre sí,
cuyo MCM es 330 y su diferencia 7?
Resolución:
Sean A y B los números, por dato:
A - B = 7
↓ ↓
da - db = 7 d(a - b) = 7 ...(1)
MCM(A; B) = 330
↓
d # a # b = 2 # 3 # 5 # 11 ...(2)
De (1) y (2): d = 1 además:
A - B = 7
A # B = 15 # 22 A = 22, B = 15
2. Hallar el mayor de dos números tales que su
máximo común divisor sea 36 y su mínimo co-
mún múltiplo sea 5148.
Resolución:
Por dato:
MCD(A; B) = 36
MCM(A; B) = 5148
d a b = 5148 36a # b = 5148
a # b = 143 a # b = 11 # 13
a = 13 y b = 11 (pues son PESÍ)
El mayor número es: 36 # 13 = 468
3. Tres reglas de 200 milímetros de longitud c/u,
están uniformemente graduadas; la primera
cada milímetro, la segunda cada 16/25 de
milímetro y la tercera cada 18/23 de milímetro.
Si se les hace coincidir en toda su extensión.
¿A qué distancia del origen coincidirán tres
trazos de las reglas?
Resolución:
Sea L la longitud de la coincidencia entonces:
°
1
°
°
25
16
c m
25
18
c m
L L = MCM ; ;
1
25
16
23
28
c m
° °
...(1)
MCM ; ;
; ;
; ;
MCD
MCM
1
25
16
23
18
1 25 23
1 16 18
1
144
= =
c
^
^
m
h
h
L =
°
144 y como L 1 200 L = 144 mm
4. Las longitudes de las circunferencias de las
ruedas delanteras y traseras de una locomo-
tora son, respectivamente 250 y 425 centíme-
tros. ¿Qué distancia tendrá que recorrer la lo-
comotora para que una de las ruedas de 2870
vueltas más que la otra?
Resolución:
Gráficamente:
L
Calculando el MCM de 250 y 425
MCM(250; 425) = 4250; entonces:
La rueda menor da:
250
4250
= 17 vueltas
La rueda mayor da:
425
4250
= 10 vueltas
Es decir, la rueda menor da 7 vueltas más que la
mayor; cuando la locomotora recorre 4250 cm.

Editorial
aritmétiCa 89
Luego:
Distancia (cm) Dif. vueltas
4250 7
x 2870
4250 1 742 500
x cm
7
2870
#
= =
` x = 17 425 m
5. El MCD de 2 números A y B es 248 y el menor
de ellos es 2976. Sabiendo que el MCM está
comprendido entre 59 520 y 89 500. ¿Cuán-
tas soluciones hay para el mayor de dichos
números?
Resolución:
MCD(A; B) = d = 248 y el menor es:
248 # a = 2976 a = 12, de donde el mayor
B = 248b, b debe ser PESÍ con 12.
Además: 59 520 1 MCM(A; B) 1 89 500
59 520 1 248 # 12 # b 1 89 500
20 1 b 1 30, ...
entonces: b = 23; 25; 29
6. El MCD de 2 números es 13, se desea cono-
cer cuáles son estos números sabiendo que
los cocientes sucesivos que se obtienen al
hallar el MCD son 11; 9; 1; 2.
Resolución:
Por el algoritmo de Euclides:
11 9 1 1 2
A B 65 39 26 13
65 39 26 13 0
MCD(A; B) = 13
De la tabla: B = 9 # 65 + 39 = 624
A = 11 # 624 + 65 = 6929
7. Sea M el MCM de a y b
Si:
a
M = 110;
b
M =21 y el MCD de 7a y 7b es
840. Calcula M.
Resolución:
MCD(7a; 7b) = 840
7MCD (a; b) = 840
MCD(a; b) = 120; además:
110 110 110
a
M
d
d

α
αβ
β
= = =
21 21 21
b
M
d
d

β
αβ
α
= = =
Luego: MCM(a; b) = d
M = d # a # b
M = 120 # 110 # 21 = 277 200
8. Determinar el menor número entero que es
MCM de 25 números enteros diferentes, que
no sea múltiplo de 3 y tenga raíz cuadrada
exacta (cuadrado perfecto).
Resolución:
Si N = k2
es el MCM de 25 números diferentes,
quiere decir que k2
tiene 25 divisores, es decir
debe ser de la forma: k2
= a4
# b4
; k2
= a24
Ahora, como N debe ser el menor posible, en-
tonces: a = 2 y b = 5, pues, por dato: a, b ! 3
Así: N = k2
= 24
# 54
= 10 000
En el caso N = k2
= a24
= 224
(es muy grande)
9. La suma de los números a y b es 651; el cocien-
te entre su MCM y MCD es 108; hallar a - b.
Resolución:
Sabemos que:
108 108
MCD
MCM
d
d

αβ
= =
a # b = 22
# 33
a = 27 y b = 4
a + b = 651 d(a + b) = 3 # 7 # 31
d # 31 = 3 # 7 # 31 d = 21
Luego: a - b = d(a - b) = 21 # 23 = 483
10. El producto de dos números enteros positivos
es 360. La suma de los cocientes obtenidos
al dividir cada uno de ellos por su máximo co-
mún divisor es 7, y el producto de estos co-
cientes es 10. Hallar el valor absoluto de la
diferencia de estos números.
Resolución:
A # B = 360 ...(1), además:
7 7
d
A
d
B
d
d
d
d

α β
+ = + =

Editorial
a + b = 7
y a # b = 10 = 5 # 2, de donde: a = 5 y b = 2
(d # 5)(d # 2) = 360, entonces: d2
= 36
d = 6
Luego: A - B = d(a - b) = 6 # 3 = 18
11. Sean A y B dos números enteros cuyo MCD
es 12 y la diferencia de sus cuadrados es
20 880. Hallar A - B.
Resolución:
MCD(A; B) = 12; además:
A2
- B2
= 20 880
↓ ↓
(da)2
- (db)2
= 20 800
d2
(a2
- b2
) = 20 800
144(a2
- b2
) = 20 800
a2
- b2
= 145
↓ ↓
172
- 122
= 145
O sea: a = 17; b = 12
Luego:
A - B = d(a - b) = 12(5) 60 = A - B
12. Halla la diferencia de 2 números enteros sa-
biendo que su MCD es 48 y que su suma es
288.
Resolución:
Por dato: MCD(A; B) = d = 48
Además: A + B = 288
48a + 48b = 288
48(a + b) = 288
a + b = 6
↓ ↓
5 1
a = 5 y b = 1, luego:
A - B = d(a - b) = 48 # 4 = 192
1. Determinar dos enteros sabiendo que la suma
de sus cuadrados es 3492 y su producto es
216 veces su MCD. Dar su diferencia como
respuesta.
a) 13 b) 6 c) 9
d) 12 e) 15
2. Determinar dos enteros sabiendo que el co-
ciente de su suma por su MCD es 8 y el co-
ciente de su producto por su MCD es 840. Dar
al número de soluciones.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. La suma de dos números enteros positivos es
4320 y tiene 24 divisores comunes. ¿Cuántos
pares de números cumplen dicha condición?
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
4. El MCD de 1a7a y b3(b + 2) es un capicúa de
dos cifras ¿Cuál es la suma de a + b?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
5. ¿Cuántos números menores que 7680 tiene
en el un MCD igual a 24.
a) 128 b) 130 c) 132
d) 134 e) 136
6. Al calcular el MCD de dos números mediante
el algoritmo de Euclides se obtuvo como co-
cientes sucesivos 1; p; 3 y 2. Calcular el valor
de p; si la suma de los números es igual 53
veces el MCD.
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
7. Tres números de forma p5p, q7qr27 poseen
como MCD a 11. Calcular (p + q +r).
a) 19 b) 20 c) 21
d) 22 e) 23
8. El número entero de tres cifras y su CA tiene
como MCD a 100. ¿Cuántos números cum-
plen esta condición?
a) 1 b)2 c)3 d) 4 e) 5
9. Al calcular el MCD de dos números A y B por
el método del algoritmo de Euclides se obser-
vó que los dos primeros fueron 54 y 36, ade-
más la suma de los cocientes sucesivos fue
17. Si el número A es el mayor posible. ¿Cuál
es su valor?

Editorial
aritmétiCa 91
a) 2596 b) 2856 c) 2952
d) 2690 e) 2876
10. Calcular n si el MCD de:
n(n + 1)(n + 2) y (n + 3)(n + 4)(n + 5) es 9.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
11. La relación de dos números es 5/8 y su MCM
es 840. ¿Cuál es el mayor?
a) 152 b) 160 c) 168
d) 176 e) 184
12. El MCM de tres números naturales que su-
man 255 es 1785. Si el MCD de cada par de
ellos es 17 ¿Cuál es el mayor?
a) 119 b) 136 c) 153
d) 170 e) 102
13. La suma de dos números es 581 y el cociente
de su MCM por su MCD es 240. ¿Cuál es la
diferencia de dichos números?
a) 531 b) 533 c) 535
d) 537 e) 539
14. MCM(A; B) = A2
= 324. Determinar la suma
de cifras del MCD.
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
15. El MCM de cuatro números consecutivos es
5460. Calcular la suma de los dígitos del me-
nor de los números si este es múltiplo de 3.
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
16. ¿Cuál es el menor número que es: (m5 + 2),
(m6 + 1), (m7 + 2), (m8 + 5). Dar como res-
puesta la suma de sus cifras.
a) 24 b) 23 c) 22
d) 21 e) 20
17. Determinar el mayor número de cuatro cifras
que al dividirlo entre 6, 7, 8 y 9 nos da residuos
iguales, tal que este sea el máximo posible.
a) 9589 b) 9587 c) 9585
d) 9583 e) 9581
18. Determinar la superficie del menor terreno
rectangular que puede ser dividido en lotes
rectangulares de 12 m; 10 m; 20 m; 8 m; 16 m;
24 m. Sabiendo que las primeras dimensiones
representan el largo y las segundas el ancho.
a) 28 800 m2
b) 14 400 m2
c) 25 000 m2
d) 72 000 m2
e) 57 600 m2
19. A un número de tres cifras m6 se le agrega
uno y se convierte en m7 y si agrega una uni-
dad mas se convierte en m8. Determinar la
suma de cifras de todas las soluciones.
a) 48 b) 54 c) 60
d) 66 e) 72
20. Se divide dos números y el cociente exacto
resulta igual a su MCD; la suma del MCD y
MCM resulta ser igual a 56. Determinar el pro-
ducto de ambos números.
a) 256 b) 289 c) 320
d) 343 e) 450
1. d 5. c 9. b 13. e 17. e
2. b 6. b 10. b 14. c 18. a
3. b 7. e 11. c 15. a 19. d
4. a 8. b 12. a 16. c 20. d
Claves

