Cuadrilateros y Poligonos en la educacion secundaria
- 1. CUADRILÁTEROS PROFESOR: SANTOS BORJA CLASE DE MATEMÁTICA PARA SEGUNDO GRADO
- 3. Cuadrilátero es la porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada de cuatro segmentos. A B C vértice ángulo D vértice vértice vértice ángulo ángulo ángulo lado l a d o lado l a d o
- 5. Cuadrado CUADRILÁTEROS PARALELOGRAMOS Son los que tienen los lados paralelos dos a dos. A B C D 90º 90º 90º 90º Un cuadrado es un cuadrilátero paralelogramo, que tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. AB = BC = CD = DA A = 90º B = 90º C = 90º D = 90º
- 6. Rectángulo CUADRILÁTEROS PARALELOGRAMOS A B C D 90º 90º 90º 90º Un rectángulo es un cuadrilátero paralelogramo, que tiene los cuatro lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos. AB = CD BC = AD A = 90º B = 90º C = 90º D = 90º
- 7. CUADRILÁTEROS PARALELOGRAMOS A B C D Un rombo es un cuadrilátero paralelogramo, que tiene los cuatro lados iguales, los cuatro ángulos iguales dos a dos y las diagonales perpendiculares. AB = BC = CD = DA A = C B = D Rombo
- 8. CUADRILÁTEROS PARALELOGRAMOS O ROMBOIDES A C D Un romboide es un cuadrilátero paralelogramo, que tiene los cuatro lados paralelos dos a dos y los cuatro ángulos iguales dos a dos. AB = CD BC = DA A = C B = D Romboide B
- 9. Trapecio CUADRILÁTEROS NO PARALELOGRAMOS Son los que tienen dos lados paralelos. A B C D Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos AB y CD son paralelos
- 10. Trapecio isósceles Trapecio rectángulo CUADRILÁTEROS NO PARALELOGRAMOS A B C D Trapecio isósceles es el que tiene dos lados iguales. BC = AD Trapecio rectángulo es el que tiene dos ángulos rectos. A = 90º D = 90º A B C D TRAPECIOS
- 11. C B D C B M' B' C' D C A B A D C A B B BASE MENOR C D ESCALENO Los cuatro lados son distintos
- 12. SIMÉTRICOS Lados consecutivos iguales dos a dos Diagonales perpendiculares y bisectrices de los ángulos donde concurren cada par de lados iguales ASIMÉTRICOS Lados consecutivos desiguales Dos de sus lados opuestos pueden ser iguales, pero no paralelos D C A C B A D D C A B B BASE MENOR C D A B C D C D A B TRAPEZOIDES Son cuadriláteros sin lados paralelos
- 13. Los cuatro ángulos de un cuadrilátero suman 360º A B C D 90º 90º 90º 90º A+B+C+D = 90º+90º+90º+90º = 360º A B C D 60º 60º 120º 120º A+B+C+D = 120º+120º+60º+60º = 360º PROPIEDADES
- 14. ALTURA de un cuadrilátero es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. A B C D altura altura
- 15. DIAGONAL de un cuadrilátero es el segmento que une dos vértices no consecutivos. A B C D diagonal diagonal
- 16. El perímetro de un cuadrilátero es igual a la suma del valor de sus cuatro lados. A B C D 6cm 8cm 5cm 2cm El perímetro del cuadrilátero es: 6 cm + 8 cm + 2 cm + 5 cm = 21 cm
- 17. PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS PARALELOGRAMO - Cada diagonal de un paralelogramo origina 2 triángulos congruentes. - Las diagonales se cortan en un punto medio; es decir, se bisecan - Los pares de ángulos opuestos son congruentes o iguales - Dos ángulos consecutivos son suplementarios (suman 180º) RECTÁNGULO - Las diagonales son congruentes o iguales - Las diagonales se cortan en un punto medio; es decir, se bisecan - Cada diagonal origina 2 triángulos congruentes.
- 18. ROMBO -Las diagonales se cortan en un punto medio; es decir, se bisecan -Las diagonales son perpendiculares -Las diagonales son bisectrices de sus ángulos -Las diagonales forman 4 triángulos congruentes. CUADRADO - Las diagonales se cortan en su punto medio - Las diagonales son congruentes o iguales - Las diagonales son perpendiculares - Las diagonales son bisectrices de sus ángulos - Las diagonales forman 4 triángulos congruentes.
