Distribución de probabilidades.
- 1. DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES ILDEMAR MENDOZA CI: 19886452 ESCUELA: (71)
- 2. INTRODUCCIÓN: Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar al distribución de frecuencias relativas .Si embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales. Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de distribución de probabilidades. En el presente trabajo, se estudia de manera ágil los diverso tipos de distribución probabilística, caracterizaremos cada distribución, la fundamentación matemática de los diversos resultados no se enfocaran en el presente trabajo; sólo me limitaré al estudio descriptivo de la distribución de probabilidades discretas.
- 3. ¿Qué es una distribución de probabilidad? Muestra todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada resultado. Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:
- 4. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (x). Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo: X Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40). PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X) p(xi)<1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1. E p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1. EJEMPLO Para variable aleatoria discreta Tenemos una moneda que al lanzarla puede dar sólo dos resultados: o cara (50%), o cruz (50%). La siguiente tabla nos muestra los posibles resultados de lanzar dos veces una moneda:
- 5. Al realizar la tabla de distribución del número posible de caras que se obtiene al lanzar una moneda dos veces, obtenemos:
- 6. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (x). Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo. Por ejemplo: x es la Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral (14.8 gr, 12.1, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …, n) PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X) p(x) Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero. El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1.
- 7. ¿CÓMO GENERAMOS UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD? Supongamos que se quiere saber el numero de caras que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda al aire? Es obvio que, el hecho de que la moneda caiga de costado se descarta. Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras, tres caras y cuatro caras. Si realizamos el experimento obtenemos el siguiente espacio muestral: NUMERO DE CARAS FRECUENCIAS DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES 0 1 1/16 1 4 4/16 2 6 6/16 3 4 4/16 4 1 1/16
- 8. OBSERVACION La probabilidad de cada resultado especifico va desde cero hasta uno inclusive VARIABLE ALEATORIA. -Cantidad que es resultado de un experimento y debido al azar, puede tomar valores diferentes. Media de una Distribución de Probabilidades. -Valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria, también es conocido como valor esperado. Esta media es un promedio ponderado, en el que los valores posibles se ponderan mediante sus probabilidades correspondientes de ocurrencia, se calcula con la formula: Donde P(X) es la probabilidad que puede tomar la variable aleatoria X. Varianza. - Mide el grado de dispersión de la distribución de probabilidades, siendo la formula: ...............................................(2) También se aplica la fórmula: ................................................. (3) Desviación Estándar.-Es la raíz cuadrad del varianza, luego: ..................................... (4)
- 9. DISTRIBUCIÓN DE LA PROBABILIDAD BINOMIAL Esta distribución es la que mejor se ajusta a la distribución de probabilidades de variable discreta. Si lanzamos dos monedas al aire, se tiene el siguiente espacio muestral: Si p es la probabilidad de obtener una cara(c) al considerar una sola moneda y q la probabilidad de que salga sello(s); entonces p=q= ½; luego: 2 Con el binomio de Newton deducimos lo siguiente: ………………………………………………………………(5) Luego, la distribución de probabilidad binimial esta dada por: …………………………………….. (6) Donde: p: Probabilidad de éxito de cada ensayo. n: Número de ensayos. x: Número de éxitos.
- 10. OBSERVACIÓN (1) (2)Si p=q=1/2, el histograma de las distribuciones binomiales son simétricas. Si el experimento se repite r veces con n ensayos ; entonces se tiene: ……………………………. (7) Luego se deduce que: ………………………………. (8) MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Esta dada por: ………………………………………. (9) VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ………………………………………………. (10)
- 11. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA Estos son similares a las distribuciones acumuladas, así aplicamos para las distribuciones binomiales. VARIABLE ALEATORIA X P=0.60 Probabilidades 0 0.004 1 0.0037 2 0.0138 3 0.276. 4 0.311 P(x<=2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)
- 12. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD HIPERGEOMETRICA Esta distribución se aplica cuando el muestreo se realiza sin repetición y la probabilidad de éxito no permanece constante de un ensayo a otros calcula mediante la fórmula: ………………………… (12) Donde: N: Tamaño de la población S: Cantidad de éxitos en la población X: Número de éxitos en la muestra. n : Tamaño de la muestra. n>=0.05N
- 13. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON Describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado (tiempo, volumen, temperatura, etc...). La distribución se basa en dos supuestos: 1°) La probabilidad es proporcional a la extensión del intervalo. 2°) Los intervalos son independientes. Esta distribución es una forma límite de la distribución binomial, cuando la probabilidad de éxito es bien pequeña y n es grande ,a esta distribución se llama "Ley de eventos improbables", lo cual significa que la probabilidad de p es bien pequeña .La probabilidad de Poisson es una probabilidad discreta; puesto que se forma por conteo ………………………. (13) ………………………………(14) Donde: Media del número de ocurrencias. : Constante de Euler. x : Número de ocurrencias
- 14. Media -Esta dado por: APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD. En el Laboratorio de Control y Automatización de la FIEE de la UNAC se tiene 16 computadoras, el Jefe de dicho laboratorio reporta el siguiente informe:
- 15. El jefe de laboratorio desea saber cual es la distribución de probabilidad de falla de las máquinas, para tomar acciones de mantenimiento. Nº de Distrib. Prob máquina 1 0.096774194 2 0.064516129 3 0 4 0.193548387 5 0.032258065 6 0 7 0.064516129 8 0.032258065 9 0.032258065 10 0.064516129 11 0 12 0 13 0.032258065 14 0.161290323 15 0.193548387 16 0.032258065
- 16. CONCLUSIONES El jefe del laboratorio, según la distribución de probabilidades que tienden a cero solo hará algunos ajustes. APLICACION DE LA DISTRIBUSION BINOMIAL. El almacenero del laboratorio de Ingeniería Electrónica reporta que de las treinta puntas de prueba de osciloscopios el 20% están malogradas, él desea saber la distribución de probabilidad de que estén malogradas 4 puntas de prueba. Se aplica la fórmula (6). P(x=4) =0.13252245.