![Teorema de integrabilidad.
Si f(x) es acotada en el intervalo cerrado [a, b] y si f(x) es
continua excepto en un número finito de puntos, entonces
f(x) es integrable en [a, b]. En particular si f(x) es continua en
todo el intervalo, entonces es integrable en [a, b].](https://image.slidesharecdn.com/diapositivateoremasm-250823232409-4965430c/85/Diapositiva_Teoremas_Matematicasxxx-pptx-3-320.jpg)
![• Si multiplicamos y dividimos por b – a tenemos:
Recordemos que: ,luego
Corresponde a la suma Riemman
Definición:
Para la función f(x) integrable en [a, b] y sabiendo que la suma de
Riemman tiene limite:](https://image.slidesharecdn.com/diapositivateoremasm-250823232409-4965430c/85/Diapositiva_Teoremas_Matematicasxxx-pptx-5-320.jpg)
![• Ejemplo 1:
• Hallar el valor promedio de la función sen(x) en [0, π]
Solución:
Aplicando la definición tenemos:](https://image.slidesharecdn.com/diapositivateoremasm-250823232409-4965430c/85/Diapositiva_Teoremas_Matematicasxxx-pptx-6-320.jpg)
![• Por la definición de derivada:
Si observamos cuidadosamente la última expresión,
podemos deducir que corresponde a limite del valor
promedio de f(x) en el intervalo (x, x + x]. Como x > 0, por
∆ ∆
teorema de valor medio:](https://image.slidesharecdn.com/diapositivateoremasm-250823232409-4965430c/85/Diapositiva_Teoremas_Matematicasxxx-pptx-9-320.jpg)
![• TEOREMA:
• Sea f(x) una función continúa en un intervalo definido, por
consiguiente es integrable en el intervalo cerrado [a, b], sea P(x)
una antiderivada de f(x) en el intervalo dado, entonces:
Demostración:
• La demostración requiere los conocimientos de teoremas y
definiciones estudiadas anteriormente, por lo cual se debe tener
presente estos aspectos](https://image.slidesharecdn.com/diapositivateoremasm-250823232409-4965430c/85/Diapositiva_Teoremas_Matematicasxxx-pptx-12-320.jpg)
![SEMANA 7. INTEGRACION DEFINIDA [Autoguardado].pptx](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/semana7-241107090009-63ad07ef-thumbnail.jpg?width=560&fit=bounds)
Diapositiva_Teoremas_Matematicasxxx.pptx
- 1. Teoremas
- 2. Concepto Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un contexto lógico. En el contexto del cálculo integral, estos teoremas nos ayudan a comprender los conceptos fundamentales empleados en este campo matemático. Los teoremas proporcionan reglas y principios que nos permiten resolver problemas y comprender el comportamiento de las funciones en relación con el cálculo integral.
- 3. Teorema de integrabilidad. Si f(x) es acotada en el intervalo cerrado [a, b] y si f(x) es continua excepto en un número finito de puntos, entonces f(x) es integrable en [a, b]. En particular si f(x) es continua en todo el intervalo, entonces es integrable en [a, b].
- 4. Valor medio de una función • El concepto de valor medio lo conocemos muy bien, por los principios de Estadística, pero en este caso vamos a calcular el valor promedio de una función f(x) en un intervalo cerrado I. Para este caso escogemos una muestra de puntos en el intervalo I, construyendo la Partición correspondiente, donde: X0 < X1 <X2.... < x; además, x0= a y xn= b. La diferencia entre los puntos es:
- 5. • Si multiplicamos y dividimos por b – a tenemos: Recordemos que: ,luego Corresponde a la suma Riemman Definición: Para la función f(x) integrable en [a, b] y sabiendo que la suma de Riemman tiene limite:
- 6. • Ejemplo 1: • Hallar el valor promedio de la función sen(x) en [0, π] Solución: Aplicando la definición tenemos:
- 7. Primer teorema fundamental del cálculo Para enunciar el teorema, analicemos la siguiente situación: Sea A(x) el área bajo la curva de la función f(t) a dicha función se le llama función acumulada, ya que va acumulando el área bajo la curva dada t a hasta t = x. donde x > 1./ Sabemos que:
- 8. • Por otro lado, sabemos por definición de áreas bajo la curva que: Al relacionar las ecuaciones anteriores: Ahora definamos a B(x) como el límite de la sumatoria, de tal manera que
- 9. • Por la definición de derivada: Si observamos cuidadosamente la última expresión, podemos deducir que corresponde a limite del valor promedio de f(x) en el intervalo (x, x + x]. Como x > 0, por ∆ ∆ teorema de valor medio:
- 10. • Pero cuando Ax tiende a cero, entonces c tiende a x; además, f(x) es continua. Ejemplo:
- 11. Segundo teorema fundamental del cálculo. En cálculo el estudio de los límites es fundamental, dos límites muy importantes en cálculo son: Por medio del teorema fundamental número uno, se estudio la relación que tienen estos dos limites, fundamental para resolver integrales definidas. La existencia de la antiderivada, lo garantiza el primer teorema fundamental del cálculo, la evaluación de dichas integrales se garantiza por medio del segundo teorema fundamental.
- 12. • TEOREMA: • Sea f(x) una función continúa en un intervalo definido, por consiguiente es integrable en el intervalo cerrado [a, b], sea P(x) una antiderivada de f(x) en el intervalo dado, entonces: Demostración: • La demostración requiere los conocimientos de teoremas y definiciones estudiadas anteriormente, por lo cual se debe tener presente estos aspectos
- 14. Ejemplo : Aplicar el I segundo teorema fundamental del cálculo para resolver: Solución :
- 15. Teorema de simetría. • Si f(x) es una función par, entonces: Si f(x) es una función impar, entonces: Demostración: Vamos a demostrar la primera parte del teorema, el segundo se deja como ejercicio.
- 17. ¡Gracias!