Descartes en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas

Notas del editor

• #2: Buenos días. Desde España les doy un cordial saludo a todos y a todas las asistentes a este encuentro entre la comunidad educativa del Colegio Nacionalizado de la Presentación de Duitama en Boyacá (Colombia) y el Proyecto Descartes. Nuestro agradecimiento a la rectora la hermana Fanny Yolanda por darnos la oportunidad de acercarnos a ustedes y poder compartir inquietudes e ilusiones. Tengo la gran fortuna de coordinar el Proyecto Educativo del Ministerio de Educación, Política Social y Deporte del gobierno de España, proyecto al que denominamos Descartes, en honor a ese gran matemático y filósofo que revolucionó el conocimiento y cuyas coordenadas son elemento básico en el diseño de nuestros recursos interactivos. Quiero transmitirles un cordial saludo de todos los integrantes del Proyecto y agradecerles el interés y afecto que nos manifiestan. El título que he elegido para la conferencia es “Descartes en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas” buscando poner de manifiesto como nuestro proyecto, nuestros recursos interactivos pueden actuar en la búsqueda de la mejora y de la calidad de la enseñanza de las Matemáticas. Y les comento que hemos acordado poner a disposición de la comunidad educativa la presentación y el texto de esta conferencia, mediante la web del colegio, para que puedan consultarla y para que, en particular, puedan visitar más detenidamente los diferentes enlaces, en los que bien no podremos entrar en detalle, o bien aunque los visitemos siempre es preferible una experimentación personal, pues vamos a trabajar con herramientas y recursos caracterizados por la interactividad.
• #3: El primer contacto con su colegio los establecimos a través de un correo, del 4 de mayo de este año, remitido por el administrador de su web Sebastián Estupiñán. De su escrito extraigo tres aspectos o enfoques: Uno primero donde marcaba la cercanía que aportan las Tecnologías de la Información y la Comunicación, las TIC, lo que McLuhan denominó “la aldea global”. Aldea en la que nos decían que “es posible encontrar grupos de trabajo como el nuestro”. Un segundo aspecto en el que deseaban efectuar un reconocimiento a nuestro trabajo. Y un tercero en el que nos indicaba que dos mil quinientas estudiantes de su institución y su ciudad estaban disfrutando con Descartes. Nos decían: “Aprendemos más fácil gracias a ustedes”.
• #4: Y nuestra respuesta no se demoró, porque son de agradecer los escritos que recibimos desde gran parte del mundo y en especial de Iberoamérica. Y les indicamos que la mayor recompensa se alcanza, obviamente, cuando conocemos el beneficio que nuestro trabajo aporta en el alumnado, nuestro alumnado por tanto, de la “aldea global”. Saber que dos mil quinientas alumnas de su colegio aprenden con Descartes y ¡Disfrutando! En una enorme alegría. Y el mejor reconocimiento entendimos que tendría que plasmarse mediante un acto académico, una conferencia en las que las TIC fueran protagonistas y donde la relación se estrechara intercambiando impresiones, aprendiendo colaborativamente.
• #5: Estamos a más de siete mil Kilómetros. Y esa distancia queda empequeñecida gracias a la técnica y a las tecnologías de la Información y de la Comunicación, usualmente nombradas por su acrónimo TIC; y ello nos sirve como primera muestra de cómo las TIC han penetrado en nuestra vida cotidiana, cambiando costumbres y ampliando entre otras muchas posibilidades las de compartir y colaborar. Esperemos que esta tecnología no nos cree dificultades y durante el tiempo que estemos en contacto permanezca estable permitiéndonos una comunicación continua. Y si no fuera así humildemente, humanamente, tendremos que reconocer que nos queda mucho que avanzar, mucho que aprender y trataríamos de establecer de nuevo la comunicación.
• #6: Gracias también a las TIC podemos acercarnos a la localidad desde la que les hablo, mi ciudad: Córdoba. Aunque para ser más precisos deberíamos decir “gracias a las matemáticas que las sustentan” e incluso reivindicar, análogamente a como lo hacen algunas compañías con sus productos, un posible lema de “Mathematics inside”, “Matemáticas dentro” o “con base matemática”…
• #7: Les decía podemos acercarnos a mi ciudad y mostrarles su monumento emblemático: la mezquita-catedral… Y el característico arco de herradura bicolor… reflejado también en el logotipo de mi Universidad. Córdoba ha sido síntesis de culturas árabe, judía y cristiana. Y en particular, cuando Córdoba era conocida como la perla de Occidente, durante el califato que creó esta maravilla, fue el nexo de unión y transmisión del saber matemático en la alta edad media europea. Alrededor del año 1120 el inglés Adelhard of Bath viajó a Córdoba para aprender árabe y aquí, con técnicas que actualmente podrían catalogarse de espionaje científico, obtuvo una copia de un texto de los Elementos de Euclides que sirvió de base de transmisión del perdido saber griego y germen del futuro conocimiento científico en Europa.
• #8: E igualmente… retrocediendo…
• #9: … podemos realizar un viaje virtual a su ciudad: Duitama
• #10: … y a través del departamento de Boyacá, de la provincia de Tundama, acercarnos a “La perla del Boyacá”.
• #11: Dos perlas en nuestra “aldea global” unidas por Descartes
• #12: Y en la Perla del Boyacá, el Colegio Nacionalizado La Presentación, al que le doy la enhorabuena por el reciente Premio Iberoamericano en Honor a la Excelencia Educativa. Un premio a una labor educativa que, según he podido consultar, se prolonga desde hace ochenta y tres años. Un extenso y productivo tiempo formando personas.