Editorial
Potenciación
Es una operación matemática que consiste en mul-
tiplicar un número por si mismo varias veces.
Ejemplos:
• 625 = 5 # 5 # 5 # 5 = 54
Es una potencia perfecta de grado 4.
• 729 = 9 # 9 # 9 = 93
• 729 = 32
# 32
# 32
= 36
• 729 = 27 # 27 = 272
En general:
P = K # K # K ... K = Kn
n ! Z+
1 2 3
44 44
K ! Z+
n veces
Donde: K es la base
n es el exponente
P es la potencia perfecta de grado n.
Teorema fundamental
Para que un número entero positivo sea una po-
tencia perfecta de grado n, es condición necesaria
y suficiente que los exponentes en su descomposi-
ción canónica sean múltiplos de n.
Si P = P P P
1 2 3
1 2 3
a a a
DC
Pn
= P P P
n n n
1 2 3
1 2 3
a a a
` Pn
es una potencia perfecta de grado n.
Casos particulares
1. Potencia perfecta de grado 2 (cuadrado perfecto)
Ejemplos:
64 = 26
= (23
)2
= 82
144 = 24
# 32
= (22
# 3)2
= 122
2025 = 34
# 52
= (32
# 5)2
= 452
En general:
Si P = P P P
d
1
2
2
2
3
2
1 2 3
a a
P = P P P
d
1 2 3
2
1 2 3
a a
a k
` P es un cuadrado perfecto
Observación: los siguientes números son cuadra-
dos perfectos:
A = 22
# 34
CDA = 3 # 5 = 15
B = 34
# 52
# 72
CDB = 5 # 3 # 3 = 45
C= 22
# 52
CDC = 3 # 3 = 9
Si: N = P P P
1
2
2
2
3
2
1 2 3
a a a
CDN = (2a1 + 1)(2a2 + 1)(2a3 + 1) = Número impar.
Nota:
Todo cuadrado perfecto tiene una cantidad
impar de divisores.
2. Potencia perfecta de grado 3 (cubo perfecto)
Ejemplos:
125 = 5 # 5 # 5 = 53
64 = 26
= (22
)3
= 43
216 = 23
# 33
= (2 # 3)3
= 63
n = 56
73
= (52
# 7)3
= 1753
En general si:
P P P P
1
3
2
3
3
3
1 2 3
=
a a a
DC
P P P P
1 2 3
3
1 2 3
=
a a a
^ h
P = K3
forma general
Criterios de inclusión y exclusión de cua-
drados y cubos perfectos
1. Según su última cifra
k ...0 ...1 ...2 ...3 ...4 ...5 ...6 ...7 ...8 ...9
k2
...0 ...1 ...4 ...9 ...6 ...5 ...6 ...9 ...4 ...1
k3
...0 ...1 ...8 ...7 ...4 ...5 ...6 ...3 ...2 ...9
• Si un número termina en la cifra 2; 3; 7 u 8 no
es un cuadrado perfecto en los demás casos
tiene la posibilidad de serlo.
• Un cubo perfecto puede terminar en cualquier
cifra.
2. Por su terminación en cifras ceros
Ejemplos:
14 400 = 144 # 102
= 122
# 102
64 000 = 64 # 103
= 82
# 103
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Editorial
aritmétiCa 93
125 000 = 125 # 103
= 53
# 103
216 000 000 = 216 # 106
= 63
# 106
I. ab ... 00 ... 00 = k2
cuadrado 2n ceros
perfecto
II. ab ... 000 ... 000 = k3
cuadrado 3n ceros
perfecto
3. Por su terminación en cifra 5
Ejemplos:
1225 = 352
12 = 3 # 4
3025 = 552
30 = 5 # 6
7225 = 852
72 = 8 # 9
13 225 = 1152
132 = 11 # 12
...0
abc25 = n52
abc = n(n + 1) = ...2
...6
3375 = 153
15 629 = 253
428 875 = 353
91 125 = 453
abcd5 = n53
d = 2; si n: par
d = 7; si n: impar
4. Por criterios de divisibilidad
I. Divisibilidad por 4
Ejemplos:
12 =
°
4 122
=
°
4
17 =
°
4 + 1 172
=
°
4 + 1
22 =
°
4 + 2 222
=
°
4
35 =
°
4 + 3 352
=
°
4 + 1
16 =
°
4 163
=
°
4
9 =
°
4 + 1 93
=
°
4 + 1
10 =
°
4 + 2 103
=
°
4
15 =
°
4 + 3 153
=
°
4 + 3 =
°
4 - 1
En general
N
°
4 °
4 + 1
°
4 +2
°
4 + 3
N2 °
4 °
4 + 1
°
4 °
4 + 1
N3 °
4 °
4 +1
°
4 °
4 + 3
II. Divisibilidad por 9
N N2
N3
°
9
°
9
°
9
°
9 + 1
°
9 + 1
°
9 + 1
°
9 + 2 9 + 4
°
9 - 1
°
9 + 3
°
9
°
9
°
9 + 4
°
9 + 7
°
9 + 1
°
9 + 5
°
9 + 7
°
9 - 1
°
9 + 6
°
9
°
9
°
9 + 7
°
9 + 4
°
9 +1
°
9 + 8
°
9 + 1
°
9 - 1
Radicación
Es una operación matemática inversa a la poten-
ciación que consiste en que dados dos números
llamados índice y radicando se calcula un tercer
número llamado raíz, donde este último elevado al
índice reproduzca el radicando. Así tenemos:
R = k k R
n n
+ =
Donde:
k es el radicando
n es el índice
R es la raíz enésima
Ejemplos:
225 = 15 152
= 225
216
3
= 6 63
= 216
625
4
= 5 54
= 625
Luego: toda potencia perfecta de grado n posee
raíz enésima exacta.
Casos particulares
1. Raíz cuadrada
a. Exacta
529
0
23 N
0
K
529 = 232
N = k2

Editorial
b. Inexacta
Defecto Exceso
540
11
23 540
36
24
540 = 232
+ 11 540 = 242
- 36
N
Rdef
k N
rexc
k + 1
N = k2
+ Rdef = (k + 1)2
- rexc
Rdef + rexc = 2k + 1
Observemos las siguientes raíces y los resi-
duos:
143
22
11
143 + 1: cuadrado perfecto
22: residuo máximo
624
48
24
624 + 1: cuadrado perfecto
48: residuo máximo
N
2K
K
N + 1 = cuadrado perfecto
Residuo máximo
2. Raíz cúbica
a. Exacta
512
0
3
8 N
0
3
k
512 = 83
N = k3
b. Inexacta
829
100
3
9 829
111
3
10
N
rdef
3
k N
rexc
3
k + 1
N = k3
+ rdef = (k + 1)3
- rexc
rdef + rexc = 3k(k + 1) + 1
Observemos las siguientes raíces y los re-
siduos:
63
36
3
3 124
60
3
4
S S
3 # 3 # 4 3 # 4 # 5
N
rmáx
3
K N + 1 = cubo perfecto
rmax = 3K(K + 1)
1. ¿Cuál es el número de cuatro cifras cuyas dos
primeras cifras de la izquierda son 2 y 2; que
es un cuadrado perfecto?
Resolución:
Sea el número 22ab
Por dato: 22ab = k2
, entonces:
22'ab
16
6a'b
609
0
47
a
u
8
6
7 8
=
87 # 7 = 609
88 # 8 = 704 (no sirve)
` k2
= 472
= 2209
2. Hallar el número por el cual hay que dividir a
108 675 para que el cociente sea un cuadrado
perfecto.
Resolución:
Por dato
108 675 N
0 k2
108 675 = N # k2
Descomponiendo en factores a 108 675 se
obtiene:
108 675 = 32
# 52
# 7 # 23 # N = k2
4375 # 52
108 675 12 075 # 32
483 # 152
De las alternativas, solo cumple N = 483
3. Las raíces cúbicas de 614 125 y 205 379 se
diferencian en:
Resolución:
Extrayendo la raíz cúbica, en ambos casos:
614 125
512
102 125
102 125
0
205 379
125
80 379
80 979
0
85 59
3 8
5
1021
2
#
=
3 5
9
803
2
#
=
19 200 +
1200
25
20 425
5
102 125
7500 +
1350
81
8931
9
80 379
3 3
Nos piden: 85 - 59 = 26

Editorial
aritmétiCa 95
4. Para recorrer 302,50 metros, Juan da tantos
pasos como milímetros tiene cada uno de
ellos. ¿Cuál es la longitud del paso?
Resolución:
Sea A el número de pasos que da; entonces,
cada paso mide N milímetros.
Luego: N # N = 302,5 m
N2
= 302 500 mm
N = 302 500 = 550 mm
5. Hay 1849 árboles en un bosque. El número de
árboles en una fila es igual al número de filas.
Halla el número de filas.
Resolución:
Sea N el número de filas del bosque; cada fila
tiene N árboles, entonces, en total hay N2
ár-
boles.
O sea: N2
= 1849
N = 43
6. Una persona nacida en la primera mitad del
siglo diecinueve tenía x años en el año x2
. Di-
cha persona nació en:
Resolución:
Sea 18ab el año de su nacimiento.
Por dato: 18ab + x = x2
18ab = x(x - 1)
1640 = 40 # 40 (no cumple)
1722 = 42 # 42 (no cumple)
1806 = 43 # 42 (cumple)
1892 = 44 # 43 (no cumple)
Nació en 1806
7. Para pavimentar un patio cuadrado se em-
plean losetones de 50 # 50 cm. Si el patio tu-
viera un metro más por cada lado, se habrían
necesitado 140 losetones más. ¿Cuánto mide
cada lado del patio?
Resolución:
Sea L la longitud del lado del patio.
Inicialmente: n.° losetas =
cm
L
2500 2
2
Después: n.° losetas =
cm
L
2500
100
2
2
+
^ h
Por dato:
cm
L
cm
L
2500
100
2500
140
2
2
2
2
+
- =
^ h
200 L + 10 000 = 350 000
200 L = 340 000
L = 1700 cm
L = 17 m
8. Si se extrae la raíz cuadrada de 11,9494069;
hallar el residuo que queda.
Resolución:
Extrayendo la raíz cuadrada, se obtiene:
11,94940690
9
29'4
256
3894
3425
46 906
41 436
547 090
483 889
63 201
3,4569
64 # 4 = 256
685 # 5 = 3425
6906 # 6 = 41 436
69 127 # 7 = 493 889
` Residuo = 0,0063201
9. Dos números impares consecutivos son tales
que la diferencia de sus cuadrados es 8000.
Hallar los números.
Resolución:
Sean los números: (2n + 1) y (2n - 1)
Por dato:
(2n + 1)2
- (2n - 1)2
= 8000
(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 8000
(4n)(2) = 8000
n = 1000
Luego los números son: 2n + 1 = 2001
2n - 1 = 1999
10. Con S/.16 464, se han comprado latas de sar-
dinas en cierto número de cajones cada uno
de los cuales contiene un número de latas
triples del número de cajones. Cada lata de
sardinas cuesta un número de soles doble del
número de cajones. ¿Cuántas son las latas de
sardinas?

Editorial
Resolución:
Sea n el número de cajones
• cada caja contiene: 3n latas
• cada lata cuesta: 2n soles
En total invierte: n(3n)(2n) = 16 464
n3
= 2744
n3
= 143 n = 14
` número de latas = 42
11. Hallar los cuadrados perfectos de la forma:
n2
= aabb e indicar a + b.
Resolución:
Por dato: aabb = k2
Descomponiendo polinómicamente:
1100a + 11b = k2
11(100a + b) = k2
1 2 3
44 44
11 # t
entonces: 100a + b =
°
11
(
°
11 + 1) a + b =
°
11
a + b =
°
11
a + b = 11 (única posibilidad)
12. Se quiere cercar un terreno de forma cuadra-
da cuya superficie es de 15 625 m2
, con una
cerca de tres hileras de alambre. Se desea
saber cuánto costará toda la obra si el metro
de alambre cuesta S/.15,50 y la mano de obra
total: S/.4225
Resolución:
Área total = 15 625 m2
, entonces, cada lado
tiene 15 625 = 125 m
Perímetro total del terreno: 500 m
Costo del metro de alambre: 15,50
Costo de 500 m de alambre:
15,50 # 500 = 7750 soles
En las tres hileras gasta:
3 # 7750 = 23 250 soles +
4225 (mano de obra)
______
Total = 27 475
1. ¿Cuántos de los siguientes numerales no son
cuadrados perfectos?
I. 297 II. 196 III. 128
IV.372 V. 400
a) 2 b) 3 c) 4
d) 1 e) 5
2. ¿Cuántos cuadrados perfectos están com-
prendidos entre 144 y 900?
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
3. ¿Cuántos cubos perfectos de tres cifras hay?
A) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
4. ¿Cuántos cubos perfectos de dos cifras hay?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5. ¿Cuántos cubos perfectos hay entres 20 y
150?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
6. Si: N = 640a es un cuadrado perfecto; calcular: a
a) 0 b) 1 c) 2
d) 4 e) 6
7. ¿Cuántos cubos perfectos hay entre 27 y
8000?
a) 16 b) 15 c) 14
d) 17 e) 18
8. Los números que tienen raíz cuadrada exacta
y están comprendidos entre 269 y 412; calcu-
lar cuántos números son.
a) 6 b) 5 c) 2
d) 4 e) 3
9. ¿Cuántos cuadrados perfectos hay entre 80 y
160?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

Editorial
aritmétiCa 97
10. Calcular la suma de los dos mayores cuadra-
dos perfectos de dos cifras.
a) 120 b) 145 c) 160
d) 170 e) 180
11. ¿Cuál es el menor número natural por el que
se debe multiplicar a N para que sea un cua-
drado perfecto, si N = 22
# 15 # 49?
a) 8 b) 15 c) 25
d) 49 e) 60
12. La diferencia de los cuadrados de las raíces de
dos números es 24 y la suma de las raíces de
dichos números es 12. ¿Cuál es el menor de
dichos números, si son cuadrados perfectos?
a) 16 b) 25 c) 36
d) 49 e) 81
13. Entre dos cuadrados perfectos consecutivos
hay 26 números enteros. Determinar el prime-
ro de los números comprendidos entre tales
cuadrados perfectos.
a) 171 b) 170 c) 168
d) 172 e) 195
14. Sea N = 3 # 72
# 11, ¿Cuál es el menor nú-
mero natural por el que se debe multiplicar a
N para que sea un cuadrado perfecto?
a) 3 b) 11 c) 33
d) 66 e) 75
15. El cubo de un número, aumentado en el propio
número resulta 222. ¿Cuál es su cuadrado?
a) 49 b) 25 c) 81
d) 64 e) 36
16. El cuadrado de un número aumentado en el
propio número resulta 156. Hallar la suma de
las cifras de dicho número.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
17. ¿Cuál es el menor número entero por el que
se debe multiplicar a 64 350 para que el pro-
ducto sea un cuadrado perfecto?
a) 143 b) 22 c) 28 600
d) 26 e) 286
18. ¿Cuál es el menor número entero por el que
se debe multiplicar a 648 para que su produc-
to sea un cuadrado y cubo perfecto a la vez?
a) 36 b) 72 c) 144
d) 56 e) 112
19. ¿Cuál es el menor número entero tal que si
dividimos el número 157 339 entre dicho nú-
mero se obtiene una división exacta con un
cociente que es un número entero y cuadrado
perfecto?
a) 13 b) 37 c) 19
d) 17 e) 91
20. La suma de la tercera y cuartas parte de un
número es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el
menor número que cumple esta condición?
a) 12 b) 24 c) 48
d) 84 e) 96
21. Para que un número N sea cubo perfecto se
le debe multiplicar por 18 y para que sea cua-
drado perfecto se le debe multiplicar por 15.
¿Cuál es el menor valor que puede tener N?
a) 225 b) 216 c) 2000
d) 1500 e) 375
22. Entre dos cuadrados enteros, determinar el
mayor de dichos cuadrados.
a) 1024 b) 961 C) 1156
d) 1089 e) 900
23. La diferencia de los cuadrados de dos núme-
ros es 1128, mientras que la diferencia entre
ellos es 6; uno de ellos es:
a) 89 b) 91 c) 93 d) 95 e) 87
1. b 6. b 11. b 16. c 21. d
2. c 7. a 12. b 17. e 22. d
3. d 8. a 13. b 18. c 23. b
4. b 9. d 14. c 19. c
5. b 10. d 15. e 20. d
Claves

