Modelación de sistemas - Función de transferencia y digramas de bloque

 Universidad Nacional de Misiones
Ingeniería Electrónica
Control Clásico y Moderno
Informe de Trabajo Práctico N° 1
Modelación de Sistemas. Función de Transferencia y
Diagramas de Bloques
Autores:
HOFF Romina A.
KRUJOSKI Matías G.
VIERA Juan R.
Grupo Nº 4
Profesores Responsables:
Dr. Ing. Fernando Botterón
Ing. Guillermo Fernández
Oberá, Misiones, 21/03/2014

ControlClásico y Moderno FI - UNaM TP N° 1
HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 3 de 17
1)
En la Figura 1.1 se muestra un sistema resorte–masa–amortiguador. Este sistema
consta de una masa m, sujeta a un punto de apoyo superior a través de un resorte de
coeficiente de elasticidad k y a un apoyo inferior a través de un amortiguador de
constante de amortiguación b. Existe además una fuerza F(t) aplicada a la masa. Se
define una coordenada x a través de la cual se desplaza la masa, así la distancia entre
el punto de apoyo y la masa queda representada por x(t). La distancia l0 corresponde a
la distancia entre el techo y el centro de m con el resorte en reposo.
a)Hallar la función de transferencia entre la entrada u(t) [F(t)] y la salida y(t) [x(t)].
b)Calcular los polos de la función de transferencia. M = 15 Kg; k = 225 N/m y los
siguientes valores de b: 350 N x s/m, 116 N x s/m y 14 N x s/m.
c)Trazar la respuesta en frecuencia de magnitud y fase (diagramas de Bode) de este
sistema para cada caso en el punto b.
Figura 1.1: Sistema Mas-Resorte-Amortiguador
Resolución
a) La función de transferencia será
𝑓(𝑡) = 𝑚𝑎(𝑡) + 𝑏 𝑣(𝑡) + 𝑘 𝑖(𝑡) (1.1)
𝑎(𝑡) = 𝑦̈(𝑡) (1.2)
𝑣(𝑡) = 𝑦̇( 𝑡) (1.3)
𝑓(𝑡) = 𝑚𝑦̈(𝑡) + 𝑏𝑦̇(𝑡) + 𝑘 𝑖(𝑡) (1.4)

Siendo la ecuación 1.4 la ecuación diferencial en el dominio del tiempo que representa
el comportamiento del sistema.
Transformando la ecuación 1.4 del dominio del tiempo al de Laplace obtenemos la 1.6
𝐹 = 𝐹(𝑠), 𝑌 = 𝑌(𝑠) (1.5)
𝐹 = (𝑚𝑠2
+ 𝑏𝑠 + 𝑘)𝑌 (1.6)
En la ecuación 1.6 se consideran condiciones iniciales nulas.
Trabajando la 1.6 podemos obtener la función de transferencia en el dominio de
Laplace:
𝐹𝑎 =
𝑌
𝐹
=
1
𝑚
𝑠2 +
𝑏
𝑚
𝑠 +
𝑘
𝑚
(1.7)
b)
Reemplazando los siguientes valores podemos obtener los polos:
𝑚 = 15 𝑘𝑔_______
𝑘 = 225 𝑁
𝑚⁄ _____
𝑏1 = 350 𝑁 ∙ 𝑠
𝑚⁄
𝑏2 = 116 𝑁 ∙ 𝑠
𝑚⁄
𝑏3 = 14 𝑁 ∙ 𝑠
𝑚⁄
𝐹1 =
1
15
𝑠2 +
350
15
𝑠 +
225
15
=
0.066
(𝑠 + 0,66)(𝑠 + 22,67)
(1.8)
𝐹2 =
1/15
𝑠2 +
116
15
𝑠 + 15
=
1/15
(𝑠 + 3,86 + 𝑗0,22)(𝑠 + 3,86 − 𝑗0,22)
(1.9)
𝐹3 =
1/15
𝑠2 +
14
15
𝑠 + 15
=
1/15
(𝑠 + 0,46 + 𝑗3,8)(𝑠 + 0,46 − 𝑗3,86)
(1.10)

Para el cálculo del diagrama de BODE se utiliza el programa MATLAB® con el
siguiente código
clc % limpia la pantalla
clear all % borra todas las variables de la memoria
close all % cierra todos los procesos
b_1=70/3;
num_1 = [0, 0, 1/15]; % crea un vector para el numerador
den_1 = [1, b_1, 15]; % crea un vector para el denominador
sist_1 = tf( num_1, den_1) % crea la función de transferencia del
% sistema y la muestra en línea de comandos.
Bode (sist_1,'o') % muestra el diagrama de bode del sistema.
hold on
b_2=116/15;
Bode (sist_2,'+') % muestra el diagrama de bode del sistema.
b_3=14/15;
Bode (sist_3,'*') % muestra el diagrama de bode del sistema
legend ('b_1=350 Ns/m','b_2=116 Ns/m','b_3=14 Ns/m')
El resultado se observa en las siguiente figura
Figura 1.2_ Comparación de los resultados de los tres valores de “b”

Conclusiones
En este ejercicio podemos ver tres casos de amortiguamiento con solo cambiar el
factor de amortiguación del dispositivo amortiguador, se muestra perfectamente en la
figura1.2 una disminución de la amortiguación hace cambiar la posición de los polos y
en consecuencia la respuesta de Bode en la que se evidencia la falta de amortiguación
en el tercer caso, donde deja de ser crítica y existe un sobre impulso en el sistema
completo.
(Resuelto por: Viera Juan)
2)
Un motor de corriente continua con excitación independiente, cuyo circuito eléctrico
está representado en la Figura 2.1, es controlado por la corriente de armadura,
manteniéndose la corriente de campo. Este motor acciona una carga de momento de
inercia J. En este esquema se tiene: ( ) .f fi t I ctte 
Te: par o torque electromagnético
producido por el motor Tc: par antagónico de la carga.
b: coeficiente de rozamiento.
Vb: fuerza contra electromotriz.
Ra: Resistencia de la armadura. La: Inductancia de la armadura.
Kt: constante de proporcionalidad entre
el par motor y la corriente de armadura.
Kb: constante de proporcionalidad entre
la velocidad angular y la tensión
inducida.
ia: corriente en la armadura.
va: tensión aplicada a la armadura
(acción de control).
θ: desplazamiento angular del eje del
motor
ω:velocidad angular del eje del motor.
Figura 2.1: circuito elétrico motor de cc-carga

a) Escriba las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico de
este sistema electromecánico.
b) Halle la descripción entrada-salida de este sistema (función de transferencia) en el
dominio de Laplace suponiendo que la entrada, u(t), es la tensión de armadura va(t) y
la salida, y(t), es el desplazamiento angular θ(t). Dibuje el diagrama en bloques de
este sistema dinámico identificando los bloques relacionados al motor y a la carga.
c) Siendo Ra=20 Ω, Kt=1 N.m/A, Kb=3 V.s/rad , J=0.5 N.m.s2/rad y b=0.01 N.m.s/rad.
Calcule las constantes de ganancia y de tiempo del motor y obtenga las raíces del
polinomio característico.
d) Calcular los polos de la función de transferencia.
e) Trazar la respuesta en frecuencia de magnitud y fase (diag. de Bode) de este
sistema.
Resolución
a)
El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales describe el comportamiento eléctrico
(ecuación 2.1) y mecánico (ecuación 2.2) del motor.
2
2
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a
a b a a a
e c
dI t
V t V t I t R L
dt
d t d t
J T t T t b
dt dt
 

  

   

(2.1)
(2.2)
b)
En la ecuación 2.1 reemplazando
( )
( )b b
d t
V t K
dt

 y aplicando transformada de Laplace
con condiciones iniciales (CIN) nulas, se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )a b a a a aV s sK s I s R sL I s   (2.3)
Considerando nulo el torque de carga Tc(t), reemplazando ( ) ( )e t aT t K I t y despejando
la corriente de armadura, la ecuación 2.2 resulta:
2
2
( ) ( )
( ) =a
t t
b d t J d t
I t
K dt K dt
 
 (2.4)
Aplicando transformada de Laplace con CIN a la ecuación 2.4 y reemplazando en la 2.3
se obtiene

2
( ) = ( ) ( )a
t t
b J
I s s s s s
K K
  (2.5)
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a a
t t t t
b J b J
V s sK s R s s s s sL s s s s
K K K K
    
   
       
   
(2.6)
Despejando θ(s) de la 2.6
2 2
( )
( ) a
b a a
t t t t
V s
s
b J b J
sK R s s sL s s
K K K K
 
   
      
   
(2.7)
Despreciando la inductancia La debido a que el régimen transitorio es pequeño, la
función transferencia resulta en 2.8.
2
( ) ( ) 1
( ) ( ) a aa
b
t t
u s s
R b R Jy s V s sK s s
K K

