Imagen abstracta de una mujer sentada en libros y estudiando en una computadora portátil

Calculo integral 1 teoria y155 ejercios resueltos banhakeia

M
Mateo Banhakeia

I. Este documento explica cómo resolver integrales y proporciona fórmulas útiles para integrales trigonométricas, exponenciales y fracciones. II. Es importante saber derivar bien y memorizar estas fórmulas para poder integrar funciones. III. Se explican conceptos como el cambio de variable, la integración por partes y cómo integrar fracciones dividiendo polinomios.

Ciencias
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Calculo integral 1 teoria y155 ejercios resueltos banhakeia
Formulas de Integrales y como resolverlos Integrales = antiderivadas Para saber resolver int egrales hay que saber derivar muy muy bien y conocer de memoria las seguientes formulas trigonometricas que se utilizan muchisimo en las int egrales cuando hacemos cambio de variable. sen a ! b^ h = sena. cos b ! senb. cos a I cos a ! b^ h = cos a. cos b " senasenb tag a ! b^ h = 1 " taga.tagb taga ! tagb sena. cos b = 2 1 sen a + b^ h + sen a - b^ h6 @ II cos a. cos b = 2 1 cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @ sena.senb = 2 1 - cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @ sena ! senb = 2sen 2 a ! b cos 2 a " b III cos a + cos b = 2 cos 2 a + b cos 2 a - b cos a - cos b =- 2sen 2 a + b sen 2 a - b taga ! tagb = cos a. cos b sen a ! b^ h sen 2 a + cos 2 a = 1 -1 # sena # 1 -1 # cos a # 1 sen2a = 2.sena. cos a cos 2a = cos 2 a - sen 2 a tag2a = 1 - tag 2 a 2.taga cos 2 a = 2 1 + cos 2a sen 2 a = 2 1 - cos 2a tag 2 a = 1 + cos 2a 1 - cos 2a 1 + tag 2 a = cos 2 a 1 1 + cot g 2 a = sen 2 a 1 cosx 1 - senx = 1 + senx cosx cos a 1 = 2 1 1 - sena cos a + 1 + sena cos a 7 A sena 1 = 2 1 1 - cos a sena + 1 + cos a sena 7 A Demostracion cos a 1 = cos 2 a cos a = 1 - sen 2 a cos a = 1 - sena^ h 1 + sena^ h cos a = 2 1 1 - sena cos a + 1 + sena cos a 7 A Pitagoras c 2 = a 2 + b 2 sena = c b cos a = c a taga = a b e-iax = cos -ax^ h + isen -ax^ h = cos ax^ h - isen ax^ h e iax = cos ax^ h + isen ax^ h ( ( sen ax^ h = 2i e iax - e-iax cos ax^ h = 2 e iax + e-iaxZ [ ]]]]] ]]]]] Estas fracciones en algunos ejercicios son muy utiles 1 + a 1 - a =- 1 + 1 + a 2 ; a + b a = 1 - a + b b ; a 2 - b 2 1 = 2a 1 a - b 1 + a + b 1 8 B *** muy importantes tenerlas memorizadas an - bn = a - b^ h an-1 + an-2 b + an-3 b2 + an-4 b3 + .........................^ h an + bn = a + b^ h an-1 - an-2 b + an-3 b2 - an-4 b3 + .... - ... + ........^ h observacion de las potencias = n - 1/ CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Tabla de Derivadas 1 y = k cte^ h ( ly = 0 2 y = f x^ h6 @n ( ly = n. f x^ h6 @n-1 . lf x^ h 3 y = k.f x^ h ( ly = k. lf x^ h 4 y = f x^ h ! g x^ h ( ly = lf x^ h ! lg x^ h 5 y = f x^ h.g x^ h ( ly = lf x^ h.g x^ h + f x^ h. lg x^ h 6 y = g x^ h f x^ h ( ly = g x^ h6 @2 lf x^ h.g x^ h - f x^ h. lg x^ h 7 y = fog x^ h ( ly = lf og x^ h6 @. lg x^ h 8 y = f-1 x^ h ( ly = lf of-1 x^ h 1 9 y = loga f x^ h6 @ ( ly = f x^ h lf x^ h Ln a^ h 1 10 y = a f x^ h ( ly = a f x^ h . lf x^ h.Ln a^ h 11 y = e f x^ h ( ly = e f x^ h . lf x^ h 12 y = sen f x^ h6 @ ( ly = cos f x^ h6 @. lf x^ h 13 y = cos f x^ h6 @ ( ly =- sen f x^ h6 @. lf x^ h 14 y = tag f x^ h6 @ ( ly = cos 2 f x^ h 1 lf x^ h = 1 + tag 2 f x^ h6 @6 @. lf x^ h 15 y = cotag f x^ h6 @ ( ly = sen 2 f x^ h -1 lf x^ h =- 1 + cotg 2 f x^ h6 @6 @. lf x^ h 16 y = arcsen f x^ h6 @ ( ly = 1 - f x^ h6 @2 1 lf x^ h 17 y = arcos f x^ h6 @ ( ly = 1 - f x^ h6 @2 -1 lf x^ h 18 y = arctag f x^ h6 @ ( ly = 1 + f x^ h6 @2 1 lf x^ h 19 y = arctag f x^ h6 @ ( ly = 1 + f x^ h6 @2 -1 lf x^ h 20 y = f x^ h6 @g x^ h A para esta formula se utiliza eLna = a asi que y = eln f x^ h7 A g x^ h = eg x^ hLnf x^ h AA solo queda aplicar formulas anteriores Hay que saber derivar muy bien y tener las formulas memorizadas para poder saber int egrar es algo parecido a la tabla de multiplicar si no la sabes no sabras dividir f x^ h a b # .dx " f x^ h en funcion de x ejemplo y = f x^ h = 2x + 3 la curva de f x^ h gira alrededor del eje X a # x # b + x d a,b6 @ a es el limite inferior , b es el limite superiorZ [ ]]]]]] ]]]]]] f y^ h a b # .dy " f y^ h en funcion de y ejemplo x = f y^ h = 2y + 3 la curva de f y^ h gira alrededor del eje Y a # y # b + y d a,b6 @ a es el limite inferior , b es el limite superiorZ [ ]]]]]] ]]]]]] CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
FORMULAS INTEGRALES 1) kdx = Kx siendo K una cons tan te# 2) K.f x^ hdx# = K f x^ h# dx 3h f x^ h ! g x^ h6 @# dx = f x^ h# dx ! g x^ h# dx 4h f x^ h6 @n # . lf x^ hdx = n + 1 1 f x^ h6 @n+1 + cte siendo n !- 1 5h f x^ h6 @# -1 . lf x^ hdx = ln f x^ h + cte 6h a f x^ h .# lf x^ hdx = a f x^ h ln a 1 + cte 7h a f x^ h # dx " se hace cambio de variable t = f x^ h 8h cos f x^ h# dx = senf x^ h + cte 9h senf x^ h# dx =- cos f x^ h + cte 10h cos 2 f x^ h lf x^ h # dx = tgf x^ h + cte 11h sen 2 f x^ h lf x^ h # dx =- cotag f x^ h^ h + cte 12h 1 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = - arccos f x^ h + cte arcsen f x^ h^ h + cte ( 13h 1 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = -arcotag f x^ h^ h + cte arctg f x^ h^ h + cte ( 14h e ax cos bx dx = a 2 + b 2 e ax a cos bx + bsenbx^ h# + cte utilizando integración por partes^ h 15h e ax # senbx dx = a 2 + b 2 e ax asenbx - b cos bx^ h + cte utilizando integración por partes^ h 16h 1 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = 2 1 ln 1 - f x^ h 1 + f x^ h + cte A 17h 1 + f x^ h6 @2 ! lf x^ h # dx = ln f x^ h ! 1 + f x^ h6 @2 _ i+ cte B 18h f x^ h6 @2 - 1 ! lf x^ h # dx = ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - 1_ i+ cte C las formulas A,B y C no es necesario memorizarlas porque mas adelante aprenderemos a resolverlas haciendo cambio de variable y demostrandolas Intergrales por parte ** udv# = uv - vdu dirais de donde sale esto pues sea u = f x^ h# y v = g x^ h como sabemos en derivadas que f x^ h.g x^ h^ hl= lf x^ hg x^ h + f x^ h lg x^ h 0 1 2 3444444444444444444444444 444444444444444444444444 f x^ h.g x^ h^ hl# = lf x^ hg x^ h + f x^ h lg x^ h6 @# 0 1 2 344444444444444444444444444444 44444444444444444444444444444 f x^ h.g x^ h = lf x^ h# g x^ h v D + f x^ h u A # lg x^ h 0 1 2 344444444444444444444444444 44444444444444444444444444 uv = vdu + udv## udv = uv - vdu## a CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
La formula a se utiliza en los seguientes casos 1 cuando tenemos solamente funcion logaritmica Ejercicio 1 ln x.dx = I aqui u = ln x & du = x 1 # dx dv = 1dx & v = x asi que I = x ln x - x x 1 dx# = x ln x - x 2 cuando tenemos solamente funcion inversa Ejercicio 2 arcsenx dx# = I aqui u = arcsenx & du = 1 - x 2 1 dx dv = 1dx & v = x asi que I = x.arcsenx - 1 - x 2 x dx # J 6 7 8444444 444444 1 - x 2 nos hace pensar en 1 - sen 2 x = cos 2 x asi que hacemos cambio de varible x = sent & 1 x = sent & dx = cos t dt y por pytagoras del tringulo debajo se deduce que cos t = 1 - x 2 luego J = cos t sent.cos t.dt # =- cos t =- 1 - x 2 por ultimo I = x.arcsenx + 1 - x 2 + cte 3 cuando tenemos producto de 2 funciones pertenecientes a las 5 funciones seguientes Funcion Exponencial Funcion Inversa(arco..............) Funcion Logaritmica Funcion Algebraica FuncionTrigonometrica(seno,coseno,tg,.......) _ ` a bbbbbb bbbbbbEjemplosituvieramosxsenx"xesalgebraicasenxestrigonometricaluegou=xydv=senx Ejemplo situvieramosx.lnx"xcorrespondeaalgebraicaylnxalogaritmicaluegou=lnxydv=x paraestoutilizamosla palabraILATE la primeraqueaparecer correspondeau ylasegundaqueaparececorrespondeadvsiempreseguiendoelordendela palabraILATE Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] Ejercicio 3 x ln x.dx# = I tenemos 2 funciones distintas lnx es logaritmica x es algebraica % la primera en aparecer en ILATE es la logaritmica asi que dv = xdx & v = 2 1 x 2 u = ln x & du = x 1 dx * luego I = 2 1 x 2 ln x - 2 1 # x2 x 1 dx = 2 1 x 2 ln x - 2 1 2 1 x 2 = 2 1 x 2 ln x - 4 1 x 2 + cte Ejercicio 4 I = x. 1 + x# dx dv = 1 + x = 1 + x^ h2 1 & v = 2 1 + 1 1 1 + x^ h2 1 +1 = 3 2 1 + x^ h2 3 u = x & du = 1dx * I = 3 2 x 1 + x^ h2 3 - 3 2 1 + x^ h2 3 # dx = 3 2 x 1 + x^ h2 3 - 3 2 3 2 + 1 1 1 + x^ h3 2 +1 = 3 2 x 1 + x^ h2 3 - 3 2 5 2 1 + x^ h2 5 = 3 2 x 1 + x^ h2 3 - 15 4 1 + x^ h2 5 Integrar Fracciones Division de dos polinomios^ h P x^ h ' Q x^ h = C x^ h + R x^ h , Q x^ h P x^ h = C x^ h + Q x^ h R x^ h asi que Q x^ h P x^ h # dx = C x^ hdx# a 6 7 844444 44444 + Q x^ h R x^ h # dx b 6 7 8444444 444444 para hallar la int egracion de a es facilisimo solamente hay que saber la formula f x^ h^ hn # . lf x^ hdx = n + 1 1 f x^ h^ hn+1 CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
ahora para resolver la Q x^ h R x^ h # dx ojo el grado de R x^ hes 1 grado de Q x^ h6 @ 1 paso es calcular Q x^ h = 0 y a1 a2 a3 ...........an6 @ sean las soluciones Ahora ** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! R y son ! una de la otra & Q x^ h = x - a1^ h x - a2^ h....... x - an^ h = 0 Entonces Q x^ h R x^ h = x - a1^ h A1 + x - a2^ h A2 + x - a3^ h A3 + . . . . . . . + x - an^ h An luego se halla los valores de A1 A2 A3 . . . . . . An y por ultimo Q x^ h R x^ h # dx = x - a1^ h A1 dx + x - a2^ h A2 dx## + . . . + . . . . + x - an^ h An dx# ** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! R y son = todas & Q x^ h = x - a^ hn Entonces Q x^ h R x^ h = x - a^ h A1 + x - a^ h2 A2 + x - a^ h3 A3 + . . . . . . . + x - a^ hn An luego se halla los valores de A1 A2 A3 . . . . . . . An y por ultimo Q x^ h R x^ h # dx = x - a^ h A1 dx + x - a^ h2 A2 dx## + . . . . + . . . . . + x - a^ hn An dx# ** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! C y son ! todas que no tiene soluciones reales^ h Entonces Q x^ h R x^ h = x ! a1^ h2 + b1 2 M1 x + N1 + x ! a2^ h2 + b2 2 M2 x + N2 + x ! a3^ h2 + b3 2 M3 x + N3 + . . . . . . . + x ! an^ h2 + bn 2 Mn x + Nn luego se calcula los valores de M1 M2 M3 .......Mn y N1 N2 N3 ......Nn y por ultimo Q x^ h R x^ h # dx = x ! a1^ h2 + b1 2 M1 x + N1 dx + x ! a2^ h2 + b2 2 M2 x + N2 dx + . . . + . . . + x ! an^ h2 + bn 2 Mn x + Nn ### dx se hace cambio de variable x ! a1 = b1 tgt ; x ! a2 = b2 tgt . . . . . . . . . ; x ! an = bn tgt ahora bien si fuera Q x^ h = ax 2 + bx + c = 0 siendo 3= b 2 - 4ac 1 0 hacemos lo seguiente Q x^ h = ax 2 + bx + c = ax 2 + bx + 4a b 2 - 4a b 2 siempre va + 4a b2 despues - 4a b2 1 2 34444444 4444444 + c = ax 2 + bx + 4a b 2 a k+ - 4a b 2 + ca k este dato es positivo 1 2 344444 44444 llegaremos a una forma de Q x^ h = x ! a^ h2 + b 2 R T SSSSSSSSSSSSSSSSS V X WWWWWWWWWWWWWWWWW ** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! C y son = todas que no tiene soluciones reales^ h se hace exactamente igual que en el caso de las reales con la unica diferencia que es el numerador Mx + N ** vamos a ver a lg unos ejemplos para entender mejor las int egrales racionales. ejemplo de raices reales ! Ejercicio 5 I = x2 + x - 2 x3 - 2x2 + 5# dx aqui P x^ h = x 3 - 2x 2 + 5 Q x^ h = x 2 + x - 2 haciendo la division de los polinomios 5x - 1 3x 2 + 3x - 6 -3x 2 + 2x + 5 -x 3 - x 2 + 2x x 3 - 2x 2 + 5 x - 3 x 2 + x - 2g asi que P x^ h | Q x^ h = x - 3 + x 2 + x - 2 5x - 1 ahora hallemos las soluciones de x 3 - 2x 2 + 5 = 0 + x - 1^ h x + 2^ h = 0 ahora x 2 + x - 2 5x - 1 = x - 1^ h x + 2^ h 5x - 1 asi que x 2 + x - 2 5x - 1 = x - 1 A + x + 2 B = x 2 + x - 2 A x + 2^ h + B x - 1^ h & 5x - 1 = A x + 2^ h + B x - 1^ h si x = 1 & 4 = 3A & A = 4 3 si x =- 2 & - 11 =- 3B & B = 3 11 CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
asi que x 2 + x - 2 5x - 1 = x - 1 4 3 + x + 2 3 11 por ultimo I = x - 3^ h# + x - 1 4 3 + x + 2 3 11 dx = x - 3^ hdx# + 4 3 x - 1 1 # dx + 3 11 x + 2 1 dx# = 2 1 x 2 - 3x + Ln x - 1 + 3 11 Ln x + 2 + cte ejemplo de raices reales iguales Ejercicio 6 I = x 2 - 4x + 4 x 2 + x + 3 # dx P x^ h = x 2 + x + 3 Q x^ h = x 2 - 4x + 4 haciendo la division de los polinomios 5x - 1 -x 2 + 4x - 4 x 2 + x + 3 1 x 2 - 4x + 4g asi que I = x 2 - 4x + 4 x 2 + x + 3 # dx = 1dx + x 2 - 4x + 4 5x - 1 ## dx factorizando x 2 - 4x + 4 = x - 2^ h2 luego x 2 - 4x + 4 5x - 1 = x - 2 A + x - 2^ h2 B = x - 2^ h2 A x - 2^ h + B si x = 2 & 9 = B si x = 0 &- 1 =- 2A + B & A = 5 luego I = 1dx + x - 2 5 ## dx + x - 2^ h2 9 # dx = x + 5Ln x - 2 + 9. -2 + 1 1 x - 2^ h-2+1 = x + 5Ln x - 2 - x - 2^ h 9 + cte ejemplo de raices complejas ! Ejercicio 7 I = x - 2^ h x 2 + x + 1^ h x - 4 # dx aqui no tenemos P x^ h porque el grado de numerador 1 grado denominador asi que x - 2^ h x 2 + x + 1^ h x - 4 = x - 2 A + x 2 + x + 1 Mx + N U porque" deno min ador tiene una solucion real y otra compleja de x 2 + x + 1^ h, = x - 2^ h x 2 + x + 1^ h A x 2 + x + 1^ h + Mx + N^ h x - 2^ h si x = 2 &- 2 = 7A & A = 7 -2 si x = 0 &- 4 = A - 2N = 7 -2 - 2N & N = 7 13 si x =- 1 &- 5 = A + 3M - 3N &- 5 = 7 -2 + 3M - 7 39 & M = 7 2 asi que I = 7 -2 x - 2 1 # dx + 7 1 x 2 + x + 1 2x + 13 # dx como se ve en la segunda int egral que d x 2 + x + 1^ h/dx = 2x + 1 ; pero en el numerador tenemos 2x + 13 que habra que descomponer para que aparez ca 2x + 1 que es 2x + 1 + 12 asi que I = 7 -2 x - 2 1 # dx 7 -2 Ln x-2 directa 1 2 344444444 44444444 + 7 1 x 2 + x + 1 2x + 1 # dx 7 1 Ln x2 +x+1_ i directa 1 2 34444444444 4444444444 + 7 1 x 2 + x + 1 12 # dx H 1 2 34444444444 4444444444 U H tenemos que haga que aparez ca a la formula nº 13 H = 7 12 x 2 + x + 1 1 # dx como x 2 + x + 1 = x 2 + x + 4 1 4a b2 ? J L KKKKKKK N P OOOOOOO - 4 1 - 4a b2 ? + 1 = x + 2 1 ` j 2 + 4 3 = 4 3 3 2x + 3 1 c m 2 + 1; E H = 7 12 4 3 3 2x + 3 1 c m 2 + 1; E 1 # dx = 21 48 2 3 3 2x + 3 1 c m 2 + 1; E 3 2 # dx = 42 48 3 arctag 3 2x + 3 1 c m por ultimo I = 7 -2 Ln x - 2 + 7 1 Ln x 2 + x + 1^ h + 42 48 3 arctag 3 2x + 3 1 c m + cte mas adelante veremos mas ejercicios resueltos. CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
INTEGRALES DE LA FORMA tag m x dx# * ; cotg m x dx# * Recordatorio d f x^ h^ h = f x^ h^ hl= derivada de f x^ h y = tagf x^ h & ly = 1 + tag 2 f x^ h6 @. lf x^ h = cos 2 f x^ h 1 lf x^ h y = cot gf x^ h & ly =- 1 + cot g 2 f x^ h6 @. lf x^ h = sen 2 f x^ h -1 lf x^ h cos 2 x 1 = 1 + tag 2 x ; sen 2 x 1 = 1 + cot g 2 x ; tagx = cot gx 1 los pasos a seguir para resolver estas int egrales son dos: Para tag m x dx# 1º paso A descomponer tag m x = 2 cos 2 x 1 - 1` j.tag m-2 x o bien 1 tag 2 x . tag m-2 x Z [ ]]]]] ]]]]] 2º paso A si hemos utilizado 2 ,A tag m x = cos 2 x 1 - 1` j.tag m-2 x = cos2x 1 tag m-2 x - tag m-2 x 1 ,hacer aparecer 1 + tag 2 x^ h A tag m x = 1 + tag 2 x^ htag m-2 x - tag m-2 x * Para cotg m x dx# exactamente igual en vez de tagx ponemos cotgx 1º paso A descomponer cotg m x = 2 sen 2 x 1 - 1` j.cotg m-2 x o bien 1 cotg 2 x . cotg m-2 x Z [ ]]]]] ]]]]] 2º paso A si hemos utilizado 2 ,A cotg m x = sen 2 x 1 - 1` j.cotg m-2 x = sen2x 1 cotg m-2 x - cotg m-2 x 1 ,hacer aparecer 1 + cotg 2 x^ h A cotg m x = 1 + cotg 2 x^ hcotg m-2 x - cotg m-2 x * Ejercicio 8 tag 3 xdx = tag 2 x . tagx## dx = 1 + tag 2 x^ htagx - tagx6 @# dx = 1 + tag 2 x^ h dtagx= tagx^ hl= 1+tag2x_ idx 6 7 8444444 444444 .tagx.dx - tagx.dx# directa 6 7 844444 44444 # = tagx d tagx^ h# - cos x senx # dx = 2 1 tag 2 x + Ln cos x + cte o bien tag 3 xdx = cos 2 x 1 - 1` j## tagx.dx = tagx. cos 2 x 1 # dx - tagx.dx# recordemos que cos 2 x 1 dx = d tagx^ h = tagx.d tagx^ h# - cos x senx # dx = 2 1 tag 2 x + Ln cos x + cte Ejercicio 9 tag 5 xdx = tag 2 x . tag 3 x## dx = 1 + tag 2 x^ h dtagx 6 7 8444444 444444 tag 3 x - tag 3 x < F # dx = tag 3 xd tagx^ h# - tag 3 xdx# ejercicio anterior 6 7 844444 44444 = 4 1 tag 4 x - 2 1 tag 2 x + Ln cos x` j+ cte Ejercicio 10 tag 6 xdx = tag 2 x . tag 4 x## dx = 1 + tag 2 x^ h dtagx 6 7 8444444 444444 tag 4 x - tag 4 x < F # dx = tag 4 xd tagx^ h# - tag 4 xdx# = 5 1 tag 5 x - tag 4 xdx =# 5 1 tag 5 x - 1 + tag 2 x^ h dtagx 6 7 8444444 444444 tag 2 x - tag 2 x ; E # dx = 5 1 tag 5 x - 3 1 tag 3 x + tag 2 xdx# = 5 1 tag 5 x - 3 1 tag 3 x + 1 + tag 2 x^ h dtagx 6 7 8444444 444444 .1 - 1 ; E # dx = 5 1 tag 5 x - 3 1 tag 3 x + 1d tagx^ h - 1dx## = 5 1 tag 5 x - 3 1 tag 3 x + tagx - x Ejercicio 11 cotg 3 xdx = cotg 2 x.cotgx## dx = 1 + cotg 2 x^ hcotgx - cotgx6 @# dx = 1 + cotg 2 x^ h dcotgx= cotgx^ hl=- 1+cotg2x_ idx 6 7 8444444 444444 .cotgxdx - cotgxdx# directa 6 7 844444 44444 # =- cotgx d cotgx^ h# - senx cosx # dx =- 2 1 cotg 2 x - Ln senx + cte CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
INTEGRALES DE LA FORMA I = sen mx^ h# . cos nx^ h.dx * Como se ve que las dos funciones trigonometricas tienen angulos ! el primer paso pasarlas al mismo angulo y la forma mas facil de resolver este problema es utilizando las formulas II sena. cos b = 2 1 sen a + b^ h + sen a - b^ h6 @ cos a. cos b = 2 1 cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @ sena.senb = 2 1 - cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @ sen mx^ h. cos nx^ h = 2 1 sen m + n^ h.x6 @+ sen m - n^ h.x6 @" , asi que: Ejercicio 12 I = sen mx^ h# . cos nx^ h.dx = 2 1 sen m + n^ hx6 @dx# + 2 1 sen m - n^ hx6 @dx# = 2 m + n^ h -1 cos m + n^ hx - 2 m - n^ h 1 cos m - n^ hx Ejercicio 13 ** si m = n I = sen mx^ h. cos mx^ h# .dx = m 1 sen mx^ h# .d sen mx^ h^ h = 2m 1 sen 2 mx^ h INTEGRALES DE LA FORMA I = sen m x# .dx * ; I = cos m x# .dx * m d N * 1º paso es descomponer sen m x = sen m-1 x.senx ; cos m x = cos m-1 x. cos x 2º paso es resolver por partes dv = senx.dx & v =- cos x u = sen m-1 x & du = m - 1^ hsen m-2 x. cos x.dx A f x^ h6 @n ^ hl= n f x^ h6 @n-1 . lf x^ h ( Ejercicio 14 I = sen 3 x.dx = sen 2 x u E .## senx.dx dv 6 7 8444 444 asi que dv = senx.dx & v =- cos x u = sen 2 x & du = 2senx. cos x.dx % I = u.v - vdu =- cos x.sen 2 x + 2 cos 2 x. senx.dx d cosx^ h=-senx.dx 6 7 8444 444 =## - cos x.sen 2 x - 2 cos 2 x.d# cos x^ h = 3 1 cos3x 6 7 8444444444 444444444 = - cos x.sen 2 x - 3 2 cos 3 x + cte Ejercicio 15 I = cos 6 x.dx = cos 5 x u D .cos x.dx dv 6 7 8444 444 ## asi que dv = cos x.dx & v = senx u = cos 5 x & du =- 5 cos 4 x.senx.dx % I = senx. cos 5 x + 5 cos 4 x.sen 2 x.dx =# senx. cos 5 x + 5 cos 4 # x 1 - cos 2 x^ h.dx = senx. cos 5 x + 5 cos 4 x.dx - 5 cos 6 x.dx# =I 6 7 8444444 444444 # , , 6I = senx. cos 5 x + 5 cos 4 # x.dx H 6 7 8444444 444444 H = cos 4 # x.dx = cos 3 x u D .cos x.dx dv 6 7 8444 444 # asi que dv = cos x.dx & v = senx u = cos 3 x & du =- 3 cos 2 x.senx.dx % H = senx. cos 3 x + 3 cos 2 x.sen 2 x.dx =# senx. cos 3 x + 3 cos 2 x 1 - cos 2 x^ hdx =# senx. cos 3 x + 3 cos 2 x.dx - 3 cos 4 x.dx# =H 6 7 8444444 444444 # , , 4H = senx. cos 3 x + 3 cos 2 x.dx# = senx. cos 3 x + 3 2 1 + cos 2x # dx = senx. cos 3 x + 2 3 1dx + cos 2x.dx# = 2 1 sen2x 6 7 8444444 444444 # f p> H , 3 3 1 3 3 CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
, 4H = senx. cos 3 x + 2 3 x + 4 3 sen2x , H = 4 1 senx. cos 3 x + 8 3 x + 16 3 sen2x Por ultimo I = 6 1 senx. cos 5 x + 4 5 senx. cos 3 x + 8 15 x + 16 15 sen2x` j+ cte INTEGRALES DE LA FORMA I = sen m x.con n x# .dx * Esta clase de int egrales se resuelve por partes siempre y cuando la potencia positiva la descompogamos en a b = a b-1 a 1 si m 1 0 y n 2 0 I = sen m x.con n x# .dx = sen m # x. cos n-1 x. cos xdx = cos n-1 x u 6 7 8444 444 .sen m x. cos x.dx dv 6 7 844444444 44444444 # Z [ ]]]]] ]]]] 2 si m 2 0 y n 1 0 I = sen m x.con n x# .dx = sen m-1 # x. cos n x.senxdx = sen m-1 x u 6 7 84444 4444 .cos n x.senx.dx dv 6 7 84444444 4444444 # Z [ ]]]]] ]]]] 3 si m 2 0 y n 2 0 I = sen m x.con n x# .dx se escoge la m o bien la n y se sigue los pasos del 1 o 2 * 4 si m 1 0 y n 1 0 I = sen m x.con n x# .dx se utilizara cambio de variable que veremos mas adelante * Ejercicio 16 I = sen -3 x. cos 2 x.dx# = cos x u C .sen -3 x. cos x.dx dv 6 7 844444444 44444444 # dv=sen-3x.cosx.dx&v= 2 -1 sen-2x u=cosx&du=-senx.dx ' I = 2 -1 sen -2 x. cos x - 2 1 sen -1 x.dx# = 2 -1 sen -2 x. cos x - 2 1 senx dx # sabemos que sena 1 = 2 1 1 - cos a sena + 1 + cos a sena 7 A I = 2 -1 sen -2 x. cos x - 4 1 1 - cos a sena + 1 + cos a sena _ i# dx = 2 -1 sen -2 x. cos x - 4 1 Ln 1 - cos x + 4 1 Ln 1 + cos x + cte Ejercicio 17 I = sen 2 x cos 2 x.dx = senx u C .senx. cos 2 x.dx dv 6 7 84444444 4444444 =## dv = cos 2 x.senx.dx =- cos 2 x.d cos x & v = 3 -1 cos 3 x u = senx & du = cos x.dx ) I = 3 -1 senx. cos 3 x + 3 1 cos 4 # x.dx ejercicio 15 es H 6 7 8444444 444444 = 3 -1 senx. cos 3 x + 3 1 4 1 senx. cos 3 x + 8 3 x + 16 3 sen2x` j I = 4 -1 senx. cos 3 x + 8 1 x + 16 1 sen2x = 4 -1 senx. cos x 2 1 sen2x 6 7 844444 44444 . cos 2 x d n + 16 1 sen2x + 8 1 x = 8 -1 sen2x. cos 2 x^ h + 16 1 sen2x + 8 1 x I = 16 -2 sen2x. cos 2 x + 16 1 sen2x + 8 1 x = 16 sen2x 1 - 2 cos 2 x^ h =1-cos2x sen2x6 7 8444444444 444444444 -cos2x 6 7 84444444 4444444 + 8 1 x = 16 sen2x - cos 2x^ h cos2x=cos2x-sen2x 6 7 844444 44444 + 8 1 x = 16 -1 sen2x. cos 2x^ h = 2 1 sen4x 6 7 844444444 44444444 + 8 1 x I = 8 1 x - 32 1 sen4x otro metodo I = sen 2 x. cos 2 # x.dx = senx. cos x = 2 1 sen2x 6 7 844444 44444d n 2 dx =# 4 1 sen 2 2x.dx = 4 1 # 2 1 - cos 4x dx = 8 1 # dx - 8 1 cos 4xdx# = 4 1 sen4x 6 7 8444444 44444 # = I = 8 1 x - 32 1 sen4x + cte INTEGRALES HACIENDO CAMBIO DE VARIABLE *** para esto lo 1º es conocer a lg unas formulas trigonometricas. sen -x^ h =- senx ; cos -x^ h = cos x ; tag -x^ h =- tagx sen r - x^ h = senx ; cos r - x^ h =- cos x ;tag r - x^ h =- tagx sen r + x^ h =- senx ; cos r + x^ h =- cos x ;tag r + x^ h = tagx x CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
^ h ^ h ^ h tagx = 1 - tag 2 2 x _ i 2tag 2 x A tag a + b^ h = 1 - taga.tagb taga + tagb tag 2 x = cos 2 x 1 - 1 ; cot g 2 x = sen 2 x 1 - 1 ; teorema Pitagoras U para int egrar funciones trigonometricas A utilizaremos la regla de BIOCHE 1 si f -x^ h = f x^ h UUU cambio de variable U t = cos x & cosx = 1 t aplicando Teorema de Pitagoras 1 = t 2 + w 2 & w = 1 - t 2 U senx = 1 - t 2 cos x = 1 t &- senx.dx = dt &- 1 - t 2 .dx = dt & dx = 1 - t 2 -dt * 2 si f r - x^ h = f x^ h U cambio de variable U t = senx & senx = 1 t aplicando Teorema de Pitagoras 1 = t 2 + w 2 & w = 1 - t 2 U cosx = 1 - t 2 senx = 1 t & cos x.dx = dt & 1 - t 2 .dx = dt & dx = 1 - t 2 dt * 3 si f r + x^ h = f x^ h U cambio de variable U t = tagx aplicando Teorema de Pitagoras w 2 = t 2 + 1 2 & w = 1 + t 2 U senx = 1 + t 2 t ; cos x = 1 + t 2 1 tagx = 1 t & cos 2 x 1 .dx = dt & dx = cos 2 x.dt & dx = 1 + t 2 1 dt Z [ ]]]]] ]]]]] 4 si no se cumplen ninguna de las 3 anteriores el cambio de variable U t = tag 2 x y como se sabe que tagx = 1 - tag 2 2 x _ i 2tag 2 x & tagx = 1 - t 2 2t aplicando Teorema de Pitagoras w 2 = 2t^ h2 + 1 - t 2 ^ h2 & w = 1 + t 2 U senx = 1 + t 2 2t ; cos x = 1 + t 2 1 - t 2 tagx = 1 - t 2 2t & cos 2 x 1 .dx = 1 - t 2 ^ h2 2 1 + t 2 ^ h dt & dx = cos 2 x = 1+t2^ h 2 1-t2^ h 2 D . 1 - t 2 ^ h2 2 1 + t 2 ^ h dt & dx = 1 + t 2 2 dt Z [ ]]]]]]]]] ]]]]]]]]] Ejercicio 18 1º caso^ h I = senx dx # aqui f x^ h = senx dx A f -x^ h = sen -x^ h d -x^ h = -senx -dx = senx dx = f x^ h & f -x^ h = f x^ h asi el cambio sera de t = cosx Teorema de Pitagoras t 2 + w 2 = 1 & w = 1 - t 2 U senx = 1 - t 2 cos x = 1 t &- senx.dx = dt &- 1 - t 2 .dx = dt & dx = 1 - t 2 -dt * luego I = 1 - t 2 1 - t 2 -dt # =- 1 - t 2 dt # =- 2 1 # 1 + t 1 + 1 - t 1 8 Bdt =- 2 1 1 + t 1 # dt =Ln 1+t 6 7 844444 44444 - 2 1 1 - t 1 dt# =-Ln 1-t 6 7 844444 44444 = 2 1 Ln 1 - t - 2 1 Ln 1 + t asi que I = 2 1 Ln 1 + t 1 - t = 2 1 Ln 1 + cos x 1 - cos x cosx=t C + cte 2º Metodo I = senx dx # = 2sen 2 x cos 2 x dx # = 2 cos 2 x sen 2 x cos 2 2 x dx # = tag 2 x cos 2 2 x 2 1 dx # = tag -1 2 x _ i# 2 1 cos 2 2 x 1 e o =dtag 2 x 6 7 8444444 444444 dx = CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
= tag -1 2 x _ i# dtag 2 x = Ln tag 2 x _ i+ cte 3º Metodo aplicando la formula senx 1 = 2 1 1 - cosx senx + 1 + cosx senx 7 A luego I = 2 1 1 - cos x senx 1-cosx^ hl=senx 6 7 84444 4444 + 1 + cos x senx 1+cosx^ hl=-senx 6 7 84444 4444 > Hdx# = = 2 1 Ln 1 - cos x^ h - 2 1 Ln 1 + cos x^ h & I = 2 1 Ln 1 + cos x 1 - cos x + cte = Ln 1 + cos x 1 - cos x + cte A pero sabemos que tag 2 a = 1 + cos 2a 1 - cos 2a & taga = 1 + cos 2a 1 - cos 2a por ultimo I = Ln tag 2 x _ i+ cte Ejercicio 19 2º caso 1º Metodo I = sen 2 x + 1 cos x # dx aqui f x^ h = sen 2 x + 1 cos x dx A f r - x^ h = sen 2 r - x^ h + 1 cos r - x^ h d r - x^ h = sen 2 x + 1 - cos x -dx^ h f r - x^ h = sen 2 x + 1 cos xdx = f x^ h A cambio de variable t = senx U senx = 1 t aplicando Teorema de Pitagoras 1 = t 2 + w 2 & w = 1 - t 2 U cosx= 1-t2 senx=1 t & cosx.dx aparece enel ejercicio 6 7 8444444444444 444444444444 =dt& 1-t2.dx=dt&dx= 1-t2 dt * I = t 2 + 1 dt # = arctgt = arctg senx^ h + cte 2º Metodo I = sen 2 x + 1 cos x # dx tambien se puede ver que es de la forma u 2 + 1 lu # u=senx 6 7 84444 4444 = arctg u^ h asi que I = arctg senx^ h + cte Ejercicio 20 3º caso I = 1 + 2sen 2 x dx # aqui f x^ h = 1 + 2sen 2 x dx A f r + x^ h = 1 + 2sen 2 r + x^ h d r + x^ h sen2 r+x^ h= sen r+x^ h6 @2 = -senx^ h2 6 7 84444444444 4444444444 = 1 + 2sen 2 x dx = f x^ h luego el cambio de variable U tagx = 1 t aplicando Teorema de Pitagoras w 2 = t 2 + 1 & w = 1 + t 2 U cosx = 1 + t 2 1 ; senx = 1 + t 2 t tagx = 1 t & cos 2 x 1 .dx = 1+t2^ h.dx 6 7 844444 44444 = dt & 1 + t 2 ^ h.dx = dt & dx = 1 + t 2 dt Z [ ]]]]]]]] ]]]]]]]] I = 1 + 2 1 + t 2 t 2 1 + t 2 dt # = 1 + t 2 1 + 3t 2 1 + t 2 dt # = 1 + 3 t^ h 2 dt # = 3 1 1 + 3 t^ h 2 3 dt # = 3 1 arctg 3 t^ h I = 3 1 arctg 3 t^ h = 3 1 arctg 3 tagx^ h Ejercicio 21 4º caso I = 5 + 3 cos x dx # aqui f x^ h = 5 + 3 cos x dx y no cumple ninguna de los 3casos primeros luego el cambio de variable U t = tag 2 x tambien sabemos que tagx = 1 - tag 2 x 2tag 2 x = 1 - t 2 2t tagx = 1 - t 2 2t y aplicando teorema de pitagoras CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
w 2 = 1 - t 2 ^ h2 + 2t^ h2 & w = 1 + t 2 tagx = 1 - t 2 2t & derivando ? como cos x = 1 + t 2 1 - t 2 asi que dx = 1 - t 2 ^ h2 2 1 + t 2 ^ h 1 + t 2 ^ h 2 1 - t 2 ^ h2 dt = 1 + t 2 2 dt cos 2 x 1 dx = 1 - t 2 ^ h2 2 1 - t 2 ^ h - 2t -2t^ h dt = 1 - t 2 ^ h2 2 - 2t 2 + 4t 2 dt = 1 - t 2 ^ h2 2 1 + t 2 ^ h dt Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] I = 5 + 3 cos x dx # = 5 + 3 1 + t 2 1 - t 2 1 + t 2 2 dt # = 1 + t 2 8 + 2t 2 1 + t 2 2 dt # = 2 4 + t 2 ^ h 2dt # = 4 1 + 2 t ` j 2 ` j dt # = 4 1 2 1 + 2 t ` j 2 2 1 dt directa 6 7 84444 4444 # = 2 1 arctg 2 t = 2 1 arctg 2 1 tag 2 x _ i8 B+ cte Ejercicio 22 I = cos 3 x.dx# aqui f x^ h = cos 3 x.dx , f r - x^ h = cos 3 r - x^ h cos r-x^ h=-cosx 6 7 8444444 444444 .d r - x^ h -dx 6 7 84444 4444 = cos 3 x.dx = f x^ h luego el cambio de variable U t = senx & senx = 1 t y aplicando teorema de pitagoras 1 = t 2 + w 2 & w = 1 - t 2 t = senx & dt = cos x.dx I = cos 2 x.cos x.dx dt 6 7 8444 444 =# 1 - sen 2 x^ h# .dt = 1 - t 2 ^ h.dt = t - 3 1 # t 3 = senx - 3 1 sen 3 x + cte Ejercicio 23 es el ejercicio nº14 I = sen 3 x.dx# aqui f x^ h = sen 3 x.dx , f -x^ h = sen 3 -x^ h sen -x^ h=-senx 6 7 844444 44444 .d -x^ h -dx G = sen 3 x.dx = f x^ h luego el cambio de variable U t = cosx & cosx = 1 t y aplicando teorema de pitagoras 1 = t 2 + w 2 & w = 1 - t 2 t = cosx & dt =- senx.dx senx = 1 - t 2 I = sen 3 x.dx =# 1 - t 2 ^ h 1 - t 2 # - 1 - t 2 ^ h dt =- 1 - t 2 ^ h.dt =- t + 3 1 # t 3 =- cosx + 3 1 cos 3 x + cte INTEGRALES DE LA FORMA ax 2 + bx + c# .dx ; ax 2 + bx + c dx # para resolver estas int egrales sigue estoas dos pasos: 1º paso ** si a 2 0 UU ax 2 + bx + c = ax 2 + bx + 4a b 2 6 7 844444444 44444444 - 4a b 2 + c = a x + 2 a b c m 2 - 4a b 2 - ca k 4a b2-4ac =a 6 7 84444 4444 = a x + 2 a b cambio por t 1 2 34444444 4444444 f p 2 + a A si b 2 - 4ac 1 0 a x + 2 a b cambio por t 1 2 34444444 4444444 f p 2 - a A si b 2 - 4ac 2 0 Z [ ]]]]]]]]]] ]]]]]]]]]] ax 2 + bx + c = t 2 + b 2 siendo b 2 = a 2 t 2 - b 2 siendo b 2 = a 1 ) CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
