Dialnet-ProblemasResueltosDeTopografiaPractica-267964 (5).pdf
0 recomendaciones31 vistas
Este documento presenta 20 problemas resueltos de topografía práctica. Los problemas cubren diversos temas como radiación simple, itinerarios, intersecciones directas e inversas, nivelación y taquimetría. Cada problema contiene un enunciado, un croquis de la situación, la resolución analítica paso a paso, la resolución usando el programa TOPCAL y en algunos casos una representación gráfica. El documento provee ejemplos prácticos resueltos para que los estudiantes aprendan y practiquen diferentes métodos top
![Resolución.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA
23
[ ]
[ ]
[ ]
∑ −
=
Δ
+
=
=
=
Δ
+
=
=
=
Δ
−
=
=
=
Δ
=
=
=
Δ
=
=
=
Δ
=
=
=
=
Δ
=
=
=
Δ
=
=
=
=
Δ
=
=
=
Δ
=
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
+
=
+
=
=
−
=
−
=
=
−
+
=
+
=
=
+
−
=
+
−
=
=
+
=
+
=
=
−
=
−
=
011
.
0
623
.
18
5300
.
22
sen
*
737
.
53
sen
*
316
.
28
5673
.
130
sen
*
926
.
31
sen
*
950
.
46
6337
.
258
sen
*
966
.
58
sen
*
727
.
53
7825
.
99
sen
*
727
.
53
sen
*
746
.
53
142
.
100
sen
*
746
.
53
sen
*
917
.
31
1260
.
98
sen
*
931
.
31
sen
*
934
.
31
870
.
101
sen
*
948
.
31
sen
*
961
.
58
210
.
101
sen
*
972
.
58
sen
*
970
.
58
8545
.
98
sen
*
980
.
58
sen
*
:
0175
.
0
5475
.
22
3
0175
.
0
*
3
0117
.
0
5790
.
130
3
0175
.
0
*
2
0058
.
0
6395
.
258
3
0175
.
0
:
s
compensado
Azimutes
0175
.
0
5475
.
22
5300
.
22
5475
.
22
5475
.
22
0000
.
0
5475
.
22
0315
.
308
5790
.
330
5790
.
130
400
07
.
376
5090
.
154
07
.
376
400
5695
.
82
6395
.
58
400
6395
.
258
5300
.
222
1095
.
36
5300
.
222
0000
.
0
5300
.
222
)
(
1
3
)
(
3
2
)
(
2
1
)
(
1
3
)
(
3
1
)
(
3
1
)
(
1
3
)
(
1
3
)
(
3
2
)
(
2
3
)
(
2
3
)
(
3
2
)
(
3
2
)
(
2
1
)
(
1
2
)
(
1
2
)
(
2
1
)
(
2
1
1
3
1
3
3
2
3
2
2
1
2
1
3
1
3
1
3
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
1
x
D
x
D
x
D
x
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
ejes
los
de
reducidas
Distanicas
w
L
L
w
w
L
L
w
w
L
L
w
reducida
reducida
reducida
media
geométrica
reducida
geométrica
reducida
media
geométrica
reducida
geométrica
reducida
media
geométrica
reducida
geométrica
reducida
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
ε
θ
θ
θ
θ
θ
θ
α
53.737
31.926
58.966
22.5300
130.5673
258.6337
015
.
0
407
.
50
5300
.
22
cos
*
737
.
53
cos
*
747
.
14
5673
.
130
cos
*
926
.
31
cos
*
675
.
35
6337
.
258
cos
*
966
.
58
cos
*
)
(
1
3
)
(
3
2
)
(
2
1
−
=
Δ
+
=
=
=
Δ
−
=
=
=
Δ
−
=
=
=
Δ
∑ y
D
y
D
y
D
y
reducida
reducida
reducida
θ
θ
θ](https://image.slidesharecdn.com/dialnet-problemasresueltosdetopografiapractica-2679645-231023215750-750cf73a/85/Dialnet-ProblemasResueltosDeTopografiaPractica-267964-5-pdf-23-320.jpg)
![Coordenadas absolutas de los puntos del itinerario:
JACINTO SANTAMARÍA PEÑA
24
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] 415
.
50
829
.
100
407
.
50
*
015
.
0
407
.
50
745
.
14
829
.
100
747
.
14
*
015
.
0
747
.
14
670
.
35
829
.
100
675
.
35
*
015
.
0
675
.
35
625
.
18
889
.
93
623
.
18
*
011
.
0
623
.
18
319
.
28
889
.
93
316
.
28
*
011
.
0
316
.
28
944
.
46
889
.
93
95
.
46
*
011
.
0
950
.
46
829
.
100
015
.
0
889
.
93
011
.
0
:
0
187
.
0
2
194
.
0
180
.
0
194
.
0
5
.
1
51
.
1
7825
.
99
cos
*
727
.
53
cos
*
180
.
0
5
.
1
44
.
1
1420
.
100
cos
*
746
.
53
cos
*
889
.
0
2
880
.
0
898
.
0
880
.
0
5
.
1
44
.
1
1260
.
98
cos
*
931
.
31
cos
*
898
.
0
5
.
1
54
.
1
870
.
101
cos
*
948
.
31
cos
*
076
.
1
2
81
.
10
071
.
1
081
.
1
5
.
1
54
.
1
210
.
101
cos
*
972
.
58
cos
*
071
.
1
5
.
1
51
.
1
8545
.
98
cos
*
980
.
58
cos
*
015
.
0
407
.
50
5300
.
22
cos
*
737
.
53
cos
*
747
.
14
5673
.
130
cos
*
926
.
31
cos
*
675
.
35
6337
.
258
cos
*
966
.
58
cos
*
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
)
(
1
3
)
(
3
1
)
(
1
3
)
(
3
2
)
(
2
3
)
(
3
2
)
(
2
1
)
(
1
2
)
(
2
1
)
(
1
3
)
(
3
2
)
(
2
1
+
=
+
+
=
Δ
−
=
+
−
=
Δ
−
=
+
−
=
Δ
+
=
+
=
Δ
+
=
+
=
Δ
−
=
+
−
=
Δ
=
Δ
−
=
=
Δ
−
=
Δ
Δ
=
Δ
−
=
−
−
=
Δ
+
=
−
+
=
−
+
Δ
=
−
+
=
Δ
−
=
−
+
=
−
+
Δ
=
−
+
=
Δ
−
=
−
−
=
Δ
+
=
−
+
=
−
+
Δ
=
−
+
=
Δ
−
=
−
+
=
−
+
Δ
=
−
+
=
Δ
+
=
+
=
Δ
−
=
−
+
=
−
+
Δ
=
−
+
=
Δ
+
=
−
+
=
−
+
Δ
=
−
+
=
Δ
−
=
Δ
+
=
=
=
Δ
−
=
=
=
Δ
−
=
=
=
Δ
∑
∑
∑
∑
y
y
y
x
x
x
y
x
y
e
x
de
ón
Compensaci
z
z
m
i
D
m
i
t
z
m
i
D
m
i
t
z
z
m
i
D
m
i
t
z
m
i
D
m
i
t
z
z
m
i
D
m
i
t
z
m
i
D
m
i
t
z
y
D
y
D
y
D
y
y
x
medio
geométrica
geométrica
medio
geométrica
geométrica
medio
geométrica
geométrica
reducida
reducida
reducida
ε
ε
θ
θ
θ
187
.
600
889
.
0
076
.
601
076
.
601
076
.
1
600
600
585
.
3949
745
.
14
330
.
3964
330
.
3964
67
.
35
4000
4000
375
.
1981
319
.
28
056
.
1953
056
.
1953
944
.
46
2000
2000
3
2
1
3
2
1
3
2
1
=
−
=
=
+
=
=
=
−
=
=
−
=
=
=
+
=
=
−
=
=
Z
Z
Z
Y
Y
Y
X
X
X](https://image.slidesharecdn.com/dialnet-problemasresueltosdetopografiapractica-2679645-231023215750-750cf73a/85/Dialnet-ProblemasResueltosDeTopografiaPractica-267964-5-pdf-24-320.jpg)
![Resolución.
Primero calculamos los azimutes de los ejes definidos por los vértices:
También podemos calcular las distancias reducidas entre los vértices:
y los ángulos de arco capaz de los ejes AB y BC.
Ahora iniciamos el cálculo de los ángulos en A y en C:
Una vez calculados estos ángulos, todos los triángulos están definidos:
JACINTO SANTAMARÍA PEÑA
36
5666
.
112
4334
.
87
12
60
tg
200
tg
200
4334
.
87
10
50
tg
tg
=
=
−
=
Δ
Δ
−
=
=
=
Δ
Δ
=
ac
y
x
ac
ac
y
x
ac
C
B
C
B
C
B
B
A
B
A
B
A
θ
θ
D x y D x y
A
B
B
C
= + = = + =
Δ Δ Δ Δ
2 2 2 2
50 990 61188
. .
8495
.
44
2837
.
52
4342
.
7
0585
.
0
arctg
*
2
)
(
0585
.
0
354
.
16
2
1332
.
97
tg
)
(
2
1
tg
1332
.
97
400
8668
.
174
5666
.
112
4334
.
287
354
.
16
)
(
2
1
tg
)
(
2
1
tg
1303
.
1
0000
.
67
sen
*
990
.
50
0000
.
61
sen
*
188
.
61
sen
*
sen
*
sen
sen
sen
sen
sen
sen
=
=
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
=
−
−
−
=
+
=
−
=
−
=
−
=
−
+
=
=
=
=
=
C
A
A
C
A
C
B
C
A
B
A
C
A
C
AB
BC
C
A
BC
C
BP
AB
A
BP
C
B
A
B
β
α
θ
θ
β
α
β
α
[ ]
381
.
64
619
.
45
110
619
.
45
7171
.
200
cos
*
622
.
45
549.486
0.514
550
X
514
.
0
7171
.
200
sen
*
622
.
45
7171
.
200
200
622
.
45
sen
sen
*
P
=
−
=
−
=
=
Δ
=
−
=
−
=
=
Δ
=
−
−
+
=
=
=
P
P
B
P
B
C
B
P
B
Y
y
x
C
A
AB
BP
β
θ
θ
α
α β
= − = = − =
241 45 180 45 610000 308 45 24145 67 0000
. . . . . .](https://image.slidesharecdn.com/dialnet-problemasresueltosdetopografiapractica-2679645-231023215750-750cf73a/85/Dialnet-ProblemasResueltosDeTopografiaPractica-267964-5-pdf-36-320.jpg)
![Resolución.
α1 = LC
D
- LC
A
= 120.4238 - 0.0038 = 120.42
α2 = LD
A
- LD
C
= 83.3670 - 30.1170 = 53.25
β1 = LC
D
- LC
B
= 120.4238 - 84.9238 = 35.5000
β2 = LD
B
- LD
C
= 171.1220 - 30.1170 = 141.005
En la figura semejante:
En la realidad:
JACINTO SANTAMARÍA PEÑA
46
( )
( )
( )
( )
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
=
=
−
=
−
−
+
=
=
=
=
=
+
=
=
=
=
=
=
+
=
=
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
sen
*
arcsen
sen
sen
sen
5305
.
2
cos
*
*
*
2
4669
.
1
505
.
176
sen
5000
.
35
sen
2167
.
2
505
.
176
sen
005
.
141
sen
sen
1
sen
sen
3613
.
2
6700
.
173
sen
4200
.
120
sen
8469
.
1
6700
.
173
sen
2500
.
53
sen
sen
1
sen
sen
β
α
γ
γ
γ
β
α
β
α
β
β
β
β
α
α
α
α
AB
BC
BC
AC
AB
BC
AC
BC
AC
AB
BD
BC
BD
BC
AD
AC
AD
AC
( )
[ ] 50.2145
64.8655
=
−
+
−
=
=
=
1
1
1
2
1
200
8515
.
0
arcsen
β
α
γ
γ
γ
3649.332
1975.924 =
=
=
=
=
924
.
1975
*
8469
.
1
5305
.
2
5000
.
5000
C
A
D
C
B
A
D
D
m
D](https://image.slidesharecdn.com/dialnet-problemasresueltosdetopografiapractica-2679645-231023215750-750cf73a/85/Dialnet-ProblemasResueltosDeTopografiaPractica-267964-5-pdf-46-320.jpg)
![Por último, vamos a calcular las coordenadas X, Y, Z de los puntos radiados:
JACINTO SANTAMARÍA PEÑA
64
( )
( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( ) ( )
[ ]
197.256
196.617
201.066
200.903
5218.000
5299.61
5004.560
4901.613
5165.469
4972.189
4789.868
5045.977
B
=
−
=
=
−
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
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=
+
=
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−
+
=
−
+
=
+
=
=
−
+
=
−
+
=
+
=
998
.
0
254
.
198
362
.
1
979
.
197
648
.
1
418
.
199
903
.
0
200
199
.
106
801
.
5111
974
.
147
636
.
5151
696
.
42
256
.
5047
387
.
98
5000
51
.
96
959
.
5068
234
.
11
955
.
4960
996
.
106
864
.
4896
977
.
45
5000
m.
998
.
0
4
.
2
56
.
1
0011
.
0
*
4
.
2
835
.
3
*
100
tg
*
*
199
.
106
9594
.
46
cos
*
4
.
2
835
.
3
*
100
cos
*
*
510
.
96
9594
.
46
sen
*
4
.
2
835
.
3
*
100
sen
*
*
m.
362
.
1
5
.
2
42
.
1
0019
.
0
*
5
.
2
984
.
3
*
100
tg
*
*
974
.
147
8237
.
4
cos
*
5
.
2
984
.
3
*
100
cos
*
*
234
.
11
8237
.
4
sen
*
5
.
2
984
.
3
*
100
sen
*
*
m.
648
.
1
4
.
0
553
.
1
0043
.
0
*
4
.
0
552
.
1
*
100
tg
*
*
696
.
42
8286
.
275
cos
*
4
.
0
552
.
1
*
100
cos
*
*
996
.
106
8286
.
275
sen
*
4
.
0
552
.
1
*
100
sen
*
*
m.
903
.
0
5
.
0
62
.
1
002
.
0
*
5
.
0
586
.
1
*
100
tg
*
*
387
.
98
170
.
172
cos
*
5
.
0
586
.
1
*
100
cos
*
*
977
.
45
170
.
172
sen
*
5
.
0
586
.
1
*
100
sen
*
*
9594
.
46
9100
.
394
5304
.
322
3390
.
119
8237
.
4
9125
.