Editorial
1. Al extraer la raíz cuadrada a: 70ab, se obtiene
14 de resto. Calcular: a + b
a) 6 b) 7 c) 10 d) 13 e) 15
2. Si: 53a9
10
K
calcular: K + a
a) 64 b) 71 c) 76
d) 85 e) 89
3. Si: (2a)6a(2a) = K2
hallar la suma de cifras K.
a) 12 b) 18 c) 15
d) 14 e) 16
4. Si: 4aa5a = K3
hallar: a2
+ K (a es par)
a) 69 b) 70 c) 72
d) 104 e) 81
5. Hallar (a +b), si aabb = K2
a) 5 b) 6 c) 11
d) 13 e) 14
6. Si: 11112
= PERUREP, hallar: PERU
a) 3456 b) 1235 c) 2345
d) 4321 e) 1234
7. Si: xxx2
= 12 321, hallar: xx + 13
a) 24 b) 25 c) 23
d) 22 e) 26
8. Si: 3c2
= ab25, hallar a + b + c.
a) 7 b) 8 c) 6 d) 9 e) 10
9. Si z52
= 4xxy, hallar: xy + xz
a) 49 b) 50 c) 51
d) 52 e) 53
10. Si: 1bb5 es un cuadrado perfecto, calcular b2
.
a) 4 b) 9 c) 16
d) 25 e) 36
11. Sea 10 1 A 1 B 1 100 donde A y B son cua-
drados perfectos. Si la suma de las raíces cua-
dradas de A y B es igual a 13, entonces, hallar
la suma de las cifras del menor valor de A.
a) 6 b) 7 c) 9
d) 10 e) 12
12. Calcular a + b si al extraer la raíz cuadrada
a un número que no tiene raíz exacta de la
forma: 16ab, se obtuvo un resto mínimo.
a) 6 b) 7 c) 10
d) 12 e) 14
13. Al extraer la raíz cuadrada a: abb(b - 1) se
obtiene 37 como raíz y un resto máximo. Cal-
cular a + b.
a) 5 b) 7 c) 8
d) 9 e) 12
14. Al extraer la raíz cuadrada a: 75ab3 se obtuvo
como resto 8. Calcular ab.
a) 15 b) 18 c) 20
d) 24 e) 32
15. Calcular K + R en:
1232
R
K
a) 35 b) 42 c) 45
d) 60 e) 72
16. Calcular el valor de K + R en:
1200
R
K
a) 70 b) 75 c) 78
d) 81 e) 83
17. Al extraer la raíz cuarta de: 41006bc, se obtu-
vo como raíz a5. Calcular a + b + c.

Editorial
aritmétiCa 99
a) 9 b) 10 c) 11
d) 13 e) 14
18. Al extraer la raíz cuadrada a N se obtuvo un
resto máximo igual a 38. Si M es el mayor cubo
perfecto pero menor que N, Calcular N - M.
a) 17 b) 35 c) 42
d) 48 e) 56
19. ¿Cuántos números naturales tienen como
raíz cuadrada entera a 42?
a) 83 b) 84 c) 85
d) 91 e) 90
20. Con las cifras: 5; 0; 3 y 2 se forma un número
de 4 cifras que tenga raíz cuadrada exacta.
Calcular la suma de las cifras de la raíz.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 15
21. ¿Cuántos números de 4 cifras, tienen raíz cú-
bica exacta?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
22. Al encontrar la raíz cúbica de un número se
obtuvo como residuo el máximo posible: 2610.
¿Cuál es el radicando? Dar su mayor cifra.
a) 8 b) 6 c) 9
d) 5 e) 7
23. Determinar el valor de a + b si el numeral
22ab es un cuadrado perfecto.
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
24. Determinar el valor de a + b si el numeral
12ab es un cuadrado perfecto.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
25. Al extraer la raíz cuadrada de un número ob-
tuvimos 23 de resto y al extraer la raíz cuadra-
da de su cuádruplo obtuvimos 19 de resto. La
suma de cifras del números es:
a) 14 b) 15 c) 17
d) 23 e) 25
1. b 6. e 11. b 16. c 21. c
2. c 7. a 12. c 17. c 22. c
3. d 8. b 13. a 18. e 23. a
4. c 9. c 14. b 19. b 24. b
5. c 10. a 15. b 20. c 25. a
Claves

Editorial
Conjunto
Es un ente matemático por lo cual se puede tener
una idea subjetiva de ello, como colección agrupa-
ción o reunión de objetos abstractos o concretos
denominados elementos.
Ejemplos:
• Los días de la semana.
• Los países de América del Sur.
• Los jugadores de un equipo de fútbol.
Notación de un conjunto
Generalmente se denota a un conjunto con símbo-
los que indiquen superioridad y a sus elementos
mediante variables o letras minúsculas separados
por comas y encerrados con llaves.
Ejemplos:
• A = {a, e, i, o, u}
• B = {los días de la semana}
• W = {cara, sello}
Relación de pertenencia
Se establece esta relación solo de elementos o
conjuntos y expresa si el elemento indicado forma
parte o no del conjunto considerado.
• ... pertenece a ...: !
• ... no pertenece a...:
Esto quiere decir que dado un elemento y un con-
junto:
Ejemplo:
C = {1; 2; {1; 2}; 5; {6}}
• 2 ! C
• 8 C
• {1; 2} ! C
• 5 ! C
Determinación de un conjunto
Consiste en precisar correctamente que elementos
forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos
formas:
Por extensión (forma tabular). Cuando se indica
generalmente a todos y cada uno de los elementos.
Ejemplos:
• A = {a, e, i, o, u}
• D = {2; 4; 6; 8}
Es evidente que el orden en el cual son listados
los elementos del conjunto no afecta el hecho de
que pertenezcan a el. De este modo en el conjunto
A = {a, e, i, o, u} = {a, o, u, i, e}
no todos los conjuntos pueden ser determinados
por extensión, entonces, se recurre a otra forma de
determinación.
Por comprensión (forma constructiva). Cuando
se enuncia una propiedad que caracteriza a todos
los elementos del conjunto, de tal manera que
cada objeto que goza de la propiedad pertenece al
conjunto y todo elemento del conjunto goza de la
propiedad mencionada.
Esquema:
tal que
F = {... / ......................}
Forma general
de elemento
Características o
propiedad común
de la variable que
forma el elemento
• G = {n/n es una vocal}
• H = {los números pares menores que 13}
• J = {n2
- 11 / n es entero / 1 # n # 7}
Clases de conjuntos
Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la
cantidad de elementos diferentes que poseen, se-
gún esto tenemos:
Finito. Si posee una cantidad limitada de elemen-
tos, es decir, el proceso de contar sus diferentes
elementos termina en algún momento.
Ejemplo:
K = {3n + 2 / n ! Z / 1 # n # 4}
K es finito pues, el número de elementos de K es: 4
L = {x / x es un día de la semana}
L = es finito pues, el número de elementos de L
es: 7
Infinito. Si posee una cantidad ilimitada de ele-
mentos, es decir, el proceso de contar sus diferen-
tes elementos no termina nunca.
Ejemplo:
M = {x / x ! Q / 1 # x # 2}
M es infinito pues, el número de elementos de M
es: 3
TEORÍA DE CONJUNTOS

Editorial
aritmétiCa 102
Z+
= {1; 2; 3; 4; 5; ...}
Z+
es infinito pues, el número de elementos de Z+
es: 3
Conjuntos numéricos
Conjunto de los números naturales
N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
0,3 N, 17 ! N
Conjunto de los números enteros
Z = {..., -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}
5
3
N, -21 ! Z
Conjunto de los números racionales
Q = {
b
a
/ a ! Z / b ! Z / b ! 0}
2 ! Q, porque: 2 =
1
2
0,5 ! Q, porque: 0,5 =
10
5
0,333... ! Q, porque: 0,333 ... =
3
1
p = 3,141592... Q, porque: p !
b
a
Cardinal de un conjunto
Es el número de elementos diferentes que posee el
conjunto considerado. Cuando se trata de elemen-
tos abstractos para objetos concretos se toman en
cuenta a todos.
Notación:
|A| o n(A): número de elementos diferentes de A
A = {a; e; i; o; u} |A| = n(A) = 5
P = {2; 2; 3; 3; 3; 5; 7} n(P) = 4
Número ordinal
Teniendo en cuenta una disposición de los elemen-
tos dentro del conjunto del cual forman parte, cada
uno determina su número ordinal como el lugar
que ocupa en el orden establecido.
Notación:
Ord(x): número ordinal de x
S = {7; a; T; 13}
Ord(a) = 2 Ord(T) = 3
Cuantificadores
Sea el enunciado abierto: x2
+ 1 2 4 y el conjunto
A = {2; 3; 4}
Dando valores, del conjunto A, a la variable x se
obtiene:
Si x = 2 22
+ 1 2 4 (V)
Si x = 3 32
+ 1 2 4 (V)
Si x = 4 42
+ 1 2 4 (V)
Esto es, para todo valor de x que pertenece al con-
junto A se cumple que x2
+ 1 2 4 es verdadero.
Luego afirmamos que:
Para todo x ! A se cumple que: x2
+ 1 2 4
Si bien es cierto x2
+ 1 2 4 no es proposición, al
anteponerle para todo x ! A, se cumple que se
convierte en proposición. A este proceso se le de-
nomina cuantificación.
Trataremos los dos principales tipos de cuantificadores.
Universal. Se denota por 6 y se lee: para todo o
para cualquier. Si P(x) es una función proposicio-
nal, 6 x ! A; P(x) es una proposición que será ver-
dadera cuando para todos los valores de x ! A se
cumple P(x).
Ejemplos:
Si: A = {2; 4; 6; 8}
P(x) = x es un número par
P(y) = 3y - 2 2 4
Luego:
6x ! A: x es un número par (V)
6y ! A: 3y - 2 2 4 (F)
Existencial. Se denota por 7 y se lee existe por
lo menos un. Si P(x) es una función proposicional,
7x ! A / P(x) es una proposición que será verda-
dera si existe por lo menos un elmento de A, que
cumple P(x).
Ejemplos:
Si: B = {1; 4; 5; 7}
P(x) = x es un número impar
P(y) = (y - 4)2
= 4
Luego:
7x ! B / x es impar (V)
7y ! B / (y - 4)2
= 4 (F)
Negación de los cuantificadores. Cuando afir-
mamos la proposición: todos los peruanos son
morenos su negación afirmaría que no todos los
peruanos son morenos, en símbolos:
p: 6 x ! A: x es moreno;
A = {todos los peruanos}
`p: 7x ! A / x no es moreno

Editorial
En general se cumple:
`[6 x ! A; P(x)] / 7x ! A / `P(x)
Análogamente:
`[7 x ! A / P(x)] / 6x ! A: `P(x)
Diagramas de Venn-Euler
Es la representación geométrica de un conjunto
mediante una región de plano limitado por una fi-
gura cerrada y en cuyo interior se indican los ele-
mentos que forman el conjunto.
Ejemplo:
A = {a; i; o; e; u}
a
o
A
•
•
•
•
•
u
i
e
Relaciones entre conjuntos
Inclusión (1). Se dice que un conjunto está in-
cluido en un segundo conjunto, cuando todos los
elementos del primero forman parte del segundo
conjunto.
1: incluido o contenido
A 1 B: A está contenido en B
A es subconjunto de B
B contiene a A
A está incluido en B
Representación:
A 1 B / 6 x ! A; x ! A x ! B
Gráficamente:
A
B
Ejemplos:
I. A = {todos los gatos}
B = {todos los mamíferos}
A 1 B
II. D = {2; 4; 6}; E = {1; 2; 3; 5}
Se observa que D no está contenido en E, ese
caso se denota: D j E
Igualdad. Se dice que dos conjuntos son iguales
cuando ambos poseen los mismos elementos.
Ejemplo:
A = {3n + 2 / n ! Z / 1 # n # 4}
B = {5; 14; 8; 11}
se observa: A = B
A = B + A 1 B / B 1 A
Comparables. Se dice que dos conjuntos son
comparables cuando solo uno de ellos está inclui-
do en el otro.
Ejemplo: dados los conjuntos:
A = {3; 5}
B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
C = {2; 4; 6; 7}
D = {4; 7}
Son conjuntos comparables: A y B; B y C; B y D;
C y D.
Disconjuntos o ajenos. Dos conjuntos se deno-
minan disjuntos cuando no poseen ningún elemen-
to común.
Ejemplos:
C = {x / x es un hombre}
D = {x / x es una mujer}
` C y D son disjuntos
Si dos conjuntos son disjuntos ambos serán dife-
rentes.
Si dos conjuntos son diferentes, entonces, no
siempre serán disjuntos.
Ejemplos:
• E = {2; 5; a; b}; F = {3; 4; c; d}
E y F son disjuntos E ! F
• G = {1; 3; c; d; 7}; H = {2; 8; e; f; c}
G ! H, pero G y H no son disjuntos
• A = {2; 3; a; b}; b = {2; 3; c; d} son diferentes
pero no disjuntos.
Coordinables o equipotentes. Dos conjuntos se
dirán que son coordinables cuando se pueda esta-
blecer una correspondencia uno a uno entre todos
y cada uno de los elementos del primer conjunto
con los del segundo conjunto. A dicha correspon-
dencia se le denomina biunívoca y como conse-
cuencia de estos se tiene que los cardinales de
estos conjuntos son iguales (si son finitos).
Ejemplo:
I = {Lima, Caracas, Bogotá, Santiago}

