Distribuciones discretas II

1. Distribuciones discretas MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística I 2017 MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 1 / 15

2. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA [2] Denición 1 Los resultados de cada ensayo de un experimento se clasican en dos categorías exclusivas: éxito o fracaso. 2 La variable aleatoria es el número de éxitos de un número jo de ensayos. 3 Los ensayos no son independientes. 4 Los muéstreos se realizan con una población nita sin reemplazo y n/N 0.05. Por lo tanto, la probabilidad de éxito cambia en cada ensayo. MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 2 / 15

3. Denición (distribución hipergeométrica[1]) Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución hipergeometrica de parámetro n R y N, si su función de másica de probabilidad está dada por: f(x) =    R x N−R n−x N n si x = 0, 1, · · · , n 0 e.c.o.c MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 3 / 15

4. Denición (distribución hipergeométrica[1]) Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución hipergeometrica de parámetro n R y N, si su función de másica de probabilidad está dada por: f(x) =    R x N−R n−x N n si x = 0, 1, · · · , n 0 e.c.o.c MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 3 / 15

5. Ejemplo a Un equipo de trabajo, establecido por el ministerio del medio ambiente, programó visitas a 25 fábricas para investigar posibles violaciones a los reglamentos para el control de la contaminación ambiental. Sin embargo, los recortes presupuéstales han reducido drásticamente el tamaño del equipo de trabajo, por lo que, solamente se podrán investigar 5 de las 25 fábricas. Si se sabe que 10 de las fábricas están operando sin cumplir los reglamentos, calcule la probabilidad de que al menos una de las fábricas muestreadas esté operando en contravención a los reglamentos. [1] a Ejemplo 3.17 MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 4 / 15

6. MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 5 / 15

7. Teorema Sea X ∼ Hg(n, R, N), entonces: 1 E(x) = nR N 2 V ar(X) = n × R N × N − R N × N − n N − 1 MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 6 / 15

8. Ejemplo Blackjack, o veintiuno, como se le suele llamar, es un popular juego de apuestas en los casinos de Las Vegas. A un jugador se le reparten dos cartas. Las guras (sotas, reinas y reyes) y los 10 valen 10 puntos. Los ases valen 1 u 11. Una baraja de 52 cartas tiene 16 cartas que valen 10 (sotas, reinas, reyes y dieces) y cuatro ases. [3] ¾Cuál es la probabilidad de que las dos cartas repartidas sean ases o cartas que valgan 10 puntos? ¾De que las dos cartas sean ases? ¾De que las dos cartas valgan 10? MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 7 / 15

9. Ejemplo Un blackjack es una carta de 10 puntos y un as que suman 21. Use sus respuestas a los incisos a, b y c para determinar la probabilidad de que a un jugador se le reparta blackjack. (Indicación: El inciso c no es un problema hipergeométrico. Desarrolle su propio razonamiento lógico para combinar las probabilidades hipergeométricas de los incisos a, b y c para responder esta pregunta.) MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 8 / 15

10. distribución Poisson Denición (EXPERIMENTO DE PROBABILIDAD DE POISSON) 1 La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo denido. 2 La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamaño del intervalo. 3 Los intervalos no se superponen y son independientes. MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 9 / 15

13. Distribuciones Discretas Denición (distribución Poisson) Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución Poisson de parámetro λ 0, si su función de másica de probabilidad está dada por: fX(x) =    λx x! e−λ si x = 0, 1, · · · 0 e.c.o.c La función de una distribución de Poisson tiene la forma que presenta la gura 1. MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 10 / 15

16. 0 1 2 3 4 5 6 0.050.100.150.20 Distribuciónde Poisson, lamda=3 Probabilidad q q q q q q q Figure: 1 MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 11 / 15

17. Ejemplo Sea X el número de personas de usan tarjeta de crédito en una tienda durante un periodo determinado. Suponga que X tiene una distribución de Poisson con λ = 4.5, así que en promedio las compras con tarjeta serán 4.5 personas. La probabilidad de que una tienda hayan usado tarjeta exactamente cinco personas es esa P(X = 5) = e−4.54.55 5! La probabilidad de que una tienda cuando mucho cinco tarjeta habientes es: P(X ≤ 5) = 5 x=0 e−4.54.5x x! a Adaptado de Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Jay L. Devore, Séptima edición, 2008 MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 12 / 15

22. Suponga que en la función masa de probabilidad binomial binom(x, n, p), si n −→ ∞ y p −→ 0 de tal modo que np tienda a un valor λ 0. Entonces b(x, n, p) −→ p(x, λ) De acuerdo con esta proposición, en cualquier experimento binomial en el cual n es grande y p es pequeña, binom(x, n, p) pois(x; λ), donde = np. Como regla empírica, esta aproximación puede ser aplicada con seguridad si n 50 y np 5. MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 13 / 15

23. Suponga que en la función masa de probabilidad binomial binom(x, n, p), si n −→ ∞ y p −→ 0 de tal modo que np tienda a un valor λ 0. Entonces b(x, n, p) −→ p(x, λ) De acuerdo con esta proposición, en cualquier experimento binomial en el cual n es grande y p es pequeña, binom(x, n, p) pois(x; λ), donde = np. Como regla empírica, esta aproximación puede ser aplicada con seguridad si n 50 y np 5. MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 13 / 15

24. Teorema (propiedades de la distribución Poisson) Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro λ entonces: 1 µX = E (X )= λ 2 σ2 X = V ar (X )= λ MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 14 / 15

25. Teorema (propiedades de la distribución Poisson) Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro λ entonces: 1 µX = E (X )= λ 2 σ2 X = V ar (X )= λ MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 14 / 15

26. Bibliografía Blanco, Liliana, Probabilidad, segunda edicion, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, DC, 2010. Lind, D.A. and Marchal, W.G. and Wathen, S.A. Estadística aplicada a los negocios y a la economía, 15 edición, McGraw-Hill, Mexico, DF, 2005 Anderson, David R.,Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams Estadística para administración y economía, 10a. ed., Cengage Learning, México,DF, 2008 Devore, J. Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias, 7a. ed., Cengage Learning, México,DF, 2008 MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 15 / 15

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