197
0362
.
235
7000
.
367
8286
.
275
1810
.
130
3106
.
127
6990
.
278
170
.
172
2050
.
35
2050
.
35
170
.
172
9
7
4
2
9
7
4
2
9
7
4
2
9
9
9
9
9
7
7
7
7
7
4
4
4
4
4
2
2
2
2
2
9
9
9
7
7
7
4
4
4
2
2
2
Z
Z
Z
Z
Y
Y
Y
Y
X
X
X
X
m
i
l
K
m
i
t
z
l
K
y
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K
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m
i
l
K
m
i
t
z
l
K
y
l
K
x
m
i
l
K
m
i
t
z
l
K
y
l
K
x
m
i
l
K
m
i
t
z
l
K
y
l
K
x
L
L
w
L
L
L
w
L
L
L
w
L
L
L
w
L
D
D
D
D
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C
C
C
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B
B
B
B
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A
A
A
A
C
D
C
D
D
D
D
D
B
C
B
C
C
C
C
C
A
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A
B
B
B
B
D
A
D
A
A
A
A
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θ
θ
α
θ
θ
α
θ
θ
α
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ](https://image.slidesharecdn.com/dialnet-problemasresueltosdetopografiapractica-2679645-231023215750-750cf73a/85/Dialnet-ProblemasResueltosDeTopografiaPractica-267964-5-pdf-64-320.jpg)
![Resolución.
Para saber a qué lado del punto D está la línea de partición que nos piden, calcularemos primero la superficie
de los dos triángulos ACD y ABD. Lo haremos aplicando la siguiente fórmula a partir de las coordenadas cono-
cidas:
La superficie a segregar será: y por tanto, la línea de partición quedará den-
tro del triángulo ACD. El problema queda reducido a la segregación de una superficie de 595201 m2
, de una par-
cela triangular de 803403 m2
, con una línea que pase por el punto A. Para ello, necesitamos conocer la distancia
CD:
JACINTO SANTAMARÍA PEÑA
72
[ ]
[ ]
.
1785603
982200
803403
.
982200
)
8500
8700
(
*
7951
)
7574
8500
(
*
7700
)
8700
7574
(
*
6000
2
1
.
803403
)
8500
7574
(
*
6890
)
7254
8500
(
*
7951
)
7574
7254
(
*
6000
2
1
)
(
2
1
2
2
1
1
m
S
m
S
m
S
y
y
x
S
TOTAL
ABD
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n
n
n
=
+
=
=
=
−
+
−
+
−
=
=
=
−
+
−
+
−
=
−
= ∑ +
−
1
3
1785603
3
595201 2
S m
TOTAL = = .
.
206
.
1108
*
74085
.
0
74085
.
0
)
(
*
)
(
2
*
2
2
1
1
2
1
1
m
821.014
=
=
=
=
+
=
+
=
CP
CD
CP
S
S
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altura
CD
S
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altura
CP
S
θ
θ
θ
C
D
C
P
C
P
C
P
C
P
C C
P
C C
P
x
y
x CP
y CP
X x
Y y
= = =
= = = +
= = = +
= + = + =
= + = + =
arctg arctg .
* sen . * sen . .
* cos . *cos . .
.
.
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
1061
320
813517
821014 813517 786 041
821014 813517 237 072
6890 786 041
7254 237 072
X 7676.041
Y 7491.072
P
P
CD x y m
= + = + =
Δ Δ
2 2 2 2
1061 320 1108 206
. .](https://image.slidesharecdn.com/dialnet-problemasresueltosdetopografiapractica-2679645-231023215750-750cf73a/85/Dialnet-ProblemasResueltosDeTopografiaPractica-267964-5-pdf-72-320.jpg)
Dialnet-ProblemasResueltosDeTopografiaPractica-267964 (5).pdf
- 5. PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA Segunda Edición Jacinto Santamaría Peña UNIVERSIDAD DE LA RIOJA Servicio de Publicaciones
- 6. A G R A D E C I M I E N T O S Quisiera, finalmente, agradecer la colaboración recibida para la preparación de esta publicación a los profesores del Área de Expresión Gráfica en la Ingeniería de la Universidad de La Rioja, y muy especialmente al Profesor Asociado D. Teófilo Sanz Méndez, por las ideas aportadas y por el afán personal puesto para que salga definitivamente hoy a la luz. Problemas resueltos de topografía práctica de Jacinto Santamaría Peña (publicado por la Universidad de La Rioja) se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported. Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los titulares del copyright. © El autor © Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2013 publicaciones.unirioja.es E-mail: [email protected] ISBN: 978-84-692-2009-2
- 7. ÍNDICE Pág. INTRODUCCIÓN.................................................................................................................................. 9 PROBLEMAS DE RADIACIÓN. P-1. Radiación simple con Taquímetro, sin orientar ..................................................................... 13 P-2. Radiación simple con Estación Total, sin orientar................................................................. 17 PROBLEMAS DE ITINERARIO P-3. Itinerario cerrado, orientado................................................................................................... 21 P-4. Itinerario encuadrado, orientado a una referencia.................................................................. 25 PROBLEMAS DE INTERSECCIÓN DIRECTA. P-5. Intersección directa simple, sin orientar ................................................................................ 29 P-6. Trisección directa, orientada .................................................................................................. 32 PROBLEMAS DE INTERSECCIÓN INVERSA. P-7. Problema de Pothenot simple................................................................................................. 35 P-8. Problema de Pothenot simple................................................................................................. 38 P-9 Problema de Pothenot simple................................................................................................. 42 P-10. Problema de Hansen............................................................................................................... 45 P-11. Aplicación del problema de Hansen....................................................................................... 48 PROBLEMAS DE NIVELACIÓN P-12. Itinerario altimétrico encuadrado ........................................................................................... 50 P-13. Itinerario altimétrico cerrado.................................................................................................. 52 PROBLEMAS DE TAQUIMETRÍA P-14. Taquimétrico orientado, con dos estaciones........................................................................... 54 P-15. Problema mixto Taquimetría/partición de finca..................................................................... 59 PROBLEMAS DE APLICACIONES PRÁCTICAS P-16. Partición de solar con alineación paralela a otra dada........................................................... 68 P-17. Partición de finca con alineación que pasa por un punto....................................................... 71 P-18. Partición de finca con línea que intercepta a lados opuestos................................................. 74 P-19. Replanteo de enlace circular entre alineaciones rectas .......................................................... 76 P-20. Enlace circular entre alineaciones rectas................................................................................ 79 7
- 9. INTRODUCCIÓN Esta publicación va dirigida fundamentalmente a los alumnos de primer curso de Ingenierías Técnicas, que empiezan a descubrir en la TOPOGRAFÍA las primeras aplicaciones realmente prácticas de los conceptos más o menos teóricos vistos con anterioridad en Geometría, en los Sistemas de Representación y en la propia Trigonometría. Se es consciente de que existen gran cantidad de publicaciones con ejercicios prácticos resueltos en esta mate- ria, pero suelen ser de una mayor complejidad y el alumno tras un primer acercamiento, suele desistir. Los ejer- cicios aquí propuestos y resueltos pueden pecar de excesiva sencillez, pero el autor prefiere asociar dicha senci- llez a la claridad de ideas que en los alumnos puede generar. Así pues, se ha decidido publicar esta pequeña colec- ción de problemas con la intención de aclarar y afianzar unos conocimientos básicos en la asignatura de Topografía y se ha pretendido orientar todos los planteamientos a una posible aplicación práctica en el campo de la Ingeniería Técnica. El esquema general de todos los ejercicios prácticos propuestos consiste en: – Un enunciado del problema, dando los datos de partida, los datos tomados en campo y expresando clara- mente lo que se pide. – Croquis de situación. Con los datos que se nos dan en el enunciado, lo primero que se hace es un croquis de la situación de partida. – Resolución analítica del problema, aplicando las metodologías tradicionales vistas en los métodos topográ- ficos. – Resolución mediante programa informático de aplicación topográfica. En este caso se ha optado por utili- zar el programa TOPCAL, por su fácil manejo y aprendizaje por parte del alumno. Los datos obtenidos por este programa deberán siempre ser comparados con los obtenidos por resolución analítica y resolución grá- fica. – Resolución Gráfica, si el problema es propicio para ello. Se ha utilizado el programa Microstation®95. – Representación Gráfica, utilizando programa Microstation®95. La organización de los problemas se ha realizado de acuerdo con el orden tradicional de aprendizaje de los métodos topográficos planimétricos, altimétricos y taquimétricos, culminando con una serie de ejercicios de apli- cación directa de dichos métodos a la partición de fincas y al replanteo. La resolución analítica de los problemas se ha hecho paso a paso, dando los resultados de cada uno de los cál- culos necesarios. Por el excesivo número de datos expresados en cada problema, no sería de extrañar la existen- cia de erratas. Busquemos el valor pedagógico que para el alumno supone el descubrimiento de una errata en el libro del profesor, pero confiemos en que éstas no sean excesivas. Espero que la presente publicación sea bien acogida y del agrado de los alumnos, ya que en gran medida nace a petición suya, y sirva para una mejor preparación de sus asignaturas. Jacinto Santamaría Peña Profesor del Departamento de Ingeniería Mecánica 9
- 11. PROBLEMAS
- 13. P-1. Por simple radiación, se levanta una finca agrícola estacionando en un punto central de la misma. Utilizando un Taquímetro no autorreductor se obtiene la siguiente libreta de campo: K = 100 i = 1,450 m. Punto Lectura HILOS Altura de observado acimutal (mm) Horizonte (gon) Superior Central Inferior (%) A 199.4621 1416 0950 0484 + 2.09 B 148.0100 1262 0900 0538 + 1.34 C 393.9705 1330 0900 0470 - 1.69 D 369.4510 1866 1300 0734 - 0.54 Determinar las coordenadas (x, y, z) de los puntos visados, partiendo de unas coordenadas para el punto de estación de (100; 100; 10) CROQUIS 13