Editorial
aritmétiCa 104
J = {Venezuela, Colombia, Perú, Chile}
Se observa que es posible establecer la correspon-
dencia biunívoca:
!...es capital de...!
De ahí que I y J son coordinables mas aún:
n(I) = n(J)
Conjuntos especiales
Vacío o nulo. Es aquel conjunto que carece de
elementos.
Notación: Q; { }
Ejemplo:
• A = {x / 0 1 x 1 5 / x2
= 100} = { } = Q
Observaciones:
• 6A: Q 1 A
• Q ! {Q}
• Q ! {{ }}
• El vacío Q es subconjunto de todo conjunto.
Unitario o singletón (singular). Es aquel conjunto
que tiene un solo elemento.
P = {x / x 2 0 / x2
= 9} = {3}
Universal. Es un conjunto referencial para el es-
tudio de una situación particular, que contiene a
todos los conjuntos considerados. No existe un
conjunto universal absoluto y se le denota gene-
ralmente por U.
Ejemplo:
A = {2; 6; 10; 12}
B = {x + 3 / x es impar / 0 1 x 1 10}
podrán ser conjuntos universales para A y B:
U = {x/x ! N / x 1 13}
U = {0; 2; 4; 6; 8; ...}
Conjunto de conjuntos
También se le denomina familia de conjuntos o cla-
se de conjuntos; es aquel conjunto cuyos elemen-
tos son todos conjuntos.
Ejemplos:
C = {{2; 3}; {3}; {a}; {6; b}; Q}
D = {{a; b; c}; {2; 3; 6}; {6}; c; 8}
Se observa que:
C es familia de conjuntos
D no es familia de conjuntos
CONJUNTO Potencia
El conjunto potencia de A, llamado también con-
junto de partes de A, es aquel que está formado
por todos los subconjuntos posibles que posee el
conjunto A.
Notación: P(A)
Ejemplo:
A = {x; y}
P(A) = {Q; {x}; {y}; {x; y}}
n[P(A)] = 4
Los subconjuntos Q, {x}, {y} son denominados pro-
pios.
B = {x / x es primo y x 1 10}
B = {2; 3; 5; 7} n(B) = 4
[Número de subconjuntos de B] = 24
= 16
[Número de subconjuntos propios de B] = 24
- 1 = 15
Par ordenado
Es un conjunto de dos elementos para los cuales
se considera el orden en que están indicados.
Notación: (a; b)
Se lee: par ordenado a, b
a: primer componente
b: segundo componente
(a; b) = (c; d) + a = c / b = d
Ejemplo: (7; 2) ! (2; 7)
(11; 8) = (11; 8)
Operaciones entre conjuntos
Unión (,). La unión de dos o más conjuntos es
aquel conjunto conformado por la agrupación de to-
dos los elementos de los conjuntos que intervienen.
A , B = {x / x ! A 0 x ! B}
A B
U

Editorial
Ejemplo:
A = {2; 3; 5} B = {1; 7; 5}
` A , B = {2; 3; 5; 1; 7}
Si A 1 B A U B = B
Intersección (+). La intersección de dos conjuntos
A y B es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A y B a la vez.
A + B = {x / x ! A / x ! B}
A B
U
Ejemplo:
A = {2; 3; 4; 5; 6}
B = {4; 6; 7; 9}
` A + B = {4; 6}
Si A 1 B A + B = A
Si A y B son disjuntos, A + B = Q
Diferencia (-). El conjunto diferencia (A – B), en
ese orden, es aquel que esté formado únicamente
por los elementos exclusivos de A, es decir no de-
ben de pertenecer a B.
A – B = {x / x ! A / x B}
A B
U
Ejemplo:
A = {2; 4; 5; 6; 7; 8}
B = {1; 3; 6; 7; 9}
` A – B = {2; 4; 5; 8}
B – A = {1; 3; 9}
Observación:
Si A y B son disjuntos A – B = A y B – A = B
Diferencia simétrica (T). La diferencia simétrica
de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen a A o B pero no a
ambos.
A T B = {x / x ! (A , B) / x (A + B)}
Ejemplo:
A = {2; 4; 5; 6; 7; 8}
B = {1; 3; 6; 7; 9}
` A T B = {2; 4; 5; 8; 1; 3; 9}
Si A 1 B A T B = B - A
Si A y B disjuntos, A T B = A , B
Complemento de A (CA; Ac
; A; A’). El comple-
mento de A es el conjunto formado por los elemen-
tos que pertenecen al conjunto universal (U) pero
no al conjunto A.
AC
= {x / x ! U / x A} = U - A
A
U
Ejemplo:
U = {x / x ! N / x 1 8}
A = {1; 3; 4}
` AC
= {0; 2; 5; 6; 7}
CONJUNTOPRODUCTOOPRODUCTOCARTESIANO(#)
Dados los conjuntos A y B se define el conjunto
producto como:
A # B = {(a; b) / a ! A / b ! B}
Ejemplo:
A = {a: b; c}; B = {1; 3}
A # B = {(a; 1); (a; 3); (b; 1); (b; 3); (c; 1); (c; 3)}
B # A = {(1; a); (1; b); (1; c); (3; a); (3; b); (3; c)}
• Si A = B A # B = B # A
• Si A y B son finitos, entonces:
n(A # B) = n(A) # n(B)
• Si A # B = B # A A = B 0 A = Q 0 B = Q
DIAGRAMAs PARA A # B
Cartesiano
3
B
A
a b c
(a; 3)
(a; 1)
(b; 3)
(b; 1)
(c; 3)
(c; 1)
1

Editorial
aritmétiCa 106
Sagital
a
b
c
1
3
Diagrama de carrol (para conjuntos)
A A
A + B B - A B
A - B A + B B
LEYES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOs
Idempotencia
A , A = A
A + A = A
Conmutativa
A , B = B , A
A + B = B + A
Asociativa
(A , B) , C = A , (B , C)
(A + B) + C = A + (B + C)
Distributiva
A , (B + C) = (A , B) + (A , C)
A + (B , C) = (A + B) , (A + C)
De Morgan
(A , B)C
= AC
+ BC
(A + B)C
= AC
, BC
Del complemento
A , AC
= U
A + AC
= Q
(AC
)C
= A
De la unidad
A , U = U
A + U = A
A , Q = A
A + Q = Q
De absorción
A , (A + B) = A
A + (A , B) = A
A , (AC
+ B) = A , B
A + (AC
, B) = A + B
Adicional
A - B = A + BC
(U)C
= Q
(Q)C
= U
RELACIÓN BINARIA
Considera el conjunto A = {2; 3; 5} la representa-
ción gráfica mediante un diagrama cartesiano del
producto A # A es el siguiente:
5
A
A
2 3 5
(2; 5)
(2; 3)
(2; 2)
(3; 5)
(3; 3)
(3; 2)
(5; 5)
(5; 3)
(5; 2)
3
2
¿Cuáles son los elementos del conjunto de A # A
tal que la suma de sus componentes es 6 o mayor
que 6?
Llamemos R a ese conjunto de pares ordenados
que cumplen dicha condición, entonces:
R = {(2; 5); (3; 3); (3; 5); (5; 2); (5; 3); (5; 5)}
Decidimos que R es una relación binaria definida
sobre el conjunto A.
Si R es una relación binaria y (a; b) ! A # A, tal que
(a; b) e R, entonces, se denota; a R b y se lee: a se
relaciona con b o a está relacionado con b.
Del ejemplo anterior:
2 R 5, 3 R 3, 2 R 5, 3 R 5, 5 R 2, 5 R 3, 5 R 5.
PROPIEDADES QUE PUEDE PRESENTAR UNA RE-
LACIÓN BINARIA
A. Propiedad reflexiva
Considere el conjunto A = {1; 2; 3; 5} y en el la
relación R 1 A # A, tal que:
(a; b) ! R + a + b, número par
Es decir: a R b + a + b: número par.
Entonces: R = {(1; 1); (2; 2); (3;3); (5; 5); (1; 3);
(1; 5); (3; 1); (3; 5); (5; 1); (5; 3)}
Se observa que por medio de la relación R,
todo elemento del conjunto A se relaciona
consigo mismo. Por esta razón, se dice que la
relación R posee la propiedad reflexiva.
En general: una relación R definida sobre
un conjunto A posee la propiedad reflexiva,

Editorial
cuando todo elemento de A esta relacionado
consigo mismo.
B. Propiedad simétrica
Considera el conjunto B = {2; 3; 4; 5} y la re-
lación R definida por: a R b, si y solo si, ab es
un número par, es decir:
a R b + ab: número par
Entonces:
R = {(2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (3; 2); (3; 4);
(4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (5; 2); (5; 4)}
Observa los pares:
(2; 3)
(2; 4)
(2; 5)
(3; 4)
(4; 5)
(3; 2)
(4; 2)
(5; 2)
(4; 3)
(5; 4)
Donde si un elemento se relaciona con otro,
este se relaciona con el primero. Por ello la
relación R posee la propiedad simétrica.
En general: una relación R definida sobre un
conjunto A posee la propiedad simétrica: Si
cuando (a; b) ! R, entonces (b; a) ! R, lo que
es lo mismo; a R b b R a.
C. Propiedad transitiva
En el conjunto C = {17; 12; 27; 47}, considere
la relación R, definida por: a R b; si y solo si, a y
b tienen la misma cifra de unidades, entonces:
R = {(17; 17); (17; 27); (17; 47); (27; 17); (27; 27);
(27; 47); (47; 17); (47; 27); (47; 47)}
Se observa que, si:
(17; 27) y (27; 47) luego (17; 47) ! R
(27; 47) y (47; 17) luego (27; 17) ! R
(47; 17) y (17; 27) luego (47; 27) ! R
Por ello se afirma que la relación R posee la
propiedad transitiva.
En general: una relación R, definida en el
conjunto A posee la propiedad transitiva,
si cuando (a; b) ! R y (b; c) ! R, entonces,
(a; c) ! R.
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
Consideremos el conjunto: A = {3; 4; 6; 7} y en la
relación dada por el siguiente criterio: los números
de A están relacionados, si al dividirlos entre 3 dan
el mismo resto.
Observemos las divisiones:
3 3
0 1
4 3
1 1
6 3
0 2
7 3
1 2
• Los números de 3 y 6 dan el mismo resto (0),
luego están relacionados.
• Los números de 4 y 7 dan el mismo resto (1),
luego están relacionados.
Formando el conjunto R con los números que
se relacionan:
R = {(3; 3); (6; 6); (3; 6); (4; 4); (7; 7); (4; 7);
(7; 4)}
Se observa que R posee las propiedades: re-
flexiva, simétrica y transitiva, se dice por ello
que es una relación de equivalencia.
Ademas los elementos de A que están relacio-
nados entre si, se llaman elementos equiva-
lentes, en A lo son:
• 3 y 6 (resto 0)
• 4 y 7 (resto 1)
En general: una relación R definida sobre un con-
junto A se dice que es de equivalencia, si tiene las
propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.
Es decir si:
• a R a, para todo a !A
• a R b b R a
• si a R b y b R c, luego a R c
Si R es de equivalencia y a R b, decimos que
a es equivalente a b.
CLASES DE EQUIVALENCIA
Consideramos de nuevo la relación de equivalen-
cia definida en el conjunto A = {3; 4; 6; 7}
Los subconjuntos formados por los elementos que
están relacionados entre sí (elementos equivalen-
tes) se llaman clases de equivalencia.
En el conjunto A:
• 3 y 6 están relacionados, luego conforman
una clase de equivalencia.

