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Ecuaciones 9 semana
- 1. Notas Ing. Xavier Silva Matematicas Superiores Galindo SEMANA 9 ECUACIONES
- 2. Matematicas Superiores Galindo Ecuaciones Definición de ecuación Se denomina ecuación a toda igualdad que solo se satisface para determinados valores numéricos de ciertas letras que aparecen en ella. Las letras que representan los números desconocidos se denominan incógnitas y a los números o letras que acompañan a las incógnitas se los llama coeficientes. Definición de raíz o solución de una ecuación. Los valores numéricos que verifican una ecuación reciben el nombre de soluciones de la ecuación. Si la ecuación tiene una sola incógnita, las soluciones también se denominan raíces. Ahora definamos que es una ecuación polinómica
- 3. Matematicas Superiores Galindo Definición de ecuación polinómica Dado un polinomio P(x), llamamos ecuación polinómica a una igualdad del tipo P(x)=anxn + an- 1xn-1 + ……+a1x, ao=0 Definición de raíz de polinomio Un número a se denomina raíz de polinomio P(x) si se verifica que P(a)=0. Resolver la ecuación P(x) =0 significa hallar el conjunto de todas sus raíces; es decir, todos los números para los cuales se cumple P(a)=0. Si la raíz x=a es un numero entero, se denomina raíz entera de polinomio. Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2+4x-21 =0, los números x=3 y x=-7 son raíces de la ecuación puesto que al sustituirlos en la expresión inicial obtenemos una identidad así: Para x=3: 32+4x3-21=0; es decir, 0 =0 Para x=-7: (-7)2+4-(-7)-21=0; es decir, 0=0
- 4. Matematicas Superiores Galindo Definición de ecuaciones equivalentes Considérese las ecuaciones P(x) =0 y Q(x)=0. Si toda raíz de la primera ecuación es a la vez raíz de la segunda ecuación, y cualquier raíz de la segunda ecuación es raíz de la primera, entonces dichas ecuaciones se denominan equivalentes. Los siguientes teoremas justifican los procedimientos de resolución de ecuaciones que emplearemos. Teorema 1 (equivalencia de ecuaciones) Si a ambos miembros de una ecuación les sumamos un mismo número o un mismo polinomio, la nueva ecuación es equivalente a la inicial. Ejemplo. Dada la ecuación 2x2+5x-8=0, si sumamos a ambos lados de la igualdad x2-5x+3, resulta la ecuación equivalente 2x2+5x-8+(x2- 5x+3)=0+(x2-5x+3); es decir, 3x2-5=x2-5x+3.
- 5. Matematicas Superiores Galindo Teorema 2 (equivalencia de ecuaciones) Si a ambos miembros de una ecuación les multiplicamos por un mismo número distinto de cero, la nueva ecuación es equivalente a la inicial. Ejemplo. Dada la ecuación 2x2+5x-8=0, si multiplicamos a ambos lados de la igualdad por (-3), resulta la ecuación equivalente -6x2-15x+24=0. Observación. En el teorema 1 se habló de sumar a ambos miembros de la ecuación un mismo polinomio, pero no una función arbitraria. Si no se hace esta aclaración, el teorema puede resultar incorrecto, como se aprecia en el siguiente ejemplo.
- 6. Matematicas Superiores Galindo Ejemplo. Suponga que tenemos la ecuación inicial x2-12=2x+3, cuya raíz es x=5. Si sumamos a ambos lados la función racional 1/x-5, obtenemos la nueva ecuación x2-12+1/x-5=2x+3+1/x-5, para la cual el número 5 ya no es raíz, puesto que al sustituirlo en el primero y segundo miembros de la ecuación pierden sentido. En efecto la igualdad 52-12+1/5-5=2x5+3+1/5-5 la fracción 1/0 no tiene sentido. Consecuentemente las dos ecuaciones no son equivalentes. En los dos teoremas anteriores se indicó las operaciones con ecuaciones que no alteran su equivalencia. Ahora ilustraremos con varios ejemplos las operaciones que puedan conducir a una nueva ecuación no equivalente a la original. Ejemplos: 1.- Supongamos que tenemos la ecuación 3x(x-1)=5(x-1). Es fácil verificar que sus raíces son x1=1 y x2=5/3. Si simplificamos, dividiendo por x-1, la ecuación original obtenemos la ecuación 3x=5, que posee una sola raíz x=5/3. Así, la segunda ecuación no es equivalente a la primera.
- 7. Matematicas Superiores Galindo 2.- La ecuación 2x-3=5 tiene una sola raíz: x=4. Si elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad obtenemos (2x-3)2=25. Resolviendo esta ecuación, hallamos dos raíces: x1=-1 y x2 = 4. Entonces, la segunda ecuación no es equivalente a la primera. Anotemos que la segunda raíz corresponde a la ecuación 2x-3=-5, la misma que después de elevar al cuadrado también nos da (2x-3)2=25. 3.- Si a ambos miembros de la ecuación 2x-1=5 los multiplicamos por x+2, obtenemos la nueva ecuación (2x-1) (x+2)=5(x+2), la que después de operar nos da la ecuación 2x2-2x- 12=0. Esta ecuación tiene las raíces x1=-2 y x2=3. Sin embargo, la raíz x1=-2 es impropia, pues no satisface la ecuación inicial. La raíz x=-2 corresponde a la ecuación x+2=0. De estos ejemplos deducimos que elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación (en general a una potencia par) o multiplicar por un factor, que contiene la incógnita y se anula para los valores reales de la incógnita, pueden ocasionar el aparecimiento de raíces impropias.
