Combinatorios con numerador fraccionario o negativo y binomio de newton (Reparado).pdf
0 recomendaciones238 vistas
El documento aborda los coeficientes binomiales, especialmente aquellos con numeradores fraccionarios o negativos, y su conexión con el teorema del binomio de Newton. Se presentan diversas definiciones de coeficientes binomiales, incluyendo la utilización de la función gamma para extender el concepto de factorial. Además, se exploran aplicaciones y desarrollos matemáticos a través de ejemplos y se menciona la relación con el triángulo de Pascal.
![1
Combinatorios con “numerador” real, fraccionario o negativo, y desarrollos
del binomio de Newton asociado
Introducción: Definiciones de Coeficientes Binomiales
1ª Definición o definición clásica: (
𝑛
𝑘
) =
𝑛!
(𝑛−𝑘)!𝑘!
donde n€𝑍+
, y 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, esta es la definición más
común asociada a los coeficientes Binomiales, y al desarrollo del binomio de Newton.
2ª Definición, que aparece en [Concrete Mathematic] de Ronald Graham, Knuth y Patashnik
Para definir los coeficientes Binomiales (
𝑟
𝑘
) , primero, defina la k-esima potencia descendente de r como:
𝑟𝑘
= 𝑟(𝑟 − 1) … (𝑟 − 𝑘 + 1). Aquí r, puede ser cualquier número real y k cualquier numero entero. 𝑟𝑘
Comienza con r y multiplica k números, cada uno una unidad menor que se predecesor. Dada esta notación,
puede definirse el coeficiente binomial mediante: (
𝑟
𝑘
) = {𝑟𝑘
𝑘!
⁄
0
el valor indicado en línea superior,
corresponde cuando k, es un entero ≥ 0, y el valor indicado en la línea inferior, corresponde cuando k es un
entero < 0.
Tenga en cuenta el uso de ”r” en lugar de “n”, para recordarnos que en número superior del combinatorio o
“numerador”, puede ser cualquier número real, y no necesariamente un entero. Cuando se cumplen la
definición 1ª y la 2ª simultáneamente, el resultado es el mismo. Cuando solo se cumple la definición 2ª, el
valor ya no se puede interpretar combinatoriamente, es decir no tiene sentido pensar en “r” cosas tomadas
“k” a la vez, o elegir “k” cosas de un conjunto de “r” elementos, cuando r no es un numero entero o cuando k
es negativo.
3ª Definición o definición más general, desde el punto de vista matemático, En este caso, deberemos
recordar las expresiones y propiedades de la función Gamma, función que nos permite extender el concepto
de factorial de un numero entero, a factorial de un numero real, y también aplicable para los números
complejos con parte real positiva.
Función Gamma ={
∫ 𝑒−𝑡
∞
0
𝑡𝑥−1
𝑑𝑡 , 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0
lim
𝑛→∞
𝑛!𝑛𝑥−1
𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)…(𝑥+𝑛−1)
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥
Propiedades fundamentales: 𝛤(1+𝑥) = 𝑥𝛤
(𝑥) , 𝛤
(1−𝑥)𝛤
(𝑥) =
𝜋
sin(𝜋𝑥)