Editorial
aritmétiCa 108
• 4 y 7 están relacionados, luego conforman
otra clase de equivalencia, es decir, se tienen
dos clases de equivalencia.
C1 = {3; 6}
C1 es la clase de 3 o 6.
Otra notación es:
[3] = [6] = {3; 6}
C2 = {4; 7}, luego:
[4] = [7] = {4; 7}
Gráficamente:
3
C1 C2
4
6 7
Observa que estas clases de equivalencia tie-
nen las siguientes propiedades:
1. Todas las clases tienen algún elemento, es
decir, ninguna clase es el conjunto vacío.
2. Las clases distintas son disjuntas, es de-
cir, no tienen elementos comunes.
3. La unión de las clases de equivalencia es
el conjunto A.
Toda relación de equivalencia establecida en
un conjunto, determina en este conjunto una
clasificación o partición en clases de equiva-
lencia.
Hemos visto que los elementos de:
A = {3; 4; 6; 7} han quedado clasificados en
dos subconjuntos o clases de equivalencia C1
y C2 por la relación R: dan el mismo residuo al
dividir entre 3.
Considera el conjunto cuyos elementos sean
las clases de equivalencia {C1, C2}.
Este nuevo conjunto se llama conjunto co-
ciente de A respecto a la relación R y se re-
presenta por:
; ,
R
A C C 3 4
1 2
= = 6 6
@ @

, ,
,
6 7
= 6 6
@ @
,
1. Un estudiante salió de vacaciones por n días,
tiempo durante el cual:
• Llovió 7 veces en la mañana o en la tarde.
• Cuando llovía en la tarde, estaba despeja-
da la mañana.
• Hubo 5 tardes despejadas.
• Hubo 6 mañanas despejadas.
Según esto, hallar n.
Resolución:
Como al llover en la tarde no llueve en la ma-
ñana, es imposible que llueva todo el día, en-
tonces:
Mañanas
n
despejadas despejadas llueve
a
Tardes
n
despejadas llueve
b
despejadas
5
6
Por dato:
a + b = 7
↓ ↓
n - 6 + n - 5 = 7
2n = 18 n = 9
2. En un grupo de 55 personas, 25 hablan in-
glés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idio-
mas. ¿Cuántas personas del grupo hablan
dos de estos idiomas?
Resolución:
Usando los diagramas de Venn-Euler
a
m p
b
n
5
c
A (33)
I (25)
F (32)
Por dato: a + m + n = 20
b + n + p = 27
c + m + p = 28

Editorial
Sumando:
a + b + c + 2(m + n + p) = 75 ...(a)
Pero: a + b + c + m + n + p = 50
En: (a)
50 + m + n + p = 75
` m + n + p = 25
3. ¿Cuántos subconjuntos se formarán con 6
elementos?
Resolución:
El número de subconjuntos que tiene un con-
junto A, es igual al número de elementos que
tiene el conjunto potencia de A.
Es decir:
n(P(A)) = 2n(A)
= 26
= 64
4. A, B y C son tres conjuntos tales que satisfa-
cen las condiciones siguientes:
• A está contenido en B y B está contenido
en C.
• Si x es un elemento de C, entonces, x tam-
bién es un elemento de A.
¿Qué concluimos de las condiciones?
Resolución:
De las condiciones deducimos que:
A 1 B / B 1 C A 1 C (transitiva) …(1)
Si x ! C x ! A C 1 A (inclusión) …(2)
De (1) y (2) concluimos que:
A = B = C
5. Sean A, B dos conjuntos contenidos en un
universo. Si: (A - B) , (B - A) = A , B
¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
I. A = A - B II. A + B ! Q
III. B 1 A' IV. (A + B)' 2 A , B
Resolución:
Si (A - B) , (B - A) = A , B, quiere decir que
A y B son conjuntos disjuntos. Analizando al-
ternativas:
I. A = A - B (verdadero)
II. (A + B) ! Q (falso)
III. B 1 A' (verdadero)
IV. (A + B)C
2 (A , B) (verdadero)
Respuesta: II
6. Una persona come huevos y/o tocino en su
desayuno cada mañana durante el mes de
enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos
18 mañanas. ¿Cuántas mañanas comió hue-
vos y tocino?
Resolución:
Gráficamente:
huevos (18) tocino (25)
18 - x x 25 - x
Como todo ocurre en el mes de enero (31
días), entonces:
18 - x + x +25 - x = 31 x = 12
7. El círculo A contiene a las letras a, b, c, d, e, f.
El círculo B contiene a las letras b, d, f, g, h.
Las letras del rectángulo C que no están en A
son h, j, k y las letras de C que no están en B
son a, j, k. ¿Cuáles son las letras que están en
la figura sombreada?
A B
C
Resolución:
Por dato sabemos que:
A
c
e
g
a h
f
b
d
B
C
A = {a, b, c, d, e, f}
B = {b, d, f, g, h}
C - A = {h, j, k}
C - B = {a, j, k}
Entonces:
A + B = {b, d, f}, luego del gráfico.
Figura sombreada: {a, b, d, f, h}

Editorial
111
Aritmética
1. Coloca el valor de verdad a cada proposición,
si: A = {8; 3; {2}; {1; 3}}
I. 3 ! A II. 2 ! A III. 8 ! A
IV. {3} A V. 3 ! {1; 3} VI. 4 A
Indicar la cantidad de proposiciones verdade-
ras:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Dado el conjunto: A = {Q; 3; {Q}; {2; Q}}
¿Cuántas proposiciones son verdaderas?
I. Q ! A II. Q 1 A III. 1 1 A
IV. {3} 1 A V. {Q} ! P(A) VI. Q ! P(A)
VII. Q 1 P(A)
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7
3. Dado el conjunto:
A = {2; {3}; {3; 5}}
B = {3x / x es un número natural entre 0 y 5}
C = {x / x es un subconjunto propio de A}
¿Cuál de las siguientes proposiciones es ver-
dera?
I. {3; 5} 1 A II. {3} ! B
III. {3; 6} ! P(B) IV. {2; {3}} 1 P(A)
V. {3; 6} 1 P(B) VI. {3} ! P(C)
VII.C 1 A
a) I b) II c) III
d) VI e) VII
4. Halla el cardinal del conjunto:
M = {x ! N / 10 1 3x2
# 39}
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
5. Dado el conjunto: B = {x + 3 / x ! Z; x2
1 9},
calcula la suma de los elementos del conjunto B.
a) 3 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18
6. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene:
A = {x / x ! Z; -7 1 4x + 1 1 21}?
a) 64 b) 63 c) 16
d) 15 e) 31
7. Determina por extensión el conjunto
A = / ; N
x x
x
x x
12
3
!
=
+
' 1
a) {0; 4} b) {4} c) {-3; 0; 4}
d) {-3; 4} e) {-3}
8. Si:
/ ;
N
A
x x x
3
2 1
2
1 9
1
! #
=
+
' 1
/ ,
N
B n n n
3
2 1 2 6
1
! #
=
-
' 1
Halla el número de elementos comunes entre
A y B.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
9. Representar por extensión los siguientes con-
juntos
/ Z
A
x
x
x
3
2
0 7
2
1
2
/
1 1 !
=
+ +
' 1
/ , Z
B x
x
x
1
4
3
2
2
# # !
=
+
' 1
Halla el n[P(C)] donde:
C = {x / x ! A / x ! B}
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8
10. Indicar el número de elementos del conjunto:
/ ;
N
A x
x
x
1
3
3 1
24
1
!
= +
+
' 1
a) 194/3 b) 68/3 c) 34/3
d) 196/3 e) 109/3
11. Si se cumple que:
A = {2a + b; 17}
B = {b + 1; 3a - b}
son conjuntos unitarios.
Halla la suma de todos los elementos de A y B.
a) 25 b) 27 c) 30 d) 35 e) 42
12. Sabiendo que el conjunto:
A = {a + b; a + 2b - 2; 10}
es un conjunto unitario. Dar el valor de a2
+ b2
.
a) 16 b) 80 c) 68 d) 58 e) 52

Editorial
13. Si p y q son números enteros y
{p2
+ q; q + 2} = {-9; 10}
Calcula el menor valor que puede tomar p + q.
a) 10 b) 11 c) -12 d) 12 e) -10
14. Si A y B son conjuntos disjuntos; además:
4n(A) + n(B)
= 168
Calcula n(A , B)
a) 8 b) 12 c) 16 d) 18 e) 32
15. Sea A = {a + b; 15; b2
+ c}
B = {a + 3; d2
- 1}
Si A es singleton e igual a B. Calcula el míni-
mo valor del promedio de a; b; c y d.
a) 6,25 b) 6 c) 5,05
d) 4,25 e) 4,05
16. La suma del número de subconjuntos unita-
rios con el número de subconjuntos binarios
de A es igual a 55.
Halla n(A).
a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15
17. Para 2 conjuntos comparables donde uno de
ellos tiene 3 elementos más que el otro, se
cumple que la suma de los cardinales de sus
conjuntos potencia es 576. ¿Cuántos elemen-
tos tiene el que está incluido?
a) 8 b) 10 c) 7 d) 6 e) 9
1. d 5. d 9. c 13. c 17. d
2. e 6. b 10. d 14. c
3. c 7. a 11. a 15. d
4. c 8. c 12. c 16. c
Claves
1. Para 3 conjuntos A, B y C se cumple:
n(B) = 60, n(B - A) = 38, n(B + C) = 20
Además: 3n(A + B) = 11n(A + B + C)
Halla: n[(a T b) + (A , C)']
A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27
2. Se tienen 2 conjuntos comparables A y B;
donde se cumple que:
n(A , B) + n(A + B) = 30
n[P(A - B)] = 256
Halla: nP[AC
+ (A , (A T B))]
a) 32 b) 2048 c) 64
d) 1 e) 256
3. Considere 3 conjuntos A; B y C contenidos en
U tales que:
B + A = B; n(C - A) = 50
n(A + C) = 2n(B - C)
n[(A + B)' - C] = n(C) = 90
Halla: n(U)
a) 180 b) 195 c) 200
d) 135 e) 140
4. Para 2 subconjuntos A y B de U se tiene:
• n(A) - n(B) = 3
• n[P(A , B)] = 2048
• n[P(A + B)] = 16
• n(B') = 9
Calcula: n[P(A')]
a) 32 b) 64 c) 128
d) 1024 e) 512
5. Durante el mes de enero, Juan salió a pasear
con Ana o Bety. Si 16 días paseo con Ana y
22 días con Bety. ¿Cuántos días paseo con
ambas?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
6. Si un conjunto A tiene n elementos y un con-
junto B que tiene 2n elementos origina 992
subconjuntos más que A.
¿Cuántos subconjuntos tiene (A T B) si se
sabe que (A + B) tiene 3 elementos?
a) 64 b) 128 c) 256
d) 512 e) 1024
7. De 52 estudiantes, 30 son hombres y 12 mu-
jeres tienen 20 años. Si 20 de dichos estu-
diantes tienen 20 años. ¿Cuántos hombres no
tienen 20 años?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 22 e) 132

Editorial
113
Aritmética
8. En un salón de la PRE hay 43 alumnos: 5 son
mujeres que estudian aritmética, 28 son hom-
bres y el número de hombres que no estudian
aritmética es el doble del número de mujeres
que no estudia aritmética.
¿Cuántos hombres estudian aritmética?
a) 5 b) 8 c) 10 d) 20 e) 18
9. De 76 alumnos; 46 no estudian Álgebra, 44 no
estudian Física y 28 no estudian ni Álgebra ni
Física, entonces, ¿cuántos alumnos estudian
Álgebra y Física?
a) 18 b) 16 c) 14 d) 20 e) 12
10. En una óptica de una muestra de clientes se
sabe que el 45% son varones; el 80% tiene
ojos verdes y el 30% son varones con ojos
verdes. Calcula el porcentaje de clientes mu-
jeres, que no tienen ojos verdes.
a) 31,5% b) 30% c) 27,6%
d) 40% e) 29,8%
11. Se realizaron las 3 primeras prácticas de la
pre a la cual se presentaron 300 alumnos.
Además se sabe que: 170 aprobaron la
primera prueba, 150 la segunda y 130 la
tercera, 50 aprobaron la primera y la segunda,
70 la primera y tercera, 80 la segunda y
tercera y 10 no aprobaron ninguna. ¿Cuántos
escolares fueron admitidos, si solo necesitan
aprobar 2 pruebas?
a) 160 b) 130 c) 126
d) 154 e) 182
12. En una encuesta a un grupo de 130 personas,
se encontró la siguiente información: 10 muje-
res no tenían hijos, el número de hombres sin
hijos era el triple de las mujeres que tenían hijos
y esta cantidad era la mitad de hombres que
tenían hijos. ¿Cuántos hombres tenían hijos?
a) 38 b) 40 c) 42
d) 48 e) 54
13. De una muestra de 100 artículos se realiza
un estudio de su calidad considerándose 3
defectos A, B, C como los más importantes.
Obteniéndose el siguiente resultado:
41 tienen el defecto A o B pero no C
46 tienen el defecto B o C pero no A
42 tienen el defecto A o C pero no B
39 tienen exactamente dos defectos, los que
tienen 3 defectos son la tercera parte de los
que no tienen ninguno.
¿Cuántos artículos tienen por lo menos un de-
fecto?
a) 45 b) 84 c) 88
d) 90 e) 92
14. De un grupo de 200 personas se determina
que 80 eran mudos, 70 eran cantantes y 90
eran ciegos, de estos últimos los mudos eran
tantos como los cantantes. ¿Cuántos de los
que no son ciegos son cantantes, si los que
no son cantantes ni mudos ni ciegos son 20?
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
15. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con
minifaldas, 28 varones con corbata, 40 porta-
ban casaca, 17 varones con corbata no tenían
casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no
minifaldas. ¿Cuántos varones con casaca no
llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaban
minifalda ni casaca y 28 señoritas no llevaron
casaca?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 11 e) 13
1. b 5. c 9. c 13. c
2. d 6. d 10. e 14. d
3. c 7. d 11. a 15. c
4. d 8. b 12. b
Claves

