Conjuntos-Numeros-Reales-y-Desigualdades (1).pdf
- 1. Conjuntos, Números Reales y Desigualdades Los conjuntos y números reales forman la base fundamental del pensamiento matemático moderno. Su comprensión es esencial para el desarrollo de conceptos más avanzados en matemáticas y sus aplicaciones. Este curso explorará estos conceptos fundamentales, desde la definición de conjuntos hasta las propiedades del valor absoluto, proporcionando una base sólida para futuros estudios matemáticos. CRISMAR ALEJANDRA VALLÈS ROJAS
- 2. Definición y Representación de Conjuntos ¿Qué es un conjunto? Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Estos objetos, llamados elementos del conjunto, comparten una característica o propiedad común que los identifica como miembros del conjunto. Formas de representación Por extensión: Listando todos sus elementos entre llaves. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5} Por comprensión: Describiendo la propiedad que cumplen sus elementos. Ejemplo: A = {x | x es un número natural menor que 6}
- 3. Operaciones con Conjuntos 1 2 3 Unión (A B) Intersección (A B) Diferencia (A - B) Contiene los elementos de A que no están en B. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}, entonces A - B = {1, 2} ∪ Contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} Contiene los elementos comunes a ambos conjuntos. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}, entonces A ∩ B = {3}
- 4. Números Reales: Racionales e Irracionales Números Racionales (Q) Son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. Incluyen números naturales, enteros y fracciones. Tienen expansión decimal periódica. Números Irracionales (I) No pueden expresarse como fracción. Incluyen números algebraicos como √2 y números trascendentales como π y e. Tienen expansión decimal no periódica.
- 5. Propiedades de las Desigualdades 2 3 Transitividad Monotonía de la suma Si a < b, entonces a + c < b + c Monotonía del producto Si a < b y c > 0, entonces ac < bc. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc Si a < b y b < c, entonces a < c 1
- 6. Valor Absoluto: Definición y Propiedades Definición formal |x| = x si x ≥ 0 |x| = -x si x < 0 Propiedades importantes |x| ≥ 0 para todo número real x |xy| = |x|·|y| |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad triangular)
- 7. Desigualdades con Valor Absoluto Caso 1: |x| < a Significa: -a < x < a Caso 2: |x| > a Significa: x < -a o x > a Estas desigualdades se resuelven considerando dos casos, lo que permite abordar problemas más complejos que involucran valores absolutos.
- 8. Ejercicio Propuesto para el Foro Demuestre que la ecuación |x + 2| + |x - 3| = 7 tiene exactamente una solución real. Este ejercicio es ideal para generar discusión porque requiere analizar diferentes casos según los valores de x, involucra propiedades del valor absoluto, necesita interpretación geométrica, permite diferentes enfoques de solución y conecta varios conceptos del tema.
- 9. Pasos para Resolver el Ejercicio 1 2 3 4 5 Paso 2 Plantear ecuaciones para cada caso Paso 4 Verificar qué soluciones cumplen con las condiciones originales Paso 3 Resolver las ecuaciones resultantes Paso 5 Justificar por qué la solución es única Paso 1 Identificar los diferentes intervalos donde las expresiones del valor absoluto cambian de signo
- 10. Conclusión y Próximos Pasos Hemos explorado los fundamentos de conjuntos, números reales y desigualdades. Estos conceptos son cruciales para el desarrollo del pensamiento matemático y sirven como base para temas más avanzados. El ejercicio propuesto para el foro permitirá aplicar estos conocimientos en un contexto práctico. En las próximas sesiones, profundizaremos en aplicaciones más complejas de estos conceptos y exploraremos su relación con otras áreas de las matemáticas.