• #13: En un rango mucho más modesto, nuestro proyecto Descartes, este año, celebra el décimo aniversario. Diez años nos sitúan, en nuestra escala de medida humana, en la niñez. No es mucho, pero para un proyecto TIC ciertamente nos acerca a la madurez, pues bien sabemos que las nuevas tecnologías envejecen casi a la misma velocidad de la energía que les da “vida”. Afortunadamente aquí estamos después de diez años, diez años de ilusiones, y siempre buscando aportar cosa nuevas, de calidad, para nuestro mundo educativo. Y dada nuestra “niñez”, para nuestro cumpleaños, nos han regalado una magnífica locomotora de vapor, muy particular, pues sus ruedas son poligonales. Quizás sea un regalo envenenado, pues dicen que su uso ha sido objeto de innumerables reclamaciones por parte de sus usuarios, quienes alegan que son objeto de múltiples vaivenes que ponen en peligro su integridad y las indemnizaciones pedidas parece que van a llevar a la ruina a sus promotores. Las antiquísimas ruedas circulares, aquellas cuyo perímetro es una circunferencia, cuentan con la propiedad de que todos sus puntos equidistan del centro y por tanto el eje permanece siempre a la misma altura relativa respecto a la vía. Sin embargo, los puntos que constituyen el perímetro de las “ruedas” poligonales están a diferente distancia y ello hace que cambie la altura del eje, provocando esos vaivenes. ¿Desechamos este regalo y lo donamos al museo de objetos inútiles o imposibles? O quizás sea mejor que acudamos a nuestras queridas Matemáticas y nos preguntemos: ¿Qué forma ha de tener la vía sobre la que apoye una rueda poligonal para que el eje permanezca siempre a la misma altura? Permítanme que me detenga un poquito a jugar con la locomotora y así podrán experimentar una muestra de lo que podemos hacer con Descartes a la vez que tratamos de dar respuesta a la pregunta planteada. Accedamos a ella... (se oirá el tren al iniciar la escena) No sé si mi voz es capaz de superar el ensordecedor pitido de nuestra locomotora, por lo que lo más factible será que, una vez mostrado que Descartes puede comunicarse también en el ámbito sonoro, procedamos a ubicarla en un estatus más cómodo para nuestra comunicación. Pulso el botón de quitar sonido, si bien hemos de esperar a que se apague el “eco ambiental”. ¡Qué descanso! ¿Verdad? Aunque no está puesta la vía, hemos situado el tren en el estado objetivo de eje a altura constante y por ello no oscila en su movimiento. Además de cambiar el número de lados del polígono, por ejemplo 4 o 3, o cambiar la velocidad del tren que modificará cuestiones de adorno como el humo emitido (pasar a 40 Km/h para ver humo intenso, y después pasar a 20 Km), seleccionemos el botón que nos permite dejar el rastro del lado de la rueda poligonal que apoyaría en dicha vía (segunda columna, tercero desde arriba), y así visualicemos cuál es la forma que ha de tener... No me detendré mucho más, posteriormente podrán consultar los detalles y en particular podrán “jugar” con esta locomotora. Sí, indicarles, que tiempo ha que las locomotoras eléctricas apoyaron su suministro energético a través de las catenarias, pero más sorprendente es comprobar que la forma que han de tener las vías de locomotoras con ruedas poligonales han de ser catenarias (pulsar botón primera columna , segundo desde arriba). Catenarias por arriba y catenarias por debajo. Esto es una muestra de qué se puede hacer, ...
• #14: Pero ya hemos citado múltiples veces “Descartes” y he de tratar de detallar el Proyecto Descartes y tratar de ubicar a todos los asistentes en él. En el año 1998 surge el Proyecto promovido, y soportado desde entonces, por el Ministerio de Educación, Política Social y Deporte del Gobierno de España. Y surge con la principal finalidad de promover nuevas formas de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas integrando las TIC en el aula como herramienta didáctica. Hay tres líneas principales de trabajo: desarrollo de materiales, formación a distancia del profesorado e innovación en el aula. Ésta tarea de innovación es la que yo remarcaría como la más importante y hacia la que las otras han de converger. Los materiales didácticos que se ofrecen son controlables por el profesor en un tiempo razonable, son fáciles de usar por los alumnos, cubren los contenidos de la etapa Secundaria (de 13 a 18 años en España), son adaptables, si se desea, por cada profesor y admiten el uso de diferentes modelos y metodologías.
• #15: La difusión se ha realizado mediante su página web, de la cual no hace falta memorizar la dirección, ya que si usan un buscador como Google y ponen Descartes tendrán como primer direccionamiento propuesto justo el correspondiente a esta página. La razón es sencilla, como saben unos de los criterios por lo que Google indexa, ordena y muestra los resultados es por el número de accesos y enlaces a una página, y actualmente se contabiliza en los servidores del proyecto una media mensual de más de medio millón de visitantes. De Iberoamérica suelen ser nuestros más fieles visitantes. Todo la labor que desarrollamos se refleja en la página principal del proyecto donde se pueden observar cinco ámbitos: el primero relativo a cursos de formación en la herramienta Descartes, junto a los manuales en su versión 2D y 3D y cursos de ayuda a la experimentación en el aula, en los que se acompaña al profesorado en la difícil tarea de integrar las TIC en el proceso de enseñanza y aprendizaje. un apartado relativo a los contenidos curriculares desarrollados, que como ya he indicado cubren la mayor parte de los contenidos correspondientes a la secundaria y bachillerato español (etapa de los 13 a los 18 años) organizados por etapas educativas y temáticamente. Además se cuenta con un buscador que facilita la localización de los recursos por contenidos. otro apartado relativo a las experiencias en el aula, donde el profesorado innovador colabora e informa a los compañeros sobre su experiencias TIC y comparte los materiales utilizados. Un cuarto apartado relativo a los contenidos generales del proyecto y la ayuda técnica. Y finalmente enlaces a otros proyectos y un enlace de correo al que si escriben, les aseguro una rápida respuesta. Mediante este enlace fue como su Colegio se puso en contacto con nosotros. Todo el contenido de la web pueden descargarlo en lo que está etiquetado como “Solicitar CD-DVD”. Todos los años generamos un DVD con los contenidos que distribuimos en los centros españoles y en los eventos educativos, y una imagen de este DVD es accesible desde aquí.