** si a 1 0 UU ax 2 + bx + c =- -ax 2 - bx - c^ h =- -ax 2 - bx + 4 -a^ h b 2 - 4 -a^ h b 2 - cc m =- -a x - 2 -a b =t 1 2 3444444444 444444444 f p 2 + 4a b 2 - 4ac =a 6 7 84444 4444 =- t 2 + a ax 2 + bx + c =- t 2 + b 2 siendo b 2 = a 3 2º paso en el caso 1 t 2 - b 2 = b b t` j 2 - 1 UU nos hace recordar la formula tag 2 x = cos 2 x 1 - 1 luego el cambio sera cos u 1 = b t & cos u = t b aplicando al triangulo y pitagoras t 2 = b 2 + w 2 & w = t 2 - b 2 cos u = t b &- senu.du =- t 2 b dt ; senu = t t 2 - b 2 en el caso 2 t 2 + b 2 = b b t` j 2 + 1 UU nos hace recordar la formula 1 + tag 2 x = cos 2 x 1 luego el cambio sera tag u^ h = b t aplicando al triangulo y pitagoras t 2 + b 2 = w 2 & w = t 2 + b 2 tagu = b t & cos 2 u 1 .du = b 1 dt ; cosu = t 2 + b 2 b en el caso 3 b 2 - t 2 = b 1 - b t` j 2 UU nos hace recordar la formula cos 2 x = 1 - sen 2 x luego el cambio sera sen u^ h = b t aplicando al triangulo y pitagoras b 2 = t 2 + w 2 & w = 1 - t 2 senu = b t & cos u.du = b 1 dt ; cosu = b 1 - t 2 veamos unos ejemplos para entenderlo mejor,pero antes recordemos las formulas que necesitaremos 1 + f x^ h6 @2 ! lf x^ h # dx = ln f x^ h ! 1 + f x^ h6 @2 _ i+ cte senarcsenx = x cosarccosx = x f x^ h6 @2 - 1 ! lf x^ h # dx = ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - 1_ i+ cte 1 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = - arccos f x^ h + cte arcsenf x^ h + cte ( cos arcsenx = 1 - x 2 senar cos x = 1 - x 2 Ejercicio 24 I = x 2 - 2x + 5 dx # x 2 - 2x + 5 = x 2 - 2x + 1 4a b2 ? - 1 4a b2 ? + 5 = x - 1^ h2 + 2 2 aqui t = x - 1 & dt = dx y b = 2 luego I = t 2 + 2 2 dt # = 2 2 t ` j 2 + 1 dt # = 2 t ` j 2 + 1 2 1 dt # = Ln 2 t + 2 t ` j 2 + 1: C = Ln 2 x - 1` j+ 2 x - 1` j 2 + 1: C CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 25 I = 3x 2 - x - 4 dx # 3x 2 - x - 4 = 3x 2 - x + 12 1 4a b2 @ - 12 1 4a b2 @ - 4 = 3 x - 2 3 1 t 6 7 84444444 4444444 f p 2 - 2 3 7 c m 2 t = 3 x - 2 3 1 & dt = 3 dx & 3 dt = dx luego I = t 2 - 2 3 7 c m 2 3 dt # = 2 3 7 7 2 3 t c m 2 - 1 3 dt # = 7 2 7 2 3 t c m 2 - 1 dt # I = 7 2 2 3 7 7 2 3 t c m 2 - 1 7 2 3 dt # = 3 3 Ln 7 2 3 t + 7 2 3 t c m 2 - 1< F + cte Ejercicio 26 I = x 2 - 4x - 5# .dx x 2 - 4x - 5 = x 2 - 4x + 4 16 4a b2 @ - 4 16 - 5 = x - 2 t Da k 2 - 3 2 haciendo cambio x - 2 = t & dx = dt I = t 2 - 3 2 # dt = 3 3 t ` j 2 - 1# dt lo que esta redondeado en azul nos recuerda la formula trigon. tag 2 x = cos 2 x 1 - 1 asi que hagamos por 2º vez cambio de variable cos u 1 = 3 t & cos u = t 3 &- senu.du =- 3t -2 dt & dt = 3 senu cos 2 u 9 du I = 3 tag 2 u# . 3 senu cos 2 u 9 du = 9 sen 2 u. cos -3 u.du = 9 senu.cos -3 u.## senu.du dv = cos-3 udcosu & v = 2 -1 cos-2 u w = senu & dw = cosudu ) I = 2 -1 senu. cos -2 u + 2 1 cos u 1 # du y como sabemos que cos x 1 = 2 1 1 + senx cos x + 1 - senx cos x 7 A I = 2 -1 senu. cos -2 u + 4 1 Ln 1 - senu 1 + senu ahora con la ayuda del triangulo vamos remplazando 3 2 + w 2 = t 2 & w = t 2 - 3 2 senu = t t 2 - 3 2 cos u = t 3 & cos -1 u = 3 t I = 2 -1 t t 2 - 3 2 3 t ` j 2 + 4 1 Ln 1 - t t 2 - 3 2 1 + t t 2 - 3 2 luego la t = x - 2 I = 2 -1 3 x 2 - 4x - 5 x - 2^ h + 4 1 Ln 1 - x 2 - 4x - 5 1 + x 2 - 4x - 5 + cte INTEGRALES DE LA FORMA ax 2 + bx + c P x^ h # .dx 1º ax 2 + bx + c P x^ h = Q x^ h ax 2 + bx + c^ hl+ ax 2 + bx + c m *** siendo Q x^ hun polinomio de coeficientes a determinar y grado de Q x^ h = grado de P x^ h - 1 m nº real a determinar INTEGRALES DE LA FORMA ax + b^ hn ax 2 + bx + c dx# Para esta clase de integrales se hace cambio de variable ax + b = t 1 asi poder transformarla en ax 2 + bx + c P x^ h # .dx CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Asi que veamos algunos ejemplos paso a paso para poder entenderlos mejor Ejercicio 27 I = x 2 - 2x + 5 x 2 - x # dx aqui P x^ h = x 2 - x A es de grado 2 asi que Q x^ hes de grado 1 & Q x^ h = ax + b luego x 2 - 2x + 5 x 2 - x = ax + b^ h x 2 - 2x + 56 @l+ x 2 - 2x + 5 m = a x 2 - 2x + 5 + ax + b^ h 2 x 2 - 2x + 5 2 x - 1^ h + x 2 - 2x + 5 m = x 2 - 2x + 5 a x 2 - 2x + 5^ h + x 2 - 2x + 5 ax + b^ h x - 1^ h + x 2 - 2x + 5 m = x 2 - 2x + 5 2ax 2 + x -3a + b^ h + 5a - b + m^ h asi que 2a = 1 & a = 2 1 3a - b = 1 & b = 2 1 5a - b + m = 0 & m =- 2 ahora si x 2 - 2x + 5 x 2 - x = 2 1 x + 2 1 ` j x 2 - 2x + 58 B l + x 2 - 2x + 5 -2 x 2 - 2x + 5 x 2 - x dx# = 2 1 x + 2 1 ` j x 2 - 2x + 58 B l # - 2 x 2 - 2x + 5 dx # ejercicio nº 24 6 7 8444444444 444444444 = 2 1 x + 2 1 ` j x 2 - 2x + 5 - 2 Ln 2 x - 1` j+ 2 x - 1` j 2 + 1: Ca k Ejercicio 28 I = 2x + 1^ h3 3x 2 - x - 4 dx # haciendo cambio de variable 2x + 1 = t 1 & x = 2t 1 - t & dx = 2t 2 -1 dt una sustituido queda I = -11t 2 - 8t + 3 -t 2 dt # P t^ hes de grado 2 & Q t^ h = at + b -11t 2 - 8t + 3 -t 2 = at + b^ h -11t 2 - 8t + 36 @l+ -11t 2 - 8t + 3 m = -11t 2 - 8t + 3 a -11t 2 - 8t + 3^ h + -11t 2 - 8t + 3 at + b^ h -11t - 4^ h + -11t 2 - 8t + 3 m -11t 2 - 8t + 3 -t 2 = -11t 2 - 8t + 3 a -11t 2 - 8t + 3^ h + at + b^ h -11t - 4^ h + m una vez despejado los valores de a b y m y sustituirlos en la formula ax 2 + bx + c P x^ h = Q x^ h ax 2 + bx + c^ hl+ ax 2 + bx + c m y int egrandolo quedara asi ax 2 + bx + c P x^ h =# Q x^ h ax 2 + bx + c + ax 2 + bx + c m # dx asi que seguir los mismos pasos que el ejercicio anterior INTEGRALES DE LA FORMA a f x^ h # .dx a f x^ h # .dx para este tipo de int egrales se hace cambio de variable t = f x^ h Ejercicio 29 I = e 2x+1 # dx cambio variable t = 2x + 1 & dt = 2dx I = 2 1 e t # dt = 2 1 e t = 2 1 e 2x+1 + cte INTEGRALES DE LA FORMA R x; cx + d ax + b ` jq p , cx + d ax + b ` js r ,........., cx + d ax + b ` jv n : D# .dx + CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
para estos tipos de int egrales se hace el cambio de variable cx + d ax + b ` j = t n siendo n = m.c.m q,s,.....,v^ h Recordatorio m.c.m = minimo comun multiplo se cogen todos los factores y elevado a mayor exponente^ h Ejercicio 30 I = 1 - 2x^ h3 2 - 1 - 2x^ h2 1 dx # cambio variable 1 - 2x = t 6 porque m.c.m 3,2^ h = 6 1 - 2x = t 6 &- 2dx = 6t 5 dt & dx =- 3t 5 dt , t = 1 - 2x6 I = t 4 - t 3 -3t 5 dt # = t 3 t - 1^ h -3t 5 dt # =- 3 t - 1 t 2 # dt una vez hecha la division de los polinomios queda asi I =- 3 t + 1^ h# dt - 3 t - 1 1 dt# = 2 -3 t 2 - 3t - 3Ln t - 1 = 2 -3 1 - 2x3 - 3 1 - 2x6 - 3Ln 1 - 2x6 - 1 + cte Integrales Definidas ** Integral de Riemann f x^ hdx AA f x^ h a b # es una funcion continua en a,b6 @ representa el area comprendida entre el eje ox , la curva de f x^ h y las dos abscisas x = a y x = b las areas situadas encima del eje ox son + y las situadas debajo del eje ox son - Z [ ]]]]] ]]]]] Regla de Brrow f x^ hdx a limite inferiorAeje x S b limite superiorA ejex ? # = f x^ h#: C a b = F b^ h - F a^ h siendo F la primitiva de f ; f# = F ( d f#a k = d F^ h ( f = lF Propiedades 1 f x^ h a a # dx = 0 ; 2 f x^ h a b # dx =- f x^ h b a # dx ; 3 f x^ h ! g x^ h6 @ a b # dx = f x^ hdx ! g x^ h a b #a b # dx 4 k.f x^ h a b # dx = k. f x^ h a b # dx ; 5 f x^ h a b # dx = f x^ h a c # dx + f x^ h c b # dx c d a,b6 @ 6 si f x^ h $ 0 en a,b6 @ ( f x^ h a b # dx $ 0 7 si f x^ h # 0 en a,b6 @ ( f x^ h a b # dx # 0 8 si f x^ h # g x^ h en a,b6 @ ( f x^ h a b # dx # g x^ h a b # dx Teorema del valor medio f una funcion continua en a,b6 @ ( 7 c d a,b^ h/ f x^ h a b # dx = f c^ h b - a^ h Integrales Impropias I = f x^ h a b # dx , si f x^ h no es continua en c d a,b6 @ ( I = lim x"c f x^ h a c # dx + lim x"c f x^ h c b # dx si el limite existe y es finito & I es convergente si el limite es 3 & I es divergente Propiedades f x^ hdx = lim b"+3a +3 # f x^ h a b # dx siendo f acotada en a, + 36 6 f x^ hdx = lim a"-3-3 b # f x^ h a b # dx siendo f acotada en -3,b@ @ f x^ hdx = lim a"-3-3 +3 # f x^ h a c # dx + lim b"+3 f x^ h c b # dx CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 31 I = x dx 0 1 # , la funcion f x^ h = x 1 en el intervalo 0,16 @ la funcion no esta en 0 asi que es una integral impropia luego I = lim a"0 x dx a 1 # = lim a"0 2 x6 @a 1 = lim a"0 2 - 2 a^ h = 2 ( I converge Ejercicio 32 I = x - 1^ h2 dx 0 4 # ,aqui f x^ h = x - 1^ h2 1 A D f = R - 1" , y como estamos en el intervalo 0,46 @ f no es continua en x = 1 asi que I = lim a"1 x - 1^ h2 dx 0 a #; E + lim a"1 x - 1^ h2 dx a 4 #; E = lim a"1 x - 1 -1 8 B 0 a + lim a"1 x - 1 -1 8 B a 4 = lim a"1 a - 1 -1 - 1` j =3 1 2 344444444 44444444 + lim a"1 3 -1 + a - 1 1 ` j =3 1 2 34444444444 4444444444 ( I es divergente auque llegara a ser uno nada mas 3 I seria divergente^ h Ejercicio 33 I = 2x - 1 0 2 # dx 1º paso es descomponer el valor absoluto 2x - 1 = -2x + 1 si x 1 2 1 2x - 1 si x $ 2 1 * al descomponer el valor absoluto f A funcion a trozos y 2 1 d 0,26 @ I = -2x + 1^ h 0 2 1 # dx + 2x - 1^ h 2 1 2 # dx = -x2 + x6 @0 2 1 + x2 - x6 @2 1 2 ............................ Cambio de variable ** f g x^ h6 @ a b # lg x^ hdx = f u^ hdu g a^ h g b^ h # para mejor entenderlo veamos un par de ejercicios Ejercicio 34 I = x x 2 + 1^ h3 dx 0 1 # , aqui f x^ h = x x 2 + 1^ h3 f es continua en R,luego f continua en 0,16 @ & I no es impropia para resolver la integral hagamos cambio de variable u = x 2 + 1 & du = 2x.dx & 2 du = x.dx si x = 1 & u = 2 si x = 0 & u = 1 $ . ( I = 2 1 u 3 du = 2 1 1 2 # 4 u 4 : C 1 2 = 8 15 Ejercicio 35 I = r2 - x2 dx 0 r # A cambio de variable x = r.sent & dx = rcost.dt si x = r & sent = 1 & t = 2 r si x = 0 & sent = 0 & t = 0 Z [ ]]]]] ]]]]] asi que I = r 2 - r 2 sen 2 t 0 2 r # .r.cost.dt = r 2 1 - sen 2 t 0 2 r # .cost.dt = r 2 cos 2 t.dt 0 2 r # = 2 r 2 1 + cos2t^ hdt 0 2 r # I = 2 r 2 t + 2 sen2t 8 B0 2 r = 2 r 2 2 r - 0_ i = 4 rr 2 Area = A siempre es 5 A = f x^ h a b # dx = parte que esta encima del eje x - la parte que esta por debajo del eje x^ h a b # Area de 2 funciones f y g es A = f x^ h - g x^ h a b # dx Longitud = S = 1 + lf x^ h6 @2 a b # dx Volunen = V = Area x^ h a b # dx CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
AREA f(x).dx x=a x=b # f(y).dy y=a y=b # Area de una función respecto al eje x Para hallar el area de la función respecto al eje X se hacen cortes verticales al eje X n - isema en forma de rectangulos de altura ri y anchura dx asin que el area es el sumatorio de todas las areas de los rectangulos como se ve en la figura de al lado A = ri i=1 n / .dx = ri a b # .dx siendo ri = altura y esta definida por la función f(x) dx = anchura del rectangulo luego A = f(x) x=a x=b # .dx = f(x) a b # .dx CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Area de una función respecto al eje y Para hallar el area de la función respecto al eje Y se hacen cortes verticales al eje Y n - isema en forma de rectangulos de anchura ri y altura dy asin que el area es el sumatorio de todas las areas de los rectangulos como se ve en la figura de al lado A = ri i=1 n / .dy = ri a b # .dy siendo ri = anchura y esta definida por la función f(y) dy = altura del rectangulo luego A = Area = f(y) y=a y=b # .dy = f(y) a b # .dy Area formada entre dos funciónes respecto al eje x Area de f(x) " tachado en negro Area de g(x) " tachado en rojo Los pasos a seguir son los seguientes: 1º sacar los puntos de interseccion entre f(x) y g(x) f(x) = g(x) , x = b x = a $ siendo a 1 b asi que a es el limite inferior,b limite superior 2º esbozar las graficas y por ultimo calcular la integral CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
VOLUMEN Metodo de los discos consiste en girar una region del plano al rededor de un eje (X) asi obtenemos un sólido de revolución. ** dividiendo el solido en sectores circulares(discos) ** haciendo cortes = al eje de rotación ** el radio r del disco siempre va dirigido del eje de rotación hacia la función original.(no hacia el reflejo) ** en los discos el radio varia de un disco a otro;pero siempre queda determinado por la funcion en cuestion y su grosor es el mismo para todos los discos, ver la imagen En la imagen el eje de rotacion es el eje X ri = el radio del disco = f(x) dx = altura del disco V = V de los discos^ h/ asi que el volumen queda determinado por: Vi = r.ri 2 .dx V = Vi i=1 i=n / = r.r 2 .dx = r f x^ h6 @ a b #a b # 2 dx Determinar el Volumen del sólido de revolución generado al hacer girar la funcion sobre eje Y es exactamente igual que el anterior lo unico que cambia es el eje de ratacion Y ri = radio del disco eje rotacion " funcion f(y)6 @,cortes = al eje de ratacion ver imagen de abajo^ h dy = altura del disco ; V = V de los discos^ h/ asi que el volumen queda determinado por: Vi = r.ri 2 .dy V = Vi i=1 i=n / = r.r 2 .dy = r f y^ h6 @ a b #a b # 2 dy CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Volumen generado entre dos funciones ver imagenes para entenderlo mejor Ri = radio de la funcion f(x) ri = radio de la funcion g(x) *** rotacion respecto al eje X^ h Vi = volumen del disco = r Ri 2 - ri 2 ^ h.dx V = Vi i=1 n / = r R 2 - r 2 ^ hdx = r f(x)^ h2 - g x^ h^ h2 6 @.dx a b #a b # *** rotacion respecto al eje Y^ h Vi = volumen del disco = r Ri 2 - ri 2 ^ h.dy V = Vi i=1 n / = r R 2 - r 2 ^ hdy = r f(y)^ h2 - g y^ h^ h2 6 @.dy a b #a b # Rotación < al eje de ordenadas(eje y) otro metodo que permite la obtención del volumen generado por el giro de una area comprendida entre 2 funciones cualesquiera,f(x) y g(x) en un intervalo a,b6 @ tales que f(x) 2 g(x) en a,b6 @ alrededor de un eje de revolucion < al eje de ordenadas x = k(cte) 2 0 La formula del volumen es: V = 2r x - k^ h f(x) - g(x)6 @ a b # dx Observación: x - k^ h 2 0 , la recta x = k se encuentra a la izquierda de la región comprendida entre f(x) y g(x) Para los ejes de rotaciones verticales Y V = 2r x.h(x).dx ; siendo h(x) = funcion de derecha - la izquierda funcion de arriba - funcion de abajo % a b # Para los ejes de rotaciones horizontales Y V = 2r y.h(y).dy ; siendo h(y) = funcion de derecha - la izquierda funcion de arriba - funcion de abajo % c d # CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Integrales Ejercicios resueltos Ejercicio 36 I = a - x 2 ^ h2 3 dx # I = a - x 2 ^ h2 3 dx # = a - x 2 ^ h3 dx # = a - x 2 ^ h a - x 2 ^ h dx # = a - x 2 ^ h a 1 - a x a k 2 c m dx # = I 1 - a x a k 2 nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 - sen 2 x = cos 2 x asi que hacemos cambio de variable sent = a x & x = a sent & dx = a cos t dt I = a - asen 2 t^ h a 1 - sen 2 t^ h a cos t dt # = a cos 2 t cos t a a cos t dt # = a 1 cos 2 t dt # = a 1 tgt y como tgt = a - x 2 x entonces I = a 1 a - x 2 x + cte --------------------------------- Ejercicio 37 I = a + x 2 ^ h2 3 dx # I = a + x 2 ^ h2 3 dx # = a + x 2 ^ h3 dx # = a + x 2 ^ h a + x 2 ^ h dx # = a + x 2 ^ h a 1 + a x a k 2 c m dx # = I 1 + a x a k 2 nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 + tg 2 x = cos 2 x 1 asi que hacemos cambio de variable tgt = a x & x = a tgt & dx = a cos 2 t 1 dt I = a + a tg 2 t^ h a 1 + tg 2 t^ h a cos 2 t 1 dt # = a cos 2 t 1 cos t 1 a a cos 2 t 1 dt # = a cos t 1 dt # = a 1 cos t dt = a 1 # sent y como sent = a + x 2 x luego I = a a + x 2 ^ h x + cte --------------------------------- Ejercicio 38 I = a - x a + x # dx a - x a + x # dx = a - x a - x a + x a - x # dx = a - x a 2 - x 2 # dx = a - x a 2 1 - a x _ i 2 ` j # dx = I 1 - a x _ i 2 nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 - sen 2 x = cos 2 x asi que hacemos cambio de variable sent = a x & x = asent & dx = a cos t dt t = arcsen a x I = a - asent a 2 1 - sen 2 t^ h # a cos t dt = a 1 - sent^ h a cos t a cos t dt # = a 1 - sent^ h a 2 cos 2 t dt # = a 1 - sent^ h a 2 1 - sen 2 t^ h dt = a 1 + sent^ h## dt = a 1 + sent^ h# dt = a 1dt + a sent dt## = at - a cos t + cte = a arcsen a x - a 2 - x 2 + cte --------------------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 39 I = 7 3x-5 4 # dx 7 3x-5 4 # dx = 4.7 -3x+5 # dx = I como sabemos que todas las int egrales de la forma a f x^ h # dx se le hace cambio de variable t = f x^ h asi que t =- 3x + 5 & dt =- 3dx & dx = -3 dt luego queda I = 4 7 t # -3 dt = 3 -4 7 t # dt = 3 -4 7 t . ln 7 1 aplicando la formula a f x^ h # . lf x^ hdx = a f x^ h . ln a 1 por ultimo I = 3 ln 7 -4 7 -3x+5 + cte --------------------------------- Ejercicio 40 Demostracion de la formula 16 1 - f x^ h^ h2 lf x^ h # dx = 2 1 ln 1 - f x^ h 1 + f x^ h = ln 1 - f x^ h 1 + f x^ h 1 - f x^ h^ h2 lf x^ h # dx = I en el deno min ador tenemos 1 - f x^ h^ h2 nos hace pensar en 1 - sen 2 x asi que hacemos cambio de variable sent = f x^ h & cos t dt = lf x^ hdx I = 1 - sen 2 t cos t dt # = cos 2 t cos t dt # = cos t dt # utilizando la formula cost 1 = 2 1 1 + sent cost + 1 - sent cost 8 B I = 2 1 1 + sent cos t # dt + 2 1 1 - sent cos t # dt = 2 1 ln 1 + sent - 2 1 ln 1 - sent = 2 1 ln 1 - sent 1 + sent = 2 1 ln 1 - f x^ h 1 + f x^ h + cte --------------------------------- Ejercicio 41 Demostracion de la formula 13 en forma generalizada I = a2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx siendo a ! 0 a 2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a 2 1 + a f x^ h a k 2 nos hace recordar 1+tg2 1 2 3444444 444444 > H lf x^ h # dx asi que tagt = a f x^ h ( t = arctag a f x^ h 1 + tag 2 t^ hdt = a lf x^ h dx Z [ ]]]]] ]]]]] haciendo los cambios queda I = a 2 1 1 + a f x^ h : C 2 a a lf x^ h dx # = a 2 a 1 + tagt 1 + tag 2 t^ hdt # = a 1 1dt# = a 1 t = a 1 arctag a f x^ h + cte --------------------------------- Ejercicio 42 I = 1 + x 2 dx # 1 + x 2 dx # = 1 + x^ h2 dx # = arctagx + cte --------------------------------- Ejercicio 43 I = 1 + x 4 2x.dx # 1 + x 4 2xdx # = 1 + x 2 ^ h2 2x dx # = arctagx 2 + cte --------------------------------- Ejercicio 44 I = 5 + x 4 2x dx # CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
5 + x 5 + x 4 2x dx # = 5^ h 2 + x 2 ^ h2 2x dx # = 5 1 arctag 5 x 2 + cte --------------------------------- Ejercicio 45 Demostracion de la formula 16 en forma generalizada I = a2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx siendo f x^ h !! a a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a 2 1 - a f x^ h a k 2 nos hace recordar 1-sen2 1 2 3444444 444444 > H lf x^ h # dx asi que sent = a f x^ h ( t = arcsen a f x^ h cost dt = a lf x^ h dx Z [ ]]]]] ]]]]] haciendo los cambios queda I = a 2 1 1 - a f x^ h : C 2 a a lf x^ h dx # = a 2 a 1 - sen 2 t cost dt # = a 1 cos 2 t cost dt # = a 1 cost 1 dt # y como sabemos que cost 1 = cos 2 t cost = 1 - sen 2 t cost = 1 - sent^ h 1 + sent^ h cost = 2 1 1 - sent cost + 1 + sent cost 8 B luego I = 2a 1 1 + sent cost # dt + 2a 1 1 - sent cost # dt = 2a 1 Ln 1 + sent - 2a 1 Ln 1 - sent I = 2a 1 Ln 1 - sent 1 + sent = 2a 1 Ln 1 - a f x^ h 1 + a f x^ h = 2a 1 Ln a - f x^ h a + f x^ h --------------------------------- Ejercicio 46 I = 1 - x 2 dx # 1 - x 2 dx # = 1 - x^ h2 1.dx # = 2 1 Ln 1 - x 1 + x + cte siendo x !! 1 --------------------------------- Ejercicio 47 I = 3 - x 4 2x.dx # 3 - x 4 2x.dx # = 3^ h 2 - x 2 ^ h2 2x.dx # = 2 3 1 Ln 3 - x 2 3 + x 2 + cte siendo x 2 ! 3 --------------------------------- Ejercicio 48 Demostracion de la formula 12 en forma generalizada I = a2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx I = a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a 1 - a f x^ h : C 2 nos hace recordar 1-sen2 1 2 3444444 444444 lf x^ h # dx asi que sent = a f x^ h ( t = arcsen a f x^ h cost dt = a lf x^ h dx Z [ ]]]]] ]]]]] haciendo los cambios queda I = a 1 1 - a f x^ h : C 2 a a lf x^ h dx # = 1 - sen2 t cost dt # = cos2 t cost dt # = 1dt = t# + cte CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I = arcsen a f x^ h + cte --------------------------------- Ejercicio 49 I = 1 - x 2 dx # 1 - x 2 dx # = arcsenx + cte AA aplicando la formula a2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = arcsen a f x^ h + cte --------------------------------- Ejercicio 50 I = 9 - x 4 2x.dx # 9 - x 4 2x.dx # = 3 2 - x 2 ^ h2 2x.dx # = arcsen 3 x 2 + cte --------------------------------- Ejercicio 51 I = 9 - 2x - 1^ h2 dx # 9 - 2x - 1^ h2 dx # = hagamos que aparezca el 2 S d 2x-1^ h =2 6 7 844444444444 44444444444 2 1 3 2 - 2x - 1^ h2 2.dx # = 2 1 arcsen 3 2x - 1 + cte --------------------------------- En las integrales antes de ponernos a resolver os recomiendo seguir estos pasos fijarnos bien si se puede simplificar y se se puede asociar a algúna integral inmediata y tener bien memorizadas las formulas trigonometricas Ejercicio 52 Demostracion de la formula 17 en forma generalizada I = a2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx I = a 2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a 1 + a f x^ h : C 2 nos hace recordar 1+tag2 1 2 3444444 444444 lf x^ h # dx asi que tagt = a f x^ h ( t = arctag a f x^ h , sent = a 2 + f x^ h6 @2 f x^ h cos 2 t 1 dt = a lf x^ h dx Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] haciendo los cambios queda I = a 1 1 + a f x^ h : D 2 a a lf x^ h dx # = cos 2 t 1 cos 2 t 1 dt # = cost 1 cos 2 t 1 dt # = cost 1 dt = ya visto en ejercicio 45 ? 2 1 # Ln 1 - sent 1 + sent asi que I = 2 1 Ln 1 - a 2 + f x^ h6 @2 f x^ h 1 + a 2 + f x^ h6 @2 f x^ h = 2 1 Ln -f x^ h + a 2 + f x^ h6 @2 f x^ h + a 2 + f x^ h6 @2 --------------------------------- Ejercicio 53 I = 1 + x 2 dx # 1 + x 2 dx # = 2 1 Ln -x + 1 + x 2 x + 1 + x 2 + cte --------------------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 54 I = 5 + x 4 2x.dx # 5 + x 4 2x.dx # = 5^ h 2 + x2 ^ h 2 2x.dx # = 2 1 Ln -x 2 + 5 + x 4 x 2 + 5 + x 4 + cte --------------------------------- Ejercicio 55 I = x 2 + 1 x 2 - 1 # dx x 2 + 1 x 2 - 1 # dx = x 2 + 1 x 2 + 1 - 2 # dx = x 2 + 1 x 2 + 1 # dx - 2 x 2 + 1 dx # = 1.dx - 2 1 + x 2 dx ## = x - 2arctagx + cte --------------------------------- Ejercicio 56 I = 1 + x 6 x 2 # dx 1 + x 6 x 2 # dx = 1 + x 3 ^ h2 x 2 # dx = 3 1 1 + x 3 ^ h2 3x 2 # dx = 3 1 arctagx 3 + cte --------------------------------- Ejercicio 57 I = x 2 Lnx # dx I = x 2 Lnx # dx en la integral tenemos dos funciones distintas (una logaritmica y algebraica) asi que la integral la resolveremos por partes fijandonos en en la palabra I funcion inversa ? L funcion logaritmica S A funcion algebraica ? T funcion trigonometrica S E funcion exponencial ? U es la primera funcion que aparezca en la palabra ILATE dV es la segunda funcion que aparezca en la palabra ILATE asi que u = Lnx ( du = x 1 dx dv = x 2 1 dx & v =- x 1 Z [ ]]]]] ]]]]] & I =- x 1 Lnx - x -1 # x 1 dx = x -Lnx + x 2 1 # dx = x -Lnx - x 1 + cte --------------------------------- Ejercicio 58 I = x Ln Lnx^ h # dx I = x Ln Lnx^ h # dx haciendo cambio de variable t = Lnx & dt = x 1 dx luego I queda de la seguiente manera I = x Ln Lnx^ h # dx = Ln Lnx^ h# x 1 dx = Lnt dt# asi que u = Lnt ( du = t 1 dt dv = dt & v = t * & I = t Lnt - t# t 1 dt = t Lnt - t + cte = Lnx.Ln Lnx^ h - Lnx + cte --------------------------------- Ejercicio 59 I = x.Lnx dx # x.Lnx dx # = Lnx x 1 # dx haciendo cambio variable t = Lnx & dt = x 1 dx luego I = t dt # = Lnt = Ln Lnx + cte --------------------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 60 I = x - 1 x + 1 # dx I = x - 1 x + 1 # dx haciendo cambio variable t 2 = x - 1 & t =! x - 1 2tdt = dx ' I = t t 2 + 1 + 1^ h2tdt # = 2 t 2 + 2^ h# dt = 3 2 t 3 + 4t =! 3 2 x - 1^ h2 3 ! 4 x - 1 + cte --------------------------------- Ejercicio 61 - 62 I = e ax .cosbx.dx# sea J = e ax .senbx.dx# 1 I + i.J = e ax cosbx + isenbx^ h eibx 6 7 8444444444 444444444 # dx = e ax .# e ibx .dx = e ax+ibx # .dx = e ax+ibx a + ib 1 = e ax .e ibx a + ib 1 2 I - iJ = e ax cosbx - isenbx^ h 6 7 8444444444 444444444 # dx = e ax cos -bx^ h + isen -bx^ h^ h cos -b^ h=cos b^ h . sen -b^ h=-senb , e-ibx 6 7 844444444444444 44444444444444 e-ibx=cos -bx^ h+isen -bx^ h 1 2 344444444444444444444 44444444444444444444 # dx = e ax .# e-ibx .dx = e ax-ibx # .dx = e ax-ibx a - ib 1 I - iJ = e ax .e-ibx a - ib 1 1 + 2 = 2I = e ax .e ibx a + ib 1 + e ax .e-ibx a - ib 1 = e ax e ibx a + ib 1 + e-ibx a - ib 1 8 B = e ax a + ib cosbx + isenbx + a - ib cosbx - isenbx 8 B 2I = e ax a 2 + b 2 a.cosbx - ib.cosbx + ai.senbx + b.senbx + a.cosbx + ib.cosbx - ai.senbx + b.senbx ; E = 2I = e ax a 2 + b 2 2a.cosbx + 2b.senbx : D I = a 2 + b 2 e ax a.cosbx + b.senbx6 @ , para hallar eax .senbx.dx# basta con restar 1 - 2 y hacer mismos calculos y el resultado de e ax .senbx.dx# = a 2 + b 2 e ax -b.cosbx + a.senbx6 @ 2º metodo I = eax .cosbx.dx# tenemos 2 funciones ! lo resolvemos por partes dv = e ax & v = e ax a 1 u = cosbx & du =- b.senbx.dx ) ( I = cosbx.e ax a 1 - a 1 e ax # -b.senbx^ hdx = cosbx.e ax a 1 + a b e ax # senbx^ hdx volviendo a integrar por partes dv = e ax & v = e ax a 1 u = senbx & du = b.cosbx.dx ) ( I = a 1 e ax .cosbx + a b a 1 e ax .senbx - a b eax .cosbx.dx#: C I = a 1 e ax .cosbx + a 2 b e ax .senbx - a 2 b 2 eax .cosbx.dx# I 6 7 844444444 44444444 , I + a 2 b 2 I = a 1 e ax .cosbx + a 2 b e ax .senbx , I 1 + a 2 b 2 c m = a2 a2 +b2 6 7 84444 4444 = a 2 a e ax .cosbx + a 2 b e ax .senbx , I = a 2 + b 2 e ax a.cosbx + b.senbx6 @ --------------------------------- Ejercicio 63 I = x x + 1 # dx x x + 1 # dx ; haciendo cambio de variable x = tag 2 t ( dx = 2tagt 1 + tag 2 t^ hdt I = tagt 1 + tag 2 t # 2tagt 1 + tag 2 t^ hdt = 2 1 + tag 2 t^ h# d tagt^ h = 2tagt + 3 2 tag 3 t + cte = 2 x + 3 2 x^ h 3 + cte CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
2º metodo x x + 1 # dx = x x # dx + x 1 # dx = x 2 1 # dx + x 2 -1 # dx = 3 2 x2 3 + 2x2 1 + cte 3º metodo x x + 1 # dx ; haciendo cambio de variable x = t ( 2 x 1 dx = dt ( dx = 2t.dt , luego x x + 1 # dx = t t 2 + 1 # 2.t.dt = = 3 2 t 3 + 2t = 3 2 x^ h 3 + 2 x + cte --------------------------------- Ejercicio 64 I = 1 + x 2 ^ h2 x 2 # dx I = 1 + x 2 ^ h2 x 2 # dx dv = 1 + x 2 ^ h2 x dx ( v = 2 1 + x 2 ^ h -1 u = x ( du = dx * ( I = 2 1 + x 2 ^ h -x + 2 1 1 + x 2 dx # = 2 1 + x 2 ^ h -x + 2 1 arctagx + cte 2º metodo I = 1 + x 2 ^ h2 x 2 # dx ; haciendo cambio de variable x = tagt ( t = arctagx & dt = 1 + x 2 dx dx = 1 + tag 2 t^ hdt * I = 1 + x 2 ^ h2 x 2 # dx = 1 + tag 2 t^ h2 tag 2 t. 1 + tag 2 t^ hdt # = 1 + tag 2 t^ h tag 2 t.dt # = cos 2 t 1 cos 2 t sen 2 t # dt = sen 2 t.dt# I = 2 1 - cos2t # dt = 2 1 1 - cos2t6 @# dt = 2 1 t - 4 1 sen2t = 2 1 t - 2 1 sent.cost = 2 1 arctagx - 2 1 1 + x 2 x 1 + x 2 1 + cte I = 2 1 arctagx - 2 1 1 + x 2 x + cte --------------------------------- Ejercicio 65 I = cos 2 x.cos2x.dx# I = cos 2 x.cos2x.dx = 2 1 + cos2x ## cos2x dx = 2 1 cos2x + cos 2 2x^ h# dx = 2 1 cos2x dx + 2 1 # cos 2 2x.dx# I = 4 1 sen2x + 2 1 2 1 + cos4x # = 4 1 sen2x + 4 1 dx + 4 1 # cos4x dx# = 4 1 sen2x + 4 1 x + 16 1 sen4x + cte 2º metodo I = cos 2 x.cos2x.dx# ; sea J = sen 2 x.cos2x.dx# 1 I + J = cos 2 x.cos2x +# sen 2 x.cos2x.dx = cos2x. cos 2 x + sen 2 x^ h# dx = cos2x.# dx = 2 1 sen2x 2 I - J = cos2x cos 2 x - sen 2 x^ h# dx = cos2x.cos2x.dx = cos 2 ## 2x.dx = 2 1 + cos4x dx# = 2 1 x + 8 1 sen4x 1 + 2 = 2I = 2 1 sen2x + 2 1 x + 8 1 sen4x ( I = 4 1 sen2x + 4 1 x + 16 1 sen4x + cte --------------------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 66 I = a + b x dx # I = a + b x dx # ; cambio de variable t = a + b x ( dt = 2 x b dx & dt = b 2 t - a^ h b dx & dx = b 2 2 t - a^ h dt x = b t - aZ [ ]]]]]]] ]]]]]]] I = a + b x dx # = t b 2 2 t - a^ h # dt = b 2 2 t t - a # dt = b 2 2 1 - t a _ i# dt = b 2 2 dt -# b 2 2a t dt # = b 2 2 t - b 2 2a Lnt I = b 2 2 a + b x^ h - b 2 2a Ln a + b x + cte --------------------------------- Ejercicio 67 I = 1 + senx + cosx dx # I = 1 + senx + cosx dx # ; hacer cambio de variable t = tag 2 x ( 2 x = arctagt & x = 2.arctagt & dx = 1 + t 2 2.dt I = 1 + senx + cosx dx # = 1 + t 2 1 + t 2 + 1 + t 2 2t + 1 + t 2 1 - t 2 1 + t 2 2.dt # = 1 + t 2 2 + 2t 1 + t 2 2 # dt = 1 + t dt # = Ln 1 + t = Ln 1 + tag 2 x + cte --------------------------------- Ejercicio 68 I = senx + tagx dx # I = senx + tagx dx # ; Aplicando Bioche vemos que f -x^ h = sen -x^ h + tag -x^ h d -x^ h = senx + tagx dx = f x^ h asi que el cambio de variable es t = cosx & dt =- senx.dx =- 1 - t 2 dx & dx =- 1 - t 2 dt ver imagen de abajo^ h I = senx + tagx dx # = t t. 1 - t 2 + t 1 - t 2 1 - t 2 -dt # = t t + 1^ h 1 - t 2 1 - t 2 -dt # = t + 1^ h 1 - t 2 ^ h -t.dt # t + 1^ h 1 - t 2 ^ h t = t + 1^ h t + 1^ h 1 - t^ h t = t + 1^ h2 1 - t^ h t t + 1^ h2 1 - t^ h t = t + 1 A + t + 1^ h2 B + 1 - t C = t + 1^ h2 1 - t^ h A t + 1^ h 1 - t^ h + t + 1^ h2 1 - t^ h B 1 - t^ h + t + 1^ h2 1 - t^ h C t + 1^ h2 si t = 0 ( 0 = A + B + C & A = 4 -3 si t =- 1 (- 1 = 2B & B = 2 1 si t = 1 ( 1 = 4C & C = 4 1Z [ ]]]]]]]]] ]]]]]]]]] I = 4 3 t + 1 dt # - 2 1 t + 1^ h2 dt # - 4 1 1 - t dt # = 4 3 Ln 1 + t + 2 1 t + 1^ h-1 + 4 1 Ln 1 + t + cte I = 4 3 Ln 1 + cosx + 2 1 1 + cosx^ h-1 + 4 1 Ln 1 + cosx + cte --------------------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 69 I = a 2 - x 2 ^ h2 5 dx # I = a 2 - x 2 ^ h2 5 dx # = a 2 1 - a x _ i 2 8 B es parecido a 1-sen2 1 2 344444 44444f p 2 5 dx # ; cambio de variable sent = a x sent = a x ( cost = a a 2 - x 2 & a.cost = a 2 - x 2 cost dt = a dx & a.cost.dt = dx Z [ ]]]]] ]]]]] I = a 2 - x 2 ^ h2 5 dx # = a.cost^ h5 a.cost.dt # = a 4 .cos 4 t dt # = a 4 1 cos 2 t 1 # cos 2 t 1 dt I = a 4 1 cos 2 t 1 # d tagt^ h = a 4 1 1 + tag 2 t^ h# d tagt^ h = a 4 1 tagt + 3 1 tag 3 t` j ; tagt = a 2 - x 2 x I = a 4 1 a 2 - x 2 x + 3 1 a 2 - x 2 x c m+ cte --------------------------------- Ejercicio 70 I = acos 2 wt + bsen 2 wt^ h# dt ; w ! 0 I = acos 2 wt + bsen 2 wt^ h# dt , sabemos que cos 2 wt = 2 1 + cos2wt y sen 2 wt = 2 1 - cos2wt I = 2 a + acos2wt + 2 b - bcos2wt` jdt = 2 a + b + 2 a - b cos2wt` j## dt = 2 a + b t + 4w a - b sen2wt + cte 2º metodo I = acos 2 wt + bsen 2 wt^ h# dt , sea J = bcos 2 wt + asen 2 wt^ h# dt 1 I + J = acos 2 wt + bsen 2 wt^ h# + bcos 2 wt + asen 2 wt^ hdt = a + b^ h cos 2 wt + sen 2 wt^ hdt# = a + b^ h# dt = a + b^ ht 2 I - J = a - b^ h# cos 2 wt + b - a^ hsen 2 wt.dt = a - b^ h cos 2 wt - sen 2 wt6 @ =cos2wt 6 7 84444444444 4444444444 # dt = 2w a - b^ h sen2wt 1 + 2 = 2I = a + b^ ht + 2w a - b sen2wt ( I = 2 a + b^ ht + 4w a - b sen2wt --------------------------------- Ejercicio 71 I = senx.cosx dx # I = senx.cosx dx # , a senx.cosx 1 = tagx + cotgx , I = tagx + cotgx^ h# dx = tagx.dx + cotgx.dx## I = cosx senx # dx + senx cosx # dx =- Ln cosx + Ln senx = Ln cosx senx + cte = Ln tagx + cte 2º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a I = senx.cosx dx # = senx.cosx sen 2 x + cos 2 x # dx , b sen 2 x + cos 2 x = 1 I = senx.cosx sen 2 x dx# + senx.cosx cos 2 x # dx = cosx senx # dx + senx cosx # dx =- Ln cosx + Ln senx I = Ln cosx senx + cte = Ln tagx + cte 3º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a y b I = senx.cosx dx # = senx.cosx dx # = 2 1 sen2x dx # = 2 sen2x dx # c sen2x = 2senx.cosx y senx 1 = 2 1 1 - cosx senx + 1 + cosx senx 7 A 1 - cos2x^ hl= 2sen2x , 1 + cos2x^ hl=- 2sen2x I = 2 2 1 1 - cos2x sen2x + 1 + cos2x sen2x ` j# dx = 1 - cos2x sen2x # dx + 1 + cos2x sen2x # dx = 2 1 1 - cos2x 2sen2x # dx + 2 1 1 + cos2x 2sen2x # dx CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I = 2 1 Ln 1 - cos2x - 2 1 Ln 1 + cos2x = 2 1 Ln 1 + cos2x 1 - cos2x = Ln 1 + cos2x 1 - cos2x = Ln tagx^ h + cte , tag 2 x = 1 + cos2x 1 - cos2x 4º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a y b y c I = senx.cosx dx # = senx.cos 2 x cosx.dx # = senx cosx tagx 1 D # cos 2 x 1 tagx^ hl F dx = tagx 1 d tagx^ h# = Ln tagx + cte 5º metodo I = senx.cosx dx # , sea J = cosx senx # dx = senx.cosx sen 2 x # dx 1 I - J = senx.cosx 1 - sen 2 x # dx = senx.cosx cos 2 x # dx = senx cosx # dx = Ln senx 2 J = cosx senx # dx =- cosx -senx # dx =- Ln cosx 1 + 2 = I = Ln senx - Ln cosx = Ln cosx senx = Ln tagx + cte 6º metodo I = senx.cosx dx # , aplicando la regla de Bioche f -x^ h = sen -x^ h.cos -x^ h d -x^ h = -senx.cosx -dx = senx.cosx dx = f x^ h , sen -x^ h =- senx , cos -x^ h = cosx cambio de varible t = cosx ( senx = 1 - t 2 , cosx = t t = cosx & x = arcost t = cosx & dt =- senx.dx & dt =- 1 - t 2 .dx Z [ ]]]]] ]]]] I = senx.cosx dx # =- t. 1 - t 2 1 - t 2 dt # =- t. 1 - t 2 ^ h dt # =- t. 1 + t^ h. 1 - t^ h dt # t. 1 + t^ h. 1 - t^ h 1 = t A + 1 + t B + 1 - t C = t. 1 + t^ h. 1 - t^ h A 1 + t^ h. 1 - t^ h + B.t. 1 - t^ h + C.t. 1 + t^ h si t =- 1 & 1 =- 2C & C = 2 1 t = 1 & 1 = 2B & B =- 2 1 t = 0 & A = 1Z [ ]]]]]] ]]]]]] asi que I =- t dt # + 2 1 1 + t dt # + 2 1 1 - t -dt # =- Ln t + 2 1 Ln 1 + t + 2 1 Ln 1 - t =- Ln t + 2 1 Ln 1 + t 1 - t = 1-t2 6 7 84444444 4444444d n I =- Ln cosx + Ln 1 - cos 2 x =- Ln cosx + Ln senx = Ln cosx senx = Ln tagx + cte Ejercicio 72 I = f x^ h6 @2 - a2 lf x^ h # dx I = f x^ h6 @2 - a 2 lf x^ h # dx = a. a f x^ h : C 2 - 1 lf x^ h # dx , cambio de variable cost 1 = a f x^ h ( cost = f x^ h a cost = f x^ h a ( f x^ h = cost a , sent = f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 -sent.dt =- a f x^ h6 @2 lf x^ h.dx ( sent.dt = a f x^ h6 @2 lf x^ h.dxZ [ ]]]]]]] ]]]]]]] I = a 2 . tag 2 t f x^ h6 @2 .sent.dt # = a 2 . cost sent f x^ h6 @2 .sent.dt # = a 1 cost.# f x^ h6 @2 .dt = cost 1 # dt aplicando la formula cosx 1 = 2 1 1 - senx cosx + 1 + senx cosx 7 A I = 2 1 1 - sent cost + 1 + sent cost ` j# dt = 2 1 1 + sent cost # dx - 2 1 1 - sent -cost # dx = 2 1 Ln 1 - sent 1 + sent I = 2 1 Ln 1 - f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 1 + f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 = 2 1 Ln f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 = 2 1 Ln f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 e o CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I = 2 1 Ln f x^ h6 @2 - f x^ h^ h2 - a 2 6 @ f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 = G = 2 1 Ln a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 < F = Ln a f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 I = Ln f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 - Lna = Ln f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 + cte --------------------------------- Ejercicio 73 I = 1 + x dx # , haciendo cambio de variable x = t - 1^ h2 ( dx = 2 t - 1^ hdt t - 1 = x & t = x + 1 ( I = 1 + x dx # = t 2 t - 1^ hdt # = 2 t t - 1 # dt = 2 dt - 2 t dt ## = 2t - 2Lnt = 2 x + 1^ h - 2Ln x + 1^ h + cte a 2º metodo I = 1 + x dx # , haciendo cambio de variable x = t 2 & t = x dx = 2t.dt ' I = 1 + t 2t.dt # = 2 1 - 1 + t 1 ` j# dt = 2 dt - 2 1 + t 1 dt = 2t - 2Ln 1 + t^ h## = 2 x - 2Ln 1 + x^ h + ct le b los resultados a y b son el mismo haciendo 2 + cte = ct le --------------------------------- Ejercicio 74 I = cos 5 x sen 3 x # dx I = cos 5 x sen 3 x # dx = tag 3 x cos 2 x 1 # dx = tag 3 x# d tagx^ h = 4 1 tag 4 x + cte --------------------------------- Ejercicio 75 I = x sen x cos x dx =# I = x sen x cos x dx =# sen x cos x x 1 dx , se observa que d sen x^ h# = cos x 2 1 x 1 dx I = 2 sen x cos x 2 x 1 dx# = 2 sen x dsen x # = 2Ln sen x + cte --------------------------------- Ejercicio 76 I = 1 + 2senx.cosx senx - cosx # dx I = 1 + 2senx.cosx senx - cosx # dx = senx + cosx^ h2 senx - cosx a k# dx , senx + cosx^ h2 = 1 + 2senx.cosx sea u = senx + cosx ( du = cosx - senx^ hdx ,luego I =- senx + cosx^ h2 -senx + cosx # dx =- u 2 du # =- u-2 # du = u-1 = senx + cosx 1 + cte --------------------------------- Ejercicio 77 I = 1 + 2senx.cosx cos2x # dx I = 1 + 2senx.cosx cos2x # dx = senx + cosx^ h2 cos 2 x - sen 2 x c m# dx , cos2x = cos 2 x - sen 2 x I = senx + cosx^ h 2 cosx - senx^ h cosx + senx^ h # dx = senx + cosx^ h cosx - senx^ h # dx = Ln senx + cosx + Cte. CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