 
  (2.8)
Operando algebraicamente la expresión 2.8 de forma de dejar la variable s2
multiplicada por uno, se llega a la ecuación 2.9
2
/ /( )
( )
t a t a
a b t b t
a a
K R J K R Js
V s K K b K K b
s s s s
R J J R J J

 
    
       
    
(2.9)
En la figura 2.2 se aprecia el diagrama de bloques de la dinámica del sistema.
1
a
a
a
R
L s
L
 
 
 
tK
1
b
J s
J
 
 
 
1
s
bK
( )aV s

( )bV s

( )aI s ( ) +eT s
( )cT s
 ( )s ( )s
Figura 2.2: Diagrama de bloques del sistema

Donde el bloque
1
a
a
a
R
L s
L
 
 
 
representa el comportamiento del motor y el bloque
1
b
J s
J
 
 
 
describe el comportamiento de la carga.
c)
La función de transferencia general para un motor de corriente continua está dada por
la ecuación 2.10. En ella Km representa la ganancia del sistema y Tm, la constante de
tiempo del motor.
 
( )
( ) 1
m
a m
Ks
V s s sT



(2.10)
Trabajando la expresión 2.9 para obtener la forma de la 2.10 se llega a la 2.11
/( ) 1
( ) ( )
1
t a t
a b t ab t a a
a b t a
K R J Ks
V s K K R bK K R b R J
s s s s
R J K K R b

 
     
     
    
(2.11)
Donde de la comparación de las ecuaciones 2.10 y 2.11 vemos que la ganancia resulta
0.3125
( )
t
m
b t a
K
K
K K R b
 

(2.12)
Y la constante de tiempo del motor es
3.125a
m
b t a
R J
T
K K R b
 

(2.13)
Finalmente, la ecuación de transferencia resulta:
( ) 0.3125
( ) (3.125 1)a
s
V s s s



(2.14)
d)
Reemplazando los valores de las constantes en la ecuación 2.9 obtenemos
   
( ) 1/10 1
0.1
( ) 0.3 0.3a
s
V s s s s s

 
 
(2.15)
De la ecuación anterior se aprecia que los polos de la función transferencia son:
{
𝑠 = 0____
𝑠 = −0,3
(2.16)
e)

El diagrama de Bode se observa en la figura 2.3
Figura 2.3:Diagrama de Bode
Dado que la función de transferencia posee un polo en el origen, este ocasiona la caída
de -20 dB por década en la gráfica de magnitud, a la cual se le suma una caída de -40
dB debido al polo real negativo.
La gráfica de fase resulta de la suma de una fase constante de -90 aportada por el polo
en el origen y una fase negativa que varía entre cero y -90 debida al polo en -0.3.
La gráfica resultante es característica de un filtro pasa bajos, esto concuerda con las
características del motor de corriente continua. En conclusión, el motor de cc actúa
como un filtro pasa bajos.
(Resuelto por: Hoff Romina)
3)
Considere el sistema de control de temperatura mostrado en la Figura 3.1. El problema
es controlar la temperatura “y” dentro de la cámara. Esta cámara es calentada a vapor.
Elflujo de vapor caliente “q” es proporcional a la apertura de la válvula “x”, o sea 𝑞 =
𝐾𝑞 𝑥.La apertura x de la válvula es controlada por un solenoide y se asume que es
proporcionala la corriente en el solenoide i(t), o sea 𝑥 = 𝐾𝑠 𝑖(𝑡). Se asume que la
temperatura de lacámara yy el flujo de vapor q están relacionados por:
-60
-40
-20
0
20
40
Magnitude(dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-180
-135
-90
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)

𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −𝑐𝑦 + 𝐾𝑐 𝑞 (3.1)
Donde c es uncoeficiente que depende del aislamiento de la cámara y de la diferencia
de temperaturaentre el interior y el exterior de la misma. Para simplificar el análisis y
proyecto, seasume que c es una constante positiva. Esto significa que sí no se
introduce vapor a lacámara la temperatura decrece con una tasa igual a 𝑒−𝑐𝑡
.
a) Dibuje el diagrama de bloques del sistema desde la referencia r a la salida y. Halle
lafunción de transferencia entre el flujo de calor q y la temperatura y.
b) La tensión de salida del amplificador de la señal de la termocupla es 𝑣 = 𝐾2 𝑦y
laseñal de error que ingresa al amplificador de entrada es𝑒 = 𝑟 − 𝑣. Encuentre la
funciónde transferencia entre la entrada u(t) y la corriente del solenoide i(t).
Figura 3.1: Esquema del sistema
Resolución
a)
En base al esquemático del sistema presentado en la figura 3.1 y las ecuaciones
brindadas para la descripción del mismo; se genera el diagrama de bloques exhibido en
la figura 3.2.