• #16: Desde julio de este año hemos publicado nuestros materiales bajo la licencia Creative Commons por la que los usuarios son libres de Copiar y distribuir públicamente la obra y hacer obras derivadas, bajo las condiciones de: Reconocimiento a los autores. No comercial. Y compartir bajo la misma licencia. Es decir cualquier modificación que se realice, u obra derivada que se cree ha de publicarse con la misma licencia. Sé que esta noticia les será grata pues he visto que en su web difunden el uso del software libre y Linux. No obstante les matizo que una licencia Creative Commons es más restringida que una licencia de software libre, autoriza a lo especificado que es mucho, pero no a más. Es obvio que desde una institución pública tratemos de evitar un posible uso lucrativo de nuestro proyecto.
• #17: Pero sigamos la máxima de que “una imagen vale más de mil palabras” y accedamos a otros ejemplos para ir situándonos: Observemos las imágenes animadas de esta página web. Inicialmente hay quién puede estar pensando que posiblemente son GIF animados, imágenes que se superponen creando una película, pero eso no es así, pues podemos observar como pulsando el botón etiquetado como pausa esta animación se detiene. Bueno, también puede ser un botón más de los posibles en una pagina web que sustituye el gif animado por una imagen fija… Pero observemos que no, que en esa imagen, mejor dicho en esa escena de Descartes, hay lo que denominamos un control gráfico etiquetado con la letra P y seleccionándolo con el ratón y desplazándolo la escena interactúa conmigo y siempre refleja un rectángulo cuyos lados se ajustan para que P sea un vértice de él… Además tenemos un control numérico que bien variando el número manualmente o con los pulsadores adjuntos, podemos observar como este número se corresponde con el número de lados del polígono regular dibujado y a su vez a partir del lado de este polígono y del radio de la circunferencia circunscrita podemos construir diferentes rectángulos asociados en los que varía la proporción y algunos cuentan con su nombre propio que a su vez se refleja. Por ejemplo para N=4 a partir del cuadrado obtenemos la proporción o rectángulo raíz de dos, a partir del hexágono tenemos el cuadrado, del octógono el rectángulo cordobés. Sí, rectángulo con el nombre de mi ciudad y sobre el que podrán consultar más en la página aquí enlazada, etiquetada como “las Matemáticas en la Belleza y la Belleza de las Matemáticas”. Y a partir del decágono obtenemos el bien conocido rectángulo áureo. Pero hay todavía algo más, si pulso el botón derecho del ratón se abre una nueva ventana que es la ventana de parametrización de Descartes que nos permite configurar interactivamente la escena mediante unos menús. Esto es lo que caracteriza a Descartes frente a otros applets interactivos. Como ejemplo voy a cambiar el color de fondo, pero al igual que hago esto cualquier profesor podría cambiar la escena para adaptarla a su fin educativo sin más que aprender el significado de cada opción de menú y parámetros en el núcleo de edición de Descartes. Este conocimiento se adquiere consultando el manual o en los cursos de Descartes de los que posteriormente hablaré. En la escena de la derecha podemos observar como Descartes puede representar figuras tridimensionales. e interactuar con ellas para su adecuada visualización. O bien juntar en otra escena la belleza de los poliedros y cuerpos redondos con la belleza arquitectónica. Pudiendo cambiar el punto de vista y la escala. En fin un aperitivo de lo que se puede hacer. Pero ¿Qué es la herramienta Descartes? Descartes es un applet, es decir, un programa en lenguaje Java que se difunde a través de la red y se ejecuta en el navegador. Se incluye en un página web, para ofrecer funciones o utilidades que no se pueden realizar con HTML. Descartes es portable, independiente del sistema operativo, pues se ejecuta en la máquina virtual Java, que ha de estar instalada  en el sistema operativo cliente, activada y habilitada  para el navegador cliente. ("plug-in") Es deslocalizado, puede ejecutarse en local y remoto con iguales prestaciones y sin retoques. Es interactivo, permite la interacción hombre-máquina. Es configurable, se puede parametrizar, programar su presentación y su ejecución. Y como hemos visto es configurable interactivamente, la configuración, parametrización y programación es interactiva, no requiere un aprendizaje de Java. Es Rentable, la proporción productividad/aprendizaje es alta. Rápido aprendizaje. Es Económico, el software es propiedad del Ministerio de Educación, Política Social y Deporte del Gobierno de España, bajo la licencia Creative Commons antes citada. A nivel particular, en el desarrollo de su profesión docente pueden usarlo sin ningún coste siempre que se respeten las normas éticas básicas ya citadas.
• #18: Pero la herramienta que hemos visto no es más que un recurso a partir del cual se pueden desarrollar unidades didácticas interactivas, lo cual también requiere dar formación en esa herramienta, así como el desarrollo y mantenimiento de la misma. Digamos que esta es la excusa o el medio para lo esencial, para el objetivo principal que es promover un entorno de trabajo y desarrollo colaborativo que fomente la práctica TIC en el aula y permita la innovación en el aprendizaje de las Matemáticas. Descartes es un proyecto de Educación Matemática con TIC.