^ h ^ h 2º metodo I = 1 + 2senx.cosx cos2x # dx = 1 + sen2x cos2x # dx = 2 1 1 + sen2x d sen2x^ h # = 2 1 Ln 1 + sen2x = Ln 1 + sen2x 1+sen2x= senx+cosx^ h2 6 7 84444444 4444444 = Ln senx + cosx + Cte. --------------------------------- Ejercicio 78 I = 1 + senx.cosx senx.cosx # dx = 2 1 1 + 2 1 sen2x sen2x # dx = 2 1 2 + sen2x 2sen2x # dx = 2 + sen2x sen2x # dx haciendo cambio de variable t = 2x & dt = 2.dx luego I = 2 1 1 - 2 + sent 2 ` j# dt = 2 1 t - 2 + sent dt # = x - 2 + sent dt # A 1 2 3444444 444444 A = 2 + sent dt # haciendo cambio de variable tag 2 t = n & 2 t = arctagn & t = 2.arctagn & dt = 1 + n 2 2 dn A = 1 + n 2 2n + 2 1 + n 2 2 # dn = 1 + n 2 2 n 2 + n + 1^ h 1 + n 2 2 # dn = n 2 + n + 4 1 - 4 1 + 1 dn # = n + 2 1 ` j 2 + 2 3 c m 2 dn # y como sabemos que a 2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a 1 arctag a f x^ h + cte n + 2 1 ` j 2 + 2 3 c m 2 dn # = 3 2 arctag 2 3 2 2n + 1J L KKKKKKKKKK N P OOOOOOOOOO = 3 2 arctag 3 2n + 1 = 3 2 arctag 3 2.tag 2 t + 1 = 3 2 arctag 3 2.tag 2 2x + 1 = 3 2 arctag 3 2.tagx + 1 luego I = x - 3 2 arctag 3 2.tagx + 1 + cte --------------------------------- Ejercicio 79 I = a x .b x a x - b x ^ h2 # dx I = a x .b x a x - b x ^ h2 # dx = a x .b x a 2x - 2.a x .b x + b 2x # dx = a x .b x a 2x # dx - 2 a x .b x a x .b x # dx + a x .b x b 2x # dx = b x a x # dx - 2 1# dx + a x b x # dx I = b a _ i x # dx - 2x + a b ` j x # dx = Ln b a b a _ i x - 2x + Ln a b a b ` j x = Lna - Lnb b a _ i x - 2x + - Lna - Lnb^ h a b ` j x = Lna - Lnb b a _ i x - a b ` j x - 2x + cte --------------------------------- Ejercicio 80 I = x 2 - a 2 # dx I = x 2 - a 2 # dx resolviendo por partes dv = dx & v = x u = x 2 - a 2 & du = x 2 - a 2 x dx * I = x. x 2 - a 2 - x 2 - a 2 x 2 # dx = x. x 2 - a 2 - x 2 - a 2 x 2 - a 2 + a 2 # dx = x. x 2 - a 2 - x 2 - a 2 x 2 - a 2 # dx - a 2 x 2 - a 2 dx # I = x. x 2 - a 2 - x 2 - a 2 # dx - a 2 a. a x _ i 2 - 1 dx # = x. x 2 - a 2 - x 2 - a 2 # dx - a 2 a x _ i 2 - 1 a 1 dx # I = x. x 2 - a 2 - I - a 2 Ln a x + a x _ i 2 - 1 ( I = 2 x. x 2 - a 2 - 2 a 2 Ln a x + a x _ i 2 - 1 + cte --------------------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 81 I = tagx# .dx I = tagx# .dx , sea t 2 = tagx & t = tagx 2t.dt = 1 + tag 2 x^ h.dx ( I = t. 1 + t 4 2t # dt = 1 + t 4 2t 2 # dt como se ve el denominador tiene soluciones complejas asi que resolvamoslo. t 4 + 1 = t 2 + 1^ h2 - 2t 2 = t 2 + 1^ h2 - 2 .t^ h 2 = t 2 + 2 .t + 1^ h t 2 - 2 .t + 1^ h I = 1 + t 4 2t 2 # dt = t 2 + 2 .t + 1 At + B # dt + t 2 - 2 .t + 1 lA t + lB # dt a I = 1 + t 4 At + B^ h t 2 - 2 .t + 1^ h + lA t + lB^ h t 2 + 2 .t + 1^ h # dt si t = 0 ( 0 = B + lB ( B =- lB si t = i (- 2 = B + iA^ h -i 2^ h + i lA + lB^ h i 2^ h = A - lA^ h =- 2 6 7 84444 4444 2 + i 2 lB - B^ h =0 6 7 84444 4444 ( A - lA =- 2 ( lA = A + 2 lB = B y B =- lB ( lB = B = 0 ( si t = 1 ( 2 = 2 - 2^ hA + 2 + 2^ h lA = 2 - 2^ hA + 2 + 2^ h A + 2^ h lA 6 7 844444 44444 = 4A + 2 2 + 2 2 = 4A + 2 2 + 2 ( 4A + 2 2 = 0 ( A = 2 - 2 lA = 2 2 a , I = 1 + t 4 2t 2 # dt = t 2 + 2 .t + 1 2 - 2 t # dt + t 2 - 2 .t + 1 2 2 t # dt = 4 - 2 t 2 + 2 .t + 1 2t.dt # + 4 2 t 2 - 2 .t + 1 2t.dt # I = 4 - 2 t 2 + 2 .t + 1 2t + 2 - 2^ h.dt # + 4 2 t 2 - 2 .t + 1 2t - 2 + 2^ h.dt # I = 4 - 2 t 2 + 2 .t + 1 2t + 2^ h.dt # + 4 2 t 2 - 2 .t + 1 2t - 2^ h.dt # - 4 2 t 2 + 2 .t + 1 - 2^ h.dt # + 4 2 t 2 - 2 .t + 1 2^ h.dt # I = 4 - 2 Ln t 2 + 2 .t + 1 + 4 2 Ln t 2 - 2 .t + 1 + 2 1 t 2 + 2 .t + 1 dt # + 2 1 t 2 - 2 .t + 1 dt # Ahora descompongamos t 2 - 2 .t + 1 = t 2 - 2 .t + 2 1 - 2 1 + 1 = t - 2 1 c m 2 + 2 1 c m 2 t 2 + 2 .t + 1 = t 2 + 2 .t + 2 1 - 2 1 + 1 = t + 2 1 c m 2 + 2 1 c m 2Z [ ]]]]]] ]]]]]] I = 4 - 2 Ln t 2 + 2 .t + 1 + 4 2 Ln t 2 - 2 .t + 1 + 2 1 t + 2 1 c m 2 + 2 1 c m 2 dt # + 2 1 t - 2 1 c m 2 + 2 1 c m 2 dt # Aplicando la formula a2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a 1 arctag a f x^ h I = 4 - 2 Ln t 2 + 2 .t + 1 + 4 2 Ln t 2 - 2 .t + 1 + 2 2 arctag 2 .t + 1^ h + 2 2 arctag 2 .t - 1^ h + cte I = 4 - 2 Ln tagx + 2.tagx + 1 + 4 2 Ln tagx - 2.tagx + 1 + 2 2 arctag 2.tagx + 1^ h + 2 2 arctag 2.tagx - 1^ h + cte I = 4 2 Ln tagx + 2.tagx + 1 tagx - 2.tagx + 1 + 2 2 arctag 2.tagx + 1^ h + 2 2 arctag 2.tagx - 1^ h + cte --------------------------------- Ejercicio 82 I = senx + cosx senx # dx I = senx + cosx senx # dx , sea J = senx + cosx cosx # dx 1 I + J = senx + cosx senx # dx + senx + cosx cosx # dx = senx + cosx senx + cosx # dx = dx = x# CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
2 I - J = senx + cosx senx # dx - senx + cosx cosx # dx = senx + cosx senx - cosx # dx =- senx + cosx -senx + cosx # dx =- Ln senx + cosx 1 + 2 = 2I = x - Ln senx + cosx ( I = 2 1 x - Ln senx + cosx^ h --------------------------------- Ejercicio 83 I = 1 + cosx dx # I = 1 + cosx dx # , sabemos que cos 2 x = 2 1 + cos2x luego 1 + cosx = 2.cos 2 2 x I = 1 + cosx dx # = 2.cos 2 2 x dx # = cos 2 2 x 2 1 dx # = d tag 2 x _ i# = tag 2 x + cte 2º metodo como no se cumple ninguna de las 3 reglas de bioche el cambio de variable sera de t = tag 2 x t = tag 2 x ( cosx = 1 + t2 1 - t2 arctagt = 2 x & 2.arctagt = x & 1 + t2 2.dt = dx Z [ ]]]]] ]]]]] I = 1 + cosx dx # = 1 + 1 + t2 1 - t2 1 + t2 2.dt # = 1 + t2 2.dt 1 + t2 2.dt # = dt = t =# tag 2 x + cte --------------------------------- Ejercicio 84 I = x 2 x.cosx - senx # dx I = x 2 x.cosx - senx # dx ; g x^ h6 @2 lf x^ h.g x^ h - f x^ h. lg x^ h # = g x^ h f x^ h f x^ h = senx ( lf x^ h = cos x g x^ h = x ( lg x^ h = 1 3 ( I = x 2 x.cosx - senx # dx ( I = x senx + cte --------------------------------- Ejercicio 85 I = x 2 Lnx - 1 # dx es de la forma g x^ h6 @2 lf x^ h.g x^ h - f x^ h. lg x^ h # = g x^ h f x^ h I = x 2 Lnx - 1 # dx , f x^ h = Lnx ( lf x^ h = x 1 g x^ h =- x ( lg x^ h =- 1 * 4 ( I = -x^ h2 x 1 -x^ h - Lnx. -1^ h # dx I = x 2 -1 + Lnx # dx = -x Lnx + cte --------------------------------- Ejercicio 86 I = sen 2 x + 1 cosx # dx I = sen 2 x + 1 cosx # dx = sen 2 x + 1 dsenx # , nos recuerda a 1 + x 2 dx # = arctagx luego I = arctag senx^ h + cte CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 87 I = tagx3 # .dx I = tagx3 # .dx , cambio variable t 3 = tagx & x = arctag t3 ^ h & dx = 1 + t 3 ^ h2 3t 2 .dt = 1 + t 6 3t 2 .dt I = t.# 1 + t 6 3t 2 .dt = 1 + t 6 3t 3 .dt # = 1 + t 6 3t 3 .dt # , 1 + t 6 = 1 3 + t 2 ^ h3 = 1 + t 2 ^ h 1 2 - t 2 + t 4 ^ h ahora descompogamos la fraccion 1 + t 6 3t 3 = 1 + t 2 ^ h 1 - t 2 + t 4 ^ h 3t3 1 + t 2 ^ h 1 - t 2 + t 4 ^ h 3t3 = 1 + t 2 At + B + 1 - t 2 + t 4 Ct 3 + Dt 2 + Et + F 3t3 = At + B^ h 1 - t 2 + t 4 ^ h + 1 + t 2 ^ h Ct 3 + Dt 2 + Et + F^ h 3t3 = At - At 3 + At 5 + B - Bt 2 + Bt 4 + Ct 3 + Ct 5 + Dt 2 + Dt 4 + Et + Et 3 + F + Ft2 3t3 = t 5 A + C^ h + t 4 B + D^ h + t 3 -A + C + E^ h + t 2 -B + D + F^ h + t A + E^ h + B + F^ h Aplicando igualdad de polinomios resulta: B + F = 0 & B =- F 6 A + E = 0 & A =- E 5 -B + D + F = 0 & F =- 2D 4 -A + C + E = 3 & E = 3 + 2A 3 B + D = 0 & B =- D 2 A + C = 0 & A =- C 1 _ ` a bbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbb Z [ ]]]]]]]]]]]] ]]]]]]]]]]]] & 2 , 4 y 6 &- B = F =- 2D = D b 1 , 5 y 3 & A =- C =- E =- 3 - 2A aZ [ ]]]]] ]]]] a &- 3 - 2A = A &- 3 = 3A & A =- 1 luego C = E = 1 b &- 2D = D & D = 0 luego B = F = 0 asi que 1 + t 2 ^ h 1 - t 2 + t 4 ^ h 3t3 = 1 + t 2 At + B + 1 - t 2 + t 4 Ct 3 + Dt 2 + Et + F = 1 + t 2 -t + 1 - t 2 + t 4 t 3 + t I = 1 + t 2 -t + 1 - t 2 + t 4 t 3 + t c mdt# = 1 + t 2 -t ` jdt# + 1 - t 2 + t 4 t 3 + t c mdt# I = 2 -1 1 + t 2 2t a kdt# + 4 1 1 - t 2 + t 4 4t 3 + 4t c mdt# en la 2º integral d 1 - t 2 + t 4 ^ h = 4t 3 - 2t I = 2 -1 Ln 1 + t 2 ^ h + 4 1 1 - t 2 + t 4 4t 3 - 2t c mdt# + 4 1 1 - t 2 + t 4 6t a kdt# I = 2 -1 Ln 1 + t 2 ^ h + 4 1 Ln 1 - t 2 + t 4 + 4 1 1 - t 2 + t 4 6t a kdt# , 1 - t 2 + t 4 = t 4 - t 2 + 4 1 - 4 1 + 1 = t 2 - 2 1 ` j 2 + 2 3 c m 2 I = 2 -1 Ln 1 + t 2 ^ h + 4 1 Ln 1 - t 2 + t 4 + 2 3 t 2 - 2 1 ` j 2 + 2 3 c m 2 t f p dt# I = 2 -1 Ln 1 + t 2 ^ h + 4 1 Ln 1 - t 2 + t 4 + 2 3 2 1 t 2 - 2 1 ` j 2 + 2 3 c m 2 2t f p dt# I = 2 -1 Ln 1 + t 2 ^ h + 4 1 Ln 1 - t 2 + t 4 + 4 3 3 2 arctag 2 3 t 2 - 2 1 + cte I = 2 -1 Ln 1 + t 2 ^ h + 4 1 Ln 1 - t 2 + t 4 + 2 3 arctag 3 2t 2 - 1 + cte I = 2 -1 Ln 1 + tagx3^ h 2 _ i + 4 1 Ln 1 - tagx3^ h 2 + tagx3^ h 4 + 2 3 arctag 3 2 tagx3^ h 2 - 1 + cte Ejercicio 88 I = secx.tagx.dx# I = secx.tagx.dx# = cosx 1 # cosx senx dx = cos 2 x senx.dx # =- cos-2 x.d cosx^ h# = cosx 1 + cte ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
----------------------- Ejercicio 89 I = x cotag x # dx I = x cotag x # dx = sen x cos x # x 1 dx = sen x cos x # 2 x 2 dx , d sen x^ h = cos x . 2 x 1 dx I = 2 sen x d sen x^ h # = 2.Ln sen x + cte ----------------------- Ejercicio 90 I = cos 3 x.senx dx # I = cos 3 x.senx dx # = cos 4 x. cosx senx dx # = cos 2 x dx # tagx 1 = tagx 1 # d tagx^ h = 2 tagx + cte ----------------------- Ejercicio 91 I = 2x - 3^ h.tag x 2 - 3x^ h# .dx I = 2x - 3^ h.tag x 2 - 3x^ h# .dx , cambio variable u = x 2 - 3x & du = 2x - 3^ hdx I = tagu.du = cosu senu ## du =- cosu -senu # du =- Ln cosu =- Ln cos x 2 - 3x^ h + cte ----------------------- Ejercicio 92 I = 1 + x 1 - x # dx I = 1 + x 1 - x # dx , cambio variable x = cos2t ( 2 1 arcsenx = t sen 2 t = 2 1 - cos2t cos 2 t = 2 1 + cos2t dx =- 2.sen2t.dtZ [ ]]]]]]]]] ]]]]]]]]] I = 1 + cos2t 1 - cos2t # -2.sen2t.dt^ h = 2cos 2 t 2sen 2 t # -2.sen2t.dt^ h = tagt# . -2.sen2t^ h.dt I =- 2 cost sent # .2sent.cost.dt =- 4 sen 2 t.dt =- 4 2 1 - cos2t ## dt =- 2 dt + 2cos2t.dt =- 2t + sen2t + cte## I =- 2. 2 1 arccosx + 1 - x 2 + cte =- arccosx + 1 - x 2 + cte ----------------------- Ejercicio 93 I = a + b x dx # , b ! 0 I = a + b x dx # se hace cambio de variable t = a + b x ( x = b t - a dt = 2 x b dx & dx = b 2 2 t - a^ h dt Z [ ]]]]]] ]]]]]] I = a + b. b t - a b 2 2 t - a^ h dt # = b 2 2 t t - a dt# = b 2 2 dt# - b 2 2a t dt # I = b 2 2 t - b 2 2a Lnt = b 2 2 a + b x^ h - b 2 2a Ln a + b x^ h + cte Ejercicio 94 I = x dx # CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I = x dx # aqui a = 0 y b = 1 asi que I = 2 x + cte ----------------------- Ejercicio 95 I = 2 + 3 x dx # I = 2 + 3 x dx # aqui a = 2 y b = 3 asi que I = 9 2 2 + 3 x^ h - 9 4 Ln 2 + 3 x^ h + cte Ejercicio 96 I = senx + cosx 1 + cotgx # dx I = senx + cosx 1 + cotgx # dx = senx + cosx 1 + senx cosx # dx = senx + cosx senx senx + cosx # dx = senx dx # I = senx dx # para resolverlo ver ejercicio 18, vamos a utilizar otro metodo I = senx dx # , sea J = senx cosx.dx # cos 2 a = 2 1 + cos2a cos 2 a = 2 1 + cos2a sen2a = 2sena.cosa 1 I + J = senx 1 + cosx.dx # = senx 2cos 2 2 x .dx # = 2sen 2 x cos 2 x 2cos 2 2 x .dx # = 2 sen 2 x 2 1 cos 2 x # dx = 2 sen 2 x d sen 2 x _ i # = 2Ln sen 2 x + ct le 2 I - J = senx 1 - cosx.dx # = senx 2sen 2 2 x .dx # = 2sen 2 x cos 2 x 2sen 2 2 x .dx # = 2 cos 2 x 2 1 sen 2 x # dx =- 2 sen 2 x d cos 2 x _ i # =- 2Ln cos 2 x + ct me 1 + 2 = 2I = 2Ln sen 2 x + ct le - 2Ln cos 2 x + ct me ( I = Ln sen 2 x - 2Ln cos 2 x + cte ( I = Ln tag 2 x + cte ----------------------- Ejercicio 97 I = cos 4 x senx # dx I = cos 4 x senx # dx =- cos-4 x.d cosx^ h# = 3 1 cos-3 x + cte ----------------------- Ejercicio 98 I = 2x. x cosx + 2x.senx # dx I = 2x. x cosx + 2x.senx # dx = 2x x cosx # + x senx = x 2 x cosx + x .senx # dx , x x = x 1 , d g f a k = g 2 lf .g - f. lg g x^ h = x ( lg x^ h = 2 x 1 f x^ h =- cosx ( lf x^ h = senx * 4 asi que I = x -cosx + cte ----------------------- Ejercicio 99 I = x x - a^ h dx # CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I = x x - a^ h dx # , x x - a^ h = x 2 - ax = x 2 - ax + 4 a 2 - 4 a 2 = x - 2 a _ i 2 - 2 a _ i 2 I = x - 2 a _ i 2 - 2 a _ i 2 dx # = Ln x - 2 a + x x - a^ h + cte ----------------------- Ejercicio 100 I = x 1 + x 2 dx # I = x 1 + x 2 dx # , haciendo cambio de variable x = t 1 & dx = t 2 -dt I = t 1 1 + t 1 ` j 2 t 2 -dt # = t 1 t 2 t 2 + t 2 1 t 2 -dt # = t 2 1 t 2 + 1 t 2 -dt # = 1 + t 2 -dt # = Ln t - 1 + t 2 + cte I = Ln t - 1 + t 2 + cte = Ln x 1 - 1 + x 1 ` j 2 + cte ----------------------- Ejercicio 101 I = cos2x dx # I = cos2x dx # = cos 2 x - sen 2 x dx # = cos 2 x 1 - cos 2 x sen 2 x c m dx # = cos 2 x 1 - tag 2 x^ h dx # = 1 - tag 2 x 1# cos 2 x dx = 1 - tag 2 x d tagx^ h # haciendo cambio variable t = tagx ( I = 1 - t 2 dt # , 1 - t 2 1 = 2 1 1 + t 1 + 1 - t 1 8 B I = 2 1 1 + t dt # + 2 1 1 - t dt # = 2 1 Ln 1 + t - 2 1 Ln 1 - t = 2 1 Ln 1 - t 1 + t = Ln 1 - tagx 1 + tagx + cte ----------------------- Ejercicio 102 I = f x^ h6 @2 - a 2 ! lf x^ hdx # = Ln a f x^ h ! f x^ h6 @2 - a2 siendo a ! 0 vamos a demostrar esta igualdad: I = f x^ h6 @2 - a 2 lf x^ hdx # = a a f x^ h : C 2 - 1 lf x^ hdx # = a f x^ h : C 2 - 1 a lf x^ h dx # , a f x^ h : C 2 - 1c mtiene semejanza a cos 2 t 1 - 1 asi que haciendo cambio de variable cos t 1 = a f x^ h ( cos t = f x^ h a cost = f x^ h a ( f x^ h = cos t a & f x^ h6 @2 = cos 2 t a 2 -sent.dt = f x^ h6 @2 -a. lf x^ h.dx & a f x^ h6 @2 .sent.dt = lf x^ h.dx ( Z [ ]]]]]] ]]]]]] lf x^ h.dx = cos 2 t a 2 a sent.dt I = a f x^ h : C 2 - 1 a lf x^ h dx # = tag 2 t cos 2 t sent.dt # = cost dt # se ha aplicado la formula 1 + tag 2 t = cos 2 t 1 I = cos t dt # = 2 1 1 + sent cos t + 1 - sent cos t 8 B# dt = 2 1 1 + sent cos t dt# + 2 1 1 - sent cos t dt# ^ h6 @ CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I = 2 1 Ln 1 + senx^ h - 2 1 Ln 1 - sent^ h = 2 1 Ln 1 - sent 1 + sent = 2 1 Ln 1 - f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 1 + f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 I = 2 1 Ln f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 = 2 1 Ln f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 e o = 2 1 Ln f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 I = 2 1 Ln f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a 2 ^ h f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 = 2 1 Ln a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 = Ln a f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 + cte si I = f x^ h6 @2 - a 2 - lf x^ hdx # sacamos el signo - fuera y seguiendo los mismos pasos que arriba hasta llegar al resultado verde I =- 2 1 Ln f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 = 2 1 Ln f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 I = 2 1 Ln f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 e o = 2 1 Ln f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 = 2 1 Ln f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a 2 ^ h f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 I = 2 1 Ln a 2 f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 = Ln a f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 + cte ----------------------- Ejercicio 103 I = f x^ h6 @2 + a 2 ! lf x^ hdx # = Ln a !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 siendo a ! 0 vamos a demostrar esta igualdad: I = f x^ h6 @2 + a 2 lf x^ hdx # = a a f x^ h : C 2 + 1 lf x^ hdx # = a f x^ h : C 2 + 1 a lf x^ h dx # , a f x^ h : C 2 + 1c mtiene semejanza a tag 2 t + 1 asi que haciendo cambio de variable tagt = a f x^ h tagt = a f x^ h ( 1 + tag 2 t^ h.dt = a lf x^ h.dx I = 1 + tag 2 t 1 + tag 2 t^ h.dt # = 1 + tag 2 t# = cost dt # se ha aplicado la formula 1 + tag 2 t = cos 2 t 1 I = cost dt # = 2 1 1 + sent cost + 1 - sent cost 8 B# dt = 2 1 1 + sent cost dt# + 2 1 1 - sent cost dt# I = 2 1 Ln 1 + senx^ h - 2 1 Ln 1 - sent^ h = 2 1 Ln 1 - sent 1 + sent = 2 1 Ln 1 - f x^ h6 @2 + a 2 f x^ h 1 + f x^ h6 @2 + a 2 f x^ h I = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h e o = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 _ i 2 - f x^ h6 @2 f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h_ i 2 I = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h6 @2 f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h_ i 2 = 2 1 Ln a 2 f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h_ i 2 = Ln a f x^ h + f x^ h6 @2 + a 2 + cte si I = f x^ h6 @2 + a 2 - lf x^ hdx # sacamos el signo - fuera y seguiendo los mismos pasos que arriba hasta llegar al resultado verde I =- 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h e o = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 _ i 2 - f x^ h6 @2 f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h_ i 2 I = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h6 @2 f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h_ i 2 = 2 1 Ln a 2 f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h_ i 2 = Ln a -f x^ h + f x^ h6 @2 + a 2 + cte ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Según el ejercicio 103 se demostro que f x^ h6 @2 + a 2 ! lf x^ h.dx # = Ln a !f x^ h + f x^ h6 @2 + a 2 = Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a 2 - Lna f x^ h6 @2 + a2 ! lf x^ h.dx # = Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 + cte a Pero en todos los libros que tengo aparece de la seguiente forma: f x^ h6 @2 + a2 ! lf x^ h.dx # = Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 + a2 + cte b Derivando a Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 y la b Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 + a2 el es resultado f x^ h6 @2 + a2 ! lf x^ h.dx Pero Ln -f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 ! Ln f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 asi que averiguemos cual es esa diferencia: Ln -f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 + Ln f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 = Ln -f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 _ i f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 _ i = Ln - f x^ h6 @2 + f x^ h6 @2 + a2 = Ln a2 = cte lo que significa que: Ln -f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 = Ln f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 + cte luego las dos formulas son verdaderas ----------------------- Ejercicio 104 I = x 2 + 4 -dx # I = x 2 + 4 -dx # = Ln x - x 2 + 4 + cte A segun la formula b Ln -x + x 2 + 4 + cte A segun la formula a ) Comprobacion a x 2 + 4 -dx # = Ln -x + x 2 + 4 + cte ( derivando A d x 2 + 4 -dx #c m = d Ln -x + x 2 + 4 + cte^ h x 2 + 4 -1 = -x + x 2 + 4 1 -1 + 2 x 2 + 4 2x c m = -x + x 2 + 4 x 2 + 4 - x 2 + 4 + x = x 2 + 4 -1 luego la a es verdadera. b x 2 + 4 -dx # = Ln x - x 2 + 4 + cte ( derivando A d x 2 + 4 -dx #c m = d Ln x - x 2 + 4 + cte^ h x 2 + 4 -1 = x - x 2 + 4 1 1 - 2 x 2 + 4 2x c m = x - x 2 + 4 x 2 + 4 x 2 + 4 - x = x 2 + 4 -1 luego la b es verdadera. asi que ambos resultados son verdaderos. CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 104 I = x 2 + x + 1 x.dx # I = x 2 + x + 1 x.dx # es de la forma ax 2 + bx + c P x^ h = dx d Q x^ h ax 2 + bx + c_ i+ ax 2 + bx + c m Q x^ h es un polinomio de coeficientes a determinar y grado de Q x^ h = grado de P x^ h - 1 = 0 y m nº real a determinar. asi que Q x^ h = cte = A luego dx d A x 2 + x + 1^ h = 2 x 2 + x + 1 A 2x + 1^ h ax 2 + bx + c P x^ h = x 2 + x + 1 x = 2 x 2 + x + 1 A 2x + 1^ h + x 2 + x + 1 m = x 2 + x + 1 Ax + 2 A + m ( 2 A + m = 0 A = 1 ) ( m = 2 -1 A = 1 ) I = x 2 + x + 1 x.dx # = dx d 1. x 2 + x + 1^ hdx# + x 2 + x + 1 2 -1 # dx = x 2 + x + 1 - 2 1 x 2 + x + 1 dx # I = x 2 + x + 1 - 2 1 x 2 + x + 4 1 - 4 1 + 1 dx # = x 2 + x + 1 - 2 1 x + 2 1 ` j 2 + 2 3 c m 2 dx # Aplicando la formula f x^ h6 @2 + a 2 ! lf x^ hdx # = Ln a !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 siendo a ! 0 I = x 2 + x + 1 - 2 1 Ln 2 3 x + 2 1 + x 2 + x + 1 + cte ----------------------- Ejercicio 105 I = 1 - x 2 1 - x - 1 + x # dx I = 1 - x 2 1 - x - 1 + x # dx , 1 - x y 1 + x nos hace pensar en la formulas sen 2 t = 2 1 - cos 2t cos 2 t = 2 1 + cos 2t * asi que hagamos el cambio de variable x = cos 2t ( dx =- 2sen2t.dt , luego I queda de la seguiente forma I = 1 - cos 2 2t 1 - cos2t - 1 + cos2t # -2sen2t.dt^ h =- 2 sen 2 2t 2 .sent - 2 . cos t # sen2t.dt =- 2 2 sen2t sent - cost # dt I =- 2 2 2sent.cost sent - cost # dt =- 2 sent.cost sent # dt + 2 sent.cost cost # dt =- 2 cost dt # + 2 sent dt # ver ejercicios 18 y 102 cost dt # = 2 1 Ln 1 - sent 1 + sent , sent dt # = 2 1 Ln 1 + cos t 1 - cos t x = cos2t & x = cos 2 t - sen 2 t = 1 - 2sen 2 t & 2 1 - x = sen 2 t & sent = 2 1 - x supongamos que estamos en el 1 cuadrante sent = 2 1 - x UA cost = 2 1 + x se deduce del triangulo I = 2 - 2 Ln 1 - 2 1 - x 1 + 2 1 - x + 2 2 Ln 1 + 2 1 + x 1 - 2 1 + x = 2 - 2 Ln 2 - 1 - x 2 + 1 - x + 2 2 Ln 2 + 1 + x 2 - 1 + x + cte I = 2 2 Ln 2 + 1 - x^ h 2 + 1 + x^ h 2 - 1 + x^ h 2 - 1 - x^ h + cte ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
2º metodo I = 1 - x 2 1 - x - 1 + x # dx = 1 - x 2 1 - x # dx - 1 - x 2 1 + x # dx = 1 - x^ h 1 + x^ h 1 - x # dx - 1 - x^ h 1 + x^ h 1 + x # dx I = 1 - x^ h 1 + x^ h dx # - 1 - x^ h 1 + x^ h dx # A = 1 - x^ h 1 + x^ h dx # , haciendo cambio de variable t 2 = 1 - x ( x = 1 - t 2 2t.dt =- dx % A = 2 - t 2 ^ h.t -2t.dt # =- 2 2^ h 2 - t 2 dt # =- 2 2 2 1 Ln 2 - t 2 + t = 2 - 2 Ln 2 - 1 - x 2 + 1 - x + ct le B = 1 + x^ h 1 - x^ h dx # , haciendo cambio de variable t 2 = 1 + x ( x = t 2 - 1 2t.dt = dx % B = 2 - t 2 ^ h.t 2t.dt # = 2 2^ h 2 - t 2 dt # = 2 2 2 1 Ln 2 - t 2 + t = 2 2 Ln 2 - 1 + x 2 + 1 + x + ct me I = 2 - 2 Ln 2 - 1 - x 2 + 1 - x + 2 2 Ln 2 - 1 + x 2 + 1 + x + cte I = 2 2 Ln 2 + 1 - x^ h 2 + 1 + x^ h 2 - 1 + x^ h 2 - 1 - x^ h + cte ---------------------- Ejercicio 106 I = 4 - 9e 2x e x .dx # I = 4 - 9e 2x e x .dx # = 3 1 2^ h2 - 3e x ^ h2 3e x .dx # es de la forma a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = -arccos a f x^ h + cte arcsen a f x^ h + cte Z [ ]]]]] ]]]]] I = - 3 1 arccos 2 3e x + cte 3 1 arcsen 2 3e x + cte Z [ ]]]]] ]]]] ----------------------- Ejercicio 107 I = tag 2 x - 1 tagx + 1 # dx I = tag 2 x - 1 tagx + 1 # dx = tagx + 1^ h tagx - 1^ h^ h tagx + 1^ h # dx = cosx senx - 1 dx # = senx - cosx cosx.dx # 1 I = senx - cosx cosx.dx # , sea 2 J = senx - cosx senx.dx # A = 1 + 2 = I + J = senx - cosx cosx + senx^ h.dx # = Ln senx - cosx B = 1 - 2 = I - J = senx - cosx cosx - senx^ h.dx # =- dx =- x# A + B = 2I =- x + Ln senx - cosx ( I = 2 -x + Ln senx - cosx + cte ----------------------- Ejercicio 108 I = x 1 - x^ h arcsen x # dx I = x 1 - x^ h arcsen x # dx se nos fijamos se ve que dx d arcsen x^ h = 1 - x 1 2 x 1 dx I = x 1 - x^ h arcsen x # dx = 2 arcsen x 1 - x 1 2 x 1 # dx = 2 arcsen x t 6 7 844444 44444 # d arcsen x t 6 7 844444 44444c m I = 2 2 1 arcsen x^ h 2 + cte = arcsen x^ h 2 + cte ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 109 I = x 1 - Lnx dx# I = x 1 - Lnx dx# se nos fijamos se ve que dx d 1 - Lnx^ h = x 1 dx I = x 1 - Lnx dx# = 1 - Lnx^ h2 1 # d 1 - Lnx^ h = 3 2 1 - Lnx^ h2 3 + cte ----------------------- Ejercicio 110 I = Ln 4 + x^ hdx I = Ln 4 + x^ hdx , haciendo cambio de 4 + x = e t & x = e t - 4 & 2 x dx = e t .dt & dx = 2e 2t - 8e t ^ hdt Ln 4 + x^ h = t * I = 2 te 2t .dt - 8 te t .dt## la forma mas facil de integrar es por partes te t .dt# dv = e t & v = e t u = t & du = dt % ( te t .dt# = te t - e t dt# = te t - e t te 2t .dt# dv = e 2t & v = 2 1 e 2t u = t & du = dt ) ( te 2t .dt# = 2 1 te 2t - 2 1 e 2t dt# = 2 1 te 2t - 4 1 e 2t I = te 2t - 2 1 e 2t - 8te t + 8e t + cte e t ^ h2 = e 2t I = 4 + x^ h 2 Ln 4 + x^ h - 2 1 4 + x^ h 2 - 8 4 + x^ hLn 4 + x^ h + 8 4 + x^ h + cte ----------------------- Integrales de la Forma cx + d^ h ax 2 + bx + c la x + lb # dx 1º Paso dividir: b la x + lb a cx + dg ( cx + d la x + lb = a + cx + d b 2º Paso cx + d^ h ax 2 + bx + c la x + lb # dx = ax 2 + bx + c a.dx # A 6 7 84444444444 4444444444 + cx + d^ h ax 2 + bx + c b.dx # B 6 7 8444444444444444 444444444444444 3º Paso Para A = a. ax 2 + bx + c dx # , utilizar 4a b 2 para transformarlo de la seguiente forma: x - i^ h2 - c 2 dx # , x - i^ h2 + c 2 dx # , c 2 - x - i^ h2 dx # y utilizar las formulas: f x^ h6 @2 + a 2 ! lf x^ h.dx # = Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 + a 2 + cte Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a 2 + cte * f x^ h6 @2 - a 2 ! lf x^ h.dx # = Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - a 2 + cte a 2 - f x^ h6 @2 ! lf x^ h.dx # = "arcos a f x^ h + cte !arcsen a f x^ h + cte Z [ ]]]]] ]]]]] si no se recuerda de las formulas utilizad cambio de variables trigonometricas 4º Paso Para B = b. cx + d^ h ax 2 + bx + c dx # , hacemos cambio de variable cx + d = t 1 La B se transformara en una integral parecida a la A;es deecir de la forma seguiente: B = m at 2 + bt + d dt # , hacemos lo del paso 3º y quedara resuelto. ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 111 I = x - 1^ h x 2 + 1 x + 2^ hdx # I = x - 1^ h x 2 + 1 x + 2^ hdx # , - 3 ---- x - 1 x + 2 1 x - 1g ( x - 1^ h x + 2^ h = 1 + x - 1^ h 3 I = 1 + x - 1^ h 3 : D# x 2 + 1 dx = x 2 + 1 dx # + 3 x - 1^ h x 2 + 1 dx # x 2 + 1 dx # = Ln x + x 2 + 1 + cte ver ejercicio 102 x - 1^ h x 2 + 1 dx # haciendo cambio variable x - 1 = t 1 & t = x - 1 1 x = t 1 + 1 dx = t 2 -1 dt Z [ ]]]]]]]] ]]]]]]]] t 1 t 2 1 + t 2 + 2 t 2 -1 dt # = t 1 t 2 1 + t 2 2t + t 2 2t 2 t 2 -1 dt # = t 2 1 2t 2 + 2t + 1 t 2 -1 dt # =- 2t 2 + 2t + 1 dt # =- 2t 2 + 2t + 2 1 - 2 1 + 1 dt # =- 2 t + 2 1 c m 2 + 2 1 c m 2 dt # =- 2 1 2 t + 2 1 c m 2 + 2 1 c m 2 2 dt # = 2 2 2 t + 2 2 c m 2 + 2 2 c m 2 - 2 dt # = 2 2 Ln 2 t + 2 2 c m - 2 t + 2 2 c m 2 + 2 2 c m 2 + cte I = Ln x + x 2 + 1 + 2 3 2 Ln x - 1 2 + 2 2 c m - x - 1 2 + 2 2 c m 2 + 2 2 c m 2 + cte ----------------------- Ejercicio 112 I = 1 - x arcsen x # dx I = 1 - x arcsen x # dx , dv = 1 - x dx ( v =- 2 1 - x u = arcsen x ( du = 1 - x 1 2 x 1 dx Z [ ]]]]] ]]]]] I =- 2 1 - x .arcsen x - -2 1 - x# 1 - x 1 2 x 1 dx =- 2 1 - x .arcsen x + x dx # I =- 2 1 - x .arcsen x + 2 x + cte ----------------------- Ejercicio 113 I = e x + 1 + 1 e x # dx I = e x + 1 + 1 e x # dx , cambio variable e x + 1 = t ( e x = t - 1 & e x .dx = dt & dx = t - 1 dt e x + 1 = t e x = t - 1Z [ ]]]]] ]]]]] I = t + 1 t - 1 # t - 1 dt = t + 1 dt # , cambio variable t = n & 2 t dt = dn & dt = 2n.dn I = n + 1 2n.dn # = 2 n + 1 n.dn # , n + 1 n = 1 - n + 1 1 I = 2 dn# - 2 n + 1 dn # = 2n - 2Ln n + 1 = 2 t - 2Ln t + 1 + cte I = 2 e x + 1 - 2Ln e x + 1 + 1 + cte ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 114 I = x 2 3 # Ln x 1 dx I = x 2 3 # Ln x 1 dx integrando por partes dv = x 2 3 & v = 5 2 x 2 5 u = Ln x 1 & du = x.dx * I = 5 2 x 2 5 Ln x 1 - 5 2 x 2 7 # dx = 5 2 x 2 5 Ln x 1 - 5 2 9 2 x 2 9 + cte I = 5 2 x 2 5 Ln x 1 - 45 4 x 2 9 + cte ----------------------- Ejercicio 115 I = cosx.Ln senx^ h.dx# I = cosx.Ln senx^ h.dx# integrando por partes u = Ln senx^ h & du = senx cosx dx = cotgx.dx dv = cosx.dx & v = senx I = senx.Ln senx^ h - senx.# cotgx.dx = senx.Ln senx^ h - cosx# .dx I = Ln senx^ hsenx - senx + cte ----------------------- Ejercicio 116 I = senx. 1 - cosx# dx I = senx. 1 - cosx# dx =- 1 - cosx d cosx^ h# = 1 - cosx d 1 - cosx^ h# I = u .du siendo u = 1 - cosx# I = 3 2 u 2 3 = 3 2 1 - cosx^ h2 3 + cte 2º metodo I = senx. 1 - cosx# dx = senx. 2sen 2 x# dx aplicando la formula sen 2 x = 2 1 - cos2x I = 2 senx.sen 2 x # dx = 2 2sen 2 x cos 2 x .sen 2 x # dx aplicando la formula senx = 2sen 2 x cos 2 x I = 2 2 sen 2 2 x cos 2 x # dx = 4 2 sen 2 2 x # d sen 2 x _ i porque d sen 2 x _ i = 2 1 cos 2 x I = 3 4 2 sen 3 2 x + cte , 3 4 2 sen 3 2 x = 3 4 2 sen 2 x _ i 3 = 3 4 2 2 1 - cosx` j 3 = 3 4 2 2 2 1 - cosx^ h2 3 = 3 2 1 - cosx^ h2 3 ----------------------- Ejercicio 117 I = x 3 # e-4x2 .dx I = x 3 # e-4x2 .dx si nos fijamos bien,se observa que derivada e-4x2 ^ h =- 8x.e-4x2 .dx asi que mejor hacer aparecer en la integral x.e-4x2 .dx I = x 3 # e-4x2 .dx = x 2 # .x.e-4x2 .dx , ahora pasemos a integrar por partes dv = x.e-4x2 dx ( v = 8 -1 e-4x2 u = x 2 ( du = 2x.dx * I = x 2 8 -1 e-4x2 ` j - 8 -1 e-4x2 # 2x.dx = 8 -1 x 2 e-4x2 ` j + 4 1 xe-4x2 # .dx I = 8 -1 x 2 e-4x2 + 4 1 - 8 1 ` je-4x2 = e-4x2 8 -1 x 2 - 32 1` j + cte ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 118 I = cos 3x# .dx I = cos 3x# .dx cambio variable u = 3x & du = 2 3 x dx & dx = 3 2.u.du x = 3 uZ [ ]]]]]] ]]]]]] I = cosu# . 