(propiedad reflexiva)
𝛤
(𝑛) = (𝑛 − 1)!, para n entero positivo, 𝛤
(𝑥)𝛤
(𝑥+
1
2
)
=
√𝜋
22𝑥−1 𝛤(2𝑥)
El concepto de factorial n!, para n entero positivo, se generaliza para todo n real en forma de la función
𝜋(𝑥) =: 𝛤
(1+𝑥). Para x positivo entero 𝜋(𝑥) = 𝑥! = 1.2.3 … . 𝑥](https://image.slidesharecdn.com/combinatoriosconnumeradorfraccionarioonegativoybinomiodenewtonreparado-240401153038-7fa1691e/85/Combinatorios-con-numerador-fraccionario-o-negativo-y-binomio-de-newton-Reparado-pdf-2-320.jpg)
Combinatorios con numerador fraccionario o negativo y binomio de newton (Reparado).pdf
- 1. 0 COEFICIENTES BINOMIALES DE “NUMERADOR” FRACCIONARIO, O NEGATIVO, DISTRIBUCION DE COEFICIENTES COMBINATORIOS EN EL PLANO, Y DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON ASOCIADO (1 + 𝑥)−𝑛 (1 + 𝑥)𝑛 Enrique Acosta Ramos Octubre 2023 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 -6 0 0 0 0 0 0 1 -5 0 0 0 0 0 0 1 -4 10 0 0 0 0 0 1 -3 6 0 0 0 0 0 1 -2 3 -4 0 0 0 0 1 -1 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 0 0 1 5 10 10 5 1 0 0 1 6 15 20 15 6 1 0 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 1 1 (1 + 𝑥) 𝑛 𝑚 1 2 1 1 3 3 1
- 2. 1 Combinatorios con “numerador” real, fraccionario o negativo, y desarrollos del binomio de Newton asociado Introducción: Definiciones de Coeficientes Binomiales 1ª Definición o definición clásica: ( 𝑛 𝑘 ) = 𝑛! (𝑛−𝑘)!𝑘! donde n€𝑍+ , y 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, esta es la definición más común asociada a los coeficientes Binomiales, y al desarrollo del binomio de Newton. 2ª Definición, que aparece en [Concrete Mathematic] de Ronald Graham, Knuth y Patashnik Para definir los coeficientes Binomiales ( 𝑟 𝑘 ) , primero, defina la k-esima potencia descendente de r como: 𝑟𝑘 = 𝑟(𝑟 − 1) … (𝑟 − 𝑘 + 1). Aquí r, puede ser cualquier número real y k cualquier numero entero. 𝑟𝑘 Comienza con r y multiplica k números, cada uno una unidad menor que se predecesor. Dada esta notación, puede definirse el coeficiente binomial mediante: ( 𝑟 𝑘 ) = {𝑟𝑘 𝑘! ⁄ 0 el valor indicado en línea superior, corresponde cuando k, es un entero ≥ 0, y el valor indicado en la línea inferior, corresponde cuando k es un entero < 0. Tenga en cuenta el uso de ”r” en lugar de “n”, para recordarnos que en número superior del combinatorio o “numerador”, puede ser cualquier número real, y no necesariamente un entero. Cuando se cumplen la definición 1ª y la 2ª simultáneamente, el resultado es el mismo. Cuando solo se cumple la definición 2ª, el valor ya no se puede interpretar combinatoriamente, es decir no tiene sentido pensar en “r” cosas tomadas “k” a la vez, o elegir “k” cosas de un conjunto de “r” elementos, cuando r no es un numero entero o cuando k es negativo. 