• #19: Los ejemplos de escenas interactivas de Descartes que hemos visto habrán ya estimulado la imaginación y el buen hacer docente y seguro que ustedes ya han concebido diferentes posibilidades de uso de Descartes tanto para su utilización en el aula como desde casa, siempre con el objetivo de conseguir que el proceso de enseñanza-aprendizaje mejore, que sea óptimo. Y ciertamente Descartes puede ayudarnos en el objetivo clásico de “Enseñar a Aprender”, el cual se aúna en el modelo actualmente en boga en Europa de formación en competencias en la búsqueda del “Aprender a aprender”, y nosotros abogamos por cerrar el ciclo y establecer un lazo infinito tipo banda de Möbius en el que revitalicemos el “Aprender a Enseñar”. Y Descartes puede ayudarnos sin imposición de modelo pedagógico ni metodología en la consecución de estos objetivos. No obstante yo plantearía la necesidad de introducirse en la innovación porque es obvio que esta herramienta nos facilita la posibilidad de un cambio que conlleve una mejora cualitativa en nuestro alumnado y en nuestra labor docente. Sin tratar de academizar, ni apostar por ningún modelo y metodología voy a tratar de poner diferentes usos posibles y encuadren ustedes las situaciones en las que podrían usarlo o piensen en otras variaciones o posibilidades, porque aquí con un poco de imaginación y un buen hacer docente se renueva la ilusión en el alumnado y el profesorado.
• #20: Podemos usar Descartes como una pizarra, pero en este caso con la posibilidad de interactuar y poder cambiar el contenido de la misma de manera sencilla y ágil. Por ejemplo la escena seleccionada en este caso nos permite dibujar cualquier función descrita por una composición de funciones elementales, con posibilidad de descripción a trozos. Basta describir adecuadamente la función que se desea representar y su gráfica será visualizada. Un adecuado desplazamiento del ratón y de sus botones permite cambiar la escala o efectuar una traslación a la zona de interés. Lo cual permite incidir al alumnado en la necesidad de estudiar una función en todo su dominio de definición ya que un comportamiento local no es suficiente. Un simple cambio en la definición de la función nos permite representar su gráfica. Por ejemplo observemos el comportamiento en un entorno del cero de la función sen(1/x), o el comportamiento en ese entorno de x sen(1/x), entre otra infinidad posible.
• #21: O un ejemplo clásico de construcción de la gráfica de las funciones trigonométricas elementales. Veamos, por ejemplo, la obtención de la gráfica de la función seno. Seleccionando el control gráfico que viene representado por el punto rojo y desplazándolo alrededor de la circunferencia goniométrica podemos obtener interactivamente dicha gráfica. Y les indico que no es que tenga especial habilidad para desplazarme sin salirme de la circunferencia, sino que es algo que se restringe en el diseño de la escena. Les pregunto: ¿Cuánto tiempo se requiere para hacer esto mismo con tiza en la pizarra clásica? ¿Cuánto de artistas tenemos en nuestra representación en la pizarra? Con Descartes todos somos artistas del dibujo. Veamos la función tangente... Y ahora todas a la vez.
• #22: El uso de Descartes en una pizarra electrónica permite potenciar la expresividad de los alumnos, su interés en aprender y la calidad de su aprendizaje. Esta pizarra interactiva y esta actividad puede sustituirse por la interacción en el ordenador y la proyección sobre una pantalla. Veamos como Joaquín nos enseña a determinar el ortocentro de cualquier triángulo. Y ahora a Samuel realizando una encuesta en clase y analizando los datos recogidos. Estos vídeos, juntos a otros más, los tienen disponibles en el apartado de experiencias de nuestra web.
• #23: Pero entre otras posibilidades les quiero destacar la de promover el aprendizaje significativo con Descartes. Consideremos un primer ejemplo, sencillo, de aprendizaje significativo guiado. El objetivo es el análisis de la función lineal. Faciliten esta escena a un alumno o pareja de alumnos junto a la guía que tienen al lado y dejémosles experimentar mediante la interacción. Voy a hacer una simulación. Un valor de m positivo por ejemplo el que está puesto, o pongamos 3, y ¿si pongo 2? Ahora uno negativo por ejemplo -2, o -3. Y ahora 0... Bueno, ahora vendría el análisis y discusión entre los dos alumnos y su anotación en el cuaderno de sus conclusiones. Centrémonos ahora en la variación de m (voy a activar la opción de dejar rastro) ¿Qué pasa a medida que m es mayor? Y ¿a medida que es menor? Este ejemplo también me permite ponerles en evidencia un tópico no cierto: En general se oye que “Las TIC ralentizan el desarrollo del aprendizaje y aminora la cantidad de contenidos que son posibles impartir”, pero yo les pregunto ¿cuánto tiempo emplean ustedes en explicar y desarrollar estos conceptos relativos a la función lineal en una clase tradicional? ¿Cuál es su opinión acerca de la comprensión y efecto que genera en el alumnado, la variación de la pendiente, desarrollada con la metodología transmisora o en la aquí mostrada? En general en un uso planificado de las TIC tenemos constatado que los contenidos desarrollados son al menos iguales y adicionalmente se puede incrementar la actividad y el interés del alumnado, la atención a la diversidad del docente y una mejora en la calidad del aprendizaje. Es obvio que esta actividad puede y requiere ir acompañada de una revisión individual del profesor de las anotaciones efectuadas, o participar en esa discusión, o plantear una puesta en común del grupo y obtención de conclusiones. Esas son estrategias docentes que dependen del grupo y de la propia planificación docente. Pero lo que quiero remarcar es que los roles cambian: el alumnado pasa a ser el constructor de su aprendizaje y el docente interviene como arquitecto del mismo realizando una atención directa, personalizada y diversa.