- 14. Resolución. Primero calculamos las alturas de horizonte, en grados centesimales. Visual E-A: αA = arctg 0.0209 = +1.3303g Visual E-B: αB = arctg 0.0134 = +0.8530g Visual E-C: αC = arctg -0.0169 = -1.0758g Visual E-C: αD = arctg -0.0054 = -0.3438g Ahora calculamos las distancias horizontales de la estación a los puntos: E-A = (1416 - 484) * 100 / 1000 * cos2 1.3303 = 93.159 m. E-B = (1262 - 538) * 100 / 1000 * cos2 0.8530 = 72.387 m. E-C = (1330 - 470) * 100 / 1000 * cos2 1.0758 = 85.975 m. E-D = (1866 - 734) * 100 / 1000 * cos2 0.3438 = 113.197 m. Ahora calculamos los ΔX y los ΔY de la estación a los puntos: ΔXE A = 93.159 * SEN 199.4621 = + 0.787 ΔYE A = 93.159 * COS 199.4621 = - 93.156 ΔXE B = 72.387 * SEN 148.0100 = + 52.760 ΔYE B = 72.387 * COS 148.0100 = - 49.561 ΔXE C = 85.975 * SEN 393.9705 = - 8.131 ΔYE C = 85.975 * COS 393.9705 = + 85.590 ΔXE D = 113.197 * SEN 369.4510 = - 52.258 ΔYE D = 113.197 * COS 369.4510 = + 100.412 Ahora calculamos las coordenadas X, Y absolutas, de los puntos radiados: XA = XE + ΔXE A = 100 + 0.787 = 100.787 YA = YE + ΔYE A = 100 - 93.156 = 6.844 XB = XE + ΔXE B = 100 + 52.760= 152.760 YB = YE + ΔYE B = 100 - 49.561 = 50.439 XC = XE + ΔXE C = 100 - 8.131 = 91.869 YC = YE + ΔYE C = 100 + 85.590 = 185.590 XD = XE + ΔXE D = 100 -52.258 = 47.742 YD = YE + ΔYE D = 100 + 100.412 = 200.412 Ahora calculamos los ΔZ, de la estación a los puntos radiados: ΔZE A = t + i - m = ( 93.159 * 0.0209) + 1.45 - 0.95 = + 2.447 ΔZE B = t + i - m = ( 72.387 * 0.0134) + 1.45 - 0.90 = + 1.520 ΔZE C = t + i - m = - ( 85.975 * 0.0169) + 1.45 - 0.90 = - 0.903 ΔZE D = t + i - m = - (113.197 * 0.0054) + 1.45 - 1.30 = - 0.461 Por último, calculamos la coordenada Z de los puntos radiados: ZA = ZE + ΔZE A = 10 + 2.447 = 12.447 m. ZB = ZE + ΔZE B = 10 + 1.520 = 11.520 m. ZC = ZE + ΔZE C = 10 - 0.903 = 9.097 m. ZD = ZE + ΔZE D = 10 - 0.461 = 9.539 m. JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 14
- 15. Resolución con TOPCAL Estación Punto H V D m i E A 199.4621 98.6697 93.159 0.950 1.450 E B 148.0100 99.1470 72.387 0.900 1.450 E C 393.9705 101.0758 85.975 0.900 1.450 E D 369.4510 100.3438 113.197 1.300 1.450 X Y Z A 100.787 6.844 12.447 B 152.760 50.439 11.520 C 91.869 185.590 9.097 D 47.742 200.412 9.539 E 100.000 100.000 10.000 PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 15
- 17. P-2. Trabajando con una Estación Total, se levanta una finca de almendros estacionando en un punto cuyas coordenadas son (10.000; 20.000; 400) y se lanza visual a cuatro puntos. Los datos tomados en campo son: Altura de instrumento = 1.457 m. Altura de prisma = 1.70 m. Punto visado Azimutal Distancia Distancia Cenital geométrica 1001 73.8515 97.2593 1773.320 1002 175.1270 98.6057 620.315 1003 247.1323 101.3842 1207.400 1004 361.3287 102.2500 812.768 Calcular las coordenadas (x, y, z) de los puntos visados y representar gráficamente la finca. CROQUIS PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 17
- 18. Resolución con Topcal Fichero de observaciones Estación Punto Azimutal Cenital D. Geométrica m i 1000 1001 73.8515 97.2593 1773.320 1.700 1.457 1000 1002 175.1270 98.6057 620.315 1.700 1.457 1000 1003 247.1323 101.3842 1207.400 1.700 1.457 1000 1004 361.3287 102.2500 812.768 1.700 1.457 Fichero de puntos Punto X Y Z w 1000 10000.000 20000.000 400.000 0.00 Estación 1001 11624.319 20707.409 476.284 0.00 1002 10236.184 19426.569 413.367 0.00 1003 9185.743 19108.871 373.603 0.00 1004 9536.383 20666.953 371.081 0.00 Fichero de Radiación ESTACION 1000 Estación X Y Z w 10000.000 20000.000 400.000 0.0000 PTO. H V DG M I DR AZ X Y Z 1001 73.8515 97.2593 1773.32 1.70 1.46 1771.68 73.8515 11624.319 20707.409 476.284 1002 175.1270 98.6057 620.32 1.70 1.46 620.17 175.1270 10236.184 19426.569 413.367 1003 247.1323 101.3842 1207.40 1.70 1.46 1207.11 247.1323 9185.743 19108.871 373.603 1004 361.3287 102.2500 812.77 1.70 1.46 812.26 361.3287 9536.383 20666.953 371.081 Resolución. Primero calculamos las distancias reducidas de la Estación a los puntos radiados: JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 18 260 . 812 2500 . 102 sen * 768 . 812 sen 115 . 1207 3842 . 101 sen * 400 . 1207 sen 166 . 620 6057 . 98 sen * 315 . 620 sen 677 . 1771 2593 . 97 sen * 320 . 1773 sen 1004 1000 1003 1000 1002 1000 1001 1000 = = Δ ∗ = = = Δ ∗ = = = Δ ∗ = = = Δ ∗ = geométrica geométrica geométrica geométrica D D D D D D D D
- 19. Ahora calculamos los Δx y los Δy de la Estacion a los puntos radiados: Ahora calculamos los Δz aparentes de la Estacion a los puntos radiados (sin tener en cuenta el efecto de la esfericidad y refracción): Los desniveles verdaderos serían (teniendo en cuenta esfericidad y refracción): Por último calculamos las coordenadas absolutas X,Y,Z de los puntos radiados: X1001 = 10000 + 1624.319 = 11624.319 X1002 = 10000 + 236.184 = 10236.184 X1003 = 10000 - 814.257 = 9185.743 X1004 = 10000 - 463.616 = 9536.384 Y1001 = 20000 + 707.409 = 20707.409 Y1002 = 20000 - 573.431 = 19426.569 Y1003 = 20000 - 891.130 = 19108.870 Y1004 = 20000 + 666.953 = 20666.953 Z1001 = 400 + 76.283 = 476.283 Z1002 = 400 + 13.367 = 413.367 Z1003 = 400 - 26.398 = 373.602 Z1004 = 400 - 28.919 = 371.081 PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 19 953 . 666 3287 . 361 cos * 260 . 812 cos * 130 . 891 1323 . 247 cos * 115 . 1207 cos * 431 . 573 1270 . 175 cos * 166 . 620 cos * 409 . 707 8515 . 73 cos * 677 . 1771 cos * 616 . 463 3287 . 361 sen * 260 . 812 sen * 257 . 814 1323 . 247 sen * 115 . 1207 sen * 184 . 236 1270 . 175 sen * 166 . 620 sen * 319 . 1624 8515 . 73 sen * 677 . 1771 sen * 1004 1000 1003 1000 1002 1000 1001 1000 1004 1000 1003 1000 1002 1000 1001 1000 + = = = Δ − = = = Δ − = = = Δ + = = = Δ − = = = Δ − = = = Δ + = = = Δ + = = = Δ θ θ θ θ θ θ θ θ L D y L D y L D y L D y L D x L D x L D x L D x reducida reducida reducida reducida reducida reducida reducida reducida 963 . 28 70 . 1 457 . 1 2500 . 102 tg 260 . 812 tg 494 . 26 70 . 1 457 . 1 3842 . 101 tg 115 . 1207 tg 342 . 13 70 . 1 457 . 1 6057 . 98 tg 166 . 620 tg 076 . 76 70 . 1 457 . 1 2593 . 97 tg 677 . 1771 tg 1004 1000 1003 1000 1002 1000 1001 1000 − = − + = − + Δ = − + = Δ − = − + = − + Δ = − + = Δ + = − + = − + Δ = − + = Δ + = − + = − + Δ = − + = Δ m i D m i t z m i D m i t z m i D m i t z m i D m i t z reducida reducida reducida reducida 1004 1000 1003 1000 1002 1000 1001 1000 = Δ = Δ = Δ = Δ z z z z +76.076 + 6.6 * 10-8 * 1771.6772 = +76.283 +13.342 + 6.6 * 10-8 * 620.1662 = +13.367 -26.494 + 6.6 * 10-8 * 1207.1152 = -26.398 -28.963 + 6.6 * 10-8 * 812.2602 = -28.919
- 21. P-3. Resolver el itinerario cuya libreta de campo se adjunta: Est. Pto. Lect. Cenital Geométrica Prisma i visado Acimut 1 2 36.1095 98.8545 58.980 1.50 1.51 1 3 0.0000 99.7825 53.727 1.50 1.51 2 1 82.5695 101.2100 58.972 1.50 1.54 2 3 154.5090 101.8700 31.948 1.50 1.54 3 2 308.0315 98.1260 31.931 1.50 1.44 3 1 0.0000 100.1420 53.746 1.50 1.44 Las coordenadas de la estación 1 son: (2000 ; 4000 ; 600) El acimut de la estación 1 a la estación 3 es de 222.5300 Calcular los errores de cierre angular y lineales (X, Y, Z) Compensar los errores. Obtener las coordenadas X, Y y Z de las estaciones de la poligonal. CROQUIS PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 21
- 22. Resolución con Topcal. P O L I G O N A L -NE- P -H- -V- -DG- -M- -I- -AZ- -DR- -DES- 1 2 36.1095 98.8545 58.980 1.50 1.51 258.6337 58.970 1.071 2 1 82.5695 101.2100 58.972 1.50 1.54 58.6337 58.961 -1.081 2 3 154.5090 101.8700 31.948 1.50 1.54 130.5673 31.934 -0.898 3 2 308.0315 98.1260 31.931 1.50 1.44 330.5673 31.917 0.880 3 1 0.0000 100.1420 53.746 1.50 1.44 22.5300 53.746 -0.180 1 3 0.0000 99.7825 53.727 1.50 1.51 222.5300 53.727 0.194 Longitud de la poligonal 144.6 Error de cierre angular = -0.0175 Error de cierre en -X- 0.011 Error de cierre en -Y- 0.016 Error de cierre en -Z- -0.000 -NE- -X- -Y- -Z- -W- 1 2000.000 4000.000 600.000 222.5300 2 1953.055 3964.331 601.076 376.0642 3 1981.373 3949.588 600.187 22.5358 Representación. JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 22
- 23. Resolución. PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 23 [ ] [ ] [ ] ∑ − = Δ + = = = Δ + = = = Δ − = = = Δ = = = Δ = = = Δ = = = = Δ = = = Δ = = = = Δ = = = Δ = = − = − = = − = − = = − = − = − = − = = + = + = = − = − = = − + = + = = + − = + − = = + = + = = − = − = 011 . 0 623 . 18 5300 . 22 sen * 737 . 53 sen * 316 . 28 5673 . 130 sen * 926 . 31 sen * 950 . 46 6337 . 258 sen * 966 . 58 sen * 727 . 53 7825 . 99 sen * 727 . 53 sen * 746 . 53 142 . 100 sen * 746 . 53 sen * 917 . 31 1260 . 98 sen * 931 . 31 sen * 934 . 31 870 . 101 sen * 948 . 31 sen * 961 . 58 210 . 101 sen * 972 . 58 sen * 970 . 58 8545 . 98 sen * 980 . 58 sen * : 0175 . 0 5475 . 22 3 0175 . 0 * 3 0117 . 0 5790 . 130 3 0175 . 0 * 2 0058 . 0 6395 . 258 3 0175 . 0 : s compensado Azimutes 0175 . 0 5475 . 22 5300 . 22 5475 . 22 5475 . 22 0000 . 0 5475 . 22 0315 . 308 5790 . 330 5790 . 130 400 07 . 376 5090 . 154 07 . 376 400 5695 . 82 6395 . 58 400 6395 . 258 5300 . 222 1095 . 36 5300 . 222 0000 . 0 5300 . 222 ) ( 1 3 ) ( 3 2 ) ( 2 1 ) ( 1 3 ) ( 3 1 ) ( 3 1 ) ( 1 3 ) ( 1 3 ) ( 3 2 ) ( 2 3 ) ( 2 3 ) ( 3 2 ) ( 3 2 ) ( 2 1 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 1 3 1 3 3 2 3 2 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 x D x D x D x D D D D D D D D D D D D D D D ejes los de reducidas Distanicas w L L w w L L w w L L w reducida reducida reducida media geométrica reducida geométrica reducida media geométrica reducida geométrica reducida media geométrica reducida geométrica reducida θ θ θ θ θ θ θ θ θ ε θ θ θ θ θ θ α 53.737 31.926 58.966 22.5300 130.5673 258.6337 015 . 0 407 . 50 5300 . 22 cos * 737 . 53 cos * 747 . 14 5673 . 130 cos * 926 . 31 cos * 675 . 35 6337 . 258 cos * 966 . 58 cos * ) ( 1 3 ) ( 3 2 ) ( 2 1 − = Δ + = = = Δ − = = = Δ − = = = Δ ∑ y D y D y D y reducida reducida reducida θ θ θ
- 24. Coordenadas absolutas de los puntos del itinerario: JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 24 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 415 . 50 829 . 100 407 . 50 * 015 . 0 407 . 50 745 . 14 829 . 100 747 . 14 * 015 . 0 747 . 14 670 . 35 829 . 100 675 . 35 * 015 . 0 675 . 35 625 . 18 889 . 93 623 . 18 * 011 . 0 623 . 18 319 . 28 889 . 93 316 . 28 * 011 . 0 316 . 28 944 . 46 889 . 93 95 . 46 * 011 . 0 950 . 46 829 . 100 015 . 0 889 . 93 011 . 0 : 0 187 . 0 2 194 . 0 180 . 0 194 . 0 5 . 1 51 . 1 7825 . 99 cos * 727 . 53 cos * 180 . 0 5 . 1 44 . 1 1420 . 100 cos * 746 . 53 cos * 889 . 0 2 880 . 0 898 . 0 880 . 0 5 . 1 44 . 1 1260 . 98 cos * 931 . 31 cos * 898 . 0 5 . 1 54 . 1 870 . 101 cos * 948 . 31 cos * 076 . 1 2 81 . 10 071 . 1 081 . 1 5 . 1 54 . 1 210 . 101 cos * 972 . 58 cos * 071 . 1 5 . 1 51 . 1 8545 . 98 cos * 980 . 58 cos * 015 . 0 407 . 50 5300 . 22 cos * 737 . 53 cos * 747 . 14 5673 . 130 cos * 926 . 31 cos * 675 . 35 6337 . 258 cos * 966 . 58 cos * 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 ) ( 1 3 ) ( 3 1 ) ( 1 3 ) ( 3 2 ) ( 2 3 ) ( 3 2 ) ( 2 1 ) ( 1 2 ) ( 2 1 ) ( 1 3 ) ( 3 2 ) ( 2 1 + = + + = Δ − = + − = Δ − = + − = Δ + = + = Δ + = + = Δ − = + − = Δ = Δ − = = Δ − = Δ Δ = Δ − = − − = Δ + = − + = − + Δ = − + = Δ − = − + = − + Δ = − + = Δ − = − − = Δ + = − + = − + Δ = − + = Δ − = − + = − + Δ = − + = Δ + = + = Δ − = − + = − + Δ = − + = Δ + = − + = − + Δ = − + = Δ − = Δ + = = = Δ − = = = Δ − = = = Δ ∑ ∑ ∑ ∑ y y y x x x y x y e x de ón Compensaci z z m i D m i t z m i D m i t z z m i D m i t z m i D m i t z z m i D m i t z m i D m i t z y D y D y D y y x medio geométrica geométrica medio geométrica geométrica medio geométrica geométrica reducida reducida reducida ε ε θ θ θ 187 . 600 889 . 0 076 . 601 076 . 601 076 . 1 600 600 585 . 3949 745 . 14 330 . 3964 330 . 3964 67 . 35 4000 4000 375 . 1981 319 . 28 056 . 1953 056 . 1953 944 . 46 2000 2000 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = − = = + = = = − = = − = = = + = = − = = Z Z Z Y Y Y X X X