3 2.u.du = 3 2 u.# cosu.du , ahora pasemos a integrar por partes dw = cosudu ( w = senu v = u ( dv = du $ I = usenu - senudu# = usenu + cosu = 3x sen 3x + cos 3x + cte ----------------------- Ejercicio 119 I = 1 + x 2 dx# I = 1 + x 2 dx# , cambio variable u = 1 + x & du = 2 x dx & 2 x du = dx & 2 u - 1^ hdu = dx x = u - 1 * I = 2 u 2 u - 1^ h du# = 4 u u - 1^ hdu = 4 du - 4 u du ### = 4u - 4Lnu + cte I = 4 1 + x^ h - Ln 1 + x^ h + cte ----------------------- Ejercicio 120 I = 1 + e x dx # I = 1 + e x dx # cambio variable u = 1 + e x & du = e x dx & u - 1 du = dx I = u u - 1 du # = u - 1 u # du = u - 1 u - 1 + 1 # du = 1# du + u - 1 du # = 1# du + u - 1 d u - 1^ h # I = u + Ln u - 1^ h + cte = 1 + e x + Lne x + cte = 1 + e x + x + cte = e x + x + ct le ----------------------- f x,y^ h a b # dx $ x d a,b6 @ , f x,y^ h a b # dy $ y d a,b6 @ Ejercicio 121 y 2 = 4x ( x = 4 y 2 y = 4x * 1 calcula f y^ h 0 4 # dy = 4 y 2 dy = 4 1 0 4 # y 2 0 4 # dy = = 4 1 3 y 3 : C 0 4 = 4 1 3 4 3 a k- 3 0 3 a k: C = 12 64 u 2 = 3 16 u 2 ver dibujo 3 16 u 2 $ es el area comprendida entre la funcion f x^ h y el eje y en el intervalo 0,46 @. 2 calcula f x^ h 0 4 # dx = 4x dy = 2 0 4 # x 0 4 # dy = = 2 3 2x 2 3 ; E 0 4 = 3 4 x 2 3 6 @0 4 = 3 4 4 2 3 ^ h - 0 2 3 ^ h7 A = 3 32 u 2 ver dibujo 3 32 u 2 $ es el area comprendida entre la funcion f x^ h y el eje x en el intervalo 0,46 @. ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 122 I = x - 1 dx 2 3 # I = x - 1 dx 2 3 # aqui la funcion f x^ h = x - 1 1 es continua en el intervalo 2,36 @ I = 2 x - 16 @2 3 = 2 3 - 1^ h - 2 2 - 1^ h6 @ = 2 2 - 26 @ = 2 2 - 16 @ u 2 las integrales definidas AA Area AA unidad al cuadrado ----------------------- Ejercicio 123 I = x - 1 dx 1 3 # I = x - 1 dx 1 3 # aqui la funcion f x^ h = x - 1 1 no es continua en 1,36 @ ya que no esta definida en x = 1 lo que nos indica que I es una integral impropia,luego I = x - 1 dx 1 3 # = lim a"1+ x - 1 dx a 3 # = lim a"1+ 2 x - 16 @a 3 = lim a"1+ 2 3 - 1^ h - 2 a - 1^ h6 @ = lim a"1+ 2 2 - lim a"1+ 2 a - 1^ h =0 6 7 844444 44444 I = 2 2 u 2 ----------------------- Ejercicio 124 I = Ln 1 - x^ hdx# I = Ln 1 - x^ hdx# , cambio variable e t = 1 - x ( dx = -2e t + 2e 2t ^ hdt x = 1 - e t & x = 1 - e t ^ h2 = 1 - 2e t + e 2t t = Ln 1 - x^ hZ [ ]]]]] ]]]] I = t# . -2e t + 2e 2t ^ hdt =- 2 t.et # dt A 6 7 84444 4444 + 2 t.e2t # dt B 6 7 844444 44444 resolviendo por partes las integrales A y B A = t.et dv = et & v = et u = t & du = dt $ ( A = t.et - et # dt = t.et - et B = t.e2t dv = e2t & v = 2 1 e2t u = t & du = dt ) ( B = 2 1 t.e2t - 2 1 e2t # dt = 2 1 t.e2t - 4 1 e2t luego I =- 2t.et + 2et + t.e2t - 2 1 e2t = 2et -t + 1^ h + e2t t - 2 1 ` j+ cte I = 2 1 - x^ h 1 - Ln 1 - x^ h6 @ + 1 - x^ h 2 Ln 1 - x^ h - 2 1 8 B + cte ----------------------- Ejercicio 125 I = x 2 5 - x 2 dx # I = x 2 5 - x 2 dx # = 5 .x 2 . 1 - 5 x a k 2 dx # , cambio variable sent = 5 x & cost = 5 5 - x 2 cost.dt = 5 dxZ [ ]]]]]] ]]]]]] I = 5.sen 2 t. 5 .cost 5 .cost.dt # = 5 1 sen 2 t dt # =- 5 1 cotgt =- 5 1 x 5 - x 2 =- 5x 5 - x 2 + cte ----------------------- Ejercicio 126 I = x56 + x x + 5 x23 # dx I = x56 + x x + 5 x23 # dx , m.c.m 2,3,6^ h = 6 luego cambio variable x = t 6 & t = x6 dx = 6t 5 .dt ( CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I = t5 + t6 t3 + 5t4 # 6t5 .dt = t5 1 + t^ h t3 + 5t4 # 6t5 .dt = 6 1 + t^ h t3 + 5t4 # dt 4 ----- -4t - 4 -4t ----- 4t2 + 4t 4t2 ----- -4t3 - 4t2 -4t3 ----- 5t3 + 5t4 t3 + 5t4 5t3 - 4t2 + 4t - 4 1 + tg I = 6 5t 3 - 4t 2 + 4t - 4^ hdt + 6 1 + t 4dt ## = 4 30 t 4 - 3 24 t 3 + 2 24 t 2 - 24t + 24Ln 1 + t + cte I = 2 15 x 46 - 8 x 36 + 12 x 26 - 24 x6 + 24Ln 1 + x6 + cte I = 2 15 x 23 - 8 x + 12 x3 - 24 x6 + 24Ln 1 + x6 + cte ----------------------- Ejercicio 127 I = 4x - x 2 # dx I = 4x - x 2 # dx = -x 2 + 4x# dx = -x 2 + 4x - 4 + 4# dx = - x 2 - 4x + 4^ h + 4# dx = I = - x - 2^ h2 + 2 2 # dx = 2 2 - x - 2^ h2 dx = 2 1 - 2 x - 2` j 2 ## dx cambio variable sent = 2 x - 2 ( cost = 2 4x - x 2 cost.dt = 2 1 dx & dx = 2.cost.dt Z [ ]]]]] ]]]]] I = 2cost.2cost.dt# = 4 cos 2 t.dt = 4 2 1 + cos2t ## dt = 2 1 + cos2t^ hdt =# 2t + sen2t + cte I = 2t + 2sent.cost + cte = 2arcsen 2 x - 2 + 2 2 x - 2 2 4x - x 2 + cte I = 2arcsen 2 x - 2 + 2 x - 2^ h 4x - x 2 + cte ----------------------- Ejercicio 128 I = cx + d^ h ax + b dx # siendo a.c ! 0 I = cx + d^ h ax + b dx # , cambio variable t = ax + b & x = a t 2 - b t 2 = ax + b & 2t.dt = adx * I = a c a t 2 - b + da kt 2t.dt # = 2 c.t 2 - c.b + a.d^ h dt # = c 2 t 2 - b + c a.d dt # = c 2 t 2 + -b + c a.d ` j dt # = c 2 t 2 + c a.d - bc` j dt # si c 2 0 y ad - bc 2 0 o bien c 1 0 y ad - bc 1 0 I = c 2 t 2 + c a.d - bc` ja k 2 dt # = c 2 a.d - bc c _ i arctagt a.d - bc c _ i + cte = c 2 a.d - bc c _ i arctag ax + b a.d - bc c _ i + cte si c 1 0 y ad - bc 2 0 o bien c 2 0 y ad - bc 1 0 I = c 2 t 2 - - c a.d - bc` ja k 2 dt # =- c 2 - c a.d - bc` ja k 2 - t 2 dt # =- c 2 2 - c a.d - bc` j 1 Ln - c a.d - bc` j - t - c a.d - bc` j + t CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I =- c - c a.d - bc` j 1 Ln - c a.d - bc` j - ax + b - c a.d - bc` j + ax + b + cte ----------------------- Ejercicio 129 I = 1 - x + 1 + x dx # I = 1 - x + 1 + x dx # = 1 - x + 1 + x 1 # 1 - x - 1 + x 1 - x - 1 + x dx = -2x 1 - x - 1 + x # dx I = -2x 1 - x # dx + 2x 1 + x # dx = 2 -1 x 1 - x 1 - x # dx + 2 1 x 1 + x 1 + x # dx I = 2 -1 x 1 - x 1 # dx + 2 1 x 1 - x x # dx + 2 1 x 1 + x 1 # dx + 2 1 x 1 + x x # dx I = 2 -1 x 1 - x dx # A 6 7 8444444 444444 + 2 1 1 - x dx # B 6 7 844444 44444 + 2 1 x 1 + x dx # C 6 7 8444444 444444 + 2 1 1 + x dx # D 6 7 844444 44444 ver ejercicio anterior A = x 1 - x dx # c = 1 , d = 0 , a =- 1 , b = 1 AA c 2 0 y ad - bc =- 1 A =- Ln 1 - 1 - x 1 + 1 - x + cte1 B = 1 - x dx # =- 1 - x d 1 - x^ h # =- 2 1 - x + cte2 C = x 1 + x dx # c = 1 , d = 0 , a = 1 , b = 1 AA c 2 0 y ad - bc =- 1 C =- Ln 1 - 1 + x 1 + 1 + x + cte3 D = 1 + x dx # = 1 + x d x + 1^ h # = 2 1 + x + cte4 por ultimo I = 2 1 Ln 1 - 1 - x 1 + 1 - x - 1 - x - 2 1 Ln 1 - 1 + x 1 + 1 + x + 1 + x + cte I = 2 1 Ln 1 - 1 - x^ h 1 + 1 + x^ h 1 + 1 - x^ h 1 - 1 + x^ h + 1 + x - 1 - x + cte ----------------------- Ejercicio 130 I = 2 - cos 2 t dt 0 3 r # , f x^ h = 2 - cos 2 t 1 existe Ssi 2 - cos 2 t ! 0 & cost !! 2 verdadero porque - 1 # cos t # 1 I = 2 - cos 2 t dt 0 3 r # , segun la regla de Bioche vemos que el cambio de variable es tagt = n tagt = n & t " 3 r & tag 3 r = 3 = n t " 0 & tag0 = 0 = n 1 + tag 2 t^ hdt = dn & dt = 1 + n 2 dnZ [ ]]]]]]] ]]]]]]] luego I = 2 - cos 2 t dt = 0 3 r # 2 - 1 + n 2 1 1 + n 2 dn 0 3 # = 1 + n2 1 + 2n 2 1 + n2 dn 0 3 # = 1 + 2 n^ h 2 dn 0 3 # I = 2 1 1 + 2 n^ h 2 2 dn 0 3 # = 2 1 arctag 2 n^ h6 @0 3 = 2 1 arctag 6 En las integrales definidas una vez hecho cambio de variable y tambien lo de los lim ites inf erior y sup erior no hace falta volver a remplazar por la variable original para hallar el resultado. CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 131 I = f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 lf x^ h # dx I = f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 lf x^ h # dx = a.f x^ h a f x^ h : C 2 + 1 lf x^ h # dx a f x^ h : C 2 + 1c mtiene un parecido a 1 + tag 2 t asi que haciendo cambio de variable tagt = a f x^ h & cost = f x^ h6 @2 + a 2 a cos 2 t 1 dt = a lf x^ h dx Z [ ]]]]]] ]]]]]] I = a tagt cost a a cos 2 t dt # = a cos 2 t sent cos 2 t dt # = a 1 sent dt # = 2a 1 Ln 1 + cost 1 - cost + cte ver ejercicio 18 I = 2a 1 Ln 1 + f x^ h6 @2 + a 2 a 1 - f x^ h6 @2 + a 2 a = 2a 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 + a f x^ h6 @2 + a 2 - a s X y z por el conjugado del numenador I = 2a 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 + a f x^ h6 @2 + a 2 - a f x^ h6 @2 + a 2 + a f x^ h6 @2 + a 2 + a = 2a 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 + a_ i 2 f x^ h6 @2 I = a 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 + a f x^ h =- a 1 Ln f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + a + cte ahora bien si la s X y z por el conjugado del denomenador I = 2a 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 + a f x^ h6 @2 + a 2 - a f x^ h6 @2 + a 2 - a f x^ h6 @2 + a 2 - a = 2a 1 Ln f x^ h6 @2 f x^ h6 @2 + a 2 - a_ i 2 I = a 1 Ln f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 - a = a 1 Ln f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 - a + cte Asi podemos concluir que: f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 lf x^ h # dx = - a 1 Ln f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + a + cte a 1 Ln f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 - a + cte Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] ----------------------- Ejercicio 132 I = f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 lf x^ h # dx I = f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 lf x^ h # dx = a.f x^ h a f x^ h : C 2 - 1 lf x^ h # dx a f x^ h : C 2 - 1c mtiene un parecido a cos 2 t 1 - 1 = tag 2 t asi que haciendo cambio de variable cost 1 = a f x^ h & cost = f x^ h a tagt = a f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h = cost a -sent.dt = f x^ h6 @2 -a lf x^ hdx & lf x^ hdx = cos 2 t a.sent.dt Z [ ]]]]]]]]]] ]]]]]]]]] I = cost a a.tagt cos 2 t a.sent.dt # = a 1 # dt = a 1 t = a 1 arctag a f x^ h6 @2 - a 2 + cte o bien a 1 arccos f x^ h a + cte Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 133 I = f x^ h a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx I = f x^ h a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a.f x^ h 1 - a f x^ h : C 2 lf x^ h # dx 1 - a f x^ h : C 2 c mtiene un parecido a 1 - sen 2 t asi que haciendo cambio de variable sent = a f x^ h & cost = a a 2 - f x^ h6 @2 f x^ h = a.sent cost.dt = a lf x^ h dx Z [ ]]]]]]]] ]]]]]]]] I = a.sent.a.cost a.cost.dt # = a 1 sent dt # = a 1 2 1 Ln 1 + cost 1 - cost = 2.a 1 Ln 1 + a a 2 - f x^ h6 @2 1 - a a 2 - f x^ h6 @2 I = 2.a 1 Ln a + a 2 - f x^ h6 @2 a - a 2 - f x^ h6 @2 s X y z por el conjugado del numenador I = 2.a 1 Ln a + a 2 - f x^ h6 @2 a - a 2 - f x^ h6 @2 a + a 2 - f x^ h6 @2 a + a 2 - f x^ h6 @2 = 2.a 1 Ln a + a2 - f x^ h6 @2 _ i 2 f x^ h6 @2 = a 1 Ln a + a2 - f x^ h6 @2 f x^ h + cte I =- a 1 Ln f x^ h a + a2 - f x^ h6 @2 + cte ahora bien si la s X y z por el conjugado del denomenador I = 2.a 1 Ln a + a 2 - f x^ h6 @2 a - a 2 - f x^ h6 @2 a - a 2 - f x^ h6 @2 a - a 2 - f x^ h6 @2 = 2.a 1 Ln f x^ h6 @2 a - a2 - f x^ h6 @2 _ i 2 = I = a 1 Ln f x^ h a - a2 - f x^ h6 @2 + cte Asi podemos concluir que: f x^ h a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = - a 1 Ln f x^ h a + a2 - f x^ h6 @2 + cte a 1 Ln f x^ h a - a2 - f x^ h6 @2 + cte Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] ----------------------- Ejercicio 134 I = x 2 x 4 + 4 x.dx # I = x 2 x 4 + 4 x.dx # = 2 1 x 2 x 2 ^ h2 + 4 2x.dx # = 4 1 Ln x 2 x 4 + 4 - 2 + cte 4 -1 Ln x 2 x 4 + 4 + 2 + cte Z [ ]]]]]] ]]]]]] ver ejercicio nº 131 2º metodo I = x 2 x 4 + 4 x.dx # = x x 4 + 4 dx # , cambio variable x = t 1 & dx = t 2 -1 dt I = t 1 t 4 1 + 4 t 2 -1 dt # = t 1 t 4 4t 4 + 1 t 2 -1 dt # = t 3 1 4t 4 + 1 t 2 -1 dt # =- 2t 2 ^ h2 + 1 t dt # =- 4 1 2t 2 ^ h2 + 1 4t dt # aplicando la formula: f x^ h6 @2 + a 2 ! lf x^ h # dx = Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a 2 + cte I =- 4 1 Ln 2t 2 + 4t 4 + 1 + cte =- 4 1 Ln 2 x 1 ` j 2 + 4 x 1 ` j 4 + 1 + cte =- 4 1 Ln x 2 2 + x 4 4 + 1 + cte I =- 4 1 Ln x 2 2 + x 2 x 4 + 4 + cte =- 4 1 Ln x 2 2 + x 4 + 4 + cte CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 135 I = x 1 + x^ h 1 1 +3 # dx I = x 1 + x^ h dx 1 +3 # la funcion f x^ h = x 1 + x^ h 1 existe Ssi x !- 1 x 2 0 % y como nuestro intervalo de trabajo es 1, + 36 6 luego f x^ h existe y es continua en 1, + 36 6 haciendo cambio de variable x = t 2 & x "+3 & t "+3 x " 1 & t " 1 t = x x d 1, + 36 6 dx = 2t.dtZ [ ]]]]] ]]]]] I = lim a"+3 t. 1 + t 2 ^ h 2t.dt 1 a # = 2 lim a"+3 1 + t 2 ^ h dt 1 a # = 2 lim a"+3 arctag t^ h6 @1 a = 2 lim a"+3 arctag a^ h - arctag 1^ h6 @ I = 2 lim a"+3 arctag a^ h - 4 r8 B = 2 2 r - 4 r8 B = 2 r u 2 sabiendo que lim a"-3 arctag a^ h6 @ =- 2 r lim a"+3 arctag a^ h6 @ = 2 r * ----------------------- Ejercicio 136 I = x.e-x2 dx -1 +3 # I = x.e-x2 dx -1 +3 # , f x^ h = x.e-x2 es continua en -1, + 36 @ I = x.e-x2 dx -1 +3 # = lim a"+3 x.e-x2 dx -1 a # = 2 -1 lim a"+3 -2.x.e-x2 dx -1 a # = 2 -1 lim a"+3 e-x2 6 @-1 a I = 2 -1 lim a"+3 e-a2 - e- -1^ h 2 6 @ = 2 -1 lim a"+3 e-a2 6 @ =0 6 7 844444 44444 + 2 1 lim a"+3 e-1 6 @ = 2e 1 u 2 ----------------------- Ejercicio 137 I = x.Lnx 0 1 # dx I = x.Lnx 0 1 # dx , f x^ h = x.Lnx la funcion existe Ssi x 2 0 y como el intervalo que estamos es 0,16 @ f x^ h no esta definida en 0 A es una integral impropia luego: resolvamoslo por partes I = lim a"0+ x.Lnx a 1 # dx recuerda la palabra ILATE dv = x.dx & v = 2 1 x 2 u = Lnx & du = x 1 dx * I = lim a"0+ 2 1 x 2 Lnx8 Ba 1 - 2 1 lim a"0+ x. a 1 # dx = lim a"0+ 2 1 x 2 Lnx8 Ba 1 - 4 1 lim a"0+ x 2 6 @a 1 I = lim a"0+ 2 1 1 2 Ln1 =0 6 7 84444 4444 - 2 1 a 2 Lna > H - 4 1 lim a"0+ 1 2 - a 2 =0 ?: D =- 2 1 lim a"0+ a 2 Lna6 @ - 4 1 lim a"0+ a 2 Lna6 @ = 0. -3^ h es una forma indeterminada lim a"0+ a 2 Lna6 @ = lim a"0+ a 2 1 Lna = +3 -3 aplicando hopital(mas bien Bernoulli) lim a"0+ a 2 Lna6 @ = lim a"0+ a 3 -2 a 1J L KKKKKKK N P OOOOOOO = lim a"0+ 2 -1 a 2 ` j = 0 luego I = 4 -1 el signo - nos indica que el area esta debajo de OX Por ultimo I = 4 1 u 2 recordad que que el area siempre es positiva ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 138 I = x Lnx dx 1 e # La funcion f x^ h = x Lnx existe si y sólo si Lnx $ 0 & x $ 1 x ! 0 $ luego D f = 1, + 36 6 Y como nuestro intervalo de trabajo es 1,e6 @ 1 1, + 36 6& f x^ hesta definido en 1,e6 @ I = x Lnx dx 1 e # , cambio de variable Lnx = t & x " e & Lne = 1 & t " 1 x " 1 & ln1 = 0 & t " 0 x = e t x dx = dt & dx = e t .dt Z [ ]]]]]] ]]]]]] I = e t t 0 1 # e t .dt = t 0 1 # .dt = 3 2 t 2 3 8 B0 1 = 3 2 u 2 ----------------------- Ejercicio 139 I = 1 + x 2 arctag x^ h dx 0 1 # la funcion f x^ h = 1 + x 2 arctag x^ h = g x^ h h x^ h , h x^ h y g x^ h estan definidas y continuas en R por lo tanto f x^ h esta definida y continua en R & f x^ h es definida y continua en 0,16 @ I = 1 + x 2 arctag x^ h dx 0 1 # = arctag x^ h 0 1 # .d arctag x^ h6 @ = 2 1 arctag 2 x^ h8 B0 1 = 2 1 4 r _ i 2 - 2 1 08 B = 32 r 2 u 2 ----------------------- Ejercicio 140 I = x Ln x^ h 0 1 # dx la funcion f x^ h esta definida en R* + = 0, + 3@ 6 y como nuestro intervalo es 0,16 @ & I es una integral impropia luego I = x Ln x^ h 0 1 # dx = lim a"0+ x 2 -1 a 1 # .Lnx dx Integrando por partes: dv = x 2 -1 dx & v = 2 x 2 1 u = Ln x^ h & du = x 1 dx * ( I = lim a"0+ 2 x .Ln x^ h6 @a 1 - lim a"0+ 2 x x x 1 B a 1 # dx I = lim a"0+ 2 x .Ln x^ h6 @a 1 - lim a"0+ 4 x6 @a 1 = lim a"0+ -2 a .Ln a^ h6 @ - 4 =- 2 lim a"0+ a .Ln a^ h6 @ - 4 ** lim a"0+ a .Ln a^ h6 @ = 0. -3^ h es una forma indeterminada = F.I lim a"0+ a .Ln a^ h6 @ = lim a"0+ a 1 Ln a^ h = +3 -3 F.I aplicando la regla de L´hopital queda de la seguiente manera: lim a"0+ 2.a 2 3 -1 a 1 = lim a"0+ a -2.a 2 3 = lim a"0+ -2a 2 1 ^ h = 0 Por último I =- 4 , el signo - indica que esta debajo del eje OX, el area es I = 4 u 2 (color Azul) ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
----------------------- Ejercicio 141 I = x Ln x^ h 1 +3 # dx I = x Ln x^ h 1 +3 # dx = lim a"+3 x 2 -1 1 a # .Lnx dx viendo el ejercicio anterior queda I = lim a"+3 2 x .Ln x^ h - 4 x6 @1 a = lim a"+3 2 x Ln x^ h - 2^ h6 @1 a = lim a"+3 2 a Ln a^ h - 2^ h - 2 -1^ h6 @ I = +3^ h. +3^ h =+3 & I es divergente (color Rojo) ----------------------- Ejercicio 142 I = 1 - x 2 ^ h 1 - x 2 x 2 2 1 1 # dx f x^ h = 1 - x 2 ^ h 1 - x 2 x 2 existe Ssi 1 - x 2 2 0 + x 2 1 1 +- 1 1 x 1 1 ,D f = -1,1@ 6 como la funcion f no esta definida en x = 1 & I es una Integral impropia. I = 1 - x 2 ^ h 1 - x 2 x 2 2 1 1 # dx cambio variable x = sent & x " 2 1 & sent = 2 1 & t = 6 r x " 1 & sent = 1 & t = 2 r cost = 1 - x 2 dx = cost.dtZ [ ]]]]]]]] ]]]]]]]] I = lim a" 2 r- cost 1 - sen 2 t^ h sen 2 t.cost.dt 6 r a # = lim a" 2 r- cos 2 t sen 2 tdt 6 r a # = lim a" 2 r- tag 2 t 6 r a # dt = lim a" 2 r- 1 + tag 2 t^ h - 16 @ 6 r a # dt I = lim a" 2 r- 1 + tag 2 t^ h6 @ 6 r a # dt - lim a" 2 r- 1 6 r a # dt = lim a" 2 r- tagt6 @ 6 r a - lim a" 2 r- t6 @ 6 r a I = lim a" 2 r- tag a^ h - tag 6 r 7 A- lim a" 2 r- a - 6 r 7 A =+3 - 3 3 - 2 r + 6 r =+3 I =+3 es divergente ----------------------- Ejercicio 143 I = 1 + x 2 + 1 - x 2 dx 0 1 # I = 1 + x 2 + 1 - x 2 dx 0 1 # = 1 + x 2 + 1 - x 2 1 0 1 # 1 + x 2 - 1 - x 2 1 + x 2 - 1 - x 2 dx = 2.x 2 1 + x 2 - 1 - x 2 dx 0 1 # f x^ h = 2.x 2 1 + x 2 - 1 - x 2 la funcion existe Ssi x ! 0 y luego D f = R - 0" , y nuestro intervalo de trabajo es 0,16 @ & I es impropia I = 2 1 lim a"0+ x 2 1 + x 2 dx a 1 # A 6 7 844444444 44444444 - 2 1 lim a"0+ x 2 1 - x 2 dx a 1 # B 6 7 844444444 44444444 A = x 2 1 + x 2 dx Integrando por partes# dv = x 2 1 dx & v = x -1 u = 1 + x 2 & du = 2 1 + x 2 2x.dx = 1 + x 2 x.dxZ [ ]]]]] ]]]]] A = x - 1 + x 2 + 1 + x 2 dx # = x - 1 + x 2 + Ln x + 1 + x 2 ^ h B = x 2 1 + x 2 dx Integrando por partes# dv = x 2 1 dx & v = x -1 u = 1 - x 2 & du = 2 1 - x 2 -2x.dx = 1 - x 2 -x.dxZ [ ]]]]] ]]]]] CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
B = x - 1 - x 2 - 1 - x 2 dx # = x - 1 - x 2 - arcsenx Por ultimo I = 2 1 lim a"0+ x - 1 + x 2 + Ln x + 1 + x 2 ^ h + x 1 - x 2 + arcsenx; E a 1 I = 2 1 lim a"0+ - 2 + Ln 1 + 2^ h + 2 r + a 1 + a 2 - Ln a + 1 + a 2 ^ h - a 1 - a 2 - arcsen a^ h; E I = 2 - 2 + 4 r + 2 Ln 1 + 2^ h - 2 1 lim a"0+ a 1 - a 2 - 1 + a 2 + Ln a + 1 + a 2 ^ h =0 6 7 84444444444 4444444444 + arcsen a^ h =0 6 7 844444 44444= G calculemos el lim a"0+ a 1 - a 2 - 1 + a 2 ; E = 0 0 F.I multiplicando por el conjugado lim a"0+ a 1 - a 2 - 1 + a 2 1 - a 2 + 1 + a 2 1 - a 2 + 1 + a 2 = G = lim a"0+ a 1 - a 2 + 1 + a 2 ^ h 1 - a 2 - 1 - a 2 = lim a"0+ a 1 - a 2 + 1 + a 2 ^ h -2a 2 = 0 asi que queda I = 2 - 2 + 4 r + 2 Ln 1 + 2^ h u 2 ----------------------- Ejercicio 144 I = arctag 2 1 1 # 1 - x 2 ^ h.dx I = arctag 2 1 1 # 1 - x 2 ^ h.dx , f x^ h = arctag 1 - x 2 ^ h existe Ssi 1 - x 2 $ 0 ,- 1 # x # 1 y como nuestro intervalo 2 1 ,18 B 1 -1,16 @ asi que I no es impropia Integrando por partes dv = dx & v = x u = arctag 1 - x 2 ^ h & du = 2 - x 2 ^ h 1 - x 2 -x.dx * I = x.arctag 1 - x 2 ^ h6 @ 2 1 1 - 2 - x 2 ^ h 1 - x 2 -x 2 .dx 2 1 1 # I = 2 -1 arctag 2 3 c m + 2 - x 2 ^ h 1 - x 2 x 2 .dx 2 1 1 # $ a esta ultima integral llamemosle A A = 2 - x 2 ^ h 1 - x 2 x 2 .dx 2 1 1 # cambio de variable x = cost & x " 1 & t " 0 radianes x " 2 1 & t " 3 r radianes dx =- sent.dt * A = 2 - x 2 ^ h 1 - x 2 x 2 .dx 2 1 1 # = 2 - cos 2 t^ hsent cos 2 t. -sent.dt^ h 3 r 0 # =- 2 - cos 2 t^ h cos 2 t.dt 3 r 0 # = 2 - cos 2 t^ h cos 2 t.dt 0 3 r # , f x^ h =- f x^ h b a # a b # A = -1 + 2 - cos 2 t^ h 2 : D.dt 0 3 r # =- dt 0 3 r # + 2 2 - cos 2 t^ h dt : D 0 3 r # = -t6 @0 3 r + 2 2 - cos 2 t^ h dt 0 3 r # A =- 3 r + 2 2 - cos 2 t dt 0 3 r # asi que queda I = 2 -1 arctag 2 3 c m - 3 r + 2 2 - cos 2 t dt 0 3 r # $ a esta ultima integral llamemosle B B = 2 - cos 2 t dt 0 3 r # cambio de variable u = tagt & t " 3 r & u " 3 t " 0 & u " 0 du = 1 + tag 2 t^ h.dt & dt = 1 + u 2 duZ [ ]]]]] ]]]]] B = 2 - 1 + u 2 1 1 + u 2 du 0 3 # = 1 + u 2 1 + 2u 2 1 + u 2 du 0 3 # = 1 + 2u 2 du 0 3 # = 1 + 2 u^ h 2 du 0 3 # = 2 1 1 + 2 u^ h 2 2 du 0 3 # = CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
B = 2 1 arctag 2 u^ h6 @0 3 = 2 2 arctag 6 Por ultimo I = 2 -1 arctag 2 3 c m - 3 r + 2 arctag 6 ----------------------- Ejercicio 145 I = x 2 - 4x^ h2 x - 2 dx 1 3 # I = x 2 - 4x^ h2 x - 2 dx 1 3 # f x^ h = x 2 - 4x^ h2 x - 2 existe Ssi x ! 4 y x ! 0 pero nuestro intervalo es 1,36 @ asi que no nos afectan en nada luego x - 2 = -x + 2 si x # 2 x - 2 si x $ 2 $ I = x 2 - 4x^ h2 -x + 2 dx 1 2 # + x 2 - 4x^ h2 x - 2 dx 2 3 # = 2 -1 x 2 - 4x^ h2 2x - 4 dx 1 2 # + 2 1 x 2 - 4x^ h2 2x - 4 dx 2 3 # no se pueden juntar al estar en diferentes intervalos I = 2 -1 x 2 - 4x -1 : C 1 2 + 2 1 x 2 - 4x -1 : D 2 3 = 8 -1 + 6 18 B+ 6 1 - 8 1 8 B = 12 1 u 2 ----------------------- Ejercicio 146 I = f x^ h 0 3 # dx siendo f x^ h = a si x $ 1 a x si x 1 1 $ y a 2 0 al ser una funcion a trozos y nuestro intervalo es 0,36 @ = 0,16 @, 1,36 @ Entonces la I quedara de la seguiente manera: I = f x^ hdx 0 1 # + f x^ hdx = 1 3 # a x .dx 0 1 # + a.dx = 1 3 # Lna a x 8 B0 1 + a.x6 @1 3 I = Lna a 1 - Lna a 0 : C+ 3a - a6 @ = Lna a - 18 B+ 2a` ju 2 ----------------------- Ejercicio 147 *** Calcula I = 2 x 2 - 4 -2 2 # x.dx I = 2 x 2 - 4 -2 2 # x.dx = 2 1 x 3 - 4x^ h -2 2 # dx = 2 1 4 x 4 - 2x 2 : D -2 2 = 0 Se habia podido deducir que I = 0 ,si hubieramos dado cuenta que la funcion f x^ h = 2 x 2 - 4 x es impar f x^ h = 2 f x^ h si f x^ h es par -a a # 0 si f x^ h es imparZ [ ]]]]] ]]]]] -a a # *** Ahora bien si nos dicen de calcular el area que determine f x^ h = 2 x 2 - 4 x y el eje OX 1º paso es hallar los puntos de corte de las dos funciones. Igualandolos^ h f x^ h = 2 x 2 - 4 x y g x^ h = 0 es el eje OX recordad eje OY $ x = 0 eje OX $ y = 0 % 2 x 2 - 4 x = 0 , x = 2 x = 0 x =- 2 ) 2º paso esbozar las graficas de las dos funciones ver grafica CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
3º paso area comprendida entre las dos funciones f x^ h - g x^ h6 @.dx a b # o bien funcion de derecha - funcion de Izquierda a b # o bien funcion de arriba - funcion de abajo a b # Z [ ]]]]]]]]]]]]]]]]] ]]]]]]]]]]]]]]]] asi que el area seria Area = 2 x 2 - 4 x - 0a k -2 0 # dx + 0 - 2 x 2 - 4 xa k 0 2 # dx = 2 1 x 3 - 4x^ h -2 0 # dx - 2 1 x 3 - 4x^ h 0 2 # dx Area = 2 1 4 1 x 4 - 2 4 x 2 8 B-2 0 - 2 1 4 1 x 4 - 2 4 x 2 8 B0 2 = 4 u 2 En Conclución al calcular la I nos da el resultado de restarle el area sobre el eje ox(entre - 2 y 2)el area bajo eje ox(entre - 2 y 0) ----------------------- Ejercicio 148 Halla el area limitada entre entre la grafica de las funciones y = 2 - x 2 e y = x 1º es hallar puntos de corte entre las funciones: y = x y = 2 - x 2 ( + 2 - x 2 = x + 2 - x 2 =- x si x 1 0 2 - x 2 = x si x $ 0 ' x 2 - x - 2 = 0 si x 1 0 x 2 + x - 2 = 0 si x $ 0 ' + x - 2^ h x + 1^ h = 0 si x 1 0 x + 2^ h x - 1^ h = 0 si x $ 0 ( x = 2 o x =- 1 si x 1 0 x =- 2 o x = 1 si x $ 0 ' + x =- 1 si x 1 0 x = 1 si x $ 0 $ & puntos de corte -1,1^ h si x 1 0 1,1^ h si x $ 0 ( 2º es hacer grafica de las funciones: ver grafica^ h -1 1 0 x 1 1 0 y = x - 2 0 2 x 0 2 0 y = 2 - x 2 como se ve en la grafica tenemos dos areas distintas A1 esta limitada por y = 2 - x 2 e y =- x A2 esta limitada por y = 2 - x 2 e y = x 3º es hallar Area entre las funciones: A = A1 + A2 = 2 - x 2 ^ h - -x^ h6 @ -1 0 # dx + 2 - x 2 ^ h - x^ h6 @ 0 1 # dx = 2 - x 2 + x6 @ -1 0 # dx + 2 - x 2 - x6 @ 0 1 # dx A = 2x - 3 x 3 + 2 x 2 : C -1 0 + 2x - 3 x 3 + 2 x 2 : C 0 1 = 0 - -2 + 3 1 + 2 1 ` j8 B 2 - 3 1 - 2 1 8 B = 3 7 u 2 ----------------------- Ejercicio 149 Calcula el area comprendida entre f x^ h =- x 2 + 2 y g x^ h = x + 2 Puntos de corte entre f x^ h y g x^ h f x^ h = g x^ h +- x 2 + 2 = x + 2 & -x 2 + 2^ h2 = x + 2^ h 2 + x 4 - 4x 2 + 4 = x + 2 + x 2 x 2 - 4^ h - x + 2 = 0 x 2 x - 2^ h x + 2^ h - x - 2^ h = 0 + x - 2^ h x 2 x + 2^ h - 16 @ = 0 + x 2 x + 2^ h - 1 = 0 x - 2 = 0 % + x 3 + 2x 2 - 1 = 0 x = 2 % + x + 1^ h x 2 + x - 1^ h = 0 x = 2 % + x = 2 -1 - 5 x = 2 -1 + 5 x = 2 x =- 1Z [ ]]]]]]]]] ]]]]]]]]] como tuvimos que elevar al cuadrado para resolver la ecuacion CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
toca verificar cuales son las verdaderas soluciones que resultan ser x = 2 -1 + 5 x =- 1 * Area = -x 2 + 2^ h - x + 26 @ -1 2 -1+ 5 # .dx = -x 2 + 2^ h6 @ -1 2 -1+ 5 # .dx - x + 26 @ -1 2 -1+ 5 # .dx = 3 -x 3 + 2x: D -1 2 -1+ 5 - x + 2 -2 ; E -1 2 -1+ 5 Area = 3 - 2 -1+ 5 ` j 3 + 2 2 -1+ 5 ` j - 3 - -1^ h3 - 2 -1^ h= G - 2 -1+ 5 + 2 -2 - -1 + 2 -2 = G Area = 3 -0,618 3 + 3 2 + 3 5 ; E- -1,236 + 26 @ = 2,824 + 0,764 = 3,588 u 2 ----------------------- Ejercicio 150 halla el area de la region del plano encerrado por la curva de y = Ln x - 1^ h entre el punto de corte con el eje X e el punto de abscisa x = e 2 1º lugar es hallar los puntos de corte entre y = Ln(x - 1) e el eje X Ln(x - 1) = 0 & x - 1 = e 0 = 1 , x = 2 y como e 2 c 7,389 2 2 2º lugar hacer tabla de valores entre 2 y 8 para esbozar la grafica (ver grafica abajo) 3º lugar hallar el area que es: Area = Ln x - 1^ h6 @dx Integrando por partes 2 e2 # dv = dx & v = x u = Ln x - 1^ h & du = x - 1 1 dx ) Area = x.Ln x - 1^ h6 @2 e2 - x - 1 x dx 2 e2 # = x.Ln x - 1^ h6 @2 e2 - dx 2 e2 # - x - 1 1 dx 2 e2 # Area = x.Ln x - 1^ h6 @2 e2 - x6 @2 e2 - Ln x - 1^ h6 @2 e2 = e 2 .Ln e 2 - 1^ h - 2.Ln 2 - 1^ h6 @ - e 2 - 26 @ - Ln e 2 - 1^ h - Ln 2 - 1^ h6 @ Area = e 2 .Ln e 2 - 1^ h6 @ - e 2 - 26 @ - Ln e 2 - 1^ h6 @ = e 2 - 1^ hLn e 2 - 1^ h - e 2 - 26 @ u2 ----------------------- Ejercicio 151 calcula el area del recinto limitado por la curva y =- 3x 2 + 6x y el eje X 1º lugar es hallar los puntos de corte entre y =- 3x 2 + 6x e el eje X para representar la grafica y conocer los limites de integracion - 3x 2 + 6x = 0 , x -3x + 6^ h = 0 , x = 2 " limite sup x = 0 " limite inf % hagamos tabla de valores entre 0 y el 2 que es lo que mas nos importa 2 0 1 3 0 0 x y =- 3x 2 + 6x ver grafica Area = -3x 2 + 6x^ h 0 2 # dx = -x 3 + 3x 2 6 @0 2 = -8 + 126 @ = 4 u 2 ----------------------- Ejercicio 150 I = x 1 + Lnx3 # dx I = x 1 + Lnx3 # dx , haciendo cambio variable t 3 = 1 + Lnx & 3t 2 .dt = x 1 dx t = 1 + Lnx3 * I = t.3.t 2 # .dt = 3 t 3 .dt = 4 3 # t 4 + cte = 4 3 1 + Lnx^ h43 + cte ----------------------- Ejercicio 151 I = a x # .e x .dx siendo a 2 0 I = a x # .e x .dx = a.e^ hx # .dx = m x .dx , siendo m = a.e# y aplicando a f x^ h # . lf x^ h = Lna a f x^ h CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
^ h ^ h I = Ln m^ h m x + cte = Ln e.a^ h a.e^ hx + cte = 1 + Lna a x .e x + cte ----------------------- Ejercicio 152 I = a x .sena x .dx# siendo a 2 0 I = a x .sena x .dx# = Lna -1 -sena x # .a x .Lna.dx = Lna -1 cosa x + cte ----------------------- Ejercicio 153 I = e t + e-t e t - e-t # dt I = e t + e-t e t - e-t # dt , haciendo cambio de variable e t = x & e t .dt = dx e-t = x 1 ) luego I = x + x 1 x - x 1 # x dx = x x x 2 + 1^ h x x 2 - 1 # dx = x x 2 + 1^ h x 2 - 1 # dx descompongamos la fraccion x x 2 + 1^ h x 2 - 1 en fracciones simples x x 2 + 1^ h x 2 - 1 = x A + x 2 + 1 Bx + C = x x 2 + 1^ h A x 2 + 1^ h + x Bx + C^ h = x x 2 + 1^ h A.x 2 + A + B.x 2 + C.x = x x 2 + 1^ h A + B^ hx 2 + C.x + A Igualando los polinomios del numenador queda de la seguiente manera: x 2 - 1 = A + B^ hx 2 + C.x + A ( A =- 1 C = 0 A + B = 1 ) ( A =- 1 C = 0 B = 2 ) asi que I = x -1 dx + x 2 + 1 2x ## dx =- Ln x^ h + Ln x 2 + 1^ h + cte = Ln x x 2 + 1 + cte = Ln e t e 2t + 1 + cte ----------------------- Ejercicio 154 I = 1 + a 2x a x .dx # siendo a 2 0 I = 1 + a 2x a x .dx # cambio de variable a x = t & a x .dx = dt I = 1 + t 2 dt # = arctag t^ h + cte = arctag a x ^ h + cte ----------------------- Ejercicio 155 I = 1 + x 2 e arctagx + x.Ln 1 + x 2 ^ h + 1 # dx I = 1 + x 2 e arctagx + x.Ln 1 + x 2 ^ h + 1 # dx = 1 + x 2 e arctagx # dx A 6 7 844444444 44444444 + 1 + x 2 x.Ln 1 + x 2 ^ h # dx B 6 7 844444444444 44444444444 + 1 + x 2 1 # dx C 6 7 84444444 4444444 A = 1 + x 2 e arctagx # dx si nos fijamos bien vemos que e arctagx ^ hl= e arctagx . 1 + x 2 1 dx asi que A = e arctagx + cte1 B = 1 + x 2 x.Ln 1 + x 2 ^ h # dx si nos fijamos bien vemos que Ln 1 + x 2 ^ h^ hl= 1 + x 2 2x dx haciendo u = Ln 1 + x 2 ^ h & du = 1 + x 2 2x dx asi que B = 2 1 1 + x 2 2x.Ln 1 + x 2 ^ h # dx = 2 1 u.du = 4 1 # u 2 + cte2 = 4 1 Ln 2 1 + x 2 ^ h + cte2 C = 1 + x 2 1 # dx = arctag x^ h + cte3 y por ultimo I = e arctagx + 4 1 Ln 2 1 + x 2 ^ h + arctag x^ h + cte CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
TABLA DE INTEGRALES 1 k.dx = kx siendo k una constante = cte^ h# 2 k.f x^ hdx# = k f x^ h# dx 3 f x^ h ! g x^ h6 @# dx = f x^ h# dx ! g x^ h# dx 4 f x^ h6 @n # . lf x^ hdx = ln f x^ h + cte si n =- 1 n + 1 1 f x^ h6 @n+1 + cte si n !- 1 * 5 a f x^ h .# lf x^ hdx = a f x^ h ln a 1 + cte siendo a d R* + 6 lf x^ h.cos f x^ h# dx = senf x^ h + cte 7 lf x^ h.senf x^ h# dx =- cos f x^ h + cte 8 cos 2 f x^ h lf x^ h # dx = tag f x^ h6 @+ cte 9 sen 2 f x^ h lf x^ h # dx =- cotg f x^ h6 @ + cte 10 e ax cos bx dx = a 2 + b 2 e ax a cos bx + bsenbx^ h# + cte 11 e ax # senbx dx = a 2 + b 2 e ax asenbx - b cos bx^ h + cte 12 f x^ h6 @2 + a 2 ! lf x^ hdx # = Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 + a2 siendo a ! 0 Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 siendo a ! 0 ) 13 f x^ h6 @2 - a 2 ! lf x^ hdx # = Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - a2 siendo a ! 0 14 a 2 - f x^ h6 @2 ! lf x^ h # dx = " arccos a f x^ h : D + cte !arcsen a f x^ h : D + cte Z [ ]]]]] ]]]]] 15 a 2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = - a 1 arcotg a f x^ h : D + cte siendo a ! 0 a 1 arctag a f x^ h : D + cte siendo a ! 0 Z [ ]]]]] ]]]]] 16 a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = 2a 1 Ln a - f x^ h a + f x^ h + cte siendo f x^ h !! a y a ! 0 17 f x^ h. f x^ h6 @2 - a 2 ! lf x^ hdx # = a 1 arctag a f x^ h6 @2 - a 2 + cte a 1 arccos f x^ h a + cte Z [ ]]]]] ]]]]] siendo a ! 0 18 f x^ h. a 2 - f x^ h6 @2 ! lf x^ h # dx = - a 1 Ln f x^ h a + a 2 - f x^ h6 @2 + cte a 1 Ln f x^ h a - a 2 - f x^ h6 @2 + cte Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] siendo a ! 0 19 f x^ h. a 2 + f x^ h6 @2 ! lf x^ h # dx = - a 1 Ln f x^ h a + a 2 + f x^ h6 @2 + cte a 1 Ln f x^ h a 2 + f x^ h6 @2 - a + cte Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] siendo a ! 0 CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA

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  • 2. Formulas de Integrales y como resolverlos Integrales = antiderivadas Para saber resolver int egrales hay que saber derivar muy muy bien y conocer de memoria las seguientes formulas trigonometricas que se utilizan muchisimo en las int egrales cuando hacemos cambio de variable. sen a ! b^ h = sena. cos b ! senb. cos a I cos a ! b^ h = cos a. cos b " senasenb tag a ! b^ h = 1 " taga.tagb taga ! tagb sena. cos b = 2 1 sen a + b^ h + sen a - b^ h6 @ II cos a. cos b = 2 1 cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @ sena.senb = 2 1 - cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @ sena ! senb = 2sen 2 a ! b cos 2 a " b III cos a + cos b = 2 cos 2 a + b cos 2 a - b cos a - cos b =- 2sen 2 a + b sen 2 a - b taga ! tagb = cos a. cos b sen a ! b^ h sen 2 a + cos 2 a = 1 -1 # sena # 1 -1 # cos a # 1 sen2a = 2.sena. cos a cos 2a = cos 2 a - sen 2 a tag2a = 1 - tag 2 a 2.taga cos 2 a = 2 1 + cos 2a sen 2 a = 2 1 - cos 2a tag 2 a = 1 + cos 2a 1 - cos 2a 1 + tag 2 a = cos 2 a 1 1 + cot g 2 a = sen 2 a 1 cosx 1 - senx = 1 + senx cosx cos a 1 = 2 1 1 - sena cos a + 1 + sena cos a 7 A sena 1 = 2 1 1 - cos a sena + 1 + cos a sena 7 A Demostracion cos a 1 = cos 2 a cos a = 1 - sen 2 a cos a = 1 - sena^ h 1 + sena^ h cos a = 2 1 1 - sena cos a + 1 + sena cos a 7 A Pitagoras c 2 = a 2 + b 2 sena = c b cos a = c a taga = a b e-iax = cos -ax^ h + isen -ax^ h = cos ax^ h - isen ax^ h e iax = cos ax^ h + isen ax^ h ( ( sen ax^ h = 2i e iax - e-iax cos ax^ h = 2 e iax + e-iaxZ [ ]]]]] ]]]]] Estas fracciones en algunos ejercicios son muy utiles 1 + a 1 - a =- 1 + 1 + a 2 ; a + b a = 1 - a + b b ; a 2 - b 2 1 = 2a 1 a - b 1 + a + b 1 8 B *** muy importantes tenerlas memorizadas an - bn = a - b^ h an-1 + an-2 b + an-3 b2 + an-4 b3 + .........................^ h an + bn = a + b^ h an-1 - an-2 b + an-3 b2 - an-4 b3 + .... - ... + ........^ h observacion de las potencias = n - 1/ CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 3. Tabla de Derivadas 1 y = k cte^ h ( ly = 0 2 y = f x^ h6 @n ( ly = n. f x^ h6 @n-1 . lf x^ h 3 y = k.f x^ h ( ly = k. lf x^ h 4 y = f x^ h ! g x^ h ( ly = lf x^ h ! lg x^ h 5 y = f x^ h.g x^ h ( ly = lf x^ h.g x^ h + f x^ h. lg x^ h 6 y = g x^ h f x^ h ( ly = g x^ h6 @2 lf x^ h.g x^ h - f x^ h. lg x^ h 7 y = fog x^ h ( ly = lf og x^ h6 @. lg x^ h 8 y = f-1 x^ h ( ly = lf of-1 x^ h 1 9 y = loga f x^ h6 @ ( ly = f x^ h lf x^ h Ln a^ h 1 10 y = a f x^ h ( ly = a f x^ h . lf x^ h.Ln a^ h 11 y = e f x^ h ( ly = e f x^ h . lf x^ h 12 y = sen f x^ h6 @ ( ly = cos f x^ h6 @. lf x^ h 13 y = cos f x^ h6 @ ( ly =- sen f x^ h6 @. lf x^ h 14 y = tag f x^ h6 @ ( ly = cos 2 f x^ h 1 lf x^ h = 1 + tag 2 f x^ h6 @6 @. lf x^ h 15 y = cotag f x^ h6 @ ( ly = sen 2 f x^ h -1 lf x^ h =- 1 + cotg 2 f x^ h6 @6 @. lf x^ h 16 y = arcsen f x^ h6 @ ( ly = 1 - f x^ h6 @2 1 lf x^ h 17 y = arcos f x^ h6 @ ( ly = 1 - f x^ h6 @2 -1 lf x^ h 18 y = arctag f x^ h6 @ ( ly = 1 + f x^ h6 @2 1 lf x^ h 19 y = arctag f x^ h6 @ ( ly = 1 + f x^ h6 @2 -1 lf x^ h 20 y = f x^ h6 @g x^ h A para esta formula se utiliza eLna = a asi que y = eln f x^ h7 A g x^ h = eg x^ hLnf x^ h AA solo queda aplicar formulas anteriores Hay que saber derivar muy bien y tener las formulas memorizadas para poder saber int egrar es algo parecido a la tabla de multiplicar si no la sabes no sabras dividir f x^ h a b # .dx " f x^ h en funcion de x ejemplo y = f x^ h = 2x + 3 la curva de f x^ h gira alrededor del eje X a # x # b + x d a,b6 @ a es el limite inferior , b es el limite superiorZ [ ]]]]]] ]]]]]] f y^ h a b # .dy " f y^ h en funcion de y ejemplo x = f y^ h = 2y + 3 la curva de f y^ h gira alrededor del eje Y a # y # b + y d a,b6 @ a es el limite inferior , b es el limite superiorZ [ ]]]]]] ]]]]]] CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 4. FORMULAS INTEGRALES 1) kdx = Kx siendo K una cons tan te# 2) K.f x^ hdx# = K f x^ h# dx 3h f x^ h ! g x^ h6 @# dx = f x^ h# dx ! g x^ h# dx 4h f x^ h6 @n # . lf x^ hdx = n + 1 1 f x^ h6 @n+1 + cte siendo n !- 1 5h f x^ h6 @# -1 . lf x^ hdx = ln f x^ h + cte 6h a f x^ h .# lf x^ hdx = a f x^ h ln a 1 + cte 7h a f x^ h # dx " se hace cambio de variable t = f x^ h 8h cos f x^ h# dx = senf x^ h + cte 9h senf x^ h# dx =- cos f x^ h + cte 10h cos 2 f x^ h lf x^ h # dx = tgf x^ h + cte 11h sen 2 f x^ h lf x^ h # dx =- cotag f x^ h^ h + cte 12h 1 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = - arccos f x^ h + cte arcsen f x^ h^ h + cte ( 13h 1 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = -arcotag f x^ h^ h + cte arctg f x^ h^ h + cte ( 14h e ax cos bx dx = a 2 + b 2 e ax a cos bx + bsenbx^ h# + cte utilizando integración por partes^ h 15h e ax # senbx dx = a 2 + b 2 e ax asenbx - b cos bx^ h + cte utilizando integración por partes^ h 16h 1 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = 2 1 ln 1 - f x^ h 1 + f x^ h + cte A 17h 1 + f x^ h6 @2 ! lf x^ h # dx = ln f x^ h ! 1 + f x^ h6 @2 _ i+ cte B 18h f x^ h6 @2 - 1 ! lf x^ h # dx = ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - 1_ i+ cte C las formulas A,B y C no es necesario memorizarlas porque mas adelante aprenderemos a resolverlas haciendo cambio de variable y demostrandolas Intergrales por parte ** udv# = uv - vdu dirais de donde sale esto pues sea u = f x^ h# y v = g x^ h como sabemos en derivadas que f x^ h.g x^ h^ hl= lf x^ hg x^ h + f x^ h lg x^ h 0 1 2 3444444444444444444444444 444444444444444444444444 f x^ h.g x^ h^ hl# = lf x^ hg x^ h + f x^ h lg x^ h6 @# 0 1 2 344444444444444444444444444444 44444444444444444444444444444 f x^ h.g x^ h = lf x^ h# g x^ h v D + f x^ h u A # lg x^ h 0 1 2 344444444444444444444444444 44444444444444444444444444 uv = vdu + udv## udv = uv - vdu## a CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 5. La formula a se utiliza en los seguientes casos 1 cuando tenemos solamente funcion logaritmica Ejercicio 1 ln x.dx = I aqui u = ln x & du = x 1 # dx dv = 1dx & v = x asi que I = x ln x - x x 1 dx# = x ln x - x 2 cuando tenemos solamente funcion inversa Ejercicio 2 arcsenx dx# = I aqui u = arcsenx & du = 1 - x 2 1 dx dv = 1dx & v = x asi que I = x.arcsenx - 1 - x 2 x dx # J 6 7 8444444 444444 1 - x 2 nos hace pensar en 1 - sen 2 x = cos 2 x asi que hacemos cambio de varible x = sent & 1 x = sent & dx = cos t dt y por pytagoras del tringulo debajo se deduce que cos t = 1 - x 2 luego J = cos t sent.cos t.dt # =- cos t =- 1 - x 2 por ultimo I = x.arcsenx + 1 - x 2 + cte 3 cuando tenemos producto de 2 funciones pertenecientes a las 5 funciones seguientes Funcion Exponencial Funcion Inversa(arco..............) Funcion Logaritmica Funcion Algebraica FuncionTrigonometrica(seno,coseno,tg,.......) _ ` a bbbbbb bbbbbbEjemplosituvieramosxsenx"xesalgebraicasenxestrigonometricaluegou=xydv=senx Ejemplo situvieramosx.lnx"xcorrespondeaalgebraicaylnxalogaritmicaluegou=lnxydv=x paraestoutilizamosla palabraILATE la primeraqueaparecer correspondeau ylasegundaqueaparececorrespondeadvsiempreseguiendoelordendela palabraILATE Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] Ejercicio 3 x ln x.dx# = I tenemos 2 funciones distintas lnx es logaritmica x es algebraica % la primera en aparecer en ILATE es la logaritmica asi que dv = xdx & v = 2 1 x 2 u = ln x & du = x 1 dx * luego I = 2 1 x 2 ln x - 2 1 # x2 x 1 dx = 2 1 x 2 ln x - 2 1 2 1 x 2 = 2 1 x 2 ln x - 4 1 x 2 + cte Ejercicio 4 I = x. 1 + x# dx dv = 1 + x = 1 + x^ h2 1 & v = 2 1 + 1 1 1 + x^ h2 1 +1 = 3 2 1 + x^ h2 3 u = x & du = 1dx * I = 3 2 x 1 + x^ h2 3 - 3 2 1 + x^ h2 3 # dx = 3 2 x 1 + x^ h2 3 - 3 2 3 2 + 1 1 1 + x^ h3 2 +1 = 3 2 x 1 + x^ h2 3 - 3 2 5 2 1 + x^ h2 5 = 3 2 x 1 + x^ h2 3 - 15 4 1 + x^ h2 5 Integrar Fracciones Division de dos polinomios^ h P x^ h ' Q x^ h = C x^ h + R x^ h , Q x^ h P x^ h = C x^ h + Q x^ h R x^ h asi que Q x^ h P x^ h # dx = C x^ hdx# a 6 7 844444 44444 + Q x^ h R x^ h # dx b 6 7 8444444 444444 para hallar la int egracion de a es facilisimo solamente hay que saber la formula f x^ h^ hn # . lf x^ hdx = n + 1 1 f x^ h^ hn+1 CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 6. ahora para resolver la Q x^ h R x^ h # dx ojo el grado de R x^ hes 1 grado de Q x^ h6 @ 1 paso es calcular Q x^ h = 0 y a1 a2 a3 ...........an6 @ sean las soluciones Ahora ** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! R y son ! una de la otra & Q x^ h = x - a1^ h x - a2^ h....... x - an^ h = 0 Entonces Q x^ h R x^ h = x - a1^ h A1 + x - a2^ h A2 + x - a3^ h A3 + . . . . . . . + x - an^ h An luego se halla los valores de A1 A2 A3 . . . . . . An y por ultimo Q x^ h R x^ h # dx = x - a1^ h A1 dx + x - a2^ h A2 dx## + . . . + . . . . + x - an^ h An dx# ** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! R y son = todas & Q x^ h = x - a^ hn Entonces Q x^ h R x^ h = x - a^ h A1 + x - a^ h2 A2 + x - a^ h3 A3 + . . . . . . . + x - a^ hn An luego se halla los valores de A1 A2 A3 . . . . . . . An y por ultimo Q x^ h R x^ h # dx = x - a^ h A1 dx + x - a^ h2 A2 dx## + . . . . + . . . . . + x - a^ hn An dx# ** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! C y son ! todas que no tiene soluciones reales^ h Entonces Q x^ h R x^ h = x ! a1^ h2 + b1 2 M1 x + N1 + x ! a2^ h2 + b2 2 M2 x + N2 + x ! a3^ h2 + b3 2 M3 x + N3 + . . . . . . . + x ! an^ h2 + bn 2 Mn x + Nn luego se calcula los valores de M1 M2 M3 .......Mn y N1 N2 N3 ......Nn y por ultimo Q x^ h R x^ h # dx = x ! a1^ h2 + b1 2 M1 x + N1 dx + x ! a2^ h2 + b2 2 M2 x + N2 dx + . . . + . . . + x ! an^ h2 + bn 2 Mn x + Nn ### dx se hace cambio de variable x ! a1 = b1 tgt ; x ! a2 = b2 tgt . . . . . . . . . ; x ! an = bn tgt ahora bien si fuera Q x^ h = ax 2 + bx + c = 0 siendo 3= b 2 - 4ac 1 0 hacemos lo seguiente Q x^ h = ax 2 + bx + c = ax 2 + bx + 4a b 2 - 4a b 2 siempre va + 4a b2 despues - 4a b2 1 2 34444444 4444444 + c = ax 2 + bx + 4a b 2 a k+ - 4a b 2 + ca k este dato es positivo 1 2 344444 44444 llegaremos a una forma de Q x^ h = x ! a^ h2 + b 2 R T SSSSSSSSSSSSSSSSS V X WWWWWWWWWWWWWWWWW ** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! C y son = todas que no tiene soluciones reales^ h se hace exactamente igual que en el caso de las reales con la unica diferencia que es el numerador Mx + N ** vamos a ver a lg unos ejemplos para entender mejor las int egrales racionales. ejemplo de raices reales ! Ejercicio 5 I = x2 + x - 2 x3 - 2x2 + 5# dx aqui P x^ h = x 3 - 2x 2 + 5 Q x^ h = x 2 + x - 2 haciendo la division de los polinomios 5x - 1 3x 2 + 3x - 6 -3x 2 + 2x + 5 -x 3 - x 2 + 2x x 3 - 2x 2 + 5 x - 3 x 2 + x - 2g asi que P x^ h | Q x^ h = x - 3 + x 2 + x - 2 5x - 1 ahora hallemos las soluciones de x 3 - 2x 2 + 5 = 0 + x - 1^ h x + 2^ h = 0 ahora x 2 + x - 2 5x - 1 = x - 1^ h x + 2^ h 5x - 1 asi que x 2 + x - 2 5x - 1 = x - 1 A + x + 2 B = x 2 + x - 2 A x + 2^ h + B x - 1^ h & 5x - 1 = A x + 2^ h + B x - 1^ h si x = 1 & 4 = 3A & A = 4 3 si x =- 2 & - 11 =- 3B & B = 3 11 CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 7. asi que x 2 + x - 2 5x - 1 = x - 1 4 3 + x + 2 3 11 por ultimo I = x - 3^ h# + x - 1 4 3 + x + 2 3 11 dx = x - 3^ hdx# + 4 3 x - 1 1 # dx + 3 11 x + 2 1 dx# = 2 1 x 2 - 3x + Ln x - 1 + 3 11 Ln x + 2 + cte ejemplo de raices reales iguales Ejercicio 6 I = x 2 - 4x + 4 x 2 + x + 3 # dx P x^ h = x 2 + x + 3 Q x^ h = x 2 - 4x + 4 haciendo la division de los polinomios 5x - 1 -x 2 + 4x - 4 x 2 + x + 3 1 x 2 - 4x + 4g asi que I = x 2 - 4x + 4 x 2 + x + 3 # dx = 1dx + x 2 - 4x + 4 5x - 1 ## dx factorizando x 2 - 4x + 4 = x - 2^ h2 luego x 2 - 4x + 4 5x - 1 = x - 2 A + x - 2^ h2 B = x - 2^ h2 A x - 2^ h + B si x = 2 & 9 = B si x = 0 &- 1 =- 2A + B & A = 5 luego I = 1dx + x - 2 5 ## dx + x - 2^ h2 9 # dx = x + 5Ln x - 2 + 9. -2 + 1 1 x - 2^ h-2+1 = x + 5Ln x - 2 - x - 2^ h 9 + cte ejemplo de raices complejas ! Ejercicio 7 I = x - 2^ h x 2 + x + 1^ h x - 4 # dx aqui no tenemos P x^ h porque el grado de numerador 1 grado denominador asi que x - 2^ h x 2 + x + 1^ h x - 4 = x - 2 A + x 2 + x + 1 Mx + N U porque" deno min ador tiene una solucion real y otra compleja de x 2 + x + 1^ h, = x - 2^ h x 2 + x + 1^ h A x 2 + x + 1^ h + Mx + N^ h x - 2^ h si x = 2 &- 2 = 7A & A = 7 -2 si x = 0 &- 4 = A - 2N = 7 -2 - 2N & N = 7 13 si x =- 1 &- 5 = A + 3M - 3N &- 5 = 7 -2 + 3M - 7 39 & M = 7 2 asi que I = 7 -2 x - 2 1 # dx + 7 1 x 2 + x + 1 2x + 13 # dx como se ve en la segunda int egral que d x 2 + x + 1^ h/dx = 2x + 1 ; pero en el numerador tenemos 2x + 13 que habra que descomponer para que aparez ca 2x + 1 que es 2x + 1 + 12 asi que I = 7 -2 x - 2 1 # dx 7 -2 Ln x-2 directa 1 2 344444444 44444444 + 7 1 x 2 + x + 1 2x + 1 # dx 7 1 Ln x2 +x+1_ i directa 1 2 34444444444 4444444444 + 7 1 x 2 + x + 1 12 # dx H 1 2 34444444444 4444444444 U H tenemos que haga que aparez ca a la formula nº 13 H = 7 12 x 2 + x + 1 1 # dx como x 2 + x + 1 = x 2 + x + 4 1 4a b2 ? J L KKKKKKK N P OOOOOOO - 4 1 - 4a b2 ? + 1 = x + 2 1 ` j 2 + 4 3 = 4 3 3 2x + 3 1 c m 2 + 1; E H = 7 12 4 3 3 2x + 3 1 c m 2 + 1; E 1 # dx = 21 48 2 3 3 2x + 3 1 c m 2 + 1; E 3 2 # dx = 42 48 3 arctag 3 2x + 3 1 c m por ultimo I = 7 -2 Ln x - 2 + 7 1 Ln x 2 + x + 1^ h + 42 48 3 arctag 3 2x + 3 1 c m + cte mas adelante veremos mas ejercicios resueltos. CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 8. INTEGRALES DE LA FORMA tag m x dx# * ; cotg m x dx# * Recordatorio d f x^ h^ h = f x^ h^ hl= derivada de f x^ h y = tagf x^ h & ly = 1 + tag 2 f x^ h6 @. lf x^ h = cos 2 f x^ h 1 lf x^ h y = cot gf x^ h & ly =- 1 + cot g 2 f x^ h6 @. lf x^ h = sen 2 f x^ h -1 lf x^ h cos 2 x 1 = 1 + tag 2 x ; sen 2 x 1 = 1 + cot g 2 x ; tagx = cot gx 1 los pasos a seguir para resolver estas int egrales son dos: Para tag m x dx# 1º paso A descomponer tag m x = 2 cos 2 x 1 - 1` j.tag m-2 x o bien 1 tag 2 x . tag m-2 x Z [ ]]]]] ]]]]] 2º paso A si hemos utilizado 2 ,A tag m x = cos 2 x 1 - 1` j.tag m-2 x = cos2x 1 tag m-2 x - tag m-2 x 1 ,hacer aparecer 1 + tag 2 x^ h A tag m x = 1 + tag 2 x^ htag m-2 x - tag m-2 x * Para cotg m x dx# exactamente igual en vez de tagx ponemos cotgx 1º paso A descomponer cotg m x = 2 sen 2 x 1 - 1` j.cotg m-2 x o bien 1 cotg 2 x . cotg m-2 x Z [ ]]]]] ]]]]] 2º paso A si hemos utilizado 2 ,A cotg m x = sen 2 x 1 - 1` j.cotg m-2 x = sen2x 1 cotg m-2 x - cotg m-2 x 1 ,hacer aparecer 1 + cotg 2 x^ h A cotg m x = 1 + cotg 2 x^ hcotg m-2 x - cotg m-2 x * Ejercicio 8 tag 3 xdx = tag 2 x . tagx## dx = 1 + tag 2 x^ htagx - tagx6 @# dx = 1 + tag 2 x^ h dtagx= tagx^ hl= 1+tag2x_ idx 6 7 8444444 444444 .tagx.dx - tagx.dx# directa 6 7 844444 44444 # = tagx d tagx^ h# - cos x senx # dx = 2 1 tag 2 x + Ln cos x + cte o bien tag 3 xdx = cos 2 x 1 - 1` j## tagx.dx = tagx. cos 2 x 1 # dx - tagx.dx# recordemos que cos 2 x 1 dx = d tagx^ h = tagx.d tagx^ h# - cos x senx # dx = 2 1 tag 2 x + Ln cos x + cte Ejercicio 9 tag 5 xdx = tag 2 x . tag 3 x## dx = 1 + tag 2 x^ h dtagx 6 7 8444444 444444 tag 3 x - tag 3 x < F # dx = tag 3 xd tagx^ h# - tag 3 xdx# ejercicio anterior 6 7 844444 44444 = 4 1 tag 4 x - 2 1 tag 2 x + Ln cos x` j+ cte Ejercicio 10 tag 6 xdx = tag 2 x . tag 4 x## dx = 1 + tag 2 x^ h dtagx 6 7 8444444 444444 tag 4 x - tag 4 x < F # dx = tag 4 xd tagx^ h# - tag 4 xdx# = 5 1 tag 5 x - tag 4 xdx =# 5 1 tag 5 x - 1 + tag 2 x^ h dtagx 6 7 8444444 444444 tag 2 x - tag 2 x ; E # dx = 5 1 tag 5 x - 3 1 tag 3 x + tag 2 xdx# = 5 1 tag 5 x - 3 1 tag 3 x + 1 + tag 2 x^ h dtagx 6 7 8444444 444444 .1 - 1 ; E # dx = 5 1 tag 5 x - 3 1 tag 3 x + 1d tagx^ h - 1dx## = 5 1 tag 5 x - 3 1 tag 3 x + tagx - x Ejercicio 11 cotg 3 xdx = cotg 2 x.cotgx## dx = 1 + cotg 2 x^ hcotgx - cotgx6 @# dx = 1 + cotg 2 x^ h dcotgx= cotgx^ hl=- 1+cotg2x_ idx 6 7 8444444 444444 .cotgxdx - cotgxdx# directa 6 7 844444 44444 # =- cotgx d cotgx^ h# - senx cosx # dx =- 2 1 cotg 2 x - Ln senx + cte CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 9. INTEGRALES DE LA FORMA I = sen mx^ h# . cos nx^ h.dx * Como se ve que las dos funciones trigonometricas tienen angulos ! el primer paso pasarlas al mismo angulo y la forma mas facil de resolver este problema es utilizando las formulas II sena. cos b = 2 1 sen a + b^ h + sen a - b^ h6 @ cos a. cos b = 2 1 cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @ sena.senb = 2 1 - cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @ sen mx^ h. cos nx^ h = 2 1 sen m + n^ h.x6 @+ sen m - n^ h.x6 @" , asi que: Ejercicio 12 I = sen mx^ h# . cos nx^ h.dx = 2 1 sen m + n^ hx6 @dx# + 2 1 sen m - n^ hx6 @dx# = 2 m + n^ h -1 cos m + n^ hx - 2 m - n^ h 1 cos m - n^ hx Ejercicio 13 ** si m = n I = sen mx^ h. cos mx^ h# .dx = m 1 sen mx^ h# .d sen mx^ h^ h = 2m 1 sen 2 mx^ h INTEGRALES DE LA FORMA I = sen m x# .dx * ; I = cos m x# .dx * m d N * 1º paso es descomponer sen m x = sen m-1 x.senx ; cos m x = cos m-1 x. cos x 2º paso es resolver por partes dv = senx.dx & v =- cos x u = sen m-1 x & du = m - 1^ hsen m-2 x. cos x.dx A f x^ h6 @n ^ hl= n f x^ h6 @n-1 . lf x^ h ( Ejercicio 14 I = sen 3 x.dx = sen 2 x u E .## senx.dx dv 6 7 8444 444 asi que dv = senx.dx & v =- cos x u = sen 2 x & du = 2senx. cos x.dx % I = u.v - vdu =- cos x.sen 2 x + 2 cos 2 x. senx.dx d cosx^ h=-senx.dx 6 7 8444 444 =## - cos x.sen 2 x - 2 cos 2 x.d# cos x^ h = 3 1 cos3x 6 7 8444444444 444444444 = - cos x.sen 2 x - 3 2 cos 3 x + cte Ejercicio 15 I = cos 6 x.dx = cos 5 x u D .cos x.dx dv 6 7 8444 444 ## asi que dv = cos x.dx & v = senx u = cos 5 x & du =- 5 cos 4 x.senx.dx % I = senx. cos 5 x + 5 cos 4 x.sen 2 x.dx =# senx. cos 5 x + 5 cos 4 # x 1 - cos 2 x^ h.dx = senx. cos 5 x + 5 cos 4 x.dx - 5 cos 6 x.dx# =I 6 7 8444444 444444 # , , 6I = senx. cos 5 x + 5 cos 4 # x.dx H 6 7 8444444 444444 H = cos 4 # x.dx = cos 3 x u D .cos x.dx dv 6 7 8444 444 # asi que dv = cos x.dx & v = senx u = cos 3 x & du =- 3 cos 2 x.senx.dx % H = senx. cos 3 x + 3 cos 2 x.sen 2 x.dx =# senx. cos 3 x + 3 cos 2 x 1 - cos 2 x^ hdx =# senx. cos 3 x + 3 cos 2 x.dx - 3 cos 4 x.dx# =H 6 7 8444444 444444 # , , 4H = senx. cos 3 x + 3 cos 2 x.dx# = senx. cos 3 x + 3 2 1 + cos 2x # dx = senx. cos 3 x + 2 3 1dx + cos 2x.dx# = 2 1 sen2x 6 7 8444444 444444 # f p> H , 3 3 1 3 3 CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 10. , 4H = senx. cos 3 x + 2 3 x + 4 3 sen2x , H = 4 1 senx. cos 3 x + 8 3 x + 16 3 sen2x Por ultimo I = 6 1 senx. cos 5 x + 4 5 senx. cos 3 x + 8 15 x + 16 15 sen2x` j+ cte INTEGRALES DE LA FORMA I = sen m x.con n x# .dx * Esta clase de int egrales se resuelve por partes siempre y cuando la potencia positiva la descompogamos en a b = a b-1 a 1 si m 1 0 y n 2 0 I = sen m x.con n x# .dx = sen m # x. cos n-1 x. cos xdx = cos n-1 x u 6 7 8444 444 .sen m x. cos x.dx dv 6 7 844444444 44444444 # Z [ ]]]]] ]]]] 2 si m 2 0 y n 1 0 I = sen m x.con n x# .dx = sen m-1 # x. cos n x.senxdx = sen m-1 x u 6 7 84444 4444 .cos n x.senx.dx dv 6 7 84444444 4444444 # Z [ ]]]]] ]]]] 3 si m 2 0 y n 2 0 I = sen m x.con n x# .dx se escoge la m o bien la n y se sigue los pasos del 1 o 2 * 4 si m 1 0 y n 1 0 I = sen m x.con n x# .dx se utilizara cambio de variable que veremos mas adelante * Ejercicio 16 I = sen -3 x. cos 2 x.dx# = cos x u C .sen -3 x. cos x.dx dv 6 7 844444444 44444444 # dv=sen-3x.cosx.dx&v= 2 -1 sen-2x u=cosx&du=-senx.dx ' I = 2 -1 sen -2 x. cos x - 2 1 sen -1 x.dx# = 2 -1 sen -2 x. cos x - 2 1 senx dx # sabemos que sena 1 = 2 1 1 - cos a sena + 1 + cos a sena 7 A I = 2 -1 sen -2 x. cos x - 4 1 1 - cos a sena + 1 + cos a sena _ i# dx = 2 -1 sen -2 x. cos x - 4 1 Ln 1 - cos x + 4 1 Ln 1 + cos x + cte Ejercicio 17 I = sen 2 x cos 2 x.dx = senx u C .senx. cos 2 x.dx dv 6 7 84444444 4444444 =## dv = cos 2 x.senx.dx =- cos 2 x.d cos x & v = 3 -1 cos 3 x u = senx & du = cos x.dx ) I = 3 -1 senx. cos 3 x + 3 1 cos 4 # x.dx ejercicio 15 es H 6 7 8444444 444444 = 3 -1 senx. cos 3 x + 3 1 4 1 senx. cos 3 x + 8 3 x + 16 3 sen2x` j I = 4 -1 senx. cos 3 x + 8 1 x + 16 1 sen2x = 4 -1 senx. cos x 2 1 sen2x 6 7 844444 44444 . cos 2 x d n + 16 1 sen2x + 8 1 x = 8 -1 sen2x. cos 2 x^ h + 16 1 sen2x + 8 1 x I = 16 -2 sen2x. cos 2 x + 16 1 sen2x + 8 1 x = 16 sen2x 1 - 2 cos 2 x^ h =1-cos2x sen2x6 7 8444444444 444444444 -cos2x 6 7 84444444 4444444 + 8 1 x = 16 sen2x - cos 2x^ h cos2x=cos2x-sen2x 6 7 844444 44444 + 8 1 x = 16 -1 sen2x. cos 2x^ h = 2 1 sen4x 6 7 844444444 44444444 + 8 1 x I = 8 1 x - 32 1 sen4x otro metodo I = sen 2 x. cos 2 # x.dx = senx. cos x = 2 1 sen2x 6 7 844444 44444d n 2 dx =# 4 1 sen 2 2x.dx = 4 1 # 2 1 - cos 4x dx = 8 1 # dx - 8 1 cos 4xdx# = 4 1 sen4x 6 7 8444444 44444 # = I = 8 1 x - 32 1 sen4x + cte INTEGRALES HACIENDO CAMBIO DE VARIABLE *** para esto lo 1º es conocer a lg unas formulas trigonometricas. sen -x^ h =- senx ; cos -x^ h = cos x ; tag -x^ h =- tagx sen r - x^ h = senx ; cos r - x^ h =- cos x ;tag r - x^ h =- tagx sen r + x^ h =- senx ; cos r + x^ h =- cos x ;tag r + x^ h = tagx x CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 11. ^ h ^ h ^ h tagx = 1 - tag 2 2 x _ i 2tag 2 x A tag a + b^ h = 1 - taga.tagb taga + tagb tag 2 x = cos 2 x 1 - 1 ; cot g 2 x = sen 2 x 1 - 1 ; teorema Pitagoras U para int egrar funciones trigonometricas A utilizaremos la regla de BIOCHE 1 si f -x^ h = f x^ h UUU cambio de variable U t = cos x & cosx = 1 t aplicando Teorema de Pitagoras 1 = t 2 + w 2 & w = 1 - t 2 U senx = 1 - t 2 cos x = 1 t &- senx.dx = dt &- 1 - t 2 .dx = dt & dx = 1 - t 2 -dt * 2 si f r - x^ h = f x^ h U cambio de variable U t = senx & senx = 1 t aplicando Teorema de Pitagoras 1 = t 2 + w 2 & w = 1 - t 2 U cosx = 1 - t 2 senx = 1 t & cos x.dx = dt & 1 - t 2 .dx = dt & dx = 1 - t 2 dt * 3 si f r + x^ h = f x^ h U cambio de variable U t = tagx aplicando Teorema de Pitagoras w 2 = t 2 + 1 2 & w = 1 + t 2 U senx = 1 + t 2 t ; cos x = 1 + t 2 1 tagx = 1 t & cos 2 x 1 .dx = dt & dx = cos 2 x.dt & dx = 1 + t 2 1 dt Z [ ]]]]] ]]]]] 4 si no se cumplen ninguna de las 3 anteriores el cambio de variable U t = tag 2 x y como se sabe que tagx = 1 - tag 2 2 x _ i 2tag 2 x & tagx = 1 - t 2 2t aplicando Teorema de Pitagoras w 2 = 2t^ h2 + 1 - t 2 ^ h2 & w = 1 + t 2 U senx = 1 + t 2 2t ; cos x = 1 + t 2 1 - t 2 tagx = 1 - t 2 2t & cos 2 x 1 .dx = 1 - t 2 ^ h2 2 1 + t 2 ^ h dt & dx = cos 2 x = 1+t2^ h 2 1-t2^ h 2 D . 1 - t 2 ^ h2 2 1 + t 2 ^ h dt & dx = 1 + t 2 2 dt Z [ ]]]]]]]]] ]]]]]]]]] Ejercicio 18 1º caso^ h I = senx dx # aqui f x^ h = senx dx A f -x^ h = sen -x^ h d -x^ h = -senx -dx = senx dx = f x^ h & f -x^ h = f x^ h asi el cambio sera de t = cosx Teorema de Pitagoras t 2 + w 2 = 1 & w = 1 - t 2 U senx = 1 - t 2 cos x = 1 t &- senx.dx = dt &- 1 - t 2 .dx = dt & dx = 1 - t 2 -dt * luego I = 1 - t 2 1 - t 2 -dt # =- 1 - t 2 dt # =- 2 1 # 1 + t 1 + 1 - t 1 8 Bdt =- 2 1 1 + t 1 # dt =Ln 1+t 6 7 844444 44444 - 2 1 1 - t 1 dt# =-Ln 1-t 6 7 844444 44444 = 2 1 Ln 1 - t - 2 1 Ln 1 + t asi que I = 2 1 Ln 1 + t 1 - t = 2 1 Ln 1 + cos x 1 - cos x cosx=t C + cte 2º Metodo I = senx dx # = 2sen 2 x cos 2 x dx # = 2 cos 2 x sen 2 x cos 2 2 x dx # = tag 2 x cos 2 2 x 2 1 dx # = tag -1 2 x _ i# 2 1 cos 2 2 x 1 e o =dtag 2 x 6 7 8444444 444444 dx = CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 12. = tag -1 2 x _ i# dtag 2 x = Ln tag 2 x _ i+ cte 3º Metodo aplicando la formula senx 1 = 2 1 1 - cosx senx + 1 + cosx senx 7 A luego I = 2 1 1 - cos x senx 1-cosx^ hl=senx 6 7 84444 4444 + 1 + cos x senx 1+cosx^ hl=-senx 6 7 84444 4444 > Hdx# = = 2 1 Ln 1 - cos x^ h - 2 1 Ln 1 + cos x^ h & I = 2 1 Ln 1 + cos x 1 - cos x + cte = Ln 1 + cos x 1 - cos x + cte A pero sabemos que tag 2 a = 1 + cos 2a 1 - cos 2a & taga = 1 + cos 2a 1 - cos 2a por ultimo I = Ln tag 2 x _ i+ cte Ejercicio 19 2º caso 1º Metodo I = sen 2 x + 1 cos x # dx aqui f x^ h = sen 2 x + 1 cos x dx A f r - x^ h = sen 2 r - x^ h + 1 cos r - x^ h d r - x^ h = sen 2 x + 1 - cos x -dx^ h f r - x^ h = sen 2 x + 1 cos xdx = f x^ h A cambio de variable t = senx U senx = 1 t aplicando Teorema de Pitagoras 1 = t 2 + w 2 & w = 1 - t 2 U cosx= 1-t2 senx=1 t & cosx.dx aparece enel ejercicio 6 7 8444444444444 444444444444 =dt& 1-t2.dx=dt&dx= 1-t2 dt * I = t 2 + 1 dt # = arctgt = arctg senx^ h + cte 2º Metodo I = sen 2 x + 1 cos x # dx tambien se puede ver que es de la forma u 2 + 1 lu # u=senx 6 7 84444 4444 = arctg u^ h asi que I = arctg senx^ h + cte Ejercicio 20 3º caso I = 1 + 2sen 2 x dx # aqui f x^ h = 1 + 2sen 2 x dx A f r + x^ h = 1 + 2sen 2 r + x^ h d r + x^ h sen2 r+x^ h= sen r+x^ h6 @2 = -senx^ h2 6 7 84444444444 4444444444 = 1 + 2sen 2 x dx = f x^ h luego el cambio de variable U tagx = 1 t aplicando Teorema de Pitagoras w 2 = t 2 + 1 & w = 1 + t 2 U cosx = 1 + t 2 1 ; senx = 1 + t 2 t tagx = 1 t & cos 2 x 1 .dx = 1+t2^ h.dx 6 7 844444 44444 = dt & 1 + t 2 ^ h.dx = dt & dx = 1 + t 2 dt Z [ ]]]]]]]] ]]]]]]]] I = 1 + 2 1 + t 2 t 2 1 + t 2 dt # = 1 + t 2 1 + 3t 2 1 + t 2 dt # = 1 + 3 t^ h 2 dt # = 3 1 1 + 3 t^ h 2 3 dt # = 3 1 arctg 3 t^ h I = 3 1 arctg 3 t^ h = 3 1 arctg 3 tagx^ h Ejercicio 21 4º caso I = 5 + 3 cos x dx # aqui f x^ h = 5 + 3 cos x dx y no cumple ninguna de los 3casos primeros luego el cambio de variable U t = tag 2 x tambien sabemos que tagx = 1 - tag 2 x 2tag 2 x = 1 - t 2 2t tagx = 1 - t 2 2t y aplicando teorema de pitagoras CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 13. w 2 = 1 - t 2 ^ h2 + 2t^ h2 & w = 1 + t 2 tagx = 1 - t 2 2t & derivando ? como cos x = 1 + t 2 1 - t 2 asi que dx = 1 - t 2 ^ h2 2 1 + t 2 ^ h 1 + t 2 ^ h 2 1 - t 2 ^ h2 dt = 1 + t 2 2 dt cos 2 x 1 dx = 1 - t 2 ^ h2 2 1 - t 2 ^ h - 2t -2t^ h dt = 1 - t 2 ^ h2 2 - 2t 2 + 4t 2 dt = 1 - t 2 ^ h2 2 1 + t 2 ^ h dt Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] I = 5 + 3 cos x dx # = 5 + 3 1 + t 2 1 - t 2 1 + t 2 2 dt # = 1 + t 2 8 + 2t 2 1 + t 2 2 dt # = 2 4 + t 2 ^ h 2dt # = 4 1 + 2 t ` j 2 ` j dt # = 4 1 2 1 + 2 t ` j 2 2 1 dt directa 6 7 84444 4444 # = 2 1 arctg 2 t = 2 1 arctg 2 1 tag 2 x _ i8 B+ cte Ejercicio 22 I = cos 3 x.dx# aqui f x^ h = cos 3 x.dx , f r - x^ h = cos 3 r - x^ h cos r-x^ h=-cosx 6 7 8444444 444444 .d r - x^ h -dx 6 7 84444 4444 = cos 3 x.dx = f x^ h luego el cambio de variable U t = senx & senx = 1 t y aplicando teorema de pitagoras 1 = t 2 + w 2 & w = 1 - t 2 t = senx & dt = cos x.dx I = cos 2 x.cos x.dx dt 6 7 8444 444 =# 1 - sen 2 x^ h# .dt = 1 - t 2 ^ h.dt = t - 3 1 # t 3 = senx - 3 1 sen 3 x + cte Ejercicio 23 es el ejercicio nº14 I = sen 3 x.dx# aqui f x^ h = sen 3 x.dx , f -x^ h = sen 3 -x^ h sen -x^ h=-senx 6 7 844444 44444 .d -x^ h -dx G = sen 3 x.dx = f x^ h luego el cambio de variable U t = cosx & cosx = 1 t y aplicando teorema de pitagoras 1 = t 2 + w 2 & w = 1 - t 2 t = cosx & dt =- senx.dx senx = 1 - t 2 I = sen 3 x.dx =# 1 - t 2 ^ h 1 - t 2 # - 1 - t 2 ^ h dt =- 1 - t 2 ^ h.dt =- t + 3 1 # t 3 =- cosx + 3 1 cos 3 x + cte INTEGRALES DE LA FORMA ax 2 + bx + c# .dx ; ax 2 + bx + c dx # para resolver estas int egrales sigue estoas dos pasos: 1º paso ** si a 2 0 UU ax 2 + bx + c = ax 2 + bx + 4a b 2 6 7 844444444 44444444 - 4a b 2 + c = a x + 2 a b c m 2 - 4a b 2 - ca k 4a b2-4ac =a 6 7 84444 4444 = a x + 2 a b cambio por t 1 2 34444444 4444444 f p 2 + a A si b 2 - 4ac 1 0 a x + 2 a b cambio por t 1 2 34444444 4444444 f p 2 - a A si b 2 - 4ac 2 0 Z [ ]]]]]]]]]] ]]]]]]]]]] ax 2 + bx + c = t 2 + b 2 siendo b 2 = a 2 t 2 - b 2 siendo b 2 = a 1 ) CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 14. ** si a 1 0 UU ax 2 + bx + c =- -ax 2 - bx - c^ h =- -ax 2 - bx + 4 -a^ h b 2 - 4 -a^ h b 2 - cc m =- -a x - 2 -a b =t 1 2 3444444444 444444444 f p 2 + 4a b 2 - 4ac =a 6 7 84444 4444 =- t 2 + a ax 2 + bx + c =- t 2 + b 2 siendo b 2 = a 3 2º paso en el caso 1 t 2 - b 2 = b b t` j 2 - 1 UU nos hace recordar la formula tag 2 x = cos 2 x 1 - 1 luego el cambio sera cos u 1 = b t & cos u = t b aplicando al triangulo y pitagoras t 2 = b 2 + w 2 & w = t 2 - b 2 cos u = t b &- senu.du =- t 2 b dt ; senu = t t 2 - b 2 en el caso 2 t 2 + b 2 = b b t` j 2 + 1 UU nos hace recordar la formula 1 + tag 2 x = cos 2 x 1 luego el cambio sera tag u^ h = b t aplicando al triangulo y pitagoras t 2 + b 2 = w 2 & w = t 2 + b 2 tagu = b t & cos 2 u 1 .du = b 1 dt ; cosu = t 2 + b 2 b en el caso 3 b 2 - t 2 = b 1 - b t` j 2 UU nos hace recordar la formula cos 2 x = 1 - sen 2 x luego el cambio sera sen u^ h = b t aplicando al triangulo y pitagoras b 2 = t 2 + w 2 & w = 1 - t 2 senu = b t & cos u.du = b 1 dt ; cosu = b 1 - t 2 veamos unos ejemplos para entenderlo mejor,pero antes recordemos las formulas que necesitaremos 1 + f x^ h6 @2 ! lf x^ h # dx = ln f x^ h ! 1 + f x^ h6 @2 _ i+ cte senarcsenx = x cosarccosx = x f x^ h6 @2 - 1 ! lf x^ h # dx = ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - 1_ i+ cte 1 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = - arccos f x^ h + cte arcsenf x^ h + cte ( cos arcsenx = 1 - x 2 senar cos x = 1 - x 2 Ejercicio 24 I = x 2 - 2x + 5 dx # x 2 - 2x + 5 = x 2 - 2x + 1 4a b2 ? - 1 4a b2 ? + 5 = x - 1^ h2 + 2 2 aqui t = x - 1 & dt = dx y b = 2 luego I = t 2 + 2 2 dt # = 2 2 t ` j 2 + 1 dt # = 2 t ` j 2 + 1 2 1 dt # = Ln 2 t + 2 t ` j 2 + 1: C = Ln 2 x - 1` j+ 2 x - 1` j 2 + 1: C CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 15. Ejercicio 25 I = 3x 2 - x - 4 dx # 3x 2 - x - 4 = 3x 2 - x + 12 1 4a b2 @ - 12 1 4a b2 @ - 4 = 3 x - 2 3 1 t 6 7 84444444 4444444 f p 2 - 2 3 7 c m 2 t = 3 x - 2 3 1 & dt = 3 dx & 3 dt = dx luego I = t 2 - 2 3 7 c m 2 3 dt # = 2 3 7 7 2 3 t c m 2 - 1 3 dt # = 7 2 7 2 3 t c m 2 - 1 dt # I = 7 2 2 3 7 7 2 3 t c m 2 - 1 7 2 3 dt # = 3 3 Ln 7 2 3 t + 7 2 3 t c m 2 - 1< F + cte Ejercicio 26 I = x 2 - 4x - 5# .dx x 2 - 4x - 5 = x 2 - 4x + 4 16 4a b2 @ - 4 16 - 5 = x - 2 t Da k 2 - 3 2 haciendo cambio x - 2 = t & dx = dt I = t 2 - 3 2 # dt = 3 3 t ` j 2 - 1# dt lo que esta redondeado en azul nos recuerda la formula trigon. tag 2 x = cos 2 x 1 - 1 asi que hagamos por 2º vez cambio de variable cos u 1 = 3 t & cos u = t 3 &- senu.du =- 3t -2 dt & dt = 3 senu cos 2 u 9 du I = 3 tag 2 u# . 3 senu cos 2 u 9 du = 9 sen 2 u. cos -3 u.du = 9 senu.cos -3 u.