Bioestadistica - Distribuciones de frecuencias

Prof. Ingº MSc. Carmen Lugo Delgado
UNEFM. CIENCIAS VETERINARIAS
I UNIDAD: ESTADISTICA DESCRIPTIVA
BIOESTADÍSTICA
TEMA 2: DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

Autor: Ingº MSc Prof. Ingº MSc. Carmen Lugo Delgado
2. Distribuciones de Frecuencias:
Arreglo de datos.
Representaciones tabulares y gráficas.
Cuando los individuos de la población en estudio son medidos u observados,
generalmente los valores resultantes se registran como una masa de datos
desordenada, que requiere ser organizada antes de proceder a realizar cualquier
interpretación de los mismos. Si el número de observaciones no es demasiado
grande, un primer paso para la organización de estos datos es la preparación de un
arreglo ordenado. Un arreglo ordenado es una lista de los valores extraídos de una
población o muestra dispuestos en orden alfabético para variables cualitativas, o en
orden de magnitud creciente del menor al mayor valor registrado cuando se trata de
variables cuantitativas.
Ejemplo Nº 1: Tipo de alimento suministrado a caninos de compañía atendidos en la
clínica veterinaria Santa Ana en Coro, Estado Falcón durante el
primer trimestre de 2009.
Num Alimento Num Alimento Num Alimento
1 CASERO 18 CONCENTRADO 35 CASERO
2 CONCENTRADO 19 CONCENTRADO 36 CONCENTRADO
3 CONCENTRADO 20 MIXTO 37 CONCENTRADO
4 CASERO 21 MIXTO 38 CONCENTRADO
5 CONCENTRADO 22 MIXTO 39 CASERO
6 MIXTO 23 MIXTO 40 MIXTO
7 CONCENTRADO 24 CASERO 41 CASERO
8 CASERO 25 CONCENTRADO 42 CONCENTRADO
9 CONCENTRADO 26 CASERO 43 MIXTO
10 MIXTO 27 CONCENTRADO 44 CASERO
11 MIXTO 28 MIXTO 45 MIXTO
12 MIXTO 29 CASERO 46 CONCENTRADO
13 CASERO 30 CONCENTRADO 47 CASERO
14 MIXTO 31 CONCENTRADO 48 CASERO
17 MIXTO 34 MIXTO

ARREGLO DE DATOS:
Num Alimento Num Alimento Num Alimento
1 CASERO 18 CONCENTRADO 35 MIXTO
14 CONCENTRADO 31 CONCENTRADO 48 MIXTO
17 CONCENTRADO 34 MIXTO
Cuando se tiene una gran cantidad de datos es conveniente presentarlos agrupados
en una distribución de frecuencias con el objeto de resumir la información y poder así
determinar su naturaleza.
Una distribución de frecuencia es representación estructurada como tabla de
resumen en la que los datos se disponen agrupados en clases o categorías
convenientemente ordenados acompañados de sus respectivas frecuencias.
Las tablas estadísticas permiten resumir las principales características de los datos,
con el objeto de hacerlas evidentes para el lector.

 Representaciones Tabulares:
Cuando se trabaja con variables cualitativas cada una de las modalidades observadas
corresponden a las clases o categorías. Estas deben ser mutuamente excluyentes y
exhaustivas de tal manera que los datos solo puedan ser asignados a una de las
clases o categorías establecidas.
TABLA Nº 1. DISTRIBUCION POR EL TIPO DE ALIMENTO CONSUMIDO DE
LOS CANINOS DE COMPAÑÍA ATENDIDOS EN LA CLINICA
VETERINARIA SANTA ANA. CORO. ENERO-MARZO 2009.
ALIMENTO ni fi %
CASERO
CONCENTRADO
MIXTO
13
20
17
0,26
0,40
0,34
26
40
34
50
ni Frecuencia Absoluta: Número de individuos pertenecientes a cada clase.
fi Frecuencia Relativa: Cociente de la frecuencia absoluta entre el número total de
datos.
El porcentaje se obtiene al multiplicar las frecuencias relativas por 100. Es muy útil
cuando se comparan series de datos que difieren en el número de observaciones.
Cuando se procesa información resultante del estudio de variables cuantitativas, es
conveniente observar si esta es de tipo discreto o continuo. Para las variables
cuantitativas de tipo discreto cuando el número de modalidades registradas es
pequeño, cada modalidad puede ser considerada como una clase.
Ejemplo Nº 2. Número de cuartos de ubre afectados por mastitis en un rebaño de
vacas mestizas ¾ holteins. Municipio Federación. Falcón. Venezuela.
2009.
0 1 0 2 1 3 0 3 0 0 1 0 0 3 0
2 2 0 0 1 0 2 1 1 0 4 1 0 1 2
Arreglo de datos:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4
N
ni
fi