3ª Definición o definición más general, desde el punto de vista matemático, En este caso, deberemos recordar las expresiones y propiedades de la función Gamma, función que nos permite extender el concepto de factorial de un numero entero, a factorial de un numero real, y también aplicable para los números complejos con parte real positiva. Función Gamma ={ ∫ 𝑒−𝑡 ∞ 0 𝑡𝑥−1 𝑑𝑡 , 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0 lim 𝑛→∞ 𝑛!𝑛𝑥−1 𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)…(𝑥+𝑛−1) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 Propiedades fundamentales: 𝛤(1+𝑥) = 𝑥𝛤 (𝑥) , 𝛤 (1−𝑥)𝛤 (𝑥) = 𝜋 sin(𝜋𝑥) (propiedad reflexiva) 𝛤 (𝑛) = (𝑛 − 1)!, para n entero positivo, 𝛤 (𝑥)𝛤 (𝑥+ 1 2 ) = √𝜋 22𝑥−1 𝛤(2𝑥) El concepto de factorial n!, para n entero positivo, se generaliza para todo n real en forma de la función 𝜋(𝑥) =: 𝛤 (1+𝑥). Para x positivo entero 𝜋(𝑥) = 𝑥! = 1.2.3 … . 𝑥
- 3. 2 Regresando a la Definición 3ª, Para cualquier número complejo (z,w), el coeficiente binomial ( 𝑧 𝑤 ), se puede definir de la siguiente forma: ( 𝑧 𝑤 )=lim 𝑢→𝑧 lim 𝑣→𝑤 𝛤(𝑢+1) 𝛤(𝑣+1) 𝛤(𝑢−𝑣+1) Donde hay que tener muy en cuenta el orden en que se pasa al límite Pasando al límite cuando v→w, tendremos: lim 𝑣→𝑤 𝛤 (𝑢+1) 𝛤 (𝑣+1) 𝛤(𝑢−𝑣+1) = 𝛤 (𝑢+1) 𝛤 (𝑤+1) Г(𝑢−𝑤+1) Entonces, pasando al limite cuando u→z , resulta: lim 𝑢→𝑧 lim 𝑣→𝑤 𝛤 (𝑢+1) 𝛤 (𝑣+1) 𝛤(𝑢−𝑣+1) = 𝛤 (𝑧+1) 𝛤 (𝑤+1) Г(𝑧−𝑤+1) siendo z,w, y (z-w), enteros positivos, y tomando en cuenta una de las propiedades básicas de la función gamma Г(1 + 𝑥) = 𝑥! , podemos sustituir en este resultado las funciones gamma, por su factoriales correspondientes: z!, w!, (z-w)!, para obtener finalmente: lim 𝑢→𝑧 lim 𝑣→𝑤 𝛤 (𝑢+1) 𝛤 (𝑣+1) 𝛤(𝑢−𝑣+1) = 𝑧! 𝑤! (𝑧 − 𝑤)! = ( 𝑧 𝑤 ) Solución propuesta por Jhon D. Cook consulting: Si definimos z! para que un numero complejo sea 𝛤 (𝑧+1), entonces la Definición 3ª, resulta muy parecida a la Definición 1ª, excepto por los limites, por eso dichos limites son necesarios para manejar adecuadamente los casos en que z o w corresponden a singularidades de la función Gamma. No resulta obvio que la Definición 3ª nos de los mismos valores que la Definición 2ª, pero vamos a demostrar que si son equivalentes Las singularidades de la función Gamma, ocurren en los puntos 0, -1, -2, etc., por lo que el límite en la Definición 3ª no es trivial cuando z o w son números enteros negativos. Si w es un numero entero negativo, el límite es cero, porque el denominador se va a ∞, no necesitamos preocuparnos si z también es un entero negativo , porque el límite en v, se evalúa antes que el límite en u. Si w no es un numero entero pero z si es un entero negativo, el coeficiente binomial se hace infinito, porque el denominador esta acotado, pero el numerador se va a ∞, .Esto no contradícela Definición 2ª, porque esa definición solo permite valores enteros de w. Supongamos que w es un entero no negativo. Mostraremos que la Definición 3ª , nos da el mismo valor que la Definición 2ª. Para ello, comencemos aplicando la propiedad reflexiva de la función Gamma 𝛤 (1−𝑢)𝛤 (𝑢) = 𝜋 sin(𝜋𝑢) , a los términos 𝛤 (𝑡𝑢+1), y a 𝛤 (𝑡𝑢−𝑣+1), entonces los limites ordenados en la expresión binomial del caso, conducen a :