## senu.du dv = cos-3 udcosu & v = 2 -1 cos-2 u w = senu & dw = cosudu ) I = 2 -1 senu. cos -2 u + 2 1 cos u 1 # du y como sabemos que cos x 1 = 2 1 1 + senx cos x + 1 - senx cos x 7 A I = 2 -1 senu. cos -2 u + 4 1 Ln 1 - senu 1 + senu ahora con la ayuda del triangulo vamos remplazando 3 2 + w 2 = t 2 & w = t 2 - 3 2 senu = t t 2 - 3 2 cos u = t 3 & cos -1 u = 3 t I = 2 -1 t t 2 - 3 2 3 t ` j 2 + 4 1 Ln 1 - t t 2 - 3 2 1 + t t 2 - 3 2 luego la t = x - 2 I = 2 -1 3 x 2 - 4x - 5 x - 2^ h + 4 1 Ln 1 - x 2 - 4x - 5 1 + x 2 - 4x - 5 + cte INTEGRALES DE LA FORMA ax 2 + bx + c P x^ h # .dx 1º ax 2 + bx + c P x^ h = Q x^ h ax 2 + bx + c^ hl+ ax 2 + bx + c m *** siendo Q x^ hun polinomio de coeficientes a determinar y grado de Q x^ h = grado de P x^ h - 1 m nº real a determinar INTEGRALES DE LA FORMA ax + b^ hn ax 2 + bx + c dx# Para esta clase de integrales se hace cambio de variable ax + b = t 1 asi poder transformarla en ax 2 + bx + c P x^ h # .dx CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 16. Asi que veamos algunos ejemplos paso a paso para poder entenderlos mejor Ejercicio 27 I = x 2 - 2x + 5 x 2 - x # dx aqui P x^ h = x 2 - x A es de grado 2 asi que Q x^ hes de grado 1 & Q x^ h = ax + b luego x 2 - 2x + 5 x 2 - x = ax + b^ h x 2 - 2x + 56 @l+ x 2 - 2x + 5 m = a x 2 - 2x + 5 + ax + b^ h 2 x 2 - 2x + 5 2 x - 1^ h + x 2 - 2x + 5 m = x 2 - 2x + 5 a x 2 - 2x + 5^ h + x 2 - 2x + 5 ax + b^ h x - 1^ h + x 2 - 2x + 5 m = x 2 - 2x + 5 2ax 2 + x -3a + b^ h + 5a - b + m^ h asi que 2a = 1 & a = 2 1 3a - b = 1 & b = 2 1 5a - b + m = 0 & m =- 2 ahora si x 2 - 2x + 5 x 2 - x = 2 1 x + 2 1 ` j x 2 - 2x + 58 B l + x 2 - 2x + 5 -2 x 2 - 2x + 5 x 2 - x dx# = 2 1 x + 2 1 ` j x 2 - 2x + 58 B l # - 2 x 2 - 2x + 5 dx # ejercicio nº 24 6 7 8444444444 444444444 = 2 1 x + 2 1 ` j x 2 - 2x + 5 - 2 Ln 2 x - 1` j+ 2 x - 1` j 2 + 1: Ca k Ejercicio 28 I = 2x + 1^ h3 3x 2 - x - 4 dx # haciendo cambio de variable 2x + 1 = t 1 & x = 2t 1 - t & dx = 2t 2 -1 dt una sustituido queda I = -11t 2 - 8t + 3 -t 2 dt # P t^ hes de grado 2 & Q t^ h = at + b -11t 2 - 8t + 3 -t 2 = at + b^ h -11t 2 - 8t + 36 @l+ -11t 2 - 8t + 3 m = -11t 2 - 8t + 3 a -11t 2 - 8t + 3^ h + -11t 2 - 8t + 3 at + b^ h -11t - 4^ h + -11t 2 - 8t + 3 m -11t 2 - 8t + 3 -t 2 = -11t 2 - 8t + 3 a -11t 2 - 8t + 3^ h + at + b^ h -11t - 4^ h + m una vez despejado los valores de a b y m y sustituirlos en la formula ax 2 + bx + c P x^ h = Q x^ h ax 2 + bx + c^ hl+ ax 2 + bx + c m y int egrandolo quedara asi ax 2 + bx + c P x^ h =# Q x^ h ax 2 + bx + c + ax 2 + bx + c m # dx asi que seguir los mismos pasos que el ejercicio anterior INTEGRALES DE LA FORMA a f x^ h # .dx a f x^ h # .dx para este tipo de int egrales se hace cambio de variable t = f x^ h Ejercicio 29 I = e 2x+1 # dx cambio variable t = 2x + 1 & dt = 2dx I = 2 1 e t # dt = 2 1 e t = 2 1 e 2x+1 + cte INTEGRALES DE LA FORMA R x; cx + d ax + b ` jq p , cx + d ax + b ` js r ,........., cx + d ax + b ` jv n : D# .dx + CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 17. para estos tipos de int egrales se hace el cambio de variable cx + d ax + b ` j = t n siendo n = m.c.m q,s,.....,v^ h Recordatorio m.c.m = minimo comun multiplo se cogen todos los factores y elevado a mayor exponente^ h Ejercicio 30 I = 1 - 2x^ h3 2 - 1 - 2x^ h2 1 dx # cambio variable 1 - 2x = t 6 porque m.c.m 3,2^ h = 6 1 - 2x = t 6 &- 2dx = 6t 5 dt & dx =- 3t 5 dt , t = 1 - 2x6 I = t 4 - t 3 -3t 5 dt # = t 3 t - 1^ h -3t 5 dt # =- 3 t - 1 t 2 # dt una vez hecha la division de los polinomios queda asi I =- 3 t + 1^ h# dt - 3 t - 1 1 dt# = 2 -3 t 2 - 3t - 3Ln t - 1 = 2 -3 1 - 2x3 - 3 1 - 2x6 - 3Ln 1 - 2x6 - 1 + cte Integrales Definidas ** Integral de Riemann f x^ hdx AA f x^ h a b # es una funcion continua en a,b6 @ representa el area comprendida entre el eje ox , la curva de f x^ h y las dos abscisas x = a y x = b las areas situadas encima del eje ox son + y las situadas debajo del eje ox son - Z [ ]]]]] ]]]]] Regla de Brrow f x^ hdx a limite inferiorAeje x S b limite superiorA ejex ? # = f x^ h#: C a b = F b^ h - F a^ h siendo F la primitiva de f ; f# = F ( d f#a k = d F^ h ( f = lF Propiedades 1 f x^ h a a # dx = 0 ; 2 f x^ h a b # dx =- f x^ h b a # dx ; 3 f x^ h ! g x^ h6 @ a b # dx = f x^ hdx ! g x^ h a b #a b # dx 4 k.f x^ h a b # dx = k. f x^ h a b # dx ; 5 f x^ h a b # dx = f x^ h a c # dx + f x^ h c b # dx c d a,b6 @ 6 si f x^ h $ 0 en a,b6 @ ( f x^ h a b # dx $ 0 7 si f x^ h # 0 en a,b6 @ ( f x^ h a b # dx # 0 8 si f x^ h # g x^ h en a,b6 @ ( f x^ h a b # dx # g x^ h a b # dx Teorema del valor medio f una funcion continua en a,b6 @ ( 7 c d a,b^ h/ f x^ h a b # dx = f c^ h b - a^ h Integrales Impropias I = f x^ h a b # dx , si f x^ h no es continua en c d a,b6 @ ( I = lim x"c f x^ h a c # dx + lim x"c f x^ h c b # dx si el limite existe y es finito & I es convergente si el limite es 3 & I es divergente Propiedades f x^ hdx = lim b"+3a +3 # f x^ h a b # dx siendo f acotada en a, + 36 6 f x^ hdx = lim a"-3-3 b # f x^ h a b # dx siendo f acotada en -3,b@ @ f x^ hdx = lim a"-3-3 +3 # f x^ h a c # dx + lim b"+3 f x^ h c b # dx CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 18. Ejercicio 31 I = x dx 0 1 # , la funcion f x^ h = x 1 en el intervalo 0,16 @ la funcion no esta en 0 asi que es una integral impropia luego I = lim a"0 x dx a 1 # = lim a"0 2 x6 @a 1 = lim a"0 2 - 2 a^ h = 2 ( I converge Ejercicio 32 I = x - 1^ h2 dx 0 4 # ,aqui f x^ h = x - 1^ h2 1 A D f = R - 1" , y como estamos en el intervalo 0,46 @ f no es continua en x = 1 asi que I = lim a"1 x - 1^ h2 dx 0 a #; E + lim a"1 x - 1^ h2 dx a 4 #; E = lim a"1 x - 1 -1 8 B 0 a + lim a"1 x - 1 -1 8 B a 4 = lim a"1 a - 1 -1 - 1` j =3 1 2 344444444 44444444 + lim a"1 3 -1 + a - 1 1 ` j =3 1 2 34444444444 4444444444 ( I es divergente auque llegara a ser uno nada mas 3 I seria divergente^ h Ejercicio 33 I = 2x - 1 0 2 # dx 1º paso es descomponer el valor absoluto 2x - 1 = -2x + 1 si x 1 2 1 2x - 1 si x $ 2 1 * al descomponer el valor absoluto f A funcion a trozos y 2 1 d 0,26 @ I = -2x + 1^ h 0 2 1 # dx + 2x - 1^ h 2 1 2 # dx = -x2 + x6 @0 2 1 + x2 - x6 @2 1 2 ............................ Cambio de variable ** f g x^ h6 @ a b # lg x^ hdx = f u^ hdu g a^ h g b^ h # para mejor entenderlo veamos un par de ejercicios Ejercicio 34 I = x x 2 + 1^ h3 dx 0 1 # , aqui f x^ h = x x 2 + 1^ h3 f es continua en R,luego f continua en 0,16 @ & I no es impropia para resolver la integral hagamos cambio de variable u = x 2 + 1 & du = 2x.dx & 2 du = x.dx si x = 1 & u = 2 si x = 0 & u = 1 $ . ( I = 2 1 u 3 du = 2 1 1 2 # 4 u 4 : C 1 2 = 8 15 Ejercicio 35 I = r2 - x2 dx 0 r # A cambio de variable x = r.sent & dx = rcost.dt si x = r & sent = 1 & t = 2 r si x = 0 & sent = 0 & t = 0 Z [ ]]]]] ]]]]] asi que I = r 2 - r 2 sen 2 t 0 2 r # .r.cost.dt = r 2 1 - sen 2 t 0 2 r # .cost.dt = r 2 cos 2 t.dt 0 2 r # = 2 r 2 1 + cos2t^ hdt 0 2 r # I = 2 r 2 t + 2 sen2t 8 B0 2 r = 2 r 2 2 r - 0_ i = 4 rr 2 Area = A siempre es 5 A = f x^ h a b # dx = parte que esta encima del eje x - la parte que esta por debajo del eje x^ h a b # Area de 2 funciones f y g es A = f x^ h - g x^ h a b # dx Longitud = S = 1 + lf x^ h6 @2 a b # dx Volunen = V = Area x^ h a b # dx CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 19. AREA f(x).dx x=a x=b # f(y).dy y=a y=b # Area de una función respecto al eje x Para hallar el area de la función respecto al eje X se hacen cortes verticales al eje X n - isema en forma de rectangulos de altura ri y anchura dx asin que el area es el sumatorio de todas las areas de los rectangulos como se ve en la figura de al lado A = ri i=1 n / .dx = ri a b # .dx siendo ri = altura y esta definida por la función f(x) dx = anchura del rectangulo luego A = f(x) x=a x=b # .dx = f(x) a b # .dx CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 20. Area de una función respecto al eje y Para hallar el area de la función respecto al eje Y se hacen cortes verticales al eje Y n - isema en forma de rectangulos de anchura ri y altura dy asin que el area es el sumatorio de todas las areas de los rectangulos como se ve en la figura de al lado A = ri i=1 n / .dy = ri a b # .dy siendo ri = anchura y esta definida por la función f(y) dy = altura del rectangulo luego A = Area = f(y) y=a y=b # .dy = f(y) a b # .dy Area formada entre dos funciónes respecto al eje x Area de f(x) " tachado en negro Area de g(x) " tachado en rojo Los pasos a seguir son los seguientes: 1º sacar los puntos de interseccion entre f(x) y g(x) f(x) = g(x) , x = b x = a $ siendo a 1 b asi que a es el limite inferior,b limite superior 2º esbozar las graficas y por ultimo calcular la integral CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 21. VOLUMEN Metodo de los discos consiste en girar una region del plano al rededor de un eje (X) asi obtenemos un sólido de revolución. ** dividiendo el solido en sectores circulares(discos) ** haciendo cortes = al eje de rotación ** el radio r del disco siempre va dirigido del eje de rotación hacia la función original.(no hacia el reflejo) ** en los discos el radio varia de un disco a otro;pero siempre queda determinado por la funcion en cuestion y su grosor es el mismo para todos los discos, ver la imagen En la imagen el eje de rotacion es el eje X ri = el radio del disco = f(x) dx = altura del disco V = V de los discos^ h/ asi que el volumen queda determinado por: Vi = r.ri 2 .dx V = Vi i=1 i=n / = r.r 2 .dx = r f x^ h6 @ a b #a b # 2 dx Determinar el Volumen del sólido de revolución generado al hacer girar la funcion sobre eje Y es exactamente igual que el anterior lo unico que cambia es el eje de ratacion Y ri = radio del disco eje rotacion " funcion f(y)6 @,cortes = al eje de ratacion ver imagen de abajo^ h dy = altura del disco ; V = V de los discos^ h/ asi que el volumen queda determinado por: Vi = r.ri 2 .dy V = Vi i=1 i=n / = r.r 2 .dy = r f y^ h6 @ a b #a b # 2 dy CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 22. Volumen generado entre dos funciones ver imagenes para entenderlo mejor Ri = radio de la funcion f(x) ri = radio de la funcion g(x) *** rotacion respecto al eje X^ h Vi = volumen del disco = r Ri 2 - ri 2 ^ h.dx V = Vi i=1 n / = r R 2 - r 2 ^ hdx = r f(x)^ h2 - g x^ h^ h2 6 @.dx a b #a b # *** rotacion respecto al eje Y^ h Vi = volumen del disco = r Ri 2 - ri 2 ^ h.dy V = Vi i=1 n / = r R 2 - r 2 ^ hdy = r f(y)^ h2 - g y^ h^ h2 6 @.dy a b #a b # Rotación < al eje de ordenadas(eje y) otro metodo que permite la obtención del volumen generado por el giro de una area comprendida entre 2 funciones cualesquiera,f(x) y g(x) en un intervalo a,b6 @ tales que f(x) 2 g(x) en a,b6 @ alrededor de un eje de revolucion < al eje de ordenadas x = k(cte) 2 0 La formula del volumen es: V = 2r x - k^ h f(x) - g(x)6 @ a b # dx Observación: x - k^ h 2 0 , la recta x = k se encuentra a la izquierda de la región comprendida entre f(x) y g(x) Para los ejes de rotaciones verticales Y V = 2r x.h(x).dx ; siendo h(x) = funcion de derecha - la izquierda funcion de arriba - funcion de abajo % a b # Para los ejes de rotaciones horizontales Y V = 2r y.h(y).dy ; siendo h(y) = funcion de derecha - la izquierda funcion de arriba - funcion de abajo % c d # CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 23. Integrales Ejercicios resueltos Ejercicio 36 I = a - x 2 ^ h2 3 dx # I = a - x 2 ^ h2 3 dx # = a - x 2 ^ h3 dx # = a - x 2 ^ h a - x 2 ^ h dx # = a - x 2 ^ h a 1 - a x a k 2 c m dx # = I 1 - a x a k 2 nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 - sen 2 x = cos 2 x asi que hacemos cambio de variable sent = a x & x = a sent & dx = a cos t dt I = a - asen 2 t^ h a 1 - sen 2 t^ h a cos t dt # = a cos 2 t cos t a a cos t dt # = a 1 cos 2 t dt # = a 1 tgt y como tgt = a - x 2 x entonces I = a 1 a - x 2 x + cte --------------------------------- Ejercicio 37 I = a + x 2 ^ h2 3 dx # I = a + x 2 ^ h2 3 dx # = a + x 2 ^ h3 dx # = a + x 2 ^ h a + x 2 ^ h dx # = a + x 2 ^ h a 1 + a x a k 2 c m dx # = I 1 + a x a k 2 nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 + tg 2 x = cos 2 x 1 asi que hacemos cambio de variable tgt = a x & x = a tgt & dx = a cos 2 t 1 dt I = a + a tg 2 t^ h a 1 + tg 2 t^ h a cos 2 t 1 dt # = a cos 2 t 1 cos t 1 a a cos 2 t 1 dt # = a cos t 1 dt # = a 1 cos t dt = a 1 # sent y como sent = a + x 2 x luego I = a a + x 2 ^ h x + cte --------------------------------- Ejercicio 38 I = a - x a + x # dx a - x a + x # dx = a - x a - x a + x a - x # dx = a - x a 2 - x 2 # dx = a - x a 2 1 - a x _ i 2 ` j # dx = I 1 - a x _ i 2 nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 - sen 2 x = cos 2 x asi que hacemos cambio de variable sent = a x & x = asent & dx = a cos t dt t = arcsen a x I = a - asent a 2 1 - sen 2 t^ h # a cos t dt = a 1 - sent^ h a cos t a cos t dt # = a 1 - sent^ h a 2 cos 2 t dt # = a 1 - sent^ h a 2 1 - sen 2 t^ h dt = a 1 + sent^ h## dt = a 1 + sent^ h# dt = a 1dt + a sent dt## = at - a cos t + cte = a arcsen a x - a 2 - x 2 + cte --------------------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 24. Ejercicio 39 I = 7 3x-5 4 # dx 7 3x-5 4 # dx = 4.7 -3x+5 # dx = I como sabemos que todas las int egrales de la forma a f x^ h # dx se le hace cambio de variable t = f x^ h asi que t =- 3x + 5 & dt =- 3dx & dx = -3 dt luego queda I = 4 7 t # -3 dt = 3 -4 7 t # dt = 3 -4 7 t . ln 7 1 aplicando la formula a f x^ h # . lf x^ hdx = a f x^ h . ln a 1 por ultimo I = 3 ln 7 -4 7 -3x+5 + cte --------------------------------- Ejercicio 40 Demostracion de la formula 16 1 - f x^ h^ h2 lf x^ h # dx = 2 1 ln 1 - f x^ h 1 + f x^ h = ln 1 - f x^ h 1 + f x^ h 1 - f x^ h^ h2 lf x^ h # dx = I en el deno min ador tenemos 1 - f x^ h^ h2 nos hace pensar en 1 - sen 2 x asi que hacemos cambio de variable sent = f x^ h & cos t dt = lf x^ hdx I = 1 - sen 2 t cos t dt # = cos 2 t cos t dt # = cos t dt # utilizando la formula cost 1 = 2 1 1 + sent cost + 1 - sent cost 8 B I = 2 1 1 + sent cos t # dt + 2 1 1 - sent cos t # dt = 2 1 ln 1 + sent - 2 1 ln 1 - sent = 2 1 ln 1 - sent 1 + sent = 2 1 ln 1 - f x^ h 1 + f x^ h + cte --------------------------------- Ejercicio 41 Demostracion de la formula 13 en forma generalizada I = a2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx siendo a ! 0 a 2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a 2 1 + a f x^ h a k 2 nos hace recordar 1+tg2 1 2 3444444 444444 > H lf x^ h # dx asi que tagt = a f x^ h ( t = arctag a f x^ h 1 + tag 2 t^ hdt = a lf x^ h dx Z [ ]]]]] ]]]]] haciendo los cambios queda I = a 2 1 1 + a f x^ h : C 2 a a lf x^ h dx # = a 2 a 1 + tagt 1 + tag 2 t^ hdt # = a 1 1dt# = a 1 t = a 1 arctag a f x^ h + cte --------------------------------- Ejercicio 42 I = 1 + x 2 dx # 1 + x 2 dx # = 1 + x^ h2 dx # = arctagx + cte --------------------------------- Ejercicio 43 I = 1 + x 4 2x.dx # 1 + x 4 2xdx # = 1 + x 2 ^ h2 2x dx # = arctagx 2 + cte --------------------------------- Ejercicio 44 I = 5 + x 4 2x dx # CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 25. 5 + x 5 + x 4 2x dx # = 5^ h 2 + x 2 ^ h2 2x dx # = 5 1 arctag 5 x 2 + cte --------------------------------- Ejercicio 45 Demostracion de la formula 16 en forma generalizada I = a2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx siendo f x^ h !! a a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a 2 1 - a f x^ h a k 2 nos hace recordar 1-sen2 1 2 3444444 444444 > H lf x^ h # dx asi que sent = a f x^ h ( t = arcsen a f x^ h cost dt = a lf x^ h dx Z [ ]]]]] ]]]]] haciendo los cambios queda I = a 2 1 1 - a f x^ h : C 2 a a lf x^ h dx # = a 2 a 1 - sen 2 t cost dt # = a 1 cos 2 t cost dt # = a 1 cost 1 dt # y como sabemos que cost 1 = cos 2 t cost = 1 - sen 2 t cost = 1 - sent^ h 1 + sent^ h cost = 2 1 1 - sent cost + 1 + sent cost 8 B luego I = 2a 1 1 + sent cost # dt + 2a 1 1 - sent cost # dt = 2a 1 Ln 1 + sent - 2a 1 Ln 1 - sent I = 2a 1 Ln 1 - sent 1 + sent = 2a 1 Ln 1 - a f x^ h 1 + a f x^ h = 2a 1 Ln a - f x^ h a + f x^ h --------------------------------- Ejercicio 46 I = 1 - x 2 dx # 1 - x 2 dx # = 1 - x^ h2 1.dx # = 2 1 Ln 1 - x 1 + x + cte siendo x !! 1 --------------------------------- Ejercicio 47 I = 3 - x 4 2x.dx # 3 - x 4 2x.dx # = 3^ h 2 - x 2 ^ h2 2x.dx # = 2 3 1 Ln 3 - x 2 3 + x 2 + cte siendo x 2 ! 3 --------------------------------- Ejercicio 48 Demostracion de la formula 12 en forma generalizada I = a2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx I = a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a 1 - a f x^ h : C 2 nos hace recordar 1-sen2 1 2 3444444 444444 lf x^ h # dx asi que sent = a f x^ h ( t = arcsen a f x^ h cost dt = a lf x^ h dx Z [ ]]]]] ]]]]] haciendo los cambios queda I = a 1 1 - a f x^ h : C 2 a a lf x^ h dx # = 1 - sen2 t cost dt # = cos2 t cost dt # = 1dt = t# + cte CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 26. I = arcsen a f x^ h + cte --------------------------------- Ejercicio 49 I = 1 - x 2 dx # 1 - x 2 dx # = arcsenx + cte AA aplicando la formula a2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = arcsen a f x^ h + cte --------------------------------- Ejercicio 50 I = 9 - x 4 2x.dx # 9 - x 4 2x.dx # = 3 2 - x 2 ^ h2 2x.dx # = arcsen 3 x 2 + cte --------------------------------- Ejercicio 51 I = 9 - 2x - 1^ h2 dx # 9 - 2x - 1^ h2 dx # = hagamos que aparezca el 2 S d 2x-1^ h =2 6 7 844444444444 44444444444 2 1 3 2 - 2x - 1^ h2 2.dx # = 2 1 arcsen 3 2x - 1 + cte --------------------------------- En las integrales antes de ponernos a resolver os recomiendo seguir estos pasos fijarnos bien si se puede simplificar y se se puede asociar a algúna integral inmediata y tener bien memorizadas las formulas trigonometricas Ejercicio 52 Demostracion de la formula 17 en forma generalizada I = a2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx I = a 2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a 1 + a f x^ h : C 2 nos hace recordar 1+tag2 1 2 3444444 444444 lf x^ h # dx asi que tagt = a f x^ h ( t = arctag a f x^ h , sent = a 2 + f x^ h6 @2 f x^ h cos 2 t 1 dt = a lf x^ h dx Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] haciendo los cambios queda I = a 1 1 + a f x^ h : D 2 a a lf x^ h dx # = cos 2 t 1 cos 2 t 1 dt # = cost 1 cos 2 t 1 dt # = cost 1 dt = ya visto en ejercicio 45 ? 2 1 # Ln 1 - sent 1 + sent asi que I = 2 1 Ln 1 - a 2 + f x^ h6 @2 f x^ h 1 + a 2 + f x^ h6 @2 f x^ h = 2 1 Ln -f x^ h + a 2 + f x^ h6 @2 f x^ h + a 2 + f x^ h6 @2 --------------------------------- Ejercicio 53 I = 1 + x 2 dx # 1 + x 2 dx # = 2 1 Ln -x + 1 + x 2 x + 1 + x 2 + cte --------------------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 27. Ejercicio 54 I = 5 + x 4 2x.dx # 5 + x 4 2x.dx # = 5^ h 2 + x2 ^ h 2 2x.dx # = 2 1 Ln -x 2 + 5 + x 4 x 2 + 5 + x 4 + cte --------------------------------- Ejercicio 55 I = x 2 + 1 x 2 - 1 # dx x 2 + 1 x 2 - 1 # dx = x 2 + 1 x 2 + 1 - 2 # dx = x 2 + 1 x 2 + 1 # dx - 2 x 2 + 1 dx # = 1.dx - 2 1 + x 2 dx ## = x - 2arctagx + cte --------------------------------- Ejercicio 56 I = 1 + x 6 x 2 # dx 1 + x 6 x 2 # dx = 1 + x 3 ^ h2 x 2 # dx = 3 1 1 + x 3 ^ h2 3x 2 # dx = 3 1 arctagx 3 + cte --------------------------------- Ejercicio 57 I = x 2 Lnx # dx I = x 2 Lnx # dx en la integral tenemos dos funciones distintas (una logaritmica y algebraica) asi que la integral la resolveremos por partes fijandonos en en la palabra I funcion inversa ? L funcion logaritmica S A funcion algebraica ? T funcion trigonometrica S E funcion exponencial ? U es la primera funcion que aparezca en la palabra ILATE dV es la segunda funcion que aparezca en la palabra ILATE asi que u = Lnx ( du = x 1 dx dv = x 2 1 dx & v =- x 1 Z [ ]]]]] ]]]]] & I =- x 1 Lnx - x -1 # x 1 dx = x -Lnx + x 2 1 # dx = x -Lnx - x 1 + cte --------------------------------- Ejercicio 58 I = x Ln Lnx^ h # dx I = x Ln Lnx^ h # dx haciendo cambio de variable t = Lnx & dt = x 1 dx luego I queda de la seguiente manera I = x Ln Lnx^ h # dx = Ln Lnx^ h# x 1 dx = Lnt dt# asi que u = Lnt ( du = t 1 dt dv = dt & v = t * & I = t Lnt - t# t 1 dt = t Lnt - t + cte = Lnx.Ln Lnx^ h - Lnx + cte --------------------------------- Ejercicio 59 I = x.Lnx dx # x.Lnx dx # = Lnx x 1 # dx haciendo cambio variable t = Lnx & dt = x 1 dx luego I = t dt # = Lnt = Ln Lnx + cte --------------------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 28. Ejercicio 60 I = x - 1 x + 1 # dx I = x - 1 x + 1 # dx haciendo cambio variable t 2 = x - 1 & t =! x - 1 2tdt = dx ' I = t t 2 + 1 + 1^ h2tdt # = 2 t 2 + 2^ h# dt = 3 2 t 3 + 4t =! 3 2 x - 1^ h2 3 ! 4 x - 1 + cte --------------------------------- Ejercicio 61 - 62 I = e ax .cosbx.dx# sea J = e ax .senbx.dx# 1 I + i.J = e ax cosbx + isenbx^ h eibx 6 7 8444444444 444444444 # dx = e ax .# e ibx .dx = e ax+ibx # .dx = e ax+ibx a + ib 1 = e ax .e ibx a + ib 1 2 I - iJ = e ax cosbx - isenbx^ h 6 7 8444444444 444444444 # dx = e ax cos -bx^ h + isen -bx^ h^ h cos -b^ h=cos b^ h . sen -b^ h=-senb , e-ibx 6 7 844444444444444 44444444444444 e-ibx=cos -bx^ h+isen -bx^ h 1 2 344444444444444444444 44444444444444444444 # dx = e ax .# e-ibx .dx = e ax-ibx # .dx = e ax-ibx a - ib 1 I - iJ = e ax .e-ibx a - ib 1 1 + 2 = 2I = e ax .e ibx a + ib 1 + e ax .e-ibx a - ib 1 = e ax e ibx a + ib 1 + e-ibx a - ib 1 8 B = e ax a + ib cosbx + isenbx + a - ib cosbx - isenbx 8 B 2I = e ax a 2 + b 2 a.cosbx - ib.cosbx + ai.senbx + b.senbx + a.cosbx + ib.cosbx - ai.senbx + b.senbx ; E = 2I = e ax a 2 + b 2 2a.cosbx + 2b.senbx : D I = a 2 + b 2 e ax a.cosbx + b.senbx6 @ , para hallar eax .senbx.dx# basta con restar 1 - 2 y hacer mismos calculos y el resultado de e ax .senbx.dx# = a 2 + b 2 e ax -b.cosbx + a.senbx6 @ 2º metodo I = eax .cosbx.dx# tenemos 2 funciones ! lo resolvemos por partes dv = e ax & v = e ax a 1 u = cosbx & du =- b.senbx.dx ) ( I = cosbx.e ax a 1 - a 1 e ax # -b.senbx^ hdx = cosbx.e ax a 1 + a b e ax # senbx^ hdx volviendo a integrar por partes dv = e ax & v = e ax a 1 u = senbx & du = b.cosbx.dx ) ( I = a 1 e ax .cosbx + a b a 1 e ax .senbx - a b eax .cosbx.dx#: C I = a 1 e ax .cosbx + a 2 b e ax .senbx - a 2 b 2 eax .cosbx.dx# I 6 7 844444444 44444444 , I + a 2 b 2 I = a 1 e ax .cosbx + a 2 b e ax .senbx , I 1 + a 2 b 2 c m = a2 a2 +b2 6 7 84444 4444 = a 2 a e ax .cosbx + a 2 b e ax .senbx , I = a 2 + b 2 e ax a.cosbx + b.senbx6 @ --------------------------------- Ejercicio 63 I = x x + 1 # dx x x + 1 # dx ; haciendo cambio de variable x = tag 2 t ( dx = 2tagt 1 + tag 2 t^ hdt I = tagt 1 + tag 2 t # 2tagt 1 + tag 2 t^ hdt = 2 1 + tag 2 t^ h# d tagt^ h = 2tagt + 3 2 tag 3 t + cte = 2 x + 3 2 x^ h 3 + cte CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 29. 2º metodo x x + 1 # dx = x x # dx + x 1 # dx = x 2 1 # dx + x 2 -1 # dx = 3 2 x2 3 + 2x2 1 + cte 3º metodo x x + 1 # dx ; haciendo cambio de variable x = t ( 2 x 1 dx = dt ( dx = 2t.dt , luego x x + 1 # dx = t t 2 + 1 # 2.t.dt = = 3 2 t 3 + 2t = 3 2 x^ h 3 + 2 x + cte --------------------------------- Ejercicio 64 I = 1 + x 2 ^ h2 x 2 # dx I = 1 + x 2 ^ h2 x 2 # dx dv = 1 + x 2 ^ h2 x dx ( v = 2 1 + x 2 ^ h -1 u = x ( du = dx * ( I = 2 1 + x 2 ^ h -x + 2 1 1 + x 2 dx # = 2 1 + x 2 ^ h -x + 2 1 arctagx + cte 2º metodo I = 1 + x 2 ^ h2 x 2 # dx ; haciendo cambio de variable x = tagt ( t = arctagx & dt = 1 + x 2 dx dx = 1 + tag 2 t^ hdt * I = 1 + x 2 ^ h2 x 2 # dx = 1 + tag 2 t^ h2 tag 2 t. 1 + tag 2 t^ hdt # = 1 + tag 2 t^ h tag 2 t.dt # = cos 2 t 1 cos 2 t sen 2 t # dt = sen 2 t.dt# I = 2 1 - cos2t # dt = 2 1 1 - cos2t6 @# dt = 2 1 t - 4 1 sen2t = 2 1 t - 2 1 sent.cost = 2 1 arctagx - 2 1 1 + x 2 x 1 + x 2 1 + cte I = 2 1 arctagx - 2 1 1 + x 2 x + cte --------------------------------- Ejercicio 65 I = cos 2 x.cos2x.dx# I = cos 2 x.cos2x.dx = 2 1 + cos2x ## cos2x dx = 2 1 cos2x + cos 2 2x^ h# dx = 2 1 cos2x dx + 2 1 # cos 2 2x.dx# I = 4 1 sen2x + 2 1 2 1 + cos4x # = 4 1 sen2x + 4 1 dx + 4 1 # cos4x dx# = 4 1 sen2x + 4 1 x + 16 1 sen4x + cte 2º metodo I = cos 2 x.cos2x.dx# ; sea J = sen 2 x.cos2x.dx# 1 I + J = cos 2 x.cos2x +# sen 2 x.cos2x.dx = cos2x. cos 2 x + sen 2 x^ h# dx = cos2x.# dx = 2 1 sen2x 2 I - J = cos2x cos 2 x - sen 2 x^ h# dx = cos2x.cos2x.dx = cos 2 ## 2x.dx = 2 1 + cos4x dx# = 2 1 x + 8 1 sen4x 1 + 2 = 2I = 2 1 sen2x + 2 1 x + 8 1 sen4x ( I = 4 1 sen2x + 4 1 x + 16 1 sen4x + cte --------------------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 30. Ejercicio 66 I = a + b x dx # I = a + b x dx # ; cambio de variable t = a + b x ( dt = 2 x b dx & dt = b 2 t - a^ h b dx & dx = b 2 2 t - a^ h dt x = b t - aZ [ ]]]]]]] ]]]]]]] I = a + b x dx # = t b 2 2 t - a^ h # dt = b 2 2 t t - a # dt = b 2 2 1 - t a _ i# dt = b 2 2 dt -# b 2 2a t dt # = b 2 2 t - b 2 2a Lnt I = b 2 2 a + b x^ h - b 2 2a Ln a + b x + cte --------------------------------- Ejercicio 67 I = 1 + senx + cosx dx # I = 1 + senx + cosx dx # ; hacer cambio de variable t = tag 2 x ( 2 x = arctagt & x = 2.arctagt & dx = 1 + t 2 2.dt I = 1 + senx + cosx dx # = 1 + t 2 1 + t 2 + 1 + t 2 2t + 1 + t 2 1 - t 2 1 + t 2 2.dt # = 1 + t 2 2 + 2t 1 + t 2 2 # dt = 1 + t dt # = Ln 1 + t = Ln 1 + tag 2 x + cte --------------------------------- Ejercicio 68 I = senx + tagx dx # I = senx + tagx dx # ; Aplicando Bioche vemos que f -x^ h = sen -x^ h + tag -x^ h d -x^ h = senx + tagx dx = f x^ h asi que el cambio de variable es t = cosx & dt =- senx.dx =- 1 - t 2 dx & dx =- 1 - t 2 dt ver imagen de abajo^ h I = senx + tagx dx # = t t. 1 - t 2 + t 1 - t 2 1 - t 2 -dt # = t t + 1^ h 1 - t 2 1 - t 2 -dt # = t + 1^ h 1 - t 2 ^ h -t.dt # t + 1^ h 1 - t 2 ^ h t = t + 1^ h t + 1^ h 1 - t^ h t = t + 1^ h2 1 - t^ h t t + 1^ h2 1 - t^ h t = t + 1 A + t + 1^ h2 B + 1 - t C = t + 1^ h2 1 - t^ h A t + 1^ h 1 - t^ h + t + 1^ h2 1 - t^ h B 1 - t^ h + t + 1^ h2 1 - t^ h C t + 1^ h2 si t = 0 ( 0 = A + B + C & A = 4 -3 si t =- 1 (- 1 = 2B & B = 2 1 si t = 1 ( 1 = 4C & C = 4 1Z [ ]]]]]]]]] ]]]]]]]]] I = 4 3 t + 1 dt # - 2 1 t + 1^ h2 dt # - 4 1 1 - t dt # = 4 3 Ln 1 + t + 2 1 t + 1^ h-1 + 4 1 Ln 1 + t + cte I = 4 3 Ln 1 + cosx + 2 1 1 + cosx^ h-1 + 4 1 Ln 1 + cosx + cte --------------------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 31. Ejercicio 69 I = a 2 - x 2 ^ h2 5 dx # I = a 2 - x 2 ^ h2 5 dx # = a 2 1 - a x _ i 2 8 B es parecido a 1-sen2 1 2 344444 44444f p 2 5 dx # ; cambio de variable sent = a x sent = a x ( cost = a a 2 - x 2 & a.cost = a 2 - x 2 cost dt = a dx & a.cost.dt = dx Z [ ]]]]] ]]]]] I = a 2 - x 2 ^ h2 5 dx # = a.cost^ h5 a.cost.dt # = a 4 .cos 4 t dt # = a 4 1 cos 2 t 1 # cos 2 t 1 dt I = a 4 1 cos 2 t 1 # d tagt^ h = a 4 1 1 + tag 2 t^ h# d tagt^ h = a 4 1 tagt + 3 1 tag 3 t` j ; tagt = a 2 - x 2 x I = a 4 1 a 2 - x 2 x + 3 1 a 2 - x 2 x c m+ cte --------------------------------- Ejercicio 70 I = acos 2 wt + bsen 2 wt^ h# dt ; w ! 0 I = acos 2 wt + bsen 2 wt^ h# dt , sabemos que cos 2 wt = 2 1 + cos2wt y sen 2 wt = 2 1 - cos2wt I = 2 a + acos2wt + 2 b - bcos2wt` jdt = 2 a + b + 2 a - b cos2wt` j## dt = 2 a + b t + 4w a - b sen2wt + cte 2º metodo I = acos 2 wt + bsen 2 wt^ h# dt , sea J = bcos 2 wt + asen 2 wt^ h# dt 1 I + J = acos 2 wt + bsen 2 wt^ h# + bcos 2 wt + asen 2 wt^ hdt = a + b^ h cos 2 wt + sen 2 wt^ hdt# = a + b^ h# dt = a + b^ ht 2 I - J = a - b^ h# cos 2 wt + b - a^ hsen 2 wt.dt = a - b^ h cos 2 wt - sen 2 wt6 @ =cos2wt 6 7 84444444444 4444444444 # dt = 2w a - b^ h sen2wt 1 + 2 = 2I = a + b^ ht + 2w a - b sen2wt ( I = 2 a + b^ ht + 4w a - b sen2wt --------------------------------- Ejercicio 71 I = senx.cosx dx # I = senx.cosx dx # , a senx.cosx 1 = tagx + cotgx , I = tagx + cotgx^ h# dx = tagx.dx + cotgx.dx## I = cosx senx # dx + senx cosx # dx =- Ln cosx + Ln senx = Ln cosx senx + cte = Ln tagx + cte 2º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a I = senx.cosx dx # = senx.cosx sen 2 x + cos 2 x # dx , b sen 2 x + cos 2 x = 1 I = senx.cosx sen 2 x dx# + senx.cosx cos 2 x # dx = cosx senx # dx + senx cosx # dx =- Ln cosx + Ln senx I = Ln cosx senx + cte = Ln tagx + cte 3º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a y b I = senx.cosx dx # = senx.cosx dx # = 2 1 sen2x dx # = 2 sen2x dx # c sen2x = 2senx.cosx y senx 1 = 2 1 1 - cosx senx + 1 + cosx senx 7 A 1 - cos2x^ hl= 2sen2x , 1 + cos2x^ hl=- 2sen2x I = 2 2 1 1 - cos2x sen2x + 1 + cos2x sen2x ` j# dx = 1 - cos2x sen2x # dx + 1 + cos2x sen2x # dx = 2 1 1 - cos2x 2sen2x # dx + 2 1 1 + cos2x 2sen2x # dx CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 32. I = 2 1 Ln 1 - cos2x - 2 1 Ln 1 + cos2x = 2 1 Ln 1 + cos2x 1 - cos2x = Ln 1 + cos2x 1 - cos2x = Ln tagx^ h + cte , tag 2 x = 1 + cos2x 1 - cos2x 4º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a y b y c I = senx.cosx dx # = senx.cos 2 x cosx.dx # = senx cosx tagx 1 D # cos 2 x 1 tagx^ hl F dx = tagx 1 d tagx^ h# = Ln tagx + cte 5º metodo I = senx.cosx dx # , sea J = cosx senx # dx = senx.cosx sen 2 x # dx 1 I - J = senx.cosx 1 - sen 2 x # dx = senx.cosx cos 2 x # dx = senx cosx # dx = Ln senx 2 J = cosx senx # dx =- cosx -senx # dx =- Ln cosx 1 + 2 = I = Ln senx - Ln cosx = Ln cosx senx = Ln tagx + cte 6º metodo I = senx.cosx dx # , aplicando la regla de Bioche f -x^ h = sen -x^ h.cos -x^ h d -x^ h = -senx.cosx -dx = senx.cosx dx = f x^ h , sen -x^ h =- senx , cos -x^ h = cosx cambio de varible t = cosx ( senx = 1 - t 2 , cosx = t t = cosx & x = arcost t = cosx & dt =- senx.dx & dt =- 1 - t 2 .dx Z [ ]]]]] ]]]] I = senx.cosx dx # =- t. 1 - t 2 1 - t 2 dt # =- t. 1 - t 2 ^ h dt # =- t. 1 + t^ h. 1 - t^ h dt # t. 1 + t^ h. 1 - t^ h 1 = t A + 1 + t B + 1 - t C = t. 1 + t^ h. 1 - t^ h A 1 + t^ h. 1 - t^ h + B.t. 1 - t^ h + C.t. 1 + t^ h si t =- 1 & 1 =- 2C & C = 2 1 t = 1 & 1 = 2B & B =- 2 1 t = 0 & A = 1Z [ ]]]]]] ]]]]]] asi que I =- t dt # + 2 1 1 + t dt # + 2 1 1 - t -dt # =- Ln t + 2 1 Ln 1 + t + 2 1 Ln 1 - t =- Ln t + 2 1 Ln 1 + t 1 - t = 1-t2 6 7 84444444 4444444d n I =- Ln cosx + Ln 1 - cos 2 x =- Ln cosx + Ln senx = Ln cosx senx = Ln tagx + cte Ejercicio 72 I = f x^ h6 @2 - a2 lf x^ h # dx I = f x^ h6 @2 - a 2 lf x^ h # dx = a. a f x^ h : C 2 - 1 lf x^ h # dx , cambio de variable cost 1 = a f x^ h ( cost = f x^ h a cost = f x^ h a ( f x^ h = cost a , sent = f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 -sent.dt =- a f x^ h6 @2 lf x^ h.dx ( sent.dt = a f x^ h6 @2 lf x^ h.dxZ [ ]]]]]]] ]]]]]]] I = a 2 . tag 2 t f x^ h6 @2 .sent.dt # = a 2 . cost sent f x^ h6 @2 .sent.dt # = a 1 cost.