TABLA Nº 2. NÚMERO DE CUARTOS DE UBRE AFECATDOS POR
MASTITIS EN UN REBAÑO DE VACAS MESTIZAS ¾
HOLTEINS. MUNICIPIO FEDERACIÓN. ESTADO
FALCON. VENEZUELA 2009.
Nº CUARTOS ni fi Ni Fi
0
1
2
3
4
13
8
5
3
1
0,43
0,27
0,17
0,10
0,03
13
21
26
29
30
0,43
0,70
0,87
0,97
0,01
30
Por tratarse de una variable cuantitativa en la tabla de frecuencia debe considerarse el
cálculo de otras frecuencias adicionales a las calculadas en la anterior tabla.
Ni Frecuencia Absoluta Acumulada: Número de individuos pertenecientes a cada
clase mas los de la clase anterior.
Fi Frecuencia Relativa Acumulada: Cociente de la frecuencia absoluta Acumulada
entre el numero total de datos.
N
Ni
Fi
Si el número de clases registrados es muy alto o cuando se trata de una variable
cuantitativa continua, es necesario agrupar los datos en intervalos de clases.
Cuando los datos numéricos son agrupados en intervalos de clase, la información
inicial correspondiente a cada observación individual se pierde, por lo que al construir
la tabla de distribución de frecuencia es necesario tener en cuenta los siguientes
aspectos:
1. Establecer la Amplitud de Variación para la serie total de datos.
2. Seleccionar un número apropiado de intervalos clase en función al número de
datos.
3. Establecer la amplitud o ancho de intervalo óptimo.
4. Establecer los límites para cada intervalo de clase.
 Calculo de la Amplitud de Variación:
La amplitud de variación para la serie total de datos se establece restando el mínimo
valor del máximo valor registrado (Diferencia existente entre los valores extremos).
A.V.= Valor Mayor – Valor Menor

 Selección del Número de Intervalos de Clases:
La distribución de frecuencia debe tener al menos cinco (5) intervalos de clase, pero
no más de quince (15). Si no hay suficientes intervalos de clase o si hay demasiados,
se obtendría poca información.
Para tener una idea del número de intervalos de clase convenientes para el número de
datos con el cual se esta trabajando, se puede aplicar la regla de Sturges. Esta indica:
Nk log322,31
k Número de intervalos de clase N= Número de datos
Amplitud o Ancho de los Intervalos:
Para determinar la amplitud o ancho de los intervalos de clase (A.I) se debe dividir la
amplitud de la serie total de datos (A. V.) entre el número de intervalos estimados y se
redondea esa cantidad.
k
VA
IA
..
..
A.I.= Amplitud de Intervalo
A.V.= Amplitud de Variación A.V.= Valor Mayor – Valor Menor
Es conveniente que todos los intervalos de una distribución de frecuencia tengan la
misma amplitud. La amplitud de un intervalo también se obtiene al restarle al límite
inferior de una clase superior, el límite inferior de la clase precedente.
El conjunto de intervalos debe incluir todos los datos. Asimismo no debería ocurrir el
traslape entre los intervalos.
 Establecimiento de los límites para cada intervalo de clase:
El límite inferior (Li) de un intervalo corresponde al valor mínimo que puede ser
incluido en el intervalo.
El límite superior (Ls) de un intervalo corresponde al valor máximo que puede
incluirse en el intervalo.
El valor menor de la serie de datos, corresponde al límite inferior de la primera
clase. A este valor se le debe sumar la amplitud de intervalo estimada para
obtener el límite superior de dicha clase.