R(s) E(s) U(s) Q(s) Y(s)
V(s)
+
-
K2
H (s)2
H (s)1
K1
Controlador Actuador Planta
Sensor
G (s)1
Figura 3.2: Diagrama de Bloques
Según lo presentado en el diagrama precedente, la Función de Transferencia completa
del sistema a Lazo Cerrado, se puede obtener fácilmente mediante la expresión 3.2.
𝐺 𝐿𝐶(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺1(𝑠)
1 + 𝐺1(𝑠) ∙ 𝐾2
(3.2)
Partiendo de la ecuación diferencial presentada en 3.1, que describe la relación entre la
temperatura de la cámara y el flujo de vapor, transformando la misma a través de
Laplace se tiene lo exhibido en 3.3.
[𝑠 ∙ 𝑌(𝑠) − 𝑦(0)] = −𝑐 ∙ 𝑌(𝑠) + 𝐾𝑐 ∙ 𝑄(𝑠) (3.3)
Teniendo en cuenta que la definición de función transferencia exige analizar el sistema
con condiciones iniciales nulas, se elimina el segundo término del primer miembro de la
igualdad presentada. Así, operando algebraicamente se arriba a la expresión 3.4.
𝑌(𝑠) ∙ (𝑠 + 𝑐) = 𝐾𝑐 ∙ 𝑄(𝑠) (3.4)
Finalmente, operando para obtener la función transferencia entre la temperatura de la
cámara y el flujo de calor, respetando la nomenclatura definida en la Figura 3.2, se
obtiene la expresión dada en 3.5.
𝐻2(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑄(𝑠)
=
𝐾𝑐
𝑠 + 𝑐
(3.5)

b) Planteando la sumatoria de las caídas de potencial eléctrico en la malla dada
entre el amplificador de salida y el solenoide que comanda la válvula, exhibidos en la
Figura 3.1, se obtiene la expresión 3.6.
𝑢(𝑡) − 𝑅 ∙ 𝑖(𝑡) − 𝐿 ∙
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
= 0 (3.6)
Transformando por Laplace la ecuación precedente, y operando se obtiene:
𝑈(𝑠) = 𝑅 ∙ 𝐼(𝑠) + 𝐿 ∙ [𝑠 ∙ 𝐼(𝑠) − 𝑖(0)] (3.7)
Recordando que la función transferencia se define con condiciones iniciales nulas, la
ecuación 3.7 puede ser operada y así arribar a lo presentado en 3.8.
𝑈(𝑠) = 𝐼(𝑠) ∙ (𝑠 ∙ 𝐿 + 𝑅) (3.8)
Así, operando algebraicamente para obtener la transferencia entre la entrada y la
corriente sobre el solenoide, se obtiene la expresión 3.9.
𝐼(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
1
𝑠 ∙ 𝐿 + 𝑅
(3.9)
Las expresiones obtenidas, ecuación 3.5 y 3.9, son pasos intermedios para llegar a la
función transferencia global del sistema a lazo cerrado. Para obtener dicho resultado,
debe continuarse operando con las expresiones disponibles y finalmente aplicar la
ecuación 3.2.
(Resuelto por: Krujoski Matías)
4)
Considere un motor CC alimentado por la armadura como se muestra en la Figura 4.1,
que acciona una carga a través de un tren de engranajes que permite reducir la
velocidad y aumentar el momento de torsión necesario para impulsar la carga. El
momento de torsión total incluyendo rotor, eje y engranaje primario, está dado por J1 y
el coeficiente de fricción relacionado a este eje es b1; y aquellos correspondientes a la
carga son J2 y b2.
a) Encuentre la función de transferencia entre u(t) y θ2(t).
b) ¿Cuál es la función de transferencia entre Va(t) y d θ2(t)/dt?