- 4. 3 lim 𝑢→𝑧 lim 𝑣→𝑤 𝛤 (𝑢+1) 𝛤 (𝑣+1) 𝛤(𝑢−𝑣+1) = lim 𝑢→𝑧 𝜋 sin(−𝜋𝑢) sin(𝜋(𝑤 − 𝑢))𝛤 (𝑤−𝑢) 𝜋 = = (−1)𝑤 𝛤(𝑤−𝑧) 𝑤!𝛤(−𝑧) =(−1)𝑤 ( 𝑤 − 𝑧 − 1 𝑤 ) = (−1)𝑤 (𝑤−𝑧−1)! 𝑤!(−𝑧−1)! = ( 𝑧 𝑤 ) La conocida página Mathemátic, utiliza esta expresión, para calcular la función binomial (r,k) ,(2ª Definición) Podemos construir un diagrama de flujo o árbol de decisión en función de los resultados obtenidos en esta introducción, en términos de funciones familiares. Diagrama de flujo para expresar coeficientes Binomiales ( 𝒛 𝒘 ) en términos de funciones conocidas ¿w es un entero negativo? ¿Es z un entero negativo? ¿Es w un entero? 𝛤(𝑧+1) 𝛤(𝑤+1) 𝛤(𝑧−𝑤+1) (−1)𝑤 (𝑤−𝑧−1)! 𝑤!(−𝑧−1)! ∞ Grafico 1: diagrama de flujo en árbol de decisión, para coeficientes Binomiales ( 𝒛 𝒘 ) SI No 0 Si No No Si
- 5. 4 La gran mayoría de los conceptos y explicaciones hasta aquí expuestas en esta introducción, han sido tomados de una publicación de Jhon D Cook Consulting, en su página web. En este trabajo, nos limitaremos al caso en donde z es un número real, y w es un entero positivo. En caso de numerador fraccionario positivo y denominador entero, puede aplicarse directamente la Definición 1ª o clásica ( 𝑛 𝑚 𝑘 ) = 𝑛 𝑚 ! ( 𝑛 𝑚 −𝑘)!𝑘! ( 𝑛 𝑚 𝑘 ) = 𝑛 𝑚 ! ( 𝑛 𝑚 − 𝑘) ! 𝑘! = ( 𝑛 𝑚 − 1) ( 𝑛 𝑚 − 2)( 𝑛 𝑚 − 3) … ( 𝑛 𝑚 − 𝑘 + 1) 𝑘! Que podemos escribir como: ( 𝑛 𝑚 𝑘 ) = 𝑛(𝑛−𝑚)(𝑛−2𝑚)(𝑛−3𝑚)…(𝑛−𝑚𝑘+𝑚) 𝑚𝑘 𝑘! Ejemplo: sea calcular el binomial ( 2 5 3 ) = 2(5−2)(10−2) 53 3! = 2.3.8 125 ,3.2.1 = 8 125 Otros ejemplos ( 1 2 7 ) = 1(1−2)(1−4)(1−6)(1−8)(1−10)(1−12) 27 .7! =(−1)6 1.3.5.7.9.11 27 .1.2.3.4.5.6.7 = 33 211 = 33 2048 ( 7 4 3 ) = 7(7−4)(7−8) 43 .3! =(−1)1 7.3.1 26 3.2.1 = − 7 27= −7 128 El teorema del binomio para exponente fraccionario, puede expresarse como: (𝑥 + 𝑦) 𝑛 𝑚 = ∑ ( 𝑛 𝑚 𝑘 ) 𝑥 𝑛 𝑚 −𝑘 𝑦𝑘 ∞ 0 = 𝑥 𝑛 𝑚 + 𝑛 𝑚 𝑥 𝑛−𝑚 𝑚 𝑦 + 𝑛(𝑛−𝑚) 𝑚2 2! 𝑥 𝑛−2𝑚 𝑚 𝑦2 + 𝑛(𝑛−𝑚)(𝑛−2𝑚) 𝑚3 3! 𝑥 𝑛−3𝑚 𝑚 𝑦3 +… (serie infinita) Un caso muy interesante, corresponde al caso del binomio (1 + 𝑥) 𝑛 𝑚 que puede desarrollarse como : (1 + 𝑥) 𝑛 𝑚 = ∑ ( 𝑛 𝑚 𝑘 )1 𝑛 𝑚 −𝑘 𝑥𝑘 ∞ 0 = ∑ ( 𝑛 𝑚 𝑘 ) 𝑥𝑘 ∞ 0 =1+ 𝑛 𝑚 𝑥+( 𝑛 𝑚 2 ) 𝑥2 + ( 𝑛 𝑚 3 )𝑥3 +( 𝑛 𝑚 4 )𝑥4 + ⋯ Así por ejemplo, para n=1, y m=2, resulta: (1 + 𝑥) 1 2 = 1 + 1 2 𝑥 − 1 8 𝑥2 + 1 16 𝑥3 − 5 128 𝑥4 + 7 256 𝑥5 ∓…* Por lo que si hacemos x=1, tendremos: √2 = 1 + 1 2 − 1 8 + 1 16 − 5 128 + 7 256 ∓ ⋯, Suponemos que para la época de Newton (siglo XVII ) este método, sería una forma práctica de calcular la raíz n-ésima de cualquier numero natural.