Cuando se trabaja con variables cuantitativas discretas, el límite superior (Ls) del
primer intervalo se obtiene cuando al valor mínimo registrado se le suma la amplitud
estimada de intervalo menos uno (1). El límite inferior (Li) para la segunda clase,
corresponderá al límite superior (Ls) de la primera clase más uno (1). Si a este valor
se le suma nuevamente la amplitud de intervalo se obtendrá el límite superior de esta
segunda clase. Este procedimiento deberá repetirse hasta obtener el número de
intervalos de clase estimado. Todos los valores registrados para la variable en estudio
deben ser incluidos en los intervalos construidos. Si algún valor quedara sin ser
incluido en el último intervalo podría ser necesario construir un intervalo adicional.
Ejemplo Nº 3. Número de consultas por emergencia atendidos semanalmente en la
Clínica Veterinária Santa Ana, Coro, Estado Falcón durante 2009.
Sem Emerg Sem Emerg Sem Emerg Sem Emerg Sem Emerg
1 3 13 8 25 13 37 4 49 2
2 5 14 5 26 1 38 3 50 3
3 4 15 2 27 0 39 1 51 4
4 5 16 4 28 8 40 0 52 4
5 1 17 12 29 9 41 3 53 0
6 2 18 2 30 5 42 1
7 1 19 6 31 7 43 7
8 4 20 4 32 3 44 4
9 2 21 10 33 11 45 3
10 4 22 2 34 8 46 0
11 3 23 1 35 10 47 2
12 8 24 3 36 0 48 6
Arreglo de datos:
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4
4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 8
8 8 8 9 10 10 11 12 13

Amplitud de Variación:
A.V. = 13 – 0= 13
Nº de intervalos: k= 1+3,322 x log 53 k= 6,72 7
Amplitud de los Intervalos: A.I= A.V./k A.I.=13/7= A.I.= 1,85 2
Primer Intervalo: Li = Valor Mínimo = 0
Ls = (Li+ A.I) – 1 (0 + 2) – 1= 1
Segundo Intervalo: Li= (Ls primer intervalo +1)= 1 + 1 = 2
Ls= (Li + A.I.) – 1 (2 + 2) – 1 = 3
Li Ls
0 - 1
2 - 3
4 - 5
6 - 7
8 - 9
10 - 11
12 - 13
Cuando se agrupan los datos en intervalos de clase es necesario, al preparar la tabla
de frecuencia calcular el Punto Medio o centro de clase.
 Punto Medio o Centro de Clase:
Corresponde al promedio de los límites inferior y superior de cada clase.
Se obtiene sumando los límites inferior y superior de cada clase y dividiendo el
resultado entre dos (2):
Primer Intervalo: (Li + Ls)/ 2 (0 + 1) / 2 = 0,5
Segundo Intervalo: (2 + 3) / 2 = 2,5