Figura 4.1: Sistema motor CC-carga
Resolución
a)
Primeramente se procede a plantear las ecuaciones en el dominio del tiempo de la
parte eléctrica más las partes mecánicas.
2
1 1
1 2 12
2
2 2
2 2 2 2
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2
( ) ( )
( )
a
b a a a
e
dI t
u t V t I t R L
dt
d t d t
J T t T t b
dt dt
d t d t
T t b J
dt dt
 
 

  


  


 

(4.1)
(4.2)
(4.3)
Además de estas ecuaciones se plantean las siguientes
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
e a t
e
T t I t K
T t T t T t

 
(4.4)
(4.5)
1( )
( )b t
d t
V t K
dt

 (4.6)
Realizando la transformada de Laplace (considerando condiciones iniciales nulas, CIN)
de las ecuaciones 4.1, 4.2, 4.3 y 4.6 y reemplazando T2(s) en la ecuación 4.2
transformada, se tienen las siguientes ecuaciones.
1
1
2
2 2 2 2 2
2 2
1 1 2 2 2 2 1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )
b t
t a a a a
e
V s K s s
u s K s s I s R L sI s
T s b s s J s s
J s s T s b s s J s s b s s


 
   

  
 
   
(4.7)
(4.8)

(4.9)
(4.10)
Los pares T1 y T2 se relacionan por medio de los desplazamientos angulares θ1y θ2 y
por el número de dientes de los engranajes reductores, N1 y N2. Esta relación se
expone a continuación.
1 2 1 2
1 2
2 1 2 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
T t t N N
s s
T t t N N

 

    (4.11)
Y transformando por Laplace la 4.4 tenemos
( ) ( )e a tT s I s K (4.12)
Reemplazando las ecuaciones 4.11 y 4.12 en la 4.10, obtenemos la relación entre la
corriente de armadura y el desplazamiento angular de la carga, como se ve en la 4.13
 
2 22 2
1 2 2 1
1 1
2
2
1 2 1 2 2 1 1 2
2
1
2
( ) ( )
( ) ( 2 )
( )
a
t
t
N N
J s b s J s b s
N N
I s s
K
J N N J s b N b N s
s
K N


 
   
 
  

(4.13)
Finalmente reemplazando las ecuaciones 4.11 y 4.13 en la 4.8 se encuentra la función
de transferencia entre u(s) y θ2(s)
 2
1 2 1 2 2 1 1 22
2 2
1 1
( ) ( 2 )
( ) ( ) ( ) ( )t a a
t
J N N J s b N b N sN
u s K s s R L s s
N K N
 
  
   (4.14)
 
2
2
1 2 1 2 2 1 1 22
1 1
( ) 1
( ) ( ) ( 2 )
( )t a a
t
s
u s J N N J s b N b N sN
K s R L s
N K N


  
 
(4.15)
En la ecuación 4.15, se multiplica al numerador y al denominador por KtR1 llegando a la
4.16

 
12
2
2 1 2 1 2 2 1 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( 2 )
t
t t a a
K Ns
u s K K N s R L s J N N J s b N b N s


    
(4.16)
Despreciando la inductancia La dado que el transitorio en el que actúa el inductor es
pequeño, la función transferencia resulta
   
12
2
1 2 1 2 2 1 1 2 2
( )
( ) ( ) ( 2 )
t
a a t t
K Ns
u s s R J N N J s R b N b N K K N


   
(4.17)
Se observa de la ecuación 4.17 que la función transferencia entre la entrada u(s) y la
posición angular θ2(s) es de segundo orden. Además, posee un polo en el origen y un
polo real simple.
b)
Para hallar la función de transferencia entre la tensión de entrada Va(t)=u(t) y la
velocidad angular ω(t)=dθ(t)/dt. Por propiedades de la transformada de Laplace de la
derivada, considerando CIN, se tiene que:
2
2
( )
( )TLd t
s s
dt

 (4.18)
Por lo que la función transferencia resulta
    
12
1 2 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( 2 )
t
a a t t
K Ns s s
s
u s u s s s R J N N J R b N b N K K N
 
 
   
(4.19)
   
1
1 2 1 2 2 1 1 2 2
( )
( ) ( ) ( 2 )
t
a a t t
K Ns
u s s R J N N J R b N b N K K N


   
(4.20)
En la ecuación 4.20 se observa la función de transferencia final entre u(t) y dθ2(t)/dt,
esta función presenta un único polo real simple.
Comparando con la función de transferencia del punto a, ecuación 4.17 con la obtenida
en la 4.20 vemos que se ha reducido un grado el polinomio del denominador. Por lo
que esta última resulta de menor orden que la primera.

Para realizar un análisis de la estabilidad del sistema, conociendo los valores de las
constantes, se tendrá que recurrir al diagrama de Bode o criterios de estabilidad de
Nyquist
(Resuelto por: Hoff Romina)

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