- 25. P-4. Resolver el itinerario encuadrado entre A y C cuya libreta de campo se adjunta: Estación Pto. L. Acimutal Distancia Cenital D. geométrica Alt. Prisma Alt. aparato A Ref-1 315,0000 A B 143,0457 100,5132 436,029 1.60 1.36 B A 51,0011 99,4845 436,019 1.30 1.40 B C 229,7963 101,0110 514,600 1.60 1.40 C B 203,5030 98,9070 514,623 1.80 1.44 C Ref-2 2 90,5051 Las coordenadas de la estación A son: ( 2000,000 ; 5000,000 ; 400,000 ) Las coordenadas de la estación C son: ( 2722,775 ; 5597,050 ; 387,884 ) Las coordenadas de Ref-1 son: X = 1500,000 Y = 4300,000 El Acimut de C a Ref-2 = 333,3333 g Calcular los errores de cierre angular y lineales (X, Y, Z) Compensar los errores. Obtener las coordenadas X, Y y Z de las estaciones de la poligonal. CROQUIS PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 25
- 26. Resolución. Primero calculamos el Acimut de la Estación A a la Ref-1, a través de sus coordenadas: Con este dato, podemos calcular la desorientación de la estación A: Con esto, empezamos a calcular los Acimutes corregidos de orientación: El error angular de cierre será: ea = 333.3333 - 333.3293 = + 0.0040 La compensación por eje será: Comp. = 0.004/3 = 0.0013 Los Acimutes compensados serán: (se observa alguna discrepancia con los resultados de Topcal, seguramente por utilizar este programa distinto sistema de compensación de errores angulares) Ahora calculamos las distancias reducidas medias de los ejes: Con los Acimutes compensados y las distancias medias, calculamos los Δx y los Δy: JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 26 4863 . 239 700 500 arctg 200 arctg 200 1 Re = + = Δ Δ + = − y x f A θ 5137 . 75 0000 . 315 4863 . 239 1 Re 1 Re − = − = − = − − f A f A A L w θ 3293 . 333 8242 . 42 5051 . 290 8242 . 42 5030 . 203 3272 . 246 3272 . 46 5309 . 216 7963 . 229 5309 . 216 0011 . 51 5320 . 267 5320 . 67 5137 . 75 0457 . 143 2 Re 2 Re = + = + = = − = − = ≡ + = + = = − = − = = − = + = − − C f C f C B C B C C B C B C B A B A B B A B A B A w L L w w L L w w L θ θ θ θ θ 3333 . 333 0040 . 0 3293 . 333 3298 . 46 0026 . 0 3272 . 46 5333 . 67 0013 . 0 5320 . 67 2 Re = + = = + = = + = − f C C B B A θ θ θ 541 . 514 2 547 . 514 535 . 514 2 sen * sen * 010 . 436 2 005 . 436 015 . 436 2 sen * sen * ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = + = Δ + Δ = = + = Δ + Δ = B C geométrica B C C B geométrica C B reducida C B A B geométrica A B B A geométrica B A reducida B A D D D D D D 195 . 384 3298 . 46 cos * 541 . 514 cos * 267 . 342 3298 . 46 sen * 541 . 514 sen * 845 . 212 5333 . 67 cos * 010 . 436 cos * 528 . 380 5333 . 67 sen * 010 . 436 sen * ) ( ) ( ) ( ) ( + = = = Δ + = = = Δ + = = = Δ + = = = Δ C B reducida C B C B B A reducida C B C B B A reducida B A B A B A reducida B A B A D y D x D y D x θ θ θ θ
- 27. Los errores lineales serán: ex = 722.775 - (380.528 + 342.267 ) = - 0.020 ey = 597.050 - (212.845 + 384.195 ) = +0.010 Los Δx y los Δy compensados seran: Las coordenadas X,Y de las tres estaciones serán: XA = 2000 YA = 5000 XB = 2000 + 380.517 = 2380.517 YB = 5000 + 212.849 = 5212.849 XC = 2380.517 + 342.258 =2722.775 YC = 5212.849 + 384.201 =5597.050 Los Δz entre las estaciones seran (sin tener en cuenta el efecto de la esfericidad y la refracción): El error en cotas será: ez = (387.884-400) - (-3.693-8.423) = 0. Luego las cotas de las estaciones serán: PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 27 201 . 384 ) 384.195 (212.845 195 . 384 * 01 . 0 195 . 384 849 . 212 ) 384.195 (212.845 845 . 212 * 01 . 0 845 . 212 258 . 342 ) 342.267 (380.528 267 . 342 * 02 . 0 267 . 342 517 . 380 ) 342.267 (380.528 528 . 380 * 02 . 0 528 . 380 + = + + = Δ + = + + = Δ + = + − = Δ + = + − = Δ B A B A C B B A y y x x 423 . 8 2 475 . 8 372 . 8 475 . 8 8 . 1 44 . 1 9070 . 98 tg 547 . 514 372 . 8 6 . 1 40 . 1 011 . 101 tg 535 . 514 693 . 3 2 631 . 3 755 . 3 631 . 3 3 . 1 4 . 1 4845 . 99 tg 005 . 436 755 . 3 6 . 1 36 . 1 5132 . 100 tg 015 . 436 ) ( ) ( − = − − = Δ + = − + = − + = Δ − = − + = − + = Δ − = − − = Δ + = − + = − + = Δ − = − + = − + = Δ medio C B B C C B medio B A A B B A z m i t z m i t z z m i t z m i t z 884 . 387 423 . 8 307 . 396 307 . 396 693 . 3 400 000 . 400 = − = = − = = C B A z z z
- 28. Resolución con Topcal. P O L I G O N A L -NE- NV -H- -V- -DG- -M- -I- -AZ- -DR- -DES- 3000 4000 143.0457 100.5132 436.029 1.60 1.36 67.5340 436.015 -3.742 4000 3000 51.0011 99.4845 436.019 1.30 1.40 267.5340 436.005 3.643 4000 5000 229.7963 101.0110 514.600 1.60 1.40 46.3312 514.535 -8.354 5000 4000 203.5030 98.9070 514.623 1.80 1.44 246.3312 514.547 8.493 Longitud de la poligonal 950.6 Error de cierre angular = 0.0040 Error de cierre en —X— -0.031 Error de cierre en —Y— 0.022 Error de cierre en —Z— 0.000 -NE- -X- -Y- -Z- -w- -NOMBRE- 3000 2000.00 5000.000 400.000 324.4863 A 4000 2380.516 5212.851 396.307 216.5329 B 5000 2722.775 5597.050 387.884 42.8282 C Representación. JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 28
- 29. P-5. Levantar un punto P por intersección directa, estacionando con un Teodolito en dos vértices A y B conocidos. Calcular las coordenadas planimétricas del punto P sabiendo que las de A son (100, 200) y las de B son (475, 160) y los datos tomados son: ESTACION PUNTO OBSERVADO LECTURA ACIMUTAL A P 59.5524 B 120.5666 B P 27.2454 A 323.5666 CROQUIS PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 29
- 30. Resolución. Del triángulo formado, se conocen un lado y los dos ángulos adyacentes: Conociendo el θ y la distancia reducida de la Estacion A al punto P, calculamos: Para comprobar este resultado, desde B, haríamos JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 30 7508 . 45 0142 . 61 7650 . 106 7650 . 106 40 375 arctg 200 arctg 200 953 . 714 sen sen * 307 . 35 6788 . 103 0142 . 61 200 6788 . 103 400 5666 . 323 2454 . 27 0142 . 61 5524 . 59 5666 . 120 127 . 377 40 375 2 2 2 2 = − = − = = − = Δ Δ − = = = = − − = = + − = = − = = + = Δ + Δ = A y x P B AB AP P en Angulo B en Angulo A en Angulo y x D B A P A B A B A θ θ θ 141 . 738 141 . 538 200 704 . 570 704 . 470 100 141 . 538 7508 . 45 cos * 953 . 714 cos * 704 . 470 7508 . 45 sen * 953 . 714 sen * = + = Δ + = = + = Δ + = + = = = Δ + = = = Δ P A A P P A A P P A P A P A P A P A P A y Y Y x X X D y D x θ θ 009 . 586 sen sen * 4438 . 10 8016 . 16 2454 . 27 8016 . 16 5666 . 323 7650 . 306 = = = − = + = − = − = − = P A AB BP w L L w B P B P B A B A B B θ θ 141 . 738 141 . 578 160 705 . 570 705 . 95 475 141 . 578 4438 . 10 cos * 009 . 586 cos * 705 . 95 4438 . 10 sen * 009 . 586 sen * = + = Δ + = = + = Δ + = + = = = Δ + = = = Δ P B B P P B B P P B P B P B P B P B P B y Y Y x X X D y D x θ θ
- 31. Resolución con Topcal. CÁLCULO DE TRIANGULACIÓN P.EST P.VIS OBSERV. -1000 -2000 120.5666 -1000 1 59.5524 -2000 -1000 323.5666 -2000 1 27.2454 COOR. PROMEDIO 570.705 738.141 P.EST P.VIS -1000 1 -2000 1 COOR.X = 570.705 COOR. Y = 738.141 N.PUNTO -X- -Y- NOMBRE 1000 100.000 200.000 A 2000 475.000 160.000 B 1 570.705 738.141 P Representación gráfica. PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 31
- 32. P-6. Se quiere realizar un sondeo en un punto P de coordenadas desconocidas. Para determinarlas se esta- ciona en tres vértices cuyas coordenadas son: A (100 , 200) B (250 , 170) C (475 , 160) Se realiza el trabajo con un Teodolito orientado en todo momento, siendo las lecturas tomadas sobre el Limbo Azimutal las siguientes: A ———> P = 51,5524 B ———> P = 16,2454 C ———> P = 361,6572 Calcular las coordenadas planimétricas de “P”. CROQUIS JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 32
- 33. Resolución. En el primer triángulo ABP: En el segundo triángulo BCP: Se toman como definitivas: XP = 310 YP = 400 PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 33 400 230 170 Y 310 60 250 X P P = + = = + = = = = Δ = = = Δ = = + = = + = = − = = = = − = − = = − = Δ Δ − = = 230 2454 . 16 cos * 697 . 237 cos * 60 2454 . 16 sen * 697 . 237 sen * 697 . 237 4118 . 145 sen 8296 . 58 sen * 222 . 225 ) sen( sen 222 . 225 10 225 5822 . 86 2454 . 16 8276 . 102 8276 . 102 2454 . 16 8296 . 58 8276 . 302 6572 . 361 8276 . 102 10 225 arctg 200 arctg 200 6572 . 361 2 2 ) ( 2 P B P B P B P B P B P B reducida C B C B P B B C P C C B C B C B P C D y D x BP B C BC C BP D B C y x θ θ θ θ θ θ θ θ 400.001 230.001 170 Y 310 60 250 X P P = + = = + = = = = Δ = = = Δ = = + = = + = = + − = = = = − = = − = Δ Δ − = = 001 . 230 2454 . 16 cos * 698 . 237 cos * 60 2454 . 16 sen * 698 . 237 sen * 698 . 237 693 . 164 sen 0142 . 61 sen * 971 . 152 ) sen( sen 971 . 152 30 150 6788 . 103 400 5666 . 312 2454 . 16 5666 . 312 2454 . 16 0142 . 61 5524 . 51 5666 . 112 5666 . 112 30 150 arctg 200 arctg 200 5524 . 51 1 2 2 ) ( 1 P B P B P B P B P B P B reducida B A A B P B B A B A B A P A D y D x BP B A AB A BP D B A y x θ θ θ θ θ θ
- 34. Resolución con Topcal. CÁLCULO DE TRIANGULACIÓN P.EST P.VIS OBSERV. -1000 (A) 4000 (P) 51.5524 -2000 (B) 4000 (P) 16.2454 -3000 (C) 4000 (P) 361.6572 PUNTO 4000 (P) 1000 2000 310.000 400.000 1000 3000 310.000 400.000 2000 3000 310.000 400.000 COOR. PROMEDIO 310.000 400.000 COOR.X = 310.000 COOR. Y = 400.000 N.PUNTO - X - - Y - NOMBRE 1000 100.000 200.000 A 2000 250.000 170.000 B 3000 475.000 160.000 C 4000 310.000 400.000 P Representación. JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 34
- 35. P-7. Se desea calcular las coordenadas planimétricas de un punto P por Intersección Inversa, observando tres vértices A. B y C con un Teodolito. Las coordenadas absolutas planimétricas de dichos vértices son: A (500 , 100) B (550 , 110) C (610 , 98) Las lecturas realizadas sobre el limbo azimutal son: Visual P-A = 180.45 Visual P-B = 241.45 Visual P-C = 308.45 Resolución Gráfica. PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 35
- 36. Resolución. Primero calculamos los azimutes de los ejes definidos por los vértices: También podemos calcular las distancias reducidas entre los vértices: y los ángulos de arco capaz de los ejes AB y BC. Ahora iniciamos el cálculo de los ángulos en A y en C: Una vez calculados estos ángulos, todos los triángulos están definidos: JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 36 5666 . 112 4334 . 87 12 60 tg 200 tg 200 4334 . 87 10 50 tg tg = = − = Δ Δ − = = = Δ Δ = ac y x ac ac y x ac C B C B C B B A B A B A θ θ D x y D x y A B B C = + = = + = Δ Δ Δ Δ 2 2 2 2 50 990 61188 . . 8495 . 44 2837 . 52 4342 . 7 0585 . 0 arctg * 2 ) ( 0585 . 0 354 . 16 2 1332 . 97 tg ) ( 2 1 tg 1332 . 97 400 8668 . 174 5666 . 112 4334 . 287 354 . 16 ) ( 2 1 tg ) ( 2 1 tg 1303 . 1 0000 . 67 sen * 990 . 50 0000 . 61 sen * 188 . 61 sen * sen * sen sen sen sen sen sen = = − = − = − − = − = − = − − − = + = − = − = − = − + = = = = = C A A C A C B C A B A C A C AB BC C A BC C BP AB A BP C B A B β α θ θ β α β α [ ] 381 . 64 619 . 45 110 619 . 45 7171 . 200 cos * 622 . 45 549.486 0.514 550 X 514 . 0 7171 . 200 sen * 622 . 45 7171 . 200 200 622 . 45 sen sen * P = − = − = = Δ = − = − = = Δ = − − + = = = P P B P B C B P B Y y x C A AB BP β θ θ α α β = − = = − = 241 45 180 45 610000 308 45 24145 67 0000 . . . . . .