Editorial
El conjunto de los números racionales
Se conoce que las operaciones de adición, sus-
tracción y multiplicación están bien definidas en el
conjunto de los número enteros Z, es decir, que la
suma, diferencia y producto de dos números ente-
ros, es otro entero (ley de clausura o cerradura).
Ejemplo:
Sean los números enteros 13 y 7
Luego:
• 13 + 7 = 20 ...(20 ! Z)
• 13 - 7 = 6 ...(6 ! Z)
• 13 # 7 = 91 ...(91 ! Z)
Sin embargo la división es una operación que está
parcialmente definida, pues el cociente no siempre
es entero.
Por ejemplo:
• 4(4 )
Z
5
20
!
= • ( )
Z
c c
7
13
z
=
Como en la vida diaria se van a dar estos casos,
es necesario ampliar el conjunto de los números
enteros.
Empezaremos tomando a los números enteros en
pares ordenados, denotándolo a través de la divi-
sión, como por ejemplo:
• (5; 3) =
3
5
• (-8; 2) =
2
8
-
• (0; 9) =
9
0
• ( ; )
7 0
0
7
=
1 2 3
44
4 44
4
indeterminado
Luego hay que tener cuidado que la segunda com-
ponente del par ordenado no sea cero.
Formemos el conjunto Z # Z*, donde:
Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}
Z* = {...-3; -2; -1; 1; 2; 3; ...}
Gráficamente:
h
-3
-2
-1
0
1
2
3
h
h
-3
-2
-1
1
2
3
h
Z Z*
(a; b)
Z # Z* = {(a; b) / a ! Z / b ! Z* }
(a; b) representa
b
a
Observando algunos pares y denotando las
componentes mediante la división:
...(2; 4) (4; 8) (6; 12)
...
4
2
8
4
12
6
...

son equivalentes
La observación nos permite indicar que estos
cocientes son equivalentes; pero si nos pre-
guntaran: ¿los cocientes 18/24 y 15/20 son
equivalentes?
Necesitamos un fundamento teórico para res-
ponder dicha pregunta.
En el conjunto Z # Z*; definimos la siguiente
relación:
(a; b) . (c; d) cuando ad = bc
Luego a/b . c/d
Ejemplos:
•
16
8
10
5
= , porque 8(10) = 16(5)
•
6
9
4
6
-
=
-
, porque (-9) (-4) = 6(6)
Se puede probar que la relación . es una re-
lación de equivalencia en el conjunto Z # Z*,
por verificar las propiedades: reflexiva, simé-
trica y transitiva.
Al ser . una relación de equivalencia, deter-
mina en Z # Z* una clasificación en clases de
equivalencia y en cada clase están todos los
pares equivalentes entre sí.
Por ejemplo:
… . (-2; -4) . (-1; -2) . (1; 2) . (2; 4) .
(3; 6) . …
… . ;...
4
2
2
1
2
1
4
2
6
3
. c . .
-
-
-
-
Luego todos ellos conforman una clase de
equivalencia:
... ;...
4
2
2
1
2
1
4
2
6
3
. . . . .
-
-
-
-
' 1
NÚMEROS RACIONALES

Editorial
115
Aritmética
Asimismo, cualquiera de ellos puede ser to-
mado como un representante de la clase, por
ejemplo: 2/4 y la notación sería en ese caso.
Así: ... ; ; ; ; ; ...
4
2
4
2
2
1
2
1
4
2
6
3
=
-
-
-
-
; E ' 1
... ; ; ; ; ; ...
3
2
6
4
3
2
3
2
6
4
9
6
=
-
-
-
-
; E ' 1
En cada clase de equivalencia de los infinitos
representantes que tiene, hay uno en particular,
aquel cuyas componentes son primos entre sí,
el cual es denominado representante canónico.
Por ejemplos, en la siguiente clase de equivalencia.
... ; ; ; ; ; ...
8
6
8
6
4
3
4
3
8
6
12
9
=
-
-
-
-
; E ' 1
4
3
; E es el representante canónico de las clase,
porque: 3 y 4 son PESÍ.
Cada una de las clases de equivalencias de-
terminadas en Z # Z* es denominado número
racional, luego son número racionales:
; ; ; ; ...
4
2
3
4
3
2
8
6
-
; ; ; ;
E E E E
Observación:
No hay un par que esté en 2 clases.
El conjunto cociente:
*
Z Z
#
.
cuyos elementos son las clases de
equivalencia, es decir, los números raciona-
les, se representa por Q.
*
/ ( ; ) *
Z Z
Q Z Z
b
a
a b
#
#
.
!
= = ; E
' 1
b
a
; E: número racional
REPRESENTACIón GRÁFICA DE q COMO PARTI-
CIÓN DE Z # Z*
Observaciones:
1. El conjunto Q es un conjunto de conjuntos,
donde cada número racional (clase) tiene infi-
nidad de representantes.
2. La gráfica de cualquier clase
b
a
; E son puntos
que pertenecen a una recta que pasa por el
origen y cuya pendiente es b/a.
3. Se tiene que:
(1; 2) . (2; 4) . (-1; -2) . …
2
1
4
2
2
1
-
-
2
1
4
2
2
1
= =
-
- = … (Forma usual)
De modo que cuando hablemos del número
racional
2
1
; E simplemente diremos:
...
o o o
2
1
4
2
2
1
-
-
El conjunto Z coincide con el conjunto de cla-
ses n
1
; Econ n ! Z; luego: Z ! Q.
DENSIDAD DE UN CONJUNTO
Un conjunto A es denso respecto a la relación de
orden (1), si para dos elementos cualquiera a y b
de A (a 1 b), existe un elementos c de A, tal que
a 1 c 1 b.
Es importante darse cuenta que sea cual fuera el
punto que se elija hay una infinidad de números
racionales próximos a él. Pese a lo anterior, no es
posible que los números cubran toda la recta nu-
mérica, es decir todavía presenta vacíos los cuales
corresponden a otros números llamados números
irracionales (conjunto denotado como Q* o I), por
ejemplo:
; ; ; ;...
2 2 3 3
- -
Los cuales no provienen de dividir 2 números en-
teros.
NÚMEROS FRACCIONARIOS
Son aquellos números racionales que no son en-
teros.
; ;
4
3
5
11
8
2
-
1 2 3
44 44
; ; ;
3
9
5
15
4
8
3
12
-
-
-
1 2 3
4444 4444
Son números no son números
fraccionarios fraccionarios
5 4 3 2 2 3 4 5 Z
Z*
1 1
1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
4
4
2
4
2
2
1
2
2
1
-
4
2
-
2
4
-
1
2
-
4
2
-
2
1
-
1
2
-
2
4
-
1
2
-
2
4
-

Editorial
FRACCIóN
Son aquellos números fraccionarios cuyos térmi-
nos son positivos.
; ; ; ; ; ;
8
10
20
5
3
7
18
4
4
6
8
12
6
10
-
-
- -
-
• Si F es fracción:
F =
B
A Numerador
Denominador
Donde: A, B ! Z+
/ A !
°
B
Interpretación:
• El denominador indica las partes iguales en
que se divide la unidad (o el todo).
• El numerador representa las partes de la uni-
dad (o el todo) que se toman o consideran.
CLASIFICACIóN DE FRACCIONES
Sea la fracción:
B
A
1. Por la comparación de su valor respecto a
la unidad
Propia Impropia
1
B
A A B
`
1 1 1
B
A A B
`
2 2
; ;
7
4
9
5
18
16
; ;
8
20
9
12
10
16
Nota:
Una fracción impropia también se puede ex-
presar del siguiente modo:
8
20
2
8
4
=
S
fracción mixta
20 8
4 2
2. Por su denominador
Siendo k un entero positivo.
Decimal Ordinaria
B = 10k
B ! 10k
; ;
10
3
10
25
10
32
2 3
; ;
7
3
12
18
15
25
3. Por la cantidad de divisores comunes de
sus términos
Irreducible Reducible
A y B son PESÍ
MCD(A; B) = 1
A y B no son PESÍ
MCD(A; B) ! 1
; ;
13
10
32
15
16
23
; ;
12
18
36
20
16
20
Observaciones:
I. Si: F =
B
A es un fracción reducible, enton-
ces: MCD(A; B) = d
A = d # p; B = d # q
son PESÍ
F =
B
A
dq
dp
q
p
= = ` F =
q
p
irreducible
II. A partir de un fracción irreducible se pue-
den obtener todas las fracciones equiva-
lentes a ellas.
...
n
n
5
3
10
6
15
9
20
12
5
3
. . . . . ; (n ! Z*)
4. Por grupo de fracciones
Homogéneas Heterogéneas
Todos tienen igual
denominador
Al menos un deno-
minador es distinto
a los demás.
; ; ;
12
3
12
5
12
11
12
20
; ; ;
8
10
8
2
8
6
3
7
I. De un grupo de fracciones homogéneas será
mayor aquella que presenta mayor numerador.
; ; ; ;
8
11
8
20
8
6
8
12
8
18
8
20
es mayor.
II. De un grupo de fracciones con igual numera-
dor, será mayor aquella que presente menor
denominador. Del siguiente grupo:
; ; ; ;
7
20
16
20
12
20
3
20
9
20
3
20
es mayor.

Editorial
117
Aritmética
PROPIEDADES
1. Siendo n ! Z+
• Si f
B
A y f
B n
A n
1
1 2
1
= =
+
+
` f1 1 f2
Ejemplo:
f y f
12
8
1
12 2
8 2
14
10
1 2
1
= =
+
+
=
12
8
14
10
` 1
• Si f
B
A y f
B n
A n
1
1 2
2
= =
+
+
` f1 2 f2
Ejemplo:
1
f y f
4
10
4 5
10 5
9
15
1 2
2
= =
+
+
=
4
10
9
15
` 2
2. Dadas las fracciones irreducibles:
f
b
a
y f
d
c
1 2
= = , se cumplen que:
Si:
b
a
d
c
k
+ = , entonces: b = d (k ! Z)
3. Dadas las fracciones irreducibles:
, ,
f
m
a
f
n
b
f
p
c
1 2 3
= = =
Se cumple que:
; ;
; ;
; ;
MCM f f f
MCM m n p
MCD a b c
1 2 3 =
^
^
^
h
h
h
; ;
; ;
; ;
MCM f f f
MCM m n p
MCM a b c
1 2 3 =
^
^
^
h
h
h
NÚMEROS AVALES
Son aquellos números que resultan de dividir los
términos de una fracción en un determinado siste-
ma de numeración.
Fracción Número
• 93,125
8
745
= decimal
• 12,5
6
53
10
125
( )
( )
( )
6
6
6
= = exaval
• 3,21
25
86
100
321
( )
( )
( )
5
5
5
= = pentaval
Todo número aval presenta dos partes:
Parte
Entera
1 5 3 2 , 4 1 3(8)
Aval
coma octaval
SS
En general:
... , ... ...
a a a a a a a b ( )
m m m n k
1 2 1 0 1 2
- -
Cada cifra de la parte entera y aval ocupa un orden.
De la parte entera empieza del orden 0 y de la par-
te aval del orden -1 del siguiente modo.
Orden

2 1 0
N = 4 2 3 4, 1 5 2(6)
-1 -2 -3 -4
Orden
Orden
1 0
M = 5 2, 3 5 4(7)
-1 -2 -3
Orden
De esto podemos señalar que un número aval ad-
mite una descomposición.
De los números anteriores N y M.
N = 4 # 62
+ 2 # 6 + 3 + 4 # 6-1
+ 1 # 6-2
+ 5 # 6-3
+ 2 # 6-4
M = 5 # 7 + 2 + 3 # 7-1
+ 5 # 7-2
+ 4 # 7-3
La cual también se puede expresar:
N = 4 # 62
+ 2 # 6 + 3 +
6
4
6
1
6
5
6
2
2 3 4
+ + +
M = 5 7 2
7
3
7
5
7
4
2 3
# + + + +
Para mayor comodidad en el estudio de los núme-
ros avales, de aquí en adelante emplearemos nú-
meros que solo presenten parte aval.
Ejemplos:
• 0,315
7
3
7
1
7
5
( )
7 2 3
= + +
• 0,2323... ...
5
2
5
3
5
2
5
3
( )
5 2 3 4
= + + + +

Editorial
Clasificación de los números avales
Dependiendo de la división de los términos de la
fracción, se tendrá también las clases de los nú-
meros avales.
Ejemplo:
Expresar las fracciones:
; y
8
7
11
4
12
5
como números decimales y las fraccio-
nes ; y
8
7
5
2
12
11 como números tetravales
La división fue:
•
8
7 = 0,875 exacta
•
11
4 = 0, 3636 inexacta
•
12
6
= 0,411666 inexacta
•
8
7 = 0,32(4) exacta
•
5
2 = 0, 1212 …(4) inexacta
•
12
11 = 0, 3222 …(4) inexacta
Esto quiere decir que los números avales, solo
pueden ser exactos o inexactos. Para ello trabaja-
remos con la fracción propia e irreductible.
F =
B
A
Numero aval exacto. Cuando al dividir los térmi-
nos de la fracción la división fue exacta esto impli-
ca que la cantidad de cifras de la parte aval es limi-
tada. Encontrar el numero aval exacto no demanda
mucho es fuerzo, solo es necesario efectuar la di-
visión de los términos de las fracción. Sin embargo
determinar que fracción genera el numero aval, re-
quiere de todo un procedimiento, que pasaremos
a estudiar.
Ejemplos:
• F1 = 0,24
4 F
10
24
25
6
5
6
1 2 2
= = =
100F1 = 24
• F2 = 0,24 4 F
10
875
8
7
2
7
2 3 3
= = =
1000F2 = 24
• F3 = 0,23(6) 4
2 3
F
6
23
12
5 5
( )
3 2
6
2
#
= = =
100(6)F3 = 23(6)
• F42 =0,134(6)
2 3
F
6
134
108
29 29
( )
4 3
6
2 3
#
= = =
1000(6)F4 = 134(6)
Luego podemos afirmar que F genera un nú-
mero aval exacto, si y solamente si, B admite
como únicos divisores primos, o por lo menos
uno de los divisores primos de la base.
Además, la cantidad de cifras en la parte aval
lo indicará el mayor exponente de los factores
primos de B.
Luego, en general:
F = 0,abc ... x(n) =
...
n
abc x( )
k
n
1 2 3
4
4 4
4
fracción generatriz
k cifras
Número aval inexacto. Cuando al dividir los térmi-
nos de la fracción la división resulto inexacta, esto
implica que la cantidad de cifras de la parte aval
sea limitada.
Ejemplos:
11
4 = 0,3636…
El bloque de cifras 36 se repite en forma ordenada
y periódicamente de aquí que se denomina periodo
12
5
= 0, 41666…
La cifra 6 se repite en forma periódica, por lo tanto,
es el periodo del número aval, sin embargo existe
el bloque 41 que ya no se repite, a la cual se le
denomina parte no periódica.
De acuerdo a los resultados, se observa que estos
números se dividen en dos tipos:
A. Número aval inexacto periódico puro. En
ese caso, también estudiaremos la forma de
obtener la fracción que genera estos números.
Ejemplos:
F1 = 0,242424... = ,
0 24
!
# 102
102
F1 = 242424....
-
F1 = 0,2424...
(102
- 1) F1 = 24

