CRITERIOS DE SEMEJANZA
- 1. SEMEJANZA
- 2. Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma” aparece en las ampliaciones o reducciones.
- 3. ¿ Qué observas ? 10 cm 5 cm 4 cm 8 cm
- 4. ¿Cómo expresamos matemáticamente esta idea de la “ misma forma”? La respuesta es comparando el largo y el ancho de ambas fotografías : Las razones entre el ancho y el largo de cada foto son iguales; es decir: las dos fotografías son: ¿IDÉNTICAS O SEMEJANTES ? cm cm cm cm 10 5 8 4 Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 10 x 4 = 8 x 5
- 5. Dos figuras son semejantes porque: 1º Tienen la misma forma, por ampliación o por reducción. 2° Tienen diferente tamaño, porque los lados de la figura mayor son una ampliación en forma proporcional de los lados de la figura menor, manteniéndose constante los ángulos.
- 6. No son figuras semejantes
- 7. ¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?
- 8. Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman “homólogos”. ¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?
- 9. Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
- 10. Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m. Multiplica cada uno de los lados por 3. Los lados del triángulo se han triplicado. 4m 5m 6m A B C 18m 15m 12m P Q R
- 11. 11 Identificamos algunos elementos : RAZÓN DE SEMEJANZA : 3 LADOS HOMÓLOGOS AB BC AC PQ QR PR
- 12. Criterios de semejanza de triángulos Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos
- 13. Existen tres criterios de semejanza de triángulos 1. AA ( ángulo-ángulo) 2. LLL (lado-lado-lado) 3. LAL (lado-ángulo-lado)
- 14. Primer criterio : AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C a´ a b´ b g´ g Es decir: Si a a´ , b b´ de lo anterior se deduce que g g´ Entonces, D ABC semejante con D A´B´C´
- 15. Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA 65° 25° A B C Q 65° P R
- 16. Segundo criterio: LLL Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C a a´ El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. Es decir: a a´ = b b´ = c c´ =K b b´ c c´
- 17. Ejemplo : Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales 1,5 3 = = 3,5 7 5 10 A B C 1,5 3,5 5 P Q R 3 7 10 Efectivamente , así es, ya que los productos la razón entre los lados correspondientes es constante Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL = 0,5
- 18. Tercer criterio:LAL Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A’ B’ C’ A B C Es decir: a a’ a a’ = c c’ c c’ y a = a’ a a´ Entonces D ABC semejante a D A’B’C’
- 19. Ejemplo : ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales 3 9 = 4 12 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos A B C 4 3 D E F 9 12
- 20. Algunas aplicaciones de estos conceptos
- 21. Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Ejercicio Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL 8 10 12 78 65 52 Representemos el ejercicio Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 65 : 10 = 6,5 52 8 = 65 10 = 78 12 = 6,5 Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, podemos ver la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos 52 •10 = 8 • 65 = 520 65 • 12 = 10 •78 = 780
- 22. Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. Luego, debe ocurrir: Ejercicio 3 4 5 x y z Entonces: X= 3· 3 = 9 = 9 Y = 4 · 3 =12 12 = Z = 5 · 3 = 15 =15 La razón de semejanza es 3 Representamos la situación = X 3 = Y 4 Z 5 = 3 1 =3 Escala de ampliación X 3 = 3 Y 4 =3 Z 5 =3
- 23. Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. Otro ejercicio similar 50 30 40 12 16 20 30 12 = 40 16 50 20 = Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 además 40x20=800 y 16x50=800 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales
- 24. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Una aplicación 4,5m x 3m 2m sombra p o s t e Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto De donde = 6,75m Son semejantes por que cumplen el criterio AA, tienen iguales el ángulo recto y el ángulo de elevación que forman los rayos solares con el suelo = 3 x 2 4,5 X = 3 • 4,5 2 Formamos la proporción