• #24: Pero el reto y las posibilidades son mayores. El alumnado se adapta rápidamente a la gestión e interacción con Descartes, y al nuevo proceso de aprendizaje. Una vez que los alumnos ha realizado la actividad anterior, se asombrarán si permiten que accedan a esta escena y simplemente le dan la indicación ahí reflejada: “Trabaja con la escena y escribe las propiedades que observas…” No me detengo, pero sí veamos los cambios que se producen al variar el coeficiente denotado como a. Por ejemplo qué ocurre cuando el coeficiente a es positivo y cuando es negativo. Prueben con sus alumnos. Y verán como debaten, luchan en la defensa de sus posiciones, asumen los errores, descubren propiedades, en definitiva investigan, construyen y aprenden… Y los profesores también aprendemos con ellos.
• #25: Y quiero incidir en esta idea porque creo que es la idea básica y fundamental en la compresión de lo que podría ser una incorporación positiva de las TIC en el aula, una incorporación coordinada y aunada con un cambio metodológico. Aporten los recursos adecuados a su alumnado y permitan que jueguen, se diviertan y motívenlos para que ellos mismos descubran propiedades, y con ese descubrimiento asienten su aprendizaje y vayan acostumbrándose a la necesidad de reflexionar, analizar y construir en y sobre el mundo en el que vivimos. Aporten por ejemplo esta escena a sus alumnos y bien proporcionándoles la guía ahí indicada, o mejor sin ella, permitan que construyan Matemáticas. Desplacemos un vértice y observemos la posición del ortocentro. ¿Cuándo se dan las circunstancias indicadas? Fijémonos (desplazando el vértice C hacia la izquierda)... El ortocentro está dentro... Coincide... Y está fuera... La reflexión, el diálogo con nuestro compañero o compañera “investigadora” nos permite la búsqueda de lo que Martin Gardner denominó “La inspiración ¡Ajá!” o lo que ya Arquímedes experimentó y usó para transmitir su alegría ante el descubrimiento y podremos gritar con él: ¡EUREKA!, al concluir que el ortocentro estará dentro si el triángulo es acutángulo, coincidirá cuando sea rectángulo y estará fuera cuando es obtusángulo. ¡EUREKA! Aquí la labor del profesor cambia, deja de ser el transmisor y su labor se sitúa en la de orientador, moderador y supervisor del debate, y además ha de promover la crítica y la necesidad de profundización. Por ejemplo se nos podría ocurrir preguntar a nuestros alumnos ¿Seguro que cuando el ortocentro es uno de los vértices ese ángulo es rectángulo? ¿Por qué? ¿No podría ser de 89º 59’? Y con ello promover la necesidad de crear argumentaciones que convenzan a los demás, es decir, marcar la necesidad de una formalización y de una demostración sin la cual no es suficiente la formulación o afirmación de propiedades o Teoremas. O también podemos promover la investigación ampliando con cuestiones como: ¿Pasará eso con los otros puntos notables del triángulo? ¿Ocurrirá con el circuncentro? ¿Podría ser con el incentro? ¿Y con el baricentro? Con este cambio metodológico también nos alejamos o aminoramos la concepción, que usualmente se transmite aunque sin intención, de que la ciencia es un cuerpo cerrado en el que todo está descubierto. Contrariamente contribuimos a que nuestro alumnado se acostumbre a sentir que el estudio, la investigación conduce a la resolución de problemas, que ellos son parte activa y pueden y deben contribuir al avance y mejora de nuestra Sociedad.
• #26: Y quiero remarcarles que no he citado al profesor como corrector de tareas rutinarias porque esta función también puede incluirse en las escenas de Descartes como les mostraré ahora. Abogo más, ciertamente cuando sea posible, por la función del profesorado como arquitecto del aprendizaje y la autoconstrucción del mismo por el alumnado. Pero observemos cómo Descartes puede asumir tareas rutinarias, permaneciendo incansable ante cualquier demanda de alumnos inquietos y ayudando y apoyando su aprendizaje. En esta primera escena podemos abordar el repaso de la suma de enteros donde se nos aportan los resultados que hemos de ubicar. Desplazando estos hacia su posición correspondiente veremos como se nos indica la corrección cuando todos estén en la posición adecuada. Y lo más significativo aquí es el uso de la aleatoriedad para aportar una interminable lista de ejercicios. Cada vez que pulsemos el botón inicio obtendremos una nueva relación y una atenta y exacta corrección. No es que tengamos una colección de ejercicios y que se vayan repitiendo. No, lo que aquí se produce al pulsar ese botón de inicio es la generación de números aleatorios que se ubican en el esqueleto o esquema de este tipo de ejercicio y de los que se obtiene la solución internamente para permitir la corrección. Otro ejemplo análogo es el presentado en la escena de la derecha donde ahora el usuario introduce el resultado de cada operación, contando también con esa aleatoriedad para plantear nuevos ejercicios. Pero más creativo y entretenido puede ser el completar cuadrados mágicos, donde el esfuerzo mental puede contribuir a asimilar suficientemente el concepto. La corrección automática aporta una ventaja adicional. La clase se aprovecha de manera más intensa. Me explico. En el planteamiento habitual se requiere un tiempo de corrección en la pizarra, durante el que el profesor o un alumno o una alumna participa activamente en la pizarra y el resto son entes pasivos receptores. Con esta posibilidad todos están continuamente practicando y la corrección retroalimenta el proceso de aprendizaje de manera automática, reforzando la asimilación del concepto. Y adicionalmente el profesor tiene tiempo para atender las dudas, para hacer una atención diversa a la diversidad de su aula.
