Centro de masa

Centro de masa
El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que
dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas
externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la
masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente
se abrevia como c.m..
Cálculo del c.m. de un sistema
Distribución discreta de materia
Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro
de masas se puede calcular como:
, masa de la partícula i-ésima.
, vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia supuesto.
Distribución cuasidiscreta de materia
En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho
más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante
aproximado.
[Distribución continua de materia
Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al
Cálculo Infinitesimal e Integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma:
Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida homogéneamente,
la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo
uso de la relación siguiente:
siendo V el volumen total.

Para cuerpos bidimensionales (superficies) o monodimensionales (líneas) se trabajará con
densidades superficiales y longitudinales respectivamente.
Para el caso de cuerpos con densidad uniforme, el c.m. coincidirá con el centroide del
cuerpo.
Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de
densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad . En
este caso se calcula el centro de masas de la siguiente forma.
Obviamente, para calcular la integral hay que conocer la función de densidad.
Centro de gravedad
El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de
gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que
el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad
es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen
dicho cuerpo
En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las
fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el
cuerpo producen un momento resultante nulo.
El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el
c.g. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece
al cuerpo.
Cálculo del centro de gravedad
El centro de gravedad de un cuerpo viene dado por el único vector que cumple que:
En un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo
gravitatorio es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a la
definición del centro de masas:

En el campo gravitatorio creado por un cuerpo material cuya distancia al objeto
considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo y del
propio objeto, el centro de gravedad del objeto viene dado por:
Ejemplo. Dada una barra homogénea de longitud L, orientada hacia un planeta lejano, y
cuyo centro de masa dista una distancia Dc.m.,del centro del planeta, el centro de gravedad
de la barra está situado a una distancia del centro del planeta dado por:
La diferencia entre centro de masas y el centro de gravedad se debe en este caso a que el
extremo de la barra más cercano al planeta es atraído gravitatoriamente con mayor
intensidad que el extremo más alejado.
Ecuación de movimiento
En física, una ecuación de movimiento es la formulación matemática que define la
evolución temporal de un sistema físico en el espacio. Esta ecuación relaciona la derivada
temporal de una o varias variables que caracterizan el estado físico del sistema, con otras
magnitudes físicas que provocan el cambio en el sistema.
En la dinámica del punto material, la ecuación de movimiento determina la posición futura
de un objeto o partícula móvil en función de otras variables como, su velocidad, su
aceleración, su masa y cuantas variables le puedan afectar en su movimiento junto con las
condiciones iniciales. En otras áreas de la física como la mecánica de los medios continuos
o la teoría de campos se habla de ecuación de movimiento en general para describir las
ecuaciones de evolución o variación temporal del sistema.
Ecuaciones de movimiento en mecánica clásica
Ecuaciones de movimiento en mecánica clásica
Históricamente el primer ejemplo de ecuación del movimiento que se introdujo en física
fue la segunda ley de Newton para sistemas físicos compuestos de agregados partículas
materiales puntuales. En estos sistemas el estado dinámico de un sistema quedaba fijado

por la posición y velocidad de todas las partículas en un instante dado. Hacia finales del
siglo XVIII se introdujo la mecánica analítica o racional, como generalización de las leyes
de Newton aplicables a sistemas de referencia inerciales. Se concibieron dos enfoques
básicamente equivalentes conocidos como mecánica lagrangiana y mecánica hamiltoniana,
que pueden llegar a un elevado grado de abstracción y formalización. Los ejemplos clásicos
de ecuación del movimiento más conocidos son:
La segunda ley de Newton que se usa en mecánica newtoniana:
Las ecuaciones de Euler-Lagrange que aparecen en mecánica lagrangiana:
Las ecuaciones de Hamilton que aparecen en mecánica hamiltoniana:
Ecuaciones de movimiento en teoría de la relatividad
En la teoría de la relatividad existen dos tipos de entidades físicas, las partículas y
los campos. Aunque en última instancia, tal como establece la teoría cuántica de campos,
las partículas son campos materiales altamente localizados, en teoría de la relatividad se
pueden tratar las partículas como entes físicos localizados en el espacio-tiempo. La
distinción entre estos tipos de entidades físicas hace que en teoría de la relatividad existan
dos tipos de ecuaciones de movimiento:
1. Las ecuaciones de movimiento de las partículas materiales, que son la
generalización relativista de las ecuaciones de la mecánica clásica.
2. Las ecuaciones de "movimiento" o evolución temporal de los campos físicos.
Ecuaciones de movimiento de partículas
El análogo de la primera ley de Newton en teoría de la teoría de la relatividad postula que
cuando sobre las partículas no actúa ninguna fuerza estas se mueven a lo largo de
las geodésicas del espacio-tiempo, es decir, sobre las líneas más "rectas" posibles o de
curvatura mínima. Cuando sobre las partículas actúa alguna fuerza, la ecuación del
movimiento en términos de tiempo propio de la partícula,