- 6. 5 Para todos es conocido que los coeficientes Binomiales del desarrollo del binomio de Newton, para exponentes enteros, corresponden a los valores recogidos en el conocido triangulo numérico o triangulo de pascal que nosotros hemos denotado como ∆0 en todos nuestros trabajos anteriores La expresión del binomio de Newton para exponentes enteros, está dada por: (𝑥 + 𝑦)𝑛 = ∑ ( 𝑛 𝑘 ) 𝑛 𝑘=0 𝑥𝑛−𝑘 𝑦𝑘 = ( 𝑛 0 ) 𝑥𝑛−0 𝑦0 + ( 𝑛 1 ) 𝑥𝑛−1 𝑦1 + ( 𝑛 2 ) 𝑥𝑛−2 𝑦2 +…+( 𝑛 𝑛 − 1 ) 𝑥𝑛−(𝑛−1) 𝑦𝑛−1 + ( 𝑛 𝑛 ) 𝑥𝑛−𝑛 𝑦𝑛 Como ( 𝑛 𝑘 ) = ( 𝑛 𝑛 − 𝑘 ) por definición, y además ( 𝑛 0 ) = ( 𝑛 𝑛 ) = 1, siendo n∈ 𝑁+ , y 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 La expresión puede desarrollarse como: (𝑥 + 𝑦)𝑛 = 𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1 𝑦 + 𝑛(𝑛−1) 2! 𝑥𝑛−2 𝑦2 + 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2) 3! 𝑥𝑛−3 𝑦3 + ⋯ + 𝑛𝑥𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛 , y por conveniencia y simplicidad vamos a trabajar con el caso (1 + 𝑥)𝑛 = ∑ ( 𝑛 𝑘 ) 𝑛 𝑘=0 1𝑛−𝑘 𝑥𝑘 = ∑ ( 𝑛 𝑘 ) 𝑛 𝑘=0 𝑥𝑘 Esta expresión, puede desarrollarse como: (1 + 𝑥)𝑛 = ( 𝑛 0 ) 𝑥0 + ( 𝑛 1 ) 𝑥 + ( 𝑛 2 ) 𝑥2 + ( 𝑛 3 ) 𝑥3 +…+( 𝑛 𝑛 − 1 ) 𝑥𝑛−1 + ( 𝑛 𝑛 ) 𝑥𝑛 , que a su vez simplificando puede escribirse como: (1 + 𝑥)𝑛 = 1 + 𝑛𝑥 + 𝑛(𝑛−1) 2! 𝑥2 + 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2) 3! 𝑥3 +…+n𝑥𝑛−1 +𝑥𝑛 Si hacemos tomar a n los valores naturales consecutivos 0,1,2,3,4,… (Nótese que estamos incluyendo el cero aunque no sea un numero natural entero), nos resultaran las conocidas formulas del binomio: (1 + 𝑥)0 = 1 (1 + 𝑥)1 = 1 + 𝑥 (1 + 𝑥)2 = 1 + 2𝑥 + 𝑥2 (1 + 𝑥)3 = 1 + 3𝑥 + 3𝑥2 + 𝑥3 (1 + 𝑥)4 = 1 + 4𝑥 + 6𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 Podemos notar que los coeficientes resultantes pueden agruparse en líneas o capas sucesivas, para constituir el triangulo numérico (∆0), conocido como triangulo de Pascal, tal como se muestra en el siguiente grafico.
- 7. 6 Los coeficientes de este triangulo numérico, cumplen con la conocida ley que permite obtener los valores de una línea dada, como correspondientes a la suma de los dos coeficientes (previo y posterior) situados en la línea anterior o precedente. Una de las propiedades más conocidas de estos coeficientes, es que la suma de los mismos en una determinada línea da como resultado 2𝑛 Algo similar puede obtenerse cuando consideramos las sucesivas potencias naturales de un binomio de Newton correspondiente a la diferencia de sus dos monomios, es decir (1 − 𝑥)𝑛 . Así resultan: (1 − 𝑥)0 = 1 (1 − 𝑥)1 = 1 − 𝑥 (1 − 𝑥)2 = 1 − 2𝑥 + 𝑥2 (1 − 𝑥)3 = 1 − 3𝑥 + 3𝑥2 − 𝑥3 (1 − 𝑥)4 = 1 − 4𝑥 + 6𝑥2 − 4𝑥3 + 𝑥4 ……………………………………………………………………… Entonces podemos agrupar estos coeficientes resultantes, también en un triangulo numérico ((∆0 1), tal como se muestra: n ∆0 ∑ 𝑐 0 1 20 1 1 1 21 2 1 2 1 22 3 1 3 3 1 23 4 1 4 6 4 1 24 n ∆0 1 ∑ 𝑐 0 1 1 1 1 -1 0 2 1 -2 1 0 3 1 -3 3 -1 0 4 1 -4 6 -4 1 0
- 8. 7 En este caso la suma de los coeficientes de una línea (exceptuando la 1ª), siempre nos da cero, y además la formación de los coeficientes de una línea a partir de los valores previo y posterior en la línea precedente, no se cumple. Notamos que este triangulo está constituido por los mismos valores resultantes que en ∆0 y en la misma disposición, pero que, debido a la alternancia de los signos en dichos valores, este triangulo no posee las mismas propiedades que ∆0,(si ese fuera el caso seria idéntico) Si se dibuja un triangulo numérico ∆0, en el plano cartesiano, dicho plano resulta dividido en cuatro regiones muy delimitadas La 1ª región, corresponde evidentemente al propio ∆0, dibujado, (recuérdese que las líneas de coeficientes se prolongan infinitamente). La 2ª región, corresponde a la mitad izquierda del plano, determinada por una línea imaginaria paralela a la diagonal o serie izquierda de los unos del triangulo. Dicha línea imaginaria constituye evidentemente a una bisectriz del plano. Si trazamos otra línea imaginaria pero esta vez paralela a la diagonal derecha de los unos de ∆0, hasta su punto de intercepción con la bisectriz del plano, y desde allí, trazamos una horizontal hacia la derecha queda así delimitada otra zona (3ª región) triangular, que como veremos después, al igual que la 2ª región, deberá contener puros valores iguales a cero apropiadamente distribuidos. La 4ª región estará constituida por el área faltante para rellenar el plano, y corresponderá a los valores del triangulo numérico ∆0 1 , pero orientado en forma que las filas análogas con las de ∆0, queden paralelas a la segunda diagonal o serie derecha de los unos. Esta distribución de valores, permite que se cumpla para todas las sucesiones contenidas en las líneas horizontales del plano, la ley de formación de los coeficientes como suma de los dos valores previo y posterior de la línea anterior, para todos y cada uno de los coeficientes contenidos en dicho plano, como puede comprobarse en la figura siguiente.