• #27: O insistiendo un poco más, podemos ver como se puede acudir al refuerzo y autoaprendizaje con escenas como las incluidas aquí. La primera donde se detalla como abordar la resolución de ecuaciones polinómicas de primer grado, con diferentes dificultades, y la segunda en la que el alumno resuelve, escribe la solución y puede corregir en detalle lo que ha realizado,... y análogamente en la siguiente escena donde de aborda el planteamiento y resolución de problemas. Y comprenderán que me es imposible abarcar todas las posibilidades que aportan las escenas de Descartes, pero ustedes podrán ir observándolas y desentrañándolas en nuestra web.
• #28: Y ya estarán preguntándose, entre otras muchas cosas, cuestiones por ejemplo relativas a la evaluación. Posiblemente estén viéndose rodeados de sus alumnos y alumnas que están trabajando con Descartes en sus ordenadores, que Descartes le corrige, que debaten entre ellos, que sacan conclusiones, pero ¿qué registro o soporte tiene el profesor para la evaluación de todas las actividades que se realizan? ¿Cómo detectar las dificultades para planificar el apoyo adecuado? Apuntaré dos posibilidades, una actual y otra que en breve espero tengamos operativa. En las experiencias en el aula con materiales de Descartes, que posteriormente citaré, yde las que hemos realizado detallado seguimiento, se ha comprobado la necesidad de que el trabajo interactivo que efectúa el alumnado con el ordenador quede reflejado en un soporte u hojas de actividades que además sirven de guía de aprendizaje, de cuaderno de trabajo, como registro de la actividad y como guía de estudio. Estas hojas de actividades pueden tener el soporte tradicional de papel o bien hay compañeros que las incluyen también para su registro informático. El medio tiene menos importancia, pero sí estimamos necesario que cada escena interactiva vaya acompañada de su adecuada hoja de trabajo. Así en la escena que ahora veremos, contaremos con la posibilidad de obtener aleatoriamente diferentes poliedros, podremos mover dichos sólidos para poder contar sus elementos: caras, aristas y vértices, corrigiéndose automáticamente su exactitud. Y el objetivo que nos vamos a marcar es que el alumno o alumna sea capaz de deducir la relación de Euler relativa a que la suma de las caras y los vértices es igual el número de aristas más dos. Para ello le pediremos que completen una tabla con los datos que obtengan de seis ocurrencias o instancias de esta escena y guiaremos su análisis para conseguir el objetivo buscado. Pero veámoslo en la escena… Observamos una instancia de esta escena con un determinado poliedro, pero cada vez que pulsemos la tecla inicio vemos un mismo ejercicio pero con diferentes datos al intervenir la aleatoriedad. En este caso la figura se gira con el uso de un control gráfico en la pantalla y podemos contar las caras, aristas y vértices e incluirlas en la escena, corrigiendo ésta la exactitud del cómputo. Todos los datos quedan reflejados en la hoja y disponibles para su revisión, debate y evaluación. Y en la siguiente actividad se introduce un ejemplo de poliedro no euleriano con objeto de inducir la crítica constructiva que conlleve a delimitar cuando no se cumple la relación de Euler. Las hojas de actividades nos aportan un medio para abordar la evaluación
• #29: Pero hay mucha actividad, trabajo personal y de equipo, que en una clase TIC escapa fácilmente al profesorado. Todo lo que acontece en un aula TIC es imposible que pueda ser abarcado, analizado y asimilado por el profesor o profesora que les educa, pues por ejemplo en España el aula TIC suele contar con quince ordenadores y treinta alumnos, que están inmersos durante una hora en la realización de actividades continuas, ejecutando acciones en el ordenador, estableciendo relaciones, tomando decisiones... ¿Cómo gestionar toda esta información, para poder evaluar, corregir y asesorar al alumnado? Para poder abordar, lógicamente, el volumen de información generado en un proceso informático es obvia la necesidad de acudir a otro proceso informático. Y ello es lo que tenemos planteado dentro del proyecto Descartes, disponer de una herramienta que aporte la información que necesita el profesorado en su labor formativa. Esta herramienta es lo que denominamos el Registro de Actividades de Descartes. Con esta herramienta, si se desea, se podría reproducir absolutamente todo lo que se ha realizado con una escena de Descartes, es decir, podríamos observar una película completa de lo que ha hecho cada equipo en su ordenador. Pero esta información que en un momemto dado puede ser necesaria, en general es excesiva, que la información que necesita un profesor ha de ser mas sucinta y a la vez que avise, por ejemplo, sobre las dificultades que está teniendo un determinado alumno o grupo, para que pueda planificar la adecuada acción educativa que permita corregir las deficiencias producidas y permitir su avance. Aquí está la clave de esta herramienta y la dificultad de su desarrollo. No quiero adelantarme y venderles futuribles, pero confío, sé, que en breve dispondremos de este deseado módulo de Descartes, que facilitará la evaluación, que permitirá detectar las dificultades, que ayudará a la programación didáctica.
• #30: Pero no quiero dejar de presentar una nueva línea de trabajo del proyecto Descartes que se centra en la evaluación formativa con dos ejemplos: Uno primero que puede servir para fomentar la percepción visual y de introducción al concepto de volumen. En ella el objetivo es contar el número de bloques que componen este ortoedro. Veamos como permite al usuario varios intentos y si no acierta le ayuda a aprender cual es un proceso adecuado para obtener la respuesta... O si nos adentramos en el programa internacional de obtención de indicadores del rendimiento del alumnado, conocido usualmente como PISA, hemos elaborado unas escenas que permiten el trabajo interactivo con unidades propuestas en este programa internacional, unidades básicamente encuadradas en la evaluación sumativa, pero nuestra propuesta es aprovechar este trabajo e incluir el aspecto formativo de la evaluación. En esta escena podemos ver como cambia aleatoriamente el planteamiento, la forma de representar la información y las preguntas realizadas. El usuario puede elegir la respuesta que estime correcta y la escena de Descartes procede a su corrección, pero tanto si acierta (que podría ser por mera casualidad) como si falla se aporta información del proceso necesario para obtener la solución.