Editorial
119
Aritmética
F
10 1
24
99
24
33
8
1 2
=
-
= =
,
F 0 24
99
24
33
8
1
` = = =
!
F2 = 0,135135135... = 0,135
!
• # 103
103
F2 = 135,135135... -
F2 = 0,135135...
(103
- 1) F2 = 135
F
10 1
135
999
135
37
5
2 3
=
-
= =
` = =
0,
F 135
999
135
37
5
2 =
!
F3 = 0,3131...(5) = ,
0 31( )
5
!
• # 100(5) = 52
52
F3 = 31,3131...(5) -
F3 = 0,3131...(5)
(52
- 1)F3 = 31(5)
F
5 1
31
44
31
24
16
3
2
( )
( )
( )
3 2
5
5
5
=
-
= = =
0,
F 31
44
31
3
2
( )
( )
( )
3 5
5
5
` = = =
!
F4 = 0,301301301...(5) = 0,301( )
5
!
• 53
53
F4 = 301,301301...(5) -
F4 = 0,301301...(5)
(53
- 1)F4 = 301(5)
F
5 1
301
444
301
31
19
( )
( )
( )
4 3
5
5
5
=
-
= =
0,
F 301
444
301
31
19
( )
( )
( )
4 5
5
5
` = = =
!
Luego, podemos afirmar que F genera un número
aval inexacto periódico puro si B no admite como
divisores primos a ningún divisor primero de la
base. Además; la cantidad de cifras en el perio-
do estará indicando por la cantidad de cifras del
menos numeral formado por cifras máximas de la
base, que contiene a B.
Para trabajar con números decimales (base10) es
necesario conocer:
9 = 32
99 = 32
# 11
999 = 33
# 37
9999 = 32
# 11 # 101
99999 = 32
# 41 # 271
999999 = 33
# 7 # 11 # 13 # 37
Luego, en general:
F = 0,abc...x(n) =
...
n
abc x
1
( )
k
n
-
S
k cifras
B. Número aval inexacto periódico mixto.
Analizaremos solo el caso para determinar la
fracción que genera el número.
Ejemplos:
F1 = 0,41666... = 0,416
!
Multiplicamos por 103
y 102
para formar dos
nuevos números:
• 103
F1 = 416,666...
102
F1 = 41,666...
102
(10 - 1)F1 = 416 - 41
F
10 10 1
416 41
900
416 41
12
5
1 2
=
-
-
=
-
=
^ h
,
F 0 416
900
416 41
12
5
1
` = =
-
=
!
• F2 = 0,2181818... = 0,218
!
103
F2 = 218, 181818...
10F2 = 2,181818...
10(102
- 1) F2
= 218 - 2
F
10 10 1
218 2
990
218 2
55
12
2 2
=
-
-
=
-
=
^ h
,
F 0 218
990
218 2
55
12
2 = =
-
=
• F3 = 0,2313131...(5) = 0,231( )
5
!
53
F3 = 213, 3131...(5)
F3 = 2,3131...(5)
5(52
- 1)F3 = 231(5) - 2(5)
F
5 5 1
231 2
440
231 2
15
8
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2
5 5
5
5 5
=
-
-
=
-
=
^ h
• F4 = 0,13555...(7)
73
F4 = 135, 555...(7)

Editorial
72
F4 = 135,555...(7)
72
(7 - 1) F4 = 135(7) - 13(7)
F
7 7 1
135 13
600
135 13
294
65
( ) ( )
( )
( ) ( )
4 2
7 7
7
7 7
=
-
-
=
-
=
^ h
13 = =
0,
F 5
600
135 13
294
65
( )
( )
( ) ( )
4 7
7
7 7
` =
-
!
Luego, en general:
F = 0, ...
a a ak
1 2 b1b2...b(m)
... ... ...
F
n n
a a a b b b a a n
1
k m
k m k
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
n n
=
-
-
^ h
CAMBIOS DE BASE EN LOS NÚMEROS AVALES
Numeral a base
• 0,55 5 0,55 = 0,23
!
(5)
• 0,24(6) 8 0,24(6) = 0,34
!
(8)
• 0,12
!
(5) 6 0,12(5) = 1,43(6)
• 0,23
!
(5) 9 0,23
!
(5) = 0,48
!
(9)
Fracciones continuas simples (FCS)
Son expresiones de la siguiente forma:
• F 2
4
3
1
1
1 = +
+
• F 1
3
2
4
1
1
1
2 = +
+
+
•
...
F 2
4
4
4
1
1
1
3 = +
+
+
+
•
...
F 1
1
2
1
2
1
1
1
1
4 = +
+
+
+
+
Las cuales representantes convencionalmen-
te como:
F1 = [2; 4; 3]
F2 = [1; 3; 2; 4]
F3 = [2; 4; 4; 4;...]
F4 = [1; 1; 2; 1; 2; ...]
En general:
Términos
; ; ;...;
F a
a
a
a a a a
1
1
1
n
n
0
1
2
0 1 2
h
= +
+
+
=
/a
1
,
Dónde: a0 ! Z, ai ! Z+
, 1 # i
Si el número de términos de una FCS es finito,
entonces es dice que la FCS es finita (FCSF).
Si el número de términos es infinito, entonces,
al FCS es infinita (FCSI).
Todo número racional y todo número irracio-
nal puede ser expresado como una FCS.
Ejemplo:
Expresar
31
40
como una FCS
31
40
1
31
9
1
9
31
1 1
3
9
4
1
= + = + = +
+
1 1
31
40
3
4
9
1
1
3
2
4
1
1
1
= +
+
= +
+
+
Por lo tanto:
31
40
= (1; 3; 2; 4) FCS Finita
Nótese que el divisor en cada paso del proce-
so para expresar 40/31 como una FCS es el
dividendo en el paso siguiente, por lo tanto,
el proceso constituye un caso particular en la
obtención del MCD de dos números enteros.
Términos de la FCS
1 3 2 4
40 31 9 4 1
9 4 1 0

Editorial
121
Aritmética
Teorema
Todo número racional puede ser expresado
como una FCS finita.
Ejemplo:
Evaluar la FCS F [5; 1; 3; 2] utilizando el algo-
ritmo de Euclides.
5 1 3 2
52 9 7 2 1
7 2 1 0
` [5; 1; 3; 2]
9
52
=
Teorema
Toda FCS finita representa un número racional.
Ejemplo:
Expresar 2 como una FCS
Se cumple:
2 1 2 1
= + -
^ h; hacemos: a 2 1
= -
1 ...
a
2 a
= + ^ h
Como:a=
a
a
a
2 1
2 1
1
2
1
2
1

- =
+
=
+
=
+
Reemplazando en (a):
2 1
2
2
2 1
1
1
1
h
= +
+
+
+
` 2 = [1; 2; 2; 2; ...] = [1; 2]
Teorema
Todo número irracional puede ser expresado
como una única FCS infinita.
Ejemplo:
Determine el número irracional representado
por la FCSI [2; 4; 4; 4;….]
Sea: x = [2; 4; 4; 4;….]
x 2
4
4
4 1
1
1
1
h
= +
+
+
+
...(a)
x 2
4
4
4 1
1
1
1
h
- =
+
+
+
Luego en (a):
x
x x
2
4 2
1 2
2
1
= +
+ -
= +
+
^ h
x
x
x
x x x
5
2 5
2 2 5
2

=
+
+
+ = +
x x
5 5
2

= =
Teorema
Toda FCS infinita representa un número irra-
cional.
Teorema
Si p es un entero positivo, entonces, la FCS
infinita que representa a: p 1
2
+ es [p, 2p]
• ;
17 4 1 4 8
2
= + = 6 @
• ;
26 5 1 5 10
2
= + = 6 @
Teorema
Si p es un entero positivo mayor que 1, enton-
ces, FCS infinita que representa a: p 1
2
- es
; ,
p p
1 1 2 1
- -
^ ^
h h
6 @
• ; ,
8 3 1 2 1 4
2
= - = 6 @
• ; ,
24 5 1 4 1 8
2
= - = ,
1. Al simplificar la expresión:
E =
...
066
... ,
11 2
-
,
, , ... , /
3
0 5 0 66 0 055 9 10
+ -
^ h
Indicar la diferencia entre el denominador y el
numerador del resultado.
Resolución:
En el numerador:
,
0 5
2
1
90
45
/
=
90
105
,
0 6
9
6
90
60
/
= 1
90
100
10
9
# =
0,05
90
5
90
5
/
=
!

Editorial
En el denominador:
3,1
9
31 3
=
-
!
2,06
90
206 20
=
-
!
Restando
90
280
90
186
90
94
45
47
/
- =
Luego: E E
45
47
1
47
45

= =
2. Habiendo perdido un jugador la mitad de su
dinero, volvió al juego y perdió la mitad de lo
que le quedaba, repitió la mitad de lo que le
quedaba, repitió lo mismo por 3.a
y 4.a
vez,
hasta que le quedó no más que S/.6,00.
¿Cuándo dinero tenia al comenzar el juego?
Resolución:
Utilicemos el método del cangrejo. Recuerda
que, si pierde la mitad; entonces; tenia el do-
ble de lo que le queda.
Así:
Le queda tenia
4.° 6 12
3.° 12 24
2.° 24 48
1.° 48 96
3. Hallar la fracción generatriz del número
0,432
!
Resolución:
,
0 432
990
432 4
990
428
495
214
/
=
-
=
!
f
495
214
g
` =
4. Si los radios de una sucesión de círculos son
1; ; ;
2
1
4
1
8
1 ; … centímetros, la suma de las
áreas de tales círculos será:
Resolución:
Los radios son: 1; ; ;
2
1
4
1
8
1 ;...
El área de un círculo es: pR2
Entonces, la suma del área resulta:
... ...( )
1
4
1
16
1
64
1 1
S
p
+ + + +
c m
1 2 3
44444
4 44444
4
• Calculando S
...
S 1
4
1
16
1
64
1
= + + + +
...
S 1
4
1 1
4
1
16
1
64
1
S
= + + + + +
c m
1 2 3
44444
4 44444
4
S
S
S S
1
4 4
3
1
3
4

= + = =
En (1): suma de áreas:
3
4 p
5. Simplifica el producto:
...
n
1
3
1 1
4
1 1
5
1 1 1
- - - -
c c c c
m m m m
Resolución:
...
n
1
3
1 1
4
1 1
5
1 1 1
- - - -
c c c c
m m m m
...
n
n
n
3
2
4
3
5
4 1 2
# # # #
=
-
=
6. Calcula:
36
5
48
5
75
2
3600
121
+ - +
Resolución:
Dando denominador común a todas las frac-
ciones es obtiene:
3600
500 375 96 121
+ - +
3600
900
2
1
/
7. A un radiador de automóvil, lleno con 16 litros
de agua, se le quitan 4 litros de agua que son
reemplazados por líquido antioxidante puro.
Luego se quitan 4 litros de la mezcla resultan-
te, que son reemplazados con líquido antioxi-
dante puro. Lo mismo se hace una tercera y
luego una cuarta vez. ¿Qué fracción de agua
queda en la mezcla final?