- 37. Resolución con Topcal. INTERSECIONES INVERSAS P.EST P.VIS OBSERV. 1000 -1 180.4500 1000 -2 241.4500 1000 -3 308.4500 PUNTO 1000 COORD. PROMEDIO 549.486 64.381 P.EST P.VIS OBSERV. 1000 1 180.4500 1000 2 241.4500 1000 3 308.4500 COOR.X = 549.486 COOR. Y =64.381 N. PUNTO - X - - Y - NOMBRE 1 500.000 100.000 A 2 550.000 110.000 B 3 610.000 98.000 C 1000 549.486 64.381 P Representación. PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 37
- 38. P-8. En una finca agrícola, se quiere construir un pozo en un punto P de coordenadas desconocidas. Desde este punto, se ven perfectamente otros tres A, B y C, de los cuales conocemos su posición mediante las siguientes relaciones: Estacionando con un Teodolito en P, se obtuvieron las siguientes lecturas acimutales: Calcular las coordenadas planimétricas del Pozo. CROQUIS JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 38 993 . 201 6863 . 93 361 . 112 8284 . 76 1000 500 ) ( ) ( = = = = = = reducida C A C A reducida B A B A A A D D Y X θ θ 8132 . 230 7561 . 260 000 . 305 = = = C P B P A P L L L
- 39. Resolución. Los ángulos de arco capaz de los ejes AB y BC, serán: Ahora iniciamos el cálculo de los ángulos en A y en C: PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 39 9429 . 29 8132 . 230 7561 . 260 2439 . 44 7561 . 260 0000 . 305 = − = = − = β α 39.1587 C 50.4070 A = = − = − = − − = − = − = − − − = + = + − = − = − = − + = = = = = = − = Δ Δ − = = + = = + = = + = = + = = = Δ = = Δ = = Δ = = Δ = − − + = = 2483 . 11 08857 . 0 arctg * 2 ) ( 08857 . 0 5761 . 9 2 5657 . 89 tg ) ( 2 1 tg 5657 . 89 400 2475 . 236 400 8284 . 276 0759 . 113 5761 . 9 ) ( 2 1 tg ) ( 2 1 tg 2332 . 1 9429 . 29 sen * 361 . 112 2439 . 44 sen * 062 . 98 sen * sen * sen sen sen sen sen sen 0759 . 113 20 96 arctg 200 arctg 200 1020 20 1000 701 201 500 1040 40 1000 605 105 500 20 6863 . 93 cos * 993 . 201 40 8284 . 76 cos * 361 . 112 201 6863 . 93 sen * 993 . 201 105 8284 . 76 sen * 361 . 112 062 . 98 ) ) 8284 . 76 6863 . 93 cos( * 993 . 201 * 361 . 112 * 2 993 . 201 361 . 112 ) 361 . 112 ( 2 2 ( ) ( A C A C B C A B A C A C AB BC C A BC C BP AB A BP y x Y X Y X y y x x D D D A B C B C B C C B B C A B A C A B A reducida C B reducida C B reducida B A β α θ θ β α β α θ
- 40. Una vez calculados estos ángulos, los dos triángulos están definidos: Resolución gráfica. JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 40 ( ) 1160 120 1040 Y 570.499 34.501 605 X P P = + = = − = + = = Δ − = = Δ = + − = + − − − = = = 120 1775 . 382 cos * 861 . 124 501 . 34 1775 . 382 sen * 861 . 124 1775 . 382 400 8984 . 130 0759 . 113 400 200 861 . 124 sen sen * P B P B C B P B y x C A AB BP β θ θ α
- 41. Resolución con Topcal. INTERSECCIONES INVERSAS P.EST P.VIS OBSERV. 4000 (P) -1000 (A) 305.0000 4000 (P) -2000 (B) 260.7561 4000 (P) -3000 (C) 230.8132 COOR.X =570.500 COOR. Y =1160.000 N. PUNTO - X - - Y - NOMBRE 1000 (A) 500.000 1000.000 A 2000 (B) 605.000 1040.000 B 3000 (C) 701.000 1020.000 C 4000 (P) 570.500 1160.000 P Representación. PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 41
- 42. P-9. Se quiere conocer la posición exacta de un punto M, lugar donde se piensa instalar una antena de un receptor fijo GPS. Utilizando un Teodolito con apreciación de segundo centesimal, se observa a tres vérti- ces de coordenadas perfectamente conocidas y que son: A(10.000,00 ; 7.768,60) B(10.000,00 ; 10.000,00) C(11.555,50 ; 10.000,00) Se tomaron los siguientes datos: (altura del instrumento = 1.60 m.) (cota de A=435.265) ESTACION PUNTO LECTURA m distancia VISADO ACIMUTAL (metros) cenital M A 61.1721 2.1 99.2015 M B 211.2875 M C 294.1025 CROQUIS JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 42
- 43. Resolución. Primero calculamos los ángulos de arco capaz, por medio de las lecturas acimutales desde la estación a los vértices: Operando en ambos triángulos, se tiene: Las coordenadas X, Y, Z del punto M serán: PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 43 0000 . 100 100 200 0000 . 100 arctg 0 5 . 1555 arctg 0000 . 200 0000 . 0 0 arctg 5 . 1555 4 . 2231 4 . 2231 4 . 2231 815 . 82 2875 . 211 1025 . 294 1154 . 150 1721 . 61 2875 . 211 2 2 2 2 2 2 = − = − = = ∞ = = = = = = = Δ + Δ = = = Δ + Δ = = − = = − = C B A B C B A B B A B en Angulo y x BC y x AB θ θ θ θ θ β α 613 . 1277 6761 . 21 cos * 425 . 1355 cos * 639 . 452 6761 . 21 sen * 425 . 1355 sen * 425 . 1355 1154 . 150 sen 7915 . 171 sen * 4 . 2231 sen ) sen( * sen ) sen( 6761 . 21 6761 . 21 0 3936 . 45 2 7175 . 23 0696 . 67 6761 . 21 2 7175 . 23 0696 . 67 7175 . 23 ) 18846 . 0 arctg( * 2 18846 . 0 0859 . 3 5348 . 33 tg 2 tg 0859 . 3 9588 . 1 1 9588 . 1 1 2 tg 2 tg 0696 . 67 100 815 . 82 1154 . 150 400 400 9588 . 1 1154 . 150 sen * 5 . 1555 815 . 82 sen * 4 . 2231 sen * sen * sen sen sen sen * sen sen * + = = = Δ + = = = Δ = = + = = + = + = + = = + = = − = − = − = − − = − = − − = − + = − + = − − − = + = + + + + = = = = = M A M A M A M A B A M A AM y AM x A AB AM AB A AM A C A C A C A C A C A C A B C A BC AB A C C BC A AB MB θ θ α α α α θ θ β α α β β α 418.642 9046.213 10452.639 = − = = + − + = + − + = Δ = + = Δ + = = + = Δ + = − 623 . 16 265 . 435 623 . 16 121 . 0 1 . 2 6 . 1 2015 . 99 tg 425 . 1355 ) * 10 * 6 . 6 ( ) ( 613 . 1277 60 . 7768 639 . 452 10000 2 8 M A M M A A M M A A M Z AM m i t z y Y Y x X X
- 44. Resolución con TOPCAL. INTERSECCIONES INVERSAS P.EST P.VIS OBSERV. 1000 -1 61.1721 1000 -2 211.2875 1000 -3 294.1025 PUNTO 1000 (M) COORD. PROMEDIO 10452.639 9046.215 COOR.X = 10452.639 COOR. Y = 9046.215 N. PUNTO - X - - Y - NOMBRE 1 10000.000 7768.600 A 2 10000.000 10000.000 B 3 11555.500 10000.000 C 1000 10452.639 9046.21 M Representación. JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 44
- 45. P-10. Una explotación ganadera se asienta sobre una finca definida por cuatro vértices, denominados A, B, C y D. Los vértices A y B coinciden con vértices geodésicos y se sabe que la distancia entre ellos es de 5 Km. exactamente y que el acimut de A a B es 110.00 grados centesimales. Las coordenadas (x, y) del vértice A son (10000 ; 10000). Los vértices C y D tienen coordenadas planimétricas desconocidas y para determinarlas se estacionó con un Teodolito de segundos en ambos vértices, tomándose la siguiente libreta de campo: ESTACION PUNTO VISADO Lectura Acimutal (grados centesimales) C A 0.0038 B 84.9238 D 120.4238 D B 171.1220 C 30.1170 A 83.3670 Calcular las coordenadas planimétricas de los vértices B, C y D. CROQUIS PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 45
- 46. Resolución. α1 = LC D - LC A = 120.4238 - 0.0038 = 120.42 α2 = LD A - LD C = 83.3670 - 30.1170 = 53.25 β1 = LC D - LC B = 120.4238 - 84.9238 = 35.5000 β2 = LD B - LD C = 171.1220 - 30.1170 = 141.005 En la figura semejante: En la realidad: JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 46 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = = = − = − − + = = = = = + = = = = = = + = = 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 sen * arcsen sen sen sen 5305 . 2 cos * * * 2 4669 . 1 505 . 176 sen 5000 . 35 sen 2167 . 2 505 . 176 sen 005 . 141 sen sen 1 sen sen 3613 . 2 6700 . 173 sen 4200 . 120 sen 8469 . 1 6700 . 173 sen 2500 . 53 sen sen 1 sen sen β α γ γ γ β α β α β β β β α α α α AB BC BC AC AB BC AC BC AC AB BD BC BD BC AD AC AD AC ( ) [ ] 50.2145 64.8655 = − + − = = = 1 1 1 2 1 200 8515 . 0 arcsen β α γ γ γ 3649.332 1975.924 = = = = = 924 . 1975 * 8469 . 1 5305 . 2 5000 . 5000 C A D C B A D D m D
- 47. Representación. PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 47 6777.609 13374.167 6631.415 11403.659 9217.828 14938.442 = + = = + = = = = Δ = = = Δ = + = + = = − = = + = − = = = Δ + = = = Δ = + = + = = − = = + = − = = = Δ + = = = Δ 194 . 146 415 . 6631 508 . 1970 659 . 11403 194 . 146 2855 . 95 cos * 924 . 1975 cos * 508 . 1970 2855 . 95 sen * 924 . 1975 sen * 2855 . 95 4200 . 120 8655 . 374 585 . 3368 10000 659 . 1403 10000 585 . 3368 8655 . 174 cos * 332 . 3649 cos * 659 . 1403 8655 . 174 sen * 332 . 3649 sen * 8655 . 174 8655 . 64 0000 . 110 172 . 782 10000 442 . 4938 10000 172 . 782 00 . 110 cos * 5000 cos * 442 . 4938 00 . 110 sen * 5000 sen * ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( D D D C reducida D C D C reducida D C A C D C C C C A reducida C A C A reducida C A B A C A B B B A reducida B A B A reducida B A Y X D y D x Y X D y D x Y X D y D x θ θ α θ θ θ θ γ θ θ θ θ
- 48. P-11. Se quiere replantear una alineación paralela a un muro AB (que es un límite de finca) a partir de un punto P. Se dispone sólamente de un Teodolito y no se tiene ninguna forma de medir distancias. Para ello se sitúa un punto M, tal que la dirección PM sea aproximadamente paralela al muro y se estaciona con el Teodolito en ambos puntos P y M, tomando las siguientes lecturas acimutales: Estación Punto visado Lectura Horizontal P M 0.0027 A 344.9605 B 366.8890 M P 399.9950 A 48.1200 B 88.2590 Calcular el ángulo que forma la alineación PM con la dirección buscada. CROQUIS JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 48
- 49. Resolución. Observamos que el planteamiento es muy similar a una intersección inversa tipo Hansen, en la que sólo inter- vienen ángulos. Construyendo una figura semejante en la que PM tuviera una longitud igual a 1, se tendría: Ecuación 1 α1 = LP M - LP A = 0.0027 - 344.9605 = 55.0422 α2 = LM A - LM P = 48.1200 - 399.9950 = 48.1250 β1 = LP M - LP B = 0.0027 - 366.8890 = 33.1137 β2 = LM B - LM P = 88.2590 - 399.9950 = 88.2640 En la figura semejante: La paralela por P, debe formar un ángulo con PA de 200 - 144.2526 = 55.7474 Como PM forma un ángulo con PA de α1=55.0422, la diferencia entre ambos es el ángulo que nos piden: δ= 55.7474 - 55.0422 = 0.7052 PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 49 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2526 . 144 7474 . 55 200 sen * arcsen sen sen sen 45782 . 0 cos * * * 2 5264 . 0 3777 . 121 sen 1137 . 33 sen 0412 . 1 3777 . 121 sen 2640 . 88 sen sen 1 sen sen 7618 . 0 1672 . 103 sen 0422 . 55 sen 6868 . 0 1672 . 103 sen 1250 . 48 sen sen 1 sen sen 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 = − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = = = − = − − + = = = = = + = = = = = = + = = β α γ γ γ β α β α β β β β α α α α AB BP BP AP AB BP AP BP AP AB BM BP BM BP AM AP AM AP
- 50. P-12. Se realizó una nivelación geométrica del eje de un camino por el método del punto medio, entre sus extremos 1 y 4, obteniéndose la siguiente libreta de campo: ESTACION PUNTO Lectura de Espalda Lectura de Frente (mm.) (mm.) A 1 1897 A 2 1876 B 2 2098 B 3 1098 C 3 1138 C 4 1876 Se sabe que el desnivel verdadero entre 1 y 4 es de 25 cm. Calcular cuánto habría que subir o bajar cada punto para que la rasante del nuevo camino a construir, que será totalmente llano, quede a 0.5 metros por enci- ma del punto 1. CROQUIS JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 50
- 51. Resolución. Primero calculamos el desnivel medido entre cada uno de los puntos 1, 2, 3 y 4: Como el desnivel calculado no coincide con el desnivel real entre el punto 1 y 4, la diferencia es el error y dicho error habrá que compensarlo. Este error habrá que compensarlo entre los tres tramos del eje del camino: En el punto 1 la rasante tendrá que elevarse 0.5 metros, según el enunciado. El punto 2 está a 21 mm. por encima del punto 1, por lo que la rasante en ese punto deberá quedar a 500-21 = 479 mm por encima del punto 2. El punto 3 está a 21+981 = 1002 mm. por encima del punto 1, por lo que la rasante en ese punto deberá que- dar a 1002-500 = 502 mm. por debajo del punto 3. El punto 4 está a 250 mm. por encima del punto 1, por lo que la rasante deberá quedar a 500-250 = 250 mm. por encima del punto 4. PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 51 Δ Δ Δ Δ z Visual Visual mm z Visual Visual mm z Visual Visual mm z mm espaldas frente espaldas frente espaldas frente 1 2 2 3 3 4 1897 1876 21 2098 1098 1000 1138 1876 738 283 = − = − = = − = − = = − = − = − = ∑ . . . 33 283 250 mm calculado desnivel verdadero desnivel Errorz − = − = − = . 250 752 981 21 . 752 738 * 1759 33 738 . 981 1000 * 1759 33 1000 . 21 21 * 1759 33 21 * 4 1 4 3 3 2 2 1 mm z on Comprobaci mm z mm z mm z z z error z z compensado compensado compensado calculado z calculado compensado = − + = Δ − = − − = Δ = − = Δ = − = Δ Δ Δ − Δ = Δ ∑
