Desigualdades
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Este documento introduce conceptos básicos sobre desigualdades, incluyendo la tricotomía de los números reales, inecuaciones, intervalos, propiedades de las desigualdades y solución de desigualdades lineales. Explica que una desigualdad es una relación entre cantidades donde solo se verifica para ciertos valores, y provee ejemplos de cómo sumar, restar, multiplicar y dividir para preservar la equivalencia de desigualdades. También define intervalos cerrados, abiertos y semiabiertos y cómo escribir
![DESIGUALDADES
INTERVALOS
Sean a y b dos n´umeros reales con a < b.
Un intervalo cerrado, denotado por [a, b], consiste en todos los n´umeros
reales x para los cuales a ≤ x ≤ b.
Un intervalo abierto, denotado por (a, b), consiste en todos los n´umeros
reales x para los cuales a < x < b.
Los intervalos semiabiertos o semicerrados son (a, b] que consiste en
todos los n´umeros reales x para los que a < x ≤ b, y [a, b) que consiste
en todos los n´umeros reales x para los que a ≤ x < b.
INFINITO
El s´ımbolo ∞ (le´ıdo “infinito”) no es un n´umero real, sino un artificio de
notaci´on usado para indicar que no hay l´ımite en la direcci´on positiva. El
s´ımbolo −∞ (le´ıdo “infinito negativo”) tampoco es un n´umero real, sino un
artificio de notaci´on usado para indicar que no hay l´ımite en la direcci´on
negativa.
[a, ∞) consiste en todos los n´umeros reales para los que x ≥ a](https://image.slidesharecdn.com/desigualdades-200716100809/85/Desigualdades-5-320.jpg)
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EJERCICIOS
Reescribir las siguientes desigualdades en notaci´on de intervalos:
3 ≤ x ≤ 10
−4 ≤ x ≤ 2
x > 3
x < −15
2 ≤ x < ∞
∞ < x < ∞
Eescribir los siguientes intervalos como desigualdades:
[3, 7]
(−103, 2)
[3, 5)
(−83, 7]
[3, ∞)
(−∞, 1]](https://image.slidesharecdn.com/desigualdades-200716100809/85/Desigualdades-6-320.jpg)
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Desigualdades
- 2. DESIGUALDADES Diego Sandoval Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana
- 3. DESIGUALDADES DESIGUALDADES TRICOTOM´IA DE LOS N ´UMEROS REALES la propiedad de tricotom´ıa establece que dados dos n´umeros reales a y b, solo se tiene una de las siguientes tres posibilidades: a = b, a < b, a > b Se establece entonces una relaci´on de orden entre los n´umeros reales: 3 < 5, 3 es menor que 5 7 > −2, 7 es mayor que -2 2 ≤ 5, 2 es menor que o igual a 5 4 ≥ −1, 3 es mayor que o igual a -1
- 4. DESIGUALDADES INECUACIONES INECUACIONES Una inecuaci´on es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas (inc´ognitas) y que s´olo se verifica para determinados valores de las inc´ognitas. Por comodidad, a las inecuaciones tambi´en se les llama Desigualdades. EJEMPLOS 3x + 4 < 10 −2x + 3 ≤ 5 3x2 + 5 > 2x − 8 √ 2x + 3 ≥ 3x + 5
- 5. DESIGUALDADES INTERVALOS Sean a y b dos n´umeros reales con a < b. Un intervalo cerrado, denotado por [a, b], consiste en todos los n´umeros reales x para los cuales a ≤ x ≤ b. Un intervalo abierto, denotado por (a, b), consiste en todos los n´umeros reales x para los cuales a < x < b. Los intervalos semiabiertos o semicerrados son (a, b] que consiste en todos los n´umeros reales x para los que a < x ≤ b, y [a, b) que consiste en todos los n´umeros reales x para los que a ≤ x < b. INFINITO El s´ımbolo ∞ (le´ıdo “infinito”) no es un n´umero real, sino un artificio de notaci´on usado para indicar que no hay l´ımite en la direcci´on positiva. El s´ımbolo −∞ (le´ıdo “infinito negativo”) tampoco es un n´umero real, sino un artificio de notaci´on usado para indicar que no hay l´ımite en la direcci´on negativa. [a, ∞) consiste en todos los n´umeros reales para los que x ≥ a
- 6. DESIGUALDADES EJERCICIOS Reescribir las siguientes desigualdades en notaci´on de intervalos: 3 ≤ x ≤ 10 −4 ≤ x ≤ 2 x > 3 x < −15 2 ≤ x < ∞ ∞ < x < ∞ Eescribir los siguientes intervalos como desigualdades: [3, 7] (−103, 2) [3, 5) (−83, 7] [3, ∞) (−∞, 1]
- 7. DESIGUALDADES PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Sumar la misma cantidad a cada lado de una desigualdad da una desigualdad equivalente: A < B ⇔ A + C < B + C Restar la misma cantidad de cada lado de una desigualdad da una desigualdad equivalente. A < B ⇔ A − C < B − C Multiplicar cada lado de una desigualdad por la misma cantidad positiva da una desigualdad equivalente: A < B ⇔ CA < CB, C > 0
- 8. DESIGUALDADES PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Multiplicar cada lado de una desigualdad por la misma cantidad negativa invierte la direcci´on de la desigualdad. A < B ⇔ CA > CB, C < 0 Tomar rec´ıprocos de cada lado de una desigualdad que contenga cantidades positivas, invierte la direcci´on de la desigualdad. A < B ⇔ 1 A > 1 B , A, B > 0 Las desigualdades se pueden sumar. Si A < B, y C < D ⇔ A + C < B + D
- 9. DESIGUALDADES SOLUCI ´ON DE DESIGUALDADES LINEALES Resuelva la desigualdad 3x < 9x + 4 Aplicamos las propiedades mencionadas anteriormente 3x < 9x + 4 3x − 9x < 9x + 4 − 9x −6x < 4 −1 6 (−6x) > −1 6 (4) x > −2 3 Si escribimos la soluci´on en notaci´on de intervalos, obtenemos: x ∈ −2 3 , ∞
- 10. DESIGUALDADES EJERCICIOS Solucionar las siguientes desigualdades: 3x + 11 ≤ 6x + 8 6 − x ≥ 2x + 9 1 2 x + 2 < − 2 3 2 ≤ x + 5 < 4 1 6 < 2x − 13 12 ≤ 2 3 (x + 2)(x − 3) < 0 x2 + 5x + 6 ≥ 0 x2 < 4 |2x| < 7 |8x + 3| > 12