los símbolosdeChristoffel dependientes de la curvatura del espacio tiempo, y la fuerza total
sobre la partícula viene dada por:
Para una partícula moviéndose a través de un espacio-tiempo plano ( ), con
velocidad pequeña respecto a la de la luz ( ) la anterior ecuación se reduce a la
segunda ley de Newton.
Ecuaciones de movimiento en teoría clásica de campos
Los sistemas físicos formados por un conjunto de partículas interactuantes de la mecánica
clásica y los sistemas físicos de partículas relativistas sin interacción, son sistemas con un
número finito de grados de libertad, cuyas ecuaciones de movimiento vienen dadas
por ecuaciones diferenciales ordinarias como todos los ejemplos anteriores. Sin embargo,
los campos físicos además de evolución temporal o variación en el tiempo, presentan
variación en el espacio. Esa característica hace que los campos físicos se consideren
informalmente como sistemas con un número infinito de grados de libertad. Las
peculiaridades de los campos hacen que sus ecuaciones de "movimiento" o evolución
temporal vengan dadas por ecuaciones en derivadas parciales en lugar de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
El campo físico más importante en el contexto de la teoría de la Relatividad Especial es
el campo electromagnético, cuyas ecuaciones de evolución temporal vienen dadas por
las ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones pueden escribirse de diversas maneras y de
diversas notaciones, aunque en el contexto de la teoría de la relatividad conviene escribirlas
en forma explícitamente covariante en términos del tensor campo electromagnético .
En esa forma, las ecuaciones se reducen a dos ecuaciones de la forma (unidades cgs):
Donde se ha usado el convenio de sumación de Einstein, son las componentes
del cuadrivector densidad de corriente. En esas ecuaciones aparecen las
coordendas (donde c es la velocidad de la luz, t el
tiempo, y (x,y,z) son las coordenadas cartesianas convencionales del espacio tridimensional.
Así la evolución en el tiempo del campo electromagnético, si nos fijamos en un punto

concreto del espacio viene medida por las derivadas respecto a la
coordenada x<su>0</supo> = ct.
En el contexto de la teoría general de la relatividad aparece un problema adicional. La
propia geometría del espacio-tiempo viene representada por un campo
tensorial llamado tensor métrico. El propio campo gravitatorio es una manifestación de que
la geometría del espacio-tiempo no es plana o euclídea. El campo gravitatorio de hecho es
proporcional a la curvatura del espacio-tiempo. Las ecuaciones de evolución vuelven a ser
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:
donde reaparecen los símbolos de Christoffel que aparecían en la ecuación del movimiento
de las partículas. A diferencia de las ecuaciones del campo electromagnético, estas
ecuaciones del campo gravitatorio o geometría del espacio-tiempo son ecuaciones no
lineales debido a la presencia de términos que son el producto de dos Γ. Esto hace que las
ecuaciones de Einstein del campo gravitatorio sean de difícil solución.
Ecuaciones de movimiento en mecánica cuántica
En mecánica cuántica existen diversos tipos de ecuación de movimiento para la función de
onda según el tipo de problema o sistema cuántico estudiado. Los ejemplos más conocidos
de ecuación del movimiento son:
1. La ecuación de Schrödinger:
2. La ecuación de Klein-Gordon:
3. La ecuación de Dirac:
4.

Cuerpo rígido
Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas
externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Sin
embargo, las estructuras y máquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman
bajo la acción de cargas que actúan sobre ellas. Un cuerpo rígido es una idealización, que se
emplea para efectos de estudios de Cinemática, ya que esta rama de la Mecánica,
únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre de ellos.Un
cuerpo rígido que pueda girar libremente alrededor de un eje horizontal que no pase por su
centro de masas oscilará cuando se desplace de su posición de equilibrio. Este sistema
recibe el nombre de péndulo físico.

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