![*Determinantes
(Regla de Cramer)
La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de
ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos
condiciones siguientes:
El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto
de cero.
Tales s i s t e m a s se denominan s i s t e m a s de Cramer.
♠ primero se abren dos []
♣ se desmenuza la ecuación
♥ se abren dos []
♦ se multiplican
◊ se suman o restan
☺ Ejemplo:
4x-2y=7
3x+5y=-3 4 -2 7
3 5 -3 x 7 -2
(-) =35-6=29
26
∆=20+6=26 (-) -3 -5
Y 4 7
= -12-21=-33
3 -3 26
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Copia de cedart por fin termine 3er parcial
- 1. CEDART DAVID ALFARO SIQUEIROS BACHILLERATO DE ARTE Y HUMANIDADES INBA Y BELLAS ARTES ÁLGEBRA MAESTRO: ING. VICTOR MANUEL MORALES ÁRZAGA ALUMNA: LUISA EDITH CEPEDA GLEZ GRADO: _____1________ GRUPO: _____1________ FECHA DE ENTREGA: lunes 06--12--2010
- 2. Factorización Define qué es factprozacion. En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Ilustra en un mapa conceptual los diversos métodos de factorización Factoriza las sig. Expresiones. a) 25a 2 – 64b2 =(5ª+8)(5ª-8) b) 8m2 – 14m- 15=(-1m+1)(2m-5) c) X2 – 15x+54=(x-6)(x-9) d) 5x2 -13x +6=(x+x)(1+6) e) 27ª9 –b3=(7ª3 +b)(7ª3-b) f) 5a 2+10ª=5ª(1ª+2) g) N2 -14n +49=(n-7)2 h) X2 -20x -300=(x -2)(x +150) i) 9x6 -1=(3x3-1) (3x3+1) j) 64x3 +125=(8x+5)(8x2-40x+25) k) X2 -144=(x+72)(x-72) l) 2x2+11x+12= 2(x+6) m) 4x2y – 12xy2=xy(4x-12y) n) Xw – yw + xz – yz=(w+z)(x-y) o) X2 +14x + 45=(x+5)(x+9) p) 6y2 – y – 2=(2y+2)(3-2) q) 4m2 – 49=(2m+7)(2m-7) r) X2 – x – 42=x(x-4x) s) 2m2 + 3m – 35=(2m+5)(2m-7) t) A2 – 24ª + 119=(a+12)2 Investiga la aplicación de la factorización en la solución de ecuaciones cuadráticas. Solución de la ecuación de segundo grado por medio de la factorización El método para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorización es un poco complicado pero con algo de práctica se puede obtener cierta habilidad, este método se basa en que el producto de dos o más factores es cero, si cualquiera de los factores es cero. De este modo la ecuación (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3 Nota: Una buena habilidad adquirida en este método nos pueda dar buenos frutos en la solución de no solo ecuaciones de segundo grado si no incluso de grado superior. Los pasos a seguir son los siguientes: Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuación e iguálalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado. Cada factor así formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen así las raíces.
- 3. Nota: Si no se cumple el primer paso entonces la ecuación no es factorizable. Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la practica, pues aquí esta la solución con el siguiente ejemplo X^2 = 2X + 3 X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1) Para el caso dos el secreto esta en encontrar dos números que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3. Esos números son -3 y 1 a continuación dichos números los sustituimos por -2 y la ecuación nos da como resultado: X^2 - 3X + X -3 = 0 X(X - 3) + (X -3) = 0 (X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2) Solución a la ecuación X = -1 X=3 (Paso 3) No obstante, no siempre es fácil encontrar ambos números sobre todo si son cantidades grandes, ahora bien, un problema muy común es que en el primer término de la ecuación el coeficiente sea mayor a uno (A > 1) y es aquí donde tenemos una solución muy interesante para poder factorizar los términos. Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer término ( C ), lo que nos dará como resultado un número más grande. Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos números que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado. Es así como funciona: 2X^2 - X -6 = 0 (2)(-6) = -12 (Obtenemos el numero) Los dos números son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido. 2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitución de los dos números) 2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorización por factor común) (X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado) X=2 (Resolución de las ecuaciones de primer grado) X = -3/2
- 4. Conclusiones personales sobre la unidad de factorización. Es una herramienta útil para separar los sub-conjuntos de los conjuntos simplificando así la reagrupación FRACCIONES ALGEBRAICAS Realiza las operaciones con fracciones algebraicas: X2 – 16 = x-4 X2 + 8x + 16 x+4 4x2 – 20x = 4 X2 – 4x -5 x+1 3ª – 9b = 3 6ª – 18b 6 X2 – 6x + 9 * x2 + 6x + 5 = (x+3)(x+5)(x+1) X2 – 7x + 12 3x2 + 2x – 1 (x+4)3(x-3) 7x + 21 * x2 – 5xy + 4y2 = 7(x+5)(x-1) X2 – 16y2 4x2 + 11x (x+4y)(x-4y) 4 X2 – 3x – 10 * 2x + 10 =2 X2 – 25 6x + 12 6 X – 4 * 4x + 8 = 4(x+2) 2x + 8 x2 – 16 2(x+4)2 3x – 15 ÷ 12x + 18 =3x-1512+3x+9 12x+1812x2+36 X+3 4x + 12 X+3 4x + 12 4x2 – 9 ÷ 2x – 3 = 4(x-2)2x-3 X + 3y 2x + 6y x+3y 2(x+3) X2 – 14x - 15 ÷ x2 – 12x – 45 = (x-7)(x+2) X2 – 4x – 45 x2 – 6x – 27 (x+3)(x-9) a–3 - a = a a2 – 3ª + 2 a2 – 4ª + 3 (a+1) m + 3m = (3m2)(1) m2 - 1 m+1 (m+1)2(m-1)
- 5. 2ª - 4 = 2ª2-4ª+8 a2 – a – 6 a2 – 7ª + 12 (a-2)(a+4) 2 - 1 + 1 = 2m2-1m2 m2 – 11m + 30 m2 – 36 m2 – 25 m2-15 m2-5 m2-5 x + 2 = x +2 x2 - 5x - 14 x–7 x-7 2. Define qué es una fracción compleja y da un ejemplo. Fracción en la que el numerador o el denominador, o ambos, contienen fracciones. 3. Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas. Herramienta útil para resolver incógnitas que se pueden aplicar en la vida diaria.