# f x^ h6 @2 .dt = cost 1 # dt aplicando la formula cosx 1 = 2 1 1 - senx cosx + 1 + senx cosx 7 A I = 2 1 1 - sent cost + 1 + sent cost ` j# dt = 2 1 1 + sent cost # dx - 2 1 1 - sent -cost # dx = 2 1 Ln 1 - sent 1 + sent I = 2 1 Ln 1 - f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 1 + f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 = 2 1 Ln f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 = 2 1 Ln f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 e o CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 33. I = 2 1 Ln f x^ h6 @2 - f x^ h^ h2 - a 2 6 @ f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 = G = 2 1 Ln a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 < F = Ln a f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 I = Ln f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 - Lna = Ln f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 + cte --------------------------------- Ejercicio 73 I = 1 + x dx # , haciendo cambio de variable x = t - 1^ h2 ( dx = 2 t - 1^ hdt t - 1 = x & t = x + 1 ( I = 1 + x dx # = t 2 t - 1^ hdt # = 2 t t - 1 # dt = 2 dt - 2 t dt ## = 2t - 2Lnt = 2 x + 1^ h - 2Ln x + 1^ h + cte a 2º metodo I = 1 + x dx # , haciendo cambio de variable x = t 2 & t = x dx = 2t.dt ' I = 1 + t 2t.dt # = 2 1 - 1 + t 1 ` j# dt = 2 dt - 2 1 + t 1 dt = 2t - 2Ln 1 + t^ h## = 2 x - 2Ln 1 + x^ h + ct le b los resultados a y b son el mismo haciendo 2 + cte = ct le --------------------------------- Ejercicio 74 I = cos 5 x sen 3 x # dx I = cos 5 x sen 3 x # dx = tag 3 x cos 2 x 1 # dx = tag 3 x# d tagx^ h = 4 1 tag 4 x + cte --------------------------------- Ejercicio 75 I = x sen x cos x dx =# I = x sen x cos x dx =# sen x cos x x 1 dx , se observa que d sen x^ h# = cos x 2 1 x 1 dx I = 2 sen x cos x 2 x 1 dx# = 2 sen x dsen x # = 2Ln sen x + cte --------------------------------- Ejercicio 76 I = 1 + 2senx.cosx senx - cosx # dx I = 1 + 2senx.cosx senx - cosx # dx = senx + cosx^ h2 senx - cosx a k# dx , senx + cosx^ h2 = 1 + 2senx.cosx sea u = senx + cosx ( du = cosx - senx^ hdx ,luego I =- senx + cosx^ h2 -senx + cosx # dx =- u 2 du # =- u-2 # du = u-1 = senx + cosx 1 + cte --------------------------------- Ejercicio 77 I = 1 + 2senx.cosx cos2x # dx I = 1 + 2senx.cosx cos2x # dx = senx + cosx^ h2 cos 2 x - sen 2 x c m# dx , cos2x = cos 2 x - sen 2 x I = senx + cosx^ h 2 cosx - senx^ h cosx + senx^ h # dx = senx + cosx^ h cosx - senx^ h # dx = Ln senx + cosx + Cte. CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 34. ^ h ^ h 2º metodo I = 1 + 2senx.cosx cos2x # dx = 1 + sen2x cos2x # dx = 2 1 1 + sen2x d sen2x^ h # = 2 1 Ln 1 + sen2x = Ln 1 + sen2x 1+sen2x= senx+cosx^ h2 6 7 84444444 4444444 = Ln senx + cosx + Cte. --------------------------------- Ejercicio 78 I = 1 + senx.cosx senx.cosx # dx = 2 1 1 + 2 1 sen2x sen2x # dx = 2 1 2 + sen2x 2sen2x # dx = 2 + sen2x sen2x # dx haciendo cambio de variable t = 2x & dt = 2.dx luego I = 2 1 1 - 2 + sent 2 ` j# dt = 2 1 t - 2 + sent dt # = x - 2 + sent dt # A 1 2 3444444 444444 A = 2 + sent dt # haciendo cambio de variable tag 2 t = n & 2 t = arctagn & t = 2.arctagn & dt = 1 + n 2 2 dn A = 1 + n 2 2n + 2 1 + n 2 2 # dn = 1 + n 2 2 n 2 + n + 1^ h 1 + n 2 2 # dn = n 2 + n + 4 1 - 4 1 + 1 dn # = n + 2 1 ` j 2 + 2 3 c m 2 dn # y como sabemos que a 2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a 1 arctag a f x^ h + cte n + 2 1 ` j 2 + 2 3 c m 2 dn # = 3 2 arctag 2 3 2 2n + 1J L KKKKKKKKKK N P OOOOOOOOOO = 3 2 arctag 3 2n + 1 = 3 2 arctag 3 2.tag 2 t + 1 = 3 2 arctag 3 2.tag 2 2x + 1 = 3 2 arctag 3 2.tagx + 1 luego I = x - 3 2 arctag 3 2.tagx + 1 + cte --------------------------------- Ejercicio 79 I = a x .b x a x - b x ^ h2 # dx I = a x .b x a x - b x ^ h2 # dx = a x .b x a 2x - 2.a x .b x + b 2x # dx = a x .b x a 2x # dx - 2 a x .b x a x .b x # dx + a x .b x b 2x # dx = b x a x # dx - 2 1# dx + a x b x # dx I = b a _ i x # dx - 2x + a b ` j x # dx = Ln b a b a _ i x - 2x + Ln a b a b ` j x = Lna - Lnb b a _ i x - 2x + - Lna - Lnb^ h a b ` j x = Lna - Lnb b a _ i x - a b ` j x - 2x + cte --------------------------------- Ejercicio 80 I = x 2 - a 2 # dx I = x 2 - a 2 # dx resolviendo por partes dv = dx & v = x u = x 2 - a 2 & du = x 2 - a 2 x dx * I = x. x 2 - a 2 - x 2 - a 2 x 2 # dx = x. x 2 - a 2 - x 2 - a 2 x 2 - a 2 + a 2 # dx = x. x 2 - a 2 - x 2 - a 2 x 2 - a 2 # dx - a 2 x 2 - a 2 dx # I = x. x 2 - a 2 - x 2 - a 2 # dx - a 2 a. a x _ i 2 - 1 dx # = x. x 2 - a 2 - x 2 - a 2 # dx - a 2 a x _ i 2 - 1 a 1 dx # I = x. x 2 - a 2 - I - a 2 Ln a x + a x _ i 2 - 1 ( I = 2 x. x 2 - a 2 - 2 a 2 Ln a x + a x _ i 2 - 1 + cte --------------------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 35. Ejercicio 81 I = tagx# .dx I = tagx# .dx , sea t 2 = tagx & t = tagx 2t.dt = 1 + tag 2 x^ h.dx ( I = t. 1 + t 4 2t # dt = 1 + t 4 2t 2 # dt como se ve el denominador tiene soluciones complejas asi que resolvamoslo. t 4 + 1 = t 2 + 1^ h2 - 2t 2 = t 2 + 1^ h2 - 2 .t^ h 2 = t 2 + 2 .t + 1^ h t 2 - 2 .t + 1^ h I = 1 + t 4 2t 2 # dt = t 2 + 2 .t + 1 At + B # dt + t 2 - 2 .t + 1 lA t + lB # dt a I = 1 + t 4 At + B^ h t 2 - 2 .t + 1^ h + lA t + lB^ h t 2 + 2 .t + 1^ h # dt si t = 0 ( 0 = B + lB ( B =- lB si t = i (- 2 = B + iA^ h -i 2^ h + i lA + lB^ h i 2^ h = A - lA^ h =- 2 6 7 84444 4444 2 + i 2 lB - B^ h =0 6 7 84444 4444 ( A - lA =- 2 ( lA = A + 2 lB = B y B =- lB ( lB = B = 0 ( si t = 1 ( 2 = 2 - 2^ hA + 2 + 2^ h lA = 2 - 2^ hA + 2 + 2^ h A + 2^ h lA 6 7 844444 44444 = 4A + 2 2 + 2 2 = 4A + 2 2 + 2 ( 4A + 2 2 = 0 ( A = 2 - 2 lA = 2 2 a , I = 1 + t 4 2t 2 # dt = t 2 + 2 .t + 1 2 - 2 t # dt + t 2 - 2 .t + 1 2 2 t # dt = 4 - 2 t 2 + 2 .t + 1 2t.dt # + 4 2 t 2 - 2 .t + 1 2t.dt # I = 4 - 2 t 2 + 2 .t + 1 2t + 2 - 2^ h.dt # + 4 2 t 2 - 2 .t + 1 2t - 2 + 2^ h.dt # I = 4 - 2 t 2 + 2 .t + 1 2t + 2^ h.dt # + 4 2 t 2 - 2 .t + 1 2t - 2^ h.dt # - 4 2 t 2 + 2 .t + 1 - 2^ h.dt # + 4 2 t 2 - 2 .t + 1 2^ h.dt # I = 4 - 2 Ln t 2 + 2 .t + 1 + 4 2 Ln t 2 - 2 .t + 1 + 2 1 t 2 + 2 .t + 1 dt # + 2 1 t 2 - 2 .t + 1 dt # Ahora descompongamos t 2 - 2 .t + 1 = t 2 - 2 .t + 2 1 - 2 1 + 1 = t - 2 1 c m 2 + 2 1 c m 2 t 2 + 2 .t + 1 = t 2 + 2 .t + 2 1 - 2 1 + 1 = t + 2 1 c m 2 + 2 1 c m 2Z [ ]]]]]] ]]]]]] I = 4 - 2 Ln t 2 + 2 .t + 1 + 4 2 Ln t 2 - 2 .t + 1 + 2 1 t + 2 1 c m 2 + 2 1 c m 2 dt # + 2 1 t - 2 1 c m 2 + 2 1 c m 2 dt # Aplicando la formula a2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a 1 arctag a f x^ h I = 4 - 2 Ln t 2 + 2 .t + 1 + 4 2 Ln t 2 - 2 .t + 1 + 2 2 arctag 2 .t + 1^ h + 2 2 arctag 2 .t - 1^ h + cte I = 4 - 2 Ln tagx + 2.tagx + 1 + 4 2 Ln tagx - 2.tagx + 1 + 2 2 arctag 2.tagx + 1^ h + 2 2 arctag 2.tagx - 1^ h + cte I = 4 2 Ln tagx + 2.tagx + 1 tagx - 2.tagx + 1 + 2 2 arctag 2.tagx + 1^ h + 2 2 arctag 2.tagx - 1^ h + cte --------------------------------- Ejercicio 82 I = senx + cosx senx # dx I = senx + cosx senx # dx , sea J = senx + cosx cosx # dx 1 I + J = senx + cosx senx # dx + senx + cosx cosx # dx = senx + cosx senx + cosx # dx = dx = x# CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 36. 2 I - J = senx + cosx senx # dx - senx + cosx cosx # dx = senx + cosx senx - cosx # dx =- senx + cosx -senx + cosx # dx =- Ln senx + cosx 1 + 2 = 2I = x - Ln senx + cosx ( I = 2 1 x - Ln senx + cosx^ h --------------------------------- Ejercicio 83 I = 1 + cosx dx # I = 1 + cosx dx # , sabemos que cos 2 x = 2 1 + cos2x luego 1 + cosx = 2.cos 2 2 x I = 1 + cosx dx # = 2.cos 2 2 x dx # = cos 2 2 x 2 1 dx # = d tag 2 x _ i# = tag 2 x + cte 2º metodo como no se cumple ninguna de las 3 reglas de bioche el cambio de variable sera de t = tag 2 x t = tag 2 x ( cosx = 1 + t2 1 - t2 arctagt = 2 x & 2.arctagt = x & 1 + t2 2.dt = dx Z [ ]]]]] ]]]]] I = 1 + cosx dx # = 1 + 1 + t2 1 - t2 1 + t2 2.dt # = 1 + t2 2.dt 1 + t2 2.dt # = dt = t =# tag 2 x + cte --------------------------------- Ejercicio 84 I = x 2 x.cosx - senx # dx I = x 2 x.cosx - senx # dx ; g x^ h6 @2 lf x^ h.g x^ h - f x^ h. lg x^ h # = g x^ h f x^ h f x^ h = senx ( lf x^ h = cos x g x^ h = x ( lg x^ h = 1 3 ( I = x 2 x.cosx - senx # dx ( I = x senx + cte --------------------------------- Ejercicio 85 I = x 2 Lnx - 1 # dx es de la forma g x^ h6 @2 lf x^ h.g x^ h - f x^ h. lg x^ h # = g x^ h f x^ h I = x 2 Lnx - 1 # dx , f x^ h = Lnx ( lf x^ h = x 1 g x^ h =- x ( lg x^ h =- 1 * 4 ( I = -x^ h2 x 1 -x^ h - Lnx. -1^ h # dx I = x 2 -1 + Lnx # dx = -x Lnx + cte --------------------------------- Ejercicio 86 I = sen 2 x + 1 cosx # dx I = sen 2 x + 1 cosx # dx = sen 2 x + 1 dsenx # , nos recuerda a 1 + x 2 dx # = arctagx luego I = arctag senx^ h + cte CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 37. Ejercicio 87 I = tagx3 # .dx I = tagx3 # .dx , cambio variable t 3 = tagx & x = arctag t3 ^ h & dx = 1 + t 3 ^ h2 3t 2 .dt = 1 + t 6 3t 2 .dt I = t.# 1 + t 6 3t 2 .dt = 1 + t 6 3t 3 .dt # = 1 + t 6 3t 3 .dt # , 1 + t 6 = 1 3 + t 2 ^ h3 = 1 + t 2 ^ h 1 2 - t 2 + t 4 ^ h ahora descompogamos la fraccion 1 + t 6 3t 3 = 1 + t 2 ^ h 1 - t 2 + t 4 ^ h 3t3 1 + t 2 ^ h 1 - t 2 + t 4 ^ h 3t3 = 1 + t 2 At + B + 1 - t 2 + t 4 Ct 3 + Dt 2 + Et + F 3t3 = At + B^ h 1 - t 2 + t 4 ^ h + 1 + t 2 ^ h Ct 3 + Dt 2 + Et + F^ h 3t3 = At - At 3 + At 5 + B - Bt 2 + Bt 4 + Ct 3 + Ct 5 + Dt 2 + Dt 4 + Et + Et 3 + F + Ft2 3t3 = t 5 A + C^ h + t 4 B + D^ h + t 3 -A + C + E^ h + t 2 -B + D + F^ h + t A + E^ h + B + F^ h Aplicando igualdad de polinomios resulta: B + F = 0 & B =- F 6 A + E = 0 & A =- E 5 -B + D + F = 0 & F =- 2D 4 -A + C + E = 3 & E = 3 + 2A 3 B + D = 0 & B =- D 2 A + C = 0 & A =- C 1 _ ` a bbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbb Z [ ]]]]]]]]]]]] ]]]]]]]]]]]] & 2 , 4 y 6 &- B = F =- 2D = D b 1 , 5 y 3 & A =- C =- E =- 3 - 2A aZ [ ]]]]] ]]]] a &- 3 - 2A = A &- 3 = 3A & A =- 1 luego C = E = 1 b &- 2D = D & D = 0 luego B = F = 0 asi que 1 + t 2 ^ h 1 - t 2 + t 4 ^ h 3t3 = 1 + t 2 At + B + 1 - t 2 + t 4 Ct 3 + Dt 2 + Et + F = 1 + t 2 -t + 1 - t 2 + t 4 t 3 + t I = 1 + t 2 -t + 1 - t 2 + t 4 t 3 + t c mdt# = 1 + t 2 -t ` jdt# + 1 - t 2 + t 4 t 3 + t c mdt# I = 2 -1 1 + t 2 2t a kdt# + 4 1 1 - t 2 + t 4 4t 3 + 4t c mdt# en la 2º integral d 1 - t 2 + t 4 ^ h = 4t 3 - 2t I = 2 -1 Ln 1 + t 2 ^ h + 4 1 1 - t 2 + t 4 4t 3 - 2t c mdt# + 4 1 1 - t 2 + t 4 6t a kdt# I = 2 -1 Ln 1 + t 2 ^ h + 4 1 Ln 1 - t 2 + t 4 + 4 1 1 - t 2 + t 4 6t a kdt# , 1 - t 2 + t 4 = t 4 - t 2 + 4 1 - 4 1 + 1 = t 2 - 2 1 ` j 2 + 2 3 c m 2 I = 2 -1 Ln 1 + t 2 ^ h + 4 1 Ln 1 - t 2 + t 4 + 2 3 t 2 - 2 1 ` j 2 + 2 3 c m 2 t f p dt# I = 2 -1 Ln 1 + t 2 ^ h + 4 1 Ln 1 - t 2 + t 4 + 2 3 2 1 t 2 - 2 1 ` j 2 + 2 3 c m 2 2t f p dt# I = 2 -1 Ln 1 + t 2 ^ h + 4 1 Ln 1 - t 2 + t 4 + 4 3 3 2 arctag 2 3 t 2 - 2 1 + cte I = 2 -1 Ln 1 + t 2 ^ h + 4 1 Ln 1 - t 2 + t 4 + 2 3 arctag 3 2t 2 - 1 + cte I = 2 -1 Ln 1 + tagx3^ h 2 _ i + 4 1 Ln 1 - tagx3^ h 2 + tagx3^ h 4 + 2 3 arctag 3 2 tagx3^ h 2 - 1 + cte Ejercicio 88 I = secx.tagx.dx# I = secx.tagx.dx# = cosx 1 # cosx senx dx = cos 2 x senx.dx # =- cos-2 x.d cosx^ h# = cosx 1 + cte ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 38. ----------------------- Ejercicio 89 I = x cotag x # dx I = x cotag x # dx = sen x cos x # x 1 dx = sen x cos x # 2 x 2 dx , d sen x^ h = cos x . 2 x 1 dx I = 2 sen x d sen x^ h # = 2.Ln sen x + cte ----------------------- Ejercicio 90 I = cos 3 x.senx dx # I = cos 3 x.senx dx # = cos 4 x. cosx senx dx # = cos 2 x dx # tagx 1 = tagx 1 # d tagx^ h = 2 tagx + cte ----------------------- Ejercicio 91 I = 2x - 3^ h.tag x 2 - 3x^ h# .dx I = 2x - 3^ h.tag x 2 - 3x^ h# .dx , cambio variable u = x 2 - 3x & du = 2x - 3^ hdx I = tagu.du = cosu senu ## du =- cosu -senu # du =- Ln cosu =- Ln cos x 2 - 3x^ h + cte ----------------------- Ejercicio 92 I = 1 + x 1 - x # dx I = 1 + x 1 - x # dx , cambio variable x = cos2t ( 2 1 arcsenx = t sen 2 t = 2 1 - cos2t cos 2 t = 2 1 + cos2t dx =- 2.sen2t.dtZ [ ]]]]]]]]] ]]]]]]]]] I = 1 + cos2t 1 - cos2t # -2.sen2t.dt^ h = 2cos 2 t 2sen 2 t # -2.sen2t.dt^ h = tagt# . -2.sen2t^ h.dt I =- 2 cost sent # .2sent.cost.dt =- 4 sen 2 t.dt =- 4 2 1 - cos2t ## dt =- 2 dt + 2cos2t.dt =- 2t + sen2t + cte## I =- 2. 2 1 arccosx + 1 - x 2 + cte =- arccosx + 1 - x 2 + cte ----------------------- Ejercicio 93 I = a + b x dx # , b ! 0 I = a + b x dx # se hace cambio de variable t = a + b x ( x = b t - a dt = 2 x b dx & dx = b 2 2 t - a^ h dt Z [ ]]]]]] ]]]]]] I = a + b. b t - a b 2 2 t - a^ h dt # = b 2 2 t t - a dt# = b 2 2 dt# - b 2 2a t dt # I = b 2 2 t - b 2 2a Lnt = b 2 2 a + b x^ h - b 2 2a Ln a + b x^ h + cte Ejercicio 94 I = x dx # CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 39. I = x dx # aqui a = 0 y b = 1 asi que I = 2 x + cte ----------------------- Ejercicio 95 I = 2 + 3 x dx # I = 2 + 3 x dx # aqui a = 2 y b = 3 asi que I = 9 2 2 + 3 x^ h - 9 4 Ln 2 + 3 x^ h + cte Ejercicio 96 I = senx + cosx 1 + cotgx # dx I = senx + cosx 1 + cotgx # dx = senx + cosx 1 + senx cosx # dx = senx + cosx senx senx + cosx # dx = senx dx # I = senx dx # para resolverlo ver ejercicio 18, vamos a utilizar otro metodo I = senx dx # , sea J = senx cosx.dx # cos 2 a = 2 1 + cos2a cos 2 a = 2 1 + cos2a sen2a = 2sena.cosa 1 I + J = senx 1 + cosx.dx # = senx 2cos 2 2 x .dx # = 2sen 2 x cos 2 x 2cos 2 2 x .dx # = 2 sen 2 x 2 1 cos 2 x # dx = 2 sen 2 x d sen 2 x _ i # = 2Ln sen 2 x + ct le 2 I - J = senx 1 - cosx.dx # = senx 2sen 2 2 x .dx # = 2sen 2 x cos 2 x 2sen 2 2 x .dx # = 2 cos 2 x 2 1 sen 2 x # dx =- 2 sen 2 x d cos 2 x _ i # =- 2Ln cos 2 x + ct me 1 + 2 = 2I = 2Ln sen 2 x + ct le - 2Ln cos 2 x + ct me ( I = Ln sen 2 x - 2Ln cos 2 x + cte ( I = Ln tag 2 x + cte ----------------------- Ejercicio 97 I = cos 4 x senx # dx I = cos 4 x senx # dx =- cos-4 x.d cosx^ h# = 3 1 cos-3 x + cte ----------------------- Ejercicio 98 I = 2x. x cosx + 2x.senx # dx I = 2x. x cosx + 2x.senx # dx = 2x x cosx # + x senx = x 2 x cosx + x .senx # dx , x x = x 1 , d g f a k = g 2 lf .g - f. lg g x^ h = x ( lg x^ h = 2 x 1 f x^ h =- cosx ( lf x^ h = senx * 4 asi que I = x -cosx + cte ----------------------- Ejercicio 99 I = x x - a^ h dx # CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 40. I = x x - a^ h dx # , x x - a^ h = x 2 - ax = x 2 - ax + 4 a 2 - 4 a 2 = x - 2 a _ i 2 - 2 a _ i 2 I = x - 2 a _ i 2 - 2 a _ i 2 dx # = Ln x - 2 a + x x - a^ h + cte ----------------------- Ejercicio 100 I = x 1 + x 2 dx # I = x 1 + x 2 dx # , haciendo cambio de variable x = t 1 & dx = t 2 -dt I = t 1 1 + t 1 ` j 2 t 2 -dt # = t 1 t 2 t 2 + t 2 1 t 2 -dt # = t 2 1 t 2 + 1 t 2 -dt # = 1 + t 2 -dt # = Ln t - 1 + t 2 + cte I = Ln t - 1 + t 2 + cte = Ln x 1 - 1 + x 1 ` j 2 + cte ----------------------- Ejercicio 101 I = cos2x dx # I = cos2x dx # = cos 2 x - sen 2 x dx # = cos 2 x 1 - cos 2 x sen 2 x c m dx # = cos 2 x 1 - tag 2 x^ h dx # = 1 - tag 2 x 1# cos 2 x dx = 1 - tag 2 x d tagx^ h # haciendo cambio variable t = tagx ( I = 1 - t 2 dt # , 1 - t 2 1 = 2 1 1 + t 1 + 1 - t 1 8 B I = 2 1 1 + t dt # + 2 1 1 - t dt # = 2 1 Ln 1 + t - 2 1 Ln 1 - t = 2 1 Ln 1 - t 1 + t = Ln 1 - tagx 1 + tagx + cte ----------------------- Ejercicio 102 I = f x^ h6 @2 - a 2 ! lf x^ hdx # = Ln a f x^ h ! f x^ h6 @2 - a2 siendo a ! 0 vamos a demostrar esta igualdad: I = f x^ h6 @2 - a 2 lf x^ hdx # = a a f x^ h : C 2 - 1 lf x^ hdx # = a f x^ h : C 2 - 1 a lf x^ h dx # , a f x^ h : C 2 - 1c mtiene semejanza a cos 2 t 1 - 1 asi que haciendo cambio de variable cos t 1 = a f x^ h ( cos t = f x^ h a cost = f x^ h a ( f x^ h = cos t a & f x^ h6 @2 = cos 2 t a 2 -sent.dt = f x^ h6 @2 -a. lf x^ h.dx & a f x^ h6 @2 .sent.dt = lf x^ h.dx ( Z [ ]]]]]] ]]]]]] lf x^ h.dx = cos 2 t a 2 a sent.dt I = a f x^ h : C 2 - 1 a lf x^ h dx # = tag 2 t cos 2 t sent.dt # = cost dt # se ha aplicado la formula 1 + tag 2 t = cos 2 t 1 I = cos t dt # = 2 1 1 + sent cos t + 1 - sent cos t 8 B# dt = 2 1 1 + sent cos t dt# + 2 1 1 - sent cos t dt# ^ h6 @ CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 41. I = 2 1 Ln 1 + senx^ h - 2 1 Ln 1 - sent^ h = 2 1 Ln 1 - sent 1 + sent = 2 1 Ln 1 - f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 1 + f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 I = 2 1 Ln f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 = 2 1 Ln f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 e o = 2 1 Ln f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 I = 2 1 Ln f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a 2 ^ h f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 = 2 1 Ln a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 = Ln a f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 + cte si I = f x^ h6 @2 - a 2 - lf x^ hdx # sacamos el signo - fuera y seguiendo los mismos pasos que arriba hasta llegar al resultado verde I =- 2 1 Ln f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 = 2 1 Ln f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 I = 2 1 Ln f x^ h + f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 e o = 2 1 Ln f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 = 2 1 Ln f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a 2 ^ h f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 I = 2 1 Ln a 2 f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 _ i 2 = Ln a f x^ h - f x^ h6 @2 - a 2 + cte ----------------------- Ejercicio 103 I = f x^ h6 @2 + a 2 ! lf x^ hdx # = Ln a !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 siendo a ! 0 vamos a demostrar esta igualdad: I = f x^ h6 @2 + a 2 lf x^ hdx # = a a f x^ h : C 2 + 1 lf x^ hdx # = a f x^ h : C 2 + 1 a lf x^ h dx # , a f x^ h : C 2 + 1c mtiene semejanza a tag 2 t + 1 asi que haciendo cambio de variable tagt = a f x^ h tagt = a f x^ h ( 1 + tag 2 t^ h.dt = a lf x^ h.dx I = 1 + tag 2 t 1 + tag 2 t^ h.dt # = 1 + tag 2 t# = cost dt # se ha aplicado la formula 1 + tag 2 t = cos 2 t 1 I = cost dt # = 2 1 1 + sent cost + 1 - sent cost 8 B# dt = 2 1 1 + sent cost dt# + 2 1 1 - sent cost dt# I = 2 1 Ln 1 + senx^ h - 2 1 Ln 1 - sent^ h = 2 1 Ln 1 - sent 1 + sent = 2 1 Ln 1 - f x^ h6 @2 + a 2 f x^ h 1 + f x^ h6 @2 + a 2 f x^ h I = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h e o = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 _ i 2 - f x^ h6 @2 f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h_ i 2 I = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h6 @2 f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h_ i 2 = 2 1 Ln a 2 f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h_ i 2 = Ln a f x^ h + f x^ h6 @2 + a 2 + cte si I = f x^ h6 @2 + a 2 - lf x^ hdx # sacamos el signo - fuera y seguiendo los mismos pasos que arriba hasta llegar al resultado verde I =- 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 + f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h e o = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 _ i 2 - f x^ h6 @2 f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h_ i 2 I = 2 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h6 @2 f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h_ i 2 = 2 1 Ln a 2 f x^ h6 @2 + a 2 - f x^ h_ i 2 = Ln a -f x^ h + f x^ h6 @2 + a 2 + cte ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 42. Según el ejercicio 103 se demostro que f x^ h6 @2 + a 2 ! lf x^ h.dx # = Ln a !f x^ h + f x^ h6 @2 + a 2 = Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a 2 - Lna f x^ h6 @2 + a2 ! lf x^ h.dx # = Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 + cte a Pero en todos los libros que tengo aparece de la seguiente forma: f x^ h6 @2 + a2 ! lf x^ h.dx # = Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 + a2 + cte b Derivando a Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 y la b Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 + a2 el es resultado f x^ h6 @2 + a2 ! lf x^ h.dx Pero Ln -f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 ! Ln f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 asi que averiguemos cual es esa diferencia: Ln -f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 + Ln f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 = Ln -f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 _ i f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 _ i = Ln - f x^ h6 @2 + f x^ h6 @2 + a2 = Ln a2 = cte lo que significa que: Ln -f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 = Ln f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 + cte luego las dos formulas son verdaderas ----------------------- Ejercicio 104 I = x 2 + 4 -dx # I = x 2 + 4 -dx # = Ln x - x 2 + 4 + cte A segun la formula b Ln -x + x 2 + 4 + cte A segun la formula a ) Comprobacion a x 2 + 4 -dx # = Ln -x + x 2 + 4 + cte ( derivando A d x 2 + 4 -dx #c m = d Ln -x + x 2 + 4 + cte^ h x 2 + 4 -1 = -x + x 2 + 4 1 -1 + 2 x 2 + 4 2x c m = -x + x 2 + 4 x 2 + 4 - x 2 + 4 + x = x 2 + 4 -1 luego la a es verdadera. b x 2 + 4 -dx # = Ln x - x 2 + 4 + cte ( derivando A d x 2 + 4 -dx #c m = d Ln x - x 2 + 4 + cte^ h x 2 + 4 -1 = x - x 2 + 4 1 1 - 2 x 2 + 4 2x c m = x - x 2 + 4 x 2 + 4 x 2 + 4 - x = x 2 + 4 -1 luego la b es verdadera. asi que ambos resultados son verdaderos. CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 43. Ejercicio 104 I = x 2 + x + 1 x.dx # I = x 2 + x + 1 x.dx # es de la forma ax 2 + bx + c P x^ h = dx d Q x^ h ax 2 + bx + c_ i+ ax 2 + bx + c m Q x^ h es un polinomio de coeficientes a determinar y grado de Q x^ h = grado de P x^ h - 1 = 0 y m nº real a determinar. asi que Q x^ h = cte = A luego dx d A x 2 + x + 1^ h = 2 x 2 + x + 1 A 2x + 1^ h ax 2 + bx + c P x^ h = x 2 + x + 1 x = 2 x 2 + x + 1 A 2x + 1^ h + x 2 + x + 1 m = x 2 + x + 1 Ax + 2 A + m ( 2 A + m = 0 A = 1 ) ( m = 2 -1 A = 1 ) I = x 2 + x + 1 x.dx # = dx d 1. x 2 + x + 1^ hdx# + x 2 + x + 1 2 -1 # dx = x 2 + x + 1 - 2 1 x 2 + x + 1 dx # I = x 2 + x + 1 - 2 1 x 2 + x + 4 1 - 4 1 + 1 dx # = x 2 + x + 1 - 2 1 x + 2 1 ` j 2 + 2 3 c m 2 dx # Aplicando la formula f x^ h6 @2 + a 2 ! lf x^ hdx # = Ln a !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 siendo a ! 0 I = x 2 + x + 1 - 2 1 Ln 2 3 x + 2 1 + x 2 + x + 1 + cte ----------------------- Ejercicio 105 I = 1 - x 2 1 - x - 1 + x # dx I = 1 - x 2 1 - x - 1 + x # dx , 1 - x y 1 + x nos hace pensar en la formulas sen 2 t = 2 1 - cos 2t cos 2 t = 2 1 + cos 2t * asi que hagamos el cambio de variable x = cos 2t ( dx =- 2sen2t.dt , luego I queda de la seguiente forma I = 1 - cos 2 2t 1 - cos2t - 1 + cos2t # -2sen2t.dt^ h =- 2 sen 2 2t 2 .sent - 2 . cos t # sen2t.dt =- 2 2 sen2t sent - cost # dt I =- 2 2 2sent.cost sent - cost # dt =- 2 sent.cost sent # dt + 2 sent.cost cost # dt =- 2 cost dt # + 2 sent dt # ver ejercicios 18 y 102 cost dt # = 2 1 Ln 1 - sent 1 + sent , sent dt # = 2 1 Ln 1 + cos t 1 - cos t x = cos2t & x = cos 2 t - sen 2 t = 1 - 2sen 2 t & 2 1 - x = sen 2 t & sent = 2 1 - x supongamos que estamos en el 1 cuadrante sent = 2 1 - x UA cost = 2 1 + x se deduce del triangulo I = 2 - 2 Ln 1 - 2 1 - x 1 + 2 1 - x + 2 2 Ln 1 + 2 1 + x 1 - 2 1 + x = 2 - 2 Ln 2 - 1 - x 2 + 1 - x + 2 2 Ln 2 + 1 + x 2 - 1 + x + cte I = 2 2 Ln 2 + 1 - x^ h 2 + 1 + x^ h 2 - 1 + x^ h 2 - 1 - x^ h + cte ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 44. 2º metodo I = 1 - x 2 1 - x - 1 + x # dx = 1 - x 2 1 - x # dx - 1 - x 2 1 + x # dx = 1 - x^ h 1 + x^ h 1 - x # dx - 1 - x^ h 1 + x^ h 1 + x # dx I = 1 - x^ h 1 + x^ h dx # - 1 - x^ h 1 + x^ h dx # A = 1 - x^ h 1 + x^ h dx # , haciendo cambio de variable t 2 = 1 - x ( x = 1 - t 2 2t.dt =- dx % A = 2 - t 2 ^ h.t -2t.dt # =- 2 2^ h 2 - t 2 dt # =- 2 2 2 1 Ln 2 - t 2 + t = 2 - 2 Ln 2 - 1 - x 2 + 1 - x + ct le B = 1 + x^ h 1 - x^ h dx # , haciendo cambio de variable t 2 = 1 + x ( x = t 2 - 1 2t.dt = dx % B = 2 - t 2 ^ h.t 2t.dt # = 2 2^ h 2 - t 2 dt # = 2 2 2 1 Ln 2 - t 2 + t = 2 2 Ln 2 - 1 + x 2 + 1 + x + ct me I = 2 - 2 Ln 2 - 1 - x 2 + 1 - x + 2 2 Ln 2 - 1 + x 2 + 1 + x + cte I = 2 2 Ln 2 + 1 - x^ h 2 + 1 + x^ h 2 - 1 + x^ h 2 - 1 - x^ h + cte ---------------------- Ejercicio 106 I = 4 - 9e 2x e x .dx # I = 4 - 9e 2x e x .dx # = 3 1 2^ h2 - 3e x ^ h2 3e x .dx # es de la forma a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = -arccos a f x^ h + cte arcsen a f x^ h + cte Z [ ]]]]] ]]]]] I = - 3 1 arccos 2 3e x + cte 3 1 arcsen 2 3e x + cte Z [ ]]]]] ]]]] ----------------------- Ejercicio 107 I = tag 2 x - 1 tagx + 1 # dx I = tag 2 x - 1 tagx + 1 # dx = tagx + 1^ h tagx - 1^ h^ h tagx + 1^ h # dx = cosx senx - 1 dx # = senx - cosx cosx.dx # 1 I = senx - cosx cosx.dx # , sea 2 J = senx - cosx senx.dx # A = 1 + 2 = I + J = senx - cosx cosx + senx^ h.dx # = Ln senx - cosx B = 1 - 2 = I - J = senx - cosx cosx - senx^ h.dx # =- dx =- x# A + B = 2I =- x + Ln senx - cosx ( I = 2 -x + Ln senx - cosx + cte ----------------------- Ejercicio 108 I = x 1 - x^ h arcsen x # dx I = x 1 - x^ h arcsen x # dx se nos fijamos se ve que dx d arcsen x^ h = 1 - x 1 2 x 1 dx I = x 1 - x^ h arcsen x # dx = 2 arcsen x 1 - x 1 2 x 1 # dx = 2 arcsen x t 6 7 844444 44444 # d arcsen x t 6 7 844444 44444c m I = 2 2 1 arcsen x^ h 2 + cte = arcsen x^ h 2 + cte ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 45. Ejercicio 109 I = x 1 - Lnx dx# I = x 1 - Lnx dx# se nos fijamos se ve que dx d 1 - Lnx^ h = x 1 dx I = x 1 - Lnx dx# = 1 - Lnx^ h2 1 # d 1 - Lnx^ h = 3 2 1 - Lnx^ h2 3 + cte ----------------------- Ejercicio 110 I = Ln 4 + x^ hdx I = Ln 4 + x^ hdx , haciendo cambio de 4 + x = e t & x = e t - 4 & 2 x dx = e t .dt & dx = 2e 2t - 8e t ^ hdt Ln 4 + x^ h = t * I = 2 te 2t .dt - 8 te t .dt## la forma mas facil de integrar es por partes te t .dt# dv = e t & v = e t u = t & du = dt % ( te t .dt# = te t - e t dt# = te t - e t te 2t .dt# dv = e 2t & v = 2 1 e 2t u = t & du = dt ) ( te 2t .dt# = 2 1 te 2t - 2 1 e 2t dt# = 2 1 te 2t - 4 1 e 2t I = te 2t - 2 1 e 2t - 8te t + 8e t + cte e t ^ h2 = e 2t I = 4 + x^ h 2 Ln 4 + x^ h - 2 1 4 + x^ h 2 - 8 4 + x^ hLn 4 + x^ h + 8 4 + x^ h + cte ----------------------- Integrales de la Forma cx + d^ h ax 2 + bx + c la x + lb # dx 1º Paso dividir: b la x + lb a cx + dg ( cx + d la x + lb = a + cx + d b 2º Paso cx + d^ h ax 2 + bx + c la x + lb # dx = ax 2 + bx + c a.dx # A 6 7 84444444444 4444444444 + cx + d^ h ax 2 + bx + c b.dx # B 6 7 8444444444444444 444444444444444 3º Paso Para A = a. ax 2 + bx + c dx # , utilizar 4a b 2 para transformarlo de la seguiente forma: x - i^ h2 - c 2 dx # , x - i^ h2 + c 2 dx # , c 2 - x - i^ h2 dx # y utilizar las formulas: f x^ h6 @2 + a 2 ! lf x^ h.dx # = Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 + a 2 + cte Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a 2 + cte * f x^ h6 @2 - a 2 ! lf x^ h.dx # = Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - a 2 + cte a 2 - f x^ h6 @2 ! lf x^ h.dx # = "arcos a f x^ h + cte !arcsen a f x^ h + cte Z [ ]]]]] ]]]]] si no se recuerda de las formulas utilizad cambio de variables trigonometricas 4º Paso Para B = b. cx + d^ h ax 2 + bx + c dx # , hacemos cambio de variable cx + d = t 1 La B se transformara en una integral parecida a la A;es deecir de la forma seguiente: B = m at 2 + bt + d dt # , hacemos lo del paso 3º y quedara resuelto. ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 46. Ejercicio 111 I = x - 1^ h x 2 + 1 x + 2^ hdx # I = x - 1^ h x 2 + 1 x + 2^ hdx # , - 3 ---- x - 1 x + 2 1 x - 1g ( x - 1^ h x + 2^ h = 1 + x - 1^ h 3 I = 1 + x - 1^ h 3 : D# x 2 + 1 dx = x 2 + 1 dx # + 3 x - 1^ h x 2 + 1 dx # x 2 + 1 dx # = Ln x + x 2 + 1 + cte ver ejercicio 102 x - 1^ h x 2 + 1 dx # haciendo cambio variable x - 1 = t 1 & t = x - 1 1 x = t 1 + 1 dx = t 2 -1 dt Z [ ]]]]]]]] ]]]]]]]] t 1 t 2 1 + t 2 + 2 t 2 -1 dt # = t 1 t 2 1 + t 2 2t + t 2 2t 2 t 2 -1 dt # = t 2 1 2t 2 + 2t + 1 t 2 -1 dt # =- 2t 2 + 2t + 1 dt # =- 2t 2 + 2t + 2 1 - 2 1 + 1 dt # =- 2 t + 2 1 c m 2 + 2 1 c m 2 dt # =- 2 1 2 t + 2 1 c m 2 + 2 1 c m 2 2 dt # = 2 2 2 t + 2 2 c m 2 + 2 2 c m 2 - 2 dt # = 2 2 Ln 2 t + 2 2 c m - 2 t + 2 2 c m 2 + 2 2 c m 2 + cte I = Ln x + x 2 + 1 + 2 3 2 Ln x - 1 2 + 2 2 c m - x - 1 2 + 2 2 c m 2 + 2 2 c m 2 + cte ----------------------- Ejercicio 112 I = 1 - x arcsen x # dx I = 1 - x arcsen x # dx , dv = 1 - x dx ( v =- 2 1 - x u = arcsen x ( du = 1 - x 1 2 x 1 dx Z [ ]]]]] ]]]]] I =- 2 1 - x .arcsen x - -2 1 - x# 1 - x 1 2 x 1 dx =- 2 1 - x .arcsen x + x dx # I =- 2 1 - x .arcsen x + 2 x + cte ----------------------- Ejercicio 113 I = e x + 1 + 1 e x # dx I = e x + 1 + 1 e x # dx , cambio variable e x + 1 = t ( e x = t - 1 & e x .dx = dt & dx = t - 1 dt e x + 1 = t e x = t - 1Z [ ]]]]] ]]]]] I = t + 1 t - 1 # t - 1 dt = t + 1 dt # , cambio variable t = n & 2 t dt = dn & dt = 2n.dn I = n + 1 2n.dn # = 2 n + 1 n.dn # , n + 1 n = 1 - n + 1 1 I = 2 dn# - 2 n + 1 dn # = 2n - 2Ln n + 1 = 2 t - 2Ln t + 1 + cte I = 2 e x + 1 - 2Ln e x + 1 + 1 + cte ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 47. Ejercicio 114 I = x 2 3 # Ln x 1 dx I = x 2 3 # Ln x 1 dx integrando por partes dv = x 2 3 & v = 5 2 x 2 5 u = Ln x 1 & du = x.dx * I = 5 2 x 2 5 Ln x 1 - 5 2 x 2 7 # dx = 5 2 x 2 5 Ln x 1 - 5 2 9 2 x 2 9 + cte I = 5 2 x 2 5 Ln x 1 - 45 4 x 2 9 + cte ----------------------- Ejercicio 115 I = cosx.Ln senx^ h.dx# I = cosx.Ln senx^ h.dx# integrando por partes u = Ln senx^ h & du = senx cosx dx = cotgx.dx dv = cosx.dx & v = senx I = senx.Ln senx^ h - senx.# cotgx.dx = senx.Ln senx^ h - cosx# .dx I = Ln senx^ hsenx - senx + cte ----------------------- Ejercicio 116 I = senx. 1 - cosx# dx I = senx. 1 - cosx# dx =- 1 - cosx d cosx^ h# = 1 - cosx d 1 - cosx^ h# I = u .du siendo u = 1 - cosx# I = 3 2 u 2 3 = 3 2 1 - cosx^ h2 3 + cte 2º metodo I = senx. 1 - cosx# dx = senx. 2sen 2 x# dx aplicando la formula sen 2 x = 2 1 - cos2x I = 2 senx.sen 2 x # dx = 2 2sen 2 x cos 2 x .sen 2 x # dx aplicando la formula senx = 2sen 2 x cos 2 x I = 2 2 sen 2 2 x cos 2 x # dx = 4 2 sen 2 2 x # d sen 2 x _ i porque d sen 2 x _ i = 2 1 cos 2 x I = 3 4 2 sen 3 2 x + cte , 3 4 2 sen 3 2 x = 3 4 2 sen 2 x _ i 3 = 3 4 2 2 1 - cosx` j 3 = 3 4 2 2 2 1 - cosx^ h2 3 = 3 2 1 - cosx^ h2 3 ----------------------- Ejercicio 117 I = x 3 # e-4x2 .dx I = x 3 # e-4x2 .dx si nos fijamos bien,se observa que derivada e-4x2 ^ h =- 8x.e-4x2 .dx asi que mejor hacer aparecer en la integral x.e-4x2 .dx I = x 3 # e-4x2 .dx = x 2 # .x.e-4x2 .dx , ahora pasemos a integrar por partes dv = x.e-4x2 dx ( v = 8 -1 e-4x2 u = x 2 ( du = 2x.dx * I = x 2 8 -1 e-4x2 ` j - 8 -1 e-4x2 # 2x.dx = 8 -1 x 2 e-4x2 ` j + 4 1 xe-4x2 # .dx I = 8 -1 x 2 e-4x2 + 4 1 - 8 1 ` je-4x2 = e-4x2 8 -1 x 2 - 32 1` j + cte ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 48. Ejercicio 118 I = cos 3x# .dx I = cos 3x# .dx cambio variable u = 3x & du = 2 3 x dx & dx = 3 2.u.du x = 3 uZ [ ]]]]]] ]]]]]] I = cosu# . 