- 19. PROPIEDADES EN LOS TRAPECIOS 1º LA MEDIANA DE UN TRAPECIO A B D C M N Mediana 2 BC AD MN 2º SEGMENTO QUE UNE LOS PUNTOS MEDIOS DE LAS DIAGONALES A B D C E F 2 BC AD EF
- 20. PRÁCTICA DE CLASE 1. Calcule “”, si ABCD es un trapecio isósceles. Por propiedades, la suma de dos ángulos consecutivos de un trapecio isósceles suman 180º + = 180º
- 21. 2. Calcule “”: 90º = 360º = 360º-90° = 270º = 30º
- 22. 3.En la figura BC//AD y las longitudes de los segmentos AB y AD son 8 y 14. Calcule la longitud de BC. A D B C E TRAZAMOS BE PARALELO a CD LUEGO BCDE ES PARALELOGRAMO DEL GRÁFICO ABE ES ISOSCELES
- 23. 4. Calcule “x”, si ABCD es un trapecio isósceles. B C A D x 5x Si el trapecio es isósceles, el ángulo A es congruente con el ángulo D, luego: A D C B Por propiedad de cuadriláteros: la suma de sus ángulos es 360º X + 5x + 5x + x = 360º 12x = 360º x = 30º
- 24. 5. En un trapecio rectángulo el menor ángulo interior mide 53° y su altura mide 8u. Calcule el segmento que une los puntos medios de las diagonales. 53° 8u E D A C B En el triángulo rectángulo CED 53° 4k 3k 5k 8u C E D 4k = 8 k = 2 ED = 3k = 6 x x 6u = 3
- 25. 6. El perímetro de un trapecio isósceles es igual a 140m, si la longitud del lado no paralelo es 20m, calcule la longitud de la base media. A D C B 20m 20m x y 20m + x +20m + y = 140m 40m + x + y = 140m x + y = 140m – 40m x + y = 100m
- 26. 7. Calcule “x”: X = 180° – (α + ϴ) 2α + 2ϴ + 88° + 88° = 360° α + ϴ + 88° = 180° α + ϴ = 92° Reemplazamos (α + ϴ) X = 180° – 92° X = 88°
- 27. 8. Calcule “x”: 2α + 2β + 100° + 70° = 360° α + β + 85° = 180° α + β = 95° Reemplazamos α + β =95° α + β + 100° + x = 360° 95° + 100° + x = 360° x = 360° - 195° x = 165°
- 28. AD y CD BC AB , , , AC 48 y BD 36 9. En la figura: M, N, P y Q son puntos medios de respectivamente. Calcule el perímetro de MNPQ, si De la figura MNPQ es un paralelogramo Entonces MQ = NP = BD/2 = 18 También MN = PQ = AC/2 = 24 Luego el perímetro pedido es la suma de: MN+NP+PQ+MQ=24+18+24+18=84 “Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero son vértices de un paralelogramo”
- 29. "PC" AB 14, AD 20u 10. Calcule , en la figura mostrada, si ABCD es un paralelogramo . Y además 14 20 14 20 14 α α Primero se traza una paralela a CD como en la figura Y se tiene que en la figura BP = AB = 14 Luego: PC = 20 – 14 = 6 Q
- 30. 11. Calcule “x”, si ABCD es un paralelogramo x X + 2x = 90° 3x = 90° X = 30°
- 31. BC PC; si AB 12u y AD 21u 12. En un romboide ABCD se traza la bisectriz que parte del vértice “A” y que interseca a en “P”. Calcule . A B C D P 12 12 21 Q ϴ ϴ ϴ ϴ 12 Primero se traza una paralela a CD como en la figura Y se tiene que en la figura BP = AB = 12 Luego: PC = 21 – 12 = 9
- 32. BC AD 24 13. En un romboide de ABCD, las bisectrices interiores de A y D se intersecan en un punto de . Calcule el perímetro del . romboide si A B C D 24 P α α ϴϴ Q ϴ ϴ α α Trazamos una paralela PQ a CD y AB Obtenemos dos paralelogramos. Luego tenemos: AB = CD = PQ PQ = AQ en triangulo isósceles AQP PQ = QD en triangulo isósceles PQD AQ+QD = 24 = PQ + PQ entonces PQ =12 Luego: AB=CD=12 y AD = BC = 24 Perímetro = 12+12+24+24 = 72
- 33. 14. Calcule “x”, si ABCD es un rectángulo 25 25 130 De la figura tenemos: 90° + x = 130° Despejamos X X= 130° – 90° = 40°
- 34. 15. En un rectángulo ABCD, la mACD=68°. Calcule el menor ángulo formado por sus diagonales A B D C 68° X° 68° De la figura tenemos: X + 68° + 68° = 180° X = 180° – 136° X = 44° A
- 35. 16. Calcule el perímetro del romboide si AB 14u 14 14 α ϴ α ϴ 14 14 14 14 Perímetro es igual a 14(6) = 84u
- 36. 17. Calcule “x”, si ABCD es un cuadrado y el triángulo AFE es equilátero. 60° 60° 60° 120° 45° 15° Completando la figura se tienen: Angulo FED = 120° Angulo FDE = 45° Por lo tanto: Angulo EFD =15° Como Angulo AFE =60° Luego: X = 180° - 60° - 15° X= 105°
- 37. 18. Calcule “x”; si ABCD es un rectángulo y el triángulo AEB es equilátero. 60° 60° 60° 60° 90° Observando la figura se tiene en el triangulo CDE: X + 60° + 90° = 180° X = 30°
- 38. 19. Calcule “x”; si ABCD es un cuadrado y el triángulo AED es equilátero. 60° 60° 60° 30° 90° 90° F Primero dibujamos los ángulos y luego tenemos el cuadrilátero ABFE La suma de sus ángulos internos es 360° X + 30° + 90° + 90° = 360° X = 360° – 210° X = 150°
- 39. POLÍGONOS
- 41. ¿QUÉ SON LOS POLÍGONOS? Un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio. Los polígonos se forman al unir segmentos dejando una figura cerrada .