- 52. P-13. Calcular el itinerario de nivelación geométrica cerrado que se adjunta, entre los puntos A, H, B y C. La cota del punto A es de 435,156 m. y el método utilizado es el del punto medio. Lectura de Espalda Lectura de Frente Mira en Superior Medio Inferior Superior Medio Inferior punto A 2263 2152 2041 H 2275 2134 1993 2160 1978 1796 B 1996 1827 1658 1369 1206 1043 C 1516 1372 1228 2861 2706 2551 A 1742 1565 1388 CROQUIS JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 52
- 53. Resolución. Primero calculamos los desniveles parciales de cada uno de los tramos de este itinerario altimétrico cerrado: La compensación de este error, en función del valor de cada desnivel parcial, sería: Comprobación La cota absoluta definitiva de cada uno de los puntos A, H, B y C será: PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 53 ∑ = + = Δ − = − = Δ − = − = Δ + = − = Δ + = − = Δ − = Δ z A C C B B H H A frente de visual espaldas de visual eroor mm z mm z mm z mm z mm z central Hilo central Hilo z . 30 . 193 1565 1372 . 879 2706 1827 . 928 1206 2134 . 174 1978 2152 . 196 193 * 2174 30 193 . 891 879 * 2174 30 879 . 915 928 * 2174 30 928 . 172 174 * 2174 30 174 * ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( mm z mm z mm z mm z z z error z z compensado A C compensado C B compensado B H compensado H A H A z calculado H A compensado H A − = − − = Δ − = − − = Δ + = − = Δ + = − = Δ Δ Δ − Δ = Δ ∑ Δzcompensado s ∑ = + − − = 172 915 891 196 0 ) ( . 156 . 435 196 . 0 352 . 435 . 352 . 435 891 . 0 243 . 436 . 243 . 436 915 . 0 328 . 435 . 328 . 435 172 . 0 156 . 435 . 156 . 435 ón comprobaci como m Z m Z m Z m Z m Z A C B B A = − = = − = = + = = + = = visual de espaldas visual de frente (compensado) (compensado) (compensado) (compensado) (compensado) compensados (calculado)
- 54. P-14. Para levantar una finca que tiene forma rectangular, se hicieron dos estaciones en los puntos A y B utilizando un Taquímetro, (siendo la constante K=100). Se visaron desde ellas los extremos 1, 2, 3 y 4. La libre- ta de campo tomada fue la siguiente: ESTACION PUNTO LECTURA HILOS (mm.) Distancia VISADO AZIMUTAL Cenital (g) Inferior Central Superior (g) A 1 350.238 1065 0648 0230 100 i = 1445 mm. 2 281.062 1917 1506 1095 100 B 116.022 1893 1580 1268 100 B A 202.948 1680 1367 1055 100 i = 1495 mm. 4 359.275 1189 0833 0478 100 3 36.535 2203 1818 1434 100 Calcular las coordenadas planimétricas y altimétricas de los puntos 1, 2, 3 y 4 y de la base B, sabiendo que las de A son (10.000; 10.000; 100) y que las lecturas realizadas desde A estaban orientadas. Hacer la representación gráfica del Plano de esta finca. CROQUIS JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 54
- 55. Resolución. Se nos dice que la Estación A estaba orientada. Por tanto, las lecturas azimutales de esta Estación son direc- tamente azimutes. Lo primero que habrá que hacer es calcular la desorientación de la Estación B, comparando el Azimut de B a A con lo que leímos de B a A: WB = 316.0220 - 202.948 = 113.074 Esta desorientación debemos aplicársela a todas las lecturas azimutales hechas desde B para transformarlas en azimutes: Para calcular los Δx y los Δy, debemos calcular previamente las distancias horizontales de las Estaciones a los puntos radiados: Los Δx y los Δy serán: PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 55 609 . 149 074 . 113 535 . 36 349 . 72 074 . 113 275 . 359 022 . 316 074 . 113 948 . 202 3 4 = + = ≡ + = = + = B B A B θ θ θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 90 . 76 1 * 434 . 1 203 . 2 * 100 10 . 71 1 * 478 . 0 189 . 1 * 100 50 . 62 1 * 055 . 1 680 . 1 * 100 50 . 62 1 * 268 . 1 893 . 1 * 100 20 . 82 1 * 095 . 1 917 . 1 * 100 50 . 83 1 * 230 . 0 065 . 1 * 100 3 4 2 1 = − = = − = = − = = − = = − = = − = B B A B B A A A D D D D D D 042 . 54 609 . 149 cos * 90 . 76 cos * 920 . 29 349 . 72 cos * 10 . 71 cos * 564 . 15 022 . 116 cos * 50 . 62 cos * 094 . 24 062 . 281 cos * 20 . 82 cos * 264 . 59 238 . 350 cos * 50 . 83 cos * 709 . 54 609 . 149 sen * 90 . 76 sen * 498 . 64 349 . 72 sen * 10 . 71 sen * 531 . 60 022 . 116 sen * 50 . 62 sen * 590 . 78 062 . 281 sen * 20 . 82 sen * 822 . 58 238 . 350 sen * 50 . 83 sen * 3 3 4 4 2 2 1 1 3 3 4 4 2 2 1 1 − = = = Δ + = = = Δ − = = = Δ − = = = Δ + = = = Δ + = = = Δ + = = = Δ + = = = Δ − = = = Δ − = = = Δ B reducida B B reducida B B A reducida B A A reducida A A reducida A B reducida B B reducida B B A reducida B A A reducida A A reducida A D y D y D y D y D y D x D x D x D x D x θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
- 56. Los Δz de las Estaciones a los puntos radiados serán: Las coordenada absolutas X, Y, Z de las Estaciones y de los puntos radiados serán: XA = 10000 X1 = 10000 - 58.822 = 9941.178 X2 = 10000 - 78.590 = 9921.410 XB = 10000 + 60.531 = 10060.531 X4 = 10060.531 + 64.498 = 10125.029 X3 = 10060.531 + 54.709 = 10115.240 YA = 10000 Y1 = 10000 + 59.264 = 10059.264 Y2 = 10000 - 24.094 = 9975.906 YB = 10000 - 15.564 = 9984.436 Y4 = 9984.436 + 29.92 = 10014.356 Y3 = 9984.436 - 54.042 = 9930.394 ZA = 100 Z1 = 100 + 0.797 = 100.797 Z2 = 100 - 0.061 = 99.939 ZB = 100 - 0.132 = 99.868 Z4 = 99.868 + 0.662 = 100.530 Z3 = 99.868 - 0.323 = 99.545 JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 56
- 57. RESOLUCIÓN CON TOPCAL. P O L I G O N A L -NE- -NV- -H- -V- -DG- -M- -I- -AZ- -DR- -DES- 1001 1002 116.0220 100.0000 62.500 1.58 1.45 116.0220 62.500 -0.135 1002 1001 202.9480 100.0000 62.500 1.37 1.50 316.0220 62.500 0.128 1002 1001 202.9480 100.0000 62.500 1.37 1.50 316.0220 62.500 0.128 1001 1002 116.0220 100.0000 62.500 1.58 1.45 116.0220 62.500 -0.135 Longitud de la poligonal 125.0 Error de cierre angular = 0.0000 Error de cierre en —X— 0.000 Error de cierre en —Y— 0.000 Error de cierre en —Z— 0.000 -NE- -X- -Y- -Z- -w- -NOMBRE- 1001 10000.000 10000.000 100.000 0.0000 A 1002 10060.531 9984.436 99.868 113.0740 B 1001 10000.000 10000.000 100.000 400.0000 A CALCULO EN COORDENADAS PLANAS ESCALA 1.000000 (MEJOR CALCULAR LA RADIACION DESDE LA ESTACION A, Y DESPUES CALCULAR LA DESORIENTACION DE LA ESTACION B, CON LA OPCION DESORIENTACIONES/HERRAMIENTAS Y DESPUES RADIAR DESDE LA ESTACION B) RADIACION ESTACION 1001 A X Y Z w 10000.000 10000.000 100.000 0.0000 PTO H V D M I DR AZ X Y Z 1 350.2380 100.0000 83.50 0.65 1.45 83.50 350.2380 9941.178 10059.264 100.797 2 281.0620 100.0000 82.20 1.51 1.45 82.20 281.0620 9921.410 9975.906 99.939 ESTACION 1002 B X Y Z w 10060.531 9984.436 99.868 113.0740 PTO H V D M I DR AZ X Y Z 4 359.2750 100.0000 71.10 0.83 1.50 71.10 72.3490 10125.029 10014.356 100.530 3 36.5350 100.0000 76.90 1.82 1.50 76.90 149.6090 10115.241 9930.394 99.546 PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 57
- 59. P-15. Una finca agrícola en el término municipal de Viana (Navarra), queda definida planimétricamente por cuatro vértices (2, 4 , 7 y 9). Los vértices 2 y 9, definen la línea que limita con el camino “La Senda”. Los dos propietarios de la finca, quieren dividirla en dos partes iguales, pero de forma que tengan la misma longi- tud de entrada desde el camino. Para el levantamiento de la misma, se han fijado cuatro estaciones interiores y trabajando con un Taquímetro autorreductor, se ha tomado la siguiente libreta de campo: K=100 Altura PUNTO Lectura Altura de Hilo Hilo Est. aparato VISADO azimutal horizonte Superior inferior i (m.) (g) α α (%) m (mm.) (mm.) A 1.620 2 172.1270 - 0.20 0500 1586 1.620 B 327.3040 - 1.38 0600 1736 1.620 D 35.2050 - 2.32 0300 1615 B 1.553 A 130.1810 - 0.20 0700 1835 1.553 4 278.6990 + 0.43 0400 1552 1.553 C 37.9000 - 2.29 0200 1424 C 1.420 B 197.9125 + 1.50 1800 3024 1.420 7 367.7000 - 0.19 2500 3984 1.420 D 85.4000 + 0.09 1200 2350 D 1.560 C 394.9100 - 0.33 1400 2550 1.560 9 119.3390 - 0.11 2400 3835 1.560 A 307.5780 + 0.89 1000 2314 Calcular la libreta aplicando todas las compensaciones necesarias y obtener las coordenadas planimétricas y altimétricas de los vértices que definen la finca. Calcular la superficie total de la finca. Obtener las coordenadas de los puntos extremos de la línea de partición PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 59
- 60. Resolución. Por los datos que se nos dan, se deduce que ninguna de las estaciones estaba orientada. Por tanto, para pro- ceder a su resolución, consideraremos fija la estación A y desorientaremos todas las demás respecto de ésta. Primero calculamos el error angular de cierre de la poligonal o itinerario, formado por las cuatro estaciones: Los acimutes compensados de orientación de los ejes de la poligonal, serán: Las distancias medias de los ejes, serán: JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 60 0265 . 0 1785 . 35 2050 . 35 1785 . 35 1785 . 235 3995 . 72 5780 . 307 3995 . 72 9100 . 394 5105 . 322 5105 . 322 5105 . 122 1105 . 37 4000 . 85 1105 . 37 9125 . 197 0230 . 235 0230 . 235 0230 . 35 877 . 2 9000 . 37 877 . 2 1810 . 130 3040 . 127 3040 . 127 3040 . 327 = − = = = − = + = − = − = − = = = + = + = = − = − = = = − = + = − = − = − = = = α θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Error w L L w w L L w w L L w D A D A D A D C D C D D C D C D C D C B C B C C B C B C B C B A B A B B A B B A 235.2050 122.5304 35.0362 327.3106 = + = = + = = + = = + = = = = 4 4 * 0265 . 0 1785 . 235 4 3 * 0265 . 0 5105 . 122 4 2 * 0265 . 0 0230 . 35 0066 . 0 3040 . 327 0066 . 0 4 0265 . 0 4 ) ( ) ( ) ( ) ( compensado A D compensado D C compensado C B compensado B A Error eje por ón Compensaci θ θ θ θ α ( ) ( ) ( ) ( ) . 55 . 113 2 5 . 113 6 . 113 . 5 . 113 1000 700 1835 100 1000 sup inf . 6 . 113 1000 600 1736 100 1000 sup inf ) ( m AB m erior Hilo erior Hilo K BA m erior Hilo erior Hilo K AB media = + = = − = − = = − = − = (compensado) (compensado) (compensado) (compensado) sup erior sup erior
- 61. Con las distancias y los acimutes ya calculados, se pueden calcular los Δx e Δy de los ejes del itinerario: Los errores lineales serán: PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 61 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 45 . 131 2 5 . 131 4 . 131 . 5 . 131 1000 300 1615 100 1000 superior inferior . 4 . 131 1000 1000 2314 100 1000 superior inferior . 00 . 115 2 0 . 115 0 . 115 . 0 . 115 1000 1400 2550 100 1000 superior inferior . 0 . 115 1000 1200 2350 100 1000 superior inferior . 40 . 122 2 4 . 122 4 . 122 . 4 . 122 1000 1800 3024 100 1000 superior inferior . 4 . 122 1000 200 1424 100 1000 superior inferior ) ( ) ( ) ( m DA m Hilo Hilo K AD m Hilo Hilo K DA m CD m Hilo Hilo K DC m Hilo Hilo K CD m BC m Hilo Hilo K CB m Hilo Hilo K BC media media media = + = = − = − = = − = − = = + = = − = − = = − = − = = + = = − = − = = − = − = 858 . 111 2050 . 235 cos * 45 . 131 cos * 043 . 69 2050 . 235 sen * 45 . 131 sen * 855 . 39 5304 . 122 cos * 00 . 115 cos * 873 . 107 5304 . 122 sen * 00 . 115 sen * 327 . 104 0362 . 35 cos * 40 . 122 cos * 013 . 64 0362 . 35 sen * 40 . 122 sen * 232 . 47 3106 . 327 cos * 55 . 113 cos * 261 . 103 3106 . 327 sen * 55 . 113 sen * − = = = Δ − = = = Δ − = = = Δ + = = = Δ + = = = Δ + = = = Δ + = = = Δ − = = = Δ A D A D A D A D D C D C D C D C C B C B C B C B B A B A B A B A DA y DA x CD y CD x BC y BC x AB y AB x θ θ θ θ θ θ θ θ 182 . 303 858 . 111 855 . 39 237 . 104 232 . 47 190 . 344 043 . 69 873 . 107 013 . 64 261 . 103 154 . 0 858 . 111 855 . 39 327 . 104 232 . 47 418 . 0 043 . 69 873 . 107 013 . 64 261 . 103 = + + + = Δ = + + + = Δ = − = − − + = Δ = − = − + + − = Δ ∑ ∑ ∑ ∑ y x Error y Error x y x