TABLA Nº 3. NÚMERO DE CONSULTAS POR EMERGENCIA ATENDIDOS
SEMANALMENTE EN LA CLÍNICA VETERINARIA. SANTA ANA.
CORO. ESTADO FALCON. 2009.
Li Ls P.M ni fi Ni Fi
0
2
4
6
8
10
12
1
3
5
7
9
11
13
0,5
2,5
4,5
6,5
8,5
10,5
12,5
11
15
13
4
5
3
2
0,2075
0,2830
0,2453
0,0755
0,0943
0,0566
0,0377
11
26
39
43
48
51
53
0,2075
0,4906
0,7358
0,8113
0,9057
0,9623
1,0000
53
Cuando se trabaja con variables cuantitativas continuas es recomendable que el límite
superior de una clase, coincida con el límite inferior de la clase siguiente. Esto para
evitar que algunos datos pudieran no ser asignados en algún intervalo de clase.
Ejemplo Nº 4. Valores de glicemia registrados en los caninos de compañía
atendidos en la Clínica Veterinaria Santa Ana. Coro, Estado Falcón
durante el mes de diciembre 2009.
Arreglo de Datos:
52
71
79
88
100
54
72
79
89
104
55
73
81
91
104
58
74
83
92
105
61
74
83
93
108
65
76
84
94
108
65
76
86
94
111
68
76
86
96
116
68
77
87
96
119
70
77
87
100
122
Amplitud de Variación:
A.V. = 122 – 52= 70
Nº de intervalos: k= 1+3,322 x log 53 k= 6,72 7
73
89
111
76
100
72
104
86
77
105
74
70
52
96
71
119
79
54
94
83
76
77
68
96
83
108
76
68
65
55
94
91
108
58
87
84
61
104
100
92
87
79
122
93
86
88
81
65
116
74

Amplitud de los Intervalos: A.I= A.V./k A.I.= 70/7= A.I.= 10
Primer Intervalo: Li = Valor Mínimo = 52
Ls = (Li+ A.I) (52 + 10) = 62
Segundo Intervalo:Li= (Ls primer intervalo)= 62
Ls= (Li + A.I.) (62 + 10) = 72
Punto Medio o Centro de Clase:
Primer Intervalo: (Li+Ls)/2 = (52 + 62) / 2 = 57
TABLA Nº 4. VALORES DE GLICEMIA REGISTRADOS EN LOS
CANINOS DE COMPAÑÍA ATENDIDOS EN LA CLÍNICA
VETERINARIA SANTA ANA. CORO. ESTADO FALCON.
DICIEMBRE 2009.
Li Ls P.M ni fi Ni Fi
52
62
72
82
92
102
112
62
72
82
92
102
112
122
57
67
77
87
97
107
117
5
7
11
11
7
6
3
0,10
0,14
0,22
0,22
0,14
0,12
0,06
5
12
23
34
41
47
50
0,10
0,24
0,46
0,68
0,82
0,94
1,00
50
 Representaciones Graficas:
Los gráficos se utilizan para presentar la información estadística contenida en una
serie de datos de forma visual. Ellos permiten obtener una percepción rápida de los
rasgos más sobresalientes de la variable que se estudia, que con otras formas de
presentación no serían tan evidentes o captados rapidez.
Los gráficos deben seleccionarse dependiendo del tipo de variable con la cual se esta
trabajando. Los gráficos apropiados para representar variables cualitativas difieren de
los adecuados para las variables cuantitativas, y aun dentro de estas últimas, existen
diferencias en cuanto a los gráficos para variables discretas y para las continuas,

 Gráficos para Variables Cualitativas:
Para representar variables cualitativas los gráficos más adecuados son:
Gráficos de barras:
Consiste en una serie de barras rectangulares representando las modalidades o
clases de la variable, separadas por una distancia constante y con una altura
proporcional a la frecuencia de con que se presenta cada modalidad.
En el eje horizontal se representan las distintas modalidades o clases de la variable.
En el eje de escala vertical se representa la frecuencia con que ocurre cada clase. Los
gráficos de barras también podrían presentarse horizontalmente, para ello solo se gira
los ejes en el sentido de las agujas del reloj.
Este tipo de gráfico se utiliza con variables cualitativas medidas en escala nominal y
en escala ordinal. Para variables expresadas en escala nominal, las clases podrían
ordenarse alfabéticamente. También pudieran ordenarse considerando la magnitud de
la frecuencia con que se presenta cada clase, es decir de menor a mayor o viceversa.
Con las variables expresadas en escala ordinal, se debe respetar el orden lógico
presentado por la variable.
Cada barra debe estar identificada, indicando la clase o categoría que representa.
Pueden utilizarse letras, colores, símbolos, etc.
Los diagramas de barras pueden ser utilizados cuando se tiene una gran cantidad de
clases o categorías.
GRAFICO Nº 1. TIPO DE ALIMENTO SUMINISTRADO A LOS CANINOS DE
COMPAÑÍA ATENDIDOS EN LA CLÍNICA VETERINARIA SANTA
ANA. CORO. ESTADO FALCON. ENERO-MARZO 2009.
0
5
10
15
20
25
CASERO CONCENT. MIXTO

GRAFICO Nº 1. TIPO DE ALIMENTO SUMINISTRADO A LOS CANINOS DE
Gráficos de Sectores o Torta:
Se utiliza principalmente con variables cualitativa medidas en escala nominal. Consiste
en un círculo dividido en sectores, cada uno de ellos con tamaño proporcional o
equivalente a la frecuencia la categoría que se representa. Generalmente se utiliza
cuando la variable ocurre con pocas modalidades (hasta 7).
GRAFICO Nº 2. TIPO DE ALIMENTO SUMINISTRADO A CANINOS DE
0 5 10 15 20 25
CASERO
CONCENT.
MIXTO
CASERO, 13,
26%
CONCENT., 20,
40%
MIXTO, 17,
34%

Gráficos de Variables Cuantitativas:
Cuando se trabaja con variables cuantitativas se debe distinguir si esta es de tipo
discreto o es de tipo continuo.
Con las variables de tipo discreto se utilizan básicamente los gráficos de barra, las
barras acumuladas y los polígonos de frecuencia.
Con las variables de tipo cuantitativo se utilizan los histogramas, los polígonos de
frecuencias y los polígonos de frecuencias acumuladas.
 Variables Cuantitativas Discretas:
 Gráfico de Barras:
Este gráfico se obtiene al tomar un sistema de coordenadas. En el eje horizontal
(abscisas) se disponen los distintos valores de la variable y en el eje vertical
(Ordenada) la frecuencia (absoluta o relativa), con que estos se han presentado.
Sobre cada uno de valores de la variable, se levantan líneas verticales. Su altura se
mide en el eje de la ordenada.
Las barras deben ir separadas una de las otras por una distancia constante, de esta
manera se indica que no existe continuidad entre los valores.
GRAFICO Nº 3. NÚMERO DE CUARTOS DE UBRE AFECATDOS POR MASTITIS
EN UN REBAÑO DE VACAS MESTIZAS ¾ HOLTEINS. MUNICIPIO
FEDERACIÓN. ESTADO FALCON. VENEZUELA 2009.
0 1 2 3 4
Cuartos Afectados
0
3
6
9
12
15
ni

Gráfico de Barras Acumuladas:
Para formar este tipo de gráfico se coloca en el eje de las abscisas los distintos
valores de la variable, sobre cada uno de ellos se levanta una línea vertical con una
altura proporcional a la frecuencia absoluta o relativa acumulada hasta ese valor.
Sobre cada una de las barras verticales se traza una línea horizontal hasta cortar la
barra siguiente. Este gráfico tendrá una forma creciente.
GRAFICO Nº 4. FRECUENCIAS ACUMULADAS PARA EL NÚMERO DE
CUARTOS DE UBRE AFECTADOS POR MASTITIS EN UN
REBAÑO DE VACAS MESTIZAS ¾ HOLTEINS. MUNICIPIO
Polígonos de Frecuencias:
Para un gráfico de barras, el polígono de frecuencias es la línea quebrada que se
obtiene al unir con líneas rectas, cada una de las barras verticales por sus extremos
superiores.
0 1 2 3 4
Cuartos Afectados
0
8
16
24
32
Ni

GRAFICO Nº 5. POLIGONO DE FRECUENCIA PARA EL NÚMERO DE
CUARTOS DE UBRE AFECTADOS POR MASTITIS EN UN
REBAÑO DE VACAS MESTIZAS ¾ HOLTEINS. MUNICIPIO
 Variables Cuantitativas Continuas:
 Histograma:
Este tipo de gráfico se utiliza básicamente con variables cuantitativas continuas cuyos
datos deben agruparse en intervalos de clase. Consiste en una serie de rectángulos
unidos entre si, para indicar la continuidad de la variable y cuyas áreas son
equivalentes a la frecuencia (absoluta o relativa) que se representa.
Se forman al marcar sobre el eje de las abscisas los intervalos de clase. Sobre ellos se
levantan los rectángulos. La altura de cada rectángulo corresponde al cociente de la
frecuencia del intervalo y la amplitud del mismo. Cuando los intervalos tienen la misma
amplitud, se puede asumir que la amplitud del intervalo es igual a uno, por lo que las
alturas serán igual a la frecuencia registrada en cada intervalo.
0 1 2 3 4
Cuartos Afectados
0
3
6
9
12
15
ni

GRAFICO Nº 6. VALORES DE GLICEMIA REGISTRADOS EN CANINOS
DE COMPAÑÍA ATENDIDOS EN LA CLÍNICA
VETERINARIA SANTA ANA. CORO. FALCON. DICIEMBRE
2009.
La forma de un histograma puede variar para una misma serie de datos, al variar el
número de intervalos de clase, por lo que se requiere ser cuidadosos al momento de
establecer la amplitud de los intervalos.
47 57 67 77 87 97 107 117 127
GLICEMIA
0
3
6
9
12
ni
46 58 70 81 93 104 116 128
GLICEMIA
0
4
8
12
16
ni

 Polígono de Frecuencias:
Para un histograma el polígono de frecuencias se obtiene marcando los Puntos
Medios de cada intervalo de clase en la parte superior de cada rectángulo, los cuales
se unen mediante líneas rectas.
El área delimitada por la línea poligonal se considera equivalente al área delimitada
por los rectángulos que forman el histograma.
GRAFICO Nº 7. POLIGONO DE FRECUENCIAS PARA LOS VALORES DE
GLICEMIA REGISTRADOS EN CANINOS DE COMPAÑÍA
ATENDIDOS EN LA CLÍNICA VETERINARIA SANTA ANA.
CORO. FALCON. DICIEMBRE 2009.
 Polígonos de Frecuencias Acumuladas:
Se obtiene levantando sobre los límites superiores de cada intervalo de clase, líneas
verticales con una altura proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa) acumulada.
El extremo superior de cada de ellas se une mediante líneas rectas.
47 57 67 77 87 97 107 117 127
GLICEMIA
0
3
6
9
12
Ni

Cuando se trabaja con Frecuencias Absolutas Acumuladas la altura máxima que
alcanzara el último intervalo será igual que el número total de datos (N). Para
Frecuencias Relativas Acumuladas la altura máxima en el último intervalo será uno (1).
GRAFICO Nº 8. POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS PARA LOS
VALORES DE GLICEMIA REGISTRADOS EN CANINOS DE
COMPAÑÍA ATENDIDOS EN LA CLÍNICA VETERINARIA
SANTA ANA. CORO. FALCON. DICIEMBRE 2009.
52 62 72 82 92 102 112 122
GLICEMIA
0
11
22
33
44
55
ni

Bibliografía
DANIEL, W. Base para el Análisis de las Ciencias de la Salud. Editorial Limusa,
México. 2002.
DI RIENZO, J. et al. Estadística para las Ciencias Agropecuarias. Cuarta Edición.
Argentina. 2001.
QUESADA, V., ISIDORO, A., y LOPEZ, L. Curso y Ejercicios de Estadística. Aplicación
a las Ciencias Biológicas, Médicas y Sociales. Alambra Universidad.
Madrid. 2002.
STEEL, R. y TORRIE, J. Bioestadística: Principios y Procedimientos. McGraw Hill.
Colombia. 1985.
VISAUTA VINACUA, B,. Análisis Estadístico con SPSS para Windows. Estadística
Básica. Mc Graw Hill. Madrid. 1997.
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http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm

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