• #31: Y dado que he citado el programa PISA en el que en 2006 participaron cincuenta y siete países, entre ellos Colombia y España, y que según me han comentado asiste a esta conferencia profesorado de otras áreas, aprovecho para indicarles que Descartes es una herramienta versátil que permite abordar escenas interactivas no sólo en el ámbito de las Matemáticas, sino en otros ámbitos científicos y literarios. Los indicadores buscados por PISA se extraen a partir de pruebas al alumnado en el que se evalúan competencias a través de tres áreas: Lectura, Matemáticas y Ciencias y un cuarto dominio transversal de resolución de problemas. Y hemos elaborado unidades que cubren todos estos aspectos. No me detengo y sólo les indico que en la diapositiva tienen enlazadas las cuatro unidades ahí reflejadas, y en el margen inferior derecho tienen el enlace a todos los recursos, a los que podrán acceder y analizar.
• #32: O por ejemplo veamos esta escena con un test de arrastre que permite no sólo asociar imágines sino también fragmentos de obras musicales. Por supuesto todo con la aleatoriedad ya mencionada varias veces.
• #33: Dado que el objetivo inicial se situaba en ese homenaje al proyecto Descartes, me he centrado inicialmente en los recursos educativos que pueden desarrollarse con esta herramienta, en sus posibles usos y formas de integración en el aula. Pero no podemos obviar que adicionalmente a los recursos didácticos, la integración de las TIC en el aula requiere de otros elementos: Por un lado es necesario contar con una infraestructura básica TIC que comprenda inicialmente una adecuada dotación de ordenadores, una red local de trabajo, una línea de comunicación hacia el exterior y a ello podremos añadir más y más elementos, cachivaches electrónicos, cuya disponibilidad podrán facilitar la gestión y permitirá el abordaje de diferentes tipos de acciones educativas. Este elemento es imprescindible, ¿Cómo implementar las TIC sin TIC?, y obviamente lo valoro y conozco su coste, pero digamos que es encuadrable en el ámbito económico, algo que se puede planificar en el presupuesto global de la institución que decide y apuesta por la incorporación TIC, o que al menos quiere experimentar la realidad del cambio en el uso de esas TIC.
• #34: Pero el profesorado es la base de este cambio tecnológico, es realmente quien puede llevar a buen término esa apuesta. Si no es así, nos veremos usando nuevos medios y transmitiendo mensajes sin significado para el transmisor, y absurdos para el receptor. O bien utilizando la tecnología para otros fines.
• #35: Como punto de partida en este aspecto podemos acudir al ejemplo apuntado por Seymour Papert, en el que nos comenta que si un médico del siglo XVIII apareciera ahora en un quirófano creería estar entre extraterrestres, observando a una persona en una mesa, abierto su cuerpo, y a las pocas horas podría dialogar con ella. Estaría rodeado de aparatos e instrumentos que no sabría usar, sería un lego entre colegas. Sin embargo, si un maestro de la misma época apareciera en una de nuestras clases de matemáticas, no notaría demasiada diferencia, es más, si tuviera que sustituir al profesor actual lo podría hacer sin problema, continuando la explicación en el punto que se quedó.
• #36: Según Hodas, en el estudio de la evolución histórica de los medios y tecnologías en el contexto escolar lo que se detecta es la denominada cultura del rechazo. La Escuela es una organización con una inercia que cambia muy pocos hábitos y en la que quizás (ustedes me corrigen si no estoy en lo cierto) las únicas tecnologías que se han aceptado son la de la imprenta (el libro) y “el boligrafo”.
• #37: Pero incluso cuando la Escuela incorpora las TIC suele acontecer lo mismo que se refleja en las dos imágenes que podemos ver en este clásico juego de las siete diferencias. ¿En qué se diferencian ambas imágenes? Podemos ver: que la forma del ventanal es diferente, que el sistema de iluminación también, la moda del peinado ha cambiado, el soporte de lectura también, la vestimenta, la moda de los anteojos, el soporte de la información (libro o cederrón), pero... En ambas escenas “No hay cambios estructurales”...
• #38: ¿Qué cambios estructurales se han abordado en La Escuela? ¿Observan muchas diferencias en estas imágenes?
• #39: Y sin embargo esos cambios estructurales son evidentes en otros contextos
• #40: Pero los cambios se han producido en La Escuela, aunque algunos componentes de ésta los ignoren o traten de ignorarlos: La información no sólo la tiene y la da el profesor, sino que está distribuida y es accesible. La información no es abarcable por el profesor. Es “googoliana”, en referencia al significado del número denominado googol, 10 elevado a 100, del que toma nombre el conocido buscador google. Lo aprendido no vale para siempre. El conocimiento caduca. Nuestro entorno y también el aula se ve invadida tecnológicamente. Las comunicaciones hacen que el aula no pueda estar cerrada en sí. Nos encontramos ante un “Nuevo paradigma educativo”
• #41: Un paradigma en el que: El aprendizaje requiere ser a lo largo de toda la vida, es necesaria la actualización permanente de los conocimientos. Importan tanto los procedimientos como los contenidos. Aprender a aprender. Cambia el concepto de analfabetismo. Competencia digital. La formación es abierta y flexible, no condicionada por el tiempo ni el lugar. Hay nuevas posibilidades metodológicas, autonomía, colaboración, comunicación, diversidad, distancia, etc. Un paradigma centrado en el Aprendizaje más que en la enseñanza.