- 62. Podemos compensar los errores lineales de la siguiente forma: Como no conocemos ninguna coordenada absoluta de ninguna de las estaciones, vamos a partir de unas coor- denadas para la estación A (5000 ; 5000 ; 200). Las coordenadas planimétricas de dichas estaciones serán: (se verán discrepancias con los resultados de TOPCAL, por aplicar este programa distinto sistema de compensa- ción lineal) JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 62 0 801 . 111 835 . 39 380 . 104 256 . 47 801 . 111 182 . 303 154 . 0 * 858 . 111 858 . 111 835 . 39 182 . 303 154 . 0 * 855 . 39 855 . 39 380 . 104 182 . 303 154 . 0 * 327 . 104 327 . 104 256 . 47 182 . 303 154 . 0 * 232 . 47 232 . 47 * 0 959 . 68 004 . 108 091 . 64 136 . 103 959 . 68 190 . 344 418 . 0 * 043 . 69 043 . 69 004 . 108 190 . 344 418 . 0 * 873 . 107 873 . 107 091 . 64 190 . 344 418 . 0 * 013 . 64 013 . 64 136 . 103 190 . 344 418 . 0 * 261 . 103 261 . 103 * ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = − − + + = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = Δ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = Δ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = Δ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = Δ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ + Δ = Δ = − + + − = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = Δ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = Δ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = Δ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = Δ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ + Δ = Δ ∑ ∑ ón Comprobaci y y y y y Error y y y ón Comprobaci x x x x x Error x x x compensado A D compensado D C compensado C B compensado B A y B A calculado B A compensado B A compensado A D compensado D C compensado C B compensado B A x B A calculado B A compensado B A 5111.801 5151.636 5047.256 5000 5068.959 4960.955 4896.864 5000 = − = = + = = + = = = + = = + = = − = = 835 . 39 636 . 5151 380 . 104 256 . 5047 256 . 47 5000 004 . 108 955 . 4960 091 . 64 864 . 4896 136 . 103 5000 D C B A D C B A Y Y Y Y X X X X
- 63. Vamos a calcular ahora las cotas absolutas de las estaciones: PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 63 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 730 . 1 2 731 . 1 729 . 1 731 . 1 3 . 0 62 . 1 0232 . 0 * 5 . 131 tg * 729 . 1 0 . 1 56 . 1 0089 . 0 * 4 . 131 tg * 272 . 0 2 220 . 0 324 . 0 220 . 0 4 . 1 56 . 1 0033 . 0 * 115 tg * 324 . 0 2 . 1 42 . 1 0009 . 0 * 115 tg * 453 . 1 2 456 . 1 450 . 1 456 . 1 8 . 1 420 . 1 0150 . 0 * 4 . 122 tg * 450 . 1 2 . 0 553 . 1 0229 . 0 * 4 . 122 tg * 587 . 0 2 626 . 0 548 . 0 626 . 0 7 . 0 553 . 1 002 . 0 * 50 . 113 tg * 548 . 0 6 . 0 62 . 1 0138 . 0 * 60 . 113 tg * z m i AD m i t z m i DA m i t z z m i DC m i t z m i CD m i t z z m i CB m i t z m i BC m i t z z m i BA m i t z m i AB m i t z B A D A D A A D A D D C C D C D D C D C C B B C B C C B C B B A A B A B B A B A + = + + = Δ − = − + − = − + = − + = Δ + = − + = − + = − + = Δ + = + + = Δ − = − + − = − + = − + = Δ + = − + = − + = − + = Δ − = − − = Δ + = − + = − + = − + = Δ − = − + − = − + = − + = Δ − = − − = Δ + = − + − = − + = − + = Δ − = − + − = − + = − + = Δ α α α α α α α α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( 200 746 . 1 254 . 198 254 . 198 275 . 0 979 . 197 979 . 197 439 . 1 418 . 199 418 . 199 582 . 0 200 200 746 . 1 042 . 4 038 . 0 * 730 . 1 730 . 1 275 . 0 042 . 4 038 . 0 * 272 . 0 272 . 0 439 . 1 042 . 4 038 . 0 * 453 . 1 453 . 1 582 . 0 042 . 4 038 . 0 * 587 . 0 587 . 0 042 . 4 730 . 1 272 . 0 453 . 1 587 . 0 . 038 . 0 730 . 1 272 . 0 453 . 1 587 . 0 : serán ón, compensaci su y cota en errores Los 730 . 1 2 731 . 1 729 . 1 731 . 1 3 . 0 62 . 1 0232 . 0 * 5 . 131 tg * 729 . 1 0 . 1 56 . 1 0089 . 0 * 4 . 131 tg * 272 . 0 2 220 . 0 324 . 0 220 . 0 4 . 1 56 . 1 0033 . 0 * 115 tg * 324 . 0 2 . 1 42 . 1 0009 . 0 * 115 tg * 453 . 1 2 456 . 1 450 . 1 456 . 1 8 . 1 420 . 1 0150 . 0 * 4 . 122 tg * 450 . 1 2 . 0 553 . 1 0229 . 0 * 4 . 122 tg * 587 . 0 2 626 . 0 548 . 0 626 . 0 7 . 0 553 . 1 002 . 0 * 50 . 113 tg * 548 . 0 6 . 0 62 . 1 0138 . 0 * 60 . 113 tg * ) ( ) ( ) ( ) ( ón comprobaci Z Z Z Z Z z z z z z m z z m i AD m i t z m i DA m i t z z m i DC m i t z m i CD m i t z z m i CB m i t z m i BC m i t z z m i BA m i t z m i AB m i t z A D C B A compensado A D compensado D C compensado C B compensado B A B A D A D A A D A D D C C D C D D C D C C B B C B C C B C B B A A B A B B A B A = + = = + = = − = = − = = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = Δ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = Δ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = Δ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = Δ = + + + = Δ − = + + − − = Δ + = + + = Δ − = − + − = − + = − + = Δ + = − + = − + = − + = Δ + = + + = Δ − = − + − = − + = − + = Δ + = − + = − + = − + = Δ − = − − = Δ + = − + = − + = − + = Δ − = − + − = − + = − + = Δ − = − − = Δ + = − + − = − + = − + = Δ − = − + − = − + = − + = Δ ∑ ∑ α α α α α α α α (compensado) (compensado) (compensado) (compensado)
- 64. Por último, vamos a calcular las coordenadas X, Y, Z de los puntos radiados: JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 64 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 197.256 196.617 201.066 200.903 5218.000 5299.61 5004.560 4901.613 5165.469 4972.189 4789.868 5045.977 B = − = = − = = + = = + = = + = = + = = − = = − = = + = = + = = − = = + = − = = − + − − = − + = − + = Δ + = − = = Δ + = − = = Δ − = = − + − − = − + = − + = Δ + = − = = Δ + = − = = Δ + = = − + − = − + = − + = Δ − = − = = Δ − = − = = Δ + = = − + − − = − + = − + = Δ − = − = = Δ + = − = = Δ = − + = − + = + = ≡ − + = − + = + = = − + = − + = + = = − + = − + = + = 998 . 0 254 . 198 362 . 1 979 . 197 648 . 1 418 . 199 903 . 0 200 199 . 106 801 . 5111 974 . 147 636 . 5151 696 . 42 256 . 5047 387 . 98 5000 51 . 96 959 . 5068 234 . 11 955 . 4960 996 . 106 864 . 4896 977 . 45 5000 m. 998 . 0 4 . 2 56 . 1 0011 . 0 * 4 . 2 835 . 3 * 100 tg * * 199 . 106 9594 . 46 cos * 4 . 2 835 . 3 * 100 cos * * 510 . 96 9594 . 46 sen * 4 . 2 835 . 3 * 100 sen * * m. 362 . 1 5 . 2 42 . 1 0019 . 0 * 5 . 2 984 . 3 * 100 tg * * 974 . 147 8237 . 4 cos * 5 . 2 984 . 3 * 100 cos * * 234 . 11 8237 . 4 sen * 5 . 2 984 . 3 * 100 sen * * m. 648 . 1 4 . 0 553 . 1 0043 . 0 * 4 . 0 552 . 1 * 100 tg * * 696 . 42 8286 . 275 cos * 4 . 0 552 . 1 * 100 cos * * 996 . 106 8286 . 275 sen * 4 . 0 552 . 1 * 100 sen * * m. 903 . 0 5 . 0 62 . 1 002 . 0 * 5 . 0 586 . 1 * 100 tg * * 387 . 98 170 . 172 cos * 5 . 0 586 . 1 * 100 cos * * 977 . 45 170 . 172 sen * 5 . 0 586 . 1 * 100 sen * * 9594 . 46 9100 . 394 5304 . 322 3390 . 119 8237 . 4 9125 . 197 0362 . 235 7000 . 367 8286 . 275 1810 . 130 3106 . 127 6990 . 278 170 . 172 2050 . 35 2050 . 35 170 . 172 9 7 4 2 9 7 4 2 9 7 4 2 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 9 9 9 7 7 7 4 4 4 2 2 2 Z Z Z Z Y Y Y Y X X X X m i l K m i t z l K y l K x m i l K m i t z l K y l K x m i l K m i t z l K y l K x m i l K m i t z l K y l K x L L w L L L w L L L w L L L w L D D D D D C C C C C B B B B B A A A A A C D C D D D D D B C B C C C C C A B A B B B B D A D A A A A A α θ θ α θ θ α θ θ α θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
- 65. Resolución con Topcal. Antes de introducir los datos a TOPCAL, debemos calcular las distancias cenitales en grados centesimales y las distancias geométricas entre las estaciones. La libreta de campo a introducir será: E P acimutal cenital D m i 1001 2 172.1270 100.1273 108.600 0.500 1.620 1001 1002 327.3040 100.8785 113.611 0.600 1.620 1001 1004 35.2050 101.4767 131.535 0.300 1.620 1002 1001 130.1810 100.1273 113.500 0.700 1.553 1002 4 278. 6990 99.7263 115.200 0.400 1.553 1002 1003 37.9000 101.4576 122.432 0.200 1.553 1003 1002 197.9125 99.0451 122.413 1.800 1.420 1003 7 367.7000 100.1210 148.400 2.500 1.420 1003 1004 85.4000 99.9427 115.000 1.200 1.420 1004 1003 394.9100 100.2101 115.001 1.400 1.560 1004 9 119.3390 100.0700 143.500 2.400 1.560 1004 1001 307.5780 99.4334 131.405 1.000 1.560 P O L I G O N A L -NE- -NV- -H- -V- -DG- -M- -I- -AZ- -DR- -DES- 1001 1002 327.3040 100.8785 113.611 0.60 1.62 327.3106 113.600 -0.547 1002 1001 130.1810 100.1273 113.500 0.70 1.55 127.3106 113.500 0.627 1002 1003 37.9000 101.4576 122.432 0.20 1.55 35.0362 122.400 -1.449 1003 1002 197.9125 99.0451 122.413 1.80 1.42 235.0363 122.399 1.457 1003 1004 85.4000 99.9427 115.000 1.20 1.42 122.5304 115.000 0.324 1004 1003 394.9100 100.2101 115.001 1.40 1.56 322.5304 115.000 -0.219 1004 1001 307.5780 99.4334 131.405 1.00 1.56 235.2050 131.400 1.731 1001 1004 35.2050 101.4767 131.535 0.30 1.62 35.2050 131.500 -1.730 Longitud de la poligonal 482.4 Error de cierre angular = 0.0265 Error de cierre en —X— 0.417 Error de cierre en —Y— 0.154 Error de cierre en —Z— 0.038 -NE- -X- -Y- -Z- -w- -NOMBRE- 1001 5000.000 5000.000 200.000 0.0000 ESTACION A 1002 4896.838 5047.268 199.422 397.1296 ESTACION B 1003 4960.957 5151.634 197.978 37.1238 ESTACION C 1004 5068.929 5111.816 198.259 327.6204 ESTACION D 2 5046.044 4901.644 200.903 4 4789.842 5004.572 201.070 7 4972.190 5299.608 196.616 9 5165.439 5218.014 197.261 PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 65
- 66. Cálculo de la partición. Realizaremos el cálculo partiendo de las coordenadas obtenidas por TOPCAL. Superficie de la finca, con TOPCAL: N.PUNTO -X- -Y- -D- 2 5046.044 4901.644 276.104 4 4789.842 5004.572 346.839 7 4972.190 5299.608 209.768 9 5165.439 5218.014 338.150 2 5046.044 4901.644 0.000 SUPERFICIE = 82618.737 PERIMETRO = 1170.861 Superficie a segregar: Coordenadas del punto intermedio entre 2 y 9: Aplicamos la siguiente fórmula en la zona segregada: JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 66 075 . 169 185 . 158 698 . 59 104 . 276 928 . 102 202 . 256 6539 . 98 6805 . 75 400 9734 . 22 928 . 102 202 . 256 arctg 400 370 . 316 395 . 119 arctg 0770 . 89 2425 . 35 6805 . 75 200 036 . 295 348 . 182 arctg 928 . 102 202 . 256 arctg 200 829 . 5059 2 014 . 5218 644 . 4901 742 . 5105 2 439 . 5165 044 . 5046 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 9 2 7 4 2 4 = + = Δ + Δ = = + = Δ + Δ = ≡ ≡ + − = + − = − = = = − − = − − = − = = + = = + = y x D y x D Y X P P P θ θ β θ θ α 2 m 37 . 309 . 41 737 . 82618 * 2 1 = ( ) ( ) ( ) 5132.157 4868.697 D D Q 4 Q 4 = + = Δ + = = + = Δ + = = = = − − = + − − = + − + = 2425 . 35 cos * 987 . 149 572 . 5004 2425 . 35 sen * 987 . 149 842 . 4789 987 . 149 6666 . 239 8888 . 35946 19153 . 0 * 075 . 169 9853 . 0 * 104 . 276 9998 . 0 * 104 . 276 * 075 . 169 37 . 41309 * 2 sen * sen * sen 2 total) superficie la de mitad la a igual segregar, a superficie la S (siendo sen * * sen sen * * 2 4 4 4 4 2 2 4 2 4 2 2 4 2 4 2 2 4 2 Q Q Q Q P P Q P P y Y Y x X X m D D ‚ * *D D S D D ‚ * *D D D S β α α β α α
- 67. Representación. PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 67
- 68. P-16. Se conocen las coordenadas planimétricas de los vértices extremos de solar, donde se piensa instalar una industria conservera: M (5000,000 ; 7500,000) N(6700,000 ; 7700,000) R (5890,053 ; 6254,426) S(6850,823 ; 6574,484) Por decisión de los propietarios este solar hay que dividirlo en dos partes iguales, pero la línea de división debe ser paralela a la alineación R-N. Calcular las coordenadas X,Y de los puntos que definen dicha partición. CROQUIS JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 68