- 42. ¿Cómo reconocemos un polígono? Si dibujamos dos segmentos unidos en un punto, no sería un polígono, ya que esta figura no podría cerrarse, entonces, para que podamos decir que es un polígono, el dibujo deberá tener tres o más lados, para que así se pueda cerrar la figura.
- 43. Polígonos regulares Se llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son congruentes entre si.
- 44. POLIGONOS IRREGULARES Un polígono es irregular cuando sus lados y ángulos interiores no son congruentes entre si
- 45. ELEMENTOS DE LOS POLÍGONOS Los polígonos están formados por los siguientes elementos: Lados Vértices Ángulos Diagonales
- 46. Los elementos de un polígono Los lados de un polígono: son todos los segmentos que limitan al polígono Los vértices: son los puntos en que se unen los lados Ángulos: porción de plano comprendida entre dos lados y un vértice común. Diagonales: segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.
- 47. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS Los polígonos se clasifican según su número de lados en:
- 50. 1. Cuántas diagonales se pueden trazar en total de un polígono regular, en el cual la suma de sus ángulos internos y externos es igual a 3780°. S Inter + S Ext = 3780° 180(n-2) + 360° = 3780° 180(n-2) - 360° = 3780° 180(n-2) = 3420° (n-2) = 19 n = 21 = 21(9) 2. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual su número de diagonales aumenta en dos, al aumentar en uno el número de lados? Número de lados = n 4 + 2 = -n + 3n 6 = 2n 3 = n
- 51. 3. Calcula el número de diagonales de un polígono regular, si se sabe que los mediatrices de dos lados consecutivos forman un ángulo cuya medida es 18°. 9° 9° 81°81° Ángulo interno = 162° = 162° = 162n = 10(17)
- 52. 4. Calcula el número de lados de un polígono si la suma de las medidas de los ángulos interiores es el triple de la suma de las medida de los ángulos exteriores. S Inter = 3S Ext 180(n-2) = 3.360° 180n- 360° = 1080° 180n = 1440° n = 8 5. Cuantos lados tiene el polígono en el cual el número de diagonales es el doble del número de lados. n – 3 = 4 n = 7
- 53. 6. ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores de aquel polígono que posee 35 diagonales totales? n(n – 3) = 70 10(10-3) = 70 n = 10 S Inter = 180 (n - 2) = 180 (10 - 2) = 180 (8) = 1440° 7. ¿Cuántos vértices tiene el polígono que cumple que la suma entre el número de diagonales y el número de diagonales medias es igual a cuatro veces el número de lados? n° D + n° Dmedias = 4n = 4n + = 4 + n – 3 + n - 1 = 8 2n = 12 n = 6
- 54. 8. El ángulo exterior de un polígono equiángulo es 18°, Calcule el número total de diagonales. exter = 18° = 18° = n 20 = n = 10(17) 9. Si el número de lados de un polígono disminuye en 2, el número de diagonales disminuye en 15. ¿Cuántos lados tiene el polígono? Número de lados = n 7n – 3n= 10 + 30 4n = 40 n = 10
- 55. 10. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono equiángulo que cumple que la medida de su ángulo interior es el triple del ángulo exterior? ND= 8 ( 8 – 3 ) / 2 ND = 4 ( 5 ) ND = 20
- 56. ¡¡Gracias!!