- 8. Matematicas Superiores Galindo NUMERO DE RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL Para determinar el número de raíces que tiene un polinomio son útiles los siguientes dos teoremas. Teorema fundamental del algebra Todo polinomio P(x) de grado n> 1 tiene por lo menos una raíz, la cual puede ser real o compleja. Este teorema fue enunciado por A. Giraud en 1629, pero fue demostrado rigurosamente casi dos siglos después, en 1797 por K F Gauss. Teorema del número de raíces una ecuación polinomial Todo polinomio P(x) de grado n> 1 tiene exactamente n raíces. .
- 9. Matematicas Superiores Galindo Definición de multiplicidad de una raíz A la raíz r de un polinomio P(x), diremos que es de multiplicidad m (m> 1), si dicho polinomio se puede expresar en la forma P(x) =(x-r)m Q(x), donde Q(x) es otro polinomio. Ejemplo. La ecuación x6+5x5-19x4-61x3+182x2+20x-200=0 es una ecuación de grado 67;por tanto tiene 6 raíces que son -5, -5.-1, 2,2,2. Esta ecuación se puede poner en la forma (x-2)3 (x+5)2 (x+1)=0, entonces x = 2 es una raíz triple, x = -5 es una raíz doble y x=-1 es una raíz simple. Teorema de las raíces enteras Si la ecuación polinómica P(x)=0 tiene raíces enteras, entonces estas raíces son divisores del termino independiente.
- 11. Matematicas Superiores Galindo Verifique que los números -2 y 1 son raíces de los siguientes polinomios. 1. (x2+x)2+4(x2+1)-12 2. (x2+x+1)(x2+x+2)-12 3. 2x4+7x3-2x2-13x+6 4. (x+2)3-8(x-2)2+2(x+2)-(x-1) 5. X4+2x3-x-2 6. (a2-2)x2-a2x+2a2.
- 12. Ejemplos Resolver la ecuación 8x+7=3x-6 Solución: SI a ambos miembros de la ecuación le sumamos – 3x queda 8x+7(-3x) = 3x -6 + (-3x) 5x+7 = 0 - 6 Si restamos 7 a ambos miembros de esta última igualdad, tenemos 5x + 7-7 = -6 -7 5x = -13. Dividiendo para 5 queda x = -13 / 5, que es la raíz de la ecuación dada.
- 14. Matematicas Superiores Galindo Problemas Hallar dos números cuya suma sea 20 y cuya diferencia sea 6. Solución Sigamos la siguiente secuencia 1 Sea x el mayor de los números El menor será 20 – x La diferencia entre los dos números es 6, entonces x – (20-x) = 6 La solución de esta ecuación es x =13 Consecuentemente el número mayor es 13 y el menor es 7
- 15. Matematicas Superiores Galindo Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene el? Solución: Si denotamos por x la edad del hombre. La edad de su esposa deber ser x – 7 Hace 10 años la edad del hombre era x – 10. De manera similar, hace 10 años la edad de la esposa era x – 7 – 10 = x -17 Nos dice que la edad del hombre era el doble de la de su esposa, es decir. X – 10 = 2 (x -17) Si despejamos x tenemos x- 10 = 2x -34 x – 2x = -34 + 10 X = - 24 X = 24 La edad actual del hombre es 24 años y la de su esposa 24 – 7 = 17 años.
- 16. Matematicas Superiores Galindo Un biólogo recibe 600 gramos de muestras por mes más un agregado del 10% de las muestras que analice. Descubre que, en promedio, le toma 1,5 horas realizar un análisis de 100 gramos. ¿Cuantas horas deberá trabajar en un mes para que sus análisis sean de 2000 gramos? Solución: Suponga que trabaja x horas al mes. Cada 1,5 horas efectúa análisis de 100 gramos, de modo que cada hora promedia dos terceras partes de esto; es decir, 200/3 gramos. Su agregado es del 10% de esto, de manera que su análisis por hora es 20/3. Por tanto, en x horas analizara 20x/3 gramos. Agregando las muestras que recibe al mes, obtenemos un análisis mensual total de 600+20x/3. Así la ecuación es 600+20x/3= 2000 Resolviendo obtenemos 20x/3 = 2000- 600 X= 3/20 (1400) = 210 El biólogo deberá trabajar 210 horas por mes, en promedio, si desea analizar muestras de 2000 gramos.
- 17. Matematicas Superiores Galindo ECUACIONES Y FUNCIONES Ecuaciones funciones y sistema de ecuaciones lineales. Sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben verificarse simultáneamente, se clasifican en lineales y no lineales. Lineal cuando todas son de primer grado o lineales. Dos ecuaciones con dos ecuaciones O tres ecuaciones con tres incógnitas Los coeficientes y los términos independientes de cada ecuación son números reales, la solución de cada ecuación en el sistema de ecuaciones son aquellos valores que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema, si tiene solución decimos que es compatible, si es de solución única decimos que es compatible determinado, si tiene infinitas soluciones decimos que es compatible indeterminado, en el caso de que el sistema no tenga ninguna solución diremos que es incompatible. Sistema de Ecuaciones Definición: Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se intersectan.
- 18. Matematicas Superiores Galindo Se pueden resolver de manera algebraica o de manera grafica Algebraicamente contamos con tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones con dos incognitas. Método 1. Igualación 2. Sustitución 3. Reducción Primero despejamos la misma incógnita de ambas ecuaciones la incognita x o la incognita y luego las igualamos y nos queda una ecuación lineal con una incognita