Editorial
123
Aritmética
Resolución:
Inicialmente tenemos 16 litros.
Se extra de agua queda de agua
1.° 4
4
1 16
/ ^ h 12
2.°
4
1 12
^ h 9
3.°
4
1 9
^ h ,
4
3
9 6 75
=
^ h
4.° ,
4
3
6 75
^ h ,
4
3
6 75
^ h
Al final queda de agua:
,
4
3
6 75
16
81
=
^ h
Que representa la fracción:
1
16
16
81
256
81

8. Juan es el doble de rápido que Pedro. Si jun-
tos pueden hacer cierto trabajo en 8 días,
¿cuánto tiempo le tomaría a Juan hacerlo
solo?
Resolución:
Como Juan es el doble de rápido que Pedro,
quiere decir que Pedro emplea el doble del
tiempo que emplea Juan en hacer un trabajo.
Entonces:
Si: Juan lo hace en n días
Pedro lo hace en 2n días
En un día:
Juan hace:
n
1 _
`
a
b
b
b
b
Juntos:
n n n
1
2
1
2
3
+ =
Pedro hace:
n
2
1
Luego, todo lo hacen en:
n
3
2 8
= n = 12 días
9. Un granjero reparte sus gallinas entre sus
cuatro hijos. El primero recibe la mitad de las
gallinas, el segundo la cuarta parte, el tercero
la quinta parte y el cuarto las siete restantes.
¿Cuántas gallinas se repartieron?
Resolución:
Sea N el número de gallinas; entonces:
N N N N
2 4 5
7
+ + + =
N N N
N
20
10 5 4
7
+ +
+ =
N N
20
19
7
+ =
N N
7
20
1 140

= =
10. Los 3/4 de un barril más 7 litros, son de pe-
tróleo y 1/3 menos 20 litros, son de agua.
¿Cuántos litros son de petróleo?
Resolución:
Sea N la cantidad del barril, entonces:
N N N
4
3
7
3
1 20
+ + - =
1 2 3
4
4 4
4 1 2 3
44 44
petróleo agua
N N
12
13
13
- =
N
12
1 13
= N = 156
Petróleo: 156 7 124
4
3
# + =
11. A un alambre de 91 metros de longitud se le
da tres cortes de manera que la longitud de
cada trozo es igual a la del inmediato anterior
aumentado en su mitad, ¿Cuál es la longitud
del trozo mas grande?
Resolución:
Tenemos:
1.°
L
2.°
L
2
3
3.°
L
2
3
2
3
c c
m m
4.°
L
2
3
4
9
c m
Por dato:
L L L L
2
3
4
9
8
27 91
+ + + =

Editorial
L
8
65
91
= 8
L
65
91
#
=
Piden:
91 8
37,80
L
8
27
8
27
65
#
# #
= =
12. El MCD del numerador y denominador de una
fracción equivalente a 16/72 es 13. ¿Cuál es
esta fracción?
Resolución:
f f f
k
k
72
16
9
2
9
2
i e

= = =
MCD(2k; 9k) = 13
k # MCD(2; 9) = 13 k = 13
Luego: f
117
26
e =
1. Dos depósitos tienen respectivamente 168 y
420 litros y cada uno de ellos recibe 4 litros de
agua por minuto. ¿Dentro de cuánto tiempo
tendrá el primero 79/142 del segundo?
a) 27 min b) 17 min c) 47 min
d) 57 min e) 37 min
2. Si un jugador en su primer juego pierde 1/3 de
su dinero, en el segundo pierde 1/4 del resto y
en el tercero pierde 1/5 del nuevo resto, ¿Qué
fracción del dinero que tenia originalmente le
ha quedado?
a) 3/4 b) 2/5 c) 3/5
d) 2/4 e) 3/7
3. Si de un depósito que está lleno 1/5 de lo que
no está lleno, se vacían una cantidad igual a
1/125 de lo que no se vacía. ¿Qué parte del
volumen del depósito quedará con líquido?
a) 2/13 b) 3/11 c) 1/11
d) 125/756 e) 2/6
4. Un padre se familia recibe cierta cantidad de
dinero por escolaridad. Si gasta los 3/5 de lo
que recibió y aun le quedan S/.120, ¿Cuánto
recibió por escolaridad?
a) 200 b) 250 c) 300
d) 350 e) 280
5. Calcular una fracción equivalente a 0,8; cuyo
numerador está comprendido entre 25 y 40; y
su denominador entre 38 y 53.
a) 36/45 b) 34/49 c) 32/35
d) 36/47 e) 32/37
6. ¿Cuántas fracciones irreducibles con denomi-
nador doce son propias?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
7. El denominador de una fracción excede al nu-
merador en 12. Si el denominador aumentara
en 8, el valor de la fracción sería 1/5, halla la
fracción.
a) 5/17 b) 7/19 c) 1/13
d) 4/5 e) 11/23
8. Determinar el valor de a:
0,00 2 , 0, ,
a a a
0 0 0 73
+ + =
a k
! ! ! !
a) 4 b) 3 c) 2
d) 5 e) 1
9. ¿Cuánto le falta a (ABC)0,333…
para ser igual a
0,00021? Siendo:
A= 0,002
B= 0,000040
C= 0,0000027
a) 0,00015 b) 0,0015 c) 0,00027
d) 0,0027 e) 0,0018
10. Una llave puede llenar una piscina en 3 horas,
otra en 2 horas y otra en 6 horas. ¿En cuánto
tiempo llenarán la piscina las 3 llaves, si son
abiertas al mismo tiempo?
a) 1 hora b) 2 horas c) 3 horas
d) 4 horas e) 1/2 horas

Editorial
125
Aritmética
11. Una cañería llena una piscina en 4 horas y
otra la puede dejar vacía en 6 horas. ¿En
cuánto tiempo puede llenarse la piscina, si la
cañería de desagüe se abre 1 hora después?
a) 11 h b) 12 h c) 9 h
d) 10 h e) 13 h
12. Una liebre que da 3 1/4 pasos por segundo,
huye velozmente al darse cuenta que a su
lado se encuentra un zorro. Este, al descubrir-
la se lanza en su persecución; 20 segundos
después, dando 4 1/2 pasos por segundo.
Calcular el tiempo que demora en alcanzarla.
a) 65 b) 13 c) 52
d) 42 e) 54
13. Se compra limones a 3 por S/.10 y se venden
a 2 por S/.9. ¿Cuántos limones se deben ven-
der para ganar S/.1400?
a) 1200 b) 2400 c) 3600
d) 600 e) 2200
14. Si 1/3 de lo que caminé equivale a los 2/3 de
lo que falta caminar, ¿qué fracción del recorri-
do total caminé?
a) 1/3 b) 3/5 c) 3/8
d) 5/8 e) 2/3
15. Si César es el triple de rápido que Arturo, ¿en
qué tiempo harán una obra si trabajan juntos,
sabiendo que Arturo hace toda la obra en 6 h?
a) 1 h 20 min b) 1 h 30 min
c) 1 h 45 min d) 1 h 50 min
e) 1 h
16. Se tiene un depósito de 30 m3
de capaci-
dad con dos grifos; uno de suministro y otro
de desfogue de 250 L/h y 125 L/h, respecti-
vamente, ubicados como nuestra la figura.
¿Cuánto tiempo demorará en llenarse el de-
pósito?
h
30 m3
h/3
a) 100 h b) 200 h c) 150 h
d) 130 h e) 160 h
17. A, B y C pueden hacer un trabajo en 10; 5 y 2
días, respectivamente. El primer día, trabajó
A solo; el segundo día, se le une B y el tercer
día trabajan los tres juntos. ¿Cuántos días se
necesitarán para hacer toda la obra?
a) 2,75 b) 2,5 c) 2,5
d) 3 e) 2,65
18. Un tanque está lleno las 3/4 partes. El caño
A puede llenarlo en 12 min. El caño B puede
desaguarlo en 8 min. Si ambos caños están
abiertos, ¿Cuánto tiempo se empleará en
desaguar el tranque?
d) 18 min e) 9 min
19. Un tanque que contiene 400 galones de capa-
cidad puede ser llenado por un caño en 15 min
y vaciado por otro caño en 40 min. ¿En cuánto
tiempo se llenará el tanque si ambos caños se
abren?
d) 24 min e) 26 min
20. Un hombre realiza un trabajo en 6 h. su hijo
lo hace en 12 h. ¿Cuánto tardarán en hacerlo
juntos?
a) 4 h b) 6 h c) 9 h
d) 3 h e) 18 h
1. e 5. a 9. a 13. a 17. a
2. b 6. b 10. a 14. e 18. d
3. d 7. a 11. d 15. b 19. d
4. c 8. a 12. c 16. b 20. a
Claves
1. Un vendedor tiene 2 canastas de manzanas
con igual cantidad en cada una. De la primera
canasta se retira la quinta parte y la coloca en
la otra, luego de esta regresa la cuarta parte
a la primera, que con este aumento tendría 44

Editorial
manzanas. ¿Cuántas manzanas tenía cada
canasta inicialmente?
a) 30 b) 35 c) 40
d) 45 e) 50
2. Una plancha de madera pierde al ser aserra-
da 2/9 de su ancho y 3/10 de su largo, que-
dando así un área de 2744 metros cuadrados.
Determinar el ancho original de la plancha,
sabiendo que el largo original era 80 metros.
a) 35 b) 42 c) 49
d) 56 e) 36
3. Hallar la suma de los términos de una fracción
equivalente a 4/11, si al sumarle 11 a cada tér-
mino se obtiene 0,5227
!
.
a) 42 b) 45 c) 48
d) 32 e) 36
4. Katy reparte los caramelos que tiene entre sus
sobrinos de la siguiente manera: al primero le
tocó 1/9 del total, al segundo 1/15, al terce-
ro 1/5 y al cuarto por ser su engreído le tocó
33 caramelos más que a los otros 3 juntos.
¿Cuántos caramelos le tocó a este último?
a) 72 b) 76 c) 80
d) 84 e) 86
5. Al venderse una chacra, una señora recibió
S/.1640 por los 2/7 de su parte. Si la seño-
ra era dueña de 4/9 de la chacra, además
solo ha recibido los 5/8 del precio de venta.
¿Cuántos le falta recibir a la señora?
a) S/.4000 b) S/.4100 c) S/.4200
d) S/.4300 e) S/.4400
6. He gastado los 5/8 de mi dinero, si en lugar de
gastar los 5/8 hubiera gastado los 2/5 de mi
dinero tendría ahora 72 soles más de lo que
tengo. ¿Cuánto no gasté?
a) S/.100 b) S/.110 c) S/.120
d) S/.130 e) S/.140
7. En una reunión Timo come la mitad del nú-
mero de pasteles más medio pastel, en la se-
gunda vez la mitad de los que quedaban más
medio pastel, así sucesivamente, después de
la cuarta vez que comió no quedo ningún pas-
tel. ¿Cuántos pasteles había inicialmente?
a) 12 b) 15 c) 18
d) 21 e) 24
8. De un recipiente que está lleno 2/3 de lo que
no está lleno, se extrae 1/4 de lo que no se
extrae. Luego se consume 1/2 del resto, que-
dando 12 litros. Hallar la capacidad del reci-
piente.
a) 72 litros b) 75 litros c) 78 litros
d) 81 litros e) 84 litros
9. Tú tienes la mitad de lo que yo tengo y yo 1/3
de lo que él tiene, si el triple de lo que tú tienes
más el doble de lo que yo tengo excede en
S/.5 a los que él tiene, ¿Cuánto tenemos entre
los tres?
a) S/.30 b) S/.35 c) S/.40
d) S/.45 e) S/.50
10. Un caño llena un recipiente en 4 h mientras
que un caño de desagüe lo desaloja, en 6 h.
¿Cuánto tiempo demora en llenarse el reci-
piente si están vició se abran los dos caños a
la vez?
a) 10 horas b) 12 horas c) 14 horas
d) 16 horas e) 18 horas
11. El indicador de un tanque de aceite señala 1/5
de su capacidad. Después llega un camión
cisterna y deposita en el tanque 165 galones
por lo que el indicador señala las 4/5 partes
de la capacidad. Hallar la capacidad total del
tanque.
a) 260 litros b) 265 litros c) 270 litros
d) 275 litros e) 280 litros
12. ¿Cuál es la cantidad entera que debe
agregarse al numerador y denominador de
la fracción 4/7 para que la fracción resultante
este comprendida entre 0,7 y 0,75?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
13. Se vende un edificio y una señora es dueña
de 2/5 del edificio y recibió S/.a por los 3/4 de
su parte. ¿A qué precio se vendió el edificio?

Editorial
127
Aritmética
a) 10a/3 b) 9a/5 c) 7a/3
d) 15a/7 e) 10a/7
14. Tres hermanos se repartieron un terreno de
345 ha de extensión. El hermano mayor que
había recibido la mayor parte cedió a sus 2
hermanos 1/15 y 1/6 de lo suyo respectiva-
mente de modo que los tres tuvieran la misma
extensión de terreno. ¿Qué extensión les co-
rrespondió inicialmente a las dos menores?
a) 95 y 110 b) 90 y 105 c) 95 y 115
d) 86 y 105 e) 75 y 95
15. Un tranvía parte con cierto número de pasaje-
ros, en el primer paradero deja la quinta parte;
en el segundo suben 40 pasajeros, en el ter-
cero bajan los 3/8 de los que iban, en el cuarto
suben 35, y en el trayecto al último paradero
dela los 7/9 de los que lleva, llegando a este
último con 30 pasajeros. ¿con cuántos pasa-
jeros partió el tranvía?
a) 140 b) 145 c) 150
d) 155 e) 160
16. Un grifo vertiendo agua de manera continua
puede llenar cierto depósito en 1 h 17 min. Un
segundo grifo puede hacerlo individualmente
en 44 min. Estando vacío el depósito se abra
el segundo grifo durante 11 minutos, al cabo
del cual se abre el primero. Después de cuan-
tos minutos de haber funcionado los dos gri-
fos se llenara el depósito.
d) 26 min e) 28 min
17. Hallar una fracción propia e irreducible cuyo
denominador es 125; sabiendo que su desa-
rrollo decimal está formado por cifras conse-
cutivas crecientes.
a) 37/125 b) 47/125 c) 57/125
e) 67/125 e) 87/125
18. ¿Cuántas fracciones propias e irreducibles de
denominador 168 existen tales que la suma
de sus términos sea
°
11?
a) 7 b) 14 c) 10 d) 5 e) 4
1. c 5. b 9. d 13. a 17. c
2. e 6. c 10. b 14. b 18. d
3. b 7. b 11. d 15. c
4. d 8. b 12. c 16. a
Claves

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