• #42: El alumnado del siglo XXI ha de saber buscar información, evaluarla y convertirla en conocimiento. No acumula conocimientos sino que sabe adquirir conocimiento cuando lo necesita. Es consciente de su propio aprendizaje: aprende a aprender. Es competente en el mundo en que vive: Sabe, sabe hacer y sabe ser
• #43: Y el profesorado del siglo XXI: Deja de ser el orador, el instructor que explica la lección a todo el grupo. Conoce las capacidades de los alumnos. Asesora, orienta y facilita el proceso de enseñanza – aprendizaje de cada alumno. Evalúa y selecciona los medios y recursos didácticos más apropiados para sus alumnos. Adapta y genera materiales didácticos digitales o no, que sean los idóneos. Y para ello es necesaria una adecuada formación.
• #44: Y esto que indico tiene líneas coincidentes, y que por tanto me sirve de fundamento, por ejemplo en los “Estándares de competencias en TIC para docentes” publicados por la UNESCO en enero de este año. En ellos se marca que “los programas de formación profesional para los docentes en ejercicio y los programas de formación inicial para los futuros profesores deben comprender en todos sus elementos la oferta de experiencias tecnológicas enriquecedoras”.
• #45: Y el proyecto Descartes, desde las instituciones educativas, promueve la formación metodológica del profesorado para la incorporación de las TIC al aula mediante el curso de ayuda a la experimentación denominado “Descartes en el aula” (el cual es accesible desde nuestra web). Este curso es un curso a distancia que cuenta con tutores que realizan el seguimiento de las prácticas que han de entregar los profesores experimentadores, con asesores técnicos que tratan de subsanar los inconvenientes informáticos que puedan surgir, con el apoyo de otros compañeros en los centros y con el de una red profesional constituida por experimentadores anteriores. Todo aunado en los que denominamos un aprendizaje colaborativo cercano y a distancia. Esta formación es esencialmente práctica, basada en la experimentación personal, una experimentación prolongada en tiempo (unos dos meses de trabajo en el aula), en la que el profesorado desde su propia innovación sea el que detecte las dificultades y, debidamente asesorado, sea capaz de diseñar estrategias que le permitan un aprendizaje y uso adecuado de las nuevas tecnologías. Pueden consultar lo acontecido en las experimentaciones realizadas desde el curso académico de 2005 en el enlace incluido en esta diapositiva que les dirige al apartado específico de nuestra web relativo a experimentación. No me extiendo mucho porque cada institución es la que ha de planificar la formación adecuada a las circunstancias de su sistema educativo, pero sí remarco que esta formación es necesaria y abogo porque en todo proyecto de introducción de las TIC no se puede olvidar nunca este aspecto
• #46: Sí les expongo una breve síntesis de lo contemplado en el desarrollo de estos cursos y en las encuestas que realiza el profesorado innovador al finalizar su experiencia. Podemos apuntar que no sólo se cubre el objetivo de adquirir una formación pedagógica y metodológica suficiente para el uso de las TIC en el aula, sino que la tendencia verificada es que el profesorado continúa usando la TIC después de la experimentación, que extiende su innovación personal a los compañeros, y colabora en la formación de otro profesorado.
• #47: El alumnado manifiesta que prefiere este método frente al tradicional y el aprendizaje subjetivo que perciben, es decir, la impresión que tienen es que aprenden más y mejor. Se constata que la disciplina mejora, al igual que la actitud e interés por la materia, la participación en clase y los resultados académicos. Lo que yo suelo resumir diciendo que “Las Matemáticas mejoran su imagen”
• #48: Y con estos resultados optimistas termino esta conferencia en la que he tenido que comprimir mucho trabajo realizado, muchas ilusiones y proyectos, mucho interés en aprender y en colaborar, en obtener y producir conocimiento; y quedaría satisfecho si he sido capaz de que al menos parte de esa ilusión colaborativa de Descartes haya calado en ustedes. Pero quiero que mi despedida sea adelantándoles una buena noticia para los usuarios del sistema operativo Linux entre los que se encuentra su colegio. Descartes presentaba diferencias estéticas entre el mundo Linux y Windows...
• #49: ..., diferencias entre otras en los botones, en las barras de desplazamiento y en el tamaño de las fuentes, según podemos observar comparando las dos imágenes de la diapositiva. Y si bien estas diferencias, en general, no impiden el trabajo, sí le aportan un aspecto menos agradable.
• #50: Afortunadamente ya contamos con una versión en la que Descartes se presenta igual en ambos sistemas, versión que pronto podrán contar con ella.
• #51: Y también comentarles nuestra satisfacción porque un grupo de entusiastas cartesianos, entre ellos el Ingeniero Sebastián Estupiñán, residentes en diferentes departamentos colombianos que cubren gran parte de su geografía, y liderados por el profesor Juan Guillermo Rivera Berrío del Instituto Tecnológico Metropolitano de Medellín, están conformando en coordinación con nuestro proyecto, el grupo Descartes de Colombia. En la imagen inferior les dejo el enlace al blog tutorial de Descartes elaborado por dicho profesor para que puedan valorar el trabajo que sus conciudadanos están realizado. Estamos seguros que con el trabajo colaborativo lograremos avanzar y mejorar el Proyecto Descartes y con ello contribuiremos a la mejora educativa y social de ambas naciones. Confío en que este sea un primer eslabón de una amplia cadena cartesiana en toda Iberoamérica
• #52: Y nada más, gracias por su paciencia y atención, y estoy a su disposición ahora, y cuando lo deseen en la dirección de correo enlazada en nuestra página web, que es la indicada en esta diapositiva. Deseo y propugno que esta relación que hemos iniciado se plasme en muchos futuros proyectos conjuntos y, en definitiva, que la Escuela nos hermane en nuestra “aldea global”.