- 9. 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -8 0 0 0 0 0 0 0 1 -7 28 0 0 0 0 0 0 0 1 -6 21 0 0 0 0 0 0 1 -5 15 -35 0 0 0 0 0 0 1 -4 10 -20 0 0 0 0 0 1 -3 6 -10 15 0 0 0 0 0 1 -2 3 -4 5 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 0 0 0 1 5 10 10 5 1 0 0 0 0 1 6 15 20 15 6 1 0 0 1 7 21 35 35 21 7 1 0 0 1 8 28 56 70 56 28 8 1 0 Grafico 2: Distribución de coeficientes Binomiales en el plano y ley de formación Coeficientes Binomiales ( 𝒛 𝒘 ) con “numerador” negativo Si nos limitamos a valores enteros positivos del denominador w, cuando z es un entero negativo, podemos aplicar el diagrama de flujo del árbol de decisión, ya determinado en la introducción, para obtener la identidad: ( 𝒛 𝒘 ) = (−1) 𝑤 (𝑤−𝑧−1)! 𝑤!(−𝑧−1)! , o también de ( 𝒛 𝒘 ) = 𝒛(𝒛−𝟏)(𝒛−𝟐)(𝒛−𝟑)…(𝒛−𝒘+𝟏).(𝒛−𝒘)! 𝒘!(𝒛−𝒘)! , que simplificando conduce a : ( 𝒛 𝒘 ) = 𝒛(𝒛−𝟏)(𝒛−𝟐)(𝒛−𝟑)…(𝒛−𝒘+𝟏) 𝒘! Ejemplos: ( −2 7 ) = (−1)7 (7+2−1)! 7!(2−1)! = - −8! 7!1! =-8 con la primera expresión ( −2 7 ) = (−2)(−3)(−4)(−5)(−6)(−7)(−8) 7! =(−1)7 8! 7! = −8, idéntico resultado con la segunda expresión ( −6 5 ) = (−1)5 (5+6−1)! 5!(6−1)! = − 10! 5!5! = − 10.9.8.7.6.5! 5!.5! = − 10.9.8.7.6 1.2.3.4.5 = −252 (1ªexpresion) ( −6 5 ) = (−6)(−7)(−8)(−9)(−10) 5! = (−1)5 6.7,8.9.10 1.2.3.4.5 = −252 (2ª 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛)
- 10. 9 Nótese que el triangulo correspondiente a la 4ª región, con los coeficientes tomados siguiendo la dirección horizontal, tal como aparecen en el grafico anterior (Nº2), pueden interpretarse como aquellos correspondientes al desarrollo del binomio (1 + 𝑥)𝑛 , cuando la potencia n, corresponde a la sucesión de los enteros negativos. (1 + 𝑥)𝑛 = 1 + 𝑛𝑥 + 𝑛(𝑛−1) 2! 𝑥2 + 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2) 3! 𝑥3 +…+n𝑥𝑛−1 +𝑥𝑛 , sucesión finita de coeficientes, pero donde si hacemos n= -1, resulta: (1 + 𝑥)−1 = 1 − 𝑥 + (−1)(−2) 2! 𝑥2 + (−1)(−2)(−3) 3! 𝑥3 + (−1)(−2)(−3)(−4) 4! 𝑥4 + ⋯ Expresión que, simplificando, puede escribirse como: (1 + 𝑥)−1 = 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + ⋯, es fácil notar que los coeficientes Binomiales corresponden aquí a la sucesión infinita 1, -1, 1, -1, 1,-1, … que resulta idéntica a la línea base del triangulo que constituye la 4ª región del grafico Nº 2. Calculemos (1 + 𝑥)−2 = 1 − 2𝑥 + (−2)(−3) 2! 𝑥2 + (−2)(−3)(−4) 3! 𝑥3 + (−2)(−3)(−4)(−5) 4! 