- 69. Resolución. Observando el croquis, se puede deducir que la línea de partición estará sobre el triángulo MNR y para cal- cular su posición será necesario al menos obtener las distancias MN y MR, la superficie del triángulo MNR y la superficie total de la parcela. Las superficies las calcularemos por la fórmula del semiperímetro, deduciendo pre- viamente las longitudes de los lados a través de las coordenadas. La superficie a segregar será: El problema se reduce ahora a segregar una superficie de 856280 m2 de un triángulo de 1147743.1 m2 . PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 69 . 1 . 1712560 564817 1 . 1147743 564817 6195 . 245 * 9565 . 889 * 0585 . 767 * 6345 . 1902 1 . 1147743 8035 . 792 * 9205 . 918 * 0945 . 738 * 8185 . 2449 . 015 . 1657 574 . 1445 947 . 809 . 678 . 1012 058 . 320 770 . 960 . 576 . 1135 516 . 1125 823 . 150 . 898 . 1530 574 . 1245 053 . 890 . 724 . 1711 200 1700 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m Total Superficie m Superficie m Superficie m y x RN m y x RS m y x NS m y x MR m y x MN RNS MNR = + = = = = = = + = Δ + Δ = = + = Δ + Δ = = + = Δ + Δ = = + = Δ + Δ = = + = Δ + Δ = . 856280 2 1712560 2 1 2 m Total Superficie = = M MR MN SMNR sen * * * 2 1 = M MP MP S P MP sen * * * 2 1 2 1 2 1 = 493 . 1478 3404 . 1 724 . 1711 306 . 1322 3404 . 1 898 . 1530 3404 . 1 898 . 1530 724 . 1711 856280 1 . 1147743 * * 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 = = = = = = = = = = MP MP MP MP MP MR MP MN MP MP MR MN S S P MP MNR
- 70. Las coordenadas de los puntos P1 y P2 serán: Representación. JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 70 7672.750 6468.366 6424.141 5768.779 = + = Δ + = = + = Δ + = = − = Δ + = = + = Δ + = + = = = Δ + = = = Δ − = = = Δ + = = = Δ = = Δ Δ = = − = Δ Δ − = 750 . 172 7500 366 . 1468 5000 859 . 1075 7500 779 . 768 5000 750 . 172 5446 . 92 cos * 493 . 1478 cos * 366 . 1468 5446 . 92 sen * 493 . 1478 sen * 859 . 1075 5016 . 160 cos * 306 . 1322 cos * 779 . 768 5016 . 160 sen * 306 . 1322 sen * 5446 . 92 200 1700 arctg arctg 5016 . 160 574 . 1245 053 . 890 arctg 200 arctg 200 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 P M M P P M M P P M M P P M M P R M P M P M P M R M P M R M P M N M N M P M R M R M R M y Y Y x X X y Y Y x X X MP y MP x MP y MP x y x y x θ θ θ θ θ θ
- 71. P-17. Las coordenadas de los cuatro vértices de una finca son: A ( 6000 ; 8500 ) B ( 7700 ; 8700 ) C ( 6890 ; 7254 ) D ( 7951 ; 7574 ) La finca pertenece a dos hermanos y tiene un pozo en el punto A. Deciden proceder a su partición de la siguiente forma: – los dos quieren tener acceso al pozo. – el hermano mayor quiere 2/3 de la finca y debe poseer el punto B. Calcular las coordenadas planimétricas de los puntos fundamentales de la partición. CROQUIS PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 71
- 72. Resolución. Para saber a qué lado del punto D está la línea de partición que nos piden, calcularemos primero la superficie de los dos triángulos ACD y ABD. Lo haremos aplicando la siguiente fórmula a partir de las coordenadas cono- cidas: La superficie a segregar será: y por tanto, la línea de partición quedará den- tro del triángulo ACD. El problema queda reducido a la segregación de una superficie de 595201 m2 , de una par- cela triangular de 803403 m2 , con una línea que pase por el punto A. Para ello, necesitamos conocer la distancia CD: JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 72 [ ] [ ] . 1785603 982200 803403 . 982200 ) 8500 8700 ( * 7951 ) 7574 8500 ( * 7700 ) 8700 7574 ( * 6000 2 1 . 803403 ) 8500 7574 ( * 6890 ) 7254 8500 ( * 7951 ) 7574 7254 ( * 6000 2 1 ) ( 2 1 2 2 1 1 m S m S m S y y x S TOTAL ABD ACD n n n = + = = = − + − + − = = = − + − + − = − = ∑ + − 1 3 1785603 3 595201 2 S m TOTAL = = . . 206 . 1108 * 74085 . 0 74085 . 0 ) ( * ) ( 2 * 2 2 1 1 2 1 1 m 821.014 = = = = + = + = CP CD CP S S S altura CD S S altura CP S θ θ θ C D C P C P C P C P C C P C C P x y x CP y CP X x Y y = = = = = = + = = = + = + = + = = + = + = arctg arctg . * sen . * sen . . * cos . *cos . . . . Δ Δ Δ Δ Δ Δ 1061 320 813517 821014 813517 786 041 821014 813517 237 072 6890 786 041 7254 237 072 X 7676.041 Y 7491.072 P P CD x y m = + = + = Δ Δ 2 2 2 2 1061 320 1108 206 . .
- 73. Representación. PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 73
- 74. P-18. Nos piden realizar la partición de una finca de pastizales, para planificar racionalmente el aprove- chamiento de los mismos por el ganado. La finca viene definida por cuatro vértices Q, R, S y T. Sus coorde- nadas planimétricas son: Q(1100,000 ; 1007,000) R(1152,000 ; 1050,000) S (1047,000 ; 1200,000) T(1092,000 ; 1185,000) La alineación definida por los vértices Q y S linda con el camino “Orto” y la definida por los vértices R y T con el camino “Ocaso”. Determinar la posición de dos puntos m y n, el primero en la alineación Q-S y el segundo en la R-T, de forma que la distancia Q-m sea 1/3 de la R-n y que los puntos Q-m-n-R definan una superficie de 1/4 de la superficie total de la finca. CROQUIS JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 74
- 75. Resolución. Para deducir los ángulos y , calculamos primero los acimutes de los ejes que los definen: Superficie a segregar = 8745 / 4 = 2186.25 m2 . En la superficie a segregar, se puede establecer la siguiente expresión: Conociendo las distancias y los acimutes, podemos calcular las coordenadas de los puntos que definen la par- tición: PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 75 ( ) ) . 857 . 52 619 . 17 * 3 . 201 . 72 . 552 ( . 619 . 17 * 449 . 0 * 646 . 194 * 436 . 61 5 . 4372 * 3 sen * sen * sen * * 25 . 2186 * 2 2 m NR m QS que ya válida es no m QM solucion la m QM QM QM QM QM RN RN QM RN QR QM QR = = = = − + = = + − + = p β α β α Δ Δ Δ Δ x y X Y x y X Y Q M Q M M M R N R N N N = = − = = = − = = + = = = − = = + = − = = + = 17 619 382 9383 4 666 17 619 382 9383 16 990 1100 4 666 1007 16 990 52 857 373 3750 21467 52 857 373 3750 48 301 1152 21467 1050 48 301 . * sen . . . * cos . . . . . * sen . . . * cos . . . . 1095.334 1023.990 1130.533 1098.301 ( ) θ θ θ α θ θ β θ θ Q S Q S Q S Q R Q R Q R R T R T Q S Q R Q S R T R Q i i i arct x y x y arct x y Superficie Total x y y m = − = − = = = = = − = − = = − + = − + = = − = − = = − = − + 400 400 53 193 382 9383 52 43 56 0132 400 400 60 135 373 3750 400 56 0132 382 9383 400 73 0749 373 3750 256 0132 117 3618 1 2 8745 1 1 2 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Σ arctg . arctg arctg . arctg . . . . . . .
- 76. P-19. Dos alineaciones rectas de una acequia, se quieren unir mediante un tramo circular de radio 25 metros. La prolongación de dichas alineaciones converge en un vértice “V”, cuyas coordenadas se des- conocen. Se dispone de las coordenadas planimétricas de un punto “A” en la primera alineación y de un punto “B” en la segunda: A ( 2421.410 , 2175.910) B ( 2541.480 , 2235.340). Además, se sabe que el azimut de A a V es 14.4799 y el azimut de B a V es 315.8065. Calcular: a.- Las coordenadas planimétricas del vértice. b.- “ “ “ del Punto de Entrada a la Curva. c.- “ “ “ del Punto de Salida de la Curva. d.- “ “ “ del Centro. CROQUIS JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 76
- 77. Resolución. Primero calculamos las coordenadas del vértice V: En el triángulo AVB: Tenemos la distancia y el acimut del punto A al vértice, luego podemos calcular sus coordenadas: Ahora pasamos a resolver los elementos propios de la curva: Angulo en el centro = 200 – V = 200 – 98.6734 = 101.3266 = C tg C = tangente de entrada = Te 2 Radio R Te = R * tg C = 25 * tg 50.6633= 25.526 2 Tangente de salida = Ts = Te = 25.526 PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 77 6734 . 98 8065 . 115 4799 . 214 7404 . 70 43 . 59 07 . 120 arctg arctg 973 . 133 43 . 59 07 . 120 2 2 2 2 = − = − = = = Δ Δ = = + = Δ + Δ = B V A V B A B A V y x y x D θ θ θ 133 . 87 6734 . 98 sen 0661 . 45 sen * 973 . 133 sen sen sen 200 6734 . 98 0661 . 45 2605 . 56 0661 . 45 7404 . 270 8065 . 315 2605 . 56 4799 . 14 7404 . 70 = = = = = + + = + + = − = − = = − = − = AV V AB A BV B AV V B A ón Comprobaci B A A B V B V A B A θ θ θ θ 799 . 2260 889 . 84 910 . 2175 058 . 2441 648 . 19 410 . 2421 889 . 84 4799 . 14 cos * 133 . 87 cos * 648 . 19 4799 . 14 sen * 133 . 87 sen * = + = Δ + = = + = Δ + = + = = = Δ + = = = Δ V A A V V A A V V A V A V A V A y Y Y x X X AV y AV x θ θ
- 78. Las coordenadas de los puntos buscados serán: JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 78 2230.293 2459.658 2254.526 2465.801 2235.930 2435.302 = + = Δ + = = + = Δ + = = − = Δ + = = + = Δ + = − = = = Δ + = = = Δ = − = Δ + = = − = Δ + = − = = = Δ − = = = Δ 4799 . 114 cos * 25 930 . 2235 4799 . 114 sen * 25 302 . 2435 273 . 6 799 . 2260 743 . 24 058 . 2441 273 . 6 8065 . 115 cos * 526 . 25 cos * 743 . 24 8065 . 115 sen * 526 . 25 sen * 869 . 24 799 . 2260 756 . 5 058 . 2441 869 . 24 4799 . 214 cos * 526 . 25 cos * 756 . 5 4799 . 214 sen * 526 . 25 sen * C P P C C P P C s P V v s P s P V v s P B v S P V B v P V e P V v e P e P V v e P A v e P V A v e P V e e e e s y Y Y x X X y Y Y x X X s T y s T x y Y Y x X X e T y e T x θ θ θ θ
- 79. P-20. Los bordes de dos caminos rurales lindantes a una parcela interseccionan en un punto V de coor- denadas desconocidas, que coincide con un vértice de dicha parcela. Se quiere replantear un enlace circular entre ambos caminos, con un radio de 50 metros y saber qué superficie se debe expropiar. Se conocen las coordenadas X, Y de dos puntos en cada uno de los bordes: Alineación 1 A(436.20 , 239.81) B(421.41 , 175.91) Alineación 2 C(487.48 , 249.03) D(541.48 , 235.34) El camino tiene 5 metros de anchura y se desea mantenerla a lo largo del enlace circular. Calcular la superficie a expropiar. CROQUIS PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 79
- 80. Resolución. Primero calcularemos las coordenadas del vértice V a partir de las dos alineaciones que nos definen en el enunciado: Una vez calculado V, obtenemos las tangentes de entrada y salida a la curva: JACINTO SANTAMARÍA PEÑA 80 = − = Δ Δ − = = = = Δ Δ = = = = Δ Δ = 8065 . 315 69 . 13 00 . 54 arctg 400 arctg 400 7404 . 270 7404 . 70 43 . 59 07 . 120 arctg arctg 4799 . 214 4799 . 14 9 . 63 79 . 14 arctg arctg B D B A C D D B A B y x y x y x θ θ θ θ θ 248.253 490.545 211.061 429.546 51.053 = − = Δ + = = + = Δ + = − = = = Δ + = = = Δ = − = Δ + = = − = Δ + = − = = = Δ − = = = Δ = = = = = = − = = + 546 . 12 799 . 260 487 . 49 058 . 441 546 . 12 8065 . 115 cos * 053 . 51 cos * 487 . 49 8065 . 115 sen * 053 . 51 sen * 738 . 49 799 . 260 512 . 11 058 . 441 738 . 49 4799 . 214 cos * 053 . 51 cos * 512 . 11 4799 . 214 sen * 053 . 51 sen * 6633 . 50 tg * 50 2 tg * T Radio entrada de tangente 2 tg 3266 . 101 6734 . 98 200 200 e s s s s s s e e e e e e P V V P P V V P D C s P V D C s P V P V V P P V V P B A e P V B A e P V s y Y Y x X X T y T x y Y Y x X X T y T x T R V θ θ θ θ α α α α 260.799 441.058 = + = Δ + = = + = Δ + = + = = = Δ + = = = Δ = = = = = + = Δ + Δ = = − = − = − = = − = − = = − = − = = − = Δ Δ − = = = = Δ Δ = = = = Δ Δ = 889 . 84 91 . 175 648 . 19 41 . 421 889 . 84 4799 . 14 cos * 133 . 87 cos * 648 . 19 4799 . 14 sen * 133 . 87 sen * 133 . 87 6734 . 98 sen 0661 . 45 sen * 973 . 133 sen sen * sen sen 973 . 133 43 . 59 07 . 120 6734 . 98 8065 . 115 4799 . 214 0661 . 45 7404 . 270 8065 . 315 2605 . 56 4799 . 14 7404 . 70 8065 . 315 69 . 13 00 . 54 arctg 400 arctg 400 7404 . 270 7404 . 70 43 . 59 07 . 120 arctg arctg 4799 . 214 4799 . 14 9 . 63 79 . 14 arctg arctg 2 2 2 2 B A B D B D B A V B B V V B B V A B V B A B V B D C D V B V C D A B D B C D D B A B y Y Y x X X BV y BV x V D BD BV V BD D BV y x BD V en Angulo D en Angulo B en Angulo y x y x y x θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
- 81. Ahora calculamos la superficie a expropiar, que coincide con el terreno existente entre las alineaciones V-Pe, V-Ps y la curva circular: Representación. PROBLEMAS RESUELTOS DE TOPOGRAFÍA PRÁCTICA 81 ⎡ ⎤ 2 m 563.11 1989.54 2552.65 expropiar a Superficie = − = = + = = = 2 2 2 s e 2 2 65 . 2552 sen * sen * 2 1 = P - O - P - V ro cuadrilate del Superficie 54 . 1989 400 2500 * * 3266 . 101 400 * * circular sector del Superficie m R V T m R OP P e s e α π π α