3 2.u.du = 3 2 u.# cosu.du , ahora pasemos a integrar por partes dw = cosudu ( w = senu v = u ( dv = du $ I = usenu - senudu# = usenu + cosu = 3x sen 3x + cos 3x + cte ----------------------- Ejercicio 119 I = 1 + x 2 dx# I = 1 + x 2 dx# , cambio variable u = 1 + x & du = 2 x dx & 2 x du = dx & 2 u - 1^ hdu = dx x = u - 1 * I = 2 u 2 u - 1^ h du# = 4 u u - 1^ hdu = 4 du - 4 u du ### = 4u - 4Lnu + cte I = 4 1 + x^ h - Ln 1 + x^ h + cte ----------------------- Ejercicio 120 I = 1 + e x dx # I = 1 + e x dx # cambio variable u = 1 + e x & du = e x dx & u - 1 du = dx I = u u - 1 du # = u - 1 u # du = u - 1 u - 1 + 1 # du = 1# du + u - 1 du # = 1# du + u - 1 d u - 1^ h # I = u + Ln u - 1^ h + cte = 1 + e x + Lne x + cte = 1 + e x + x + cte = e x + x + ct le ----------------------- f x,y^ h a b # dx $ x d a,b6 @ , f x,y^ h a b # dy $ y d a,b6 @ Ejercicio 121 y 2 = 4x ( x = 4 y 2 y = 4x * 1 calcula f y^ h 0 4 # dy = 4 y 2 dy = 4 1 0 4 # y 2 0 4 # dy = = 4 1 3 y 3 : C 0 4 = 4 1 3 4 3 a k- 3 0 3 a k: C = 12 64 u 2 = 3 16 u 2 ver dibujo 3 16 u 2 $ es el area comprendida entre la funcion f x^ h y el eje y en el intervalo 0,46 @. 2 calcula f x^ h 0 4 # dx = 4x dy = 2 0 4 # x 0 4 # dy = = 2 3 2x 2 3 ; E 0 4 = 3 4 x 2 3 6 @0 4 = 3 4 4 2 3 ^ h - 0 2 3 ^ h7 A = 3 32 u 2 ver dibujo 3 32 u 2 $ es el area comprendida entre la funcion f x^ h y el eje x en el intervalo 0,46 @. ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 49. Ejercicio 122 I = x - 1 dx 2 3 # I = x - 1 dx 2 3 # aqui la funcion f x^ h = x - 1 1 es continua en el intervalo 2,36 @ I = 2 x - 16 @2 3 = 2 3 - 1^ h - 2 2 - 1^ h6 @ = 2 2 - 26 @ = 2 2 - 16 @ u 2 las integrales definidas AA Area AA unidad al cuadrado ----------------------- Ejercicio 123 I = x - 1 dx 1 3 # I = x - 1 dx 1 3 # aqui la funcion f x^ h = x - 1 1 no es continua en 1,36 @ ya que no esta definida en x = 1 lo que nos indica que I es una integral impropia,luego I = x - 1 dx 1 3 # = lim a"1+ x - 1 dx a 3 # = lim a"1+ 2 x - 16 @a 3 = lim a"1+ 2 3 - 1^ h - 2 a - 1^ h6 @ = lim a"1+ 2 2 - lim a"1+ 2 a - 1^ h =0 6 7 844444 44444 I = 2 2 u 2 ----------------------- Ejercicio 124 I = Ln 1 - x^ hdx# I = Ln 1 - x^ hdx# , cambio variable e t = 1 - x ( dx = -2e t + 2e 2t ^ hdt x = 1 - e t & x = 1 - e t ^ h2 = 1 - 2e t + e 2t t = Ln 1 - x^ hZ [ ]]]]] ]]]] I = t# . -2e t + 2e 2t ^ hdt =- 2 t.et # dt A 6 7 84444 4444 + 2 t.e2t # dt B 6 7 844444 44444 resolviendo por partes las integrales A y B A = t.et dv = et & v = et u = t & du = dt $ ( A = t.et - et # dt = t.et - et B = t.e2t dv = e2t & v = 2 1 e2t u = t & du = dt ) ( B = 2 1 t.e2t - 2 1 e2t # dt = 2 1 t.e2t - 4 1 e2t luego I =- 2t.et + 2et + t.e2t - 2 1 e2t = 2et -t + 1^ h + e2t t - 2 1 ` j+ cte I = 2 1 - x^ h 1 - Ln 1 - x^ h6 @ + 1 - x^ h 2 Ln 1 - x^ h - 2 1 8 B + cte ----------------------- Ejercicio 125 I = x 2 5 - x 2 dx # I = x 2 5 - x 2 dx # = 5 .x 2 . 1 - 5 x a k 2 dx # , cambio variable sent = 5 x & cost = 5 5 - x 2 cost.dt = 5 dxZ [ ]]]]]] ]]]]]] I = 5.sen 2 t. 5 .cost 5 .cost.dt # = 5 1 sen 2 t dt # =- 5 1 cotgt =- 5 1 x 5 - x 2 =- 5x 5 - x 2 + cte ----------------------- Ejercicio 126 I = x56 + x x + 5 x23 # dx I = x56 + x x + 5 x23 # dx , m.c.m 2,3,6^ h = 6 luego cambio variable x = t 6 & t = x6 dx = 6t 5 .dt ( CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 50. I = t5 + t6 t3 + 5t4 # 6t5 .dt = t5 1 + t^ h t3 + 5t4 # 6t5 .dt = 6 1 + t^ h t3 + 5t4 # dt 4 ----- -4t - 4 -4t ----- 4t2 + 4t 4t2 ----- -4t3 - 4t2 -4t3 ----- 5t3 + 5t4 t3 + 5t4 5t3 - 4t2 + 4t - 4 1 + tg I = 6 5t 3 - 4t 2 + 4t - 4^ hdt + 6 1 + t 4dt ## = 4 30 t 4 - 3 24 t 3 + 2 24 t 2 - 24t + 24Ln 1 + t + cte I = 2 15 x 46 - 8 x 36 + 12 x 26 - 24 x6 + 24Ln 1 + x6 + cte I = 2 15 x 23 - 8 x + 12 x3 - 24 x6 + 24Ln 1 + x6 + cte ----------------------- Ejercicio 127 I = 4x - x 2 # dx I = 4x - x 2 # dx = -x 2 + 4x# dx = -x 2 + 4x - 4 + 4# dx = - x 2 - 4x + 4^ h + 4# dx = I = - x - 2^ h2 + 2 2 # dx = 2 2 - x - 2^ h2 dx = 2 1 - 2 x - 2` j 2 ## dx cambio variable sent = 2 x - 2 ( cost = 2 4x - x 2 cost.dt = 2 1 dx & dx = 2.cost.dt Z [ ]]]]] ]]]]] I = 2cost.2cost.dt# = 4 cos 2 t.dt = 4 2 1 + cos2t ## dt = 2 1 + cos2t^ hdt =# 2t + sen2t + cte I = 2t + 2sent.cost + cte = 2arcsen 2 x - 2 + 2 2 x - 2 2 4x - x 2 + cte I = 2arcsen 2 x - 2 + 2 x - 2^ h 4x - x 2 + cte ----------------------- Ejercicio 128 I = cx + d^ h ax + b dx # siendo a.c ! 0 I = cx + d^ h ax + b dx # , cambio variable t = ax + b & x = a t 2 - b t 2 = ax + b & 2t.dt = adx * I = a c a t 2 - b + da kt 2t.dt # = 2 c.t 2 - c.b + a.d^ h dt # = c 2 t 2 - b + c a.d dt # = c 2 t 2 + -b + c a.d ` j dt # = c 2 t 2 + c a.d - bc` j dt # si c 2 0 y ad - bc 2 0 o bien c 1 0 y ad - bc 1 0 I = c 2 t 2 + c a.d - bc` ja k 2 dt # = c 2 a.d - bc c _ i arctagt a.d - bc c _ i + cte = c 2 a.d - bc c _ i arctag ax + b a.d - bc c _ i + cte si c 1 0 y ad - bc 2 0 o bien c 2 0 y ad - bc 1 0 I = c 2 t 2 - - c a.d - bc` ja k 2 dt # =- c 2 - c a.d - bc` ja k 2 - t 2 dt # =- c 2 2 - c a.d - bc` j 1 Ln - c a.d - bc` j - t - c a.d - bc` j + t CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 51. I =- c - c a.d - bc` j 1 Ln - c a.d - bc` j - ax + b - c a.d - bc` j + ax + b + cte ----------------------- Ejercicio 129 I = 1 - x + 1 + x dx # I = 1 - x + 1 + x dx # = 1 - x + 1 + x 1 # 1 - x - 1 + x 1 - x - 1 + x dx = -2x 1 - x - 1 + x # dx I = -2x 1 - x # dx + 2x 1 + x # dx = 2 -1 x 1 - x 1 - x # dx + 2 1 x 1 + x 1 + x # dx I = 2 -1 x 1 - x 1 # dx + 2 1 x 1 - x x # dx + 2 1 x 1 + x 1 # dx + 2 1 x 1 + x x # dx I = 2 -1 x 1 - x dx # A 6 7 8444444 444444 + 2 1 1 - x dx # B 6 7 844444 44444 + 2 1 x 1 + x dx # C 6 7 8444444 444444 + 2 1 1 + x dx # D 6 7 844444 44444 ver ejercicio anterior A = x 1 - x dx # c = 1 , d = 0 , a =- 1 , b = 1 AA c 2 0 y ad - bc =- 1 A =- Ln 1 - 1 - x 1 + 1 - x + cte1 B = 1 - x dx # =- 1 - x d 1 - x^ h # =- 2 1 - x + cte2 C = x 1 + x dx # c = 1 , d = 0 , a = 1 , b = 1 AA c 2 0 y ad - bc =- 1 C =- Ln 1 - 1 + x 1 + 1 + x + cte3 D = 1 + x dx # = 1 + x d x + 1^ h # = 2 1 + x + cte4 por ultimo I = 2 1 Ln 1 - 1 - x 1 + 1 - x - 1 - x - 2 1 Ln 1 - 1 + x 1 + 1 + x + 1 + x + cte I = 2 1 Ln 1 - 1 - x^ h 1 + 1 + x^ h 1 + 1 - x^ h 1 - 1 + x^ h + 1 + x - 1 - x + cte ----------------------- Ejercicio 130 I = 2 - cos 2 t dt 0 3 r # , f x^ h = 2 - cos 2 t 1 existe Ssi 2 - cos 2 t ! 0 & cost !! 2 verdadero porque - 1 # cos t # 1 I = 2 - cos 2 t dt 0 3 r # , segun la regla de Bioche vemos que el cambio de variable es tagt = n tagt = n & t " 3 r & tag 3 r = 3 = n t " 0 & tag0 = 0 = n 1 + tag 2 t^ hdt = dn & dt = 1 + n 2 dnZ [ ]]]]]]] ]]]]]]] luego I = 2 - cos 2 t dt = 0 3 r # 2 - 1 + n 2 1 1 + n 2 dn 0 3 # = 1 + n2 1 + 2n 2 1 + n2 dn 0 3 # = 1 + 2 n^ h 2 dn 0 3 # I = 2 1 1 + 2 n^ h 2 2 dn 0 3 # = 2 1 arctag 2 n^ h6 @0 3 = 2 1 arctag 6 En las integrales definidas una vez hecho cambio de variable y tambien lo de los lim ites inf erior y sup erior no hace falta volver a remplazar por la variable original para hallar el resultado. CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 52. Ejercicio 131 I = f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 lf x^ h # dx I = f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 lf x^ h # dx = a.f x^ h a f x^ h : C 2 + 1 lf x^ h # dx a f x^ h : C 2 + 1c mtiene un parecido a 1 + tag 2 t asi que haciendo cambio de variable tagt = a f x^ h & cost = f x^ h6 @2 + a 2 a cos 2 t 1 dt = a lf x^ h dx Z [ ]]]]]] ]]]]]] I = a tagt cost a a cos 2 t dt # = a cos 2 t sent cos 2 t dt # = a 1 sent dt # = 2a 1 Ln 1 + cost 1 - cost + cte ver ejercicio 18 I = 2a 1 Ln 1 + f x^ h6 @2 + a 2 a 1 - f x^ h6 @2 + a 2 a = 2a 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 + a f x^ h6 @2 + a 2 - a s X y z por el conjugado del numenador I = 2a 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 + a f x^ h6 @2 + a 2 - a f x^ h6 @2 + a 2 + a f x^ h6 @2 + a 2 + a = 2a 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 + a_ i 2 f x^ h6 @2 I = a 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 + a f x^ h =- a 1 Ln f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + a + cte ahora bien si la s X y z por el conjugado del denomenador I = 2a 1 Ln f x^ h6 @2 + a 2 + a f x^ h6 @2 + a 2 - a f x^ h6 @2 + a 2 - a f x^ h6 @2 + a 2 - a = 2a 1 Ln f x^ h6 @2 f x^ h6 @2 + a 2 - a_ i 2 I = a 1 Ln f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 - a = a 1 Ln f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 - a + cte Asi podemos concluir que: f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 lf x^ h # dx = - a 1 Ln f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 + a + cte a 1 Ln f x^ h f x^ h6 @2 + a 2 - a + cte Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] ----------------------- Ejercicio 132 I = f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 lf x^ h # dx I = f x^ h f x^ h6 @2 - a 2 lf x^ h # dx = a.f x^ h a f x^ h : C 2 - 1 lf x^ h # dx a f x^ h : C 2 - 1c mtiene un parecido a cos 2 t 1 - 1 = tag 2 t asi que haciendo cambio de variable cost 1 = a f x^ h & cost = f x^ h a tagt = a f x^ h6 @2 - a 2 f x^ h = cost a -sent.dt = f x^ h6 @2 -a lf x^ hdx & lf x^ hdx = cos 2 t a.sent.dt Z [ ]]]]]]]]]] ]]]]]]]]] I = cost a a.tagt cos 2 t a.sent.dt # = a 1 # dt = a 1 t = a 1 arctag a f x^ h6 @2 - a 2 + cte o bien a 1 arccos f x^ h a + cte Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 53. Ejercicio 133 I = f x^ h a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx I = f x^ h a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = a.f x^ h 1 - a f x^ h : C 2 lf x^ h # dx 1 - a f x^ h : C 2 c mtiene un parecido a 1 - sen 2 t asi que haciendo cambio de variable sent = a f x^ h & cost = a a 2 - f x^ h6 @2 f x^ h = a.sent cost.dt = a lf x^ h dx Z [ ]]]]]]]] ]]]]]]]] I = a.sent.a.cost a.cost.dt # = a 1 sent dt # = a 1 2 1 Ln 1 + cost 1 - cost = 2.a 1 Ln 1 + a a 2 - f x^ h6 @2 1 - a a 2 - f x^ h6 @2 I = 2.a 1 Ln a + a 2 - f x^ h6 @2 a - a 2 - f x^ h6 @2 s X y z por el conjugado del numenador I = 2.a 1 Ln a + a 2 - f x^ h6 @2 a - a 2 - f x^ h6 @2 a + a 2 - f x^ h6 @2 a + a 2 - f x^ h6 @2 = 2.a 1 Ln a + a2 - f x^ h6 @2 _ i 2 f x^ h6 @2 = a 1 Ln a + a2 - f x^ h6 @2 f x^ h + cte I =- a 1 Ln f x^ h a + a2 - f x^ h6 @2 + cte ahora bien si la s X y z por el conjugado del denomenador I = 2.a 1 Ln a + a 2 - f x^ h6 @2 a - a 2 - f x^ h6 @2 a - a 2 - f x^ h6 @2 a - a 2 - f x^ h6 @2 = 2.a 1 Ln f x^ h6 @2 a - a2 - f x^ h6 @2 _ i 2 = I = a 1 Ln f x^ h a - a2 - f x^ h6 @2 + cte Asi podemos concluir que: f x^ h a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = - a 1 Ln f x^ h a + a2 - f x^ h6 @2 + cte a 1 Ln f x^ h a - a2 - f x^ h6 @2 + cte Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] ----------------------- Ejercicio 134 I = x 2 x 4 + 4 x.dx # I = x 2 x 4 + 4 x.dx # = 2 1 x 2 x 2 ^ h2 + 4 2x.dx # = 4 1 Ln x 2 x 4 + 4 - 2 + cte 4 -1 Ln x 2 x 4 + 4 + 2 + cte Z [ ]]]]]] ]]]]]] ver ejercicio nº 131 2º metodo I = x 2 x 4 + 4 x.dx # = x x 4 + 4 dx # , cambio variable x = t 1 & dx = t 2 -1 dt I = t 1 t 4 1 + 4 t 2 -1 dt # = t 1 t 4 4t 4 + 1 t 2 -1 dt # = t 3 1 4t 4 + 1 t 2 -1 dt # =- 2t 2 ^ h2 + 1 t dt # =- 4 1 2t 2 ^ h2 + 1 4t dt # aplicando la formula: f x^ h6 @2 + a 2 ! lf x^ h # dx = Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a 2 + cte I =- 4 1 Ln 2t 2 + 4t 4 + 1 + cte =- 4 1 Ln 2 x 1 ` j 2 + 4 x 1 ` j 4 + 1 + cte =- 4 1 Ln x 2 2 + x 4 4 + 1 + cte I =- 4 1 Ln x 2 2 + x 2 x 4 + 4 + cte =- 4 1 Ln x 2 2 + x 4 + 4 + cte CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 54. Ejercicio 135 I = x 1 + x^ h 1 1 +3 # dx I = x 1 + x^ h dx 1 +3 # la funcion f x^ h = x 1 + x^ h 1 existe Ssi x !- 1 x 2 0 % y como nuestro intervalo de trabajo es 1, + 36 6 luego f x^ h existe y es continua en 1, + 36 6 haciendo cambio de variable x = t 2 & x "+3 & t "+3 x " 1 & t " 1 t = x x d 1, + 36 6 dx = 2t.dtZ [ ]]]]] ]]]]] I = lim a"+3 t. 1 + t 2 ^ h 2t.dt 1 a # = 2 lim a"+3 1 + t 2 ^ h dt 1 a # = 2 lim a"+3 arctag t^ h6 @1 a = 2 lim a"+3 arctag a^ h - arctag 1^ h6 @ I = 2 lim a"+3 arctag a^ h - 4 r8 B = 2 2 r - 4 r8 B = 2 r u 2 sabiendo que lim a"-3 arctag a^ h6 @ =- 2 r lim a"+3 arctag a^ h6 @ = 2 r * ----------------------- Ejercicio 136 I = x.e-x2 dx -1 +3 # I = x.e-x2 dx -1 +3 # , f x^ h = x.e-x2 es continua en -1, + 36 @ I = x.e-x2 dx -1 +3 # = lim a"+3 x.e-x2 dx -1 a # = 2 -1 lim a"+3 -2.x.e-x2 dx -1 a # = 2 -1 lim a"+3 e-x2 6 @-1 a I = 2 -1 lim a"+3 e-a2 - e- -1^ h 2 6 @ = 2 -1 lim a"+3 e-a2 6 @ =0 6 7 844444 44444 + 2 1 lim a"+3 e-1 6 @ = 2e 1 u 2 ----------------------- Ejercicio 137 I = x.Lnx 0 1 # dx I = x.Lnx 0 1 # dx , f x^ h = x.Lnx la funcion existe Ssi x 2 0 y como el intervalo que estamos es 0,16 @ f x^ h no esta definida en 0 A es una integral impropia luego: resolvamoslo por partes I = lim a"0+ x.Lnx a 1 # dx recuerda la palabra ILATE dv = x.dx & v = 2 1 x 2 u = Lnx & du = x 1 dx * I = lim a"0+ 2 1 x 2 Lnx8 Ba 1 - 2 1 lim a"0+ x. a 1 # dx = lim a"0+ 2 1 x 2 Lnx8 Ba 1 - 4 1 lim a"0+ x 2 6 @a 1 I = lim a"0+ 2 1 1 2 Ln1 =0 6 7 84444 4444 - 2 1 a 2 Lna > H - 4 1 lim a"0+ 1 2 - a 2 =0 ?: D =- 2 1 lim a"0+ a 2 Lna6 @ - 4 1 lim a"0+ a 2 Lna6 @ = 0. -3^ h es una forma indeterminada lim a"0+ a 2 Lna6 @ = lim a"0+ a 2 1 Lna = +3 -3 aplicando hopital(mas bien Bernoulli) lim a"0+ a 2 Lna6 @ = lim a"0+ a 3 -2 a 1J L KKKKKKK N P OOOOOOO = lim a"0+ 2 -1 a 2 ` j = 0 luego I = 4 -1 el signo - nos indica que el area esta debajo de OX Por ultimo I = 4 1 u 2 recordad que que el area siempre es positiva ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 55. Ejercicio 138 I = x Lnx dx 1 e # La funcion f x^ h = x Lnx existe si y sólo si Lnx $ 0 & x $ 1 x ! 0 $ luego D f = 1, + 36 6 Y como nuestro intervalo de trabajo es 1,e6 @ 1 1, + 36 6& f x^ hesta definido en 1,e6 @ I = x Lnx dx 1 e # , cambio de variable Lnx = t & x " e & Lne = 1 & t " 1 x " 1 & ln1 = 0 & t " 0 x = e t x dx = dt & dx = e t .dt Z [ ]]]]]] ]]]]]] I = e t t 0 1 # e t .dt = t 0 1 # .dt = 3 2 t 2 3 8 B0 1 = 3 2 u 2 ----------------------- Ejercicio 139 I = 1 + x 2 arctag x^ h dx 0 1 # la funcion f x^ h = 1 + x 2 arctag x^ h = g x^ h h x^ h , h x^ h y g x^ h estan definidas y continuas en R por lo tanto f x^ h esta definida y continua en R & f x^ h es definida y continua en 0,16 @ I = 1 + x 2 arctag x^ h dx 0 1 # = arctag x^ h 0 1 # .d arctag x^ h6 @ = 2 1 arctag 2 x^ h8 B0 1 = 2 1 4 r _ i 2 - 2 1 08 B = 32 r 2 u 2 ----------------------- Ejercicio 140 I = x Ln x^ h 0 1 # dx la funcion f x^ h esta definida en R* + = 0, + 3@ 6 y como nuestro intervalo es 0,16 @ & I es una integral impropia luego I = x Ln x^ h 0 1 # dx = lim a"0+ x 2 -1 a 1 # .Lnx dx Integrando por partes: dv = x 2 -1 dx & v = 2 x 2 1 u = Ln x^ h & du = x 1 dx * ( I = lim a"0+ 2 x .Ln x^ h6 @a 1 - lim a"0+ 2 x x x 1 B a 1 # dx I = lim a"0+ 2 x .Ln x^ h6 @a 1 - lim a"0+ 4 x6 @a 1 = lim a"0+ -2 a .Ln a^ h6 @ - 4 =- 2 lim a"0+ a .Ln a^ h6 @ - 4 ** lim a"0+ a .Ln a^ h6 @ = 0. -3^ h es una forma indeterminada = F.I lim a"0+ a .Ln a^ h6 @ = lim a"0+ a 1 Ln a^ h = +3 -3 F.I aplicando la regla de L´hopital queda de la seguiente manera: lim a"0+ 2.a 2 3 -1 a 1 = lim a"0+ a -2.a 2 3 = lim a"0+ -2a 2 1 ^ h = 0 Por último I =- 4 , el signo - indica que esta debajo del eje OX, el area es I = 4 u 2 (color Azul) ----------------------- CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 56. ----------------------- Ejercicio 141 I = x Ln x^ h 1 +3 # dx I = x Ln x^ h 1 +3 # dx = lim a"+3 x 2 -1 1 a # .Lnx dx viendo el ejercicio anterior queda I = lim a"+3 2 x .Ln x^ h - 4 x6 @1 a = lim a"+3 2 x Ln x^ h - 2^ h6 @1 a = lim a"+3 2 a Ln a^ h - 2^ h - 2 -1^ h6 @ I = +3^ h. +3^ h =+3 & I es divergente (color Rojo) ----------------------- Ejercicio 142 I = 1 - x 2 ^ h 1 - x 2 x 2 2 1 1 # dx f x^ h = 1 - x 2 ^ h 1 - x 2 x 2 existe Ssi 1 - x 2 2 0 + x 2 1 1 +- 1 1 x 1 1 ,D f = -1,1@ 6 como la funcion f no esta definida en x = 1 & I es una Integral impropia. I = 1 - x 2 ^ h 1 - x 2 x 2 2 1 1 # dx cambio variable x = sent & x " 2 1 & sent = 2 1 & t = 6 r x " 1 & sent = 1 & t = 2 r cost = 1 - x 2 dx = cost.dtZ [ ]]]]]]]] ]]]]]]]] I = lim a" 2 r- cost 1 - sen 2 t^ h sen 2 t.cost.dt 6 r a # = lim a" 2 r- cos 2 t sen 2 tdt 6 r a # = lim a" 2 r- tag 2 t 6 r a # dt = lim a" 2 r- 1 + tag 2 t^ h - 16 @ 6 r a # dt I = lim a" 2 r- 1 + tag 2 t^ h6 @ 6 r a # dt - lim a" 2 r- 1 6 r a # dt = lim a" 2 r- tagt6 @ 6 r a - lim a" 2 r- t6 @ 6 r a I = lim a" 2 r- tag a^ h - tag 6 r 7 A- lim a" 2 r- a - 6 r 7 A =+3 - 3 3 - 2 r + 6 r =+3 I =+3 es divergente ----------------------- Ejercicio 143 I = 1 + x 2 + 1 - x 2 dx 0 1 # I = 1 + x 2 + 1 - x 2 dx 0 1 # = 1 + x 2 + 1 - x 2 1 0 1 # 1 + x 2 - 1 - x 2 1 + x 2 - 1 - x 2 dx = 2.x 2 1 + x 2 - 1 - x 2 dx 0 1 # f x^ h = 2.x 2 1 + x 2 - 1 - x 2 la funcion existe Ssi x ! 0 y luego D f = R - 0" , y nuestro intervalo de trabajo es 0,16 @ & I es impropia I = 2 1 lim a"0+ x 2 1 + x 2 dx a 1 # A 6 7 844444444 44444444 - 2 1 lim a"0+ x 2 1 - x 2 dx a 1 # B 6 7 844444444 44444444 A = x 2 1 + x 2 dx Integrando por partes# dv = x 2 1 dx & v = x -1 u = 1 + x 2 & du = 2 1 + x 2 2x.dx = 1 + x 2 x.dxZ [ ]]]]] ]]]]] A = x - 1 + x 2 + 1 + x 2 dx # = x - 1 + x 2 + Ln x + 1 + x 2 ^ h B = x 2 1 + x 2 dx Integrando por partes# dv = x 2 1 dx & v = x -1 u = 1 - x 2 & du = 2 1 - x 2 -2x.dx = 1 - x 2 -x.dxZ [ ]]]]] ]]]]] CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 57. B = x - 1 - x 2 - 1 - x 2 dx # = x - 1 - x 2 - arcsenx Por ultimo I = 2 1 lim a"0+ x - 1 + x 2 + Ln x + 1 + x 2 ^ h + x 1 - x 2 + arcsenx; E a 1 I = 2 1 lim a"0+ - 2 + Ln 1 + 2^ h + 2 r + a 1 + a 2 - Ln a + 1 + a 2 ^ h - a 1 - a 2 - arcsen a^ h; E I = 2 - 2 + 4 r + 2 Ln 1 + 2^ h - 2 1 lim a"0+ a 1 - a 2 - 1 + a 2 + Ln a + 1 + a 2 ^ h =0 6 7 84444444444 4444444444 + arcsen a^ h =0 6 7 844444 44444= G calculemos el lim a"0+ a 1 - a 2 - 1 + a 2 ; E = 0 0 F.I multiplicando por el conjugado lim a"0+ a 1 - a 2 - 1 + a 2 1 - a 2 + 1 + a 2 1 - a 2 + 1 + a 2 = G = lim a"0+ a 1 - a 2 + 1 + a 2 ^ h 1 - a 2 - 1 - a 2 = lim a"0+ a 1 - a 2 + 1 + a 2 ^ h -2a 2 = 0 asi que queda I = 2 - 2 + 4 r + 2 Ln 1 + 2^ h u 2 ----------------------- Ejercicio 144 I = arctag 2 1 1 # 1 - x 2 ^ h.dx I = arctag 2 1 1 # 1 - x 2 ^ h.dx , f x^ h = arctag 1 - x 2 ^ h existe Ssi 1 - x 2 $ 0 ,- 1 # x # 1 y como nuestro intervalo 2 1 ,18 B 1 -1,16 @ asi que I no es impropia Integrando por partes dv = dx & v = x u = arctag 1 - x 2 ^ h & du = 2 - x 2 ^ h 1 - x 2 -x.dx * I = x.arctag 1 - x 2 ^ h6 @ 2 1 1 - 2 - x 2 ^ h 1 - x 2 -x 2 .dx 2 1 1 # I = 2 -1 arctag 2 3 c m + 2 - x 2 ^ h 1 - x 2 x 2 .dx 2 1 1 # $ a esta ultima integral llamemosle A A = 2 - x 2 ^ h 1 - x 2 x 2 .dx 2 1 1 # cambio de variable x = cost & x " 1 & t " 0 radianes x " 2 1 & t " 3 r radianes dx =- sent.dt * A = 2 - x 2 ^ h 1 - x 2 x 2 .dx 2 1 1 # = 2 - cos 2 t^ hsent cos 2 t. -sent.dt^ h 3 r 0 # =- 2 - cos 2 t^ h cos 2 t.dt 3 r 0 # = 2 - cos 2 t^ h cos 2 t.dt 0 3 r # , f x^ h =- f x^ h b a # a b # A = -1 + 2 - cos 2 t^ h 2 : D.dt 0 3 r # =- dt 0 3 r # + 2 2 - cos 2 t^ h dt : D 0 3 r # = -t6 @0 3 r + 2 2 - cos 2 t^ h dt 0 3 r # A =- 3 r + 2 2 - cos 2 t dt 0 3 r # asi que queda I = 2 -1 arctag 2 3 c m - 3 r + 2 2 - cos 2 t dt 0 3 r # $ a esta ultima integral llamemosle B B = 2 - cos 2 t dt 0 3 r # cambio de variable u = tagt & t " 3 r & u " 3 t " 0 & u " 0 du = 1 + tag 2 t^ h.dt & dt = 1 + u 2 duZ [ ]]]]] ]]]]] B = 2 - 1 + u 2 1 1 + u 2 du 0 3 # = 1 + u 2 1 + 2u 2 1 + u 2 du 0 3 # = 1 + 2u 2 du 0 3 # = 1 + 2 u^ h 2 du 0 3 # = 2 1 1 + 2 u^ h 2 2 du 0 3 # = CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 58. B = 2 1 arctag 2 u^ h6 @0 3 = 2 2 arctag 6 Por ultimo I = 2 -1 arctag 2 3 c m - 3 r + 2 arctag 6 ----------------------- Ejercicio 145 I = x 2 - 4x^ h2 x - 2 dx 1 3 # I = x 2 - 4x^ h2 x - 2 dx 1 3 # f x^ h = x 2 - 4x^ h2 x - 2 existe Ssi x ! 4 y x ! 0 pero nuestro intervalo es 1,36 @ asi que no nos afectan en nada luego x - 2 = -x + 2 si x # 2 x - 2 si x $ 2 $ I = x 2 - 4x^ h2 -x + 2 dx 1 2 # + x 2 - 4x^ h2 x - 2 dx 2 3 # = 2 -1 x 2 - 4x^ h2 2x - 4 dx 1 2 # + 2 1 x 2 - 4x^ h2 2x - 4 dx 2 3 # no se pueden juntar al estar en diferentes intervalos I = 2 -1 x 2 - 4x -1 : C 1 2 + 2 1 x 2 - 4x -1 : D 2 3 = 8 -1 + 6 18 B+ 6 1 - 8 1 8 B = 12 1 u 2 ----------------------- Ejercicio 146 I = f x^ h 0 3 # dx siendo f x^ h = a si x $ 1 a x si x 1 1 $ y a 2 0 al ser una funcion a trozos y nuestro intervalo es 0,36 @ = 0,16 @, 1,36 @ Entonces la I quedara de la seguiente manera: I = f x^ hdx 0 1 # + f x^ hdx = 1 3 # a x .dx 0 1 # + a.dx = 1 3 # Lna a x 8 B0 1 + a.x6 @1 3 I = Lna a 1 - Lna a 0 : C+ 3a - a6 @ = Lna a - 18 B+ 2a` ju 2 ----------------------- Ejercicio 147 *** Calcula I = 2 x 2 - 4 -2 2 # x.dx I = 2 x 2 - 4 -2 2 # x.dx = 2 1 x 3 - 4x^ h -2 2 # dx = 2 1 4 x 4 - 2x 2 : D -2 2 = 0 Se habia podido deducir que I = 0 ,si hubieramos dado cuenta que la funcion f x^ h = 2 x 2 - 4 x es impar f x^ h = 2 f x^ h si f x^ h es par -a a # 0 si f x^ h es imparZ [ ]]]]] ]]]]] -a a # *** Ahora bien si nos dicen de calcular el area que determine f x^ h = 2 x 2 - 4 x y el eje OX 1º paso es hallar los puntos de corte de las dos funciones. Igualandolos^ h f x^ h = 2 x 2 - 4 x y g x^ h = 0 es el eje OX recordad eje OY $ x = 0 eje OX $ y = 0 % 2 x 2 - 4 x = 0 , x = 2 x = 0 x =- 2 ) 2º paso esbozar las graficas de las dos funciones ver grafica CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 59. 3º paso area comprendida entre las dos funciones f x^ h - g x^ h6 @.dx a b # o bien funcion de derecha - funcion de Izquierda a b # o bien funcion de arriba - funcion de abajo a b # Z [ ]]]]]]]]]]]]]]]]] ]]]]]]]]]]]]]]]] asi que el area seria Area = 2 x 2 - 4 x - 0a k -2 0 # dx + 0 - 2 x 2 - 4 xa k 0 2 # dx = 2 1 x 3 - 4x^ h -2 0 # dx - 2 1 x 3 - 4x^ h 0 2 # dx Area = 2 1 4 1 x 4 - 2 4 x 2 8 B-2 0 - 2 1 4 1 x 4 - 2 4 x 2 8 B0 2 = 4 u 2 En Conclución al calcular la I nos da el resultado de restarle el area sobre el eje ox(entre - 2 y 2)el area bajo eje ox(entre - 2 y 0) ----------------------- Ejercicio 148 Halla el area limitada entre entre la grafica de las funciones y = 2 - x 2 e y = x 1º es hallar puntos de corte entre las funciones: y = x y = 2 - x 2 ( + 2 - x 2 = x + 2 - x 2 =- x si x 1 0 2 - x 2 = x si x $ 0 ' x 2 - x - 2 = 0 si x 1 0 x 2 + x - 2 = 0 si x $ 0 ' + x - 2^ h x + 1^ h = 0 si x 1 0 x + 2^ h x - 1^ h = 0 si x $ 0 ( x = 2 o x =- 1 si x 1 0 x =- 2 o x = 1 si x $ 0 ' + x =- 1 si x 1 0 x = 1 si x $ 0 $ & puntos de corte -1,1^ h si x 1 0 1,1^ h si x $ 0 ( 2º es hacer grafica de las funciones: ver grafica^ h -1 1 0 x 1 1 0 y = x - 2 0 2 x 0 2 0 y = 2 - x 2 como se ve en la grafica tenemos dos areas distintas A1 esta limitada por y = 2 - x 2 e y =- x A2 esta limitada por y = 2 - x 2 e y = x 3º es hallar Area entre las funciones: A = A1 + A2 = 2 - x 2 ^ h - -x^ h6 @ -1 0 # dx + 2 - x 2 ^ h - x^ h6 @ 0 1 # dx = 2 - x 2 + x6 @ -1 0 # dx + 2 - x 2 - x6 @ 0 1 # dx A = 2x - 3 x 3 + 2 x 2 : C -1 0 + 2x - 3 x 3 + 2 x 2 : C 0 1 = 0 - -2 + 3 1 + 2 1 ` j8 B 2 - 3 1 - 2 1 8 B = 3 7 u 2 ----------------------- Ejercicio 149 Calcula el area comprendida entre f x^ h =- x 2 + 2 y g x^ h = x + 2 Puntos de corte entre f x^ h y g x^ h f x^ h = g x^ h +- x 2 + 2 = x + 2 & -x 2 + 2^ h2 = x + 2^ h 2 + x 4 - 4x 2 + 4 = x + 2 + x 2 x 2 - 4^ h - x + 2 = 0 x 2 x - 2^ h x + 2^ h - x - 2^ h = 0 + x - 2^ h x 2 x + 2^ h - 16 @ = 0 + x 2 x + 2^ h - 1 = 0 x - 2 = 0 % + x 3 + 2x 2 - 1 = 0 x = 2 % + x + 1^ h x 2 + x - 1^ h = 0 x = 2 % + x = 2 -1 - 5 x = 2 -1 + 5 x = 2 x =- 1Z [ ]]]]]]]]] ]]]]]]]]] como tuvimos que elevar al cuadrado para resolver la ecuacion CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 60. toca verificar cuales son las verdaderas soluciones que resultan ser x = 2 -1 + 5 x =- 1 * Area = -x 2 + 2^ h - x + 26 @ -1 2 -1+ 5 # .dx = -x 2 + 2^ h6 @ -1 2 -1+ 5 # .dx - x + 26 @ -1 2 -1+ 5 # .dx = 3 -x 3 + 2x: D -1 2 -1+ 5 - x + 2 -2 ; E -1 2 -1+ 5 Area = 3 - 2 -1+ 5 ` j 3 + 2 2 -1+ 5 ` j - 3 - -1^ h3 - 2 -1^ h= G - 2 -1+ 5 + 2 -2 - -1 + 2 -2 = G Area = 3 -0,618 3 + 3 2 + 3 5 ; E- -1,236 + 26 @ = 2,824 + 0,764 = 3,588 u 2 ----------------------- Ejercicio 150 halla el area de la region del plano encerrado por la curva de y = Ln x - 1^ h entre el punto de corte con el eje X e el punto de abscisa x = e 2 1º lugar es hallar los puntos de corte entre y = Ln(x - 1) e el eje X Ln(x - 1) = 0 & x - 1 = e 0 = 1 , x = 2 y como e 2 c 7,389 2 2 2º lugar hacer tabla de valores entre 2 y 8 para esbozar la grafica (ver grafica abajo) 3º lugar hallar el area que es: Area = Ln x - 1^ h6 @dx Integrando por partes 2 e2 # dv = dx & v = x u = Ln x - 1^ h & du = x - 1 1 dx ) Area = x.Ln x - 1^ h6 @2 e2 - x - 1 x dx 2 e2 # = x.Ln x - 1^ h6 @2 e2 - dx 2 e2 # - x - 1 1 dx 2 e2 # Area = x.Ln x - 1^ h6 @2 e2 - x6 @2 e2 - Ln x - 1^ h6 @2 e2 = e 2 .Ln e 2 - 1^ h - 2.Ln 2 - 1^ h6 @ - e 2 - 26 @ - Ln e 2 - 1^ h - Ln 2 - 1^ h6 @ Area = e 2 .Ln e 2 - 1^ h6 @ - e 2 - 26 @ - Ln e 2 - 1^ h6 @ = e 2 - 1^ hLn e 2 - 1^ h - e 2 - 26 @ u2 ----------------------- Ejercicio 151 calcula el area del recinto limitado por la curva y =- 3x 2 + 6x y el eje X 1º lugar es hallar los puntos de corte entre y =- 3x 2 + 6x e el eje X para representar la grafica y conocer los limites de integracion - 3x 2 + 6x = 0 , x -3x + 6^ h = 0 , x = 2 " limite sup x = 0 " limite inf % hagamos tabla de valores entre 0 y el 2 que es lo que mas nos importa 2 0 1 3 0 0 x y =- 3x 2 + 6x ver grafica Area = -3x 2 + 6x^ h 0 2 # dx = -x 3 + 3x 2 6 @0 2 = -8 + 126 @ = 4 u 2 ----------------------- Ejercicio 150 I = x 1 + Lnx3 # dx I = x 1 + Lnx3 # dx , haciendo cambio variable t 3 = 1 + Lnx & 3t 2 .dt = x 1 dx t = 1 + Lnx3 * I = t.3.t 2 # .dt = 3 t 3 .dt = 4 3 # t 4 + cte = 4 3 1 + Lnx^ h43 + cte ----------------------- Ejercicio 151 I = a x # .e x .dx siendo a 2 0 I = a x # .e x .dx = a.e^ hx # .dx = m x .dx , siendo m = a.e# y aplicando a f x^ h # . lf x^ h = Lna a f x^ h CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 61. ^ h ^ h I = Ln m^ h m x + cte = Ln e.a^ h a.e^ hx + cte = 1 + Lna a x .e x + cte ----------------------- Ejercicio 152 I = a x .sena x .dx# siendo a 2 0 I = a x .sena x .dx# = Lna -1 -sena x # .a x .Lna.dx = Lna -1 cosa x + cte ----------------------- Ejercicio 153 I = e t + e-t e t - e-t # dt I = e t + e-t e t - e-t # dt , haciendo cambio de variable e t = x & e t .dt = dx e-t = x 1 ) luego I = x + x 1 x - x 1 # x dx = x x x 2 + 1^ h x x 2 - 1 # dx = x x 2 + 1^ h x 2 - 1 # dx descompongamos la fraccion x x 2 + 1^ h x 2 - 1 en fracciones simples x x 2 + 1^ h x 2 - 1 = x A + x 2 + 1 Bx + C = x x 2 + 1^ h A x 2 + 1^ h + x Bx + C^ h = x x 2 + 1^ h A.x 2 + A + B.x 2 + C.x = x x 2 + 1^ h A + B^ hx 2 + C.x + A Igualando los polinomios del numenador queda de la seguiente manera: x 2 - 1 = A + B^ hx 2 + C.x + A ( A =- 1 C = 0 A + B = 1 ) ( A =- 1 C = 0 B = 2 ) asi que I = x -1 dx + x 2 + 1 2x ## dx =- Ln x^ h + Ln x 2 + 1^ h + cte = Ln x x 2 + 1 + cte = Ln e t e 2t + 1 + cte ----------------------- Ejercicio 154 I = 1 + a 2x a x .dx # siendo a 2 0 I = 1 + a 2x a x .dx # cambio de variable a x = t & a x .dx = dt I = 1 + t 2 dt # = arctag t^ h + cte = arctag a x ^ h + cte ----------------------- Ejercicio 155 I = 1 + x 2 e arctagx + x.Ln 1 + x 2 ^ h + 1 # dx I = 1 + x 2 e arctagx + x.Ln 1 + x 2 ^ h + 1 # dx = 1 + x 2 e arctagx # dx A 6 7 844444444 44444444 + 1 + x 2 x.Ln 1 + x 2 ^ h # dx B 6 7 844444444444 44444444444 + 1 + x 2 1 # dx C 6 7 84444444 4444444 A = 1 + x 2 e arctagx # dx si nos fijamos bien vemos que e arctagx ^ hl= e arctagx . 1 + x 2 1 dx asi que A = e arctagx + cte1 B = 1 + x 2 x.Ln 1 + x 2 ^ h # dx si nos fijamos bien vemos que Ln 1 + x 2 ^ h^ hl= 1 + x 2 2x dx haciendo u = Ln 1 + x 2 ^ h & du = 1 + x 2 2x dx asi que B = 2 1 1 + x 2 2x.Ln 1 + x 2 ^ h # dx = 2 1 u.du = 4 1 # u 2 + cte2 = 4 1 Ln 2 1 + x 2 ^ h + cte2 C = 1 + x 2 1 # dx = arctag x^ h + cte3 y por ultimo I = e arctagx + 4 1 Ln 2 1 + x 2 ^ h + arctag x^ h + cte CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
  • 62. TABLA DE INTEGRALES 1 k.dx = kx siendo k una constante = cte^ h# 2 k.f x^ hdx# = k f x^ h# dx 3 f x^ h ! g x^ h6 @# dx = f x^ h# dx ! g x^ h# dx 4 f x^ h6 @n # . lf x^ hdx = ln f x^ h + cte si n =- 1 n + 1 1 f x^ h6 @n+1 + cte si n !- 1 * 5 a f x^ h .# lf x^ hdx = a f x^ h ln a 1 + cte siendo a d R* + 6 lf x^ h.cos f x^ h# dx = senf x^ h + cte 7 lf x^ h.senf x^ h# dx =- cos f x^ h + cte 8 cos 2 f x^ h lf x^ h # dx = tag f x^ h6 @+ cte 9 sen 2 f x^ h lf x^ h # dx =- cotg f x^ h6 @ + cte 10 e ax cos bx dx = a 2 + b 2 e ax a cos bx + bsenbx^ h# + cte 11 e ax # senbx dx = a 2 + b 2 e ax asenbx - b cos bx^ h + cte 12 f x^ h6 @2 + a 2 ! lf x^ hdx # = Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 + a2 siendo a ! 0 Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 siendo a ! 0 ) 13 f x^ h6 @2 - a 2 ! lf x^ hdx # = Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - a2 siendo a ! 0 14 a 2 - f x^ h6 @2 ! lf x^ h # dx = " arccos a f x^ h : D + cte !arcsen a f x^ h : D + cte Z [ ]]]]] ]]]]] 15 a 2 + f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = - a 1 arcotg a f x^ h : D + cte siendo a ! 0 a 1 arctag a f x^ h : D + cte siendo a ! 0 Z [ ]]]]] ]]]]] 16 a 2 - f x^ h6 @2 lf x^ h # dx = 2a 1 Ln a - f x^ h a + f x^ h + cte siendo f x^ h !! a y a ! 0 17 f x^ h. f x^ h6 @2 - a 2 ! lf x^ hdx # = a 1 arctag a f x^ h6 @2 - a 2 + cte a 1 arccos f x^ h a + cte Z [ ]]]]] ]]]]] siendo a ! 0 18 f x^ h. a 2 - f x^ h6 @2 ! lf x^ h # dx = - a 1 Ln f x^ h a + a 2 - f x^ h6 @2 + cte a 1 Ln f x^ h a - a 2 - f x^ h6 @2 + cte Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] siendo a ! 0 19 f x^ h. a 2 + f x^ h6 @2 ! lf x^ h # dx = - a 1 Ln f x^ h a + a 2 + f x^ h6 @2 + cte a 1 Ln f x^ h a 2 + f x^ h6 @2 - a + cte Z [ ]]]]]]] ]]]]]]] siendo a ! 0 CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA