Calculo diferencial, Límites y Continuidad.
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Este documento trata sobre los límites y la continuidad de funciones trigonométricas. Explica que el límite de seno x, coseno x y (seno x)/x cuando x tiende a cero es igual a cero. Define la continuidad de una función y los límites por la derecha e izquierda. También resume los teoremas del valor intermedio y de Bolzano sobre continuidad.
![Teoremas sobre
continuidad
• Teorema del valor intermedio
• Si y = f(x) es una función continua en el intervalo
cerrado [a, b] donde f(a) ¹ f(b) y k es un número
real cualquiera comprendido entre f(a) y
f(b), existe al menos un número real c
perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = k.](https://image.slidesharecdn.com/calculodiferencial-140327130532-phpapp02/85/Calculo-diferencial-Limites-y-Continuidad-12-320.jpg)
![• Teorema de Bolzano
• Si y = f(x) es una función continua en el intervalo
cerrado [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos
opuestos, entonces existe al menos un número real
c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = 0;
es decir, c es una raíz de f(x).
• Las siguientes gráficas permiten ilustrar el teorema:](https://image.slidesharecdn.com/calculodiferencial-140327130532-phpapp02/85/Calculo-diferencial-Limites-y-Continuidad-13-320.jpg)
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Calculo diferencial, Límites y Continuidad.
- 2. Teorema • Si “c” es un numero real en el dominio de una función trigonométrica indicada, se cumple las siguientes propiedades.
- 3. Propiedad de seno • Ejemplos: • Observe que en este caso el argumento es, por lo que en el denominador se necesita también la expresión de ahí que se lleve a cabo el siguiente procedimiento.
- 4. Demostración
- 5. • Considérese que, un entorno reducido de 0, • Si dividimos todos los miembros por nos queda: o Pero: Obtención del límite de sen x, cos x y (sen x)/x cuando x tiende a cero.
- 6. • Invirtiendo cada miembro nos queda esta expresión que es totalmente indeterminada Si hallamos el de cada miembro, nos queda Y como: por Teorema del Emparedado nos queda que:
- 7. Definición de continuidad • En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua.
- 8. Ejemplo
- 9. Definición de límite por la derecha • Se dice que si y solo si para cada existe tal que si entonces es el límite por la derecha de en "a". • Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es mayor que cero ya que .
- 10. Definición de límite por la izquierda • Se dice que si y solo si para cada existe tal que si entonces es el límite por la izquierda de en "a". Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que .
- 11. Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función definida por: • Primero hagamos la gráfica de la función: • El punto de discontinuidad se presenta cuando • Luego: y • Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2).
- 12. Teoremas sobre continuidad • Teorema del valor intermedio • Si y = f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] donde f(a) ¹ f(b) y k es un número real cualquiera comprendido entre f(a) y f(b), existe al menos un número real c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = k.
- 13. • Teorema de Bolzano • Si y = f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un número real c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = 0; es decir, c es una raíz de f(x). • Las siguientes gráficas permiten ilustrar el teorema:
- 14. Asíntotas paralelas a los ejes coordenados • En matemática, se le llama asíntota a una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente. También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la recta; o que ambas presentan un comportamiento asintótico.