- 6. Define que es una ecuación lineal, los tipos que existen y cuales son los métodos de resolución Es una ecuación que representa una línea recta de modelo Y=a+bx a) ordenada al origen (intersección con y) b) pendiente (inclinación) O bien: Ecuación de primer grado Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales. Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es: Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y). Las ecuaciones en las que aparece el término (llamado rectangular) no son consideradas lineales. Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
- 7. Tipos de ecuación lineal: *Ecuación con una incógnita ♠ Todos los valores se multiplican entre si ♣ se suman o restan todos los valores con x ♥ se suman o restan todos los valores con # ♦ Se reacomodan ◊ se suman o restan según sea el caso ☺ Ejemplo: 4(2x+1)-5(x+4)+3(x-2)=7(x+3)-2x+3(x+5) 8x+4-5x-20+3x-6=7x+21-2x+3x+15 6x-22=8x+36 6x-8x=36+22 -2x=58 X=58 = -29 2
- 8. *Grafica de ecuaciones lineales ♠ Una ecuación se convierte en una función ♣ Tabular ☻ Ejemplo: y=3x-5 3x-5 X Y 3x-5=0 5/3=1.66 0 -5 1 -2
- 10. *Dos incógnitas a) suma-resta ♠ elegir una variable para eliminar, cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a uno de ellos ♣ multiplicar, sumar y restar ♥ obtener el valor ♦ despejar la otra variable y sustituir el valor ☺ Ejemplo: (-5) 2x+3y=7 (2) 5x-2y=-3 (-5) 2x+3y=7 x=7-3y=7-3x (41) 2 2 19 (2) 5x-2y=-3 -10x-15y=-35 x=5 10x -4y=-6 19 -19y=-41 Y=41 19
- 11. *Igualación ♠ despejar la misma variable de ambas ecuaciones ♣ igualar los despejes ♥ hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal ♦ sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor ☻ Ejemplo: 4ª-3b=6 a=6+3b= 6+3(-34) =a=9 5ª+2b=-1 4 23 23 4 A=a 6+3b=-1-2b 4 5 5(6+3b)=4(-1-2b) 30+15b=-4-8b a=-1-2b= 15b+8b=-4-30 5 23b=-34 b=-34 23
- 12. *Determinantes (Regla de Cramer) La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. Tales s i s t e m a s se denominan s i s t e m a s de Cramer. ♠ primero se abren dos [] ♣ se desmenuza la ecuación ♥ se abren dos [] ♦ se multiplican ◊ se suman o restan ☺ Ejemplo: 4x-2y=7 3x+5y=-3 4 -2 7 3 5 -3 x 7 -2 (-) =35-6=29 26 ∆=20+6=26 (-) -3 -5 Y 4 7 = -12-21=-33 3 -3 26 (-)
- 13. 2- resolver a) 4(2x-3)+5(x-1)=7(x+2)-(3x+4) x= 1 9 b) 5x-3+2x=x+1 4 3 2 X=30 34 c)3(4x+3)+2x-3(2-x)=2+3(x-4)+5x-2 x=9 9 d) 2x+5-3x=x+2 +3x 7 5 2 X=20 267 e)5(2x-3)+4(x+1)-5=2x-3+x 2 3 X=87 76 Graficar a), b) y c) a) y =5x-1 b) y =2x+3 c) y =1/2x+2 a)
- 14. b) c)
- 15. 4) dos automóviles viajan por la misma carretera; uno se encuentra delante que el otro. El de adelante va a 60km/h y el otro a 70km/h ¿Cuánto tardara el 2do automóvil en rebasar al 1ro? R=1.16 (Un minuto dieciséis segundos) Una joyería vende su mercancía al 50% más cara de su costo. Si vende un anillo de diamantes en $1,500 ¿Cuánto pago el proveedor? R=$1,125 Resolver las siguientes ecuaciones a)2x-3y=4 X-4y=7 X=-5 y=10 -5 -5 b)4ª+b=6 3ª+5b=10 A= 20 b= 22 17 17 c) m-n=3 3m+4n=9 indefinido M=21 n= 0 7 7 d) 5p+2q=-3 2p-q = 3 P=-3 q=21 9 9 e) x+2y=8 3x+5y=12 X=16 y=-12 -1 -1 f) 3m+2n=7 M-5n=-2 M= -31 n=13 17 17 g) 2h-i=-5 3h-4i=-2 H= -18 i= -11 -5 -5
- 16. 7) grafica los incisos a, c, e y g a) c)
- 17. e) g)
- 18. 8. Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $1.50 niños. Si se vendieron 1,000 boletos recaudando $3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron? X=480 niños Y=695 adultos 9. Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que contiene 55% del mismo metal para obtener 800 kg de aleación al 40% ¿qué cantidad de cada una debe emplearse? A=1,112gr B=3,121gr