𝑥4 + ⋯ Simplificando, puede escribirse como: (1 + 𝑥)−2 = 1 − 2𝑥 + 3𝑥2 − 4𝑥3 + 5𝑥4 ∓ ⋯, donde notamos que los coeficientes Binomiales, corresponden a los términos de la sucesión infinita 1, -2, 3, -4, 5, … es decir a la sucesión de los números naturales, pero con signos que van alternando entre positivo, y negativo. Sucesión que corresponde en este caso a la segunda fila del triangulo numérico que ocupa la 4ª región del grafico Nº2. Si hacemos sucesivamente n=--3, -4,-5, … en la ecuación que nos da el desarrollo del binomio (1 + 𝑥)𝑛 , obtendremos también sucesivamente los coeficientes Binomiales de la segunda, tercera, cuarta y quinta línea del triangulo en la 4ª región, ya señalada. Evidentemente que estos resultados pueden extenderse para cualquier valor entero negativo de n. Y es interesante hacer notar que el triangulo aritmético ∆0 1 , corresponde por un lado al desarrollo de (1 − 𝑥)𝑛 , y por otra parte al desarrollo de (1 + 𝑥)𝑛 , cuando n toma valores negativos, dependiendo de su presentación. Regresando al cálculo de coeficientes Binomiales de “numerador” fraccionario, podemos comprobar que es posible intercalar los resultados de (1 + 𝑥) 𝑛 2, en el triangulo numérico o de Pascal, e ir obteniendo los valores de los coeficientes Binomiales, tanto desarrollando el binomio correspondiente, como aplicando la ley de formación de coeficientes para líneas sucesivas del plano. Ello se muestra a continuación en el grafico Nº3 para valores de n, limitados a 0 ≤ 𝑛 ≤ 8
- 11. 10 Potencias Coeficientes (𝟏 + 𝒙)𝟎 1 (𝟏 + 𝒙) 𝟏 𝟐 1 1 2 − 1 8 1 16 − 5 128 7 256 … (𝟏 + 𝒙)𝟏 1 1 (𝟏 + 𝒙) 𝟑 𝟐 1 3 2 3 8 − 1 16 3 128 − 3 256 … (𝟏 + 𝒙)𝟐 1 2 1 (𝟏 + 𝒙) 𝟓 𝟐 1 5 2 15 8 5 16 − 5 128 3 256 … (𝟏 + 𝒙)𝟑 1 3 3 1 (𝟏 + 𝒙) 𝟕 𝟐 1 7 2 35 8 35 16 35 128 − 7 256 … (𝟏 + 𝒙)𝟒 1 4 6 4 1 Grafico Nº3, Coeficientes de (𝟏 + 𝒙) 𝒏 𝟐, para 𝟎 ≤ 𝒏 ≤ 𝟖 Hemos resaltado en gris, los valores enteros de la potencia, es decir cuando n es múltiplo de dos, que corresponden a los valores de las líneas finitas consecutivas de ∆0, mientras que hemos dejado en blanco los valores correspondientes a las líneas infinitas de coeficientes del desarrollo para potencias fraccionarias, múltiplos no enteros de 1 2 . Estos coeficientes podemos obtenerlos desarrollando las potencias fraccionarias del binomio, y como si responden a la ley de formación de coeficientes, mediante la suma de los valores previo y posterior de la línea precedente. Así por ej., podemos obtener los coeficientes de (1 + 𝑥) 5 2, 1) Desarrollando (1 + 𝑥) 5 2 = 1 + 5 2 𝑥 + 5(5−2) 22.2! 𝑥2 + 5(5−2)(5−4) 23.3! 𝑥3 + 5(5−2)(5−4)(5−6) 24.4! 𝑥4 + 5(5−2)(5−4)(5−6)(5−8) 25.5! 𝑥5 + ⋯ (1 + 𝑥) 5 2 = 1 + 5 2 𝑥 + 15 8 𝑥2 + 5 16 𝑥3 − 5 128 𝑥4 + 3 256 𝑥5 + ⋯ 2) Aplicando la ley de formación de coeficientes en líneas paralelas (obviando los coeficientes Binomiales de ∆0), a partir del segundo, ya que en todos los casos el primer valor, corresponde a la unidad. 1 + 3 2 = 2+3 2 = 5 2 3 2 + 3 8 = 12+3 8 = 15 8 3 8 − 1 16 = 6 − 1 16 = 5 16 − 1 16 + 3 128 = −8 + 3 128 = −5 128 3 128 − 3 256 = 6 − 3 256 = 3 256
- 12. 11 Un segundo ejemplo para los coeficientes de (1 + 𝑥) 𝑛 4, resulta en la intercalación de tres líneas de infinitos coeficientes fraccionarios entre cada línea correspondiente de ∆0, manteniendo la misma secuencia para la obtención de los coeficientes en función de la ley de formación entre líneas paralelas (es decir, 2ª con 6ª, 3ª con 7ª, y 4ª con 8ª, cada línea de color con la siguiente de igual color). Esto queda en evidencia en el grafico Nº4, limitado a valores de n tales que 0 ≤ 𝑛 ≤ 16 que presentamos a continuación. Potencias Coeficientes (1 + 𝑥)0 1 (1 + 𝑥) 1 4 1 1 4 − 3 32 7 128 − 77 2048 231 8192 … (1 + 𝑥) 1 2 1 1 2 − 1 8 1 16 − 5 128 7 256 … (1 + 𝑥) 3 4 1 3 4 − 3 32 5 128 − 45 2048 117 8192 … (1 + 𝑥)1 1 1 (1 + 𝑥) 5 4 1 5 4 5 32 − 5 128 35 2048 − 77 8192 … (1 + 𝑥) 3 2 1 3 2 3 8 − 1 16 3 128 − 3 256 … (1 + 𝑥) 7 4 1 7 4 21 32 − 7 128 35 2048 − 63 8192 … (1 + 𝑥)2 1 2 1 (1 + 𝑥) 9 4 1 9 4 45 32 15 128 − 45 2048 63 8192 … (1 + 𝑥) 5 2 1 5 2 15 8 5 16 − 5 128 3 256 … (1 + 𝑥) 11 4 1 11 4 77 32 77 128 − 77 2048 77 8192 … (1 + 𝑥)3 1 3 3 1 (1 + 𝑥) 13 4 1 13 4 117 32 195 128 195 2048 − 117 8192 … (1 + 𝑥) 7 2 1 7 2 35 8 35 16 35 128 − 7 256 … (1 + 𝑥) 15 4 1 15 4 165 32 385 128 1155 2048 − 231 8192 … (1 + 𝑥)4 1 4 6 4 1 Grafico Nº4, Coeficientes de(𝟏 + 𝒙) 𝒏 𝟒, para 𝟎 ≤ 𝒏 ≤ 𝟏𝟔 Nótese que en este caso, el grafico también contiene al grafico anterior o Nº3, ya que los múltiplos enteros de la fracción 1 4 , de la forma 2+4𝑛 4 , con n=0,1,2,…, corresponden a los exponentes 1 2 , 3 2 , 5 2 , … Concluimos que es posible intercalar cualquier potencia fraccionaria del binomio de Newton entre las líneas de ∆0. Y para saber cuantas líneas infinitas de coeficientes fraccionarios, se pueden
- 13. 12 intercalar entre cada dos líneas de coeficientes enteros de ∆0, podemos hacer la analogía, con la partición de una recta donde solo se señalan los puntos enteros. Por ej., para el primer caso (Grafico Nº3) 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 , vemos que entre dos valores enteros de la línea, los puntos medios de cada tramo es una fracción de la forma 𝑛 2 , donde n es un número impar, recuerde que 2 2 = 1, 4 2 = 2, 6 2 = 3, y por lo tanto en este caso solo se intercalara una sola línea de infinitos coeficientes fraccionarios entre cada dos líneas de ∆0 Para el segundo caso (Grafico Nº4 0 1/4 1/2 3/4 1 5/4 3/2 7/4 2 En este caso se intercalaran tres líneas de infinitos coeficientes fraccionarios, entre cada dos líneas de ∆0 Con estas últimas observaciones, damos por terminado el tema que nos ocupa, que viene reflejado en el titulo de este trabajo, y representa ciertas particularidades del triangulo numérico, que no habíamos tratado en trabajos anteriores y aunque no hemos profundizado mucho en el tema, suponemos que es posible desarrollos adicionales posteriores Enrique Acosta Ramos octubre de 2023